2018届苏教版(文科数学) 大题规范练6 “17题～19题+二选一”46分练 (2) 单元测试

大题规范练(二) “17题～19题＋二选一”46分练(时间：45分钟 分值：46分)解答题(本大题共4小题，共46分，第22～23题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．如图4，已知点O 为△ABC 的外心，∠BAC ，∠ABC ，∠ACB 的对边分别为a ，b ，c ，且2OA→＋3OB →＋4OC →＝0.图4(1)求cos ∠BOC 的值；(2)若△ABC 的面积为15，求b 2＋c 2－a 2的值.【导学号：07804231】[解] (1)设△ABC 外接圆的半径为R ，由2OA →＋3OB →＋4OC →＝0得3OB →＋4OC →＝－2OA→， 两边平方得9R 2＋16R 2＋24R 2cos ∠BOC ＝4R 2， 所以cos ∠BOC ＝－21R 224R 2＝－78.(2)由题意可知∠BOC ＝2∠BAC ，∠BAC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos ∠BOC ＝cos 2∠BAC＝2cos 2∠BAC －1＝－78，从而cos ∠BAC ＝14， 所以sin ∠BAC ＝1－cos 2∠BAC ＝154，△ABC 的面积S ＝12bc sin ∠BAC ＝158bc ＝15，故bc ＝8， 从而b 2＋c 2－a 2＝2bc cos ∠BAC ＝2×8×14＝4.18．某项 研活动共进行了5次试验，其数据如下表所示：(1)600的概率；(2)求特征量y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，并预测当特征量x 为570时特征量y 的值．(附：回归直线y ^＝b^x ＋a ^的斜率和截距的最小二乘估计分别为b ^＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2，a^＝y －b ^x )[解] (1)记“至少有一个大于600”为事件A ，则P (A )＝1－C 23C 25＝710.(2)由题中表格可知，x ＝555＋559＋551＋563＋5525＝556，y ＝601＋605＋597＋599＋5985＝600.∴b ^＝－1×1＋3×5＋(－5)×(－3)＋7×(－1)＋(－4)×(－2)(－1)2＋32＋(－5)2＋72＋(－4)2＝30100＝0.3，a^＝y －b ^x ＝600－0.3×556＝433.2， ∴线性回归方程为y ^＝0.3x ＋433.2.当x ＝570时，y ^＝0.3×570＋433.2＝604.2， 故特征量x 为570时，特征量y 的估计值为604.2.19．在平面四边形ACBD (如图5(1))中，△ABC 与△ABD 均为直角三角形且有公共斜边AB ，设AB ＝2，∠BAD ＝30°，∠BAC ＝45°，将△ABC 沿AB 折起，构成如图5(2)所示的三棱锥C ′-ABD ，且使C ′D ＝ 2.图5(1) 图5(2)(1)求证：平面C ′AB ⊥平面DAB ； (2)求二面角A -C ′D -B 的余弦值．[解] (1)证明：取AB 的中点O ，连接C ′O ，DO ， 在Rt △AC ′B ，Rt △ADB 中，AB ＝2，C ′O ＝DO ＝1. 又∵C ′D ＝2，∴C ′O 2＋DO 2＝C ′D 2，即C ′O ⊥OD .又∵C ′O ⊥AB ，AB ∩OD ＝O ，AB ，OD ⊂平面ABD ， ∴C ′O ⊥平面ABD .又∵C ′O ⊂平面ABC ′，∴平面C ′AB ⊥平面DAB .(2)以O 为原点，AB ，OC ′所在的直线分别为y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A (0，－1,0)，B (0,1,0)，C ′(0,0,1)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，∴AC ′→＝(0,1,1)，BC ′→＝(0，－1,1)，C ′D →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，－1.设平面AC ′D 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1⊥AC ′→，n 1⊥C ′D →，即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AC′→＝0，n 1·C ′D →＝0，⎩⎨⎧y 1＋z 1＝0，32x 1＋12y 1－z 1＝0，令z 1＝1，则y 1＝－1，x 1＝3，∴n 1＝(3，－1,1)．设平面BC ′D 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n 2⊥BC ′→，n 2⊥C ′D →，即⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BC′→＝0，n 2·C ′D →＝0，⎩⎨⎧－y 2＋z 2＝0，32x 2＋12y 2－z 2＝0，令z 2＝1，则y 2＝1, x 2＝33，∴n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1，1，∴cos 〈n 1，n 2〉＝3×33＋(－1)×1＋1×13＋1＋1×13＋1＋1＝15×73＝10535， 二面角A -C ′D -B 的余弦值为－10535.(请在第22～23题中选一题作答，如果多做，则按照所做第一题计分) 22．选修4－4：标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋2ρ2sin 2θ＝12，且直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点． (1)求曲线C 的直角坐标方程及直线l 恒过的定点A 的坐标； (2)在(1)的条件下，若|AP ||AQ |＝6，求直线l 的普通方程． [解] (1)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴C ：x 2＋2y 2＝12. 直线l 恒过的定点为A (2,0)．(2)把直线l 的方程代入曲线C 的直角坐标方程中得： (sin 2α＋1)t 2＋4(cos α)t －8＝0.由t 的几何意义知|AP |＝|t 1|，|AQ |＝|t 2|.∵点A 在椭圆内，这个方程必有两个实根，∴t 1t 2＝－8sin 2α＋1，∵|AP ||AQ |＝|t 1t 2|＝6，即81＋sin 2α＝6，∴sin 2α＝13，∵α∈(0，π)， ∴sin α＝33，cos α＝±63， ∴直线l 的斜率k ＝±22，因此，直线l 的方程为y ＝22(x －2)或y ＝－22(x －2)． 23．选修4-5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x －3|＋|x ＋m |(x ∈R )． (1)当m ＝1时，求不等式f (x )≥6的解集；(2)若不等式f (x )≤5的解集不是空集，求参数m 的取值范围.【导学号：07804232】[解] (1)当m ＝1时，f (x )≥6等价于⎩⎨⎧x ≤－1－(x ＋1)－(x －3)≥6，或⎩⎨⎧ －1＜x ＜3(x ＋1)－(x －3)≥6，或⎩⎨⎧x ≥3(x ＋1)＋(x －3)≥6， 解得x ≤－2或x ≥4，所以不等式f (x )≥6的解集为{x |x ≤－2或x ≥4}． (2)法一：化简f (x )得， 当－m ≤3时，f (x )＝⎩⎨⎧－2x ＋3－m ，x ≤－m m ＋3，－m ＜x ＜32x ＋m －3，x ≥3，当－m ＞3时，f (x )＝⎩⎨⎧－2x ＋3－m ，x ≤3－3－m ，3＜x ＜－m ，2x ＋m －3，x ≥－m根据题意得：⎩⎨⎧－m ≤3m ＋3≤5，即－3≤m ≤2，或⎩⎨⎧－m ＞3－m －3≤5，即－8≤m ＜－3， ∴参数m 的取值范围为{m |－8≤m ≤2}．法二：∵|x －3|＋|x ＋m |≥|(x －3)－(x ＋m )|＝|m ＋3|， ∴f (x )min ＝|3＋m |， ∴|m ＋3|≤5， ∴－8≤m ≤2，∴参数m 的取值范围为{m |－8≤m ≤2}．。

大题规范练(五)“17题～19题＋二选一”46分练(时间：45分钟分值：46分)解答题(本大题共4小题，共46分，第22～23题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．如图8，已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝120°.图8(1)若c＝1，求△ABC面积的最大值；(2)若a＝2b，求tan A.【导学号：07804237】[解](1)由余弦定理得a2＋b2－2ab cos 120°＝1，a2＋b2＋ab＝1≥2ab＋ab＝3ab，当且仅当a＝b时取等号，解得ab≤1 3，故S△ABC ＝12ab sin C＝34ab≤312，即△ABC面积的最大值为312.(2)∵a＝2b，∴由正弦定理得sin A＝2sin B，又C＝120°，∴A＋B＝60°，∴sin A＝2sin(60°－A)＝3cos A－sin A，∴3cos A＝2sin A，∴tan A＝3 2.18．某仪器经过检验合格才能出厂，初检合格率为34：若初检不合格，则需要进行调试，经调试后再次对其进行检验；若仍不合格，作为废品处理，再检合格率为45.每台仪器各项费用如表：(1)(2)求生产一台仪器所获得的利润为1 600元的概率(注：利润＝出厂价－生产成本－检验费－调试费)；(3)假设每台仪器是否合格相互独立，记X 为生产两台仪器所获得的利润，求X 的分布列和数学期望．[解] (1)记每台仪器不能出厂为事件A ，则P (A )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45＝120， 所以每台仪器能出厂的概率P (A )＝1－120＝1920. (2)生产一台仪器利润为1 600的概率P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×45＝15.(3)X 可取3 800,3 500,3 200,500,200，－2 800.P (X ＝3 800)＝34×34＝916，P (X ＝3 500)＝C 12×15×34＝310，P (X ＝3 200)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝125，P (X ＝500)＝C 12×34×⎝ ⎛⎭⎪⎫14×15＝340，P (X ＝200)＝C 12×15×⎝ ⎛⎭⎪⎫14×15＝150，P (X ＝－2 800)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14×152＝1400.X 的分布列为：E (X )＝3 800×916＋3 500×310＋3 200×125＋500×340＋200×150＋(－2 800)×1400＝3 350.19．如图9，在底面为直角梯形的四棱锥P -ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AC 与BD 相交于点E ，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝4，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6. (1)求证：BD ⊥平面P AC ；图9(2)求二面角A -PC -D 的余弦值．