《全等三角形判定的条件组合(二)》热点专题高分特训(含答案)

第十二章全等三角形(单元重点综合测试)班级_________姓名________学号__________分数__________考试范围：全章的内容；考试时间：120分钟；总分：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.下列说法中，正确的有()①形状相同的两个图形是全等形；②面积相等的两个图形是全等形；③全等三角形的周长相等，面积相等；④若△ABC≌△DEF，则∠A=∠D．A.1个B.2个C.3个D.4个2.下列各组图形中，是全等形的是()A. B.C. D.3.如图，点B在线段AD上，△ABC≌△EBD，AB=2cm，BD=5cm，则CE的长度为()A.2cmB.2.5cmC.3cmD.5cm4.小红用如图所示的方法测量小河的宽度．她利用适当的工具，使AB⊥BC，CD⊥BC，BO=OC，点A、O、D在同一直线上，就能保证△ABO≌△DCO，可作为证明△ABO≌△DCO的依据的是()A.SSSB.ASAC.SASD.HL5.如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，AC∥DF，AC=DF，能判定△ABC≌△DEF的是()A.BC=DEB.AE=DBC.∠A=∠DEFD.∠ABC=∠D6.如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，OA=OB，则图中全等三角形有()A.1对B.2对C.3对D.4对7.现要在一块三角形形状的草坪上安装一个洒水龙头，要使洒水龙头到草坪三条边的距离相等，洒水龙头的位置应选在( )处A.三角形三边的垂直平分线的交点B.三角形的三条角平分线的交点C.三角形的三条高所在直线的交点D.三角形的三条中线的交点8.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE⊥BC于点E，S△ABC=30,DE=4,BC=10，则AC的长是()A.5B.6C.7D.89.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF，给出下列五个结论：①DE=DF；②BC=2DB；③AD⊥BC；④AB=3BF；⑤S△ADB=2S△BDF；其中正确的结论共有()A.4个B.3个C.2个D.1个10.新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为“格线三角形”．如图，a∥b∥c，相邻两条平行线间的距离为m，等腰Rt△ABC为“格线三角形”，且∠BAC=90°，则△ABC的面积为()A.5m2 B.2m2 C.5m2 D.4m22二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)11.如图，AD=AB，∠C=∠E，∠CDE=50°，则∠ABE=．12.如图，四边形ABCD≌四边形A B C D ．若∠B=90°，∠C=60°，∠D =105°，则∠A的大小为度．13.如图，D，E是边BC上的两点，BD=CE，∠ADB=∠AEC，现要直接用“AAS”定理来证明△ABD≌△ACE，请你再添加一个条件：．14.已知△ABC面积为24，将△ABC沿BC的方向平移到△A B C 的位置，使B 和C重合，连接AC 交A C于D，则△C DC的面积为．15.如图，△ABC中∠A=66°，点M、N是∠ABC与∠ACB三等分线的交点，则∠BMN的度数是．16.如图，CA⊥AB，垂足为点A，射线BM⊥AB，垂足为点B，AB=15cm，AC=6cm．动点E从A点出发以3cm/s的速度沿射线AN运动，动点D在射线BM上，随着E点运动而运动，始终保持ED=CB．若点E的运动时间为t秒t>0，则当t=秒时，△DEB与△BCA全等．三、(本大题共4小题，每小题6分，共24分)17.已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．求证：BC=ED．18.如图，已知AB∥CD，AB=CD．(1)求证：△ABC≌△CDA；(2)判断BC与AD的位置关系，并说明理由．19.如图，已知AB=CD，AD=BC，O为AC的中点，过O作一条直线分别与AB，CD交于点M，N，点E，F在直线MN上，且OE=OF．(1)图中共有几对全等三角形？请把它们都写出来；(2)求证：∠MAE=∠NCF．20.如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC=CE，∠ACD=∠B(1)求证：△ABC≌△CDE(2)若∠A=55°,求∠BCD的度数．四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)21.如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB=106°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH=53°．(1)求∠ACE的度数；(2)求证：AE平分∠CAF；(3)若AC+CD=16，AB=10，且S△ACD=24，则△ABE的面积．22.问题提出：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD与∠BCD互补，∠B与∠D互补，AB=AD，∠BAD=x°0<x<180，∠ACB=y°，数学兴趣小组在探究y与x的数量关系时，经历了如下过程：实验操作：(1)数学兴趣小组通过电脑软件“几何画板”进行探究，测量出部分结果如下表所示：x⋯304050607080β130y757065α555040θ这里α=，β=，θ=．猜想证明：(2)根据表格，猜想：y与x之间的关系式为；数学兴趣小组发现证明此猜想的一种方法：如图2，延长CB到E，使BE=DC，连接AE，⋯，请你根据其思路将证明过程补充完整，并验证(1)中结论的正确性．应用拓广：(3)如图3，若x+y=135，AC=10，求四边形ABCD的面积．23.(1)【问题解决】如图①，∠AOB=∠DFE=90°，OC平分∠AOB，点F在OC上，∠DFE的两边分别与OA，OB交于点D，E．当FE⊥OB，FD⊥OA时，则FD与FE的数量关系为；(2)【问题探究】如图②，在(1)的条件下，过点F作两条相互垂直的射线FM，FN，分别交OA，OB于点M，N，判断FM与FN的数量关系，说明理由；(3)【迁移应用】某学校有一块四边形的空地ABCD，如图③所示，∠DAB=∠DCB=90°，AC是∠DAB的平分线，AB= 50m，AD=30m，直接写出该空地的面积．五、(本大题共2小题，每小题12分，共24分)24.综合探究：如题图1是一种用刻度尺画角平分线的方法，在OA、OB上分别取点C、E、D、F，使得OC=OD，OE=OF，连接CF、DE，交点为P，则射线OP为∠AOB的角平分线．【验证】(1)试说明OP平分∠AOB，且PE=PF；【应用】(2)如题图2，若C、E、D、F分别为OA、OB上的点，且OC=OD，CF⊥OA，DE⊥OB，试用(1)中的原理说明OP平分∠AOB；【猜想】(3)如题图3，P是∠AOB角平分线上一点，C、D分别为OA、OB上的点，且PC=PD，请补全图形，并直接写出∠PCO与∠PDO的数量关系．25.【模型呈现】(1)如图1，∠BAD=90°，AB=AD，BC⊥CA于点C，DE⊥AE于点E．求证：BC=AE．【模型应用】(2)如图2，EA⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形ABCDE的面积．【深入探究】(3)如图3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，连接BC、DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．①求证DG=GE；②若BC=21，AF=12，求△ADG的面积．第十二章全等三角形(单元重点综合测试)班级_________姓名________学号__________分数__________考试范围：全章的内容；考试时间：120分钟；总分：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.下列说法中，正确的有()①形状相同的两个图形是全等形；②面积相等的两个图形是全等形；③全等三角形的周长相等，面积相等；④若△ABC≌△DEF，则∠A=∠D．A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【分析】根据全等形的定义，全等三角形的判定与性质，即可判断．【详解】解：能够完全重合的两个图形叫做全等形，即形状和大小相同的两个图形是全等形，故①②说法错误；全等三角形能够完全重合，所以全等三角形的周长相等，面积相等，故③说法正确；若△ABC≌△DEF，∠A的对应角为∠D，所以∠A=∠D，故④说法正确；说法正确的有③④，共2个．故选：B．【点睛】本题考查全等形，理解能够完全重合的两个图形叫做全等形是解题关键．2.下列各组图形中，是全等形的是()A. B.C. D.【答案】B【分析】本题考查全等形，掌握能完全重合的两个图形是全等形是解题的关键．【详解】观察发现：A，C，D选项中两个图形不能完全重合，不是全等形；B选项中两个图形能完全重合，是全等形，故选B．3.如图，点B在线段AD上，△ABC≌△EBD，AB=2cm，BD=5cm，则CE的长度为()A.2cmB.2.5cmC.3cmD.5cm【答案】C【分析】此题考查了全等三角形的性质，解题的关键熟练掌握性质的应用．根据全等三角形的对应边相等，再利用线段和差即可求解．【详解】∵△ABC≌△EBD，∴BE=AB=2cm，BC=BD=5cm，∴CE=BC-BE=3cm，故选：C．4.小红用如图所示的方法测量小河的宽度．她利用适当的工具，使AB⊥BC，CD⊥BC，BO=OC，点A、O、D在同一直线上，就能保证△ABO≌△DCO，可作为证明△ABO≌△DCO的依据的是()A.SSSB.ASAC.SASD.HL【答案】B【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．直接利用全等三角形的判定方法即可得出答案．【详解】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABO=∠DCO=90°，在△ABO和△DCO中，∠ABO=∠DCOBO=OC=CO∠BOA=∠COD，∴△ABO≌△DCO ASA∴证明△ABO≌△DCO的依据的是ASA，故选：B．5.如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，AC∥DF，AC=DF，能判定△ABC≌△DEF的是()A.BC=DEB.AE=DBC.∠A=∠DEFD.∠ABC=∠D【答案】B【分析】本题考查三角形全等的判定，先根据平行线的性质得到∠A=∠D，加上AC=DF，则可根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断即可，掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS，HL是解题的关键．【详解】解：∵AC∥DF，∴∠A=∠D，∵AC=DF，A、添加BC=DE，不能判定△ABC≌△DEF；B、添加AE=DB，能判定△ABC≌△DEF；C、添加∠A=∠DEF，不能判定△ABC≌△DEF；D、添加∠ABC=∠D，不能判定△ABC≌△DEF；故选：B．6.如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，OA=OB，则图中全等三角形有()A.1对B.2对C.3对D.4对【答案】C【分析】本题主要考查三角形全等的判定定理，角平分线的性质，熟练掌握三角形全等的判定方程是解题的关键．根据全等三角形的判定分别证明△AOP≌△BOP(SAS)，Rt△P AE≌Rt△PBF HL，△OEP≌△OFP (AAS)，即可得到答案．【详解】解：∵OP平分∠MON，∴∠AOP=∠BOP，∵OA=OB，OP=OP，∴△AOP≌△BOP(SAS)；∴AP=BP，∵OP平分∠MON，PE⊥OM,PF⊥ON∴PE=PF，∵PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，∴Rt△P AE≌Rt△PBF HL；∵OP平分∠MON，∴∠AOP=∠BOP，又∵∠OEP=∠OFP=90°,OP=OP，∴△OEP≌△OFP(AAS)．∴图中全等三角形有3对故选C．7.现要在一块三角形形状的草坪上安装一个洒水龙头，要使洒水龙头到草坪三条边的距离相等，洒水龙头的位置应选在( )处A.三角形三边的垂直平分线的交点B.三角形的三条角平分线的交点C.三角形的三条高所在直线的交点D.三角形的三条中线的交点【答案】B【分析】本题考查的是三角形的角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．【详解】解：要使洒水龙头到草坪三条边的距离相等，则洒水龙头的位置应选在三角形三条角平分线的交点，故选：B8.如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC 于点E ，S △ABC =30,DE =4,BC =10，则AC 的长是()A.5B.6C.7D.8【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理．过点D 作DF ⊥AC 于点F ，根据角平分线的性质可得DE =DF =4，再由S △ABC =S △DBC +S △DAC ，即可求解．【详解】解：如图，过点D 作DF ⊥AC 于点F ，∵CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，DE =4，∴DE =DF =4，∵S △ABC =S △DBC +S △DAC ，S △ABC =30，BC =10，∴30=12DE ×BC +12DF ×AC ，∴30=12×4×10+12×4×AC ，∴AC =5，故选：A ．9.如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AC ，垂足为E ，BF ∥AC 交ED 的延长线于点F ，若BC 恰好平分∠ABF ，AE =2BF ，给出下列五个结论：①DE =DF ；②BC =2DB ；③AD ⊥BC ；④AB =3BF ；⑤S △ADB =2S △BDF ；其中正确的结论共有()A.4个B.3个C.2个D.1个【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，由角平分线的性质和平行线的性质可证∠ACB=∠ABC，可得AC=AB，由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，CD= BD，由“ASA”可证△CDE≌△BDF，可得S△CDE=S△BDF，CE=BF，DE=DF，即可求解．【详解】解：∵BC恰好平分∠ABF，∴∠ABC=∠CBF，∵BF∥AC，∴∠ACB=∠CBF，∴∠ACB=∠ABC，∴AC=AB，且AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，BC=2DB，故②，③正确，符合题意；在△CDE和△BDF中，∠ACB=∠CBF CD=BD∠CDE=∠BDF，∴△CDE≌△BDF ASA，∴S△CDE=S△BDF，CE=BF，DE=DF，故①正确，符合题意；∵AE=2BF，∴AC=3BF=AB，故④正确，符合题意；∵BD=CD，∴S△ADB=S△ACD，∵AE=2BF，∴S△ADB=S△ACD=3S△CDE=3S△BDF，故⑤错误，不符合题意；故选：A．10.新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为“格线三角形”．如图，a∥b∥c，相邻两条平行线间的距离为m，等腰Rt△ABC为“格线三角形”，且∠BAC=90°，则△ABC的面积为()A.52m2 B.2m2 C.5m2 D.4m2【答案】A【分析】本题主要考查平行线间的距离，全等三角形的判定与性质，过点B作BE⊥直线a于点E，延长EB交直线c于点F，过点C作CD⊥直线a于点D，证明△CDA≌△AEB(AAS)，得出AE=CD=2m,AD=BE=m，CF=DE=AD+AE=m+2m=3m，再根据=S四边形DEFE-S△ACD×2-S△BCF求解即可【详解】解：过点B作BE⊥直线a于点E，延长EB交直线c于点F，过点C作CD⊥直线a于点D，则∠CDA=∠AEB=90°，如图，∵a∥b∥c，相邻两条平行线间的距离为m，∴BF⊥直线c，CD=2m,BE=BF=m,∵∠CAB=90°,∠CDA=90°∴∠DCA+∠DAC=90°，∴∠DCA=∠EAB，在△CDA和△AEB中，∠DCA=∠EAB∠CDA=∠AEBAC=AB，∴△CDA≌△AEB(AAS)，∴AE=CD=2m,AD=BE=m，∴CF=DE=AD+AE=m+2m=3m∴△ABC的面积=S四边形DEFE -S△ACD×2-S△BCF=3m×2m-12×2m×m×2-12×3m×m=52m2故选：A二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)11.如图，AD=AB，∠C=∠E，∠CDE=50°，则∠ABE=．【答案】130°/130度【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，邻补角的定义，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．证明△ADC≌△ABE AAS得出∠ADC=∠ABE，根据邻补角即可求解．【详解】解：∵在△ADC和△ABE中，∠C=∠E∠A=∠AAD=AB，∴△ADC≌△ABE AAS，∴∠ADC=∠ABE，∵∠CDE=50°，∴∠ADC=180°-50°=130°，∴∠ABE=130°．故答案为：130°．12.如图，四边形ABCD≌四边形A B C D ．若∠B=90°，∠C=60°，∠D =105°，则∠A的大小为度．【答案】105【分析】本题考查了全等图形的性质和四边形内角和公式，解题的关键在于熟练掌握全等图形的性质．根据全等的性质求出∠D=∠D ，利用四边形的内角和公式求出∠A的度数即可．【详解】解：∵四边形ABCD≌四边形A B C D ．∴∠D=∠D ，∵∠D =105°，∴∠D=105°，∵∠B=90°,∠C=60°，∴∠A=360°-90°-60°-105°=105°，故答案为：105．13.如图，D，E是边BC上的两点，BD=CE，∠ADB=∠AEC，现要直接用“AAS”定理来证明△ABD≌△ACE，请你再添加一个条件：．【答案】∠BAD=∠CAE【分析】在△ABE与△ACD中，已知AE=AD，∠AED=∠ADE，即已知一角及角的一边对应相等，根据“AAS”的判定方法，可以添加已知边的对角对应相等即可．本题考查了全等三角形的判定定理：AAS：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．【详解】解：可添加一个条件：∠BAD=∠CAE，使△ABD≌△ACE．理由：在△ABD与△ACE中，∠BAD=∠CAE∠AED=∠ADEBD=CE，∴△ABD≌△ACE(AAS)．故答案为∠BAD=∠CAE14.已知△ABC面积为24，将△ABC沿BC的方向平移到△A B C 的位置，使B 和C重合，连接AC 交A C于D，则△C DC的面积为．【答案】12【分析】根据平移的性质可得AC=A C ，BC=B C ，AC∥A C ，证明△ADC≌△C DA ，得到AD=C D，则S△C DC =12S△ACC，再推出S△ABC=S△ACC=24，则S△C DC=12S△ACC=12．【详解】解：由平移的性质可得AC=A C ，BC=B C ，AC∥A C ，∴∠DCA=∠DA C ，∠DAC=∠DC A ，∴△ADC≌△C DA ASA，∴AD=C D，∴S△C DC =12S△ACC，∵BC=CC ，△ABC的面积为24，∴S△ABC=S△ACC=24，∴S△C DC =12S△ACC=12．故答案为：12．【点睛】本题主要考查了平移的基本性质，全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质，熟知平移的性质是解题的关键：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．15.如图，△ABC中∠A=66°，点M、N是∠ABC与∠ACB三等分线的交点，则∠BMN的度数是．【答案】52°/52度【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和定理．过点N作NG⊥BC于G，NE⊥BM于E，NF⊥CM于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得NE=NG=NF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出MN平分∠BMC，然后根据三角形内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB,再根据角的三等分求出∠MBC+∠MCB的度数，然后利用三角形内角和定理求出∠BMC的度数，从而得解．【详解】解：如图，过点N作NG⊥BC于G，NE⊥BM于E，NF⊥CM于F，∵点M、N是∠ABC与∠ACB三等分线的交点，∴BN平分∠MBC，CN平分∠MCB，∴NE=NG,NF=NG，∴NE=NF，∴MN平分∠BMC，∴∠BMN=12∠BMC，∵∠A=66°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-66°=114°，∴∠MBC+∠MCB=23∠ABC+∠ACB=76°，在△BMC中，∠BMC=180°-∠MBC+∠MCB=180°-76°=104°∴∠BMN=12∠BMC=52°．故答案为：52°．16.如图，CA⊥AB，垂足为点A，射线BM⊥AB，垂足为点B，AB=15cm，AC=6cm．动点E从A点出发以3cm/s的速度沿射线AN运动，动点D在射线BM上，随着E点运动而运动，始终保持ED=CB．若点E的运动时间为t秒t>0，则当t=秒时，△DEB与△BCA全等．【答案】3或7或10【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是要分情况讨论．分情况，当E在线段AB上，或当E在线段AB延长线上，由HL即可求解．【详解】解：∵CA⊥AB，BM⊥AB，∠CAB=∠DBE=90°，∵ED=CB，当E在线段AB上时，若BE=AC，∴Rt△DEB≌Rt△BCA(HL)，∵AE=3tcm，∴BE=AB-AE=15-3tcm，∴15-3t=6，∴t=3；若BE=AB，∴Rt△DEB≌Rt△CBA(HL)，∴AE=0，∴t=0(舍去)，当E在线段AB延长线上时，若BE=AC，∴Rt△DEB≌Rt△BCA(HL)，∵AE=3t=AB+BE=15+6=21(cm)，∴t=7，若BE=AB，∴Rt△DEB≌Rt△CBA(HL)，∵AE=3t=AB+BE=15+15=30(cm)，∴t=10，∴当t=3或7或10秒时，△DEB与△BCA全等．故答案为：3或7或10．三、(本大题共4小题，每小题6分，共24分)17.已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．求证：BC=ED．【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由∠1=∠2可得∠EAD=∠BAC，再根据条件AB=AE，∠C=∠D，可利用AAS证明△ABC≌△AED AAS，再根据全等三角形对应边相等即可得出结论．【详解】证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，即∠EAD=∠BAC，在△EAD和△BAC中，∠C=∠D∠BAC=∠EADAB=AE，∴△ABC≌△AED AAS，∴BC=ED．18.如图，已知AB∥CD，AB=CD．(1)求证：△ABC≌△CDA；(2)判断BC与AD的位置关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)BC∥AD，理由见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ABC≌△CDA．(1)利用SAS证明△ABC≌△CDA即可；(2)由△ABC≌△CDA，得∠BCA=∠CAD，进而可以判断BC与AD的位置关系．【详解】(1)证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，在△ABC与△CDA中，AB=CD∠BAC=∠ACDAC=CA，∴△ABC≌△CDA SAS；(2)解：BC∥AD，理由如下：∵△ABC≌△CDA，∴∠BCA=∠CAD，∴BC∥AD．19.如图，已知AB=CD，AD=BC，O为AC的中点，过O作一条直线分别与AB，CD交于点M，N，点E，F在直线MN上，且OE=OF．(1)图中共有几对全等三角形？请把它们都写出来；(2)求证：∠MAE=∠NCF．【答案】(1)4；△ABC≌△CDA，△AMO≌△CNO，△OAE≌△OCF，△AME≌△CNF(2)证明见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，找出判定三角形全等的条件是解题的关键．(1)结合已知条件，再根据全等三角形的四个判定方法，即可找出所有的全等三角形；(2)先证明△AME≌△CNF SSS，即可证明∠MAE=∠NCF．【详解】(1)解：有4对全等三角形，分别为：△ABC≌△CDA，△AMO≌△CNO，△OAE≌△OCF，△AME≌△CNF，理由如下：∵AB=CD，BC=AD=DA，AC=CA，∴△ABC≌△CDA SSS，∴∠BAC=∠DCA，即∠MAO=∠NCO，∵O为AC的中点，∴OA=OC，又∵∠AOM=∠CON，∴△AMO≌△CNO ASA，∴AM=CN，OM=ON，∵OA=OC，∠AOE=∠COF，OE=OF，∴△OAE≌△OCF SAS，∴AE=CF，∵OE=OF，OM=ON，∴OE-OM=OF-ON，即ME=NF，又∵AM=CN，∴△AME≌△CNF SSS；(2)证明：∵AB=CD，BC=AD=DA，AC=CA，∴△ABC≌△CDA SSS，∴∠BAC=∠DCA，即∠MAO=∠NCO，∵O为AC的中点，∴OA=OC，又∵∠AOM=∠CON，∴△AMO≌△CNO ASA，∴AM=CN，OM=ON，∵OA=OC，∠AOE=∠COF，OE=OF，∴△OAE≌△OCF SAS，∴AE=CF，∵OE=OF，OM=ON，∴OE-OM=OF-ON，即ME=NF，又∵AM=CN，∴△AME≌△CNF SSS，∴∠MAE=∠NCF．20.如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC=CE，∠ACD=∠B(1)求证：△ABC≌△CDE(2)若∠A=55°,求∠BCD的度数．【答案】(1)详见解析(2)125°【分析】本题考查了平行线性质和全等三角形的性质和判定的应用，证得△ABC≌△CDE是解题的关键．(1)根据平行线求出∠ACD=∠CDE，∠ACB=∠CED，再说明∠B=∠CDE，最后结合AC=CE运用AAS即可证明结论；(2)根据全等三角形性质得出∠A=∠E=55°，进而根据平角定义即可解答．【详解】(1)证明∶∵AC∥DE，∴∠ACD=∠CDE，∠ACB=∠CED，∵∠ACD=∠B，∴∠B=∠CDE，∵AC=CE，∴△ABC≌△CDE AAS．(2)解：∵∠A=55°，∵△ABC≌△CDE，∴∠A=∠ECD=55°，∴∠BCD=180°-∠ECD=180°-55°=125°．四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)21.如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB=106°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH=53°．(1)求∠ACE的度数；(2)求证：AE平分∠CAF；(3)若AC+CD=16，AB=10，且S△ACD=24，则△ABE的面积．【答案】(1)∠ACE=37°(2)证明见解析(3)15【分析】本题主要考查了邻补角的性质、角平分线的性质与判定定理、三角形的面积等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．(1)根据邻补角的定义和垂直的定义可得∠ACD=74°、∠CHE=90°，进而得到∠ECH=37°，然后根据∠ACE=∠ACD-∠ECH即可解答；(2)如图：过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得EM=EH、CE平分∠ACD、EN=EH，最后根据角平分线的判定定理即可解答；(3)根据S△ACD=S△ACE+S△CED结合已知条件可得EM=3，最后运用三角形的面积公式即可解答．【详解】(1)解：∵∠ACB=106°，∴∠ACD=180°-106°=74°，∵EH⊥BD，∴∠CHE=90°，∵∠CEH=53°，∴∠ECH=90°-53°=37°，∴∠ACE=∠ACD-∠ECH=74°-37°=37°．(2)证明：如图：过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，∵BE平分∠ABC，∴EM=EH，∵∠ACE =∠ECH =37°，∴CE 平分∠ACD ，∴EN =EH ，∴EM =EN ，∴AE 平分∠CAF ．(3)解：∵AC +CD =16，S △ACD =24，EM =EN =EH ，∴S △ACD =S △ACE +S △CED =12AC ⋅EN +12CD ⋅EH =12(AC +CD )⋅EM =24，即12×16⋅EM =24，解得EM =3，∵AB =10，∴S △ABE =12AB ⋅EM =15．22.问题提出：如图1，在四边形ABCD 中，∠BAD 与∠BCD 互补，∠B 与∠D 互补，AB =AD ，∠BAD =x °0<x <180 ，∠ACB =y °，数学兴趣小组在探究y 与x 的数量关系时，经历了如下过程：实验操作：(1)数学兴趣小组通过电脑软件“几何画板”进行探究，测量出部分结果如下表所示：x⋯304050607080β130y 757065α555040θ这里α=，β=，θ=．猜想证明：(2)根据表格，猜想：y 与x 之间的关系式为；数学兴趣小组发现证明此猜想的一种方法：如图2，延长CB 到E ，使BE =DC ，连接AE ，⋯，请你根据其思路将证明过程补充完整，并验证(1)中结论的正确性．应用拓广：(3)如图3，若x +y =135，AC =10，求四边形ABCD 的面积．【答案】(1)60，100，15；(2)y =90-12x ，理由见详解；(3)S 四边形ABCD =50【分析】(1)观察表格发现：x 每增加10，y 减小5，由此即可得出α、β、θ的值．(2)根据表格猜想：y =90-12x ．延长CB 到E ，使BE =DC ，连接AE ，则可得△ABE ≌△ADE ，进而可得AE =AC ，∠EAB =∠CAD ，则可得∠EAC =x °．在△AEC 中，根据三角形内角和定理即可得出y 于x 之间的关系式．(3)延长CB 到E ，使BE =DC ，连接AE ．由(2)得△ABE ≌△ADE ，则S △ABE =S △ADE ，进而可得S 四边形ABCD =S △AEC ．由x +y =135，y =90-12x 可得x =90，y =45．则可得∠EAC =90°，∠AEC =∠ACE =45°，进而可得AE =AC =10，可得S △AEC 的值，即可得S 四边形ABCD 的值．【详解】(1)观察表格发现：x每增加10，y减小5，∴α=65-5=60，β=80+2×10=100，θ=40-3×5=15．故答案为：60，100，15，x．(2)根据表格猜想：y=90-12证明：如图2，延长CB到E，使BE=DC，连接AE，则∠ABC+∠ABE=180°，又∵∠ABC+∠D=180°，∴∠ABE=∠D，又∵AB=AD，∴△ABE≌△ADE(SAS)，∴AE=AC，∠EAB=∠CAD，∴∠E=∠ACB=y°，∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠CAD+∠BAC=∠BAD=x°．在△AEC中，∠EAC+∠E+∠ACE=180°，∴x°+2y°=180°，y=90-1x．2(3)如图，延长CB到E，使BE=DC，连接AE．由(2)得△ABE≌△ADE，∴S△ABE=S△ADE，=S△ACD+S△ABC=S△ABE+S△ABC=S△AEC，∴S四边形ABCD∵x+y=135，y=90-1x，2x=135，∴x+90-12解得x=90，y=45，∴∠EAC=90°，∠AEC=∠ACE=45°，∴AE=AC=10，×10×10=50，∴S△AEC=12∴S=50．四边形ABCD【点睛】本题考查了数字类探索规律问题，以及全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理．熟练掌握以上知识，证明出y与x之间的关系式是解题的关键．23.(1)【问题解决】如图①，∠AOB =∠DFE =90°，OC 平分∠AOB ，点F 在OC 上，∠DFE 的两边分别与OA ，OB 交于点D ，E ．当FE ⊥OB ，FD ⊥OA 时，则FD 与FE 的数量关系为；(2)【问题探究】如图②，在(1)的条件下，过点F 作两条相互垂直的射线FM ，FN ，分别交OA ，OB 于点M ，N ，判断FM 与FN 的数量关系，说明理由；(3)【迁移应用】某学校有一块四边形的空地ABCD ，如图③所示，∠DAB =∠DCB =90°，AC 是∠DAB 的平分线，AB =50m ，AD =30m ，直接写出该空地的面积．【答案】(1)FD =FE ；(2)FM =FN ，理由见详解；(3)1600m 2【分析】(1)根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得FD =FE ；(2)先根据四边形内角和等于360°可得∠DFE =90°，由∠DFE =∠FMN =90°可得∠DFM =∠EFN ，再根据ASA 证明△DFM ≌△EFN ，则可得FM =FN ；(3)过C 点作CE ⊥AB 于E 点，CF ⊥AD 的延长线于F 点．由(2)得△CFD ≌△CEB ，则可得FD =EB ，S △CFD =S △CEB ，进而可得S 四边形ABCD =S 四边形AECF ．证明△ACF ≌△ACE (，则可得AF =AE ，由AE =AB -BE 、AF =AD +DF 可求得BE 的长，进而可得AF 、AE 的长，由此可得S 四边形AECF 的值，即可得S 四边形ABCD 的值．【详解】(1)解：∵OC 平分∠AOB ，点F 在OC 上，且FE ⊥OB ，FD ⊥OA ，∴FD =FE ．(2)解：FD =FE ，理由如下：∵FD ⊥OA ，FE ⊥OB ，∴∠FDO =∠FEO =∠FEN =90°，∵四边形DOEF 中，∠FDO =∠FEO =∠AOB =90°，∴∠DFE =360°-∠FDO -∠FEO -∠AOB =90°，∴∠DMF +∠MFE =90°，又∵FM ⊥FN ，∴∠FMN =90°，∴∠DFM =∠EFN ，在△DFM 和△EFN 中，∠FDM =∠FENFD =FE ∠DFM =∠EFN，∴△DFM ≌△EFN (ASA )，∴FM =FN ．(3)解：如图，过C 点作CE ⊥AB 于E 点，CF ⊥AD 的延长线于F 点，由(2)得△CFD≌△CEB，∴FD=EB，S△CFD=S△CEB，∴S四边形ABCD =S四边形AECF，∵AC是∠DAB的平分线，∴∠DAC=∠CAB，又∵∠CFB=∠CEA=90°，AC=AC，∴△ACF≌△ACE(AAS)，∴AF=AE，又∵AE=AB-BE,AF=AD+DF，∴AB-BE=AD+DF，∴50-BE=30+BE，解得BE=10，∴AF=AE=40，∴S四边形AECF=40×40=1600m2，∴S四边形ABCD=1600m2，答：该空地的面积为1600m2．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键．五、(本大题共2小题，每小题12分，共24分)24.综合探究：如题图1是一种用刻度尺画角平分线的方法，在OA、OB上分别取点C、E、D、F，使得OC=OD，OE=OF，连接CF、DE，交点为P，则射线OP为∠AOB的角平分线．【验证】(1)试说明OP平分∠AOB，且PE=PF；【应用】(2)如题图2，若C、E、D、F分别为OA、OB上的点，且OC=OD，CF⊥OA，DE⊥OB，试用(1)中的原理说明OP平分∠AOB；【猜想】(3)如题图3，P是∠AOB角平分线上一点，C、D分别为OA、OB上的点，且PC=PD，请补全图形，并直接写出∠PCO与∠PDO的数量关系．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)补全图形见解析，∠PCO=∠PDO或∠PCO+∠PDO=180°【分析】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．(1)先证明△DOE≌△COF(SAS)，得∠PEC=∠PFD，再证△CPE≌△DPF(AAS)，得PE=PF，然后证△OPE≌△OPF(SSS)，得∠POE=∠POF，即可得出结论；(2)先证明△OCF≌△ODE(ASA)，可得OF=OE，由(1)可得OP平分∠AOB；(3)过点P分别作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，分两种情况进行求解即可．【详解】解：(1)∵OC=OD，∠DOE=∠COF，OE=OF，∴CE=DF，△DOE≌△COF(SAS)，∴∠PEC=∠PFD，∵∠CPE=∠DPF，CE=DF，∴△CPE≌△DPF(AAS)，∴PE=PF，∵OE=OF，PE=PF，OP=OP，∴△OPE≌△OPF(SSS)，∴∠POE=∠POF，即∠POA=∠POB，∴射线OP平分∠AOB；(2)∵CF⊥OA，DE⊥OB，∴∠OCF=∠ODE=90°，∴∠COF=∠DOE，OC=OD，∴△OCF≌△ODE(ASA)，∴OF=OE，由(1)可得OP平分∠AOB；(3)补全图形如下，过点P分别作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，∵OP是∠AOB的平分线，∴PM=PN，∠PMC=∠PND=90°，当PC=PD1时，在Rt△PMC和Rt△PND1中，PC=PD1，PM=PN∴Rt△PMC≌Rt△PND1(HL)，∴∠PCO=∠PD1O；当PC=PD2时，同理得Rt△PMC≌Rt△PND2HL，∴∠PCM=∠PD2N；∵∠PD2N+∠PD2O=180°，∴∠PCO+∠PD2O=180°，综上所述，∠PCO与∠PDO的数量关系为∠PCO=∠PDO或∠PCO+∠PDO=180°；25.【模型呈现】(1)如图1，∠BAD=90°，AB=AD，BC⊥CA于点C，DE⊥AE于点E．求证：BC=AE．【模型应用】(2)如图2，EA⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形ABCDE的面积．【深入探究】(3)如图3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，连接BC、DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．①求证DG=GE；②若BC=21，AF=12，求△ADG的面积．【答案】(1)见解析；(2)50；(3)①见解析；63【分析】(1)证明△ABC≌△DAE AAS，即可得证；(2)同(1)法得到△AEP≌△BAG，△CBG≌△DCH，分割法求出图形面积即可；(3)①过点D作DP⊥AG于P，过点E作EQ⊥AG交AG的延长线于Q，易证△AFB≌△DP A，△AFC ≌△EQA，得到DP=AF，EQ=AF，再证明△DPG≌△EQG AAS，即可得出结论；②根据全等三角形的性质，求出AG的长，进而利用面积公式进行求解即可．【详解】解：(1)证明：∵∠BAD=90°，∴∠BAC+∠DAE=90°，∵BC⊥CA，DE⊥AE，∴∠ACB=∠DEA=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°，∴∠ABC=∠DAE，在△ABC和△DAE中，∠ACB=∠DEA∠ABC=∠DAEBA=AD∴△ABC≌△DAE AAS，∴BC=AE．(2)由模型呈现可知，△AEP≌△BAG，△CBG≌△DCH，∴AP=BG=3，AG=EP=6，CG=DH=4，CH=BG=3，则S实线围成的图形=12×4+6×3+6+4+3-12×3×6-12×3×6-12×3×4-12×3×4=50．(3)①过点D作DP⊥AG于P，过点E作EQ⊥AG交AG的延长线于Q．图3由【模型呈现】可知，△AFB≌△DP A，△AFC≌△EQA，∴DP=AF，EQ=AF∴DP=EQ，∵DP⊥AG，EQ⊥AG∴∠DPG=∠EQG=90°，在△DPG和△EQG中，∠DPG=∠EQG∠DGP=∠EGQDP=EQ∴△DPG≌△EQG AAS，∴DG=GE．②由①可知，BF=AP，FC=AQ，∴BC=BF+FC=AP+AQ，∵BC=21，∴AP+AQ=21，∴AP+AP+PG+GQ=21，由①△DPG≌△EQG得∴PG=GQ，∴AP+AP+PG+PG=21，∴AP+PG=10.5，∴AG=10.5，∴S△ADG=1×10.5×12=63．2。

