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数 学K 单元 概率 K1 随事件的概率13．K1 甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．13.13 甲有3种选法，乙也有3种选法，所以他们共有9种不同的选法．若他们选择同一种颜色，则有3种选法，所以其对应的概率P ＝39＝13.13．K1 将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．13.23 2本数学书记为数1，数2，3本书共有(数1数2语)，(数1语数2)，(数2数1语)，(数2语数1)，(语数1数2)，(语数2数1)6种不同的排法，其中2本数学书相邻的排法有4种，对应的概率为P ＝46＝23.14．K1 在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是________．14.13 基本事件的总数为3×2＝6，甲、乙两人各抽取一张奖券，两人都中奖只有2种情况，所以两人都中奖的概率P ＝26＝13.19．K1 某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．19．解：(1)设A 表示事件“赔付金额为3000元”，B 表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得P (A )＝1501000＝0.15，P (B )＝1201000＝0.12. 由于投保金额为2800元，所以赔付金额大于投保金额的概率为P (A )＋P (B )＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C 表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，得样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000＝100(辆)，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为24100＝0.24.由频率估计概率得P (C )＝0.24.16．K1、K2 一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c .(1)求“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率； (2)求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率． 16．解：(1)由题意，(a ，b ，c )所有的可能为：(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”为事件A ， 则事件A 包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种， 所以P (A )＝327＝19.因此，“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率为19.(2)设“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”为事件B ， 则事件B 包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种． 所以P (B )＝1－P (B )＝1－327＝89.因此，“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率为89.K2 古典概型20．I2，K2 根据世行2013年新标准，人均GDP 低于1035美元为低收入国家；人均GDP 为1035～4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP 为4085～12 616美元为中等偏上收入国家；人均GDP 不低于12 616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP 如下表：(1)判断该城市人均GDP 是否达到中等偏上收入国家标准；(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率．20．解：(1)设该城市人口总数为a ，则该城市人均GDP 为8000×0.25a ＋4000×0.30a ＋6000×0.15a ＋3000×0.10a ＋10 000×0.20aa＝6400(美元)．因为6400∈ 从字母a ，b ，c ，d ，e 中任取两个不同字母，则取到字母a 的概率为________． 12.25所有事件有(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，e )，共10个，其中含有字母a 的基本事件有(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，共4个，所以所求事件的概率是P ＝410＝25.5．K2 随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p 1，点数之和大于5的概率记为p 2，点数之和为偶数的概率记为p 3，则( )A ．p 1＜p 2＜p 3B ．p 2＜p 1＜p 3C ．p 1＜p 3＜p 2D ．p 3＜p 1＜p 25．C 掷出两枚骰子，它们向上的点数的所有可能情况如下表：则p 1＝1036，p 2＝2636，p 3＝36.故p 1<p 3<p 2.故选C.17．I2、K2 某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )．其中a ，a 分别表示甲组研发成功和失败；b ，b 分别表示乙组研发成功和失败． (1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分．试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平．(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率． 17．解：(1)甲组研发新产品的成绩为1，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，1，0，1， 其平均数为x 甲＝1015＝23，方差为s 2甲＝115⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－232×5＝29. 乙组研发新产品的成绩为1，0，1，1，0，1，1，0，1，0，0，1，0，1，1， 其平均数为x 乙＝915＝35，方差为s 2乙＝115⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－352×9＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－352×6＝625. 因为x 甲＞x 乙，s 2甲＜s 2乙，所以甲组的研发水平优于乙组． (2)记E ＝{恰有一组研发成功}．在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，共7个，故事件E 发生的频率为715.将频率视为概率，即得所求概率为P (E )＝715.4．K2 从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是________．4.13 基本事件有(1，2)，(1，3)(1，6)，(2，3)，(2，6)，(3，6)，共6种情况，乘积为6的是(1，6)和(2，3)，则所求事件的概率为13.3．K2 掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于( ) A.118 B.19 C.16 D.1123．B 掷两颗均匀的骰子，一共有36种情况，点数之和为5的有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4种，所以点数之和为5的概率为436＝19.21．K2、B1、B12 将连续正整数1，2，…，n (n ∈N *)从小到大排列构成一个数123…n ，F (n )为这个数的位数(如n ＝12时，此数为123456789101112，共有15个数字，F (12)＝15)，现从这个数中随机取一个数字，p (n )为恰好取到0的概率．(1)求p (100)；(2)当n ≤2014时，求F (n )的表达式；(3)令g (n )为这个数中数字0的个数，f (n )为这个数中数字9的个数，h (n )＝f (n )－g (n )，S ＝{n |h (n )＝1，n ≤100，n ∈N *}，求当n ∈S 时p (n )的最大值．21．解：(1)当n ＝100时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以恰好取到0的概率为p (100)＝11192.(2)F (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，1≤n ≤9，2n －9，10≤n ≤99，3n －108，100≤n ≤999，4n －1107，1000≤n ≤2014.(3)当n ＝b (1≤b ≤9，b ∈N *)，g (n )＝0；当n ＝10k ＋b (1≤k ≤9，0≤b ≤9，k ∈N *，b ∈N )时，g (n )＝k ； 当n ＝100时，g (n )＝11，即g (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n ≤9，k ，n ＝10k ＋b ，11，n ＝100.1≤k ≤9，0≤b ≤9，k ∈N *，b ∈N ， 同理有f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n ≤8，k ，n ＝10k ＋b －1，1≤k ≤8，0≤b ≤9，k ∈N *，b ∈N ，n －80，89≤n ≤98，20，n ＝99，100.由h (n )＝f (n )－g (n )＝1，可知n ＝9，19，29，39，49，59，69，79，89，90， 所以当n ≤100时，S ＝{9，19，29，39，49，59，69，79，89，90}．当n ＝9时，p (9)＝0. 当n ＝90时，p (90)＝g （90）F （90）＝9171＝119.当n ＝10k ＋9(1≤k ≤8，k ∈N *)时，p (n )＝g （n ）F （n ）＝k 2n －9＝k 20k ＋9，由y ＝k20k ＋9关于k 单调递增，故当n ＝10k ＋9(1≤k ≤8，k ∈N *)时，p (n )的最大值为p (89)＝8169. 又8169<119，所以当n ∈S 时，p (n )的最大值为119. 18．I4、K2 某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：(1)习惯方面有差异”；(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．附：χ2＝n （n 11n 22－n 12n 21）2n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2，18．解：(1)将2×2列联表中的数据代入公式计算，得χ2＝n （n 11n 22－n 12n 21）2n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2＝100×（60×10－20×10）270×30×80×20＝10021≈4.762.由于4.762＞3.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．(2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω＝{(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 2，b 3)，(a 1，b 1，b 2)，(a 1，b 1，b 3)，(a 1，b 2，b 3)，(a 2，b 1，b 2)，(a 2，b 1，b 3)，(a 2，b 2，b 3)，(b 1，b 2，b 3)}，其中a i 表示喜欢甜品的学生，i ＝1，2，b j 表示不喜欢甜品的学生，j ＝1，2，3. Ω由10个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则A ＝{(a 1，b 1，b 2)，(a 1，b 1，b 3)，(a 1，b 2，b 3)，(a 2，b 1，b 2)，(a 2，b 1，b 3)，(a 2，b 2，b 3)，(b 1，b 2，b 3)}．事件A 由7个基本事件组成，因而P (A )＝710.16．I2，K2 海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．(1)求这6件样品中来自A ，B ，C 各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．16．解：(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650＋150＋100＝150，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：50×150＝1，150×150＝3，100×150＝2.所以A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别是1，3，2.(2)设6件来自A ，B ，C 三个地区的样品分别为：A ；B 1，B 2，B 3；C 1，C 2.