河北省唐山一中2015届高三上学期期中—数学(理)

唐山一中等五校2015届高三上学期第二次联考数学（理）试题第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上．1．设集合2{|2150}M x x x =+-<，2{|670}N x x x =+-≥，则MN =（ ）A ．(5,1]-B ．[1,3)C ．[7,3)-D ．(5,3)- 2． 已知i 是虚数单位，m 和n 都是实数，且(1)7m i ni +=+，则m nim ni+=-（ ）A ．1-B ．1C ．i -D ．i3．设若2lg ,0,()3,0,ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰((1))1f f =，则a 的值为 A ．1 B ．2 C ．1- D ．2-4．设,a b 为两个非零向量，则“||a b a b ⋅=⋅”是“a 与b 共线”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．右图中，321,,x x x 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p 为该题的最终得分，当5.8,9,621===p x x 时，3x 等于A ．11B ．8.5C ．8D ．7 6．已知()0,θπ∈，且 sin()410πθ-=，则 tan 2θ= A ．43 B ．34 C ．247- D ．2477．已知1,3O A O B ==,0,OA OB =点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒，设,O C m O A n O B =+(),mn R ∈，则nm等于（ ） A ．31 B ．3 C ．33D ．38．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1021=+a a ，436S =，则过点),(n a n P 和),2(2++n a n Q (*∈N n )的直线的一个方向向量是( )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,21 B ．()1,1-- C ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛--1,21 D ．⎪⎭⎫⎝⎛21,2 9．函数1)3(log -+=x y a )1,0(≠>a a 且的图象恒过定点A ，若点A 在直线02=++ny mx 上，其中0,0m n >>，则21m n+的最小值为( )A． B ．4 C ．52 D ．9210．在区间15,⎡⎤⎣⎦和24,⎡⎤⎣⎦上分别取一个数,记为a b ,, 则方程22221x y a b +=表示焦点在x 轴上且离心率小于2的椭圆的概率为 （ ） A ．12 B ．1532C ．1732D ．3132 11．多面体的三视图如图所示，则该多面体表面积为（单位cm ）A．28+ B．30+ C．30+ D．28+12．若曲线21:C y ax =(0)a >与曲线2:x C y e =存在公共切线，则a 的取值范围为A ．2,8e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．20,8e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．20,4e ⎛⎤⎥⎝⎦第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在答题卡上． 13．()522x x -+的展开式中3x 的系数为 ＊ ＊ ．14．若双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，则该双曲线的离心率为 ＊ ＊ ．15．设点(,)P x y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧+≤≥≤2200x y y x ，点(,)(0,0)Qaba b ≤≥满足1≤⋅OQ OP 恒成立，其中O 是坐标原点，则Q 点的轨迹所围成图形的面积是 ＊ ＊ ．16．在ABC ∆中，,sin 22tanC BA =+若1AB =，则12AC BC +的最大值 ＊ ＊ ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤． 17．已知数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，且),(2)1(*N n a a S n n n ∈+=（Ⅰ）求证数列{}n a 是等差数列；（Ⅱ）设,,121n n nn b b b T S b +⋅⋅⋅++==求n T ． 18．市一中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．（Ⅰ）求直方图中x 的值；（Ⅱ）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；（Ⅲ）从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于20分钟的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）19．已知四棱锥P ABCD -中，PA ^平面ABCD ，底面ABCD 是边长为a 的菱形，120BAD ∠=︒，PA b =．（Ⅰ）求证：平面PBD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）设AC 与BD 交于点O ，M 为OC 中点，若二面角O PM D --的正切值为:a b 的值．20．已知抛物线24y x =，直线:l 12y x b =-+与抛物线交于,A B 两点．（Ⅰ）若x 轴与以AB 为直径的圆相切，求该圆的方程；（Ⅱ）若直线l 与y 轴负半轴相交，求AOB ∆面积的最大值．21．已知函数2()()xf x ax e a R =-∈（Ⅰ）当1a =时，判断函数()f x 的单调区间并给予证明；（Ⅱ）若()f x 有两个极值点1212,()x x x x <，证明：1()12ef x -<<-．请考生在第22、23、24题中任选一道．．．．作答，如果多做，则按所做的第1题计分．作答时请写清题号．22．（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲 AC已知,A B C A B A C ∆=中，D A B C ∆为外接圆劣弧上的点（不与点A 、C 重合），延长BD 至E ,延长AD交BC 的延长线于F ．（Ⅰ）求证：CDF EDF ∠=∠；（Ⅱ）求证：AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅．23．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程选讲已知曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=，直线l 的参数方程是32,545x t y t ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩（t 为参数）．（Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，求MN 的最大值． 24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知1a b +=，对,(0,)a b ∀∈+∞，14|21||1|x x a b+≥--+恒成立，求x 的取值范围．河北省“五个一名校联盟”2015届高三教学质量监测（二）理科数学(答案)第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：BDADC CBADB AC 二、填空题： 13． -200 ．14．．15． 12．16．． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤． 17．已知数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，且),(2)1(*N n a a S n n n ∈+=（Ⅰ）求证数列{}n a 是等差数列； （Ⅱ）设,,121n n nn b b b T S b +⋅⋅⋅++==求.n T 解：（Ⅰ）)(2)1(*N n a a S n n n ∈+=①)2(2)1(111≥+=---n a a S n n n ②①-②得：21212----+=n n n nn a a a a a ()2≥n 整理得：()111))((---+=-+n n n n n n a a a a a a 数列{}n a 的各项均为正数，,01≠+∴-n n a a )2(11≥=-∴-n a a n n1=n 时，11=a ∴数列{}n a 是首项为1公差为1的等差数列 6分（Ⅱ）由第一问得22n n S n += 222112(1)1n b n n n n n n ⎛⎫∴===- ⎪+++⎝⎭1111111122(1)()2122334111n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦12分18．市一中随机抽取部分高一学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．（Ⅰ）求直方图中x 的值；（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿； （Ⅲ）从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望．（以直方图中高一学生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率） 解：（Ⅰ）由直方图可得：200.025200.0065200.0032201x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=．所以 0.0125x =． 3分 （Ⅱ）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.0032200.12⨯⨯=，因为12000.12144⨯=，所以1200名新生中有144名学生可以申请住宿． 6分 （Ⅲ）X 的可能取值为0,1,2,3,4.由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为14， 4381(0)4256P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭, 3141327(1)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 22241327(2)C 44128P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,334133(3)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 411(4)4256P X ⎛⎫===⎪⎝⎭． 10分 所以X 的分布列为：0123412566412864256EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（或414EX =⨯=）所以X 的数学期望为1． 12分19．已知四棱锥P ABCD -中，PA ABCD ⊥平面，底面ABCD 是边长为a 的菱形，120BAD ∠=︒，PA b =．（Ⅰ）求证：PBD PAC ⊥平面平面； （Ⅱ）设AC 与BD 交于点O ，M 为OC 中点，若二面角O PM D --的正切值为，求:a b 的值．19．解：（Ⅰ） 因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥BD ………………2分 又ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD,所以BD ⊥平面PAC ………………4分 从而平面PBD ⊥平面PAC ． ……………6分（Ⅱ）方法1． 过O 作OH ⊥PM 交PM 于H ，连HD因为DO ⊥平面PAC ，可以推出DH ⊥PM,所以∠OHD 为O-PM-D 的平面角………………8分又3,,244a aOD a OM AM ===，且OH AP OM PM =………………10分从而·4a OH ==………………11分tan ODOHD OH ∠===所以22916a b =，即43a b =． ………………………12分法二：如图,以A 为原点,,AD AP 所在直线为y 轴,z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,),(0,,0)P b D a,3,,0)8M a,1,,0)4O a …………8分 从而333(0,,),(,,)88PD a b PM a b =-=-3(,,0)44OD a a =-………………9分 因为BD ⊥平面PAC,所以平面PMO 的一个法向量为3(,,0)44OD a a =-．……10分 设平面PMD 的法向量为(,,)n x y z =,由,PD n PM n ⊥⊥得3330,08PDn ay bz PM n ay bz ⋅=-=⋅=+-=取,,x y b z a ===，即,,)n b a = (11)分设OD 与n 的夹角为θ，则二面角O PM D --大小与θ相等 从而tan θ=cos 15θ=531cos 5||||ab abOD n OD n a θ-+⋅===⋅从而43b a =，即:4:3a b =． ……………12分20．已知抛物线24y x =，直线:l 12y x b =-+与抛物线交于,A B 两点． （Ⅰ）若x 轴与以AB 为直径的圆相切，求该圆的方程；（Ⅱ）若直线l 与y 轴负半轴相交，求AOB ∆面积的最大值．解：（Ⅰ）联立2124y x by x⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，消x 并化简整理得2880y y b +-=． 依题意应有64320b ∆=+>，解得2b >-． 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12128,8y y y y b +=-=-，设圆心00(,)Q x y ，则应有121200,422x x y y x y ++===-． 因为以AB 为直径的圆与x 轴相切，得到圆半径为0||4r y ==，又||AB ．所以 ||28AB r =，解得85b =-．所以12124822224165x x b y b y b +=-+-=+=，所以圆心为24(,4)5-．故所求圆的方程为2224()(4)165x y -++=． （Ⅱ）因为直线l 与y 轴负半轴相交，所以0b <，又l 与抛物线交于两点，由（Ⅱ）知2b >-，所以20b -<<， 直线l ：12y x b =-+整理得220x y b +-=，点O 到直线l 的距离d =，所以1||42AOB S AB d ∆==- 令32()2g b b b =+，20b -<<， 24()343()g b b b b b '=+=+，由上表可得()g b 的最大值为432()327g -= ．所以当43b =-时，AOB ∆21．已知函数2()()xf x ax e a R =-∈（Ⅰ）当1a =时，判断函数()f x 的单调区间并给予证明； （Ⅱ）若()f x 有两个极值点1212,()x x x x <，证明：1()12ef x -<<-． 解：（Ⅰ）1a =时，2(),()2,x xf x x e f x x e '=-=-()2xf x e ''=-易知m a x ()(l n 2)2l n 220,f x f ''==-<从而()f x 为单调减函数．………………４分 （Ⅱ）()f x 有两个极值点1212,()x x x x <，即()20x f x ax e '=-=有两个实根1212,()x x x x <，所以()20x f x a e ''=-=，得ln 2x a =．(ln 2)2ln 220f a a a a '=->，得ln 212a a e >⇒>．………………6分又(0)10f '=-<，(1)20f a e '=-> 所以101ln 2x a <<<………………8分111()20x f x ax e'=-=，得112x e ax =111121111()122x x x x x e f x ax e x e e ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭1(01)x <<………………10分1111()02x x f x e ⎛⎫-'=< ⎪⎝⎭，1(1)()(0)12ef f x f -=<<=-………………12分另解：2()x e a p x x ==由两个实根，2(1)()x e x p x x -'=， 当0x <时，()0,p x '<所以()x e p x x =单调递减且()0xe p x x =<，不能满足条件． 当01x <<时，()0,p x '<所以()x e p x x =单调递减且()0xe p x x => 当1x >时，()0,p x '>所以()x e p x x =单调递增且()0xe p x x=>， 故当0x <时，min ()(1)p x p e ==，当0x →时()xe p x x =→+∞，当x →+∞时②()x e p x x =→+∞，所以2()xe a p x x==由两个实根需要2(1)a p e >=．即2e a >1()0,f x '=即112x e a x =，111122111111()(1),((0,1)22x x x x x e f x ax e x e e x x =-=-=-∈，从而可以构造函数解决不等式的证明．()20xf x ax e '=-=有两个实根1212,()x x x x <，0x =不是根，所以2()xe a p x x ==由两个实根，2(1)()x e x p x x-'=， 当0x <时，()0,p x '<所以()x e p x x =单调递减且()0xe p x x=<，不能满足条件． 当01x <<时，()0,p x '<所以()x e p x x =单调递减且()0xe p x x=> 当1x >时，()0,p x '>所以()x e p x x =单调递增且()0xe p x x=>， 故当0x <时，min ()(1)p x p e ==，当0x →时()xe p x x=→+∞，当x →+∞时②()x e p x x =→+∞，所以2()xe a p x x==由两个实根需要2(1)a p e >=．即2e a > 1()0,f x '=即112x e a x =，111122111111()(1),((0,1)22x x x x x e f x ax e x e e x x =-=-=-∈，从而可以构造函数解决不等式的证明．请考生在第22、23、24题中任选一道．．．．作答，如果多做，则按所做的第1题计分．作答时请写清题号．22．（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲弧AC 上已知,ABC AB AC ∆=中，D ABC ∆为外接圆劣的点（不与点A C 、重合）,延长BD 至E ,延长AD 交BC 的延长线于F ．（Ⅰ）求证：CDF EDF ∠=∠；（Ⅱ）求证：AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅．解：(Ⅰ)证明：A 、B 、C 、D 四点共圆∴CDF ABC ∠=∠．………………2分AB AC =ABC ACB ∴∠=∠且ADB ACB ∠=∠,EDF ADB ACB ABC ∠=∠=∠=∠,……………4分∴CDF EDF ∠=∠．………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)得ADB ABF ∠=∠,又BAD FAB ∠=∠,所以BAD ∆与FAB ∆相似,AB AD AF AB∴=2AB AD AF ∴=⋅，…………7分 又AB AC =, A B A C A D∴⋅=⋅，∴AB AC DF AD AF DF ⋅⋅=⋅⋅ 根据割线定理得DF AF FC FB ⋅=⋅，……………9分AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅．……………10分23．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程选讲 已知曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=，直线l 的参数方程是32,545x t y t ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩（t 为参数）． （Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，求MN 的最大值．解：（Ⅰ）曲线C 的极坐标方程可化为22sin ρρθ= ……………………………………………2分又222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===，[所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=…………4分（Ⅱ）将直线l 的参数方程化为直角坐标方程，得4(2)3y x =--… ………6分 令0y =，得2x =，即M 点的坐标为(2，0)．又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为(1，0)，半径1r =，则MC = ……8分所以1MN MC r +≤………………………10分24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知1a b +=，对,(0,)a b ∀∈+∞，14|21||1|x x a b +≥--+恒成立，求x 的取值范围．解：∵ a ＞0，b ＞0 且a+b=1 ∴1a +4b =(a+b)( 1a +4b )=5+b a +4a b ≥9 ，故1a +4b的最小值为9，……5分 因为对a ，b ∈(0，+∞)，使1a +4b≥｜2x-1｜-｜x+1｜恒成立，所以，｜2x-1｜-｜x+1｜≤9， 7分当 x≤-1时，2-x≤9，∴ -7≤x≤-1，当 -1＜x＜12时，-3x≤9，∴ -1＜x＜12，当 x≥12时，x-2≤9，∴12≤x≤11，∴ -7≤x≤11 …… 10分。