[解] (1)证明：∵P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴BD ⊥P A .又tan ∠ABD ＝AD AB ＝33，tan ∠BAC ＝BCAB ＝ 3. ∴∠ABD ＝30°，∠BAC ＝60°， ∴∠AEB ＝90°，即BD ⊥AC . 又P A ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面P AC . (2)建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则A (0,0,0)，B (23，0,0)，C (23，6,0)，D (0,2,0)， P (0,0,4)，CD→＝(－23，－4,0)，PD →＝(0,2，－4)，BD →＝(－23,2,0)， 设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y,1)， 则CD →·n ＝0，PD →·n ＝0， ∴⎩⎨⎧－23x －4y ＝02y －4＝0， 解得⎩⎨⎧x ＝－433y ＝2，∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－433，2，1. 由(1)知平面P AC 的一个法向量为m ＝BD→＝(－23，2,0)，∴cos 〈m ，n 〉＝m·n |m |·|n |＝39331， 即二面角A -PC -D 的余弦值为39331.(请在第22～23题中选一题作答，如果多做，则按照所做第一题计分) 22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝t (t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为ρ2＝cos 2θ＋sin θ(ρ≥0)． (1)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长度；(2)若M ，N 是曲线C 上两点，且OM ⊥ON ，求线段MN 长度的最大值． [解] (1)由题意知，直线l 的普通方程为y ＝33x ，则其极坐标方程为θ＝π6或θ＝7π6，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ1，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，7π6，把θ＝π6代入ρ2＝cos 2θ＋sin θ，得ρ21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋12＝54，所以|OA |＝52； 把θ＝7π6代入ρ2＝cos 2θ＋sin θ，得ρ22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322－12＝14，所以|OB |＝12， 所以线段AB 的长度为52＋12＝5＋12.(2)设M (ρ3，α)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ4，α＋π2，则|OM |2＝cos 2α＋sin α，|ON |2＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝sin 2α＋cos α， 所以|MN |2＝|OM |2＋|ON |2＝cos 2α＋sin α＋sin 2α＋cos α＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，故当α＝π4时，|MN |取得最大值1＋ 2. 23．选修4-5：不等式选讲已知f (x )＝2|x ＋1|－x 的最小值为b . (1)求b ；(2)已知a ≥b ，求证：2a －b ＋a 2－b ≥a .[解] (1)f (x )＝2|x ＋1|－x ＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≥－1，－3x －2，x ＜－1，所以b ＝f (x )min ＝f (－1)＝1. (2)证明：由(1)知b ＝1， 设a ＝1＋m (m ≥0)，则 2a －b ＋a 2－b ＝2a －1＋a 2－1＝2(1＋m )－1＋(1＋m )2－1 ＝1＋2m ＋m 2＋2m ≥1＋m ＝a .。

2018届江苏省高考数学模拟试卷(17)第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． 1． 已知集合{}{}=02=a A B a b ，，，，且{}=3AB ，则b 的值为 ▲ ．2． 若复数1i z =2i m -+（i 为虚数单位）的模等于1，则实数m 的值为 ▲ ．3．对某种花卉的开放花期追踪调查，调查情况如下：则这种花卉的平均花期为____▲____天．4． 将编号为1，2，3的三个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子（每个 盒子中均有球），则编号为2的球不在编号为2的盒子中的概率为 ▲ ． 5． 右图是某算法的伪代码，则输出的S 的值是 ▲ ．6． 将函数()π()2sin 26f x x =+的图象至少向右平移 ▲ 个单位，所得图象恰关于坐标原点对称．7． 已知正数a ，b 满足a 2-ab 10+=，则8a b +的最小值为 ▲ ． 8. 如图，在24⨯的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a ，b ， 则向量a +b ，-a b 的夹角余弦值是 ▲ ．9． 已知各项均为正数的等比数列 {}n a 中，7892=a a a +．数列{}n b 满足2=log n n b a ，且其前10项 为45，则数列{}n a 的通项公式为 ▲ ．10．在棱长为2的正四面体P ABC -中，M ，N 分别为P A ，BC 的中点，点D 是线段PN 上一点，且 2P D D N =，则三棱锥P MBD -的体积为 ▲ ．11．在等腰直角三角形ABC 中，点B 为直角顶点，点E ，F 在边BC 上（E 在F 的左侧），且AB 3=， EF 1=，1tan 4EAF ∠=，则线段BE 长为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0)(0)A t t ->，，(0)B t ，，点C 满足8AC BC ⋅=，且点C 到 直线l ：34240x y -+=的最小距离为95，则实数t 的值是 ▲ .13． 若存在x ∈R ，使得2342x xxa --≥（0a >且1a ≠）成立，则实数a 的取值范围是 ▲ .14．设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，()12()(0)233m m f x x x m m =-+-->，若对任意的实数x ，都有(1)()f x f x -≤成立，则m 的最大值是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin()sin 1A B C -+=．（第5题）（第8题）ABDC·E（第17题）（第18题）（1）求sin cos A B 的值； （2）若2a b =，求sin A 的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，且AD BC ∥，90BAD ∠=°，PA AB =，M ，N 分别为PC ，PB 的中点， ． （1）求证：MN ∥平面PAD ； （2）求证：PB ⊥平面ADMN ．17．（本小题满分14分）下图是一块平行四边形园地ABCD ，经测量，AB =20 m ，BC =10 m ，120ABC ∠=°．拟过线段AB 上一点E 设计一条直路EF （点F 在四边形ABCD 的边上，不计路的宽度），将该园地分为面 积之比为3:1的左、右两部分分别种植不同花卉．设EB x EF y ==，（单位：m ）．（1）当点F 与点C 重合时，试确定点E 的位置； （2）求y 关于x 的函数关系式； （3）请确定点E ，F 的位置，18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：22221(0)y x ab a b+=>>的离心率为，点()12 33A ，在椭圆E 上，射线AO 与椭圆E 的另一交点为B ，点(4)P t t -，在椭圆E 内部，射线AP ，BP 与椭圆E 的另一交点分别为C ，D ． （1）求椭圆E 的方程；（2）求证：直线CD 的斜率为定值．19．（本小题满分16分）已知函数1()ln f x a x x =+，a ∈R ．（1）若()f x 有极值，求a 的取值范围；（2）若()f x 有经过原点的切线，求a 的取值范围及切线的条数，并说明理由．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的各项均为正数，且对任意不小于2的正整数n ，都有123a a a +++⋅⋅⋅1n n a ka -++21n ta =-（k ，t 为常数）成立．PMC DNB A（第16题）（1）若12k =，14t =，问：数列{}n a 是否为等差数列？并说明理由；（2）若数列{}n a 是等比数列，求证：t =0，且0k <．PABCD第22题图第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 共4小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．（选修４－１：几何证明选讲）如图，C ，D 是直径为AB 的半圆上的两个不同的点，AC 与BD 交于点E ，点F 在弦BD 上，且△ACD ∽△BCF ，证明：△ABC ∽△DFC ．B ．（选修４－２：矩阵与变换） 已知矩阵1214⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ．求矩阵A 的特征值和特征向量． C ．（选修４－４：坐标系与参数方程） 在极坐标系中，两条曲线的极坐标方程分别为1ρ=，()2sin 6πρθ=-，它们相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．D ．（选修４－５：不等式选讲） 设1a ，2a ，3a 均为正数，且1231a a a ++=，求123111a a a ++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分) 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AB ∥CD ．若棱AB ，AD ，AP 两两垂直，长度分别为1，2，2，且向量PC 与BD 夹角的余弦值为1515． （1）求CD 的长度；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．23．（本小题满分10分）已知抛物线1C 的方程为)0(2>=a ax y ，F 是其焦点．圆2C 的方程为5)1(22=++y x ，直线m x y l +=2:1（0<m ）是1C 、2C 的公切线．B（第21题A ） F（1）求m 与a 的值；（2）设A 是1C 上的一动点，以A 为切点的1C 的切线l 交y 轴于点B ，设FB FA FM +=， 证明：点M 在一定直线上．第23题图2018届江苏省高考数学模拟试卷(17)第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1.3.2.