则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：{A ，B 1}，{A ，B 2}，{A ，B 3}，{A ，C 1}，{A ，C 2}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 1，C 1}，{B 1，C 2}，{B 2，B 3}{B 2，C 1}，{B 2，C 2}，{B 3，C 1}，{B 3，C 2}，{C 1，C 2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的． 记事件D 为“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D 包含的基本事件有{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，{C 1，C 2}，共4个． 所以P (D )＝415，即这2件商品来自相同地区的概率为415.6．K2 从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为( )A.15B.25C.35D.456．B 由古典概型的特点可知从5个点中选取2个点的全部情况共有10种，其中选取的2个点的距离小于该正方形边长的情况共有4种，故所求概率为P ＝410＝25.16．K1、K2 一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c .(1)求“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率； (2)求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率． 16．解：(1)由题意，(a ，b ，c )所有的可能为：(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”为事件A ， 则事件A 包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种， 所以P (A )＝327＝19.因此，“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率为19.(2)设“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”为事件B ， 则事件B 包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种． 所以P (B )＝1－P (B )＝1－327＝89.因此，“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率为89.15．I1、K2 某校夏令营有3名男同学A ，B ，C 和3名女同学X ，Y ，Z ，其年级情况如下表：现从这6)． (1)用表中字母列举出所有可能的结果；(2)设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M 发生的概率．15．解：(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，X }，{A ，Y }，{A ，Z }，{B ，C }，{B ，X }，{B ，Y }，{B ，Z }，{C ，X }，{C ，Y }，{C ，Z }，{X ，Y }，{X ，Z }，{Y ，Z }，共15种．(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A ，Y }，{A ，Z }，{B ，X }，{B ，Z }，{C ，X }，{C ，Y }，共6种．因此，事件M 发生的概率P (M )＝615＝25.17．I2、K2 20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图13所示．图13(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)分别求出成绩落在 如图15所示，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．图1513．0.18 设阴影部分的面积为S .随机撒1000粒豆子，每粒豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，即S 1≈落在阴影部分中的豆子数落在正方形中的豆子数＝1801000＝0.18，所以可以估计阴影部分的面积为0.18.5．K3 在区间上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为( ) A.45 B.35 C.25 D.155．B 由几何概型概率计算公式可得P ＝1－（－2）3－（－2）＝35.6．K3 若将一个质点随机投入如图11所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是()图11A.π2B.π4C.π6 D.π86．B 由题意AB ＝2，BC ＝1，可知长方形ABCD 的面积S ＝2×1＝2，以AB 为直径的半圆的面积S 1＝12×π×12＝π2.故质点落在以AB 为直径的半圆内的概率P ＝π22＝π4.15．K3 某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________．(用数字作答)15.932设小张到校的时间为x ，小王到校的时间为y ，(x ，y )可以看成平面中的点．试验的全部结果所构成的区域为Ω＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）|152≤x ≤476，152≤y ≤476，这是一个正方形区域，面积为S Ω＝13×13＝19.事件A 表示小张比小王早到5分钟，所构成的区域为A ＝(x ，y )x－y ≥112，152≤x ≤476，152≤y ≤476，即图中的阴影部分，面积为S A ＝12×14×14＝132.这是一个几何概型问题，所以P (A )＝S A S Ω＝932.K4 互斥事件有一个发生的概率 K5 相互对立事件同时发生的概率20．K5、K8 设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)实验室计划购买k 台设备供甲、乙、丙、丁使用．若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k ”的概率小于0.1，求k 的最小值．20．解：记A 1表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，i ＝0，1，2.B 表示事件：甲需使用设备．C 表示事件：丁需使用设备．D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．E 表示事件：同一工作日4人需使用设备．F 表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于k .(1)因为P (B )＝0.6，P (C )＝0.4，P (A i )＝C i2×0.52，i ＝0，1，2，所以P (D )＝P (A 1·B ·C ＋A 2·B ＋A 2·B ·C )＝P (A 1·B ·C )＋P (A 2·B )＋P (A 2·B ·C )＝P (A 1)P (B )P (C )＋P (A 2)P (B )＋P (A 2)P (B )P (C )＝0.31.(2)由(1)知，若k ＝2，则P (F )＝0.31＞0.1，P (E )＝P (B ·C ·A 2)＝P (B )P (C )P (A 2)＝0.06.若k ＝3，则P (F )＝0.06＜0.1， 所以k 的最小值为3.K6 离散型随机变量及其分布列22．K6 盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．(1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P ；(2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x 1，x 2，x 3，随机变量X 表示x 1，x 2，x 3中的最大数，求X 的概率分布和数学期望E (X )．22．解：(1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，所以P ＝C 24＋C 23＋C 22C 29＝6＋3＋136＝518. (2)随机变量X 所有可能的取值为2，3，4.{X ＝4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”，故P (X ＝4)＝C 44C 49＝1126；{X ＝3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球，或3个黄球和1个其他颜色的球”，故P (X ＝3)＝C 34C 15＋C 33C 16C 49＝20＋6126＝1363；于是P (X ＝2)＝1－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝1－1363－1126＝1114.所以随机变量X 的概率分布如下表：因此随机变量X 的数学期望E (X )＝2×1114＋3×1363＋4×1126＝209.K7 条件概率与事件的独立性K8 离散型随机变量的数字特征与正态分布20．K5、K8 设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)实验室计划购买k 台设备供甲、乙、丙、丁使用．若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k ”的概率小于0.1，求k 的最小值．20．解：记A 1表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，i ＝0，1，2.B 表示事件：甲需使用设备．C 表示事件：丁需使用设备．D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．E 表示事件：同一工作日4人需使用设备．F 表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于k .(1)因为P (B )＝0.6，P (C )＝0.4，P (A i )＝C i2×0.52，i ＝0，1，2，所以P (D )＝P (A 1·B ·C ＋A 2·B ＋A 2·B ·C )＝P (A 1·B ·C )＋P (A 2·B )＋P (A 2·B ·C )＝P (A 1)P (B )P (C )＋P (A 2)P (B )＋P (A 2)P (B )P (C )＝0.31.(2)由(1)知，若k ＝2，则P (F )＝0.31＞0.1，P (E )＝P (B ·C ·A 2)＝P (B )P (C )P (A 2)＝0.06.若k ＝3，则P (F )＝0.06＜0.1， 所以k 的最小值为3.K9 单元综合2． 已知圆C ：x 2＋y 2＝12，直线l ：4x ＋3y ＝25，圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为( )A.12B.14C.13D.162．D 因为圆心(0，0)到直线l 的距离为5，圆C 的半径为2 3，所以直线l 与圆C 相离．设l 0∥l 且圆心到l 0的距离为3，则满足题意的点A 位于l 0，l 之间的弧上，结合条件可求得该弧长为圆C 周长的16，由几何概型的概率计算公式可知选项D 正确．13． 在边长为2的正方形ABCD 内随机取一点M ，则|AM |＜1的概率为____________． 13.116π 由|AM |<1知，点M 在以A 为圆心，1为半径的四分之一圆内，故所求概率为14π22＝116π.3． 从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数a ，从{2，3，4}中随机选取一个数b ，则b ＞a 的概率是( )A.45B.35 C.25 D.153．C 从两个集合中各选一个数有15种选法，满足b >a 的选法有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共有6种，所以b >a 的概率是615＝25.1． 某停车场临时停车按时段收费，收费标准如下：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元(不足1小时按1小时计算)．现有甲、乙两人在该地停车，两人停车都不超过4小时．(1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为13，停车费多于14元的概率为512，求甲的停车费为6元的概率；(2)若甲、乙两人每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙两人停车费之和为28元的概率．1．解：(1)设“一次停车不超过1小时”为事件A ，“一次停车1到2小时”为事件B ，“一次停车2到3小时”为事件C ，“一次停车3到4小时”为事件D .由已知得P (B )＝13，P (C ＋D )＝512.又事件A ，B ，C ，D 互斥， 所以P (A )＝1－13－512＝14，所以甲的停车费为6元的概率为14.(2)易知甲、乙停车时间的基本事件有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16个．而“停车费之和为28元”的事件有(1，3)，(2，2)，(3，1)，共3个，所以所求概率为316.3． 空气质量已成为城市居住环境的一项重要指标，空气质量的好坏由空气质量指数确定，空气质量指数越高，代表空气污染越严重：对某市空气质量指数进行一个月(30天)的监测，所得的条形统计图如图J171所示：图J171(1)估计该市一个月内空气受到污染的概率(若空气质量指数大于或等于75，则空气受到污染)；(2)在空气质量类别为“良”“轻度污染”“中度污染”的监测数据中用分层抽样的方法抽取一个容量为6的样本，若在这6个数据中任取2个数据，求这2个数据所对应的空气质量类别不都是轻度污染的概率．