唐山一中 2014—2015 学年度第一学期期中考试高三年级数学试卷（文）一、选择题 (每题 5 分，共60 分)1.设会合A{ x | 2x 21}, B{ x |1x 0} ，则A I B 等于（）A. { x | x1}B.{ x |1x2}C.{ x | 0x 1}D.{ x | 0x1}2.若复数 Z a3i (a R ，i是虚数单位）是纯虚数，则Z 的值为（）12iC. 3i2iA.2B.3 D.3.以下说法正确的选项是（）A. 命题“x R 使得x22x30 ”的否认是：“x R, x 22x 3 0”B. “a 1”是“f ( x) log a x(a0, a 1) 在 (0,) 上为增函数”的充要条件C. “p q 为真命题”是“p q为真命题”的必需不充足条件D. 命题 p：“x R, sin x cos x 2 ”，则p 是真命题4．已知数列a n的前 n 项和为 S n，且知足 a n 22a n 1a n，a5 4 a3，则 S7＝() A． 7B． 12C． 14D． 215.一个长方体截去两个三棱锥,获得的几何体如图 1 所示 ,则该几何体的三视图为（）A B C D6.假如f (x)是二次函数 , 且 f ( x) 的图象张口向上,极点坐标为(1, 3),那么曲线y f ( x) 上任一点的切线的倾斜角的取值范围是（）A．(0, ]B．[3, )C．(,2]D．[, )32233 7.直线l：x my 2 与圆M： x22x y2 2 y0相切，则 m 的值为()A.1 或－ 6B.1 或－ 7C.－1 或 71 D.1 或78. 已知函数f ( x)a x 1 3 (a>0且a≠1)的图象过定点P,且点 P 在直线14()mx ＋ny－ 1＝ 0(m>0，且 n>0)上，则m＋n的最小值是A.12B.16C.25D.24x ≤ 19. 在拘束条件x y m 2≥ 0下，若目标函数 z2x y 的最大值不超出4，则实数 m 的x y 1≥ 0取值范围（）A. ( 3,3)B.[0, 3]C. [ 3,0]D. [ 3,3]10. 已知0 ，函数 f ( x)sin( x) 在 ( , ) 上单一递减 .则 的取值范围是 （）42A.[ 1, 5]B.[1,3]C.(0, 1]D (0, 2]2 42 4211. 若 a, b,c均为单位向量， a bc xayb (x, y R)，则x y的最大值是（）1 ，2A ．2B. 3C ．2D.112. 设点 P 在曲线 y1e x 上，点 Q 在曲线 yln(2 x) 上，则 PQ 最小值为（）2A.1ln2B.2(1 ln 2) C.1 ln2 D. 2(1 ln 2)二、填空题 (本大题共 4 小题，每题 5 分，共20 分)13. 在ABC 中，a, b,c 分别是内角 A, B, C 的对边，若 A,b 1 ， ABC 的面积为 3 ，32则 a 的值为.14. 已知矩形 ABCD 中，AB=2，AD=1，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，则( AE AF) BD.15. 把一个半径为532cm 的金属球熔成一个圆锥，使圆锥的侧面积为底面积的3 倍，则这个圆锥的高为.16. 函数 f (x) sin x ( x 0) 的图象与过原点的直线有且只有三个交点, 设交点中横坐标的最大值为,则(12)sin 2 =___.三．解答题 ( 本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17. (本小题满分 10分 ) 已 知 向 量 a(1,sin x) ， b ＝ (cos(2x), sin x) ， 函 数1cos2x .3f ( x) a b2(1) 求函数 f(x)的分析式及其单一递加区间； (2) 当 x ∈ 0,时，求函数 f(x)的值域．318.( 本小题满分 12 分 ) 已知数列 a n 知足 a 1 1, a n 1 11 此中 n N .,4a n(1) 设 b n2 ，求证：数列b n 是等差数列，并求出a n 的通项公式 a n ；2a n1(2) 设 c n4a n ，数列 c n c n 2 的前 n 项和为 T n , 能否存在正整数 m , 使得 T n 1 对n 1c m c m 1于 nN * 恒建立，若存在，求出 m 的最小值，若不存在，请说明原因 .19.(本小题满分 12 分 )设函数 f (x) 2x 1x 3（1）求函数 y f (x) 的最小值；（2）若 f ( x)axa 7a 的取值范围．2恒建立，务实数2ABC 和 BCE 是20. (本小题满分 12 分 ) 如下图， 边长为 2 的正三角形，且平面ABC 平面 BCE ，AD 平面 ABC ， AD2 3 .（ 1）证明： DE BC ；（ 2）求三棱锥 DABE 的体积 .DEACB21. （本小题满分 12 分 ) 己知函数 f ( x)x 3 ax 23x1是 f (x) 的极值点，求f (x) 在 [1, a] 上的最大值；（1）若 x3（2）在（ 1）的条件下，能否存在实数 b ，使得函数 g( x) bx 的图象与函数 f ( x) 的图象恰有 3 个交点，若存在，恳求出实数b的取值范围；若不存在，试说明原因.22. ( 本小题满分 12 分) x D ,有 f (x)F ( x) g( x) ，则称 F ( x) 为 f ( x) 与 g( x) 在 D 上的 一个“分界函数”.如x 0,1 ,1 x(1 x)e 2x1建立，则称1 xy(1 x ) e2 x是 y1 x 和 y1 x 在 0,1 上的一个“分界函数” 。

