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圆锥曲线的参数方程一、引言圆锥曲线是数学中重要的一类曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。
它们都可以用参数方程来表示，本文主要介绍圆锥曲线的参数方程。
首先，我们需要了解什么是参数方程。
二、什么是参数方程参数方程就是用一个或多个参数表示一个函数的坐标值。
例如，二维平面上的点(x,y)可以表示为x=f(t)，y=g(t)，其中t为参数。
这种表示方式在描述某些复杂图形时非常有用。
三、圆锥曲线的定义圆锥曲线是由一个平面截过一个双锥体所得到的曲线。
根据平面与双锥体的位置关系，可以分为以下三类：1.椭圆：当截面平面与两个母线夹角小于直角时，所得到的曲线为椭圆。
2.双曲线：当截面平面与两个母线夹角大于直角时，所得到的曲线为双曲线。
3.抛物线：当截面平面与一个母线垂直时，所得到的曲线为抛物线。
四、圆锥曲线的参数方程1.椭圆：椭圆的参数方程可以表示为：x=a*cos(t)y=b*sin(t)其中a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴，t为参数，取值范围为0到2π。
2.双曲线：双曲线的参数方程可以表示为：x=a*cosh(t)y=b*sinh(t)其中a和b分别为双曲线的长半轴和短半轴，cosh和sinh分别表示双曲余弦和双曲正弦函数，t为参数，取值范围为负无穷到正无穷。
3.抛物线：抛物线的参数方程可以表示为：x=a*ty=b*t^2其中a和b分别为抛物线的参数，t为参数，取值范围为负无穷到正无穷。
五、圆锥曲线的性质1.椭圆：椭圆是一个闭合曲线，对称轴相互垂直且相交于中心点。
它具有两个焦点和一条主轴。
椭圆上任意一点到两个焦点距离之和等于常数2a。
2.双曲线：双曲线是一个开放曲线，对称轴相互垂直且相交于中心点。
它具有两个焦点和一条主轴。
双曲线上任意一点到两个焦点距离之差等于常数2a。
3.抛物线：抛物线是一个开放曲线，对称轴垂直于平面。
它具有一个焦点和一条主轴。
抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到对称轴的距离。
六、总结圆锥曲线是数学中重要的一类曲线，它们可以用参数方程来表示。
椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222>>=+b a by a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a b x a y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围 x a y b ≤≤，x b y a ≤≤，顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴 x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、， 焦距 )0(221>=c c F F)0(221>=c c F F离心率 )10(<<=e ace )10(<<=e ace 准线2a x c=±2a y c=±参数方程与普通方程22221x y a b +=的参数方程为 ()cos sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数 22221y x a b +=的参数方程为 ()cos sin y a x b θθθ=⎧⎨=⎩为参数3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
圆锥曲线方程知识点总结圆锥曲线是解析几何中的重要内容，它包括圆、椭圆、双曲线和抛物线四种曲线。
在学习圆锥曲线的方程时，我们需要掌握各种曲线的标准方程、一般方程以及一些重要的性质和定理。
接下来，我们将对圆锥曲线方程的知识点进行总结，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一部分内容。
首先，我们来看圆的方程。
圆的标准方程是(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)为圆心坐标，r为半径。
而圆的一般方程是x² + y² + Dx + Ey + F = 0，其中D、E、F为常数。
在解析几何中，我们需要掌握如何由标准方程转化为一般方程，以及如何由已知条件确定圆的方程。
其次，我们来看椭圆的方程。
椭圆的标准方程是(x/a)² + (y/b)² = 1，其中a和b 分别为椭圆在x轴和y轴上的半轴长。
椭圆的一般方程是Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0，其中A、B、C、D、E为常数。
在学习椭圆的方程时，我们需要了解椭圆的离心率、焦点、长轴、短轴等重要概念，以及它们之间的关系。
接着，我们来看双曲线的方程。
双曲线分为两种类型，一种是横轴为对称轴的双曲线，另一种是纵轴为对称轴的双曲线。
横轴为对称轴的双曲线的标准方程是(x/a)² (y/b)² = 1，而纵轴为对称轴的双曲线的标准方程是(y/b)² (x/a)² = 1。
双曲线的一般方程也是由这些标准方程推导而来，我们需要掌握如何进行转化和确定双曲线的方程。
最后，我们来看抛物线的方程。
抛物线分为两种类型，一种是开口向上的抛物线，另一种是开口向下的抛物线。