3．解：(1)空气受到污染的概率P ＝1230＋430＋230＝1830＝35.(2)易知用分层抽样的方法从“良”“轻度污染”“中度污染”的监测数据中抽取的个数分别为2，3，1.设它们的数据依次为a 1，a 2，b 1，b 2，b 3，c 1，则抽取2个数据的所有基本事件为(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 1，c 1)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(a 2，c 1)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 1，c 1)，(b 2，b 3)，(b 2，c 1)，(b 3，c 1)，共15种．设“这两天的空气质量类别不都是轻度污染”为事件A ，则A 中的基本事件数为12， 所以P (A )＝1215＝45，即这两天的空气质量类别不都是轻度污染的概率为45.4． 某工厂有25周岁以上(含25周岁)的工人300名，25周岁以下的工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，并将两组工人的日平均生产件数分成5组：．加以统计，得到如图J172所示的频率分布直方图．(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2名，求至少抽到一名25周岁以下的工人的概率．(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件作出2×2列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“生产能手与工人的年龄有关”？图J172附表：4．解：(1)由已知得，样本中25周岁以上的工人有60名，25周岁以下的工人有40名，所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上的工人有60×0.05＝3(名)，记为A1，A2，A3；25周岁以下的工人有40×0.05＝2(名)，记为B1，B2.从中随机抽取2名工人，所有可能的结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，共10种．其中，至少抽到一名25周岁以下的工人的可能的结果为(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，共7种．故所求概率P＝710.(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，25周岁以上的生产能手有60×0.25＝15(名)，25周岁以下的生产能手有40×0.375＝15(名)，据此可得2×2列联表如下：所以K2＝（－）（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）＝100×（15×25－15×45）2 60×40×30×70＝2514≈1.79.因为1.79<2.706，所以没有90%以上的把握认为“生产能手与工人的年龄有关”．。
课时作业(一)A [第1讲 集合及其运算](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．已知集合S ＝{1，2}，T ＝{1，3}，则S ∪T ＝( )A ．{1}B ．{2，3}C ．{1，2，3}D ．{1，2，1，3}2．[2012·商丘模拟] 设全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A ＝{1，2，3，5}，B ＝{2，4，6}，则图K1－1中的阴影部分表示的集合为( )A ．{2}B ．{4，6}C ．{1，3，5}D ．{4，6，7，8}3．[2012·安徽省城名校联考] 若集合A ＝{x |x 2<9}，B ＝{y |3y ＋1>0}，则集合M ＝{x ∈N |x ∈A ∩B }子集的个数为( )A ．2B ．4C ．8D ．164．若集合A ＝{x |2x －1>0}，B ＝{x ||x |<1}，则A ∩B ＝________．能力提升5．已知集合A ＝{x |x 2－4x －12<0}，B ＝{x |x <2}，则A ∪(∁R B )＝( )A ．{x |x <6}B ．{x |－2<x <2}C ．{x |x >－2}D ．{x |2≤x <6}6．[2013·江南十校联考] 若全集为R ，集合A ＝{x |log 12(2x －1)>0}，则∁R A ＝( ) A.12，＋∞ B ．(1，＋∞) C ．0，12∪[1，＋∞) D ．－∞，12∪[1，＋∞) 7．[2012·开封模拟] 设全集U ＝{x |x ≤7，x ∈N *}，集合A ＝{1，3}，B ＝{2，6}，则∁U (A ∪B )＝( )A ．{2，3，6}B ．{1，2，7}C ．{2，5，7}D ．{4，5，7}8．[2012·北京卷] 已知集合A ＝{x ∈R |3x ＋2>0}，B ＝{x ∈R |(x ＋1)(x －3)>0}，则A ∩B ＝( )A ．(－∞，－1) B.⎝⎛⎭⎫－1，－23 C.⎝⎛⎭⎫－23，3 D ．(3，＋∞)9．已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且y ＝x }，则A ∩B 的元素个数为________．10．集合A ＝{x |ax －1＝0}，B ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，且A ∪B ＝B ，则实数a 的值为________．11．已知x ∈R ，y >0，集合A ＝{x 2＋x ＋1，－x ，－x －1}，集合B ＝－y ，－y 2，y ＋1，若A ＝B ，则x 2＋y 2的值为____________________．12．(13分)集合A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}，满足A ∩B ≠∅，A ∩C ＝∅，求实数a 的值．难点突破13．(12分)集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}．(1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围；(2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数；(3)当x ∈R 时，若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．课时作业(一)B [第1讲 集合及其运算](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．[2012·安徽示范高中联考] 已知集合M ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，N ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，则M ∩N 等于( )A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．{2，4}D ．{(2，4)，(4，16)}2．[2012·浙江卷] 设全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，集合P ＝{1，2，3，4}，Q ＝{3，4，5}，则P ∩(∁U Q )＝( )A ．{1，2，3，4，6}B ．{1，2，3，4，5}C ．{1，2，5}D ．{1，2}3．[2012·合肥模拟] 已知M ＝{x |y ＝3x －1}，N ＝{x |y ＝log 2(x －2x 2)}，则∁R (M ∩N )＝( )A.13，12B ．－∞，13∪12，＋∞ C ．0，12D ．(－∞，0)∪12，＋∞ 4．已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x ＝2a ，a ∈A }，则集合∁U (A ∪B )＝________．能力提升5．[2012·驻马店模拟] 集合A ＝{x |x 2－2x ＋a >0}，1∉A ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．[0，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，1]6．[2012·襄阳模拟] 设全集U ＝A ∪B ，定义：A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，集合A ，B 分A －B图7．已知A ，B 均为集合U ＝{1，3，5，7，9}的子集，且A ∩B ＝{3}，(∁U B )∩A ＝{9}，则A 等于( )A ．{1，3}B ．{3，7，9}C ．{3，5，9}D ．{3，9}8．已知集合A ，B ，A ＝{x |－2≤x <2}，A ∪B ＝A ，则集合B 不可能．．．为( ) A ．∅ B ．{x |0≤x ≤2}C ．{x |0<x <2}D ．{x |0≤x <2}9．已知集合M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，N ＝{(x ，y )|x －y ＝1}，则M ∩N ＝________．10．设集合A ＝{5，log 2(a ＋3)}，B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝{2}，则A ∪B ＝________．11．集合A ＝{(x ，y )|y ＝1－x 2}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋b }，若A ∩B 的子集有4个，则b 的取值范围是________．12．(13分)[2012·芜湖模拟] 已知集合A ＝{x |－2<x －1<2}，B ＝{x |x 2＋ax －6<0}，C ＝{x |x 2－2x －15<0}．(1)若A∪B＝B，求a的取值范围；(2)是否存在a的值使得A∪B＝B∩C，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．难点突破13．(6分)(1)[2012·北京西城区模拟] 已知集合A＝{a1，a2，…，a20}，其中a k>0(k＝1，2，…，20)，集合B＝{(a，b)|a∈A，b∈A，a－b∈A}，则集合B中的元素至多有() A．210个B．200个C．190个D．180个(6分)(2)[2012·北京朝阳区模拟] 已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，集合B＝{(x，y)|y≥m|x|，m为正常数}．若O为坐标原点，M，N为集合A所表示的平面区域与集合B所表示的平面区域的边界的交点，则△MON的面积S与m的关系式为________．课时作业(二)[第2讲命题及其关系、充分条件、必要条件](时间：35分钟分值：80分)基础热身1．[2012·重庆卷] 命题“若p，则q”的逆命题是()A．若q，则p B．若綈p，则綈qC．若綈q，则綈p D．若p，则綈q2．[2013·安徽示范高中联考] 设a>0且a≠1，则“函数f(x)＝a x在R上是增函数”是“函数g(x)＝x a在R上是增函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．下列命题中为真命题的是()A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题4．[2013·扬州中学月考] 已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是________________________．能力提升5．“a＝2”是“函数f(x)＝x a－12为偶函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．下列有关命题的说法中，正确的是()A．命题“若x2>1，则x>1”的否命题为“若x2>1，则x≤1”B．“x>1”是“x2＋x－2>0”的充分不必要条件C．命题“∃x0∈R，使得x20＋x0＋1<0”的否定是“∀x∈R，都有x2＋x＋1>0”D．命题“若α>β，则tanα>tanβ”的逆命题为真命题7．[2013·江南十校联考] 下列说法不正确的是()A．“∃x0∈R，x20－x0－1<0”的否定是“∀x∈R，x2－x－1≥0”B．命题“若x>0且y>0，则x＋y>0”的否命题是假命题C．“∃a∈R，使“方程2x2＋x＋a＝0的两根x1，x2满足x1<1<x2”和“函数f(x)＝log2(ax －1)在[1，2]上单调递增”同时为真D．△ABC中，A是最大角，则sin2B＋sin2C<sin2A是△ABC为钝角三角形的充要条件8．[2012·郑州模拟] 设p ：|2x ＋1|>a ，q ：x －12x －1>0，使p 是q 的必要不充分条件的实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，－2]C ．[－2，3]D ．(－∞，3]9．[2012·怀远一中模拟] 若“0<x <1”是“(x －a )[x －(a ＋2)]≤0”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．10．已知命题“若a >b ，则ac 2>bc 2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是________．11．“x ＝2”是“向量a ＝(x ＋2，1)与向量b ＝(2，2－x )共线”的________条件．12．