吉林省通化市靖宇中学2020届高三五月月考数学(文)答案(含解析)

吉林省通化市2019-2020学年中考数学三月模拟试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．3点40分，时钟的时针与分针的夹角为（ ）A ．140°B ．130°C ．120°D ．110°2．下列说法错误的是（ ）A ．必然事件的概率为1B ．数据1、2、2、3的平均数是2C ．数据5、2、﹣3、0的极差是8D ．如果某种游戏活动的中奖率为40%，那么参加这种活动10次必有4次中奖3．在下列二次函数中，其图象的对称轴为2x =-的是A ．()22y x =+B ．222y x =-C ．222y x =--D ．()222y x =- 4．已知二次函数y ＝x 2﹣4x+m 的图象与x 轴交于A 、B 两点，且点A 的坐标为(1，0)，则线段AB 的长为( )A ．1B ．2C ．3D ．45．如图，已知直线//AB CD ，点E ，F 分别在AB 、CD 上，:3:4CFE EFB ∠∠=，如果∠B ＝40°，那么BEF ∠=（ ）A ．20°B ．40°C ．60°D ．80°6．下列说法：①平分弦的直径垂直于弦；②在n 次随机实验中，事件A 出现m 次，则事件A 发生的频率m n，就是事件A 的概率；③各角相等的圆外切多边形一定是正多边形；④各角相等的圆内接多边形一定是正多边形；⑤若一个事件可能发生的结果共有n 种，则每一种结果发生的可能性是1n ．其中正确的个数（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．在平面直角坐标系中，二次函数y=a （x –h ）2+k （a<0）的图象可能是A ．B ．C ．D ．8．如图是某几何体的三视图，下列判断正确的是()A ．几何体是圆柱体，高为2B ．几何体是圆锥体，高为2C ．几何体是圆柱体，半径为2D ．几何体是圆锥体，直径为29．方程5x ＋2y ＝－9与下列方程构成的方程组的解为212x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩的是( ) A ．x ＋2y ＝1B ．3x ＋2y ＝－8C ．5x ＋4y ＝－3D ．3x －4y ＝－810．如图，将△ABC 绕点C 旋转60°得到△A′B′C′，已知AC=6，BC=4，则线段AB 扫过的图形面积为（ ）A ．32πB ．83πC ．6πD ．以上答案都不对11．已知二次函数y=ax 2+2ax+3a 2+3（其中x 是自变量），当x≥2时，y 随x 的增大而增大，且−2≤x≤1时，y 的最大值为9，则a 的值为A ．1或−2B ．−或C ．D ．1 12．如图，点C 、D 是线段AB 上的两点，点D 是线段AC 的中点．若AB=10cm ，BC=4cm ，则线段DB 的长等于（ ）A ．2cmB ．3cmC ．6cmD ．7cm二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．已知抛物线y=2112x -，那么抛物线在y 轴右侧部分是_________（填“上升的”或“下降的”）． 14．在如图所示（A ，B ，C 三个区域）的图形中随机地撒一把豆子，豆子落在 区域的可能性最大（填A 或B 或C ）．15．关于x 的一元二次方程2kx x+1=0-有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ▲ ． 16．如图，已知 OP 平分∠AOB ，∠AOB=60°，CP=2，CP ∥OA ，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E ．如果点M 是OP 的中点，则DM 的长是_________．17．如图所示是一组有规律的图案，第l 个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第n （n 是正整数）个图案中的基础图形个数为_______ （用含n 的式子表示）．18．若关于x 的一元二次方程x 2﹣2x+m=0有实数根，则m 的取值范围是 ．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）目前“微信”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”给我们的生活带来了很多便利，初二数学小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了m 人（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种）并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．根据图中信息求出m= ，n= ；请你帮助他们将这两个统计图补全；根据抽样调查的结果，请估算全校2000名学生中，大约有多少人最认可“微信”这一新生事物？已知A 、B 两位同学都最认可“微信”，C 同学最认可“支付宝”D 同学最认可“网购”从这四名同学中抽取两名同学，请你通过树状图或表格，求出这两位同学最认可的新生事物不一样的概率．20．（6分）计算：（﹣2018）0﹣4sin45°+8﹣2﹣1． 21．（6分）已知：关于x 的一元二次方程kx 2﹣（4k+1）x+3k+3＝0（k 是整数）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求k 的值．22．（8分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O ，A ，B 均为网格线的交点.在给定的网格中，以点O 为位似中心，将线段AB 放大为原来的2倍，得到线段11A B （点A ，B 的对应点分别为11A B 、）.画出线段11A B ;将线段11A B 绕点1B 逆时针旋转90°得到线段21A B .画出线段21A B ;以112A A B A 、、、为顶点的四边形112AA B A 的面积是 个平方单位.23．（8分）先化简，再求值：22111m m m ⎛⎫⋅- ⎪-⎝⎭，其中m ＝2. 24．（10分）已知顶点为A 的抛物线y ＝a(x －12)2－2经过点B(－32，2)，点C(52，2)． (1)求抛物线的表达式；(2)如图1，直线AB 与x 轴相交于点M ，与y 轴相交于点E ，抛物线与y 轴相交于点F ，在直线AB 上有一点P ，若∠OPM ＝∠MAF ，求△POE 的面积；(3)如图2，点Q是折线A－B－C上一点，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将△QEN沿QE翻折得到△QEN′，若点N′落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．25．（10分）如图1，在直角梯形ABCD中，动点P从B点出发，沿B→C→D→A匀速运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，图象如图2所示．（1）在这个变化中，自变量、因变量分别是、；（2）当点P运动的路程x＝4时，△ABP的面积为y＝；（3）求AB的长和梯形ABCD的面积．26．（12分）“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行．某自行车店在销售某型号自行车时，以高出进价的50%标价．已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同．求该型号自行车的进价和标价分别是多少元？若该型号自行车的进价不变，按（1）中的标价出售，该店平均每月可售出51辆；若每辆自行车每降价20元，每月可多售出3辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少？27．（12分）已知AC，EC分别为四边形ABCD和EFCG的对角线，点E在△ABC内，∠CAE+∠CBE=1．（1）如图①，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF．i）求证：△CAE∽△CBF；ii）若BE=1，AE=2，求CE的长；（2）如图②，当四边形ABCD 和EFCG 均为矩形，且AB EF k BC FC==时，若BE ＝1，AE=2，CE=3，求k 的值； （3）如图③，当四边形ABCD 和EFCG 均为菱形，且∠DAB=∠GEF=45°时，设BE=m ，AE=n ，CE=p ，试探究m ，n ，p 三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程）参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．B【解析】【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．【详解】解：3点40分时针与分针相距4+2060=133份， 30°×133=130， 故选B ．【点睛】本题考查了钟面角，确定时针与分针相距的份数是解题关键．2．D【解析】试题分析：A ．概率值反映了事件发生的机会的大小，必然事件是一定发生的事件，所以概率为1，本项正确；B ．数据1、2、2、3的平均数是=2，本项正确；C ．这些数据的极差为5﹣（﹣3）=8，故本项正确；D ．某种游戏活动的中奖率为40%，属于不确定事件，可能中奖，也可能不中奖，故本说法错误， 故选D ．考点：1.概率的意义；2.算术平均数；3.极差；4.随机事件3．A【解析】y=（x+2）2的对称轴为x=–2，A 正确；y=2x 2–2的对称轴为x=0，B 错误；y=–2x 2–2的对称轴为x=0，C 错误；y=2（x –2）2的对称轴为x=2，D 错误．故选A ．1．4．B【解析】【分析】先将点A(1，0)代入y ＝x 2﹣4x+m ，求出m 的值，将点A(1，0)代入y ＝x 2﹣4x+m ，得到x 1+x 2＝4，x 1•x 2＝3，即可解答【详解】将点A(1，0)代入y ＝x 2﹣4x+m ，得到m ＝3，所以y ＝x 2﹣4x+3，与x 轴交于两点，设A(x 1，y 1)，b(x 2，y 2)∴x 2﹣4x+3＝0有两个不等的实数根，∴x 1+x 2＝4，x 1•x 2＝3，∴AB ＝|x 1﹣x 2| ＝2；故选B ．【点睛】此题考查抛物线与坐标轴的交点，解题关键在于将已知点代入.5．C【解析】【分析】根据平行线的性质，可得CFB ∠的度数，再根据:3:4CFE EFB ∠∠=以及平行线的性质，即可得出BEF ∠的度数．【详解】∵//AB CD ，40ABF ︒∠=，∴180140CFB B ︒︒∠=-∠=，∵:3:4CFE EFB ∠∠=， ∴3607CFE CFB ︒∠=∠=， ∵//AB CD ，∴60BEF CFE︒∠=∠=，故选C．【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补，且内错角相等．6．A【解析】【分析】根据垂径定理、频率估计概率、圆的内接多边形、外切多边形的性质与正多边形的定义、概率的意义逐一判断可得．【详解】①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，故此结论错误；②在n次随机实验中，事件A出现m次，则事件A发生的频率mn，试验次数足够大时可近似地看做事件A的概率，故此结论错误；③各角相等的圆外切多边形是正多边形，此结论正确；④各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形，各角相等，但不是正多边形，故此结论错误；⑤若一个事件可能发生的结果共有n种，再每种结果发生的可能性相同是，每一种结果发生的可能性是1n．故此结论错误；故选：A．【点睛】本题主要考查命题的真假，解题的关键是掌握垂径定理、频率估计概率、圆的内接多边形、外切多边形的性质与正多边形的定义、概率的意义．7．B【解析】【分析】根据题目给出的二次函数的表达式，可知二次函数的开口向下，即可得出答案.【详解】Q二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＜0）∴二次函数开口向下.即B成立.故答案选:B.【点睛】本题考查的是简单运用二次函数性质，解题的关键是熟练掌握二次函数性质.8．A【解析】试题解析：根据主视图和左视图为矩形是柱体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体应该是圆柱，再根据左视图的高度得出圆柱体的高为2；故选A．考点：由三视图判断几何体．9．D【解析】试题分析：将x与y的值代入各项检验即可得到结果．解：方程5x+2y=﹣9与下列方程构成的方程组的解为的是3x﹣4y=﹣1．故选D．点评：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．10．D【解析】【分析】从图中可以看出，线段AB扫过的图形面积为一个环形，环形中的大圆半径是AC，小圆半径是BC，圆心角是60度，所以阴影面积=大扇形面积-小扇形面积．【详解】阴影面积=() 603616103603π⨯-=π．故选D．【点睛】本题的关键是理解出，线段AB扫过的图形面积为一个环形．11．D【解析】【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a＞0，然后由-2≤x≤1时，y的最大值为9，可得x=1时，y=9，即可求出a．【详解】∵二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），∴对称轴是直线x=-=-1，∵当x≥2时，y随x的增大而增大，∴a＞0，∵-2≤x≤1时，y的最大值为9，∴x=1时，y=a+2a+3a2+3=9，∴3a2+3a-6=0，∴a=1，或a=-2（不合题意舍去）．故选D．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-，），对称轴直线x=-，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-时，y随x的增大而减小；x＞-时，y随x的增大而增大；x=-时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-时，y随x的增大而增大；x＞-时，y随x的增大而减小；x=-时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．12．D【解析】【分析】先求AC,再根据点D是线段AC的中点，求出CD，再求BD.【详解】因为，AB=10cm，BC=4cm，所以，AC=AB-BC=10-4=6（cm）因为，点D是线段AC的中点，所以，CD=3cm,所以，BD=BC+CD=3+4=7（cm）故选D【点睛】本题考核知识点：线段的中点，和差.解题关键点：利用线段的中点求出线段长度.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．上升的【解析】【详解】∵抛物线y=12x2-1开口向上，对称轴为x=0 (y 轴)，∴在y 轴右侧部分抛物线呈上升趋势．故答案为：上升的．【点睛】本题考查的知识点是二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质. 14．A【解析】试题分析：由题意得：S A＞S B＞S C，故落在A区域的可能性大考点: 几何概率15．k＜14且k≠1．【解析】根据一元二次方程kx2-x+1=1有两个不相等的实数根，知△=b2－4ac＞1，然后据此列出关于k的方程，解方程，结合一元二次方程的定义即可求解：∵2kx x+1=0-有两个不相等的实数根，∴△=1－4k＞1，且k≠1，解得，k＜14且k≠1．16【解析】【分析】由OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，易得△OCP是等腰三角形，∠COP=30°，又由含30°角的直角三角形的性质，即可求得PE的值，继而求得OP的长，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得DM的长．【详解】∵OP 平分∠AOB，∠AOB=60°，∴∠AOP=∠COP=30°，∵CP∥OA，∴∠AOP=∠CPO，∴∠COP=∠CPO，∴OC=CP=2，∵∠PCE=∠AOB=60°，PE⊥OB，∴∠CPE=30°，∴112CE CP==，∴PE ==∴2OP PE ==∵PD ⊥OA ，点M 是OP 的中点，∴12DM OP ==【点睛】此题考查了等腰三角形的性质与判定、含 30°直角三角形的性质以及直角三角形斜边的中线的性质．此题难度适中，属于中考常见题型，求出 OP 的长是解题关键． 17．3n+1 【解析】试题分析：由图可知每个图案一次增加3个基本图形，第一个图案有4个基本图形，则第n 个图案的基础图形有4+3(n-1)=3n+1个 考点：规律型 18．m≤1． 【解析】试题分析：由题意知，△=4﹣4m≥0，∴m≤1．故答案为m≤1． 考点：根的判别式．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（1）100、35；（2）补图见解析；（3）800人；（4）56【解析】分析：（1）由共享单车人数及其百分比求得总人数m ，用支付宝人数除以总人数可得其百分比n 的值； （2）总人数乘以网购人数的百分比可得其人数，用微信人数除以总人数求得其百分比即可补全两个图形； （3）总人数乘以样本中微信人数所占百分比可得答案；（4）列表得出所有等可能结果，从中找到这两位同学最认可的新生事物不一样的结果数，根据概率公式计算可得．详解：（1）∵被调查的总人数m=10÷10%=100人， ∴支付宝的人数所占百分比n%=35100×100%=35%，即n=35， （2）网购人数为100×15%=15人，微信对应的百分比为40100×100%=40%， 补全图形如下：（3）估算全校2000名学生中，最认可“微信”这一新生事物的人数为2000×40%=800人；（4）列表如下：共有12种情况，这两位同学最认可的新生事物不一样的有10种，所以这两位同学最认可的新生事物不一样的概率为105 126．点睛：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及扇形统计图与条形统计图的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20．1 2 .【解析】【分析】根据零指数幂和特殊角的三角函数值进行计算【详解】解：原式＝1﹣4×22+22﹣12＝1﹣2+2﹣＝1 2【点睛】本题考查了实数的运算：实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．21．（3）证明见解析（3）3或﹣3【解析】 【分析】(3)根据一元二次方程的定义得k≠2，再计算判别式得到△＝(3k －3)3，然后根据非负数的性质，即k 的取值得到△＞2，则可根据判别式的意义得到结论；(3)根据求根公式求出方程的根，方程的两个实数根都是整数，求出k 的值. 【详解】证明：（3）△=[﹣（4k+3）]3﹣4k （3k+3）=（3k ﹣3）3． ∵k 为整数，∴（3k ﹣3）3＞2，即△＞2． ∴方程有两个不相等的实数根．（3）解：∵方程kx 3﹣（4k+3）x+3k+3=2为一元二次方程， ∴k≠2．∵kx 3﹣（4k+3）x+3k+3=2，即[kx ﹣（k+3）]（x ﹣3）=2， ∴x 3=3，2111k x k k+==+． ∵方程的两个实数根都是整数，且k 为整数， ∴k=3或﹣3． 【点睛】本题主要考查了根的判别式的知识，熟知一元二次方程的根与△的关系是解答此题的关键. 22．