庖丁巧解牛知识·巧学一、函数的单调性与导数1.利用导数的符号判断函数的增减性一般地,设函数y=f(x)在某个区间(a,b)内可导,如果f′(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增;如果f′(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.要点提示若在某个区间上有有限个f′(x)=0,在其余点恒有f′(x)>0,则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似).那就说在区间内f′(x)>0是f(x)在此区间上为增函数的充分而不必要条件.2.利用导数判断数单调性的步骤(1)确定f(x)的定义域.(2)求导数f′(x).(3)由f′(x)>0(或f′(x)<0)解出相应的x的范围.当f′(x)>0时,f(x)在相应区间上是增函数;当f′(x)<0时,f(x)在相应区间上是减函数.深化升华①在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,只有在定义域内,通过讨论导数的符号,才能判断函数的单调区间.②在对函数划分单调区间时,除了必须确定使导数等于零的点外,还要注意在定义域内不连续的点和不可导的点.③如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个,这些单调区间不能用“∪”连接,而只能用“逗号”或“和”字分开.二、函数的极值与导数1.函数的极值已知函数f(x),设x0是定义域内任一点,如果对x0附近的所有点x,都有f(x)<f(x0),则称函数f(x)在点x0处取极大值,记作y极大=f(x0),并把x0称为函数f(x)的一个极大值点;如果在x0附近都有f(x)>f(x0),则称函数f(x)在点x0处取极小值,记作y极小=f(x0),并把x0称为函数f(x)的一个极小值点.疑点突破极值是一个新的概念,是研究函数在某一个很小区域上的性质时给出的一个概念,在理解极值时要注意以下几点:①极值点x0是区间［a,b］内部的点,不会是端点a、b.②若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内绝对不是单调函数,即在区间上单调的函数没有极值.③根据函数的极值可知函数的极大值f(x0)比在点x0附近的点的函数值都大,在函数的图象上表现为极大值对应的点是局部的“高峰”;函数的极小值f(x0)比在点x0附近的点的函数值都小,在函数的图象上表现为极小值对应的点是局部的“低谷”.一个函数在其定义域内可以有许多极小值和极大值,在某一点处的极小值也可能大于另一个点处的极大值,极大值与极小值没有必然的联系,即极小值不一定比极大值小,极大值不一定比极小值大.④函数f(x)在［a,b］上有极值的话,它的极值点的分布是有规律的,相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.一般地,当函数f(x)在［a,b］上连续且有有限个极值点时,函数f(x)在［a,b］内的极大值、极小值点是交替出现的.⑤可导函数的极值点必须为导数是0的点,但导数为0的点不一定是极值点;不可导的点可能是极值点,也可能不是极值点.例如:导数为0的点是极值点:y=x2,y′(0)=0,x=0是极值点;导数为0的点不是极值点:y=x3,y′(0)=0,x=0不是极值点;不可导点是极值点:y=|sinx|,x=0点处y不可导,是极小值点;不可导点不是极值点:y=31x ,x=0点处y 不可导,不是极值点.2.函数极值的判定设函数f(x)在x 0处连续,判别f(x 0)是极大(小)值的方法如下:(1)如果在x 0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么f(x 0)是极大值; (2)如果在x 0附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x )>0,那么f(x 0)是极小值; (3)如果在x 0的两侧f′(x)的符号相同,则x 0不是极值点. 3.求可导函数极值的步骤 (1)求导数f′(x).(2)求方程f′(x)=0的所有实数根.(3)考察在每个根x 0附近,从左到右,导函数f′(x)的符号如何变化.如果f′(x)的符号由正变负,则f(x 0)是极大值;如果由负变正,则f(x 0)是极小值.误区警示 ①可导函数的极值点是导数为零的点,但是导数为零的点不一定是极值点,即点x 0是可导函数f(x)的极值是f′(x 0)=0的充分但不必要条件,如f(x)=x 3,有f′(0)=0,但x=0不是极值点.②可导函数f(x)在点x 0处取得极值的充要条件是f′(x 0)=0,且在x 0左侧和右侧,f′(x)的符号不同. 