(二次全等)专项高分特训(含解析)【一】单项选择题〔共5道，每道20分〕1、：如图，AB＝AC，DB＝DC，F是AD的延长线上的一点、求证：△ABF≌△ACF、证明：如图，在△ADB和△ADC中＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿∴△ADB≌△ADC〔＿＿＿＿＿＿〕∴＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿在△ABF和△ACF中＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿∴△ABF≌△ACF〔＿＿＿＿＿＿〕请你仔细观察以下序号所代表的内容：①；②；③SSS；④SAS；⑤SSA；⑥∠ABD＝∠ACD〔全等三角形对应角相等〕；⑦∠BAD＝∠CAD〔全等三角形对应角相等〕；⑧；⑨、以上空缺处依次所填正确的选项是〔〕A、②③⑥⑨⑤B、②③⑦⑧④C、①④⑦⑧④D、①④⑥⑨⑤答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的性质和判定2、：如图，AB＝EF，BC＝FG，AC＝EG，D为BC中点，H为FG中点，求证：AD＝EH、证明：如图，在△ABC与△EFG中∴＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿∴＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿∵D为BC中点，H为FG中点∵BC＝FG∴BD＝FH在△ABD与△EFH中＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿∴△ABD≌△EFH〔＿＿＿＿＿〕∴AD＝EH、①；②；③；④∠BAD＝∠FEH〔全等三角形对应角相等〕；⑤∠B＝∠F〔全等三角形对应角相等〕；⑥SSS；⑦SAS；⑧△ABC≌△FEG〔SSS〕；⑨△ABC≌△EFG〔SSS〕、以上空缺处依次所填正确的选项是〔〕A、⑨⑤①⑦B、⑨④②⑦C、⑧⑤③⑥D、⑧④①⑦答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形证明过程训练3、：如图，∠E＝∠D，AM＝CN，ME＝ND、求证：△ABE≌△CBD、证明：如图，在△BME和△BND中∴△BME≌△BND〔AAS〕∴＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿∵AM＝CN，ME＝ND∴AM＋ME＝CN＋ND即AE＝CD在△ABE和△CBD中＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿∴△ABE≌△CBD〔＿＿＿＿＿＿〕请你仔细观察以下序号所代表的内容：①BE＝BD〔全等三角形对应边相等〕；②∠BME＝∠BND〔全等三角形对应角相等〕；③BM＝BN〔全等三角形对应边相等〕；④；⑤；⑥；⑦SAS；⑧AAS、以上空缺处依次所填正确的选项是〔〕A、①⑥⑧B、③④⑦C、②⑤⑧D、①④⑦答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的性质和判定4、：如图，点A，C在直线EF上，BC＝AD，AB＝CD，AE＝CF，求证：∠E＝∠F、证明：如图，在△ABC和△CDA中＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿∴＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿∴∠ACB＝∠CAD〔全等三角形对应角相等〕∵AE＝CF∴AE＋AC＝CF＋AC即EC＝FA在△ECB和△FAD中＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿∴＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿∴∠E＝∠F〔全等三角形对应角相等〕请你仔细观察以下序号所代表的内容：①；②；③；④；⑤△ABC≌△CDA〔SSS〕；⑥△ABC≌△CDA〔SAS〕；⑦△ECB≌△FAD〔SAS〕；⑧△EAB≌△FCD〔SAS〕、以上空缺处依次所填正确的选项是〔〕A、①⑤③⑧B、①⑤④⑦C、②⑥③⑧D、②⑥④⑦答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的性质和判定5、如图，在正方形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝CD＝AD、E为BC边上一点，且AE＝DE，AE与对角线BD交于点F，∠ABF＝∠CBF，连接CF，交ED于点G、求证：DE ⊥CF、证明：如图，在RT△ABE和RT△DCE中∴RT△ABE≌RT△DCE〔HL〕∴＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿在△ABF与△CBF中＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿∴＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿∴＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿∴∠2＝∠3∵∠3＋∠4＝90°∴∠2＋∠4＝90°∴∠DGC＝90°∴DE⊥CF请你仔细观察以下序号所代表的内容：①∠1＝∠2〔全等三角形对应角相等〕；②∠1＝∠3〔全等三角形对应角相等〕；③∠ABE＝∠DEC〔全等三角形对应角相等〕；④；⑤；⑥△ABF≌△CBF〔SAS〕；⑦△ABF≌△CBF〔SSS〕；⑧∠AFB＝∠CFB〔全等三角形对应角相等〕、以上空缺处依次所填正确的选项是〔〕A、①⑤⑦②B、②⑤⑦①C、①④⑥②D、③④⑥⑧答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的性质和判定。

专题02 全等三角形的判定知识网络重难突破知识点一全等三角形的概念1. 全等图形：能够完全重合的两个图形称为全等图形.2.全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形3.对应元素：两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点，互相重合的边叫做全等三角形的对应边，互相重合的角叫做全等三角形的对应角.【典例1】下列说法正确的是()A．形状相同的两个三角形全等B．面积相等的两个三角形全等C．完全重合的两个三角形全等D．所有的等边三角形全等【点拨】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形，以及全等三角形的判定定理可得答案．【解析】解：A、形状相同的两个三角形全等，说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个三角形全等；B、面积相等的两个三角形全等，说法错误；C、完全重合的两个三角形全等，说法正确；D、所有的等边三角形全等，说法错误；故选：C．【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等形的概念．【变式训练】下列各组的两个图形属于全等图形的是()A．B．C．D．【点拨】根据全等形是能够完全重合的两个图形进行分析判断．【解析】解：A、两只眼睛下面的嘴巴不能完全重合，故本选项错误；B、两个正方形的边长不相等，不能完全重合，故本选项错误；C、圆内两条相交的线段不能完全重合，故本选项错误；D、两个图形能够完全重合，故本选项正确．故选：D．【点睛】本题考查的是全等形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题．知识点二全等三角形的判定1.三边对应相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”)2.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”)3.两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等。

(简写成“角边角”或“ASA”)4.两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”)【典例2】(2019秋•瑞安市期中)如图，已知∠1＝∠2，AC＝AE，下列条件无法确定△ABC≌△ADE的是()A．∠C＝∠E B．BC＝DE C．AB＝AD D．∠B＝∠D【点拨】根据全等三角形的判定定理(SAS，ASA，AAS，SSS)判断即可．【解析】解：∵∠1＝∠2，∴∠BAC＝∠DAE；A、∵∠C＝∠E，∠BAC＝∠DAE，AC＝AE，∴根据ASA可以推出△ABC≌△ADE，正确，故本选项错误；B、根据∠BAC＝∠DAE，AC＝DE，BC＝DE不能推出△ABC≌△ADE，错误，故本选项正确；C、∵AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，∴根据SAS可以推出△ABC≌△ADE，正确，故本选项错误；D、∵∠BAC＝∠DAE，AC＝DE，∠B＝∠D，∴根据AAS可以推出△ABC≌△ADE，正确，故本选项错误；故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．【变式训练】1．(2019秋•温州期中)如图，点D，E分别在AC，AB上，BD与CE相交于点O，已知∠B＝∠C，现添加下面的哪一个条件后，仍不能判定△ABD≌△ACE的是()A．AD＝AE B．AB＝AC C．BD＝CE D．∠ADB＝∠AEC【点拨】已知∠B＝∠C，再加上条件∠BAD＝∠CAE，根据全等三角形的判定定理可得添加条件必须是边相等，故可得出答案．【解析】解：已知∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAE，若添加AD＝AE，可利用AAS定理证明△ABE≌△ACD，故A选项不合题意；若添加AB＝AC，可利用ASA定理证明△ABE≌△ACD，故B选项不合题意；若添加BD＝CE，可利用AAS定理证明△ABE≌△ACD，故C选项不合题意；若添加∠ADB＝∠AEC，没有边的条件，则不能证明△ABE≌△ACD，故D选项合题意．故选：D．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．2．(2019秋•诸暨市校级月考)如图，点B、F、C、E在同一直线上，BF＝CE，AB∥DE，添加下列条件，其中不能判定△ABC≌△DEF的是()A．∠A＝∠D B．AC＝DF C．AB＝DE D．∠ACB＝∠DFE【点拨】运用全等三角形的判定可求解．【解析】解：∵BF＝CE，∴BC＝EF，∵AB∥DE∴∠B＝∠E，当∠A＝∠D时，且BC＝EF，∠B＝∠E，由“AAS”可证△ABC≌△DEF，当AC＝DF时，不能判定△ABC≌△DEF，当AB＝DE时，且BC＝EF，∠B＝∠E，由“SAS”可证△ABC≌△DEF，当∠ACB＝∠DFE时，且BC＝EF，∠B＝∠E，由“ASA”可证△ABC≌△DEF，故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．3．(2019春•西湖区校级月考)如图，已知四边形ABCD中，AB＝10厘米，BC＝8厘米，CD＝12厘米，∠B ＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q 在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为3厘米/秒或厘米/秒时，能够使△BPE与△CQP全等．【点拨】分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动速度．【解析】解：设点P运动的时间为t秒，则BP＝3t，CP＝8﹣3t，∵∠B＝∠C，∴①当BE＝CP＝5，BP＝CQ时，△BPE与△CQP全等，此时，5＝8﹣3t，解得t＝1，∴BP＝CQ＝3，此时，点Q的运动速度为3÷1＝3厘米/秒；②当BE＝CQ＝5，BP＝CP时，△BPE与△CQP全等，此时，3t＝8﹣3t，解得t＝，∴点Q的运动速度为5÷＝厘米/秒；故答案为：3厘米/秒或厘米/秒．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解决问题的关键是掌握全等三角形的对应边相等．4．(2018•柯桥区模拟)如图，点B、E、C、F在一条直线上，BC＝EF，AB∥DE，∠A＝∠D．求证：△ABC≌△DEF．【点拨】先根据AB∥DE，利用两直线平行，同位角相等，可得∠ABC＝∠DEF，再结合∠A＝∠D，BC ＝EF，利用AAS可证△ABC≌△DEF．【解析】证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF(AAS)．【点睛】本题主要考查对全等三角形的判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能推出证三角形全等的三个条件是解此题的关键．5．(2019秋•椒江区校级月考)如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BAC＝∠D，∠B+∠AEC＝180°，BC＝CE．求证：AC＝DC．【点拨】由∠B+∠AEC＝180°，∠DEC+∠AEC＝180°，推出∠B＝∠DEC，由AAS证得△ABC≌△DEC，即可得出结论．【解析】证明：∵∠B+∠AEC＝180°，∠DEC+∠AEC＝180°，∴∠B＝∠DEC，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC(AAS)∴AC＝DC．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．知识点三直角三角形全等的判定1.直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”)2.直角三角形全等的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL【典例3】1．(2018秋•湛江期末)下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是() A．两个锐角对应相等B．一条边和一个锐角对应相等C．两条直角边对应相等D．一条直角边和一条斜边对应相等【点拨】直角三角形全等的判定方法：HL，SAS，ASA，SSS，AAS，做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．【解析】解：A、全等三角形的判定必须有边的参与，故本选项符合题意；B、符合判定ASA或AAS，故本选项正确，不符合题意；C、符合判定SAS，故本选项不符合题意；D、符合判定HL，故本选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查直角三角形全等的判定方法，判定两个直角三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【变式训练】1．(2018•南浔区一模)如图，∠B＝∠E＝90°，AB＝DE，AC＝DF，则△ABC≌△DEF的理由是()A．SAS B．ASA C．AAS D．HL【点拨】根据直角三角形的判定定理进行选择．【解析】解：∵在Rt△ABC与Rt△DEF中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)．故选：D．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．2．(2018秋•慈溪市期中)如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt △ABQ，使∠BAQ＝90°，AQ：AB＝3：4．直线l上有一点C在点P右侧，PC＝4cm，过点C作射线CD⊥l，点F为射线CD上的一个动点，连结AF．当△AFC与△ABQ全等时，AQ＝12cm．【点拨】根据直角三角形的全等的判定解答即可．【解析】解：如图，要使△AFC与△ABQ全等，则应满足，∵AQ：AB＝3：4，AQ＝AP，PC＝4cm，设AQ＝3x，AB＝4x，则有4x﹣3x＝4，∴x＝4，∴AQ＝12(cm)，故答案为：12．【点睛】此题考查直角三角形的全等问题，关键是根据SAS证明三角形的全等．巩固训练1．(2019秋•慈溪市期中)下列条件中，不一定能作出唯一的一个三角形的是()A．已知两边的长和夹角的三角形B．已知两个角及夹边的长的三角形C．已知两边的长及其中一边的对角的三角形D．已知直角边和斜边的直角三角形【点拨】根据三角形全等的判定定理，结合选项进行判定．【解析】解：A、已知两边的长和夹角的两三角形，一定全等，故本选不符合题意；B、已知两个角及夹边的三角形证明两个三角形全等，故本选项不符合题意；C、已知两边的长及其中一边的对角的三角形，因为角的位置没有确定，不一定全等，故本选项符合题意；D、已知直角边和斜边的直角三角形可根据HL判定全等，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．2．(2018•金华)如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC(不添加其他字母及辅助线)，你添加的条件是AC＝BC．【点拨】添加AC＝BC，根据三角形高的定义可得∠ADC＝∠BEC＝90°，再添加AC＝BC可利用AAS 判定△ADC≌△BEC．【解析】解：添加AC＝BC，∵△ABC的两条高AD，BE，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，在△ADC和△BEC中，∴△ADC≌△BEC(AAS)，故答案为：AC＝BC．【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．3．(2018秋•柯桥区期中)如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，BD＝CF，BE＝CD，则∠EDF的度数为70°．【点拨】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出∠B＝∠C及∠B的度数，结合BD＝CF、BE ＝CD，即可证出△BDE≌△CFD(SAS)，根据全等三角形的性质可得出∠CDF＝∠BED，再根据三角形内角和定理及平角等于180°，即可得出∠EDF＝∠B，此题得解．【解析】解：∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠B＝∠C＝(180°﹣∠A)＝70°．在△BDE和△CFD中，，∴△BDE≌△CFD(SAS)，∴∠CDF＝∠BED．∵∠B+∠BED+∠BDE＝180°，∠BDE+∠EDF+∠CDF＝180°，∴∠EDF＝∠B＝70°．故答案为：70°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据全等三角形的判定定理SAS证出△BDE≌△CFD是解题的关键．4．(2019秋•台州期中)已知：如图，A，E，B，D在同一直线上，AE＝DB，∠A＝∠D，BC∥EF．求证：△ABC≌△DEF．【点拨】利用等式的性质可得AB＝DE，再利用平行线的性质可得∠ABC＝∠DEF，然后可利用ASA判定△ABC≌△DEF．【解析】证明：∵AE＝DB，∴AE+EB＝DB+EB，∴AB＝DE，∵BC∥EF，∴∠ABC＝∠DEF，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF(ASA)．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．5．(2010•十堰)如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，CE⊥AB．求证：BD＝CE．【点拨】欲证BD、CE两边相等，只需证明这两边所在的△ABD与△ACE全等，这两个三角形，有一对直角相等，公共角∠A，AB＝AC，所以两三角形全等．【解析】证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠AEC＝90°．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE(AAS)．∴BD＝CE．【点睛】本题考查证明两边相等的方法，证明这两边所在的三角形全等．选择要证的三角形时要结合图形及已知条件．6．(2019秋•义乌市校级月考)如图：AB＝AC，AD＝AE，AB⊥AC，AD⊥AE．(1)求证：△EAC≌△DAB；(2)判断线段EC与线段BD的关系，并说明理由．【点拨】(1)根据垂直的定义可得∠BAC＝∠DAE＝90°，然后求出∠BAD＝∠CAE，再利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等；(2)根据全等三角形对应角相等可得∠B＝∠C，然后利用三角形的内角和定理求出∠BFC＝∠BAC＝90°，再根据垂直的定义证明即可．【解析】证明：(1)∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△EAC≌△DAB(SAS)；(2)如图，∵△ABD≌△ACE，∴∠B＝∠C，又∵∠B+∠BAC＝∠C+∠BFC，∴∠BFC＝∠BAC＝90°，∴BD⊥CE．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定方法，并求出∠BAD＝∠CAE是解题的关键，也是本题的难点．7．(2019秋•台州期中)如图1，直线AM⊥AN，AB平分∠MAN，过点B作BC⊥BA交AN于点C；动点E、D同时从A点出发，其中动点E以2cm/s的速度沿射线AN方向运动，动点D以1cm/s的速度运动；已知AC＝6cm，设动点D，E的运动时间为t．(1)当点D在射线AM上运动时满足S△ADB：S△BEC＝2：1，试求点D，E的运动时间t的值；(2)当动点D在直线AM上运动，E在射线AN运动过程中，是否存在某个时间t，使得△ADB与△BEC全等？若存在，请求出时间t的值；若不存在，请说出理由．【点拨】(1)作BH⊥AC于H，BG⊥AM于G．由BA平分∠MAN，推出BG＝BH，由S△ADB：S△BEC＝2：1，AD＝t，AE＝2t，可得•t•BG：•(6﹣2t)•BH＝2：1，解方程即可解决问题．(2)存在．由BA＝BC，∠BAD＝∠BCE＝45°，可知当AD＝EC时，△ADB≌△CEB，列出方程即可解决问题．【解析】解：(1)如图2中，①当E在线段AC上时，作BH⊥AC于H，BG⊥AM于G．∵BA平分∠MAN，∴BG＝BH，∵S△ADB：S△BEC＝2：1，AD＝t，AE＝2t，∴•t•BG：•(6﹣2t)•BH＝2：1，∴t＝s．②当点E运动到AC延长线上，同法可得t＝4时，也满足条件，∴当t＝s或4s时，满足S△ADB：S△BEC＝2：1．(2)存在．∵BA＝BC，∠BAD＝∠BCE＝45°，∴当AD＝EC时，△ADB≌△CEB，∴t＝6﹣2t，∴t＝2s，∴t＝2s时，△ADB≌△CEB．当D在MA延长线上时，2t﹣6＝t，t＝6s，综上所述，满足条件的t的值为2s或6s．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．。