开口向上的抛物线的标准方程是y² = 2px，开口向下的抛物线的标准方程是y² = -2px。
抛物线的一般方程也可以由这些标准方程推导而来，我们需要了解抛物线的焦点、准线、顶点等重要性质。
高中数学圆锥曲线知识点总结及公式大全一、圆锥曲线的基本概念圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线，它们是高中数学中重要的知识点之一。
圆锥曲线是由平面与圆锥的交线所形成的曲线，其基本概念包括焦点、准线和离心率等。
1. 焦点：圆锥曲线的焦点是到曲线的两个顶点距离相等的点，焦点到曲线的顶点的距离称为焦距。
椭圆和双曲线的焦点位于其对称轴上，而抛物线的焦点则位于其准轴上。
2. 准线：圆锥曲线的准线是与焦点垂直的直线，准线与曲线有两个交点。
在椭圆和双曲线中，准线是与主轴垂直的直线，而在抛物线中，准线是与主轴平行的直线。
3. 离心率：圆锥曲线的离心率是焦点到顶点的距离与准线到顶点的距离之比，离心率的大小可以反映曲线的形状。
椭圆的离心率在0和1之间，双曲线的离心率大于1，抛物线的离心率等于1。
二、圆锥曲线的公式1. 椭圆的标准方程及性质标准方程：$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a>b>0)性质：椭圆的范围、对称性、顶点、焦点、离心率等性质可以参照教材或辅导书。
2. 双曲线的标准方程及性质标准方程：$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} =1$ (a>0, b>0)性质：双曲线的范围、对称性、顶点、焦点、离心率等性质可以参照教材或辅导书。
3. 抛物线的标准方程及性质标准方程：$y^{2} = 2px$ ($p > 0$)或$x^{2} = 2py$ ($p > 0$) 性质：抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、离心率等性质可以参照教材或辅导书。
三、圆锥曲线的应用1. 椭圆的应用：椭圆在光学、机械、工程等领域有着广泛的应用。
例如，椭圆镜片可以纠正近视和远视，椭圆形状的机械零件可以减少振动和提高稳定性。
2. 双曲线应用：双曲线在热学、光学、工程等领域有着广泛的应用。
例如，双曲线冷却塔可以优化散热效果，双曲线形状的桥梁可以增强承受能力。
圆锥曲线方程知识点总结一、圆锥曲线的基本方程椭圆的标准方程如下：$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1. (a > b > 0)$$其中椭圆的长轴为$2a$，短轴为$2b$，焦距为$\sqrt{a^2 - b^2}$，离心率为$c/a$。
双曲线的标准方程如下：$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1. (a > 0, b > 0)$$其中双曲线的两个分支的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 + b^2}$。
抛物线的标准方程如下：$$x^2 = 4ay. (a > 0)$$其中抛物线的焦点为$(0, a)$，顶点为$(0, 0)$。
二、圆锥曲线的参数方程圆锥曲线还可以用参数方程表示。
以椭圆为例，其参数方程为：$$\begin{cases}x = a \cos \theta, \\y = b \sin \theta. \\\end{cases}$$其中$\theta$的取值范围为$[0, 2\pi]$。
双曲线和抛物线的参数方程也可以类似地表示。
三、圆锥曲线的极坐标方程圆锥曲线还可以用极坐标方程表示。
以椭圆为例，其极坐标方程为：$$r = \frac{ab}{\sqrt{a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta}}.$$其中$r$为极径，$\theta$为极角。
双曲线和抛物线的极坐标方程也可以类似地表示。
四、圆锥曲线的性质1. 圆锥曲线关于坐标轴的对称性：- 椭圆关于$x$轴和$y$轴都对称；- 双曲线关于$x$轴和$y$轴都对称；- 抛物线关于$y$轴对称。
2. 圆锥曲线的焦点、直径、离心率等：- 椭圆的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 - b^2}$，离心率为$e = c/a$；- 双曲线的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 + b^2}$，离心率为$e = c/a$；- 抛物线的焦点到中心的距离为$c = a$，离心率为$e = 1$。
圆锥曲线与方程1． 已知动抛物线的准线为x 轴，且经过点（0，2），求抛物线的顶点轨迹方程。