二、函数的最大(小)值与导数 1.函数的最大值与最小值函数f(x)在闭区间［a,b ］上的图象是一条连续不间断的曲线,则该函数在［a,b ］上一定能够取得最大值与最小值,函数的最值必在极值点或区间端点处取得.辨析比较 ①函数的极值表示函数在某一点附近的情况,是在局部上对函数值的比较;函数的最值是表示函数在整个定义区间上的情况,是对整个区间上的函数值的比较.②函数f(x)在一个闭区间上的最大值或最小值只能各有一个;而极大值或极小值可能多于一个,也可能没有,如常数函数无极大值,也无极小值. 2.求函数y=f(x)在［a,b ］上的最值的步骤 ①求f(x)在开区间(a,b)内所有使f′(x)=0的点;②计算函数f(x)在区间内使f′(x)=0的所有点和端点处的函数值,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.要点提示 ①求函数的最值与求函数的极值不同的是,在求可导函数的最值时,不需对各导数为0的点讨论其是极大值还是极小值,只需将导数为零的点和端点的函数值进行比较即可.②可利用函数的单调性求f(x)在区间上的最值:若f(x)在区间［a,b ］上单调递增,则f(x)的最大值为f(b),最小值为f(a);若f(x)在区间［a,b ］上单调递减,则f(x)的最大值为f(a),最小值为f(b). 问题·探究问题1 若y=f(x)在(a,b)内对任何x,都有f′(x)>0,则f(x)在(a,b)内为增函数,对吗?反之如何? 思路:按照导数的符号与函数的单调性的关系便可求解.探究:当f′(x)>0,则f(x)在(a,b)内为增函数是正确的;反之不一定是正确的,例如y=x 3在x ∈R 上恒为增函数,但f′(x)=3x 2≥0.问题2 若函数f(x)在x 0处取得极值,则f(x)在x 0处一定可导吗? 思路:按照函数的导数与函数的极值的关系分析易知.探究:不一定,例如f(x)=|x|在x=0处取得极小值,但f(x)=|x|在x=0处不可导. 问题3 函数的极值与最值是同一个概念吗?为什么?思路:函数f(x)在一个闭区间上的最大值或最小值只能各有一个,而极大值或极小值可能多于一个,也可能没有.探究:函数的最值与极值不是同一个概念:若函数在闭区间［a,b ］内有多个极值时,则最值由极值与端点处的函数值比较得到;若在闭区间内为单值函数,则极值点就是最值点. 典题·热题例1求函数f(x)=x 4-2x 2+3的单调递增区间. 思路分析:先求f′(x),若f′(x)>0,则f(x)单调递增. 解:f′(x)=4x 3-4x,令f′(x)>0,∴4x 3-4x>0.解之,得-1<x<0或x>1. ∴f(x)的单调递增区间是(-1,0)和(1,+∞).误区警示 单调区间(-1,0)与(1,+∞)只能用和、或连接,不能使用并集符号. 例2证明f(x)=x1在(0,+∞)上是减函数. 思路分析:可采用定义法和求导法两种方法来解题,体会求导法在解决函数单调性问题上的优越性.证明:法一:任取两个数x 1,x 2∈(0,+∞),设x 1<x 2,则 f(x 1)-f(x 2)=11x -21x =2112x x x x -,∵x 1>0,x 2>0且x 1<x 2,∴f(x 1)-f(x 2)>0.∴f(x 1)>f(x 2).∴f(x)在(0,+∞)上是减函数. 法二:f′(x)=21x -, ∵x>0,∴f′(x)<0.∴f(x)在(0,+∞)上是减函数.辨析比较 比较一下两种方法,用求导证明更简捷一些.如果是更复杂的函数,用导数的符号判断函数的单调性更能显示出它的优越性.例3(2005湖北高考)已知向量a =(x 2,x+1),b =(1-x,t).若函数f(x)=a ·b 在区间(-1,1)上是增函数,求t 的取值范围.思路分析:本题体现了高考重视对新增内容的考查以及常在知识交汇处设计问题的思想.利用向量的数量积运算求出f(x),利用导数与函数单调性的关系,将问题转化为不等式恒成立的问题,然后用函数的思想方法求解.解:法一:由题意得f(x)=x 2(1-x)+t(x+1)=-x 3+x 2+tx+t, 则f′(x)=-3x 2+2x+t.若f(x)在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上可设f′(x)≥0. ∴f′(x)≥0⇔t≥3x 2-2x 在区间(-1,1)上恒成立. 考虑函数g(x)=3x 2-2x,由于g(x)的图象是对称轴为x=31,开口向上的抛物线,故t≥3x 2-2x 在区间(-1,1)上恒成立⇔t≥g(-1),即t≥5.而t≥5时,f′(x)在(-1,1)上满足f′(x)>0,即f(x)在(-1,1)上是增函数. ∴t 的取值范围是t≥5.