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《列一元二次方程解应用题之面积问题》教学案
教学目标: 1.以面积的计算为载体,进一步培养学生运用方程的思想解决实际问题的意
识,提高学生建立方程模型的能力
2.体会变换在解决数学问题的作用,进一步强化学生问题转化的意识,进
而形成解决问题的能力
教学重点:构建方程模型
教学难点:应用恰当等积变换,探索问题中隐含的等量关系
教学过程:
一、解方程(引入)
(1)x2-52x+100=0 2
(2) x -36x+35=0
二、例题:某学校准备在一块长32 米,宽 20 米的草地上
修筑道路互相垂直的两条道路(道路的宽度相等),
使余下的草坪的面积为540 平方米,求这个方案的
道路的宽度。
变式 1 若改变道路的形状如下图(变式1),其他条件不变,那么应该怎么列方程?
变式 1
变式 2. 若改变道路的条数如下图,且设计草坪的总面积是570 平方米。其他条件不变,那么应该怎么列方程?
变式 2
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变式 3.方案设计
问题:学校准备在一块长32 米,宽 20 米
的草地上修筑道路,决定在全校征集修改方案。
方案要求 :①两条竖道保存不变。
②横道不能是直道。
③所有道路入口要相等,注明图形名称。
④使余下的草坪的面积仍然为570 平方米。
变式 3 你能帮学校修改这个方案吗?并标出入口的宽度
三、小结(从数学思想的角度)
四、效果反馈
某小区中间有一块长方形的草地,长18 米,宽 10 米,中间有两条均匀的小路(小路的人口相等)。已知要求草地的面积为128 平方米求,小路的入口的宽度。
五、课后作业
如图,要设计一个等腰梯形的花坛,花坛上底长120 米,下底长180 米,上下底相距80米,在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道,上下底之间有两条纵向甬道,各
甬道的宽度相等.设甬道的宽为x 米.
(1)用含的式子表示横向甬道的面积为___________ 平方米
(2)当三条甬道的面积是 1500 平方米时,求甬道的宽度。
(1552=24025; 1452=21025)
z一元二次方程应用题经典题型汇总 一、增长率问题 例1 恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率. 解 设这两个月的平均增长率是x.,则根据题意,得200(1-20%) (1+x)2=193.6, 即(1+x)2=1.21,解这个方程,得x1=0.1,x2=-2.1(舍去). 答 这两个月的平均增长率是10%. 说明 这是一道正增长率问题,对于正的增长率问题,在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义,即可利用公式m(1+x)2=n求解,其中m<n.对于负的增长率问题,若经过两次相等下降后,则有公式m(1-x)2=n即可求解,其中m>n. 二、商品定价 例2 益群精品店以每件21元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商品售价a元,则可卖出(350-10a)件,但物价局限定每件商品的利润不得超过20%,商店计划要盈利400元,需要进货多少件?每件商品应定价多少? 解 根据题意,得(a-21)(350-10a)=400,整理,得a2-56a+775=0, 解这个方程,得a1=25,a2=31. 因为21×(1+20%)=25.2,所以a2=31不合题意,舍去. 所以350-10a=350-10×25=100(件). 答 需要进货100件,每件商品应定价25元. 说明 商品的定价问题是商品交易中的重要问题,也是各种考试的热点.
三、储蓄问题 例3 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税) 解 设第一次存款时的年利率为x. 则根据题意,得[1000(1+x)-500](1+0.9x)=530.整理,得 90x2+145x-3=0. 解这个方程,得x1≈0.0204=2.04%,x2≈-1.63.由于存款利率不能为负数,所以将x2≈-1.63舍去. 答 第一次存款的年利率约是2.04%. 说明 这里是按教育储蓄求解的,应注意不计利息税. 四、趣味问题 例4 一个醉汉拿着一根竹竿进城,横着怎么也拿不进去,量竹竿长比城门宽4米,旁边一个醉汉嘲笑他,你没看城门高吗,竖着拿就可以进去啦,结果竖着比城门高2米,二人没办法,只好请教聪明人,聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿,二人一试,不多不少刚好进城,你知道竹竿有多长吗? 解 设渠道的深度为xm,那么渠底宽为(x+0.1)m,上口宽为 (x+0.1+1.4)m. 则根据题意,得 (x+0.1+x+1.4+0.1)·x=1.8,整理,得x2+0.8x-1.8=0. 解这个方程,得x1=-1.8(舍去),x2=1. 所以x+1.4+0.1=1+1.4+0.1=2.5. 答 渠道的上口宽2.5m,渠深1m.