专题02全等三角形思维导图核心考点聚焦1、全等图形2、全等三角形的性质3、全等三角形的判定方法4、添加条件使三角形全等5、全等三角形的应用6、全等三角形与动点问题7、角平分线的性质与判定8、倍长中线模型9、证明线段和差问题10、常见的辅助线一、全等三角形的定义和基本性质1.基本定义（1）全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.（2）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.（3）对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.（4）对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.（5）对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2．寻找全等三角形对应边、对应角的三种方法：（1）图形特征法：最长边对最长边，最短边对最短边；最大角对最大角，最小角对最小角．（2）位置关系法：①公共角（对顶角）为对应角、公共边为对应边．②对应角的对边为对应边，对应边的对角为对应角．（3）字母顺序法：根据书写规范按照对应顶点确定对应边或对应角．3．全等三角形的性质及应用①全等三角形的对应边相等；②全等三角形的对应角相等；③全等三角形对应边上的高、中线、角平分线分别相等；④全等三角形的周长相等，面积相等．二、三角形全等的判定方法及思路1．全等三角形的判定方法：“边边边”定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．“边角边”定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．“角边角”定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．“角角边”定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．“斜边、直角边”定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．2．全等三角形的证明思路：SAS HL SSS AAS SAS ASA AAS ASA AAS找夹角已知两边找直角找另一边边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找一角的对边ì®ìïï®íïïï®îïï®®ìïï®ìïïííï®íïïïïï®îîïï®ìïí®ïîïî三、角平分线的性质1.角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等．注意：三角形的三条角平分线交于一点，到三边的距离相等．2.角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，通常连接角的顶点和该点就能得到角平分线．一、全等的几种模型（1） 平移型（2）对称型（3）旋转型二、常见的几种添加辅助线构造全等三角形的方法1．倍长中线法倍长中线主要用于证明全等三角形，其主要是在全等三角形的判定过程中，遇到一般三角形边上的中线或中点，考虑中线倍长.如图：已知：在三角形ABC 中，O 为BC 边中点，辅助线：延长AO 到点D 使AO ＝DO ，结论：△AOB ≌△DOC.证明：如图，延长AO 到点D 使AO ＝DO ，由中点可知，OB ＝OC ，在△AOB和△DOC 中，OA OD AOB DOC OB OC =ìïÐ=Ðíï=î，∴△AOB ≌△DOC .总结：由倍长中线法证明三角形全等的过程一般均是用SAS 的方法，这是由于作出延长线后出现的对顶角决定的．2．截长或补短（含有线段－关系或求证两线间关系时常用）．截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段．基本图形，如下：在ABC △中，,AB AC AM >平分BACÐ（1）在AB 上截取AD AC =；（2）把AC 延长到点E ，使AB AE =.考点剖析考点一、全等图形例1．如图1，把大小为44´的正方形网格分割成了两个全等形．请在图2中，沿着虚线画出四种不同的分割方法，把44´的正方形网格分割成两个全等形．【解析】∵要求分成全等的两块，∴每块图形要包含有8个小正方形．考点二、全等三角形的性质例2．如图，A，E，C三点在同一直线上，且ABC DAE△≌△．=+；(1)求证：DE CE BC∥？并证明你的猜想．(2)猜想：当ADEV满足什么条件时DE BC【解析】（1）解：∵ABC DAE△≌△，∴BC AE=，=，AC DE∴DE AC CE AE CE BC ==+=+；（2）解：猜想，90AED Ð=°时，DE BC ∥，∵ABC DAE △≌△，∴AED BCA Ð=Ð，∵DE BC ∥，∴BCE DEC Ð=Ð，∴DEC AED Ð=Ð，又180DEC AED Ð+Ð=°，∴90AED Ð=°，∴当ADE V 是直角三角形，且90AED Ð=°时，DE BC ∥．考点三、全等三角形的判定方法例3．如图，点C ，E ，F ，B在同一直线上，点A ，D 在BC 异侧，AB CD ∥，AE DF =，A D Ð=Ð．(1)请判断AB 和CD 的数量关系，并说明理由；(2)若AB CF =，40B Ð=°，求D Ð的度数．【解析】（1）证明：∵AB CD ∥，∴B C Ð=Ð．在ABE △和DCF △中，∵A D B C AE DF Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴ABE △≌DCF △，∴AB CD =．（2）解：∵ABE △≌DCF △，∴AB CD =，BE CF =，B C Ð=Ð，∵40B Ð=°，例4．如图，已知,AB ED CD BF =∥.(1)现要从如下条件中再添加一个①AC EF =；②AB DE =；③A E Ð=Ð；④DF CB =得到ABC EDF △≌△．你添加的条件是：________．（填序号）(2)选择（1）中的一种情况进行证明．【解析】（1）解：②或③（任选一个填即可）（2）选择②证明：CD BF =Q ，CD CF BF CF \+=+，DF CB \=，∥AB ED Q ，B D \Ð=Ð，\在ABC △和EDF △中，AB DE B D DF CB =ìïÐ=Ðíï=î，()SAS ABC EDF \△≌△；选择③证明：CD BF =Q ，CD CF BF CF \+=+，DF CB \=，∥AB ED Q ，B D \Ð=Ð，\在ABC △和EDF △中，A E B D DF CB Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()AAS ABC EDF \△≌△.考点五、全等三角形的应用(1)当D 点在伞柄AP 上滑动时，处于同一平面的两条伞骨BD 和CD 相等吗？请说明理由．例6．如图，已知ABC △中，B C Ð=Ð，8AB =厘米，6BC =厘米，点D 为AB 的中点，如果点P 在线段BC 上以每秒2厘米的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上以每秒a 厘米的速度由C 点向A 点运动，设运动时间为(t 秒)(03)t £<．(1)用含t 的代数式表示(2)若点P 、Q 的运动速度相等，经过(3)若点P 、Q 的运动速度不相等，当点【解析】（1）解：由题意得：则62PC t =-；（2）解：CQP △≌(1)将三角尺的直角顶点落在OC的任意一点别为E、(F如图①)，则PE(2)把三角尺绕着点P旋转(如图②想PE与PF的大小关系，并说明理由．Ð【解析】（1）解：∵OC平分AOB\=，PE PF考点八、倍长中线模型例8．（1）在ABC △中，46AB AC==，，AD 是BC 边上的中线，则中线AD 长范围为___________；（2）如图，在ABC △中，AD 是BC 边上的中线，点E F ，分别在AB AC ，上，且DE DF ^，求证：BE CF EF +>．【解析】（1）如图，延长AD 至G ，使DG AD =，连接BG ，，则2AG AD =，Q AD 是BC 边上的中线，BD CD \=，在ADC △和GDB △中，CD BD ADC GDB AD GD =ìïÐ=Ðíï=î，()SAS ≌ADC GDB \△△，6BG AC \==，BG AB AG BG AB -<<+Q ，6464AG \-<<+，即210AG <<，2210AD \<<，15AD \<<，故答案为：15AD <<；（2）证明：如图，延长ED 至H 使ED DH =，连接CH ，FH ，，在BDE △和CDH △中，CD BD BDE CDH ED HD =ìïÐ=Ðíï=î，()SAS ≌BDE CDH \△△，BE CH \=，DE DF ^Q ，=ED HD ，EF HF \=，CF CH FH +>Q ，CF BE EF \+>．考点九、证明线段和差问题例9．如图所示，在ABC △，100A Ð=°，40ABC BD Ð=°，平分ABC Ð交AC 于点D ，延长BD 至点E ，使ED AD =，连接CE ．求证：BC AB CE =+．【解析】证明：如图所示，在BC 上取一点F 使得BF AB =，连接DF ，∵100A Ð=°，40ABC Ð=°，∴40ABC ACB Ð=Ð=°，∵BD 是ABC △的角平分线，∴20ABD FBD Ð=Ð=°，在ABD △和FBD △中，AB FB ABD FBD BD BD =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS ≌ABD FBD △△，∴ADB FDB AD DF ==∠∠，，又∵AD ED ADB EDC ==，∠∠，∴1801002060ADB FDB CDE Ð=Ð=Ð=°-°-°=°，FD ED =，∴18060FDC ADB FDB EDC =°--=°=∠∠∠∠，在CDE △和CDF △中，ED FD CDE CDF CD CD =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS CDE CDF △≌△，∴CE CF =，∴BC BF CF AB CE =+=+.考点十、常见的辅助线例10．如图，△ABC 中，AB =AC ,在AB 上取一点E ，在AC 的延长线上取一点F ，使CF =BE ,连接EF ，交BC 于点D ．求证：DE =DF ．【解析】证明：作FH P AB 交BC 延长线于H ，∵FH P AB ，∴∠FHC =∠B ，∠BED =∠HFD ．又∵AB =AC ，∴∠B =∠ACB ．又∠ACB =∠FCH ，∴∠FHC =∠FCH ．∴CF =HF ．又∵BE =CF ，∴HF =BE ．在△DBE 和△DHF 中，,B FHC BE HFBED HFD Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî∴△DBE ≌△DHF （ASA ）．∴DE =DF ．过关检测一、选择题1．如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB 的卡钳，卡钳交叉点O 为AA ¢、BB ¢的中点，只要量出A B¢¢的长度，就可以知道该零件内径AB 的长度．依据的数学基本事实是（ ）A ．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等B ．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等C ．三边分别相等的两个三角形全等D ．两点之间线段最短【答案】B【解析】Q 点O 为AA ¢、BB ¢的中点，OA OA \¢=，OB OB ¢=，由对顶角相等得AOB A OB ¢¢Ð=Ð，在AOB △和A OB ¢¢△中，OA OA AOB A OB OB OB ¢¢=ìïÐ=Т¢íï=î，(SAS)≌AOB A OB ¢\¢△△，AB A B ¢\=¢，即只要量出A B ¢¢的长度，就可以知道该零件内径AB 的长度，故选B ．2．如图，AOB ADC △≌△，90O D Ð=Ð=°，70OAD Ð=°，当AO BC ∥时，则ABO Ð度数为（ ）A ．35°B ．40°C ．45°D ．55°【答案】A 【解析】∵AOB ADC △≌△，∴AB AC =，BAO CAD Ð=Ð，∴A ABC CB =Ð∠，设ABC ACB x Ð=Ð=，∵BC OA ∥，∴ABC BAO CAD x Ð=Ð=Ð=，180ACB CAO Ð+Ð=°，∴180ACB CAD OAD Ð+Ð+Ð=°，∵70OAD Ð=°，∴70180x x ++°=°，解得：55x =°，∴55BAO Ð=°，∵90AOB Ð=°，∴905535ABO Ð=°-°=°．故选A ．3． 如图，点A ，C ，B ，D 在同一条直线上，已知：CE DF =，ACE BDF Ð=Ð，下列条件中不能判定△≌△ACE BDF 的是A ．E FÐ=ÐB ．AC BD =C ．AE BF =D ．∥AE BF【答案】C 【解析】A 、符合全等三角形的判定定理ASA ，能推出△≌△ACE BDF ，故本选项不符合题意；B 、符合全等三角形的判定定理SAS ，能推出△≌△ACE BDF ，故本选项不符合题意；C 、不符合全等三角形的判定定理，SSA 不能推出△≌△ACE BDF ，故本选项符合题意；D 、因为∥AE BF ，所以A FBD Ð=Ð，所以符合全等三角形的判定定理AAS ，能推出△≌△ACE BDF ，故本选项不符合题意．故选C ．4．如图，在△ABC 中，AC BC =，90ACB Ð=°，AD 平分BAC Ð，BE AD ^交AC 的延长线于F ，E 为垂足，则结论：①AD BF =；②CF CD =；③AC CD AB +=；④BE CF =；⑤2BF BE =；其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】,90BC AC ACB =Ð=°Q ，45CAB ABC \Ð=Ð=°，AD Q 平分BAC Ð，22.5BAE EAF \Ð=Ð=°，Q 在Rt ACD △与Rt BFC △中，90,90EAF F FBC F Ð+Ð=°Ð+Ð=°，EAF FBC \Ð=Ð，BC AC EAF FBC BCF ACD =Ð=ÐÐ=ÐQ ，，，∴Rt Rt ≌ADC BFC △△，AD BF \=，故①正确．②Q ①中Rt Rt ≌ADC BFC △△，CF CD \=，故②正确．③Q ①中Rt Rt ≌ADC BFC△△,CF CD AC CD AC CF AF \=+=+=，22.5CBF EAF Ð=Ð=°Q ，\在Rt AEF △中，9067.5F EAF Ð=°-Ð=°，45CAB Ð=°Q ，18018067.54567.5ABF F CAB \Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°，ABE AFE \≌△△，A ．1个B ．2个【答案】D 【解析】①ABC ÐQ 和ACB Ð的平分线相交于点EBO CBO \Ð=Ð，BCO FCO Ð=Ð∵EF BC ∥，Q 点O 是ABC △的内心，OD 1122AEF S AE OD AF \=×+×△1()2AE AF OD =+×【答案】135【解析】如图，连接AD 、BD由图可知，在DFB △和BEC △90DF BE DFB BEC FB EC =ìïÐ=Ð=°íï=î，【答案】AD AB =或3=Ð【解析】AC Q 平分DAB Ð12\Ð=Ð，又AC AC =Q ，【答案】7【解析】∵EF AB ^，∴90FEB Ð=°，∵BF AC ^，∴90ADB Ð=°，∴90F FBE Ð+Ð=°，A Ð+【答案】15° 6【解析】（1）Q 90AEC Ð=90BED DFC \Ð=Ð=°，在Rt BDE △和Rt CDF △中，【解析】设经过xQ厘米，点==AB AC24\=厘米，12BDQABC ACBÐ=Ð\要使BPD △与CQP V 全等，必须BD CP =或BP CP =，即12164x =-或4164x x =-，解得：1x =或2x =，1x =时，4BP CQ ==，414¸=；2x =时，12BD CQ ==，1226¸=；即点Q 的运动速度是4厘米/秒或6厘米/秒，故答案为：4或6.三、解答题11．如图，在ABC △中，AB AC =，D 为BC 上一点，DE AB ^，DF AC ^，垂足分别为E 、F ，且DE DF =．请选择一对你认为全等的三角形并加以证明．(1)你选择的是：△__________△≌__________；(2) 根据你的选择，请写出证明过程．【解析】（1）解：根据图形和已知条件，选择证明的全等三角形为AED AFD V V ≌，故答案为：AED ，AFD （答案不唯一）；（2）证明：DE AB ∵⊥，DF AC ^，AED \△和AFD △是直角三角形，在Rt AED △和Rt AFD △中，AD AD DE DF =ìí=î，()Rt Rt HL ≌AED AFD \△△．12．如图，点D E 、分别在线段,AB AC 上，AE AD =，不添加新的线段和字母，从下列条件①B C Ð=Ð，②BE CD =，③AB AC =，④ADC AEB Ð=Ð中选择一个使得≌ABE ACD △△．(1)你选择的一个条件是_____________（填写序号）(2)根据你的选择，请写出证明过程．【解析】（1）解：∵AE AD =，A A Ð=Ð，可以利用SAS,AAS,ASA 三种方法证明≌ABE ACD △△；故可以选择的条件可以是：①或③或④（2）选择①：在ABE △和ACD △中，A ABC AE AD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴()AAS ≌ABE ACD △△；选择③在ABE △和ACD △中，AB AC A A AE AD =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS ≌ABE ACD △△；选择④在ABE △和ACD △中，ADC AEB AE ADA A Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴()ASA ABE ACD △≌△．13．如图，点A ，B ，C ，D 在同一条直线上，点E ，F 分别在直线AB 的两侧，且AE BF =，A B Ð=Ð，ACE BDF Ð=Ð．(1)求证：ADE BCF △△≌．(2)若8AB =，2AC =，求CD 的长．【解析】（1）证明：在ACE △和BDF V 中，A B ACE BDF AE BF Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()AAS ACE BDF \≌△△．AC BD \=．AD BC \=．在ADE V 和BCF △中AE BF A B AD BC =ìïÐ=Ðíï=î，()SAS ≌ADE BCF \△△．（2）由（1）知ACE BDF V V ≌，2BD AC \==，8AB =Q ，4CD AB AC BD \=--=，故CD 的长为4．14．如图，ABC △的外角DAC Ð的平分线交BC 边的垂直平分线于P 点，PD AB ^于D ，PE AC ^于E ，连接BP ，CP ．(1)求证：BD CE =；(2)若6cm AB =，10cm AC =，直接写出AD 的长为______．【解析】（1）证明：Q 点P 在BC 的垂直平分线上，BP CP \=，AP Q 是DAC Ð的平分线，DP EP \=，在Rt BDP △和Rt CEP △中，BP CP DP EP =ìí=î，(1)【探究发现】图1中AC 与BM 的数量关系是 (2)【初步应用】如图2，在ABC △中，若12AB =(3)【探究提升】如图3，AD 是ABC △的中线，过点AF AC =，延长DA 交EF 于点P ，判断线段EF 与由（1）可知，(SAS)≌MDB ADC △△，8BM AC \==，在ABM △中，AB BM AM AB BM -<<+，128128AM \-<<+，即4220AD <<，210AD \<<，即BC 边上的中线AD 的取值范围为210AD <<；（3）2EF AD =，EF AD ^，理由如下：如图3，延长AD 到M ，使得DM AD =，连接BM ，由（1）可知，(SAS)BDM CDA △≌△，BM AC \=，AC AF =Q ，BM AF \=，由（2）可知，AC BM ∥，180BAC ABM \Ð+Ð=°，AE AB ^Q 、AF AC ^，90BAE FAC \Ð=Ð=°，180BAC EAF \Ð+Ð=°，ABM EAF \Ð=Ð，在ABM △和EAF △中，AB EA ABM EAF BM AF =ìïÐ=Ðíï=î，(SAS)ABM EAF \△≌△，AM EF \=，BAM E Ð=Ð，AD DM =Q ，2AM AD \=，2EF AD \=，EAM BAM BAE E APE Ð=Ð+Ð=Ð+ÐQ ，90APE BAE \Ð=Ð=°，EF AD \^．。

