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2013年全国高中数学联赛一试试题一．填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。
1.设集合{}3,1,0,2=A ，集合{}A x A x x B ∉-∈-=22,，则集合B 中所有元素的和为2.在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 在抛物线x y 42=上，满足4-=⋅，F 是抛物线的焦点，则OFB OFA S S ∆∆⋅=3.在ABC ∆中，已知C B A C B A cos cos 10cos ,sin sin 10sin ⋅=⋅=，则A tan 的值为4.已知正三棱锥ABC P -的底面边长为1，高为2，则其内切球半径为5.设a 、b 为实数，函数b ax x f +=)(满足：对任意]1,0[∈x ，有1)(≤x f ，则ab 的最大值为6.从20,,2,1⋅⋅⋅中任取5个不同的数，其中至少有2个是相邻数的概率为7.若实数x ，y 满足y x y x -=-24，则x 的取值范围是8.已知数列{}n a 共有9项，其中191==a a ，且对每个{}8,,2,1⋅⋅⋅∈i 均有⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈+21,1,21i i a a ，则这样的数列的个数为二．解答题：本大题共3小题，共56分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
9.（本题满分16分）给定正数数列{}n x 满足,,3,2,21⋅⋅⋅=≥-n S S n n 这里n n x x S +⋅⋅⋅+=1. 证明：存在常数0>C ,使得⋅⋅⋅=⋅≥,2,1,2n C x n n10.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的方程为)0(12222>>=+b a by a x ， 21,A A 分别为椭圆的左、右顶点，21,F F 分别为椭圆的左右焦点，P 为椭圆上不同于1A 和2A 的任意一点.若平面中有两个点R Q ,满足22112211,,,PF RF PF RF PA QA PA QA ⊥⊥⊥⊥, 试确定线段QR 的长度与b 的大小关系，并给出证明。
2013全国高中数学联赛山东赛区预赛试题2013年9月7日 9:30——11:30一、填空题（本大题共10个小题，每小题8分）（1）函数4cos cos 2()y x x x R =+∈的值域是 ． （2）已知复数z 满足1z =，则21z z -+的最大值为 ． （3）如图，在ABC ∆中，点O 为BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB mAM =u u u r u u u u r ，AC nAN =u u u r u u u r ，则m n +的值为 ．（4）如果关于x 的不等式1x a x x +<++的解集是R ，则a 的取值范围是 ． （5）已知正数,,a b c 满足4a b abc +=，则a b c ++的最小值为 ．（6）对任意实数x ，恒有2log (sin cos )2a x x +≥-成立，则a 的取值范围是 ．（7）已知{,,,,}A B C a b c d e =U U ，{,,}A B a b c =I ，c A B C ∈I I ，则符合上述条件的{,,}A B C 共有 组． （8）已知函数()f x 定义在R 上，对任意的x R ∈，1(1006)2f x +=，且3(1005)4f -=，则(2013)f = ．（9）用五种不同颜色给三棱台ABC DEF -六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色，且每条棱的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有 种．（10）假设实数,b c 满足221b c +=，且()sin cos f x ax b x c x =++的图象上存在两条切线互相垂直，则a 的取值范围是 ．二、解答题（本大题共4题，共70分）（11）(本小题共15分)如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知1AD =,2AB =,1AA c =，若对角线1BD 上存在一点P 使得11PB PC ⊥，求c 的取值范围．NABCOMPA BCD1A 1B 1C 1D（12）（本小题共15分)已知椭圆22143x y +=的内接平行四边形的一组对边分别过椭圆的焦点12,F F ，求该平行四边形面积的最大值．（13）（本小题共20分)已知数列{}n a 满足：*1()n n S a n N =-∈，其中n S 为{}n a 的前n 项和．（Ⅰ）试求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设11111n n n c a a +=++-，数列{}n c 的前n 项和为n P ，求证：125n P n >-．（14）（本小题共20分)假设,,n a b 均为正整数，且n a b =+，p 是一素数，,,n a b 的p 进制表示分别为0sii i n n p==∑，s ii i a a p ==∑，0si i i b b p ==∑，其中0,,1,0,1,2,,i i i n a b p i s ≤≤-=L ，证明：（Ⅰ）若0,0,0,1,2,,sii i i n d p d i s ==≥=∑L ，且对整数(0)j j s ≤≤，(1)i ii i j i jd p p p <<≤-∑∑，则1[]si i j i j n d p p -==∑，这里[]x 表示不超过x 的最大整数． （Ⅱ）!!!n p a b β，1!{,0,1,2,,}!!i i i n p i a b n i s a b ββ+/⇔=+>=L ∣，这里A 表示集合A 中元素的个数．。