解：设抛物线的顶点坐标为)2,(),,(y x y x 则焦点坐标为， ……………………3分由题意得4)22(22=-+y x ， ………………6分即顶点的轨迹方程为.1)1(422=-+y x ………………8分 2.动点P 在x 轴与直线l ：y ＝3之间的区域（含边界）上运动，且到点F （0，1）和直线l的距离之和为4．（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）过点(0,1)Q -作曲线C 的切线，求所作的切线与曲线C 所围成区域的面积． 【解】（1）设P （x ，y ）＋3－y ＝4，化简，得y ＝14x 2（y ≤3）．…………………4分（2）设过Q 的直线方程为y ＝kx －1，代入抛物线方程，整理得x 2－4kx ＋4＝0． 由△＝16k 2－16＝0．解得k ＝±1．于是所求切线方程为y ＝±x －1（亦可用导数求得切线方程）. 切点的坐标为（2，1），（－2，1）．由对称性知所求的区域的面积为S ＝220132(1)d .44x x x ⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦⎰ ………………… 10分 3．已知圆F 1：(x ＋1)2＋y 2＝16，定点F 2(1，0)．动圆M 过点F 2，且与圆F 1相内切．（1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）若过原点的直线l 与（1）中的曲线C 交于A ，B 两点，且△ABF 1的面积为32，求直线l 的方程．解：（方法一）（1）设圆M 的半径为r ． 因为圆M 与圆F 1相内切，所以MF 1＝4－r ． 因为圆M 过点F 2，所以MF 2＝r ．所以MF 1＝4－MF 2，即MF 1＋MF 2＝4．………2分 所以点M 的轨迹C 是以F 1，F 2为焦点的椭圆．………且此椭圆的方程形式为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．其中2a ＝4，c ＝1，所以a ＝2，b ＝3．……………4分所以曲线C 的方程x 24＋y 23＝1．……………5分（方法二）设M (x ,y),由MF 1＋MF 2＝4得4= ……3分化简得x 24＋y 23＝1,所以曲线C 的方程x 24＋y 23＝1．…5分（2）（方法一）当直线l 的斜率不存在时， A ，B 两点的坐标分别是(0，3)，(0，－3)，此时S △ABF 1＝3≠32，不合题意．………………………………………………………6分设直线l 的方程为y ＝kx (k ≠0)，代入椭圆方程x 24＋y 23＝1，得y 1＝12k 23＋4k 2，y 2＝－12k 23＋4k 2．所以S △ABF 1＝S △AOF 1＋S △BOF 1＝12OF 1⋅∣y 1∣＋12OF 1⋅∣y 2∣＝12OF 1⋅(y 1－y 2)＝12k 23＋4k 2．……………………………………………7分因为S △ABF 1＝32，所以12k 23＋4k2＝32．解得k ＝±12． …………………………8分 故所求直线l 的方程为x ±2y ＝0．……………………………………………………10分 （方法二）因为直线l 过椭圆的中心，由椭圆的对称性可知，S △ABF 1＝2S AOF 1．因为S △ABF 1＝32，所以S AOF 1＝34． ………………………………6分 不妨设点A (x 1，y 1)在x 轴上方，则S AOF 1＝12⋅OF 1⋅y 1＝34．所以y 1＝32，x 1＝±3，即点A 的坐标为(3，32)或(－3，32)． (8)分所以直线l 的斜率为±12．故所求的直线l 的方程为x ±2y ＝0．…………………………………………………10分 4. 点(,)n n n P x y 在曲线:xC y e -=上，曲线C 在n P 处的切线n l 与x 轴相交于点1(,0)n n Q x +,直线1n t +：1n x x +=与曲线C 相交于点111(,)n n n P x y +++，（1,2,3,n =L ）.由曲线C 和直线n l ，1n t +围成的图形面积记为n S ，已知11x =.（1）证明：11n n x x +=+； （2）求n S 关于n 的表达式；（3）若数列{}n S 的前n 项之和为n T ，求证：11n n n nT x T x ++<（1,2,3,n =L ）.解（Ⅰ）证明：因为x y e -=，所以xy e -'=-，则切线n l 的斜率nx n k e -=-，所以切线n l 的方程为()nx n n y y ex x --=--，令0y =，得1n Q n x x =+，即11n n x x +=+·2分（Ⅱ）解：因为11x =，所以n x n =，所以11111(2)()()|222n nn x xx n n n n n n n x e e S e dx x x y e e e +---+-+-=--⋅=--⨯=⎰ ·5分（Ⅲ）证明：因为12(2)2()(1)22(1)n n n e e T e e e e e e e ------=++⋅⋅⋅+=--， 所以1111111111n n n n n n n T e e e T e e e e e --++-++---===+---，又1111n nx n x n n ++==+， 故要证11n n n n T x T x ++<，只要证111n e e e n+-<-，即要证1(1)n e e n e +>-+·7分下用数学归纳法（或用二项式定理，或利用函数的单调性）等方法来 证明1(1)n ee n e +>-+（略）·10分5．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点在原点，焦点F 的坐标为（1，0）． （1）求抛物线C 的标准方程；（2）设M 、N 是抛物线C 的准线上的两个动点，且它们的纵坐标之积为－4，直线MO ，NO 与抛物线C 的交点分别为点A 、B ．求证：动直线AB 恒过一个定点．解：（1）设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ＞0)，则p2＝1，p ＝2．所以抛物线C 的标准方程为y 2＝4x ．