±2.3.16.4.23 .5.13.6.π12 .7.6.8..9.12n n a -= .【解析】设数列{}n a 的公比为q ()0q >，由已知得27772=a a q a q +，解得2q =，所以()12121=log 2log 1n n b a a n -⋅=+-，则其前10项和为()()2110log 1121045a -++++=，故21log 0a =，11a =，所以12n n a -=．.【解析】正四面体P ABC -的体积13V =三棱锥P MBD -的体积为正四面体体积的16，所以P MBD V -=．.【解析】设BE x =，则tan 3x BAE ∠=，1tan 3x BAF +∠=，所以1133tan 14133x xEAF x x +-∠=++⋅=，解得x =． 12.1.【解析】设() C x y ，，则2228AC BC x y t ⋅=+-=，所以点C为半径的圆，故圆心到直线的距离24955d ==1t =（负舍）. 13.([)19022⎤+∞⎥⎦，， .【解析】两边取2为底的对数，则()2234log x a x x --≥，即()22213log 4log 0x a x a -++≤，所以()22213log 16log 0a a ∆=+-≥，整理得()2229log 10log 10a a -+≥，即21log 9a ≤或2log 1a ≥，则1902a <≤或2a ≥.14.12.【解析】当x ≥0时，()23122() 233333 03m x m x m m m m m f x x x m x m x x ⎧-⎪⎪⎪=-+--=-<⎨⎪⎪-<⎪⎩≤≤，≥，，,在平面直角坐标系中画出f (x )的图象，其至少向右平移2m 个单位可以满足恒小于或等于f (x )，又因为f (x －1) ≤f (x )，所以2m ≤1，得解. 二、解答题15．（1）因为πA B C ++=， 所以sin()sin A B C +=， …… 2分 从而1sin()sin A B C =-+ sin()sin()A B A B =-++()()sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A B A B =-++ …… 4分 2sin cos A B =，故1sin cos 2A B =； …… 6分 （2）由2a b =及正弦定理得，sin 2sin A B =， …… 8分 故1sin cos 2sin cos sin 22A B B B B ===，且sin 2sin 1A B =≤，所以1sin 2B ≤，又易得a b >，从而A B >，故(π06B ⎤∈⎥⎦，，即(π203B ⎤∈⎥⎦，，所以π26B =，即π12B =， …… 12分此时()()πππππππsin 2sin 2sin 2sin cos cos sin 12464646A ==-=⨯-=．…… 14分16．（1）由M ，N 分别为PC ，PB 的中点，得MN BC ∥，因为BC AD ∥，故MN AD ∥， …… 2分 又因为MN ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以MN ∥平面PAD ； …… 6分 （2）因为N 是PB 的中点，PA AB =，所以AN PB ⊥.因为PA ⊥底面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥， …… 8分 因为90BAD ∠=°，即BA AD ⊥， 又PAAB A =，PA AB ⊂，平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ， …… 11分 又PB ⊂平面PAB ，故PB ⊥AD ， A NA D A =，AN AD ⊂，平面ADMN ，PB ⊥平面ADMN ． …… 14分17．（1）当点F 与点C 重合时，由题设知，S △BEC 14=S □ABCD ， 于是1124EB h AB h ⋅=⋅，其中h 为平行四边形AB 边上的高，得12EB AB =，即点E 是AB 的中点． ……4分 （2）因为点E 在线段AB 上，所以020x ≤≤． 当1020x ≤≤时，由（1）知，点F 在线段BC 上， 因为AB =20 m ，BC =10 m ，120ABC ∠=°，所以S □ABCD sin 2010AB BC ABC =⋅⋅∠=⨯=由S △EBF 12x BF =⋅⋅sin120°=100BF x =，所以由余弦定理得y EF ==当010x <≤时，点F 在线段CD 上，由S 四边形EBCF ()1102x CF =+⨯⨯sin 60°=得10CF x =-，当BE CF ≥时，EF = 当BE CF <时，EF ，化简均为y EF ==综上，101020x y x ⎧<=0≤，≤≤． …… 10分 （3）当010x <≤时，y == 于是当52x =时，min y =，此时15102CF x =-=；当1020x ≤≤时，y => 故当E 距B 点2.5m ，F 距C点7.5m 时，EF 最短，其长度为． …… 14分 18．（1）易得()()222212331a b+==，解得21a =，212b =，所以椭圆E 的方程为2221x y +=； ……… 6分（2）设00()P x y ，，11( )A x y ，，22( )B x y ，，33( )C x y ，，44( )D x y ，， 则0040x y +=，221121x y +=，222221x y +=， ……… 8分 又设1AP PC λ=，2BP PD λ=，其中12λλ∈R ，， 则1013110131(1) (1) x x x y y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩，，代入椭圆2221x y +=并整理得，22222210011101011(1)(2)(2)2(1)(2)x y x y x x y y λλλ++++-++=，从而有 2210001011(1)(2)2(2)1x y x x y y λλ++-+=-， ① ……… 12分同理可得，2220002022(1)(2)2(2)1,x y x x y y λλ++-+=-②①－②得，221200()(21)0x y λλ-+-=， ……… 14分因为220021x y +<,所以12λλ=，从而//AB CD ，故2CD AB k k ==. ……… 16分19．（1）易得2211()(0)a ax f x x x x x-'=-=>， …… 2分 若0a ≤，则()0f x '<，从而()f x 无极值；若a > 0，则当1x a <时，()0f x '<；1x a >时，()0f x '>，此时()f x 有极小值()1f a ．综上，a 的取值范围是(0)+∞，． …… 4分 （2）设P (x 0，y 0) 是经过原点的切线与函数()f x 图象的切点，则切线方程为()00200011ln ()a y a x x x x x x --=--， …… 6分因为切线过点(0，0)，于是00011ln a x a x x --=-+，即()0021ln a x x =-，因为0a ≠，所以0002ln x x x a=-，设()ln g x x x x =-，则()1ln 10g x x '=--=，得1x =， …… 8分故当21a>，即02a <<时，不存在切线；当21a =或20a<，即2a =或a <0时，有且仅有一条切线，当201a <<，即2a >时，存在两条切线， …… 12分 下证：对任意的(01)m ∈，，ln x x x m -=在(0，1)内一定有一解，其中2m a =．⇔证明11ln m x x +=在(0，1) 内有一解，⇔证明1ln t mt +=在(1)t ∈+∞，内有一解． 令()1ln h t mt t =--， 则h (1) =m – 1<0，(1)(2)21ln 221(11)1112n n n n n n h m n m n m n m n n +⎡⎤=⋅--⋅>⋅--=⋅+-->++--⎢⎥⎣⎦， 这是关于n 的二次函数，所以当n 充分大时，一定取正值，由介值定理知，()h t 在(1)+∞，内有一解，即证． …… 16分20．（1）当12k =，14t =时，2123111124n n n a a a a a a -+++⋅⋅⋅++=- ()2n ≥，① 所以212321111124n n n a a a a a a ---+++⋅⋅⋅++=- ()3n ≥，②①-②得，2211111112244n n n n n a a a a a ---+-=-()3n ≥，即()()1120n n n n a a a a --+--=()3n ≥， …… 3分 因为数列{}n a 是正项数列，所以10n n a a -+>，从而12n n a a --=()3n ≥， …… 5分 ①中，令2n =得，212211124a a a +=-， ③若数列{}n a 是等差数列，则必有212a a -=，④由③④得，11a =+（负值已舍），所以，当且仅当11a =时，数列{}n a 是公差为2的等差数列；否则，数列{}n a 不是等差数列； …… 7分（2）因为212311n n n a a a a ka ta -+++⋅⋅⋅++=- ()2n ≥，⑤所以21232111n n n a a a a ka ta ---+++⋅⋅⋅++=- ()3n ≥， ⑥ ⑤-⑥得，22111n n n n n a ka ka ta ta ---+-=-()3n ≥， ⑦依题意，设11n n a a q -=()1 0a q >，， 代入⑦得，()[]2211(1)10n t a q q k q -⋅---+=()3n ≥， ⑧ …… 10分 若1q =，则10=（矛盾）， …… 12分若1q ≠，⑧中，令3n =，4得，()212211(1)1 (1)(1)1 t a q q k q t a q q k q ⎧⋅-=-+⎪⎨⋅-=-+⎪⎩，，两式相减得，()211(1)0a q q q t +-=， 因为1 0 1a q q >≠，，且， 所以0t =， …… 14分 此时123110 (2)n n a a a a ka n -+++⋅⋅⋅++=-<≥，又因为数列{}n a 是正项数列，所以0k <，即证． …… 16分第Ⅱ卷（附加题，共40分）21A ．因为△ACD ∽△BCF ， 所以∠ACD =∠BCF ，故∠ACD ACF +∠=∠BCF ACF +∠， 即∠DCF =∠BCE ，又∠BDC =∠BAC ，所以△ABC ∽△DFC ． ………10分B ．矩阵A 的特征多项式为()()()2121425614f λλλλλλλ--==--+=-+-， 令()0f λ=，则12λ=，23λ=． ………5分所以属于12λ=的一个特征向量为21⎡⎤⎢⎥⎣⎦，属于23λ=的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦． ………10分C ．由1ρ=得221x y +=，又()()2sin 2sin cos cos sin cos 666πππρθθθθθ=-=-=-，即220x y x +-+=， ………5分所以AB 的方程为10x -=，原点O 到AB 的距离为12d =，故AB == ………10分D ．因为()1231231231111119a a a a a a a a a ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭≥，当且仅当 12313a a a ===时取得等号，即123111a a a ++的最小值为9． ………10分 22．