一元二次方程应用题经典题型汇总同学们知道,学习了一元二次方程的解法以后,就会经常遇到解决与一元二次方程有关的生活中的应用问题,即列一元二次方程解应用题,不少同学遇到这类问题总是左右为难,难以下笔,事实上,同学们只要能认真地阅读题目,分析题意,并能学会分解题目,各个击破,从而找到已知的条件和未知问题,必要时可以通过画图、列表等方法来帮助我们理顺已知与未知之间的关系,找到一个或几个相等的式子,从而列出方程求解,同时还要及时地检验答案的正确性并作答.现就列一元二次方程解应用题中遇到的常见的十大典 型题目,举例说明. 一、增长率问题 例1恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率. 解设这两个月的平均增长率是x.,则根据题意,得200(1-20%)(1+x)2=193.6,即(1+x)2=1.21,解这个方程,得x1=0.1,x2=-2.1(舍去). 答这两个月的平均增长率是10%. 说明这是一道正增长率问题,对于正的增长率问题,在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义,即可利用公式m(1+x)2=n求解,其中m<n.对于负的增长率问题,若经过两次相等下降后,则有公式m(1-x)2=n即可求解,其中m>n. 二、商品定价 例2益群精品店以每件21元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商品售价a元,则可卖出(350-10a)件,但物价局限定每件商品的利润不得超过20%,商店计划要盈利400元,需要进货多少件?每件商品应定价多少?
解根据题意,得(a-21)(350-10a)=400,整理,得a2-56a+775=0, 解这个方程,得a1=25,a2=31. 因为21×(1+20%)=25.2,所以a2=31不合题意,舍去. 所以350-10a=350-10×25=100(件). 答需要进货100件,每件商品应定价25元. 说明商品的定价问题是商品交易中的重要问题,也是各种考试的热点. 三、储蓄问题 例3王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税) 解设第一次存款时的年利率为x. 则根据题意,得[1000(1+x)-500](1+0.9x)=530.整理,得90x2+145x-3=0. 解这个方程,得x1≈0.0204=2.04%,x2≈-1.63.由于存款利率不能为负数,所以将x2≈-1.63舍去. 答第一次存款的年利率约是2.04%. 说明这里是按教育储蓄求解的,应注意不计利息税. 四、趣味问题 例4一个醉汉拿着一根竹竿进城,横着怎么也拿不进去,量竹竿长比城门宽4米,旁边一个醉汉嘲笑他,你没看城门高吗,竖着拿就可以进去啦,结果竖着比城门高2米,
一元二次方程应用题 1、某种服装,平均每天可以销售20件,每件盈利44元,在每件降价幅度不超过10元的情况下,若每件降价1元,则每天可多售出5件,如果每天要盈利1600元,每件应降价多少元? 解:设没件降价为x,则可多售出5x件,每件服装盈利44-x元, 依题意x≤10 ∴(44-x)(20+5x)=1600 展开后化简得:x2-44x+144=0 即(x-36)(x-4)=0 ∴x=4或x=36(舍) 即每件降价4元 2.游行队伍有8行12列,后又增加了69人,使得队伍增加的行、列数相同,增加了多少行多少列? 解:设增加x (8+x)(12+x)=96+69 x=3 增加了3行3列 3.某化工材料经售公司购进了一种化工原料,进货价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现:单价每千克70元时日均销售60kg;单价每千克降低一元,日均多售2kg。在销售过程中,每天还要支出其他费用500元(天数不足一天时,按一天计算).如果日均获利1950元,求销售单价关系式 解: (1)若销售单价为x元,则每千克降低了(70-x)元,日均多售出2(70-x)千克,日均销售量为[60+2(70-x)]千克,每千克获利(x-30)元. 依题意得: y=(x-30)[60+2(70-x)]-500 =-2x^2+260x-6500 (30<=x<=70) (2)当日均获利最多时:单价为65元,日均销售量为60+2(70-65)=70kg,那么获总利为1950*7000/70=195000元,当销售单价最高时:单价为70元,日均销售60kg,将这批化工原料全部售完需7000/60约等于117天,那么获总利为(70-30)*7000-117*500=221500 元,而221500>195000时且221500-195000=26500元. ∴销售单价最高时获总利最多,且多获利26500元. 4.现有长方形纸片一张,长19cm,宽15cm,需要剪去边长多少的小正方形才能做成底面积为77平方cm的无盖长方形的纸盒? 解:设边长x 则(19-2x)(15-2x)=77 4x^2-68x+208=0 x^2-17x+52=0
学习必备欢迎下载 《列一元二次方程解应用题之面积问题》教学案 教学目标: 1.以面积的计算为载体,进一步培养学生运用方程的思想解决实际问题的意 识,提高学生建立方程模型的能力 2.体会变换在解决数学问题的作用,进一步强化学生问题转化的意识,进 而形成解决问题的能力 教学重点:构建方程模型 教学难点:应用恰当等积变换,探索问题中隐含的等量关系 教学过程: 一、解方程(引入) (1)x2-52x+100=0 2 (2) x -36x+35=0 二、例题:某学校准备在一块长32 米,宽 20 米的草地上 修筑道路互相垂直的两条道路(道路的宽度相等), 使余下的草坪的面积为540 平方米,求这个方案的 道路的宽度。 变式 1 若改变道路的形状如下图(变式1),其他条件不变,那么应该怎么列方程? 变式 1 变式 2. 若改变道路的条数如下图,且设计草坪的总面积是570 平方米。其他条件不变,那么应该怎么列方程? 变式 2