唐山市2014-2015学年度高三年级第一次模拟考试理 科 数 学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知全集{}2U 1x x =>，集合{}2430x x x A =-+<，则U A =ð（ ） A ．()1,3 B ．()[),13,-∞+∞ C ．()[),13,-∞-+∞ D ．()(),13,-∞-+∞ 2、221i i ⎛⎫= ⎪-⎝⎭（ ）A ．2i -B ．4i -C ．2iD ．4i 3、已知抛物线的焦点()F ,0a （0a <），则抛物线的标准方程是（ ）A ．22y ax =B ．24y ax =C ．22y ax =-D ．24y ax =-4、命题:p x ∃∈N ，32x x <；命题:q ()()0,11,a ∀∈+∞，函数()()log 1a f x x =-的图象过点()2,0，则（ ） A ．p 假q 真 B ．p 真q 假 C ．p 假q 假 D ．p 真q 真5、执行右边的程序框图，则输出的A 是（ ） A ．2912 B ．7029 C ．2970 D ．169706、在直角梯形CD AB 中，//CD AB ，C 90∠AB =，2C 2CD AB =B =，则co s D C ∠A =（ ）A B C D 7、已知2sin 21cos 2αα=+，则tan 2α=（ ）A ．43-B ．43C ．43-或0D ．43或08、32212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为（ ）A ．8-B ．12-C ．20-D ．20 9、函数()sin 2cos f x x x =+的值域为（ ）A ．⎡⎣B ．[]1,2C ．⎡⎣D ．⎤⎦10、F 是双曲线C :22221x y a b -=（0a >，0b >）的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ．若2F F A =B ，则C 的离心率是（ ）A B ．2 C ．3 D ．311、直线y a =分别与曲线()21y x =+，ln y x x =+交于A ，B ，则AB 的最小值为（ ）A ．3B ．2CD ．3212、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．4B ．21C ．12D 12+ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、已知()1,3a =-，()1,b t =，若()2a b a -⊥，则b = ．14、为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖情况，得如下实验数据，计算得回归直线方程为ˆ0.850.25yx =-．由以上信息，得到下表中c 的值为 ．天数t （天）3 4 5 6 7 繁殖个数y （千个）2.5 3 4 4.5 6 15、在半径为2的球面上有不同的四点A ，B ，C ，D ，若C D 2AB =A =A =，则平面CD B 被球所截得图形的面积为 ．16、已知x ，R y ∈，满足22246x xy y ++=，则224z x y =+的取值范围为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17、（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()11n n q S qa -+=，且()10q q -≠．()I 求{}n a 的通项公式；()II 若3S ，9S ，6S 成等差数列，求证：2a ，8a ，5a 成等差数列．18、（本小题满分12分）小王在某社交网络的朋友圈中，向在线的甲、乙、丙随机发放红包，每次发放1个．()I 若小王发放5元的红包2个，求甲恰得1个的概率；()II 若小王发放3个红包，其中5元的2个，10元的1个．记乙所得红包的总钱数为X ，求X 的分布列和期望．19、（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱111C C AB -A B 中，侧面11CC A A 与侧面11C C BB 都是菱形，111CC CC 60∠A =∠B =，C 2A =．()I 求证：11CC AB ⊥；()II 若1AB =11C -AB -A ．20、（本小题满分12分）已知圆:O 224x y +=，点)A ，以线段AB 为直径的圆内切于圆O ，记点B 的轨迹为Γ．()I 求曲线Γ的方程；()II 直线AB 交圆O 于C ，D 两点，当B 为CD 的中点时，求直线AB 的方程．21、（本小题满分12分）已知函数()()212x x f x e +=-，()()2ln 1x g x x e -=++．()I ()1,x ∈-+∞时，证明：()0f x >；()II 0a >，若()1g x ax ≤+，求a 的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，圆周角C ∠BA 的平分线与圆交于点D ，过点D 的切线与弦C A 的延长线交于点E ，D A 交C B 于点F ． ()I 求证：C//D B E ；()II 若D ，E ，C ，F 四点共圆，且C C A =B ，求C ∠BA ．23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知椭圆C :22143x y +=，直线:l 3x y t⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）． ()I 写出椭圆C 的参数方程及直线l 的普通方程；()II 设()1,0A ，若椭圆C 上的点P 满足到点A 的距离与其到直线l 的距离相等，求点P 的坐标． 24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()21f x x a x =-++．()I 当1a =时，解不等式()3f x <； ()II 若()f x 的最小值为1，求a 的值．参考答案一、选择题：1、C2、A3、B4、A5、B6、B7、D8、C9、A 10、C 11、D 12、C 二、填空题： 13、 514、615、16π16、[4，12]三、解答题：17、解：（Ⅰ）当n ＝1时，由(1－q )S 1＋qa 1＝1，a 1＝1．当n ≥2时，由(1－q )S n ＋qa n ＝1，得(1－q )S n －1＋qa n －1＝1，两式相减得a n ＝qa n －1， 又q (q －1)≠0，所以{a n }是以1为首项，q 为公比的等比数列，故a n ＝q n －1． …6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知S n ＝1－a n q 1－q ，又S 3＋S 6＝2S 9，得1－a 3q 1－q ＋1－a 6q 1－q ＝2(1－a 9q )1－q，化简得a 3＋a 6＝2a 9，两边同除以q 得a 2＋a 5＝2a 8． 故a 2，a 8，a 5成等差数列． …12分18、解：（Ⅰ）设“甲恰得一个红包”为事件A ，P (A )＝C 12× 1 3× 2 3＝ 4 9．…4分（Ⅱ）X 的所有可能值为0，5，10，15，20．P (X ＝0)＝(2 3)2× 2 3＝827，P (X ＝5)＝C 12× 13×(2 3)2＝827，P (X ＝10)＝(13)2× 2 3＋( 23)2× 13＝627， P (X ＝15)＝C 12×( 13)2×23＝427，P (X ＝20)＝( 13)3＝127． …10分X 的分布列：E (X )＝0×827＋5×827＋10×627＋15×427＋20×127＝203．…12分 19、解：（Ⅰ）证明：连AC 1，CB 1，则 △ACC 1和△B 1CC 1皆为正三角形． 取CC 1中点O ，连OA ，OB 1，则 CC 1⊥OA ，CC 1⊥OB 1，则CC 1⊥平面OAB 1，则CC 1⊥AB 1． …4分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，OA ＝OB 1＝3，又AB 1＝6，所以OA ⊥OB 1．如图所示，分别以OB 1，OC 1，OA 为正方向建立空间直角坐标系， 则C (0，－1，0)，B 1(3，0，0)，A (0，0，3)， …6分设平面CAB 1的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 因为AB 1→＝(3，0，－3)，AC →＝(0，－1，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3×x 1＋0×y 1－3×z 1＝0，0×x 1－1×y 1－3×z 1＝0，取m ＝(1，－3，1)． (8)分设平面A 1AB 1的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)， 因为AB 1→＝(3，0，－3)，AA 1→＝ (0，2，0)，所以⎩⎨⎧3×x 2＋0×y 2－3×z 2＝0，0×x 1＋2×y 1＋0×z 1＝0，取n ＝(1，0，1)．…10分则cosm ，n＝m ·n |m ||n |＝25×2＝105，因为二面角C -AB 1-A 1为钝角， 所以二面角C -AB 1-A 1的余弦值为－105．…12分 20、解：（Ⅰ）设AB 的中点为M ，切点为N ，连OM ，MN ，则|OM |＋|MN |＝|ON |＝2，取A 关于y 轴的对称点A ， 连A B ，故|A B |＋|AB |＝2(|OM |＋|MN |)＝4．所以点B 的轨迹是以A ，A 为焦点，长轴长为4的椭圆．其中，a ＝2，c ＝3，b ＝1，则曲线Γ的方程为x 24＋y 2＝1． …5分（Ⅱ）因为B 为CD 的中点，所以OB ⊥CD ， 则OB →⊥AB →．设B (x 0，y 0)，则x 0(x 0－3)＋y 02＝0． …7分 又x 024＋y 02＝1 解得x 0＝23，y 0＝±23．则k OB ＝±22，k AB ＝2， …10分 则直线AB 的方程为y ＝±2(x －3)， 即x －y －6＝0或2x ＋y －6＝0． …12分21、解：（Ⅰ）令p (x )＝f (x )＝e x －x －1，p (x )＝e x －1，在(－1，0)内，p (x )＜0，p (x )单减；在(0，＋∞)内，p (x ) ＞0，p (x )单增． 所以p (x )的最小值为p (0)＝0，即f (x )≥0，所以f (x )在(－1，＋∞)内单调递增，即f (x )＞f (－1)＞0． …4分（Ⅱ）令h (x )＝g (x )－(ax ＋1)，则h (x )＝ 2x ＋1－e －x －a ，令q (x )＝ 2x ＋1－e －x －a ，q (x )＝ 1e x － 2(x ＋1)2．由（Ⅰ）得q (x )＜0，则q (x )在(－1，＋∞)上单调递减． …6分 （1）当a ＝1时，q (0)＝h (0)＝0且h (0)＝0．在(－1，0)上h (x )＞0，h (x )单调递增，在(0，＋∞)上h '(x )＜0，h (x )单调递减， 所以h (x )的最大值为h (0)，即h (x )≤0恒成立． …7分 （2）当a ＞1时，h (0)＜0，x ∈(－1，0)时，h (x )＝ 2x ＋1－e －x －a ＜ 2x ＋1－1－a ＝0，解得x ＝1－a a ＋1∈(－1，0)．即x ∈(1－aa ＋1，0)时h (x )＜0，h (x )单调递减，又h (0)＝0，所以此时h (x )＞0，与h (x )≤0恒成立矛盾． …9分 （3）当0＜a ＜1时，h (0)＞0，x ∈(0，＋∞)时，h (x )＝ 2x ＋1－e －x －a ＞ 2x ＋1－1－a ＝0，解得x ＝1－a a ＋1∈(0，＋∞)．A即x ∈(0，1－aa ＋1)时h (x )＞0，h (x )单调递增，又h (0)＝0，所以此时h (x )＞0，与h (x )≤0恒成立矛盾．…11分 综上，a 的取值为1．…12分22、解：（Ⅰ）证明：因为∠EDC ＝∠DAC ，∠DAC ＝∠DAB ，∠DAB ＝∠DCB ， 所以∠EDC ＝∠DCB ， 所以BC ∥DE ． …4分 （Ⅱ）解：因为D ，E ，C ，F 四点共圆，所以∠CFA ＝∠CED 由（Ⅰ）知∠ACF ＝∠CED ，所以∠CFA ＝∠ACF ． 设∠DAC ＝∠DAB ＝x ， 因为AC ⌒＝BC ⌒，所以∠CBA ＝∠BAC ＝2x ， 所以∠CFA ＝∠FBA ＋∠FAB ＝3x ，在等腰△ACF 中，π＝∠CFA ＋∠ACF ＋∠CAF ＝7x ，则x ＝π7，所以∠BAC ＝2x ＝2π7． …10分23、解：（Ⅰ）C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ（θ为为参数），l ：x －3y ＋9＝0．…4分（Ⅱ）设P (2cos θ，3sin θ),则|AP |＝(2cos θ－1)2＋(3sin θ)2＝2－cos θ，P 到直线l 的距离d ＝|2cos θ－3sin θ＋9|2＝2cos θ－3sin θ＋92． 由|AP |＝d 得3sin θ－4cos θ＝5，又sin 2θ＋cos 2θ＝1，得sin θ＝ 35， cos θ＝－ 45．故P (－ 8 5， 335)．…10分24、解：（Ⅰ）因为f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ， x ≤－1；－x ＋2，－1≤x ≤12；3x ， x ≥12且f (1)＝f (－1)＝3，所以，f (x )＜3的解集为{x |－1＜x ＜1}； …4分（Ⅱ）|2x －a |＋|x ＋1|＝|x － a 2|＋|x ＋1|＋|x － a 2|≥|1＋ a 2|＋0＝|1＋ a2|当且仅当(x ＋1)(x － a 2)≤0且x － a2＝0时，取等号． 所以|1＋ a2|＝1，解得a ＝－4或0．…10分AD BFCE。

