小学思维数学讲义：容斥原理之重叠问题(二)-含答案解析

1. 瞭解容斥原理二量重疊和三量重疊的內容；2. 掌握容斥原理的在組合計數等各個方面的應用．一、兩量重疊問題 在一些計數問題中，經常遇到有關集合元素個數的計算．求兩個集合並集的元素的個數，不能簡單地把兩個集合的元素個數相加，而要從兩個集合個數之和中減去重複計算的元素個數，即減去交集的元素個數，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符號“”讀作“並”，相當於中文“和”或者“或”的意思；符號“”讀作“交”，相當於中文“且”的意思．)則稱這一公式為包含與排除原理，簡稱容斥原理．圖示如下:A 表示小圓部分，B 表示大圓部分，C 表示大圓與小圓的公共部分，記為：A B ，即陰影面積．圖示如下:A 表示小圓部分，B 表示大圓部分，C 表示大圓與小圓的公共部分，記為：A B ，即陰影面積．包含與排除原理告訴我們，要計算兩個集合A B 、的並集AB 的元素的個數，可分以下兩步進行：第一步：分別計算集合A B 、的元素個數，然後加起來，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”進來，加在一起)；第二步：從上面的和中減去交集的元素個數，即減去C AB =(意思是“排除”了重複計算的元素個數)．二、三量重疊問題A 類、B 類與C 類元素個數的總和A =類元素的個數B +類元素個數C +類元素個數-既是A 類又是B 類的元素個數-既是B 類又是C 類的元素個數-既是A 類又是C 類的元素個數+同時是A 類、B 類、C 類的元素個數．用符號表示為：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．圖示如下：教學目標知識要點7-7-2.容斥原理之重疊問題（二）1．先包含——A B +重疊部分A B 計算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-把多加了1次的重疊部分A B 減去．在解答有關包含排除問題時，我們常常利用圓圈圖(韋恩圖)來幫助分析思考．模組一、三量重疊問題【例 1】 一棟居民樓裏的住戶每戶都訂了2份不同的報紙。

重叠问题详解【探究必备】日常生活或数学问题中，在把一些数据按照某个标准分类时，常常出现其中的一部分数据同时属于两种或两种以上不同的类别，这样在计算总数时就会出现重复计算的情况，这类问题就叫做重叠问题，解答重叠问题常用方法是：先不考虑重叠的情况，把有重复包含的几个计数部分加起来，再从它们的和中排除重复部分元素的个数，使得计算的结果既无遗漏又不重复。

这个原理叫做包含与排除原理，也叫容斥原理。

容斥原理包含以下两条基本计算公式：①容斥原理一，如果被计数的对象，被分为A、B两大类，则：被计数对象的总个数=A类元素个数+B类元素个数—同时属于A类和B类的元素个数。

②容斥原理二，如果被计数的对象，被分为A、B、C三大类，则：被计数对象的总个数=A类元素+B类元素个数+C类元素个数—同时属于A类和B类的元素个数—同时属于A类和C类的元素个数—同时属于B类和C类的元素个数+同时属于A、B、C三类的元素个数。

运用容斥原理解答重叠问题应用题的关键是，画出示意图，认真分析已知条件，找出哪些是重复的，重复了几次？题目要求的又是哪一部分？借助示意图进行思考，找到正确的解答方法。

【王牌题目】1、三（1）班有48人，其中订《少年报》的有32人，订《数学报》的有38人，有25人两份报都订，那么：（1）只订《少年报》而没有订《数学报》的有多少人？（2）只订《数学报》而没有订《少年报》的有多少人？（3）有多少人两种报都没订？【解析】：先画出订报情况示意图，如下图：用长方形的面积表示全班人数；字母A所在的椭圆表示订《少年报》的人数32人；字母B所在的椭圆表示订《数学报》的人数38人；字母C所在区域即两个椭圆的重叠部分表示同时订了两份报的人数25人；字母D所在的空白部分表示两种报都没有的订的人数。

（1）用订《少年报》的总人数A，减去重叠部分C,剩下来的就是只订《少年报》而没有订《数学报》的人数：32-25=7（人）；（2）同理,(B-C)就是只订《数学报》而没有订《少年报》的人数：38-25=13（人）；（3）先求出订报的总人数，即图中所有阴影部分表示的人数，再用班级总人数减去订报总人数，即是两种报都没订的人数D。