2013年全国高中数学联赛模拟卷(1)第一试(考试时间：80分钟 满分：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1. 函数1cos sin 1cos sin ++-=x x x x y 的值域是___________2. 设a , b , c 为RT △ACB 的三边长, 点(m , n )在直线ax +by +c =0上. 则m 2+n 2的最小值是___________3. 若N n ∈，且92422--+n n 为正整数，则.________=n4. 掷6次骰子, 令第i 次得到的数为i a , 若存在正整数k 使得61=∑=ki ia的概率mnp =，其中n m ,是互质的正整数. 则n m 76log log -= .5. 已知点P 在曲线y =e x 上，点Q 在曲线y =lnx 上，则PQ 的最小值是_______6. 已知多项式f (x )满足：222(3)2(35)61017()f x x f x x x x x R +++-+=-+∈, 则(2011)f =_________7. 四面体OABC 中, 已知∠AOB =450,∠AOC =∠BOC =300, 则二面角A －OC －B 的平面角α的余弦值是__________ 8. 设向量)cos sin ,cos sin 2(),,3(θθθθβαa a x x +=+=满足对任意R x ∈和θ∈[0, π2],2||≥+βα恒成立. 则实数a 的取值范围是________________.二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）9．设数列{}n a 满足0a N +∈,211n n n a a a +=+.求证：当1200+≤≤a n 时,n a a n -=0][. (其中[]x 表示不超过x 的最大整数)．10. 过点)3,2(作动直线l 交椭圆1422=+y x 于两个不同的点Q P ,，过Q P ,作椭圆的切线， 两条切线的交点为M ， ⑴ 求点M 的轨迹方程；⑵ 设O 为坐标原点，当四边形POQM 的面积为4时，求直线l 的方程.11. 若a 、b 、c R +∈，且满足22)4()(c b a b a cb a kabc++++≤++，求k 的最大值。
2013年全国高中数学联赛一试试题一．填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。
1.设集合{}3,1,0,2=A ，集合{}A x A x xB ∉-∈-=22,，则集合B 中所有元素的和为 2.在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 在抛物线x y 42=上，满足4-=⋅OB OA ，F 是抛物线的焦点，则OFB OFA S S ∆∆⋅=3.在ABC ∆中，已知C B A C B A cos cos 10cos ,sin sin 10sin ⋅=⋅=，则A tan 的值为4.已知正三棱锥ABC P -的底面边长为1，高为2，则其内切球半径为5.设a 、b 为实数，函数b ax x f +=)(满足：对任意]1,0[∈x ，有1)(≤x f ，则ab 的最大值为6.从20,,2,1⋅⋅⋅中任取5个不同的数，其中至少有2个是相邻数的概率为7.若实数x ，y 满足y x y x -=-24，则x 的取值范围是8.已知数列{}n a 共有9项，其中191==a a ，且对每个{}8,,2,1⋅⋅⋅∈i 均有⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈+21,1,21i i a a ，则这样的数列的个数为二．解答题：本大题共3小题，共56分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
9.（本题满分16分）给定正数数列{}n x 满足,,3,2,21⋅⋅⋅=≥-n S S n n 这里n n x x S +⋅⋅⋅+=1. 证明：存在常数0>C ,使得⋅⋅⋅=⋅≥,2,1,2n C x n n10.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的方程为)0(12222>>=+b a by a x ，21,A A 分别为椭圆的左、右顶点，21,F F 分别为椭圆的左右焦点，P 为椭圆上不同于1A 和2A 的任意一点.若平面中有两个点R Q ,满足22112211,,,PF RF PF RF PA QA PA QA ⊥⊥⊥⊥, 试确定线段QR 的长度与b 的大小关系，并给出证明。
