完整版数列基础测试题及参考答案

数列测试题及答案一、选择题1. 已知数列\( a_n \)的通项公式为\( a_n = 3n - 1 \)，那么第10项的值为：A. 29B. 28C. 27D. 26答案：A2. 若数列\( b_n \)的前n项和为\( S_n \)，且\( S_n = n^2 \)，求数列\( b_n \)的第3项：A. 5B. 6C. 7D. 8答案：B二、填空题1. 给定等差数列\( c_n \)，首项\( c_1 = 5 \)，公差\( d = 3 \)，其第5项为________。

答案：202. 若数列\( d_n \)是等比数列，且\( d_1 = 2 \)，公比\( q = 4 \)，求第4项：________。

答案：64三、解答题1. 已知数列\( e_n \)的前n项和为\( S_n \)，若\( S_3 = 21 \)，\( S_5 = 45 \)，求\( e_4 + e_5 \)。

解：由题意得\( e_4 + e_5 = S_5 - S_3 = 45 - 21 = 24 \)。

2. 某等差数列的前5项和为50，且第3项为15，求该数列的首项和公差。

解：设该等差数列的首项为\( a \)，公差为\( d \)，则有：\[ 5a + 10d = 50 \]\[ a + 2d = 15 \]解得：\( a = 5 \)，\( d = 5 \)。

四、证明题1. 证明等差数列中，任意两项的等差中项等于它们的算术平均数。

证明：设等差数列\( f_n \)的首项为\( f_1 \)，公差为\( d \)，任取两项\( f_m \)和\( f_n \)（\( m < n \)），则它们的等差中项为\( f_{\frac{m+n}{2}} \)。

根据等差数列的性质，有：\[ f_{\frac{m+n}{2}} = f_1 + \left(\frac{m+n}{2} -1\right)d \]而算术平均数为：\[ \frac{f_m + f_n}{2} = \frac{f_1 + (m-1)d + f_1 + (n-1)d}{2} = f_1 + \frac{(m+n-2)d}{2} \]由于\( \frac{m+n}{2} - 1 = \frac{m+n-2}{2} \)，所以两者相等，证明了等差中项等于算术平均数。

数列测试题及答案一、选择题1. 已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1，那么a_5的值为：A. 15B. 31C. 63D. 127答案：B2. 数列{a_n}是等差数列，公差为3，且a_3=12，则a_1的值为：A. 3B. 6C. 9D. 12答案：B3. 已知数列{a_n}满足a_1=2，a_{n+1}=3a_n，那么数列的通项公式为：A. a_n = 2 * 3^{n-1}B. a_n = 2 * 3^nC. a_n = 3 * 2^{n-1}D. a_n = 3^n答案：B二、填空题4. 已知数列{a_n}的前n项和S_n=n^2，求a_3的值。

答案：65. 数列{a_n}是等比数列，首项为2，公比为4，求a_5的值。

答案：128三、解答题6. 已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=a_n+n，求数列的前5项。

答案：a_1 = 1a_2 = a_1 + 1 = 2a_3 = a_2 + 2 = 4a_4 = a_3 + 3 = 7a_5 = a_4 + 4 = 117. 已知数列{a_n}是等差数列，且a_1=5，a_4=14，求数列的通项公式。

答案：a_n = 5 + (n-1) * 3 = 3n + 28. 已知数列{a_n}满足a_1=2，a_{n+1}=2a_n+1，求数列的前5项。

答案：a_1 = 2a_2 = 2a_1 + 1 = 5a_3 = 2a_2 + 1 = 11a_4 = 2a_3 + 1 = 23a_5 = 2a_4 + 1 = 479. 已知数列{a_n}是等比数列，首项为3，公比为2，求数列的前5项。

答案：a_1 = 3a_2 = 3 * 2 = 6a_3 = 6 * 2 = 12a_4 = 12 * 2 = 24a_5 = 24 * 2 = 4810. 已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=3a_n-2，求数列的前5项。