2024-2025学年度八年级数学上册探索三角形全等的条件（HL ）专项练习一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（八年级下·山西晋中·期中）如图，已知，，若用“”判定和AB AC ⊥CD AC ⊥HL Rt ABC △全等，则需要添加的条件是（ ）Rt CDA △A ．B ．C ．D ．B D ∠=∠ACB CAD ∠=∠AB CD =AD CB=2．（八年级上·湖北随州·期末）如图，于P ，，添加下列一个条件，能利用“”AC BD ⊥AP CP =HL 判定的条件是（ ）ABP CDP △≌△A ．B ．与互余C ．D ．AB CD B ∠C ∠BP DP =AB CD =3．（八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在和中，，，ABC CDE 90ACB CED ∠=∠=︒AB CD =，则下列结论不一定成立的是（）BC DE =A ．B ．C ．D ．ABC CDE △△≌CE BE =AB CD ⊥CAB ECD=∠∠4．（八年级上·江西抚州·期中）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知，AC DF AB DE ==，则这两个滑梯与地面夹角与的度数和是（ ）ABC ∠DFE ∠A ．B ．C ．D ．60︒90︒120︒150︒5．（八年级上·湖北十堰·阶段练习）如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水AC 平方向的长度相等，若，则（ ）DF 32CBA ∠=︒EFD ∠=A ．B ．C ．D ．42︒58︒52︒48︒6．（20-21八年级上·天津红桥·期中）如图，△ABC 中，点D 是BC 边上一点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC ，且BD =FC ，BE =DC ，∠AFD =155°，则∠EDF 的度数是（ ）A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°7．（八年级上·江苏南京·期末）如图，，垂足为，是上一点，且，EC BD ⊥C A EC AC CD =．若，，则的长为（ ）AB DE = 3.5AC =9BD =AEA ．2B ．2.5C ．3D ．5.58．（八年级上·河北张家口·期中）如图，，，，，则CD AD ⊥CB AB ⊥CD CB =100BCD ∠=︒（ ）BAC ∠=A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°9．（14-15八年级上·江苏盐城·课后作业）如图，在△ABC 中，∠C =90°，点D 在AB 上，BC =BD ，DE ⊥AB 交AC 于点E ，△ABC 的周长为12，△ADE 的周长为6，则BC 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．610．（八年级下·河南平顶山·期中）如图，的高与相交于点，，的延长线ABC BD CE O OD OE =AO 交于点，则图中共有全等的直角三角形（ ）BC MA ．3对B ．4对C ．5对D ．6对二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（八年级上·甘肃平凉·期末）如图，在中，分别是边上的高，已知ABC AD BE 、BC AC 、；若，则的度数为 ．AE BD =60CAB ∠=︒CBE ∠12．（八年级上·河南南阳·期中）如图，在中，，点在上，，ABC 90C ∠=︒D AB BC BD =交于点，的周长为，的周长为，则边的长为 ．DE AB ⊥AC E ABC 12cm ADE 6cm BC cm13．（八年级上·河北保定·阶段练习）如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯AC水平方向的长度相等，两个滑梯的倾斜角和的数量关系是 ．DF ABC ∠DFE ∠14．（八年级上·新疆伊犁·期中）如图，于E ，于F ，若，，则下DE AB ⊥DF AC ⊥BD CD =BE CF =列结论：①；②平分；③；④，中正确的是 ．DE DF =AD BAC ∠AE AD =2AC AB BE -=15．（八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，E 是的中点，平分，90B C ∠=∠=︒BC DE ADC ∠，则 ．35CED ∠=︒EAB ∠=16．（八年级上·重庆渝中·阶段练习）如图，在四边形中，、为对角线，且，ABCD AC BD AC AB =，于点．若，，则的长度为 ．ACD ABD ∠=∠AE BD ⊥E 3BD =2CD =DE17．（18-19七年级下·黑龙江·期末）如图，为的中线，点在的延长线上，连接，CD ABC E DC BE 且，过点作于点，连接，若，，则的长为 ．BE AC =B BH CD ⊥H AH CE BH =18ABH S = DH18．（七年级下·山西临汾·期末）如图，在中，，垂足为D ，E 为外一点，连接ABC BD AC ⊥ABC ，且，．若，则的长为 ．BE CE ，AB BE =180BAD BEC ∠+∠=︒4,3CD CE ==AC三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（八年级上·浙江温州·期中）已知，如图，在中，是的中点，于点，ABC D BC DE AB ⊥E 于点，且．求证：．完成下面的证明过程．DF AC ⊥F BE CF =B C ∠=∠证明：，，DE AB ∵∵DF AC ⊥__________．BED ∴∠=90=︒是的中点，D BC __________，BD ∴=又，BE CF = __________．Rt RtBDE CDF ∴△≌△．B C ∴∠=∠20．（8分）（八年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）如图，相交于点O ，，AD BC ，AD BC =．90C D ∠=∠=︒（1）求证：；ACB BDA △≌△（2）若，求的度数．28ABC ∠=︒CAO ∠21．（10分）（八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，已知，，点在边的延长ABC 108ACB ∠=︒D BC 线上，连接，的平分线交于点，过点作，垂足为，且．AD ABC ∠AD E E EH BD ⊥H 54CEH ∠=︒（1）求的度数；ACE ∠（2）请判断是否平分，并说明理由．AE CAF ∠22．（10分）（八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在中，，在的上方作ABC 90CAB ∠=︒BC ，使，且，与交于点，连接．BDC BD CD ==90BDC ∠︒AC BD E AD （1）若平分，求证：．CA BCD ∠2CE AB =（2）求的度数．DAC ∠23．（10分）（21-22八年级上·山东聊城·期末）如图，在△ABC 中∠ABC =45°，AD ⊥BC 于点D ，点E 为AD 上的一点，且BE =AC ，延长BE 交AC 于点F ，连接FD ．（1）求证：△BED ≌△ACD ；（2）若FC =c ，FB =b ，求的值．(用含a ，b 的式子表示)FCDFBD S S ∆∆24．（12分）（20-21七年级下·辽宁朝阳·期末）已知：两个等腰直角三角板△ACB 和△DCE （AC ＝BC ，DC ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝90°）如图所示摆放，连接AE 、BD 交于点O ．AE 与DC 交于点M ，BD 与AC 交于点N ．（1）如图1（两个等腰直角三角板大小不等），试判断AE 与BD 有何关系并说明理由；（2）如图2（两个等腰直角三角板大小相等，即AC ＝DC ），在不添加任何辅助线的情况，请直接写出图2中四对全等的直角三角形．参考答案：1．D【分析】本题考查了直角三角形全等的判定定理的应用，根据垂直定义得出，根据90BAC DCA ∠=∠=︒图形可知是公共直角边，根据直角三角形全等的判定得出需要添加的条件是斜边相等，能熟记全AC HL 等三角形的判定定理是解题的关键．【详解】解：∵，，AB AC ⊥CD AC ⊥∴，90BAC DCA ∠=∠=︒在和中，Rt ABC △Rt CDA △，AC CA AD CB =⎧⎨=⎩∴，()Rt Rt HL ABC CDA ≌故选：．D 2．D【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握“”是解答本题的关键．根据“”所需HL HL 的条件分析即可．【详解】解：∵，AC BD ⊥∴，90APB CPD ∠=∠=︒∵，AP CP =∴要利用“”判定的条件是．HL ABP CDP △≌△AB CD =故选D ．3．B【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于基础题．首先证明，推出，，由，推出ABC CDE △△≌,CE AC D B =∠=∠CAB ECD =∠∠90D DCE ∠+∠=︒，推出，即可一一判断．B ∠+90DCE ∠=︒CD AB ⊥【详解】解：在和中，Rt ABC Rt CDE AB CD BC DE=⎧⎨=⎩,ABC CDE ∴ ≌，,,CE AC D B ∴=∠=∠CAB ECD =∠∠90,D DCE ∠+∠=︒ 90,B DCE ∴∠+∠=︒,CD AB ∴⊥故A 、C 、D 正确，故选：B ．4．B【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，利用证明HL 得到，由可得．Rt Rt ABC ADEF △≌△2314∠=∠∠=∠，3490∠+∠=°90∠+∠=︒ABC DFE 【详解】解：由题意得，，90BAC EDF ∠=∠=︒∵，BC EF AC DF ==，∴，()Rt Rt HL ABC ADEF △≌△∴，2314∠=∠∠=∠，∵，3490∠+∠=°∴，即．2490∠+∠=︒90∠+∠=︒ABC DFE 故选：B．5．B【分析】先根据证明，再根据全等三角形的性质得出，最HL Rt Rt ABC DEF △≌△32CBA DEF ∠=∠=︒后根据直角三角形两锐角互余即可求解．【详解】解：在和中，Rt ABC △Rt DEF △，BC EF AC DF =⎧⎨=⎩∴，()Rt Rt HL ABC DEF ≌△△∴，32CBA DEF ∠=∠=︒∴，9058EFD DEF ∠=︒-∠=︒故选：B ．【点拨】本题主要考查了用证明三角形全等，解题的关键掌握有一条直角和斜边相等的两个直角三角HL 形全等．6．D【分析】证明Rt △FDC ≌Rt △DEB （HL ），由全等三角形的性质得出∠DFC ＝∠EDB ＝25°，即可得出答案．【详解】解：∵∠AFD ＝155°，∴∠DFC ＝25°，∵DF ⊥BC ，DE ⊥AB ，∴∠FDC ＝∠DEB ＝90°，在Rt △FDC 和Rt △DEB 中，，CF BD CD BE =⎧⎨=⎩∴Rt △FDC ≌Rt △DEB （HL ），∴∠DFC ＝∠EDB ＝25°，∴∠EDF ＝180°−∠BDE −∠FDC ＝180°−25°−90°＝65°．故选：D ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．7．A【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，根据题意，利用直角三角形全等的判定定理得到，求出相关线段长度，由图中线段关系表示出，代值求()Rt Rt HL EDC BAC ≌EA EC AC BC AC =-=-解即可得到答案，熟练掌握两个三角形全等的判定与性质是解决问题的关键．【详解】解：，3.5AC = ，∴ 3.5CD AC ==，EC BD ⊥，ECD BCA ∴∠=∠在和中，Rt EDC Rt BAC AC CD AB ED=⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL EDC BAC ≌，EC BC ∴=，9 3.5 5.5BC BD CD BD AC =-=-=-= ，5.5 3.52EA EC AC BC AC ∴=-=-=-=故选：A ．8．B【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，直角三角形中两个锐角互余，根据条件证明出两个直角三角形全等是解题的关键．【详解】解：，，CD AD ⊥ CB AB ⊥，90ADC ABC ∴∠=∠=︒在和中，Rt ADC Rt ABC ，CD CB AC AC =⎧⎨=⎩，()Rt ADC Rt ABC HL ∴ ≌，ACD ACB ∴∠=∠，100BCD ∠=︒ ，111005022ACB BCD ∴∠=∠=⨯︒=︒．90905040BAC ACB ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒故选：B ．9．A【分析】先根据角平分线的性质得到ED ＝EC ，再证明Rt △BED ≌Rt △BEC 得到DE ＝CE ，接着利用三角形周长和等线段代换得到AD ＋AC ＋2BC ＝12和AD ＋AC ＝6，所以6＋2BC ＝12，从而得到BC 的长．【详解】解：连接BE，∵DE ⊥AB∴∠BDE =90°，在Rt △BED 和Rt △BEC 中，，BE BE BD BC =⎧⎨=⎩∴Rt △BED ≌Rt △BEC （HL ），∴DE ＝CE ，∵△ABC 的周长为12，∴AB ＋AC ＋BC ＝12，即AD ＋AC ＋2BC ＝12，∵△ADE 的周长为6，∴AD ＋DE ＋AE ＝6，即AD ＋EC ＋AE ＝6，∴AD ＋AC ＝6，∴6＋2BC ＝12，∴BC ＝3．故选：A ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握HL 证明全等是解答此题的关键．10．D【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定方法，判定两个直角三角形全等的一般方法有：．熟练掌握运用全等三角形的判定方法是解题关键．SSS SAS ASA AAS HL 、、、、，，利用全等ADO AEO ≌,,,,DOC EOB COM BOM ACM ABM ADB AEC BCE CBD ≌≌≌≌≌三角形的判定可证明，做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．【详解】解：，ADO AEO ≌．理由如下：,,,,DOC EOB COM BOM ACM ABM ADB AEC BCE CBD ≌≌≌≌≌在与中，，ADO AEO 90ADO AEO ∠∠==︒，OA OA OD OE =⎧⎨=⎩∴，()ADO AEO HL ≌∴，,DAO EAO AD AE ∠∠==在与中，DOC EOB90ODC OEB OD OE DOC EOB ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴，()DOC EOB ASA ≌∴，,DC EB OC OB ==∴，即，DC AD EB AE +=+AC AB =∵，DAO EAO ∠∠=∴．AM BC CM BM ⊥=，在与中，，COM BOM 90OMC OMB ∠∠==︒，OC OB OM OM =⎧⎨=⎩∴．()COM BOM HL ≌在与中，，ACM ABM 90AMC AMB ∠∠==︒，AC AB AM AM =⎧⎨=⎩∴．()ACM ABM HL ≌在与中，ADB AEC ，AD AE DAB EACAB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴．()ADB AEC SAS ≌在与中，，BCE CBD 90BEC CDB ∠∠==︒BC CB BE CD=⎧⎨=⎩∴．()BCE CBD HL ≌故选：D11．/度30︒30【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证即可求解．AEB BDA ≌△△【详解】解：∵分别是边上的高，AD BE 、BC AC 、∴90AEB BDA ∠=∠=︒∵，60CAB ∠=︒∴30EBA ∠=︒∵，AE BD =AB BA=∴()Rt AEB Rt BDA HL ≌∴，60DBA EAB ∠=∠=︒∴30CBE DBA EBA ∠=∠-∠=︒故答案为：30︒12．3【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，如图所示，连接，利用证明BE HL 得到，根据三角形周长公式推出，再由Rt Rt EBC EBD △≌△CE DE =6cm AD AC +=，可得．12cm BC BD AD AC +++=3cm BC =【详解】解：如图所示，连接，BE ∵，，DE AB ⊥90C ∠=︒∴，90C BDE ∠=∠=︒在和中，Rt EBC Rt EBD △，BC BD BE BE =⎧⎨=⎩∴，()Rt Rt HL EBC EBD △≌△∴，CE DE =∵的周长为，的周长为，ABC 12cm ADE 6cm ∴，12cm 6cm AB AC BC AD DE AE ++=++=，∴，即，6cm AD AE CE ++=6cm AD AC +=∵，12cm BC BD AD AC +++=∴，26cm 12cm BC +=∴，3cm BC =故答案为：3．13．90∠+∠=︒ABC DFE 【分析】由条件信息可得，与均是直角三角形，由已知可根据判定两三角形全等，再根ABC DEF HL 据全等三角形的对应角相等，不难求解．【详解】解：，证明如下：90∠+∠=︒ABC DFE 由题意可得：与均是直角三角形，且．ABC DEF BC EF AC DF ==，在和中，Rt ABC △Rt DEF △ ，BC EF AC DF =⎧⎨=⎩∴，()Rt Rt HL ABC DEF ≌ ∴，ABC DEF ∠=∠∵，90DEF DFE ∠+∠=︒∴．90∠+∠=︒ABC DFE 故答案为：90∠+∠=︒ABC DFE 【点拨】此题考查了全等三角形的应用．做题时要注意找已知条件，根据已知选择方法得出全等三角形是解题关键．14．①②④【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．利用证明全等，根据全等三角形HL Rt Rt BED CFD △≌△对应边相等可得，再证明，判断出平分，可得，DE DF =()Rt Rt HL AED AFD ≌△△AD BAC ∠AE AF =再根据图形即可得到．2AC AB BE -=【详解】解：∵，DE AB ⊥DF AC⊥∴，90E DFC ∠=∠=︒又∵，，BD CD =BE CF =∴，()Rt Rt HL BED CFD ≌∴，①正确，符合题意；DE DF =又∵，，90E DFC ∠=∠=︒AD AD =∴，()Rt Rt HL AED AFD ≌△△∴，，即平分，②正确，符合题意；AE AF =∠∠E A D FA D =AD BAC ∠∴，④正确，符合题意；2AC AB BE CF BE -=+=在中，，∴，③错误，不符合题意；Rt ADE △90E ∠=︒AD AE >综上所述，正确的是①②④．故答案为：①②④．15．35︒【分析】过点E 作，垂足为F ．由三角形的内角和定理求得，由角平分线的定义可EF AD ⊥55CDE ∠=︒知，由平行线的判定定理可知，由平行线的性质可求得，由角平分线110CDA ∠=︒AB CD ∥70DAB ∠=︒的性质可知，则，根据可证明，从而得到EF EC =EF BE =HL Rt Rt AEF AEB ≌ ．1352EAB DAB ∠=∠=︒【详解】解：过点E 作，垂足为F ．EF AD ⊥∵，9035C CED ∠=︒∠=︒，∴．55CDE ∠=︒∵平分，DE ADC ∠∴．55EDF ∠=︒∴．110CDA ∠=︒∵，90B C ∠=∠=︒∴．AB CD ∥∴．180CDA DAB ∠+∠=︒∴．70DAB ∠=︒∵平分，，DE CDA ∠EF AD EC DC ⊥⊥，∴．EF EC =∵E 是的中点，BC∴．EF BE =在和中，Rt AEF Rt AEB ，EF BE AE AE =⎧⎨=⎩∴．Rt Rt AEF AEB ≌ ∴．EAF EAB ∠=∠∴．11703522EAB DAB ∠=∠=⨯︒=︒故选答案为．35︒【点拨】本题主要考查的是角平分线的性质、全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形的内角和定理等知识点，由角平分线的性质证得是解题的关键．EF EC =16．12【分析】过点A 作交的延长线于点F ，根据证明，得到，AF CD ⊥CD AAS AFC AEB ≌△△AF AE =，再根据证明，得到，最后根据线段的和差即可求解．CF BE =HL Rt Rt AFD AED ≌ DF DE =【详解】解：过点A 作交的延长线于点F ，AF CD ⊥CD，90AFC ∴∠=︒，AE BD ⊥ ，90AFC AED AEB ∴∠=∠=∠=︒在和中，AFC △AEB ∵，90AFC AEB ABE ACDAC AB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS AFC AEB ∴≌ ∴，，AF AE =CF BE =在和中，Rt AFD △Rt AED △，AF AE AD AD =⎧⎨=⎩，()Rt Rt HL AFD AED ∴≌ ，DF DE ∴=，，，CF CD DF =+ BE BD DE =-CF BE =，CD DF BD DE ∴+=-，2DE BD CD ∴=-，，3BD = 2CD =，21DE ∴=，12DE ∴=故答案为：．12【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答此题的关键．17．3【分析】过点作于点，证明，，得出，A AF EF ⊥F ()AAS ADF BDH ≌Rt Rt (HL)CAF EBH ≌2BH HD DF DH =+=再由为的中线及，根据的面积列出关于的方程，求解即可．CD ABC BH CD ⊥BHD S HD 【详解】解：如图，过点作于点A AFEF ⊥F为的中线，CD ABC BH CD⊥，AD BD ∴=90AFD BHD ∠=∠=︒又ADF BDH∠=∠()AAS ADF BDH ∴ ≌，AF BH ∴=FD HD=在和中Rt CAF △Rt EBH △AF BH AC BE=⎧⎨=⎩Rt Rt (HL)CAF EBH ∴ ≌EH CF∴=，即EH CH CF CH ∴-=-EC HF=，，BH EC = EC HF HD DF ==+HD DF=2BH HD DF DH∴=+=为的中线，CD ABC BH CD ⊥1118922BHD ABH S S ∴==⨯= 又11222BHD S HD HB HD HD ==⨯ ∴1292HD HD ⨯=解得：3HD =故答案为：3．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、等底同高三角形的面积关系及直角三角形的面积公式，属于中档题．18．5【分析】如图，过作的延长线于，证明，则，，证B BF CE ⊥F ()AAS ABD EBF ≌AD EF =BD BF =明，则，，，根据，计算求()Rt Rt HL BCD BCF ≌4CF CD ==1EF CF CE =-=1AD =AC AD CD =+解即可．【详解】解：如图，过作的延长线于，B BF CE ⊥F∵，，180BAD BEC ∠+∠=︒180BEF BEC ∠+∠=︒∴，BAD BEF ∠=∠∵，，，BAD BEF ∠=∠90ADB EFB ∠=∠=︒AB BE =∴，()AAS ABD EBF ≌∴，，AD EF =BD BF =∵，，BD BF =BC BC =∴，()Rt Rt HL BCD BCF ≌∴，4CF CD ==∴，，1EF CF CE =-=1AD =∴，5AC AD CD =+=故答案为：5．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质．解题的关键在于明确线段之间的数量关系．19．，，CFD ∠CD ()HL 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质知识；证明，得出即()Rt Rt HL BDE CDF △≌△B C ∠=∠可．证明三角形全等是解题的关键．【详解】解：，，DE AB ∵∵DF AC ⊥90BED CFD ∴∠=∠=︒是的中点，D BC BD CD∴=又，BE CF = ()Rt Rt HL BDE CDF ∴ ≌．B C ∴∠=∠20．(1)见详解(2)34CAO ∠=︒【分析】（1）由“”可证；HL Rt ACB Rt BDA ≌（2）由全等三角形的性质可得，即可求解．BAD ABC ∠=∠=28︒【详解】（1）证明：∵，90C D ∠=∠=︒∴和都是直角三角形，ACB △BDA △在和中，Rt ACB Rt BDA ，,AD BC AB BA ==AD BC AB BA=⎧⎨=⎩∴；()Rt ACB Rt BDA HL ≌（2）在中，Rt ACB ∵，28ABC ∠=︒902862,CAB ∴∠=︒-︒=︒由（1）可知，ACB BDA △≌△28,BAD ABC ∴∠=∠=︒622834.CAO CAB BAD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明是本题的关键．ACB BDA △≌△21．(1)36ACE ∠=︒(2)平分，理由见解析AE CAF ∠【分析】（1）由平角的定义可求解的度数，再利用三角形的内角和定理可求解，进ACD ∠36ECH ∠=︒而可求解；（2）过点分别作于点，于点，根据角平分线的性质可证得E EM BF ⊥M EN AC ⊥N ，进而可证明结论．EM EN =【详解】（1），108ACB ∠=︒ ．18010872ACD ∴∠=︒-︒=︒，EH BD ⊥ ．90CHE ∴∠=︒，54CEH ∠=︒，905436ECH ∴∠=︒-︒=︒；723636ACE ∴∠=︒-︒=︒（2）平分AE CAF∠理由：如图，过点分别作于点，于点E EM BF ⊥M EN AC ⊥N平分BE ABC∠FBE DBE∴∠=∠,,EM BF EH BD EN AC⊥⊥⊥ 90CHE ENA EMB ∴∠=∠=∠=︒在和中EMB EHB 90CHE EMB BE EBFBE DBE ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩（AAS ）EMB EHB ∴ ≌EM EH∴=36ACE ECH ∠=∠=︒同理可得：∴EN EH=EM EN∴=在和中，NAE MAE 90EM EN EMA ENA AE EA =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩（HL ）NAE MAE ∴ ≌AEN AEM∴∠=∠平分．AE ∴CAF∠【点拨】本题主要考查角平分线的判定与性质，三角形的内角和定理，掌握角平分线的判定与性质是解题的关键．22．(1)见解析(2)45︒【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质即角平分线性质，（1）延长，交于点，由题意得，有，由垂直得，证得BA CD F CAB CAF ≌AB AF =DBF DCE ∠=∠，有即可证明结论；BDF CDE ≌BF CE =（2）过点分别作于点，于点，有，得到，可得D DN BF ⊥N DM AC ⊥M DBNDCM △≌△DN DM =，即可求得角度．≌D A N D A M 【详解】（1）证明：延长，交于点，如图，BA CD F，，，BCA FCA ∠=∠ CA CA =90CAB CAF ∠=∠=︒，()ASA CAB CAF ∴ ≌，AB AF ∴=．2BF AB ∴=，，90DBF F ∠+∠=︒ 90DCE F ∠+∠=︒．DBF DCE ∴∠=∠，，90BDF CDE ∠=∠=︒ BD CD =，()ASA BDF CDE ∴ ≌，BF CE ∴=．2CE AB ∴=（2）解：过点分别作于点，于点，如图，D DN BF ⊥N DM AC ⊥M．90DNB DMC ∴∠=∠=︒，，DBN DCM ∠=∠ BD CD =，()AAS DBN DCM ∴ ≌，DN DM ∴=∵，DA DA =∴，()HL DAN DAM ≌．1452DAC DAF FAC ∴∠=∠=∠=︒23．(1)见解析(2)FCD FBD S c S b∆∆=【分析】（1）利用得，又BE =AC ，，因此可以通过HL45BAD ABC ==︒∠∠BD AD =90ADB ADC ∠=∠=︒定理证明；Rt Rt BED ACD ∆≅∆（2）作于点，作于点，由可得，利用DG BE ⊥G DH AC ⊥H BED ACD S S ∆∆=DG DH =即可求解．1212FCDFBD FC DH S S FB DG ∆∆⋅=⋅【详解】（1）证明：在△ABC 中∠ABC =45°，AD ⊥BC ，，，90ADB ADC ∴∠=∠=︒45BAD ABC ==︒∠∠，BD AD ∴=在和中，Rt BED ∆Rt ACD ∆，BD AD BE AC =⎧⎨=⎩，Rt ΔRt Δ()BED ACD HL ∴≅即．BED ACD ∆≅∆（2）解：如图所示，作DG ⊥BE 于点G ，作DH ⊥AC 于点H，由（1）知BED ACD∆≅∆，BED ACD S S ∆∆∴=，1122BE DG AC DH ∴⋅=⋅，BE AC = ，DG DH ∴=．1212FCDFBD FC DH S FC c S FB b FB DG ∆∆⋅∴===⋅【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形的面积公式，解题的关键是正确作出辅助线，由可得．BED ACD S S ∆∆=DG DH =24．（1）AE ＝BD 且AE ⊥BD ．理由见解析；（2）△ACB ≌△DCE ，△EMC ≌△BCN ，△AON ≌△DOM ，△AOB ≌△DOE【分析】（1）证明△ACE ≌△BCD ，可得AE ＝BD ，∠CEA ＝∠BDC ，由∠CME ＝∠DMO ，根据三角形内角和定理即可得∠DOM ＝∠ECM ＝90°，进而可证AE ⊥BD ．（2）根据三角形全等的判定找出相等边和角，进而找出全等三角形．【详解】解：（1）结论；AE ＝BD 且AE ⊥BD ．理由如下：∵∠ACB ＝∠DCE ，∴∠ACB +∠DCA ＝∠DCE +∠DCA ，即∠DCB ＝∠ACE ，∵AC ＝BC ，CD ＝CE ，在△ACE 与△BCD 中，，AC BC ACE DCBCD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACE ≌△BCD （SAS ），∴AE ＝BD ，∠CEA ＝∠BDC ，∵∠CME ＝∠DMO ，，∴180()180()CEA CME DMO BDC ︒-∠+∠=︒-∠+∠即∠DOM ＝∠ECM ＝90°，∴AE ⊥BD ，∴AE ＝BD 且AE ⊥BD ；（2）∵AC ＝DC ，∴AC ＝CD ＝EC ＝CB ，在△ACB 与△DCE 中，，AC DC ACB DCECB CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACB ≌△DCE （SAS ）；由（1）可知：∠AEC ＝∠BDC ，∠EAC ＝∠DBC ，∴∠DOM ＝90°，∵∠AEC ＝∠CAE ＝∠CBD ，∴△EMC ≌△BCN （ASA ），∴CM ＝CN ，∴DM ＝AN ，∴△AON ≌△DOM （AAS ），∵DE ＝AB ，AO ＝DO ，∴△AOB ≌△DOE （HL ）．【点拨】本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．。

专题02 全等三角形专题详解专题02 全等三角形专题详解 (1)12.1 全等三角形 (2)知识框架 (2)一、基础知识点 (2)知识点1 全等形的概念及性质 (2)知识点2 全等形的定义和表示方法 (2)知识点3 全等三角形的性质与拓展 (2)知识点4 全等变换的保形性 (2)12.2三角形全等的判定 (3)知识框架 (3)一、基础知识点 (3)知识点1 全等三角形判定条件 (3)二、典型题型 (4)题型1 全等三角形的判定 (4)三、添加辅助线方法 (5)方法1 关于中点的辅助线 (5)方法2 作垂线构造全等求点的坐标 (12)方法3 截长补短法（往往需证2次全等） (14)12.3角平分线的性质 (17)知识框架 (17)一、基础知识点 (17)知识点1 角平分线的性质 (17)知识点2 角平分线的判定 (17)知识点3 三角形的内心和旁心 (17)二、典型题型 (17)题型1 角平分线的性质和定义的应用 (17)题型2 三角形内心的应用 (18)三、添加辅助线方法 (20)方法1 角平分线上的点向两边作垂线 (20)方法2 过边上的点向两边作垂线 (22)方法3 过平分线上的点作一条边平行线构造等腰三角形 (24)方法4 利用角平分线的性质，在角两边截长补短 (25)12.1 全等三角形知识框架一、基础知识点知识点1 全等形的概念及性质1）全等形：能够完全重合的两个图形2）全等形的性质：①形状相同；②大小相同注：①全等图形与其所在的位置无关（只要通过平移、旋转、翻折后能够使两个图形完成重合即可）。

对称图形要求更苛刻些。

②因两图形完全相等，故图形所有对应条件都相同（例：周长、面积、对应角角度等皆相等）知识点2 全等形的定义和表示方法1）全等三角形：能够完全重合的三角形（长得完全一样的三角形）2）表示方法：①△ABC≌△DEF（读作：三角形ABC全等于三角形DEF）②顶点需要一一对应（即长得一样的在描述中至于同等地位）③从书写中，我们根据一一对应的关系，可得：a.点A与点D为对应顶点，点B与点E为对应顶点，点C与点F为对应顶点；b.∠A与∠D为对应角，∠B与∠E为对应角，∠C与∠F为对应角；c.AB与DE为对应边，AC与DF为对应边，BC与EF为对应边。