（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）20 【解析】【分析】（1）结合网格特点，连接OA 并延长至A 1，使OA 1=2OA ，同样的方法得到B1，连接A 1B 1即可得；（2）结合网格特点根据旋转作图的方法找到A 2点，连接A 2B 1即可得； （3）根据网格特点可知四边形AA 1 B 1 A 2是正方形，求出边长即可求得面积.【详解】（1）如图所示；（2）如图所示；（3）结合网格特点易得四边形AA 1 B 1 A 2是正方形，AA 1=所以四边形AA 1 B 1 A 2的面积为：(2=20，故答案为20.【点睛】本题考查了作图-位似变换，旋转变换，能根据位似比、旋转方向和旋转角得到关键点的对应点是作图的关键.23．1m m-+，原式23=-.【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把m 的值代入计算即可求出值. 【详解】原式()()21111m m m m m mm -⋅=-+-+，当m ＝2时，原式23=-. 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键. 24． (1) y ＝(x －12)2－2；(2)△POE 的面积为115或13；(3)点Q 的坐标为(－54，32)或(－355，2)或(355，2)． 【解析】 【分析】（1）将点B 坐标代入解析式求得a 的值即可得；（2）由∠OPM=∠MAF 知OP ∥AF ，据此证△OPE ∽△FAE 得OP FA =OE FE＝134＝43，即OP=43FA ，设点P （t ，-2t-1），列出关于t 的方程解之可得；（3）分点Q 在AB 上运动、点Q 在BC 上运动且Q 在y 轴左侧、点Q 在BC 上运动且点Q 在y 轴右侧这三种情况分类讨论即可得． 【详解】解：（1）把点B(－32，2)代入y＝a(x－12)2－2，解得a＝1，∴抛物线的表达式为y＝(x－12)2－2，（2）由y＝(x－12)2－2知A(12，－2)，设直线AB表达式为y＝kx＋b，代入点A，B的坐标得122322k bk b ⎧-=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得21 kb=-⎧⎨=-⎩，∴直线AB的表达式为y＝－2x－1，易求E(0，－1)，F(0，－74)，M(－12，0)，若∠OPM＝∠MAF，∴OP∥AF，∴△OPE∽△FAE，∴OP OE143FA FE34===，∴OP＝43FA＝43=设点P(t，－2t－1)=解得t1＝－215，t2＝－23，由对称性知，当t1＝－215时，也满足∠OPM＝∠MAF，∴t1＝－215，t2＝－23都满足条件，∵△POE的面积＝12 OE·|t|，∴△POE的面积为115或13；（3）如图，若点Q在AB上运动，过N′作直线RS∥y轴，交QR于点R，交NE的延长线于点S，设Q(a，－2a－1)，则NE＝－a，QN＝－2a. 由翻折知QN′＝QN＝－2a，N′E＝NE＝－a，由∠QN′E＝∠N＝90°易知△QRN′∽△N′SE，∴QRN S'＝RNES'＝QNEN''，即QR1＝=2a12aES a---=-＝2，∴QR＝2，ES＝2a12--，由NE＋ES＝NS＝QR可得－a＋2a12--＝2，解得a＝－54，∴Q(－54，32)，如图，若点Q在BC上运动，且Q在y轴左侧，过N′作直线RS∥y轴，交BC于点R，交NE的延长线于点S.设NE＝a，则N′E＝a.易知RN′＝2，SN′＝1，QN′＝QN＝3，∴QR5SE5－a.在Rt△SEN′中，5－a)2＋12＝a2，解得a 35，∴Q(35，2)，如图，若点Q在BC上运动，且点Q在y轴右侧，过N′作直线RS∥y轴，交BC于点R，交NE的延长线于点S.设NE＝a，则N′E＝a.易知RN′＝2，SN′＝1，QN′＝QN＝3，∴QR5SE5－a.在Rt△SEN′中，5－a)2＋12＝a2，解得a＝355，∴35，2)．综上，点Q的坐标为(－54，32)或(35，2)或35，2)．【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质、翻折变换的性质及勾股定理等知识点．25．（1）x，y；（2）2；（3）AB=8，梯形ABCD的面积=1．【解析】【分析】（1）依据点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，即可得到自变量和因变量；（2）依据函数图象，即可得到点P运动的路程x=4时，△ABP的面积；（3）根据图象得出BC的长，以及此时三角形ABP面积，利用三角形面积公式求出AB的长即可；由函数图象得出DC的长，利用梯形面积公式求出梯形ABCD面积即可．【详解】（1）∵点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，∴自变量为x，因变量为y．故答案为x，y；（2）由图可得：当点P运动的路程x=4时，△ABP的面积为y=2．故答案为2；（3）根据图象得：BC=4，此时△ABP 为2，∴12AB•BC=2，即12×AB×4=2，解得：AB=8； 由图象得：DC=9﹣4=5，则S 梯形ABCD =12×BC×（DC+AB ）=12×4×（5+8）=1． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，弄清函数图象上的信息是解答本题的关键．26．（1）进价为1000元，标价为1500元；（2）该型号自行车降价80元出售每月获利最大，最大利润是26460元． 【解析】分析：（1）设进价为x 元，则标价是1.5x 元，根据关键语句：按标价九折销售该型号自行车8辆的利润是1.5x×0.9×8-8x ，将标价直降100元销售7辆获利是（1.5x-100）×7-7x ，根据利润相等可得方程1.5x×0.9×8-8x=（1.5x-100）×7-7x ，再解方程即可得到进价，进而得到标价；（2）设该型号自行车降价a 元，利润为w 元，利用销售量×每辆自行车的利润=总利润列出函数关系式，再利用配方法求最值即可．详解：（1）设进价为x 元，则标价是1.5x 元，由题意得： 1.5x×0.9×8-8x=（1.5x-100）×7-7x ， 解得：x=1000， 1.5×1000=1500（元），答：进价为1000元，标价为1500元；（2）设该型号自行车降价a 元，利润为w 元，由题意得： w=（51+20a×3）（1500-1000-a ）， =-320（a-80）2+26460， ∵-320＜0， ∴当a=80时，w 最大=26460，答：该型号自行车降价80元出售每月获利最大，最大利润是26460元．点睛：此题主要考查了二次函数的应用，以及元一次方程的应用，关键是正确理解题意，根据已知得出w 与a 的关系式，进而求出最值．27．（1）i ）证明见试题解析；ii ；（2）4；（3）222(2p n m -=+． 【解析】 【分析】（1）i ）由∠ACE+∠ECB=45°，∠ BCF+∠ECB=45°，得到∠ACE=∠BCF ，又由于AC CEBC CF==故△CAE ∽△CBF ；ii ）由AEBF=，再由△CAE ∽△CBF ，得到∠CAE=∠CBF ，进一步可得到∠EBF=1°，从而有222222()6CE EF BE BF ==+=，解得CE =（2）连接BF ，同理可得：∠EBF=1°，由AB EFk BC FC==，得到::1:BC AB AC k =::1:CF EF EC k =，故AC AEBC BF==BF =2222222211()k k CE EF BE BF k k++=⨯=+，代入解方程即可；（3）连接BF ，同理可得：∠EBF=1°，过C 作CH ⊥AB 延长线于H ，可得：222::1:1:(2AB BC AC =+，222::1:1:(2EF FC EC =，故22222222(2(2)(2(2p EF BE BF m m n ==++=++=+，从而有222(2p n m -=+． 【详解】解：（1）i ）∵∠ACE+∠ECB=45°，∠ BCF+∠ECB=45°，∴∠ACE=∠BCF ，又∵AC CEBC CF==，∴△CAE ∽△CBF ；ii ）∵AEBF=，∵△CAE ∽△CBF ，∴∠CAE=∠CBF ，又∵∠CAE+∠CBE=1°，∴∠CBF+∠CBE=1°，即∠EBF=1°，∴222222()6CE EF BE BF ==+=，解得CE =（2）连接BF ，同理可得：∠EBF=1°，∵AB EFk BC FC==，∴::1:BC AB AC k =::1:CF EF EC k =，∴AC AEBC BF==BF =2221AE BF k =+，∴2222222211()k k CE EF BE BF k k ++=⨯=+，∴222222123(1)1k k k +=++，解得k =； （3）连接BF ，同理可得：∠EBF=1°，过C 作CH ⊥AB 延长线于H ，可得：222::1:1:(2AB BC AC =+，222::1:1:(2EF FC EC =，∴22222222(2(2)(2(2p EF BE BF m m n ==++=++=+，∴222(2p n m -=+．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质；正方形的性质；矩形的性质；菱形的性质．。

2020年高考等值试卷★预测卷文科数学（全国Ⅱ卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷必须用0．5毫米黑色签字笔书写作答．若在试题卷上作答，答案无效。

3．考试结束，请将试题卷、答题卡一并收回。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

{{}221,650=A xB y y y A B x ⎫=≥=-+≤⎬⎭1若，则．（ ）A ．(]0,5B ．(],5-∞C ．(]0,3D ．(],3-∞2．若复数512iz i=-（i 为虚数单位），则z 在复平面中对应的点在第（ ）象限．A ．一B ．二C ． 三D ．四3．抛物线214y x =的焦点坐标为（ ） A ．(1,0) B ．(0,1) C ．1016（，） D ．116（0，）4．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）A ．B ．C ．D ．5．实数x y ，满足22202y x x y x ≤+⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则z x y=-的最大值是（ ）A ．2B ． 4C ． 6D ．86．执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为20192020，则输入m 的值为（ ） A ．2017 B ． 2018 C ． 2019 D ．20207．△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边长分别是a ，b ，c ，设向量n ＝(3a ＋c ，sin B －sin A )，m ＝(a ＋b ，sin C )，若m ∥n ，则角B 的大小为（ ）A ．π6B ．5π6C ．π3D ．2π38．函数1()l n ||f x x x=+的图象大致为（ ）9．给出下列四个命题：①方程22184x y a a -=+-表示双曲线的一个充分不必要条件是4a >； ②命题 :p “存在0x R ∈，使得20010x x ++<” 的否定是“对任意x R ∈，210x x ++均有＜”；③回归直线ˆˆˆya bx =+ 恒过样本数据的中心(),x y ； ④若直线a 平行于平面α内的一条直线b ，则a ∥.α其中真命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 10．下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量“优良”,空气质量指数大于200表示空气“重度污染”．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天（于第二天晚上离开）． 由统计图表所做的以下推断中，说法不正确的是（ ）是1S S =+0;1S n ==n m<m输入A ．此人停留的2天空气质量都“优良”的概率为413； B ．此人到达当日空气“重度污染”的概率为213； C ．此人到达当日空气质量“优良”的条件下，次日空气质量“优良”的概率为23； D ．此人停留的2天至少一天空气“优良”的概率为713． 11．数列{}n a 的前n 项和为S n ,若11a ＝，1(2)1n n a S n ≥＋＝，则2019a 等于（ ） A ． 20183B ． 201813+ C ．201723⨯ D ． 2017123+⨯12．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的()(),11x R f x f x ∈+=-都有． 当01x ≤≤时，()2f x x =．若直线()=f x x m +与函数()y f x =的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数m 的值是（ ）A ．0B ． 0或14-C ．14-12-或D ． 0或12-第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上）13．在科学史上，阿基米德是公认的排在首位的大科学家．他在自己许许多多的科学发现当中，以圆柱容球定理最为得意，甚至希望在自己的墓碑上刻上圆柱容球的图形．圆柱容球是这样的:“圆及其外切正方形绕过切点的一条对称轴旋转一周生成的几何体称为圆柱容球．”若从此圆柱中任取一点，则该点并非取自球内的概率是 ．14．我国古代数学名著《九章算术》记载：“勾股各自乘，并之，为弦实”，用符号表示为a 2＋b 2＝c 2 (a ，b ，c ∈N *)，把a ，b ，c 叫做勾股数．下列给出几组勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；9,40,41，以此类推，可猜测第5组勾股数的第二个数是________．15．已知函数()()()2f x sinx cosx f x f x +='＝，，()f x '（其中()f x 是的导函数)，则21+cos 2cos sin 2xx x -=____．16．设△ABC 的三个顶点A ，B ，C 对应三边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c (a<b<c )成等差数列，A ，C 两点的坐标分别是((,0,,则顶点B 的轨迹方程为_____________________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2020年吉林省示范高中高考数学五模试卷（文科）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={−2,−1,0，1，2，3}，B ={x|log 2x <2}，则A ∩B =( )A. {2,3}B. {1,2，3}C. {0,1，2，3}D. {−2,−1,0，1，2，3}2. 已知i 为虚数单位，则2−2i1+i =( )A. −2B. −2iC. 2D. 2i3. 已知函数f(x)={2x −1,x ∈[0,1](x −b)2,x ∈(1,3)，f(52)=f(0)，则实数b =( ) A. 1B. 52C. 3D. 44. 2020年西部某县一个生态果园公司根据当地的特产开发生产了A ，B 两种不同口味的果汁饮料．现随机抽取了两种果汁饮料各10瓶(均是500mL)组成的一个样本进行了检测，得到某种添加剂指标(毫克/升)的茎叶图如图，则对这种添加剂指标的分析正确的是( )A. A 种果汁饮料添加剂指标的平均值高于B 种果汁饮料添加剂指标的平均值B. A 种果汁饮料添加剂指标的中位数高于B 种果汁饮料添加剂指标的中位数C. A 种果汁饮料添加剂指标的方差高于B 种果汁饮料添加剂指标的方差D. A 种果汁饮料添加剂指标的最小值高于B 种果汁饮料添加剂指标的最小值5. 下面是由一个实体的半圆柱从上底面向下挖去一部分后而得到的几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A. π6 B. π3 C. 2π3 D. 5π66.公元四世纪的古希腊数学家佩波斯提出：蜂巢的优美形状，是自然界最有效劳动的代表．他猜想人们所见到的截面呈六边形的蜂巢，是蜜蛑采用最少量的蝉蜡建造而成的．如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的顶点称为“晶格点”，重复的算作一个“晶格点”，已知第一行有1个六边形，第二行有2个六边形，每行比上一行多一个六边形(六边形均相同)，设图中前n行晶格点数b n满足b n+1−b n=2n+5，n∈N∗，则b10=()A. 101B. 123C. 141D. 1507.已知函数y=[x]称为高斯函数，其中不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，如图，则输出的S值为()A. 42B. 43C. 44D. 458.定义在R上的偶函数f(x)，满足f(x)=f(4−x)，当x∈[0,2]时，f(x)=x2+x，则不等式f(x)>2的解集为()A. (2k+1,2k+3)，k∈ZB. (2k−1,2k+1)，k∈RC. (4k+1,4k+3)，k∈ZD. (4k−1,4k+1)，k∈Z9.已知F(−√3,0)是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点，P为双曲线C右支上一点，圆x2+y2=a2与y轴的正半轴交点为A，|PA|+|PF|的最小值4，则双曲线C的实轴长为()A. √2B. 2C. 2√2D. 2√310.已知函数f(x)=msinx+ncosx(m,n为常数，m⋅n≠0，x∈R)在x=π4处取得最大值2√2，将f(x)的图象向左平移ℎ(ℎ>0)个单位长度以后得到的图象与函数y=ksinx(k>0)的图象重合，则k+ℎ的最小值为()A. 3π4+2√2 B. 5π4+2√2 C. 7π4+√2 D. 7π4+2√211.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F2(1,0)，P(1,32)为椭圆上一点，过左顶点A作直线l⊥x轴，Q为直线l上一点，AP⊥F2Q，则直线PQ在x轴上的截距为()A. 2B. 3C. 4D. 512.已知函数f(x)=2x+ax2(a>0)在(0,+∞)上的最小值为3，直线l在y轴上的截距为−1，则下列结论正确个数是()①实数a=1；②直线l的斜率为1时，l是曲线y=f(x)的切线；③曲线y=f(x)与直线l有且仅有一个交点．A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(1,x)，b⃗ =(1,x−1)，(a⃗−2b⃗ )⊥a⃗，则|a⃗+b⃗ |=______．14.任意写出一个自然数n，并且按照以下的规律进行变换：如果n是个奇数，则下一步变成3n+1，如果n是个偶数，则下一步变成n2，依照上述规律，将5作为首项，构造一个数列{a n}，则{a n}的前20项和为______．15.2019年末至2020年初，某在线教育公司为了适应线上教学的快速发展，近5个月加大了对该公司的网上教学使用软件的研发投入，过去5个月资金投入量x(单位：百万元)和收益y(单位：百万元)的数据如下表：若y与x的线性回归方程为ŷ=3x+a，则资金投入量为16百万元时，该月收益的预报值为______百万元．16.