一种直观快捷的光滑插值曲线表示方法

一、插值的定义在数学和计算机科学中，插值是指在已知数据点的基础上，利用插值算法来估算出在这些数据点之间未知位置上的数值。

插值可以用于生成平滑的曲线、曲面或者函数，以便于数据的分析和预测。

二、matlab中的插值方法在matlab中，有多种插值方法可以用来在两个数据点之间插值一条曲线。

这些方法包括线性插值、多项式插值、样条插值等。

下面我们将逐一介绍这些方法及其使用场景。

1. 线性插值线性插值是最简单的插值方法之一。

它的原理是通过已知的两个数据点之间的直线来估算未知位置上的数值。

在matlab中，可以使用interp1函数来进行线性插值。

该函数的调用格式为：Y = interp1(X, Y, Xq, 'linear')其中X和Y分别是已知的数据点的横纵坐标，Xq是待估算数值的位置，'linear'表示使用线性插值方法。

使用线性插值可以快速地生成一条近似直线，但是对于非线性的数据分布效果可能不佳。

2. 多项式插值多项式插值是利用多项式函数来逼近已知数据点之间的曲线。

在matlab中，可以使用polyfit和polyval函数来进行多项式插值。

polyfit函数用于拟合多项式曲线的系数，polyval函数用于计算多项式函数在给定点的数值。

多项式插值的优点是可以精确地通过已知数据点，并且可以适用于非线性的数据分布。

3. 样条插值样条插值是一种比较常用的插值方法，它通过在每两个相邻的数据点之间拟合一个低阶多项式，从而保证整条曲线平滑且具有良好的拟合效果。

在matlab中，可以使用splinetool函数来进行样条插值。

样条插值的优点是对于非线性的数据分布可以有较好的拟合效果，且能够避免多项式插值过拟合的问题。

4. 三角函数插值三角函数插值是一种常用的周期性数据插值方法，它利用三角函数（如sin和cos）来逼近已知数据点之间的曲线。

在matlab中，可以使用interpft函数来进行三角函数插值。

本栏目责任编辑：唐一东人工智能及识别技术Computer Knowledge and Technology 电脑知识与技术第5卷第15期(2009年5月)基于B 样条插值法的曲线光滑处理技术及应用庄重，肖铮（成都东软信息技术职业学院，四川都江堰611844）摘要：曲线的光滑处理技术在许多领域得到了广泛的应用，其常用方法是将平面上欲连接的点作为控制多边形的顶点，通过相应的数学变换，得到曲线上的点。

而为了更准确地表现曲线，通常希望光滑后的曲线能经过这些点。

文章介绍了通过B 样条插值法使曲线经过平面已知点的方法及其在计算机上的实现，通过实验得到了较好的效果。

关键词：曲线光滑；B 样条；控制多边形；顶点；B 样条插值中图分类号：TP311文献标识码：A 文章编号：1009-3044(2009)15-4000-02The Technology and Application of Curve Smoothing Based on B-spline InterpolationZHUANG Zhong,XIAO Zheng(Chengdu Neusoft Vocational Institute of Information Technology,Dujiangyan 611844,China)Abstract:The curve smoothing technology has been widely used in many areas.The commonly used method is to treat the plane points as the polygon vertex,through the corresponding mathematical transform,obtain the curve ’s points.But in order to accurately perform curve,people hope the smoothing curve pass the original points.The paper introduces the method by which the curve passed the original points through B-spline interpolation.Through the experimental on computer,the result is satisfactory.Key words ：curve smoothing;B-spline;control polygon;Vertex;B-spline interpolation1引言传统的曲线光滑处理技术是将平面上的点作为控制多边形的顶点，通过相应的数学变换，得到曲线上的点，然后将这些点连接起来即得到光滑曲线。