学习必备欢迎下载 变式 3.方案设计 问题:学校准备在一块长32 米,宽 20 米 的草地上修筑道路,决定在全校征集修改方案。 方案要求 :①两条竖道保存不变。 ②横道不能是直道。 ③所有道路入口要相等,注明图形名称。 ④使余下的草坪的面积仍然为570 平方米。 变式 3 你能帮学校修改这个方案吗?并标出入口的宽度 三、小结(从数学思想的角度) 四、效果反馈 某小区中间有一块长方形的草地,长18 米,宽 10 米,中间有两条均匀的小路(小路的人口相等)。已知要求草地的面积为128 平方米求,小路的入口的宽度。 五、课后作业 如图,要设计一个等腰梯形的花坛,花坛上底长120 米,下底长180 米,上下底相距80米,在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道,上下底之间有两条纵向甬道,各 甬道的宽度相等.设甬道的宽为x 米. (1)用含的式子表示横向甬道的面积为___________ 平方米 (2)当三条甬道的面积是 1500 平方米时,求甬道的宽度。 (1552=24025; 1452=21025)
增长率问题:1、恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率. 2、某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台? 3、王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税) 4、周嘉忠同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的60%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.(利息税为20%,只需要列式子) 5、市政府为了解决市民看病难的问题,决定下调药品的价格。某种药品经过连续两次降价后,由每盒200元下调至128元,则这种药品平均每次降价的百分率为 商品定价:1、益群精品店以每件21元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商品售价a 元,则可卖出(350-10a )件,但物价局限定每件商品的利润不得超过20%,商店计划要盈利400元,需要进货多少件?每件商品应定价多少? 2、利达经销店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源,待货物售出后再进行结算,未售出的由厂家负责处理)。当每吨售价为260元时,月销售量为45吨。该经销店为提高经营利润,准备采取降价的方式进行促销。经市场调查发现:当每吨售价每下降10元时,月销售量就会增加7.5吨。综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元。(1)当每吨售价是240元时,计算此时的月销售量;(2)在遵循“薄利多销”的原则下,问每吨材料售价为多少时,该经销店的月利润为9000元。(3)小静说:“当月利润最大时,月销售额也最大。”你认为对吗?请说明理由。 3、国家为了加强对香烟产销的宏观管理,对销售香烟实行征收附加税政策. 现在知道某种品牌的香烟每条的市场价格为70元,不加收附加税时, 每年产销100万条,若国家征收附加税,每销售100元征税x 元(叫做税率x%), 则每年的产销量将减少10x 万条.要使每年对此项经营所收取附加税金为168万元,并使香烟的产销量得到宏观控制,年产销量不超过50万条,问税率应确定为多少? 4、春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾 风景区旅游,推出了如图1对话中收 费标准.某单位组织员工去天水湾风景区 旅游,共支付给春秋旅行社旅游费 用27000元. 水湾风景区旅游? 图 1
一元二次方程应用题精选 一、数字问题 1、有两个连续整数,它们的平方和为25,求这两个数。 2、一个两位数,十位数字与个位数字之和是6,把这个数的个位数字与十位数字对调后,所得的新两位数与原来的两位数的积是1008,求这个两位数. 二、销售利润问题 3、某市场销售一批名牌衬衫,平均每天可销售20件,每件赢利40元.为了扩大销售,增 加赢利,尽快减少库存,商场决定采取适当降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件.求: (1)若商场平均每天要赢利1200元,每件衬衫应降价多少元? (2)要使商场平均每天赢利最多,请你帮助设计方案. 4.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出,平均每天能售出8台,为了配合国家“家 电下乡”政策的实施,商场决定采取适当的降价措施,调查表明:这种冰箱的售价每降低50元,平均每天就能多售出4台,商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元,同时又要使百姓得到实惠,每台冰箱应降价多少元? 5.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜,以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价O.1元/千克,每天可多售出40千克.另外,每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利2O0元,应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?
三、平均变化率问题增长率 (1)原产量+增产量=实际产量. (2)单位时间增产量=原产量×增长率. (3)实际产量=原产量×(1+增长率). 6. 某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨,三月份上升到7200吨,这两个月平均每月增长的百分率是多少? 7. 某产品原来每件600元,由于连续两次降价,现价为384元,如果两个降价的百分数相同,求每次降价百分之几? 四、形积问题 8、有一块长方形的铝皮,长24cm、宽18cm,在四角都截去相同的小正方形,折起来做成一个没盖的盒子,使底面积是原来面积的一半,求盒子的高. 9、如图,在一块长为32m,宽为20m长方形的土地上修筑两条同样宽度的道路,余下部分作为耕地要使耕地的面积是540m2,求小路宽的宽度.
