一元二次方程的应用(面积问题)

一元二次方程的应用—面积问题知识与技能1.以一元二次方程解决的实际问题为载体，使学生初步掌握数学建模的基本方法.2.能根据实际问题正确列出一元二次方程解应用题.3.能够发现，归纳出日常生活、生产或其他学科中可以利用一元二次方程来解决的实际问题，并正确地用语言表述问题及其解决问题.4.提高分析问题，解决问题的能力。

过程与方法通过自主探索、合作交流，使学生经历动手实践、展示讲解、探究讨论等活动，发展学生数学思维，培养学生合作学习意识、动手、动脑习惯，激发学生学习热情。

情感态度与价值观，培养学生数形结合的思想。

重点：二次函数的模型的刻画难点：二次函数的性质的应用教学过程创设情境引入新课.。

[创设情境引入新课]1. 请学生回顾举行的面积公式，并进行两个小题的列方程来巩固矩形的面积公式。

2问:若纸板长为80cm,宽60cm，做成的长方体盒子底面积1500cm2。

同学们想一想怎样求剪去的小正方形的边长。

3 把无盖长方体盒重新展开，又会得到原来的长方形纸板，帮助学生从实际问题1.学生们动手制作，在长方形纸板的四个角上截去四个大小相同的正方形，然后把四边折起做成一个无盖的长方体包装盒..2.小组讨论学生们不难发现截去的正方形的边长就是盒子的高.从学生熟悉的矩形的面积入手，能迅速激发学生参与学习的兴趣；让学生发现生活中有些实际问题可以通过列一元二次方程来解决，从而顺利地引入新课。

启发探究建立模型启发探究，建立模型如图，在一个长为20m,宽为15m的长方形空地，建成一个矩形的花园，要求在花园中修两条互相垂直且宽度相同的小路，剩余的地方种植花草，如图所示，要是种植花草的面积为266m2，那么小道的宽度应为多少米？。

1. 学生观察、相互讨论得出等量关系：（1）大矩形的面积—两条小路的面积=四个小矩形的面积之和；（2）大矩形的面积—四个小矩形的面积之和=两条小路的面积。

2、学生讨论，合作交流，请学生板演讲解.让学生经历从具体情境中抽象出一元二次方程的模型的过程，探索具体问题中的数量关系和变化规律，既起到了深化例题的作用，又复习了根的判别式的知识.一元二次方程应用教学反思这节课是“列一元二次方程解应用题”，讲授在几何问题中以学生熟悉的现实生活为问题的背景，让学生从具体的问题情境中抽象出数量关系，归纳出变化规律，并能用数学符号表示，最终解决实际问题。

一元二次方程解决面积问题面积问题在数学中广泛存在，而解决这类问题时，一元二次方程是一个重要的工具。

一元二次方程是一个带有一个未知数的二次方程，通常写作ax² + bx + c = 0，其中a、b和c是已知常数，且a不等于0。

当涉及到面积问题时，我们可以利用一元二次方程来求解。

例如，考虑一个长方形的问题：给定长方形的宽度x，其长度为（3x + 4）。

我们希望求解这个长方形的面积。

首先，我们需要确定长方形的面积公式。

长方形的面积等于长度乘以宽度，即A = x(3x + 4)。

然后，我们将这个面积公式转化为一个一元二次方程。

展开表达式，我们得到A = 3x² + 4x。

现在，我们要解决的问题是找到一个x的值，使得面积A达到最大或最小。

我们可以利用一元二次方程的特性来求解这个问题。

一元二次方程的图像是一个抛物线，对于正系数a，抛物线开口向上。

因此，当a大于0时，抛物线的最小值出现在顶点处。

通过求解一元二次方程的顶点，我们可以找到长方形的最大或最小面积。

一元二次方程的顶点的x坐标由公式x = -b/2a给出。

对于我们的长方形问题，a = 3，b= 4，所以x = -4/(2*3)。

计算得出x = -2/3。

将这个值代入原方程，我们可以计算出面积A的最小值或最大值。

这样，我们就可以通过求解一元二次方程来解决长方形的面积问题。

一元二次方程在解决面积问题以及其他数学问题中具有广泛的应用。

通过灵活运用一元二次方程的特性，我们能够解决各种各样的面积问题。

一元二次方程应用题专题训练一、面积问题1. 题目- 一个矩形的长比宽多2cm，面积是100cm²，求这个矩形的长和宽。

- 解析：设矩形的宽为x cm，因为长比宽多2cm，所以长为(x + 2)cm。

根据矩形面积公式：面积=长×宽，可得到方程x(x + 2)=100。

展开方程得到x²+2x - 100 = 0。

对于一元二次方程ax²+bx + c = 0（这里a = 1，b = 2，c=-100），根据求根公式x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}，先计算判别式Δ=b^2-4ac = 2^2-4×1×(- 100)=4 + 400=404。