如图，已知直三棱柱ADF−BCE，AD⊥DF，AD=DF=CD=2，M为AB上一点，四棱锥F−AMCD的体积与该直三棱柱的体积之比为512，则异面直线AF与CM所成角的余弦值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知△ABC的内角A，B，C满足(sinA+sinB)(sinA−sinB)=(sinC−sinB)sinC，△ABC的面积为10√3．(1)求sin2A；(2)sinB+sinC=13√3，求△ABC的周长．1418.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AD//BC，平面PAD⊥底面ABCD，PA=PD=AD=2BC=2CD=2，M为PC上一点，PA//平面BDM．(1)求PM：MC的值；(2)求四棱锥P−ABCD外接球的半径．19.搪瓷是在金属坯体表面涂搪瓷釉而得到的制品．曾经是人们不可或缺的生活必备品，厨房用具中的锅碗瓢盆；喝茶用到的杯子；洗脸用到的脸盆；婚嫁礼品等，它浓缩了上世纪整整一个时代的记忆．某搪瓷设计公司新开发了一种新型复古搪瓷水杯，将其细分成6个等级，等级系数X依次3，4，5，6，7，8，该公司交给生产水平不同的A和B两个广生产，从B厂生产的搪瓷水杯中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如图所示：(1)依据上表，若从上述等级系数为7和8的搪瓷水杯中抽取2件，求这2件全部来自等级系数为8的搪瓷水杯的概率；(2)如图是5位网友对两厂生产的搪瓷水杯对比评分图，根据图表，利用评分均值和标准差比较两种搪瓷水杯的评分情况，并说明理由．20.已知抛物线E：y2=2px(p>0)恰好经过等腰梯形ABCD的四个顶点，AB//CD，AD的延长线与抛物,0)．线E的准线的交点M(−12(1)求抛物线E的方程；(2)证明：BD经过抛物线E的焦点．21. 已知函数f(x)=x(lnx −a)，F(x)=x 3−x +m ，若f(x)在(e,f(e))处的切线斜率为1．(1)若f(x)<F(x)在(1,+∞)上恒成立，求m 的最小值M ； (2)当m =M ，x ∈(0,1]时，求证：f(x)>e x ⋅F(x)．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为{x =12+tcosαy =12+tsinα，(t 为参数)，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l 2的极坐标方程为θ=θ0(ρ∈R)．(1)设直线l 2与曲线C 1相交于不同的两点A ，B ，求AB 中点的轨迹C 2的方程； (2)设直线l 1与C 2相交于E ，F 两点，求弦长EF 的最小值．23. 已知函数f(x)=|x −3|+|2x −1|的最小值为M ；(1)求函数f(x)<4的解集；(2)若a >0，b >0，a +b =1，求证：4a +14b ≥M 2．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵A ={−2,−1,0，1，2，3}，B ={x|0<x <4}， ∴A ∩B ={1,2，3}． 故选：B ．可以求出集合B ，然后进行交集的运算即可．本题考查了列举法、描述法的定义，对数函数的单调性，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：2−2i1+i =2(1−i)(1−i)(1+i)(1−i)=2(12−2i +i 2)12−i2 =2×(−2i)2=−2i ． 故选：B ．利用复数代数形式的运算法则，计算即可． 本题考查了复数代数形式的运算问题，是基础题．3.【答案】B【解析】解：根据题意，函数f(x)={2x −1,x ∈[0,1](x −b)2,x ∈(1,3)，则f(0)=20−1=0，f(52)=(52−b)2， 若f(52)=f(0)，则(52−b)2=0，解得b =52． 故选：B ．由函数的解析式，可得f(0)与f(52)的值，从而得到(52−b)2=0，然后求出b 的值． 本题考查分段函数的求值，关键是求出f(0)与f(52)的值，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：A、B种果汁饮料添加剂指标集中在以4为茎的茎上，A种果汁饮料添加剂指标集中在以2为茎的茎上，A错误；B、A种果汁饮料添加剂指标的中位数为23.5，B种果汁饮料添加剂指标的中位数为31.5，B错误；C、A种果汁饮料添加剂指标数据比较集中，而B种果汁饮料添加剂指标数据比较分散，所以B种果汁饮料添加剂指标的方差要大一些，C错误：故D正确．故选：D．根据茎叶图中提供的数据，结合平均数，中位数，方差的计算方法进行判断．本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了中位数与平均数的应用问题，是基础性题目．5.【答案】C【解析】解：根据题意，半圆柱挖去一个半圆锥，半圆柱的体积为12×2π=π，半圆锥的体积为13×π2×2=π3，所以该几何体的体积为π−π3=2π3．故选：C．判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键，是中档题．6.【答案】C【解析】C【解析】∵b n+1−b n=2n+5，n∈N∗，则(b n+2−b n+1)−(b n+1−b n)=2，所以数列{b n+1−b n}是以7为首项，2为公差的等差数列，当n≥2时，b n=b1+(b2−b1)+(b3−b2)+⋯+(b n−b n−1)=6+7+9+⋯+(2n+3)=6+(7+2n+3)(n−1)2=n2+4n+1，所以b10=141．故选：C．由题中已知易发现{b n+1−b n}是一个等差数列，并且b n可以用新数列的前n项和进行表示，进而求解．本题考查新数列的构造及前n项和的应用，属于中档题．7.【答案】D【解析】解：当0<i<3时，log3i=0；3≤i<9时，log3i=1；9≤i<27时，log3i=2；i=27时，log3i=3，所以S=6×1+18×2+3=45．故选：D．模拟执行程序的运行过程，得出输出的结果是累加计算s的值．本题考查了程序框图的运行过程与累加求和问题，是基础题．8.【答案】C【解析】解：根据题意，函数f(x)为偶函数且满足f(x)=f(4−x)，则f(x+4)=f(4−x−4)=f(−x)= f(x)，则函数f(x)是周期为4的周期函数，当x∈[0,2]时，f(x)=x2+x，此时若f(x)>2，则有x2+x>2，解可得x>1或x<−2，则有1<x≤2，又由f(x)满足f(x)=f(4−x)，则函数f(x)的图象关于直线x=2对称，则区间[2,4]上，f(x)>2⇒2<x< 3，则在区间[0,4]上，f(x)>2⇒1<x<3，又由f(x)的周期为4，不等式f(x)>2的解集为(4k+1,4k+3)，k∈Z；故选：C．根据题意，分析可得f(x)是周期为4的周期函数，结合函数的解析式分析不等式f(x)>2的解集，结合函数的周期性，分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，注意分析函数的周期，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：由题意，A(0,a)，设F′为双曲线的右焦点，则|PF|=2a+|PF′|，F(−√3,0)，F′(√3,0)．∴|PA|+|PF|=|PA|+2a+|PF′|=2a+(|PA|+|PF′|)≥2a+|AF′|=2a+√3+a2，三点P，A，F′共线时取等号．所以2a+√3+a2=4，解得a=1，故实轴长为2．故选：B．设F′为双曲线的右焦点，得到|PF|=2a+|PF′|，通过|PA|+|PF′|≥|AF′|=√3+a2，三点P，A，F′共线时取等号．求出a，即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．10.【答案】D【解析】解：由函数f(x)=msinx +ncosx =√m 2+n 2 sin(x +φ)，其中，tanφ=nm ， 在x =π4处取得最大值2√2， ∴√22(m +n)=√m 2+n 2，解得m =n =2，∴函数f(x)=2sinx +2cosx =2√2sin(x +π4).故把f(x)的图象向左平移ℎ(ℎ>0)个单位长度以后， 得到函数解析式为f(x)=2sinx +2cosx =2√2sin(x +ℎ+π4). 根据得到的图象与函数y =ksinx(k >0)的图象重合， ∴k =2√2，且ℎ+π4=2tπ，t ∈Z ， 求得k =2√2，ℎ=7π4，故k +ℎ的最小值为2√2+7π4，故选：D ．由题意利用正弦函数的图象和性质，求出m 、n 的值，可得f(x)的解析式，再利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，求得k 和h 的值，可得k +ℎ的最小值．本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．11.【答案】A【解析】解：由题意，得{1a +94b =1a 2−b 2=1，解得{a 2=4b 2=3，∴A(−2,0)，F 2(1,0)， ∴直线AP 的斜率k AP =321+2=12． 又AP ⊥F 2Q ，∴k AP ⋅k F 2Q =−1，即k F 2Q =−1k AP=−2，∴直线F 2Q 的方程y =−2(x −1)， 联立{y =−2(x −1)x =−2，得交点Q(−2,6)，∴P 、Q 两点连线的斜率k PQ =−32． ∴PQ 的直线方程为y −32=−32(x −1)， 令y =0，得x =2．故直线PQ 在x 轴上的截距为2， 故选：A ．由已知列关于a ，b 的方程组，求得a ，b 的值，得到A ，F 2的坐标，求得直线F 2Q 的方程，进一步求解Q 的坐标，得到PQ 的方程，则答案可求．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】B【解析】解：因为f(x)=2x +ax 2的导数为f′(x)=2−2a x3=2(x3−a)x 3，当0<x <√a 3，f′(x)<0，f(x)递减；x >√a 3时，f′(x)>0，f(x)递增．可得f(√a 3)为最小值，且为3，即2√a 3+√a3=3，解得a =1，故①正确； 设切点A 为(m,2m +1m 2)，又因为f′(x)=2−2x 3，所以2−2m 3=1，解得m =√23，由切线方程y =x −1可得切点为(√23,√23−1)，代入f(x)=2x +1x 2不成立，所以直线l 不是曲线y =f(x)的切线，故②错误；又设直线l ：y =kx −1，则曲线y =f(x)与直线l 的交点个数等价为方程2x +1x 2=kx −1的根的个数． 由2x +1x 2=kx −1可得k =2+1x +1x 3， 令t =1x ，可得k =t 3+t +2，t ∈R ，t ≠0，设ℎ(t)=t 3+t +2，t ∈R ，ℎ′(t)=3t 2+1>0，所以ℎ(t)在R 上递增，且ℎ(t)∈R ， 而方程k =t 3+t +2，t ∈R ，t ≠0，所以当k =ℎ(0)=2时，k =t 3+t +2无实数根；当k ≠2时，k =t 3+t +2有且只有一个根． 故k =2时，曲线y =f(x)与直线l 没有交点；而当k ≠2时，曲线y =f(x)与直线l 有且只有一个交点．故③错误． 故选：B ．求得f(x)的导数，以及单调区间，可得最小值，解方程可得a ，可判断①；设切点A 为(m,2m +1m 2)，可得切线的斜率，解方程可得切点，可判断②；设直线l ：y =kx −1，运用函数与方程的关系，以及构造函数法，求得导数和单调性、值域，讨论可判断③．本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性、最值，以及函数方程的关系，考查方程思想和运算能力，以及推理能力，属于中档题．13.【答案】√5【解析】解：根据题意，向量a ⃗ =(1,x)，b ⃗ =(1,x −1)，若(a ⃗ −2b ⃗ )⊥a ⃗ ，则(a ⃗ −2b ⃗ )⋅a ⃗ =a ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ =1+x 2−2(1+x 2−x)=0，解可得x =1，则(a ⃗ +b ⃗ )=(2,−1)，则|a ⃗ +b ⃗ |=√5； 故答案为：√5．根据题意，由向量垂直与数量积的关系可得(a ⃗ −2b ⃗ )⋅a ⃗ =a ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ =1+x 2−2(1+x 2−x)=0，解可得x 的值，即可得(a ⃗ +b ⃗ )的坐标，进而计算可得答案．本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量模的分析计算，属于基础题．14.【答案】70【解析】解：因为a 1=5，a 2=16，a 3=8，a 4=4，a 5=2，a 6=1，a 7=4， 所以从第4项开始，数列{a n }是周期为3的数列， 所以前20项和为5+16+8+7×5+4+2=70． 故答案为：70．按照规律，写出首项为5的数列{a n }的前几项，通过观察找出规律，即可求解．本题主要考查归纳推理的应用，找出数列的规律是解决本题的关键，考查学生的推理能力．15.【答案】56.04【解析】解：由题意得，x −=2+4+8+10+125=7.2，14.21+20.31+31.18+37.83+44.675=29.64，所以a =y −−b ̂x −=29.64−3×7.2=8.04．所以y 关于x 的回归方程为y ̂=3x +8.04．把x =16代入回归方程得y ̂=3×16+8.04=56.04，故预报值为56.04百万元． 故答案为：56.04．求出样本中心，代入回归直线方程，求出a ，代入x =16，得到预报值即可． 本题考查回归直线方程的求法与应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．16.【答案】2√25【解析】【分析】本题考查了棱柱和棱锥的体积公式，异面直线所成角的定义及求法，余弦定理，考查了计算能力，属于中档题．可设AM=x，根据题意即可得出2(x+2)34=512，解出x=12，然后过点M作MN//BE，交EF于点N，并连接CN，从而得出∠CMN为异面直线AF与CM所成角，然后在△CMN中，根据余弦定理即可求出cos∠CMN的值．【解答】解：设AM=x，因为V F−AMCD=13×12×(x+2)×2×2=2(x+2)3，V ADF−BCE=4，所以2(x+2)34=512，解得x=12，如图，过M作MN//BE，交EF于点N，连接CN，则∠CMN为异面直线AF与CM所成角，因为CM=CN=52，MN=2√2，解三角形可得：cos∠CMN=254+8−2542×52×2√2=2√25．故答案为：2√25．17.【答案】解：(1)设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∵(sinA+sinB)(sinA−sinB)=(sinC−sinB)sinC，可得(a+b)(a−b)=(c−b)c，化简可得，b2+c2−bc=a2，由余弦定理可得，cosA=b2+c2−a22bc =12，∵0<A<π，∴A=π3，∴sin2A =√32． (2)因为sinB +sinC =13√314，b sinB =c sinC =asinA =2R ，所以b +c =13√314⋅2R =13a 7．由10√3=12bcsinA ， ∴bc =40，因为b 2+c 2−bc =a 2， ∴(b +c)2−3bc =a 2， ∴(13a 7)2−120=a 2，∴a =7，所以△ABC 的周长为7+13=20．【解析】(1)利用正弦定理化简已知等式可得b 2+c 2−bc =a 2，由余弦定理可得cos A 的值，结合范围0<A <π，可求A ，进而可求sin2A 的值． (2)利用正弦定理化简已知等式可得b +c =13a 7，利用三角形的面积公式可求bc =40，结合余弦定理可求a 的值，即可得解三角形的周长．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.【答案】解：(1)如图，连接AC 交BD 于点N ，连接MN ，因为平面PAC ∩平面BDM =MN ，PA//平BDM ，所以PA//MN ，所以PMMC =ANNC ． 又因为△BCN∽△DAN ， 所以ADBC =ANNC =2，故PM MC =2．(2)根据题意，取AD 的中点O ，连接PO ，因为△PAD 为等边三角形，所以PO ⊥AD ，PO =√3． 因为平面PAD ⊥底面ABCD ，且平面PAD ∩底面ABCD =AD ， 所以PO ⊥平面ABCD ．设△PAD 的重心为G ，则GO 平面ABCD ， AG =DG =PG =2√33．解等腰梯形ABCD，可得O为梯形ABCD外接圆的圆心，所以OD=OA=OB=OC=1，所以GD=GA=GB=GC=2√33，故G为四棱锥P−ABCD外接球球心，半径为2√33．【解析】(1)连接AC交BD于点N，连接MN，由已知线面平行转化线线平行，然后结合平行线分线段成比例即可求解；(2)根据题意，取AD的中点O，连接PO，由已知平面几何知识及线线垂直与线面垂直的相互转化关系可确定球心的位置，进而可求．本题主要考查了平行关系的相互转化，垂直的判断及性质的应用及三棱锥外接球半径的求解，属于中档试题．19.【答案】解：(1)设等级系数为7的搪瓷水杯为A，B，C，等级系数为8的搪瓷水杯为a，b，c，则从中抽取2件的基本事件为(A,B)，(A,C)，(A,a)，(A,b)，(A,c)，(B,C)，(B,a)，(B,b)，(B,c)，(C,a)，(C,b)，(C,c)，(a,b)，(a,c)，(b,c)，共15种；其中2件全部来自等级系数为8的搪瓷水杯的基本事件为(a,b)，(a,c)，(b,c)，共3种，所以P=315=15，(2)因为x B−=(4+6+7+8+9)÷5=6.8，所以B厂生产的搪瓷水杯的评分平均分为6.8，标准差为S=1.72，所以B厂生产的搪瓷水杯的评分标准差为1.72，因为x A−=(5+6+6.5+7+8)÷5=6.5，所以A厂生产的搪瓷水杯的评分平均分为6.5，S=1，所以A厂生产的搪瓷水杯的评分标准差为S=1，综上，B 厂生产的糖瓷水杯的评分的均值较高； A 厂生产的搪瓷水杯的评分的标准差较小，比较稳定．【解析】(1)设等级系数为7的搪瓷水杯为A ，B ，C ，等级系数为8的搪瓷水杯为a ，b ，c ，列出所有的基本事件以及满足条件的事件，求出概率即可； (2)分别求出A ，B 的平均数和标准差，判断即可．本题考查了列举法求概率问题，考查平均数以及标准差问题，是一道常规题．20.【答案】(1)解：根据题意，M(−12,0)为抛物线E 的准线与对称轴的交点，∴p 2=12，则p =1，∴抛物线E 的方程为y 2=2x ；(2)证明：设A(x 1,y 1)，B(x 1,−y 1)，D(x 2,y 2)， 设直线AD 的方程为y =k(x +12)，联立方程组{y =k(x +12)y 2=2x ，得k 2x 2+(k 2−2)x +k 24=0，∴x 1x 2=14且0<x 1<x 2，∴x 1<12<x 2．设BD 与x 轴的交点坐标为(n,0)(n >0)，直线BD 的方程为y =−y 1x 1−n(x −n)，与方程y 2=2x 联立，得y 12(x1−n)2x 2−(2y 12n (x 1−n)2+2)x +y 12n 2(x 1−n)2=0． 解得x 1x 2=n 2，∴n 2=14，即n =12． 故BD 经过抛物线E 的焦点．【解析】(1)由已知可得M 为抛物线E 的准线与对称轴的交点，从而求得p ，则抛物线方程可求； (2)分别设出A ，B ，D 的坐标，再设出AD 的方程，由抛物线方程联立，利用根与系数的关系可得A ，D 横坐标的乘积，设BD 的方程，与抛物线方程联立，再由根与系数的关系可得BD 与x 轴的交点的横坐标，则结论得证．