曲线插值法
曲线插值法是一种数学上的方法，用于在给定数据点之间插入一条平滑曲线。

该方法通常用于数据分析和可视化中，以便更好地展示数据的趋势和变化。

曲线插值法的基本思想是根据给定数据点之间的关系来构建一个函数模型。

这个模型可以是多项式函数、三次样条函数或其他类型的函数。

然后，使用这个模型来估计数据点之间的值，以便生成平滑的曲线。

曲线插值法有许多应用。

例如，它可以用于生成贝塞尔曲线、贝塞尔曲面和多项式插值曲线。

此外，该方法还可用于处理大量数据点的情况，以便更好地描述数据的趋势和变化。

总之，曲线插值法是一种用于插入平滑曲线的重要数学方法，可应用于数据分析、可视化和其他领域。

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离散光滑插值算法离散光滑插值是一种通过给定的离散数据点来推导出一个连续的函数的方法。

在传统的插值算法中，通常使用拉格朗日插值法来得到一个多项式，但是这种方法在高阶插值时会出现振荡（Runge现象），并且插值函数不易被优化。

为了解决这些问题，离散光滑插值算法应运而生。

离散光滑插值算法的基本思想是将插值函数表示成若干个小区间上的低阶多项式函数，并要求这些小区间上的函数之间在相邻点处有一定的连续性和相互衔接性，从而达到插值函数光滑的效果。