XXXX一中2021-2021 学年高一上学期期中考试数学试卷〔解析版〕一、选择题1．设全集 U 是实数集R，M{ x x 2或x2} ， N { x x 3或x 1} 都是U的子集，那么图中阴影局部所表示的集合是〔〕A．{ x C．{ x12xx1}2}B．{ xD．{ x x2 x2}2}【答案】【解析】A试题分析：由韦恩图知阴影局部所表示的集合为 N C U M ，先求出M的补集为x | 2 x 2 ，再画数轴可以求它于N 的交集为{ x 2 x1} ．考点： 1．集合间的根本关系；2．集合的根本运算．2．以下函数中与函数y x 相等的函数是〔〕A．y ( x )2B．y x2． y2log 2x． y log22 xC D【答案】 D【解析】试题分析：函数三要素都一样的两个函数是相等函数，因为 y x 的定义域、值域都是 R ．选项 A．函数的定义域是0,，选项 B 函数的值域是0,选项 C 函数的定义域是0,，选项 D 函数的的定义域、值域都是R ，且解析式化简后为y x考点：函数的三要素3．函数y2x24x 的值域是〔〕A．[2,2]B．[1,2]C．[0, 2]D．[2,2]【答案】 C【解析】试题分析：由x24x 0 得函数的定义域为x |0 x 4 ，先求 yx24x 的值域为0,4 ，再求得函数 yx 24x 的值域为 0,2，那么可以求出原函数的值域为 [0, 2] ．考点： 1．函数的定义域； 2．复合函数的值域．4．函数y kx b 与函数ykb〕在同一坐标系中的大致图象正确的选项是〔x【答案】 B【解析】试题分析： A ．ykxb 的图像过二、三、四象限k0,b 0 那么 kbkb 的图0 ，yx像应在一、 三象限，错误 ．ykxb 的图像过一、 二、四象限k 0, b 0 ，那么 kb 0 ，Bkb 的图像应在二、 四 象限，正确．y kxb 的图像过一、 三、四象限 k 0, b 0 ，yCxkb那么 kb 0 ， yD ．ykx b 的图像过一、二、四象限的图像应在二、四象限，错误xk 0, b0 ，那么 kb0 ， ykb的图像应在二、四 象限，错误x考点：一次函数和反比例函数的图像5．函数fxlog 3 x, x 0,f1 的值为〔〕2 x ,x那么 f 270.1B ． 4C ．21A ．D ．84【答案】 A【解析】试题分析：因为10 ， log 313 ，所以ff 1 = f ( 3) 2 3 1 ．2727278 考点：分段函数函数值的计算．6．以下函数中既是偶函数又在(,0) 上是增函数的是〔〕431A ．y x 3B ．y x 2C ．y x 2D ．y x 4【答案】 C【解析】31试题分析：因为 yx 2的定义域为0, ， yx 4的定义域为 0,，所以两函数为非奇非偶函数，B 、 D 错误，又因为yx 21 在 (,0) 上是增函数，所以选项C 正x2确考点： 1．函数的奇偶性；2．函数的单调性．7．函数f (x)x 2 ax 5, x 1, 在 R 上单调，那么实数a 的取值X 围为〔11, x1.〕xA ．( ,2]B ．[2,)C ．[4,)D ．[2, 4]【答案】 D【解析】试题分析：当 x 1时，〔〕1为减函数，所以 〔f x 〕在 R 上应为单调减函数，要求当f x =1+ xx 1时fxx 2 ax 5 为减函数，所以a 1 ，即 a2 ，并且要满足当x=1时函数12〔〕 的函数值不大于 x=1 时函数 f x x 2 ax 5 的函数值，即 1 a5 2，解f x =1+x得 a 4，易知 a 的取值X 围为[2, 4]考点： 1．分段函数2．函数的单调性．8 ． f x 是定义在 R 上的偶函数，且在,0 上是增函数，设af log 4 7 ，b f (log 2 3) ，c f0.20.6 ，那么 a,b, c 的大小关系是〔〕A ．c b aB ．b c aC ．b a cD ．a b c【答案】 C 【解析】试 题 分 析 ： 偶 函 数 f x 在,0 上是增函数，那么在0,上为减函数，又log 4 7 log 2 7 ， 0 0.20.6 1 log 2 7log 2 3 ，所以bac考点： 1．偶函数的性质； 2．指对数的运算性质．9．设函数yx 3与 y ( 1) x 2的图象的交点为 ( x 0 , y 0 ) ，那么x 0 所在的区间是〔〕2A ．〔0,1〕B ．〔 1,2〕C ．〔2,3〕D ．〔 3,4〕【答案】 B 【解析】试题分析： 函数 yx 3与 y ( 1)x 2的图象的交点的横坐标x 0即函数 f x x 3122x 2 的零点，根据函数零点存在定理，假设fxx312x 2假设在区间a, b 上存在零点，那么f (a) f (b) 0 ， 对 四 个 答 案 中 的 区 间 进 行 判 断 ， 即 可 得 到 答 案．当 x 1 时 ，x 22 时，f x x 31x 2f x x310 ，当x22即 f (1) f (2) 0 又∵函数fxx312点一定位于区间1,2 ．考点：函数与方程．x 2 为连续函数 ,故函数f x x312x 2的零10．设g (x)为R 上不恒等于0 的奇函数， f (x)1 1 g( x) 〔a ＞0且a ≠1〕为偶a x1 b函数，那么常数 b 的值为〔〕A ．2B ． 1 1D ．与a 有关的值C ．2【答案】 A【解析】试题分析：由题意可知函数h x11 为奇函数，所以h xh x ，即有：a x 1 b1 1 1 111，化简得 2 1，所以 b2 ．ba x 1 ba x1 ba x 1 b考点函数奇偶性的判断．11 ．假设f ( x)是R 上的减函数，且f ( x) 的图象经过点 A(0,4) 和点 B(3, 2) ，那么当不等式| f ( xt ) 1 | 3 的解集为 ( 1,2) 时， t 的值为〔〕A ． 0B ．－ 1C ． 1D ． 2【答案】 C【解析】试题分析： 由 | f (x t) 1 | 3 得 3f ( x t) 1 3 ，即 2f ( x t ) 4 根据图像过点A(0,4) 和点 B(3, 2) ，所以 f (3)f (xt )f (0) ，即 0x t 3 ，因为 1 x 2 ，0 x 1 3 ，所以 t 1 ．考点： 1．函数的单调性；2．绝对值不等式的解法．12 ．函数yf ( x) 满足：① y f ( x1)是偶函数；②在1,上为增函数 , 假设x 1 0, x 2 0 ,且 x 1 x 22,那么 f(x 1 ) 与 f ( x 2 ) 的大小关系是〔 〕A ．f ( x 1 ) f ( x 2 )B ．f (x 1 )f ( x 2 )C．f (x1 )f ( x2 )D．无法确定【答案】 A【解析】试题分析： f x 1是偶函数，所以 f x 1 f x 1 即 f x f x 2 由x1x2 2 得 x1 2 x2 2 ，y f (x) 在1,上为增函数,所以f1x f2 2 x f2x考点： 1．函数的奇偶性； 2．函数的单调性．二、填空题2113．计算:273-2log 2 3log2log 23 log3 4＝ ____________．8【答案】 20【解析】233(3) 299220试题分析：原式 =〔3 〕 3考点：指数与对数的运算性质．14．f (x)ax7bx 2 ，假设f (2021)10，那么 f(2021)的值为．【答案】 -14【解析】试题分析：设 g x ax7bx, g x f x2，那么 g x g x，因为g2021 f (2021)212g2021 f ( 2021) 2 g202112，所以 f (2021)14考点：函数的奇偶性．15．f x log1x2ax3a 在区间2,上为减函数，那么实数 a 的取值X围是2____________．【答案】-4,4【解析】试题分析：二次函数 y x2ax 3a 的对称轴为a，应有a2 ，且满足当22 x 2时y x2ax 3a0a即22，所以 4 a 4 ．42a3a0考点：函数的单调性和最值．16．定义在R 上的函数f ( x)，如果存在函数g (x) kx b(k ,b为常数〕，使得≥f ( x) g( x)对一切实数 x 都成立，那么称g ( x) 为 f ( x) 的一个承托函数．现有如下命题：①对给定的函数 f ( x) ，其承托函数可能不存在，也可能无数个；② g (x) =2x为函数f x x的一个承托函数；( ) 2③定义域和值域都是R 的函数 f ( x) 不存在承托函数；其中正确命题的序号是____________．【答案】①【解析】试题分析：对于①，假设 f x sin x, 那么g x B(B 1), 就是它的一个承托函数，且有无数个，再如f x t a n x , g x l g x ,就没有承托函数，所以①正确；对于②3时g33当 x3, f x228,22所以 f x g x ，所以 g x 2 x 不是 f x 2x的一个承托函数，故错误对于③如f x2x3存在一个承托函数y2x 1，故错误；考点： 1．新定义函数；2．一次函数、指数函数的性质．三、解答题17．〔本小题总分值10 分〕集合A{x|33x27}，B{x|log2 x1} ．〔1〕求e R B A ；〔2〕集合Cx 1x a，假设C A ，XX数 a 的取值X围．【答案】〔1 〕x | x3;〔2〕，3【解析】试题分析：〔 1〕首先化简集合A、 B ，求出C R Bx | x 2 ，再利用数轴求并集；〔2〕由C A 先考虑C时，此时 a1，当C时， 1 a3试题解析：〔Ⅰ〕 A{ x | 3 3x27} { x | 1 x 3}, B{ x | log 2 x 1} { x | x 2}[ R B A { x | x 2} { x |1 x 3}{ x | x 3}5 分〔Ⅱ〕①当 a 1时， C ，此时 C A ；②当 a 1 时， CA ，那么 1 a 3综合①②，可得a 的取值X 围是，310 分考点： 1．集合的运算； 2．集合的根本关系．18．〔本小题总分值 12 分〕函数 f (x)x 22mx 3m 4 ，〔1〕m 为何值时， f ( x) 有两个零点且均比－ 1 大；〔2〕求f ( x)在[0,2] 上的最大值 g( m) ．【答案】〔1 〕5, 13m 4,m1；〔 2〕g (m)8,m．7m 1【解析】试题分析： 此题考察函数的零点， 利用方程的根求证零点； 及二次函数对称轴与给定区间的关系的讨论．〔1〕 f (x) 有两个零点且均比－ 1 大即函数与x 轴有两个交点， 且交点在－1 的右边， 所以要求 0 ， m 1，当 x1 时，图像在x 轴上方．〔2〕f x 的对称轴为 x m ,讨论对称轴在区间 [0, 2] 的关系． 区间 [0, 2] 的中点 x 1 ，利用二次函数的对称性，当m 1 时， f 0 最大值，当 m1 时，f2 取最大值，m1m1试题解析：〔 1〕由题意，知即 m 23m 4 0f10 12m 3m 4 0∴－ 5 m －1.6 分∴m 的取值X 围为(－5，－1)．〔2〕 f x 的对称轴为 xm ，当 m 1,即 m 1时， g(m) f (0) 3m 4 ，当 m1,即 m 1时, g (m)f (2)7m 8，3m 4, m 112 分g(m)8,m．7m1考点： 1．函数的零点；2．二次函数图像的性质．19．〔本小题总分值12 分〕某公司生产一种电子仪器的固定本钱为20000 元，每生产一台仪100 元，总收益满足函数：400x1x 2 ,0 x400器需增加投入R( x)2，其中 x80000, x 400是仪器的月产量，〔1〕将利润f (x) 表示为月产量x 的函数；〔2〕当月产量x为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？〔总收益=总本钱 +利润〕．【答案】〔1 〕f ( x)1 x2300x 20000,0x400 260000100x, x400〔2〕当月产量为300 台时，公司获利最大，最大利润为25000 元．【解析】试题分析：〔 1〕根据题意总收益总本钱利润，故利润总收益总本钱，易得函数关系式；〔2〕通过〔 1〕知函数关系式为分段函数，故函数的最大值为各段最大值中的最大值．试题解析：〔 1〕当0x400 时，f ( x)400x 1 x2100x20000 = 1 x2300x20000 ；22当 x400 时 f x8000010x2000060000100x所以所求 f x1x2300x20000,0x4006 分260000100x, x400〔2〕当0x400 时f x 1 x2300x200001(x300)22500022当 x 300时，f max x25000当 x400时， f x60000 100x f4002000025000所以当 x 300时， f max x25000答：当月产量为300 台时，公司获利最大，最大利润为25000 元12分考点：函数综合问题．20．〔本小题总分值12 分〕对于函数 f (x)2 x a，2 x1〔1〕求函数的定义域；（2〕当a为何值时，f ( x)为奇函数；（3〕写出〔 2〕中函数的单调区间，并用定义给出证明．【答案】〔1 〕x x0 ;〔2〕a1 〔3〕在 (,0) 上单调递减，在( 0,) 上单调递减．【解析】试题分析：〔 1〕利用分母不为零，可知函数定义域；〔 2〕中利用奇函数的定义，判定先看定义域关于原点对称，然后利用f xf x 可求出 a ；〔 3〕由〔 2〕知a1时， f ( x)21，y2x1在(,0) 和 (0,) 为增函数，2 x1f x的单调递减区间为(,0) 和 (0,) ，利用函数的单调性定义取值、作差、变形可证明．试题解析：〔 1〕2x10即 x0定义域为x x0 2 分〔2〕由f ( x)是奇函数，那么对任意x x x02 x a a 2x1f ( x)2x af ( x)x1 2 x12x12化简得 (a1)2x a1a1a1时，f (x)是奇函数 6 分〔3〕当a 1 时，f ( x)21 的单调递减区间为(,0)和(0, )．8 分2 x1任取x1 , x2(0,) 且 x1x2那么 f (x1 )f ( x2 )222(2x22x1 )2x112 x2 1 (2 x11)( 2x21) 0x1x2y 2 x在R上递增2x22x112 x22x10 ， 2x110 ， 2x2 1 0f (x1 ) f (x2 )0 f (x) 在 (0,) 上单调递减．同理： f ( x) 在 (,0) 上单调递减．综上：f ( x)2 1 在 ( ,0) 上单调递减，在 ( 0, ) 上单调递减．12 分2 x1考点： 1．函数的定义域； 2．函数的奇偶性； 3．函数的单调性．21．〔本小题总分值 12 分〕定义域为(0 , ) 的函数 f (x) 满足：①x1 时，f ( x)0 ；② f (1) 1③对任意的正实数x , y ，都有 f (xy )f ( x) f ( y) ；21〔1〕求证：f ()f (x) ；x〔2〕求证：f (x) 在定义域内为减函数；〔3〕求不等式f (2) f (5 x)2 的解集．【答案】 〔 3〕 x |3 x 5【解析】试题分析：〔 1〕因为1与x 互为倒数，可先求出f 10 ，再利用f ( xy)f (x) f ( y) 可x证〔2〕构造函数中两个任意变量的函数值差，结合函数表达式得到函数单调性的证明．〔 3〕结合特殊值的函数值，得到 f 4 2 ,由〔 2〕fx 为减函数进而得到函数的不等式的求解．试题解析：因为对任意正实数x, y 有1与x fx.yf xf yx所以 f 1 f (1) f 1 f 12 f 1 ,所以 f 12 分〔1〕所以f1 f ( x1f x1所以 f (1 f x5 分)f () 0 , )xxx〔2〕设x 1, x 2(0,) ,且x 1x 2 , 那么x 11那么 fx 10 ，x 2x 2又由〔 1〕知fxf ( 1)f x 2f ( x 1 ) f x 2f ( 1)f (x 2)xx 1x 1f x 2f ( x 1)f x 为 0，+ 的减函数8 分〔3〕f 1 =f (21) =f 2 +f1 1 1=0 因为f ( )222f 2 +f (5 x)2等价于f 10 2xf (4)f x 在 0，+ 上为减函数，所以上面不等式等价于10 2 x 0 x | 3 x 512 分10 2 x得4考点： 1．抽象函数； 2．函数的单调性的运用．22．〔本小题总分值12 分〕定义在D 上的函数f ( x)，如果满足：对任意 x D ，存在常数M 0，都有| f ( x) | M 成立，那么称f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数f x 的上界．函数f ( x) 1 a ( 1)x( 1) x ，139〔 1〕当af x 在,0 上的值域，并判断函数f x 在,0 上是否时，求函数2为有界函数，请说明理由；〔2〕假设函数f x 在 0, 上是以 4 为上界的有界函数，XX 数a 的取值X 围．【答案】〔1 〕函数f x 在 (,0) 上不是有界函数;〔2〕-6,2【解析】试 题 分 析 ：〔 Ⅰ 〕 将 a1代 入 f x可 得 f (x)1 1 ( 1 )x(1) x ， 令1212 3 9t ( ) x , x0, t1利用函数的单调性判断出 y 1t t 2在 (1,) 上是单调递增33 2函数，即可求得y，从而得到 f x 的值域，根据有界函数函数的定义，即可判断出2f x 不是有界函数；〔Ⅱ〕根据有界函数的定义，可得 f (x) 4 在x [0, ) 上恒成立，利用参变量别离转化为(t5 ) a 3 t 在 t 〔0,1] 上恒成立，令，那么h(t )(t5) ， p(t ) 3 t ，ttt t问题转化为求 h t 的最大值和 p t 最小值， 利用函数单调性的定义， 分别判断出函数 h t和 p t的单调性，即可求得最值，沉着求得a 的取值X围．试题解析： 〔 1〕当a1 时， f (x) 11 ( 1)x (1 )x ,令t( 1) x , x 0, t1 ，2 2 393y 11 t t 2因为 y1 1 t t 2在 (1,) 上单调递增，y3 ，即 f ( x) 在 ,1 的222值域为 (3,)2故不存在常数 M 0 ，使| f (x) |M 成立，所以函数f x 在(,0) 上不是有界函数。

唐山一中2016－2017学年度第一学期期中考试高三年级理科数学试卷说明：1．考试时间120分钟，满分150分。

2.将卷Ⅰ答案用2B 铅笔涂在答题卡上,将卷Ⅱ的答案用黑色签字笔写在答题卡上。

3.本次考试需填涂的是准考证号（8位），不要误涂成座位号（5位），座位号只需在相应位置填写。

卷Ⅰ（选择题 共60分）一 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的.请把正确答案涂在答题卡上.）1. 若全集U=R,集合M ＝错误!未找到引用源。

，N ＝错误!未找到引用源。

，则错误!未找到引用源。

等于 （ ）A ．错误!未找到引用源。

B ．错误!未找到引用源。

C ． 错误!未找到引用源。

D ．错误!未找到引用源。

2．若复数z 满足1zi i =-,则z 的共轭复数是 （ ） A ．1i -- B ．1i -C ．1i -+D ．1i +3. 若直线60x ay ++=与直线(2)320a x y a -++=平行，则a = （ ） A ．1a =- B ． 13a a =-=或 C ．3a = D. 13a a =-=且 4．已知“命题2:()3()p x m x m ->-”是“命题2:340q x x +-<”成立的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为 （ ） A ．17m m ><-或 B ．17m m ≥≤-或 C ．71m -<< D ．71m -≤≤ 5．右图是函数()2f x x ax b =++的部分图像，则函数()()ln g x x f x '=+的零点所在的区间是 （ ）A. 1142（，）B. （1,2）C. 12（，1）D. （2,3）6．已知错误!未找到引用源。