2013年全国高中数学联赛江西省预赛试题及参考答案一、填空题（每题8分）1、若2013的每个质因子都是某个正整数等差数列{}n a 中的项，则2013a 的最大值是 ．2、若,,0a b c >，1231a b c++=，则23a b c ++的最小值为 ． 3、若123!12!3!4!(1)!n nS n n ⎛⎫=⋅++++- ⎪+⎝⎭ ，则2013S = ．4、如果一个正方体X 与一个正四面体Y 的表面面积（各面面积之和）相等，则其体积之比xyV V = ． 5、若椭圆中心到焦点，到长、短轴端点，以及到准线距离皆为正整数，则这四个距离之和的最小值是 ．6、函数()f x = ．7、设合数k 满足：1100k <<，而k 的数字和为质数，就称合数k 为“山寨质数”，则这种“山寨质数”的个数是 ．8、将集合{}1,2,3,4,5,6,7,8中的元素作全排列，使得除了最左端的一个数之外，对于其余的每个数n ，在n 的左边某个位置上总有一个数与n 之差的绝对值为1，那么，满足条件的排列个数为 ．9、（20分）设直线1x y +=与抛物线22(0)y px p =>交于点,A B ，若OA OB ⊥，求抛物线方程以及OAB ∆的面积．10、（20分）如图，四边形ABCD 中，,E F 分别是,AD BC 的中点，P 是对角线BD 上的一点；直线,EP PF 分别交,AB DC 的延长线于,M N ．证明：线段MN 被直线EF 所平分． 11、（20分）在非钝角三角形ABC 中，证明：sin sin sin 2A B C ++>．12、（26分）试确定，是否存在这样的正整数数列{}n a ，满足：20132013a =，且对每个{}2,3,,2013k ∈ ，皆有120k k a a --=或13；而其各项122013,,,a a a 的值恰好构成1,2,,2013 的一个排列？证明你的结论．1、答案：4027．解：201331161=⨯⨯，若3,11,61皆是某正整数等差数列中的项，则公差d 应是1138-=与61358-=的公因数，为使2013a 取得最大，则其首项1a 和公差d 都应取尽可能大的数，于是13,2a d ==，所以2013a 的最大值是320124027d +=．2、答案：36．解：据柯西不等式，()()2123232312336a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++≥++= ⎪⎝⎭． 3、答案：12014-． 解：因(1)111(1)!(1)!!(1)!k k k k k k +-==-+++，则123112131(1)1112!3!4!(1)!1!2!3!(1)!(1)!n n n n n ---+-++++=++++=-+++ 所以，11!11(1)!1n S n n n ⎡⎤⎛⎫=--=-⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦，故201312014S =-． 4解：记表面面积为12（平方单位），则正方体每个面的面积为2322x V =；正四面体每个面的面积为3，设其边长为a23=，得1423a =⋅； 于是312423y V -=⋅，因此143xyV V ==5、答案：61．解：设椭圆方程为22221x y a b +=，0a b >>，椭圆中心O 到长、短轴端点距离为,a b ，到焦点距离c 满足：222c a b =-，到准线距离d 满足：2a d c=，由于,,a b c 组成勾股数，满足20a ≤的勾股数组有{}{}{}{}{}{},,3,4,5,6,8,10,9,12,15,12,16,20,5,12,13,a b c =以及{}8,15,17，其中只有215259=与2202516=，而(,,,)(15,12,9,25)a b c d =使得 a b c d +++的值为最小，这时有61a b c d +++=．6、答案：[1,2]．解：()f x =[2,3]，故可设22sin (0)2x παα=+≤≤，则()cos 2sin()6f x πααα==+=+，而2663πππα≤+≤，这时1sin()126πα≤+≤，因此12f ≤≤．7、答案：23个． 解：用()S k 表示k 的数字和；而()M p 表示山寨为质数p 的合数的集合．当99k ≤时，()18S k ≤，不大于18的质数共有7个，它们是：2,3,5,7,11,13,17，山寨为2的合数有{}(2)20M =，而{}{}{}(3)12,21,30,(5)14,32,50,(7)16,25,34,52,70M M M ===； {}(11)38,56,65,74,92M =，{}(13)49,58,76,85,94M =，{}(17)98M =；共得23个山寨质数．8、答案：128．（即72个）．解：设对于适合条件的某一排列，排在左边的第一个元素为k ，(18)k ≤≤，则在其余7个数中，大于k 的8k -个数1,2,,8k k ++ ，必定按递增的顺序排列；而小于k 的1k -个数1,2,,1k - ，必定按递降的顺序排列（位置不一定相邻）事实上，对于任一个大于k 的数k n +，设8k n +<，如果1k n ++排在k n +的左边， 则与1k n ++相差1的另一数2k n ++就必须排在1k n ++的左边；同样，与2k n ++相差1的另一数3k n ++又必须排在2k n ++的左边；…，那么，该排列的第二个数不可能与k 相差1，矛盾！因此1k n ++必定排在k n +的右边．用类似的说法可得，小于k 的1k -个数1,2,,1k - ，必定按递降的顺序排列；由于当排在左边的第一个元素k 确定后，右边还有7个空位，从中任选8k -个位置填写大于k 的数，（其余1k -个位置则填写小于k 的数），选法种数为87kC -；而当位置选定后，则填数方法随之唯一确定，因此所有排法种数为87877712kj k k CC -====∑∑．二、解答题9、解：设交点1122(,),(,)A x y B x y ，由22y px =与1x y +=，得2220y py p +-=，故有111x p y p =+=-以及221x p y p =+=-因OA OB ⊥，即0OA OB ⋅=，所以12120x x y y +=，即2222(1)(2)(2)0p p p p p p ⎡⎤⎡⎤+-++-+=⎣⎦⎣⎦，化简得120p -=，因此抛物线方程为2y x =，从而交点,A B坐标为：,A B ⎝⎭⎝⎭，222222112255OA x y OB x y =+=-=+=+，因此12OAB S OA OB ∆=⋅=． 