本题考查抛物线方程的求法，考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：(1)由题意，f′(x)=lnx −a +1，∴f′(e)=lne −a +1=1，∴a =1，.………(1分)所以f(x)=x(lnx −1)，又f(x)<x 3−x +m ⇔m >xlnx −x 3， 令g(x)=xlnx −x 3，则ℎ(x)=g′(x)=1+lnx −3x 2，所以ℎ′(x)=1x−6x =1−6x 2x，.…………………………(3分)∵当x ∈(1,+∞)时，ℎ′(x)<0，∴ℎ(x)在(1,+∞)上是减函数， ∴ℎ(x)<ℎ(1)=−2<0，即g′(x)<0，∴g(x)在(1,+∞)上是减函数， ∴g(x)<g(1)=−1，∴m 的最小值M =−1.………………………………(5分) (2)由(1)知，函数f(x)=x(lnx −1)，x ∈(0,1)，则f′(x)=lnx ， 当x ∈(0,1)时，f′(x)<0.故函数f(x)在(0,1)上单调递减． 所以f(x)>f(1)=−1.……………………………………(6分) 设函数G(x)=e x ⋅F(x)=(x 3−x −1)e x ， 则G′(x)=(x 3+3x 2−x −2)e x ．设函数p(x)=x 3+3x 2−x −2，则p′(x)=3x 2+6x −1，p′(x)在(0,1)上单调递增．当x ∈(0,1)时，p′(0)⋅p′(1)=−8<0，故存在x 0∈(0,1)，使得p′(x 0)=0，.………………(8分) 从而函数p(x)在(0,x 0)上单调递减；在(x 0,1)上单调递增． 当x ∈(0,x 0)时，p(x 0)<p(0)=−2． 当x ∈(x 0,1)时，p(x 0)<0，p(1)>0，故存在x 1∈(0,1)，使得G′(x 1)=0，.………………………………(10分) 即当x ∈(0,x 1)时，G′(x)<0，当x ∈(x 1,1)时，G′(x)>0， 从而函数G(x)在(0,x 1)上单调递减；在(x 1,1)上单调递增． 因为G(0)=−1，G(1)=−e ， 故当x ∈(0,1)时，G(x)<G(0)=−1，所以f(x)>e x ⋅F(x).…………………………(12分)【解析】(1)根据切线斜率求出a 的值，问题转化为m >xlnx −x 3，令g(x)=xlnx −x 3，根据函数的单调性求出M 即可；(2)代入M 的值，根据函数的单调性分别求出f(x)的最小值和G(x)=e x ⋅F(x)的最大值，证明结论即可． 本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．22.【答案】解：(1)将{x =ρcosθy =ρsinθ代入方程ρ=4cosθ，得x 2+y 2−4x =0．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，中点M(x 0,y 0)， 则直线l 2普通方程为y =kx(k =tanθ0)， ∴(1+k 2)x 2−4x =0， ∴x 1+x 2=11+k 2，∴x 0=x 1+x 22=21+k 2，y 0=2k1+k 2．消去k ，得C 2的方程为(x −1)2+y 2=1(x ≠0)． (2)根据题意，直线l 1过定点(12,12)，且在C 2的内部． (12+tsinα−1)2+(12+tsinα)2=1， 整理可得t 2+(sinα−cosα)t −12=0，所以|EF|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√3−sin2α≥√2． 当α=π4时等号成立， 故弦长|EF|的最小值为√2．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程之间进行转换，再根据条件求出C 2的方程．(2)利用直线和曲线的位置关系，将问题转换为一元二次方程根和系数关系式，再求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．23.【答案】(1)解：①当x ≥3时，解x −3+2x −1<4，得x <83(无解)，②当12<x <3时，解3−x +2x −1<4，得12<x <2； ③当x ≤12时，解3−x +1−2x <4，得0<x ≤12； 综合①②③得：不等式f(x)<4的解集为(0,2)． (2)证明：由(1)知，当x =12，f(x)min =52=M ， 因为a >0，b >0，a +b =1， 则4a +14b =(a +b)(4a +14b )=4+14+4b a +a 4b ≥174+2√4b a ⋅a 4b =254=M 2，故4a +14b ≥M 2，当且仅当a =45，b =15时，等号成立．【解析】(1)去绝对值，分类讨论可求f(x)<4的解集．(2)由(1)可得f(x)min =52=M ，由a +b =1，可得4a +14b =(a +b)(4a +14b )，利用基本不等式可证得结论． 本题主要考查了绝对值不等式的解法，考查了分类讨论思想的应用，属于中档题．。

2020-2021学年吉林吉林高三上数学月考试卷一、选择题1. 已知集合A ={x|x 2−x −6≤0}，B ={x|x ∈N }，则A ∩B =( ) A.{1,2} B.{0,1,2} C.{1,2,3} D.{0,1,2,3}2. 下列函数中最小正周期为π的函数的个数是( ) ①y =|sin x|；②y =cos (2x +π3)；③y =tan 2x .A.0B.1C.2D.33. 下列向量中不是单位向量的是( ) A.(1,0) B.(1,1)C.(cos α,sin α)D.a→|a →|(|a →|≠0)4. 为了得到函数y =cos (12x +π4)的图象，可将函数y =cos 12x 的图象( )A.向左平移π4个单位 B.向右平移π4个单位 C.向左平移π2个单位D.向右平移π2个单位5. 设角α的始边为x 轴非负半轴，则“角α的终边在第二、三象限”是“cos α<0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6. 等差数列{a n }中，a 5+a 10+a 15=30，则a 22−2a 16的值为( ) A.−10 B.−20C.10D.207. 已知定义在实数集R 上的偶函数f (x )在区间[0,+∞）是单调增函数，若f (1−a )<f (2)，则实数a 的取值范围是( ) A.−1<a <3 B.a <−1或a >3 C.−3<a <1D.a <−3或a >18. 已知e 1→，e 2→是夹角为60∘的单位向量，若a →=e 1→+λe 2→，b →=2e 1→−3e 2→，且a →⊥b →，则λ=( ) A.−32 B.23C.14D.789. 已知某函数的图象如图所示，则该函数的解析式可能是( )A.y =(e x −1e x +1)cos x B.y =2|x|−x 2−2 C.y =2|x|−|x|+2D.y =(x 2−1)cos x10. 某兴趣小组对函数f (x )的性质进行研究，发现函数f (x )是偶函数，在定义域R 上满足f (x +1)=f (x −1)+f (1)，且在区间[−1,0]为减函数．则f (−3)与f (−52)的关系为( )A.f (−3)≥f (−52) B.f (−3)>f (−52) C.f (−3)≤f (−52) D.f (−3)<f (−52)11. 《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图（如图）是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为α，β，且小正方形与大正方形面积之比为1：25，则cos (α−β)的值为( )A.2425 B.1C.725D.012. 已知函数f (x )={ln x,x ≥1,x e x ,x <1,g (x )=kx +f ′(2)，对∀x 1∈R ，∃x 2∈[−3,3]，使得f (x 1)≥g (x 2)成立，则k 的取值范围是( )A.(−∞,−13e −16] B.[13e +16,+∞)C.[−13e−16,13e+16]D.(−∞,−13e −16]∪[13e +16,+∞)二、填空题已知复数z =2−3i ，则|z +1|=________.已知函数f(x)=a 1−x (a >0且a ≠1），若f (2021)>f (2020)，则实数a 的取值范围是________.有一个数阵排列如下：则第40行从左至右第6个数字为________.如图所示，滨江公园内有一块三角形形状的草坪ABC ，经测量得AB =30m ，AC =40m ，BC =10√13m ，在保护草坪的同时，为了方便游人行走，现打算铺设一条小路DE （其中点D 在边AB 上，点E 在边AC 上），若DE 恰好将该草坪的面积平分，则D ，E 两点间的最小距离为________m ．三、解答题已知数列{b n }满足b 1=1，b n+1=12b n . (1)求{b n }的通项公式；(2)求b 2+b 4+b 6+⋯+b 2n 的值．已知函数f (x )=2sin x cos (x −π3)，x ∈R .(1)求函数f (x )的对称中心；(2)若存在x 0∈[π4,3π4]，使不等式f (x 0)<m 成立，求实数m 的取值范围．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边， √3a =c sin B +√3b cos C . (1)求角B 的大小；(2)若b =4，且△ABC 的面积等于4√3，求a ，c 的值．已知函数f (x )=13ax 3+2a+12x 2+3x .(1)当a =2时，求函数f (x )的单调区间与极值；(2)是否存在正实数a ，使得函数f (x )在区间[−1,1]上为减函数？若存在，请求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．已知数列{a n }的首项a 1=3，且满足a n+1=2a n +2n+1−1. (1)设b n =a n −12n，证明{b n }是等差数列；(2)求数列{a n −1}的前n 项和S n .设函数f (x )=m ln x −2x .(1)当m =2时，求函数f (x )在点(1,f (1))处的切线；(2)当m =1时，曲线y =f (x )上的点(x 0,y 0)(x 0>0)处的切线与y =x 2相切，求满足条件的x 0的个数．参考答案与试题解析2020-2021学年吉林吉林高三上数学月考试卷一、选择题1.【答案】D【考点】一元二次不等式的解法交集及其运算【解析】先求出集合A，再利用交集运算求解即可.【解答】解：∵A={x|x2−x−6≤0}={x|−2≤x≤3}，B={x|x∈N}，∴A∩B={0,1,2,3}.故选D.2.【答案】C【考点】三角函数的周期性及其求法【解析】根据三角函数性质求各自的最小正周期即可.【解答】解：①y=|sin x|的周期为y=sin x的周期的一半，故y=|sin x|的最小正周期为T=2π2=π；②y=cos(2x+π3)的最小正周期为T=2π2=π；③y=tan2x的最小正周期为T=π2，故最小正周期为π的函数有2个.故选C．3.【答案】B【考点】单位向量向量的模同角三角函数基本关系的运用【解析】分别计算各个选项向量的模,看是否为1即可. 【解答】解：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量.由题意可知，选项A，C，D中向量的模均为1，所以均为单位向量；选项B中向量的模为2+12=√2，不是单位向量.故选B.4.【答案】C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】利用三角函数的图象变换得解.【解答】解：∵y=cos(12x+π4)=cos12(x+π2)，∴将函数y=cos12x向左平移π2个单位即可得到函数y=cos(12x+π4)的图象.故选C.5.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断三角函数值的符号【解析】利用余弦函数在各象限的符号得解.【解答】解：由角α的终边在第二、三象限，可以得到cosα<0，而当cosα<0时，角α的终边可能在x轴的负半轴上，不一定在第二、三象限，所以“角α的终边在第二、三象限”是“cosα<0”的充分不必要条件.故选A.6.【答案】A【考点】等差中项等差数列的性质【解析】利用等差数列的性质求出a10，再次利用性质化简求值即可.【解答】解：由等差数列的性质可知：a5+a10+a15=3a10=30，∴a10=10，∴ a 22−2a 16=a 22−(a 10+a 22)=−a 10=−10. 故选A . 7.【答案】 A【考点】奇偶性与单调性的综合 函数奇偶性的性质 函数单调性的性质【解析】直接利用函数的奇偶性及单调性，构造不等式即可. 【解答】解：由函数f (x )为偶函数，且f (1−a )<f (2)，得：f(|1−a |)<f(2). 又因为函数f (x )在区间[0,+∞)是单调增函数， 所以|1−a |<2，解得−1<a <3. 故选A . 8.【答案】 C【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 平面向量数量积的运算 【解析】根据条件便可以得到|e 1→|=1，|e 2→|=1，e 1→⋅e 2→=12，而根据a →=e 1→+λe 2→与b→=2e 1→−3e 2→垂直，从而有(e 1→+λe 2→)⋅(2e 1→−3e 2→)=0，进行数量积的运算即可得出关于λ的方程，解方程便可得出λ的值．【解答】解：根据题意，得|e 1→|=|e 2→|=1，e 1→⋅e 2→=12. ∵ a →⊥b →，∴ (e 1→+λe 2→)⊥(2e 1→−3e 2→)， ∴ (e 1→+λe 2→)⋅(2e 1→−3e 2→) =2e 1→2+(2λ−3)e 1→⋅e 2→−3λe 2→2=2+12(2λ−3)−3λ=0， 解得：λ=14． 故选C ． 9.【答案】 B【考点】 函数的图象 【解析】利用特殊得函数值，排除即可. 【解答】解：由图象可知：f (0)<0，A ，当x =0时，y =1−11+1×cos 0=0，故A 错误； C ，当x =0时，y =20−0+2>0，故C 错误； D ，令y =(x 2−1)cos x =0， 解得x =±1，或cos x =0， 即x =±1或x =π2+kπ，k ∈Z ， 即该函数的零点个数大于2，故D 错误. 故选B . 10.【答案】 B【考点】 函数的周期性奇偶性与单调性的综合 函数奇偶性的性质函数单调性的性质【解析】首先求出f (1)，再判断函数的周期，再结合单调性即可比较大小. 【解答】解：令x =0，则f(1)=f(−1)+f(1)， 又因为f (x )是偶函数，则f (1)=f (−1)， 所以f (1)=0，所以f(x +1)=f(x −1)，即f(x +2)=f(x)， 故函数f (x )为周期函数，且周期为2， 所以f (−3)=f (−1)，f (−52)=f (−12). 又函数f (x )在区间[−1,0]为减函数， 则f (−1)>f (−12)，即f(−3)>f (−52). 故选B . 11. 【答案】 A 【考点】 诱导公式两角和与差的余弦公式 同角三角函数基本关系的运用【解析】设出大正方形边长，由面积比得到小正方形边长，再结合边长关系，用三角函数表示，再利用三角恒等变化化简，即可求出. 【解答】解：设大正方形的边长为1，由于面积之比为1：25， 可得小正方形的边长为15，则cos α−sin α=15， sin β−cos β=15， 由图可得cos α=sin β，sin α=cos β， ∴ (cos α−sin α)(sin β−cos β)=cos αsin β−sin αsin β−cos αcos β+sin αcos β =sin 2β+cos 2β−cos (α−β) =1−cos (α−β)=125，∴ cos (α−β)=2425. 故选A ． 12.【答案】 D【考点】利用导数研究函数的最值 函数恒成立问题【解析】首先根据题意将问题转化为f(x)min ≥g(x)min ，利用导数求出f(x)min ，再对k 讨论求出g(x)min ，代入不等式即可求解. 【解答】解：由题意可知，f(x)min ≥g(x)min . 因为f(x)={ln x,x ≥1,x e x ,x <1.所以当x ≥1时，f(x)≥0， 当x <1时，f ′(x)=(x +1)e x ，若x <−1时，f ′(x)<0，f (x )为减函数； 若−1<x <1时，f ′(x)>0，f (x )为增函数， 所以f(x)min =f(−1)=−1e <0， 所以f(x)min =−1e .当x >1时，f ′(x)=1x ，f ′(2)=12，所以g(x)=kx +12.若k ≥0时，g(x)min =g(−3)=−3k +12≤−1e，解得k ≥13e+16；若k <0时，g(x)min =g(3)=3k +12≤−1e ，解得k ≤−13e −16， 所以k 的取值范围是(−∞,−13e −16]∪[13e +16,+∞). 故选D .二、填空题【答案】3√2【考点】 复数的模 【解析】先求出z +1，再利用复数的模的运算求解即可. 【解答】解：∵ z =2−3i ，∴ |z +1|=|3−3i |=√32+(−3)2=3√2. 故答案为：3√2. 【答案】 (0,1) 【考点】指数函数单调性的应用 【解析】先由f (2021)>f (2020)确定函数的单调性，然后对函数进行变形，最终确定a 的取值范围. 【解答】解：∵ f (2021)>f (2020)， ∴ 函数f (x )=a 1−x =(1a )x−1为增函数，∴ 1a >1，即0<a <1. 故答案为：(0,1). 【答案】 1030 【考点】 数列的应用 数列的求和等差数列的前n 项和【解析】根据已知寻找规律，第一行第6个数是16，第二行第6个数是23，从而确定第40行的第6个数. 【解答】解：观察每行的第6个数可知：第一行的第6个数是16，第二行的第6个数是23，通过计算第三行的第6个数是31， 则第40行的第6个数为：16+7+8+9+10+⋯+45 =16+39(7+45)2=1030.故答案为：1030.【答案】10√6 【考点】基本不等式在最值问题中的应用 余弦定理 正弦定理【解析】先利用余弦定理求出A 的余弦值，再利用面积相等求出AD ⋅AE ，最后再利用余弦定理以及重要不等式计算D,E 之间的最小距离即可. 【解答】解：在三角形ABC 中，由余弦定理得： cos A =AB 2+AC 2−BC 22AB ⋅AC=302+402−(10√13)22×30×40=12.由题意知：S △ABC =12AB ⋅BC sin A =2S △DAE =2×12AD ⋅AE sin A ，所以AD ⋅AE =12AB ⋅AC =12×30×40=600.在三角形ADE 中，由余弦定理得： cos A =AD 2+AE 2−DE 22AD⋅AE=12，所以DE 2=AD 2+AE 2−600≥2AD ⋅AE −600=1200−600=600， 当且仅当AD =AE 时等号成立， 所以DE ≥√600=10√6.故D ，E 两点间的最小距离为10√6m . 故答案为：10√6. 三、解答题 【答案】解：(1)由b n+1=12b n ，得b n+1b n=12，∴ {b n }为等比数列，且首项b 1=1，公比q =12， ∴ {b n }的通项公式为b n =(12)n−1.(2)设a n =b 2n ，则a n+1a n=b n+2b 2n=(12)2n+1(12)2n−1=(12)2=14，∴ {b 2n }是首项为12，公比为14的等比数列， ∴ b 2+b 4+b 6+⋯+b n =12[1−(14)n ]1−14=23[1−(14)n]. 