第20讲 重叠问题(含解题思路和参考答案)

初中数学专题-重叠问题(精华版)
重叠问题是初中数学中的一个经典问题，很多同学在研究中会
遇到这个问题，现在我们来深入探讨一下。

什么是重叠问题？简单来说，就是用图形去模拟交集的情况。

例如，我们经常听说的“集体婚礼中，每个男士都握着另外四个女
士的手，每个女士也握着另外四个男士的手，问这次婚礼有多少人？”，这就是一个重叠问题。

在解决重叠问题时，我们需要注意以下几点：
1. 画图：重叠问题通常需要用图形来表示，画图是必不可少的。

2. 分类讨论：根据具体的题目条件，我们可以把问题分成不同
情况进行讨论，从而得到最终的答案。

3. 列方程：对于一些比较复杂的重叠问题，我们可以通过列方
程的方式来解决。

4. 推广应用：重叠问题是初中数学中的一个经典问题，但它在
实际生活中也有很多应用，例如科学研究、经济分析、交通规划等
领域都有重叠问题的存在。

通过学习重叠问题，我们不仅可以提高自己的数学能力，还可
以锻炼我们的思维能力和创新能力。

希望同学们能够重视这个问题，认真学习，在学习的过程中不断提高自己的解决问题的能力。

重叠问题及答案【篇一：重叠问题教案】梁邹小学邢金花教学目标：1、结合具体情境，学习借助直观图解决简单得重叠问题。

2、经历独立思考，合作探究的过程，提高思维能力、促进思维发展，形成运用几何直观的方法解决问题的策略、增长学生的聪明才智，发展学生的智力。

3、通过活动激发学生学习数学的兴趣和欲望，体验成功的乐趣，产生学好数学的自信心。

重点：通过直观图解决重叠问题。

一.情境导入课前谈话：你喜欢什么小动物？猜猜老师喜欢什么小动物？（设计意图：激发兴趣，引起好奇心）1.出示情境图师：你能从这幅图中发现什么？生：大雁；颜色和别的大雁不一样的花大雁。

师：你能提出一个数学问题吗？生：一共有几只大雁？师：从这幅图中，你能知道有几只大雁吗？生1：能，7只，8只，9只。

生2：不能，因为被云彩遮住了。

师：这只漂亮的大雁说了一句话，大家想知道它说的什么吗？生：想。

2．出示重要信息，我从前面数排第6，从后面数排第3。

并凸显出来。

二．新授1.强化信息：（1）教师把信息读一遍，问学生“你听见了什么信息？”（设计意图：培养学生认真及时捕捉信息的意识和能力）（2）师：信息什么意思？你能说说吗？（3）师：现在你觉得有多少只大雁？9只怎么算的？（4）到底有多少只大雁呢？你们有什么好方法一眼能看出来？学生：站一站摆小棒画图师：站一站，怎么站呢？（设计意图：通过讨论正确理解信息）2.摆一摆师：谁能用小磁铁把图上的大雁像刚才那样摆出来？学生上讲台上去摆一摆。

摆完之后让学生反复讨论和纠错。

（设计意图：通过讨论和争辩感受到花大雁用不同颜色的磁吸摆能一眼看出哪只是花大雁）让该生说一说不同颜色的磁铁表示什么。

然后大家一起验证，是不是从前面数第6，从后面数第3。

（注意，要引导学生从前面数了再从后面数，让学生感受到摆对2个信息才行）3．画一画师：我们除了摆一摆，还能怎样一眼看出有多少只大雁？生：画图。

师：你真是爱动脑筋，这是一个很好的方法，那么大家在画一画之前，先独立想一想，你打算怎么画？（可以同桌两人小声的讨论一下）生：用图形代替大雁，三角表示普通的大雁，圆圈表示花大雁。

《重叠问题》说课稿（通用3篇）在教学工作者实际的教学活动中，往往要写一份优秀的说课稿，借助说课稿可以提高教学质量，取得良好的教学效果。

那末优秀的说课稿是什么样的呢？下面是作者为大家采集的《重叠问题》说课稿（通用3篇），欢迎大家借鉴与参考，希翼对大家有所匡助。

《重叠问题》说课稿1我说课的内容是：人教版义务教育课程标准实验教科书三年级《数学》下册第108页的数学广角例1，也就是重叠问题。

我先说说对教材的理解和认识。

一、说教材1、数学广角是新课程增设的内容，也是新教材的一大特色，其实它是属于小学奥数的一个教学内容，但是现在要拿来面对班学生进行教学，无疑在内容上要进行简化，在教学上要进行细化，不然的话就不能达到教学目标。

这节课的重叠问题是日常生活中应用比较广泛的数学知识。

集合的知识体系集合是比较系统、抽象的数学思想方法，是数学中最基本的思想。

从学生一开始学习数学，其实就已经在运用集合思想方法了，所以对集合有一定的生活经验和知识基础。

但还没有抽象成集合的思想。

而以后学习的平面图形之间的关系都要用到集合的思想，如，把一堆图形分类，需要一定的标准，这种分类思想就是集合理论的基础，所以集合的重要性由此可见一斑。

但这些都只是单独的一个集合圈。

本节课教材例1借助学生熟悉的题材，渗透了集合的有关思想，并利用直观图的方式求出两个小组的总人数。

教学要使学生理解用直观图（集合圈）表示“重叠现象”的方法，了解到直观图各部份的意义，特殊是重叠部份（交集）的意义，掌握根据直观图列式计算总数（两个集合的并集）的方法。