依题意，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A －xyz ，则B (1，0，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)， 设DC ＝λAB ，所以C (λ，2，0)，（1）从而PC ＝(λ，2，－2)，BD ＝(－1，2，0)，则cos ＜PC ，BD ＞＝PC →·BD →|PC →|·|BD →|＝4－λλ2＋8×5 ＝ 1515， 解得λ＝2，即CD ＝2； ………5分（2）易得PC ＝(2，2，－2)，PD ＝(0，2，－2)，设平面PCD 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则n ·PC ＝0，且n ·PD ＝0，即x ＋y －z ＝0，且y －z ＝0，所以x ＝0，不妨取y ＝z ＝1，则平面PCD 的一个法向量n ＝(0，1，1)，又易得PB ＝(1，0，－2)，故cos ＜PB ，n ＞＝PB →·n |PB →|·|n |＝－22×5＝－105， 所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为105． ………10分 23．（1）由已知，圆2C ： 5)1(22=++y x 的圆心为)1,0(2-C ，半径5=r ，由题设圆心到直线m x y l +=2:1的距离22)1(2|1|-++=m d ， 即5)1(2|1|22=-++m ，解得6-=m （4=m 舍去）． 设1l 与抛物线的切点为),(000y x A ，又'2y ax =，得a x ax 12200=⇒=，a y 10=， 代入直线方程得621-=aa ，解得61=a ， 所以6-=m ，61=a ． ……5分 （2） 由（1）知抛物线1C 方程为261x y =，焦点3(0 )2F ，． 设)61,(211x x A ，由（1）知以A 为切点的切线l 的方程为211161)(31x x x x y +-=． 令0=x ，得切线l 交y 轴的B 点坐标为)61,0(21x -， 所以21113( )62FA x x =-，，2113(0 )62FB x =--，， 所以1(3)FM FA FB x =+=-，， 因为F 是定点，所以点M 在定直线23-=y 上． ……10分。

2018年江苏省高三文科数学试数 学（文科）一．选择题（每小题5分，共60分）1．平面上有)1,2(-A 、)4,1(B 两点，点C 在直线AB 上，且21=，则点C 的坐标为（ ）A ．)2,1(-B ．)2,1(-或)2,5(--C ．)3,0(D ．)2,5(--2．在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-12的展开式中，常数项为15，则n 的一个值可以是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．53．在三棱锥BCD A -中，侧棱AB 、AC 、AD 两两垂直，ABC ∆、ACD ∆、ADB ∆的面积分别为22、23、26，则三棱锥BCD A -的外接球的体积为（ ） A ．π6 B ．π62 C ．π64 D ．π684. 设曲线2ax y =在点),1(a 处的切线与直线062=--y x 平行，则实数a 的值为（ ） A.1 B.21 C. 21- D. 1- 5.若21>a ，下列不等式一定成立的是（ ） A.21a a a> B. a a a >2 C.21212<⎪⎭⎫ ⎝⎛aD. 212121⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛a6.若O 是ABC ∆所在平面内一点，且()()0O =-⋅，则ABC ∆一定是（ ） A.等边三角形 B.斜三角形 C.等腰三角形 D. 直角三角形 7.设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且对任意的R x ∈，恒有)1()1(-=+x f x f ，当)1,0(∈x 时xx f -=11log )(2，则)(x f 在)2,1(上（ ） A.是增函数且0)(>x f B. 是减函数且0)(>x f C. 是增函数且0)(<x f D. 是减函数且0)(<x f 8.已知正方体的外接球的体积是332π，那么正方体的棱长等于（ ）A.22B.332 C. 324 D. 334 9.已知等差数列的前20项和为100，则147a a ⋅的最大值为（ ）A.25B.50C. 100D. 以上都不对10.在样本频率分布直方图中，一共有m )3(≥m 个小矩形，第3个小矩形的面积等于其余1-m 个小矩形面积之和的41，若样本容量为100，则第三组的频率是（ ）A.0.2B.25C.20D. 以上都不对11.双曲线)0,0(,12222>>=-b a by a x 的两焦点分别为21,F F ，P 为双曲线上一点，21PF PF ⊥，则P 到实轴距离为（ ）A.c b 2B. c a 2C. a b 2D. ac 212. 8次射击命中3次，恰好2次连续命中的情况有（） A.15种 B.30种 C. 48种 D. 60种二．填空题（每小题5分，共20分）13.在AB C ∆中，3,2==AC AB ，D 是边BC 的中点，则=⋅BC AD 。

2018年普通高等学校招生全国统一考试一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

1．下列函数中，周期为2π的是（ ）A ．sin 2x y =B ．sin 2y x =C ．cos 4xy = D ．cos 4y x =2．已知全集U Z =，2{1,0,1,2},{|}A B x x x =-==，则U A C B 为（ ）A ．{1,2}-B ．{1,0}-C ．{0,1}D ．{1,2}3．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为20x y -=，则它的离心率为（ ）A ．5B ．52C ．3D ．2 4．已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，给出下面四个命题：（ ）①//,m n m n αα⊥⇒⊥ ②//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒ ③//,////m n m n αα⇒ ④//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥其中正确命题的序号是A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③ 5．函数()sin 3cos ([,0])f x x x x π=-∈-的单调递增区间是（ ）A ．5[,]6ππ--B ．5[,]66ππ--C ．[,0]3π-D ．[,0]6π- 6．设函数()f x 定义在实数集上，它的图像关于直线1x =对称，且当1x ≥时，()31xf x =-，则有（ ）A ．132()()()323f f f <<B ．231()()()323f f f <<C ．213()()()332f f f <<D ．321()()()233f f f <<7．若对于任意实数x ，有3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-，则2a 的值为（ ） A ．3 B ．6 C ．9 D ．128．设2()lg()1f x a x=+-是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是（ ） A ．(1,0)- B ．(0,1) C ．(,0)-∞ D ．(,0)(1,)-∞+∞9．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为（ ） A ．3 B ．52 C ．2 D ．3210．在平面直角坐标系xOy ，已知平面区域{(,)|1,A x y x y =+≤且0,0}x y ≥≥，则平面区域{(,)|(,)}B x y x y x y A =+-∈的面积为（ ）A ．2B ．1C ．12D ．14二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

平面向量的数量积及其应用专题1. 如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上， 1212,,,A A B B 为椭圆的顶点， 2F 为右焦点，延长12B F 与12A B 交于点P ，若12B PB ∠为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A. ⎫⎪⎪⎭B.⎛ ⎝C. ⎛ ⎝D. ⎫⎪⎪⎭【答案】C2. 已知抛物线22(0)y px p =>过点12A ⎛⎝，其准线与x 轴交于点B ，直线AB 与抛物线的另一个交点为M ，若MB AB λ=，则实数λ为（ ）A.13 B. 12C. 2D. 3 【答案】C3. 在平行四边形ABCD 中， 2AB =， 1AD =， 60A ∠=，点M 在AB 边上，则DM DB ⋅=( )A. B. C. 1- D. 1【答案】D4. 在ΔABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，O 为ΔABC 的外心，D 为BC 边上的中点，C =4，AO⋅BC =−6，sin C +sin A −4sin B =0，则cos A =（ ） A.32B. 12C. 14D.28【答案】C【解析】∵D 是BC 的中点，∴OD ⊥BC ，即OD ∙BC =0，∴AD ⋅BC =（AO +OD ）∙BC =AO ⋅BC +OD ∙BC =﹣6，又AD ⋅BC=（12AB +12AC ）•（AC −AB ）=12（AC 2−AB 2）=12（b 2﹣16），∴﹣6=12（b 2﹣16），解得b=2，∵sinC+sinA ﹣4sinB=0，∴c+a ﹣4b=0，∴a=4b ﹣c=4， 由余弦定理得cosA=b 2+c 2−a 22bc=14．故选C ．5.已知1,1,222a b a b ⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭，则b 在a 方向上的投影为____________。