(13分)π为圆周率，a ，b ，c ，d ∈Q ，已知命题p ：若a π＋b ＝c π＋d ，则a ＝c 且b ＝d .(1)写出命题p 的否定并判断真假；(2)写出命题p 的逆命题、否命题、逆否命题并判断真假；(3)“a ＝c 且b ＝d ”是“a π＋b ＝c π＋d ”的什么条件？并证明你的结论．难点突破13．(12分)[2012·巢湖月考] 设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≥－x ，y ≤1表示的平面区域为A ，不等式y ≥ax 2＋b (b <0，b 为常数)表示的平面区域为B ，P (x ，y )为平面上任意一点．命题p ：点P (x ，y )在区域A 内，命题q ：点P (x ，y )在区域B 内，若p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围．课时作业(三) [第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．已知命题p ：∀x ∈R ，x >sin x ，则命题p 的否定形式为( )A ．∃x 0∈R ，x 0<sin x 0B ．∀x ∈R ，x ≤sin xC ．∃x 0∈R ，x 0≤sin x 0D ．∀x ∈R ，x <sin x2．已知命题p ：存在x ∈R ，使x 2≤0，命题q ：若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0，下面结论正确的是( )A ．命题p 和q 均是真命题B ．命题p 和q 均是假命题C ．命题“p 且q ”是假命题D ．命题p 的否定是：任意x ∈R ，x 2≥03．[2012·河北五校联考] 下列结论错误的是( )A ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝2”的逆否命题为“若x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0”B ．命题“存在x 为实数，x 2－x >0”的否定是“任意x 是实数，x 2－x ≤0”C ．“ac 2>bc 2”是“a >b ”的充分不必要条件D ．若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题4．命题“存在点P (x 0，y 0)，使x 20＋y 20≤0成立”的否定是________．能力提升5．[2012·黄冈中学月考] 命题“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条．．．．．．件．是( ) A ．a ≥4 B ．a ≤4 C ．a ≥5 D ．a ≤56．[2013·德州模拟] 下列有关命题的说法正确的是( )A ．命题“若xy ＝0，则x ＝0”的否命题为：“若xy ＝0，则x ≠0”B ．“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题为真命题C ．命题“∃x 0∈R ，使得2x 20－1<0”的否定是：“∀x ∈R ，均有2x 2－1<0”D ．命题“若cos x ＝cos y ，则x ＝y ”的逆否命题为真命题7．命题“存在α，β∈R ，使sin(α＋β)sin(α－β)≥sin 2α－sin 2β”的否定为( )A ．任意α，β∈R ，使sin(α＋β)sin(α－β)≥sin 2α－sin 2βB ．任意α，β∈R ，使sin(α＋β)sin(α－β)<sin 2α－sin 2βC ．存在α，β∈R ，使sin(α＋β)sin(α－β)<sin 2α－sin 2βD ．存在α，β∈R ，使sin(α＋β)sin(α－β)≤sin 2α－sin 2β8．[2012·大庆模拟] 已知命题p ：∃x 0∈(－∞，0)，2x 0<3x 0，命题q ：∀x ∈0，π2，tan x >sin x ，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∨(綈q )C ．(綈p )∧qD ．p ∧(綈q )9．[2012·安庆模拟] 已知命题p ：|x －1|＋|x ＋1|≥3a 恒成立，命题q ：y ＝(2a －1)x 为减函数，若p 且q 为真命题，则a 的取值范围是________．10．[2012·宁德质检] 若“∀x ∈R ，(a －2)x ＋1>0”是真命题，则实数a 的取值集合是________．11．下列四个命题：①∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0；②∀x ∈Q ，12x 2＋x －13是有理数； ③∃α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β；④∃x ，y ∈Z ，使3x －2y ＝10.所有真命题的序号是________．12．(13分)[2012·吉林模拟] 已知p ：f (x )＝x 3－ax 在(2，＋∞)上为增函数，q ：g (x )＝x 2－ax ＋3在(1，2)上为减函数，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求a 的取值范围．难点突破13．(12分)已知p ：方程a 2x 2＋ax －2＝0在[－1，1]上有解；q ：只有一个实数x 满足不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0，若“p 或q ”是假命题，求实数a 的取值范围．课时作业(四)A [第4讲 函数的概念及其表示](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．[2012·石家庄质检] 下列函数中与函数y ＝x 相同的是( )A ．y ＝|x |B ．y ＝1xC ．y ＝x 2D ．y ＝3x 32．[2012·郑州质检] 函数f (x )＝2x －1log 2x的定义域为( ) A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(0，1)D ．(0，1)∪(1，＋∞)3．下列函数中，值域为[0，3]的函数是( )A ．y ＝－2x ＋1(－1≤x ≤0)B ．y ＝3sin xC ．y ＝x 2＋2x (0≤x ≤1)D ．y ＝x ＋34．[2012·陕西卷] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，⎝⎛⎭⎫12x ，x ＜0，则f (f (－4))＝________．能力提升5．[2012·江西卷] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x，x >1，则f (f (3))＝( ) A.15 B ．3 C.23 D.1396．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，例如解析式为y ＝2x 2＋1，值域为{9}的“孪生函数”三个：(1)y ＝2x 2＋1，x ∈{－2}；(2)y ＝2x 2＋1，x ∈{2}；(3)y ＝2x 2＋1，x ∈{－2，2}．那么函数解析式为y ＝2x 2－1，值域为{－1，5}的“孪生函数”共有( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个7．[2012·唐山模拟] 函数y ＝1－lg （x ＋2）的定义域为( )A ．(0，8]B ．(－2，8]C ．(2，8]D ．[8，＋∞)8．函数f (x )＝2－2x ＋x 21－x的值域是( ) A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B ．(－∞，－2)C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[2，＋∞)9．[2012·汕头质检] 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，x ≤0，f （x －1）＋1，x >0，则f ⎝⎛⎭⎫56的值为________． 10．[2012·皖北协作区联考] 函数y ＝log 3(3x 2－x －2)的定义域是________________．11．已知g (x )＝1－2x ，f (g (x ))＝1－x 2x 2(x ≠0)，那么f ⎝⎛⎭⎫12＝________． 12．(13分)[2012·宿州质检] 已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋2.(1)若当x ∈[－1，4]时，f (x )≥b ＋3恒成立，求f (x )；(2)若函数f (x )的定义域与值域都是[0，2]，求b 的值．难点突破13．(12分)已知二次函数f (x )有两个零点0和－2，且f (x )的最小值是－1，函数g (x )与f (x )的图象关于原点对称．(1)求f (x )和g (x )的解析式；(2)若h (x )＝f (x )－λg (x )在区间[－1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．课时作业(四)B [第4讲 函数的概念及其表示](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．下列是映射的是(图 1A ．(1)(2)(3)B ．(1)(2)(5)C ．(1)(3)(5)D ．(1)(2)(3)(5) 2．[2012·江西师大附中月考] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x ≤0a x ，x >0，若f (1)＝f (－1)，则实数a 的值等于( )A ．1B ．2C ．3D ．43．[2012·马鞍山二模] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．34．函数y ＝x －x 的值域是________．能力提升5．已知f (x )的图象恒过点(1，2)，则f (x ＋3)的图象恒过点( )A ．(－3，1)B ．(2，－2)C ．(－2，2)D ．(3，5)6．[2012·肇庆一模] 已知函数f (x )＝lg x 的定义域为M ，函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >2，－3x ＋1，x <1的定义域为N ，则M ∩N ＝( )A ．(0，1)B ．(2，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(0，1)∪(2，＋∞)7．[2012·江南十校联考] 设函数y ＝f (x )在R 上有定义，且对正数M ，定义函数f M (x )⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≤M ，M ，f （x ）>M ，则称函数f M (x )为f (x )的“孪生函数”．若给定函数f (x )＝2－x 2，M ＝1，则f M (0)的值为( )A ．2B ．1C. 2 D ．－ 28．[2012·石家庄质检] 设集合A ＝⎣⎡⎭⎫0，12，B ＝⎣⎡⎦⎤12，1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x ∈A ，2（1－x ），x ∈B ，若x 0∈A 且f (f (x 0))∈A ，则x 0的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，14B.⎝⎛⎭⎫14，12 C.⎝⎛⎦⎤14，12 D.⎣⎡⎦⎤0，38 9．函数f (x )＝11－2x的定义域是________．(用区间表示) 10．[2012·济南三模] 已知函数f (x )＝a sin x ＋bx 3＋5，且f (1)＝3，则f (－1)＝________．11．[2012·安庆一模] 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥1，log 12x ，0<x <1的值域是________． 12．(13分)(1)求函数f (x )＝lg （x 2－2x ）9－x 2的定义域； (2)已知函数f (x )的定义域为[0，1]，求下列函数的定义域：①f (x 2)，②f (x －1)；(3)已知函数f (lg(x ＋1))的定义域是[0，9]，求函数f (2x )的定义域．难点突破13．(12分)已知f (x )是定义在[－6，6]上的奇函数，它在[0，3]上是一次函数，在[3，6]上是二次函数，且当x ∈[3，6]时，f (x )≤f (5)＝3，f (6)＝2，求f (x )的解析式．课时作业(五) [第5讲 函数的单调性与最值](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．下列函数中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)2．函数f (x )＝1－1x在[3，4)上( ) A ．有最小值无最大值B ．有最大值无最小值C ．既有最大值又有最小值D ．最大值和最小值皆不存在3．[2012·天津卷] 下列函数中，既是偶函数，又在区间(1，2)内是增函数的为( )A ．y ＝cos2x ，x ∈RB ．y ＝log 2|x |，x ∈R 且x ≠0C ．y ＝e x －e －x 2，x ∈R D ．y ＝x 3＋1，x ∈R4．函数f (x )＝x x ＋1的最大值为________．能力提升5．[2013·黄山月考] 若函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤－3B ．a ≥－3C ．a <－3D ．a >－36．[2012·宿州二中检测] 下列函数中，在区间[－1，0)上为减函数的是( )A ．y ＝x 13B ．y ＝sin x ＋π2C ．y ＝－12x D ．y ＝lg|x | 7．[2012·哈尔滨师范大学附中期中] 函数y ＝⎝⎛⎭⎫121x 2＋1的值域为( )A ．