一元二次方程应用题典型题型归纳 (一)传播与握手问题 1.有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一 个人传染了个人。 2.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支, 主干、支干和小分支的总数是91,每个支干长出小分支。 3.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛,共比赛45场比赛,共有 个队参加比赛。 4.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛,共比赛90场比赛,共有 个队参加比赛。 5.生物兴趣小组的学生,将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件,全组 共互赠了182件,这个小组共有多少名同学? 6.一个小组有若干人,新年互送贺卡,若全组共送贺卡72张,这个小组共有 多少人? 7.某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81 台电脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台? (二)平均增长率问题 变化前数量×(1 x)n=变化后数量 1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤,2003年平均每公顷产8450 公斤,水稻每公顷产量的年平均增长率为。 2.某种商品经过两次连续降价,每件售价由原来的90元降到了40元,求平均 每次降价率是。 3.某种商品,原价50元,受金融危机影响,1月份降价10%,从2月份开始 涨价,3月份的售价为64.8元,求2、3月份价格的平均增长率。 4.某药品经两次降价,零售价降为原来的一半,已知两次降价的百分率相同, 求每次降价的百分率?
5.恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率. (三)商品销售问题 售价—进价=利润单件利润×销售量=总利润单价×销售量=销售额 1.某商店购进一种商品,进价30元.试销中发现这种商品每天的销售量P(件) 与每件的销售价X(元)满足关系:P=100-2X销售量P,若商店每天销售这种商品要获得200元的利润,那么每件商品的售价应定为多少元?每天要售出这种商品多少件? 2.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫,每日最高产量为40只,且每日产出的产 品全部售出,已知生产ⅹ只熊猫的成本为R(元),售价每只为P(元),且R、P与x的关系式分别为R=500+30X,P=170—2X。 (1)当日产量为多少时每日获得的利润为1750元? (2)若可获得的最大利润为1950元,问日产量应为多少? 3.某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500 千克,经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克。现该商品要保证每天盈利6000元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元? 4.服装柜在销售中发现某品牌童装平均每天可售出20件,每件盈利40元。 为了迎接“六一”儿童节,商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,减少库存。经市场调查发现,如果每件童装每降价4元,那么平均每天就可多售出8件。要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元,那么每件童装应降价多少元?
一元二次方程的应用 ------面积问题 【小知识大作用】 1、直角三角形面积公式:一般三角形面积公式: 2、正方形周长公式:正方形面积公式: 3、矩形周长公式:矩形面积公式: 4、梯形面积公式: 5、平行四边形面积公式:菱形面积公式: 6、圆的周长公式:圆的面积公式: 小贴士:这些简单的公式,在我们解决生活中的实际问题时发挥着很大的作用. 【学习交流】 类型一: 1、有一根1m长的铁丝,怎样用它围成一个面积为的长方形 2、如图,是长方形鸡场平面示意图,一边靠墙,另 外三面用竹篱笆围成,若竹篱笆总长为35m,所围的面积为150m2,则此长方形鸡场的长、宽分别为多少 3、如图,用长为18m的篱笆(虚线部分),两面靠墙围成矩形的苗圃.要围 成苗圃的面积为81m2,矩形的长、宽分别为多少 类型二: 1、某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地上修筑若干条一样宽的道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有四位学生各设计了一种方案(如图),根据两种设计方案各列出方程,求图中道路
的宽分别是多少使图中的草坪面积为540米2. 【元调真题】 世博会中国国家馆模型的平面图如图所示,其外框是一个大正方形,中间四个全等的小正方形(阴影部分)是支撑展馆的核心筒,标记了字母的五个全等的正方形是展厅.已知核心筒的边长比展厅的边长的一半多1米,外框的面积刚好是四个核心筒面积和的9倍.求核心筒的边长.【能力提升】 如图,一个矩形恰好分成六个正方形,其中最小的正方形的边长是1cm,求这个矩形的面积。 【检测】 1.如图,在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建 两条同样宽的道路,余下部分作为耕地.若耕地面积需要551米2,则修建的路宽应为() A.1米 B.1.5米