常见的离散光滑插值算法有分段线性插值、分段二次插值和分段三次插值。

分段线性插值算法是一种最简单的离散光滑插值方法，它将插值区间分成若干小区间，在每一个小区间上使用一次多项式函数进行插值。

虽然分段线性插值算法的运算速度快，但是它不能满足高阶函数的连续性的要求，因此无法得到光滑的插值函数。

分段二次插值算法是一种更高阶的离散光滑插值方法，它将插值区间分成若干小区间，在每一个小区间上使用二次多项式函数进行插值。

分段二次插值算法能够满足抛物线函数的连续性要求，在一定程度上能够得到光滑的插值函数，但是如果插值区间较长，则会出现龟裂现象。

分段三次插值算法是一种最常用的离散光滑插值方法，它将插值区间分成若干小区间，在每一个小区间上使用三次多项式函数进行插值。

分段三次插值算法能够满足三次函数的连续性、一阶导数连续性和二阶导数连续性要求，确保得到的插值函数光滑且有较高的精度。

在实际应用中，分段三次插值算法被广泛应用于CAD、地理信息、医学成像等领域。

总的来说，离散光滑插值算法是一种高效且精准的插值方法，能够在一定程度上解决传统插值算法中存在的问题。

在实际应用中，需要根据具体的问题场景选择合适的离散光滑插值算法，并对插值的结果进行评估和验证，以保证得到的插值函数具有一定的准确性和可靠性。

CAD曲线曲率与插值技巧使用CAD软件进行曲线绘制和编辑是许多设计师和工程师的常用功能之一。

在CAD软件中，曲线的曲率和插值技巧是非常重要的概念和工具。

本文将介绍CAD软件中关于曲线曲率和插值技巧的一些基础知识和常用方法。

在CAD软件中，曲线曲率表示曲线上某一点处的弯曲程度。

曲率的大小可以通过曲线上两个相邻点之间的夹角来衡量。

较大的夹角表示较大的曲率，而较小的夹角表示较小的曲率。

要计算曲线上某一点的曲率，首先需要将该点的邻近点确定出来。

然后，通过计算这些邻近点之间的夹角或切线方向的变化来获得曲率。

常用的方法有有限差分法和最小二乘法等。

有限差分法是一种基本的曲率计算方法。

它通过计算邻近点之间的夹角来得到曲线上某一点的曲率。

具体做法是选取曲线上该点两侧的邻近点，并计算它们连线之间的夹角。

然后，通过将夹角除以两侧邻近点之间的距离来得到曲率的近似值。

最小二乘法是另一种常用的曲率计算方法。

它通过将曲线在某一点处近似为一个二次曲线，然后通过最小化该二次曲线与实际曲线之间的平方误差来计算曲率。

最小二乘法在矩阵计算中应用广泛，能够提供更准确的曲率值。

在CAD软件中，插值是绘制和编辑曲线的关键过程之一。

插值可以根据已知的曲线上的点来生成新的曲线点。

根据插值的方法不同，插值可以分为线性插值、二次插值和三次插值等。

线性插值是其中最简单的一种插值方法。

它通过在已知曲线上的相邻点之间画一条直线来生成新的点。

这种插值方法可以在一定程度上保持曲线的形状和延伸性，但是不能提供曲线的细节。

二次插值是一种稍复杂的插值方法。

它通过在已知曲线上的三个点之间画一条二次曲线来生成新的点。

这种插值方法可以提供更加平滑和准确的曲线，但是需要更多的已知点来确定曲线的形状。

三次插值是最常用的插值方法。

它通过在已知曲线上的四个点之间画一条三次曲线来生成新的点。

这种插值方法可以提供最大程度的平滑和准确性，但是也需要更多的已知点来确定曲线的形状。

在CAD软件中，使用曲线曲率和插值技巧可以绘制出各种形状的曲线，从简单的直线到复杂的曲线都可以实现。

第15卷第5期2003年5月计算机辅助设计与图形学学报JOURNAL OF COMPU TER-AIDED DESIGN &COMPU TER GRAPHICSVoI.15，No.5Ma y ，2003原稿收到日期：2002-08-28；修改稿收到日期：2002-10-24.本课题得到国家自然科学基金（60173034）和国家重点基础研究“九七三”项目（2002CB312101）资助.蔺宏伟，男，1973年生，博士研究生，主要研究方向为计算机图形学、计算机辅助几何设计、逆向工程等.王国瑾，男，1944年生，教授，博士生导师，主要研究方向为计算机辅助几何设计、计算机图像图形、应用逼近论.光滑曲面上的!1插值曲线蔺宏伟王国瑾（浙江大学图像图形研究所杭州310027）（浙江大学CAD &CG 国家重点实验室杭州310027）摘要在计算机图形学和计算机辅助几何设计中，限制在光滑曲面上保持几何连续的曲线插值技术显现出越来越重要的作用.文中用直纹面投影的思想研究了这一问题，给出了一种在光滑曲面上保持G 1连续的样条曲线插值技术.首先构造一条插值曲面上已知点列的空间3次B zier 样条曲线，然后通过一张直纹面将这条空间插值曲线投影到已知曲面上，即可得到限制在已知光滑曲面上的G 1插值曲线.理论推导和实例显示表明，该技术具有推广应用的广阔前景.