专题二全等三角形的性质与判定一、单选题1．下面四个三角形中，与图中的△ABC全等的是（）．．23A．50°B．59°C．69°D．71°4．如图，点E、F在BC上，AB=CD，AF=DE，AF、DE相交于点G，添加下列哪一个条件，可使得△ABF≌△DCE（）A．∠B=∠C B．AG=DG C．∠AFE=∠DEF D．BE=CF5．尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到∠MBN=∠PAQ，在用直尺和圆规作图的过程中，得到△ACD≌△BEF的依据是（）．A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS6．已知，如图所示的两个三角形全等，则∠1=（）A．72°B．60°C．48°D．50°7．用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB．做法中用到证明△OMP与△ONP全等的判定方法是（）A．SAS B．SSS C．ASA D．HL8．如图，点E、F在BC上，AB=DC，∠B=∠C．添加一个条件后，不能证明△ABF≌△DCE，这个条件可能是（）A．∠A=∠D B．BE=CF C．BF=CE D．AF=ED9．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（ ）A．72°B．60°C．58°D．50°10．如图，已知∠ABC=∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（）A．AC=BD B．∠CAB=∠DBA C．∠C=∠D D．BC=AD11．如图，已知∠CAB=∠DBA，老师要求同学们补充一个条件使△ABC≌△BAD，以下是四个同学补充的条件，其中错误的是（）A．AC=BD B．CB=DA C．∠C=∠D D．∠ABC=∠BAD12．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠AOB=∠A′O′B′的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS13．如图，AB=4厘米，BC=6厘米，∠B=∠C，如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C 点运动，同时，点Q从C点出发沿射线CD运动．若经过t秒后，△ABP与△CQP全等，则t的值是（）A．1B．1.5C．1或1.5D．1或214．已知图中的两个三角形全等，则∠1的度数是（）A．50°B．54°C．60°D．76°15．如图，点E、F在BC上，BE=CF，∠B=∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是（ ）A．∠A=∠D B．∠AFB=∠DEC C．AB=DC D．AF=DE16．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DE，∠B=∠DEF，要使得△ABC≌△DEF，不能添加的条件是（）A．∠A=∠D B．AC=DF C．BE=CF D．AC∥DF17．已知图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的大小是（）A．64°B．65°C．51°D．55°18．如图，工人师傅设计了一种测量零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA′、BB′的中点，只要量出A′B′的长度，就可以知道该零件内径AB的长度．其依据的数学基本据实是（）A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等C．等角对等边D．两点之间线段最短19．如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点A(0,a)，B(b,0)，C(−4,4)，其中b<a<0，则a，b之间的数量关系是（）A．a+b=−4B．a−b=4C．a+b=−8D．a−b=820．用尺规作图作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是（）A．SAS B．ASA C．HL D．SSS21．如图，点E、F在BC上，AB=DC，AF=DE，AF、DE相交于点G，要使得△ABF≌△DCE，添加下列哪一个条件（）A．∠B=∠C B．GE=GF C．∠AFE=∠DEF D．BF=CE 22．阅读以下作图步骤：①在OA和OB上分别截取OC,OD，使OC=OD；②③23A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC 24．如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为（）A．20°B．30°C．35°D．40°25．如图，已知∠CAB=∠DAB，则添加下列一个条件不一定能使△ABC≌△ABD的是（ ）A．BC=BD B．∠C=∠D C．AC=AD D．∠ABC=∠ABD26．已知：如图，AC=CD，∠B=∠E=90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（）A．∠A+∠D=90°B．∠A=∠2C．△ABC≌△CED D．∠1=∠227．如图，已知ΔABC，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与ΔABC全等的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁二、填空题28．如图，点B、C、E三点在同一直线上，且AB=AD，AC=AE，BC=DE，若∠1+∠2+∠3=96°，则∠3的度数为．29．如图，三角形纸片中，AB=8cm，BC=6cm，AC=5cm．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，△ADE的周长为cm．30313233．已知：如图，∠B＝∠C＝90°，AF=DE，BE=CF．求证：AB=DC．34．如图，OA=OC,OB=OD,∠AOD=∠COB．求证：AB=CD．35．如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M是BC边上的一点，且AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,求证：(1)BM=MC；(2)AM⊥MD．36．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过点P作PF⊥AD 交BC的延长线于点F，PF交AC于点H，求证：(1)△ABP≌△FBP；(2)AH=AB−BD．37．如图，B、E、C、F在同一直线上，AB＝DE，BE＝CF，∠B＝∠DEF，求证：AC＝DF．38．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD交于点O，OB=OC．求证：∠1=∠2．39．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是BC边上的点，且BD=CE，求证：AD=AE．40．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E为AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F．(1)求证：△CDE≌△FAE．(2)连接BE，当BE⊥CF时，CD=3，AB=2，求BC的长．41．如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE．42．我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.如图，四边形ABCD是一个筝形，AD=CD，AB=CB，对角线AC交BD与点O.(1)请根据你学过的知识直接写出一组全等的三角形______；(2)求证：AC⊥BD.43．如图，AB=CD，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，若CE=BF．(1)求证：AE=DF；(2)求证：AB∥CD．44．如图，BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，AF=DE，∠B=∠C，求证：AB=CD．45．如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．(1)求证：△ADC≌△CEB；(2)延长EB至点F，使得BF=DE，连接AF交CE于点G，若AD=5，BE=3，求DG的长．46．如图，AB=AE，∠B=∠AED，∠1=∠2，求证：AC=AD．47．如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F，若AC=BD，AB=ED，BC=BE．求证：∠AFB=2∠ACB．48．（变图形—平移型）如图，点C是AB的中点，AD=CE，CD=BE．求证：△ACD≌△CBE．49．如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D．50．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，过直角顶点A作直线MN,BD⊥MN于点D,CE⊥MN于点E．(1)如图1，当MN与BC边不相交时，判断BD,CE,DE之间的数量关系，并说明理由；(2)当MN与边BC相交时，请在图2中画出图形，并直接写出BD,CE,DE之间的数量关系．51．如图，CA=CD，∠1=∠2，BC=EC．求证：AB=DE．52．如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE．求证：OE垂直平分BD．53．如图，点B，E，C，F在同一直线上，相交于点E，AB=DE，AC=DF，∠A=∠D．求证：BE=CF．54．如图，点A、B、C、D在同一直线上，AE=DF，AB=CD，CE=FB．求证：AE∥DF．55．如图，已知AB=AC，BD=CD，DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，求证：DM=DN56．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，将△ABC绕点C逆时针旋转角α．(0°<α<90°)得到△A1B1C1，连接BB1．设CB1交AB于D，A1B1分别交AB、AC于E、F．(1)在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以说明（△ABC与△A1 B1C全等除外）；(2)当△BB1D是等腰三角形且BB1=BD时，求α的值．参考答案题号12345678910答案C C B D B C D D C A题号11121314151617181920答案B A C A D B A A D D题号21222324252627答案D A B B A D B1．C【分析】根据全等三角形的判定方法即可判断．【详解】解：由题可得∠A=180°−60°−54°=66°，∵A选项属于已知两边和其中一边的对角对应相等的情况，不能判定两个三角形全等，故不符合题意；∵B选项中66°角的对边不相同，不能判定两个三角形全等，故不符合题意；∵C选项中已知两边与其中一边的夹角对应相等，所以能判定全等，故C选项符合题意；∵D选项中两对应角的夹边不相等，不能判定两个三角形全等，故不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，牢记判定方法以及正确找出对应边或对应角是解决本题的关键．2．C【分析】由作图可知直线MN为边AC的垂直平分线，再由BD=DC得到AD=DC=BD，利用等边对等角以及三角形内角和定理，进而得到∠B+∠C=90°．【详解】解：由作图可知，直线MN为边AC的垂直平分线，∴DC=AD，∴∠C=∠CAD，∵BD=DC，∴AD=BD，∴∠B=∠BAD，∵∠C+∠B+∠CAD+∠BAD=180°，∴∠B+∠C=90°．故选：C．3．B【分析】由全等三角形的对应角相等，结合三角形内角和定理即可得到答案．【详解】∵两个三角形全等，由全等三角形的性质可知，两幅图中边长为a、b的夹角对应相等，∴∠α=180°−50°−71°=59°，故选：B4．D【分析】根据全等三角形的判定条件逐一判断即可．【详解】解：A、由∠B=∠C，AB=CD，AF=DE，不能证明△ABF≌△DCE，不符合题意；B、由AG=DG，AB=CD，AF=DE，不能证明△ABF≌△DCE，不符合题意；C、由∠AFE=∠DEF，AB=CD，AF=DE，不能证明△ABF≌△DCE，不符合题意；D、由BE=CF即可证明BF=CE，AB=CD，AF=DE，可以由SSS证明△ABF≌△DCE，符合题意；故选D．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有SSS，SAS，AAS，ASA，HL．5．B【分析】此题考查了全等三角形的判定定理，三边对应相等的两个三角形全等，以及作一个角等于已知角，根据用尺规画一个角等于已知角的步骤，据此即可求解，正确理解题中的作图是解题的关键．【详解】解：根据做法可知：AC=BE，AD=BF，CD=EF，∴△ACD≌△BEF(SSS)，∴∠MBN=∠PAQ，故选：B．6．C【分析】本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．【详解】解：∵DE=AB=a，DF=AC=c，又∵图中两个三角形全等，∴△ABC≌△DEF，∴∠D=∠A=180°−60°−72°=48°，∴∠1=48°，故选：C．7．D【分析】根据直角三角形全等的判定HL定理，可证△OPM≌△OPN．【详解】解：∵OM=ON，OP=OP，∠OMP=∠ONP=90°，∴△OPM≌△OPN所用的判定定理是HL．故选D.【点睛】本题考查学生的观察能力和判定直角三角形全等的HL定理，本题是一操作题，要会转化为数学问题来解决．8．D【分析】本题主要考查三角形全等的判定，根据SSS，ASA，SAS，AAS逐个判断即可得到答案；【详解】解：∵AB=DC，∠B=∠C，当∠A=∠D构成ASA，能得到△ABF≌△DCE，不符合题意，当BE=CF得到BF=CE构成SAS，能得到△ABF≌△DCE，不符合题意，当BF=CE构成SAS，能得到△ABF≌△DCE，不符合题意，当AF=ED不能得到三角形全等的判定，符合题意，故选：D．9．C【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质，先根据三角形内角和为180度求出∠2的度数，再根据全等三角形对应角相等即可求出∠1的度数．【详解】解：如图所示，由三角形内角和定理得∠2=180°−50°−72°=58°，由全等三角形的性质可得∠1=∠2=58°，故选：C．10．A【分析】根据全等三角形的判定方法逐项判断即得答案．【详解】解：∵∠ABC=∠BAD，AB=BA，AC=BD，条件为边边角，∴不能证明△ABC≌△BAD，故A符合题意；∵∠ABC=∠BAD，AB=BA，∠CAB=∠DBA，条件为边角边，∴能证明△ABC≌△BAD，故B不符合题意；∵∠ABC=∠BAD，AB=BA，∠C=∠D，条件为角角边，能证明△ABC≌△BAD，故C不符合题意；∵∠ABC=∠BAD，AB=BA，BC=AD，条件为边角边，能证明△ABC≌△BAD，故D不符合题意，故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．11．B【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理，逐项分析判断，即可求解．【详解】解：∵∠CAB=∠DBA，AB=BA，∴添加的条件是：AC=BD，根据SAS可证明△ABC≌△BAD，故选项A不符合题意；添加的条件是：CB=DA，无法判断△ABC≌△BAD，故选项B符合题意；添加的条件是：∠C=∠D，根据AAS可证明△ABC≌△BAD，故选项C不符合题意；添加的条件是：∠ABC=∠BAD，根据ASA可证明△ABC≌△BAD，故选项D不符合题意；故选：B12．A【分析】本题主要考查了基本作图、全等三角形的判定与性质等知识点，明确作图过程成为解答本题的关键．通过分析作图的步骤，发现△OCD与△O′C′D′的三条边分别对应相等，于是利用边边边判定△OCD≌△O′C′D′，根据全等三角形对应角相等得∠AOB=∠A′O′B′．【详解】解：作图的步骤：①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；②作射线O′B′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′B′于点D′；③以D′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点C′；④过点C′作射线O′A′．所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角．在△O′C′D′与△OCD中，O′C′=OCO′D′=OD，C′D′=CD∴△OCD≌△O′C′D′(SSS)，∴∠AOB=∠A′O′B′，即运用的判定方法是SSS．故选：A．13．C【分析】本题考查了全等的性质，解一元一次方程的应用．运用分类讨论的思想是解题的关键．由题意知，BP=2t，CP=6−2t，由△ABP与△CQP全等，分△ABP≌△PCQ，△ABP≌△QCP两种情况，列方程求解即可．【详解】解：由题意知，BP=2t，CP=6−2t，∵△ABP与△CQP全等，∴分△ABP≌△PCQ，△ABP≌△QCP两种情况求解；当△ABP≌△PCQ时，PC=AB，即6−2t=4，解得t=1；当△ABP≌△QCP时，BP=CP，即2t=6−2t，解得t=1.5；综上所述，t的值是1或1.5，故选：C．14．A【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等去判定对应关系后计算．熟练掌握对应角的判定方法是解题的关键．【详解】解：∵两个三角形全等，∠1是边a的对角，即边b、c夹角，∴∠1的度数是180°−54°−76°=50°．故选：A．15．D【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．根据BE=CF求出BF=CE，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可．【详解】解：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，∵∠B=∠C，∴当∠A=∠D时，利用AAS可得△ABF≌△DCE；当∠AFB=∠DEC时，利用ASA可得△ABF≌△DCE；当AB=DC时，利用SAS可得△ABF≌△DCE；当AF=DE时，无法证明△ABF≌△DCE；故选：D．16．B【分析】本题考查的是添加条件证明三角形全等，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键；本题根据已有的条件AB=DE，∠B=∠DEF，再逐一分析添加的条件结合ASA，SAS，AAS可得答案.【详解】解：∵AB=DE，∠B=∠DEF，∴补充∠A=∠D，可利用ASA证明△ABC≌△DEF，故A不符合题意；补充AC=DF，不能证明△ABC≌△DEF，故B符合题意；补充BE=CF，∴BC=EF，可利用SAS证明△ABC≌△DEF，故C不符合题意；补充AC∥DF，∴∠ACB=∠F，可利用AAS证明△ABC≌△DEF，故D不符合题意；故选B17．A【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．【详解】解：∵两个三角形全等，∴∠1=64°，故选：A．18．A【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．【详解】解：O为AA′、BB′的中点，∴OA=OA′，OB=OB′，∵∠AOB=∠A′OB′（对顶角相等），∴在△AOB与△A′OB′中，OA=OA′，∠AOB=∠A′OB′OB=OB∴△AOB≌△A′OB′(SAS)，∴AB=A′B′，故选：A．19．D【分析】本题考查坐标与图形性质，过点C作坐标轴的垂线，利用AAS证明△BCM≌△ACN，即可求解，解题的关键是构造全等三角形．【详解】解：过点C作x轴和y轴的垂线，垂足分别M和N，∵∠CMO=∠CNO=∠MON=90°，∴四边形CMON是矩形，∴∠MCN=90°，∴∠ACN+∠ACM=90°，∵∠ACB=90°，∠BCM+∠ACM=90°，∴∠BCM=∠ACN,在△BCM和△ACN中，∠BCM=∠ACN∠BMC=∠ANC，BC=AC∴△BCM≌△ACN(AAS)，∴BM=AN，又∵点C坐标为(−4，4)，∴点M坐标为(−4，0)，点N坐标为(0，4)．∴BM=−4−b，AN=4−a∴−4−b=4−a即a−b=8．故选：D．20．D【分析】此题主要考查对尺规作图作一个角等于已知角的理解，利用全等三角形的判定方法判断即【详解】解：由作法得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，在△COD和△C′O′D′中，OD=O′D′OC=O′C′，CD=C′D′∴△COD≌△C′O′D′(SSS)，∴∠A′O′B′=∠AOB（全等三角形的对应角相等）．故选：D．21．D【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定方法依次进行判断即可．【详解】解：A、添加∠B=∠C，不能使得△ABF≌△DCE，不符合题意；B、添加GE=GF，不能使得△ABF≌△DCE，不符合题意；C、添加∠AFE=∠DEF，不能使得△ABF≌△DCE，不符合题意；D、添加BF=CE，利用SSS，可以使得△ABF≌△DCE，符合题意；故选：D．22．A【分析】由作图过程可得：OD=OC,CM=DM，再结合DM=DM可得△COM≌△DOM(SSS)，由全等三角形的性质可得∠1=∠2即可解答．【详解】解：由作图过程可得：OD=OC,CM=DM，∵DM=DM，∴△COM≌△DOM(SSS)．∴∠1=∠2．∴A选项符合题意；不能确定OC=CM,则∠1=∠3不一定成立，故B选项不符合题意；不能确定OD=DM,故C选项不符合题意，OD∥CM不一定成立，则∠2=∠3不一定成立，故D选项不符合题意．故选A．【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质等知识点，理解尺规作图过程是解答本题的关键．【分析】利用全等三角形的判定依次证明即可．【详解】解：∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF．∴AF=CE．A．在△ADF和△CBE中，{∠A=∠CAF=CE∠AFD=∠CEB，∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项不符合题意．B．根据AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选项符合题意．C．在△ADF和△CBE中，{AF=CE∠AFD=∠CEBDF=BE，∴△ADF≌△CBE（SAS），正确，故本选项不符合题意．D．∵AD∥BC，∴∠A=∠C．由A选项可知，△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项不符合题意．故选B．【点睛】本题考查了添加条件证明三角形全等，解题的关键是熟练运用判定三角形全等的方法．24．B【分析】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等，找准对应角是解题的关键．根据全等三角形的对应角相等可知∠ACB=∠A′CB′，给等式的两边同时减去∠BCA′，可得到∠ACA′=∠BCB′=30°．【详解】解：∵△ACB≌△A′CB′，∴∠A′CB′=∠ACB，∵∠BCA′+∠BCB′=∠BCA′+∠A′CA，∴∠ACA′=∠BCB′，∵∠BCB′=30°，∴∠ACA′=30°．故选：B．25．A【分析】根据题目中的已知条件AB=AB，∠CAB=∠DAB，再结合题目中所给选项中的条件，利用全等三角形的判定定理进行分析即可．【详解】解；由图形可知：AB=AB，∠CAB=∠DAB，A.再加上条件BC=BD，不能证明△ABC≌△ABD，故此选项合题意；B. 再加上条件∠C=∠D，可利用AAS可证明△ABC≌△ABD，故此选项不合题意；C. 再加上条件AC=AD，可利用SAS可证明△ABC≌△ABD，故此选项不符合题意；D. 再加上条件∠ABC=∠ABD，可利用ASA可证明△ABC≌△ABD，故此选项不合题意．故选：A【点睛】本题考查全等三角形的判定定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理．26．D【分析】本题主要考查全等三角形的性质．先根据角角边证明△ABC≌△CED，再根据全等三角形对应边相等，全等三角形的对应角相等的性质对各选项判断后，利用排除法求解．【详解】解：∵AC⊥CD，∴∠1+∠2=90°，∵∠B=90°，∴∠1+∠A=90°，∴∠A=∠2，在△ABC和△CED中，∠B=∠E=90°∠A=∠2，AC=CD∴△ABC≌△CED(AAS)，故B、C选项正确，不符合题意；∵∠2+∠D=90°，∴∠A+∠D=90°，故A选项正确，不符合题意；∵AC⊥CD，∴∠ACD=90°，∠1+∠2=90°，但∠1不一定等于∠2，故D选项错误，符合题意．故选：D．27．B【分析】根据三角形全等的判定逐个判定即可得到答案．【详解】解：由题意可得，B选项符合边角边判定，故选B．【点睛】本题考查三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的几个判定．28．48°/48度，∴在∵∴29先长=∴∴【点睛】本题考查了翻折变换的性质，翻折变换保留原有图形的性质，而且可以使得原有的分散条件相对集中，从而有利于问题的解决．30．AB/BA【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，证明△ABC≌△ADC是解题的关键．由AAS判断出△ABC≌△ADC即可得到答案．【详解】解：∵AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠B=∠D=90°，在△ABC，△ADC中，∠1=∠2∠B=∠D，AC=AC∴△ABC≌△ADC(AAS)，∴AD=AB．故答案为：AB．31．证明见解析【分析】根据平行得出∠B=∠DEF，然后用“边角边”证明△ABC≌△DEF即可．【详解】证明：∵AB//DE，∴∠B=∠DEF．∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC．∴BC=EF．在△ABC和△DEF中，AB=DE,∠B=∠DEF,BC=EF,∴△ABC≌△DEF．∴∠A=∠D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用已知条件，推导证明出全等三角形判定所需条件，运用全等三角形判定定理证明．32．见解析【分析】利用AAS证明△ACO≌△DBO，即可得到结论．【详解】解：证明：在△ACO和△DBO中∠AOC=∠DOB∠A=∠DAC=DB∴△ACO≌△DBO(AAS)．∴AO=DO,CO=BO．∴AO+BO=DO+CO∴AB=CD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．33．详见解析【分析】运用HL定理证明直角三角形全等即可．【详解】∵BE=CF，∴BF=CE在Rt△ABF与Rt△DCE中：{AF=DE BF=CE∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)∴AB =DC【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，熟练掌握HL定理是解题关键．34．见解析【分析】根据已知条件得出∠AOB=∠COD，进而证明△AOB≌△COD，根据全等三角形的性质即可得证．【详解】证明：∵∠AOD=∠COB，∴∠AOD−∠BOD=∠COB−∠BOD,即∠AOB=∠COD．在△AOB和△COD中，OA=OC,∠AOB=∠COD,OB=OD,∴△AOB≌△COD∴AB=CD．【点睛】本小题考查等式的基本性质、全等三角形的判定与性质等基础知识，考查几何直观、推理能力等，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．35．(1)见详解(2)见详解【分析】（1）作NM⊥AD，根据角平分线的性质得到BM=MN,MN=CM，等量代换得到答案．（2）根据平行线的性质得到∠BAD+∠ADC=180°，根据角平分线的定义得到∠MAD+∠ADM=90°，根据垂直的定义得到答案；【详解】（1）作NM⊥AD交AD于N，∵∠B=90°,AB∥CD,∴BM⊥AB,CM⊥CD,∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,∴BM=MN,MN=CM,∴BM=CM；（2）证明：∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC=180°,∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,∴2∠MAD+2∠ADM=180°,∴∠MAD+∠ADM=90°,∴∠AMD=90°,即AM⊥DM；【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握平行线的性质和角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．36．(1)见详解(2)见详解【分析】（1）根据三角形内角和以及角平分线定义得出∠APB=135°，易得∠DPB=45°，可得∠BPF=135°，即可证明△ABP≌△FBP；（2）由（1）结论可得∠F=∠BAD,AP=PF，AB=BF，即可求得∠F=∠CAD，即可证明△APH≌△FPD，可得AH=DF，即可解题．【详解】（1）∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，∠ACB=90°，∴∠PAB+∠PBA=12(∠ABC+∠BAC)=45°,∴∠APB=135°，∴∠DPB=45°,∵PF⊥AD,∴∠BPF=135°,在△ABP和△FBP中，∠BPF=∠APB=135°BP=BP∠ABP=∠FBP∴△ABP≌△FBP(ASA)；（2）∵△ABP≌△FBP，∴∠F=∠BAD,AP=PF,AB=BF，∵∠BAD=∠CAD，∴∠F=∠CAD，在△APH和△FPD中，∠F=∠CADAP=PF∠APH=∠FPD=90°∴△APH≌△FPD(ASA),∴AH=DF,∵BF=DF+BD,∴AB=AH+BD.∴AH=AB−BD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABP≌△FBP和△APH≌△FPD是解题的关键．37．见解析【分析】由BE＝CF可得BC＝EF，即可判定ΔABC≌ΔDEF(SAS)，再利用全等三角形的性质证明即可．【详解】∵BE＝CF，∴BE+EC＝EC+CF，即BC＝EF，又∵AB＝DE，∠B＝∠DEF，∴在ΔABC与ΔDEF中，AB=DE∠B=∠DEF，BC=EF∴ΔABC≌ΔDEF(SAS)，∴AC＝DF．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解决本题的关键. 38．见解析【分析】先证明ΔBDO≌ΔCEO(AAS)，得到OD=OE，再根据角的平行线性质判定即可．【详解】证明：∵CD⊥AB于D点，BE⊥AC于点E，∴∠BDO =∠CEO =90∘，在ΔBDO 和ΔCEO 中，∠BDO =∠CEO ∠BOD =∠COE OB =OC，ΔBDO≌ΔCEO (AAS)，∴OD =OE ，∵OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，∴OA 平分∠BAC ，∴∠1=∠2．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，角的平分线的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定和角的平分线的判定是解题的关键．39．见解析【分析】利用等腰三角形的性质可得∠B =∠C ，再由SAS 证明△ABD≌△ACE ，从而得AD =AE ．【详解】证明：∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，在△ABD 和△ACE 中，AB =AC ∠B =∠C BD =CE，∴△ABD≌△ACE (SAS )，∴AD =AE ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．40．(1)证明见解析(2)5【分析】此题主要考查全等三角形的判定和性质，解题关键是根据AAS 证明△CDE 和△FAE 全等．（1）根据 AAS 证明△CDE 和△FAE全等即可；（2）根据全等三角形的性质结合线段垂直平分线性质解答即可．【详解】（1）证明：∵AB ∥CD ，∴∠DCE =∠F ，∵点E 是AD 中点，∴DE =AE ，在△CDE 和△FAE 中，∠DCE =∠F ∠CED =∠FEA DE =AE，∴△CDE≌△FAE (AAS)；（2）由（1）知△CDE≌△FAE ，∴CE =FE ，CD =AF∵BE ⊥GF ，∴BE 垂直平分CF ，∴BC =BF ，∵CD =3，AB =2，∴AF =CD =3，∴BC =BF =AF +AB =3+2=5．41．证明见解析【分析】本题主要考查了三线合一定理，过点A 作AP ⊥B C 于P ，利用三线合一得到P 为DE 及BC 的中点，再根据线段之间的关系即可得证．【详解】证明：如图，过点A 作AP ⊥B C 于P ．∵AB =AC ，∴BP =PC ；∵AD =AE ，∴DP =PE ，∴BP−DP =PC−PE ，∴BD =CE ．42．(1)△ABD≌△CBD(2)证明见解析【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质；熟记等腰三角形的三线合一是解本题的关键.（1）直接利用SSS证明△ABD≌△CBD即可；（2）由△ABD≌△CBD可得∠ADB=∠CDB，再结合等腰三角形的性质可得结论.【详解】（1）解：△ABD≌△CBD，理由如下：在△ABD和△CBD中，AD=CDAB=CB，BD=BD∴△ABD≌△CBD(SSS)；（2）∵△ABD≌△CBD，∴∠ADB=∠CDB，∵DA=DC，∴AD⊥AC.43．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】本题主要考查直角三角形的全等判定和性质，（1）根据题意得∠AEB=∠DFC=90°，由CE=BF得BE=CF，则有Rt△CDF≌Rt△BAE，结合全等的性质即可证明；（2）利用Rt△CDF≌Rt△BAE得到对应的角度相等，结合内错角相等两直线平行的判定即可证明；【详解】（1）证明：∵AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，∴∠AEB=∠DFC=90°，∵CE=BF，∴CE−EF=BF−EF，∴BE=CF，在Rt△CDF与Rt△BAE中，CD=ABCF=BE，∴Rt△CDF≌Rt△BAE(HL)∴AE=DF，（2）由（1）可知Rt△CDF≌Rt△BAE(HL)，∴∠C=∠B，∴AB∥CD．44．证明见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识，证△AEB≌△DFC(AAS)，即可得出结论．∴∵∴∴在∴∴45(2)（（∴∴∠ACD+∠DAC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∴∠DAC=∠ECB．在△ADC和△CEB中，∠ADC=∠CEB,∠DAC=∠ECB, AC=CB,∴△ADC≌△CEB (AAS)（2）由（1）得△ADC≌△CEB∴CE =AD =5，CD =BE =3，∴BF =DE =CE−CD =5−3=2，∴EF =BF +BE =2+3=5，∴EF =AD ．∵AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，∴∠FEG =∠ADG =90°在△FEG 和△ADG 中，∠FEG =∠ADG,∠FGE =∠AGD,FE =AD,∴△FEG≌△ADG (AAS)，∴DG =EG =12DE =1．46．证明见解析【分析】本题考查三角形全等的判定，先证明∠BAC =∠EAD ，在用ASA 证明△ABC≌△AED 即可，掌握判定三角形全等是解题的关键．【详解】证明∵∠1=∠2，∴∠1+∠EAC =∠2+∠EAC∴∠BAC =∠EAD ，在△ABC 和△AED 中，∠B =∠AED AB =AE ∠BAC =∠EAD，∴△ABC≌△AED ．∴AC =AD 47．见解析【分析】先根据SSS 定理得出△ABC≌△DEB （SSS ），故∠ACB =∠EBD ，再根据∠AFB 是△BFC 的外角，可知∠AFB =∠ACB +∠EBD ，可得出∠AFB =2∠ACB，故可得出答案．【详解】解：在△ABC和△BDE中，AC=BDAB=EDBC=BE∴△ABC≌△DEB（SSS）∴∠ACB=∠EBD；∵∠AFB=∠ACB+∠EBD，∴∠AFB=2∠ACB【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，同时涉及三角形外角和定理，掌握相关定理知识是解题的关键．48．见解析【分析】根据中点的定义得出AC=CB，即可根据SSS证明△ACD≌△CBE．【详解】证明：∵点C是AB的中点，∴AC=CB．在△ACD和△CBE中，AD=CECD=BE，AC=CB∴△ACD≌△CBE(SSS)．【点睛】本题主要考查了的三角形全等的判定，解题的关键是掌握三边都相等的两个三角形全等．49．见解析【分析】由BE＝CF可得BF＝CE，再结合AB＝DC，∠B＝∠C可证得△ABF≌△DCE，问题得证．【详解】解∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE．在△ABF和△DCE中，AB=DC∠B=∠CBF=CE∴△ABF≌△DCE，∴∠A＝∠D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握全等三角形的判定和性质．50．(1)DE=BD+CE，见解析(2)见解析，CE−BD=DE或BD−CE=DE【分析】（1）由BD⊥MN于点D，CE⊥MN于点E，得∠BDA=∠AEC=∠BAC=90°，则∠DAB=∠ECA=90°−∠EAC，而AB=CA，即可证明△DAB≌△ECA，得BD=AE，AD=CE，则BD+CE=AE+AD=DE；（2）分两种情况讨论，一是MN与边BC相交且∠BAD<45°，同理可证△DAB≌△ECA，得BD=AE，AD=CE，则CE−BD=AD−AE=DE；二是MN与边BC相交且∠BAD>45°，同理可证△DAB≌△ECA，得BD=AE，AD=CE，则BD−CE=AE−AD=DE．【详解】（1）证明：∵BD⊥MN,CE⊥MN，∴∠ADB=∠CEA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠CAE+∠ACE=90°，∴∠BAD=∠ACE，在△ABD和△CAE中，∠ADB=∠CEA∠BAD=∠ACEAB=CA,∴△ABD≅△CAE(AAS)；∴AD=CE,BD=AE，∵DE=AD+AE，∴DE=BD+CE；（2）解：CE−BD=DE或BD−CE=DE，理由：如图2，MN与边BC相交且∠BAD<45°，∵BD⊥MN于点D，CE⊥MN于点E，∴∠BDA=∠AEC=90°，∵∠BAC=90°，∴∠DAB=∠ECA=90°−∠EAC，在△DAB和△ECA中，∠DAB=∠ECA∠BDA=∠AEC，AB=CA∴△DAB≌△ECA(AAS)，∴BD=AE，AD=CE，∴CE−BD=AD−AE=DE．如图3，MN与边BC相交且∠BAD>45°，∵BD⊥MN于点D，CE⊥MN于点E，∴∠BDA=∠AEC=90°，∵∠BAC=90°，∴∠DAB=∠ECA=90°−∠EAC，在△DAB和△ECA中，∠DAB=∠ECA∠BDA=∠AEC，AB=CA∴△DAB≌△ECA(AAS)，∴BD=AE，AD=CE，∴BD−CE=AE−AD=DE．【点睛】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，证明△DAB≌△ECA是解题的关键．51．见解析【分析】根据∠1=∠2，可得出∠ACB=∠DCE，然后利用SAS证明△ABC≌△DEC，继而可得出AB=DE．本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握SAS证三角形全等是解题的关键．【详解】证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠ECA=∠2+∠ECA，即∠ACB=∠DCE，在△ABC和△DEC中，CA=CD∠ACB=∠DCE，BC=EC∴△ABC≌△DEC(SAS)，∴AB=DE．52．证明见解析【分析】先利用A S A证明△AOB≌△COD，得出OB=OD，根据线段垂直平分线的判定可知点O在线段BD的垂直平分线上，再由BE=DE，得出点E在线段BD的垂直平分线上，即O，E两点都在线段BD的垂直平分线上，从而可证明OE垂直平分BD．【详解】在△AOB与△COD中，∠A＝∠C，OA＝OC，∠AOB＝∠COD，∴△AOB≌△COD（ASA），∴OB=OD，∴点O在线段BD的垂直平分线上，∵BE=DE，∴点E在线段BD的垂直平分线上，∴OE垂直平分BD．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定：到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，同时考查了全等三角形的判定与性质．53．见解析【分析】根据题意可以证得△ABC≅△DEF，所以BC=EF，即可得到结论．【详解】根据题意，在△ABC和△DEF中，AB=DE∠A=∠D，AC=DF∴△ABC≅△DEF，∴BC=EF，∴BC−CE=EF−CE，∴BE=CF．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．54．见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据全等三角形的判定和性质定理和平行线的判定定理即可得到结论．【详解】证明：∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即：AC=BD，。