对于三年级学生来说，学习这部份内容，思维力度较强，有一定的挑战性。

2、说教学目标结合本课的教材内容和三年级学生认知水平，我制定了如下目标：知识与技能：使学生借助直观图，利用集合的思想方法解决简单的重叠问题，并能用数学语言表述。

过程与方法：使学生感知集合图的产生过程，初步培养学生的建模意识和能力，渗透多种方法解决问题的意识。

重叠法的经典例题一、例题在一个长方形中，长为8厘米，宽为6厘米，有两个半径为1厘米的圆重叠放在长方形内（圆与长方形的边相切），求阴影部分（两个圆重叠部分以外的区域）的面积。

二、题目解析1. 首先计算长方形的面积- 根据长方形面积公式S = a× b（其中a为长，b为宽），已知长方形长a = 8厘米，宽b = 6厘米，所以长方形面积S_长方形=8×6 = 48平方厘米。

2. 然后计算两个圆的面积- 根据圆的面积公式S=π r^2（其中r为半径），已知圆半径r = 1厘米，一个圆的面积S_圆=π×1^2=π平方厘米。

- 那么两个圆的面积S_两个圆=2π平方厘米，取π = 3.14，则S_两个圆=2×3.14 = 6.28平方厘米。

3. 接着计算两个圆重叠部分的面积- 两个半径为1厘米的圆重叠部分是一个类似橄榄形的图形。

我们可以先算出两个扇形（圆心角为90^∘，因为圆与长方形边相切）的面积之和，再减去中间正方形的面积。

- 一个扇形的面积是圆面积的(1)/(4)，所以一个扇形面积S_扇形=(1)/(4)×π×1^2=(π)/(4)平方厘米。

- 两个扇形面积S_两个扇形=(π)/(2)平方厘米，取π = 3.14，则S_两个扇形=1.57平方厘米。

- 中间正方形的面积S_正方形=1×1 = 1平方厘米。

- 所以两圆重叠部分面积S_重叠=1.57 - 1=0.57平方厘米。

4. 最后计算阴影部分面积- 阴影部分面积S_阴影=S_长方形-S_两个圆+S_重叠- 把S_长方形=48平方厘米，S_两个圆=6.28平方厘米，S_重叠=0.57平方厘米代入可得：- S_阴影=48 - 6.28+0.57 = 42.29平方厘米。

小学数学典型应用题之重叠问题一、含义重叠问题是数学上非常常见的一类数学问题，它要用到数学中的一个非常重要的原理：容斥原理，即当两个(或多个)计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从他们的和中排除重复部分。

二、解题思路和方法解决重叠问题时，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画图，借助图形进行思考，找出哪些是重叠的和重叠的次数，明确求的是哪一部分，从而找出解答方法。

当两个计数部分重叠时，可从它们的单项和中减去重叠的部分，得出总数。

三、例题例题（一）：二（1）班同学人人参加课外活动，有20人参加英语班，有26人参加电脑班，每人至少参加一项。

其中4人两个班都参加。

二（1）班一共有多少人？解析：（1）已知20人参加英语班，26人参加电脑班，一共有20+26-46（人）。

（2）这46人中，有4人两班都参加。

（3）也就是说这4人在英语班算了名额，在电脑班也算了名额，多算了一次。

（4）所以，全班的人数应是46=4=42（人）。

例题（二）：三（2）班有42名同学，会下象棋的有21名同学，会下围棋的有17名，两种棋都不会的有10名。

那么只会下象棋的同学有多少名？解析：（1）方法一：至少会下一种棋的人数是42-10=32名，而两种棋都会下的有21+17-32=6名，所以只会下象棋的同学有21-6=15（名）。

（2）方法二：至少会下一种棋的人数是42-10=32（名），用至少会下一种棋的人数减去会下围棋的人数就是只会下象棋的同学，故共有32-17=15（名）。

例题（三）：全班50 人，不会骑自行车的有23人，不会滑旱冰的有35人，两样都会的有4人。

两样都不会的有多少人？解析：（1）会骑自行车的有50-23=27人，会滑旱冰的有50-35=15人。

（2）那么至少会这两样其中一样的人有：27+15-4=38人。

（3）加上两样都不会的人，就是全班人数。

（4）所以两样都不会的人数有50-38=12人。

例题（四）：芳草地小学四年级的64人都会钢琴或画画中的一种，其中有58人学钢琴，43人学画画，问只学钢琴和只学画画的分别各有多少人？解析：（1）学了钢琴或画画的有73-9=64（人）。