(－∞，1) B.⎝⎛⎭⎫12，1C.⎣⎡⎭⎫12，1D.⎣⎡⎭⎫12，＋∞8．[2013·惠州二调] 已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( )A ．(2－2，2＋2)B ．[2－2，2＋2]C ．[1，3]D ．(1，3)9．[2013·皖南八校联考] 已知函数y ＝f (x )是x ∈R 上的奇函数且满足f (x ＋5)≥f (x )，f (x ＋1)≤f (x )，则f (2 013)的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．410．若函数y ＝f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤12，3，则函数F (x )＝f (x )＋1f （x ）的值域是________． 11．若在区间⎣⎡⎦⎤12，2上，函数f (x )＝x 2＋px ＋q 与g (x )＝x ＋1x在同一点取得相同的最小值，则f (x )在该区间上的最大值是________．12．函数y ＝x x ＋a在(－2，＋∞)上为增函数，则a 的取值范围是________． 13．函数y ＝ln 1＋x 1－x的单调递增区间是________． 14．(10分)试讨论函数f (x )＝x x 2＋1的单调性．15．(13分)[2012·德州模拟] 已知函数f (x )是定义在R 上的单调函数，满足f (－3)＝2，且对任意的实数a ∈R 有f (－a )＋f (a )＝0恒成立．(1)试判断f (x )在R 上的单调性，并说明理由．(2)解关于x 的不等式f m －x x＋f (m )<0，其中m ∈R 且m >0.难点突破16．(12分)已知函数f(x)＝x2x－2(x∈R，且x≠2)．(1)求f(x)的单调区间；(2)若函数g(x)＝x2－2ax与函数f(x)在x∈[0，1]上有相同的值域，求a的值．课时作业(六)A [第6讲 函数的奇偶性与周期性](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )A ．y ＝－x 3，x ∈RB ．y ＝sin2x ，x ∈RC ．y ＝2x ，x ∈RD ．y ＝－⎝⎛⎭⎫13x ，x ∈R2．函数f (x )＝a 2x －1a x (a >0，a ≠1)的图象( ) A ．关于原点对称 B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称3．[2012·安庆模拟] 设f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≤0时，f (x )＝log 2(2－x )2，则f (2)＝( )A ．3B ．4C ．6D ．84．[2012·上海卷] 已知y ＝f (x )是奇函数，若g (x )＝f (x )＋2且g (1)＝1，则g (－1)＝________．能力提升5．[2012·威海模拟] 定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，当0<x ≤1时，f (x )＝2x ，则f (2 012)＝( )A ．－2B ．2C ．－12 D.126．[2012·长春外国语学校月考] 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，若f (1)＝1，则f (3)－f (4)＝( )A ．－1B ．1C ．－2D ．27．[2013·保定摸底] 若函数f (x )＝|x －2|＋a 4－x 2的图象关于原点对称，则f a 2＝( ) A.33 B ．－33C ．1D ．－18．[2012·广东六校联考] 若偶函数f (x )在(－∞，0)内单调递减，则不等式f (－1)＜f (lg x )的解集是( )A ．(0，10) B.110，10C.110，＋∞ D ．0，110∪(10，＋∞) 9．[2013·银川一中月考] 已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋1)＋f (x )＝3，当x ∈[0，1]时，f (x )＝2－x ，则f (－2 005.5)＝________．10．[2013·南昌一中、十中联考] 函数f (x )是定义在R 上的奇函数，下列结论中，正确结论的序号是________．①f (－x )＋f (x )＝0；②f (－x )－f (x )＝－2f (x )；③f (x )f (－x )≤0；④f （x ）f （－x ）＝－1. 11．[2012·南京三模] 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2＋ax ，x <0是奇函数，则满足f (x )>a 的x 的取值范围是________．12．(13分)[2012·衡水中学一调] 已知函数f (x )＝x m －2x 且f (4)＝72. (1)求m 的值；(2)判定f (x )的奇偶性；(3)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．难点突破13．(12分)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a是奇函数． (1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．课时作业(六)B [第6讲 函数的奇偶性与周期性](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．[2012·佛山质检] 下列函数中既是奇函数，又在区间(－1，1)上是增函数的为( )A ．y ＝|x |B ．y ＝sin xC ．y ＝e x ＋e －xD ．y ＝－x 32．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( )A ．－13 B.13 C.12 D ．－123．[2012·成都调研] 若函数f (x )＝2x ＋2－x 与g (x )＝2x －2－x 的定义域为R ，则( )A ．f (x )与g (x )均为偶函数B ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数C ．f (x )与g (x )均为奇函数D ．f (x )为偶函数，g (x )为奇函数4．[2012·浙江卷] 设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ＋1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________．能力提升5．[2012·郑州模拟] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <0，0，x ＝0，g （x ），x >0，且f (x )为奇函数，则g (3)＝( )A ．8 B.18 C ．－8 D ．－186．已知y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，如果x 1<0，x 2>0，且|x 1|<|x 2|，则有( )A ．f (－x 1)＋f (－x 2)>0B ．f (x 1)＋f (x 2)<0C ．f (－x 1)－f (－x 2)>0D ．f (x 1)－f (x 2)<07．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0，2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2 012)＋f (2 011)的值为( )A ．1B ．2C ．－2D ．－18．命题p ：∀x ∈R ，3x >x ；命题q ：若函数y ＝f (x －1)为奇函数，则函数y ＝f (x )的图象关于点(1，0)成中心对称．以下说法正确的是( )A ．p ∨q 真B ．p ∧q 真C ．綈p 真D ．綈q 假9．函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)f (x )＝1，若f (1)＝－5，则f (－5)＝________．10．[2011·广东卷] 设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________．11．[2012·合肥六中模拟] 设f (x )＝cos(x －sin x )，x ∈R .关于f (x )有以下结论： ①f (x )是奇函数；②f (x )的值域是[0，1]；③f (x )是周期函数；④x ＝π是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴；⑤f (x )在[0，π]上是减函数．其中不正确．．．的结论是________．(写出所有不正确的结论的序号) 12．(13分)已知函数f (x )＝lg 1＋x 1－x. (1)求证：对于f (x )的定义域内的任意两个实数a ，b ，都有f (a )＋f (b )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 1＋ab ； (2)判断f (x )的奇偶性，并予以证明．难点突破13．(12分)函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．课时作业(七) [第7讲 二次函数](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．已知二次函数y ＝x 2－2ax ＋1在区间(2，3)内是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤2或a ≥3B ．2≤a ≤3C ．a ≤－3或a ≥－2D ．－3≤a ≤－22．函数y ＝(cos x －a )2＋1，当cos x ＝a 时有最小值，当cos x ＝－1时有最大值，则a 的取值范围是( )A ．[－1，0]B ．[－1，1]C ．(－∞，0]D ．[0，1]3．[2012·长春外国语学校月考] 若函数f (x )＝(m －1)x 2＋(m 2－1)x ＋1是偶函数，则f (x )在区间(－∞，0]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．常数D ．增函数或常数4．a ≥2是函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，2]上单调的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件能力提升5．函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f (1)的取值范围是( )A ．f (1)≥25B ．f (1)＝25C ．f (1)≤25D ．f (1)>256．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0，1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．27．[2012·汕头模拟] 设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g （x ）＋x ＋4，x <g （x ），g （x ）－x ，x ≥g （x ）.则f (x )的值域是( )A ．－94，0∪(1，＋∞) B ．[0，＋∞)C ．－94，＋∞D ．－94，0∪(2，＋∞)8．若f (x )＝x 2－x ＋a ，f (－m )＜0，则f (m ＋1)的值为( ) A ．正数 B ．负数C ．非负数D ．与m 有关 9．[2012·牡丹江一中期中] 如图K7－1是二次函数f (x )＝x 2－bx ＋a 的图象，其函数f (x )的导函数为f ′(x )，则函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )( )A.⎝⎛⎭⎫14，12B.⎝⎛⎭⎫12，1 C ．(1，2) D ．(2，3)10．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3（－2≤x <0），x 2－2x －3（0≤x ≤3）的值域是________．11．方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a ∈(0，＋∞))的解的个数是________．12．实数a ，b 两数中的最小值用min{a ，b }表示．若函数f (x )＝min{x 2，(x －m )2}(m 为常数)的图象关于直线x ＝1对称，则函数f (x )在[0，4]上的值域为________．13．[2012·北京卷] 已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2，若∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0，则m 的取值范围是________．14．(10分)[2012·正定月考] 已知f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0，5)． (1)求f (x )的解析式；(2)对于任意x ∈[－1，1]，不等式f (x )＋t ≤2恒成立，求t 的范围．15．(13分)设f (x )是定义在R 上的偶函数，当0≤x ≤2时，y ＝x ，当x >2时，y ＝f (x )的图象是顶点为P (3，4)，且过点A (2，2)的抛物线的一部分．(1)求函数f (x )在(－∞，－2)上的解析式；(2)在下面的直角坐标系中直接画出函数f (x )的草图； (3)写出函数f (x )的值域．难点突破16．