1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)． 二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．教学目标知识要点7-7-3.几何中的重叠问题1．先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A B A B +- 把多加了1次的重叠部分A B 减去．图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- 重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．【例 1】 把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？【考点】几何中的重叠问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 因为焊接部分为两根铁条的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接后这根铁条长3853487+-=(厘米)．【答案】87厘米【巩固】 把长23厘米和37厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长3厘米，焊接后这根铁条有多长？【考点】几何中的重叠问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 焊接部分为两根铁条的重合部分，由包含排除法知，焊接后这根铁条长：2337357+-=(厘米)．【答案】57厘米【例 2】 两张长4厘米，宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状．把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？【考点】几何中的重叠问题 【难度】1星 【题型】解答图32厘米4厘米【解析】 两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为2厘米的正方形，如果利用两个42⨯的长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，被覆盖面积=长方形面积之和-重叠部分．于是，被覆盖面积4222212=⨯⨯-⨯=(平方厘米)．【答案】12厘米【巩固】 如图3，一张长8厘米，宽6厘米，另一个正方形边长为6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长为4厘米的正方形，求这个组合图形的面积．【考点】几何中的重叠问题 【难度】1星 【题型】解答图3468【解析】 两个图形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为4厘米的正方形，如果利用长方形和正方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在长方形和正方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，组合图形的面积=长方形面积+正方形面积-重叠部分．于是，组合图形的面积：86664468⨯+⨯-⨯=(平方厘米)．【答案】68平方厘米【巩固】 一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米，宽6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长4厘米的正方形，求这个组合图形的面积．【考点】几何中的重叠问题 【难度】1星 【题型】解答106412【解析】 两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为4厘米的正方形，如例题精讲果利用两个长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，组合图形的面积=长方形面积之和-重叠部分．于是，组合图形的面积12810644140=⨯+⨯-⨯=(平方厘米)．【答案】140平方厘米【例 3】 三个面积均为50平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图)，三个纸片共同重叠的面积是10平方厘米．三个纸片盖住桌面的总面积是100厘米．问：图中阴影部分面积之和是多少？【考点】几何中的重叠问题 【难度】2星 【题型】解答CBA10 【解析】 将图中的三个圆标上A 、B 、C ．根据包含排除法，三个纸片盖住桌面的总面积=(A 圆面积B +圆面积C +圆面积-）（A 与B 重合部分面积A +与C 重合部分面积B +与C 重合部分面积+）三个纸片共同重叠的面积，得：100505050A =++-（）（与B 重合部分面积A +与C 重合部分面积B +与C 重合部分面积10+），得到A 、B 、C 三个圆两两重合面积之和为：16010060-=平方厘米，而这个面积对应于圆上的那三个纸片共同重叠的面积的三倍与阴影部分面积的和，即：60103=⨯+阴影部分面积，则阴影部分面积为：603030-=(平方厘米)．【答案】30平方厘米【巩固】 如图，已知甲、乙、丙3个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6，8，5，而3个圆覆盖的总面积为73．求阴影部分的面积．【考点】几何中的重叠问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 设甲圆组成集合A ，乙圆组成集合B ，丙圆组成集合C ． A B C ===30，A B =6，B C =8，A C =5，A B C =73，而A B C =A B C +--A B B C A C A B C --+.有73=30×3-6-8-5+AB C ，即A B C =2，即甲、乙、丙三者的公共面积(⑧部分面积)为2．那么只是甲与乙(④)，乙与丙(⑥)，甲与丙(⑤)的公共的面积依次为6-2=4，8-2=6，5-2=3，所以有阴影部分(①、②、③部分之和)的面积为73-4-6-3-2=58．【答案】58【例 4】 如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于60平方厘米．阴影部分的面积总和是40平方厘米，3张板盖住的总面积是100平方厘米，3张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？【考点】几何中的重叠问题 【难度】3星【题型】解答【解析】 阴部分的面积60310040220=⨯--÷=（）(平方厘米)．【答案】20平方厘米【巩固】 如图所示，A 、B 、C 分别是面积为12、28、16的三张不同形状的纸片，它们重叠在一起，露在外面的总面积为38．若A 与B 、B 与C 的公共部分的面积分别为8、7，A 、B 、C 这三张纸片的公共部分为3．求A 与C 公共部分的面积是多少？【考点】几何中的重叠问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】设A与C公共部分的面积为x，由包含与排除原理可得：⑴先“包含”：把图形A、B、C的面积相加：12281656++=，那么每两个图形的公共部分的面积都重复计算了1次，因此要排除掉．⑵再“排除”：5687x---，这样一来，三个图形的公共部分被全部减掉，因此还要再补回．⑶再“包含”：56873x---+，这就是三张纸片覆盖的面积．根据上面的分析得：5687338x=．x---+=，解得：6【答案】6。

2022-2023学年小学三年级思维拓展举一反三精编讲义专题09 重叠问题知识精讲专题简析：三（1）班准备给参加班级绘画比赛的16位同学和参加朗读比赛的12位同学每人发一份纪念品，当中队长玲玲将28份纪念品发下去时，却多出5份，这是怎么回事？对了，因为有5位同学既参加了绘画比赛，又参加了朗读比赛，所以奖品就多出了5份。

数学中，我们将这样的问题称为重叠问题。

解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。

解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次？明确求的是哪一部分，从而找出解答方法。

典例分析【典例分析01】六一儿童节，学校门口挂了一行彩旗。

小张从前数起，红旗是第8面；从后数起，红旗是第10面。

这行彩旗共多少面？【思路引导】根据题意，画出下图：8面10面面从图上可以看出，从前数起红旗是第8面，从后数起是第10面，这样红旗就数了两次，重复了一次，所以这行彩旗共有8＋10－1=17面。

【典例分析02】同学们排队做操，每行人数同样多。

小明的位置从左数起是第4个，从右数起是第3个，从前数起是第5个，从后数起是第6个。

做操的同学共有多少个？【思路引导】根据题意，画出下图：由图可看出：小明的位置从左数第4个，右数第3个，说明横行有4＋3－1=6个人；从前数第5个，从后数第6个，说明竖行有5＋6－1=10人，所以做操的同学共有：6×10=60人。

【典例分析03】 把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成了一块木板。

如果这块钉在一起的木板长120厘米，中间重叠部分是16厘米，这两块木板各长多少厘米？【思路引导】把等长的两块木板的一端钉起来，钉在一起的长度就是重叠部分，重叠的部分是16厘米，所以这两块木板的总长度是120＋16=136厘米，每块木板的长度是136÷2=68厘米。

