1.5全等三角形的条件

1.5三角形全等的判定同学们，咱们今天来好好聊聊三角形全等的判定！说起三角形全等的判定，这可太有意思啦！就好像我们在玩一个找相同的游戏。

你想想看，两个三角形，如果它们的形状和大小完全一样，那它们就是全等的。

那怎么才能知道它们是不是全等呢？这就得靠咱们的判定方法啦！先来说说“边边边”（SSS）判定法。

这就好比我们盖房子，房子的三条边长度都确定了，那这个房子的形状和大小也就固定下来了。

比如说，有一次我在公园里看到两个小朋友用树枝在地上画三角形。

一个小朋友画了一个三角形，三条边分别是 5 厘米、6 厘米和 7 厘米。

另一个小朋友也照着画了一个一模一样长度边的三角形。

嘿，你猜怎么着，这两个三角形放在一起，那简直就是一个模子里刻出来的，完全重合，这就是通过三条边相等判定了它们全等。

再说说“边角边”（SAS）判定法。

这就像我们拼拼图，如果两条边和它们的夹角都确定了，那这个三角形也就确定下来啦。

我记得有一次帮我小侄子做手工，要剪一个三角形的卡片。

我先确定了两条边的长度，还有它们之间的夹角，剪出来的三角形那叫一个标准，和我心里想的一模一样。

还有“角边角”（ASA）和“角角边”（AAS）判定法。

这就像是给三角形定了方向和角度，只要这些确定了，三角形也就跑不了啦。

咱们在做练习题的时候，可一定要看清楚题目给的条件，千万别马虎。

有时候就因为少看了一个条件，或者用错了判定方法，结果就错得一塌糊涂。

就像上次我看到一个同学，题目明明给的是两条边和一个角，他非得用“角角边”去判定，结果当然不对啦！其实啊，三角形全等的判定在我们生活中也有很多用处呢。

比如工程师在建造桥梁的时候，就得保证桥梁的各个部分的三角形结构是全等的，这样才能保证桥梁的稳固和安全。

还有我们家里的家具，如果是三角形的支架，那也得保证它们是全等的，这样才结实耐用。

总之，三角形全等的判定虽然听起来有点复杂，但只要我们认真学，多做练习，就一定能掌握得牢牢的！同学们，加油哦！。

A
D C
B 1.5三角形全等的条件（1）同步练习题选
班级____________________ 姓名______________________
1．如图，已知AB=AC ，BD=DC ，那么下列结论中不正确的是（ ）
A ．△ABD≌△ACD
B ．∠ADB=90°
C ．∠BA
D 是∠B 的一半 D ．AD 平分∠BAC 2.工人师傅常用角尺平分任意角，做法如下： 如图：∠AOB 是一个任意角，在OA 、OB 上分别取OM=ON ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M 、N 重合，过角尺顶点P 的射线OP 便是∠A OB 的平分线。

你知道这样做的理由吗？
3.如图1，AB=AC ，AE=AD ，BD=CE ，求证：△AEB ≌ △ ADC 。

4.如图，已知：AB=CD ，AF=DE ，CF=BE ，说出∠B=∠C 成立的理由。

5.如图，已知AB=AC ，AE=AD ，BD=CE ，说出∠1=∠2成立的理由．
6.如图3，已知△ABF≌△DEC，且AC=DF，说明△ABC≌△DEF的理由．
7.如图，已知AD=BC，OD=OC，O为AB中点，说出△AOD≌△BOC的理由．
8.如图所示，如果AD=AE，CD=BE,BD=CE ,那么∠C和∠B相等吗？请说明理由。

9.在ΔABC中，∠C=90°，D,E分别为AC,AB上的点，且AD=BD,AE=BC,DE=DC,说明DE⊥AB的理由。

10.如图，AB=AD,AE=AF,BE=DF,说出∠BAF=∠DAE的理由。

我也来探索判定三角形全等的条件一、问题的提出按照我们之前的想法，说明两个三角形全等，就是把它剪下来，拼一拼，比一比，看看它们是否会重合。

如果这两个三角形能重合，那么它们就是全等三角形。

可是，这个方法有一定的局限性。

如果老师让我们判断黑板上所画的两个三角形是否全等，难道我们要把它们割下来拼一拼吗?因此我对今天我们所学的《1.5三角形全等的判定》非常感兴趣。

在此基础上，我和几位同学也来谈谈如何探索判定三角形全等的条件。

二、思考与分析影响三角形的形状有两方面：内角的大小和边的长度。

因此我们认为肯定要从边和角这两方面去探索判定两个三角形全等的条件。

我们把所有的可能性归为三大类： ① 1个条件② 2个条件③ 3个条件接下来，我们就一个一个地探索以上哪类能判定三角形全等…… 三、问题的解决一、1个条件 ⑴ 只有一条边对应相等在一个三角形中，有三条边。