【考点】 数列递推式等比数列的前n 项和 等比数列的通项公式 【解析】 【解答】解：(1)由b n+1=12b n ，得b n+1b n=12，∴ {b n }为等比数列，且首项b 1=1，公比q =12， ∴ {b n }的通项公式为b n =(12)n−1.(2)设a n =b 2n ， 则a n+1a n=b n+2b 2n=(12)2n+1(12)2n−1=(12)2=14 ，∴ {b 2n }是首项为12，公比为14的等比数列，∴ b 2+b 4+b 6+⋯+b n =12[1−(14)n]1−14=23[1−(14)n]. 【答案】解：(1)f(x)=2sin x (cos x cos π3+sin x sin π3) =sin x cos x +√3sin 2x =12sin 2x +√32(1−cos 2x) =12sin 2x −√32cos 2x +√32 =sin (2x −π3)+√32.令2x −π3=kπ(k ∈Z )，得x =kπ2+π6(k ∈Z )，所以函数f(x)的对称中心为(kπ2+π6,√32)(k ∈Z ) . (2)因为存在x 0∈[π4,3π4]，使不等式f(x 0)<m 成立，所以m 大于f(x)的最小值， 由π4≤x ≤3π4，得π6≤2x −π3≤7π6，当2x −π3=7π6，即x =3π4时，f(x)取最小值√3−12， 所以m >√3−12，则m 的取值范围为(√3−12,+∞) . 【考点】二倍角的正弦公式 二倍角的余弦公式 两角和与差的正弦公式 函数恒成立问题 正弦函数的对称性 正弦函数的定义域和值域 【解析】 【解答】解：(1)f(x)=2sin x (cos x cos π3+sin x sin π3) =sin x cos x +√3sin 2x =12sin 2x +√32(1−cos 2x) =12sin 2x −√32cos 2x +√32 =sin (2x −π3)+√32. 令2x −π3=kπ(k ∈Z )，得x =kπ2+π6(k ∈Z )，所以函数f(x)的对称中心为(kπ2+π6,√32)(k ∈Z ) .(2)因为存在x 0∈[π4,3π4]，使不等式f(x 0)<m 成立，所以m 大于f(x)的最小值， 由π4≤x ≤3π4，得π6≤2x −π3≤7π6，当2x −π3=7π6，即x =3π4时，f(x)取最小值√3−12， 所以m >√3−12，则m 的取值范围为(√3−12,+∞) . 【答案】解：(2)由正弦定理得√3sin A =sin C sin B +√3sin B cos C .因为A +B +C =π，所以√3sin (B +C )=sin C sin B +√3sin B cos C ，即√3(sin B cos C +cos B sin C )=sin C sin B +√3sin B cos C ，化简，得√3cos B =sin B . 因为B ∈(0,π)， 所以B =π3.(2)由(1)知B =π3.因为b =4，所以由余弦定理得b 2=a 2+c 2−2ac cos B ， 即42=a 2+c 2−2ac cos π3， 化简得a 2+c 2−ac =16.① 因为该三角形面积为4√3， 所以12ac sin B =4√3，即ac =16.②联立①②，解得a =c =4． 【考点】两角和与差的正弦公式 余弦定理 正弦定理三角函数的恒等变换及化简求值 【解析】 【解答】解：(2)由正弦定理得√3sin A =sin C sin B +√3sin B cos C .因为A +B +C =π，所以√3sin (B +C )=sin C sin B +√3sin B cos C ，即√3(sin B cos C +cos B sin C )=sin C sin B +√3sin B cos C ， 化简，得√3cos B =sin B . 因为B ∈(0,π)， 所以B =π3.(2)由(1)知B =π3.因为b =4，所以由余弦定理得b 2=a 2+c 2−2ac cos B ， 即42=a 2+c 2−2ac cos π3， 化简得a 2+c 2−ac =16.① 因为该三角形面积为4√3， 所以12ac sin B =4√3，即ac =16.② 联立①②，解得a =c =4．【答案】解：(1)当a =2时，f ′(x )=2x 2+5x +3=(x +1)(2x +3). 令f ′(x )=0，解得x =−1或−32，所以f (x )的单调递增区间为(−∞,−32)，(−1,+∞)， f (x )的单调递减区间为(−32,−1) ， f (x )的极大值为f (−32)=−98，f (x )的极小值为f (−1)=−76．(2)依题意： f ′(x )=ax 2+(2a +1)x +3≤0在[−1,1]上恒成立，又因为a >0， 所以{a >0,f ′(−1)≤0,f ′(1)≤0,即{ a >0，a ≥2，a ≤−43，无解， 故不存在正实数a ，使得函数f (x )在区间[−1,1]上为减函数. 【考点】已知函数的单调性求参数问题 利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的单调性 【解析】 无无【解答】解：(1)当a =2时，f ′(x )=2x 2+5x +3=(x +1)(2x +3). 令f ′(x )=0，解得x =−1或−32，所以f (x )的单调递增区间为(−∞,−32)，(−1,+∞)，f (x )的单调递减区间为(−32,−1) ，f (x )的极大值为f (−32)=−98， f (x )的极小值为f (−1)=−76．(2)依题意： f ′(x )=ax 2+(2a +1)x +3≤0在[−1,1]上恒成立，又因为a >0， 所以{a >0,f ′(−1)≤0,f ′(1)≤0,即{ a >0，a ≥2，a ≤−43，无解， 故不存在正实数a ，使得函数f (x )在区间[−1,1]上为减函数. 【答案】 解：(1)由b n =a n −12n，得b n+1=a n+1−12n+1，将a n+1=2a n +2n+1−1代入上式， 得b n+1=2a n +2n+1−22n+1=a n +2n −12n=a n −12n+1，所以b n+1−b n =1，且b 1=a 1−12=1，所以{b n }是首项为1，公差为1的等差数列. (2)由(1)知b n =n ，所以b n =a n −12n=n ，a n =n ⋅2n +1， 所以a n −1=n ⋅2n ，则S n =1⋅2+2⋅22+3⋅23+⋯+n ⋅2n ，① 2S n =1⋅22+2⋅23+3⋅24+⋯+n ⋅2n+1，②由①−②，得−S n =2+22+23+⋯+2n −n ⋅2n+1， 即−S n =2(2n −1)−n ⋅2n+1=(1−n )2n+1−2. 所以S n =(n −1)2n+1+2. 【考点】 数列的求和 等差数列 【解析】 【解答】 解：(1)由b n =a n −12n，得b n+1=a n+1−12n+1，将a n+1=2a n +2n+1−1代入上式， 得b n+1=2a n+2n+1−22n+1=a n +2n−12n=a n −12n+1，所以b n+1−b n =1，且b 1=a 1−12=1，所以{b n }是首项为1，公差为1的等差数列. (2)由(1)知b n =n ， 所以b n =a n −12n=n ，a n =n ⋅2n+1，所以a n −1=n ⋅2n ，则S n =1⋅2+2⋅22+3⋅23+⋯+n ⋅2n ，① 2S n =1⋅22+2⋅23+3⋅24+⋯+n ⋅2n+1，②由①−②，得−S n =2+22+23+⋯+2n −n ⋅2n+1， 即−S n =2(2n −1)−n ⋅2n+1=(1−n )2n+1−2. 所以S n =(n −1)2n+1+2. 【答案】解：(1)当m =2时，f ′(x)=2x −2， k =f ′(1)=0，即切线方程为y =−2． (2)当m =1时， f ′(x )=1x −2=1−2x x，则曲线y =f (x )上的点(x 0,y 0)(x 0>0)处的切线方程为y −(ln x 0−2x 0)=1−2x 0x 0(x −x 0)，即y =1−2x 0x 0x +ln x 0−1.设直线l 与y =x 2相切于点(x 1,x 12)， 即切线方程为y =2x 1x −x 12，即 {1−2x 0x 0=2x 1,ln x 0−1=−x 12,即1−ln x 0=(1−2x 02x 0)2，即4x 02ln x 0−4x 0+1=0. 令g (x )=4x 2ln x −4x +1，则g ′(x )=8x ln x +4x −4，g ′′(x )=8ln x +12.令g ′′(x )=0得x =e −32，即g ′(x )在(0,e −32)上单调递减，在(e −32,+∞)上单调递增， 即g ′(x )min =g ′(e −32)=−8e−32−4<0.当x ∈(0,e −32)时，8ln x +12<0，即g ′(x )<x (8ln x +12)−4<−4. 当x =1时，g ′(x )=0，所以当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0；当x ∈(1,+∞)时，g ′(x )>0， 即g (x )在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递减增， 即g (x )min =g (1)=−3<0. 又因为g (1e 2)=−8e 4−4e 2+1=e 4−4e 2−8e 4=e 2(e 2−4)−8e 4>0，且g (e )=4e 2−4e +1>0，所以g (x )=0在(1e 2,1)和(1,e )上各有1个零点，即g (x )=0在(0,1)和(1,+∞)上各有1个零点，即4x 02ln x 0−4x 0+1=0有两个实根，即满足条件的x 0有两个． 【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题 利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)当m =2时，f ′(x)=2x −2，k =f ′(1)=0，即切线方程为y =−2．(2)当m =1时， f ′(x )=1x −2=1−2x x，则曲线y =f (x )上的点(x 0,y 0)(x 0>0)处的切线方程为 y −(ln x 0−2x 0)=1−2x 0x 0(x −x 0)，即y =1−2x 0x 0x +ln x 0−1.设直线l 与y =x 2相切于点(x 1,x 12)， 即切线方程为y =2x 1x −x 12，即 {1−2x 0x 0=2x 1,ln x 0−1=−x 12,即1−ln x 0=(1−2x 02x 0)2，即4x 02ln x 0−4x 0+1=0. 令g (x )=4x 2ln x −4x +1，则g ′(x )=8x ln x +4x −4，g ′′(x )=8ln x +12.令g ′′(x )=0得x =e −32，即g ′(x )在(0,e −32)上单调递减，在(e −32,+∞)上单调递增， 即g ′(x )min =g ′(e −32)=−8e −32−4<0. 当x ∈(0,e −32)时，8ln x +12<0，即g ′(x )<x (8ln x +12)−4<−4. 当x =1时，g ′(x )=0，所以当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0；当x ∈(1,+∞)时，g ′(x )>0， 即g (x )在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递减增， 即g (x )min =g (1)=−3<0. 又因为g (1e )=−8e −4e +1 =e 4−4e 2−8e 4=e 2(e 2−4)−8e 4>0，且g (e )=4e 2−4e +1>0，所以g (x )=0在(1e 2,1)和(1,e )上各有1个零点，即g (x )=0在(0,1)和(1,+∞)上各有1个零点，即4x 02ln x 0−4x 0+1=0有两个实根，即满足条件的x 0有两个．。

吉林高三高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知，，，则（）A．B．C．D．2.已知复数，则（）A．的模为2B．的实部为1C．的虚部为D．的共轭复数为3.下列关于命题的说法错误的是（）A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”；B．“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件；C．若命题：，，则，；D．命题“，”是真命题4.在中，角所对的边分别为，若，，，则（）A．B．C．D．5.函数的图象大致是（）A．B．C．D．6.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．B．C．D．27.是公差不为0的等差数列，满足，则该数列的前10项和（）A．B．C．0D．58.某几何体的三视图如下图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（）A．B．C．D．9.已知，把的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到的图象；若对任意实数，都有成立，则（）A．B．3C．2D．10.在等腰直角中，，在边上且满足：，若，则的值为（）A．B．C．D．11.已知双曲线，双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线的一条渐近线上的点，且，为坐标原点，若，且双曲线的离心率相同，则双曲线的实轴长是（）A．32B．16C．8D．412.已知函数，若关于的方程有8个不等的实数根，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题1.已知是坐标原点，点，若点为平面区域上一个动点，则的取值范围是__________．2.已知，，与的夹角为，且与垂直，则实数__________．3.过抛物线的焦点作直线交抛物线于，若，则直线的斜率是__________．4.艾萨克·牛顿（1643年1月4日----1727年3月31日）英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列：满足，我们把该数列称为牛顿数列。

2019-2020学年高三第二学期第五次月考数学试卷（理科）一、选择题：共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U =R ，集合{0,1,2,3,4,5}A =，{|2}B x x =≥ ，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A. {}1B. {}0,1C. {}1,2D. {}0,1,2【答案】B 【解析】 【分析】根据图像判断出阴影部分表示()U A B I ð，由此求得正确选项.【详解】根据图像可知，阴影部分表示()U A B I ð，{}U |2B x x =<ð，所以()U A B I ð{}0,1=. 故选：B【点睛】本小题主要考查集合交集与补集的概念和运算，考查韦恩图，属于基础题. 2.在复平面内与复数21iz i=+所对应的点关于虚轴对称的点为A ，则A 对应的复数为（ ） A. 1i -- B. 1i -C. 1i +D. 1i -+【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算法则求出1z i =+，即可得到其对应点关于虚轴对称点的坐标，写出复数. 【详解】由题()()()2122211112i i i i z i i i i -+====+++-，在复平面对应的点为（1,1）， 关于虚轴对称点为（-1,1），所以其对应的复数为1i -+. 故选：D【点睛】此题考查复数的几何意义，关键在于根据复数的乘法除法运算准确求解，熟练掌握复数的几何意义.3.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A. 213log 32+B. 2log 3C. 2D. 3【答案】C 【解析】 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】模拟程序的运行，可得 s ＝3，i=1满足条件i 3≤，执行循环体s ＝3+log i=2满足条件i 3≤，执行循环体s ＝3+log log i=3，满足条件i 3≤，执行循环体，s ＝3+log 4log log =，i=4， 不满足条件i 3≤，退出循环，输出s 的值为s ＝242log =． 故选C ．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．4.阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C 的焦点在x 轴上，且椭圆C 的离心率为4，面积为12π，则椭圆C 的方程为（ ）. A. 22134x y +=B. 221916x y +=C. 22143x y +=D. 221169x y +=【答案】D 【解析】 【分析】利用已知条件列出方程组，求出,a b ，即可得到椭圆方程.【详解】由题意可得：222124ab ca abc ππ=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得4,3a b ==，因为椭圆的焦点在x 轴上，所以椭圆方程为：221169x y+=，故选D.【点睛】该题考查的是有关椭圆方程的求解问题，涉及到的知识点有椭圆的几何性质，椭圆的面积，属于简单题目.5.已知()(1)(2)2f k k k k k =+++++⋯+（k *∈N ），则（ ） A. (1)()22f k f k k +-=+ B. (1)()33f k f k k +-=+ C. (1)()42f k f k k +-=+ D. (1)()43f k f k k +-=+【答案】B 【解析】 【分析】先计算出(1),()f k f k +，再求(1)()f k f k +-得解.【详解】由题得(1)1(2)(3)+2212(1)f k k k k k k k +=++++++⋯++++，()(1)(2)2f k k k k k =+++++⋯+，所以(1)()=212233f k f k k k k k +--++++=+. 故选B【点睛】本题主要考查数学归纳法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.6.已知数列{}n a 为等比数列，且2234764a a a a =-=-，则5tan 3π⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭（ ）A. B.C. D. -【答案】B 【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，利用等比中项的性质得出3a 的值，再由4730a q a =>，得知7a 与3a 同号，可求出7a 的值，再由5a 为3a 、7a 的等比中项，以及2750a q a =>求出5a 的值，进而计算出tan π⎫⎪⎪⎝⎭的值.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则3234364a a a a ==-，34a ∴=-，又4730a q a =>，70a ∴<， 由题意得2764a =，78a ∴=-，由等比中项的性质得253732a a a ==，由于2750a q a =>，则50a <，5a ∴=-，因此，588tan tan tan 3tan 3333πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-=-+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：B.