一元二次方程的应用(1)面积问题解析

构造一元二次方程解决图形面积问题天津 张琪列一元二方程解决面积问题是一元二次方程的实际应用中一个重点，也是中考的一个热点. 解题的关键是结合图形列出一元二次方程，从而解决问题.【课本原题】如图1，在一块长92 m 、宽60 m 的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面积均为855的6个矩形小块，水渠应挖多宽？（北师大九年级上册教材P57复习题第15题）思路分析：设水渠的宽度为x m ，借助平移将水平的水渠移到矩形的上面，竖直的两条水渠平移到矩形的右边（如图2），可得空白部分为一个矩形，面积为6个原矩形小块的面积和，据此列方程求解.解答展示：设水渠的宽度为x m.根据题意，得（92-2x ）（60-x ）=885×6.解得x 1=105（不合题意，舍去），x 2=1.答：水渠的宽度为1 m.方法领悟：有些图形中涉及的基本图形比较分散，我们可以通过适当地平移将图形进行转化，可以方便我们求解． 变式1（2017•凉州区）如图3，某小区计划在一块长为32 m ，宽为20 m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570 m 2．若设道路的宽为x m ，则下面所列方程正确的是（ ）A ．（32-2x ）（20-x ）=570B ．32x+2×20x=32×20-570C ．（32-x ）（20-x ）=32×20-570D ．32x+2×20x-2x 2=570 解析：仿照上面的课本原题，通过平移后可知草坪的长为（32-2x ），宽为（20-x ），进而可知答案为A..变式2 如图4，某旅游景点要在长、宽分别为20米、12米的矩形水池的正中央建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭，观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行的且宽度相等的道路，已知道路的宽为正方形边长的41，若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的61，求道路的宽． 解析：如图5，利用平移把不规则的图形转化为规则图形.设道路的宽为x 米，则AE =CH =x 米，EF =（20-4x ）米，HG =（12-4x ）米.根据题意，得x （12-4x ）+x （20-4x ）+16x2=16×20×12. 整理，得x 2+4x -5=0.解得x 1=l ，x 2=-5（舍去）．答：道路的宽为1米． 图5 FG H M E 图4。

一元二次方程应用题专题训练一、面积问题1. 题目- 一个矩形的长比宽多2cm，面积是100cm²，求这个矩形的长和宽。

- 解析：设矩形的宽为x cm，因为长比宽多2cm，所以长为(x + 2)cm。

根据矩形面积公式：面积=长×宽，可得到方程x(x + 2)=100。

展开方程得到x²+2x - 100 = 0。

对于一元二次方程ax²+bx + c = 0（这里a = 1，b = 2，c=-100），根据求根公式x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}，先计算判别式Δ=b^2-4ac = 2^2-4×1×(- 100)=4 + 400=404。

则x=(-2±√(404))/(2)=(-2±2√(101))/(2)=-1±√(101)。

因为矩形的宽不能为负数，所以取x=-1+√(101)≈ - 1+10 = 9（这里√(101)≈10），长为x + 2=9+2 = 11cm。

2. 题目- 有一块正方形铁皮，从四个角各剪掉一个边长为2分米的正方形后，所剩部分正好围成一个无盖的正方体盒子，这个盒子的容积是27立方分米，求原来正方形铁皮的边长。

- 解析：设原来正方形铁皮的边长为x分米。

那么围成无盖正方体盒子底面的边长为(x - 2×2)=(x - 4)分米，盒子的高为2分米。

根据正方体容积公式V=a^3（这里a为正方体棱长），可得方程(x - 4)^2×2 = 27，即(x - 4)^2=(27)/(2)，展开得到x^2-8x + 16=(27)/(2)，整理为2x^2-16x+32 - 27 = 0，即2x^2-16x + 5 = 0。

这里a = 2，b=-16，c = 5，判别式Δ=b^2-4ac=(-16)^2-4×2×5=256 - 40 = 216，x=(16±√(216))/(4)=(16±6√(6))/(4) = 4±(3√(6))/(2)，因为边长不能为负，所以x =4+(3√(6))/(2)分米。

一元二次方程应用题面积问题1. 引言：面积问题的迷人世界大家好！今天咱们聊聊一元二次方程中的面积问题。

别急着皱眉头，这个话题其实特别贴近咱们的生活，学会了，能让你在解答一些日常问题时得心应手。

比如说，买草坪、规划花园、甚至是设计墙面装饰，这些都能用到哦！2. 面积问题的基础：概念简述2.1 什么是面积问题？说白了，面积问题就是要求你计算一个区域的大小。