而这里只确定了一条边，那么另外两条边就有了很多种可能。

大家来看图①，在△ABC 和△DEF 中，已知BC=EF ，但是我们可以明显看出下面的两个三角形不全等的。

所以，只有一条边对应相等的两个三角形并不一定全等！ ⑵ 只有一个角对应相等有买绘图套尺的同学都知道，一套尺子中，有两个三角板。

这两个三角形都只有1条边对应相等只有1个角对应相等只有2个角对应相等 只有2条边对应相等只有1条边和1个角对应相等只有1条边对应相等只有1个角对应相等图只有3条边对应相等只有3个角对应相等只有1条边和2个角对应相等只有2条边和1个角对应相等是直角三角形。

但是，我们会发现，它们两个根本不能完全重合在一起，那么说明这两个三角形虽然都有一个角等于90°，但是它们不是全等三角形。

例如图②，在△ABC 和△DEF 中，已知∠B=∠E=90°,但是，这两个三角形也不全等！所以，只有一个角相等的两个三角形不全等！总结上述，我们可以得出一个结论：只有一条边对应相等或只有一个角对应相等，那么两个三角形不一定全等！二、 2个条件⑴ 两条边对应相等如果两条边对应相等，第三条边也会有许多的可能。

1.5三角形全等的判定在我们的数学世界中，三角形全等的判定是一个极其重要的知识点。

它就像是一把神奇的钥匙，能够帮助我们打开解决众多几何问题的大门。

首先，咱们来聊聊什么是三角形全等。

简单说，就是两个三角形的形状和大小完全一样。

那怎么来判定两个三角形是不是全等呢？这就有几种方法啦。

第一种方法是“边边边”（SSS）判定定理。

如果两个三角形的三条边都分别相等，那么这两个三角形就全等。

比如说，有两个三角形，一个三角形的三条边分别是 3 厘米、4 厘米、5 厘米，另一个三角形的三条边也是 3 厘米、4 厘米、5 厘米，那这两个三角形就是全等的。

这就好像是我们做拼图，如果三块拼图的边都能完美地对上，那这三块拼图就是完全一样的。

接下来是“边角边”（SAS）判定定理。

如果两个三角形的两条边及其夹角分别相等，那么这两个三角形全等。

想象一下，一个三角形的两条边分别是 6 厘米和 8 厘米，它们的夹角是 60 度；另一个三角形也有两条边是 6 厘米和 8 厘米，夹角同样是 60 度，那这两个三角形就是一模一样的。

还有“角边角”（ASA）判定定理。

当两个三角形的两个角及其夹边分别相等时，它们全等。

比如一个三角形的两个角分别是 45 度和 90度，夹边是 7 厘米；另一个三角形也有两个角是 45 度和 90 度，夹边也是 7 厘米，那它们肯定全等。

再说说“角角边”（AAS）判定定理。

如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别相等，那么这两个三角形全等。

打个比方，一个三角形有两个角分别是 30 度和 50 度，30 度角的对边是 5 厘米；另一个三角形也有两个角是 30 度和 50 度，30 度角的对边也是 5 厘米，那这两个三角形就是全等的。

