重叠问题2及答案

三年级奥数4种重叠问题三年级奥数4种重叠问题随着奥数热潮的兴起，越来越多的家长将孩子送进了奥数班。

而在奥数学习中，涉及到的重叠问题一直是让小学生头疼的难点之一。

下面，我们来分别介绍四种常见的重叠问题及其解法。

问题1：中国古代的皇帝有哪些名字？这是一道典型的排列组合重叠问题，因为存在不同的朝代和不同的皇帝名称，所以我们可以分类讨论。

假设有n个皇帝姓名，m个朝代，则总共可能的情况数为m的n次方。

例如，如果有2个朝代、3个不同的皇帝姓名，则总共可能的组合数为2的3次方，即8种。

问题2：小明手里有红、黄、蓝三个颜色的球各若干个，从中取出2个球，可能出现几种不同的颜色组合？这是一道组合问题，可以通过简单的计算得出答案。

假设红、黄、蓝三种颜色球的数量分别为a、b、c，则不同颜色组合的数量为ab+ac+bc。

问题3：在10个人中随机选取4个人，其中小明和小红不能同时被选中，有多少种可能？这是一道容斥原理的问题。

首先得出在10个人中任意选取4个人的可能组合数，即C(10,4)，然后减去小明和小红都不在其中的可能组合数，即C(8,4)，最后再加上小明和小红都在其中的组合数，即C(8,2)。

计算公式为C(10,4) - C(8,4) + C(8,2)。

问题4：现有红、黄、蓝、白四个颜色的球各m个，从中选取n个球，求使得四种颜色的球都被选中的组合数。

这是一道比较复杂的组合问题，需要采用容斥原理。

首先计算四个颜色都被选中的组合数，即C(m,1)^4，然后减去三个颜色被选中的组合数，即C(4,1)×C(m,1)^3。

但是这样计算仍然会有重复的情况，例如每个颜色都选中了两个球的情况，需要再次修正。

最终的计算公式为C(m,1)^4 - C(4,1)×C(m,1)^3 + C(4,2)×C(m,1)^2 - C(4,3)×C(m,1)。

综上所述，重叠问题在奥数中是十分常见的，但只要我们掌握了相应的解法，便能够轻松解决这些难点问题。

二年级创新思维春季班讲义：第十讲重叠问题（二）姓名：【例4】（1）如果将两块同样长的木条钉在一起共长15厘米，中间钉在一起的长度是3厘米，问：原来每块木条长多少厘米？答：原来每块木条长（）厘米。

（2）两块木条各有8厘米，如果把他们钉在一起时，中间重合部分是3厘米，钉成后这块木条有多少厘米？答：钉成后这块木条有（）厘米。

（3）两块木条各有9厘米，钉成一块长14厘米的木条，中间重合的部分是几厘米？答：中间重合的部分是（）厘米。

练一练（四）1、（1）两块木条各长40厘米，把它们钉在一起，中间钉在一起的地方是10厘米，这块钉起来的木条长多少厘米？答：这块钉起来的木条长（）厘米。

（2）两块木条各长40厘米，钉在一起的木条长70厘米，中间钉在一起的地方长多少厘米？答：中间钉在一起的地方长（）厘米。

2、有两块同样长的木条，钉成了一块长13分米的长木条，中间顶在一起的重叠部分长1分米，这两块木条原来各有多少分米？答：这两块木条原来各有（）分米。

【例5】王老师出了两组数学兴趣题给18名同学做，做对第一组的有10名同学，做队第二组的有12名同学，两题都做对的有多少名同学？答：两题都做对的有（）名同学。

练一练（五）1、有一个班英语、数学期终考试得100分的共有8人，其中英语100分的有5人，数学100分的有6人，两门学科都得100分的有几人？答：两门学科都得100分的有（）人。