几何中的重叠问题1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)． 二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．教学目标 知识要点 1．先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A B A B +- 把多加了1次的重叠部分A B 减去．图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- 重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．【例 1】 把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？【考点】几何中的重叠问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 因为焊接部分为两根铁条的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接后这根铁条长3853487+-=(厘米)．【答案】87厘米【巩固】 把长23厘米和37厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长3厘米，焊接后这根铁条有多长？【考点】几何中的重叠问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 焊接部分为两根铁条的重合部分，由包含排除法知，焊接后这根铁条长：2337357+-=(厘米)．【答案】57厘米【例 2】 两张长4厘米，宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状．把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？【考点】几何中的重叠问题 【难度】1星 【题型】解答图32厘米4厘米【解析】 两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为2厘米的正方形，如果利用两个42⨯的长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，被覆盖面积=长方形面积之和-重叠部分．于是，被覆盖面积4222212=⨯⨯-⨯=(平方厘米)．【答案】12厘米【巩固】 如图3，一张长8厘米，宽6厘米，另一个正方形边长为6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长为4厘米的正方形，求这个组合图形的面积．【考点】几何中的重叠问题 【难度】1星 【题型】解答图3 【解析】 两个图形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为4厘米的正方形，如果利用长方形和正方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在长方形和正方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，组合图形的面积=长方形面积+正方形面积-重叠部分．于是，组合图形的面积：86664468⨯+⨯-⨯=(平方厘米)．【答案】68平方厘米【巩固】 一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米，宽6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长4厘米的正方形，求这个组合图形的面积．【考点】几何中的重叠问题 【难度】1星 【题型】解答例题精讲12【解析】 两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为4厘米的正方形，如果利用两个长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，组合图形的面积=长方形面积之和-重叠部分．于是，组合图形的面积12810644140=⨯+⨯-⨯=(平方厘米)．【答案】140平方厘米【例 3】 三个面积均为50平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图)，三个纸片共同重叠的面积是10平方厘米．三个纸片盖住桌面的总面积是100厘米．问：图中阴影部分面积之和是多少？【考点】几何中的重叠问题 【难度】2星 【题型】解答CBA10 【解析】 将图中的三个圆标上A 、B 、C ．根据包含排除法，三个纸片盖住桌面的总面积=(A 圆面积B +圆面积C +圆面积-）（A 与B 重合部分面积A +与C 重合部分面积B +与C 重合部分面积+）三个纸片共同重叠的面积，得：100505050A =++-（）（与B 重合部分面积A +与C 重合部分面积B +与C 重合部分面积10+），得到A 、B 、C 三个圆两两重合面积之和为：16010060-=平方厘米，而这个面积对应于圆上的那三个纸片共同重叠的面积的三倍与阴影部分面积的和，即：60103=⨯+阴影部分面积，则阴影部分面积为：603030-=(平方厘米)．【答案】30平方厘米【巩固】 如图，已知甲、乙、丙3个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6，8，5，而3个圆覆盖的总面积为73．求阴影部分的面积．【考点】几何中的重叠问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 设甲圆组成集合A ，乙圆组成集合B ，丙圆组成集合C ． A B C ===30，A B =6，B C =8，A C =5，A B C =73，而A B C =A B C +--A B B C A C A B C --+.有73=30×3-6-8-5+AB C ，即A B C =2，即甲、乙、丙三者的公共面积(⑧部分面积)为2．那么只是甲与乙(④)，乙与丙(⑥)，甲与丙(⑤)的公共的面积依次为6-2=4，8-2=6，5-2=3，所以有阴影部分(①、②、③部分之和)的面积为73-4-6-3-2=58．【答案】58【例 4】 如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于60平方厘米．阴影部分的面积总和是40平方厘米，3张板盖住的总面积是100平方厘米，3张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？【考点】几何中的重叠问题 【难度】3星【题型】解答【解析】 阴部分的面积60310040220=⨯--÷=（）(平方厘米)．【答案】20平方厘米【巩固】如图所示，A、B、C分别是面积为12、28、16的三张不同形状的纸片，它们重叠在一起，露在外面的总面积为38．若A与B、B与C的公共部分的面积分别为8、7，A、B、C这三张纸片的公共部分为3．求A与C公共部分的面积是多少？【考点】几何中的重叠问题【难度】3星【题型】解答【解析】设A与C公共部分的面积为x，由包含与排除原理可得：⑴先“包含”：把图形A、B、C的面积相加：12281656++=，那么每两个图形的公共部分的面积都重复计算了1次，因此要排除掉．⑵再“排除”：5687x---，这样一来，三个图形的公共部分被全部减掉，因此还要再补回．⑶再“包含”：56873---+，这就是三张纸片覆盖的面积．x根据上面的分析得：5687338x=．x---+=，解得：6【答案】6。

TG(2)第三讲重叠问题知识要点：重叠问题是数学上非常常见的一类数学问题，它要用到数学中的一个非常重要的原理：容斥原理，即当两个(或多个)计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从他们的和中排除重复部分。

解决重叠问题时，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画图（韦恩图），借助图形进行思考，找出哪些是重叠的和重叠的次数，明确求的是哪一部分，从而找出解答方法。

当两个计数部分重叠时，可从它们的单项和中减去重叠的部分，得出总数。

1、学校组织看文艺演出，冬冬的座位从左数起是第 12 个，从右数起是第 21 个。

这一行座位有多少个？答案：32 个。

解析：由于从左向右数与从右向左数，冬冬被算了两次，去掉一次即可。

12＋21－1=32 个。

练1、学校组织二年级(4)班同学去听报告，小虎的座位从左向右数是第 18 个，从右向左数是第 13 个。

请问这一排座位共有多少个？答案：30 个。

解析：由于从左向右数与从右向左数，小虎被算了两次，去掉一次即可。

故这一排座位共有18+13-1=30(个)。

2、洗好的 8 块手帕用夹子夹在绳子上晾干，每一块手帕的两边必须用夹子夹住，同1个夹子夹住相邻的两块手帕的两边，这样一共要多少个夹子?答案：9 个。

解析1块手帕要用2个夹子；2 块手帕有1个重叠，用3个夹子；3 块手帕有2个重叠，用4个夹子……8 块手帕有7个重叠，每个重叠的边需要1个夹子，两头不重叠的边各要1个夹子。