，若直线错误!未找到引用源。

与线段错误!未找到引用源。

有一个公共点，则错误!未找到引用源。

（ ）A ．最小值为错误!未找到引用源。

B. 最小值为错误!未找到引用源。

河北省“五个一名校联盟”2015届高三教学质量监测（二）理科数学第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上．1．设集合2{|2150}M x x x =+-<，2{|670}N x x x =+-≥，则（ ）A ．B ．C ．D ．2． 已知是虚数单位，和都是实数，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．3．设若2lg ,0,()3,0,ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰，则的值为 A ． B ． C ． D ．4．设为两个非零向量，则“”是“与共线”的A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．右图中，为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，为该题的最终得分，当时，等于A ．B ．C ．D ． 6．已知，且，则A ．B ．C ．D ． 7．已知,点在内，且，设，则等于（ ）A ．B ．3C ．D ． 8．等差数列的前项和为，且，，则过点和()的直线的一个方向向量是( ) A ． B ． C ． D ．9．函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为( )A ．B ．4C ．D ．10．在区间和上分别取一个数,记为, 则方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆的概率为 （ ）A ．B ．C ．D ．11．多面体的三视图如图所示，则该多面体表面积为（单位）A ．B ．C ．D ．12．若曲线与曲线存在公共切线，则的取值范围为A ．B ．C ．D ．第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在答题卡上．13．的展开式中的系数为 ＊ ＊ ．14．若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的离心率为 ＊ ＊ ．15．设点满足条件⎪⎩⎪⎨⎧+≤≥≤2200x y y x ，点满足恒成立，其中是坐标原点，则点的轨迹所围成图形的面积是 ＊ ＊ ．16．在中，若，则的最大值 ＊ ＊ ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤．17．已知数列的各项均为正数，前项和为，且),(2)1(*N n a a S n n n ∈+=（Ⅰ）求证数列是等差数列；（Ⅱ）设,,121n n nn b b b T S b +⋅⋅⋅++==求． 18．市一中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，．（Ⅰ）求直方图中的值；（Ⅱ）如果上学路上所需时间不少于小时的学生可申请在学校住宿，若招生名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；（Ⅲ）从学校的高一学生中任选名学生，这名学生中上学路上所需时间少于分钟的人数记为，求的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）19．已知四棱锥中，平面，底面是边长为的菱形，，． （Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）设与交于点，为中点，若二面角的正切值为，求的值．20．已知抛物线，直线与抛物线交于两点．（Ⅰ）若轴与以为直径的圆相切，求该圆的方程； （Ⅱ）若直线与轴负半轴相交，求面积的最大值．21．已知函数2()()xf x ax e a R =-∈（Ⅰ）当时，判断函数的单调区间并给予证明； （Ⅱ）若有两个极值点，证明：．请考生在第22、23、24题中任选一道．．．．作答，如果多做，则按所做的第1题计分．作答时请写清题号．22．（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲已知外接圆劣弧上的点（不与点、重合），延长至,延长交的延长线于． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求证：AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅． 23．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程选讲已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是32,545x t y t ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩（为参数）．（Ⅰ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线与轴的交点是，是曲线上一动点，求的最大值． 24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知，对，14|21||1|x x a b+≥--+恒成立，求的取值范围．河北省“五个一名校联盟”2015届高三教学质量监测（二）理科数学(答案)第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：BDADC CBADB AC 二、填空题：13． -200 ．14． ．15． ．16． ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤． 17．已知数列的各项均为正数，前项和为，且),(2)1(*N n a a S n n n ∈+= （Ⅰ）求证数列是等差数列； （Ⅱ）设,,121n n nn b b b T S b +⋅⋅⋅++==求 解：（Ⅰ）)(2)1(*N n a a S n n n ∈+=① )2(2)1(111≥+=---n a a S n n n ②①-②得：21212----+=n n n n n a a a a a 整理得：()111))((---+=-+n n n n n n a a a a a a数列的各项均为正数，时，数列是首项为公差为的等差数列 6分 （Ⅱ）由第一问得 222112(1)1n b n n n n n n ⎛⎫∴===- ⎪+++⎝⎭ 1111111122(1)()2122334111n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 12分18．市一中随机抽取部分高一学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，．（Ⅰ）求直方图中的值；（Ⅱ）如果上学所需时间不少于小时的学生可申请在学校住宿，若招生名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；（Ⅲ）从学校的高一学生中任选名学生，这名学生中上学所需时间少于分钟的人数记为，求的分布列和数学期望．（以直方图中高一学生上学所需时间少于分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于分钟的概率）解：（Ⅰ）由直方图可得：200.025200.0065200.0032201x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=．所以． 3分 （Ⅱ）新生上学所需时间不少于小时的频率为：，因为，所以1200名新生中有名学生可以申请住宿． 6分 （Ⅲ）的可能取值为由直方图可知，每位学生上学所需时间少于分钟的概率为，4381(0)4256P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭, 3141327(1)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 22241327(2)C 44128P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,334133(3)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,411(4)4256P X ⎛⎫===⎪⎝⎭． 10分0123412566412864256EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（或） 所以的数学期望为． 12分19．已知四棱锥中，，底面是边长为的菱形，，． （Ⅰ）求证：PBD PAC ⊥平面平面；（Ⅱ）设与交于点，为中点，若二面角的正切值为，求的值． 19．解：（Ⅰ） 因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥BD ………………2分 又ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD,所以BD ⊥平面PAC ………………4分 从而平面PBD ⊥平面PAC ．……………6分 （Ⅱ）方法1． 过O 作OH ⊥PM 交PM 于H ，连HD因为DO ⊥平面PAC ，可以推出DH ⊥PM,所以∠OHD为O-PM-D 的平面角………………8分又3,,244a aOD a OM AM ===，且………………10分从而OH ==………………11分 tan ODOHD OH ∠===所以，即．………………………12分DyMO D法二：如图,以为原点,所在直线为轴,轴建立空间直角坐标系，则, , …………8分 从而333(0,,),(,,)8PD a b PM a b =-=-………………9分 因为BD ⊥平面PAC,所以平面PMO 的一个法向量为．……10分 设平面PMD 的法向量为,由得3330,088PDn ay bz PM n ay bz ⋅=-=⋅=+-= 取,,x y b z a ===，即……………11分设与的夹角为，则二面角大小与相等 从而，得531cos 5||||ab abOD n OD n a θ-+⋅===⋅从而，即． ……………12分 20．已知抛物线，直线与抛物线交于两点．（Ⅰ）若轴与以为直径的圆相切，求该圆的方程； （Ⅱ）若直线与轴负半轴相交，求面积的最大值．解：（Ⅰ）联立2124y x by x⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，消并化简整理得． 依题意应有，解得．设，则，设圆心，则应有121200,422x x y yx y ++===-． 因为以为直径的圆与轴相切，得到圆半径为，又||AB====． 所以 ||28AB r ===， 解得．所以12124822224165x x b y b y b +=-+-=+=，所以圆心为． 故所求圆的方程为2224()(4)165x y -++=． （Ⅱ）因为直线与轴负半轴相交，所以，又与抛物线交于两点，由（Ⅱ）知，所以， 直线：整理得，点到直线的距离，所以1||42AOB S AB d ∆==-= 令，， 24()343()g b b b b b '=+=+，由上表可得的最大值为．所以当时，的面积取得最大值． 21．已知函数2()()xf x ax e a R =-∈（Ⅰ）当时，判断函数的单调区间并给予证明； （Ⅱ）若有两个极值点，证明：．解：（Ⅰ）时，2(),()2,x x f x x e f x x e '=-=-易知max ()(ln 2)2ln 220,f x f ''==-<从而为单调减函数．………………４分 （Ⅱ）有两个极值点， 即有两个实根，所以，得．(ln 2)2ln 220f a a a a '=->，得．………………6分又，所以………………8分111()20x f x ax e '=-=，得111121111()122x x x x x e f x ax e x e e ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭………………10分1111()02x x f x e ⎛⎫-'=< ⎪⎝⎭，1(1)()(0)12ef f x f -=<<=-………………12分另解：由两个实根，，当时，所以单调递减且，不能满足条件． 当时，所以单调递减且 当时，所以单调递增且， 故当时，，当时，当时②，所以由两个实根需要．即即，111122111111()(1),((0,1)22x x x x x e f x ax e x e e x x =-=-=-∈，从而可以构造函数解决不等式的证明．有两个实根，不是根，所以由两个实根，，当时，所以单调递减且，不能满足条件． 当时，所以单调递减且 当时，所以单调递增且，故当时，，当时，当时②，所以由两个实根需要．即即，111122111111()(1),((0,1)22x x x x x e f x ax e x e e x x =-=-=-∈，从而可以构造函数解决不等式的证明．请考生在第22、23、24题中任选一道．．．．作答，如果多做，则按所做的第1题计分．作答时请写清题号．22．（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲已知外接圆劣弧上的点（不与点重合）,延长至,延长交的延长线于． （Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅．解：(Ⅰ)证明：、、、四点共圆 ．………………2分且,EDF ADB ACB ABC ∠=∠=∠=∠,……………4分 ．………………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得,又, 所以与相似, ，…………7分又, ， AB AC DF AD AF DF ⋅⋅=⋅⋅ 根据割线定理得，……………9分AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅．……………10分 23．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程选讲已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是32,545x t y t ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩（为参数）．（Ⅰ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线与轴的交点是，是曲线上一动点，求的最大值． 解：（Ⅰ）曲线的极坐标方程可化为……………………………………………2分 又222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===，[ 所以曲线的直角坐标方程为…………4分（Ⅱ）将直线l 的参数方程化为直角坐标方程，得… ………6分 令，得，即点的坐标为(2，0)．又曲线为圆，圆的圆心坐标为(1，0)，半径，则… ……8分所以1MN MC r +=≤………………………10分24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知，对，14|21||1|x xa b+≥--+恒成立，求的取值范围．解：∵ a＞0，b＞0 且a+b=1 ∴ +=(a+b)( +)=5++≥9，故+的最小值为9，……5分因为对a，b∈(0，+∞)，使+≥｜2x-1｜-｜x+1｜恒成立，所以，｜2x-1｜-｜x+1｜≤9， 7分当 x≤-1时，2-x≤9，∴ -7≤x≤-1，当 -1＜x＜时，-3x≤9，∴ -1＜x＜，当 x≥时，x-2≤9，∴≤x≤11，∴ -7≤x≤11 …… 10分。