【答案】14-【解析】1,1,222a b a b ⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭，得()2244?cos ?4b a a b a b ++= ，将1,1a b ==代入上式，得b 在a 方向上的投影为1cos ,4b a b 〈〉=-，故答案为14-.6.，点C 在AOB ∠内，且OC 与OA 的夹角为030，设）A.【答案】C故选B7. 在平面直角坐标系xOy 中，设,,A B C 是圆221x y +=上相异三点，若存在正实数,λμ使得OC OA OB λμ=+，则()223λμ+-的取值范围是__________．【答案】()2,+∞8. 如图，在直角梯形ABCD 中， AB AD ⊥， AB ∥DC ， 2AB =， 1ADDC ==，图中圆弧所在圆的圆心为点C ，半径为12，且点P 在图中阴影部分（包括边界）运动．若AP xAB yBC =+ ，其中x y R ∈，，则4x y -的取值范围是（ ）A.23⎡+⎢⎣， B. 23⎡+⎢⎣， C.33⎡-+⎢⎣ D.33⎡-⎢⎣【答案】B9. 在Rt ABC ∆中，4CA =，3CB =，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且2MN =，则CM CN ⋅的取值范围为（ ）A. 52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. []4,6C. 11948,255⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 14453,255⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】 C10.若向量cos a α⎛= ⎝ 为单位向量，且角α的终边在第二象限，则=2cos 2α . 【答案】432- 【解析】由已知，121cos 2=+α，可得23cos ±=α，由α的终边在第二象限，知23cos -=α，故43221cos 2cos 2-=+=αα. 11. 已知O 是ABC ∆所在平面上一点，满足，则点O ( )A. 在过点C 与AB 垂直的直线上B. 在A ∠的平分线所在直线上C. 在过点C 边AB 的中线所在直线上D. 以上都不对 【答案】A2222OA OB CA BC -=-⇒ ()()()()OA OB OA OB CA BC CA BC -⋅+=+⋅-⇒()()()()BA OA OB CA CB CA BC CA CB BA ⋅+=+⋅+=+⋅⇒()()20BA OA OB CA CB OA AC OB BC BA OC BA ⋅+--=+++⋅=⋅=⇒AB OC ⊥故选A.12. 已知向量()1,2a = ，向量()3,4b =- ，则向量a在向量b 方向上的投影为（ ）A. 2-B. 1-C. 0D. 2 【答案】B【解析】向量a 在向量b 方向的投影是1a b b ⋅==- ．13. 已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A , B 两点,且3AF FB =,抛物线的准线l 与x轴交于点C , 1AA l ⊥于点1A ,若四边形1AACF 的面积为,则准线l 的方程为( )A. x =B. x =-C. 2x =-D. 1x =- 【答案】A【解析】由题意，知,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 的方程为2p x =-．设()()1122,,,A x y B x y ，则11,2p AF x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，22,2p FB x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ．由3AF BF = ，得12322p p x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即()21123x p x =- ①．设直线AB 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，代入抛物线方程消去y ，得()22222204k p k x k p p x -++=，所以2124p x x = ②．联立①②，得132x p =或12p x =（舍去），所以1y =．因为1AA CF S＝1122p y x p ⎛⎫++⎪⎝⎭=，将11,x y的值代入解得p =，所以直线l的方程为x =A ．14. 设M 为边长为4的正方形ABCD 的边BC 的中点， N 为正方形区域内任意一点（含边界），则·AM AN的最大值为（ ）A. 32B. 24C. 20D. 16 【答案】B【解析】以A 为坐标原点,AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系,则()()()4,0,4,4,4,2B C M ,设()(),,0,4N x y x y ≤≤,则·42442424AM AN x y =+≤⨯+⨯=,当且仅当AC AN =时取等号,因此选B.15. 已知ABC ∆是边长为4的等边三角形， P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值为 （ ）A. 3-B. 6-C. 2-D. 【答案】B【解析】如图建立坐标系， ，设(),P x y ，，∴最小值为6-，故选B. 16. 若()cos20,sin20a = ，()cos10,sin190b =, 则a b ⋅= （）A.12B.C.cos10 D.。

2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：锥体的体积13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{0,1,2,8}A =，{1,1,6,8}B =-，那么AB = ▲ ．2．若复数z 满足i 12i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ▲ ． 3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示， 那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ▲ ．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ▲ ． 5．函数2()log 1f x x =-的定义域为 ▲ ．6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ▲ ． 7．已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是 ▲ ． 8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c 到一条渐近线的距离为3c ，则其离心率的值是 ▲ ．9．函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ，且在区间(2,2]-上，cos ,02,2()1||,20,2x x f x x x π⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+<≤⎪⎩-则((15))f f 的值为 ▲ ．10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ▲ ．11．若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为 ▲ ． 12．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为 ▲ ．13．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c+的最小值为 ▲ ．14．已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥． 求证：（1）11AB A B C 平面∥；（2）111ABB A A BC ⊥平面平面．已知,αβ为锐角，4tan 3α=，5cos()αβ+=-．（1）求cos2α的值；（2）求tan()αβ-的值． 17．（本小题满分14分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1(3,)2，焦点12(3,0),(3,0)F F -，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △的面积为26， 求直线l 的方程． 19．（本小题满分16分）记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．（1）证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”；（2）若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”，求实数a 的值；（3）已知函数2()f x x a =-+，e ()x b g x x=．对任意0a >，判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”，并说明理由．设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列． （1）设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围； （2）若*110,,(1,2]m a b m q =>∈∈N ，证明：存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立，并求d 的取值范围（用1,,b m q 表示）．数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题5分，共计70分． 1．{1，8}2．23．904．8 5．[2，+∞） 6．310 7．π6-8．2 9．210．4311．–312．313．914．27二、解答题15．本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．满分14分．证明：（1）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1． 因为AB ⊄平面A 1B 1C ，A 1B 1⊂平面A 1B 1C ， 所以AB ∥平面A 1B 1C ．（2）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四边形ABB 1A 1为平行四边形． 又因为AA 1=AB ，所以四边形ABB 1A 1为菱形，因此AB 1⊥A 1B ．又因为AB 1⊥B 1C 1，BC ∥B 1C 1，所以AB 1⊥BC ．又因为A 1B ∩BC =B ，A 1B ⊂平面A 1BC ，BC ⊂平面A 1BC ， 所以AB 1⊥平面A 1BC ．因为AB 1⊂平面ABB 1A 1，所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ．16．本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力．满分14分．解：（1）因为，，所以． 因为，所以，因此，．（2）因为为锐角，所以． 又因为，所以， 因此．因为，所以， 因此，．4tan 3α=sin tan cos ααα=4sin cos 3αα=22sin cos 1αα+=29cos 25α=27cos22cos 125αα=-=-,αβ(0,π)αβ+∈5cos()αβ+=-225sin()1cos ()αβαβ+=-+=tan()2αβ+=-4tan 3α=22tan 24tan 21tan 7ααα==--tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+17．本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力．满分14分．解：（1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10． 过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE =θ， 故OE =40cos θ，EC =40sin θ，则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ（40sin θ+10）=800（4sin θcos θ+cos θ）， △CDP 的面积为12×2×40cos θ（40–40sin θ）=1600（cos θ–sin θcos θ）． 