在几何中，咱们经常需要找出矩形、三角形或者其他形状的面积。

那一元二次方程为什么会出现在这个问题里呢？好问题！因为有些面积计算需要用到二次方程来解决。

2.2 为什么用一元二次方程？一元二次方程，看起来有点复杂，但其实就是形如 ( ax^2 + bx + c = 0 ) 的方程。

它能帮我们解决一些涉及面积的实际问题，比如说，计算一个长方形的面积，特别是当这个长方形的边长变化时，就需要用到这样的方程了。

3. 实际例子：如何应用一元二次方程解决面积问题。

3.1 示例一：草坪面积假设你想在家里的花园里铺草坪，花园的长度是 ( x ) 米，宽度比长度少 5 米。

那么，花园的宽度就是 ( x 5 ) 米。

你知道草坪的面积是 84 平方米。

我们可以用一元二次方程来找出长度和宽度。

首先，面积 ( A ) = 长度 ( times ) 宽度。

根据题意，有：[ A = x times (x 5) = 84 ]。

简化一下，得到方程：[ x^2 5x = 84 ]接着，把 84 移到方程的另一边：[ x^2 5x 84 = 0 ]现在咱们可以用因式分解法或者求根公式来解这个方程。

因式分解的话，我们可以得到：[ (x 9)(x + 4) = 0 ]。

从中可以得到 ( x = 9 ) 或 ( x = 4 )。

因为长度不能是负数，所以我们取 ( x = 9 ) 米。

这样，花园的宽度就是 ( 9 5 = 4 ) 米。

3.2 示例二：墙面装饰再来一个例子，假如你要装饰一面墙，墙的高度比宽度多 2 米，装饰的总面积是60 平方米。

一元二次方程方程的应用面积问题一元二次方程是数学中的重要概念，它在现实生活中有着丰富的应用。

其中之一就是在解决面积问题时发挥作用。

从简到繁，本文将深入探讨一元二次方程在面积问题中的应用，以便读者能够更深入地理解这一概念。

一、一元二次方程的基本概念在深入讨论一元二次方程在面积问题中的应用之前，我们先来复习一下一元二次方程的基本概念。

一元二次方程通常具有如下形式：\[ax^2 + bx + c = 0\]其中，\(a\)、\(b\) 和 \(c\) 分别是一元二次方程的系数，而 \(x\) 则是未知数。

通过求解一元二次方程，我们可以得到该方程的根，从而找到方程所代表的数学意义。

二、一元二次方程在面积问题中的应用1. 求矩形的面积假设矩形的长为 \(x+3\)，宽为 \(x-1\)，我们希望求解这个矩形的面积。

根据矩形面积的计算公式 \[面积 = 长 \times 宽\]我们可以建立一个关于矩形面积的一元二次方程，通过求解这个方程，就可以得到这个矩形的面积。

2. 求三角形的面积假设有一个底边长为 \(x+2\)，高为 \(2x-1\) 的三角形，我们可以利用一元二次方程来求解这个三角形的面积。

根据三角形面积的计算公式\[面积 = \frac{底边 \times 高}{2}\]我们可以建立一个关于三角形面积的一元二次方程，通过求解这个方程，就可以得到这个三角形的面积。

3. 求圆的面积对于圆的面积问题，我们需要利用一元二次方程的相关知识进行转化。

假设一个圆的半径为 \(x+1\)，我们希望求解这个圆的面积。

根据圆的面积公式 \[面积 = \pi \times 半径^2\]我们可以建立一个关于圆面积的一元二次方程，通过求解这个方程，就可以得到这个圆的面积。

三、总结与回顾通过以上的例子，我们可以看到一元二次方程在面积问题中的广泛应用。

无论是矩形、三角形还是圆，我们都可以利用一元二次方程来求解其面积，这为我们在实际生活中的计算提供了便利。

一元二次方程应用题一、面积问题1. 题目- 用一块长80cm、宽60cm的长方形铁皮，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm²的无盖长方体盒子，求截去的小正方形的边长。