数列测试题及答案数列测试题及答案 数列测试题及答案： ⼀、选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分． 1．在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a12＋a13＝24，则a7为( ) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：∵a1＋a2＋a12＋a13＝4a7＝24，∴a7＝6. 答案：A 2．若等差数列{an}的前n项和为Sn，且满⾜S33－S22＝1，则数列{an}的公差是( ) A.12 B．1 C．2 D．3 解析：由Sn＝na1＋n(n－1)2d，得S3＝3a1＋3d，S2＝2a1＋d，代⼊S33－S22＝1，得d＝2，故选C. 答案：C 3．已知数列a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，则a2 011等于( ) A．1 B．－4 C．4 D．5 解析：由已知，得a1＝1，a2＝5，a3＝4，a4＝－1，a5＝－5，a6＝－4，a7＝1，a8＝5，… 故{an}是以6为周期的数列， ∴a2 011＝a6×335＋1＝a1＝1. 答案：A 4．设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是( ) A．d＜0 B．a7＝0 C．S9＞S5 D．S6与S7均为Sn的最⼤值 解析：∵S5＜S6，∴a6＞0.S6＝S7，∴a7＝0. ⼜S7＞S8，∴a8＜0. 假设S9＞S5，则a6＋a7＋a8＋a9＞0，即2(a7＋a8)＞0. ∵a7＝0，a8＜0，∴a7＋a8＜0.假设不成⽴，故S9＜S5.∴C错误. 答案：C 5．设数列{an}是等⽐数列，其前n项和为Sn，若S3＝3a3，则公⽐q的值为( ) A．－12 B.12 C．1或－12 D．－2或12[ 解析：设⾸项为a1，公⽐为q， 则当q＝1时，S3＝3a1＝3a3，适合题意． 当q≠1时，a1(1－q3)1－q＝3a1q2， ∴1－q3＝3q2－3q3，即1＋q＋q2＝3q2,2q2－q－1＝0， 解得q＝1(舍去)，或q＝－12. 综上，q＝1，或q＝－12. 答案：C 6．若数列{an}的通项公式an＝5 252n－2－425n－1，数列{an}的最⼤项为第x项，最⼩项为第y 项，则x＋y等于( ) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：an＝5252n－2－425n－1＝525n－1－252－45， ∴n＝2时，an最⼩；n＝1时，an最⼤． 此时x＝1，y＝2，∴x＋y＝3. 答案：A 7．数列{an}中，a1 ＝15,3an＋1＝ 3an－2(n∈N *)，则该数列中相邻两项的乘积是负数的是( ) A．a21a22 B．a22a23 C．a23a24 D．a24a25 解析：∵3an＋1＝3an－2， ∴an＋1－an＝－23，即公差d＝－23. ∴an＝a1＋(n－1)d＝15－23(n－1)． 令an＞0，即15－23(n－1)＞0，解得n＜23.5. ⼜n∈N*，∴n≤23，∴a23＞0，⽽a24＜0，∴a23a24＜0. 答案：C 8．某⼯⼚去年产值为a，计划今后5年内每年⽐上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个⼚的总产值为( ) A．1.14a B．1.15a C．11×(1.15－1)a D．10×(1.16－1)a 解析：由已知，得每年产值构成等⽐数列a1＝a，w an＝a(1＋10%)n－1(1≤n≤6)． ∴总产值为S6－a1＝11×(1.15－1)a. 答案：C 9．已知正数组成的等差数列{an}的前20项的和为100，那么a7a14的最⼤值为( ) A．25 B．50 C．1 00 D．不存在 解析：由S20＝100，得a1＋a20＝10. ∴a7＋a14＝10. ⼜a7＞0，a14＞0，∴a7a14≤a7＋a1422＝25. 答案：A 10．设数列{an}是⾸项为m，公⽐为q(q≠0)的等⽐数列，Sn是它的前n项和，对任意的n∈N*，点an，S2nSn( ) A．在直线mx＋qy－q＝0上 B．在直线qx－my＋m＝0上 C．在直线qx＋my－q＝0上 D．不⼀定在⼀条直线上 解析：an＝mqn－1＝x，①S2nSn＝m(1－q2n)1－qm(1－qn)1－q＝1＋qn＝y，② 由②得qn＝y－1，代⼊①得x＝mq(y－1)，即qx－my＋m＝0. 答案：B 11．将以2为⾸项的偶数数列，按下列⽅法分组：(2)，(4,6)，(8,10,12)，…，第n组有n个数，则第n组的⾸项为( ) A．n2－n B．n2＋n＋2 C．n2＋n D．n2－n＋2 解析：因为前n－1组占⽤了数列2,4,6，…的前1＋2＋3＋…＋(n－1)＝(n－1)n2项，所以第n组的⾸项为数列2,4,6，…的第(n－1)n2＋1项，等于2＋(n－1)n2＋1－12＝n2－n＋2. 答案：D 12．设m∈N*，log2m的整数部分⽤F(m)表⽰，则F(1)＋F(2)＋…＋F(1 024)的值是( ) A．8 204 B．8 192 C．9 218 D．以上都不对 解析：依题意，F(1)＝0， F(2)＝F(3)＝1，有2 个 F(4)＝F(5)＝F(6)＝F(7)＝2，有22个． F(8)＝…＝F(15)＝3，有23个． F(16)＝…＝F(31)＝4，有24个． … F(512)＝…＝F(1 023)＝9，有29个． F(1 024)＝10，有1个． 故F(1)＋F(2)＋…＋F(1 024)＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋…＋9×29＋10. 令T＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋9×29，① 则2T＝1×22＋2×23＋…＋8×29＋9×210.② ①－②，得－T＝2＋22＋23＋…＋29－9×210 ＝ 2(1－29)1－2－9×210＝210－2－9×210＝－8×210－2， ∴T＝8×210＋2＝8 194， m] ∴F(1)＋F(2)＋…＋F(1 024)＝8 194＋10＝8 204. 答案：A 第Ⅱ卷 (⾮选择共90分) ⼆、填空题：本⼤题共4个⼩题，每⼩题5分，共20分． 13．若数列{an} 满⾜关系a1＝2，an＋1＝3an＋2，该数列的通项公式为__________． 解析：∵an＋1＝3an＋2两边加上1得，an＋1＋1＝3(an＋1)， ∴{an＋1}是以a1＋1＝3为⾸项，以3为公⽐的等⽐数列， ∴an＋1＝33n－1＝3n，∴an＝3n－1. 答案：an＝3n－1 14．已知公差不为零的等差数列{an}中，M＝anan＋3，N＝an＋1an＋2，则M与N的⼤⼩关系是__________． 解析：设{an}的公差为d，则d≠0. M－N＝an(an＋3d)－[(an＋d)(an＋2d)] ＝an2＋3dan－an2－3dan－2d2＝－2d2＜0，∴M＜N. 答案：M＜N 15．在数列{an}中，a1＝6，且对任意⼤于1的正整数n，点(an，an－1)在直线x－y＝6上，则数列{ann3(n＋1)}的前n项和Sn＝__________. 解析：∵点(an，an－1)在直线x－y＝6上， ∴an－an－1＝6，即数列{an}为等差数列． ∴an＝a1＋6(n－1)＝6＋6(n－1)＝6n， ∴an＝6n2. ∴ann3(n＋1)＝6n2n3(n＋1)＝6n(n＋1)＝61n－1n＋1 ∴Sn＝61－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1.＝61－1n＋1＝6nn＋1. 答案：6nn＋1 16．观察下表： 1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10 … 则第__________⾏的各数之和等于2 0092. 解析：设第n⾏的各数之和等于2 0092， 则此⾏是⼀个⾸项a1＝n，项数为2n－1，公差为1的等差数列． 故S＝n×(2n－1)＋(2n－1)(2n－2)2＝2 0092，解得n＝1 005. 答案：1 005 三、解答题：本⼤题共6⼩题，共70分． 17．(10分)已知数列{an}中，a1＝12，an＋1＝12an＋1(n∈N*)，令bn＝an－2. (1)求证：{bn}是等⽐数列，并求bn； (2)求通项an并求{an}的前n项和Sn. 解析：(1)∵bn＋1bn＝an＋1－2an－2＝12an＋1－2an－2＝12an－1an－2＝12， ∴{bn}是等⽐数列． ∵b1＝a1－2＝－32， ∴bn＝b1qn－1＝－32×12n－1＝－32n. (2)an＝bn＋2＝－32n＋2， Sn＝a1＋a2＋…＋an ＝－32＋2＋－322＋2＋－323＋2＋…＋－32n＋2 ＝－3×12＋122＋…＋12n＋2n＝－3×12×1－12n1－12＋2n＝32n＋2n－3. 18．(12分)若数列{an}的`前n项和Sn＝2n. (1)求{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满⾜b1＝－1，bn＋1＝bn＋(2n－1)，且cn＝anbnn，求数列{cn}的通项公式及其前n 项和Tn. 解析：(1)由题意Sn＝2n， 得Sn－1＝2n－1(n≥2)， 两式相减，得an＝2n－2n－1＝2n－1(n≥2)． 当n＝1时，21－1＝1≠S1＝a1＝2. ∴an＝2 (n＝1)，2n－1 (n≥2). (2)∵bn＋1＝bn＋(2n－1)， ∴b2－b1＝1， b3－b2＝3， b4－b3＝5， … bn－bn－1＝2n－3. 以上各式相加，得 bn－b1＝1＋3＋5＋…＋(2n－3) ＝(n－1)(1＋2n－3)2＝(n－1)2. ∵b1＝－1，∴bn＝n2－2n， ∴cn＝－2 (n＝1)，(n－2)×2n－1 (n≥2)， ∴Tn＝－2＋0×21＋1×22＋2×23＋…＋(n－2)×2n－1， ∴2Tn＝－4＋0×22＋1×23＋2×24＋…＋(n－2)×2n. ∴－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－1－(n－2)×2n ＝2(1－2n－1)1－2－(n－2)×2n ＝2n－2－(n－2)×2n ＝－2－(n－3)×2n. ∴Tn＝2＋(n－3)×2n. 19．(12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3＋S5＝50，a1，a4，a13成等⽐数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若从数列{an}中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n项，…，按原来顺序组成⼀个新数列{bn}，记该数列的前n项和为Tn，求Tn的表达式． 解析：(1)依题意，得 3a1＋3×22d＋5a1＋5×42d＝50，(a1＋3d)2＝a1(a1＋12d)，解得a1＝3，d＝2. ∴an＝a1＋(n－1)d＝3＋2(n－1)＝2n＋1， 即an＝2n＋1. (2)由已知，得bn＝a2n＝2×2n＋1＝2n＋1＋1， ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝(22＋1)＋(23＋1)＋…＋(2n＋1＋1) ＝4(1－2n)1－2＋n＝2n＋2－4＋n. 20．(12分)设数列{an}的前n项和为Sn，且ban－2n＝(b－1)Sn. (1)证明：当b＝2时，{an－n2n－1}是等⽐数列； (2)求通项an. 新课标第⼀⽹ 解析：由题意知，a1＝2，且ban－2n＝(b－1)Sn， ban＋1－2n＋1＝(b－1)Sn＋1， 两式相减，得b(an＋1－an)－2n＝(b－1)an＋1， 即an＋1＝ban＋2n.① (1)当b＝2时，由①知，an＋1＝2an＋2n. 于是an＋1－(n＋1)2n＝2an＋2n－(n＋1)2n ＝2an－n2n－1. ⼜a1－ 120＝1≠0， ∴{an－n2n－1}是⾸项为1，公⽐为2的等⽐数列． (2)当b＝2时， 由(1)知，an－n2n－1＝2n－1，即an＝(n＋1)2n－1 当b≠2时，由①得 an ＋1－12－b2n＋1＝ban＋2n－12－b2n＋1＝ban－b2－b2n ＝ban－12－b2n， 因此an＋1－12－b2n＋1＝ban－12－b2n＝2(1－b)2－bbn. 得an＝2， n＝1，12－b[2n＋(2－2b)bn－1]， n≥2. 21．(12分)某地在抗洪抢险中接到预报，24⼩时后⼜⼀个超历史最⾼⽔位的洪峰到达，为保证万⽆⼀失，抗洪指挥部决定在24⼩时内另筑起⼀道堤作为第⼆道防线．经计算，如果有 20辆⼤型翻⽃车同时作业25⼩时，可以筑起第⼆道防线，但是除了现有的⼀辆车可以⽴即投⼊作业外，其余车辆需从各处紧急抽调，每隔20分钟就有⼀辆车到达并投⼊⼯作．问指挥部⾄少还需组织多少辆车这样陆续⼯作，才能保证24⼩时内完成第⼆道防线，请说明理由． 解析：设从现有这辆车投⼊⼯作算起，各车的⼯作时间依次组成数列{an}，则an－an－1＝－13. 所以各车的⼯作时间构成⾸项为24，公差为－13的等差数列，由题知，24⼩时内最多可抽调72辆车． 设还需组织(n－1)辆车，则 a1＋a2＋…＋an＝24n＋n(n－1)2×－13≥20×25. 所以n2－145n＋3 000≤0， 解得25≤n≤120，且n≤73. 所以nmin＝25，n－1＝24. 故⾄少还需组织24辆车陆续⼯作，才能保证在24⼩时内完成第⼆道防线． 22．(12分)已知点集L＝{(x，y)|y＝mn}，其中m＝(2x－2b,1)，n＝(1,1＋2b)，点列Pn(an，bn)在点集L中，P1为L的轨迹与y轴的交点，已知数列{an}为等差数列，且公差为1，n∈N*. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (3)设cn＝5nan|PnPn＋1|(n≥2)，求c2＋c3＋c4＋…＋cn的值． 解析：(1)由y＝mn，m＝(2x－2b,1)，n＝(1,1＋2b)， 得y＝2x＋1，即L：y＝2x＋1. ∵P1为L的轨迹与y轴的交点， ∴P1(0,1)，则a1＝0，b1＝1. ∵数列{an}为等差数列，且公差为1， ∴an＝n－1(n∈N*) ． 代⼊y＝2x＋1，得bn＝2n－1(n∈N*)． (2)∵Pn(n－1,2n－1)，∴Pn＋1(n,2n＋1)． ＝5n2－n－1＝5n－1102－2120. ∵n∈N*， (3)当n≥2时，Pn(n－1,2n－1)， ∴c2＋c3＋…＋cn ＝1－12＋12－13＋…＋1n－1－1n＝1－1n.。

