高三数学期中考试手抄报的练习题

一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 1，则f'(x)的零点个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 0答案：B解析：f'(x) = 3x^2 - 3，令f'(x) = 0，得x^2 = 1，即x = ±1。

因此，f'(x)的零点个数为2。

2. 下列函数中，在定义域内是奇函数的是（）A. y = x^2B. y = x^3C. y = x^4D. y = x^5答案：B解析：奇函数的定义是f(-x) = -f(x)。

只有选项B中的函数y = x^3满足这个条件。

3. 若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则第n项an可以表示为（）A. a1 + (n-1)dB. a1 + ndC. a1 - (n-1)dD. a1 - nd答案：A解析：等差数列的通项公式是an = a1 + (n-1)d，所以正确答案是A。

4. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a^2 + b^2 = c^2，则△ABC是（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 梯形答案：C解析：根据勾股定理，若a^2 + b^2 = c^2，则△ABC是直角三角形。

5. 下列各数中，属于无理数的是（）A. √4B. √9C. √16D. √25答案：A解析：√4 = 2，√9 = 3，√16 = 4，√25 = 5，这些都是有理数。

只有√4是无理数。

二、填空题（每题5分，共50分）6. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1的对称轴方程是__________。

答案：x = 3/4解析：对称轴的公式是x = -b/2a，代入a = 2，b = -3，得x = 3/4。

7. 等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 3，d = 2，则S10 = ________。

答案：110解析：等差数列的前n项和公式是Sn = n/2 (2a1 + (n-1)d)，代入a1 = 3，d = 2，n = 10，得S10 = 110。

高三数学下册期中考试试题：带答案【】对于高中学生的我们，数学在生活中，考试科目里更是尤为重要，高三数学试题栏目为您提供大量试题，小编在此为您发布了文章：高三数学下册期中考试试题：带答案希望此文能给您带来帮助。

本文题目：高三数学下册期中考试试题：带答案考试时间： : : 总分值150 分一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

最后要将所有答案填写在答题卷上，否那么不给分。

1.命题：，那么〔〕A. 是假命题; ：B. 是假命题; ：C. 是真命题; ：D. 是真命题; ：2.函数的定义域为〔〕A. B. C. D.3. 设，那么是的〔〕A.充分而不必要条件B.充分必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件4.直线与垂直，那么等于〔〕A. B. C.-1 D.2或-15. ，为正方体，下面结论错误的选项是〔〕A. 平面B.C. 平面D.异面直线与所成的角为606.函数对一实在数都满足，有3个实根，那么这3个实根之和为〔〕A. 6B. 9C. 4D. 37. 椭圆的离心率为，那么过点且被圆截得的最长弦所在的直线的方程是〔〕A. B. C. D.8.一个三棱锥SABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，且长度分别为1、、3.该三棱锥的四个顶点都在一个球面上，那么这个球的外表积为〔〕A.16B.32C.36D.649.椭圆与双曲线有一样的焦点和，假设是的等比中项，是与的等差中项，那么椭圆的离心率是〔〕A. B. C. D.10. ，设点是单位圆上的一定点，动点从点出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点所旋转过的弧的长为，弦的长为，那么函数的图像大致是〔〕二、填空题〔本大题共5小题，每题4分，共20分。

〕11. 假设，那么 .12. 函数，其中，那么 = .13.在等比数列中，，前3项和，那么公比 =14.设实数满足约束条件，假设目的函数的最大值为10，那么的最小值为 .15.有一个数阵如右：记第行的第个数字为〔如〕，那么等于。

高三数学练习题手抄本（高三数学练习题手抄本）一、函数与方程1. 已知函数$f(x)=2x+3$，求$f(4)$的值。

解：将$x=4$带入函数$f(x)=2x+3$中，得$f(4)=2(4)+3=11$。

2. 解方程$\frac{3(x-2)}{5}=7$。

解：将方程化简得$3(x-2)=35$，再进行解方程，得$x=15$。

二、数列与级数1. 求等差数列$1,4,7,\dots$的第$n$项。

解：设等差数列的首项为$a_1$，公差为$d$。

根据题意，$a_1=1$，$d=4-1=3$。

所以，第$n$项可以表示为$a_n=a_1+(n-1)d=1+(n-1)3$。

2. 求等差数列$3,6,9,\dots$的前$n$项和。

解：设等差数列的首项为$a_1$，公差为$d$。

根据题意，$a_1=3$，$d=6-3=3$。

所以，前$n$项和可以表示为$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)=\frac{n}{2}(3+3n)$。

三、概率与统计1. 从52张扑克牌中，随机抽取2张牌，求抽到两张都是黑桃的概率。

解：抽取第一张牌是黑桃的概率为$\frac{13}{52}$，抽取第二张牌是黑桃的概率为$\frac{12}{51}$。

根据乘法原理，两张牌都是黑桃的概率为$\frac{13}{52}\times\frac{12}{51}$。

2. 某校全体学生身高的平均值是160cm，标准差为5cm。

求身高在平均值附近一倍标准差范围内的学生所占的百分比。

解：身高在平均值附近一倍标准差范围内的学生所占的百分比为68%。

四、几何与向量1. 已知平行四边形$ABCD$的对角线交点为$O$，求向量$\overrightarrow{OA}$与向量$\overrightarrow{BC}$的夹角。

解：根据平行四边形的性质，向量$\overrightarrow{OA}$与向量$\overrightarrow{BC}$平行。

所以，它们的夹角为0度。

潍坊市2020届高三期中考试数学本试卷共6页．满分150分． 注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．第I 卷(选择题 共52分)一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}220,03A x x x B x x =-≥=<<，则A B ⋂= A ．()1,3-B ．(0，2]C ．[2，3)D ．(2，3)2．sin 225=A ．12-B ．-C ．D ．1-3．已知1432log 2,3,ln 3a b c a b c ===，则，，的大小关系为A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c>b>aD ．c a b >>4．若,l m 是平面α外的两条直线，且//l α，则//m l 是//m α的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．现齐王与田忌各出上等马、中等马、下等马一匹，共进行三场比赛，规定：每一场双方均任意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜．则田忌获胜的概率为 A ．13B ．16C ．19D ．1366．函数()ln xf x x x=-的大致图象为7．(82-展开式中3x 的系数为A ．112-B ．28C ．56D ．1128．已知函数()sin cos f x x x =+，则 A ．()f x 的最小正周期为πB ．()y f x =图象的一条对称轴方程为4x π=C ．()f x 的最小值为2-D ．()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数9．如图，已知1,3,,,OA OB OC OC OB OA ===⊥<，30OC >=若OC xOA yOB x y =++=，A ．1B ．2C ．3D ．410．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000t 生活垃圾．经分拣以后数据统计如下表(单位：t)： 根据样本估计本市生活垃圾投放情况，下列说法错误的是A ．厨余垃圾投放正确的概率为23B ．居民生活垃圾投放错误的概率为310C ．该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高的是“可回收物”箱D ．厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差为20000 二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题4分，共12分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