过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK =KN =10． 令∠GOK =θ0，则sin θ0=14，θ0∈（0，π6）． 当θ∈[θ0，π2）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ，所以sin θ的取值范围是[14，1）． 答：矩形ABCD 的面积为800（4sin θcos θ+cos θ）平方米，△CDP 的面积为 1600（cos θ–sin θcos θ），sin θ的取值范围是[14，1）． （2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k >0）， 则年总产值为4k ×800（4sin θcos θ+cos θ）+3k ×1600（cos θ–sin θcos θ） =8000k （sin θcos θ+cos θ），θ∈[θ0，π2）．设f （θ）= sin θcos θ+cos θ，θ∈[θ0，π2）， 则222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ=--=-+-=--+′． 令()=0f θ′，得θ=π6， 当θ∈（θ0，π6）时，()>0f θ′，所以f （θ）为增函数； 当θ∈（π6，π2）时，()<0f θ′，所以f （θ）为减函数， 因此，当θ=π6时，f （θ）取到最大值．答：当θ=π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 18．本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力．满分16分． 解：（1）因为椭圆C 的焦点为12() 3,0,(3,0)F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1(3,)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 因此，椭圆C 的方程为2214x y +=． 因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=， 所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+． 由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*）因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=． 因为00,0x y >，所以002,1x y ==．因此，点P 的坐标为(2,1)． ②因为三角形OAB 的面积为26，所以21 26AB OP ⋅=，从而427AB =． 设1122,,()(),A x y B x y ，由（*）得22000001,22448(2)x y x x ±-=，所以2222121()()x B y y x A =-+- 222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+．因为22003x y +=，所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=， 解得22005(202x x ==舍去），则2012y =，因此P 的坐标为102(,)．综上，直线l 的方程为532y x =-+．19．解：（1）函数f （x ）=x ，g （x ）=x 2+2x -2，则f ′（x ）=1，g ′（x ）=2x +2．由f （x ）=g （x ）且f ′（x ）= g ′（x ），得222122x x x x ⎧=+-⎨=+⎩，此方程组无解，因此，f （x ）与g （x ）不存在“S ”点．（2）函数21f x ax =-（），()ln g x x =，则12f x ax g x x'='=（），（）． 设x 0为f （x ）与g （x ）的“S ”点，由f （x 0）=g （x 0）且f ′（x 0）=g ′（x 0），得200001ln 12ax x ax x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，即200201ln 21ax x ax ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，（*）得01ln 2x =-，即120e x -=，则1221e 22(e )a -==． 当e 2a =时，120e x -=满足方程组（*），即0x 为f （x ）与g （x ）的“S ”点．因此，a 的值为e2．（3）对任意a >0，设32()3h x x x ax a =--+．因为(0)0(1)1320h a h a a =>=--+=-<，，且h （x ）的图象是不间断的，所以存在0x ∈（0，1），使得0()0h x =，令0302e (1)x x b x =-，则b >0．函数2e ()()x bf x x ag x x =-+=，，则2e (1)()2()x b x f x x g x x-=-=′，′． 由f （x ）=g （x ）且f ′（x ）=g ′（x ），得22e e (1)2xx b x a x b x x x ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，即00320030202e e (1)2e (1)2e (1)x x xx x x a x x x x x x x ⎧-+=⋅⎪-⎪⎨-⎪-=⋅⎪-⎩（**） 此时，0x 满足方程组（**），即0x 是函数f （x ）与g （x ）在区间（0，1）内的一个“S 点”． 因此，对任意a >0，存在b >0，使函数f （x ）与g （x ）在区间（0，+∞）内存在“S 点”． 20．解：（1）由条件知：．因为1||n n a b b -≤对n =1，2，3，4均成立，即对n =1，2，3，4均成立，即11，1d 3，32d 5，73d 9，得． 因此，d 的取值范围为．（2）由条件知：．若存在d ，使得1||n n a b b -≤（n =2，3，···，m +1）成立， 即，即当时，d 满足．因为，则，从而，，对均成立．因此，取d =0时，1||n n a b b -≤对均成立．下面讨论数列的最大值和数列的最小值（）．①当时，， 当时，有，从而．因此，当时，数列单调递增，故数列的最大值为． ②设，当x >0时，，所以单调递减，从而<f （0）=1．当时，， 因此，当时，数列单调递减，故数列的最小值为．因此，d 的取值范围为．112(,)n n n a n d b -=-=1 12|()1|n n d ---≤≤≤≤≤≤≤≤7532d ≤≤75[,]32111(1),n n n a b n d b b q -=+-=1111 |1|2,3,,(1())n b n d b qb n m -+--≤=+2,3,,1n m =+1111211n n q q b d b n n ---≤≤--q ∈112n mqq -<≤≤11201n q b n --≤-1101n q b n ->-2,3,,1n m =+2,3,,1n m =+12{}1n q n ---1{}1n q n --2,3,,1n m =+2n m ≤≤111 2222111()()()n n n n n n n n q q nq q nq n q q q nn n n n n -------+--+-==---112mq <≤2n m q q ≤≤1() 20n n n n q q q ---+>21n m ≤≤+12{}1n q n ---12{}1n q n ---2m q m-()()21x f x x =-ln 21(0(n )l 22)x f x x '=--<()f x ()f x 2n m ≤≤111112111()()()nn n q q n n f q n n n n --=≤-=<-21n m ≤≤+1{}1n q n --1{}1n q n --mq m 11(2)[,]m mb q b q m m-数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，圆O 的半径为2，AB 为圆O 的直径，P 为AB 延长线上一点，过P 作圆O 的切线，切点为C ．若23PC =，求 BC 的长．B ．[选修4—2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ． （1）求A 的逆矩阵1-A ；（2）若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(3,1)P '，求点P 的坐标． C ．[选修4—4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．D ．[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z =6，求222x y z ++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =AA 1=2，点P ，Q 分别为A 1B 1，BC 的中点． （1）求异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值； （2）求直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值． 23．(本小题满分10分)设*n ∈N ，对1，2，···，n 的一个排列12n i i i ，如果当s <t 时，有s t i i >，则称(,)s t i i 是排列12n i i i 的一个逆序，排列12n i i i 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记()n f k 为1，2，···，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数． （1）求34(2),(2)f f 的值；（2）求(2)(5)n f n ≥的表达式(用n 表示)．数学Ⅱ(附加题)参考答案21．【选做题】A ．[选修4—1：几何证明选讲]本小题主要考查圆与三角形等基础知识，考查推理论证能力．满分10分． 证明：连结OC ．因为PC 与圆O 相切，所以OC ⊥PC ．又因为PC =23，OC =2，所以OP =22PC OC +=4．又因为OB =2，从而B 为Rt △OCP 斜边的中点，所以BC =2． B ．[选修4—2：矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 解：（1）因为2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，det()221310=⨯-⨯=≠A ，所以A 可逆，从而1-A 2312-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． （2）设P (x ，y )，则233121x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以13311x y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ，因此，点P 的坐标为(3，–1)． C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 解：因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ， 所以曲线C 的圆心为（2，0），直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=，则直线l 过A （4，0），倾斜角为π6，所以A 为直线l 与圆C 的一个交点．