数列综合题一、填空题1．各项都是正数的等比数列{an }，公比q≠1,a5,a7,a8成等差数列，则公比q=2．已知等差数列{an }，公差d≠0,a1,a5,a17成等比数列，则18621751aaaaaa++++=3．已知数列{an }满足Sn=1+na41,则an=4．已知二次函数f(x)=n(n+1)x2-(2n+1)x+1,当n=1,2,…，12时，这些函数的图像在x轴上截得的线段长度之和为5.已知数列{an }的通项公式为an=log(n+1)(n+2),则它的前n项之积为6.数列{(-1)n-1n2}的前n项之和为7．一种堆垛方式，最高一层2个物品，第二层6个物品，第三层12个物品，第四层20个物品，第五层30个物品，…，当堆到第n层时的物品的个数为8．已知数列1，1，2，…，它的各项由一个等比数列与一个首项为0的等差数列的对应项相加而得到，则该数列前10项之和为9．在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为10．已知整数对的序列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），……，则第60个数对为11．设等差数列｛a n｝的前n项和是S n，若a5=20－a16，则S20=___________．12．若｛a n｝是等比数列，a4·a7= －512，a3+ a8=124，且公比q为整数，则a10等于___________．13．在数列｛a n｝中，a1=1，当n≥2时，a1 a2…a n=n2恒成立，则a3+ a5=___________．14．设｛a n｝是首项为1的正项数列，且（n＋1）21+na－na2n＋a n+1 a n=0（n=1，2，3，…），则它的通项公式是a n=___________．二.解答题1.已知数列{an }的通项公式为an=3n+2n+(2n-1),求前n项和。

A.37,A . 数列专题数列1,3,7,15, 的通项公式a n等于(2n B . 2n1各项不为零的等差数列则b6b8=(2 B已知等差数列44等差数列a n前n项和，则A .C. 110 90 —A 、.2n.2n1a n}中, 22a3- a? + 2a ii = 0,数列｛b n｝是等比数列，且b7={a n}，a6.33的公差dSo的值为(.162，则此数列的前11 项的和S I122 .110 , a120,且a3, a7 , a g成等比数列.S n为a n的90.110已知等比数列｛a n｝满足a1 a23,64 .81 C .128 D已知an是等比数列, a1 4,a4a2 a3 6，则.2431，则公比2a?q=(已知数列a n 是公差不为0的等差数列，a1 2，且a2, a3, a4 1成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)设b n2--------- ，求数列bl的前n项和na n 2S n.8.设数列｛a n｝是首项为1 ,公差为d的等差数列，且印赴1,a3 1是等比数列｛b n｝的(1)求｛a n｝的通项公式;(2)求数列｛b n｝的前n项和T n.9.已知等差数列｛a n｝满足a3=5, a s- 2a2=3,又等比数列｛b n｝中，b i=3且公比q=3.(1)求数列｛a n｝, ｛b n｝的通项公式；(2)若G=a n+b n,求数列｛c n｝的前n项和S n.10 .设等比数列a n的前n项和为S n，已知a26, 6a1a330，求a n和S n。

11.已知｛a n｝是公差不为零的等差数列，a i = 1,且a i, a3, a o成等比数列.(I)求数列｛a n｝的通项；(n)求数列｛2an｝的前n项和S n.12 .已知等差数列 a n (n N )的前n 项和为S n ，且a 3 5,83 9 . (I)求数列a n 的通项公式;(II)设等比数列 b n (n N )，若b 2 a 2,b 3 85，求数列b n 的前n 项和 公差为-2的等差数列，S n 为｛ a n ｝的前n 项和。

数列测试题及答案解析一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 数列{an}是等差数列，且a1=2，公差d=3，则a5的值为：A. 11B. 14C. 17D. 20答案：B2. 下列数列中，不是等比数列的是：A. 1, 2, 4, 8, ...B. 2, 4, 8, 16, ...C. 1, 1/2, 1/4, 1/8, ...D. 3, 6, 12, 24, ...答案：D3. 数列{bn}的通项公式为bn=2n-1，该数列的前n项和Sn为：A. n^2B. n^2 - 1C. 2^(n+1) - 1D. 2^(n+1) - 2答案：C4. 等差数列{an}中，若a2+a4=10，则a3的值为：A. 2B. 3C. 4D. 5答案：C5. 数列{cn}的前n项和为Tn，若Tn=n^2+n，则c1+c2+c3+...+c10的值为：A. 100B. 110C. 120D. 130答案：B6. 数列{dn}的前n项和为Sn，若Sn=n^2-n，则dn的通项公式为：A. 2n-1B. 2nC. n-1D. n答案：C7. 数列{en}中，e1=1，e2=2，且对于任意的n∈N*，有en+1/en=n+1，则e3的值为：A. 3B. 4C. 5D. 6答案：A8. 数列{fn}是等比数列，且f1=1，f3=8，则f2的值为：A. 2B. 4C. 8D. 16答案：B9. 数列{gn}中，g1=1，g2=3，且对于任意的n∈N*，有gn+1=2gn+1，则g3的值为：A. 7B. 9C. 11D. 13答案：A10. 数列{hn}的前n项和为Tn，若Tn=2^n-1，则hn的通项公式为：A. 2^(n-1)B. 2^nC. 2^(n-1) - 1D. 2^n - 1答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 等差数列{an}中，若a1=3，d=2，则a10=________。

答案：1512. 数列{bn}的前n项和为Tn，若Tn=n^2+2n，则bn的通项公式为bn=________。

数列基础测试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 等差数列{a_n}的首项为1，公差为2，那么a_5的值为：A. 9B. 10C. 11D. 122. 等比数列{b_n}的首项为2，公比为3，那么b_4的值为：A. 24B. 54C. 72D. 1083. 数列{c_n}满足c_1=1，且c_{n+1}=2c_n+1，那么c_3的值为：A. 5B. 9C. 17D. 334. 已知数列{d_n}是等差数列，且d_1=3，d_3=9，那么d_5的值为：A. 15B. 18C. 21D. 245. 数列{e_n}是等比数列，且e_1=8，e_3=64，那么e_5的值为：A. 512C. 128D. 64二、填空题（每题3分，共15分）6. 等差数列{f_n}的首项为5，公差为-1，那么f_7=________。