一元二次方程面积问题 例1:将一块长18米,宽15米的矩形荒地修建成一个花园(阴影部分)所占的面积为原来荒地面积的三分之二.(精确到0.1m) (1)设计方案1(如图2)花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路. (2)设计方案2(如图3)花园中每个角的扇形都相同. 以上两种方案是否都能符合条件?若能,请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径;若不能符合条件,请说明理由. 分析:(1)设出小路的宽度为x米,表示出两条小路的面积,而小路的面积为原来荒地面积的三分之一,列出方程解答即可; (2)设出扇形的半径为y米,则四个扇形的面积和恰好等于一个圆的面积,而四个扇形的面积和为原来荒地面积的三分之一,列出方程解答即可.: 解答:解:(1)设小路的宽度为x米,根据题意列方程得, 18x+15x-x2=18×15×13, 解得x 1=3,x 2 =30(不合题意,舍去); 答:图①中小路的宽为3米. (2)设扇形的半径为y米,根据题意列方程得, πy2=18×15×13, 解得y1≈5.4,y2≈-5.4(不合题意,舍去); 答:扇形的半径约为5.4米. 点评:此题主要考查长方形和扇形面积的计算方法,解答时注意题目中蕴含的数量关系 例2:如图1—1所示,某小区规划在一个长为40m,宽为26m的矩矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的道路,使其中两条与AB平行,另一条与AD平行,其余部分种草,若使每一块草坪的面积都是144㎡,则道路的宽是多少米? 分析:(1)设路的宽为x m,那么道路所在的面积(40x+26x×2-2x2)㎡,于是六块草坪的面积为[40×26-(40x+26x×2-2x2)]㎡,根据题意,得40×26-(40x+26x×2-2x2)=144×6 (2)将图1—1所示中的三条道路分别向上和向左、向右平移图1—2的位置,若设宽为x m,则草坪的总面积为(40-2x)(26-x)㎡所列方程为(40-2x)(26-x)=144×6 解法1:设道路的宽为x m,则根据题意,得40×26-(40x+26x×2-2x2)=144×6整理,得x2-46x+88=0,解得x1=44(舍去),x2=2 解法2:设道路的宽为x m,则根据题意,得(40-2x)(26-x)=144×6 解得,x 1 =44(舍去),x 2 =2 答:略 练习 1、如图,在长为10cm,宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的正方形,使 得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%,所截去的小正方形的边长是多少。 2、张大叔从市场上买回一块矩形铁皮,他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后,剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体箱子,且此长方体箱子的底面长比宽多2米,现已购买这种铁皮每平方米需20元钱,问张大叔购买这张铁皮共花了是多少元钱
1:某种服装,平均每天可以销售20件,每件盈利44元,在每件降价幅度不超过10元的情况下,若每件降价1元,则每天可多售出5件,如果每天要盈利1600元,每件应降价多少元? 解:设没件降价为x,则可多售出5x件,每件服装盈利44-x元, 依题意x≤10 ∴(44-x)(20+5x)=1600 展开后化简得:x2-44x+144=0 即(x-36)(x-4)=0 ∴x=4或x=36(舍) 即每件降价4元 要找准关系式 2.游行队伍有8行12列,后又增加了69人,使得队伍增加的行·列数相同,增加了多少行多少列? 解:设增加x (8+x)(12+x)=96+69 x=3 增加了3行3列 3.某化工材料经售公司购进了一种化工原料,进货价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现:单价每千克70元时日均销售60kg;单价每千克降低一元,日均多售2kg。在销售过程中,每天还要支出其他费用500元(天数不足一天时,按一天计算).如果日均获利1950元,求销售单价 解: (1)若销售单价为x元,则每千克降低了(70-x)元,日均多售出2(70-x)千克,日均销售量为[60+2(70-x)]千克,每千克获利(x-30)元. 依题意得: y=(x-30)[60+2(70-x)]-500 =-2x^2+260x-6500 (30<=x<=70) (2)当日均获利最多时:单价为65元,日均销售量为60+2(70-65)=70kg,那么获总利为1950*7000/70=195000元,当销售单价最高时:单价为70元,日均销售60kg,将这批化工原料全部售完需7000/60约等于117天,那么获总利为(70-30)*7000-117*500=221500 元,而221500>195000时且221500-195000=26500元. ∴销售单价最高时获总利最多,且多获利26500元.