10、证：设EF 交MN 于G ，直线EF 截PMN ∆，则1NG ME PFGM EP FN⋅⋅=；为证G 是线段MN 的中点，只要证，PF PENF ME= … ①， 直线AB 截PDE ∆， 得1PM EA DB ME AD BP ⋅⋅=，即2MP BPME BD = … ②， 直线CD 截PBF ∆，则有1PN FC BDNF CB DP⋅⋅=， 即2NP PD NF BD= … ③， ②③相加得2MP NP ME NF +=，即11NP MP NF ME -=-，也即PF PENF ME=，因此结论得证．11、证一：sin sin sin 2sin sin sin()A B C A B A B ++-=+++2222(sin cos )(sin cos )A A B B -+-+22sin (1sin )sin (1sin )sin()(cos cos )A A B B A B A B =-+-++-+G PN MF ED C B Asin (1sin )sin (1sin )cos (sin cos )cos (sin cos )0A A B B B A B A B A =-+-+-+->．这里用到，在非钝角三角形ABC 中，任两个内角之和不小于090，所以由090A B +≥，得0090,90A B B A ≥-≥-，因此0sin sin(90)cos B A A ≥-=，同理sin cos ,A B ≥ 而1sin A -，1sin B -不能同时为0．从而结论得证．证二：sin sin sin 2sin sin sin()2sin()22A B CA B C A B A B +++-=+++-+ 2sincos 2sin cos 2sin cos 2cos sin 22222222A B A B A B A B A B C A B C+-++++=+--2sin(cos cos )2cos (sin sin )222222A B A B C A B A B C+-++=-+- 4sin sin sin 2cos (cos sin )0222222A B A C B B C A A B C C ++-+-+=+->；（这是由于，锐角三角形ABC ∆中，任两个内角之和大于090，而任一个半角小于045；）所以 sin sin sin 2A B C ++>． 证三：令tan,tan ,tan 222A B Cx y z ===，则1xy yz zx ++=，且 222222sin ,sin ,sin 111x y z A B C x y z===+++； 即要证2222222111x y zx y z++>+++ … ①，因为 21()()x x y x z +=++， 221()(),1()()y y x y z z z x z y +=+++=++，故①式即42()()()x y y z x z >+++，也即()()()2x y y z x z +++<，即 2x y z xyz ++-<… ②而因,,(0,]2224A B C π∈，故,,(0,1]x y z ∈，所以(1)(1)(1)0x y z ---≥， 即 1()()0x y z xy yz xz xyz -+++++-≥． 此式即为 2x y z xyz +++≤ … ③由③立知②式成立（③式强于②式），因此命题得证．12、解：存在．由于201333+=，而332013，（即有20133361=⨯）；我们注意到，“差”运算具有“平移性”，即是说，如果120k k a a --=或13，那么，对任何整数c ，也有1()()20k k a c a c -+-+=或13；为此，先将集合{}1,2,,33 中的数排成一个圈，使得圈上任何相邻两数之差皆为20或13，如图所示．将此圈从任一间隙处剪开，铺成的线状排列1233,,,a a a ，都满足120k k a a --=或13，为将数列锁定，在前面添加一项00a =，使数列01233,,,,a a a a 也满足条件，我们可选择与数33相邻的一个间隙剪开；例如从33右侧间隙剪开，并按顺时针排列，就成为：0；13,26,6,19,32,12,25,5,18,31,11,24,4,17,30,10,23,3,16,29,9,22,2,15，28,8,21,1,14,27,7,20,33；若从33左侧间隙剪开，并按逆时针排列，则成为：0；20,7,27,14,,6,26,13,33 ； 这两种排列都满足120k k a a --=或13；记分段数列0(13,26,6,19,32,12,25,5,18,31,11,24,4,17,30,10,23,3,16,29M =，9,22,2,15,28,8,21,1,14,27,7,20,33)1233(,,,)a a a = ，而分段数列13323333331233(,,)(33,33,,33)k k k k M a a a a k a k a k +++==+++ ，1,2,,60k = ，将这些段作如下连接：01600,,,,M M M ，所得到的数列0122013,,,,a a a a 满足条件． 因为，20133333603333603333602013a a a +⨯==+⨯=+⨯=；对其中任意两个邻项1,k k a a -，若1,k k a a -属于同一个分段，显然有120k k a a --=或13；若相邻项1,k k a a -属于两个相邻段n M 与1n M +，则k a 是1n M +的首项：即133(1)1333(1)k a a n n =++=++，而1k a -是n M 的末项，即133333333k a a n n -=+=+，这时有[][]11333(1)333313k k a a n n --=++-+=，并且1013a a -=，因此，数列122013,,,a a a 满足条件．114277203313266193212255183111244173010233162992221528821。