山东省菏泽市郓城县第一中学2020届高三数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共10小题，共50.0分） 1.已知集合{}2|log 2A x x =<，{|}B x x Z =∈，则A B =（ ）A. {}1,2B. {1,2,3}C. {0,1,2,3}D. {|04}x x <<【答案】B 【解析】 【分析】先解对数不等式求得集合A ,再根据交集的定义求解即可.【详解】解:∵集合{}{}2log |204|A x x x x =<=<<,{}|B x x Z =∈, ∴{}1,2,3A B ⋂=. 故选:B【点睛】本题考查集合的交集运算,考查解对数不等式. 2.在复平面内，复数12iz i-=对应的点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C 【解析】 【分析】先将z 整理为a bi +,再找到复平面上对应的点,即可得到结果. 【详解】解:在复平面内,复数12(12)2i i i z i i i i--===--⋅, 其对应点()2,1--所在的象限为第三象限. 故选:C【点睛】本题考查复数的几何意义,考查复数的除法运算. 3.下列函数中，值域为[)0,+∞的是（ ）A. sin y x =B. tan y x =C. 12y x =D. 13y x =【答案】C 【解析】 【分析】对四个选项的函数依次求其值域,即可得到答案. 【详解】解:A.sin y x =的值域为[]1,1-； B.tan y x =的值域为R ； C.12y x =的值域为[0,)+∞； D.13y x =的值域为R , 故选:C【点睛】本题考查具体函数的值域,熟练掌握基本初等函数的性质是解题关键. 4.已知直线l ，m ，其中只有m 在平面α内，则“l ∥α”是“l ∥m ”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】当l ∥α时，直线l 与平面α内的直线m 平行、异面都有可能，所以l ∥m 不成立；当l ∥m 时，又只有m 在平面α内，根据直线与平面平行的判定定理知直线l ∥α，即“l ∥α”是“l ∥m ”的必要不充分条件，故选B ．5.已知130.5a =，130.2b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. b a c <<B. a c b <<C. b c a <<D.c a b <<【答案】A 【解析】 【分析】先利用指数函数0.5xy =的单调性比较,a c ,再由幂函数13y x =的单调性比较,a b ,即可得到答案.【详解】解:∵00.51<<,∴函数(0.5)xy =在R 上单调递减,∴10.230.50.5<, ∵103>,∴函数13y x =在(0,)+∞上单调递增,∴11330.50.2>, 故c a b >>, 故选:A【点睛】本题考查了利用指数函数性质与幂函数的性质比较大小,属于基础题.6.在解三角形中，如何由三角形的三边,,a b c 求出三角形的面积S ，在古代一直是个困难的问题．古希腊数学家海伦在他的著作《测地术》中证明了公式S =中1()2p a b c =++这个公式叫海伦公式．如果一个周长等于12的等腰三角形的最长边比最短边大3，则这个三角形的面积（ ）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】当最长边为腰时设3b a c ==+；当最短边为腰时,设3a b c ==-,利用周长求得c ,即可求得,a b ,再利用海伦公式求解即可.【详解】解:因为周长等于12,若最长边为腰,设3b a c ==+, 可得1263c =+, ∴2c =,5a b ==,则6p .所以S ===若最短边为腰,设3a b c ==-,可得1236c =-,6c ∴=,3a b ==, 此时a b c +=,不符合三角形的三边关系,舍去. 故选:A【点睛】本题考查三角形的性质的应用,考查三角形的面积,考查理解分析能力与分类讨论思想.7.设等差数列{}n a 满足5811213a a a a ++=-，且10a >，n S 为其前n 项和，则数列{}n S 的最大项为（ ）A. 21SB. 15SC. 14SD. 9S【答案】C 【解析】 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ,由5811213a a a a ++=-,利用通项公式化为12270a d +=,得到10a >,0d <,则{}n a 单调递减且满足140a >,150a <,即可得到答案. 【详解】解:设等差数列{}n a 的公差为d ,∵581182133a a a a a ++==-, ∴821a a =-,即()()11720a d a d +=-+,则12270a d +=, ∵10a >,∴0d <,∴等差数列{}n a 单调递减,()111422621320a d a d a +=+=>, ()111522821420a d a d a +=+=<,即140a >,150a <,∴当14n =时,数列{}n S 取得最大值, 故选:C【点睛】本题考查等差中项的应用,等差数列的前n 项和的最大项,考查运算能力. 8.已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(3)()0f x f x -+=，且当3,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，12()log (210)f x x =+则(2020)f =（ ）A. 3-B. 3C. 2-D. 2【答案】B 【解析】 【分析】首先由已知等式及奇函数的条件,判断出函数()f x 是周期为3的周期函数,可得()()()2020167331f f f =+⨯=,即可求解.【详解】解:根据题意,函数()f x 满足()()30f x f x +=﹣,即()(3)f x f x =--,又由函数()f x 为奇函数,则()()3f x f x --=--,变形可得()()3f x f x +=, 即函数()f x 是周期为3的周期函数,则()()()()()1220201673311log 2103f f f f =+⨯==--=--+=,即()20203f = 故选:B【点睛】本题考查利用函数周期性和奇偶性求函数值,考查对数的运算.9.已知,,,,P A B C D 是球O 的球面上的五个点，四边形ABCD 为梯形，AD ∥BC ，1AB DC AD ===，2BC PA ==，PD ⊥平面ABCD ，则球O 的体积为（ ）A.776πB.823πC.7724πD. 7π【答案】A 【解析】 【分析】利用ABCD 为等腰梯形找到球小圆的圆心,M 恰为BC 中点,取PA 中点N ,在矩形ANOM 中,求得半径OD ,得解.【详解】解:如图所示,由题意,ABCD 为等腰梯形, 取BC 中点M ,连接DM ,112BM BC AD ===,//AD BM , 故四边形ABMD 为平行四边形, 故1DM AB BM AD ====, 故四边形ABMD 为菱形,连接AM ,AD MC =,//AD MC ,故四边形AMCD 为平行四边形, 即1AM DC ==,故M 到,,,A B C D 距离相等,故M 为球小圆的圆心, 取PD 中点N ,作//OM PD ,且12OM PD =, 又PD ⊥平面ABCD , 则DNOM 为矩形,因为2PA =,1AD =,所以PD =,MO DN ==, 在直角三角形DMO 中,得球半径22OD MO DM =+==故球O 的体积为3436OD π⨯=, 故选:A【点睛】本题考查球内接几何体及球体积的求法,属于中档题.10.已知()x e f x x=关于x 的方程()22()(23)30f x a f x a a +-+-=有且仅有三个不等实根，则a 的取值范围为（ ） A. (3,)e -+∞B. (0,3){}e e -⋃-C. (,0)-∞D.[3,)e -+∞【答案】B 【解析】 【分析】由()22()(23)30f x a f x a a +-+-=可得()f x a =-或()3f x a =-,作出()f x 的函数图象,根据图象判断()f x a =-和()3f x a =-的解得个数,从而得出a 的范围．【详解】解:()xe f x x=,由0x e >可知()0f x ≠,又22()(1)x x xe x e ef x x x x'-==-,∴当1x <时,()0f x '<；当1x >时,()0f x '>,∴()f x 在(,0)-∞和()0,1上单调递减,在()1,+∞上单调递增, 且当1x =时,()f x 取得极小值()1f e =,又当0x <时,()0f x <；当0x >时,()0f x >,作出()f x 的函数图象如图所示:令()f x t =,则2(23)(3)0t a t a a +-+-=,解得1t a =-或23t a =-,且21t t >,因为22()(23)()30f x a f x a a +-+-=有且仅有三个不等实根,即2(23)(3)0t a t a a +-+-=有两个不同根,且满足12t e t e =⎧⎨>⎩或12t t e <⎧⎨>⎩,①当1t e =时,23t e =+,满足条件, 此时a e =-；②当120t t e <⎧⎨>⎩时,03a a e -<⎧⎨->⎩,解得03a e <<-；综上:a 的范围是(){}0,3e e -⋃-. 故选:B【点睛】本题考查由方程根的个数求参数范围,考查利用导函数判断函数单调性,考查数形结合思想.二、不定项选择题（本大题共3小题，共12.0分）11.已知函数()cos 22f x x x =，则下列说法正确的是（ ） A. ,06π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心B. 3x π=是()f x 的一条对称轴C. ,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是()f x 的一个递增区间 D. ,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是()f x 的一个递减区间 【答案】BD 【解析】 【分析】 先化简()2sin 26f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,利用代入检验法判断选项A,B ；由3222,262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈求解递增区间,由222,262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈求解递减区间,对k 赋值判断选项C,D.