因此需要的夹子数为7＋2=9 个。

总结本题规律：把手帕挂在绳子上晾干，需要的夹子数比手帕数多一个。

练2、把10 块木条用铁钉钉成一条长木条，每两块之间加钉4个，如下图，共需钉上多少个钉？答案：36 个。

解析：10 块木块用铁钉钉成一条长木条，中间重叠部分有9段，一个重叠处需要4个铁钉，那么一共需要9×4=36 个铁钉。

3、小朋友围成一个三角形做游戏，每边3人，三个角各有1人，一共有多少个小朋友？答案：6。

小学奥数教程：几何中的重叠问题_全国通用（含答案）1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．教学目标知识要点7-7-3.几何中的重叠问题1．先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +- 把多加了1次的重叠部分A B 减去．图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- 重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．【例 1】把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？【考点】几何中的重叠问题【难度】1星【题型】解答【解析】因为焊接部分为两根铁条的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接后这根铁条长3853487+-=(厘米)．【答案】87厘米【巩固】把长23厘米和37厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长3厘米，焊接后这根铁条有多长？【考点】几何中的重叠问题【难度】1星【题型】解答【解析】焊接部分为两根铁条的重合部分，由包含排除法知，焊接后这根铁条长：2337357+-=(厘米)．【答案】57厘米【例2】两张长4厘米，宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状．把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？【考点】几何中的重叠问题【难度】1星【题型】解答图32厘米4厘米【解析】两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为2厘米的正方形，如果利用两个42?的长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，被覆盖面积=长方形面积之和-重叠部分．于是，被覆盖面积4222212=??-?=(平方厘米)．【答案】12厘米【巩固】如图3，一张长8厘米，宽6厘米，另一个正方形边长为6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长为4厘米的正方形，求这个组合图形的面积．【考点】几何中的重叠问题【难度】1星【题型】解答图3 【解析】两个图形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为4厘米的正方形，如果利用长方形和正方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在长方形和正方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，组合图形的面积=长方形面积+正方形面积-重叠部分．于是，组合图形的面积：86664468?+?-?=(平方厘米)．【答案】68平方厘米【巩固】一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米，宽6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长4厘米的正方形，求这个组合图形的面积．【考点】几何中的重叠问题【难度】1星【题型】解答【解析】两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为4厘米的正方形，如例题精讲果利用两个长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，组合图形的面积=长方形面积之和-重叠部分．于是，组合图形的面积12810644140=?+?-?=(平方厘米)．【答案】140平方厘米【例 3】三个面积均为50平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图)，三个纸片共同重叠的面积是10平方厘米．三个纸片盖住桌面的总面积是100厘米．问：图中阴影部分面积之和是多少？【考点】几何中的重叠问题【难度】2星【题型】解答CBA10 【解析】将图中的三个圆标上A 、B 、C ．根据包含排除法，三个纸片盖住桌面的总面积=(A 圆面积B +圆面积C +圆面积-）（A 与B 重合部分面积A +与C 重合部分面积B +与C 重合部分面积+）三个纸片共同重叠的面积，得：100505050A =++-（）（与B 重合部分面积A +与C 重合部分面积B +与C 重合部分面积10+），得到A 、B 、C 三个圆两两重合面积之和为：16010060-=平方厘米，而这个面积对应于圆上的那三个纸片共同重叠的面积的三倍与阴影部分面积的和，即：60103=?+阴影部分面积，则阴影部分面积为：603030-=(平方厘米)．【答案】30平方厘米【巩固】如图，已知甲、乙、丙3个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6，8，5，而3个圆覆盖的总面积为73．求阴影部分的面积．【考点】几何中的重叠问题【难度】2星【题型】解答【解析】设甲圆组成集合A ，乙圆组成集合B ，丙圆组成集合C ． A B C ===30，A B =6，B C =8，A C =5，A B C =73，而A B C =A B C +--A B B C A C A B C --+.有73=30×3-6-8-5+AB C ，即A B C =2，即甲、乙、丙三者的公共面积(⑧部分面积)为2．那么只是甲与乙(④)，乙与丙(⑥)，甲与丙(⑤)的公共的面积依次为6-2=4，8-2=6，5-2=3，所以有阴影部分(①、②、③部分之和)的面积为73-4-6-3-2=58．【答案】58【例4】如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于60平方厘米．阴影部分的面积总和是40平方厘米，3张板盖住的总面积是100平方厘米，3张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？【考点】几何中的重叠问题【难度】3星【题型】解答【解析】阴部分的面积60310040220=?--÷=（）(平方厘米)．【答案】20平方厘米【巩固】如图所示，A 、B 、C 分别是面积为12、28、16的三张不同形状的纸片，它们重叠在一起，露在外面的总面积为38．若A 与B 、B 与C 的公共部分的面积分别为8、7，A 、B 、C 这三张纸片的公共部分为3．求A 与C 公共部分的面积是多少？【考点】几何中的重叠问题【难度】3星【题型】解答【解析】设A与C公共部分的面积为x，由包含与排除原理可得：⑴先“包含”：把图形A、B、C的面积相加：12281656++=，那么每两个图形的公共部分的面积都重复计算了1次，因此要排除掉．⑵再“排除”：5687x---，这样一来，三个图形的公共部分被全部减掉，因此还要再补回．⑶再“包含”：56873x---+，这就是三张纸片覆盖的面积．根据上面的分析得：5687338x=．x---+=，解得：6【答案】6。

第二讲 容斥原理之重叠问题重叠问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。

指把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

一、两量重叠问题两量重叠：对n 个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a 分类与性质b 分类（如图），那么具有性质a 或性质b 的事物的个数=A+B-AB 。