关键词插值；曲面；样条曲线中图法分类号TP391!1Continuous Inter p olation Curve on Smooth SurfaceLin Hon g weiWan g Guo in（Institute o f Ima g es and Gra p hics ，Zhe j ian g Uniuersit y ，Han g zhou310027）（State Ke y Laborator y o f CAD &CG ，Zhe j ian g Uniuersit y ，Han g zhou310027）AbstractIn com p uter g ra p hics and com p uter aided g eometric desi g n ，the techni g ues of g eneratin g aninter p oIation curve that is restricted on a g iven smooth surface and hoIds g eometric continuit y have shown more and more wide a pp Iications.We p ro p ose an a pp roach of constructin g B zier s p Iine curve of de g ree 3to inter p oIate the g iven p oints on the smooth surface and then p ro ect the curve onto this sur-face with ruIed surface.The p ro ected curve kee p s G 1continuit y .TheoreticaI deduction and ex p erimen-tation show that such an a pp roach is effective and p roduces g ood resuIts.Ke y words inter p oIation ；surface ；s p Iine curve1引言给定空间中（平面上）的一系列点，求一条通过这些点的空间（平面）曲线.这是一个历史悠久的经典插值问题.随着计算机图形学理论的发展以及计算机辅助设计应用范围的扩大，限制在光滑曲面上的曲线插值问题，即给定某光滑曲面上的一系列点，求这个曲面上一条通过这些点，并且具有一定连续性的曲线的算法，已经显现出越来越重要的作用.例如，在计算机图形学中，为了在实体模型的表面画一个几何图案，可以先在模型表面上确定一些点，然后过这些点构造一条位于模型表面上的曲线作为几何图案的轮廓线，最后画出模型表面上的几何图案.在计算机动画中，关键帧内模型的旋转状态可以通过四元数映射到单位球面上的点［1-2］.因而，这些模型的旋转状态之间的插值可以通过在球面上构造一条插值这些点的曲线来实现.此外，在数控加工的刀具路径设计［3-4］、机器人路径设计［5］、公路铁路设计、曲面裁剪［6］等工业应用中，也大量存在着类似的问题.近年来，国内外一些学者研究了上述问题.Shoemake 通过对四元数的插值，实现了球面上的曲线插值问题［1］.1994!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!年，张怀研究了球面上曲线的插值问题，他用大圆弧代替直线，将欧氏空间中的B ZieI样条插值方法推广到球面上来构造插值曲线［7］.但这两种方法难以推广到一般光滑曲面上的插值.1997年，张怀又研究了限制在光滑曲面上的C1曲线插值方法［8］.对于曲面S，该方法通过构造D C!2、!3，且像为S的合适映射，从而将曲面S 上的曲线插值问题转化为通常的!2上的曲线插值问题.但这种方法仅适用于可参数化的曲面，并且计算量比较大.由于在计算机辅助几何设计中，几何连续性的概念和应用已经远远超过了代数连续性，因此研究光滑曲面上几何连续的曲线插值的算法，其重要性和迫切性是不言而喻的.但迄今为止，有关论文甚为罕见.在本文中，我们提出了直纹面投影的新思路，给出一种限制在光滑曲面上能保持G1连续的样条曲线插值的新方法，收到了相当好的效果.2插值方法的导出本文所要解决的问题可以这样来叙述：给定一张空间光滑曲面S，再给定S上一个点列｛Pi6S\i =0，1，…，I｝，以及位于曲面S在点P i处的切平面上的相应于点Pi 的单位矢量Ti，i=0，1， (I)要求构造曲面S上的一条G1连续的曲线，使其通过给定点列，并且在每一给定点Pi处，曲线的单位切矢量为Ti.我们将这样的插值曲线称为曲面上的插值曲线.我们的做法是，首先在空间!3中构造一条插值给定点列的G1连续的3次B ZieI样条曲线，然后通过一张直纹面将这条曲线投影到给定的光滑曲面上.