………………………………………………3分 （2）(方法一)抛物线C 的准线方程为x ＝－1，设M (－1，y 1)、N (－1，y 2)， 其中y 1y 2＝－4．则直线MO 的方程为：y ＝－y 1x ． 将y ＝－y 1x 与y 2＝4x 联立方程组．解得A 点坐标为(4y 21，－4y 1)．同理可得B 点坐标为(4y 22，－4y 2)．则直线AB 的方程为：y ＋4y 1－4y 2＋4y 1＝x －4y 214y 22－4y 21．整理，得(y 1＋y 2)y －4x ＋4＝0．由⎩⎨⎧y ＝0，－4x ＋4＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝0．故动直线AB 恒过一个定点(1，0)．………………10分(方法二)抛物线C 的准线方程为x ＝－1，设M (－1，y 1)、N (－1，y 2)． 由于y 1y 2＝－4，取y 1＝2，则y 2＝－2，可得M (－1，2)、N (－1，－2)．此时直线MO 的方程分别为y ＝－2x ，由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝－2x ．解得A 点坐标为(1，－2)．同理，可得B 点坐标为(1，2)．则直线AB 的方程为l 1：x ＝1． 再取y 1＝1，则y 2＝－4，同理可得A (4，－4)，B (14，1)．此时直线AB 方程为l 2：4x ＋3y －4＝0．于是可得l 1与l 2的交点为(1，0)． 下面验证对任意的y 1，y 2，当y 1y 2＝－4时，动直线AB 恒过一个定点(1，0)． 直线MO 的方程为：y ＝－y 1x ． 将y ＝－y 1x 与y 2＝4x 联立方程组．解得A 点坐标为（4y 21，－4y 1）．同理可得B 点坐标为（4y 22，－4y 2）．则直线AB 的方程为：y ＋4y 1－4y 2＋4y 1＝x －4y 214y 22－4y 21．整理，得(y 1＋y 2)y －4x ＋4＝0． 可得点(1，0)在直线AB 上．所以动直线AB 恒过一个定点(1，0)．………………………………………………10分 6.（本题满分10分）在平面直角坐标系xoy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点(2,2)A ，其焦点F 在x 轴上。
圆锥曲线公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：圆锥曲线是解析几何中的重要概念，它是平面上一类特殊曲线的总称，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。
在数学中，圆锥曲线的研究具有深远意义，它们在解决各种实际问题中发挥着重要作用。
本文将详细介绍圆锥曲线的公式及其性质，帮助读者更好地理解这些曲线在数学中的应用。
首先我们来看圆的公式。
圆是一种特殊的圆锥曲线，它被定义为平面上所有到某一点（圆心）距离相等的点的集合。
圆的标准方程为：(x-a)² + (y-b)² = r²其中(a, b)为圆心坐标，r为半径。
这个方程描述了平面上所有满足条件的点，构成了一个圆。
圆的性质包括与坐标轴的交点、圆心、半径等，这些性质在几何中有着重要的应用。
其中a和b分别为x轴和y轴上的半轴长。
椭圆在坐标轴上的形状、焦点位置等，都可以由这个方程来描述。
双曲线是另一种圆锥曲线，它由满足到两个定点（焦点）的距离之差为常数的点的集合构成。
双曲线的标准方程为：第二篇示例：圆锥曲线是数学中重要的曲线之一，它包括抛物线、椭圆、双曲线和圆。
在二维平面几何中，这些曲线可以用一般形式的方程表示。
本文将讨论圆锥曲线的公式和性质。
1. 抛物线的方程抛物线是一种平面曲线，其形状呈现对称性，并且可以看作是一个点到一条固定直线的距离等于一个常数的轨迹。
一般来说，抛物线的方程可以表示为：y=ax^2+bx+c其中a、b和c为常数，且a不为0。
这种形式的抛物线称为标准形式的抛物线方程。
抛物线的开口方向取决于系数a的正负性。
2. 椭圆的方程椭圆是另一种常见的圆锥曲线，它与抛物线不同的是，椭圆是一个点到两个固定点（焦点）的距离之和等于一个常数的轨迹。
椭圆的方程可以表示为：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1其中a和b为正常数，且a和b之间的大小关系可以决定椭圆的长短轴方向。
3. 双曲线的方程双曲线也是圆锥曲线的一种类型，它的形状类似两条平行的直线。
2.5 圆锥曲线与方程1．曲线的方程和方程的曲线的概念：在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程 f(x,y)=0的实数解满足下列关系：(1) 曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2) 以这个方程的解为坐标的点都在曲线上.这个方程叫做曲线的方程；这个曲线叫做方程的曲线.说明：（1）曲线的方程—反映的是图形所满足的数量关系;方程的曲线—反映的是数量关系所表示的图形.（2）“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”,阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外.（纯粹性）（3）“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”,阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏.（完备性）由曲线的方程的定义可知:如果曲线C的方程是 f(x,y)=0，那么点P0(x0 ,y0)在曲线 C 上的充要条件是f(x0 ,y0)=02．求曲线方程的一般步骤：（1）建系：建立适当的坐标系，用 M(x,y) 表示曲线上任意一点;（2）几何列式：写出满足条件的点Ｍ的集合｛Ｍ/Ｐ(M) ｝;（3）代数方程：将Ｍ点坐标（x,y）代入几何条件，列出方程 f (x,y) =0;（4）化简：化方程为最简形式；（5）证明：验证化简过的方程所表示的曲线是否是已知点的轨迹。