包含与排除原理告诉我们，要计算两个数目A B 、的总个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算A B 、的个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的所有数目都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去重复计算的数目，即减去AB(意思是“排除”了重复计算的个数)．二、三量重叠问题A 、B 与C 个数的总和A =的个数B +的个数C +的个数-既是A 又是B 的个数-既是B 又是C 的个数-既是A 又是C 的个数+同时是A 、B 、C 的个数．用符号表示为： 总数=A B C ++-AB-BC-AC+ABC ．图示如下：专题简析 1．先包含——A B +重叠部分AB 计算了2次，多加了1次；2．再排除——A+B-AB把多加了1次的重叠部分AB 减去． 1．先包含：A B C ++ 重叠部分AB 、BC 、AC 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C ++-AB-BC-AC 重叠部分ABC 重叠了3次，但是在进行A B C ++-AB-BC-AC 计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C ++-AB-BC-AC+ABC ．例题精讲一、两量重叠问题例1：四年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。

其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。

语文、数学都优秀的有多少人？例2：实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？这个班只参加了语文或数学兴趣小组的分别是多数人？变一：实验小学四年级二班有45人参加了语文或数学兴趣小组，参加语文兴趣小组的有28人，有12人两个小组都参加．这个班有多少人参加了数学兴趣小组？变二：实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，只参加一个兴趣小组的有33人，这个班有多少人两个小组都参加？例3：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。

TG(2)第四讲重叠问题（二）知识要点：重叠问题是数学上非常常见的一类数学问题，它要用到数学中的一个非常重要的原理：容斥原理，即当两个(或多个)计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从他们的和中排除重复部分。

解决重叠问题时，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画图（韦恩图），借助图形进行思考，找出哪些是重叠的和重叠的次数，明确求的是哪一部分，从而找出解答方法。

当两个计数部分重叠时，可从它们的单项和中减去重叠的部分，得出总数。

1、二（1）班同学人人参加课外活动，有20人参加英语班，有26人参加电脑班，每人至少参加一项。

其中4人两个班都参加。

二（1）班一共有多少人？解析：（方法一）已知20人参加英语班，26人参加电脑班，一共有20+26=46（人）。

这46人中，有4人两班都参加。

也就是说这4人在英语班算了名额，在电脑班也算了名额，多算了一次。

所以，全班的人数应是46-4=42（人）。

-（人）。

（方法二）204+26=42-（人）。

（方法三）264+20=42练习1、为了迎接六一儿童节，学校组织了长跑和游泳两项比赛，每个人至少参加一个项目。

已知三年级(1)班的同学参加运动会的情况是：有25人参加长跑比赛，有22人参加游泳比赛，两项都报名的有10人，请问三年级(1)班共有多少同学参加运动会？+-=(人)解析:252210372、三年级有107个小朋友去春游，带矿泉水的有78人，带水果的有77人，每人至少带一种。

三年级既带矿泉水又带水果的小朋友有多少人？解析:787710748+-=人。

练习2、三年级(2)班有45个人参加运动会，参加长跑比赛的人有30人，参加跳高比赛的人有35人，已知每人至少参加一项，请问有几个小朋友即参加长跑比赛又参加跳高比赛。

解析:30354520+-=人。

3、在40人参加的采摘活动中，每人都有采到水果。

只采了樱桃的有18人，既采了樱桃又采了杏的有7人，问：只采了杏的有多少人？解析:4018715--=(人)．练习3、学校乐器队按计划招收了41名新学员，每人都会一种乐器，会拉小提琴的有27人，会弹电子琴又会拉小提琴的有16人。

1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．教学目标例题精讲 知识要点7-7-2.容斥原理之重叠问题（二）1．先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A B A B +- 把多加了1次的重叠部分A B 减去．图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次．2．再排除：A B C A B B C A C ++---重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++-A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．模块一、三量重叠问题【例 1】 一栋居民楼里的住户每户都订了2份不同的报纸。