【详解】解:因为()2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫=+=--⎪⎝⎭, 22sin 2sin 106666f ππππ⎛⎫⎛⎫=--=-=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故A 错误；又22sin 2sin 23362f ππππ⎛⎫⎛⎫=--=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,符合对称轴特征,所以B 正确； 由3222,262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈得5,36k x k k Z ππππ+≤≤+∈, 不存在k 使,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是()f x 的一个递增区间,所以C 错误； 由222,262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈得,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈,所以函数的单调递减区间为,,63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦, 令0k =得()f x 的一个递增区间为,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,所以D 正确. 故答案为:BD【点睛】本题考查三角函数的化简,考查代入检验法判断三角函数的对称性,考查整体代入法求正弦函数的单调区间.12.若01,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得200210x x λ-+<成立是假命题，则实数λ可能取值是（ ）A.32B.C. 3D.92【答案】AB 【解析】 【分析】若“01,[]22x ∃∈,使得200210x x λ-+<成立”是假命题,即“01,[]22x ∃∈,使得0012x x λ>+成立”是假命题,即等价于“1[,2]2x ∀∈,使得12x xλ≤+成立”是真命题,再结合对勾函数性质,求出1[,2]2x ∈时,12x x+的最值,可得实数λ的取值范围. 【详解】解:∵若“01,[]22x ∃∈,使得200210x x λ-+<成立”是假命题,即“01,[]22x ∃∈,使得0012x x λ>+成立”是假命题, 即等价于“1[,2]2x ∀∈,使得12x xλ≤+成立”是真命题, 令()12f x x x =+,1[,2]2x ∈, 由对勾函数可知,当1[,2]2x ∈时,()f x在122⎡⎢⎣⎦上单调递减,在2]上单调递增,∴当2x =时,函数()f x 取最小值,即min ()f x f ==⎝⎭∴min ()f x λ≤=故实数λ的取值范围为(-∞. 故选:AB【点睛】本题考查由命题的真假求参数的范围,考查不等式恒成立问题,考查利用对勾函数性质求最值.13.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，F 是棱11A D 上动点，下列说法正确的是（ ）.A. 对任意动点F ，在平面11ADD A 内存在与平面CBF 平行的直线B. 对任意动点F ，在平面ABCD 内存在与平面CBF 垂直的直线C. 当点F 从1A 运动到1D 的过程中，FC 与平面ABCD 所成的角变大D. 当点F 从1A 运动到1D 的过程中，点D 到平面CBF 的距离逐渐变小 【答案】AC 【解析】 【分析】运用线面平行判定定理，即可判断A ；运用线面垂直的判定定理，可判断B; 由线面角的定义，可判断C; 由平面CBF 即平面11A D CB 可知D 到平面的距离的变化情况，即可判断选项D . 【详解】因为AD 在平面11ADD A 内，且平行平面CBF ，故A 正确；平面CBF 即平面11A D CB ，又平面11A D CB 与平面ABCD 斜相交，所以在平面ABCD 内不存在与平面CBF 垂直的直线，故B 错误；F 到平面ABCD 的距离不变且FC 变小，FC 与平面ABCD 所成的角变大，故C 正确；平面CBF 即平面11A D CB ，点D 到平面11A D CB 的距离为定值，故D 错误． 故选：AC ．【点睛】本题考查棱柱的结构特征，涉及线面平行、线面垂直、线面角、 点到平面距离等，考查学生空间想象能力，属中档题.三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）14.已知向量a 与b 的夹角为60︒，||2a =，||23a b -=，则||b =________． 【答案】4 【解析】 【分析】对||23a b -=两边同时平方,进而求解.【详解】解:向量a ,b 夹角为60︒,且||2a =,||23a b -=, ∴222()2a b a a b b -=-⋅+22222||cos 60||12b b ︒=-⨯⨯⨯+=, 即2||2||80b b --=, 解得||4=b 或||2b =-（舍）, ∴||4=b 故答案为:4【点睛】本题考查求向量的模,考查数量积的应用,考查运算能力.15.已知各项都是正数的等比数列{}n a 满足8762a a a -=，则公比q =________． 【答案】2 【解析】 【分析】由等比数列的通项公式推导出220q q --=,由此能求出结果. 【详解】解:∵正项等比数列{}n a 满足8762a a a -=,∴7651112a q a q a q -=,∴220q q --=, 解得2q,或1q =-,∵各项都是正数的等比数列{}n a , ∴1q =-（舍去）, ∴2q故答案为:2【点睛】本题考查等比数列的公比的求法,解题时要认真审题,注意等比数列的通项公式的合理运用,属于基础题.16.函数()()sin ωϕ=+f x x （其中0>ω，||2ϕπ<）的图象如下图所示，则函数()()sin ωϕ=+f x x 的最小正周期________；为了得到()sin g x x ω=的图象，只需把()y f x =的图象上所有的点向右平移________个单位长度．【答案】 (1). π (2). 6π 【解析】 【分析】由图象可求出函数()f x 的解析式,即可求出最小正周期,再利用函数图象的变换规律求解即可.【详解】解:由函数图象可得1741234T πππ=-=, 所以最小正周期为π, 所以2T ππω==,解得2ω=,所以()sin(2)f x x ϕ=+,又点,03π⎛⎫⎪⎝⎭在函数()y f x =的图像上,所以sin 203πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭,则2,3k k Z πϕπ+=∈, 又||2ϕπ<, 所以3πϕ=,所以()sin 2sin 236f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 要得到函数()sin 2g x x =的图象,只需将函数()sin[2()]6f x x π=+图象上所有的点向右平移6π个单位长度,故答案为:π；6π. 【点睛】本题考查由图象求三角函数解析式,考查三角函数的平移变换.17.已知函数()ln f x x x =．存在k Z ∈，使()2f x kx k >--在1x >时恒成立，则整数k 的最大值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】由()2f x kx k >--,即ln 2x x kx k >--,则将问题转化为ln 21x x k x +<-在1x >上恒成立,令ln 2()1x x h x x +=-,利用导函数求出最小值即可．【详解】解:因为()ln f x x x =,由()2f x kx k >--即()()12k x f x --<对任意的1x >恒成立,得ln 21x x k x +<-（1x >）,令ln 2()1x x h x x +=-（1x >）,则2ln 3()(1)x x h x x '--=-,令()ln 30g x x x =--=,得3ln x x -=, 画出函数3y x =-,ln y x =的图象,如图示:∴3y x =-与ln y x =在1x >有唯一的交点,∴()g x 存在唯一的零点,又()41ln 40g =-<,()52ln50g =->, ∴零点0x 属于()4,5,∴()h x 在()01,x 递减,在()0,x +∞递增, 而4ln 442(4)33h +<=<,115ln 55(5)344h +<=<, ∴()023h x <<,k Z ∈， ∴k 的最大值是2. 故答案为:2【点睛】本题考查不等式的恒成立问题,考查利用导函数求最值,考查零点存在性定理的应用,考查数形结合思想.四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）18.已知p ：2430x x -+<，q ：()()210x m x m m R -++<∈．（1）求不等式2430x x -+<的解集；（2）若q 是p 的必要不充分条件，求m 的取值范围． 【答案】（1）{}3|1x x <<（2）()3,+∞ 【解析】 【分析】（1）分解因式得()()130x x --<,进而求解即可；（2）先将命题q 中不等式分解为()()10x m x --<,所以讨论m 与1的大小,当1m 时，不等式()210x m x m -++<的解是1x m <<,由q 是p 的必要不充分条,则2430x x -+<的解集是()210x m x m -++<（1m ）解集的真子集,即可求解,同理讨论当1m <与1m =时的情况.【详解】解：（1）因为2430x x -+<,所以()()130x x --<,所以13x <<, 所求解集为{}|13x x <<.（2）因为q ：()()210x m x m m R -++<∈,则()()10x m x --<当1m 时,不等式()210x m x m -++<的解是1x m <<,因为q 是p 的必要不充分条件,所以2430x x -+<的解集是()210x m x m -++<（1m ）解集的真子集,所以3m >；当1m <时,不等式()210x m x m -++<的解是1m x <<,因{}{}||131x x x m x <<⋂<<=∅,不合题意；当1m =时,不等式2430x x -+<的解集为∅,不合题意. 综上,m 的取值范围是()3,+∞．【点睛】本题考查含参数的一元二次不等式的解法,考查由充分必要条件求参数的范围,考查运算能力与分类讨论思想.19.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足2cos cos cos 0a B b C c B ++=． （1）求角B ；（2）若92AB BC ⋅=，当a 为何值时，b 取最小值？求b 的最小值．【答案】（1）23B π=（2）3a =，b 的最小值为【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化边为角后整理可得sin cos sin cos 2sin cos B C C B A B +=-,解得cos B 的值,结合范围0B π<<,可求B 的值；（2）由92AB BC ⋅=,得9cos 2ac B -=,由1cos 2B =-,则9ac =,再通过余弦定理和基本不等式求出b 的最小值.