这些判定定理在解决实际问题中非常有用。

比如说，在建筑工地上，工程师要确保两个钢梁组成的三角形结构完全一样，就可以用这些判定定理来进行测量和计算。

在数学考试中，关于三角形全等的判定也是经常出现的考点。

三角形全等的条件·要点全析1．探索三角形全等的条件三角形有三条边，三个内角共六个基本元素，全等三角形的六个元素都分别对应相等．反过来，如果两个三角形的三组边对应相等并且三组角也对应相等．那么它们必定可以重合，根据定义，它们一定全等．但是，判定两个三角形全等真的需要六个条件吗？探索发现：两个三角形满足一个条件（一条边或一个内角相等）或两个条件都不能确定它们是否全等，而满足三个适当的条件就可以判定两三角形全等．2．三角形全等的条件一：“SSS ”或“边边边”（1）SSS ：三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS ”．（2）书写格式：如图13-2-1．在△ABC 和△A ′B ′C ′中，①⎪⎩⎪⎨⎧''''''，＝，＝，＝C B BC C A AC B A AB ② ∴ △ABC ≌△A ′B ′C ′（SSS ）．③（3）书写格式的步骤分三步：第一步：指出在哪两个三角形中．如上边的①，在△ABC 和△A ′B ′C ′中． 第二步：按条件中的边角顺序列出三个条件．如上边的②． 第三步；写出结论，如上边的③，△ABC ≌△A ′B ′C ′（SSS ）．【说明】①第一步中，两个三角形之间的“和”不能写成“≌”，也不能取消．②第二步中，大括号内的三个条件的书写是有顺序的，必须与判定条件一致，并且注意边、角字母的对应．一般前一个三角形的边、角写在等号的左边，另一个三角形的对应边、角写在右边．③写结论时，注意对应顶点写在对应位置上，并在后面的括号内注明判定条件的简写，如“SSS ”或“边边边”．例如：如图13-2-2．已知AB ＝AC ，D 为BC 中点．试说明∠B ＝∠C 是否成立，为什么？解：∠B ＝∠C 成立．∵ D 为BC 中点，∴ BD ＝CD ．在△ABD 和△ACD 中，⎪⎩⎪⎨⎧（公共边），＝（已证），＝（已知），＝AD AD CD BD AC AB∴ △ABD ≌△ACD （SSS ）．∴ ∠B ＝∠C （全等三角形的对应角相等）．【说明】①在本例中使用了证明的格式．②在本例中的最后两步中有两个“∴”符号，前一个“∴”，是由前面大括号内的三个条件得出的．后一个“∴”，是将前一个“∴”当成了“∵”，然后推出后一个“∴”，这里省略了一步：∵△ABD ≌△ACD ．因此，今后在书写中要注意．3．三角形全等的条件二：“边角边”或“SAS ”（1）SAS ：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为“SAS ”．（2）表达格式为在△ABC 和△DEF 中（图13-2-3）⎪⎩⎪⎨⎧∠∠，＝，＝，＝EF BC DEF ABC DE AB∴ △ABC ≌△DEF （SAS ）．例如：如图13-2-4中，AD 、BC 相交于点O ．OA ＝OD ，OB ＝OC ，那么AB ＝DC 是否成立．解：∵ AD 、BC 相交于点O ，∴ ∠AOB ＝∠DOC （对顶角相等）．在△AOB 和△DOC 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠（已知）＝（已证），＝（已知），＝OC OB DOC AOB OD OA∴ △AOB ≌△DOC （SAS ）．∴ AB ＝DC【说明】本题中，书写三条件时，应该按边、角、边的顺序，将两边的夹角放在中间，用括号括起来；或者写成一行，也按边、角、边的顺序，将两边的夹角放在中间，再推出两个三角形全等．4．三角形全等的条件三：“角边角”或“ASA ”（1）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA ”．（2）表达格式：如图13-2-5，在△ABC 和△DEF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠∠，＝，＝，＝DEF B DE AB D A ∴ △ABC ≌△DEF （AAS ）．5．三角形全等的条件四：“角角边”或“AAS ”（1）有两角和一边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS ”．（2）表达格式，如图13-2-5，在△ABC 和△DEF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠∠，＝，＝，＝EF BC D A DEF B ∴ △ABC ≌△DEF （AAS ）．例如：如图13-2-6中，AB ∥CD ，AE ∥DF ，AB ＝CD ．求证：AE ＝DF ．证明：∵ AB ∥CD ，∴ ∠ABC ＝∠DCB ．∵ AE ∥DF ，∴ ∠AEB ＝∠DFC ．在△ABE 和△DCF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠∠，＝，＝（已证），＝DF AE DFC AEB DCF ABC∴ △ABE ≌△DCF （AAS ）．∴ AE ＝DF ．6．