2013年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．1. 设集合{2,0,1,3}A ，集合2{|,2}B x x A x A ．则集合B 中所有元素的和为 ．答案 5−．解 易知{2,0,1,3}B ．当2,3x 时，222,7x ，有22x A ；而当0,1x 时，222,1x ，有22x A ．因此，根据B 的定义可知{2,3}B ． 所以，集合B 中所有元素的和为5−．2. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 在抛物线24y x 上，满足4OA OB ，F 是抛物线的焦点. 则OFA OFB S S ．答案 2．解 点F 坐标为(1,0)．设1122(,),(,)A x y B x y ，则221212,44y y x x ，故21212121214()16OA OB x x y y y y y y ，即2121(8)016y y ，故128y y ． 21212111()2224OFA OFB S S OF y OF y OF y y =（）． 3. 在ABC 中，已知sin 10sin sin ,A B C cos 10cos cos ,A B C 则tan A 的值为 ．答案 11．解 由于sin cos 10(sin sin cos cos )10cos()10cos A A B C B C B C A ，所以sin 11cos A A ，故tan 11A ．4. 已知正三棱锥P ABC 底面边长为1，高为，则其内切球半径为 ．答案解 如图，设球心O 在面ABC 与面ABP 内的射影分别为H 和K ，AB 中点为M ，内切球半径为r ，则P 、K 、M 共线，P 、O 、H 共线，2PHM PKO ，且,OH OK r PO PH OH r ，MH ABPM ， 于是有1sin5OK MH KPO POPM ，解得r． 5. 设,a b 为实数，函数()f x ax b 满足：对任意[0,1]x ，有()1f x . 则ab 的最大值为 ．答案14． 解 易知(1)(0),(0)a f f b f ，则2221111(0)((1)(0))(0)(1)(1)(1)2444ab f f f f f f f ． 当2(0)(1)1f f ，即12a b 时，14ab ．故ab 的最大值为14． 6. 从1,2,,20 中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为 ．答案 232323．解 设12345a a a a a <<<<取自1,2，…，20，若12345,,,,a a a a a 互不相邻，则123451123416a a a a a ≤<−<−<−<−≤，由此知从1,2,,20 中取5个互不相邻的数的选法与从1,2,,16 中取5个不同的数的选法相同，即516C 种．所以，从1,2,,20 中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为5552016165520202321323C C C C C −=−=． 7. 若实数,x y满足x ，则x 的取值范围是 ． 答案 {0}[4,20] ． 解,(,0)a b a b ，此时22()x y x y a b ，且条件中等式化为2242a b a b ，从而,a b 满足方程22(2)(1)5a b (,0)a b ．如图所示，在aOb 平面内，点(,)a b 的轨迹是以(1,2)为,0a b 的部分，即点O 与弧 ACB 的02, ，从而 2204,20x a b ． 8. 已知数列{}n a 共有9项，其中191a a ，且对每个{1,2,,8}i ，均有112,1,2i i a a，则这样的数列的个数为 ． 答案 491． 解 令1(18)i i ia b i a，则对每个符合条件的数列{}n a ，有 88191111i i i i ia ab a a，且12,1,(18)2i b i ． ① 反之，由符合条件①的8项数列{}n b 可唯一确定一个符合题设条件的9项数列{}n a ．记符合条件①的数列{}n b 的个数为N ．显然(18)i b i 中有偶数个12，即2k 个12；继而有2k 个2，84k 个1．当给定k 时，{}n b 的取法有22882C C k kk 种，易见k 的可能值只有0,1,2，所以224486841C C C C 12815701491N ．因此，根据对应原理，符合条件的数列{}n a 的个数为491．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）给定正数数列{}n x 满足12,2,3,n n S S n −≥= ，这里1n n S x x =++ ．证明：存在常数0C >，使得2,1,2,n n x C n ≥⋅=． 解 当2n ≥时，12n n S S −≥等价于11n n x x x −≥++ ． ① …………………4分对常数114C x =，用数学归纳法证明： 2,1,2,n n x C n ≥⋅= ． ②……………………8分1n =时结论显然成立．