2、有100个同学带矿泉水和水果去春游，带矿泉水的有78人，带水果的有71人，两样都带有至少有多少人？答：两样都带有至少有（）人。

3、二（3）班有39人，全班都订了报，订《少年报》的有35人，订《拼音报》有8人，两样报纸都订的有多少人？答：两样报纸都订的有（）人。

4、三年级学生中，音乐爱好者有38名，电脑爱好者有64名，两项都爱好的有27名，这个年级有多少名学生？答：这个年级有（）名学生。

5、在1～30中，既不是3的倍数，又不是5的倍数的数有多少个？答：又不是5的倍数的数有（）个。

第十九讲 重叠问题1. 例题1答案：详解：根据示例标出相应的木板的长度即可．2. 例题2答案：130厘米详解：两块木板总长7080150+=（厘米），重叠的部分是20厘米，用两块木板总长减去一次重叠即可，15020130-=（厘米）．3. 例题3答案：30厘米详解：两块木板总长应为9060150+=（厘米），这150 厘米就比重叠后木板的总长多出15012030-=（厘米），所以这30 厘米就是重叠部分长度，即中间钉在一起的木板长度． 4. 例题4答案：分别是5米详解：方法一：把等长的两根钢筋的一端钉起来，钉在一起的长度就是重叠部分，重叠的部分是2米，所以这两根钢筋的总长度是8210+=（米），每根钢筋的长度是5米．方法二：用现在的总长度减去重叠部分的长度，得到的就是两边的长度，即826-=（米），所以一边的长度就是3米，633=+，一根钢筋的长度就是325+=（米）．5. 例题5答案：53人详解：方法一：根据已知条件，可得做完两科作业的总人数为473380+=（人），但在这80人中，有27人两科作业都做完了．也就是说，这两科作业都做完的27人被算了两次，重复了一次，所以要从总人数80人中去掉重复的27人，802753-=（人），就是全班的总人数． 方法二：根据已知条件，可得只做了语文作业的人数为472720-=（人），只做了数学作业的人数为33276-=（人），所以全班总人数为2027653++=（人）．6. 例题6 语文作业（47）人数学作业 （ 33）人 27人（1）（2）60厘米答案：37个详解：如图，中间重叠部分表示两道智力题都答对的人数，如果把答对第一道题和答对第二道题的人数合起来是5446100+=（个），这100人就比总人数多1006337-=（个），多的37人既在答对第一道题的人中算过，又在答对第二道题的人中算过，所以这多的37人就是两道题都答对的人．7. 练习1答案：简答：根据示例标出相应的木板的长度即可．8. 练习2答案：9米简答：根据已知条件，可得两块木板总长度是5510+=（米），但中间重叠部分长度是1米，所以大木板的长度应该是总长度减去重叠的部分，即1019-=（米）．9. 练习3答案：5米简答：根据已知条件，得两块木板总长度是101020+=（米），这20米就比总长度多出20155-=（米），所以这5米就是重叠部分长度，即中间钉在一起的木板长度．5米（1）（2） 40厘米100厘米第一道题（54）人第二道题 （46）人10. 练习4答案：分别是80厘米简答：把等长的两块木板的一端钉起来，钉在一起的长度就是重叠部分，重叠的部分是40厘米，所以这两块木板的总长度是12040160+=（厘米），1608080=+，所以每块木板的长度是80厘米．（方法不唯一）,11. 作业1答案：简答：根据示例标出相应的木板的长度即可．12. 作业2答案：100厘米简答：根据已知条件，可得两块木板总长度是6060120+=（厘米），但中间重叠部分长度是20厘米，所以大木板的长度应该是总长度减去重叠的部分，即12020100-=（厘米）．13. 作业3答案：10厘米简答：根据已知条件，得两块木板总长度是8080160+=（厘米），这160厘米就比总长度多出（1）（2）50厘米50厘米40厘米15米16015010-=（厘米），所以这10厘米就是重叠部分长度，即中间钉在一起的木板长度．14. 作业4答案：分别是80厘米简答：把等长的两块木板的一端钉起来，钉在一起的长度就是重叠部分，重叠的部分是60厘米，所以这两块木板的总长度是10060160+=（厘米），每块木板的长度是80厘米．（方法不唯一）15. 作业5答案：39人 简答：根据已知条件，可得订报纸的总人数为312859+=（人），但在这59人中，有20人两种报纸都订了．也就是说，这两种报纸都订的20人被算了两次，重复了一次，所以要从总人数59人中去掉重复的20人，592039-=（人），就是全班的总人数．订《数学报》31人订《语文报》28人 20150厘米。