可以证明，这样得到的曲线即为保持G1连续的曲面上的插值曲线.2.1保持G1连续的空间B zier样条插值曲线给定空间点列｛Pi=（x i，y i，z i）\i=0，1，…，I｝，再相应地给定每点处的单位切矢量T i，i=0，1，…，I.令!i=P i+1-P i，i=0，1，…I-1；I0=0，I i=2i=1!+1，i=1，2，…I-1；l=2I-1=0!.累加弦长Ii（i=0，1，…，I-1）将作为样条曲线的参数.为得到插值两点Pi ，Pi+1（i=0，1，…，I-1）的各段3次B ZieI曲线，设两点P i，P i+1之间的距离为d，光滑曲面S在点Pi，Pi+1的切平面的交线为L，曲面S在点Pi以向量Ti为方向向量的切线与直线L的交点为Ii，1，在点Pi+1以向量Ti+1为方向向量的切线与直线L的交点为Ii，2.点P i与点Ii，1之间的距离为di，1，点Pi+1与点Ii，2之间的距离为di，2.如果曲面S在点P i，P i+1的两张切平面没有交线；或者曲面S在点Pi，Pi+1以向量Ti，T i+1为方向向量的切线与两张切平面的交线L没有交点，则相应的距离值di，1或di，2取为13d.如图1所示，若控制多边形P i Q i R i P i+1的首末边长分别超过了di，1和di，2，则其所对应的B ZieI 曲线会出图1控制多边形的首末边边长现扭曲.为了防止所得到的曲线扭曲，作辅助点Q i=P i+min（13d，d i，1）T iR i=P i+1-min（13d，d i，2）T i+ {1i=0，1，…，I-1，再以｛Pi，Q i，R i，P i+1｝为控制顶点，［I i，I i+1］为参数区间，作3次B ZieI曲线W i（U）=P i B30（U）+Q i B31（U）+R i B32（U）+P i+1B33（U），U6［0，1］其中，U=I-I iI i+1-I i，B3=3()U（1-U）3-，=0，1，2，3.将这样的I段曲线拼接起来，就构成一条3次B ZieI样条曲线W（U（I）），U6［0，l］，我们称之为空间插值曲线.显然，这条样条曲线是G1连续的.245计算机辅助设计与图形学学报2003年!"!保持G#连续的曲面上的插值曲线下面先叙述对于曲面上插值曲线的直纹面投影算法（Ruied Surface Pro ectin g Ai g orithm，RSPA），然后在第2.3节证明用该算法构造的插值曲线是G1连续的.算法#"RSPASte p1.w1=插值点列中的第一个点；Ste p2.whiie w1不是插值点列中的最后一个点；Ste p3.w2=插值点列中与w1相邻的下一个点；Ste p4.按照第2.1节的方法，构造插值这两点和给定矢量的空间3次B Zier样条曲线C；Ste p5.//确定直纹面Ste p6.If样条曲线C与给定曲面S有异于w1和w2的交点；Ste p7.将这些交点顺序插入点w1和w2之间，构成有序点列!；Ste p8.For点列!中每两个相邻点Ste p9.构造两点之间的直纹面；Ste p10.//求曲面上的插值曲线Ste p11.求直纹面与曲面S的交线L；Ste p12.If L上存在直纹面上的非正则点，或者存在使直纹面和曲面的法向平行的点；Ste p13.将它们顺序插入点w1和w2之间，构成新的插值点列，返回Ste p2；Ste p14.EiSeSte p15.输出交线L作为曲面上的插值曲线；Ste p16.w1=插值点列中与w1相邻的下一个点，返回Ste p2；这里我们必须着重指出，如果上述直纹面与曲面S的交线L上存在直纹面上的非正则点，或者存在直纹面和曲面的法向平行的点，就将这些点作为插值点顺次插入点w1和w2之间，构成新的插值点列.这时，在这些新的插值点处给定的切矢量是以这些点为起点，以插值点列中相邻的下一个点为末点的向量，正交投影到曲面S在这点的切平面上所得到的投影向量.算法1首先用第2.1节中的方法，得到一条空间三次B Zier样条插值曲线w（U（t）），t!［0，l］.其中，插值点Pi 和Pi+1之间的一段B Zier曲线为w i（U（t）），t!［t i，t i+1］，i=0，1，…，I-1.接着，构造一系列直纹面R i（U（t），S）=w i（U（t））+S w i（t），t i"t"t i+1，-1"S"0，i=0，1，…，I-1（1）适当地选择直纹面的直母线的方向向量wi（t）（选择方法于本节后面详述），将可以保证由这样I张直纹面拼接构成的直纹面R（U（t），S），0"t"l，-1"S"0，与已知光滑曲面S的交线是G0连续的，并且可以证明它还是G1连续的.这种构造方法的几何意义，就是将空间插值曲线w（U（t）），t!［0，l］，投影到光滑曲面S上，以投影所产生的曲线作为曲面上的插值曲线，如图2所示.图2一张曲面及与之相交的直纹面下面详细说明式（1）表示的直纹面的直母线的方向向量的取法.首先，求出给定的光滑曲面S与S上在点Pi，P i+1（i=0，1，…，I-1）之间一段空间3次B Zier插值曲线wi（U（t）），t!