【详解】解:（1）由正弦定理得4sin cos 2sin cos 2sin cos 0R A B R B C R C B ++=, ∴sin cos sin cos 2sin cos B C C B A B +=-,∴sin()2sin cos B C A B +=-,∴sin 2sin cos A A B =-, ∵sin 0A ≠,∴1cos 2B =-, 又∵0B π<<, ∴23B π=； （2）由92AB BC ⋅=,则9cos 2ac B -=,∵1cos 2B =-,∴9ac =,∵2222cos b a c a B =+-, ∴22292927b a c ac =++≥+=,当且仅当3a c ==时,2b 取得最小值为27,即b的最小值为【点睛】本题考查利用正弦定理化边为角,考查利用余弦定理解三角形,考查利用均值定理求最值.20.已知数列{}n a 的首项123a =，且当2n ≥时，满足1231312n n a a a a a -++++=-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n n nb a =，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T ． 【答案】（1）23n n a =（2）3231443n n n T +=-⋅ 【解析】 【分析】（1）由题可得1231312n n a a a a a +++++=-,与已知作差可得13322n n n a a a +-=-+,整理可得113n n a a +=,进而利用等比数列的通项公式求解即可； （2）由（1）可得23n n n n nb a =⋅=,利用错位相减法求和即可. 【详解】解:（1）当2n ≥时,由1231312n n a a a a a -++++=-,则1231312n n a a a a a +++++=-,两式相减得13322n n n a a a +-=-+,即11322n n a a +=, ∴113n n a a +=, 当2n =时,由12312a a =-,得229a =, ∴2113a a =,综上,对任意1n ≥,113n n a a +=, ∴{}n a 是以23为首项,13为公比的等比数列,∴23n na =. （2）由（1）23n n n n n b a =⋅=, ∴231111233333n n T n =+⋅+⋅++⋅,2311111112(1)33333n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅, ∴231211111333333n n x T n +=++++-⋅ 1111233n n n +⎛⎫=--⎪⎝⎭, 则3231443n n n T +=-⋅ 【点睛】本题考查了根据数列的递推公式求解数列通项,考查等比数列通项公式的应用,考查利用错位相消求解数列前n 项和.21.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆为正三角形，平面11A ACC ⊥平面ABC ，160ACC ∠=︒，E 为AC 的中点，14AB AA ==．（1）求证：1BE C E ⊥；（2）求二面角1A CC B --的平面角的余弦值． 【答案】（1）见解析（25【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理可得BE ⊥平面11A AC C ,由线面垂直的性质可得线线垂直；（2）故以E 为坐标原点,分别以1,,EC EB EC 的方向为,,x y z 轴建立空间直角坐标系, 分别求得平面1CC B 与平面1ACC 的法向量,利用空间向量求二面角的余弦值. 【详解】（1）证明:∵AB BC =,E 为AC 的中点, ∴BE AC ⊥,∵平面1A ACC ⊥平面ABC ,平面1A ACC ⋂平面ABC AC =,BE ⊂平面ABC , ∵1C E ⊂平面11A AC C , ∴1BE C E ⊥； （2）连接1AC ,∵14AC CC ==,160ACC ∠=︒, ∴1ACC ∆为正三角形, ∵E 为AC 的中点, ∴1C E AC ⊥,∵平面1A ACC ⊥平面ABC ,平面1A ACC ⋂平面ABC AC =,1C E ⊂平面11A AC C , ∴1C E ⊥平面ABC ,故以E 为坐标原点,分别以1,,EC EB EC 的方向为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,如图所示,则()2,0,0C ,(0,23,0)B ,(10,0,23C ,(2,3,0)CB =-,1(2,0,23)CC =-, 设(),,m x y z =为平面1CC B 的法向量,则100m CB m CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即2020x x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩,可取x =则(3,1,1)m =, 由（1）知()EB =为平面1ACC 的法向量,于是2cos ,23EB m <>==⨯, ∴二面角1A CC B -- 【点睛】本题考查线面垂直的性质的应用,考查线线垂直的证明,考查利用空间向量求二面角. 22.某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x 台机器人的总成本21()150600p x x x =++万元． （1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量()8(60),13015480,30m m m q m m ⎧-⎪=⎨⎪>⎩（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少多少？【答案】（1）300台（2）90 【解析】 【分析】（1）由总成本21()150600p x x x =++万元,可得每台机器人的平均成本()p x y x=,然后利用基本不等式求最值；（2）引进机器人后,每台机器人的日平均分拣量8(60)(130)()15480(30)m m m q m m ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩,分段求出300台机器人的日平均分拣量的最大值及所用人数,再由最大值除以1200,可得分拣量达最大值时所需传统分拣需要人数,则答案可求． 【详解】解:（1）由总成本21()150600p x x x =++,可得每台机器人的平均成本21150()1150600112600x x p x y x x x x ++===++≥=, 当且仅当1150600x x=,即300x =时,等号成立, ∴若使每台机器人的平均成本最低,则应买300台；（2）引进机器人后,每台机器人的日平均分拣量8(60)(130)()15480(30)m m m q m m ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩,当130m ≤≤时,300台机器人的日平均分拣量为()2160601609600m m m m -=-+,∴当30m =时,日平均分拣量有最大值144000； 当30m >时,日平均分拣量为480300144000⨯=, ∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件． 若传统人工分拣144000件,则需要人数为1440001201200=（人）．∴日平均分拣量达最大值时,用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少1203090-=． 【点睛】本题考查函利用均值定理求最值,考查简单的数学建模思想方法. 23.已知函数()()2ln f x x ax x a R =+-∈．（1）若函数()f x 在[]1,2上是减函数，求实数a 的取值范围；（2）令()()2g x f x x =-，是否存在实数a ，使得当(]0,x e ∈时，函数()g x 的最小值是3？若存在，求出实数a 的值；若不存在，说明理由； （3）当(]0,x e ∈时，证明225(1)ln 2e x x x x >++. 【答案】（1）72a ≤-（2）存在，2a e =（3）见解析 【解析】 【分析】（1）先求导可得2121()2x ax f x x a x x+-'=+-=,则可将问题转化为()0f x '≤在[]1,2上恒成立,即12a x x ≤-+在[]1,2上恒成立,设()12h x x x=-+,求得()min h x ,即可求解；（2）先对()g x 求导,再分别讨论0a ≤,10e a <<,1e a ≥时的情况,由最小值为3,进而求解； （3）令()2ln F x e x x =-,结合（2）中知()F x 的最小值为3.再令ln 5()2x x x ϕ=+并求导,再由导函数在0x e <≤大于等于0可判断出函数()x ϕ在(]0,e 上单调递增,从而可求得最大值也为3,即有2ln 5ln 2xe x x x ->+成,，即225ln ln 2e x x x x x ->+成立,即可得证.【详解】（1）解:2121()20x ax f x x a x x '+-=+-=≤在[]1,2上恒成立,即2210x ax +-≤在[]1,2上恒成立, 所以12a x x ≤-+在[]1,2上恒成立,设()12h x x x =-+,则()h x 在[]1,2上单调递减,所以()()min 722h x h ==- 所以72a ≤-（2）解:存在,假设存在实数a ,使()()(]()2ln 0,g x f x x ax x x e =-=-∈有最小值3,11()ax g x a x x '-=-=①当0a ≤时,0g x ,则()g x 在(]0,e 上单调递减,所以()()min 13g x g e ae ==-=,解得4a e =（舍去）； ②当10e a <<时,当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则0g x ；当1,x e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则0g x ,所以()g x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,在1,e a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增,∴()min 11ln 3g x g a a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭,解得2a e =,满足条件； ③当1e a ≥时,0g x ,则()g x 在(]0,e 上单调递减,所以()()min 13g x g e ae ==-=,解得4a e =（舍去）,综上,存在实数2a e =,使得当(]0,x e ∈时()g x 有最小值3.（3）证明:令()2ln F x e x x =-,由（2）知,()min 3F x =, 令ln 5()2x x x ϕ=+,则21ln ()x x xϕ'-=, 当0x e <≤时,()0x ϕ'≥,则()x ϕ在(]0,e 上单调递增, ∴max 1515()()3222x e e ϕϕ==+<+= ∴2ln 5ln 2x e x x x ->+, 即225(1)ln 2e x x x x >++． 【点睛】本题考查利用导函数由函数单调性求参问题,考查利用导函数求最值问题,考查构造函数处理不等式恒成立的证明问题.。

