空间几何中的坐标系与空间直角坐标

1 必修二4.3空间直角坐标系学案

学习目标

1．了解空间直角坐标系的建系方式．

2．掌握空间中任意一点的表示方法．

3．能在空间直角坐标系中求出点的坐标．

4．掌握空间两点间的距离公式

一、知识梳理

1.如图，OABC—D′A′B′C′是单位正方体.以O为原点，分别以射线OA，OC，OD′的方向为正方向，以线段OA，OC，OD′的长为单位长，建立三条数轴：x轴、y轴、z轴.这时我们说建立了一个_______________O—xyz，其中点O叫做__________，x轴、y轴、z轴叫做__________.通过每两个坐标轴的平面叫做__________，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面.

2.在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为_____________，如无特别说明，本书建立的坐标系都是____________.

3.空间一点M的坐标可以用__________________来表示，______________叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作__________，其中____叫做点M的横坐标，____叫做点M的纵坐标，____叫做点M的竖坐标.

4.在空间直角坐标系中，怎样确定空间一点P的坐标？确定P点坐标(如下图)需要分三步完成：

(1)过点P作面xOy的垂线，垂足为Q；

(2)在面xOy内过点Q分别作x轴，y轴的垂线确定点P的横、纵坐标；

(3)过点P作平行于OQ的直线确定点P的竖坐标.

5．特殊位置点的坐标的特征．

x轴上的点的坐标为 ，其中x为任意实数；y轴上的点的坐标为 ，其中y为任意实数；z轴上的点的坐标为 ，其中z为任意实数；xOy平面上的点的坐标为 ，其中x，y为任意实数；xOz平面上的点的坐标为 ，其中x，z为任意实数；yOz平面上的点的坐标为 ，其中y，z为任意实数．

空间坐标系与空间坐标系在立体几何中的应用有答案

TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-一．空间直角坐标系

如图1，为了确定空间点的位置，我们建立空间直角坐标系：以正方体为载体，以O为原点，分别以射线OA，OC，OD′的方向为正方向，以线段OA，OC，OD′的长为单位长，建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，这时我们说建立了一个 空间直角坐标系 ，其中点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、zOx平面、yOz平面，通常建立的坐标系为 右手直角坐标系 ，即 右手拇指 指向x轴的正方向， 食指 指向y轴的正方向， 中指指向z轴的正方向．

二．空间直角坐标系中的坐标

空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作 M(x，y，z)，其中x叫做点M的

横坐标 ，y叫做点M的 纵坐标 ，z叫做点M的 竖坐标

[例1] 在空间直角坐标系中，作出点M(6，－2,4)．

[例2] 长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝a，|BC|＝b，|CC1|＝c，将此长方体放到空间直角坐标系中的不同位置(如图3)，分别写出长方体各顶点的坐标．

变式1：棱长为2的正方体，将此正方体放到空间直角坐标系中的不同位置，分别写出几何体各顶点的坐标。

2.底面为边长为4的菱形，高为5的棱柱，将此几何体放到空间直角坐标系中的不同位置分别写出几何体各顶点的坐标。

3. 在棱长均为2a的正四棱锥P－ABCD中，建立恰当的空间直角坐标系，

(1)写出正四棱锥P－ABCD各顶点坐标；

(2)写出棱PB的中点M的坐标． 解：连接AC，BD交于点O，连接PO，∵P－ABCD为正四棱锥，且棱长均为2a.∴四边形ABCD为正方形，

空间向量的直角坐标运算

目标认知

学习目标：

1．掌握空间向量的坐标表示、坐标运算、夹角公式、距离公式。

2．能通过坐标运算判断向量的共线与垂直.

3．理解直线的方向向量与平面的法向量.会求平面的法向量

重点：

掌握空间向量的坐标运算，能通过坐标运算判断向量的共线与垂直.

难点：

向量坐标的确定以及夹角公式，距离公式的应用

学习策略：

①空间向量的直角坐标运算和平面向量的直角坐标运算类似，两个向量的加、减、数乘运算就是向量的

横坐标、纵坐标、竖坐标分别进行加、减、数乘运算；空间两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘

积之和。

②对于垂直问题，一般是利用进行证明；对于平行问题，一般是利用共线向量和共面

向量定理进行证明．

知识要点梳理

知识点一：空间向量的基本定理

1．共线向量定理：

空间任意两个向量、（≠），//的充要条件是存在实数λ，使＝λ

2．共面向量定理（平面向量的基本定理）

两个向量、不共线，向量与向量、共面的充要条件是存在唯一实数对,使.

*推论：P、A、B、C四点共面的充要条件：，其中O为空间任意一点，x、y、z为实数，且x+y+z=1.

3．空间向量基本定理

如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在唯一的有序实数组，使。

若三个向量、、不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

知识点二：空间直角坐标系及空间向量的坐标表示

（1）单位正交基底

若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，常用表示；

（2）空间直角坐标

在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量都叫坐标向量。

通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面；

《空间直角坐标系》典型例题解析

例1：在空间直角坐标系中，作出点M(6，－2, 4)。

点拨点M的位置可按如下步骤作出：先在x轴上作出横坐标是6的点1M，再将1M沿与y轴平行的方向向左移动2个单位得到点2M，然后将2M沿与z轴平行的方向向上移动4个单位即得点M。

解答M点的位置如图所示。

总结对给出空间直角坐标系中的坐标作出这个点、给出具体的点写出它的空间直角坐标系中的坐标这两类题目，要引起足够的重视，它不仅可以加深对空间直角坐标系的认识，而且有利于进一步培养空间想象能力。

变式题演练

在空间直角坐标系中，作出下列各点：A(-2,3，3)；B(3，-4,2)；C(4,0，-3)。

答案：略

例2：已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标。

点拨先由条件求出正四棱锥的高，再根据正四棱锥的对称性，建立适当的空间直角坐标系。

解答正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，

∴正四棱锥的高为232。

以正四棱锥的底面中心为原点，平行于AB、BC所在的直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为A(2，-2,0)、B(2,2，0)、C(-2,2，0)、D(-2，-2,0)、P(0,0，232)。

总结在求解此类问题时，关键是能根据已知图形，建立适当的空间直角坐标系，从而便于计算所需确定的点的坐标。

变式题演练 1M 2M M（6，-2,4）

O

x y z

6

2 4

O A B C D P

x y z 在长方体1111DCBAABCD中，AB=12，AD=8，1AA=5，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标。

答案：以A为原点，射线AB、AD、1AA分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则A(0,0，0)、B(12,0，0)、C(12,8，0)、D(0,8，0)、1A(0,0，5)、1B(12,0，5)、1C(12,8，5)、1D(0,8，5)。