空间直角坐标系

1 【课题】4.3.1空间直角坐标系

【教材】 人教A版普通高中数学必修二第134页至136页.

【课时安排】 1个课时.

【教学对象】 高二（上）学生.【授课教师】 ***

一．教材分析：

本节内容主要引入空间直角坐标系的基本概念，是在学生已学过的二维平面直角坐标系的基础上进行推广，为以后学习用空间向量解决空间中的平行、垂直以及空间中的夹角与距离问题、研究空间几何对象等内容打下良好的基础。

空间直角坐标系的知识是空间解析几何的基础，与平面解析几何的内容共同体现了“用代数方法解决几何问题”的解析几何思想；通过空间直角坐标系内任一点与有序数组的对应关系，实现了形向数的转化，将数与形紧密结合，提供一个度量几何对象的方法。其对于沟通高中各部分知识，完善学生的认知结构，起到了很重要的作用。

二．教学目标：

 知识与技能

（1）能说出空间直角坐标系的构成与特征；

（2）掌握空间点的坐标的确定方法和过程；

（3）能初步建立空间直角坐标系。

 过程与方法

（1）结合具体问题引入，诱导学生自主探究；

（2）类比学习，循序渐进。

2  情感态度价值观

（1）通过实际问题的引入和解决，让学生体会数学的实践性和应用性，感受数学刻画生活的作用，进而拓展自己的思维空间。

（2）通过用类比的数学思想方法探究新知识，使学生感受新旧知识的联系，并加深领会研究事物从低维到高维的方法与过程。

（3）通过对空间坐标系的接触学习，进一步培养学生的空间想象能力。

三．教学重点与难点：

教学重点：空间直角坐标系相关概念的理解；空间中点的坐标表示。

教学难点：右手直角坐标系的理解，空间中点与坐标的一一对应。

四．教学方法： 启发式教学、引导探究

五．教学基本流程：

复习旧知，创设情境

↓

引导探究，动手实践

↓

建构数学，类比学习

↓

应用迁移，拓展升华

空间直角坐标系

一、教学目标：

1、知识技能目标：（1）能说出空间直角坐标系的构成，特征。（2）会自己画出空间直角坐标系。（3）能够在空间直角坐标系下表示点。

2、过程与方法：尝试自己建立空间直角坐标系，在这一过程中体会空间直角坐标系的特点。

3、情感目标：培养学生严谨的学习态度以及勇于探索的学习精神。

说明：教学目标是在进行了学习者的学习需求分析基础上制定的，分析了学习者的现有状态、想要达到的理想状态、以及当前存在的问题，针对这些制定出学习目标。教学目标分为认知领域、动作技能领域和情感态度领域三维目标。在制定具体教学目标时，使用行为动词进行表述，这样才可以使教学目标更具有可操作性。

二、教学任务分析

1、学生的起点能力：学生已经掌握平面直角坐标系的知识，又学习了立体几何内容，具备了一定的空间想象能力。

2、学习类型与先决条件：本课属于智力技能中的规则学习，先决条件是规则中的有关要领要先行掌握。

课时安排：1课时

说明：任务分析是教学目标设计的一个重要组成部分，它是对学生完成任务所允许的条件进行分析。因此在进行教学目标设计时，需要见其作为目标设计的一部分。

教学重点和难点

重点：空间直角坐标系的建立过程

难点：空间任意点的坐标如何表示

教学方法：探究式

教学手段：实物模型，多媒体

教学任务：

说明：教学任务的制定采用了“信息加工分析法”将学习过程看作是信息流的流动过程，所以这种方法强调任务分析过程中的连续性。

三、教学过程 课前准备：学生根据自己的预习制作空间直角坐标系模型

由实际问题引出空间直角坐标系，探索空间直角坐标系的建立方法

讨论分析空间任意点的坐标表示 说明：根据布鲁纳发现学习的教学理论，学习过程分成以下几步：创设问题情境，使学习者在情境中产生矛盾，提出要解决的问题；学习者利用所提供的材料，对问题提出假设，并检验假设，不同观点可以争论；对争论作出总结，得出结论。这种发现学习的教学顺序，实际上就是从具体到抽象的教学顺序，它有利于激发学习者的智慧潜能，有利于培养学习者的内在动机，学会发现的技巧。发现学习的结果也有利于记忆和保持。

1.3 空间向量及其运算的坐标表示

1．3.1 空间直角坐标系

知识点一 空间直角坐标系

(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{}i，j，k，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.

(2)相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分．

知识点二 空间一点的坐标

在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量OA→，且点A的位置由向量OA→唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使OA→＝xi＋yj＋zk．在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 OA→ 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．

知识点三 空间向量的坐标

在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作OA→＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，

使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)．

【题型目录】

题型一、空间中点的位置及坐标特征

题型二、求空间图形上的点的坐标

题型三、关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标

题型四、求空间两点的中点坐标

题型五、空间向量的坐标

题型一、空间中点的位置及坐标特征

1．下列命题中错误的是 ( )

A．在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)

B．在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)

C．在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标可记作(0,0，c)

知识要点空间直角坐标系

空间直角坐标系是用来描述三维空间中点位置的一种坐标系统。它由三个坐标轴x、y、z构成，且彼此互相垂直，并在相交点处成为原点O。

在空间直角坐标系中，每个点的位置可由它在每个坐标轴上的投影来确定。假设特定点P的坐标为(x,y,z)，则在x轴上的投影为x，y轴上的投影为y，z轴上的投影为z。

空间直角坐标系的特点是可以将任意三维空间中的点表示为有序的数对(x,y,z)，并且任意两点之间的距离可以用直线段来表示。其基本特征有以下几点：

1.原点O：空间直角坐标系的交点即为原点O，它的坐标为(0,0,0)。

2.坐标轴：空间直角坐标系有三个互相垂直的坐标轴，分别为x轴、y轴和z轴。它们分别与三个方向对应：x轴正向为向右，y轴正向为向上，z轴正向为向外。

3. 坐标面：由三个坐标轴所确定的平面称为坐标面。分别为xoy平面（z = 0）、xoz平面（y = 0）和yoz平面（x = 0）。

4.坐标轴方向：坐标轴方向有正负之分，规定沿着轴线正向的方向为正方向，反向则为负方向。

5.坐标轴长度：不同坐标轴的长度可以任选，但通常选择相等长度，方便计算。

在空间直角坐标系中，我们可以通过以下方法进行基本的空间点运算：

1.点的移动：在坐标轴上，点的移动相当于坐标值的变化。向右移动，坐标值加；向左移动，坐标值减；向上移动，坐标值加；向下移动，坐标值减；向外移动（离原点越来越远），坐标值加；向内移动（离原点越来越近），坐标值减。

2.点的关系：可以通过对比坐标值来判断两个点的相对位置。若两点的x、y、z坐标值分别相等，则它们重合；若只有一个坐标值相等，则它们在同一坐标轴上；若有两个坐标轴的坐标值相等，则它们在同一平面上；若没有坐标值相等，则它们位于不同的坐标平面中。

3.点的中点坐标：求两点的中点坐标，可以将两个点的对应坐标分别相加然后除以2

4. 点的距离：可以根据勾股定理来求两点之间的距离。设两点分别为P(x1, y1, z1)和Q(x2, y2, z2)，则它们之间的距离d为：d =