法二:由题意得f(x)=x 2(1-x)+t(x+1)=-x 3+x 2+tx+t, 则f′(x)=-3x 2+2x+t.若f(x)在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上可设f′(x)≥0. ∵f′(x)的图象是开口向下的抛物线,∴当且仅当f′(1)=t+1≥0,且f′(1)=t -5≥0时,f′(x)在(-1,1)上满足f′(x)>0,即f(x)在(-1,1)上是增函数.∴t 的取值范围是t≥5.深化升华 本题主要考查平面向量数量积的计算方法,利用导数研究函数的单调性等知识,要学会恒成立问题的解法.例4判断函数y=|ax-b|(a>0)在其定义域内是否存在极值. 思路分析:易知y=|ax-b|≥0,在x=ab处不可导,因此可用极值的定义判断. 解:在x=a b 附近有f(x)>f(ab ), ∴由极值的定义,知f(x)在x=a b 处取得极小值f(ab)=0.误区警示 ①解答此题时常有如下错误:当x>a b 时,y′=a;当x<ab时,y′=-a,即函数f(x)在x=ab处不可导,因此无极值. ②函数在某一点处不可导,不能直接断定函数在该点处没有极值.此时应考查函数的具体特征,利用极值的定义来判断函数是否存在极值. 例5如果函数f(x)=ax 5-bx 3+c(a≠0)在x=±1时有极值,极大值为4,极小值为0,试求a,b,c 的值. 思路分析:可通过求导确定可疑点,注意利用已知极值点x=±1所确定的相关等式,在判断y′的符号时,必须对a 进行分类讨论.解:y′=5ax 4-3bx 2,令y′=0,即5ax 4-3bx 2=0,x 2(5ax 2-3b)=0, ∵x=±1是极值点, ∴5a(±1)2-3b=0.又x 2>0,∴可疑点为x=0,±1. 若a>0,y′=5ax 2(x 2-1).当x 变化时,y′与y 的变化情况如下表:X (-∞,1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,+∞) y′ + 0 - 0 - 0 + Y ↗ 极大值 ↘ 无极值 ↘ 极小值 ↗ ∴当x=-1时,f(x)有极大值; 当x=1时,f(x)有极小值.∴⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+-=++-,2,5,335213504c b a ab a bc b a c b a c b a 若a<0,同理可得a=-3,b=-5,c=2.方法归纳 从逆向思维出发,运用待定系数法,实现由已知向未知的转化,转化过程中通过列表形象直观地解决待定系数问题.例6确定函数y=31x 32)1(x -的单调区间,并求出它们的极值.思路分析:先由f′(x)=0找到极值点,极值点把定义域分成几个区间;再根据f′(x)的正负去判断各区间上函数的单调性.解:y′=31·3132313231313232)1(331])1(2)1[(31)1(132)1(1x x x x x x x x x x x --=---=-∙--(x≠0,x≠1).显然x=0或x=1时,导函数不存在,再由y′=0得x=31,故有可疑点:x=0,x=31,x=1,列表如下: x (-∞,0) 0 (0,31) 31 (31,1) 1 (1,+∞) f′(x) + 不存在 + 0- 不存在 + f(x)↗↗343↘↗故函数的单调增区间为(-∞,31］与(1,+∞);单调递减区间为［31,1］. 函数在x=31处取得极大值343;在x=1处取得极小值0.方法归纳 在求极值中,为判断方程f′(x)=0的根的左右两边值的符号,可用列表的方法,用方程f′(x)=0的根,以及不可导点,顺次将函数的定义域分成若干个小开区间,并列成表格.本例进一步说明:函数导数不存在的点也可能是极值点. 例7(2005北京高考)已知函数f(x)=-x 3+3x 2+9x+a. (1)求f(x)的单调递减区间;(2)若f(x)在区间［-2,2］上的最大值是20,求它在该区间上的最小值. 思路分析:本题主要考查利用导数求函数的单调区间、最值的方法.对于(1)先求出f′(x),解不等式f′(x)<0即可.(2)由f(x)的最大值为20,求出a,进而求出最小值. 解:(1)f′(x)=-3x 2+6x+9.令f′(x)<0,解得x<-1或x>3. ∴函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(3,+∞).(2)∵f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a, ∴f(2)>f(-2).∵在(-1,3)上f′(x)>0,∴f(x)在［-1,2］上单调递增. 