则x=(-2±√(404))/(2)=(-2±2√(101))/(2)=-1±√(101)。

因为矩形的宽不能为负数，所以取x=-1+√(101)≈ - 1+10 = 9（这里√(101)≈10），长为x + 2=9+2 = 11cm。

2. 题目- 有一块正方形铁皮，从四个角各剪掉一个边长为2分米的正方形后，所剩部分正好围成一个无盖的正方体盒子，这个盒子的容积是27立方分米，求原来正方形铁皮的边长。

- 解析：设原来正方形铁皮的边长为x分米。

那么围成无盖正方体盒子底面的边长为(x - 2×2)=(x - 4)分米，盒子的高为2分米。

根据正方体容积公式V=a^3（这里a为正方体棱长），可得方程(x - 4)^2×2 = 27，即(x - 4)^2=(27)/(2)，展开得到x^2-8x + 16=(27)/(2)，整理为2x^2-16x+32 - 27 = 0，即2x^2-16x + 5 = 0。

这里a = 2，b=-16，c = 5，判别式Δ=b^2-4ac=(-16)^2-4×2×5=256 - 40 = 216，x=(16±√(216))/(4)=(16±6√(6))/(4) = 4±(3√(6))/(2)，因为边长不能为负，所以x =4+(3√(6))/(2)分米。

成共识6、（CAI动态演示）各图形中路的平行移动过程，师概括点明做此类题目的方法并板书过程。

7、观察图形⑸，能否用上述方法，又如何理解呢？同学们讨论得出将图⑹的路平行向四周移动可得图⑸（CAI动态演示）。

8、学生独立完成此题。

（CAI课件展示）例2、要设计一本书的封面，封面长27 cm ,宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1 cm）.1、讨论：此题与上题的图⑸有什么不同？又如何解答？2、师讲解：如何由封面及正中的长宽比例相同为9:7，得出上、下边衬宽与左、右边衬宽的比也是9：7.。

3、学生讨论得出直接设中央的长与宽的比9X:7X，从而列方程求解。

4、一人演板。

5、集体订正，强调结果验证。

1、如图，某中学为方便师生活动，准备在长30 m，宽20 m的矩形草坪上修两横两纵四条小路，横纵路的宽度之比为3∶2，若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三，则路宽应为多少？论形成的结果，易记熟且能灵活运用。

设疑，激发学生积极思考用题目之间的联系培养学生灵活处理问题的能力。

此方法不易理解，但可以借助图⑸，拓宽了学生的知识面。

设元的灵活性。

触类旁通，你有哪些心得体会。

拓展延伸总结反思2、有一面积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），墙对面有一个2米宽的门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长33米．求鸡场的长和宽各多少米？归纳小结：系统地总结此类应用题的解法。

布置作业：（略）板书设计：12.6 一元二次方程的应用（二）例1．略例2．略解：设………解：………………………………课后反思，本节课的收获，还有没有需要老师帮助解决的问题。

18米2米。

一元二次方程应用题面积问题1. 引言：面积问题的迷人世界大家好！今天咱们聊聊一元二次方程中的面积问题。

别急着皱眉头，这个话题其实特别贴近咱们的生活，学会了，能让你在解答一些日常问题时得心应手。

比如说，买草坪、规划花园、甚至是设计墙面装饰，这些都能用到哦！2. 面积问题的基础：概念简述2.1 什么是面积问题？说白了，面积问题就是要求你计算一个区域的大小。