(全等三角形辅助线)专项高分特训(含解析)【一】单项选择题〔共5道，每道20分〕1、：如图1，AB＝DC，∠A＝∠D、求证：∠ABC＝∠DCB、小明是这样做的：如图2，连接AC，BD，交于点O，那么小明的证明思路最可能是〔〕A、先证明△ABD≌△DCA，再证明△ABC≌△DCB，得∠ABC＝∠DCBB、先证明△AOB≌△DOC，再证明△ABC≌△DCB，得∠ABC＝∠DCBC、直接证明△ABD≌△DCA，得∠ABC＝∠DCBD、直接证明△ABC≌△DCB，得∠ABC＝∠DCB答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：与三角形全等有关的辅助线2、：如图，AB＝AE，BC＝DE，∠B＝∠E，F是CD的中点、求证：∠BAF＝∠EAF、下面是小明的几种思路，其中正确的选项是〔〕A、连接AC，AD，先证明△ACF≌△ADF，再证明△ABC≌△AED，得∠BAF＝∠EAFB、连接AC，AD，先证明△ABC≌△AED，再证明△ACF≌△ADF，得∠BAF＝∠EAFC、连接BF，EF，直接证明△ABF≌△AEF，得∠BAF＝∠EAFD、连接BF，EF，先证明△BCF≌△EDF，再证明△ABF≌△AEF，得∠BAF＝∠EAF答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：与三角形全等有关的辅助线3、：如图，AB＝AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别是E，F，ME＝MF、求证：MB＝MC、以下证明思路正确的选项是〔〕A、连接AM，直接证明△ABM≌△ACM，得MB＝MCB、过点A作AM⊥BC于点M，证明△AEM≌△AFM，再证明△BEM≌△CFM，得MB＝MCC、连接AM，证明△AEM≌△AFM，再证明△BEM≌△CFM，得MB＝MCD、过点A作AM⊥BC于点M，直接证明△ABM≌△ACM，得MB＝MC答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：与三角形全等有关的辅助线4、：如图，OP平分∠AOB，C，D分别在OA，OB上，假设∠PCO＋∠PDO＝180°、求证：PC＝PD、以下证明思路正确的选项是〔〕A、过点P作PE⊥OA于点E，过点P作PF⊥OB于点F，使PE＝PF，然后证明△PCE ≌△PDF，得PC＝PDB、直接证明△PCO≌△PDO，得PC＝PDC、分别在OA，OB上取一点E，F，连接PE，PF，使得PE＝PF，首先证明△POE≌△POF，然后证明△PCE≌△PDF，得PC＝PDD、过点P作PE⊥OA于点E，过点P作PF⊥OB于点F，首先证明△POE≌△POF，然后证明△PCE≌△PDF，得PC＝PD答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：与三角形全等有关的辅助线5、：如图，在△ABC中，BD＝CD，∠1＝∠2、求证：AD是∠BAC的平分线、①过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F；②∴DE＝DF；③∴∠BED＝∠CFD＝∠AED＝∠AFD＝90°；④∴∠DAE＝∠DAF∴AD是∠BAC的平分线；⑤延长CD交AB于E，延长BD交AC于F；⑥在△BDE和△CDF中；⑦在RT△ADE和RT△ADF中；⑧在△ABD和△ACD中、以下证明过程正确的选项是〔〕A、①③⑥②⑦④B、⑧④C、⑤③⑥②⑦④D、⑤②⑦④答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：与三角形全等有关的辅助线。

专题02 全等三角形突破核心考点【聚焦考点+题型导航】考点一 全等图形的识别 考点二 全等三角形的性质考点三 添加一个条件使三角形全等 考点四 全等三角形的判定考点五 全等三角形判定的一线三等角模型 考点六 全等三角形判定的三垂直模型 考点七 全等三角形判定的倍长中线模型 考点八 全等三角形的动态问题考点九 角的平分线的性质【知识梳理+解题方法】一、全等图形概念：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.全等图形特征：①形状相同.②大小相等.③对应边相等、对应角相等.小结：一个图形经过平移,翻折,旋转后,位置变化了,但大小和形状都没有改变,即平移,翻折,旋转前后的图形全等.二、全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形.记作: ∆ABC ≌ ∆A ’B ’C ’读作：∆ABC 全等于∆A ’B ’C ’对应顶点：A 和A ’、B 和B ’、C 和C ’对应边：AB 和A ’B ’、BC 和B ’C ’、AC 和A ’C ’对应角：∠A 和∠A ’、∠B 和∠B ’、∠C 和∠C ’对应元素的规律:(1)有公共边的，公共边是对应边；(2)有公共角的，公共角是对应角；(3)有对顶角的，对顶角是对应角；三、 全等三角形的判定（重点）一般三角形直角三角形判定边角边（SAS ）、角边角（ASA ）角角边（AAS ）、边边边（SSS ）具备一般三角形的判定方法斜边和一条直角边对应相等（HL ）性质对应边相等，对应角相等对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等备注：1.判定两个三角形全等必须有一组边对应相等.2.全等三角形周长、面积相等.四、证题的思路（难点）五、角平分线概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；数学语言：∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OM PB⊥ON∴PA=PB判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上．数学语言：∵PA⊥OM PB⊥ON PA=PB∴∠MOP=∠NOP六、角平分线常考四种辅助线：1.图中有角平分线，可向两边作垂线.2.角平分线加垂线，三线合一试试看.3.角平分线平行线，等腰三角形来添.4.也可将图对折看，对称以后关系出现.【专题过关+能力提升】考点一全等图形的识别例题：（2021·吉林·大安市乐胜乡中学校八年级阶段练习）下列四个选项中，不是全等图形的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形逐项判断即可．【详解】A．经过平移后可以完全重合，是全等图形，故该选项不符合题意；B．经过平移后可以完全重合，是全等图形，故该选项不符合题意；C．两个图形形状不同，不能完全重合，不是全等图形，故该选项符合题意；D．经过平移后可以完全重合，是全等图形，故该选项不符合题意．故选C．【点睛】本题考是全等图形的定义．掌握能够完全重合的两个图形叫做全等图形是解题关键．【变式训练】1．（2022·陕西·西安市东元中学七年级阶段练习）下列四组图形中，是全等图形的一组是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】认真观察图形，可以看出选项中只有C中的两个可以旋转后重合，其它三个大小或形状不一致．【详解】解：由全等形的概念可知：A、B中的两个图形大小不同，D中的形状不同，C则完全相同故选：C．【点睛】本题考查的是全等形的识别，做题时要注意运用定义，注意观察题中图形，属于较容易的基础题．2．（2022·全国·八年级专题练习）下列各组中的两个图形属于全等图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据全等图形的概念判断即可．【详解】解：A、两个图形不能完全重合，不是全等图形，故本选项不符合题意；B、两个图形能够完全重合，不是全等图形，故本选项不符合题意；C、两个图形不能完全重合，不是全等图形，故本选项不符合题意；D、两个图形能完全重合，是全等图形，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查的是全等图形的概念，掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形是解题的关键．3．（2022·辽宁沈阳·七年级期末）对于两个图形，下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③能够完全重合的两个图形．其中能得出这两个图形全等的结论共有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】B【分析】根据全等图形的判定方法分析解答．【详解】解：①两个图形的周长相等，这两个图形不一定全等；②两个图形的面积相等，这两个图形不一定全等；③能够完全重合的两个图形，这两个图形一定全等．正确的有③，故选：B．【点睛】此题考查了全等图形的判定，熟练掌握全等图形的判定定理是解题的关键．考点二全等三角形的性质例题：（2021·四川·东坡区实验中学八年级期中）如图，△ABC≌△DEF，若∠A=132°，∠FED=15°，则∠C等于（）A．13°B．23°C．33°D．43°【答案】C【分析】根据△ABC≌△DEF，∠FED=15°，得∠CBA=15°，再根据三角形内角和即可得答案．【详解】解：∵△ABC≌△DEF，∠FED=15°，∴∠CBA=∠FED=15°，∵∠A=132°，∴∠C=180°-132°=15°=33°，故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和，解题的关键是掌握三角形全等的性质．【变式训练】1．（2022·贵州·贵阳市乌当区第三中学八年级期中）如图，△ABC≌△AEF，则对于结论：①AC＝AF；②∠FAB ＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC，其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】根据全等三角形的性质即可进行判断．【详解】∵△ABC≌△AEF，∴AC＝AF，EF＝BC，故①③正确；∵△ABC≌△AEF，∴∠EAF＝∠BAC，∴∠EAF-∠BAF＝∠BAC-∠BAF，∴∠EAB＝∠FAC，故④正确；∠FAB＝∠EAB不一定相等，故②不符合题意；综上：正确的有3个，故选：C．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形对应边相等，对应角相等是解题的关键．2．（2022·吉林省实验中学八年级阶段练习）下列结论中正确的有（）①全等三角形对应边相等；②全等三角形对应角相等；③全等三角形对应中线、对应高线、对应角平分线相等；④全等三角形周长相等；⑤全等三角形面积相等．A．5个B．4个C．3个D．2个【答案】A 【分析】根据全等三角形的性质依次判断即可得出结果．【详解】解：①全等三角形对应边相等，正确，符合题意；②全等三角形对应角相等，正确，符合题意；③全等三角形对应中线、对应高线、对应角平分线相等，正确，符合题意；④全等三角形周长相等，正确，符合题意；⑤全等三角形面积相等，正确，符合题意．所以正确的有5个，故选：A ．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，深刻理解全等三角形的性质是解题关键．3．（2022·江苏·姜堰区实验初中八年级）已知△ABC ≌△DEF ，AB ＝3，AC ＝4，△DEF 的周长为10，则BC 的值为______．【答案】3【分析】根据全等三角形的性质可进行求解．【详解】解：∵△ABC ≌△DEF ，且△DEF 的周长为10，∴△ABC 的周长为10，∵AB ＝3，AC ＝4，∴103BC AB AC =--=；故答案为：3．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．4．（2022·江西赣州·八年级期中）如图，△ABC ≌△ADE ，∠B ＝96°，∠BAC ＝24°，那么∠AED ＝______．【答案】60°##60度【分析】由题意易得∠C =60°，然后根据全等三角形的性质可求解．【详解】解：在△ABC 中，∠B ＝96°，∠BAC ＝24°，∴18060C B BAC Ð=°-Ð-Ð=°，∵△ABC ≌△ADE ，∴∠AED ＝∠C =60°，故答案为60°．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．考点三添加一个条件使三角形全等例题：（2022·山东·济南市天桥区泺口实验学校七年级期中）如图，∠1=∠2，要使△ABE≌△ACE，还需要添加一个条件是_______．（写出一个即可）【答案】BE=CE（答案不唯一）【分析】根据∠1=∠2可知∠AEB=∠AEC，判断△ABD≌△ACD，已知的条件是：∠AEB=∠AEC，，AE=AE，根据全等三角形的判定定理即可确定．【详解】解：∵∠1=∠2，∴∠AEB=∠AEC，判断△ABD≌△ACD，已知的条件是：∠AEB=∠AEC，AE=AE，因而根据SAS可以添加条件：BE=CE；根据AAS可以添加条件：∠B=∠C；根据ASA可以添加条件∶∠BAE=∠CAE．故答案为：BE=CE或∠B=∠C或∠BAE=∠CAE．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，正确理解判定方法是关键．【变式训练】1．（2022·广东·深圳市布心中学七年级期末）如图，已知AC=DB，再添加一个适当的条件______，使△ABC≌△BAD．（只需填写满足要求的一个条件即可）【答案】BC=AD或∠CAB=∠DBA（答案不唯一）【分析】要使△ABC≌△BAD，由于AC=DB，且AB是公共边，即已知两边对应相等，根据全等三角形的判定，可补充一组边相等或补充两边的夹角相等．【详解】解：添加BC=AD或∠CAB=∠DBA．添加BC=AD时，证明△ABC≌△BAD的理由如下：在△ABC 与△BAD 中，AC BD AB BA BC AD =ìï=íï=î，∴△ABC ≌△BAD （SSS ）．添加∠CAB =∠DBA 时，证明△ABC ≌△BAD 的理由如下：在△ABC 与△BAD 中，AC BD CAB DBA AB BA =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ABC ≌△BAD （SAS ）．∴加一个适当的条件是BC =AD 或∠CAB =∠DBA ．故答案为：BC =AD 或∠CAB =∠DBA ．（答案不唯一）【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．2．（2020·北京·垂杨柳中学八年级期中）如图，AB ＝DE ，∠A ＝∠D ＝90°，那么要得到△ABC ≌△DEF ，可以添加一个条件是________，△ABC 与△DEF 全等的理由是________．【答案】 AC ＝DF （答案不唯一） SAS （答案不唯一）【分析】由已知一边一角相等，根据全等三角形的判定可知需要添加一组边或角相等即可证明△ABC ≌△DEF ；【详解】解：根据题意：AB ＝DE ，∠A ＝∠D ＝90°，结合全等三角形的判定可知需要添加一组边或角相等即可证明△ABC ≌△DEF ：\AC ＝DF ，SAS ，或者BC ＝EF ，HL ，或者∠B ＝∠E ，ASA ，或者∠ACB ＝∠DFE ，AAS ，故答案为：AC ＝DF （答案不唯一），SAS （答案不唯一）．【点睛】本题考查三角形全等的判定，根据图形与题意，熟练运用三角形全等的判定条件是解决问题的关键．3．（2022·浙江·金华市第五中学八年级期末）如图，点D 、E 分别在线段AB ，AC 上，AE ＝AD ，不添加新的线段和字母，要使△ABE 和△ACD 全等判定依据是AAS ，需添加的一个条件是 _____．【答案】B CÐ=Ð【分析】根据题目条件和图形可知，AE ＝AD ，公共角A A Ð=Ð，不添加新的线段和字母，要使△ABE 和△ACD全等判定依据是AAS ，添加的条件是B C Ð=Ð即可得到结论．【详解】解：添加的条件是B C Ð=Ð．理由如下：在△ABE 和△ACD 中，B C A A AE AD ÐÐìïÐÐíïî＝＝＝，∴△ABE ≌△ACD （AAS ），故答案为：B C Ð=Ð．【点睛】本题考查全等三角形判定的应用，熟练掌握三角形全等的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，HL 是解决问题的关键．4．（2022·湖南·新田县云梯学校八年级阶段练习）如图，AC ＝AD ，∠1＝∠2，只添加一个条件使△ABC ≌△AED ，你添加的条件是 _____．【答案】∠C ＝∠D 或∠B ＝∠E 或AB ＝AE ．【分析】由∠1＝∠2可得∠CAB ＝∠DAE ，又有AC ＝AD ，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形，根据判定定理ASA 、AAS 、SAS 添加条件．【详解】解：添加∠C ＝∠D 或∠B ＝∠E 或AB ＝AE ．①添加∠C ＝∠D ，∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠BAD ＝∠2＋∠BAD ，∴∠CAB ＝∠DAE ，在△ABC 与△AED 中，C D AC AD CAB DAE Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴△ABC ≌△AED （ASA ）；②添加∠B ＝∠E ，∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠BAD ＝∠2＋∠BAD ，∴∠CAB ＝∠DAE ，在△ABC 与△AED 中，B E CAB DAE AC AD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△ABC ≌△AED （AAS ）；③添加AB ＝AE ，∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠BAD ＝∠2＋∠BAD ，∴∠CAB ＝∠DAE ，在△ABC 与△AED 中，AB AE CAB DAE AC AD =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ABC ≌△AED （SAS ），故答案为：∠C ＝∠D 或∠B ＝∠E 或AB ＝AE ．【点睛】此题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．添加时注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．5．（2022·河南平顶山·七年级期末）如图，已知∠1＝∠2，AC ＝AE ，不添加任何辅助线，再添加一个合适的条件：______，使△ABC ≌△ADE ．（只写出一种即可）【答案】∠B ＝∠D （或∠C ＝∠E 或AB ＝AD ）【分析】根据等式的性质可得∠BAC ＝∠DAE ，然后利用全等三角形的判定方法，即可解答．【详解】解：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠DAC ＝∠2＋∠DAC ，∴∠BAC ＝∠DAE ，∵AE ＝AC ，∴再添加AB ＝AD ，利用“SAS ”可以证明△ABC ≌△ADE ；添加∠B ＝∠D ，利用“AAS ” 可以证明△ABC ≌△ADE ；添加∠C ＝∠E ，利用“ASA ” 可以证明△ABC ≌△ADE ．故答案为：∠B ＝∠D （或∠C ＝∠E 或AB ＝AD ）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．考点四 全等三角形的判定例题：（2021·江西·鹰潭市余江区正源学校七年级阶段练习）如图，点B ，F ，C ，E 四点在同一条直线上，∠B ＝∠E ，AB ＝DE ，BF ＝CE ．求证：△ABC ≌△DEF ．【答案】见解析【分析】先根据BF ＝CE ，得出BC ＝EF ，然后根据“SAS ”证明△ABC ≌△DEF即可．【详解】证明：∵BF ＝CE ，∴BF +FC ＝CE +FC ，即BC ＝EF ，∵在△ABC 和△DEF 中AB DE B E BC EF =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ABC ≌△DEF （SAS ）．【点睛】本题主要考查三角形全等的证明，熟练掌握三角形全等的判定方法，SAS 、ASA 、AAS 、SSS 和HL ，是解题的关键．【变式训练】1．（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校八年级）如图， A 、E 、F 、C 在一条直线上， AF ＝CE ，过E 、F 分别作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，AB ＝CD ，求证：(1)求证：△ABC≌△DEF；∴12,2CF DF CD ===故答案为：2【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及平移的性质，根据考点五 全等三角形判定的一线三等角模型例题：（2022·全国·八年级专题练习）如图，在ABC V 中，240AB AC B ==Ð=°，，点D 在线段BC 上运动（D 不与B 、C 重合），连接AD ，作40ADE Ð=°，DE 交线段AC 于E ．(1)点D 从B 向C 运动时，BDA Ð逐渐变__________（填“大”或“小”），但BDA Ð与EDC Ð的度数和始终是__________度．(2)当DC 的长度是多少时，ABD DCE △△≌，并说明理由．【答案】(1)小；140(2)当DC =2时，△ABD ≌△DCE ，理由见解析【解析】【分析】（1）利用三角形的内角和即可得出结论；（2）当DC =2时，利用∠DEC +∠EDC =140°，∠ADB +∠EDC =140°，求出∠ADB =∠DEC ，再利用AB =DC =2，即可得出△ABD ≌△DCE ．(1)在△ABD 中，∠B +∠BAD +∠ADB =180°，设∠BAD =x °，∠BDA =y °，∴40°+x +y =180°，∴y =140-x （0＜x ＜100），当点D 从点B 向C 运动时，x 增大，∴y 减小，BDA Ð+EDC Ð=180°-140ADE Ð=°故答案为：小，140；(2)当DC =2时，△ABD ≌△DCE ，理由：∵∠C =40°，∴∠DEC +∠EDC =140°，又∵∠ADE =40°，∴∠ADB +∠EDC =140°，∴∠ADB =∠DEC ，又∵AB =DC =2，在△ABD 和△DCE 中===ADB DEC B CAB DC ÐÐìïÐÐíïî，∴△ABD ≌△DCE （AAS ）；【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，三角形的内角和公式，解本题的关键是分类讨论．【变式训练】1．（2022·全国·八年级）如图，在△ABC 中，点D 是边BC 上一点，CD ＝AB ，点E 在边AC 上，且AD ＝DE ，∠BAD ＝∠CDE ．(1)如图1，求证：BD ＝CE ；(2)如图2，若DE 平分∠ADC ，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠ADE 相等的角（∠ADE 除外）．【答案】(1)见解析(2)∠EDC ，∠BAD ，∠B ，∠C【解析】【分析】（1）由“SAS ”可证△ABD ≌△DCE ，可得BD =CE ；（2）由全等三角形的性质可得∠B =∠C ，由三角形的外角性质和角平分线的性质可求解．(1)证明：在△ABD 和△DCE 中，AB CD BAD CDE AD DE =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ABD ≌△DCE （SAS ），∴BD ＝CE ．(2)解：∵△ABD ≌△DCE ，∴∠B ＝∠C，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝∠BAD，∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∴∠B＝∠ADE＝∠BAD＝∠EDC＝∠C，∴与∠ADE相等的角有∠EDC，∠BAD，∠B，∠C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，角平分线的定义，掌握全等三角形的判定，明确角度的数量关系是解题的关键．2．（2022·全国·八年级）（1）如图①，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF．（2）应用：如图②，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，且CD＝2BD，点E，F在线段AD上．∠1＝∠2＝∠BAC，若△ABC的面积为15，求△ABE与△CDF的面积之和．【答案】（1）见解析；（2）10【解析】【分析】（1）利用外角的性质和已知角的关系证明∠BAE＝∠FCA，∠ABE＝∠FAC，利用ASA即可证明△ABE≌△CAF；（2）同（1）证明△ABE≌△CAF，推出S△ABE＝S△CAF，S△ABE+S△CDF＝S△CAF+S△CDF＝S△ACD，根据CD＝2BD可知23ACD ABCS S=V V，计算求解即可．【详解】解：（1）证明如下：∵∠1＝∠2＝∠BAC，且∠1＝∠BAE+∠ABE，∠2＝∠FAC+∠FCA，∠BAC＝∠BAE+∠FAC，∴∠BAE＝∠FCA，∠ABE＝∠FAC，又∵AB＝AC，∴△ABE≌△CAF（ASA）；（2）∵∠1＝∠2＝∠BAC，且∠1＝∠BAE+∠ABE，∠2＝∠FAC+∠FCA，∠BAC＝∠BAE+∠FAC，∴∠BAE ＝∠FCA ，∠ABE ＝∠FAC ，又∵AB ＝AC ，∴△ABE ≌△CAF （ASA ）∴S △ABE ＝S △CAF ，∴S △ABE +S △CDF ＝S △CAF +S △CDF ＝S △ACD ，∵CD ＝2BD ，△ABC 的面积为15，∴S △ACD ＝DC BD DC×+S △ACD ＝23S △ABC ＝215103´=，∴S △ABE +S △CDF ＝10．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ABE ≌△CAF 并掌握“等高三角形面积比等于底边边长之比”是解题的关键．3．（2022·河南郑州·七年级期末）在直线m 上依次取互不重合的三个点,,D A E ，在直线m 上方有AB AC =，且满足BDA AEC BAC a Ð=Ð=Ð=．(1)如图1，当90a =°时，猜想线段,,DE BD CE 之间的数量关系是____________；(2)如图2，当0180a <<°时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；(3)应用：如图3，在ABC V 中，BAC Ð是钝角，AB AC =，,BAD CAE BDA AEC BAC Ð<ÐÐ=Ð=Ð，直线m 与CB 的延长线交于点F ，若3BC FB =，ABC V 的面积是12，求FBD V 与ACE V 的面积之和．【答案】(1)DE ＝BD +CE(2)DE ＝BD +CE 仍然成立，理由见解析(3)△FBD 与△ACE 的面积之和为4【解析】【分析】（1）由∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝90°得到∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝90°，进而得到∠DBA ＝∠EAC ，然后结合AB ＝AC 得证△DBA ≌△EAC ，最后得到DE ＝BD +CE ；（2）由∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝α得到∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝180°﹣α，进而得到∠DBA ＝∠EAC ，然后结合AB ＝AC 得证△DBA ≌△EAC ，最后得到DE ＝BD +CE ；（3）由∠BAD ＞∠CAE ，∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ，得出∠CAE ＝∠ABD ，由AAS 证得△ADB ≌△CAE ，得出S △ABD ＝S △CEA ，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出S △ABF 即可得出结果．(1)解：DE ＝BD +CE ，理由如下，∵∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝90°，∴∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝90°，∴∠DBA ＝∠EAC ，∵AB ＝AC ，∴△DBA ≌△EAC （AAS ），∴AD ＝CE ，BD ＝AE ，∴DE ＝AD +AE ＝BD +CE ，故答案为：DE ＝BD +CE ．(2)DE ＝BD +CE 仍然成立，理由如下，∵∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝α，∴∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝180°﹣α，∴∠DBA ＝∠EAC ，∵AB ＝AC ，∴△DBA ≌△EAC （AAS ），∴BD ＝AE ，AD ＝CE ，∴DE ＝AD +AE ＝BD +CE ；(3)解：∵∠BAD ＜∠CAE ，∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ，∴∠CAE ＝∠ABD ，在△ABD 和△CAE 中，ABD CAE BDA CEA AB AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△ABD ≌△CAE （AAS ），∴S △ABD ＝S △CAE ，设△ABC 的底边BC 上的高为h ，则△ABF 的底边BF 上的高为h ，∴S △ABC ＝12BC •h ＝12，S △ABF ＝12BF •h ，∵BC ＝3BF ，∴S △ABF ＝4，∵S △ABF ＝S △BDF +S △ABD ＝S △FBD +S △ACE ＝4，∴△FBD 与△ACE 的面积之和为4．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．考点六 全等三角形判定的三垂直模型例题：（2021·福建·武夷山市第二中学八年级期中）如图，在△ABC 中，∠ACB = 90°，AC = BC ，BE ⊥CE 于点E ，AD ⊥CE 于点D ．（1）求证：△BCE ≌△CAD ；（2）若AD =12， BE =5，求ED 的长．【答案】（1）见解析；（2）ED 的长为7．【解析】【分析】（1）根据AAS 证明三角形全等即可；（2）根据全等三角形的性质得到AD =CE =12，CD =BE =5，从而求得ED 的长．【详解】解：（1）证明：∵BE ⊥CE 于点E ，AD ⊥CE 于点D ，∴∠CEB =∠ADC =90°，∴∠ACD +∠CAD =90°，∵∠ACB = 90°，∴∠ACD +∠BCE =90°，∴∠CAD =∠BCE ，又∵AC = BC ，∴BCE V ≌CAD V ；（2）由（1）知，BCE V ≌CAD V ，∴BE =CD ，CE =AD ，∵AD =12，BE =5，∴CE=12，CD=5，∴ED=CE－CD=12－5=7．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定及性质定理是解题的关键．【变式训练】1．（2021·天津·八年级期中）在△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过A的一条直线，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于E．(1)如图（1）所示，若B，C在AE的异侧，易得BD与DE，CE的关系是DE＝ ；(2)若直线AE绕点A旋转到图（2）位置时，（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE，CE的关系如何？请予以证明；(3)若直线AE绕点A旋转，（BD＞CE），问BD与DE，CE的关系如何？请直接写出结果，不需证明．【答案】(1)BD﹣EC(2)BD＝DE﹣CE．见解析(3)当B，C在AE的同侧时，BD＝DE﹣CE；当B，C在AE的异侧时，BD＝DE+CE．【解析】【分析】（1）通过互余关系可得∠ABD＝∠CAE，进而证明△ABD≌△ACE（AAS），即可求得BD＝AE，AD＝EC，进而即可求得关系式；（2）方法同（1）证明△ABD≌△CAE（AAS），进而得出结论；（3）综合（1）（2）结论，分当B，C在AE的同侧或异侧时，写出结论即可．(1)结论：DE＝BD﹣EC．理由：如图1中，∵BD⊥AE，CE⊥AE，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝90°，又∵∠BAC＝90°，∴∠EAC+∠BAD＝90°，∴∠ABD ＝∠CAE ，在△ABD 与△ACE 中，ADB CEA ABD CAE AB AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△BAD ≌△ACE （AAS ），∴BD ＝AE ，AD ＝EC ，∴BD ＝DE +CE ，即DE ＝BD ﹣EC ．故答案为：BD ﹣EC ；(2)结论：BD ＝DE ﹣CE ．理由：如图2中，∵BD ⊥AE ，CE ⊥AE ，∴∠ADB ＝∠CEA ＝90°，∴∠ABD +∠BAD ＝90°，又∵∠BAC ＝90°，∴∠EAC +∠BAD ＝90°，∴∠ABD ＝∠CAE ，在△ABD 与△CAE 中，ADB CEA ABD CAE AB AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△ABD ≌△CAE （AAS ），∴BD ＝AE ，AD ＝EC ，∴BD ＝DE ﹣CE ；(3)归纳：由（1）（2）可知：当B ，C 在AE 的同侧时，BD ＝DE ﹣CE ；当B ，C 在AE 的异侧时，BD ＝DE +CE ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．2．（2022·广东佛山·七年级阶段练习）在△ABC 中，∠BAC =90°，AC=AB ，直线MN 经过点A ，且CD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．(1)当直线MN 绕点A 旋转到图1的位置时，EAB DAC Ð+Ð= 度；(2)求证：DE=CD +BE ；(3)当直线MN 绕点A 旋转到图2的位置时，试问DE 、CD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【答案】(1)90°(2)见解析(3)CD= BE + DE ，证明见解析【解析】【分析】（1）由∠BAC =90°可直接得到EAB DAC Ð+Ð=90°；（2）由CD ⊥MN ，BE ⊥MN ，得∠ADC =∠BEA =∠BAC =90°，根据等角的余角相等得到∠DCA =∠EAB ，根据AAS 可证△DCA ≌△EAB ，所以AD =CE ，DC =BE ，即可得到DE = EA +AD = DC +BE ．（3）同（2）易证△DCA ≌△EAB ，得到AD =CE ，DC =BE ，由图可知AE = AD +DE ，所以 CD = BE + DE ．(1)∵∠BAC =90°∴ ∠EAB +∠DAC =180°-∠BAC =180°-90°=90°故答案为：90°．(2)证明：∵ CD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E∴ ∠ADC =∠BEA =∠BAC =90°∵ ∠DAC +∠DCA =90°且 ∠DAC +∠EAB =90°∴ ∠DCA =∠EAB∵在△DCA 和△EAB 中90ADC BEA DCA EABAC AB °ìÐ=Ð=ïÐ=Ðíï=î∴△DCA ≌△EAB (AAS)∴ AD =BE 且EA =DC由图可知：DE = EA +AD = DC +BE ．(3)∵ CD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E∴ ∠ADC =∠BEA =∠BAC =90°∵ ∠DAC +∠DCA =90°且∠DAC +∠EAB =90°∴ ∠DCA =∠EAB∵在△DCA 和△EAB 中90ADC BEA DCA EABAC AB °ìÐ=Ð=ïÐ=Ðíï=î∴△DCA ≌△EAB (AAS )∴ AD =BE 且AE =CD由图可知：AE = AD +DE∴ CD = BE + DE ．【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角，也考查了三角形全等的判定与性质．3．（2022·广东·河源广赋创新学校八年级阶段练习）如图，在ABC V 中，90ACB Ð=°，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ^于D ，BE MN ^于E ．(1)当直线MN 绕点C 旋转到①的位置时，求证：①ADC V ≌CEB △；②DE AD BE =+；(2)当直线MN 绕点C 旋转到②的位置时，求证：DE AD BE =-；(3)当直线MN 绕点C 旋转到③的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明．【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析(2)证明见解析(3)DE BE AD =-，证明见解析【分析】（1）①先根据垂直的定义可得90ADC Ð=°，90CEB Ð=°，再根据直角三角形的性质可得DAC ECB Ð=Ð，然后利用AAS 定理即可得证；②先根据全等三角形的性质可得AD CE =，BE CD =，再根据DE CE CD =+、等量代换即可得证；（2）同（1）的方法，先利用AAS 定理证出ADC CEB @V V ，再根据全等三角形的性质可得AD CE =，BE CD =，然后根据DE CE CD =-、等量代换即可得证；（3）同（1）的方法，先利用AAS 定理证出ADC CEB @V V ，再根据全等三角形的性质可得AD CE =，BE CD =，然后根据=-DE CD CE 、等量代换即可得出结论．（1）证明：①,AD MN BE MN ^^Q ，90ADC \Ð=°，90CEB Ð=°，90ACD DAC \Ð+Ð=°，90ACB Ð=°Q ，90ACD ECB \Ð+Ð=°，DAC ECB \Ð=Ð，在ADC V 与CEB △中，90ADC CEB DAC ECB AC CB Ð=Ð=°ìïÐ=Ðíï=î，()AAS ADC CEB \@△△；②由（1）①已证：ADC CEB @V V ，AD CE \=，BE CD =，DE CE CD AD BE \=+=+．（2）证明：,AD MN BE MN ^^Q ，90ADC \Ð=°，90CEB Ð=°，90ACD DAC \Ð+Ð=°，90ACB Ð=°Q ，90ACD ECB \Ð+Ð=°，DAC ECB \Ð=Ð，在ADC V 与CEB △中，90ADC CEB DAC ECB AC CB Ð=Ð=°ìïÐ=Ðíï=î，()AAS ADC CEB \@△△，AD CE \=，BE CD =，DE CE CD AD BE \=-=-．（3）解：DE BE AD =-，证明如下：,AD MN BE MN ^^Q ，90ADC \Ð=°，90CEB Ð=°，90ACD DAC \Ð+Ð=°，90ACB Ð=°Q ，90ACD ECB \Ð+Ð=°，DAC ECB \Ð=Ð，在ADC V 与CEB △中，90ADC CEB DAC ECB AC CB Ð=Ð=°ìïÐ=Ðíï=î，()AAS ADC CEB \@△△，AD CE \=，BE CD =，DE CD CE BE AD \=-=-．【点睛】本题考查了三角形全等的性质和判定、垂线的定义等知识点，解题的关键是推出证明ADC V 和CEB △全等的三个条件．4．（2021·北京·东北师范大学附属中学朝阳学校八年级期中）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线l 经过顶点C ，过A、B 两点分别作l 的垂线AE 、BF ，E 、F 为垂足．（1）当直线l 不与底边AB 相交时，①求证：∠EAC ＝∠BCF ．②猜想EF 、AE 、BF 的数量关系并证明．（2）将直线l 绕点C 顺时针旋转，使l 与底边AB 交于点D （D 不与AB 点重合），请你探究直线l ，EF 、AE 、BF 之间的关系．（直接写出）【答案】（1）①证明见解析，②EF ＝AE +BF ；证明见解析；（2）AE ＝BF +EF 或BF ＝AE +EF ．【解析】【分析】（1）①根据∠AEC ＝∠BFC ＝90°，利用同角的余角相等证明∠EAC ＝∠FCB 即可；②根据AAS 证△EAC ≌△FCB ，推出CE ＝BF ，AE ＝CF 即可；（2）类比（1）证得对应的两个三角形全等，求出线段之间的关系即可．【详解】（1）证明：①∵AE ⊥EF ，BF ⊥EF ，∠ACB ＝90°，∴∠AEC ＝∠BFC ＝∠ACB ＝90°，∴∠EAC +∠ECA ＝90°，∠ECA +∠FCB ＝90°，∴∠EAC ＝∠FCB ，②EF ＝AE +BF ；证明：在△EAC 和△FCB 中，AEC CFB EAC FCB AC BC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△EAC ≌△FCB （AAS ），∴CE ＝BF ，AE ＝CF ，∴EF ＝CE +CF ＝AE +BF ，即EF ＝AE +BF ；（2）①当AD ＞BD 时，如图①，∵∠ACB ＝90°，AE ⊥l 直线，同理可证∠BCF ＝∠CAE （同为∠ACD 的余角），又∵AC ＝BC ，BF ⊥l 直线即∠BFC ＝∠AEC ＝90°，∴△ACE ≌△CBF （AAS ），∴CF ＝AE ，CE ＝BF ，∵CF ＝CE +EF ＝BF +EF ，∴AE ＝BF +EF ；②当AD ＜BD 时，如图②，∵∠ACB ＝90°，BF ⊥l 直线，同理可证∠CBF ＝∠ACE （同为∠BCD 的余角），又∵AC ＝BC ，BE ⊥l 直线，即∠AEC ＝∠BFC ＝90°．∴△ACE ≌△CBF （AAS ），∴CF ＝AE ，BF ＝CE ，∵CE ＝CF +EF ＝AE +EF ，∴BF ＝AE +EF ．【点睛】本题考查了三角形综合题，主要涉及到了全等三角形的判定与性质，解题关键是证明△ACE ≌△CBF （AAS ），利用全等三角形的性质得出线段之间的关系．考点七 全等三角形判定的倍长中线模型 例题：（2021·甘肃·庄浪县阳川中学八年级期中）已知△ABC 中，AB=3，AC =4，则中线AD 的取值范围是______．【答案】0.5＜AD ＜3.5【分析】延长AD 到E ，使DE =AD ，然后利用“边角边”证明△ABD 和△ECD 全等，根据全等三角形对应边相等可得CE =AB ，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE 的取值范围，然后即可得解．【详解】解：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，∵AD 是BC 边上的中线，∴BD =CD ，在△ABD 和△ECD 中BD CD ADB EDC AD DE =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ABD ≌△ECD （SAS ），∴CE =AB ，∵AB =3，AC =4，∴4-3＜AE ＜4+3，即1＜AE ＜7，∴0.5＜AD ＜3.5．故答案为：0.5＜AD ＜3.5．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，遇中点加倍延，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．【变式训练】1．（2022·广东·深圳市龙岗区丰丽学校七年级期末）（1）如图，在DEF V 中，3DE =，7DF =，点G 是EF 的中点，求中线DG 的取值范围；（2）如图，在四边形ABCD 中，AB CD P ，点E 是BC 的中点．若AE 是BAD Ð的平分线．试探究AB ，AD ，DC 之间的等量关系，并证明你的结论．【答案】（1）2＜DG ＜5（2）AD =CD +AB ，证明见解析【分析】（1）延长DG 至M ，使GM =DG ，连接MF ，利用SAS 可证得DEG MFG ≌△△，利用全等三角形的对应边相等可得到DE =MF ，再利用三角形的三边关系定理，可求出DG 的取值范围；（2）延长AE ，DC 相交于点F ， 利用平行线的性质可知∠BAE =∠F ，利用AAS 可证得△ABE ≌△FCE ，利用全等三角形的性质可证得AB =CF ，∠F =∠DAF ；利用角平分线的定义去证明∠F =∠DAF ，利用等角对等边可证得AD =DF ，然后根据DF =DC +CF ，代入可证得结论．【详解】（1）解：延长DG 至M ，使GM =DG ，连接MF ，在DEG △和MFG V 中，DG MG EGD FGMEG FG =ìïÐ=Ðíï=î∴DEG MFG ≌△△(SAS )，∴DE =MF =3，∵DF -MF ＜DM ＜DF +MF ，∴7-3＜DM ＜7+3，即4＜DM ＜10，∵2DM DG =，∴4＜2DG ＜10，∴2＜DG ＜5；（2）AD =CD +AB ，理由如下：解：延长AE ，DC 相交于点F ， ∵AB CD ∥，∴∠BAE =∠F ，∵点E 是BC 的中点，∴BE =CE ，在ABE △和FCE △中，BAE CFE AEB FECBE CE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴ABE FCE △≌△（AAS ），∴AB =CF ，∵∠BAE =∠F ，∠DAF =∠BAE ，∴∠F =∠DAF ，∴AD =FD ，。