7. 等比数列{g_n}的首项为3，公比为-2，那么g_5=________。

8. 数列{h_n}满足h_1=2，且h_{n+1}=3h_n-2，那么h_4=________。

9. 已知数列{i_n}是等差数列，且i_2=7，i_5=16，那么i_8=________。

10. 数列{j_n}是等比数列，且j_2=6，j_4=36，那么j_6=________。

三、解答题（每题10分，共20分）11. 已知数列{k_n}是等差数列，且k_1=2，k_3=10，求k_5的值。

12. 已知数列{l_n}是等比数列，且l_1=4，l_3=36，求l_5的值。

答案：一、选择题1. B2. D3. C4. C5. A二、填空题6. 28. 339. 3110. 576三、解答题11. 等差数列的公差d=k_3-k_1=10-2=8，所以k_5=k_3+2d=10+2*8=26。

12. 等比数列的公比q=l_3/l_1=36/4=9，所以l_5=l_3*q^2=36*9^2=2916。

基础练习一、选择题1.已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =225a ，2a =1，则1a = A. 21 B. 22 C. 2 D.22.已知为等差数列，，则等于 A. -1 B. 1 C. 3 D.73.公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若4a 是37a a 与的等比中项, 832S =,则10S 等于A. 18B. 24C. 60D. 90 .4设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于A ．13B ．35C ．49D ． 635.已知{}n a 为等差数列，且7a －24a ＝－1, 3a ＝0,则公差d ＝（A ）－2 （B ）－12 （C ）12（D ）2 6.等差数列｛n a ｝的公差不为零，首项1a ＝1，2a 是1a 和5a 的等比中项，则数列的前10项之和是A. 90B. 100C. 145D. 1909.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2110m m ma a a -++-=，2138m S -=,则m = （A ）38 （B ）20 （C ）10 （D ）9 .10.设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =A ．2744n n +B ．2533n n +C ．2324n n + D ．2n n +1.【答案】B 【解析】设公比为q ,由已知得()22841112a q a q a q ⋅=,即22q =,又因为等比数列}{n a 的公比为正数，所以q =故212a a q ===,选B 2.【解析】∵135105a a a ++=即33105a =∴335a =同理可得433a =∴公差432d a a =-=-∴204(204)1a a d =+-⨯=.选B 。

【答案】B 3.答案：C 【解析】由2437a a a =得2111(3)(2)(6)a d a d a d +=++得1230a d +=,再由81568322S a d =+=得 1278a d +=则12,3d a ==-,所以1019010602S a d =+=,.故选C 4.解: 172677()7()7(311)49.222a a a a S +++====故选C. 或由21161315112a a d a a a d d =+==⎧⎧⇒⎨⎨=+==⎩⎩, 716213.a =+⨯= 所以1777()7(113)49.22a a S ++===故选C. 5.【解析】a 7－2a 4＝a 3＋4d －2(a 3＋d)＝2d ＝－1 ⇒ d ＝－12【答案】B 6.【答案】B 【解析】设公差为d ，则)41(1)1(2d d +⋅=+.∵d ≠0，解得d ＝2，∴10S ＝1007.【答案】B【解析】可分别求得1122⎫+⎪=⎬⎪⎪⎩⎭，1]12=.则等比数列性质易得三者构成等比数列. 8.【答案】C 【解析】由图形可得三角形数构成的数列通项(1)2n n a n =+，同理可得正方形数构成的数列通项2n b n =，则由2n b n =()n N +∈可排除A 、D ，又由(1)2nn a n =+知n a 必为奇数，故选C. 9.【答案】C 【解析】因为{}n a 是等差数列，所以，112m m m a a a -++=，由2110m m m a a a -++-=，得：2ma －2m a ＝0，所以，m a ＝2，又2138m S -=，即2))(12(121-+-m a a m ＝38，即（2m －1）×2＝38，解得m ＝10，故选.C 。

高中数列基础试题及答案一、选择题1. 已知数列\( \{a_n\} \)的前几项为1, 2, 3, ..., 则该数列的第10项是多少？A. 10B. 11C. 12D. 132. 一个等差数列的首项为2，公差为3，求第5项的值。

A. 17B. 14B. 13D. 12二、填空题3. 若数列\( \{a_n\} \)是等比数列，首项为2，公比为3，求第5项的值。

4. 已知数列\( \{b_n\} \)的通项公式为\( b_n = 2^n - 1 \)，求第8项的值。

三、解答题5. 已知数列\( \{c_n\} \)的前几项为1, 4, 9, 16, ..., 请找出该数列的通项公式，并求出第10项的值。

6. 一个等差数列的前5项之和为40，首项为2，求公差。

答案一、选择题1. 答案：A. 10解析：这是一个等差数列，首项\( a_1 = 1 \)，公差\( d = 1 \)，根据等差数列的通项公式\( a_n = a_1 + (n - 1)d \)，代入n=10得\( a_{10} = 1 + 9 = 10 \)。

2. 答案：A. 17解析：根据等差数列的通项公式\( a_n = a_1 + (n - 1)d \)，代入n=5，\( a_1 = 2 \)，\( d = 3 \)得\( a_5 = 2 + 4 \times 3 = 14 \)，但选项中没有14，因此需要检查题目是否有误。

二、填空题3. 答案：162解析：等比数列的通项公式为\( a_n = a_1 \times r^{(n-1)} \)，代入n=5，\( a_1 = 2 \)，\( r = 3 \)得\( a_5 = 2 \times 3^4 = 162 \)。

4. 答案：255解析：根据通项公式\( b_n = 2^n - 1 \)，代入n=8得\( b_8 =2^8 - 1 = 256 - 1 = 255 \)。

三、解答题5. 解答：该数列的通项公式为\( c_n = n^2 \)。

必修5《数列》单元测试卷一、选择题（每小题3分,共33分）1、数列⋯--,924,715,58,1的一个通项公式是A ．12)1(3++-=n nn a nnB ．12)3()1(++-=n n n a nnC ．121)1()1(2--+-=n n a n nD ．12)2()1(++-=n n n a nn 2、已知数列｛a n ｝的通项公式)(43*2N n n n a n ∈--=,则a 4等于( ). A 1 B 2 C 3 D 0 3、在等比数列}{n a 中,,8,1641=-=a a 则=7a ( )A 4-B 4±C 2-D 2±4、已知等差数列}{n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则2a 等于( ) A 4- B 6- C 8- D 10-5、等比数列｛a n ｝的前3项的和等于首项的3倍，则该等比数列的公比为 （ ）A ．－2B ．1C ．－2或1D ．2或－16、等差数列}a {n 中，已知前15项的和90S 15=，则8a 等于（ ）．A ．245B ．12C ．445 D ．67、已知等比数列{a n } 的前n 项和为S n ， 若S 4=1，S 8=4，则a 13+a 14+a 15+a 16=（ ）．A ．7B ．16C ．27D ．648、一个三角形的三个内角A 、B 、C 成等差数列，那么()tan A C +的值是A B ．C ． D ．不确定 9、若一个凸多边形的内角度数成等差数列，最小角为100°，最大角为140°，这个凸多边形的边数为A ．6B ．8C ．10D ．12 10、 在等比数列{a n }中，4S =1，8S =3，则20191817a a a a +++的值是A ．14B ．16C ．18D ．2011、计算机的成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低31，现在价格为8100元的计算机，9年后的价格可降为（ ）A ．2400元B ．900元C ．300元D ．3600元二、填空题（每小题4分,共20分）12、已知等比数列｛n a ｝中,1a =2,4a =54,则该等比数列的通项公式n a = 13、 等比数列的公比为2, 且前4项之和等于30, 那么前8项之和等于 14、数列11111,2,3,,,2482n n ++++……的前n 项和是 ． 15、 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案： 则第n 个图案中有白色地面砖_________________块.16、在数列{}n a 中，11a =，且对于任意自然数n ，都有1n n a a n +=+，则100a ＝ 三、解答题17、（本小题满分8分）等差数列{}n a 中，已知33,4,31521==+=n a a a a ，试求n 的值18、（本小题满分8分）在等比数列{}n a 中，5162a =，公比3q =，前n 项和242n S =，求首项1a 和项数n ．19、（本小题满分10分）已知：等差数列{n a }中，4a =14，前10项和18510=S ． （1）求n a ；（2）将{n a }中的第2项，第4项，…，第n 2项按原来的顺序排成一个新数列，求此数列的前n 项和n G ．20、（本小题满分10分）某城市2001年底人口为500万，人均住房面积为6 m 2，如果该城市每年人口平均增长率为1%，则从2002年起，每年平均需新增住房面积为多少万m 2，才能使2020年底该城市人均住房面积至少为24m 2？(可参考的数据 1.0118=1.20，1.0119=1.21，1.0120=1.22).21、（本小题满分11分）已知等差数列{a n }的首项a 1=1,公差d >0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列{b n }的第二项，第三项，第四项． （1）求数列{a n }与{b n }的通项公式； （2）设数列{c n }对任意自然数n ，均有1332211+=+⋯⋯+++n nn a b c b c b c b c ， 求c 1+c 2+c 3+……+c 2006值．参考答案12、3．2n-1 13、51014、n （n+1）+1-2n 15、4n+2 16、495117、d=32，n=5018、解：由已知，得51113162,(13)242,13n a a -⎧⋅=⎪⎨-=⎪-⎩①②由①得181162a =，解得 12a =．将12a =代入②得()21324213n =-－，即 3243n =，解得 n ＝5．∴ 数列{}n a 的首项12a =，项数n ＝5．19、解析：(1)、由41014185a S =⎧⎨=⎩ ∴ 11314,1101099185,2a d a d +=⎧⎪⎨+⋅⋅⋅=⎪⎩ 153a d =⎧⎨=⎩ 23+=∴n a n (2)、设新数列为{n b }，由已知，223+⋅=n n bn n G n n n 2)12(62)2222(3321+-=+++++=∴ *)(,62231N n n n ∈-+⋅=+20．解 设从2002年起，每年平均需新增住房面积为x 万m 2，则由题设可得下列不等式19500619500(10.01)24x ⨯+≥⨯+⨯解得605x ≥.答 设从2002年起，每年平均需新增住房面积为605万m 2.21、解：（1）由题意得（a 1+d ）(a 1+13d )=(a 1+4d )2(d >0) 解得d =2,∴a n =2n -1,b n =3n -1.（2）当n =1时，c 1=3 当n ≥2时，,1n n n n a a b c -=+ 132-⋅=n n c ，⎩⎨⎧≥⋅==-)2(32)1(31n n c n n22005200612200632323233c c c ∴++⋯+=+⨯+⨯+⋯+⨯=。