圆锥曲线的综合问题包括：解析法的应用，数形结合的思想，与圆锥曲线有关的定值、最值等问题，主要沿着两条主线，即圆锥曲线科内综合与代数间的科间综合，灵活运用解析几何的常用方法，解决圆锥曲线的综合问题；通过问题的解决，进一步掌握函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想.4．解析几何与坐标法：我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法. 在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成了一门叫解析几何的学科.因此，解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科.5．平面解析几何研究的主要问题：（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；（2）通过方程，研究平面曲线的性质.6．求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：(1)建系设点：建立适当的坐标系,用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标；(2)列式:写出适合条件p的点M集合P={M|p(M)}(3)代换:用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;(4)化简:化方程f(x,y)=0为最简形式；(5)审查:说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明.另外，根据情况，也可以省略步骤（2），直接列出曲线方程.7．求轨迹方程的常见方法:①直接法②定义法③代入法④参数法（1）直接法: 求轨迹方程最基本的方法, 直接通过建立x, y之间的关系, 构成 F(x, y)=0 即可.（2）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程。
(2013，山东，理11)抛物线C 1：y ＝212x p(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：2213x y -=的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )．A． B． C． D．答案：D 解析：设M 2001,2x x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，21''2x y x p p⎛⎫== ⎪⎝⎭，故在M点处的切线的斜率为0x p =M 1,6p p ⎫⎪⎪⎝⎭.由题意又可知抛物线的焦点为0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭，双曲线右焦点为(2,0)，且1,36p p ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(2,0)三点共线，可求得pD. (2013，山东，理22)(本小题满分13分)椭圆C ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接PF 1，PF 2.设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M (m,0)，求m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点．设直线PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2.若k ≠0，试证明1211kk kk +为定值，并求出这个定值． (1)解：由于c 2＝a 2－b 2，将x ＝－c 代入椭圆方程2222=1x y a b+，得2b y a =±，由题意知22=1b a ，即a ＝2b 2.又c e a ==，所以a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程为2214x y +=. (2)解法一：设P (x 0，y 0)(y 0≠0)． 又F 1(0)，F 20)， 所以直线PF 1，PF 2的方程分别为lPF 1：y 0x －(x 0y0＝0， lPF 2：y 0x －(x 0y0＝0..由于点P 在椭圆上，所以220014x y +=，=因为m2＜x 0＜2，=所以m ＝034x .因此3322m -<<.解法二：设P (x 0，y 0)．当0≤x 0＜2时，①当0x =PF 2的斜率不存在，易知P 12⎫⎪⎭或P 12⎫-⎪⎭. 若P 12⎫⎪⎭，则直线PF 1的方程为0x -=.m =，因为m所以4m =. 若P 12⎫-⎪⎭，同理可得m =②当x 0设直线PF 1，PF 2的方程分别为y ＝k 1(x，y ＝k 2(x．