又2212x x C ≥=⋅．对3n ≥，假设2,1,2,,1kk x C k n ≥⋅=− ，则由①式知()121n n x x x x −≥+++()21122n x C C −≥+⋅++⋅()223122222n n C C −=++++=⋅ ，所以，由数学归纳法知，②式成立．…………………16分10.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的方程为22221(0)x y a b a b ，1A 、2A 分别为椭圆的左、右顶点，1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上不同于1A 和2A 的任意一点．若平面中两个点Q 、R 满足11QA PA ，22QA PA ，11RF PF ，22RF PF ，试确定线段QR 的长度与b 的大小关系，并给出证明．解 令c ，则1212(,0),(,0),(,0),(,0)A a A a F c F c ．设001122(,),(,),(,)P x y Q x y R x y ，其中22000221,0x y y a b．由1122,QA PA QA PA 可知111010()()0A Q A P x a x a y y，① 221010()()0A Q A P x a x a y y． ②…………………5分将①、②相减，得102()0a x x ，即10x x ，将其代入①，得220100x a y y ，故22010x a y y ，于是22000,x a Q x y ． …………………10分 根据1122,RF PF RF PF ，同理可得22000,x c R x y． …………………15分 因此2222200000x a x c b QR y y y ，由于0(0,]y b ，故QR b （其中等号成立的充分必要条件是0y b ，即点(0,)P b 为 ）． …………………20分 11. （本题满分20分）求所有的正实数对(,)a b ，使得函数2()f x ax b 满足：对任意实数,x y ，有()()()()f xy f x y f x f y ．解 已知条件可转化为：对任意实数,x y ，有22222()(())()()ax y b a x y b ax b ay b ． ①先寻找,a b 所满足的必要条件．在①式中令0y ，得22()()b ax b ax b b ，即对任意实数x ，有2(1)(2)0b ax b b ．由于0a ，故2ax 可取到任意大的正值，因此必有10b ，即01b ． …………………5分在①式中再令y x ，得422()()ax b b ax b ，即对任意实数x ，有2422()2(2)0a a x abx b b ． ②将②的左边记为()g x ．显然20a a （否则，由0a 可知1a ，此时22()2(2)g x bx b b ，其中0b ，故()g x 可取到负值，矛盾），于是 2222222()()()(2)ab ab g x a a x b b a a a a 222()(22)11b b a a x a b a a0 对一切实数x 成立，从而必有20a a ，即01a ． …………………10分进一步，考虑到此时01b a ，再根据(22)01b g a b a，可得22a b ．至此，求得,a b 满足的必要条件如下：01b ，01a ，22a b ． ③…………………15分下面证明，对满足③的任意实数对(,)a b 以及任意实数,x y ，总有①成立，即222222(,)()(1)()2(2)h x y a a x y a b x y axy b b对任意,x y 取非负值．事实上，在③成立时，有2(1)0,0a b a a ，(22)01ba b a，再结合222x y xy ，可得2222(,)()(1)(2)2(2)h x y a a x y a b xy axy b b2222()2(2)a a x y abxy b b22()(22)11b b a a xy a b a a0 ． 综上所述，所求的正实数对(,)a b 全体为{(,)|01,01,22}a b b a a b ． …………………20分。
2013年全国高中数学联赛山东赛区预赛参考答案及评分标准一、填空题（本大题共10个小题，每小题8分，共80分）1．函数()4cos cos2y x x x R =+∈值域是____________________． 【解析】令[]cos 1,1t x =∈-，则()[]22133,5y t =+-∈-．2．已知复数z 满足1z =，则21z z -+的最大值是____________________．【解析】令cos sin z i θθ=+，由1z =得：1z z =， 故22112cos 13z z z z z z z z z θ-+=-+=-+=-≤，当且仅当cos 1θ=-即1z =-时取等号，因此21z z -+的最大值是3．【法二】2221313132424z z z z ⎛⎫⎛⎫-+=-+≤-+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当1z =-时取等号，故21z z -+的最大值是3．3．如图，在⊿ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点,M N ，,AB mAM AC nAN ==，则m n +的值是____________________．【解析】()1222m nAO AB AC AM AN =+=+， 由M 、O 、N 三点共线得：122m n+=，∴2m n +=．