【点睛】本题考查等比中项性质的应用以及等比中项的计算，同时也涉及了特殊角三角函数值的计算，在求等比中项时，不要忽略了对所求项的符号的判断，考查计算能力，属于中等题.7.设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为-||PF =（ ）A. B.43C.D. 2【答案】B 【解析】【分析】先求出焦点坐标和准线方程，得到AF 方程，与准线方程联立，解出A 点坐标，因为PA 垂直准线l ，所以P 点与A 点纵坐标相同，再求P 点横坐标，利用抛物线定义求出||PF 长．【详解】Q 抛物线方程为24y x =，∴焦点(1,0)F ，准线l 方程为1x =-，Q 直线AF的斜率为AF的方程为1)y x =-，由11)x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩可得A 点坐标为(1-PA l ⊥Q ，A 为垂足，P ∴，代入抛物线方程，得P 点坐标为1(3，14||||(1)33PF PA ∴==--=.故选B【点睛】本题主要考查抛物线的定义和简单几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 8.若4sin cos 3θθ-=，且3π,π4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin(π)cos(π)θθ---=（ ）A. 3-B.3C. 43-D.43【答案】A 【解析】 【分析】 先求出2sin cos θθ的值，结合3π,π4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得sin(π)cos(π)sin cos θθθθ---=+==，可求出答案.【详解】由题意，416sin cos 12sin cos 39θθθθ-=⇒-=，则72sin cos 09θθ=-<，由于3π,π4θ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则sin(π)cos(π)sin cos 3θθθθ---=+===-. 故选A.【点睛】本题考查了三角函数诱导公式的应用，考查了三角函数求值，属于基础题. 9.已知三棱锥A BCD -中，AB CD ==2==AC BD ，AD BC ==在同一个球面上，则此球的体积为（ ）A.32π B. 24πC.D. 6π【答案】C 【解析】 【分析】作出三棱锥A BCD -的外接长方体AEBF GDHC -，计算出该长方体的体对角线长，即可得出其外接球的半径，然后利用球体体积公式可计算出外接球的体积.【详解】作出三棱锥A BCD -的外接长方体AEBF GDHC -，如下图所示：设DG x =，DH y =，DE z =，则2223AD x z =+=，2224DB y z =+=，2225DC x y =+=， 上述三个等式相加得()222222234512AD BD CD x y z++=++=++=，=R =，因此，此球的体积为343π⨯=⎝⎭. 故选C.【点睛】本题考查三棱锥外接球体积的计算，将三棱锥补成长方体，利用长方体的体对角线作为外接球的直径是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.10.在Rt ABC ∆中,已知90,3,4,C CA CB P ∠===o 为线段AB 上的一点,且CA CB CP x y CA CB=⋅+⋅u u u vu u u v u u u v u uu v u u u v ，则11x y+的最小值为（ ）A.76B.712C.712+D.76 【答案】C 【解析】 【分析】建立直角坐标系，确定P 坐标和线段AB 方程，得出,x y 的关系,利用基本不等式,即可求得结果. 【详解】以,CA CB 所在的直线分别为,x y 轴建立直角坐标系,则(0,0),(3,0),(0,4),||3,||4C A B CA AB ==u u u r u u u r,CA CB CP x y CA CB=⋅+⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r =(1,0)(0,1)(,)x y x y ⋅+⋅=P ∴点坐标为(,)P x y ,线段AB 方程为1(0,0)34x yx y +=>>,1177()()34124312311x y y x x x y y x y ∴+=+⋅+=++≥+,当且仅当3x =等号成立. 故选:C【点睛】本题考查了平面向量坐标运算,以及基本不等式求最值,考查了推理能力和计算能力,属于中档题, 11.已知函数()y f x =是(11)-，上的偶函数，且在区间(10)-，上是单调递增的，A ，B ，C 是锐角三角形ABC V 的三个内角，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. (sin )(sin )f A f B > B. (sin )(cos )f A f B > C. (cos )(sin )f C f B > D. (sin )(cos )f C f B >【答案】C 【解析】因为,,A B C 是锐角ABC ∆的三个内角， 所以2B C π+>，得2C B π>-，两边同取余弦函数，可得cos cos sin 2C B B π⎛⎫<-=⎪⎝⎭， 因为()f x 在()1,0-上单调递增，且()f x 是偶函数，所以()f x 在()0,1上减函数， 由cos sin C B <，可得()()cos sin f C f B >，故选C.点睛：本题考查了比较大小问题，解答中熟练推导抽象函数的图象与性质，合理利用函数的单调性进行比较大小是解答的关键，着重考查学生的推理与运算能力，本题的解答中，根据锐角三角形，得出cos C 与sin B 的大小关系是解答的一个难点.12.已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为'()f x ，满足'()()f x f x <，且(2)f x +为偶函数，(4)1f =，则不等式()x f x e <的解集为（ ）A. (,0)-∞B. (0,)+∞C. ()4,e-∞D. ()4,e +∞【答案】B【解析】 【分析】由题意构造函数()()x f x g x e =，由()()f x f x '<可得()0g x '<在R 上恒成立，所以函数()()xf xg x e=在R 为上单调递减函数，由()2f x +为偶函数，()41f =，可得(0)1f =，故要求不等式()xf x e <的解集等价于()()1xf xg x e =<的解集，即可得到答案. 【详解】由题意构造函数()()x f x g x e =()x R ∈，则()()()xf x f xg x e ''-=， Q 定义R 在上可导函数()f x 的导函数为'()f x ，满足()()f x f x '<∴()0g x '<在R 上恒成立，函数()()xf xg x e =在R 上为单调递减函数； 又Q ()2f x +为偶函数，则函数(2)(2)f x f x -=+ ，即()f x 关于2x =对称，∴(0)(4)1f f == ，则0(0)(0)1f g e==， 由于不等式()xf x e <的解集等价于()()1x f xg x e=<的解集，根据函数()()x f x g x e=在R 上为单调递减函数，则()1()(0)0g x g x g x <⇔<⇔>，故答案选B【点睛】本题考查函数的构造，利用导数研究函数的单调性、利用函数单调性解不等式、函数的奇偶性以及对称性的综合应用，属于较难题．二、填空题13.已知椭圆()222104x y a a +=>与双曲线22193x y -=有相同的焦点，则a 的值为______【答案】4 【解析】 【分析】由题得2493a -=+，解之即得a 的值. 【详解】由题得2493a -=+，所以a=4, 故答案为4【点睛】，1）本题主要考查椭圆和双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)椭圆中222c a b =-，双曲线中222.c a b =+的14.已知实数x ，y 满足不等式组2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，且z =2x -y 的最大值为a ，则1e a dx x ⎰=______． 【答案】6 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据目标函数的几何意义，利用平移法进行求解可得a 的值，然后求解定积分即可．【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z =2x -y 得y =2x -z ， 平移直线y =2x -z ，由图象可知当直线y =2x -z 经过点B 时，直线y =2x -z 的截距最小，此时z 最大．由220y x y =⎧⎨--=⎩，得(4,2)B ， 即a =z max =2×4-2=6， 则1ea dx x⎰=16e dx x ⎰=6lnx 1|e=6．故答案为6．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想以及函数的积分公式是解决此类问题的基本方法，属中档题．15.已知点()2,0A -，()0,4B ，点P 在圆()()22:345C x y -+-=上，则使90APB ∠=︒的点P 的个数为__________. 【答案】1 【解析】由题意可得，若90APB ∠=︒，则点P 在以AB 为直径的圆上，此时点P 的轨迹是()()22125x y ++-=， 且点P 在圆()()22:345C x y -+-=上，即点P 为圆()()22125x y ++-=与圆()()22345x y -+-=的交点， 考查两圆的圆心距：d ==两圆的半径：12r r ==，满足，12d r r =+， 即两圆外切，据此可得：点P 的个数为1个.点睛：判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．16.已知函数()22log ,02()3,2x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩，若方程()f x a =有4个不同的实数根12341234,,,()x x x x x x x x <<<，则434123x x x x x x ++的取值范围是____． 【答案】(7,8) 【解析】 【分析】先画出函数()f x 的图象，把方程()f x a =有4个不同的实数根转化为函数()f x 的图象与y a =有四个不同的交点，结合对数函数和二次函数的性质，即可求解.【详解】由题意，函数()22log ,02()3,2x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩，要先画出函数()f x 的图象，如图所示， 又由方程()f x a =有4个不同的实数根12341234,,,()x x x x x x x x <<<，即函数()22log ,02()3,2x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩的图象与y a =有四个不同的交点， 可得12341,6x x x x =+=，且3(2,3)x ∈，则434123x x x x x x ++=3433366665x x x x x -+=+=+， 因为3(2,3)x ∈，则36(2,3)x ∈，所以434123x x x x x x ++(7,8)∈. 故答案为(7,8).【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把方程()f x a =有4个不同的实数根，转化为两个函数的有四个交点，结合对数函数与二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.三、解答题17.已知等差数列{}n a 满足：4107,19a a ==，其前n 项和为n S ． （1）求数列{}n a 的通项公式n a 及n S ； （2）若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】(1) 21n a n =-，2n S n =． (2) 21n nT n =+ 【解析】 【分析】（1）算出基本量1,a d 后可求n a 及n S ； （2）利用裂项相消法可求n T . 【详解】解：（1）设等差数列{}n a 公差为d ，则1137919a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得：1a 1,d 2==，∴12(1)21n a n n =+-=-，2(121)2n n n S n +-==．（2）()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭， ∴数列{}n b 前n 项和为111111123352121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 11122121n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭ 【点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法. 18.已知函数2()cos 2sin 1f x x x x =+-. (1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()2,C ,24f A c π===，求ABC ∆的面积.【答案】(1),,63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；(2)32+. 【解析】 分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f （x ）＝2sin （2x 6π-），利用正弦函数的单调性即可求解其单调递增区间．（2）由题意可得sin （2A 6π-）＝1，结合范围2A 6π-∈（6π-，116π），可求A 的值，由正弦定理可得a ，由余弦定理b ，进而根据三角形的面积公式即可求解．【详解】（1）∵()221f x sin x =+-=x ﹣cos2x ＝2sin （2x 6π-）， 令2k π2π-≤2x 6π-≤2k π2π+，k ∈Z ，解得k π6π-≤x ≤k π3π+，k ∈Z ， ∴函数f （x ）的单调递增区间为：[k π6π-，k π3π+]，k ∈Z ．（2）∵f （A ）＝2sin （2A 6π-）＝2，∴sin （2A 6π-）＝1，∵A ∈（0，π），2A 6π-∈（6π-，116π）， ∴2A 62ππ-=，解得A 3π=，【∵C 4π=，c ＝2，∴由正弦定理a csinA sinC=，可得a 2c sinA sinC ⨯⋅===， ∴由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，可得6＝b 2+4﹣2122b ⨯⨯⨯，解得b ＝1（负值舍去）， ∴S △ABC 12=ab sinC 12=（1=． 【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的单调性，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 19.如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，23BCD π∠=，四边形ACFE 为矩形，且CF ⊥平面ABCD ，AD CD BC CF ===.（1）求证：EF ⊥平面BCF ；（2）点M 在线段EF 上运动，当点M 在什么位置时，平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2【解析】【详解】试题分析：，，，在梯形ABCD 中，设1AD CD BC ===，题意求得2AB =,再由余弦定理求得23AB =,满足222AB AC BC =+,得则BC AC ⊥.再由CF ⊥平面ABCD 得AC CF ⊥，由线面垂直的判定可.进一步得到AC 丄平面BCF ;，，，分别以直线,,CA CB CF 为:x 轴，y 轴轴建立如图所示的空间直角坐标系，设1AD CD CF === ,令FM λ=(0λ≤≤得到,,,C A B M 的坐标，求出平面MAB的一法向量.由题意可得平面的FCD 一个法向量，求出两法向量所成角的余弦值，可得当λ0=时，有最小值为7,此时点M 与点F 重合. 试题解析：（Ⅰ）证明：在梯形ABCD 中，∵//AB CD ,设1AD CD BC ===， 又∵23BCD π∠=,∴2AB =,∴2222cos603AC AB BC AB BC =+-⋅⋅︒= ∴222AB AC BC =+.则BC AC ⊥. ∵CF ⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ，∴AC CF ⊥,而CF BC C =I ,∴AC ⊥平面BCF .∵//EF AC ,∴EF ⊥平面BCF . （Ⅱ）解：分别以直线,,CA CB CF 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设1AD CD BC CD ====，令(0FM λλ=≤≤， 则())()()0,0,0,,0,1,0,,0,1C AB M λ，∴()(),,1,1AB BM λ==-u u u v u u u u v 设(),,n x y z =v为平面MAB 的一个法向量，由00n AB n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u u v v得00y x y z λ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，取1x =，则()n λ=v，∵()1,0,0m =v是平面FCB 的一个法向量，∴cos ,n m n m n m⋅===v vv vv v∵0λ≤≤0λ=时，cosθ ∴点M 与点F 重合时，平面MAB 与平面FCB.20.已知椭圆(222:12x y C a a +=>的右焦点为F ，P 是椭圆C 上一点，PF x ⊥轴，2PF =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，且OM =求AOB∆面积的最大值.【答案】（1）22182x y +=；（2）2. 【解析】 【分析】（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >，可得出点c ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上，将这个点的坐标代入椭圆C 的方程可得出2234c a =，结合222a c =+可求出a 的值，从而可得出椭圆C 的标准方程；（2）分直线AB 的斜率不存在与存在两种情况讨论，在AB x ⊥轴时，可得出AB =，从而求出AOB ∆的面积；在直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx t =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理结合OM =()2222214116k t k+=+，计算出AB 与AOB ∆的高，可得出AOB ∆面积的表达式，然后可利用二次函数的基本性质求出AOB ∆面积的最大值. 