直角三角形全等的条件：“斜边、直角边”或“HL ”（1）HL ：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL ”．（2）表达格式：如图13-2-7，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AB ＝AC 在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，⎩⎨⎧，＝，＝AD AD AC AB∴ Rt △ABD ≌Rt △ACD （HL ）（3）直角三角形是三角形中的一种特殊情况，因此，它也可以用一般三角形全等的条件．如两条直角边对应相等，可用“SAS ”，一边一锐角对应相等可用“ASA ”或“AAS ”．它的特殊条件就是“斜边、直角边”．7．“角角角”与“边边角”在三角形全等的条件中，上面已说过的有：三边的SSS ，两边一角的SAS 和一边两角的ASA ，AAS ，那么“AAA ”和“SSA ”能否成为三角形全等的条件呢？（1）有三个角对应相等的两个三角形不一定全等，如图13-2-8，DE ∥BC ，则∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，∠A ＝∠A ，△ADE 与△ABC 有三角对应相等，但它们没有重合，所以不全等．（2）如图13-2-9，在△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等．也就是有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．8．证明的意义和步骤（1）证明的意义证明是由题设（已知）出发，经过一步步的推理，最后推出结论（求证）正确的过程，简单地说，证明就是推理过程．（2）证明的步骤证明一个命题为正确的时候，其步骤如下：①弄清命题的条件和结论，画出图形．②根据条件，结合图形，写出已知．③根据结论，结合图形、写出求证．④写出证明过程．证明一个命题不正确的时候，只需举出一个反例即可．例如：若a 2＝b 2，则a ＝b ．这是一个错误命题，证明如下．证明：∵ （－5）2＝52＝25，而－5≠5．∴ 若a 2＝b 2，则a ＝b ，是一个错误命题．9．证明题目时常用的三种方法在探索三角形全等的过程中，经常要遇到条件不足或结论不易寻找等问题，如何分析条件与结论之间的关系，常用的分析方法有以下三种：（1）综合法就是从题目的已知条件入手，根据已学过的定义、定理、性质、公理等，逐步推出要判断的结论，有时也叫“由因导果法”．例如：如图13-2-10，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ∥AB ，DF ∥AC ，分别交AC 、AB 于点E 、F ．求证：BF ＝DE ．分析：从已知条件到推出结论，其探索过程如下⇒⎪⎭⎪⎬⎫∠∠⇒⇒∠∠⇒C BDF AC DF CD BD BC D CDE B AB DE ＝∥＝的中心是＝∥△BFD ≌△DEC （ASA ） ⇒BF ＝DE （目标）．以上这种由因导果的方法就是综合法．（2）分析法就是从要判断的结论出发，根据已学的定义、定理、公理、性质等，倒过来寻找能使结论成立的条件，这样一步步地递求，一直追溯到结论成立的条件与已知条件相吻合为止，有时也叫“执果索因法”．如上题，用分析法的探索过程如下：BF ＝DE ⇒△BFD ≌△DEC ⇒⎪⎩⎪⎨⎧⇒⇒∠∠⇒⇒⇒⇒∠∠已知∥＝已知中点是＝已知∥＝AC DF C BDF BC D CD BD AB DE CDE B（3）分析—综合法在实际的思考过程中，往往需要使用这两种方法，先从结论出发，想一想需要什么条件，层层逆推，当思维遇到障碍时，再从条件出发，顺推几步，看可以得出什么结论，从而两边凑，直至沟通“已知”和“结论”的两个方面． 即：已知 中间条件 结论 综合法 分析法例如：如图13-2-11，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，E 是AD 上任一点，连接EB 、EC ，求证：EB ＝EC ．分析：本题比较复杂，可用上述的三个方法均可，现在以分析一综合法为例，说明分析过程．先用综合：由因导果．⇒⎪⎭⎪⎬⎫⇒CD BD D AD AD AC AB ＝为中心＝＝△ABD ≌△ACD ⇒⎩⎨⎧∠∠∠∠．＝，＝CDA BDA CAD BAD再用分析：执果索因．EB ＝EC ⇒△ABE ≌△ACE ⇒⎪⎩⎪⎨⎧⇒∠∠⇒已知＝＝已知＝AE AE CAEBAE AC AB ⇒△ABD ≌△ACD ． 证明：∵ D 是BC 的中心，∴ BD ＝CD ． 在△ABD 和△ACD 中⎪⎩⎪⎨⎧（公共边），＝（已证），＝（已知），＝AD AD CD BD AC AB∴ △ABD ≌△ACD （SSS ）．∴ ∠BAD ＝∠CAD ．在△ABE 和△ACE 中⎪⎩⎪⎨⎧∠∠（公共边）＝（已证），＝（已知），＝AE AE CAE BAE AC AB∴ △ABE ≌△ACE （SAS ）．∴ BE ＝CE （全等三角形的对应边相等）．【说明】①本题证明过程中，后一次三角形全等，也可选△BDE ≌△CDE ，方法同上．②本题两次用到全等三角形，在分析中应找准三角形，理清思路．