第2讲 空间向量和空间直角坐标系
一．选择题（共8小题）
1．如图，在直三棱柱111ABCABC中，若1,,CAaCBbCCc，则1(AB )
A．abcB．abc
C．abcD．abc
【解答】解：直三棱柱111ABCABC中，1,,CAaCBbCCc，
所以111111ABABBBABCCCBCACCbacabc．
故选：D．
2．空间四边形ABCD中，若向量(3AB，5，2)，(7CD，1，4)点E，F分别为线段BC，AD的中点，则EF的坐标为( )
A．(2，3，3) B．(2，3，3)
B．C．(5，2，1) D．(5，2，1)
【解答】解：点E，F分别为线段BC，AD的中点，
EFOFOE，1()2OFOAOD，1()2OEOBOC．
11()()22EFOAODOBOC
1()2BACD
1[(32，5，2)(7，1，4)]
1(4,6,6)2
(2，3，3)．
故选：B．
3．已知直线l的方向向量为(1a，0，1)，点(1A，2，1)在l上，则点(2P，1，2)到l的距离为( )
A．15B．4C．17 D．32
【解答】解：根据题意，得；
(1PA，3，3)，
(1a，0，1)，
cosa，103219219PA，
sina，1719PA；
又||19PA，
点(2P，1，2)到直线l的距离为
||sinPAa，17191719PA．
故选：C．
4．同时垂直于(2a，2，1)，(4b，5，3)的单位向量是( ) A．122(,,)333
B．122(,,)333
C．112(,,)333
D．122(,,)333或122(,,)333
【解答】解：设同时垂直于(2a，2，1)，(4b，5，3)的单位向量为(ex，y，)z，
书 山 有 路 勤 为 径
学 海 无 涯
苦 作 舟
05-1
即墨实验高中高三数学理倾导学案
第六节 空间直角坐标系、空间向量及其运算 编41
编写人：张素兰
【课前预习导读】
一、学习目标
1.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示
2.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直
二 .知识梳理
1.空间直角坐标系及有关概念
(1)空间直角坐标系:
定义 以空间一点O为原点,具有相同的单位长度,给定正方向,建立两两垂直的数轴:x轴、y轴、z轴,建立了一个空间直角坐标
系_____ 坐标原点 点O
坐标轴 ___________
坐标平面 通过每两个坐标轴
的平面
(2)空间一点M的坐标:
①空间一点M的坐标可以用有序实数组(x,y,z)来表示,记作M(x,y,z),其中x叫做点M的_______,y叫做点M的_______,z叫做点M的_______;
②建立了空间直角坐标系,空间中的点M与有序实数组(x,y,z)
可建立_________的关系.
2.空间两点间的距离公式、中点公式
(1)距离公式:
①设点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则|AB|= ___________________________;
②设点P(x,y,z),则与坐标原点O之间的距离为|OP|=___________.
(2)中点公式:
设点P(x,y,z)为P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)的中点,则_______
4.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理:对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要
条件是存在实数λ,使得______.
(2)共面向量定理:如果两个向量a,b_______,那么向量p与向量
a,b共面的充要条件是存在_____的有序实数对(x,y),使
________.
(3)空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c_______,那么对空
空间坐标系与向量的表示
在数学和物理学中，空间坐标系和向量是两个重要的概念。空间坐标系是为了描述物体在空间中的位置而建立的一种坐标系统，而向量则是用来表示空间中的大小和方向的量。本文将介绍空间坐标系和向量的表示方法。
一、空间坐标系
空间中常用的坐标系有直角坐标系和极坐标系。直角坐标系是一种以直角为基础的坐标系，其中的三个坐标轴分别与空间中的三个方向相垂直。我们通常用x、y和z分别表示直角坐标系的三个坐标轴。
在直角坐标系中，每个点的位置可以用一个有序的数对 (x, y, z) 来表示，其中x表示点在x轴上的投影长度，y表示点在y轴上的投影长度，z表示点在z轴上的投影长度。
另一种常用的空间坐标系是极坐标系。极坐标系通常用于描述平面上的点，但也可以扩展到三维空间中。在极坐标系中，点的位置由极径和极角确定。将极径表示为r，极角表示为θ，那么可以用一个有序的数对 (r, θ, z) 来表示空间中的点的位置。
二、向量的表示
向量是空间中的一种几何量，它既有大小又有方向。在空间中，向量通常用有序的组数来表示。假设空间中有一个向量A，它的大小为|A|，方向为从点P指向点Q。那么向量A可以表示为⃗PQ。 向量的表示方法有多种，常见的有分量表示法和坐标表示法。
1. 分量表示法
分量表示法是将向量A在各个坐标轴上的投影长度表示为有序的数对 (Ax, Ay, Az)。其中Ax表示向量在x轴上的投影长度，Ay表示向量在y轴上的投影长度，Az表示向量在z轴上的投影长度。
例如，向量A在直角坐标系中的分量表示为 (Ax, Ay, Az)。
2. 坐标表示法
对于直角坐标系来说，向量A的坐标表示与分量表示是相同的。即向量A的坐标表示为 (Ax, Ay, Az)。
而对于极坐标系来说，向量A的坐标表示为 (r, θ, z)。其中r表示向量的大小，θ表示向量与正x轴的夹角，z表示向量在z轴上的投影长度。
三、总结
本文介绍了空间坐标系和向量的表示方法。空间坐标系包括直角坐标系和极坐标系，用来描述物体在空间中的位置。向量是空间中的一种几何量，既有大小又有方向。常用的向量表示方法有分量表示法和坐标表示法。
1 空间向量与立体几何知识点归纳总结
一．知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性
2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OBOAABab
;BAOAOBab
;()OPaR
运算律：⑴加法交换律：abba
⑵加法结合律：)()(cbacba
⑶数乘分配律：baba
)(
运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则
3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共
线向量或平行向量，a
平行于
b
，记作ba
//
。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a
、
b
（
b
≠
0
），a
//
b
存在实数λ，使a
＝λ
b
。
（3）三点共线：A、B、C三点共线
<=>ACAB
<=>)1(yxOByOAxOC其中
（4
）与a
共线的单位向量为
aa
4. 共面向量
（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量
,ab
不共线，
p
与向量
,ab
共面的条件是存在实数
,xy
使pxayb
。
（3）四点共面：若A、B、C、P四点共面
<=>ACyABxAP
<=>)1(zyxOCzOByOAxOP其中
2 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,abc
不共面，那么对空间任一向量p
，存
在一个唯一的有序实数组,,xyz
，使pxaybzc
。
若三向量,,abc
不共面，我们把{,,}abc
叫做空间的一个基底，,,abc