数列考试题及答案一、选择题1. 已知数列{a_n}是等差数列，且a_1=2，a_4=8，则a_7的值为（）。

A. 14B. 16C. 18D. 20答案：A解析：根据等差数列的性质，a_7 = a_4 + 3d，其中d为公差。

由a_1=2和a_4=8，可得d = (a_4 - a_1) / 3 = (8 - 2) / 3 = 2。

因此，a_7 = a_4 + 3d = 8 + 3*2 = 14。

2. 已知数列{a_n}是等比数列，且a_1=3，a_3=27，则a_5的值为（）。

A. 81B. 243C. 729D. 2187答案：C解析：根据等比数列的性质，a_5 = a_3 * q^2，其中q为公比。

由a_1=3和a_3=27，可得q = a_3 / a_1 = 27 / 3 = 9。

因此，a_5 = a_3 * q^2 = 27 * 9^2 = 729。

二、填空题3. 已知数列{a_n}的前n项和S_n = n^2 + 2n，求a_5的值。

答案：12解析：根据数列的前n项和公式，a_n = S_n - S_{n-1}。

因此，a_5 = S_5 - S_4 = (5^2 + 2*5) - (4^2 + 2*4) = 25 + 10 - 16 - 8 = 12。

4. 已知数列{a_n}的通项公式为a_n = 2^n - 1，求前5项的和。

答案：31解析：根据通项公式，前5项分别为a_1 = 2^1 - 1 = 1，a_2 = 2^2 - 1 = 3，a_3 = 2^3 - 1 = 7，a_4 = 2^4 - 1 = 15，a_5 = 2^5 - 1 = 31。

因此，前5项的和为1 + 3 + 7 + 15 + 31 = 57。

三、解答题5. 已知数列{a_n}满足a_1 = 1，a_{n+1} = 2a_n + 1，求a_5的值。

答案：23a_5的值。

a_2 = 2a_1 + 1 = 2*1 + 1 = 3a_3 = 2a_2 + 1 = 2*3 + 1 = 7a_4 = 2a_3 + 1 = 2*7 + 1 = 15a_5 = 2a_4 + 1 = 2*15 + 1 = 316. 已知数列{a_n}的前n项和S_n = 3^n - 1，求a_4的值。

数学数列测试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 等差数列{a_n}的首项a_1=1，公差d=2，求a_5的值。

A. 5B. 7C. 9D. 11答案：D2. 等比数列{b_n}的首项b_1=3，公比q=2，求b_3的值。

A. 12B. 15C. 18D. 24答案：D3. 数列{c_n}满足c_1=2，c_{n+1}=3c_n+1，求c_3的值。

A. 17B. 19C. 23D. 29答案：C4. 数列{d_n}的通项公式为d_n=n^2-n，求数列的前5项和S_5。

A. 25B. 30C. 35D. 40答案：C5. 数列{e_n}的前n项和为E_n，且E_n=2^n-1，求e_3的值。

A. 4B. 6C. 7D. 8答案：C6. 数列{f_n}的前n项和为F_n，且F_n=n^2，求f_4的值。

A. 12B. 14C. 16D. 18答案：C7. 数列{g_n}满足g_1=1，g_{n+1}=g_n+2，求g_5的值。

A. 9B. 10C. 11D. 12答案：A8. 数列{h_n}的通项公式为h_n=2n-1，求数列的前4项和S_4。

A. 10B. 12C. 14D. 16答案：B9. 数列{i_n}的前n项和为I_n，且I_n=n^2+n，求i_2的值。

B. 4C. 5D. 6答案：C10. 数列{j_n}满足j_1=2，j_{n+1}=j_n+3，求j_4的值。

A. 11B. 12C. 13D. 14答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 等差数列{k_n}的首项k_1=3，公差d=-1，求k_4的值。

____答案：02. 等比数列{l_n}的首项l_1=4，公比q=1/2，求l_3的值。

____答案：13. 数列{m_n}满足m_1=5，m_{n+1}=2m_n-1，求m_3的值。

____答案：94. 数列{n_n}的通项公式为n_n=3n+2，求n_5的值。

____答案：175. 数列{o_n}的前n项和为O_n，且O_n=3n^2+2n，求o_4的值。

数列1．{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2005，则序号n 等于()．A ．667B ．668C ．669D ．6702．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝()．A ．33B ．72C ．84D ．1893．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则()．4m －n ｜6.0成立9．已知数列－1，1，2，－4成等差数列，－1，1，2，3，－4成等比数列，则212b a 的值是()．A ．21B ．－21C ．－21或21D ．4110．在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n －1－2n a ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，若S 2n －1＝38，则n ＝()．A ．38B ．20C ．10D ．9二、填空题11．设f (x )＝221+x ，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为. 12．已知等比数列{a n }中，(1)若a 3·a 4·a 5＝8，则a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝． (2)若a 1＋a 2＝324，a 3＋a 4＝36，则a 5＋a 6＝． (3)若S 4＝2，S 8＝6，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝.13.16(2)设S n 与b n20．已知数列{a n }是首项为a 且公比不等于1的等比数列，S n 为其前n 项和，a 1，2a 7，3a 4成等差数列，求证：12S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列.一、选择题1．{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2005，则序号n 等于()．A ．667B ．668C ．669D ．6702．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝()．A ．33B ．72C ．84D ．1893．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则()． A ．a 1a 8＞a 4a 5B ．a 1a 8＜a 4a 5C ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5D ．a 1a 8＝a 4a 54．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为41的等差数列，则｜m －n ｜等于()．A ．1B ．43C ．21D ．835．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为().6.成立9的值二、填空题11．设f (x )＝221+x，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为. 12．已知等比数列{a n }中，(1)若a 3·a 4·a 5＝8，则a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝． (2)若a 1＋a 2＝324，a 3＋a 4＝36，则a 5＋a 6＝．(3)若S 4＝2，S 8＝6，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝.13．在38和227之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为． 14．在等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则此数列前13项之和为.15．在等差数列{a n }中，a 5＝3，a 6＝－2，则a 4＋a 5＋…＋a 10＝.16．设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f (n )表示这n条直线交点的个数，则f (4)＝；当n ＞4时，f (n )＝．(2)设S n 与b n203a 4成等。