1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．教学目标知识要点7-7-3.几何中的重叠问题1．先包含——A B +重叠部分A B 计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A B A B +-把多加了1次的重叠部分A B 减去．图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++---重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．【例 1】 把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？【考点】几何中的重叠问题 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 因为焊接部分为两根铁条的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接后这根铁条长3853487+-=(厘米)．【答案】87厘米【巩固】 把长23厘米和37厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长3厘米，焊接后这根铁条有多长？【考点】几何中的重叠问题 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 焊接部分为两根铁条的重合部分，由包含排除法知，焊接后这根铁条长：2337357+-=(厘米)． 【答案】57厘米【例 2】 两张长4厘米，宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状．把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？【考点】几何中的重叠问题 【难度】1星 【题型】解答图32厘米4厘米【解析】 两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为2厘米的正方形，如果利用两个42⨯的长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，被覆盖面积=长方形面积之和-重叠部分．于是，被覆盖面积4222212=⨯⨯-⨯=(平方厘米)．【答案】12厘米【巩固】 如图3，一张长8厘米，宽6厘米，另一个正方形边长为6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长为4厘米的正方形，求这个组合图形的面积．【考点】几何中的重叠问题 【难度】1星 【题型】解答图3468【解析】 两个图形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为4厘米的正方形，如果利用长方形和正方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在长方形和正方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，组合图形的面积=长方形面积+正方形面积-重叠部分．于是，组合图形的面积：86664468⨯+⨯-⨯=(平方厘米)．【答案】68平方厘米【巩固】 一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米，宽6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长4厘米的正方形，求这个组合图形的面积．【考点】几何中的重叠问题 【难度】1星 【题型】解答例题精讲12【解析】 两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为4厘米的正方形，如果利用两个长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，组合图形的面积=长方形面积之和-重叠部分．于是，组合图形的面积12810644140=⨯+⨯-⨯=(平方厘米)．【答案】140平方厘米【例 3】 三个面积均为50平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图)，三个纸片共同重叠的面积是10平方厘米．三个纸片盖住桌面的总面积是100厘米．问：图中阴影部分面积之和是多少？【考点】几何中的重叠问题 【难度】2星 【题型】解答CBA10【解析】 将图中的三个圆标上A 、B 、C ．根据包含排除法，三个纸片盖住桌面的总面积=(A 圆面积B +圆面积C +圆面积-）（A 与B 重合部分面积A +与C 重合部分面积B +与C 重合部分面积+）三个纸片共同重叠的面积，得：100505050A =++-（）（与B 重合部分面积A +与C 重合部分面积B +与C 重合部分面积10+），得到A 、B 、C 三个圆两两重合面积之和为：16010060-=平方厘米，而这个面积对应于圆上的那三个纸片共同重叠的面积的三倍与阴影部分面积的和，即：60103=⨯+阴影部分面积，则阴影部分面积为：603030-=(平方厘米)．【答案】30平方厘米【巩固】 如图，已知甲、乙、丙3个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6，8，5，而3个圆覆盖的总面积为73．求阴影部分的面积．【考点】几何中的重叠问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 设甲圆组成集合A ，乙圆组成集合B ，丙圆组成集合C ．A B C ===30，A B =6，B C =8，A C =5，A B C =73，而AB C =A B C +--A B B C A C A B C --+.有73=30×3-6-8-5+AB C ，即A B C =2，即甲、乙、丙三者的公共面积(⑧部分面积)为2．那么只是甲与乙(④)，乙与丙(⑥)，甲与丙(⑤)的公共的面积依次为6-2=4，8-2=6，5-2=3，所以有阴影部分(①、②、③部分之和)的面积为73-4-6-3-2=58．【答案】58【例 4】 如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于60平方厘米．阴影部分的面积总和是40平方厘米，3张板盖住的总面积是100平方厘米，3张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？【考点】几何中的重叠问题 【难度】3星【题型】解答【解析】 阴部分的面积60310040220=⨯--÷=（）(平方厘米)．【答案】20平方厘米【巩固】如图所示，A、B、C分别是面积为12、28、16的三张不同形状的纸片，它们重叠在一起，露在外面的总面积为38．若A与B、B与C的公共部分的面积分别为8、7，A、B、C这三张纸片的公共部分为3．求A与C公共部分的面积是多少？【考点】几何中的重叠问题【难度】3星【题型】解答【解析】设A与C公共部分的面积为x，由包含与排除原理可得：⑴先“包含”：把图形A、B、C的面积相加：12281656++=，那么每两个图形的公共部分的面积都重复计算了1次，因此要排除掉．⑵再“排除”：5687x---，这样一来，三个图形的公共部分被全部减掉，因此还要再补回．⑶再“包含”：56873---+，这就是三张纸片覆盖的面积．x根据上面的分析得：5687338x=．---+=，解得：6x【答案】6一年级（上）一.准备课1.数一数2.比多少二.位置1.上、下、前、后2.左、右三.1—5的认识和加减法1.1—5的认识2.比多少3.第几4.分和合5.加法6.减法7.0四.认识图形（一）认识图形五.6—10的认识和加减法1.6和72.8和93.104.连加、连减、加减混合六.11—20各数的认识1.11—20各数的认识2.10加几、十几加几和相应的减法七.认识钟表认识钟表八.20以内的进位加法2.8、7、9加几3.5、4、3、2加几4.解决问题一年级（下）一.认识图形（二）认识图形二.20以内的退位减法1.十几减92.十几减8、7、63.十几减5、4、3、24.解决问题三.分类与整理分类与整理四.100以内数的认识1.数数、数的组成2.数的顺序、比较大小3.解决问题4.整十数加一位数及相应的减法五.认识人民币1.认识人民币2.简单的计算六.100以内的加法和减法(一)1.整十数加、减整十数2.两位数加一位数、整十数3.两位数减一位数、整十数4.解决问题七.找规律1.找规律（一）2.找规律（二）二年级（上）一.长度单位1.厘米和米2.线段二.100以内的加法和减法(二)1.加法3.连加、连减和加减混合三.角的初步认识1.认识角2.认识直角3.认识钝角和锐角四.表内乘法（一）1.乘法的初步认识2.5的乘法口诀3.2、3、4的乘法口诀4.6的乘法口诀五.观察物体（一）观察物体（一）六.表内乘法（二）7、8、9的乘法口诀七.认识时间认识时间八.数学广角—搭配（一）数学广角—搭配（一）二年级（下）一.数据收集整理数据收集整理二.表内除法（一）1.除法的初步认识2.用2-6的乘法口诀求商3.解决问题三.图形的运动（一）1.轴对称图形2.平移和旋转四.表内除法（二）1.用7、8、9的乘法口诀求商2.解决问题五.混合运算混合运算六.有余数的除法1.有余数的除法的意义和计算2.解决问题七.万以内数的认识1.1000以内数的识2 .10000以内数的认识3 .整百、整千数加减法八.克和千克克和千克九.数学广角—推理生活中的推理三年级（上）一.时、分、秒1.秒的认识2.时间的计算二.万以内的加法和减法（一）1.口算两位数加减两位数2.几百几十加减几百几十3.三位数加减三位数的估算三.测量1.毫米、分米的认识2.千米的认识3.吨的认识四.万以内的加法和减法（二）1.加法2.减法五.倍的认识倍的认识六.多位数乘一位数1.口算乘法2.笔算乘法3.含0的乘法4.估算与解决问题七.长方形和正方形1.四边形2.周长、长方形和正方形周长八.分数的初步认识1.分数的初步认识（一）2.分数的初步认识（二）3.分数的简单计算4.分数的简单应用九.数学广角——集合集合思想三年级（下）一位置与方向（一）1 认识东、南、西、北四个方向2 认识东北、东南、西北、西南四个方向二除数是一位数的除法1 口算除法2 一位数出两、三位数的笔算除法3 商的中间或末尾有0的笔算除法4 用估算解决问题三复式统计表复式统计表四两位数乘两位数1 口算乘法2 笔算乘法五面积1 面积和面积单位2 长方形、正方形面积的计算3 面积单位间的进率六.年、月、日1 年、月、日2 24时计时法七小数的初步认识1 认识小数2 简单的小数加、减法八数学广角——搭配（二）数学广角——搭配（二）四年级（上）一大数的认识1 亿以内数的认识（一）2 亿以内数的认识（二）3 数的产生、十进制计数法和亿以上数的认识4 计算工具的认识、算盘和计算器5 1亿有多大二公顷和平方千米2 认识平方千米三角的度量1 线段、直线、射线和角2 角的度量3 角的分类4 画角四三位数乘两位数1 笔算乘法（一）2 笔算乘法（二）五平行四边形和梯形1 平行与垂直2平行四边形和梯形六除数是两位数的除法1 口算除法2 笔算除法（一）3 笔算除法（二）4 笔算除法（三）5 笔算除法（四）6 商的变化规律七条形统计图条形统计图八数学广角——优化数学广角——优化四年级（下）一四则运算1 加减法的意义和各部分间的关系2 乘除法的意义和各部分间的关系3 括号二观察物体（二）观察物体（二）三运算定律1 加法运算定律2 乘法运算定律四小数的意义和性质1 小数的意义和读写法2 小数的性质和大小比较3 小数点移动引起小数大小的变化4 小数与单位换算5 小数的近似数五三角形1 三角形的特性2 三角形的分类3 三角形的内角和六小数的加法和减法2 小数加减混合运算3 整数加法运算定律推广到小数七图形的运动（二）1 轴对称2 平移八平均数与条形统计图1 平均数2 复式条形统计图九数学广角——鸡兔同笼数学广角——鸡兔同笼五年级（上）一小数乘法1 小数乘整数2 小数乘小数3 积的近似数4 整数乘法二位置位置三小数除法1 除数是整数的小数除法2 一个数除以小数3 商的近似数4 循环小数5 用计算器探索规律6 解决问题四可能性事件发生的可能性五简易方程1 用字母表示数2 方程的意义及等式的性质3 解方程4 实际问题与方法六多边形的面积1 平行四边形的面积2 三角形的面积3 梯形的面积4 组合图形的面积七数学广角——植树问题数学广角——植树问题五年级（下）一观察物体（三）观察物体（三）二因数与倍数1 因数和倍数2 2、5、3的倍数的特征3 质数和合数三长方体和正方体1 长方体和正方体的认识2 长方体和正方体的表面积3 长方体和正方体的体积4 体积单位间的进率5 容积和容积单位四分数的意义和性质1 分数的意义2 真分数和假分数3 分数的基本性质4 约分5 通分6 分数和小数的互化五图形的运动（三）图形的运动（三）六分数的加法和减法1 同分母分数加减法2 异分母分数加减法3 分数加减混合运算七折线统计图折线统计图八数学广角——找次品数学广角——找次品六年级（上）一分数乘法1 分数乘法2 小数乘分数与分数混合运算3 解决问题二位置与方向（二）位置与方向三分数除法1 倒数的认识2 分数除法3 分数四则混合运算4 分数应用题四比1 比的意义2 比的基本性质3 比的应用五圆1 圆的认识2 圆的周长3 圆的面积4 扇形六百分数（一）1 百分数的意义和写法2 百分数与小数、分数的互化3 用百分数解决问题七扇形统计图扇形统计图八数学广角——数与形六年级（下）一负数负数二百分数(二)1 折扣2 成数3 税率4 利率三圆柱与圆锥1 圆柱2 圆锥四比例1 比例的意义和基本性质2 正比例和反比例的意义3 比例的应用五数学广角——鸽巢问题数学广角——鸽巢问题小学五年级数学上册复习教学知识点归纳总结第一单元小数乘法1、小数乘整数：@意义——求几个相同加数的和的简便运算。