在几何中，咱们经常需要找出矩形、三角形或者其他形状的面积。

那一元二次方程为什么会出现在这个问题里呢？好问题！因为有些面积计算需要用到二次方程来解决。

2.2 为什么用一元二次方程？一元二次方程，看起来有点复杂，但其实就是形如 ( ax^2 + bx + c = 0 ) 的方程。

它能帮我们解决一些涉及面积的实际问题，比如说，计算一个长方形的面积，特别是当这个长方形的边长变化时，就需要用到这样的方程了。

3. 实际例子：如何应用一元二次方程解决面积问题。

3.1 示例一：草坪面积假设你想在家里的花园里铺草坪，花园的长度是 ( x ) 米，宽度比长度少 5 米。

那么，花园的宽度就是 ( x 5 ) 米。

你知道草坪的面积是 84 平方米。

我们可以用一元二次方程来找出长度和宽度。

首先，面积 ( A ) = 长度 ( times ) 宽度。

根据题意，有：[ A = x times (x 5) = 84 ]。

简化一下，得到方程：[ x^2 5x = 84 ]接着，把 84 移到方程的另一边：[ x^2 5x 84 = 0 ]现在咱们可以用因式分解法或者求根公式来解这个方程。

因式分解的话，我们可以得到：[ (x 9)(x + 4) = 0 ]。

从中可以得到 ( x = 9 ) 或 ( x = 4 )。

因为长度不能是负数，所以我们取 ( x = 9 ) 米。

这样，花园的宽度就是 ( 9 5 = 4 ) 米。

3.2 示例二：墙面装饰再来一个例子，假如你要装饰一面墙，墙的高度比宽度多 2 米，装饰的总面积是60 平方米。

一元二次方程的应用-面积专题1．如图，某景区想在一个长40m，宽32m的矩形湖面上种植荷花，为了便于游客观赏，准备沿平行于湖面两边的纵、横方向各修建一座小桥（桥下不种植荷花）．已知修建的纵向小桥的宽度是横向小桥宽度的2倍，荷花的种植面积为21140m，如果横向小桥的宽为xm，那么可列出关于x的方程为______________________．（方程不用整理）2．如图，利用一面墙（墙的长度不限），用长为19m的篱笆围一个留有1m宽门的矩形养鸡场，怎样围可以使养鸡场的面积为250m？设矩形与墙平行的边长为xm，则根据题意可以列出的方程为___________________．（化成一般形式）3．如图，某小区计划在一个长为32m，宽为20m矩形场地ABCD上修建同样宽的小路，其余部分种草，若使草坪面积为2540m，求路的宽度？4．如图，某市近郊有一块长为60米，宽为50米的矩形荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为a 米）区域将铺设塑胶地面作为运动场地．（1）设通道的宽度为x 米，则a = （用含x 的代数式表示）；（2）若塑胶运动场地总占地面积为2430平方米．请问通道的宽度为多少米？5．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用现有的住房墙，另外三边用25m 长得建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个小门．（1）如果住房墙长12米，门宽为1米，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为280m ？（2）如果住房墙长12米，门宽为1米，当AB 边长为多少时，猪舍的面积最大？最大面积是多少？（3）如果住房墙足够长，门宽为a 米，设AB x =米，当6.57x 剟时，猪舍的面积S 先增大，后减小，直接写出a 的范围．6．某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池（平面图如图ABCD所示）．由于地形限制，三级污水处理池的长、宽都不能超过16米．如果池的外围墙建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米300元，池底建造单价为每平方米80元．（池墙的厚度忽略不计）（1）当三级污水处理池的总造价为47 200元时，求池长x；（2）如果规定总造价越低就越合算，那么根据题目提供的信息，以472 00元为总造价来修建三级污水处理池是否最合算？请说明理由．7．（教材变式题）如图所示，在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是25400cm，设金色纸边的宽为xcm，求满足x的方程．8．我们用一块长方形的薄钢片，在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，就可以做成一个没有盖的长方体盒子，如图①所示．用一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成如图②所示的底面积为21500cm的没有盖的长方体盒子，想一想，应该怎样求出截去的小正方形的边长？探索：若设小正方形的边长为xcm，那么这个盒子底部的长及宽分别为cm和cm，根据题意，可得一元二次方程为，整理成一般形式是．9．如图，某农场有一道长16米的围墙，计划用40米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的长方形养鸡场，为了方便饲养又用围栏隔出一个储物间，在墙的对面开了两个1米宽的门，求围成长方形养鸡场宽AB的长度．10．某农场要建一个饲养场（长方形ABCD），饲养场的一面靠墙（墙最大可用长度为27 米），另三边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地，并在如图所示的三处各留1 米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长57 米，设饲养场（长方形ABCD）的宽为a米．（1）饲养场的长为米（用含a的代数式表示）．288m，求a的值．（2）若饲养场的面积为2（3）当a为何值时，饲养场的面积最大，此时饲养场达到的最大面积为多少平方米？。