数列一、选择题（本大题共18小题，共90.0分）1. 已知等差数列{a n }满足a 1+a 5=10，a 8=3a 3，则数列{a n }的前10项的和等于( )A. 10B. 11C. 100D. 1102. 已知等差数列{a n }和等差数列{b n }的前n 项和分别为S n ，T n 且(n +1)S n =(7n +23)T n ，则使a nb n 为整数的正整数n 的个数是( )A. 2B. 3C. 4D. 53. 数列0,0,0,…,0,…是( )A. 是等差数列但不是等比数列B. 是等比数列但不是等差数列C. 既是等差数列又是等比数列D. 既不是等差数列也不是等比数列4. 设等比数列{a n }中，每项均是正数，且a 5a 6=81，则A. 20B. −20C. −4D. −55. 数列112，314，518，7116，…，(2n −1)+12n ，…的前n 项和S n 的值等于( )A. n 2+1−12n B. 2n 2−n +1−12n C. n 2+1−12n−1D. n 2−n +1−12n6. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,S n =2a n+1，则S n =A. 2n−1B. (32)n−1C. (23)n−1D. 12n−17.( )A. 32−1nB. 2−3n+1C. 1−1n+1D. 32+1n8. 两数√2+1与√2−1的等比中项是( )。

A. −1或1B. −1C. 1D. 129. 在等差数列{a n }中，已知a 5>0，a 4+a 7<0，则{a n }的前n 项和S n 的最大值为( )A. S 4B. S 5C. S 6D. S 710. 数列1，11+2，11+2+3，…，11+2+3+⋯+n 的前n 项和为95，则正整数n 的值为( )A. 6B. 8C. 9D. 10A. 12B. 1C. −1D. 212.已知数列{a n}中，a1=1，前n项和为S n，且点P(a n,a n+1)(n∈N∗)在直线x−y+1=0上，则1S1+1S2+1S3+...+1S n=()A. n(n+1)2B. 2n(n+1)C. 2nn+1D. n2(n+1)13.在数列{a n}中，a1=2，a n+1n+1=a nn+ln(1+1n)，则a n=()A. 2+nlnnB. 2n+(n−1)lnnC. 2n+nlnnD. 1+n+nlnn14.在数列{a n}中，a2=3，a3=5，且a n+2=2a n+1−a n，则a6=()A. 9B. 11C. 13D. 1515.若数列{a n}的通项公式是a n=(−1)n(3n−2)，则a1+a2+⋯+a2018=()A. 1009B. 3027C. 5217D. 610616.等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+⋯+log3a10=()A. 12B. 10C. 8D. 2+log3517.数列{a n}的通项公式a n=√n+√n+1，若前n项的和为10，则项数为()A. 11B. 99C. 120D. 12118.等差数列{a n}的前n项和为S n，S100>0，S101<0，则满足a n a n+1<0的n=()A. 50B. 51C. 100D. 101二、填空题（本大题共9小题，共45.0分）19.设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=−1,a n+1=S n S n+1，则S n=．20.设S n为等比数列{a n}的前n项和，已知S4=14，S8=56，则S16=____________．21.已知{a n}是递增数列，且对于任意的n∈N∗,a n=n2+λn恒成立，则实数λ的取值范围是_________．22.已知数列{a n}的前n项和为S n，且，则{a n}的通项为______．23.已知数列{a n}的前n项和S n=2n−3，则数列{a n}的通项公式为_________．24.若数列{a n}满足a1=12，a1+2a2+3a3+⋅⋅⋅+na n=n2a n，则a2019=______．25.设数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1+2a2+⋯+2n−1a n=n，则S5=________．26.若f(x)+f(1−x)=4，a n=f(0)+f(1n )+⋯+f(n−1n)+f(1)(n∈N+)，则数列{a n}的通项公式为______．三、解答题（本大题共8小题，共96.0分）28. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足3S n =2a n +1．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足b n =(n +1)a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．29. 已知等差数列{a n }中，a 3=3，a 2+2，a 4，a 6−2顺次成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)记b n =(−1)n a 2n+1a n a n+1，{b n }的前n 项和S n ，求S 2n ．30. 已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=2a na n +2，(n ∈N ∗)，b n =1a n． (1)证明数列{b n }为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．31.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=81，a3+a5=14．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=1a n a n+1，若{b n}的前n项和为T n，证明：T n<12．32.设数列{a n}的前n项和为S n.已知a n>0，a n2+2a n=4S n+3．(1)求{a n}的通项公式．(2)设b n=1a n⋅a n+1，求数列{b n}的前n项和．33.已知等比数列{a n}满足a n+1=a n+2n．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式：(Ⅱ)若b n=log2a na n+1，求数列{b n}的前n项和S n．34.在数列{a n}中，已知a1=35,a n=2−1a n−1(n≥2,n∈N∗)，数列{b n}满足b n=1a n−1(n∈N∗)．(1)求证：数列{b n}是等差数列；(2)求{a n}的通项公式a n．35.已知数列{a n}满足，且a1=8．(1)证明：数列为等比数列；(2)设，记数列{b n}的前n项和为T n，若对任意n∈N∗,m≥T n恒成立，求m的取值范围．2.答案和解析1.【答案】C解：设等差数列{a n }的公差为d ， ∵a 1+a 5=10，a 8=3a 3，∴2a 1+4d =10，a 1+7d =3(a 1+2d)， 解得a 1=1，d =2． ∴S 10=10a 1+10×92d =10+90=100．2.【答案】C解：由题意，可得S nT n=7n+23n+1，则a n b n=2a n2b n=n(a 1+a 2n−1)2n(b 1+b 2n−1)2=S2n−1T 2n−1=14n+162n =7n+8n=7+8n ，经验证，知当n =1，2，4，8时，a nb n 为整数， 即使a nb n 为整数的正整数n 的个数是4．3.【答案】A解：数列0，0，0，…，0，…是无穷数列，从第二项开始起，每一项与它前一项的差都等于常数0，符合等差数列的定义，所以，数列0，0，0，…，0，…是等差数列，根据等比数列的定义可知，等比数列中不含有为0的项，所以，数列0，0，0，…，0，…不是等比数列． 故选A ．4.【答案】B解：∵等比数列{a n }中，每项均是正数，a 5a 6=81， ∴a 5a 6=a 4a 7=a 3a 8=a 2a 9=a 1a 10=81， ∴log 13a 1+log 13a 2+⋯+log 13a 10．，=log 13(a 5a 6)5，=5log 1381，=−20．解：该数列的通项公式为a n =(2n −1)+12n ，∴S n =[1+3+5+⋯+(2n −1)]+(12+122+123+⋯+12n )=n [1+(2n −1)]2+12(1−12n )1−12=n 2+1−12n．6.【答案】B解：由S n =2a n+1可得当n >1时，S n−1=2a n ,，两式相减可得： 当n >1时，s n −s n−1=a n =2a n+1−2a n ， 所以a n+1=32a n ; 因为a 1=1，所以a n =(32)n−1．故选B ．7.【答案】A解：∵a n+1−a n =1n (n+1)=1n −1n+1，∴a 2−a 1=1−12,a 3−a 2=12−13,...,a n −a n−1=1n−1−1n ， 以上n −1式相加，得a n −a 1=1−1n ， ∵a 1=12，∴a n =32−1n ． 故选A ．8.【答案】A解：设√2+1与√2−1的等比中项是x ，则满足x 2=(√2+1)(√2−1)=(√2)2−1=2−1，则x =1或x =−1，9.【答案】B 10.【答案】C解：设a n =11+2+3+⋯+n =2(n+1)n =2(1n −1n+1)，∴该数列的前n 项和为S n =2(1−12+12−13+⋯+1n −1n+1)=2nn+1， 令2nn+1=95，解得n =9．解：∵在数列{a n }中，a 1=12，a n =1−1a n−1(n ≥2,n ∈N +)，∴a 2=1−1a 1=1−2=−1，a 3=1−1−1=2， a 4=1−12=12，∴{a n }是周期为3的周期数列， ∴2020=3×673+1， ∴a 2020=a 1=12．12.【答案】C解：∵点P(a n ,a n+1)(n ∈N ∗)在直线x −y +1=0上∴a n −a n+1+1=0∴数列{a n }是以1为首项，以1为公差的等差数列．∴a n =n∴s n =n(n +1)2∴1s n =2n(n +1)=2(1n −1n +1) 1S 1+1S 2+1S 3+⋯+1S n =2(1−12+12−13+⋯+1n −1n +1)=2n n +113.【答案】C解：由an+1n+1=a n n+ln(1+1n )，设ann =b n ，b 1=a 11=2，则a n+1n+1=b n+1，可得b n+1−b n =ln(n+1n)那么：b n −b n−1=ln(nn−1)，n ≥2，…b 2−b 1=ln 21，累加可得：b n −b 1=ln(21×32×……×nn−1)=lnn ． ∴b n =b 1+lnn =2+lnn ，当n =1也满足． 则a n =n(2+lnn)14.【答案】B因为a2=3，a3=5，所以a1=1，d=2，所以a6=a1+5d=11．