【法二】直线MON 是⊿ABC 的割线，由梅涅劳斯定理得：1AM BO CNMB OC NA=，即111n m -=-，∴2m n +=． 4．如果关于x 的不等式1x a x x +<++的解集是R ，则实数a 的取值范围是____________________． 【解析】令0x =时，有1a <即11a -<<；令1x =-时，有11a -+<即02a <<，故0a <<1；当0a <<1时，{}max ,1x a x x +<+，故1x a x x +<++总成立，ONMCBA因此实数a 的取值范围是()0,1．5．已知正数,,a b c 满足4a b abc +=，则a b c ++的最小值是____________________． 【解析】由已知得：14c a b =+，故146a b c a b a b++=+++≥， 当且仅当1,2a b ==时取等号，因此a b c ++的最小值是6．6．已知对x R ∀∈，()2log sin cos 2a x x +≥-恒成立，则实数a 的取值范围是____________________．【解析】当1a >时，有222sin 41x a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥，由于函数22sin 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭无上界，故不可能恒成立， 当01a <<时，有222sin 41x a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤，若222sin 41x a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤恒成立，则212a ≤，∴02a <≤， 综上，实数a的取值范围是0,2⎛ ⎝⎦． 7．已知{}{},,,,,,,AB C a b c d e A B a b c ==，c A B C ∈，则符合上述条件的{},,A B C 共有____________________组．【解析】如右图，集合AB C 可分为7个互不相交的区域，分别记为1234567,,,,,,I I I I I I I ．已知7c I ∈，元素,a b 属于4I 、7I 中的某一个区域，共有4种可能，元素,d e 属于1I 、2I 、3I 、5I 、6I 中的某一个区域，各有5种可能，共有25种可能， 因此符合条件的{},,A B C 共有100组．8．已知函数()f x ，对x R ∀∈，有()()131********4f x f +=-=， 则()2013f =____________________．【解析】由已知得：()()11110051006224f f =-+=+， ()()1310071100624f f =+=+=， I7I 6I 5I 4I 3I 2I 1()()112013*********2f f =+==+． 9．用五种不同颜色给三棱台ABC DEF -六个顶点涂色， 要求每个点涂一种颜色，且每条棱的两个端点涂不同颜色， 则不同的涂色方法有____________________种． 【解析】当六个顶点使用三种颜色涂满时，A 、B 、C 三点的涂色方法共有3560A =种，这时，点D 、E 、F 只有两种涂色方法， 故共有352120A ⨯=种涂色方法；当六个顶点使用四种颜色涂满时，A 、B 、C 、D 三点的涂色方法共有45120A =种，这时，点E 、F 只有三种涂色方法，故共有453360A ⨯=种涂色方法；当六个顶点使用五种颜色涂色涂完时，先用五种颜色涂不同的五点的涂色方法有56720A =种，这时，余下的那一点只有两种涂色方法，共有5621440A ⨯=种涂色方法；综上知，满足题意的所有不同的涂色方法共有1920种．10．假设实数,b c 满足221b c +=，且()sin cos f x ax b x c x =++的图像上存在两条切线垂直，则实数a 的取值范围是____________________．【解析】由已知得：()()()sin f x ax x ax x φφ=+=++，()()'cos f x a x φ=++，其中sin ,cos c b φφ==，若()sin cos f x ax b x c x =++的图像上存在两条切线垂直，则存在实数12,x x 使得：()()12cos cos 1a x a x φφ++++=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，（*） 即()()()()21212cos cos cos cos 10a a x x x x φφφφ++++++++=⎡⎤⎣⎦，从而()()212cos cos 40x x φφ∆=+-+-≥⎡⎤⎣⎦，∴()()12cos cos 2x x φφ+-+≥， 又()()12cos 1,cos 1x x φφ+≤+≤，∴()()12cos cos 2x x φφ+-+≤， 故()()()()1212cos cos ,cos cos 1x x x x φφφφ+=-+++=-， 于是（*）式化为20a =，解得0a =，因此实数a 的取值范围是{}0．DABECF二、解答题（本大题共4个小题，前两个小题各15分，后两个小题各20分，共70分） 11．（本小题满分15分）如图所示， 在长方体1111ABCD A BC D -中， 已知11,2,AD AB AA c ===，若对角线1BD 上存在一点P 使得11PB PC ⊥， 求实数c 的取值范围．【解析】以点D 为原点，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴的正向，建立空间直角坐标系．