二次全等(人教版)一、单选题(共5道，每道20分)1.已知：如图，AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点．求证：△ABF≌△ACF．证明：如图，在△ADB和△ADC中______________________∴△ADB≌△ADC（______）∴______________________在△ABF和△ACF中____________________∴△ABF≌△ACF（______）请你仔细观察下列序号所代表的内容：①；②；③SSS；④SAS；⑤SSA；⑥∠ABD=∠ACD（全等三角形对应角相等）；⑦∠BAD=∠CAD（全等三角形对应角相等）；⑧；⑨．以上空缺处依次所填正确的是( )A.②③⑥⑨⑤B.②③⑦⑧④C.①④⑦⑧④D.①④⑥⑨⑤答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的性质和判定2.已知:如图，AB=EF，BC=FG，AC=EG，D为BC中点，H为FG中点，求证：AD=EH．证明：如图，在△ABC与△EFG中∴__________________∴__________________∵D为BC中点，H为FG中点∵BC=FG∴BD=FH在△ABD与△EFH中______________________∴△ABD≌△EFH（_____）∴AD=EH．①；②；③；④∠BAD=∠FEH（全等三角形对应角相等）；⑤∠B=∠F（全等三角形对应角相等）；⑥SSS；⑦SAS；⑧△ABC≌△FEG（SSS）；⑨△ABC≌△EFG（SSS）．以上空缺处依次所填正确的是( )A.⑨⑤①⑦B.⑨④②⑦C.⑧⑤③⑥D.⑧④①⑦答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形证明过程训练3.已知：如图，∠E=∠D，AM=CN，ME=ND．求证：△ABE≌△CBD．证明：如图，在△BME和△BND中∴△BME≌△BND（AAS）∴__________________∵AM=CN，ME=ND∴AM+ME=CN+ND即AE=CD在△ABE和△CBD中_________________________∴△ABE≌△CBD（______）请你仔细观察下列序号所代表的内容：①BE=B D（全等三角形对应边相等）；②∠BME=∠BND（全等三角形对应角相等）；③BM=BN（全等三角形对应边相等）；④；⑤；⑥；⑦SAS；⑧AAS．以上空缺处依次所填正确的是( )A.①⑥⑧B.③④⑦C.②⑤⑧D.①④⑦答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的性质和判定4.已知：如图，点A，C在直线EF上，BC=AD，AB=CD，AE=CF，求证：∠E=∠F．证明：如图，在△ABC和△CDA中____________________∴__________________∴∠ACB=∠CAD（全等三角形对应角相等）∵AE=CF∴AE+AC=CF+AC即EC=FA在△ECB和△FAD中___________________________∴_________________________∴∠E=∠F（全等三角形对应角相等）请你仔细观察下列序号所代表的内容：①；②；③；④；⑤△ABC≌△CDA（SSS）；⑥△ABC≌△CDA（SAS）；⑦△ECB≌△FAD（SAS）；⑧△EAB≌△FCD（SAS）．以上空缺处依次所填正确的是( )A.①⑤③⑧B.①⑤④⑦C.②⑥③⑧D.②⑥④⑦答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的性质和判定5.如图，在正方形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=CD=AD．E为BC边上一点，且AE=DE，AE与对角线BD交于点F，∠ABF=∠CBF，连接CF，交ED于点G．求证：DE⊥CF．证明：如图，在Rt△ABE和Rt△DCE中∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL）∴_________________在△ABF与△CBF中_________________∴_______________∴_______________∴∠2=∠3∵∠3+∠4=90°∴∠2+∠4=90°∴∠DGC=90°∴DE⊥CF请你仔细观察下列序号所代表的内容：①∠1=∠2（全等三角形对应角相等）；②∠1=∠3（全等三角形对应角相等）；③∠ABE=∠DEC（全等三角形对应角相等）；④；⑤；⑥△ABF≌△CBF（SAS）；⑦△ABF≌△CBF（SSS）；⑧∠AFB=∠CFB（全等三角形对应角相等）．以上空缺处依次所填正确的是( )A.①⑤⑦②B.②⑤⑦①C.①④⑥②D.③④⑥⑧答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的性质和判定。