2020年高三数学上期中试卷(带答案)(2)一、选择题1．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形2．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值是( )A ．4B ．2C ．2-D ．4-3．已知{}n a 为等差数列，若20191<-a a ，且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，则n S 的最小正值为( ) A ．1SB ．19SC ．20SD ．37S4．已知关于x 的不等式()224300x ax a a -+<<的解集为()12,x x ，则1212a x x x x ++的最大值是（ ） ABCD．3-5．定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a ,若(){}nf a 仍是比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()(),00,-∞⋃+∞上的如下函数： ①()3f x x =；②()xf x e =；③()f x =④()ln f x x =则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为（ ） A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④6．已知不等式2230x x --<的解集为A ,260x x +-<的解集为B ，不等式2+0x ax b +<的解集为A B I ，则a b +=（ ）A ．-3B ．1C ．-1D ．37．已知A 、B 两地的距离为10 km,B 、C 两地的距离为20 km,现测得∠ABC=120°，则A 、C 两地的距离为 （ ） A ．10 kmBkmC．D．8．设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ）A ．2744n n +B ．2533n n+C ．2324n n+D ．2n n +9．已知ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3b =，33c =，30B =︒，则AB 边上的中线的长为( )A ．37B ．34 C ．32或372D ．34或37210．已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为（ ）． A ．1B ．6C ．7D ．6或711．已知AB AC ⊥u u u v u u u v ，1AB t=u u uv ，AC t =u u u v ，若P 点是ABC V 所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，则·PB PC u u u v u u u v 的最大值等于（ ）. A ．13B ．15C ．19D ．2112．等比数列{}n a 的前三项和313S =，若123,2,a a a +成等差数列，则公比q =（ ） A ．3或13- B ．-3或13C ．3或13D ．-3或13-二、填空题13．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a =，且()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为______.14．已知实数,x y 满足102010x y x y x y ++≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为____．15．如图,无人机在离地面高200m 的A 处,观测到山顶M 处的仰角为15°、山脚C 处的俯角为45°,已知∠MCN=60°,则山的高度MN 为_________m.16．已知关于x 的一元二次不等式ax 2+2x+b ＞0的解集为{x|x≠c}，则227a b a c+++（其中a+c≠0）的取值范围为_____． 17．设是定义在上恒不为零的函数，对任意，都有，若，，，则数列的前项和的取值范围是__________．18．已知数列的前项和，则_______．19．设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为__________． 20．在锐角ΔABC 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知24,sin 4sin 6sin sin a b a A b B a B C +=+=,则ABC n 的面积取最小值时有2c =__________.三、解答题21．若数列{}n a 的前n 项和n S 满足*231?(N )n n S a n =-∈,等差数列{}n b 满足113233b a b S ==+，.(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式; (2)设3nn nb c a =,求数列{}n c 的前n 项和为n T . 22．已知等比数列{}n a 的公比1q >，且满足：23428a a a ++=，且32a +是24,a a 的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1122log ,n n n n n b a a S b b b ==+++L ，求使1·262n nS n ++>成立的正整数n 的最小值．23．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =.（Ⅰ）求b 和sin A 的值； （Ⅱ）求πsin(2)4A +的值. 24．已知数列{}n a 的前n 项和()2*,,n S pn qn p q n =+∈∈R N ，且143,24.a S ==（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n an b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．25．围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x （单位：元）．（Ⅰ）将y 表示为x 的函数；（Ⅱ）试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． 26．已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是公比大于零的等比数列，且112a b ==,338a b ==.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; （2）记n n b c a =，求数列{}n c 的前n 项和n S .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角形，由，得2121212{22A AB BC C πππ=-=-=-，那么，2222A B C π++=，矛盾，所以222A B C ∆是钝角三角形，故选D.2．C解析：C 【解析】 【分析】利用n S 先求出n a ，然后计算出结果. 【详解】根据题意，当1n =时，11224S a λ==+,142a λ+∴=, 故当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=,Q 数列{}n a 是等比数列,则11a =，故412λ+=, 解得2λ=-, 故选C . 【点睛】本题主要考查了等比数列前n 项和n S 的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础.3．D解析：D 【解析】 【分析】由已知条件判断出公差0d <，对20191<-a a 进行化简，运用等差数列的性质进行判断，求出结果. 【详解】已知{}n a 为等差数列，若20191<-a a ，则2019190a a a +<， 由数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，可得0d <，19193712029000,,0,370a a a a a S <=∴+<>>， 31208190a a a a ∴+=+<，380S <，则n S 的最小正值为37S 故选D 【点睛】本题考查了等差数列的性质运用，需要掌握等差数列的各公式并能熟练运用等差数列的性质进行解题，本题属于中档题，需要掌握解题方法.4．D解析：D 【解析】：不等式x 2-4ax +3a 2＜0（a ＜0）的解集为（x 1，x 2），根据韦达定理，可得：2123x x a =，x 1+x 2=4a ，那么：1212a x x x x ++=4a +13a． ∵a ＜0， ∴-（4a +13a ），即4a +13a ≤故1212a x x x x ++的最大值为． 故选D ．点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.5．C解析：C 【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，验证()()1n n f a f a +是否为非零常数，由此可得出正确选项. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则1n na q a +=. 对于①中的函数()3f x x =，()()3313112n n n n n n f a a a q f a a a +++⎛⎫=== ⎪⎝⎭，该函数为“保等比数列函数”；对于②中的函数()xf x e =，()()111n n n n a a a n a n f a e e f a e++-+==不是非零常数，该函数不是“保等比数列函数”； 对于③中的函数()f x =()()1n n f a f a +===，该函数为“保等比数列函数”；对于④中的函数()ln f x x =，()()11ln ln n n n na f a f a a ++=不是常数，该函数不是“保等比数列函数”.故选：C. 【点睛】本题考查等比数列的定义，着重考查对题中定义的理解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.6．A解析：A 【解析】 【分析】根据题意先求出集合,A B ，然后求出=1,2A B -I ()，再根据三个二次之间的关系求出,a b ，可得答案.【详解】由不等式2230x x --<有13x -<<，则(1,3)A =-. 由不等式260x x +-<有，则32x -<<，则(3,2)B =-. 所以=1,2A B -I ().因为不等式2+0x ax b +<的解集为A B I , 所以方程2+=0x ax b +的两个根为1,2-. 由韦达定理有：1212a b-+=-⎧⎨-⨯=⎩,即=12a b -⎧⎨=-⎩. 所以3a b +=-. 故选：A. 【点睛】本题考查二次不等式的解法和三个二次之间的关系，属于中档题.7．D解析：D 【解析】 【分析】直接利用余弦定理求出A ，C 两地的距离即可． 【详解】因为A ，B 两地的距离为10km ，B ，C 两地的距离为20km ，现测得∠ABC ＝120°， 则A ，C 两地的距离为：AC 2＝AB 2+CB 2﹣2AB •BC cos ∠ABC ＝102+202﹣2110202⎛⎫⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭700．所以AC ＝km ． 故选D ． 【点睛】本题考查余弦定理的实际应用，考查计算能力．8．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】设公差为d 则解得，故选A.9．C解析：C 【解析】 【分析】由已知利用余弦定理可得29180a a -+=，解得a 值，由已知可求中线12BD c =，在BCD V 中，由余弦定理即可计算AB 边上中线的长． 【详解】解：3,33,30b c B ===o Q ，∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得239272332a a =+-⨯⨯⨯，整理可得：29180a a -+=，∴解得6a =或3．Q 如图，CD 为AB 边上的中线，则1332BD c ==，∴在BCD V 中，由余弦定理2222cos CD a BD a BD B =+-⋅⋅，可得：222333336()26222CD =+-⨯⨯⨯，或222333333()23222CD =+-⨯⨯⨯， ∴解得AB 边上的中线32CD =或372． 故选C ．【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于基础题．10．B解析：B 【解析】试题分析：由等差数列的性质，可得，又，所以，所以数列的通项公式为，令，解得，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得取最小值时的为，故选B ．考点：等差数列的性质.11．A解析：A 【解析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t，(0,)C t ，10)4(0,1)(1,4)AP =+=u u u r （，，即14)P （，，所以114)PB t=--u u u r （，，14)PC t =--u u u r （，，因此PB PC ⋅u u u r u u u r11416t t =--+117(4)t t =-+，因为114244t t t t+≥⋅=，所以PB PC ⋅u u u r u u u r 的最大值等于13，当14t t =，即12t =时取等号．考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．12．C解析：C 【解析】很明显等比数列的公比1q ≠，由题意可得：()231113S a q q =++=，①且：()21322a a a +=+，即()211122a q a a q +=+，②①②联立可得：113a q =⎧⎨=⎩或1913a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，综上可得：公比q =3或13. 本题选择C 选项.二、填空题13．【解析】【分析】根据正弦定理将转化为即由余弦定理得再用基本不等式法求得根据面积公式求解【详解】根据正弦定理可转化为化简得由余弦定理得因为所以当且仅当时取所以则面积的最大值为故答案为：【点睛】本题主要【解析】 【分析】 根据正弦定理将()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-转化为()()()a b a b c b c +-=-，即222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，再用基本不等式法求得4bc ≤，根据面积公式1sin 2ABC S bc A ∆=求解. 【详解】 根据正弦定理()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-可转化为()()()a b a b c b c +-=-，化简得222bc a bc +-=由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==sin ==A 因为2222+=+≥b c a bc bc 所以4bc ≤，当且仅当b c =时取""=所以1sin 42∆==≤=ABC S bc A 则ABC∆【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理，基本不等式的综合应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.14．5【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域利用数形结合即可得到z的最大值【详解】作出实数xy 满足对应的平面区域如图：由z ＝2x+y 得y ＝﹣2x+z 平移直线y ＝﹣2x+z 由图象可知当直线y ＝﹣2x+解析：5 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到z 的最大值． 