小学奥数专题-重叠问题(精华版) XXX奥数重叠问题专题日常生活或数学问题中，在把一些数据按照某个标准分类时，常常出现其中的一部分数据同时属于两种或两种以上不同的类别，这样在计算总数时就会出现重复计算的情况，这类问题就叫做重叠问题。

重叠问题中涉及到的容斥原理是奥数的四大原理之一，是奥数重要知识点。

学生研究奥数，一定要掌握容斥原理。

下面小编给大家分享解决重叠的方法。

1.解答重叠问题要用到数学中一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。

2.解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次。

明确需要要求的是哪一部分，从而找出解答方法。

3.在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合和集合之间的关系。

这种图称为XXX（也叫文氏图）。

4.解答重叠问题的常用方法是：先不考虑重叠的情况，把有重复包含的几个计数部分加起来，再从它们的和中排除重复部分元素的个数，使得计算的结果既无遗漏又不重复。

这个原理叫做包含与排斥原理，也叫容斥原理。

5.容斥道理1：如果被计数的对象，被分为A、B两大类，则：被计数对象的总个数=A类元素的个数+B类元素的个数-同时属于A类和B类的元素个数。

容斥道理2：如果被计数的对象，被分为A、B、C三大类，则：被计数对象的总个数=A类元素的个数+B类元素的个数+C类元素的个数-同时属于A类和B类元素的个数-同时属于A类和C类元素个数-同时属于B类和C类元素个数+同时属于A类、B类、C类元素个数。