唐山市2014～2015学年度高三年级第一学期期末考试理科数学参考答案一、选择题：A 卷：BCAAB CAABD DCB 卷：ACADB AACBD CD二、填空题：（13）－1＋i （14）5 （15）8 （16）－1三、解答题：（17）解：（Ⅰ）由正弦定理得sin C sin B ＝sin B cos C ，又sin B ≠0，所以sin C ＝cos C ，C ＝45°． 因为b cos C ＝3，所以b ＝32． …6分 （Ⅱ）因为S ＝12ac sin B ＝212，c sin B ＝3，所以a ＝7． 据余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝25，所以c ＝5． …12分（18）解：（Ⅰ）证明：因为P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥CD ， 因为∠PCD ＝90︒，所以PC ⊥CD ，所以CD ⊥平面P AC ，所以CD ⊥AC ． …4分 （Ⅱ）因为底面ABCD 是平行四边形，CD ⊥AC ，所以AB ⊥AC ．又P A ⊥底面ABCD ，所以AB ，AC ，AP 两两垂直． 如图所示，以点A 为原点，以AB →为x 轴正方向，以|AB →|为单位长度，建立空间直角坐标系．则B (1，0，0)，C (0，1，0)，P (0，0，1)，D (－1，1，0)．设PE →＝λPC →＝λ(0，1，－1)，则AE →＝AP →＋PE →＝ (0，λ，1－λ)， 又∠DAE ＝60°，则cos 〈AE →，AD →〉＝ 12，即λ22λ2－2λ＋1＝ 1 2，解得λ＝ 12． …8分则AE →＝(0， 1 2， 1 2)，ED →＝AD →－AE →＝(－1， 1 2，－ 12)，所以cos 〈AB →，ED →〉＝AB →·ED →|AB →||ED →|＝－63．因为AE →·ED →＝0，所以AE →⊥ED →．又AB →⊥AE →，故二面角B -AE -D 的余弦值为－63． …12分（19）解：（Ⅰ）设东西南北四个主干道入口发生拥堵分别为事件A ，B ，C ，D ． 则P (A )＝1830＝ 35，P (B )＝1530＝ 1 2，P (C )＝930＝ 3 10，P (D )＝1530＝ 12．设一天恰有三个入口发生拥堵为事件M ，则M ＝A －BCD ＋A B －CD ＋AB C －D ＋ABC D －．则P (M )＝ 2 5× 1 2× 3 10× 1 2＋ 3 5× 1 2× 3 10× 1 2＋ 3 5× 1 2× 7 10× 12＋ 3 5× 1 2× 3 10× 12＝45200＝ 940． …5分（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，4． P A D E B y z x CP (ξ＝0)＝14200＝7100， P (ξ＝1)＝55200＝1140， P (ξ＝2)＝77200， P (ξ＝3)＝45200＝ 9 40， P (ξ＝4)＝9200． ξ的分布列为：ξ 01 2 3m]4 p 7100 1140 77200 9 40 9200 E (ξ)＝0×14200＋1×55200＋2×77200＋3×45200＋4×9200＝380200＝1910． …12分 （20）解：（Ⅰ）设l ：x ＝my －2，代入y 2＝2px ，得y 2－2pmy ＋4p ＝0．（*）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝4p ，则x 1x 2＝y 21y 224p2＝4． 因为OA →·OB →＝12，所以x 1x 2＋y 1y 2＝12，即4＋4p ＝12，得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x ． …5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）（*）化为y 2－4my ＋8＝0．y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8． …6分设AB 的中点为M ，则|AB |＝2x m ＝x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝4m 2－4， ①又|AB |＝1＋m 2| y 1－y 2|＝(1＋m 2)(16m 2－32)， ②由①②得(1＋m 2)(16m 2－32) ＝(4m 2－4)2，解得m 2＝3，m ＝±3．所以，直线l 的方程为x ＋3y+2＝0，或x －3y+2＝0． …12分（21）解：（Ⅰ）f '(x )＝a e x ＋2x ，g '(x )＝ π 2cos πx 2＋b ， f (0)＝a ，f '(0)＝a ，g (1)＝1＋b ，g '(1)＝b ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线为y ＝ax ＋a ，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线为y ＝b (x －1)＋1＋b ，即y ＝bx ＋1．依题意，有a ＝b ＝1，直线l 方程为y ＝x ＋1．…4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知f (x )＝e x ＋x 2，g (x )＝sin πx 2＋x ． …5分 设F (x )＝f (x )－(x ＋1)＝e x ＋x 2－x －1，则F '(x )＝e x ＋2x －1， 当x ∈(－∞，0)时，F '(x )＜F '(0)＝0；当x ∈(0，＋∞)时，F '(x )＞F '(0)＝0．F (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增，故F (x )≥F (0)＝0．…8分 设G (x )＝x ＋1－g (x )＝1－sin πx 2， 则G (x )≥0，当且仅当x ＝4k ＋1（k ∈Z ）时等号成立．…10分 由上可知，f (x )≥x ＋1≥g (x )，且两个等号不同时成立，因此f (x )＞g (x )．…12分（22）解：（Ⅰ）证明：因为BD ＝CD ，所以∠BCD ＝∠CBD ．因为CE 是圆的切线，所以∠ECD ＝∠CBD ．所以∠ECD ＝∠BCD ，所以∠BCE ＝2∠ECD ．因为∠EAC ＝∠BCE ，所以∠EAC ＝2∠ECD ． …5分 （Ⅱ）解：因为BD ⊥AB ，所以AC ⊥CD ，AC ＝AB ．因为BC ＝BE ，所以∠BEC ＝∠BCE ＝∠EAC ，所以AC ＝EC ． 由切割线定理得EC 2＝AE •BE ，即AB 2＝AE •( AE －AB )，即AB 2＋2 AB －4＝0，解得AB ＝5－1． …10分（23）解：（Ⅰ）由ρ＝2(cos θ＋sin θ)，得ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)，即x 2＋y 2＝2x ＋2y ，即(x －1) 2＋(y －1) 2＝2．l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝ 1 2t ，y ＝1＋32t ．（t为参数, t ∈R ）…5分 （Ⅱ）将⎩⎨⎧x ＝ 12t ，y ＝1＋32t ．代入(x －1) 2＋(y －1) 2＝2得t 2－t －1＝0，解得，t 1＝1＋52，t 2＝1－52，则|EA |＋|EB |＝| t 1|＋| t 2|＝|t 1－t 2|＝5．…10分 （24）解：（Ⅰ）f (x )＝⎩⎨⎧－ 32x －1 ，x ＜－2，－ 12x ＋1，－2≤x ≤0， 32x ＋1，x ＞0．当x ∈(－∞，0]时，f (x )单调递减，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )单调递增，所以当x ＝0时，f (x )的最小值a ＝1．…5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知m 2＋n 2＝1，由m 2＋n 2≥2mn ，得mn ≤ 12，则 1 m ＋1n ≥21mn ≥22，当且仅当m ＝n ＝22时取等号．所以 1m ＋ 1n 的最小值为22．…10分 注：如有其他答案，请参考评分标准给分．。

唐山一中2014上学期高三期中考试数学理科试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1．已知集合A ={x |y =x -2}， B ={y |y =x -2}，则A ∩B = （ ）A ．B ．RC ．(-∞，2]D ．[0，2]2．“a =2”是“1(0,),18x ax x∀∈+∞+≥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知i 是虚数单位，(1+2i )z 1=-1+3i ，z 2=1+10)1(i +，z 1、z 2在复平面上对应的点分别为A 、B ，O 为坐标原点，则OB OA ⋅= （ ）A ．33B ．-33C ．32D ．-324. 已知实数[]1,9x ∈，执行如右图所示的流程图， 则输出的x 不小于55的概率为（ ） A.58B.38C.23D.135．在各项均为正数的等比数列}{n a ， 若112(2)m m m a a a m +-⋅=≥，数列}{n a 的前n 项积为nT ，若21512m T -=，则m 的值为A ．4B ．5C ．6D ．76．已知点P 是△ABC 的内心（三个内角平分线交点）、外心（三条边的中垂线交点）、 重心（三条中线交点）、垂心（三个高的交点）之一，且满足2AP ·22BC AC AB =-， 则点P 一定是△ABC 的（ ）A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心7．对于函数f (x )=x 3cos3(x +6π)，下列说法正确的是 （ ） A ．f (x )是奇函数且在（6π6π，-）上递减 B ． f (x )是奇函数且在（6π6π，-）上递增C ． f (x )是偶函数且在（6π0，）上递减D ．f (x )是偶函数且在（6π0，）上递增8．一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分几何体，余下的几何体的三视图（如图所示），则余下部分的几何体的表面积为 A ．532323++ππ＋1 B ．523323++ππ＋1316a >-63516a -<<-65a >-63516a -≤≤-C ．53233++ππ D ．52333++ππ 9.若直线1+=kx y 与圆0422=-+++my kx y x 交于N M ,两点,且N M ,关于直线0=-y x 对称,动点P ()b a ,在不等式组200-+≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩kx y kx my y 表示的平面区域内部及边界上运动，则21b w a -=-的取值范围是（ ）A ．),2[+∞B ．]2,(--∞C ．]2,2[-D ．),2[]2,(+∞⋃--∞10．已知Ｐ是抛物线24x y =上的一个动点，则点Ｐ到直线1:4370l x y --=和2:20l y +=的距离之和的最小值是（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 11.函数的1222131)(23++-+=a ax ax ax x f 图像经过四个象限，则实数a 的取值范 围是( )A. B. C. D.12.已知a b <，若函数()(),f x g x 满足()()b baaf x dxg x dx =⎰⎰，则称()(),f x g x 为区间[],a b 上的一组“等积分”函数，给出四组函数：①()()2,1f x x g x x ==+； ②()()sin ,cos f x x g x x ==； ③()()234f xg x x π==； ④函数()(),f x g x 分别是定义在[]1,1-上的奇函数且积分值存在． 其中为区间[]1,1-上的“等积分”函数的组数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）． 13. 已知7270127()x m a a x a x a x -=++++的展开式中4x 的系数是－35，则1237a a a a ++++= .14. 已知三棱锥A BCD -中,2,2AB AC BD CD BC AD =====, 直线AD 与底面BCD 所成角为3π，则此时三棱锥外接球的表面积为 ．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 17．（本小题满分12分） 在数列}{n a 中,已知*111,21,n n a a a n n N +=-=-+∈. (1)求证: }{n a n -是等比数列; (2)令n n nn S a b ,2=为数列}{n b 的前n 项和,求n S 的表达式.18.（本题满分12分）某市,,,A B C D 四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示：为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查． （1）问,,,A B C D 四所中学各抽取多少名学生？（2）从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率； （3）在参加问卷调查的50名学生中，从来自,A C 两所中学的学生当中随机抽取两名学生，用ξ表示抽得A 中学的学生人数，求ξ的分布列．19. （本题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，060ABC ∠=，22AB CB ==．在梯形ACEF 中，EF ∥AC ，且=2AC EF ，EC ⊥平面ABCD ．(1)求证：BC AF ⊥；(2)若二面角D AF C --为045，求CE 的长．20. （本小题满分12分）已知圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2经过椭圆Γ∶)0(12222>>=+b a by a x (a>b>0)的右焦点F和上顶点B.(1)求椭圆Γ的方程；(2)如图，过原点O 的射线l 与椭圆Γ在第一象限的交点为Q ，与圆C 的交点为P ，M 为OP 的中点， 求OQ OM ⋅的最大值．21. （本小题满分12分）已知函数()()2x f x ax x e =+其中e 是自然数的底数，a R ∈.(1)当0a <时，解不等式()0f x >； (2)若()[]11f x -在，上是单调增函数，求a 的取值范围；(3)当0=a ，求使方程()[]2,1f x x k k =++在上有解的所有整数k 的值. 22. （本小题满分10分）在直角坐标系xoy 中，直线l 经过点()1,0P -，其倾斜角为α，以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C 的极坐标方程为26cos 50ρρθ-+=.(1)若直线l 与曲线C 有公共点，求a 的取值范围： (2)设(),M x y 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围.答案及解析：1-5 DAABB 6-10 BCADC 11-12 DC 13.1 14.π8 15.]3,1( 16. ①③④17.解：(Ⅰ)证明:由*111,21,n n a a a n n N +=-=-+∈可得11(1)2(),120n n a n a n a +-+=--=-≠所以数列{}n a n -以是-2为首项,以2为公比的等比数列(Ⅱ) 由(Ⅰ)得:1222n n n a n --=-⨯=-,所以2nn a n =-,12n n n b =-所以12221212(1)(1)(1)()222222n n n n n nS b b b n =+++=-+-++-=+++-令212222n n n T =+++,则2311122222nn nT +=+++,两式相减得2311111111122222222n n n n n n nT ++=+++-=--,所以222n n n T +=-,即222n nn S n +=--18.解：（1）由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名，抽取的样本容量与总体个数的比值为．∴应从四所中学抽取的学生人数分别为． …………… 4分（2）设“从50名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件M ，从50名学生中随机抽取两名学生的取法共有2501225C =种，… 5分 来自同一所中学的取法共有22221520105350C C C C +++=． …………… 6分∴3502()12257P M ==． 答：从50名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为27． … 7分 （3）由（1）知，50名学生中，来自,A C 两所中学的学生人数分别为15,10． 依题意得，ξ的可能取值为0,1,2， ………… 8分2102253(0)20C P C ξ===，1115102251(1)2C C P C ξ===，2152257(2)20C P C ξ===．…… 11分 ∴ξ的分布列为： … 12分19.20.21（Ⅰ）∵e x＞0，∴当f（x）＞0时即ax2+x＞0，又∵a＜0，∴原不等式可化为x（0，∴f（x）＞0的解集为（0，（Ⅱ）∵f（x）=（ax2+x）e x，∴f，（x）=（2ax+1）e x+（ax2+x）e x=[ax2+（2a+1）x+1]e x，①当a=0时，f，（x）=（x+1）e x，∵f，（x）≥0在[-1，1]上恒成立，当且仅当x=-1时取“=”，∴a=0满足条件；②当a≠0时，令g（x）=ax2+（2a+1）x+1，∵△=（2a+1）2-4a=4a2+1＞0，∴g（x）=0有两个不等的实根x1、x2，不妨设x1＞x2，因此f（x）有极大值和极小值；若a＞0，∵g（-1）•g（0）=-a＜0，∴f（x）在（-1，1）内有极值点，∴f（x）在[-1，1]上不单调；若a＜0，则x1＞0＞x2，∵g（x）的图象开口向下，要使f（x）在[-1，1]单调递增，由g（0）=1＞0，∴(1)0(1)0g g ≥⎧⎨-≥⎩即3200a a +≥⎧⎨-≥⎩，∴a 的取值范围是0]；（Ⅲ）当a=0时，方程f （x ）=x+2为xe x=x+2， ∵e x＞0，∴x=0不是原方程的解，∴原方程可化为e x；令h （x ）=e x，∵h ，（x ）=e x 0在x ∈（-∞0）∪（0+∞）时恒成立， ∴h （x ）在（-∞，0）和（0，+∞）上是单调增函数；又h （1）=e-3＜0，h （2）=e 2-2＞0，h （-3）=e0，h （-2）=e -2＞0， ∴方程f （x ）=x+2有且只有两个实根，且分别在区间[1，2]和[-3，-2]上， 所以，整数k 的所有值为{-3，1}．22.解析： (I)将曲线C 的极坐标方程26cos 50ρρθ-+=化为直角坐标方程为22650x y x +-+=直线l 的参数方程为()1cos sin x t t y t θθ=-+⎧⎨=⎩为参数将1cos sin x t y t θθ=-+⎧⎨=⎩代入22650x y x +-+=整理得28cos 120t t θ-+=直线l 与曲线C 有公共点，3[0,)θπ∴(II)曲线C 的方程22650x y x +-+=可化为()2234x y -+=其参数方程为()()32cos M ,2sin x x y y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数为曲线上任意一点，。