［t i，t i+1］的交点，设有m+1个交点互i，=0，1，…，m，其中互i0=P i，互i m= P i+1，它们对应的参数分别为t i，=0，1，…，m，t i0=t i，t i m=t t+1.这m+1个交点将曲线w i（U （t））（t!［t i，t i+1］）分成m条子曲线C i，=0，1，…，m-1，这m条子曲线中的每一条都完全位于曲面的一侧，如图3所示.图3确定直母线的方向向量子曲线C i，!｛0，1，…，m-1｝的两个端点为互i和互i+1，对应的参数为t i和t i+1，假设两端点之间的距离为U，曲面S在这两点处的单位法向量分别为w i和w i+1.子曲线C i位于曲面S的一侧，分别确定曲面S在点互i及互i+1处的法线上位于曲面S另一侧的一点，记为B i和B i+1.连接点B i和B i+1得3455期蔺宏伟等：光滑曲面上的G1插值曲线到线段L i j（I）=B i j+I-I i jI i j+1-I i j（B ij+1-B i j），I i j!I!I i j+1；则得到以子曲线C ij为基线的直纹面的直母线的方向向量（如图3所示）N i j（I）=W（U（I））-L i j（I），I i j!I!I i j+1.于是，以子曲线C ij为基线的直纹面为R i j（I，S）=W（U（I））+S N i j（I），（2）其中，I ij!I!I ij+1，-1!S!0.由于R ij（I，-1）和R i j（I，0）分别位于曲面S的两侧，所以式（2）所示的直纹面与曲面S一定有交线.同理，可以得到其他子曲线所对应的直纹面.把这样的m张直纹面拼接起来，就得到以光滑曲面S在插值点Pi ，Pi+1（i=0，1，…，I-1）之间的每一段空间3次B ZieI插值曲线W i（U（I））（I"［I i，I i+1］）为基线的直纹面R i（I，S），I i!I!I i+1，-1!S!0.进一步，再把这样的I 张直纹面R i（I，S），i"｛0，1，…，I-1｝拼接起来，就得到以空间3次B ZieI插值曲线W（U（I）），I"［0，l］为基线的直纹面R（U（I），S），0!I!l，-1!S! 0，它与曲面S的交线就是所求的G1连续的曲面S 上的插值曲线.!"#曲面上插值曲线的G$连续性下面先证明由算法1得到的、以插值点Pi，P i+1，（i=0，1，…，I-1）之间的一段空间3次B ZieI插值曲线为基线的直纹面，与曲面S的交线是G1连续的；然后再证明由这样I张直纹面所拼接起来的直纹面，与曲面S的交线就是所求的曲面S上G1连续的插值曲线.为此，首先证明一个引理.引理$"如果两张光滑曲面在它们的交线上每一点处的法向不平行，那么，它们的交线是G1连续的.并且交线上任一点处切线就是这两张曲面在这点处切平面的交线.证明.设S1，S2为两张光滑曲面，C为它们的交线，点P为交线C上任意一点，曲面S1和S2在点P处的单位法向量为n1，n2，切平面为M1和M2.于是交线C在点P处的单位切向量为n1X n2，由条件可知，它是非零向量.由于曲面S1和S2光滑，所以n1和n2连续，从而n1X n2连续，即交线C是G1连续的.交线C在点P的切线既属于M1，又属于M2，所以，它是M1与M2的交线.证毕.现在假设由算法1得到的曲面上的插值曲线为C，它的插值点列为｛P i I i=0，1，…，I｝，插值点处给定的切矢量为｛TiI i=0，1，…，I｝.定理$"插值曲面上一个点列中任意两个相邻插值点之间的一段曲面上的插值曲线是G1连续的.证明.由第2.2节中的作法，这样的一段曲面上的插值曲线由m段子曲线组成.由算法1可知，每一段子曲线内的每一点都是相应直纹面上的正则点，并且直纹面在每一点处的法向与给定的曲面S 在这点的法向不平行.由引理1可知，这每一段子曲线是G1连续的.又由于两条相邻子曲线的交点既是前一条子曲线的终点，又是后一条子曲线的起点，前后两条子曲线在这一点的切矢量方向一致，所以曲面上这段插值曲线在两条相邻子曲线的交点处也是G1连续的.总之，任意两个相邻插值点之间的一段曲面上的插值曲线是G1连续的.证毕.定理!"由算法1得到的曲面上的插值曲线C 是G1连续的，并且在插值点处以给定的矢量作为切矢量.证明.由算法1可知，曲面上的插值曲线C是由I段曲线Ci，i=0，1，…，I-1组成的，第i段曲线Ci的首末端点分别为Pi，Pi+1.定理1表明曲线C i是G1连续的.因此，要证明C是G1连续的，仅需证明C在插值点Pi，i=0，1，…，I是G1连续的.下面证明曲线Ci在它的末端点Pi+1处的切线是方向向量为Ti+1的直线.由于向量Ti+1是光滑曲面S在点Pi+1处的切向量，因而过点Pi+1且以向量Ti+1为方向向量的直线L必位于曲面S在点P i+1处的切平面上.其次，因为向量T i+1是B ZieI曲线Wi（U（I））在点Pi+1处的切向量，所以直线L就是曲线Wi（U（I））在点Pi+1处的切线.