重叠法解题重叠法解题重叠法是一种常见的解题方法，它适用于许多领域，包括数学、物理、化学等。

在数学中，重叠法主要用于解决排列组合问题和几何问题。

本文将详细介绍重叠法的原理、应用以及解题技巧。

一、重叠法的原理重叠法的核心思想是将一个问题分解成若干个子问题，并且这些子问题之间存在交集。

通过计算交集部分来得到最终答案。

例如，在排列组合问题中，我们可以将一个大问题分解成若干个小问题，每个小问题都有一定数量的元素。

这些元素之间存在交集，我们可以通过计算交集部分来得到最终答案。

二、重叠法的应用1. 排列组合问题在排列组合问题中，重叠法被广泛应用。

例如，在一个班级中，有10个男生和8个女生。

如果要从这些人中选择3个人参加比赛，并且至少有1个女生参加比赛，那么该怎么做呢？首先，我们可以计算出从10个男生中选择3个人参加比赛的方案数为C(10,3)，即10*9*8/3*2*1=120。

接着，我们可以计算出从8个女生中选择3个人参加比赛的方案数为C(8,3)，即8*7*6/3*2*1=56。

但是，这样计算出来的答案不包括至少有1个女生参加比赛的情况。

因此，我们需要用重叠法来解决这个问题。

首先，我们可以计算出不考虑限制条件时的方案数为C(18,3)，即18*17*16/3*2*1=816。

然后，我们可以计算出只选男生参加比赛的方案数为C(10,3)，即10*9*8/3*2*1=120。

接着，我们可以计算出只选女生参加比赛的方案数为C(8,3)，即8*7*6/3*2*1=56。

最后，我们用总方案数减去只选男生和只选女生的方案数，得到至少有1个女生参加比赛的方案数为816-120-56=640。

2. 几何问题在几何问题中，重叠法也被广泛应用。

例如，在一个正方形内部画一个圆，并且让圆与正方形相切。

如果正方形边长为10cm，则圆的半径是多少？首先，我们可以通过勾股定理得知正方形对角线长度为10√2 cm。

因为圆与正方形相切，所以圆心到正方形中心的距离等于正方形对角线长度的一半，即5√2 cm。

三年级奥数：重叠问题，包含与排除问题的解题方法
在日常生活中，我们经常需要统计一些数据，在统计的过程中，往往会发现有些数量重复出现。

为了使重复的部分不被重复计算，人们研究出一种新的计算方法，然后再把重复计算的数目排除，使得计算的结果既不重复也不遗漏。

解决重叠问题时，我们常常利用韦恩图（圆圈图）来帮助分析死牢，关键是找出重复的次数。

木板重叠问题
两块一样长的木块叠在一起，求每块木块的长度时，用重叠后的总长度加上重叠部分的长度，然后再除以2；两块不一样长的木块重叠在一起，求其中一块木块的长度时，用重叠后的总长度加上重叠部分的长度，然后再减去另一块木块的长度。

韦恩图解题
韦恩图解题
做这类重叠问题时，首先根据题目条件画出韦恩图：
总人数=分别参加两项的人数-两项都参加的人数；
两项都参加的人数=分别参加两项的人数和-总人数；
参加某一项的人数=总人数+两项都参加的人数-参加另一项的人数。

韦恩图解题
当题目中提到至少存在一种情况的时候，那么总人数中还可能会有两种情况都不存在的情况。

此时候的总人数=至少参加一项的人数+两项都不参加的人数。

第20讲重叠情况(含解题思路和参考答案)一、问题描述在 $x$ 轴上有 $n$ 个线段，这些线段可能有交叉，也可能没有交叉。

请你统计一下这些线段有多少对相交。

二、输入格式- 第一行一个整数 $n$。

- 下面 $n$ 行，每行 $2$ 个整数 $l_i$ 和 $r_i$。

三、输出格式- 一行一个整数，表示线段相交的对数。

四、解题思路这道题目可以用扫描线算法来解决。

我们首先将所有节点按照横坐标排序，然后处理每个事件。

具体地，我们维护一个变量 $cnt$，表示当前有多少条线段与当前位置的横坐标相同。

当扫描到一个左端点时，我们将 $cnt$ 加$1$，当扫描到一个右端点时，我们将 $cnt$ 减 $1$。

每当 $cnt$ 发生变化时，我们将当前的贡献加入答案当中即可。

五、参考代码C++ 代码如下所示。

include <iostream>include <algorithm>using namespace std;const int N = 1e5 + 10;struct Segment{int l, r;} segs[N];int n;int cnt = 0;long long res = 0;int main(){cin >> n;for (int i = 0; i < n; i ++ ){cin >> segs[i].l >> segs[i].r;}sort(segs, segs + n, [](Segment a, Segment b){ if (a.l != b.l)return a.l < b.l;return a.r > b.r;});for (int i = 0; i < n; i ++ ){if (i != 0 && segs[i].l != segs[i - 1].l) {res += 1ll * cnt * (cnt - 1) / 2;cnt = 0;}if (segs[i].r >= segs[0].l)cnt ++ ;}res += 1ll * cnt * (cnt - 1) / 2;cout << res << endl;return 0;}Python 代码如下所示。