=，21221111k k +=+. 因为220014x y +=， 并且k 1，k 2，22=22==.因为为mx0＜2且x0=.整理得m＝034x，故0≤m＜32且m≠4.综合①②可得0≤m＜32.当－2＜x0＜0时，同理可得32-＜m＜0.综上所述，m的取值范围是33,22⎛⎫-⎪⎝⎭.(3)设P(x0，y0)(y0≠0)，则直线l的方程为y－y0＝k(x－x0)．联立22001,4xyy y k x x⎧+=⎪⎨⎪-=(-)⎩整理得(1＋4k2)x2＋8(ky0－k2x0)x＋4(2y－2kx0y0＋22k x－1)＝0. 由题意Δ＝0，即22(4)x k-＋2x0y0k＋1－2y＝0.又2214xy+=，所以2216y k＋8x0y0k＋2x＝0，故k＝04xy-.由(2)知00012000211x x xk k y y y+=+=，所以121211111kk kk k k k⎛⎫+=+⎪⎝⎭＝000042=8y xx y⎛⎫-⋅-⎪⎝⎭，因此1211kk kk+为定值，这个定值为－8.(2012，山东，理10)已知椭圆C ：的离心率为，双曲线x ²-y ²＝1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆c 的方程为答案：D解析：双曲线x ²-y ²＝1的渐近线方程为x y ±=，代入可得164,222222==+=x S b a b a x ，则)(42222b a b a +=，又由23=e 可得b a 2=，则245b b =，于是20,522==a b 。
椭圆方程为152022=+y x ，答案应选D 。
(2012，山东，理21)在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线C ：x 2=2py （p ＞0）的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过M ，F ，O 三点的圆的圆心为Q ，点Q 到抛物线C 的准线的距离为34。
（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）是否存在点M ，使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）若点M l ：y=kx+14与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，l 与圆Q 有两个不同的交点D ，E ，求当12≤k ≤2时，的最小值。
解析：（Ⅰ）F 抛物线C ：x 2=2py （p ＞0）的焦点F )2,0(p，设M )0)(2,(0200>x px x ，),(b a Q ，由题意可知4p b =，则点Q 到抛物线C 的准线的距离为==+=+p p p p b 4324234，解得1=p ，于是抛物线C 的方程为y x 22=.（Ⅱ）假设存在点M ，使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M ，而)2,(),0,0(),21,0(200x x M O F ，)41,(a Q ，QF OQ MQ ==，161)412()(222020+=-+-a x a x ，030838x x a -=，由y x 22=可得x y ='，030200838241x x x x k --==，则20204021418381x x x -=-， 即022040=-+x x ，解得10=x ，点M 的坐标为)21,1(.[来源:] （Ⅲ）若点MM )1,2(，)41,82(-Q 。
由⎪⎩⎪⎨⎧+==4122kx y yx 可得02122=--kx x ，设),(),,(2211y x B y x A ，]4))[(1(2122122x x x x k AB -++=)24)(1(22++=k k圆323161642)21()82(:22=+=-++y x Q ，22182182kk kk D +=+-⋅=)1(823])1(32323[422222k k k k DE ++=+-=， 于是)1(823)24)(1(222222k k k k DE AB +++++=+，令]5,45[12∈=+t k 418124812)24()1(823)24)(1(2222222++-=++-=+++++=+t t t t t t t k k k k DE AB ，设418124)(2++-=t t t t g ，28128)(tt t g --='， 当]5,45[∈t 时，08128)(2>--='t t t g ，即当21,45==k t 时101441458145216254)(min =+⨯+⨯-⨯=t g .故当21=k 时，1014)(min 22=+DE AB .(2011，山东，理8)已知双曲线22221(0b 0)x y a a b-=＞，＞的两条渐近线均和圆C:22650x y x +-+=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为(A)22154x y -= (B) 22145x y -= (C) 22136x y -= (D) 22163x y -= 【命题意图】本题考查双曲线的方程和圆的方程以及直线与圆的位置关系。
【答案】A 【解析】由圆C:22650x y x +-+=得:22(3)4x y -+=,因为双曲线的右焦点为圆C 的圆心(3,0),所以c=3,又双曲线的两条渐近线0bx ay ±=均和圆C 相切,2=,即32b c =,又因为c=3,所以b=2,即25a =,所以该双曲线的方程为22154x y -=,故选A. 【点评】圆锥曲线和圆的结合的题型将会在以后的考试中大量出现。
