小学奥数 容斥原理之重叠问题(二) 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
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1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容;
2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用.
一、两量重叠问题 在一些计数问题中,经常遇到有关集合元素个数的计算.求两个集合并集的元素的个数,不能简单地把两个集合的元素个数相加,而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数,即减去交集的元素个数,用式子可表示成:A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”,相当于中文“和”或者“或”的意思;符号“”读作“交”,相当于中文“且”的意思.)则称这一公式为包含与排除原理,简称容斥原理.图示如下:A 表示小圆部分,B 表示大圆部分,C 表示大圆与小圆的公共部分,记为:A B ,即阴影面积.图示如下:A 表示小圆部分,B 表示大圆部分,C 表示大圆与小圆的公共部分,记为:A B ,即阴影面积.
包含与排除原理告诉我们,要计算两个集合A B 、的并集A
B 的元素的个数,可分以下两步进行: 第一步:分别计算集合A B 、的元素个数,然后加起来,即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来,加在一起);
第二步:从上面的和中减去交集的元素个数,即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数).
二、三量重叠问题
A 类、
B 类与
C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数.用符号表示为:A B C A B C A B B C A C A B C =++---+.图示如下:
教学目标
知识要点
7-7-2.容斥原理之重叠问题(二)
1.先包含——A B +
重叠部分A
B 计算了2次,多加了1次; 图中小圆表示A 的元素的个数,中圆表示B 的元素的个数,
1.先包含:A B C ++
重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次,
多加了1次. 2.再排除:A B C A B B C A C ++---
在解答有关包含排除问题时,我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考.
模块一、三量重叠问题
【例 1】一栋居民楼里的住户每户都订了2份不同的报纸。如果该居民楼的住户只订了甲、乙、丙三种报纸,其中甲报30份,乙报34份,丙报40份,那么既订乙报又订丙报的有___________户。【考点】三量重叠问题【难度】3星【题型】填空
【关键词】希望杯,4年级,1试
【解析】总共有(30+34+40)÷2=52户居民,订丙和乙的有52-30=22户。
【答案】22户
【例 2】某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗,已知手中有红旗的共有34人,手中有黄旗的共有26人,手中有蓝旗的共有18人.其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有6人.而手中只有红、黄两种小旗的有9人,手中只有黄、蓝两种小旗的有4人,手中只有红、蓝两种小旗的有3人,那么这个班共有多少人?
【考点】三量重叠问题【难度】3星【题型】解答
C B
A
【解析】如图,用A圆表示手中有红旗的,B圆表示手中有黄旗的,C圆表示手中有蓝旗的.如果用手中有红旗的、有黄旗的与有蓝旗的相加,发现手中只有红、黄两种小旗的各重复计算了一次,应减去,手中有三种颜色小旗的重复计算了二次,也应减去,那么,全班人数为:342618943
++-++-
()()6250
⨯=(人).
【答案】50人
【巩固】某班有42人,其中26人爱打篮球,17人爱打排球,19人爱踢足球,9人既爱打篮球又爱踢足球,4人既爱打排球又爱踢足球,没有一个人三种球都爱好,也没有一个人三种球都不爱好.问:既爱打
篮球又爱打排球的有几人?
【考点】三量重叠问题【难度】3星【题型】解答
【解析】由于全班42人没有一个人三种球都不爱好,所以全班至少爱好一种球的有42人.根据包含排除法,4226171994
=++-++
()(既爱打篮球又爱打排球的人数0
+
),得到既爱打篮球又爱打排球的人数为:49427
-=(人).
【答案】7人
【例 3】四年级一班有46名学生参加3项课外活动.其中有24人参加了数学小组,20人参加了语文小组,参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3.5倍,又是3项活动都参加人数
的7倍,既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍,既参加数学小
组又参加语文小组的有10人.求参加文艺小组的人数.
【考点】三量重叠问题【难度】3星【题型】解答
【解析】设参加数学小组的学生组成集合A ,参加语文小组的学生组成集合B ,参加文艺小组的学生组成集合G.三者都参加的学生有z人.有A B C=46,A=24,B=20,C=3.5,A C=7A B C,例题精讲
B C=2A B C,A B=10.
因为A B C A B C A B A C B C A B C
=++---+,
所以46=24+20+7x-10-2x-2x+x,解得x=3,
即三者的都参加的有3人.那么参加文艺小组的有3⨯7=21人.
【答案】21人
【巩固】五年级三班学生参加课外兴趣小组,每人至少参加一项.其中有25人参加自然兴趣小组,35人参加美术兴趣小组,27人参加语文兴趣小组,参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人,参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人,参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人,
语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人.求这个班的学生人数.
【考点】三量重叠问题【难度】3星【题型】解答
C语文B美术
A自然
【解析】设参加自然兴趣小组的人组成集合A,参加美术兴趣小组的人组成集合日,参加语文兴趣小组的人组成集合C.
A=25,B=35,C =27,B C=12,A B=8,A C=9,A B C=4.
A B C=A B C A B A C B C A B C
++---+.
所以,这个班中至少参加一项活动的人有25+35+27-12-8-9+4=62,而这个班每人至少参加一项.即这个班有62人.
【答案】62人
【巩固】光明小学组织棋类比赛,分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行,参加围棋比赛的有42人,参加中国象棋比赛的有55人,参加国际象棋比赛的有33人,同时参加了围棋和中国象棋比赛
的有18人,同时参加了围棋和国际象棋比赛的有10人,同时参加了中国象棋和国际象棋比赛
的有9人,其中三种棋赛都参加的有5人,问参加棋类比赛的共有多少人?
【考点】三量重叠问题【难度】3星【题型】解答
【解析】根据包含排除法,先把参加围棋比赛的42人,参加中国象棋比赛的55人与参加国际象棋比赛的33人加起来,共是425533130
++=人.把重复加一遍同时参加围棋和中国象棋的18人,同时参加围棋和国际象棋的10人与同时参加中国象棋和国际象棋的9人减去,但是,同时参加了三种棋赛的5人被加了3次,又被减了3次,其实并未计算在内,应当补上,实际上参加棋类比赛的共有:130********
-+++=
()(人).
或者根据学过的公式:A B C A B C A B B C A C A B C
=++---+,参加棋类比赛的总人数为:42553318109598
++---+=(人).
【答案】98人
【例 4】新年联欢会上,共有90人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出.如果只参加跳舞的人数三倍于只参加合唱的人数;同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7人;只参加演奏的比同时参加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多4人;50人没有参加演奏;10人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏;40人参加了合唱;那么,同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有________人.【考点】三量重叠问题【难度】3星【题型】填空
【关键词】西城实验
【解析】设只参加合唱的有x人,那么只参加跳舞的人数为3x,由50人没有参加演奏、10人同时参加了跳