24.4一元二次方程的应用 教材:冀教版 年级:九年级 单位:遵化市新店子镇中学 姓名:果秋红
24.4一元二次方程的应用 ——面积问题 教材分析: 列一元二次方程解应用题是历年来考查的热点,经常与经济有关,有时与函数相结合,综合性较强,题型以解答题为主。一元二次方程的应用主要有三大类型:面积问题、增长率问题和利润问题,其中面积问题相对简单些,本节课讲解一元二次方程的应用之面积问题。 学情分析: 学生已经学习过一元一次方程的应用,也会表示图形的面积、解一元二次方程,所以学生对列方程解应用题并不陌生。但是学生对于如何找出等量关系列方程还是弱点,所以引导学生找出题中的等量关系是本节课的主线。教法: 本节课采用以导学案为主线,小组合作交流、赋分评比的模式讲授,在内容展开上,让学生根据自己已有的经验,先自主探究,在独立思考的基础上再小组交流,让学生充分体会一元二次方程的建模过程。 学法: 小组合作探究,其中既有小组成员之间的合作,又有小组之间的竞争。最大限度的调动学生学习的积极性,培养学生学习数学的兴趣。 教学目标: 1、知识与技能: 会根据实际面积问题中的数量关系列一元二次方程解应用题,能根据具体问题的实际意义,检验结果是否合理。 2、过程与方法:
经历探索列一元二次方程解面积应用题的过程,体验通过移动变化分析面积问题的方法。 3、情感态度与价值观: 让学生体会一元二次方程是刻画现实世界一个有效的数学模型,感悟数学来源于生活,服务于生活;同时培养学生自我探索的兴趣和能力。 教学重点:运用一元二次方程探索和解决面积问题。 教学难点:面积问题中的等量分析。 教学过程 教学环节教师活动学生活动设计意图(一)基础回顾 1、一根20m长的铁丝围成一个矩形,若一边长为2m,则另一边长为______m ,所围成的矩形的面积为______平方米,若设一边长是x m,,则另一边长为______m ,若围成的矩形的面积为24 平方米,则所得的方程是_______________ ,x 的值是______。课前两分钟 教师巡视检 查导学案第 一部分复习 回顾,并给予 适当的指导。 正副小组长检查组 员完成情况,并帮 助做错的同学解 答。全对的小组加 5分。 复习回顾上 节课的知 识,检查学 生的掌握情 况,通过小 组长解决学 困生的问 题。
实际问题与一元二次方程(3) 教学目标: 1、会列一元二次方程解应用题; 2、进一步掌握解应用题的步骤和关键; 3、通过一题多解使学生体会列方程的实 质,培养灵活处理问题的能力. 教学重点:列方程解应用题. 教学难点:会用含未知数的代数式表示题目里的中间量(简称关 系式);会根据所设的不同意义的未知数,列出相应的方程。 教学过程: 一、复习引入 1、上一节,我们学习了解决“平均增长(下降)率问题”,现在,我们要学习解决“面积、体积问题。 2.直角三角形的面积公式是什么??一般三角形的面积公式呢? 3.正方形的面积公式是什么呢?长方形的面积公式又是什么? 4.梯形的面积公式是什么? 5.菱形的面积公式是什么? 6.平行四边形的面积公式是什么? 7.圆的面积公式是什么? 二、探究: 要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何 设计四周边衬的宽度? 解法一: 分析:这本书的长宽之比是9:7,依题知正中央的矩形两 边之比也为9:7 设正中央的矩形两边分别为9xcm ,7xcm 依题意得 解得 故上下边衬的宽度为: 2331=x ),(2332舍去不合题意-=x 21274379??=?x x 8.143275422339272927≈-=?-=-x
左右边衬的宽度为: 解法二: 分析:这本书的长宽之比是9:7,正中央的矩形两边之比也为9:7,由此判断上下边衬与左右边衬的宽度之比也为9:7 设上下边衬的宽为9xcm ,左右边衬宽为7xcm 依题意得 解方程得 (以下同学们自己完成) 三、例题讲解: 用20cm 长的铁丝能否折成面积为30cm 2的矩形,若能够,求它的长 与宽;若不能,请说明理由. 解:设这个矩形的长为x cm,则宽为 cm, 即 x 2-10x+30=0 这里a=1,b=-10,c=30 ∴此方程无解. ∴用20cm 长的铁丝不能折成面积为30cm 2的矩形. 四、学生练习: 1.如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂直),把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米? 2.如图,长方形ABCD,AB=15m,BC=20m, 四周外围环绕着宽度相等 4.14 3214222337212721≈-=?-=-x 212743)1421)(1827(??=--x x 4336±=x )220(x -30)220(=-x x 0 203014242)10(<-=??-=-∴-ac b
一元二次方程应用题经典题型汇总 (一)传播问题 1. 市政府为了解决市民看病难的问题,决定下调药品的价格。某种药品经过连续 两次降价后,由每盒200 元下调至128 元,则这种药品平均每次降价的百分率为 2. 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121 人患了流感,每轮传染中平均一个 人传染了个人。 3. 某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主 干、支干和小分支的总数是91,每个支干长出小分支。 4. 参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛,共比赛45 场比赛,共有 个队参加比赛。 5. 生物兴趣小组的学生,将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件,全组共 互赠了182 件,这个小组共有多少名同学? 6. 一个小组有若干人,新年互送贺卡,若全组共送贺卡72 张,这个小组共有多 少人? 7. 某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81 台电脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台 电脑?若病毒得不到有效控制, 3 轮感染后,被感染的电脑会不会超过700 台?