【详解】（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >，由题知，点,2P c ⎛±⎝⎭，b =则有222212c a ⎛⎫⎪⎝⎭+=，2234c a ∴=，又22222a b c c =+=+，28a ∴=，26c =， 因此，椭圆C 的标准方程为22182x y +=；（2）当AB x ⊥轴时，M 位于x 轴上，且OM AB ⊥，由OMAB =12AOB S OM AB ∆=⋅=； 当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为y kx t =+，与椭圆交于()11,A x y ，()22,B x y ，由22182x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222148480k x ktx t +++-=. 122814kt x x k -∴+=+，21224814t x x k-=+，从而224,1414kt t M k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭已知OM =()2222214116k t k+=+.()()()22222212122284814141414kt t AB k x x x x k k k ⎡⎤--⎛⎫⎡⎤=++-=+-⨯⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎢⎥⎣⎦Q ()()()222221682114k t k k -+=++. 设O 到直线AB 的距离为d ，则2221t d k=+， ()()()222222221682114114AOBk t t Sk k k ∆-+=+⋅++. 将()2222214116k t k+=+代入化简得()()2222219241116AOB k k S k ∆+=+.令2116k p +=，则()()()22222211211192414116AOBp p k k S p k ∆-⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭==+211433433p ⎡⎤⎛⎫=--+≤⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 当且仅当3p =时取等号，此时AOB ∆的面积最大，最大值为2. 综上：AOB ∆的面积最大，最大值为2.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，同时也考查了直线与椭圆中三角形面积最值的计算，一般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法来求解，同时在计算最值时，常用函数的基本性质以及基本不等式进行求解，考查运算求解能力，属于难题.21.已知函数())f x lnx x a R =+-∈有两个极值点12,x x ，且12x x <. (1)若5a =，求曲线()y f x =在点()()4,4f 处的切线方程； (2)记()()()12g a f x f x =-，求a 的取值范围，使得()150424g a ln <≤-. 【答案】(1) 46y ln =- (2) 45a <≤ 【解析】【分析】（1）求得切点坐标和斜率，由此求得切线方程. （2）令()'0fx =，利用根与系数关系得到12,x x 的关系式，利用换元法化简()g a 的表达式，利用导数，结合单调性以及()g a 的取值范围，求得a 的取值范围. 【详解】(1)5a =时，()ln x x f x +-=()11f x x '=+()()446,'40,f ln f =-=所以，点()()4,4f 处的切线方程是46y ln =-； (2)()11f x x '=+=2a=1=，且2160a ∆=->，4a >，t =，得()2214t a t+=，且1t >. 因为()11112f x lnx x lnx x =+-=--，()2222f x lnx x =--， 所以()()12121ln 2x g a x x t lnt x t ⎛⎫=+-=--⎪⎝⎭， 令()12ln h t t t t=--则()()2222211221'10t t t h t t t t t --+=+-==> 所以()h t 在(1,)+∞上单调递增， 因为()154424h ln =-，所以14t <≤， 又因为()221124t a t t t+==++在(]1,4上单调递增，所以45a <≤. 【点睛】本小题主要考查求曲线上某点的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性以及取值范围，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做.则按所做的第一题记分.[选修4-4；坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为{[)()cos 3sin 0,2x y θθθπ==∈，曲线2C的参数方程为122(2x t t y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)． ()1求曲线1C ，2C 的普通方程；()2求曲线1C 上一点P 到曲线2C 距离的取值范围．【答案】(1) 2219y x +=0y ++=.（2）[0,. 【解析】 【分析】，1）利用平方和代入法，消去参数,t θ，即可得到曲线12,C C 的普通方程； ，2）由曲线1C 方程，设(cos ,3sin )P αα，再由点到直线的距离公式和三角函数的性质，即可求解，【详解】（1）由题意，cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），则cos sin 3x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，平方相加，即可得1C ：22y x 19+=，由122(2x t t y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），消去参数，得2C ：)y x 2=+y 0++=.（2）设()P cos α,3sin α，P 到2C 的距离d ==∵[)α0,2π∈，当πsin α16⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，即πα3=，max d = 当πsin α16⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，即4πα3=，min d 0=. 的∴取值范围为0,⎡⎣.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，以及椭圆的参数方程的应用问题，其中解答中合理利用平方和代入，正确化简消去参数得到普通方程，再利用椭圆的参数方程，把距离转化为三角函数问题是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，[选修4-5：不等式选讲]23.已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围. 【答案】（1）(,1)-∞；（2）[1,)+∞ 【解析】 【分析】（1）根据1a =，将原不等式化为|1||2|(1)0x x x x -+--<，分别讨论1x <，12x ≤<，2x ≥三种情况，即可求出结果；（2）分别讨论1a ≥和1a <两种情况，即可得出结果.【详解】（1）当1a =时，原不等式可化为|1||2|(1)0x x x x -+--<；当1x <时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，即2(1)0x ->，显然成立， 此时解集为(,1)-∞；当12x ≤<时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，解得1x <，此时解集为空集；当2x ≥时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，即2(10)x -<，显然不成立；此时解集为空集； 综上，原不等式的解集为(,1)-∞；（2）当1a ≥时，因为(,1)x ∈-∞，所以由()0f x <可得()(2)()0a x x x x a -+--<， 即()(1)0x a x -->，显然恒成立；所以1a ≥满足题意；当1a <时，2(),1()2()(1),x a a x f x x a x x a-≤<⎧=⎨--<⎩，因为1a x ≤<时， ()0f x <显然不能成立，所以1a <不满足题意；综上，a 的取值范围是[1,)+∞.【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型.。

吉林省重点高中2020届高三数学上学期月考试题（二）理（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.已知全集，若，3，，则A. B. C. D. 3，2.“，”的否定是A. ，B. ，C. ，D. ，3.若角的终边过点，则的值是A. B. C. D.4.已知某扇形的面积为，若该扇形的半径r、弧长l满足，则该扇形圆心角大小的弧度数是A. B. 5 C. D. 或 55.函数的一个零点所在区间为A. B. C. D.6.如图，若，，，B是线段AC靠近点C的一个四等分点，则下列等式成立的是A. B.C. D.7.若，且为第三象限角，则的值等于A. B. C. D. 78.若函数的图象与直线一个交点的坐标为，则A. B. 1 C. D. 无法确定9.已知在矩形ABCD中，，，若E，F分别为AB，BC的中点，则A. 8B. 10C. 12D. 1410.已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则外接圆的面积为A. B. C. D.11.为捍卫国家南海主权，我海军在南海海域进行例行巡逻．某天，一艘巡逻舰从海岛A出发，沿南偏东的方向航行40海里后到达海岛然后再从海岛B出发，沿北偏东的方向航行了海里到达海岛若巡逻舰从海岛A出发沿直线到达海岛C，则航行的方向和路程单位：海里分别为A. 北偏东，B. 北偏东，C. 北偏东，D. 北偏东，12.若函数在区间上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题）13.若，，则 ______ ．14.已知平面向量，，若，则实数______．15.化简：______．16.已知奇函数在定义域上单调递增，若对任意的成立，则实数m的最小值为______．三、解答题（本大题共6小题）17.已知，求下列各式的值：；．18.已知函数．求函数的单调递增区间；当时，求函数的最小值．19.已知平面向量，若，，求实数x的值；求函数的单调递减区间．20.已知函数图象两条相邻的对称轴间的距离为．求的值；将函数的图象沿z轴向左平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的值．21.已知函数若函数是偶函数，求实数a的值；若函数，关于x的方程有且只有一个实数根，求实数a的取值范围．22.已知函数．求函数的图象在点处切线的方程；2讨论函数的极值；若对任意的成立，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：1，2，3，4，，，3，，1，3，，．故选：A．可以求出集合U，然后进行补集、交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及交集和补集的运算．2.【答案】C【解析】解：依题意，“，”的否定是：，，故选：C．“，”的否定为“，”．本题考查了命题的否定，要注意命题的否定和否命题的区别．本题属于基础题．3.【答案】B【解析】解：根据题意，可得．故选：B．由三角函数的定义可求得t a na的值．本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：由题意可得，解得，或，可得，或5．故选：D．由已知利用扇形的面积公式可求半径和弧长，利用弧长公式可求扇形圆心角大小的弧度数．本题主要考查了扇形的弧长公式，面积公式的应用，考查了方程思想，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：，令，，，利用零点判定定理得出的一个零点所在区间为．故选：A．，令，利用函数的解析式求出，的值，利用零点判定定理得出结论．本题考察了函数的零点问题，零点判定定理的应用，是一道基础题．6.【答案】C【解析】解：，，，则．故选：C．根据平面向量的线性表示与运算法则，用、表示即可．本题考查了平面向量的线性表示与应用问题，是基础题．7.【答案】D4【解析】解：若，且为第三象限角，则，，，故选：D．由题意利用同角三角函数的基本关系求得的值，再利用两角和的正切公式，求得的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正切公式的应用，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：由题意，，．故选：B．由已知可得，代入，利用诱导公式化简求值．本题考查函数零点的应用，考查三角函数的恒等变换与化简求值，是基础题．9.【答案】B【解析】解：由题可得：，；；．故选：B．根据题意，利用平面向量的线性运算即可直接求解．本题考查了平面向量的线性运算以及数量积的运算问题，是基础题目．10.【答案】B【解析】解：，，，解得：，由余弦定理可得：，解得：，设外接圆的半径为R，则由正弦定理可得：，解得，外接圆的面积．故选：B．由已知利用三角形面积公式可求c，由余弦定理可得a的值，设外接圆的半径为R，则由正弦定理可解得R，即可得解外接圆的面积．本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：根据题意画出图形，如图所示：在中，，，；根据余弦定理得：，；又，解得，又为锐角，，此船航行的路程是海里，航行的方向为北偏东．故选：C．根据题意画出图形，结合图形利用余弦定理求得AC的值，进而根据正弦定理可求，结合为锐角，可求，可得航行的方向为北偏东，即可得解．本题考查了解三角形的应用问题，考查了计算能力和数形结合思想，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：根据题意，得到关于x的方程在区间上有两个不同的交点，引入函数，所以，当时，，所以函数在上单调递减．当时，，所以函数在上单调递增．所以函数在时取得最大值．即．由于关于x的方程在区间上有两个不同的实根，所以，且，解得．故．故选：A．首先对函数的零点和方程的根进行转换，进一步引入新函数，再利用函数的导数的应用求出函数的单调区间，进一步利用函数的最值求出参数的取值范围．本题考查的知识要点：函数的性质的应用，函数零点和方程的根的关系式的应用，函数的导数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．13.【答案】6【解析】解：，，，，故答案为：6．根据对数的运算性质和定义计算即可本题考查了对数的运算性质和定义，属于基础题．14.【答案】【解析】解：，，解得．故答案为：．根据可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x的值．考查向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算．15.【答案】【解析】解：故答案为：直接利用三角函数的诱导公式化简求值．本题考查利用诱导公式化简求值，是基础的计算题．16.【答案】6【解析】解：因为在定义域上单调递增且为奇函数，所以对任意的成立对任意的成立．对任意的成立．令，故当时，，只需即可，故答案为：可得对任意的成立对任意的成立．对任意的成立．令，求得的最小值即可．本题考查了函数的性质、恒成立问题的处理方法，属于中档题．17.【答案】解：，，；．【解析】由已知求得，然后利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解；利用诱导公式及同角三角函数基本关系式化弦为切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是中档题．18.【答案】解：由题意，，当时，；当时，；当时，．所以，函数的单调递增区间为和．当x变化时，，的变化情况如下表所以，当，．当时，函数的最小值为．【解析】先求导函数，利用导数大于0，可得函数的单调增区间；导数小于0，可得函数的单调增区间；令导数等于0，确定函数的极值点，再考虑端点的函数值，从而确定函数的最值．本题以函数为载体，考查函数的单调性，考查函数的最值，关键是正确运用导数工具，是中档题．19.【答案】解：，，．即．；，．由题得：令；；函数的单调递减区间为：．【解析】直接根据向量共线的结论即可求解；先求出其数量积，再结合三角函数的性质即可求出结论．本题考查了数量积运算性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.【答案】解：函数，由于函数图象两条相邻的对称轴间的距离为，所以，解得．由得函数的图象沿z轴向左平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，所以．【解析】直接利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出函数的关系式，进一步求出函数的值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．21.【答案】解：因为是偶函数，所以对任意成立所以对任意的成立，所以对任意成立，所以；因为，，所以所以，设，则有关于t的方程，若，即时，则需关于t的方程有且只有一个大于的实数根，设，则，所以，所以成立，所以满足题意；若，即时，解得，不满足题意；若，即时，，且，所以，当时，关于t的方程有且只有一个实数根，，不满足题意，综上，所求实数a的取值范围是．【解析】因为是偶函数，所以对任意成立，所以对任意成立，进而求解；因为，，所以，设，则有关于t的方程，进而求解．考查偶函数的性质，定义；复合函数的理解应用；转化思想，分类讨论思想．22.【答案】解：Ⅰ求导函数，可得，，，曲线在点处的切线方程即．函数，，令，解得，当时，解得，函数在单调递增，由，解得，函数在单调递减，故函数在上单调递增，在上单调递减，当时，函数有极小值，极小值为，无极大值，8，成立，即，令，，当， 0'/>，在单调递增，又，所以，这与对任意的恒成立矛盾，当，，，若，即，，单调递减，又，所以当时，，满足题意，若，解得，此时对应方程，有两个实数根，其中，，又分析知，函数在区间上单调递增，，所以当时，，不符合题意，综上，m的取值范围为．【解析】求导函数，然后求解切线的斜率，求切点坐标，进而可求切线方程；先求导函数，再根据导数和函数单调性关系即可求出单调区间和极值；构造函数，对m分类讨论，判断m的范围．本题考查导数的运用：求单调区间，注意运用构造函数的方法判断单调性，考查运算能力，属于中档题。