初二全等三角形所有知识点总结和常考题知识点：1. 基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形•⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2. 基本性质：⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.3. 全等三角形的判定定理：⑴边边边（SSS）:三边对应相等的两个三角形全等.⑵边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. ⑶角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.⑷角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等⑸斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.4. 角平分线：⑴画法：⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上5. 证明的基本方法：⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.常考题:.选择题（共14小题）1 •使两个直角三角形全等的条件是（）A. —个锐角对应相等B.两个锐角对应相等C•一条边对应相等D.两条边对应相等2 .如图，已知AE=CF / AFD=Z CEB那么添加下列一个条件后，仍无法判定△D. AD// BC3•如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A. SSSB. SASC. AASD. ASA4•到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）A.三条中线的交点B.三条高的交点C.三条边的垂直平分线的交点D.三条角平分线的交点5. 如图，△ ACB^A A CBV BCB =30°则/ACA的度数为（）A. 20°B. 30°C. 35°D. 40°6 .如图，直线11、12、13表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A. 1处B. 2处C. 3处D. 4处7 .如图，AD是厶ABC中/BAC的角平分线，DE± AB于点E, S SBC=7, DE=2AB=4,贝U AC 长是（）8 .如图，在△ ABC和厶DEC中，已知AB=DE还需添加两个条件才能使△ ABC ◎△DEC不能添加的一组条件是（）A. BC=EC Z B=Z EB. BC=EC AC=DCC. BC=DC / A=Z DD.Z B=Z E，10. 要测量河两岸相对的两点 A ，B 的距离，先在AB 的垂线BF 上取两点C ，D ， 使CD=BC 再定出BF 的垂线DE,使A ，C, E 在一条直线上（如图所示），可以 说明△ EDC^A ABC,得ED=AB 因此测得 ED 的长就是 AB 的长，判定△ EDC^ △ ABC 最恰当的理由是（）A .边角边B .角边角 C.边边边 D .边边角 11. 如图，△ ABC 的三边AB, BC, CA 长分别是20, 30, 40,其三条角平分线将 12. 尺规作图作/ AOB 的平分线方法如下：以 O 为圆心，任意长为半径画弧交 OA , OB 于C,D ,再分别以点C, D 为圆心，以大于丄CD 长为半径画弧，两弧交 于点P ,作射线OP 由作法得厶OCF ^A ODP 的根据是（ ）9. 如图，已知在△ ABC 中，CD 是AB 边上的高线, BC=5 DE=2则厶BCE 的面积等于（ ）BE 平分/ 4 D. 3: 4: 55D . 4S A BCO ： S A CAO 等△ ABC 分为三个三角形，则S A ABO ： A . 1: 1: 1 B. 1: 2: 3 C. 2: 3:B.有两边对应相等，且有一角为30°勺两个等腰三角形全等C•有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D.有两角和一边对应相等的两个三角形全等14.如图，已知/ 仁/2, AC=AD,增加下列条件：① AB=AE②BC=ED③/ C= / D;④/ B=Z E.其中能使厶ABC^A AED的条件有（）2个D. 1个二.填空题（共11小题）15.如图，在△ ABC中，/ C=90°, AD平分/ CAB BC=8cm, BD=5cm,那么点D 到线段AB的距离是_________ cm.AD平分/ BAQ AB=5, CD=2,则厶ABD的面积17. 如图为6个边长等的正方形的组合图形，则/ 1+Z 2+Z 3= _____18. 如图，△ ABC^A DEF请根据图中提供的信息，写出19. _________________________________________ 如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带__________________________________________ 去玻璃店.20. ____________________________________________________________ 如图，已知AB// CF, E为DF的中点，若AB=9cm, CF=5cm J则BD= _______ cm.21 •在数学活动课上，小明提出这样一个问题：/ B=Z C=90°, E是BC的中点, DE平分/ ADC, / CED=35,如图，则/ EAB是多少度？大家一起热烈地讨论交流，/ B=100o，/ BAC=30，那么/ AED= 度.小英第一个得出正确答案，是___________ 度.23.如图所示，将两根钢条AA，BB'的中点O连在一起，使A A', BB可以绕着点O 自由转动，就做成了一个测量工具，则A的长等于内槽宽AB,那么判定△ OAB^A OA的理由是______________________ .24.如图，在四边形ABCD中, / A=90°, AD=4,连接BD, BD丄CD, / ADB=Z C.若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为____ .三•解答题（共15小题）26.已知：如图，C 为BE 上一点，点A , D 分别在BE 两侧，AB// ED, AB=CEC=90°, CA=CB 点 M 在线段 AB 上，/ GMB 二 / A , BGcm .若 MH=8cm ，贝U BG=第11页(共36页)29. 如图，C是AB 的中点，AD=BE CD=CE 求证：/ A=Z B.30. 已知：如图，在梯形ABCD中，AD// BC, BC=DC CF平分/ BCD DF// AB, BF的延长线交DC于点E.求证：(BFC^A DFQ(2) AD=DE31. 如图，已知，EC=AC Z BCE W DCA / A=Z E 求证：BC=DC32. 如图，把一个直角三角形ACB(/ACB=90)绕着顶点B顺时针旋转60°使得点C 旋转到AB边上的一点D,点A旋转到点E的位置.F，G分别是BD，BE 上的点，BF=BG延长CF与DG交于点H.(1)求证：CF=DG(2)求出/ FHG的度数.33. 已知，如图，△ ABC和厶ECD都是等腰直角三角形，/ ACB=Z DCE=90，D 为AB边上一点.求证：BD=AE第13页(共36页)ABCDE的边BC CD上的点，且BM=CN, AM交BN于点P.(1) 求证：△ ABM^A BCN；(2) 求/ APN的度数.ABCD中，E 点在AD 上，其中/ BAE=/ BCE W ACD=90,且BC=CE求证：△ ABC与厶DEC全等.36. 如图，△ ABC和厶ADE都是等腰三角形，且/ BAC=90, / DAE=90, B, C, D 在同一条直线上.求证：BD=CE37. 我们把两组邻边相等的四边形叫做筝形”如图，四边形ABCD是一个筝形, 其中AB=CB AD=CD对角线AC, BD相交于点O, 0E丄AB, 0F丄CB,垂足分别是E, F.求证OE=OF第14页(共36页)D38. 如图，在△ ABC 中，/ ACB=90, CE L AB于点E, AD=AG AF 平分/ CAB 交CE于点F, DF的延长线交AC于点G.求证：(1) DF// BC; (2) FG=FE39. 如图：在厶ABC中，BE CF分别是AC AB两边上的高，在BE上截取BD=AC 在CF的延长线上截取CG=AB连接AD、AG.(1)求证：AD=AG(2)AD与AG的位置关系如何，请说明理由.40. 如图，已知△ ABC中，AB=AC=10cm BC=8cm 点D为AB的中点.(1)如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动.①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△ BPD与厶CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△ BPD与厶CQP全等？(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在厶ABC 的哪条边上相遇？初二全等三角形所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习（含答案解析）参考答案与试题解析一•选择题（共14小题）1. （2013?西宁）使两个直角三角形全等的条件是（）A、—个锐角对应相等B.两个锐角对应相等C•一条边对应相等D.两条边对应相等【分析】利用全等三角形的判定来确定. 做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证.【解答】解：A、一个锐角对应相等，利用已知的直角相等，可得出另一组锐角相等，但不能证明两三角形全等，故A选项错误；B、两个锐角相等，那么也就是三个对应角相等，但不能证明两三角形全等，故B选项错误；C、一条边对应相等，再加一组直角相等，不能得出两三角形全等，故C选项错误；D、两条边对应相等，若是两条直角边相等，可利用SAS证全等；若一直角边对应相等，一斜边对应相等，也可证全等，故D选项正确.故选：D.【点评】本题考查了直角三角形全等的判定方法；三角形全等的判定有ASA SAS AAS SSS HL,可以发现至少得有一组对应边相等，才有可能全等.2. （2013?安顺）如图，已知AE=CF / AFD=Z CEB那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ ADF^A CBE的是（）A __________ ?A. Z A=Z CB. AD=CBC. BE=DFD. AD// BC【分析】求出AF=CE再根据全等三角形的判定定理判断即可.【解答】解：：AE=CF••• AE+EF=C+EF,••• AF=CEA、t在厶ADF和厶CBE中|fZA=ZCIZAFD=ZCEB•••△ADF^A CBE（ASA，正确，故本选项错误；B、根据AD=CB AF=CE / AFD=Z CEB不能推出厶ADF^A CBE错误，故本选项正确；C、・.•在△ ADF和厶CBE中AF=CE[DF=BE•••△ ADF^A CBE（ SAS ,正确，故本选项错误；D、t AD// BC,•••/ A=Z C,•••在△ ADF和厶CBE中|fZA=ZC{ACEHZAFD=ZCEB•••△ ADF^A CBE（ASA ,正确，故本选项错误；故选B.【点评】本题考查了平行线性质，全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS ASA AAS SSS3. （2014秋？江津区期末）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A. SSSB. SASC. AASD. ASA【分析】根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据角边角”画出.【解答】解:根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用角边角”定理作出完全一样的三角形.故选D.【点评】本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键.4. （2007?中山）至9三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）A.三条中线的交点B.三条高的交点C.三条边的垂直平分线的交点D.三条角平分线的交点【分析】因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点.【解答】解：•••角的平分线上的点到角的两边的距离相等，•••到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点.故选：D.【点评】该题考查的是角平分线的性质，因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点，易错选项为c.5. （2011?呼伦贝尔）如图，△ACB^A A C, BCB =30则/ACA的度数为（）【分析】本题根据全等三角形的性质并找清全等三角形的对应角即可.【解答】解：•••△ ACB^A A CB•••/ ACB=/ A CB即/ ACA+Z A CB=B' CHB/ A CB•••/ ACA = B ' C,BD. 40又Z B' CB=30 •••Z ACA =30°故选：B.【点评】本题考查了全等三角形的判定及全等三角形性质的应用，利用全等三角形的性质求解.6. （2000?安徽）如图，直线11、12、13表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A. 1处B. 2处C. 3处D. 4处【分析】到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点. 把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求.【解答】解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处. 故选：D .【点评】本题考查了角平分线的性质；这是一道生活联系实际的问题，解答此类题目时最直接的判断就是三角形的角平分线，很容易漏掉外角平分线，解答时一定要注意，不要漏解.7. （2014?遂宁）如图，AD是厶ABC中/ BAC的角平分线，DE± AB于点E, S A ABC=7, DE=2 AB=4,贝U AC长是（）A. 3B. 4C. 6D. 5【分析】过点D作DF丄AC于F,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF再根据S A ABC=S ABC+&ACD列出方程求解即可.【解答】解：如图，过点D作DF丄AC于F，••• AD是厶ABC中/ BAC的角平分线，DE丄AB，••• DE=DF由图可知，S ABC=S ABD+S ACD,.•.J-X 4X 2「X ACX 2=7，解得AC=3.故选：A.【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键.8. （2013?铁岭）如图，在△ ABC和厶DEC中，已知AB=DE还需添加两个条件才能使△ ABC^A DEC不能添加的一组条件是（）A、BC=EC Z B=Z EB. BC=EC AC=DC C. BC=DC / A=Z D D.Z B=Z E, / A=Z D 【分析】根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可.【解答】解：A、已知AB=DE再加上条件BC=EC / B=Z E可利用SAS证明△ABC^A DEC故此选项不合题意；B、已知AB=DE再加上条件BC=EC AC=DC可利用SSS证明厶ABC^A DEC 故此选项不合题意；C、已知AB=DE再加上条件BC=DC / A=Z D不能证明厶ABC^A DEC故此选项符合题意；D、已知AB=DE再加上条件/ B=Z E , / A=Z D可利用ASA证明△ ABC^A DEC 故此选项不合题意；故选：C.【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS SAS ASA AAS HL注意：AAA SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.9. （2015?湖州）如图，已知在厶ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分/ ABC 交CD于点E, BC=5 DE=2则厶BCE的面积等于（）B CA. 10B. 7C. 5D. 4【分析】作EF丄BC于F，根据角平分线的性质求得EF=DE=2然后根据三角形面积公式求得即可.【解答】解：作EF丄BC于F，••• BE平分/ ABC ED丄AB，EF丄BC••• EF=DE=2S^BCE^^BC?EF= X 5 X 2=5，故选C.【点评】本题考查了角的平分线的性质以及三角形的面积，作出辅助线求得三角形的高是解题的关键.10. （1998?南京）要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C, D,使CD=BC再定出BF的垂线DE,使A，C，E在一条直线上（如图所示），可以说明△ EDC^A ABC,得ED=AB因此测得ED的长就是AB的长，判定△ EDC^AABC最恰当的理由是（A.边角边B.角边角C.边边边D.边边角【分析】由已知可以得到/ ABCN BDE又CD=BC / ACB W DCE由此根据角边角即可判定△ EDC^A ABC.【解答】解：：BF丄AB, DE± BD•••/ ABC2 BDE又••• CD=BC Z ACBN DCE•••△ EDC^A ABC （ASA）故选B.【点评】本题考查了全等三角形的判定方法；需注意根据垂直定义得到的条件，以及隐含的对顶角相等，观察图形，找着隐含条件是十分重要的.11. （2017?石家庄模拟）如图，△ ABC的三边AB, BC, CA长分别是20, 30, 40,其三条角平分线将△ ABC分为三个三角形，则& ABO：S BCO：S CAO等于【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是20, 30, 40,所以面积之比就是2: 3: 4.【解答】解：禾I」用同高不同底的三角形的面积之比就是底之比可知选C.故选C.【点评】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的面3 C. 2: 3:4 D. 3: 4: 5积公式.做题时应用了三个三角形的高时相等的，这点式非常重要的.12. （2009?鸡西）尺规作图作/ AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA, OB于C, D,再分别以点C, D为圆心，以大于二CD长为半径画弧，两弧交于点P,作射线OP由作法得厶OCF^A ODP的根据是（）【分析】认真阅读作法，从角平分线的作法得出厶0。

A.一个锐角对应相等C.一条边对应相等B.两个锐角对应相等全等三角形判定、选择题:1-如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A.SSSB.SASC.AASD.ASA2•方格纸中，每个小格顶点叫做一个格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形。

如图，在4X4的方格纸中，有两个格点三角形△ABC、ADEF,下列说法中成立的是（）A.ZBCA=ZEDF CoZBAC=ZEFDB.ZBCA=ZEFDD.这两个三角形中，没有相等的角3•如图所示，△ABD9ACDB,下面四个结论中，不正确的是（）A.△ABD和厶CDB的面积相等B.AABD和厶CDB的周长相等C.ZA+ZABD=ZC+ZCBDD.AD〃BC，且AD=BC4.下列判断中错误的是（）A.有两角和一边对应相等的两个三角形全等B.有两边和一角对应相等的两个三角形全等C.有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D.有一边对应相等的两个等边三角形全等5-使两个直角三角形全等的条件是（）6•如图，在AABC和厶BDE中，点C在边BD上,边AC交边BE于点F.若AC=BD，AB=ED，BC=BE，则Z AACB等于（B.ZBEDC.寺ZAFBD.2ZABFA.ZEDBBA B C DB.ZA=ZDC.AC=DD.ZACB=ZF7.在AABC 和厶A /B /C /中，已知ZA=ZA /,AB=A /B /,在下面判断中错误的是（）A. 若添加条件AC=A /C /,则厶ABC^^^A /B /C /B. 若添加条件BC=B /C /,则厶ABC^^^A /B /C /C 。

若添加条件ZB=ZB /，则△ABC^^^A /B /C /D 。

若添加条件ZC=ZC /，则△ABC^^^A /B /C /8•如图，AABC 和厶DEF 中，AB=DE 、ZB=ZDEF,添加下列哪一个条件无法证明厶ABC^^DEF （）9•如图，在△ABC 中，ZABC=45°,AC=8cm,F 是高AD 和BE 的交点，则BF 的长是（）A.4cmB.6cmC.8cmD.9cm1°.在如图所示的5X5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，AABC 是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC 有一条公共边且全等的所有格点三角形个数是（）11.如图，点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上,且EC=2AE ，直角三角形FEG 的两直角边EF 、EG 分别交BC 、DC 于点M 、N.若正方形ABCD 的边长为a,则重叠部分四边形EMCN 的面积为（ A.AC 〃DF12-在连接A地与B地的线段上有四个不同的点D、G、K、Q,下列四幅图中的实线分别表示某人从A 地到B地的不同行进路线（箭头表示行进的方向），则路程最长的行进路线图是（C、填空题:I3•如图所示，有一块三角形的镜子，小明不小心弄破裂成1、2两块，现需配成同样大小的一块.为了方便起见,需带上—块，其理由是.14.如图示，点B在AE上,ZCBE=ZDBE，要使AABC^AABD,还需添加一个条件是,（填上你认为适当的一个条件即可）15•如图，已知Z1=Z2，AC=AD，请增加一个条件，使△ABC9AAED，你添加的条件是16-如图，Z1=Z2,要使△ABD9AACD,需添加的一个条件是（只添一个条件即可）.17•如图，在△ABC中,AB=AC,AD丄BC于D点，E、F分别为DB、DC的中点，则图中共有全等三角形对.18•如图，△ABD9ABAC,若AD=BC,则ZBAD的对应角是.19-如图，已知AB丄BD，垂足为B,ED丄BD,垂足为D,AB=CD,BC=DE，则ZACE=_度.2°・如图,如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角的关系是.三、解答题：21•如图,ZDCE=90°,CD=CE,AD丄AC,BE丄AC，垂足分别为A.B.试说明AD+AB=BE.22.如图，E、A.C三点共线，AB〃CD,ZB=ZE,,AC=CD。

全等三角形判定的条件组合（二）(人教版)一、单选题(共7道，每道14分)1.已知：如图，AB与CD相交于点E，AD=CB，要使△ADE≌△CBE，需添加一个条件，则添加的条件以及相应的判定定理正确的是( )A.AE=CE；SASB.DE=BE；SASC.∠D=∠B；AASD.∠A=∠C；ASA答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定2.已知：如图，∠ADB=∠ADC，要使△ABD≌△ACD，需添加一个条件，则添加的条件以及相应的判定定理正确的是( )A.BD=CD；SASB.AB=AC；SASC.∠B=∠C；ASAD.∠BAD=∠CAD；AAS答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定3.已知：如图，点D在AB上，点E在AC上，且∠B=∠C，要使△ABE≌△ACD，需添加一个条件，则添加的条件以及相应的判定定理正确的是( )A.AB=AC；AASB.AE=AD；AASC.BE=CD；ASAD.∠AEB=∠ADC；AAS答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定4.已知：如图，在△ABC和△ADE中，已知∠BAC=∠DAE，要使△ABC≌△ADE，需添加两个条件，则下列添加的条件以及相应的判定定理正确的有( )①AC=AE，AB=AD，SAS；②AC=AE，BC=DE，SAS；③∠B=∠D，BC=DE，AAS；④∠C=∠E，AC=AE，ASA；⑤∠B=∠D，AC=AE，ASA.A.①②③B.①③④C.②③④D.①②⑤答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定5.已知：如图，在△ABC和△DEC中，AB=DE，要使△ABC≌△DEC，需添加两个条件，则下列添加的条件以及相应的判定定理正确的有( )①BC=EC，∠B=∠E，SAS；②BC=EC，AC=DC，SSS；③∠B=∠E，∠ACB=∠DCE，ASA；④∠A=∠D，∠B=∠E，AAS．A.①②③B.②③④C.③④D.①②答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定6.已知：如图，AE=CF，∠AFD=∠CEB，∠A=∠C．求证：△ADF≌△CBE．证明：如图，∵AE=CF∴AE+EF=CF+FE即AF=CE在△ADF和△CBE中，①已知；②已证；③公共边；④SSS；⑤ASA；⑥AAS.以上空缺处依次所填正确的是( )A.②①⑤B.②③⑥C.②①⑥D.②③⑤答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定7.已知：如图，AB=AD，∠BAE=∠DAC，∠C=∠E．求证△ABC≌△ADE．证明：如图，∵∠BAE=∠DAC∴∠BAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE即∠BAC=∠DAE在△ABC和△ADE中，①已知；②已证；③公共边；④SSS；⑤ASA；⑥AAS.以上空缺处依次所填正确的是( )A.②①⑤B.②③⑥C.②①⑥D.②③⑤答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定。

全等三角形判定的条件组合（一）(人教版)一、单选题(共8道，每道12分)1.已知：如图，AC=DE，∠1=∠2，要使△ABC≌△DFE，需添加一个条件，则添加的条件以及相应的判定定理合适的是( )A.∠A=∠D；ASAB.AB=DF；SASC.BC=FE；SSAD.∠B=∠F；ASA答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定2.已知：如图，∠A=∠C，要使△AOB≌△COD，需添加一个条件，则添加的条件以及相应的判定定理合适的是( )A.∠AOB=∠COD；AAAB.AB=CD；ASAC.OB=OD；AASD.∠ABO=∠CDO；AAS答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定3.已知：如图，∠ABC=∠DEF=90°，AB=DE，要使△ABC≌△DEF，需添加一个条件，则添加的条件以及相应的判定定理合适的是( )A.∠C=∠F；ASAB.BC=EF；HLC.∠A=∠D；AASD.AC=DF；HL答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定4.已知：如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC上的点，AD=FE，AF=FC，要使△ADF≌△FEC，需添加一个条件，则添加的条件以及相应的判定定理合适的是( )A.∠A=∠CFE；SSAB.DF=EC；SSSC.DF=BE；SSSD.∠AFD=∠DFE；SAS答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定5.已知：如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，BE与CD交于点O，∠DBC=∠ECB，要使△BCD≌△CBE，需添加一个条件，则添加的条件以及相应的判定定理合适的是( )A.∠BDC=∠CEB；ASAB.BD=CE；SASC.DC=EB；SASD.∠BCD=∠CBE；AAS答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定6.已知：如图，在△ABC中，点D，E是BC边上的点，连接AD，AE，∠BAD=∠CAE，BD=CE，要使△ABD≌△ACE，需添加一个条件，则添加的条件以及相应的判定定理合适的是( )A.∠B=∠C；AASB.∠BAE=∠CAD；AASC.∠ADB=∠AEC；ASAD.BE=CD；SAS答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定7.已知：如图，在四边形ABCD中，AD=CB，CD=AB．求证：△CDA≌△ABC.证明：如图，在△ABC和△CDA中，①已知；②已证；③公共边；④SSS；⑤SAS以上空缺处依次所填正确的是( )A.①④B.③④C.②⑤D.③⑤答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定8.已知：如图，AB=DE，BE=CF，∠B=∠DEF．求证：△ABC≌△DEF．证明：如图，∵BE=CF∴BE+EC=CF+EC即BC=EF在△ABC和△DEF中，①已知；②已证；③对顶角相等；④SSS；⑤SAS；⑥AAS 以上空缺处依次所填正确的是( )A.①②④B.②③④C.①②⑤D.③②⑤答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定。

《全等三角形的判定》解答题必考经典题型专题练习1.如图,已知∠A=∠D,有下列五个条件:①AE=DE;②BE=CE;③AB=DC;④∠ABC=∠DCB;⑤AC=BD;能证明△ABC与△DCB全等的条件有几个?并选择其中一个进行证明.2.如图,DE⊥AB,CF⊥AB,垂足分别是E,F,DE=CF,AE=BF.求证:AC∥BD.3.已知:如图所示,AD∥BC,EF过AC的中点O. (1)求证:OE=OF.(2)若直线EF绕点O旋转,与AD,BC分别交于点E′,F′,仍然有OE′=OF′吗?理由是什么?(3)旋转到何处时,直线EF被AD,BC截得的线段最短?4.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠BCD=90°,BC=DC,延长AD到E点,使DE=AB. (1)求证:∠ABC=∠EDC.(2)求证:△ABC≌△EDC.5.如图,AB=AC,BD=CD,BH=CH,图中有几组全等的三角形?它们全等的条件是什么?6. 雨伞的截面图如图所示,伞背AB=AC,支撑杆OE=OF,AE=14AB,AF=14AC,当O 沿AD 滑动时,雨伞开闭;问雨伞开闭过程中,∠BEO 与∠CFO 有何关系?说明理由.7. 已知：如图，AB=AC ，AD=AE ，BD=CE.试说明∠BAC=∠DAE.8.如图，在△ABC中，AB=AC，作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作AE∥BD，CE ⊥AC，且AE，CE相交于点E，求证：AD=CE.9.如图，分别过点C，B作△ABC的边BC上的中线AD及其延长线的垂线，垂足分别为E，F.求证：BF=CE.10.如图，点E，F是四边形ABCD的对角线BD上的两点，AE∥CF，AE=CF，BE=DF.求证：△ADE≌△CBF.11.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是AB边上的一点，DM⊥AB，且DM=AC，过点M作ME∥BC交AB于点E.试说明△ABC≌△MED.12.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10,BC=5,线段PQ=AB,P,Q两点分别在AC 和过点A且垂直于AC的射线AO上运动,当△ABC和△PQA全等时，求AP的值.13.如图所示，在有公共顶点的△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠CAB=∠EAD.求证：CE=BD.14.如图(1),已知AB⊥BD,ED⊥BD,AB=CD,BC=DE. (1)试判断AC与CE的位置关系,并说明理由.(2)若将CD沿CB方向平移得到图(2)(3)(4)(5)的情形,其余条件不变,此时第(1)问中AC与CE的位置关系还成立吗?请任选一个说明理由.15.在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于点D,BE⊥MN 于点E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证:①△ADC≌△CEB;②DE=AD+BE.(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,求证:DE=AD-BE.(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,试问DE,AD,BE具有怎样的等量关系?请写出这个等量关系,并加以证明.16.如图①，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2，宽为1的矩形CEFD 拼在一起，构成一个大的矩形ABEF。

（全等三角形判定的条件组合（一））热点专题高分特训（含解析）一、单选题（共8道，每道12分）1•已知：如图， AC=DE /仁/2,要使△ ABC^A DFE,需添加一个条件，则添加旳条件以及相应旳判定定理合适旳是（）A.Z A=Z D; ASAB.AB=DF; SASC.BC=FE SSAD.Z B=Z F; ASA答案：A解题思路:证明两个三角形全等要找三组条件，要证△ ABC^A DFE,现给岀一组角和一组边对应相等，那么只需再找一组角或一组边对应相等即可.观察图形，找边时，只能是BC=FE t或给出BE=FC f通过转化得到BC=FE,用SAS证明两三角形全等；找角时，任意找一组角对应相等即可，当找的角是Z—D用ASA证明两三角形全等，当找的角是8ZF用盒AS证明两三角形全等.所以A选项正确.当添加的条件是时，证明过程如下；证明：如图，r Zl=Z2（已知）<AC^DE（已知）ziJ （已知）-'-ZL15C^AZ）F£（ASA）故选A.试题难度：三颗星知识点：全等三角形旳判定2•已知：如图，/ A=Z C,要使△ AOBBA COD,需添加一个条件，则添加旳条件以及相应旳判定定理合适旳是（）A.Z AOB=/ COD AAAB.AB=CD ASAC.OB=OD AASD.Z ABO=Z CDO; AAS答案：C解题思路：证明两个三角形全等要找三组条件，要证△ AOB^A COD,现给岀一组角对应相等，而且从图中可以发现一个隐含条件ZAOB二乙COD（对顶角相等），那么任意找一组边对应相等即可.观察图形，找边时，当找的边是OA=OC用ASA证明两三角形全等,当找的边是AB^CD或OB=OD用AAS证明两三角形全等.所以C选项正确.当添加的条件是OB=OD 04,证明过程如下：证明：如图，在厶AOB^hCOD中.[ZJ=ZC（已知）* ZAOB =ZCOD（对顶角相等）OB = OD（已知）故选C*试题难度：三颗星知识点：全等三角形旳判定3•已知：如图，/ ABC=Z DEF=90° AB=DE要使△ ABC^^ DEF,需添加一个条件，则添加旳条件以及相应旳判定定理合适旳是（）cA./C=Z F; ASAB.BC=EF HLC.Z A=/ D; AASD.AC=DF; HL答案：D解题思路：证明两个三角形全等要找三组条件，要证△ ABC^A DEF.现给出一组角和一组边对应相等，那么只需再找一组角或一组边对应相等艮卩可*观察图形，找边时，当找的边是BC=EF,或给岀CE=FB f 通过转化得到BC=EF f 用SAS证明两三角形全等，当找的边是用HL证明两三角形全等，找角时，任意找一组角对应相等即可，当找的角是Z.4-ZP用ASA证明两三角形全等.当找的角是ZC=ZF用AAS证明两三角形全等.所以D选项正确*当添加的条件是且OQF时，证明过程如下；证明,如图,在RtA.4£C 和RrAZ）£y 中，|JC = DF（已知）= （己知）/- △屈C也△D£F（HL）故选D.试题难度：三颗星知识点：全等三角形旳判定4•已知：如图，在△ ABC中，D，E, F分别是 AB, BC，AC上旳点，AD=FE AF=FC要使△ ADF^A FEC 需添加一个条件，则添加旳条件以及相应旳判定定理合适旳是（）£A./A=Z CFE SSAB.DF=EC SSSC.DF=BE SSSD./ AFD=/ DFE; SAS答案：B解题思路：证明两个三角形全等要找三组条件，要证△庖G 现给岀两组边对应相等，那么只需再找一组角或一组边对应相等即可.观察图形，找边时，只能是DF=EC f用SSS证明两三角形全等；找角时，只能是已知的两对应边的夹角ZJ=ZCFE, 用SAS证明两三角形全等.所以B选项正确.当添加的条件是DF=EC证明过程如下’证明|如图,在厶ADF和AFEC中，AD = FE（已知）^4F = FC（已知）DF=EC（已知）故选B.试题难度：三颗星知识点：全等三角形旳判定5•已知：如图，在厶ABC中，点D, E分别在边 AB, AC上，BE与CD交于点0, / DBC=/ ECB 要使△ BCD^A CBE需添加一个条件，则添加旳条件以及相应旳判定定理合适旳是（）A./BDC=/ CEB ASAB.BD=CE SASC.DC=EB SASD./ BCD=/ CBE AAS答案：B解题思路：证明两个三角形全等要找三组条件，要证△现给岀一组角对应相等，而且从图中可以发现一个隐含条件BC^CB（公共边）,那么只需再找一组角或一组边对应相等即可-观察图形，找边时，找的边是BD=CE t用SAS证明两三角形全等*找角时.当找的角是£BCD^CBE,用AS色证明两三角形全等，当找的角是皿—CEB、用AAS证明两三角形全等.所以B选项正确.当添加的条件是占D二CE时，证明过程如下，证明：如图,在HECD和△CEE中，BD^CE（已知）也 DBC =ZECB（已知）[BC^CB｛公共边）/-A5CZ^ACS£（SAS）故选B.试题难度：三颗星知识点：全等三角形旳判定6•已知：如图，在△ ABC中，点D，E是BC边上旳点，连接 AD, AE,/ BAD=/ CAE BD=CE 要使△ ABD^A ACE需添加一个条件，则添加旳条件以及相应旳判定定理合适旳是（）AA./ B=Z C; AASB.Z BAE=/ CAD; AASC.Z ADB=/ AEC; ASAD.BE=CD SAS答案：A解题思路：证明两个三角形全等要找三组条件，要证△ ABD^^ACE, 现给岀一组角和一组边对应相等，那么只需再找一组角或一组边对应相等即可.观察图形，找边时找不到一条边使已知角成为已知两边的夹角，所以找不到一组边对应相等使厶ABD^L ACE^找角时，当找的角是乙B二乙C或厶4DB二厶EC用AAS证明两三角形全等，当找的角是Z ADC=Z AEB f通过转化得到£ADB^£AEC或/丽ZU用AAS证明两三角形全等.所以A选项正确.当添加的条件是是/尿ZC时，证明过程如下：证明-如图，在MBD和△衣?E中，厶AD=ZCAE（已知）^Z5=ZC（已知）肋二QE （已知）二ZL<&Z）^AJC£（AAS）故选厶试题难度：三颗星知识点：全等三角形旳判定 7.已知：女口图，在四边形 ABCD中，AD=CB， CD=AB . 求证A D证明：如图，在厶ABC和厶CDA中,5=CR（已知）CD二肋（已知）AC = CA{_____ ）30'CD工 ____________ ）① 已知；② 已证；③ 公共边；④SSS;⑤SAS 以上空缺处依次所填正确旳是（）A.①④B.③④C.②⑤D.③⑤答案：B解题思路：由图可知,AC-CA是公共边，三边对应相等得两三角形全等, 用的判定定理是SSS,所以空缺处依次所填的是③④.故选试题难度：三颗星知识点：全等三角形旳判定8•已知：如图， AB=DE BE=CF / B=Z DEF.求证：△ ABC^^ DEF.•/ BE=CF••• BE+EC=CF+EC即 BC=EF在厶ABC和△ DEF中，曲“駅己知）厶=£。