(二)平均增长率问题 变化前数量×(1x)n=变化后数量 1. 青山村种的水稻2001 年平均每公顷产7200 公斤,2003 年平均每公顷产8450 公斤,水稻每公顷产量的年平均增长率为。 2. 某种商品经过两次连续降价,每件售价由原来的90 元降到了40 元,求平均每 次降价率是。 3. 某种商品,原价50 元,受金融危机影响, 1 月份降价10%,从2 月份开始涨价, 3 月份的售价为64.8 元,求2、3 月份价格的平均增长率。 4. 某药品经两次降价,零售价降为原来的一半,已知两次降价的百分率相同,求 每次降价的百分率? 5. 为了绿化校园,某中学在2007 年植树400 棵,计划到2009 年底使这三年的植 树总数达到1324 棵,求该校植树平均每年增长的百分数。
一元二次方程应用题(含答案) 学习了一元二次方程的解法以后,就会经常遇到解决与一元二次方程有关的生活中的应用问题,即列一元二次方程解应用题,不少同学遇到这类问题总是左右为难,难以下笔,事实上,同学们只要能认真地阅读题目,分析题意,并能学会分解题目,各个击破,从而找到已知的条件和未知问题,必要时可以通过画图、列表等方法来帮助我们理顺已知与未知之间的关系,找到一个或几个相等的式子,从而列出方程求解,同时还要及时地检验答案的正确性并作答.现就列一元二次方程解应用题中遇到的常见的十大典型题目,举例说明. 一、增长率问题 例1恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率. 解设这两个月的平均增长率是x.,则根据题意,得200(1-20%)(1+x)2=193.6, 即(1+x)2=1.21,解这个方程,得x1=0.1,x2=-2.1(舍去). 答这两个月的平均增长率是10%. 说明这是一道正增长率问题,对于正的增长率问题,在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义,即可利用公式m(1+x)2=n求解,其中m<n.对于负的增长率问题,若经过两次相等下降后,则有公式m(1-x)2=n即可求解,其中m>n. 二、商品定价 例2益群精品店以每件21元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商品售价a元,则可卖出(350-10a)件,但物价局限定每件商品的利润不得超过20%,商店计划要盈利400元,需要进货多少件?每件商品应定价多少? 解根据题意,得(a-21)(350-10a)=400,整理,得a2-56a+775=0,
列一元二次方程解应用题的一般步骤 和列一元一次方程解应用题一样,列一元二次方程解应用题的一般步骤是: “审、设、列、解、答”. (1)“审”指读懂题目、审清题意,明确已知和未知,以及它们之间的数量关系.这 一步是解决问题的基础; (2)“设”是指设元,设元分直接设元和间接设元,所谓直接设元就是问什么设 什么,间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的,但由于对列方程有利,因此间接设元也十分重要.恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易; (3)“列”是列方程,这是非常重要的步骤,列方程就是找出题目中的等量关系, 再根据这个相等关系列出含有未知数的等式,即方程.找出相等关系列方程是解决问题的关键; (4)“解”就是求出所列方程的解; (5)“答”就是书写答案,应注意的是一元二次方程的解,有可能不符合题意, 如线段的长度不能为负数,降低率不能大于100%等等.因此,解出方程的根后,一定要进行检验. (一)平均增长率问题 变化前数量×(1 x)n=变化后数量 1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤,2003年平均每公顷产8450 公斤,水稻每公顷产量的年平均增长率为。 2.某种商品经过两次连续降价,每件售价由原来的90元降到了40元,求平均 每次降价率是。 3.周嘉忠同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期 后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的60%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.(利息税为20%,只需要列式子) 。 4.某种商品,原价50元,受金融危机影响,1月份降价10%,从2月份开始 涨价,3月份的售价为64.8元,求2、3月份价格的平均增长率。 5.某药品经两次降价,零售价降为原来的一半,已知两次降价的百分率相同, 求每次降价的百分率?