(12分)[2013·衡水中学一调] 已知对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0，则称x0是f(x)的一个不动点，已知函数f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋(b－1)(a≠0)．(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的不动点；(2)对任意实数b，函数恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；(3)在(2)的条件下，若y＝f(x)的图象上A，B两点的横坐标是f(x)的不动点，且A，B两点关于直线y＝kx＋12a2＋1对称，求b的最小值．课时作业(八)A [第8讲 指数与对数的运算](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．2log 510＋log 50.25＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．42．下列等式能够成立的是( )A.⎝⎛⎭⎫n m 5＝m 15n 5B.12（－2）4＝3－2C.4x 3＋y 3＝(x ＋y )34D.39＝33 3．[2012·宿州月考] 已知指数函数y ＝f (x )满足f (3)＝9，则f (9)＝________．4．[2012·正定中学月考] 计算lg 14－lg25100－12＝________．能力提升5．若log 2log 3log 4x ＝log 3log 4log 2y ＝log 4log 2log 3z ＝0，则x ＋y ＋z 的值为( ) A ．50 B ．58 C ．89 D ．1116．[2012·武汉调研] 若x ＝log 43，则(2x －2－x )2＝( ) A.94 B.54 C.34 D.43 7．[2012·重庆卷] 已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＝b <cB ．a ＝b >cC ．a <b <cD ．a >b >c8．若lg(x －y )＋lg(x ＋2y )＝lg2＋lg x ＋lg y ，则xy＝( )A ．2B ．3C.12D.139．[2012·海南五校联考] x >0，则(2x 14＋332)(2x 14－332)－4x －12(x －x 12)＝________．10．[(1－log 63)2＋log 62·log 618]÷log 64＝________．11．方程4x －2x ＋1－3＝0的解是________．12．(13分)设x >1，y >1，且2log x y －2log y x ＋3＝0，求T ＝x 2－4y 2的最小值．难点突破13．(12分)已知f (x )＝e x －e －x ，g (x )＝e x ＋e －x . (1)求[f (x )]2－[g (x )]2的值；(2)若f (x )·f (y )＝4，g (x )·g (y )＝8，求g （x ＋y ）g （x －y ）的值．课时作业(八)B [第8讲 指数与对数的运算](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．下列命题中，正确命题的个数为( ) ①na n ＝a ；②若a ∈R ，则(a 2－a ＋1)0＝1； ③3x 4＋y 6＝x 43＋y 2；④5－3＝10（－3）2.A ．0B ．1C ．2D ．32．化简：（log 23）2－4log 23＋4＋log 213＝( )A ．2B ．2－2log 23C ．－2D ．2log 23－23．log(n ＋1＋n )(n ＋1－n )＝( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－24．已知a 12＝49，则log 23a ＝________．能力提升5．若10x ＝2，10y ＝3，则103x －y2＝( )A.263B.63C.233D.366．函数y ＝x 2＋2x ＋1＋3x 3－3x 2＋3x －1的图象是( ) A ．一条直线 B ．两条射线 C ．抛物线 D ．半圆7．若a >1，b >0，且a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b 的值等于( ) A. 6 B ．2或－2 C ．2 D ．－28．[2012·唐山模拟] 已知3x ＝4y ＝12，则1x ＋1y＝( )A. 2 B ．1 C.12 D ．29．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ∈（－∞，1]，log 81x ，x ∈（1，＋∞），则满足f (x )＝14的x 值为________．10．[2012·合肥模拟] 已知f (3x )＝4x log 23＋233，则f (2)＋f (4)＋f (8)＋…＋f (28)的值是________．11．方程log 2(x 2＋x )＝log 2(2x ＋2)的解是________．12．(13分)已知x 12＋x －12＝3，求x 2＋x －2－2x 32＋x －32－3的值．难点突破13．(12分)设a ，b ，c 均为正数，且满足a 2＋b 2＝c 2.(1)求证：log 2⎝⎛⎭⎫1＋b ＋c a ＋log 2⎝⎛⎭⎫1＋a －c b ＝1；(2)若log 4⎝⎛⎭⎫1＋b ＋c a ＝1，log 8(a ＋b －c )＝23，求a ，b ，c 的值．课时作业(九) [第9讲 指数函数、对数函数、幂函数](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．[2012·西安质检] 已知a ＝32，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n满足的关系为( )A ．m ＋n <0B ．m ＋n >0C ．m >nD ．m <n2．设实数x 满足2x ＋log 2x ＝0，则有( ) A ．2x <1<x B ．x <1<2x C ．1<x <2x D ．1<2x <x 3．[2012·四川卷] x －a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )K9－14．[2012·南通模拟] 已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α＝________．能力提升 5．[2012·汕头测评] 下列各式中错误．．的是( ) A ．0.83>0.73B ．log 0.50.4>log 0.50.6C ．0.75－0.1<0.750.1 D ．lg1.6>lg1.4 6．[2012·怀远模拟] 下列函数中值域为正实数的是( )A ．y ＝－5xB ．y ＝131－xC ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1D ．y ＝1－2x7．[2012·南昌调研] 函数f (x )＝log 22x 2＋1的值域为( )A ．[1，＋∞)B ．(0，1]C ．(－∞，1]D ．(－∞，1)8．[2012·三明联考] 已知函数y ＝f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝lg x ，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1100的值等于( )A.1lg2 B ．－1lg2 C ．lg2 D ．－lg29．已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e －12，则( )A ．x <y <zB ．z <x <yC ．z <y <xD ．y <z <x10．[2013·黄冈中学月考] 若∃x ∈1，52，使函数g (x )＝log 2(tx 2＋2x －2)有意义，则t 的取值范围为________．11．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是________．12．[2013·河北五校联盟调研] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，（x >0），2x ，（x ≤0）且关于x 的方程f (x )＋x－a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．13．[2012·长春外国语学校月考] 关于函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0)，有下列命题：①其图象关于y 轴对称； ②f (x )的最小值是lg2；③当x >0时，f (x )是增函数；当x <0时，f (x )是减函数； ④f (x )在区间(－1，0)，(2，＋∞)上是增函数； ⑤f (x )无最大值，也无最小值．其中所有正确结论的序号是________．14．(10分)设a >0，f (x )＝e x a ＋aex 是R 上的偶函数．(1)求a 的值；(2)证明f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (3)解方程f (x )＝2.15．(13分)己知函数f (x )＝2－x 2＋ax ＋3. (1)当a ＝0时，求函数f (x )的值域；(2)若A ＝{x |y ＝lg(5－x )}，函数f (x )＝2－x 2＋ax ＋3在A 内是增函数，求a 的取值范围．难点突破16．(12分)已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．课时作业(十) [第10讲 函数的图象与性质的综合](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．函数f (x )＝1x＋2x 的图象关于( )A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称2．为了得到函数y ＝3⎝⎛⎭⎫13x 的图象，可以把函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x 的图象( )A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度3．下列四个函数中，图象如图 )A ．y ＝x ＋lg xB ．y ＝x －lg xC ．y ＝－x ＋lg xD ．y ＝－x －lg x 4．[2012·开封质检] 把函数y ＝f (x )＝(x －2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数的解析式是________________________________________________________________________．能力提升5．[2012·蚌埠质检] 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－2x （－1≤x ≤0），x （0<x ≤1），则下列的图象错误的是( )图K10－26．已知图K10－3①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则图K10－3②中的图象对应的函数为()－3A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)|C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(|x|)7．[2012·郑州调研]图K10－以下为编号为①②③④的四个方程：①x－y＝0；②|x|－|y|＝0；③x－|y|＝0；④|x|－y＝0.请按曲线A，B，C，D的顺序，依次写出与之对应的方程的编号为()A．④②①③B．④①②③C．①③④②D．①②③④8．函数f(x)＝1＋1－x()9．[2012·北海质检] 现有四个函数①y＝sin|x|；②y＝x·|sin x|；③y＝|x|·cos x；④y＝x＋sin x 的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是()图K10－6A．①③②④B．①③④②C．③①②④D．③①④②10．将函数y＝2x＋1的图象按向量a平移得到函数y＝2x＋1的图象，则a＝________．11．[2012·海淀一模] 函数f (x )＝x ＋1x图象的对称中心为________．12．设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －a |的图象关于直线x ＝1对称，则a 的值为________． 13．[2012·唐山二模] 奇函数f (x )、偶函数g (x )的图象分别如图K10－7(1)，K10－7(2)所示，方程f (g (x ))＝0，g (f (x ))＝0的实根个数分别为a ，b ，则a ＋b ＝________．14．(10分)设函数f (x )＝x ＋1x的图象为C 1，C 1关于点A (2，1)对称的图象为C 2，C 2对应的函数为g (x )．求g (x )的解析式．15．(13分)已知f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈⎣⎡⎦⎤13，2都有|f (x )|≤1成立，试求a 的取值范围．难点突破16．(12分)(1)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，且当x ∈R 时，f (m ＋x )＝f (m －x )恒成立，求证y ＝f (x )的图象关于直线x ＝m 对称；(2)若函数y ＝log 2|ax －1|的图象的对称轴是x ＝2，求非零实数a 的值．课时作业(十一) [第11讲 函数与方程](时间：45分钟 分值：100分)基础热身 1．[2013·安庆四校联考] 图K11－1是函数f (x )的图象，它与x 轴有4个不同的公共点．给出下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点的区间是( )图K11－1A ．[－2.1，－1]B ．