(2011，山东，理22)已知动直线l 与椭圆C: 22132x y +=交于P ()11,x y 、Q ()22,x y 两不同点，且△OPQ 的面积OPQ S ∆其中O 为坐标原点. （Ⅰ）证明2212x x +和2212y y +均为定值;（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求||||OM PQ ⋅的最大值；（Ⅲ）椭圆C 上是否存在点D,E,G ，使得ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由.【解析】解：（Ⅰ）当直线l 的斜率不存在时，P ，Q 两点关于x 轴对称，则，由在椭圆上，则，而，则，于是，；当直线l 的斜率存在，设直线l 为y=kx+m ，代入可得，即，△＞0，即，，，，，则，满足△＞0，，；综上可知，。
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，由（Ⅰ）知；当直线l的斜率存在时，由（Ⅰ）知，，，，，当且仅当，即时等号成立；综上可知的最大值为。
（Ⅲ）假设椭圆上存在三点D，E，G，使得，由（Ⅰ）知，，解得，，因此只能从中选取，只能从±1中选取，因此D，E，G只能从中选取三个不同点，而这三点的两两连线必有一个过原点，这与相矛盾，故椭圆上不存在三点D，E，G，使得。
【命题意图】本题考查直线的方程、椭圆的方程、直线和曲线的位置关系。
考查等价转化思想、数形结合思想，考查分析问题、解决问题的能力。
【点评】加强圆锥曲线问题的研究。
(2013，山东，文11同理11)抛物线)0(21:21>=p x py C 的焦点与双曲线222:13x C y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M ，若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则p =(A)163 (B)83 (C)332 (D) 334 答案：D(2013，山东，文22) 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2(Ⅰ)求椭圆C 的方程(II)A,B 为椭圆C 上满足AOB ∆E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 与点P ，设OP tOE =，求实数t 的值解答：(2012，山东，文11) (11)已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为(A) 2x y =(B) 2x y = (C)28x y = (D)216x y = 【解析】抛物线的焦点 )2,0(p ，双曲线的渐近线为x a b y ±=，不妨取x a by =，即0=-ay bx ，焦点到渐近线的距离为2222=+⨯b a pa ，即cb a ap 4422=+=，所以4p a c =双曲线的离心率为2=a c ，所以24==pa c ，所以8=p ，所以抛物线方程为y x 162=，选D.【答案】D(2012，山东，文21)如图，椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的x a =±和y b =±所围成的矩形ABCD 的面积为8.(Ⅰ)求椭圆M 的标准方程；(Ⅱ) 设直线:()l y x m m =+∈R 与椭圆M 有两个不同的交点,,P Q l 与矩形ABCD 有两个不同的交点,S T .求||||PQ ST 的最大值及取得最大值时m 的值.【答案】(21)(I)22234c a b e a a -===……① 矩形ABCD 面积为8，即228a b ⋅=……② 由①②解得：2,1a b ==，∴椭圆M 的标准方程是2214x y +=.(II)222244,58440,x y x mx m y x m ⎧+=⇒++-=⎨=+⎩，设1122(,),(,)P x y Q x y ，则21212844,55m x x m x x -+=-=，由226420(44)0m m ∆=-->得m <.||PQ =.当l 过A 点时，1m =，当l 过C 点时，1m =-.①当1m <<-时，有(1,1),(2,2),||)S m T m ST m ---++，||||PQ ST =其中3t m =+，由此知当134t =，即45,(1)33t m ==-∈-时，||||PQ ST .②由对称性，可知若1m <53m =时，||||PQ ST .③当11m -≤≤时，||ST =||||PQ ST =，由此知，当0m =时，||||PQ ST综上可知，当53m =±和0时，||||PQ ST .(2011，山东，文9)设M(0x ，0y )为抛物线C ：28x y =上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、FM 为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则0y 的取值范围是(A)(0，2) (B)[0，2] (C)(2，+∞) (D)[2，+∞)【命题意图】本题考查抛物线的定义的应用、考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想和基本运算能力。