2. 解析- 设截去的小正方形的边长为x cm。

- 那么长方体盒子底面的长为(80 - 2x)cm，宽为(60 - 2x)cm。

- 根据长方体底面积公式S =长×宽，可得到方程(80 - 2x)(60 - 2x)=1500。

- 展开括号得4800-160x - 120x+4x^2=1500。

- 整理得4x^2-280x + 4800 - 1500=0，即4x^2-280x+3300 = 0。

- 两边同时除以4得x^2-70x + 825=0。

- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0（这里a = 1，b=-70，c = 825），根据求根公式x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。

- 先计算Δ=b^2-4ac=(-70)^2-4×1×825 = 4900 - 3300=1600。

- 则x=(70±√(1600))/(2)=(70±40)/(2)。

- 解得x_1=(70 + 40)/(2)=55，x_2=(70-40)/(2)=15。

- 因为长方形铁皮的宽为60cm，如果x = 55，则60-2x=60 - 110=- 50（不符合实际），所以舍去x = 55。

- 所以截去的小正方形的边长为15cm。

二、增长率问题1. 题目- 某公司去年的营业额为100万元，计划今年的营业额比去年增长x%，明年的营业额比今年增长x%，若明年的营业额为121万元，求x的值。

2. 解析- 今年的营业额为100(1 + x%)万元。

- 明年的营业额为100(1 + x%)(1 + x%) = 100(1 + x%)^2万元。

- 根据题意可列方程100(1 + x%)^2=121。

一元二次方程七大应用题讲解一、一元二次方程概述一元二次方程是数学中的一种基本方程，其一般形式为：ax+bx+c=0。

其中，a、b、c为已知常数，且a≠0。

求解一元二次方程的方法有多种，如因式分解法、完全平方公式法、韦达定理、二次三项式的配方法等。

二、一元二次方程的求解方法1.因式分解法：将一元二次方程转化为两个一次方程相乘的形式，即(ax+m)(nx+k)=0。

根据乘积为零的性质，可得到方程的解。

2.完全平方公式法：将一元二次方程转化为完全平方的形式，如(x+m)=n。

利用完全平方公式，可求得方程的解。

3.韦达定理：对于一元二次方程ax+bx+c=0，其根与系数的关系为：x+x=-b/a，xx=c/a。

根据这一关系，可以求解一些与根有关的问题。

4.二次三项式的配方法：将一元二次方程转化为二次三项式方程，如ax+bx+c=a(x+m)+n。

利用二次三项式的配方法，可以求解方程。

三、一元二次方程的应用1.面积问题：根据一元二次方程的根与系数的关系，可以求解几何图形的面积，如求解抛物线的面积。

2.几何图形问题：利用一元二次方程描述几何图形的性质，如求解圆的标准方程、椭圆的标准方程等。

3.物理问题：一元二次方程在物理中的应用广泛，如求解物体运动的轨迹、速度、加速度等。

4.函数问题：一元二次方程可以表示为二次函数，通过求解二次函数的极值、对称轴等问题，可以应用于优化问题、最值问题等。

5.线性方程组问题：一元二次方程与线性方程组有密切关系，通过求解一元二次方程，可以求解线性方程组。

6.实际问题：一元二次方程在实际问题中有广泛应用，如求解距离问题、速度问题等。

7.综合问题：在各类综合问题中，一元二次方程作为一种基本工具，可以解决许多复杂问题。

第04讲_一元二次方程的应用知识图谱一元二次方程的应用知识精讲一．面积问题解应用题的一般步骤（1）找出题中的等量关系；（2）设未知数；（3）根据等量关系列出方程；（4）解一元二次方程；（5）将方程的解代入原方程检验，回到实际问题中检验；（6）作答结论注意：求出x 值后需要检验是否符合实际意义草坪问题在一个长30m 、宽20m 的长方形ABCD 上修建三条同样宽的通道，剩余部分面积为468m 2，那么通道的宽应设计成多少m ？设通道的宽为x m ，列方程（30-2x ）（20-x ）=468篱笆问题利用围墙的一段，砌成一个矩形花园ABCD （围墙MN 最长可利用25m ），现在已备足可以砌50m 长墙的材料，恰好用完，试求AB 的长，使矩形花园的面积为300m 2设m AB x =，则()502m BC x =-由题意，()502m 25mBC x =-≤列方程，()502300x x -=解得：110x =（舍去）215x =15x ∴=二．经济问题增长率某商品经过两次降价，每盒零售价由168元降为128元，求两次降价的平均百分率设降价的平均百分率为x ，列方程()21681=128x -降价销售核桃进价为40元/kg ，售价为60元/kg ，平均每天售出100千克，单价每降低2元，平均每天销量增加20kg ，若想平均每天获利2240元，每千克核桃应降价多少元？设每千克核桃应降价x 元降价后售价：60-x单价降2元，销量增加20kg单价降x 元，销量增加202x⋅kg（60-x -40）（100+2x×20）=2240三．其他问题比赛问题有x 支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，已知每两队之间都比赛一场，求x∵有x 支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，∴共比赛场数为x （x ﹣1），∴(1)2x x -=45传染问题有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感。