又由于f(x)在［-2,-1］上单调递减,∴f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间［-2,2］上的最大值和最小值. 于是有22+a=20,解得a=-2. ∴f(x)=-x 3+3x 2+9x-2. ∴f(-1)=1+3-9-2=-7,即函数f(x)在区间［-2,2］上的最小值为-7.深化升华 本题考查多项式的导数公式及运用导数求函数的单调区间和函数最值的方法,做题时注意应先比较f(-2)和f(2)的大小,然后判定哪个是最大值从而求出a.例8(2005天津高考)已知m ∈R ,设命题P:x 1和x 2是方程x 2-ax-2=0的两个实根,不等式|m 2-5m-3|≥|x 1-x 2|对任意实数a ∈［-1,1］恒成立;命题Q:函数f(x)=x 3+mx 2+(m+34)x+6在(-∞,+∞)上有极值.求使P 正确且Q 正确的m 的取值范围.思路分析:P:本题主要考查集合的运算、绝对值不等式、应用导数研究函数的单调性及极值等基础知识.将方程的根与不等式联系起来,通过解绝对值不等式求出m 的范围,Q:利用导数、根的判别式,求出m 的取值范围,然后求P,Q 的交集.解:(1)由题设x 1和x 2是方程x 2-ax-2=0的两个实根,得x 1+x 2=a 且x 1x 2=-2,∴|x 1-x 2|=84)(221221+=-+a x x x x .当a ∈［-1,1］时,a 2+8的最大值为9,即|x 1-x 2|≤3.由题意,不等式|m 2-5m-3|≥|x 1-x 2|对任意实数a ∈［-1,1］恒成立的m 的解集等于不等式|m 2-5m-3|≥3的解集,由此不等式得m 2-5m-3≤-3①或m 2-5m-3≥3②. 不等式①的解集为0≤m≤5,不等式②的解集为m≤-1或m≥6.因此,当m≤-1或0≤m≤5或m≥6时,P 是正确的. (2)对函数f(x)=x 3+mx 2+(m+34)x+6求导,得f′(x)=3x 2+2mx+m+34. 令f′(x)=0,即3x 2+2mx+m+34=0. 此一元二次方程的判别式Δ=4m 2-12(m+34)=4m 2-12m-16. 若Δ=0,则f′(x)=0有两个相等的实根x 0,且f′(x)的符号如下:x (-∞,x 0) x 0 (x 0,+∞) f′(x) + 0 +因此,f(x 0)不是函数的极值.若Δ>0,则f′(x)=0有两个不相等的实根x 1和x 2(x 1<x 2),且f′(x)的符号如下:X (-∞,x 1) x 1 (x 1,x 2) x 2 (x 2,+∞) f′(x) + 0 - 0 + 因此,函数f(x)在x=x 1处取得极大值,在x=x 2处取得极小值. 综上所述,当且仅当Δ>0时,函数f(x)在(-∞,+∞)上有极值. 由Δ=4m 2-12m-16>0得m<-1或m>4, 因此,当m<-1或m>4时,Q 是正确的.综上,使P 正确且Q 正确的实数m 的取值范围为(-∞,-1)∪(4,5］∪［6,+∞).例9(2005山东高考)已知x=1是函数f(x)=mx 3-3(m+1)x 2+nx+1的一个极值点,其中m,n ∈R ,m≠0.(1)求m 与n 的关系表达式; (2)求f(x)的单调区间.思路分析:本题注重对导数的应用与数学思想的考查.(1)由f′(1)=0确定m 与n 的关系.(2)由f′(x)>0,f′(x)<0确定f(x)的单调区间. 解:(1)f′(x)=3mx 2-6(m+1)x+n,∵x=1是f(x)的一个极值点,∴f′(1)=0,即3m-6(m+1)+n=0. ∴n=3m+6.(2)由(1),知f′(x)=3mx 2-6(m+1)x+3m+6=3m(x-1)［x-(1+m2)］. ①当m<0时,有1>1+m 2,当x 变化时,f(x)与f′(x)的变化如下表: x (-∞,1+m 2) 1+m 2 (1+m2,1)1 (1,+∞) f′(x)<0>0<0f(x) 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减由上表知,当m<0时,f(x)在(-∞,1+m 2)上单调递减,在(1+m2,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.②当m>0时,有1<1+m2,当x 变化时,f(x)与f′(x)的变化如下表: x (-∞,1) 1(1,1+m2) 1+m2 (1+m2,+∞) f′(x) >0 0 <0 0 >0 f(x)单调递增 极大值单调递减极小值 单调递增由上表知,当m>0时,f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,1+m 2)上单调递减,在(1+m2,+∞)单调递增. 深化升华 解决本题关键在于准确地求出m 与n 的关系式,以及借助二次函数解决恒成立问题.。