唐山一中2014—2015学年度第一学期期中考试高一年级数学试卷说明：1.考试时间120分钟，总分为150分。

2.将卷Ⅰ答案用2B 铅笔涂在答题卡上,将卷Ⅱ答案答在答题纸上。

3.Ⅱ卷答题纸卷头和答题卡均填涂本次考试的考号，不要误填学号，答题卡占后５位。

卷Ⅰ(选择题 共60分)一．选择题〔本大题共12小题，每一小题5分，共60分． 在每一小题给出的四个选项中，只有一选项是符合题目要求的．〕1．设全集U 是实数集R ，}22{-<>=x x x M 或，}13{<≥=x x x N 或都是U 的子集，如此图中阴影局部所表示的集合是( ) A ．}12{<≤-x x B ．}22{≤≤-x x C ．}21{≤<x x D ．}2{<x x2. 如下函数中与函数x y =相等的函数是( )A.2)(x y =B.2x y =C.x y 2log 2=D.x y 2log 2= 3．函数224y x x =--+的值域是( ) A ．[2,2]-B ．[1,2] C ．[0,2] D ．[2,2]- 4．函数y kx b =+与函数kby x=在同一坐标系中的大致图象正确的答案是〔 〕5．函数()⎩⎨⎧≤>=.0,2,0,log 3x x x x f x 如此⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛271f f 的值为( ) A ．81B ．4 C ．2D ．41 6. 如下函数中既是偶函数又在)0,(-∞上是增函数的是( )A ．34x y =B ．23x y =C ．2-=xy D ．41-=xy7．函数25,1,()11, 1.x ax x f x x x ⎧-+<⎪=⎨+≥⎪⎩在R 上单调，如此实数a 的取值范围为 A ．(,2]-∞B ．[2,)+∞C ．[4,)+∞D ． [2,4]8. ()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，设()4log 7a f =，)3(log 2f b =，()0.60.2c f =，如此,,a b c 的大小关系是( )A ．c b a <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．a b c << 9.设函数321()2x y x y -==与的图象的交点为),(00y x ，如此0x 所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)10.设)(x g 为R 上不恒等于0的奇函数，)(111)(x g b a x f x⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=(a ＞0且a ≠1)为偶函数，如此常数b 的值为( ) A ．2B ．1C ．21 D ．与a 有关的值11. 假设)(x f 是R 上的减函数，且)(x f 的图象经过点)4,0(A 和点)2,3(-B ，如此当不等式3|1)(|<-+t x f 的解集为)2,1(-时，t 的值为( ) A. 0 B. －1 C. 1 D. 212．函数)(x f y =满足：①是偶函数)1(+=x f y ；②在[)+∞,1上为增函数,假设0,021><x x ,且221-<+x x ,如此)(1x f -与)(2x f -的大小关系是( )A.)()(21x f x f ->-B.)()(21x f x f -<-C.)()(21x f x f -=-D. 无法确定卷Ⅱ(非选择题 共90分)二．填空题〔本大题共4小题，每一小题5分，共20分．〕13.22log 33223127-2log log 3log 48⨯+⨯计算:＝____________. 14．7()2f x ax bx =+-，假设10)2014(=f ，如此)2014(-f 的值为．15．()()212log 3f x x ax a =-+在区间[)2,+∞上为减函数，如此实数a 的取值范围是____________.16.定义在R 上的函数()f x ，如果存在函数()(,g x kx b k b =+为常数〕，使得()f x ≥()g x 对一切实数x 都成立，如此称()g x 为()f x 的一个承托函数.现有如下命题：①对给定的函数()f x ，其承托函数可能不存在，也可能无数个； ②()g x =2x 为函数()2xf x =的一个承托函数； ③定义域和值域都是R 的函数()f x 不存在承托函数； 其中正确命题的序号是____________.三．解答题〔本大题共6小题，共70分。

河北唐山一中2014-2015学年高一上学期期中考试数学试卷（解析版）一、选择题1．设全集U 是实数集R ，}22{-<>=x x x M 或，}13{<≥=x x x N 或都是U 的子集，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A ．}12{<≤-x xB ．}22{≤≤-x xC ．}21{≤<x xD ．}2{<x x【答案】A【解析】试题分析：由韦恩图知阴影部分所表示的集合为U N C M ，先求出M 的补集为{}|22x x -≤≤，再画数轴可以求它于N 的交集为}12{<≤-x x ．考点：1．集合间的基本关系；2．集合的基本运算．2．下列函数中与函数x y =相等的函数是（ ）A ．2)(x y =B ．2x y =C ．x y 2log 2=D ．x y 2log 2=【答案】D【解析】试题分析：函数三要素都相同的两个函数是相等函数，因为x y =的定义域、值域都是R ．选项A ．函数的定义域是[)0,+∞，选项B 函数的值域是[)0,+∞选项C 函数的定义域是()0,+∞，选项D 函数的的定义域、值域都是R ，且解析式化简后为x y =考点：函数的三要素3．函数2y =的值域是（ ）A ．[2,2]-B ．[1,2]C ．[0,2]D ．[【答案】C【解析】试题分析：由240x x -+≥得函数的定义域为{}|04x x ≤≤，先求24y x x =-+的值域为[]0,4，再求得函数y =的值域为[]0,2，则可以求出原函数的值域为[0,2]．考点：1．函数的定义域；2．复合函数的值域． 4．函数y kx b =+与函数kb y x =在同一坐标系中的大致图象正确的是（ ）【答案】B【解析】试题分析：A ．y kx b =+的图像过二、三、四象限0,0k b << 则0kb >，kb y x =的图像应在一、三 象限，错误B ．y kx b =+的图像过一、二、四象限0,0k b <>，则0kb <，kb y x=的图像应在二、四 象限，正确 C ．y kx b =+的图像过一、三、四象限0,0k b ><，则0kb <，kb y x=的图像应在二、四象限，错误D ．y kx b =+的图像过一、二、四象限0,0k b <>，则0kb <，kb y x =的图像应在二、四 象限，错误 考点：一次函数和反比例函数的图像5．已知函数()⎩⎨⎧≤>=.0,2,0,log 3x x x x f x 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛271f f 的值为（ ） A ．81 B ．4 C ．2 D ．41 【答案】A【解析】 试题分析：因为1027>，31log 327=-，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛271f f =31(3)28f --==． 考点：分段函数函数值的计算．6．下列函数中既是偶函数又在)0,(-∞上是增函数的是（ ）A ．34x y =B ．23x y =C ．2-=xy D ．41-=x y 【答案】C【解析】 试题分析：因为23x y =的定义域为[)0,+∞，41-=xy 的定义域为()0,+∞，所以两函数为非奇非偶函数， B 、 D 错误，又因为221y x x -==在)0,(-∞上是增函数，所以选项C 正。

第一学期高三年级期中考试数学试卷 （理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每题中只有一个正确答案） 1．集合{}0lg |>=x x M ，{}4|2≤=x x N ，则N M ⋂（ ）A. ()2,1B. [)2,1C.(]2,1D.[]2,1 2、已知向量，，若∥，则实数等于或3、i 是虚数单位,） A ．B ．C ．D ．4、在中，，则A 的取值范围是( )ABCD5、 设变量满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤+≥+144222y x y x y x 则目标函数的取值范围是(B) (C) []6,1-(D) 6、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积：A 、B 、20C 、24D 、327．函数的定义域为,2)1(=-f ，对任意，2)(/>x f ，则42)(+>x x f 的解集为（ ）A. B.C.D.8、已知等差数列{}n a 前9项的和为27，79=a ，则=99a （A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）979、过点作(3,2)圆22(1)1x y -+=的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为（ ）A.0322=-+y x B ．032=-+y x C ．032=-+y x D ．0322=++y x 10、已知数列{}n a 的前项和为n S ，11=a ，12+=n n a S ，,则n S =（A ）（B （C （D 11、在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，，E 为AB 的中点，将与分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合与点P ，则三棱锥P-DCE 的外接球的体积为（ ）A 、B 、C 、D 、12、)(x f 是定义在R 上的可导函数，且满足02ln )(2)(2/>-x f x f xx，则下列不等式成立的是（ ）A ．)1()2(2-<-f fB ．)2()1(2f f >C ．)0()2(4f f >-D ．)1()0(2f f >第Ⅱ卷（非选择题，共90 分）二、（本题共4小题，每小题5分,共20分，把答案写在题中横线上）13、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c , 若 A c A b B a sin cos cos =+，则△ABC 的形状为________。