设另一个交点为B ，则∠OAB =π6． 连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA =π2，所以π4cos 236AB ==．因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为23． D ．[选修4—5：不等式选讲]本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力．满分10分．证明：由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++≥++． 因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥，当且仅当122x y z ==时，不等式取等号，此时244333x y z ===，，， 所以222x y z ++的最小值为4．22．【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力．满分10分．解：如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，设AC ，A 1C 1的中点分别为O ，O 1，则OB ⊥OC ，OO 1⊥OC ，OO 1⊥OB ，以1,{},OB OC OO 为基底，建立空间直角坐标系O −xyz ．因为AB =AA 1=2， 所以1110,1,0,3,0,0,0,1,0,0,1,()()()()(2,3,0,2,0,1,2)()A B C A B C --．（1）因为P 为A 1B 1的中点，所以31(,,2)2P -，从而131(,,2)(0,2,222),BP AC ==--，故111||310|cos ,|||||522BP AC BP AC BP AC ⋅===⋅⨯．因此，异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值为310．（2）因为Q 为BC 的中点，所以1,0)2Q ，因此33(,0)2AQ =，11(0,2,2),(0,0,2)AC CC ==．设n =（x ，y ，z ）为平面AQC 1的一个法向量，则10,0,AQ AC ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=n n 即30,2220.y y z +=⎪+=⎩不妨取1,1)=-n ，设直线CC 1与平面AQC 1所成角为θ，则111||sin |cos |,|||CC CC CC |θ==⋅⋅=n n n ，所以直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值为．23．【必做题】本小题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力．满分10分．解：（1）记()abc τ为排列abc 的逆序数，对1，2，3的所有排列，有(123)=0(132)=1(213)=1(231)=2(312)=2(321)=3ττττττ，，，，，，所以333(0)1(1)(2)2f f f ===，．对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，4333(2)(2)(1)(0)5f f f f =++=．（2）对一般的n （n ≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n ，所以(0)1n f =．逆序数为1的排列只能是将排列12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以(1)1n f n =-． 为计算1(2)n f +，当1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将n +1添加进原排列，n +1在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，1(2)(2)(1)(0)(2)n n n n n f f f f f n +=++=+．当n ≥5时， 112544(2)[(2)(2)][(2)(2)][(2)(2)](2)n n n n n f f f f f f f f ---=-+-++-+…242(1)(2)4(2)2n n n n f --=-+-+⋯++=， 因此，n ≥5时，(2)n f =222n n --．。

大题规范练(一)“17题～19题＋二选一”46分练(时间：45 分钟分值：46 分)解答题(本大题共 4 小题，共46 分，第22～23题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知正项等差数列{ a n} 的前n项和为S n，且知足a1＋a5＝2a723，S7＝63.(1)求数列{a n} 的通项公式a n；(2)若数列{b n}知足b1＝a1 且b n＋1－b n＝a n＋1，求数列1b n的前n项和T n.【导学号：07804229】[解] (1)法一：(等差数列的基本量)设正项等差数列{a n} 的首项为a1，公差为d，易知a n＞0，2a1＋a1＋4d＝1＋2d7 a则2，7a1＋21d＝63a＝31解得，d 2＝∴a n＝2n＋1.22法二：(等差数列的性质)∵{ a n} 是等差数列且a1＋a5＝3，∴2a3＝a7 272 a3，又a n＞0，∴a3＝7.∵S7＝a1＋a72＝7a4＝63，∴a4＝9，∴d＝a4－a3＝2，∴a n＝a3＋( n－3)d＝2n＋1.＋1－b n＝a n＋1 且a n＝2n＋1，(2)∵b n∴b n＋1－b n＝2n＋3，当n≥2时，b n＝( b n－b n －1－b n－2)＋⋯＋(b2－b1)＋b1＝(2 n＋1)＋(2n－1)＋⋯＋5＋3＝－1)＋(b nn(n＋2)，当n＝1时，b1＝3知足上式，故b n＝n( n＋2)．1 1 ∴＝b nn n＋＝121 1－n n＋2.1 ∴T n＝＋b11＋⋯＋b21＋b n－1－11b n1＝2 1－13＋1 1－2 4＋1－315＋⋯＋1－n－11n＋1＋1n－1n＋212＝1＋12－1 1－n＋1 n＋23 ＝－42n＋3n＋n＋.18．如图1，已知直角梯形ABCD 中，AB＝AD＝12CD＝2，AB∥DC，AB⊥AD，E为C D 的中点，沿AE 把△DAE 折起到△PAE 的地点(D 折后变成P)，使得PB＝2，如图2.(1)求证：平面PAE⊥平面ABCE；(2)求直线P B 和平面PCE 所成角的正弦值．[解] (1)证明：如图(1)，取AE 的中点O，连结PO，OB，BE.因为在平面图形中，如题图(图1)，连结BD，BE，易知四边形ABED为正方形，图(1)因此在立体图形中，△PAE，△BAE为等腰直角三角形，因此PO⊥AE，OB⊥AE，PO＝OB＝2，因为PB＝2，因此PO2＋OB2＝PB2，因此PO⊥OB，又AE∩OB＝O，因此PO⊥平面ABCE，因为PO? 平面PAE，因此平面PAE⊥平面ABCE .(2)由(1)知，OB，OE，OP 两两垂直，以O为坐标原点，以OB，OE，OP 所在直线分别为x轴、y轴、z轴成立空间直角坐标系，如图(2)，则O(0,0,0)，P(0,0，2)，B( 2，0,0)，E(0，→→→＝( 2，0，－2)，EP＝(0，－2，2)，EC＝( 2，2，0)．2，0)，C( 2，2 2，0)，PB图(2)设平面PCE 的法向量为n＝(x，y，z)，→n·EP则→＝0，＝0，n·EC 即－2y＋2z＝0，2x＋2y＝0，令x＝1，得y＝－1，z＝－1，故平面PCE 的一个法向量为n＝(1，－1，－1)．→因此cos〈PB，n〉＝→PB·n 2 2＝＝→2 3|PB| ·|n|6，36因此直线P B 和平面PCE 所成角的正弦值为.319.某学校为鼓舞家校互动，与某手机通信商合作，为教师办理流量套餐．为认识该校教师手机流量使用状况，经过抽样，获得100 位教师近 2 年每人手机月均匀使用流量L(单位：M) 的数据，其频次散布直方图以下：图3若将每位教师的手机月均匀使用流量分别视为其手机月使用流量，并将频次视为概率，回答以下问题．(1)从该校教师中随机抽取 3 人，求这3人中至多有 1 人手机月使用流量不超出300 M 的概率；(2)现该通信商推出三款流量套餐，详情以下：套餐名称月套餐费/元月套餐流量/MA 20 300B 30 500C 38 700这三款套餐都有以下附带条款：套餐费月初一次性收取，手机使用流量一旦高出套餐流量，系统就自动帮用户充值200 M 流量，资费20 元；假如又高出充值流量，系统就再次自动帮用户充值200 M 流量，资费20 元，以此类推，假如当月流量有节余，系统将自动清零，无法转入次月使用．学校欲订购此中一款流量套餐，为教师支付月套餐费，并肩负系统自动充值的流量资费的75%，其他部分由教师个人肩负，问学校正购哪一款套餐最经济？说明原因．[解] (1)记“从该校随机抽取 1 位教师，该教师手机月使用流量不超出300 M ”为事件 D.依题意，P(D )＝(0.000 8＋0.002 2) ×100＝0.3.X～这3 人中手机月使用流量不超出300 M 的人数为X，则中随机抽取 3 人，设从该校教师B(3,0.3)，中随机抽取 3 人，至多有 1 人手机月使用流量不超出300 M 的概率为P(X＝校教师因此从该0 03＋C31×0.3 ×(1－0.3)2＝0.343＋0.441＝0.784.0)＋P(X＝1)＝C3×0.3 ×(1－0.3)(2)依题意，从该校随机抽取 1 位教师，该教师手机月使用流量L∈(300,500] 的概率为(0.002 5(0.000 8＋0.000 2) ×100＝0.1.＋0.003 5) ×100＝0.6，L∈(500,700] 的概率为X1 元，则X1 的全部可能取值为当学校正购A 套餐时，设为学校为1位教师肩负的月花费20,35,50，且P(X1＝20)＝0.3，P(X1＝35)＝0.6，P( X1＝50)＝0.1，因此X1 的散布列为X1 20 35 50P 0.3 0.6 0.1因此E(X1)＝20×0.3＋35×0.6＋50×0.1＝32(元)．费X2元，则X2的全部可能取值为30,45，肩负的月花为当学校正购B 套餐时，设学校为1位教师且P(X2＝30)＝0.3＋0.6＝0.9，P(X2＝45)＝0.1，因此X2 的散布列为X2 30 45P 0.9 0.1因此E(X2)＝30×0.9＋45×0.1＝31.5(元)．为费X3 元，则X3 的全部可能取值为38，当学校正购C 套餐时，设学校为1位教师肩负的月花且P(X3＝38)＝1，因此E(X3)＝38×1＝38(元)．因为E(X2)＜E(X1)＜E(X3)，．济因此学校正购B 套餐最经(请在第22～23题中选一题作答，假如多做，则依据所做第一题计分)22．选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标方程为ρ系中，圆C的极坐标2＝4ρ(cos θ＋sin θ)－3.若以极点O为原点，极轴所在成立平面直角坐标系.为x轴直线【导学号：07804230】(1)求圆C的参数方程；(2)在直角坐标系中，点P(x，y)是圆C上的动点，试求x＋2y 的最大值，并求出此时点P 的．