[1.9，2.3]C ．[4.1，5]D ．[5，6.1] 2．[2012·唐山期末] 设f (x )＝e x ＋x －4，则函数f (x )的零点位于区间( ) A ．(－1，0) B ．(0，1) C ．(1，2) D ．(2，3) 3．[2012·宣城质检] 若函数f (x )＝ax ＋b 的零点为2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( )A ．0，2B ．0，12C ．0，－12D ．2，124．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．能力提升5．函数y ＝f (x )在区间(－2，2)上的图象是连续的，且方程f (x )＝0在(－2，2)上仅有一个实根0，则f (－1)·f (1)的值( )A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．无法确定6．[2012·宿州调研] 已知x 0是函数f (x )＝11－x＋ln x 的一个零点，若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)>0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)<0，f (x 2)>07．已知定义在R 上的函数f (x )＝(x 2－3x ＋2)g (x )＋3x －4，其中函数y ＝g (x )的图象是一条连续曲线，则方程f (x )＝0在下面哪个范围内必有实数根( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)8．方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( ) A ．没有根 B ．有且仅有一个根C ．有且仅有两个根D ．有无穷多个根9．[2012·石家庄质检] 已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －sin x ，则f (x )在[0，2π]上的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．410．[2012·怀远一中模拟] 若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1，x ≥2或x ≤－1，1，－1<x <2，则函数g (x )＝f (x )－x 的零点为________．11．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解集是________．12．[2012·盐城二模] 若y ＝f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0，1]时，f (x )＝2x－1，则函数g (x )＝f (x )－log 3|x |的零点个数为________．13．[2013·扬州中学月考] 已知函数f (x )＝|x 2－1|x －1－kx ＋2恰有两个零点，则k 的取值范围是________．14．(10分)已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点．15．(13分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R ，a >0)，设方程f (x )＝x 的两个实数根为x 1和x 2.(1)如果x 1<2<x 2<4，设函数f (x )的对称轴为x ＝x 0，求证：x 0>－1； (2)如果|x 1|<2，|x 2－x 1|＝2，求b 的取值范围．难点突破16．(12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x （0≤x ≤1），－25x ＋125（1<x ≤5）.(1)若函数y ＝f (x )的图象与直线kx －y －k ＋1＝0有两个交点，求实数k 的取值范围；(2)试求函数g (x )＝xf (x )的值域．课时作业(十二) [第12讲 函数模型及其应用](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．“红豆生南国，春来发几枝？”，图K12－1给出了红豆生长时间t (月)与枝数y (枝)的散点图，那么红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好？( )A ．y ＝t 2B ．y ＝log 2tC ．y ＝2tD ．y ＝2t 22．等边三角形的边长为x ，面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式为( )A ．y ＝x 2B ．y ＝12x 2C ．y ＝32x 2D ．y ＝34x 23．[2012·厦门月考] 设甲、乙两地的距离为a (a >0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y )图K12－24．某种储蓄按复利计算利息，若本金为a 元，每期利率为r ，存期是x ，本利和(本金加利息)为y元，则本利和y随存期x变化的函数关系式是________．能力提升5．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x 之间关系的是()A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋1006．[2012·华南师大附中模拟] 在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线y＝f(x)，一种是平均价格曲线y＝g(x)(如f(2)＝3表示开始交易后第2小时的即时价格为3元；g(2)＝4表示开始交易后两个小时内所有成交股票的平均价格为4元)．下面所给出的四个图象中，实线表示y＝f(x)，虚线表示y＝g(x)，其中可能正确的是()7．[2012·商丘一模] 某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为()A．45.606万元B．45.6万元C．45.56万元D．45.51万元8．[2013·荆州中学一检] 下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为()(a)我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；(b)我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；(c)K12A．(1)(2)(4) B．(4)(2)(3)C．(4)(1)(3) D．(4)(1)(2)9．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A．60件B．80件C．100件D．120件10．一位设计师在边长为3的正方形ABCD 中设计图案，他分别以A ，B ，C ，D 为圆心，以b ⎝⎛⎭⎫0<b ≤32为半径画圆，由正方形内的圆弧与正方形边上线段(圆弧端点在正方形边上的连线)构成了丰富多彩的图形，则这些图形中实线部分总长度的最小值为________．11．[2012·珠海模拟] 一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL ，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过________小时，才能开车．(精确到1小时)12．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价收费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过的部分按每千米2.85元收费，每次乘车需付燃油附加费1元，现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________ km.13．[2013·上海南汇一中月考] 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (mg)与时间t (h)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y ＝⎝⎛⎭⎫116t －a (a 为常数)，如图K12－6 所示，据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25 mg 以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过________h 后，学生才能回到教室．14．(10分)某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿千瓦时．本年度计划将电价调至0.55元～0.75元之间，经测算，若电价调至x 元，则本年度新增用电量y (亿千瓦时)与(x －0.4)元成反比例．又当x ＝0.65时，y ＝0.8.(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)若每千瓦时电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年增加20%？[收益＝用电量×(实际电价－成本价)]15．(13分)围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图K12－7所示．已知旧墙的维修费为45元/m ，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x (单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元)．(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．。
２０１４年高考文科概率统计复习建议北京市日坛中学㊀㊀１０００２５㊀㊀杨㊀平㊀胡㊀芳㊀陈学鹏㊀㊀概率统计是使用数学的方法处理和解释信息，并作出判断和决策的科学．概率统计在中学数学教材中占有重要地位，它对培养学生偶然中蕴含着必然的思想以及变与不变的辩证思维起到关键作用．在‘课标“中被强调为 一个公民的必备常识 ．同样，在‘考试说明“中，对能力的考查是这样描述的，能力是指空间想象能力㊁抽象概括能力㊁推理论证能力㊁运算求解能力㊁数据处理能力以及分析问题和解决问题的能力．其中，数据处理能力是指会依据统计中的方法对数据进行整理㊁分析，并解决给定的实际问题．概率统计恰恰承载了对此能力的考查．在中学阶段，常见的概率与统计问题中，有统计㊁频率㊁古典概型㊁几何概型．１㊀统计‘课标“要求教师应引导学生体会统计的作用和基本思想，统计的特征之一是通过部分的数据来推测全体数据的性质．学生应体会统计思维与确定性思维的差异，注意到统计结果的随机性，统计推断是有可能犯错误的．统计是为了从数据中提取信息，教学时应引导学生根据实际问题的需求选择不同的方法合理地选取样本，并从样本数据中提取需要的数字特征．不应把统计处理成数字运算和画图表．对统计中的概念（如 总体 样本 等）应结合具体问题进行描述性说明，不应追求严格的形式化定义．１．１㊀随机抽样，是统计的第一步，是不可缺少的一步，科学的抽样，可以提高数据的可靠性，这部分内容也常作为容易题来考查，‘考试说明“要求的层级为Ａ，Ｂ级．例１㊀（２０１３年江西文）总体由编号为０１，０２， ，１９，２０的２０个个体组成．利用下面的随机数表选取５个个体，选取方法是从随机数表第１行的第５列和第６列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第５个个体的编号为（㊀㊀）７８１６６５７２０８０２６３１４０７０２４３６９９７２８０１９８３２０４９２３４４９３５８２００３６２３４８６９６９３８７４８１㊀㊀Ａ．０８㊀㊀Ｂ．０７㊀㊀Ｃ．０２㊀㊀Ｄ．０１评注㊀这是一种简单随机抽样，对于样本容量较小，且样本差异性不大时，这种抽样还是很方便的，但如果总体中个数很多时，即便使用随机数表法也不太方便了，就容易导致样本的代表性差，答案选Ｄ．例２㊀（２０１３年湖南文）某工厂甲㊁乙㊁丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为１２０件，８０件，６０件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为ｎ的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了３件，则ｎ＝㊀㊀㊀㊀．Ａ．９㊀㊀Ｂ．１０㊀㊀Ｃ．１２㊀㊀Ｄ．１３评注㊀在简单随机抽样㊁系统抽样㊁分层抽样中，若样本容量较大，且样本有差异性，而又要兼顾抽取样本的科学性，此时，采用分层抽样所抽取的样本更具有代表性．答案选Ｄ．随机抽样和随机观念给我们提供了随机性学习的机会，不仅推动了统计与概率学习而且促使我们学习基于统计与概率推断的推理方式．重复的抽样与重复的试验，显然会产生变化的结果，这种变化是随机的而不是偶然的．１．２㊀用样本的分布估计总体分布用样本估计总体，用样本的数字特征估计总体的数字特征（众数㊁中位数㊁平均数，方差（标准差）），是对数据进行处理，进而得出结论，可以为人们制定决策提供依据．因此，会从频率分布表㊁频率分布直方图㊁频率折线图㊁茎叶图等图中读出相关信息，进一步估计总体就很重要了．而从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数㊁标准差），并理解其含义，对有效估计总体的基本数字特征，就更为重要，此类问题要求层级为Ｂ，Ｃ．图１例３㊀（２０１３年四川文）某学校随机抽取２０个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图１所示．以组距为５将数据分组成［０，５），［５，１０）， ，［３０，３５），［３５，４０］时，所作的频率分布直方图是（㊀㊀）．