《一元二次方程的应用(几何面积问题)》教学设计 课型:新授 教学目标: 1、知识与技能:通过分析问题中的数量关系,建立方程解决问题,认识方程模型的重要性,并总结运用方程解决实际问题的一般过程; 2、数学思考:进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型,从中感受到数学学习的意义; 3、问题解决:经历分析具体问题中的数量关系、建立方程模型并解决问题的过程; 4.情感态度:培养学生实事求是的科学态度,提高自身的数学交流水平,增强与人合作的精神和解决实际问题的能力,发展辩证思维能力。 教学重点:掌握列一元二次方程解应用题的基本步骤,会列一元二次方程解确决有关几何应用中的面积问题。 教学难点:如何将实际问题转化成数学问题,一元二次方程的建模过程,是本节课的一个难点。 课标与教材分析:课标要求能根据具体问题中的数量关系列出方程,体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型,能根据具体问题的实际意义,检验方程的解是否合理。本节内容的设置,正是《新课程标准》在知识点上呈螺旋上升趋势的具体体现。学生已经有了列方程解应用题的基本思路,同时,掌握了解一元二次方程的基本方法,但是学生的思维需要逐渐培养,在学生具备一定的思维水平的基础上,教师是引导学生学习的关键,在学习难度较大的知识点时,兴趣是关键。教师还应从学生的积极性入手,努力去挖掘学生的主动性和合作性,以增强学生克服困难的决心。 教学过程: 一、 课前热身 这两个一元二次方程是这节课学习一元二次方程的应用(几何面积问题)的方程模型,这两个方程的掌握会对学生直接产生事半功倍的效果,通过练习,让学生熟练掌握这类方程的解法。 二、课堂进行时…… 园林设计院计划在一块长16m 、宽12m 的矩形空地上,修建同样宽的道路,剩余部分种植花 草,种植花草部分的面积为96m 2,请你在下面的矩形中设计几种既美观又实用的方案: 通过一个小小的设计环节,让学生自己动手设计出模型,并由此引出下面模型的计算。 下面是几位工人师傅设计出的几个方案,请同学们帮忙计算一下这些方案是否可行。 1、如图,甲工人在空地中间修建两条同样宽且互相垂直的道路,请 ()()()()12362126 x x x x --=++=、 、
一元二次方程应用题经典题型汇总 认真阅读题目,分析题意,学会分解题目,从而找到已知的条件和未知问题,必要时可以通过画图、列表等方法来帮助理顺已知与未知之间的关系,找到一个或几个相等的式子,从而列出方程求解,同时还要及时地检验答案的正确性并作答.现就列一元二次方程解应用题中遇到的常见的几大典型题目,举例说明. 一、面积问题: 例1:如图,在长为100米,宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直 的道路,剩余部分进行绿化,要使绿化面积为7644米2,则道路的宽应为多少米?设 道路的宽为x米,则可列方程为() A.100×80-100x-80x=7644 B.(100-x)(80-x)+x2=7644 C.(100-x)(80-x)=7644 D.100x+80x=356 二、增长率问题:(变化前的基数a,增长率x,变化的次数n,变化后的基数b,关系:a(1+x)n=b)例2:恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率. 三、商品价格问题 例3:某商场服装部销售一种名牌衬衫,平均每天可售出30件,每件盈利40元.为了扩大销售,减少库存,商场决定降价销售,经调查,每件降价1元时,平均每天可多卖出2件。若商场要求该服装部每天盈利1200元,每件衬衫应降价多少元? 四、储蓄问题 例4:王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税) 五、情景对话类 例5:春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游,推出了如图对话中收费标准. 某单位组织员工去天水湾风景区旅游,共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游?
Page 1 of 17 让每一个学生超越老师! 一元二次方程应用题经典题型汇总 同学们知道,学习了一元二次方程的解法以后,就会经常遇到解决与一元二次方程有关的生活中的应用问题,即列一元二次方程解应用题,不少同学遇到这类问题总是左右为难,难以下笔,事实上,同学们只要能认真地阅读题目,分析题意,并能学会分解题目,各个击破,从而找到已知的条件和未知问题,必要时可以通过画图、列表等方法来帮助我们理顺已知与未知之间的关系,找到一个或几个相等的式子,从而列出方程求解,同时还要及时地检验答案的正确性并作答.现就列一元二次方程解应用题中遇到的常见的十大典型题目,举例说明. 一、增长率问题 例1 恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率. 解 设这两个月的平均增长率是x .,则根据题意,得200(1-20%)(1+x )2=193.6, 即(1+x )2=1.21,解这个方程,得x 1=0.1,x 2=-2.1(舍去). 答 这两个月的平均增长率是10%. 说明 这是一道正增长率问题,对于正的增长率问题,在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义,即可利用公式m (1+x )2=n 求解,其中m <n .对于负的增长率问题,若经过两次相等下降后,则有公式m (1-x )2=n 即可求解,其中m >n .
Page 2 of 17 让每一个学生超越老师! 二、商品定价 例2 益群精品店以每件21元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商 品售价a 元,则可卖出(350-10a )件,但物价局限定每件商品的利润不得超过20%,商店计划要盈利400元,需要进货多少件?每件商品应定价多少? 解 根据题意,得(a -21)(350-10a )=400,整理,得a 2-56a +775=0, 解这个方程,得a 1=25,a 2=31. 因为21×(1+20%)=25.2,所以a 2=31不合题意,舍去. 所以350-10a =350-10×25=100(件). 答 需要进货100件,每件商品应定价25元. 说明 商品的定价问题是商品交易中的重要问题,也是各种考试的热点. 三、储蓄问题 例3 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税) 解 设第一次存款时的年利率为x . 则根据题意,得[1000(1+x )-500](1+0.9x )=530.整理,得90x 2+145x -3=0.