15.【答案】B解：a n=(−1)n(3n−2)，则a1+a2+⋯+a2018=(−1+4)+(−7+10)+(−13+16)+⋯+(−6049+6052)=3+3+⋯+3=3×1009=3027．16.【答案】B解：∵a5a6=a4a7，∴a5a6+a4a7=2a5a6=18，∴a5a6=9，∴log3a1+log3a2+⋅⋅⋅+log3a10=log3(a5a6)5=5log39=10．17.【答案】C解：∵数列{a n}的通项公式是a n=√n+√n+1=√n+1−√n，∴其前n项的和为S n=(√2−1)+(√3−√2)+⋯+√n+1−√n=√n+1−1，即√n+1−1=10，则n+1=121，即n=120，18.【答案】A解：根据题意，等差数列{a n}中，S100>0，S101<0，则有S100=(a1+a100)×1002=50(a1+a100)=50(a50+a51)>0，则有a50+a51>0；又由S101=(a1+a101)×1012=101a51<0，则有a51<0；则有a50>0，若a n a n+1<0，必有n=50；19.【答案】−1n解：∵a n+1=S n S n+1，∴a n+1=S n+1−S n=S n S n+1，∴S n+1−S nS n+1S n =1S n−1S n+1=1，即1S n+1−1S n=−1，又a1=−1，即1S1=1a1=−1，∴数列{1S n }是以首项和公差均为−1的等差数列，∴1S n=−1−1(n−1)=−n，∴S n=−1n，解：设等比数列{a n }的公比为q ， 因为S 4=a 1(1−q 4)1−q =14，S 8=a 1(1−q 8)1−q=56，所以1−q 41−q 8=14，所以1+q 4=4，所以q 4=3， 又因为a 1(1−q 4)1−q=14，所以a 11−q =−7，所以S 16=a 1(1−q 16)1−q=a 11−q[1−(q 4)4]=560．故答案为560．21.【答案】(−3,+∞)解：解法一(定义法)因为{a n }是递增数列，所以对任意的n ∈N ∗，都有a n+1>a n ，即(n +1)2+λ(n +1)>n 2+λn ，整理得2n +1+λ>0，即λ>−(2n +1) (∗)． 因为n ≥1，所以−(2n +1)≤−3，要使不等式(∗)恒成立，只需λ>−3．解法二(函数法)设f (n )=a n =n 2+λn ，其图象的对称轴为直线n =−λ2，要使数列{a n }为递增数列，只需使定义在正整数集上的函数f (n )为增函数，故只需满足f (1)<f (2)，即λ>−3．22.【答案】a n ={3,n =12n +2 ,n ≥2,n ∈Z解：∵数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =n 2+3n −1， ∴a 1=S 1=3，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=n 2+3n −1−[(n −1)2+3(n −1)−1]=2n +2，则{a n }的通项公式为a n ={3,n =12n +2 ,n ≥2,n ∈Z，23.【答案】a n ={−1,n =1,2n−1,n ≥2解：当n ≥2时，a n =S n −S n−1=2n−1，当n =1时，a 1=S 1=−1，所以a n ={−1,n =1,2n−1,n ≥2.24.【答案】4673解：因为a 1+2a 2+3a 3+⋯+na n =n 2a n ，所以当n ≥2时，a 1+2a 2+3a 3+⋯+(n −1)a n−1=(n −1)2a n−1，所以na n =(n −1)a n−1=⋯=2a 2=a 1，由a 1=12可知a n =a 1n=12n，所以a 2019=122019=4673， 故答案为4673．25.【答案】3116解：a 1+2a 2+⋯+2n−2a n−1+2n−1a n =n ，➀ 当n ≥2时，a 1+2a 2+⋯+2n−2a n−1=n −1，➀ ➀−➀，得2n−1a n =1，即a n =12n−1， ➀ 当n =1时，a 1=1，满足➀式，∴{a n }是以a 1=1为首项，q =12为公比的等比数列，通项公式为a n =12， ∴S 5=1×[1−(12)5]1−12=2−(12)4=3116．26.【答案】a n =2(n +1)解：由f(x)+f(1−x)=4，可得自变量的和为1，则函数值的和为4， 由a n =f(0)+f(1n )+f(2n )+⋯+f(n−1n )+f(1)，a n =f(1)+f(n−1n )+f(n−2n)+⋯+f(1n )+f(0)，相加可得2a n =[f(0)+f(1)]+[f(1n )+f(n−1n)]+⋯+[f(1)+f(0)]=4+4+⋯+4=4(n +1)， 解得a n =2(n +1)． 故答案为a n =2(n +1)．27.【答案】3027解：∵f (x )+f (1−x )=3x−22x−1+3(1−x )−22(1−x )−1=3x−22x−1+1−3x1−2x =6x−32x−1=3， 设S =f(12019)+f(22019)+f(32019)+⋯+f(20182019)………①， 则S =f(20182019)+f(20172019)+f(20162019)+⋯+f(12019) ………②， ①+②得：2S =2018[f(12019)+f(20182019)]=2018×3， S =1009×3=3027，28.解：(1)当n =1时，3S 1=2a 1+1，可得a 1=1，当n ≥2时，由{3S n =2a n +13S n−1=2a n−1+1得3(S n −S n−1)=2a n −2a n−1，整理得a n =−2a n−1， 所以数列{a n }是公比为−2，首项为1的等比数列 从而a n =(−2)n−1．(2)由b n =(n +1)a n ，得b n =(n +1)×(−2)n−1，则：T n =2×(−2)0+3×(−2)1+4×(−2)2+⋯+(n +1)×(−2)n−1，……① 那么：−2T n =2×(−2)1+3×(−2)2+⋯+n ×(−2)n−1+(n +1)×(−2)n ，……② 由①−②得：3T n =2×(−2)0+(−2)1+(−2)2+⋯+(−2)n−1−(n +1)×(−2)n =1+1−(−2)n 1−(−2)−(n +1)×(−2)n =43−(n +43)×(−2)n ，从而：T n =49−3n+49×(−2)n ．29.解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 3=3，a 2+2，a 4，a 6−2顺次成等比数列，所以a 42=(a 2+2)(a 6−2)，所以(3+d)2=(5−d)(1+3d)，化简得d 2−2d +1=0，解得d =1．所以a 1=a 3−2d =1，所以a n =a 1+(n −1)d =1+(n −1)×1=n ． (2)由(1)得b n =(−1)n a 2n+1a n a n+1=(−1)n 2n+1n(n+1)=(−1)n (1n +1n+1)，所以S 2n =b 1+b 2+b 3+⋯+b 2n =−(1+12)+(12+13)−(13+14)+⋯+(12n +12n+1)=−1+12n+1=−2n2n+1．30.(1)证明：∵a 1≠0，且有a n+1=2ana n +2，(n ∈N ∗)， ∴ a n ≠0，又∵b n =1a n，∴b n+1=1an+1=a n +22a n=1a n+12=b n +12，即b n+1−b n =12，且b 1=1a 1=1，∴ 数列{b n }是首项为1，公差为12的等差数列． (2)解：由(1)知b n =1+n−12=n+12，即1a n=n+12⇒a n =2n+1．31.解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由S 9=9a 5=81，得a 5=9， 又由a 3+a 5=14，得a 3=5， 由上可得等差数列{a n }的公差d =2， ∴a n =a 3+(n −3)d =2n −1；(2)证明：由题意得，b n=1a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)．所以T n=12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)<12．32.解：(1)由a n2+2a n=4S n+3，可知a n+12+2a n+1=4S n+1+3，两式相减得a n+12−a n2+2(a n+1−a n)=4a n+1，即2(a n+1+a n)=a n+12−a n2=(a n+1+a n)(a n+1−a n)，∵a n>0，∴a n+1−a n=2，∵a12+2a1=4a1+3，∴a1=−1(舍)或a1=3，则{a n}是首项为3，公差d=2的等差数列，∴{a n}的通项公式a n=3+2(n−1)=2n+1；(2)∵a n=2n+1，∴b n=1a n a n+1=1 (2n+1)(2n+3)=12(1 2n+1−12n+3)，∴数列{b n}的前n项和T n=12(13−15+15−17+⋯+12n+1−12n+3)=12(13−12n+3)=n3(2n+3)．33.解：(Ⅰ)当n=1时，a2=a1+2，当n=2时，a3=a2+4=a1+6，∵数列{a n}是等比数列，∴a22=a1a3，即(a1+2)2=a1(a1+6)，解得a1=2.∴q=a2a1=42=2，∴a n=a1q n−1=2×2n−1=2n;(Ⅱ)∵b n=log2a na n+1=n2n+1，∴S n=122+223+324+⋯+n2n+1①，∴12S n=12+22+32+⋯+n2②，由①−②得12S n=122+123+124+⋯+12n+1−n2n+2=122(1−12n )1−12−n 2n+2 =12−12n+1−n 2n+2 ∴S n =1−n+22n+1.34.(1)证明：当n ≥2时，b n −b n−1=1a n −1−1a n−1−1=12−1a n−1−1−1an−1−1=a n−1−1a n−1−1=1， 所以数列{b n }为等差数列， 且首项为1a1−1=−52，公差为1；(2)解：由(1)知，所以1an−1=n −72=2n−72，故a n =1+22n−7=2n−52n−7．35.解：(1)证明：因为数列{a n }满足，所以a n+1=2a n −2，整理得a n+1−2=2(a n −2)， 因为a 1−2=6≠0且a n+1−2a n −2=2为常数，所以数列是以6为首项，2为公比的等比数列；(2)解：由(1)知a n −2=6·2n−1，即a n =3·2n +2， 所以b n =(−1)n a n(2n +1)(2n+1+1)=(−1)n (12n +1+12n+1+1)当n 为偶数时，；当n 为奇数时，；当n 为偶数时，是递减的，此时当时，T n 取最大值29，则m ⩾−29；当n 为奇数时，是递增的，由上式易得到T n <−13，则m ⩾−13． 综上，m 的取值范围是[−29,+∞)．。