但由于B ZieI曲线W i（U（I））是直纹面R i（I，S）的基线.于是，由于直线L是直纹面上一条曲线Wi（U（I））在点Pi+1处的切线，直线L也位于这张直纹面在点P i+1处的切平面上.综上可知，直线L就是曲面S与直纹面R i（I，S）在点Pi+1处的两张切平面的交线，即曲线Ci在点Pi+1处的切线.同理可证，曲线C i+1首端点P i+1处的切线也是直线L.于是，曲面上的插值曲线与相应的空间插值曲线在每个插值点有相同的切线，即此两条插值曲线在插值点相切.又按照相应的直纹面的取法，可知它们在插值点必有相同的切向量.换言之，曲面上的插值曲线C在插值点Pi的切向量恰为给定的矢量Ti，i=0，1，…，I.因而它在插值点P i，i=0，1，…，I是G1连续的.证毕.445计算机辅助设计与图形学学报2003年!算法的实现及结果第2节给出了构造曲面上G 1连续的插值曲线的一个方法，并且证明了这个方法的正确性.下面将提出并解决算法实现中的几个问题，然后给出几个实例.假设算法中所利用的直纹面的方程为!（S ，U （t ））=｛x （S ，t ），y （S ，t ），z （S ，t ）｝，其中，S !!，t !［0，l ］.如果已知的光滑曲面S 由隐式方程给出，即为S I f （x ，y ，z ）=0.则它和直纹面的交线，即曲面S 上的插值曲线的方程为f （x （S ，t ），y（S ，t ），z （S ，t ））=0.如果已知的光滑曲面S 的方程是参数式的，即为S I "（U ，1）=｛"x （U ，1），"y （U ，1），"z （U ，1）｝，则曲面S 上插值曲线的方程为"x （U ，1）=x （S ，t ）"y （U ，1）=y （S ，t ）"z （U ，1）=z （S ，t {）.特别地，如果曲面S 是NUBRS 曲面，可以先将曲面S 离散［9］，然后再求直纹面与离散后的曲面的交线，这样可以大大节省计算量.下面几个例子是用MATLAB 软件完成的.图中的黑点表示已知的插值点，从每一插值点引出的线段表示在这一点给定的单位切向量.图4所示的球面其方程为x 2+y 2+z 2-9=0.图5所示的椭圆抛物面其方程为z =x 242+y 232.图6所示的曲面其方程为z =1.5cOS（0.8（x 2+y 2））x 2+y 2+0.8.图7所示的曲面是一张双3次B zier 曲面，其控制顶点为｛-1.5，-1.5，4.0｝，｛-0.5，-1.5，2.0｝，｛0.5，-1.5，-1.0｝，｛1.5，-1.5，2.0｝；｛-1.5，-0.5，1.0｝，｛-0.5，-0.5，3.0｝，｛0.5，-0.5，0.0｝，｛1.5，-0.5，-1.0｝；｛- 1.5，0.5，4.0｝，｛-0.5，0.5，0.0｝，｛0.5，0.5，3.0｝，｛1.5，0.5，4.0｝；｛-1.5，1.5，-2.0｝，｛-0.5，1.5，-2.0｝，｛0.5，1.5，0.0｝，｛1.5，1.5，-1.0｝我们先将这张双3次B zier 曲面离散［9］，然后再求它与直纹面的交线.图4球面上的G 1插值曲线图6超越函数曲面上的G 1插值曲线图5椭圆抛物面上的G 1插值曲线图7自由曲面上的G 1插值曲线5455期蔺宏伟等：光滑曲面上的G 1插值曲线!结论本文研究了限制在已知光滑曲面上的保持G1连续的曲线插值算法.首先构造一条插值给定点及给定单位切向量的空间3次B zier样条插值曲线，然后以这条曲线为基线，构造一张直纹面.那么这张直纹面和已知光滑曲面的交线，就是所求的在已知光滑曲面上插值给定点列且保持G1连续的插值曲线.曲面上的这条插值曲线实际上是空间3次B zier样条插值曲线在这张光滑曲面上的投影，它的性质与直纹面的直母线的方向向量的取法有很大的关系.在本文中，我们设计的直母线的方向向量，使所得到的曲面上的插值曲线保持G1连续.我们进一步的研究工作是，怎样构造空间插值曲线，以及怎样选取直纹面的直母线的方向向量，才能得到保持高阶连续的曲面插值曲线.另外，我们还将研究满足某些特定约束条件的曲面上的插值曲线，如用什么方法得到的插值曲线其两个型值点之间的弧长在曲面上所有过这两点的曲线中是最短的，就是一个饶有趣味和富有实用价值的课题.致谢本文研究得到微软亚洲研究院刘利刚博士的建设性意见，在此表示感谢！参考文献［1］K Shoemake.Animation rotation with g uaternion curves［J］.Com p uter Gra p hics，1985，19（3）：245~254［2］DanieI 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在线轨迹平滑算法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述在线轨迹平滑算法是一种用于处理轨迹数据的技术，旨在通过对轨迹点进行插值和平滑操作，提高轨迹的准确性和可读性。