则()()()()1111,2,0,1,2,,0,2,,0,0,B B c C c D c ，设()11,2,D P D B c λλλλ==-， 则()()11,22,,1,22,PC c PB c λλλλλλ=--=--，∴()()()()222211122940PC PB c c λλλλλλ=--+-+=+5-+=，由()2281161160c c ∆=-+5=-≥，解得：104c <≤，因此实数c 的取值范围是10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦． 12．（本小题满分15分）已知椭圆22143x y +=的内接平行四边形的一组对边分别过椭圆的焦点12,F F ， 求该平行四边形面积的最大值．【解析】由已知得：122FF =，如图所示， 由于四边形ABCD 是椭圆的内接四边形， 所以原点O 是其对称中心，且122ABCDABF F SS =四边形()()121121222AF F AF B AF F BF F S S S S ∆∆∆∆=+=+()122A B A D F F y y y y =+=-，当直线AD 的斜率存在时，设其方程为()1y k x =-，代入椭圆方程，整理得：()2222344120k x k x k +-+-=，由韦达定理得：22228412,3434A D A D k k x x x x k k-+==++，∴()()()()()2222222221441434A D A D A D A D k k y y kx x k x x x x k +⎡⎤-=-=+-=⎣⎦+，∴26ABCDA D Sy y =-==<，当直线AD 的斜率不存在时，易得：331,,1,22A D ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴26ABCDA D S y y =-=，综上知，符合条件的椭圆内接四边形面积的最大值是6． 【法二】求出()2212134k AD k+=+，再求出AD与BC 间的距离d =，亦可解出．13．（本小题满分20分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()1*n n S a n N =-∈． ⑴ 试求数列{}n a 的通项公式； ⑵ 设11111n n n c a a +=++-，求证：列{}n c 的前n 项和125n P n >-． 【解析】⑴ ∵()1*n n S a n N =-∈，∴111n n S a ++=-，作差得：()11*2n n a a n N +=∈， 又当1n =时，112a =，故()1*2n n a n N =∈． ⑵ 由已知得：当1n =时，11225P =>-，结论成立， 当2n ≥时，12231111111111111n n n P a a a a a a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪⎪+-+-+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1221221121111112112111111311ni n n n i n a a a a a a a =++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++=++ ⎪ ⎪ ⎪+-+-+---⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ 111222422112213412134121i n n ni n i n i i +++==⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+++1+ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑ ()()212221221212112341213415n n n n +⎛⎫≥+-++1+>+-++=- ⎪---⎝⎭，结论也成立， 综上知，对*n N ∀∈，125n P n >-都成立．14．（本小题满分20分）已知,,n a b 均为正整数，且n a b =+，p 是一素数，,,n a b 的p 进制表示分别为0s s siiiiiii i i n n p a a p b b p====,=,=∑∑∑，其中0,,1,0,1,2,,i i i n a b p i s ≤≤-=，用[]x 表示不超过x 的最大整数，用A 表示集合A 中元素的个数，证明：⑴ 若00,0,1,2,,si i ii n d p di s ==,≥=∑，且对整数()0j j s ≤≤有()1i i i i ji jd p p p <<≤-∑∑，则()1s i j ii j i ji j n d p p p p -=<⎡⎤=≤-⎢⎥⎣⎦∑∑；⑵ p β!!!n a b ，1p β+!!!n a b {},0,1,2,,i i i i a b n i s β⇔=+>=．【证明】⑴ ∵()()()12111jj j p p pp p p p p --=-+-++-+，∴()11j i i jp p p <-=-∑，∴()()()111iiiijijiiii i j i ji j i ji ji ji jjjjji jd p d p p p d p pd p p nd p p p p p p <=<==-=+-+-+-=≤==+∑∑∑∑∑∑，∴i j i j i jn d p p -=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑． ⑵ 不会做．。