根底练习一、1.等比数列{a n}的公比正数，且a3·a9=2a5，a2=1，a1=A .1B.2C.2222.等差数列，，等于A.-1B.1C.33.公差不零的等差数列{a n}的前n和S n.假设a4是a3与a7的等比中,S832,S10等于A.18B.24C.60D.90. 4S n是等差数列a n的前n和，a23，a611，S7等于A．13B．35C．49D．63a n等差数列，且a7－2a4＝－1,a3＝0,公差d＝〔A〕－2〔B〕－1〔C〕1〔D〕2226.等差数列｛a n｝的公差不零，首a1＝1，a2是a1和a5的等比中，数列的前10之和是A.90B.100C.145D.1907.x R,不超x的最大整数[x],令{x}=x-[x]，{51}，[51],51222A.是等差数列但不是等比数列B.是等比数列但不是等差数列C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列8.古希腊人常用小石子在沙上成各种性状来研究数，例如：.他研究1中的1，3，6，10，⋯，由于些数能表示成三角形，将其称三角形数;似地，称2中的1，4，9，16⋯的数成正方形数。

以下数中及三角形数又是正方形数的是9.等差数列a n的前n和S n，a m1a m1a m20，S2m138,m〔A〕38〔B〕20〔C〕10〔D〕9.10.设a n 是公差不为0的等差数列，a 1 2且a 1,a 3,a 6成等比数列，那么 a n 的前n 项和S n =A ．n 27n B ．n 25n C ．n 23n44332 4D ．n 2n11.等差数列｛a n ｝的公差不为零，首项a 1＝1，a 2 是a 1和a 5的等比中项，那么数列的前 10项之和是A.90B.100C.145D.190.二、填空题1，前n 项和为S n ，那么 S 4．1设等比数列{a n }的公比q a 422.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，那么S 4，S 8 S 4，S 12 S 8，S 16 S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，那么T 4，，，T16成等比数列．T123.在等差数列{a n }中,a 3 7,a 5 a 26,那么a 6____________.4.等比数列{a n }的公比q0,a 2=1，a n2 a n1 6a n ，那么{a n }的前4项和S =.4三．解答题1.点〔1，1〕是函数f(x)a x (a0,且a1〕的图象上一点，等比数列{a n }的前n 项和3为f(n)c ,数列{b n }(b n0)的首项为c ，且前n 项和S n 满足S n －S n1=S n + S n1〔n2〕.〔1〕求数列{ a n }和 {b n }的通项公式；〔〕假设数列 {1前n 项和为 1000的最小2}T n ，问T n >b nbn12021正整数n 是多少?.2设S n为数列{a n}的前n项和，S n kn2n，nN*，其中k是常数．〔I〕求a1及a n；〔II〕假设对于任意的mN*，a m，a2m，a4m成等比数列，求k的值．3.设数列{a n}的通项公式为a n pn q(n N,P0).数列{b n}定义如下：对于正整数m，b m是使得不等式a n m成立的所有n中的最小值.〔Ⅰ〕假设p1,q1，求b3；23〔Ⅱ〕假设p2,q1，求数列{b m}的前2m项和公式；〔Ⅲ〕是否存在p和q，使得b m3m2(m N)？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由.根底练习参考答案一、选择题1.【答案】B【解析】设公比为q,由得a1q 282a1q42,即q22,又因为等比数列{a n}的公比为a1q正数，所以q2a212,故a1,选Bq222.【解析】∵a1a3a5105即3a3105∴a335同理可得a433∴公差da4a32∴a20a4(204)d1.选B。

高中数学数列基础练习及参考答案一、填空题1. 已知等差数列的首项为5，公差为3，求第10项。

解：首项 a1 = 5，公差 d = 3，要求第10项 an，可以使用等差数列通项公式 an = a1 + (n-1)d。

将已知的数值代入：an = 5 + (10-1)3 = 5 + 9 × 3 = 5 + 27 = 32。

2. 某等差数列的前四项依次是4, 7, 10, 13，求公差。

解：已知数列的前四项分别为4, 7, 10, 13，设公差为d。

根据等差数列的性质，第2项减去第1项等于公差，第3项减去第2项仍然等于公差，以此类推。

则可得到以下方程组：7 - 4 = d10 - 7 = d13 - 10 = d解以上方程组可得公差 d = 3。

3. 某等差数列的前四项和为30，公差为2，求首项。

解：已知数列的前四项和为30，公差为2，设首项为a1。

根据等差数列的性质，可得到以下方程：(1/2)[2a1 + 3(2a1+2)] = 30化简得：[2an + 3an + 6] = 60整理得：5an = 54则 an = 10.8因为 a1 = 10.8 - 3(2) = 4.8，所以首项为4.8。

二、选择题1. 若等差数列的首项为3，公差为2，求第6项的值。

A. 8B. 11C. 13D. 15解：根据等差数列通项公式，第6项 an = a1 + (n-1)d = 3 + (6-1)2 =3 + 5 × 2 = 3 + 10 = 13。

所以选项 C. 13 正确。

2. 若等差数列的公差为-4，前五项的和为10，求该等差数列的首项。

A. -5B. -4C. -2D. 1解：设等差数列的首项为 a1，则根据等差数列和的公式，前五项和为：S5 = (5/2)[2a1 + 4d] = 10化简得：a1 + 2d = 2代入公差d为-4，得到 a1 - 8 = 2整理得：a1 = 10所以选项 D. 1 正确。