空间直角坐标系与空间向量及其应用
考点一 求向量及其坐标
1 在空间直角坐标系O-XYZ中，
（1）哪个坐标平面与X轴垂直？哪个坐标平面与Y轴垂直？哪个坐标平面与Z轴垂直？
（2）写出迠P(2.3.4)在三个坐标平面内的射影的坐标.
考点二 共面问题
2 已知A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),迠P(X,-1,3)在平面ABC内，求X的值.
考点三 向量的应用
3 已知空间四边形OABC中，所在的角为的则ABOCACOBBCOA,,
A. 450 B. 600 C. 300 D.900
考点四 用向量证明垂直问题4 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，0160,3,1ABCAAACAB.)2(;)1(11的余弦值求二面角证明：BCAACAAB
考点五 用向量求角及中点问题
5 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC,D,E分别是BB1,AC1的中点.
（1）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；
（2）.,2111的大小求二面角设CADAABACAA
6 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面相互垂直，.,1,2的中点是线段EFMAFAB
（1)求证：AM平行平面BDC;
（2)求二面角A-DF-B的大小；
（3)试在线段AC上确定一点P ,使PF与BC所在的角是600.
7 如图ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，侧棱长为3，底面边长为2 ，E是棱BC的中点.
（1）求异面直线AA1和BB1 所成角的大小；
（2）求证：BD1平行平面C1DE;
（3）求二面角C1-DE-C的余弦值.
考点六 向量求距离的问题
8如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，BC的中点为O，3AO.
(1)求证：1BCAO;
(2)若异面直线A1C与BC1所在角的余弦值为1/4 ,求该棱柱的侧棱长；
空间直角坐标系向量相乘公式
在二维平面直角坐标系中，向量A=(a1,a2),B=(b1,b2)，它们的叉乘公式如下所示： A×B=a1·b2-a2·b1 从定义出发，可以进一步得出：
A×B=(a1,a2)×(b1,b2)=(a1,0)×(b1,b2)+(0,a2)×(b1,b2)=(a1·b2,a2·0)+(0,a2·b1)=(a1·b2,a2·b1)=(a1·b2-a2·b1) 向量的叉乘是一种类似矩阵乘法的运算，把两个二维向量A=(a1,a2),B=(b1,b2)相乘，可以得到结果C=(c1,c2)，其中C=(a1·b2-a2·b1,a1·b1+a2·b2)，即向量A与向量B的叉乘等于另外一个新的向量C，其中C=(a1·b2-a2·b1,a1·b1+a2·b2)，表达方式等价于C=(a1·b2-a2·b1)。 三维空间直角坐标系中，向量A=(a1,a2,a3),B=(b1,b2,b3)，它们的叉乘公式如下： A×B=a1(b2·b3)-a2(b1·b3)+a3(b1·b2) 该公式可以看作三个维度，即几何意义可以是“把A投影到B上，然后把这个结果与B（此时朝向A）叉乘，得到新的向量”，即结果C=(c1,c2,c3)，其中元素c1=a1(b2·b3)-a2(b1·b3)，c2=-a1(b1·b3)+a2(b1·b2)，c3=a1(b1·b2)-a2(b2·b3)。 总的来说，在二维和三维的直角坐标系中，向量的叉乘表达式分别如： A×B=a1·b2-a2·b1 (二维)，A×B=a1(b2·b3)-a2(b1·b3)+a3(b1·b2) (三维)，这两条等式表示的是当两个向量互相垂直时，他们和第三个坐标轴正交方向的积，两个向量成正比。两个向量的叉乘有很多复杂的几何意义，例如其表示两个向量彼此独立且成反比，如果向量叉乘等于零则其表示两个向量彼此平行，如果叉乘结果为正，则表示两个向量的夹角的余弦为正，如果叉乘为负，则表示两个向量的夹角的余弦为负。
空间直角坐标系中的向量
在空间直角坐标系中，向量是一种既有大小又有方向的量，常用箭头来表示。本文将讨论空间直角坐标系中向量的基本概念、表示方法以及向量运算等内容。
向量的基本概念
在空间直角坐标系中，一个向量可以由起点和终点确定。向量的模表示向量的大小，用 ||a|| 或 |AB| 表示，其中a为向量AB的模，AB为向量的名称。向量的方向表示向量的朝向，可以用箭头表示。向量既有大小，也有方向，所以向量是有向线段。
向量的表示方法
向量的表示方法有两种：点表示法和分量表示法。
- 点表示法：用向量的起点和终点表示向量。例如，向量AB用A点和B点表示。
- 分量表示法：用向量在坐标轴上的投影表示向量。空间直角坐标系中的向量可以表示为三个有序数对，即(x,y,z)。其中x、y、z分别为向量在x轴、y轴和z轴上的分量。
向量的运算
在空间直角坐标系中，向量的运算包括向量的加法、减法、数量乘法和数量除法。 - 向量的加法：向量的加法满足三角形法则，即将一个向量平移后与另一个向量首尾相接，用结果向量的起点和终点表示。向量的加法满足交换律和结合律。
- 向量的减法：向量的减法可以看作是向量加法的逆运算，即将减去的向量取负。例如，向量AB-向量AC可以表示为向量CB。
- 数量乘法：向量与实数的乘积，即将向量的模与实数相乘后保持方向不变。
- 数量除法：向量除以实数，即将向量的模除以实数后保持方向不变。
向量的坐标表示
在空间直角坐标系中，向量的坐标表示为(x,y,z)，其中x为向量在x轴上的分量，y为向量在y轴上的分量，z为向量在z轴上的分量。
向量的数量乘法和数量除法的性质
向量的数量乘法和数量除法满足以下性质：
- 量的分配律：a(向量BC + 向量CD) = a向量BC + a向量CD，(a+b)向量AB = a向量AB + b向量AB。
- 量的结合律：a(b向量AB) = (ab)向量AB。
- 一对称性：-1向量AB = -向量AB。
书 山 有 路 勤 为 径
学 海 无 涯
苦 作 舟
05-1
即墨实验高中高三数学理倾导学案
第六节 空间直角坐标系、空间向量及其运算 编41
编写人：张素兰
【课前预习导读】
一、学习目标
1.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示
2.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直
二 .知识梳理
1.空间直角坐标系及有关概念
(1)空间直角坐标系:
定义 以空间一点O为原点,具有相同的单位长度,给定正方向,建立两两垂直的数轴:x轴、y轴、z轴,建立了一个空间直角坐标
系_____ 坐标原点 点O
坐标轴 ___________
坐标平面 通过每两个坐标轴
的平面
(2)空间一点M的坐标:
①空间一点M的坐标可以用有序实数组(x,y,z)来表示,记作M(x,y,z),其中x叫做点M的_______,y叫做点M的_______,z叫做点M的_______;
②建立了空间直角坐标系,空间中的点M与有序实数组(x,y,z)
可建立_________的关系.
2.空间两点间的距离公式、中点公式
(1)距离公式:
①设点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则|AB|= ___________________________;
②设点P(x,y,z),则与坐标原点O之间的距离为|OP|=___________.
(2)中点公式:
设点P(x,y,z)为P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)的中点,则_______
4.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理:对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要
条件是存在实数λ,使得______.
(2)共面向量定理:如果两个向量a,b_______,那么向量p与向量
a,b共面的充要条件是存在_____的有序实数对(x,y),使
________.
(3)空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c_______,那么对空