10．判定两个三角形全等方法的选择选择哪种方法判定两个三角形全等，要根据具体已知条件而定，见下表：已知条件寻找条件判定方法—边一角对应相等一边SAS一角SAS或AAS两角对应相等一边ASA或AAS两边对应相等一角SAS 一边SSS11．如何选择三角形判定全等在学过本节内容之后，经常会遇到判定两条线段相等，两个角相等的问题，而要判断它们相等，就要考虑选择三角形全等．如何选择三角形呢？可考虑以下四个方面：（1）可以从判断的结论（线段或角）出发，寻找这些结论在哪两个可能的全等三角形中，就试着判定两个三角形全等．（2）可以从题目的已知条件出发，看已知条件能确定哪两个三角形全等就判定它们全等．（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后判定它们全等．（4）如果以上方法都行不通，可考虑添加辅助线的办法，构造三角形全等．例如：如图13-2-12，已知AB＝AC，BD＝CD，试判断∠B与∠C的关系，并说明理由．分析：要判断∠B与∠C的关系，先看∠B与∠C是否在两个全等三角形中，而此题没有两个全等三角形，只有一个四边形，目前由已知条件四边形ABDC，要创造三角形，可以连接AD或BC，那么连接谁更合适呢？若连接AD，则∠B、∠C分在左、右两个三角形中，若全等，则∠B＝∠C，事实上，∠B＝∠C，若连接BC，则∠B、∠C分在上、下两个三角形中，根据目前所学知识还不能确定∠B＝∠C因此，连接AD较为合适．解：∠B＝∠C连接AD，在△ABD和△ACD中，AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD（公共边），∴△ABD≌△ACD（SSS）．∴∠B＝∠C12．探索三角形全等时常作的辅助线在利用三角形全等进行解题时，有时题目所给条件不足或不明显，还需从题目本身或图形中挖掘它的隐含条件，还有的需加上一些辅助线，为解题铺路搭桥，起到很好的辅助作用，这些辅助线常见的有以下几种：（1）连接图形中的已知点，构造全等形．例如：如图13-2-13，已知AC 、BD 相交于O 点，且AB ＝CD ，AC ＝BD ，判断∠A 与∠D 的关系，并说明理由．解：∠A ＝∠D ．连接BC ，在△ABC 与△DCB 中，AB ＝DC ，AC ＝DB ，BC ＝CB ，则△ABC ≌△DCB （SSS ）．因此∠A ＝∠D ．（2）取线段中点构造全等三角形．例如：如图13-2-14，已知在梯形ABCD 中，AB ＝DC ，∠A ＝∠D ，试判断∠ABC 与∠DCB 的关系，并说明理由．解：∠ABC ＝∠DCB ．取AD 的中点N ，取月C 的中点M ．连接MN 、BN 、CN ，则AN ＝DN ，BM ＝CM ，在△ABN 和△DCN 中，⇒⎪⎭⎪⎬⎫∠∠DC AB D A DN AN ＝＝＝△ABN ≌△DCN ，则∠ABN ＝∠DCN ，NB ＝NC （全等三角形的对应角、对应边相等）． 在△BMN 和△CMN 中，⇒⎪⎭⎪⎬⎫MN MN CM BM CN BN ＝＝＝△BMN ≌△CMN ， 则∠MBN ＝∠MCN （全等三角形的对应角相等）．那么∠ABN ＋∠MBN ＝∠DCN ＋∠MCN ．即∠ABC ＝∠DCB ．【说明】在本题中，辅助线起到了很好的桥梁作用，为解题创造了条件．（3）有角平分线时，常在角两边截相等的线段，创造全等三角形．如图13-2-15，OC平分∠AOB，在OC上任取一点P，在OA、OB上截取OM＝ON，连接PM、PN，那么，PM＝PN．事实上，在△MOP和△NOP中，OM＝ON，∠MOP＝∠NOP，OP＝OP，则△MOP≌△NOP（SSS）．因此有PM＝PN．（4）三角形中有中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形．如图13-2-16，在△ABC中，AD为BC边上的中线，若延长AD至E，使AD＝DE，连接B E，在△ACD和△EBD中，BD＝CD，∠1＝∠2，AD＝ED，则△ACD≌△EBD，因此BE＝AC13．利用全等三角形解决实际问题的步骤全等三角形在日常生活、科技生产中有很多的用途，在用它解决实际问题时可分以下几个步骤：（1）先明确实际问题与哪些知识有关，确定用哪些知识来解决．（2）根据实际问题画出图形．（3）结合图形写出已知和结论．（4）分析已知，找出解决问题的途径．（5）写出解决问题的过程（或探索过程）．例如：如图13-2-17，要测河两岸相对的两点A、B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D使CD＝BC，再定出BF的垂线DE，使E、C、A三点在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长．你能用数学原理说明吗？分析：这是一个实际应用题，应先把其转化为数学问题，然后再解答．解：已知：AB⊥BF，DE⊥BF，A、C、E三点在一条直线上，BC＝DC．判断AB与DE是否相等？在△ABC和△DEC中，由于AB⊥BF，DE⊥BF，则∠ABC＝∠EDC＝90°，又A、C、E三点在一条直线上，则∠ACB＝∠ECD（对顶角）．又BC＝CD，则ABC≌△EDC（ASA），因此AB＝DE．。