【详解】作出实数x ，y 满足102010x y x y x y ++≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩对应的平面区域，如图：由z ＝2x +y 得y ＝﹣2x +z ，平移直线y ＝﹣2x +z 由图象可知当直线y ＝﹣2x +z 经过点A 时，直线y ＝﹣2x +z 的截距最大．又x 10y --=与20x y -=联立得A （2，1） 此时z 最大，此时z 的最大值为z ＝2×2+1＝5， 故答案为5． 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，考查了z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．15．300【解析】试题分析：由条件所以所以这样在中在中解得中故填：300考点：解斜三角形【思路点睛】考察了解三角形的实际问题属于基础题型首先要弄清楚两个概念仰角和俯角都指视线与水平线的夹角将问题所涉及的解析：300 【解析】试题分析：由条件，,所以,,,所以,,这样在中，,在中，，解得,中，，故填：300.考点：解斜三角形【思路点睛】考察了解三角形的实际问题，属于基础题型，首先要弄清楚两个概念，仰角和俯角，都指视线与水平线的夹角，将问题所涉及的边和角在不同的三角形内转化，最后用正弦定理解决高度.16．（﹣∞﹣6∪6+∞）【解析】【分析】由条件利用二次函数的性质可得ac=﹣1ab=1即c=-b将转为（a﹣b）+利用基本不等式求得它的范围【详解】因为一元二次不等式ax2+2x+b＞0的解集为{x|x解析：（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞）【解析】【分析】由条件利用二次函数的性质可得ac=﹣1，ab=1, 即c=-b将227a ba c+++转为（a﹣b）+9a b-，利用基本不等式求得它的范围．【详解】因为一元二次不等式ax2+2x+b＞0的解集为{x|x≠c}，由二次函数图像的性质可得a＞0，二次函数的对称轴为x=1a-=c，△=4﹣4ab=0，∴ac=﹣1，ab=1，∴c=1a-，b=1a，即c=-b,则227a ba c+++=()29a ba b-+-=（a﹣b）+9a b-，当a﹣b＞0时，由基本不等式求得（a﹣b）+9a b-≥6，当a﹣b＜0时，由基本不等式求得﹣（a﹣b）﹣9a b-≥6，即（a﹣b）+9a b-≤﹣6,故227a ba c+++（其中a+c≠0）的取值范围为：（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞），故答案为（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞）．【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，考查利用基本不等式求最值.17．121)【解析】试题分析：由题意对任意实数xy∈R都有f(x)f(y)=f(x+y)则令x=n y=1可得f(n)f(1)=f(n+1)即f(n+1)an+1an=f(n+1)f(n)=12即数列{a解析：【解析】试题分析：由题意，对任意实数，都有，则令可得，即，即数列是以为首项，以为公比的等比数列，故考点：抽象函数及其应用，等比数列的通项及其性质18．2【解析】【分析】【详解】由Sn ＝n2+n （n ∈n*）当n ＝1a1＝S1＝1+1＝2当n≥2时an ＝Sn ﹣Sn ﹣1＝n2+n ﹣（n ﹣1）2-（n ﹣1）＝2n 当n ＝1时a1＝2×1＝2成立∵an ＝2n解析：2 【解析】 【分析】 【详解】由S n ＝n 2+n （n ∈n *）， 当n ＝1，a 1＝S 1＝1+1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝n 2+n ﹣（n ﹣1）2-（n ﹣1）＝2n ， 当n ＝1时，a 1＝2×1＝2，成立， ∵a n ＝2n （n ∈n *）， ∴22，∴2，故答案为2．19．【解析】【分析】先根据条件列关于公差的方程求出公差后代入等差数列通项公式即可【详解】设等差数列的公差为【点睛】在解决等差等比数列的运算问题时有两个处理思路一是利用基本量将多元问题简化为首项与公差（公 解析：63n a n =-【解析】 【分析】先根据条件列关于公差的方程，求出公差后，代入等差数列通项公式即可. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，13334366a d d d =∴+++=∴=Q ，，，36(1)6 3.n a n n ∴=+-=-【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路，一是利用基本量，将多元问题简化为首项与公差（公比）问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确：二是利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.20．【解析】由正弦定理及得又即由于即有即有由即有解得当且仅当a=2b=2时取得等号当a=2b=1S 取得最小值易得(C 为锐角)则则 解析：4553-【解析】由正弦定理及sin 4sin 6sin sin a A b B a B C +=, 得2246sin a b ab C +=, 又1sin 2S ab C =,即22412a b S +=, 由于24a b +=,即有()222424164a b a b ab ab +=+-=-, 即有41612ab S =-,由22422a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,即有16128S -≤,解得23S ≥, 当且仅当a=2b =2时,取得等号, 当a =2,b=1,S 取得最小值23, 易得2sin 3C =(C 为锐角),则5cos C =, 则22242cos 553c a b ab C =+-=-. 三、解答题21．(1)13n n a -=，;(2)()223n nn T +=-.【解析】 【分析】（Ⅰ）由数列递推式求出a 1，在数列递推式中取n=n-1得另一递推式，作差后得到数列{a n }为等比数列，则数列{a n }的通项公式可求，再由b 1=3a 1，b 3=S 2+3求出数列{b n }的首项和公差，则{b n }的通项公式可求；（Ⅱ）把数列{a n }、{b n }的通项公式代入3nn nb c a =，直接由错位相减法求数列{c n }的前n 项和为T n ．【详解】（Ⅰ）当1n =时，111231,1S a a =-∴=当2n ≥时，()()112223131n n n n n a S S a a --=-=---，即13nn a a -= ∴数列{}n a 是以11a =为首项，3为公比的等比数列，13n n a -∴=.设{}n b 的公差为1132,33,3723,2d b a b S d d ===+==+=()31321n b n n ∴=+-⨯=+ ,（Ⅱ）1232135721,33333n n n nn n c T ++==++++L ① 则234113572133333n n n T ++=++++L ②， 由①—②得，2312111211233333n n n n T ++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭L 142433n n ++=+∴223n nn T +=- . 【点睛】本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的前n 项和，是中档题．22．（1）2nn a =；（2）6．【解析】试题分析：（1）求等比数列的通项公式，关键是求出首项和公比，这可直接用首项1a 和公比q 表示出已知并解出即可（可先把已知化简后再代入）；（2）求出n b 的表达式后，要求其前n 项和，需用错位相减法．然后求解不等式可得最小值． 试题解析：（1）∵32a +是24,a a 的等差中项，∴()32422a a a +=+， 代入23428a a a ++=，可得38a =，∴2420a a +=，∴212118{20a q a q a q =+=，解之得122a q =⎧⎨=⎩或132{12a q ==， ∵1q >，∴122a q =⎧⎨=⎩，∴数列{}n a 的通项公式为2nn a = （2）∵1122log 2log 2?2n n nn n n b a a n ===-，∴()21222?2nn S n =-⨯+⨯++L ，．．．．．．．．．．．．．．．①()23121222?2?2nn S n n +=-⨯+⨯+++L ，．．．．．．．．．．．．．②②—①得()2311112122222?2?222?212n n n n n n nS n n n ++++-=+++-=-=---L∵1·262n n S n ++>，∴12262n +->，∴16,5n n +>>， ∴使1·262n n S n ++>成立的正整数n 的最小值为6 考点：等比数列的通项公式，错位相减法． 23．（Ⅰ）b =sin A（Ⅱ）26. 【解析】试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系2a b =，再根据余弦定理求出cos A ， 进而得到sin A ，由2a b =转化为sin 2sin A B =，求出sin B ，进而求出cos B ，从而求出2B 的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果. 试题解析：（Ⅰ） 解：在ABC V 中，因为a b >，故由3sin 5B =，可得4cos 5B =.由已知及余弦定理，有2222cos 13b a c ac B =+-=，所以b =. 由正弦定理sin sin a b A B =,得sin sin 13a B Ab ==. 所以，bsin A. （Ⅱ）解：由（Ⅰ）及a c <，得cos A =，所以12sin22sin cos 13A A A ==，25cos212sin 13A A =-=-.故πππsin 2sin2cos cos2sin 44426A A A ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭. 考点：正弦定理、余弦定理、解三角形【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.24．（Ⅰ）21,n a n =+；（Ⅱ）8(41)3n n T -=. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由题意可得1, 2.p q ==则22n S n n =+，利用通项公式与前n 项和的关系可得21,n a n =+（Ⅱ） 由（1）可知212n n b +=，结合等比数列前n 项和公式计算可得数列{}n b 的前n 项和()8413n n T -=.【详解】（Ⅰ）由14316424S p q S p q =+=⎧⎨=+=⎩ 得21, 2.2.n p q S n n ===+ 所以当1n =时，1 3.a =当2n ≥时，()()21121,n S n n -=-+-所以()()()221212121,n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=+⎣⎦检验1 3.a =符合21,n a n =+ （Ⅱ） 由（1）可知21,n a n =+ 所以2122na n nb +==.设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则：()()()1211212424242424444414214841.?3n nn n nnn T --=⨯+⨯++⨯+⨯=++++-=⨯--=L L所以数列{}n b 的前n 项和为()8413n n T -=.【点睛】本题主要考查数列通项公式与前n 项和公式的关系，等比数列前n 项和公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.25．（Ⅰ）y =225x +2360360(0)x x-〉n（Ⅱ）当x =24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元． 【解析】试题分析：（1）设矩形的另一边长为am ，则根据围建的矩形场地的面积为360m 2，易得360a x=，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，我们即可得到修建围墙的总费用y 表示成x 的函数的解析式；（2）根据（1）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x 值 试题解析：（1）如图，设矩形的另一边长为a m 则45x+180（x-2）+180·2a=225x+360a-360由已知xa=360,得a=,所以y=225x+（2）．当且仅当225x=时，等号成立．即当x=24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元． 考点：函数模型的选择与应用26．（1）31,2nn n a n b =-=；（2）1326n n +⨯--.【解析】试题分析：（1）设出等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，且q>0．由已知列式求得等差数列的公差和等比数列的公比，代入等差数列和等比数列的通项公式得答案；（2）由c n =a bn 结合数列{a n }和{b n }的通项公式得到数列{c n }的通项公式，结合等比数列的前n 项和求得数列{c n }的前n 项和S n ． 试题解析： （1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且．由，得，解得． 所以． 由，得，又，解得．所以． （2）因为，所以．。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列函数中，定义域为实数集R的是（）A. y = √(x - 2)B. y = 1/xC. y = x²D. y = log₂(x + 1)2. 已知函数f(x) = 2x - 3，若f(a) = 1，则a的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 53. 下列不等式中，正确的是（）A. |x| > 2B. |x| ≥ 2C. |x| < 2D. |x| ≤ 24. 已知等差数列{an}的公差为d，若a1 = 3，a4 = 9，则d的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 65. 下列复数中，实部为0的是（）A. 2 + 3iB. 4 - 5iC. -1 + 2iD. 0 + 5i6. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (4, 6)，则向量a与向量b的夹角余弦值为（）A. 1/2B. 1C. √2/2D. 07. 下列数列中，不是等比数列的是（）A. 1, 2, 4, 8, 16...B. 1, 3, 9, 27, 81...C. 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16...D. 1, 2, 4, 8, 16...8. 已知函数f(x) = x² - 4x + 4，则f(x)的对称轴为（）A. x = 2B. x = -2C. y = 2D. y = -29. 已知三角形的三边长分别为3, 4, 5，则该三角形的面积是（）A. 6B. 8C. 10D. 1210. 下列命题中，正确的是（）A. 对于任意实数x，x²≥ 0B. 对于任意实数x，x³ ≥ 0C. 对于任意实数x，x² ≤ 0D. 对于任意实数x，x³ ≤ 0二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知函数f(x) = -x² + 2x + 1，则f(x)的顶点坐标为______。