吉林省实验中学2018届高三年级第一次模拟考试（第5次月考）数学（文科）试题一、选择题：1. 若集合，则A. B. C. D.【答案】B【解析】，所以，，选C.2. 若复数 ( 是虚数单位 )，则的共轭复数为A. B. C. D.【答案】D【解析】，所以的共轭复数为，选D.3. 设命题P：n N，>，则P为A. n N, >B. n N, ≤C. n N, ≤D. n N, =【答案】C【解析】试题分析：根据否命题的定义，即既否定原命题的条件，又否定原命题的结论，存在的否定为任意，所以命题的否命题应该为，即本题的正确选项为C.考点：原命题与否命题.视频4. 执行如图所示的程序框图，输出的T＝A. 29B. 44C. 52D. 62【答案】A【解析】试题分析：执行程序框图，有S=3，n=1，T=2，不满足条件T＞2S，S=6，n=2，T=8，不满足条件T＞2S，S=9，n=3，T=17，不满足条件T＞2S，S=12，n=4，T=29，满足条件T＞2S，退出循环，输出T的值为29．故选：A．考点：程序框图.5. 已知等差数列前9项的和为27，，则A. 100B. 99C. 98D. 97【答案】C【解析】试题分析：由已知，所以故选C.【考点】等差数列及其运算【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.6. 已知，，则的大小关系是A. cB.C.D.【答案】B【解析】 , ,，所以，选B.7. 已知向量与为单位向量,满足,则向量与的夹角为A. 45oB. 60oC. 90oD. 135o【答案】D【解析】，选D.8. 若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为A. B.C. D.【答案】B【解析】函数的图像向左平移个单位长度得所以，选B.点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言. 函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.9. 设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为A. 3B. 4C. 18D. 40【答案】C【解析】不等式所表示的平面区域如下图所示，当所表示直线经过点时，有最大值考点：线性规划.视频10. 四棱锥P­ABCD的三视图如图所示，四棱锥P­ABCD的五个顶点都在一个球面上， E，F分别是棱AB，CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为2，则该球的表面积为A. 12πB. 24πC. 36πD. 48π【答案】A..................点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．11. F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1的直线与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点．若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】D【解析】设，则，由余弦定理得选D.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.12. 设函数，则使得成立的的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】为偶函数，且在单调递增，因为，所以选A.点睛：用单调性求解与抽象函数有关不等式的策略（1）在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．（2）有时，在不等式一边没有符号“f”时，需转化为含符号“f”的形式．如若已知f(a)＝0，f(x－b)<0，则f(x－b)<f(a)．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．）13. 若双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于__________.【答案】13【解析】或（舍）14. 设为第二象限角,若 ,则________【答案】【解析】因为，所以，因为为第二象限角,所以，因此15. 上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆相交”发生的概率为_________【答案】【解析】由直线y=kx与圆相交得所以概率为16. 对任意的实数，都存在两个不同的实数，使得成立，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】因为，所以，令，则当时；当时因此要有两个y，需点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.三、解答题：（本大题共6小题，其中17-21小题为必考题，每小题12分；第22—23题为选考题，考生根据要求做答，每题10分）17. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，已知．（Ⅰ）求证：a、b、c成等差数列；（Ⅱ）若，求b．【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析：（1）先根据正弦定理将边角关系化为角的关系，再利用二倍角公式、诱导公式化简得，最后再根据正弦定理将角的关系转化为边的关系，即得结论（2）先根据三角形面积公式得，再根据余弦定理求b，注意利用条件，即得结果试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得：即∴即∵∴即∴成等差数列。

吉林高三高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知集合，集合为（）A．B．C．D．2.一个物体的运动方程为其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是（）A．米/秒B．米/秒C．米/秒D．米/秒3.函数的零点为1，则实数的值为（）A．B．C．D．4.设，则（）A．既是奇函数又是减函数B．既是奇函数又是增函数C．是有零点的减函数D．是没有零点的奇函数5.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（）A．B．C．D．6.下列选项中，说法正确的是（）A．命题“，”的否定是“，”B．命题“为真”是命题“为真”的充分不必要条件C．命题“若，则”是假命题D．命题“在中中，若，则”的逆否命题为真命题7.定积分的值为（）A．B．C．D．8.已知函数的图像在点处的切线方程是，若，则（）A．B．C．D．29.若关于的不等式的解集是，关于的不等式的解集为（）A．B．C．D．10.若向量，则与一定满足（）A．与的夹角等于B．C．D．11.将函数的图象上所有的点向左平移个单位（纵坐标不变），则所得图象的解析式是（）A．B．C．8D．12.函数的所有零点之和等于（）A．4B．5C．6D．7二、填空题1.已知，则．2.如图，圆内的余弦函数的图像与轴围成的区域记为(图中阴影部分)，随机向圆内投一个点，则点落在区域内的概率是．3.若实数满足,则目标函数的最大值是__________．4.已知定义在上的函数满足对于任意的，都有，且时，，则的值为__________．三、解答题1.已知向量满足：，（1）求向量与的夹角为；（2）求2.设是二次函数，方程有两个相等的实根，且（1）求的表达式；（2）求的图像与两坐标轴所围成图形的面积3.已知在递增等差数列中，，是和的等比中项．（1）求数列的通项公式；（2）若，为数列的前项和，当对于任意的恒成立时，求实数的取值范围．4.中，角的对边分别为，且．（1）求角的大小；（2）若,求的面积．5.已知函数（1）当时，求函数的最小值和最大值；（2）设的内角的对应边分别为，且，若向量与向量共线，求的值．6.已知函数，．（1）求函数图像在处的切线方程；（2）证明：；（3）若不等式对于任意的均成立，求实数的取值范围．吉林高三高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.已知集合，集合为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，，当时，，当时，，，，故答案为C．【考点】集合间的基本运算．2.一个物体的运动方程为其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是（）A．米/秒B．米/秒C．米/秒D．米/秒【答案】C【解析】，物体在秒末的瞬时速度是米/秒，故答案为C．【考点】导数的几何意义．3.函数的零点为1，则实数的值为（）A．B．C．D．【解析】函数的零点为1，所以，得，故答案为B．【考点】函数零点的定义．4.设，则（）A．既是奇函数又是减函数B．既是奇函数又是增函数C．是有零点的减函数D．是没有零点的奇函数【答案】B【解析】函数的定义域为，关于原点对称，，因此函数是奇函数，不恒等于0，函数是增函数，故答案为B．【考点】函数的奇偶性和单调性．5.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数是定义在上的奇函数，，故答案为D．【考点】奇函数的应用．6.下列选项中，说法正确的是（）A．命题“，”的否定是“，”B．命题“为真”是命题“为真”的充分不必要条件C．命题“若，则”是假命题D．命题“在中中，若，则”的逆否命题为真命题【答案】C【解析】对应A，命题“，”的否定是“，”错误；对于B，当命题“为真”，可能一真一假，不一定是真命题，当是真命题时，都是真命题，此时为真，故命题“为真”是命题“为真”的必要不充分条件，错误；对于C，若，当时，与的大小关系不确定，假命题；对于D，“在中中，若，则或，假命题，命题的逆否命题也是假命题，故答案为C．【考点】命题的真假性．7.定积分的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由于故答案为A．【考点】定积分的计算．8.已知函数的图像在点处的切线方程是，若，则（）A．B．C．D．2【解析】由切线方程得，，由导数的几何意义得，，，故答案为A．【考点】1、导数的几何意义；2、导数的运算法则．9.若关于的不等式的解集是，关于的不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】关于的不等式的解集是，，得，，，，由于，，由穿根法得或，故答案为B．【考点】不等式的解法．10.若向量，则与一定满足（）A．与的夹角等于B．C．D．【答案】B【解析】，，，，故答案为B．【考点】平面向量数量积的性质．【方法点睛】本题考查平面向量数量积的性质应用，属于中档题，判断向量垂直的方法：①当向量与是坐标形式给出时，若证明，则只需证明；②当向量是非坐标形式时，要把8用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算证明；③数量积的运算中，是对非向量而言的，若，显然有，但不能说明．11.将函数的图象上所有的点向左平移个单位（纵坐标不变），则所得图象的解析式是（）A．B．C．8D．【答案】B【解析】将函数的图象上所有的点向左平移个单位（纵坐标不变）得到函数，故答案为B．【考点】三角函数的图象变换．【易错点睛】本题考查三角函数图象平移，属于简单题，本题学生得到错误答案，对于三角函数图象的平移问题，其平移变换规则是“左加右减”，并且在变换过程中只变换其中自变量，如果的系数不是1，就要把这个系数提取后1确定变换的单位和方向，另外，当两个函数的函数名不同时，首先将函数名称统一，其次把变换成，最后确定平移单位和方向．12.函数的所有零点之和等于（）A．4B．5C．6D．7【答案】B【解析】由，得，分别作出函数和的图象如图，两个函数图象都关于对称，由图象知，两个函数共有5个交点，其中是一个零点，另外4个零点关于点，设对称的两个点的横坐标分别为，，所以5个交点的横坐标之和，故答案为B．【考点】1、函数的零点；2、函数的图象．【方法点睛】本题主要考查函数交点个数以及数值的计算，根据函数图象的性质，利用数形结合是解决此类问题的关键，属于中档题，求函数零点的方法：①直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；②零点存在性定理：函数在上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象和性质才能确定函数有多少个零点；③利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画出两个函数图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．二、填空题1.已知，则．【答案】2【解析】，代入得．【考点】同角三角函数的基本关系．2.如图，圆内的余弦函数的图像与轴围成的区域记为(图中阴影部分)，随机向圆内投一个点，则点落在区域内的概率是．【答案】【解析】余弦函数的图象与轴围成的区域的面积为，圆的面积，根据几何概型的概率计算公式得点落在区域内的概率为．【考点】1、定积分的应用；2、几何概型．3.若实数满足,则目标函数的最大值是__________．【答案】2【解析】不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数表示点与连线的斜率，由图可知，【考点】线性规划的应用【方法点晴】本题主要考查的是利用线性规划求函数的最值，属于中档题．线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义表示的是点与连线的斜率，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误．4.已知定义在上的函数满足对于任意的，都有，且时，，则的值为__________．【答案】233【解析】由题意得，，，，将个式子相加得，即，【考点】累加求通项公式．【方法点睛】本题考查利用累加法求函数的解析式，从而求出函数值，属于中档题，本题所求的的不在范围内，利用，列出个式子然后相加求出，然后把转化为范围内，最后求解，解决本题的关键利用累加法求解析式，从而求出要求的函数值．三、解答题1.已知向量满足：，（1）求向量与的夹角为；（2）求【答案】（1）；（2）．【解析】（1）计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时注意数量积运算律的应用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用；（2）求向量夹角主要是应用向量的数量积公式求出向量夹角的余弦值，这里要注意向量夹角的取值范围，求向量的模的常用方法：利用公式，将模的运算转化为向量的数量积的运算．试题解析：（1）设向量与的夹角为，，，得，，（2）【考点】1、向量的夹角；2、向量的模．2.设是二次函数，方程有两个相等的实根，且（1）求的表达式；（2）求的图像与两坐标轴所围成图形的面积【答案】（1）；（2）．【解析】（1）二次函数解析式的求法：根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：①已知三个点坐标，宜选用一般式；②已知顶点坐标、对称轴、最大（小）值，宜选用顶点式；③已知图象与轴两交点的坐标，宜选用两根式；（2）用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数，此外如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加．试题解析：（1）由是二次函数且，则可设方程由两个相等的实根，，得到（2）由可知它的图像与轴交于，与轴交于记图像与两坐标轴所围成图形的面积为，则的图像与两坐标轴所围成图形的面积为．【考点】1、二次函数的解析式；2、定积分的应用．【方法点睛】本题考查求二次函数的解析式，利用定积分求平面图形的面积，属于中档题，利用定积分求曲线围成的面积的步骤：①画出图形；②确定被积函数；③确定积分的上、下限，并求出交点坐标；④运用微积分基本定理计算定积分，表示平面图形的面积，求解时，注意把定积分与利用定积分计算的曲线围成的面积区别开，定积分是一个数值，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正．3.已知在递增等差数列中，，是和的等比中项．（1）求数列的通项公式；（2）若，为数列的前项和，当对于任意的恒成立时，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）等差数列基本量的求解是等差数列的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用，一般方法是设出首项和公差，然后由通项公式和等差数列的前项和公式转化为方程（组）求解；（2）观测数列的特点形式，看使用什么方法求和．使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源和目的；（3）①恒成立，②恒成立．试题解析：（1）由为等差数列，设公差为，则，是和的等比中项，即，解得（舍）或，．（2），，因为对于任意的恒成立，．【考点】1、等差数列的通项公式；2、裂项相消法求和．【易错点睛】本题考查是等差数列的基本运算和裂项相消法求和，恒成立的问题等知识，属于中档题，使用裂项相消法求和的注意事项，①抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；②将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等，如数列是等差数列，则，．4.中，角的对边分别为，且．（1）求角的大小；（2）若,求的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围；（2）在三角形中，注意隐含条件；（3）解决三角形问题时，根据边角关系灵活的选用定理和公式，在解决三角形的问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来．试题解析：（1）由正弦定理得，，，所以，，即，，．【考点】1、正弦定理的应用；2、三角形的面积公式．5.已知函数（1）当时，求函数的最小值和最大值；（2）设的内角的对应边分别为，且，若向量与向量共线，求的值．【答案】（1）最大值为0，最小值为；（2），．【解析】（1）熟悉三角公式的整体结构，灵活变换，要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形，把形如化为，研究函数的性质；（2）求函数在区间上值域的一般步骤：第一步：三角函数式的化简，一般化成形如的形式，第二步：由的取值范围确定的取值范围，再确定的取值范围，第三步：求所给函数的值域（或最值）试题解析：（1）由已知得最大值为0，最小值为（2）由得由余弦定理的由，共线得，即．【考点】1、三角函数在闭区间上的最值；2、正弦定理的应用．6.已知函数，．（1）求函数图像在处的切线方程；（2）证明：；（3）若不等式对于任意的均成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．【解析】（1）利用导数的几何意义求曲线在点处的切线方程，注意这个点的切点,利用导数的几何意义求切线的斜率；（2）利用导数方法证明不等式在区间上恒成立的基本方法是构造函数，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数，其中一个重要的技巧就是找到函数在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口，观察式子的特点，找到特点证明不等式；（3）对于恒成立的问题，常用到两个结论：（1）恒成立，（2）恒成立．试题解析：（1），又由，得切线，即（2）设，则，令得．，即．（3），，．当时，；当时，，不满足不等式；当时，设，，令，得综上【考点】1、求切线方程；2、利用导数证明不等式；3、恒成立的问题．。