第5讲重叠问题例1:有3根小棒，每根长度都是20厘米，用绳子将它们扎起来连成一根（如图），已知每个接头处长度为3厘米，那么3根连在一起后共长多少厘米？练习：1.有5根小棒，每根长度都是8厘米，用绳子将它们扎起来连成一根，已知每个接头处长度为2厘米，那么5根连在一起后共长多少厘米？2.有8根小棒，每根长度都是10厘米，用绳子将它们扎起来连成一根，已知每个接头处长度为2厘米，那么8根连在一起后共长多少厘米？3.有6根小棒，每根长度都是20厘米，用绳子将它们扎起来连成一根，已知每个接头处长度为2厘米，那么6根连在一起后共长多少厘米？例2：有4根小棒，每根长度都是12厘米，用绳子将它们扎起来连成一根后总共长36厘米，已知每个接头处长度相等，那么每个接头处的长度是多少厘米？练习：1.有3根小棒，每根长度都是12厘米，用绳子将它们扎起来连成一根后总共长30厘米，已知每个接头处长度相等，那么每个接头处的长度是多少厘米？2.有5根小棒，每根长度都是20厘米，用绳子将它们扎起来连成一根后总共长80厘米，已知每个接头处长度相等，那么每个接头处的长度是多少厘米？3.有4根小棒，每根长度都是20厘米，用绳子将它们扎起来连成一根后总共长65厘米，已知每个接头处长度相等，那么每个接头处的长度是多少厘米？例3 ：有若干根小棒，用绳子将它们扎起来后长度共减少6 厘米，已知每个接头处长度为3 厘米，那么一共有多少根小棒？练习：1.有若干根小棒，用绳子将它们扎起来后长度共减少20 厘米，已知每个接头处长度为5 厘米，那么一共有多少根小棒？2.有若干根小棒，用绳子将它们扎起来后长度共减少24 厘米，已知每个接头处长度为4 厘米，那么一共有多少根小棒？例4：一些同学排成一行，从左边数小明是第5 个，从右边数小明是第7 个共有多少个同学？练习：1.一些同学排成一行，无论从左边数还是从右边数小明都是第8 个，一共有多少个同学？2.一些同学排成一列，从前面数小明是第8 个，从右边数小明是第7 个。

1、一行大雁往南飞，从前面数，穿花衣服的大雁排在第6；从后面数，它排在第3。

这行大雁一共有（）只。

我这样画图：列式：2、鸭妈妈领着自己的孩子在池塘里学游泳，它前面有4只鸭子，后面有3只鸭子。

一共有（）只鸭子。

我这样画图：列式：3、小明家从前面数在第3栋，从后面数在第5栋。

一共有（）栋楼。

我这样画图：列式：4、小狗说：从左数我排第7，从右面数我排第3。

一共有（）只小动物。

我这样画图：列式：5、小红说：我排在第6，后面还有4人，排队上车的有（）人。

我这样画图：列式：6、9个小朋友排队，丽丽的前面有5个同学，丽丽的后面有几个同学？我这样画图：列式：7、我左边有6名同学，右边有2名同学。

一共有（）名同学。

画图：列式：1、从前面数小兔排第4，从后面数它排第5。

一共有（）只。

我这样画图：列式：2、我家前面有4栋楼，后面有5栋楼。

这个小区一共有（）栋楼。

我这样画图：列式：3、小蚂蚁说：从前面数我排第3，后面还有6只。

一共有（）少只。

我这样画图：列式：4、小黄鸡说：我的前面有6只小鸡，后面有3只。

一共有（）只小鸡。

我这样画图：列式：5、小明说：我排第5，我后面还有5个人。

一共有（）个小朋友在排队。

我这样画图：列式：6、有9只小动物正在排队，小猪说：我从后面数排第5，从前面数排第（）。

我这样画图：列式：7、同学们排成一队，小红说：从前面数我排第3。

小兰说：从前面数我排第9。

小红和小兰中间有（）个小朋友。

我这样画图：列式：。

第十单元数学百花园模块一重叠问题（容斥原理）能力提升训练【例题1】四（2）班共有42人，其中会打篮球的有21人，会游泳的有17人，两种运动都不会的有10人，两种运动都会的有多少人？【练习1】四（1）班在一次语文、数学测试中，有32人语文获优，有35人数学获优，其中语文、数学都获优的有28人，语文、数学都没有获优的有6人。