12. 已知等差数列{an}的公差为d，若a1 = 5，a5 = 15，则d的值为______。

高三数学期中考试测试卷一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。

每小题只有一个选项是正确的，请将正确选项的字母填入题后括号内。

）1. 若函数f(x)=x^2-6x+c，且f(1)=-4，则c的值为（）。

A. 1B. 3C. 5D. 72. 已知集合A={x|x^2-5x+6=0}，B={x|x^2-4x+3=0}，则A∩B=（）。

A. {1}B. {2}C. {1,2}D. {1,3}3. 函数y=x^3-3x+1的导数为（）。

A. 3x^2-3B. x^2-3x+1C. 3x^2-3x+1D. x^3-34. 已知等差数列{an}中，a3=5，a5=9，则公差d为（）。

A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知向量a=(2,3)，b=(1,-1)，则a·b=（）。

A. -5B. -1C. 1D. 56. 已知直线l的方程为x+2y-3=0，则直线l的斜率为（）。

A. -1/2B. 1/2C. 2D. -27. 已知圆C的方程为x^2+y^2-4x-6y+9=0，则圆心C的坐标为（）。

A. (2,3)B. (-2,3)C. (2,-3)D. (-2,-3)8. 已知函数f(x)=x^2-2x-3，若f(a)=f(-a)，则a的值为（）。

A. 1B. -1C. 0D. 29. 已知复数z=1+i，则|z|=（）。

A. √2B. 2C.√3D. 110. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，若f'(x)=0，则x的值为（）。

A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分。

请将答案填在题后的横线上。

）1. 已知函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1，求f'(x)=______。

2. 已知等比数列{bn}中，b1=2，b3=16，则公比q=______。

3. 已知直线l1: 2x-3y+4=0与直线l2: x+2y-2=0相交，则交点坐标为______。

2020-2021高三数学上期中试卷(带答案)(5)一、选择题1．设ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这个三角形的形状是 （ ） A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形2．设x ，y 满足不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩，若Z ax y =+的最大值为29a +，最小值为2a +，则实数a 的取值范围是（ ）.A ．(,7]-∞-B ．[3,1]-C ．[1,)+∞D ．[7,3]--3．定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a ,若(){}nf a 仍是比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()(),00,-∞⋃+∞上的如下函数： ①()3f x x =；②()xf x e =；③()f x =④()ln f x x =则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为（ ） A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④4．已知数列{}n a 的首项11a =，数列{}n b 为等比数列，且1n n na b a +=．若10112b b =，则21a =（ ）A ．92B ．102C ．112D ．122 5．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若3572a a +=，则13S =（ ） A ．49B ．91C ．98D ．1826．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*11n n nS S n N n +>∈+.若870a a +<，则（ ） A ．n S 的最大值是8S B ．n S 的最小值是8S C ．n S 的最大值是7SD ．n S 的最小值是7S7．已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为（ ）． A ．1B ．6C ．7D ．6或78．已知等比数列{}n a 中，31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77b a =，则59b b +=（ ） A ．2B ．4C ．16D ．89．已知数列{a n } 满足a 1=1，且111()(233n n n a a n -=+≥，且n ∈N*），则数列{a n }的通项公式为（ ）A ．32nn a n =+B ．23n n n a +=C ．a n =n+2D ．a n =（ n+2）·3n10．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ， 2cos 22A b c c+=，则ABC ∆的形状为 A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形11．,x y 满足约束条件362000x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则23a b+的最小值为 ( ) A ．256B ．25C ．253D ．512．“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为（ ） A ．134B ．135C ．136D ．137二、填空题13．若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则实数m 的取值范围为_______．14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =，且对于任意1n >，*n N ∈，满足11n n S S +-+=2(1)n S +，则10S 的值为__________15．等差数列{}n a 中，1351,14,a a a =+=其前n 项和100n S =，则n=＿＿16．已知实数x y ，满足2,2,03,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩则2z x y =-的最大值是____．17．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝32，S 3＝92，则a 1的值为________． 18．已知三角形中，边上的高与边长相等，则的最大值是__________．19．设2a b +=，0b >，则当a =_____时，1||2||a a b+取得最小值. 20．如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ=______________．三、解答题21．已知函数()3sin cos f x x x =-. （1）求函数()f x 在,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域； （2）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若78663f A f B ππ⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求a b 的取值范围． 22．已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,2cos (cos cos )0.a b c C a C c A b ++=， （1）求角C 的大小；（2）若2,23,b c ==，求ABC ∆的面积. 23．在ABC ∆ 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=（1） 求sin sin CA的值 （2） 若1cos ,24B b == ，求ABC ∆的面积. 24．设数列{}n a 满足113,23nn n a a a +=-=⋅．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）若n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．25．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且211a =，7161S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 26．数列{}n a 对任意*n ∈N ，满足131,2n n a a a +=+=. （1）求数列{}n a 通项公式；（2）若13na nb n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求{}n b 的通项公式及前n 项和.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】先由ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，得出2,33B AC ππ=+=,又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，所以23sin sin sin 4B AC =⋅=，整理计算即可得出答案.【详解】因为ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，所以2,33B AC ππ=+=, 又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列， 所以23sin sin sin 4B AC =⋅= 所以222sin sin sin sin cos sin cos333A A A A A πππ⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21111132sin 2cos 2sin 22442344A A A A A π⎛⎫=+=-+=-+= ⎪⎝⎭ 即sin 213A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭又因为203A π<< 所以3A π=故选B本题考查数列与三角函数的综合，关键在于求得2,33B AC ππ=+=，再利用三角公式转化，属于中档题.2．B解析：B 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值. 【详解】作出不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩对应的平面区域（如图阴影部分），目标函数z ax y =+的几何意义表示直线的纵截距，即y ax z =-+，（1）当0a <时，直线z ax y =+的斜率为正，要使得z 的最大值、最小值分别在,C A 处取得，则直线z ax y =+的斜率不大于直线310x y --=的斜率， 即3a -≤，30a ∴-≤<.（2）当0a >时，直线z ax y =+的斜率为负，易知最小值在A 处取得，要使得z 的最大值在C 处取得，则直线z ax y =+的斜率不小于直线110x y +-=的斜率1a -≥-， 01a ∴<≤.（3）当0a =时，显然满足题意. 综上：31a -≤….【点睛】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键.3．C解析：C 【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，验证()()1n n f a f a +是否为非零常数，由此可得出正确选项. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则1n na q a +=. 对于①中的函数()3f x x =，()()3313112n n n n n n f a a a q f a a a +++⎛⎫=== ⎪⎝⎭，该函数为“保等比数列函数”；对于②中的函数()xf x e =，()()111n n n n a a a n a n f a e e f a e++-+==不是非零常数，该函数不是“保等比数列函数”； 对于③中的函数()f x =()()1n n f a f a +===，该函数为“保等比数列函数”；对于④中的函数()ln f x x =，()()11ln ln n n n na f a f a a ++=不是常数，该函数不是“保等比数列函数”.故选：C. 【点睛】本题考查等比数列的定义，着重考查对题中定义的理解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.4．B解析：B 【解析】 【分析】由已知条件推导出a n =b 1b 2…b n-1，由此利用b 10b 11=2，根据等比数列的性质能求出a 21． 【详解】数列{a n }的首项a 1=1，数列{b n }为等比数列，且1n n na b a +=，∴3212212a a b a b a a =＝，＝4312341233aa b b b a b b b a ∴=∴=，，＝，， …101211011211220120219101122n n a b b b b b a b b b b b b b b b -=⋯=∴=⋯=⨯⨯⋯⨯=Q ，，（）（）（） ． 故选B ． 【点睛】本题考查数列的第21项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意递公式和等比数列的性质的合理运用．5．B解析：B 【解析】∵3572a a +=，∴11272(4)a d a d ++=+，即167a d +=，∴13711313(6)13791S a a d ==+=⨯=，故选B ．6．D解析：D 【解析】 【分析】将所给条件式变形，结合等差数列前n 项和公式即可证明数列的单调性，从而由870a a +<可得7a 和8a 的符号，即可判断n S 的最小值.【详解】由已知，得()11n n n S nS ++<， 所以11n n S S n n +<+， 所以()()()()1111221n n n a a n a a n n ++++<+， 所以1n n a a +<，所以等差数列{}n a 为递增数列.又870a a +<，即871a a <-， 所以80a >，70a <，即数列{}n a 前7项均小于0，第8项大于零， 所以n S 的最小值为7S ， 故选D. 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式的简单应用，等差数列单调性的证明和应用，前n 项和最值的判断，属于中档题.7．B解析：B 【解析】试题分析：由等差数列的性质，可得，又，所以，所以数列的通项公式为，令，解得，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得取最小值时的为，故选B ．考点：等差数列的性质.8．D解析：D 【解析】 【分析】利用等比数列性质求出a 7，然后利用等差数列的性质求解即可． 【详解】等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7， 可得a 72＝4a 7，解得a 7＝4，且b 7＝a 7， ∴b 7＝4，数列{b n }是等差数列，则b 5+b 9＝2b 7＝8． 故选D ． 【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式以及简单性质的应用，考查计算能力．9．B解析：B 【解析】试题分析：由题可知，将111()(233n n n a a n -=+≥，两边同时除以，得出，运用累加法，解得，整理得23n nn a +=； 考点：累加法求数列通项公式10．A解析：A 【解析】 【分析】先根据二倍角公式化简，再根据正弦定理化角，最后根据角的关系判断选择.【详解】 因为2cos22A b c c+=，所以1cosA 22b cc ++=,() ccosA b,sinCcosA sinB sin A C ,sinAcosC 0===+=,因此cosC 0C 2π==，,选A.【点睛】本题考查二倍角公式以及正弦定理，考查基本分析转化能力，属基础题.11．A解析：A 【解析】 【分析】先画不等式组表示的平面区域，由图可得目标函数(0,0)z ax by a b =+>>何时取最大值，进而找到a b ，之间的关系式236,a b +=然后可得23123()(23)6a b a b a b+=++，化简变形用基本不等式即可求解。