直角坐标2＝4ρ(cos θ＋sin θ)－3，[解] (1)因为ρ因此x2＋y2－4x－4y＋3＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝5为方程，圆C 的直角坐标(θ为参数)．x＝2＋5cos θy＝2＋5sin θC的参数方程为因此圆2＋y2－4x－4y＋3＝0，整理得5y2＋4(1－t)y＋t2 (2)法一：设x＋2y＝t，得x＝t－2y，代入x－4t＋3＝0 (*) ，则对于y 的方程必有实数根．因此Δ＝16(1－t)2－20(t2－4t＋3) ≥0，化简得t2－12t＋11≤0，解得1≤t≤ 1 1，即x＋2y 的最大值为11.将t＝11 代入方程(*) 得y2－8y＋16＝0，解得y＝4，代入x＋2y＝11，得x＝3，故x＋2y 的最大值为11时，点P 的直角坐标为(3,4)．法二：由(1)可设点P(2＋5cos θ，2＋5sin θ)，则x＋2y＝6＋5cos θ＋2 5sin θ＝6＋55 2 55 cos θ＋ 5 sin θ，设s in α＝5 2 5，则c os α＝，因此x＋2y＝6＋5sin(θ＋α)，5 5当sin(θ＋α)＝1时，(x＋2y)max＝11，π此时，θ＋α＝＋2kπ，k∈Z，即θ＝2 π－α＋2kπk(∈Z)，2因此sin θ＝cos α＝2 55，cos θ＝sin α＝5，故点P 的直角坐标为(3,4)．523．选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x－2|＋2，g(x)＝m|x|(m∈R)．(1)解对于x 的不等式f( x)＞5；(2)若不等式f(x) ≥g(x)对随意x∈R恒成立，求m 的取值范围．[解] (1)由f(x)＞5，得|x－2|＞3，∴x－2＜－3 或x－2＞3，解得x＜－1 或x＞5.故原不等式的解集为{ x|x＜－1 或x＞5} ．(2)由f(x) ≥g(x)，得|x－2|＋2≥m|x|对随意x∈R恒成立，当x＝0时，不等式|x－2|＋2≥0恒成立，|x－2|＋2当x≠0时，问题等价于m≤对随意非零实数恒成立，|x||x－2|＋2 |x－2＋2|∵＝1，∴m≤1，即m 的取值范围是(－∞，1]．≥|x| |x|。

大题规范练(四) “17题～19题＋二选一”46分练(时间：45分钟 分值：46分)解答题(本大题共4小题，共46分，第22～23题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知数列{a n }中，a 1＝511,4a n ＝a n －1－3(n ≥2)．(1)求证：数列{a n ＋1}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝|log 2(a n ＋1)|，求数列{b n }的前n 项和S n .【导学号：07804235】[解] (1)证明：由已知得，a n ＝14a n －1－34(n ≥2)， ∴a n ＋1＝14(a n －1＋1)，又a 1＋1＝512，∴数列{a n ＋1}是以512为首项，14为公比的等比数列． ∴a n ＋1＝512×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＝211－2n，a n ＝211－2n－1.(2)b n ＝|log 2(a n ＋1)|＝|11－2n |，设数列{11－2n }的前n 项和为T n ，则T n ＝10n －n 2， 当n ≤5时，S n ＝T n ＝10n －n 2； 当n ≥6时，S n ＝2S 5－T n ＝n 2－10n ＋50.所以S n ＝⎩⎨⎧10n －n 2，n ≤5n 2－10n ＋50，n ≥6.18．如图7所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 为矩形，AB ＝22，BC ＝2，点P 在底面上的射影在AC 上，E 是AB 的中点．图7(1)证明：DE ⊥平面P AC ；(2)若P A ＝PC ，且P A 与平面PBD 所成的角的正弦值为63，求二面角D -P A -B 的余弦值．[解] (1)证明：在矩形ABCD 中，AB ∶BC ＝2∶1，且E 是AB 的中点， ∴tan ∠ADE ＝tan ∠CAB ＝12，∴∠ADE ＝∠CAB . ∵∠CAB ＋∠DAC ＝90°，∴∠ADE ＋∠DAC ＝90°，即AC ⊥DE .由点P 在底面ABCD 上的射影在AC 上，可知平面P AC ⊥平面ABCD ，且交线为AC ，∴DE ⊥平面P AC . (2)记AC 与BD 的交点为O ，∵P A ＝PC ，且O 是AC 的中点，∴PO ⊥AC . ∵平面P AC ⊥平面ABCD ，∴PO ⊥平面ABCD .取BC 的中点F ，连接OE ，OF ，∵底面ABCD 为矩形， ∴OE ⊥OF .以O 为坐标原点，分别以OE ，OF ，OP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1，－2，0)，B (1，2，0)，D (－1，－2，0)． 设P (0,0，a )， 则AP→＝(－1，2，a )． 设平面PBD 的法向量为c ＝(x 1，y 1，z 1)， 又DB→＝(2,22，0)，OP →＝(0,0，a )， 则有⎩⎪⎨⎪⎧c ·DB →＝0，c ·OP →＝0⇒⎩⎨⎧2x 1＋22y 1＝0，az 1＝0， 令x 1＝2，得y 1＝－1，∴平面PBD 的一个法向量为c ＝(2，－1,0)．由|c ·AP →||c ||AP→|＝63，得a ＝1.设平面P AD 的法向量为m ＝(x 2，y 2，z 2)，又AD →＝(－2,0,0)，AP →＝(－1，2，1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ·AD →＝0，m ·AP →＝0⇒⎩⎨⎧－2x 2＝0，－x 2＋2y 2＋z 2＝0，令y 2＝1，得z 2＝－2，∴m ＝(0,1，－2)． 设平面P AB 的法向量为n ＝(x 3，y 3，z 3)， 又AB→＝(0,22，0)，AP →＝(－1，2，1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AP →＝0⇒⎩⎨⎧22y 3＝0，－x 3＋2y 3＋z 3＝0，令x 3＝1，得z 3＝1，∴n ＝(1,0,1)． ∴cos 〈m ，n 〉＝m·n|m ||n |＝－23×2＝－33，∴二面角D -P A -B 的余弦值为－33.19．近年 我国电子商务行业迎 发展的新机遇.2016年“618”期间，某购物平台的销售业绩高达516亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．(1)请完成关于商品和服务评价的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？(2)若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全为好评的次数为随机变量X .①求对商品和服务全为好评的次数X 的分布列； ②求X 的数学期望和方差． 附：临界值表K 2的观测值k ＝(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )(其中n ＝a ＋b ＋c ＋d )．关于商品和服务评价的2×2列联表：[解] (1)k ＝200150×50×120×80≈11.111＞10.828，故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关．(2)①每次购物时，对商品和服务全为好评的概率为25，且X 取值可以是0,1,2,3.其中P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝27125；P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫25⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝54125；P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫252⎝ ⎛⎭⎪⎫35＝36125；P (X ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫253⎝ ⎛⎭⎪⎫350＝8125. 所以X 的分布列为②由于X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，25，则E (X )＝3×25＝65，D (X )＝3×25×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25＝1825.(请在第22～23题中选一题作答，如果多做，则按照所做第一题计分) 22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－5＋2cos ty ＝3＋2sin t (t 为参数)，在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－ 2.(1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点P 是圆C 上任意一点，求A ，B 两点的极坐标和△P AB 面积的最小值.【导学号：07804236】[解] (1)由⎩⎨⎧x ＝－5＋2cos ty ＝3＋2sin t ，消去参数t ，得(x ＋5)2＋(y －3)2＝2，所以圆C 的普通方程为(x ＋5)2＋(y －3)2＝2. 由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－2，得ρcos θ－ρsin θ＝－2，所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.(2)直线l 与x 轴，y 轴的交点分别为A (－2,0)，B (0,2)，化为极坐标为A (2，π)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2， 设点P 的坐标为(－5＋2cos t,3＋2sin t )，则点P 到直线l 的距离为 d ＝|－5＋2cos t －3－2sin t ＋2|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋π42.所以d min ＝42＝22，又|AB |＝2 2. 所以△P AB 面积的最小值是S ＝12×22×22＝4. 23．选修4-5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x －2|.(1)解不等式：f (x )＋f (x ＋1)≤2；(2)若a ＜0，求证：f (ax )－af (x )≥f (2a )．[解] (1)由题意，得f (x )＋f (x ＋1)＝|x －1|＋|x －2|. 因此只要解不等式|x －1|＋|x －2|≤2.当x ≤1时，原不等式等价于－2x ＋3≤2，即12≤x ≤1； 当1＜x ≤2时，原不等式等价于1≤2，即1＜x ≤2； 当x ＞2时，原不等式等价于2x －3≤2，即2＜x ≤52.综上，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤52. (2)证明：由题意得f (ax )－af (x )＝|ax －2|－a |x －2|＝|ax －2|＋|2a －ax |≥|ax －2＋2a －ax |＝|2a －2|＝f (2a )， 所以f (ax )－af (x )≥f (2a )成立．。