四（1）班共有学生多少人？【例题2】红星小学举办绘画展览。

展示栏展出一至六年级的绘画作品，其中有24幅作品不是一年级的，有22幅作品不是二年级的，一、二年级参展的绘画作品共有8幅，三至六年级参展的绘画作品共有多少幅？【练习2】学校科技室里展出每个年级的科技作品，其中有110件不是一年级的，有100件不是二年级的，一、二年级参展的作品共有32件。

三至六年级参展的作品共有多少件？【例题3】把三根长为10厘米的筷子绑在一起，其中绑在一起的部分长1厘米，那么，绑成后的这根筷子长多少厘米？【练习3】把两根同样长的木条钉在一起，钉成一根长47厘米的木条，中间重叠部分（阴影部分）长11厘米（如下图）。

每根木条长多少厘米？47厘米14厘米【例题4】把四根长为40厘米的尺子，绑成一根长为130厘米的长尺子，那么每两根尺子中间的重叠部分长多少厘米？【练习4】把五根长为40厘米的尺子，绑成一根长为160厘米的长尺子，那么每两根尺子中间的重叠部分长多少厘米？【例题5】四（1）班有48人，其中喜欢看《奥特曼》的有32人，喜欢看《喜羊羊与灰太狼》的有38人，有25人两种动画片都喜欢看。

那么：（1）只喜欢看《奥特曼》而不喜欢看《喜羊羊与灰太狼》的有多少人？（2）只喜欢看《喜羊羊与灰太狼》而不喜欢看《奥特曼》的有多少人？（3）有多少人两种动画片都不喜欢看？【练习5】四（1）班同学中喜欢看《喜羊羊与灰太狼》的有32人，喜欢看《成龙历险记》的有25人，两种动画片都喜欢看的有8人，喜不喜欢看的有2人，五（1）班一共有多少人？【例题6】光明小学组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行，参加围棋比赛的有42人，参加中国象棋比赛的有55人，参加国际象棋比赛的有33人，同时参加了围棋和中国象棋比赛的有18人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的有10人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛的有9人，其中三种棋赛都参加的有5人，问参加棋类比赛的共有多少人？【练习6】三（1）班的学生参加活动班（每人至少参加一个），参加作文班的有18人，参加音乐班的有20人，参加奥数班的有24人。

1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-U I (其中符号“U ”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“I ”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B I ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B I ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B U 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =I (意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+U U I I I I I ．图示如下：教学目标 知识要点7-7-2.容斥原理之重叠问题（二）1．先包含——A B +重叠部分A B I 计算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-I把多加了1次的重叠部分A B I 减去．在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．模块一、三量重叠问题【例 1】 一栋居民楼里的住户每户都订了2份不同的报纸。

重叠问题
1、把两块一样长的木板钉在一起，钉成一块长35厘米的木板。

中间重合部分长11厘米，这两块木板各长多少厘米？
2、两根木棍放在一起，从头到尾共长66厘米，其中一根木棍
长48厘米，中间重叠部分长12厘米。

另一根木棍长多少
厘米？
3、两块木板各长75厘米，钉成一块长130厘米的木板，中间
重合部分是多少厘米？
4、三（5）班有42名同学，会下象棋的有21名同学，会下围
棋的有17名，两种棋都不会的有10名。

两种棋都会下的
有多少名？
5、三（4）班做完语文作业的有37人，做完数学作业的有42
人，两种作业都完成的有31人，每人至少完成一种作业。

三（4）班共有学生多少人？
6、学校乐器队招收了42名新学员，其中会拉小提琴的有25
名，会弹电子琴的有22名，两项都不会的有3名。

两项都会的有多少名？
7、三（4）班有学生56人，做对第一道思考题的有29人，做
对第二道思考题的有27人，两道题都做错的有7人。

两道思考题都做对的有几人？
8、两块木板各长90厘米，像下图这样钉成一块木板，中间重合部分是15厘米，这块钉在一起的木板总长多少厘米？。