求每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均每人传染了x 人，一轮传染：1x⋅此时共有()1+x 人得病二轮传染：()1+x x ⋅∴1+x +x （x +1）=64x =7或x =-9（舍去）三点剖析一．考点：一元二次方程的应用．二．重难点：列一元二次方程解应用题．三．易错点：建立一元二次方程解决实际问题时一定要注意检验是否符合实际意义．面积问题例题1、公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（）A.（x+1）（x+2）=18B.x2﹣3x+16=0C.（x﹣1）（x﹣2）=18D.x2+3x+16=0【答案】C【解析】设原正方形的边长为xm，依题意有（x﹣1）（x﹣2）=18，例题2、如图是一无盖长方体铁盒的平面展开图，若铁盒的容积为3m3，则根据图中的条件，可列出方程：【答案】x（x+1）=3【解析】长方体的高是1，宽x，长是x+1，根据题意得x（x+1）=3．例题3、如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的矩形ABCD上，修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB 平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78㎡，那么通道的宽应设计成________m．【答案】2【解析】暂无解析例题4、在美化校园的活动中，某综合实践小组的同学借如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形的花圃ABCD（篱笆只围AB、BC两边）设AB＝xm．（1）若想围得花圃面积为192cm2，求x的值；（2）若在点P处有一棵小树与墙CD、AD的距离分别为15m和6m，要将这棵树围在花圃内（含边界，不考虑树干的粗细），求花圃面积S的最大值．【答案】（1）12m或16m（2）195（m2）【解析】（1）∵AB＝xm，则BC＝（28－x）m，∴x（28－x）＝192，解得：x1＝12，x2＝16，答：x的值为12m或16m；（2）设花园的面积为S，由题意得：S＝x（28－x）＝－x2＋28x＝－（x－14）2＋196，∵62815 xx⎧⎨-⎩≥≥，∴6≤x≤13，6≤x≤13的范围内，S随x增大而增大，∴当x＝13时，S最大值＝－（13－14）2＋196＝195（m2）随练1、有一块长方形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四周各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，设铁皮各角应切去的正方形边长为xcm，则下面所列方程正确的是（）A.4x2=3600B.100×50﹣4x2=3600C.（100﹣x）（50﹣x）=3600D.（100﹣2x）（50﹣2x）=3600【答案】D【解析】设切去的小正方形的边长为x．根据题意得（100﹣2x）（50﹣2x）=3600．随练2、如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为x米，则根据题意可列出方程为．【答案】(22-x)(17-x)=300【解析】设道路的宽应为x米，由题意有（22﹣x）（17﹣x）=300，随练3、如图是一张长100cm，宽50cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成底面积是3600cm2的一个无盖长方形纸盒，求剪去的正方形边长．【答案】5cm【解析】设剪去的正方形边长为xcm，则纸盒底面长为（100－2x）cm，宽为（50－2x）cm，根据题意得：（100－2x ）（50－2x ）＝3600，整理，得：x 2－75x ＋350＝0，解得：x 1＝5，x 2＝70（不合题意，舍去）．故：剪去的正方形边长为5cm ．经济问题例题1、某种药品原价为36元／盒，经过连续两次降价后售价为25元／盒．设平均每次降价的百分率为x ，根据题意所列方程正确的是（）A.36（1－x ）2＝36－25 B.36（1－2x ）＝25C.36（1－x ）2＝25 D.36（1－x 2）＝25【答案】C【解析】第一次降价后的价格为36×（1－x ），两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x ，为36×（1－x ）×（1－x ），则列出的方程是36×（1－x ）2＝25．例题2、某商场销售一批真丝围巾，平均每天可售出20条，每条盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定适当降价。