2021年高三数学上学期期中试题苏教版 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．命题“”的否定是 ▲ ．2．已知全集}7,5,3,1{},5,4,2{},7,6,5,4,3,2,1{===B A U ，则 ▲ ．3．已知的终边在第一象限，则“”是“”的 ▲ 条件．4．已知向量ab ，且ab ，则实数 ▲ ．5．在等差数列中,若,则 ▲ .6．已知函数，若函数的零点所在的区间为，则 ▲ ．7．曲线在点处的切线方程为 ▲ ．8．已知向量a ，b 的夹角为，且a ， 2ab ，则b ▲ ．9．函数，，在R 上的部分图像如图所示，则 ▲ ．10．设，且．则的值为 ▲ ．11．已知△为等腰直角三角形，，点为边的三等分点，则▲ ．12．已知函数是偶函数，直线与函数的图像自左向右依次交于四个不同点．若，则实数的值为 ▲ ．13．已知，C 是线段AB 上异于A ，B 的一点，均为等边三角形，则的外接圆的半径的最小值是 ▲ ．14．已知等比数列的首项为，公比为，其前项和为，若对恒成立，则的最小值为 ▲ ．二、解答题(本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．)15．（本小题满分14分）已知集合{}21|1,|[(1)][(4)]01x A x y B x x a x a x ⎧⎫+⎪⎪==-=-+-+<⎨⎬+⎪⎪⎩⎭． （1）若，求的取值范围；（2）若，求的取值范围．16．（本小题满分14分）已知函数2()sin(2)cos(2)2cos 63f x x x x ππ=+-++． （1）求的值；（2）求函数的单调区间；（3）函数的图像可由的图像如何变换得来，请详细说明．17．(本小题满分14分)如图，在平面四边形中，，，．（1）求的值；（2）若，，求的长．(请自行在答题纸上作图)18．(本小题满分16分)如图所示，有一块半径长为1米的半圆形钢板，现要从中截取一个内接等腰 梯形部件ABCD ，设梯形部件ABCD 的面积为平方米．(1)按下列要求写出函数关系式：①设(米)，将表示成的函数关系式；②设，将表示成的函数关系式．(2)求梯形部件ABCD 面积的最大值．(请自行在答题纸上作图)19．(本小题满分16分)已知各项均为整数的数列满足，，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)求出所有的正整数m ，使得．20．(本小题满分16分)已知函数，设曲线在与x轴交点处的切线为，为的导函数，满足．（1）求；（2）设，m＞0，求函数在[0，m]上的最大值；（3）设，若对于一切，不等式恒成立，求实数t的取值范围．高三数学参考答案一、填空题1．． 2．{2，4}． 3．既不充分也不必要条件． 4．－4．5．． 6．1． 7．． 8．． 9．．10．． 11．． 12．． 13．． 14． ．二、解答题15．解：……………………………………………4分（1），……………………………………………………………9分（2）．……………………………………………………………14分16．解：（1），；………………………5分（2）增区间为，减区间为……………………………10分（3）变换步骤：（答案不唯一）……………………………14分17． 解：（1）在中，则余弦定理，得．由题设知，．………………………………………4分（2）设，则，因为，， 所以721)772(1cos 1sin 22=-=∠-=∠CAD CAD ，………………………6分 14213)147(1cos 1sin 22=--=∠-=∠BAD BAD ．………………………8分 于是CAD BAD CAD BAD CAD BAD ∠∠-∠∠=∠-∠=sin cos cos sin )sin(sin α ．………………………………11分在中，由正弦定理，，故．……14分18．解：如图所示，以直径所在的直线为轴，线段中垂线为轴，建立平面直角坐标系，过点C 作于E ，(1)①∵，∴，∴…………………4分②∵，∴， ∴11()(22cos )sin (1cos )sin 22y AB CD CE θθθθ=+⋅=+=+， ………8分 (说明：若函数的定义域漏写或错误，则一个扣1分)(2)(方法1)∴y ==令，则32322'4622(231)2(1)(21)t x x x x x x =--+=-+-=-+-，………10分 令，，(舍)． ………………12分∴当时，，∴函数在(0，)上单调递增，当时，，∴函数在(，1)上单调递减，………………14分所以当时，有最大值，………………………16分答：梯形部件面积的最大值为平方米．(方法2) ∴'[(sin sin cos )]'(sin )'(sin cos )'y θθθθθθ=+=+⋅，……………………10分令，得，即，(舍)， ……………………12分∴当时， ，∴函数在上单调递增，当时，，∴函数在上单调递减 ，………………14分所以当时，………………………………………………16分答：梯形部件ABCD 面积的最大值为平方米．19．解：(1) 设数列前6项的公差为，则，(为整数)又，，成等比数列，所以，即，得…………………………………………………4 分当 时，，………………………………………………………6 分所以，，数列从第5 项起构成的等比数列的公比为2，所以，当时，．故……………………………8分(2)由(1)知，数列 为：－3，－2，－1，0，1，2，4，8，16，…当时等式成立，即；当时等式成立，即；……………………………10分当时等式不成立；………………………………………………………12分 当m ≥5 时，535122(21)72m m m m m a a a --++++=-=⨯，若，则，所以……14分，，从而方程无解所以 ．故所求或．………………16分20．（1），∵，∴函数的图象关于直线x =1对称,b = -1，……………2分∵曲线在与x 轴交点处的切线为，∴切点为（3，0），∴，解得c =1，d =-3，则…………………5分（2）∵，∴…………………7分当0＜m ≤时，当＜m ≤时，，当m ＞时，， 综上⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+>-+≤<≤<-=)221()22121(41)210(max )(22m m m m m m m x g（3），，,当时，|2x +1|=2x +1，所以不等式等价于恒成立，解得，且x ≠t ，……………………………………13分由，得，，所以，又x ≠t ，∵ ，∴所求的实数t 的的取值范围是．…………………16分21773 550D 唍26685 683D 栽34637 874D 蝍32404 7E94 纔27662 6C0E 氎39187 9913 餓rL39102 98BE 颾30788 7844 硄31065 7959 祙36508 8E9C 躜24090 5E1A 帚27939 6D23 洣29279 725F 牟。