６５分析㊀根据题目信息能得到什么数据？（１）由茎叶图能得到什么信息？①２０个数据；数据分别为３，７，１０，１３，１４，１４，１６，１７，２０，２２，２３，２４，２５，２５，２７，３０，３３，３４，３５，３８；②中位数２２＋２３２＝２２．５；㊀㊀③众数１４，２５；④平均数 ｘ＝ð８ｉ＝１ｘｉ２０＝２１．５；⑤方差ｓ２＝ｘ１－ ｘ()２＋ｘ２－ ｘ()２＋ ＋ｘｎ－ ｘ()２ｎ；⑥数据有１８２０集中在茎１，２，３处．⑦数据分布：在０，５[)共有１个，频数１２０；在５，１０[)共有１个，频数１２０；在１０，１５[)共有４个，频数４２０；在１５，２０[)共有２个，频数２２０；在２０，２５[)共有４个，频数４２０；在２５，３０[)共有３个，频数３２０；在３０，３５[)共有３个，频数３２０；在３５，４０[)共有２个，频数２２０．（２）由直方图能得到什么信息？（以选项Ａ为例）①轴的意义：横轴为人数，纵轴为频率组距，并非频率；②Ｓ小矩形＝频率组距ˑ组距＝频率；③ð８ｉ＝１Ｓｉ＝１；④分组的区间为左闭右开；⑤在每个小矩形内的人数＝频数＝２０ˑ频率＝２０ˑ面积；⑥从图形上看，不属于中间高两边低的图形．（３）关于平均数：在茎叶图中，ｘ＝ð８ｉ＝１ｘｉ２０＝２１．５，是算术平均数；在直方图中，平均数为加权平均数，ｘ＝ð８ｉ＝１（Ｓｉˑ此矩形底边中点横坐标），即ｘ＝２．５ˑ０．０５＋７．５ˑ０．０５＋１２．５ˑ０．２＋１７．５ˑ０．１＋２２．５ˑ０．２＋２７．５ˑ０．１５＋３２．５ˑ０．１５＋３７．５ˑ０．１＝２２．答案选Ａ．２㊀概率学生对概率概念的正确理解程度对概率学习产生直接影响，从而也说明了概率概念教学在培养随机观念中的重要作用．概率学习的首要任务并不是如何计算事件发生的概率，而是培养学生的随机观念．频率定义是概率教学的重点，也是难点．学习频率定义，学生了解了随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，体验了由频率到概率的过程，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别．我们知道，在相同的条件下重复ｎ次试验，可以得出事件出现的频率ｆｎ（Ａ）＝ｎＡｎ．随着试验次数的增加，事件发生的频率会逐渐稳定在区间［０，１］中的某个常数上．因此，我们可以用事件发生的频率ｆｎ（Ａ）来估计概率Ｐ（Ａ）．为更突出对古典概型㊁几何概型及其概率计算公式的理解，高考试题对求解过程中的计数问题没有太复杂的要求，甚至会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数即可．图２例４㊀（２０１３年广东理）某车间共有１２名工人，随机抽取６名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图２所示，其中茎为十位数，叶为个位数．（Ⅰ）根据茎叶图计算样本均值；（Ⅱ）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间１２名工人中有几名优秀工人；（Ⅲ）从该车间１２名工人中，任取２人，求恰有１名优秀工人的概率．解㊀（Ⅰ）样本均值为１７＋１９＋２０＋２１＋２５＋３０６＝２２．（Ⅱ）由（Ⅰ）知样本中优秀工人占的比例为２６＝１３，故推断该车间１２名工人中有１２ˑ１３＝４名优秀工人．（Ⅲ）设事件Ａ为 从该车间１２名工人中，任取２人，恰有１名优秀工人 ，则Ｐ（Ａ）＝１６３３．评注㊀这是一个用样本的数字特征估计总体的数字特征的问题，样本的信息来自茎叶图，由茎叶图可以得到６人的加工零件的个数及其平均数，我们用这６个人的数字特征估计１２人的数字特征，正是体现了统计结果的随机性，统计推断的容错性的特征．这种先统计再求概率的问题也是实际生活中常见的问题，故也７５是高考常考的问题．古典概型是一种特殊的数学模型．由于它在概率论发展初期曾是主要的研究对象，许多概率的最初结果也是由它得到的，所以称它为古典概型．古典概型在概率论中占有相当重要的地位，是学习概率的必不可少的内容，其意义在于：（１）有利于理解概率的概念；（２）有利于计算事件的概率；（３）能解释生活中的一些问题．这是一个不能回避的问题，也就因此成了必须考查的内容．例５㊀（２０１３年江西文）集合Ａ＝｛２，３｝，Ｂ＝｛１，２，３｝，从Ａ，Ｂ中各取任意一个数，则这两数之和等于４的概率是（㊀㊀）．Ａ．２３㊀㊀Ｂ．１３㊀㊀Ｃ．１２㊀㊀Ｄ．１６分析㊀此题是一个古典概型问题，从Ａ，Ｂ中各取任意一个数的所有可能Ω＝｛（２，１），（２，２），（２，３），（３，１），（３，２），（３，３）｝，记事件Ａ为 两数之和等于４ ，则Ａ＝｛（２，２），（３，１）｝，则Ｐ（Ａ）＝２６＝１３．选Ｂ．图３评注㊀此类问题要关注事件发生的等可能性，对于部分学生而言，可能计数仍是主要问题，正因为如此，我们发现，命制此类问题时计数不复杂，更关注学生对概率本质的理解．例６㊀（２０１３年四川文）某算法的程序框图如图３所示，其中输入的变量ｘ在１，２，３， ，２４这２４个整数中等可能随机产生．（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出ｙ的值为ｉ的概率Ｐｉ（ｉ＝１，２，３）；（Ⅱ）甲㊁乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行ｎ次后，统计记录了输出ｙ的值为ｉ（ｉ＝１，２，３）的频数．以下是甲㊁乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表（部分）运行次数ｎ输出ｙ的值为１的频数输出ｙ的值为２的频数输出ｙ的值为３的频数３０１４６１０２１００１０２７３７６６９７乙的频数统计表（部分）运行次数ｎ输出ｙ的值为１的频数输出ｙ的值为２的频数输出ｙ的值为３的频数３０１２１１７２１００１０５１６９６３５３㊀㊀当ｎ＝２１００时，根据表中的数据，分别写出甲㊁乙所编程序各自输出ｙ的值为ｉ（ｉ＝１，２，３）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大．分析㊀我们由图表能读出哪些信息呢？首先，由框图可以ｙ＝１，ｙ＝２，ｙ＝３时ｘ的所有可能值，进而计算出概率，这是一个古典概型问题；其次，第二组表是甲乙二人做试验的统计结果，根据表格我们能计算出ｙ＝１，ｙ＝２，ｙ＝３出现的频率；最后，涉及到对频率与概率的理解．解㊀（Ⅰ）变量ｘ是在１，２，３， ，２４这２４个整数中等可能随机产生的一个数，共有２４种可能．当ｘ从１，３，５，７，９，１１，１３，１５，１７，１９，２１，２３这１２个数中产生时，输出ｙ的值为１，故Ｐ１＝１２２４＝１２；当ｘ从２，４，８，１０，１４，１６，２０，２２这８个数中产生时，输出ｙ的值为２，故Ｐ２＝８２４＝１３；当ｘ从６，１２，１８，２４这４个数中产生时，输出ｙ的值为３，故Ｐ３＝４２４＝１６．所以输出ｙ的值为１的概率为１２，输出ｙ的值为２的概率为１３，输出ｙ的值为３的概率为１６．（Ⅱ）当ｎ＝２１００时，甲㊁乙所编程序各自输出ｙ的值为ｉ（ｉ＝１，２，３）的频率如下，输出ｙ的值为１的频率输出ｙ的值为２的频率输出ｙ的值为３的频率甲１０２７２１００３７６２１００６９７２１００乙１０５１２１００６９６２１００３５３２１００㊀㊀比较频率趋势与概率，可得乙同学所编写程序符合算法要求的可能性较大．评注㊀此题的第一问是以框图为背景的古典概型问题，但第（Ⅱ）问中，关注题中的关键词 根据表中的数据 ，即按表中的数据来计算，而 符合算法要求的可能性较大 ，何谓 可能性较大 ？其实，第（Ⅰ）问给了信息，即概率，故只需理论的概率与试验频率接近就是可能性较大，更突出考查频率与概率的关系．频率是随机的，是ｎ次试验中的频率，另外ｎ次试８５验得到的频率将不同，而概率是一个客观存在的常数，它反映的是 多次试验 中频率的稳定性，出现频率偏离概率较大的情形也是可能的，这是随机现象的特征．图４例７㊀（２０１３年陕西卷）如图４，在矩形区域ＡＢＣＤ的Ａ，Ｃ两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ＡＤＥ和扇形区域ＣＢＦ（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无∙信号的概率是（㊀㊀）．Ａ．１－π４㊀㊀㊀Ｂ．π２－１㊀㊀Ｃ．２－π２㊀㊀Ｄ．π４评注㊀几何概型作为一种概率模型，应用广泛，有自己的特色，因此也是常常考查的内容之一．此题难度不大，但从本质上考查了几何概型．选Ａ．３㊀对概念本质的理解，是考查的亮点㊀２０１２年和２０１３年北京高考的统计与概率问题让人眼前一亮，从本质上考查学生对统计中的概念的理解，更要求教师教学时要对概念的本质进行剖析，不能以计算为主要任务，要让学生学会从图表㊁数据中提取信息．例８㊀（２０１３年北京文）图５是某市３月１日至１４日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于１００表示空气质量优良，空气质量指数大于２００表示空气重度污染，某人随机选择３月１日至３月１３日中的某一天到达该市，并停留２天．图５（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；（Ⅱ）求此人在该市停留期间只有１天空气重度污染的概率；（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）评注㊀第（Ⅰ）（Ⅱ）问都是对古典概型的考查，学生易出的问题是计数问题，需要细细品读每一个条件，从图表中得到相关信息．第（Ⅲ）问中，考查了方差，而对方差正确的理解是求解的关键．课本上对方差的含义是这样描述的： 在刻画样本数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，方差是标准差的平方，标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程度较小 ．由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明） ，题意很清楚， 由图判断 ㊁ 方差最大 ㊁ 结论不要求证明 ，易得，从３月５日开始连续三天的空气质量指数方差最大．２０１２年北京也考了此类问题．‘课标“对变量的相关性是这样要求的：（１）通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相互关系；（２）经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程．知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立回归方程．例９㊀（２０１３年福建文）已知ｘ与ｙ之间的几组数据如下表：ｘ１２３４５６ｙ０２１３３４㊀㊀假设根据上表数据所得线性回归直线方程为＾ｙ＝＾ｂｘ＋＾ａ．若某同学根据上表中前两组数据（１，０）和（２，２）求得的直线方程为ｙ＝ｂᶄｘ＋ａᶄ，则以下结论正确的是（㊀㊀）．Ａ．＾ｂ＞ｂᶄ，＾ａ＞ａᶄ㊀㊀Ｂ．＾ｂ＞ｂᶄ，＾ａ＜ａᶄ㊀Ｃ．＾ｂ＜ｂᶄ，＾ａ＞ａᶄ㊀㊀Ｄ．＾ｂ＜ｂᶄ，＾ａ＜ａᶄ分析㊀此题相当精彩，完全符合‘课标“的要求，不必利用回归直线的系数公式建立回归方程，只需学生理解变量相关性即可．图６如图６所示，首先画出散点图，再画出 回归直线 ，进而画出过点（１，０）和（２，２）的直线，观察可得，＾ｂ＜ｂᶄ，＾ａ＞ａᶄ．选Ｃ．理解了概念的本质，解决起来就显得自然㊁轻松了．４㊀复习建议（１）让学生理解概念是首要任务；统计中的基本量（样本数字特征，如众数㊁中位数㊁平均数㊁方差（标准差））的实际意义㊁频率与概率的关系等．（２）力求使学生理解概率统计的本质，会起到事半功倍的效果．理解了本质，我们就会对命题的方式和角度不感到突然．因此，考查统计知识的同时考查概率知识，也就显得很自然了．（３）努力让学生能够从图表㊁图形㊁文字表述中获取数字信息，教会学生读图的方法，从而正确求解．作者简介㊀杨平，男，中学特级教师．北京市朝阳区 十二五 教育科学规划课题‘在课堂教学中以导学案为载体提高学生学习能力的方法研究“负责人，北京市教育学会 十二五 教育科研２０１１年度课题‘以导学案为主体的教学模式的探究“负责人．胡芳，女，中学高级教师，北京市骨干教师．陈学鹏，男，中学一级教师．９５。
第十章章末综合检测(学生用书为活页试卷解析为教师用书独有）(检测范围：第十章)（时间:120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（2013·洛阳模拟)将3个不同的小球放入4个不同盒子中，则不同放法种数有（）A．81 B．64C．12 D．14解析 B 根据分步乘法计数原理，共有4×4×4＝64(种）．2．在1,2,3,4,5这5个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为奇数的共有（)A．36个B．24个C．18个D．6个解析 B 各位数字之和为奇数必须3个数字都是奇数或两个偶数1个奇数，前者有A3，3＝6个，后者有C错误!·A错误!＝18个，共24个．3．在错误!24的展开式中，x的幂指数是整数的项共有A．3项B．4项C．5项D．6项解析 C T r＋1＝C错误!(错误!）24－r错误!r＝C错误!,当r＝0，6,12,18，24时,x的幂指数为整数,共5项,故选C。
4．（2013·合肥模拟)从集合A＝｛－1，1,2}中随机选取一个数记为k，从集合B＝{－2，1,2}中随机选取一个数记为b，则直线y ＝kx＋b不经过第三象限的概率为( )A.错误!B。
错误!C.错误!D。
错误!解析 A 由题意知：k有3种可能，b有3种可能,共有9种可能．所求事件应满足k〈0，b〉0，共2种可能，故直线y＝kx＋b不经过第三象限的概率为错误!。
5．四边形ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点．在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为（)A。
错误!B．1－错误!C。
错误!D．1－错误!解析 B如图,根据几何概型的概率公式得概率为P ＝错误!＝错误!＝1－错误!.6．设随机变量Y 的分布列为: Y －12 3 P 错误! m 14则“32≤Y ≤错误!"的概率为 A.错误!B 。