唐山一中2016－2017学年度第一学期期中考试高三年级理科数学试卷说明：1．考试时间120分钟，满分150分。

2.将卷Ⅰ答案用2B 铅笔涂在答题卡上,将卷Ⅱ的答案用黑色签字笔写在答题卡上。

3.本次考试需填涂的是准考证号（8位），不要误涂成座位号（5位），座位号只需在相应位置填写。

卷Ⅰ（选择题 共60分）一 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的.请把正确答案涂在答题卡上.） 1. 若全集U=R,集合M ＝{}24x x >，N ＝301x xx ⎧-⎫>⎨⎬+⎩⎭，则)(N C M U 等于 （ ）A ．{2}x x <-B ．{23}x x x <-≥或C ． {3}x x ≥D ．{23}x x -≤< 2．若复数z 满足1zi i =-,则z 的共轭复数是 （ ） A ．1i -- B ．1i -C ．1i -+D ．1i +3. 若直线60x ay ++=与直线(2)320a x y a -++=平行，则a = （ ） A ．1a =- B ． 13a a =-=或 C ．3a = D. 13a a =-=且 4．已知“命题2:()3()p x m x m ->-”是“命题2:340q x x +-<”成立的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为 （ ） A ．17m m ><-或 B ．17m m ≥≤-或 C ．71m -<< D ．71m -≤≤ 5．右图是函数()2f x x ax b =++的部分图像，则函数()()ln g x x f x '=+的零点所在的区间是 （ ）A. 1142（，）B. （1,2）C. 12（，1）D. （2,3）6．已知)1,2(),0,1(B A ，若直线1=+by ax 与线段AB 有一个公共点，则22b a + （ ） A ．最小值为51 B. 最小值为55 C. 最大值为51 D 最大值为557．设,a b 为单位向量，若向量c 满足()c a b a b -+=-，则c 的最大值是 （ ） A ．22 B ． 2 C ．2 D ．18. 已知函数()|ln |1f x x =-，2()23g x x x =-++，用{}min ,m n 表示,m n 中最小值，设函数{}()min (),()h x f x g x =，则函数()h x 的零点个数为 （ ） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 49．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈.问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体(如图)”，下底面宽3AD =丈，长4AB =丈，上棱2EF =丈,EF ∥平面ABCD .EF 与平面ABCD 的距离为1丈，问它的体积是 （ ） A ．4立方丈 B ．5立方丈 C ．6立方丈 D ．8立方丈10．已知函数()⎩⎨⎧<+≥+=0,0,3x b ax x x x f 满足条件：对于R ∈∀1x ，存在唯一的R ∈2x ，使得()()21x f x f =.当()()b f a f 32=成立时，则实数=+b a （ ）A.26 B.26- C.26+3 D.26-+3 11. 右图是三棱锥D －ABC 的三视图，点O 在三个视图 中都是所在边的中点，则异面直线DO 和AB 所成角的 余弦值等于 （ ）A. 12B. 22C. 33D. 3 12．已知函数23)3(4,0,()log (1)1,0a x a x f x x a x x ⎧+<+++≥-=⎨⎩（01a a >≠且）在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是 （ ） A.（0，23] B.[23，34] C.[13，23]{34} D.[13，23）{34}卷Ⅱ（主观题 共90分）二 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案写在答题纸上.）13．若11x -<<，则1xy x x =+-的最大值为________. 14．数列{}n a 的通项22(cossin )33n n n a n ππ=+，其前n 项和为n S ，则30S 为________. 15．等腰三角形ABC 中，43AB AC BC ===，，点,E F 分别位于两腰上,,E F 将ABC ∆分成周长相等的三角形与四边形，面积分别为12S S ，，则12S S 的最大值为________. 16.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数1, ()0, x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数称为狄利克雷函数，关于函数()f x 有以下四个命题： ①(())1f f x =； ②函数()f x 是偶函数；③任意一个非零有理数T ,()()f x T f x +=对任意x R ∈恒成立；④存在三个点112233(,()),(,()),(,())A x f x B x f x C x f x ，使得ABC 为等边三角形. 其中真命题的序号为________.（写出所有正确命题的序号）三 解答题（本大题共6小题，共70分.） 17. (本题满分10分)设{}n a 是公比大于1的等比数列,n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知,73=S 且1,,321-a a a 成等差数列.(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若,3,2,1,log 124 ==+n a b n n 求和:nn b b b b b b b b 14332211111-++++ .18. (本题满分12分)如图，已知平面上直线12//l l ，,A B 分别是12,l l 上的动点，C 是12,l l 之间的一定点，C 到1l 的距离1CM =，C 到2l 的距离3CN =，ABC ∆三内角A ∠、B ∠、C ∠所对边分别为,,a b c ，a b >，且cos cos b B a A =. （1）判断ABC ∆的形状； （2）记()11,ACM f AC BCθθ∠==+，求()f θ的最大值.19．(本题满分12分)已知函数()()272cos sin 216f x x x x R π⎛⎫=+--∈⎪⎝⎭； （1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）在ABC ∆中，三内角,,A B C 的对边分别为, , a b c ，已知函数()f x 的图象经过点1,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，若2=4AB AC CB BC --，求a 的最小值.20．(本题满分12分)四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，ADC BCD 90∠=∠=︒，23,460BC CD PD PDA ===∠=，，，且PAD ABCD ⊥平面平面；（1）求证：AD PB ⊥；（2）在线段PA 上是否存在一点M ,使二面角M BC D --的大小为6π，若存在，求出PMPA的值；若不存在，请说明理由．21. (本题满分12分)已知圆22:2C x y +=，点(2,0),(0,2)P M ，设Q 为圆C 上一个动点． （1）求QPM ∆面积的最大值，并求出最大值时对应点Q 的坐标；（2）在（1）的结论下，过点Q 作两条相异直线分别与圆C 相交于,A B 两点，若直线QA QB 、的倾斜角互补，问直线AB 与直线PM 是否垂直？请说明理由．22.（本题满分12分）已知函数()ln f x x =（1）若函数() ()F x t f x =与函数2()1g x x =-在点1x =处有共同的切线l ，求t 的值； （2）证明：()1()2f x f x x x ->+； （3）若不等式()mf x a x ≥+对所有230,,1,2m x e ⎡⎤⎡⎤∈∈⎣⎦⎢⎥⎣⎦都成立，求实数a 的取值范围．唐山一中2016－2017学年度第一学期期中考试高三年级理科数学答案一 选择题BCAB ，CAAC ，BDCC.二 填空题13. 0；14. 15；15. 2511；16. ①②③④. 三 解答题17解：(1)由已知得:123132712a a a a a a ++=⎧⎨+-=⎩,解得22a =.设数列{}n a 的公比为q ,由22a =,可得132,2a a q q ==,又37S =,可知2227q q++=, 即22520q q -+=,解得1212,2q q ==因为11,2,1q q a >∴=∴=,12n n a -=. (2)由(1)得2212=4n n n a +=,由于421log ,1,2,n n b a n +==⋯,4log 4n n b n ∴==.n n b b b b b b b b n n )1(132121111111433221-++⨯+⨯=++++- 1111111111223341n n n =-+-+-++-=--18.解：19.解：（1）()272cos sin 21sin(2)66f x x x x ππ⎛⎫=+--=+⎪⎝⎭因此，最小正周期为T π=…………3分…………5分（2）由题知：2--=c2+b2﹣bccosA﹣a2=2bccosA﹣bccosA=bc=4，AB AC CB BC∴bc=8，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc=8，∴a≥2，∴a的最小值为．…………10分20解：证明：（I）过B作BO∥CD，交AD于O，连接OP．∵AD∥BC，∠ADC=∠BCD=90°，CD∥OB，∴四边形OBCD是矩形，∴OB⊥AD．OD=BC=2，∵PD=4，∠PDA=60°，∴OP==2．∴OP2+OD2=PD2，∴OP⊥OD．又OP⊂平面OPB，OB⊂平面OPB，OP∩OB=O，∴AD⊥平面OPB，∵PB⊂平面OPB，∴AD⊥PB．（II）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，OA⊥AD，∴OP⊥平面ABCD．以O为原点，以OA，OB，OP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则B（0，，0），C（﹣2，，0），假设存在点M（m，0，n）使得二面角M﹣BC﹣D的大小为，则=（﹣m，，﹣n），=（﹣2，0，0）．设平面BCM的法向量为=（x，y，z），则．∴，令y=1得=（0，1，）．∵OP⊥平面ABCD，∴=（0，0，1）为平面ABCD的一个法向量．∴cos＜＞===．解得n=1．∴==．21.解：（1）因为点P （2，0），M （0，2），所以，…设点Q 到PM 的距离为h ，圆心C 到PM 的距离为d ，所以．△QPM 面积的最大值即需要h 取的最大值，此时点Q 与圆心C 的连线与PM 垂直， 故有最大值，最大面积，…此时点Q 坐标为点（﹣1，﹣1）． … （2）直线AB 与直线PM 垂直，理由如下：…因为过点Q （﹣1，﹣1）作两条相异直线分别与圆C 相交于A 、B 两点，直线QA 、QB 的倾斜角互补，所以直线QA 、QB 斜率都存在．设直线QA 的斜率为k ，则直线QB 斜率为﹣k ，所以直线QA 的方程：y+1=k （x+1）⇒（1+k 2）x 2+2k （k ﹣1）x+k 2﹣2k ﹣1=0，…又因为点Q （﹣1，﹣1）在圆C 上，故有，所以，同理，…又，所以有k PM •k AB =﹣1，故直线AB 与直线PM 垂直． …容易得到DE ＝DA tan θ＝1.8tan θ，CF ＝BC ·tan θ＝1.8tan θ.又AB ＝DC ＝EF －(DE ＋CF)，22、解：（Ⅰ）g′（x ）=2x ，F （x ）=tf （x ）=tlnx ，F′（x ）=tf′（x ）=，∵F（x）=tf（x）与g（x）=x2﹣1在点x=1处有共同的切线l，∴k=F′（1）=g′（1），即t=2，（Ⅱ）令h（x）=f（x）﹣x，则h′（x）=﹣1=，则h（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，∴h（x）的最大值为h（1）=﹣1，∴|h（x）|的最大值是1，设G（x）==+，G′（x）=，故G（x）在（0，e）上是增函数，在（e，+∞）上是减函数，故G（x）max=+＜1，∴；（Ⅲ）不等式mf（x）≥a+x对所有的都成立，则a≤mlnx﹣x对所有的都成立，令H（x）=mlnx﹣x，是关于m的一次函数，∵x∈[1，e2]，∴lnx∈[0，2]，∴当m=0时，H（m）取得最小值﹣x，即a≤﹣x，当x∈[1，e2]时，恒成立，故a≤﹣e2．。

河北省唐山二中2015届高三第一学期期中考试数学理试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

考试时间120分钟第I 卷（选择题共60分）一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）1．已知集合{}m A ,1,0=，02B x x {|}=<<，若{}m B A ,1=⋂，则m 的取值范围是（ ） A ．01(,) B ．12(,) C ．0112(,)(,) D ．02(,)2．已知复数，则的值为（ ） A. B. C. D.3．已知α为第三象限角，且2sin cos 2,sin 2m m ααα+==，则m 的值为（ ）AB． C ．13- D．3-4．某程序框图如右图所示，则输出的n 值是（ ） A. 21 B 22 C ．23 D ．245．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，若f (1)＝1，则f (3)－f (4)＝( )A ．－1B ．1C ．－2D ．26．若函数f (x )的零点与()422xg x x ＝＋－的零点之差的绝对值不超过0.25，则f (x )可以是 ( ) A ．f (x )＝4x －1 B ．f (x )＝(x －1)2 C ．f (x )＝e x －1D ．f (x )＝ln(x －0.5)7.对于非零向量,，下列命题中正确的是（ ）8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为()n S n N *∈，且2n a n λ=+，若数列{}n S 在7n ≥时为递增数列，则实数λ的取值范围为（ ）A. (-15,+∞) B[-15,+∞) C.[-16,+∞) D. (-16,+∞)9．已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为 （ ）211i z i=+-2320121z z z z ++++⋅⋅⋅+1i +1i i-10．若函数()2sin f x x ω=(0)ω>的图像在(0,2)π上恰有一个极大值和一个极小值，则ω的取值范围是 （ ） A ．3(,1]4 B ．5(1,]4 C ．34(,]45 D ．35(,]4411.若正数满足：，则的最小值为 （ ） A 、 B 、 C 、 D 、12．函数在区间[0,1]上单调递增，则的取值范围是 （ ） A ． B. C ． D ．第Ⅱ卷 （非选择题共90分）二．填空题（共4小题，每小题5分，计20分）13. 直线210x ay --=与直线(5)320a x y a -++-=互相平行，则a 的值为 . 14. 已知点)11(--，P 在曲线ax xy +=上，曲线在点P 处的切线斜率为k ， 则11()x 1kx dx ++⎰ =___________. 15．下列三个命题：①“一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等”是“两个平面平行”的充要条件；②设实数,x y 满足约束条件041y y x x ≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，若目标函数22()z a b x y =++的最大值为8，则2a b +的最小值是-四棱锥P-ABCD ，底面是边长为2的正方形，侧面PAD 为正三角形且垂直底面ABCD ，则四棱锥P-ABCD 的外接球半径为3；其中正确的有 。

唐山一中2013～2014学年度第一学期期中考试高三年级数学（理科）试卷本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的） 1．平面向量a 与b 的夹角为60°，(2,0),1,==a b 则2+=a b （ ） （A ）3 （B ）23 （C ）4 （D ）122．若集合{}{}2540;1,A x x x B x x a =-+=-＜＜则“(2,3)a ∈”是“B A ⊆”的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件3．已知平面向量,m n u r r 的夹角为,6π且2,3==n m ，在ABC ∆中，22AB m n =+uu u r u r r ，26AC m n =-uuu r u r r，D 为BC 中点，则AD =uuu r ( )A.2B.4C.6D.84．某几何体的三视图如右图（其中侧视图中的圆弧是半圆）， 则该几何体的表面积为（ ） （A ）9214+π （B ）8214+π （C ）9224+π （D ）8224+π5．已知等差数列{}n a 中，37101140,4a a a a a +-=-=，记12n n S a a a =+++L ，S 13=( ) A ．78B ．68C ．56D ．526．已知双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，以12||F F 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为（ ）A ．221169x y -= B ．22134x y -= C ．221916x y -= D ．22143x y -=7．在△ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且满足sin cos a B b A =,则2sin cos B C -的最大值是( )A ．1 B. 3 C. 7 D. 278．若函数1()e (0,)ax f x a b b=-＞＞0的图象在0x =处的切线与圆221x y +=相切，则a b +的最大值是（ ）（A ）4 （B ）22（C ）2 （D ）29. 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中，12,F F 分别是其左右焦点，若椭圆上存在一点P 使得122PF PF =，则该椭圆离心率的取值范围是( )A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．10,3⎛⎤⎥⎝⎦10．已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点，三棱锥O ﹣ABC 的高为2且∠ABC=60°，AB=2，BC=4，则球O 的表面积为（ ）A ．24π B. 32π C. 48π D. 192π11．已知定义在R 上的函数()y f x =对任意的x 都满足(1)()f x f x +=-，当11x -≤＜ 时，3()f x x =，若函数()()log a g x f x x =-至少6个零点，则a 取值范围是（ ）（A ）10,5,5+∞U （]（） （B ）10,[5,5+∞U （）） （C ）11,]5,775U （（） （D ）11,[5,775U （））12．对于定义域为D 的函数()y f x =和常数c ，若对任意正实数ξ，,x D ∃∈使得0|()|f x c ξ<-<恒成立，则称函数()y f x =为“敛c 函数”．现给出如下函数：①()()f x x x Z =∈； ②()()112xf x x Z ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭；③ ()2log f x x =； ④()1x f x x -=. 其中为“敛1函数”的有A ．①②B ．③④C ． ②③④D ．①②③Ⅱ卷 非选择题 （共90分）24侧视图6正视图4二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置）13. 过点(1,1)-的直线与圆2224110x y x y +---=截得的弦长为43，则该直线的方程为 。

河北省唐山一中2015届高三上学期12月调研考试数学（理）试题（满分：150分，测试时间：120分钟）第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合，，则( ) A ． B ． C ． D ． 2．复数（为虚数单位），则复数的共轭复数为( ) A ． B ． C ． D ． 3．设向量，则下列结论中正确的是( ) A ． B ． C ． D ．4．下列关于命题的说法错误的是( ) A ．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”；B ．“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件；C ．若命题：，则：；D ．命题“”是真命题．5．右图是一容量为的样本的重量的频率分布直方图， 则由图可估计样本的重量的中位数为( ) A ．11 B ．11.5 C ．12 D ．12.56．现有四个函数：①；②；③；④的图象（部分）如下：则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是()A ．①④③②B ．①④②③C ．④①②③D ．③④②①7．对于平面、、和直线、、、,下列命题中真命题是( ) A ．若,,,,a m a n m n αα⊥⊥⊂⊂则 B ．若,则 xC ．若//,,,a b αβαγβγ==则 D ．若,,//,//a b a b ββαα⊂⊂,则 8．点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．B ．C ．D ．9．已知函数，其中为自然对数的底数，若关于的方程，有且只有一个实数解，则实数的取值范围为( )A ．B ．C ．D ．10．某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的表面积为( ) A ． B ． C ． D ．11．已知为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式的展开式中的常数项是( ) A ．-20 B ．20 C ．-540 D ．54012．设等差数列满足：22222233363645sin cos cos cos sin sin 1sin()a a a a a a a a -+-=+，公差．若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是( ) A ．B ．C ．D ．第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。