一、重叠问题之长度：（1）拼接（对接）（2）搭接（3）打结题目1：（搭接正问题：求总长度）把两段同样是20厘米长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。

中间堆叠的局部是6厘米，粘好的纸条长几何厘米？题目2：（搭接反问题一：等长搭接，求原来长度）把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。

容斥原理（二）【例题分析】例1. 有25人参加跳远达标赛，每人跳三次，每人至少有一次达到优秀。

第一次达到优秀的有10人，第二次达到优秀的有13人，第三次达到优秀的有15人，三次都达到优秀的只有1人。

只有两次达到优秀的有多少人？分析与解：“每人至少有一次达到优秀”说明没有三次都没达到优秀的。

要求只有两次达到优秀的人数，就是求重叠两层的部分（图中阴影部分）。

101315251211++--⨯=（人）答：只有两次达到优秀的有11人。

例2. 在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样冷饮，其中有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的没有，只要汽水和雪碧的有1人；三样都要的有1人。

问：共有几个小朋友去了冷饮店？分析与解：根据题意画图。

方法一：664310111110++-+-+-++=()()()（人） 方法二：664311210++---⨯=（人） 答：共有10个小朋友去了冷饮店。

例3. 有28人参加田径运动会，每人至少参加两项比赛。

已知有8人没参加跑的项目，参加投掷项目的人数与参加跑和跳两项的人数都是17人。

问：只参加跑和投掷两项的有多少人？分析与解：“每人至少参加两项比赛”说明没有不参加的，也没有参加一项比赛的，我们可以在下图中参加一项的区域用0表示。

--=（人）281783答：只参加跑和投掷两项的有3人。

例4. 某校六年级二班有49人参加了数学、英语、语文学习小组，其中数学有30人参加，英语有20人参加，语文小组有10人。

老师告诉同学既参加数学小组又参加语文小组的有3人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参加的只有1人，求既参加英语又参加数学小组的人数。

分析与解：根据已知条件画出图。

三圆盖住的总体为49人，假设既参加数学又参加英语的有x 人，既参加语文又参加英语的有y 人，可以列出这样的方程：3020103149++---+=x y 整理后得：x y +=9由于x 、y 均为质数，因而这两个质数中必有一个偶质数2，另一个质数为7。

(奥数典型题)容斥原理--2024年六年级下册小升初数学思维拓展容斥原理【知识点归纳】在日常生活中，人们常常需要统计一些数量，在统计的过程中，往往会发现有些数量重复出现，为了使重复出现的部分不致被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，既先不考虑重复的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排除出去，使计算的结果既无遗漏又无重复．这种计数方法称为包含排除法，也叫做容斥原理或重叠问题．一般方法：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考．容斥原理1：两量重叠问题A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数用符号可表示成：A∪B＝A+B﹣A∩B（其中符号“∪”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思，符号“∩”读作“交”，相当于中文“且”的意思）．容斥原理2：三量重叠问题A类、B类与C类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数﹣既是B类又是C类的元素个数﹣既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数．用符号表示为：A∪B∪C＝A+B+C﹣A∩B﹣B∩C﹣A∩C+A∩B∩C1．三年级共有80名同学参加书法兴趣小组和美术兴趣小组，其中参加书法组的有52人，参加美术组的有48人．那么，既参加书法组又参加美术组的有多少人？2．我们班参入调查了饭后吃水果情况：30人喜欢吃苹果，27人喜欢吃梨，10人两种都喜欢，问我们班有多少人？3．同学们收集图片．张明、李红、蔡正明、王丹、熊威、高伟、梅芳7个人收集了名山图片，吴凤、李红、王丹、戴月红、高伟这5人收集了河流图片，吴心怡、张冬、李可这3人收集了奥运图片．（1）收集名山图片和奥运图片的共有多少人？（2）收集名山图片和河流图片的共有多少人？4．在校运动会上，共有30人参加跳远和跳高。

参加跳远的有18人，参加跳高的有22人，既参加跳远又参加跳高的有多少人？5．三（1）班有48人，其中订《少年报》的有32人，订《数学报》的有38人，有25人两份报都订。

重叠法容斥原理
重叠法，也称为容斥原理，是一种在计数时避免重复和遗漏的方法。

它的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。

在处理重叠问题时，我们经常会遇到一些复杂的计数问题，例如：在1到1000的自然数中，能被3或5整除的数共有多少个？不能被3或5整除的数共有多少个？为了解决这个问题，我们可以使用容斥原理。

首先，我们不考虑重叠的情况，把能被3整除的数、能被5整除的数和能被15整除的数（同时能被3和5整除）都计算出来。

然后，我们再减去同时能被3和5整除的数（即能被15整除的数），这样就可以得到能被3或5整除的数的个数。

具体来说，在1到1000的自然数中：
能被3整除的数有333个（因为1000÷3=333余1）
能被5整除的数有200个（因为1000÷5=200）
能被15整除的数有66个（因为1000÷15=66余10）
所以，能被3或5整除的数的个数为：333+200-66=467个。

通过容斥原理，我们可以准确地计算出重叠问题的答案，避免了重复和遗漏的情况。

1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-U I (其中符号“U ”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“I ”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B I ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B I ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B U 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =I (意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+U U I I I I I ．图示如下：教学目标 知识要点7-7-2.容斥原理之重叠问题（二）1．先包含——A B +重叠部分A B I 计算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-I把多加了1次的重叠部分A B I 减去．在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．模块一、三量重叠问题【例 1】 一栋居民楼里的住户每户都订了2份不同的报纸。