轨迹数据通常是由移动设备、传感器或其他数据采集设备获取到的，它描述了一系列位置点的变化情况。

然而，由于设备采集误差和噪声的存在，轨迹数据往往会出现不平滑和不准确的情况，给后续的数据分析和应用带来了困扰。

在线轨迹平滑算法旨在通过数学插值和信号处理技术，对轨迹数据进行平滑处理，以得到更加精确和连续的轨迹。

它可以修复轨迹中的噪声点、缺失点和异常点，填补轨迹的空缺部分，并减少轨迹的抖动和不规则性。

通过在线处理方式，算法可以实时响应轨迹采集过程中的变化，适应不同的应用场景和数据类型。

本文将介绍两种常用的在线轨迹平滑算法：线性插值算法和B样条插值算法。

线性插值算法是一种简单而有效的平滑方法，它通过对轨迹点之间的直线进行插值，得到平滑的轨迹曲线。

B样条插值算法是一种基于参数曲线的插值方法，它通过拟合轨迹点和控制点之间的曲线，获得更加灵活和精确的轨迹平滑结果。

最后，我们将对这两种算法进行总结，并比较它们的优劣。

通过本文的介绍和讨论，读者可以了解到在线轨迹平滑算法的基本原理和应用，以及如何根据实际需求选择合适的算法进行轨迹处理。

1.2文章结构在文章结构部分，我们将对整篇文章的组织和布局进行介绍。

本文将按照以下结构展开：第一部分是引言，主要包括概述、文章结构和目的。

在概述部分，我们将简要介绍在线轨迹平滑算法的背景和应用场景。

文章结构部分将提供读者对整篇文章的脉络有一个清晰的了解，以便更好的理解和掌握文章内容。

最后，目的部分将明确本文的研究目标和意义。

接下来是正文部分，主要包括线性插值算法和B样条插值算法两个方面的内容。

在线轨迹平滑算法的核心思想将在这一部分进行详细介绍和分析。

线性插值算法是最简单直观的一种插值方法，我们将对其原理和实现进行深入探讨。

而B样条插值算法则是一种更加灵活和平滑的插值方法，我们将对其原理、优势和应用进行详细介绍，并与线性插值算法进行比较。

离散光滑插值算法引言离散光滑插值算法是一种用于处理离散数据的插值方法。

在实际问题中，我们经常遇到只有少量数据点的情况，但我们希望能够通过这些离散的数据点来推测出整个数据集的情况。

离散光滑插值算法就能够帮助我们实现这一目标。

算法原理离散光滑插值算法的原理是基于光滑函数的概念。

在插值问题中，我们希望通过已知的离散数据点来构造一个光滑的函数曲线，使得曲线能够经过这些数据点，并且在数据点之间也能够保持光滑。

为了实现这个目标，离散光滑插值算法采用了多项式函数作为插值函数。

具体而言，离散光滑插值算法首先将给定的离散数据点进行排序，然后利用这些数据点构造一个多项式函数。

多项式函数的次数取决于数据点的数量，一般来说，数据点越多，多项式函数的次数也就越高。

通过调整多项式函数的系数，使得函数曲线经过所有的数据点。

为了保证插值函数的光滑性，离散光滑插值算法还引入了正则化项。

正则化项是一个惩罚项，它能够约束插值函数的光滑性。

通过调整正则化项的权重，可以控制插值函数的光滑程度。

当正则化项的权重趋近于零时，插值函数将变得越光滑；当正则化项的权重趋近于无穷大时，插值函数将变得越接近离散数据点。

算法实现离散光滑插值算法的实现过程相对简单。

首先，将给定的离散数据点进行排序，然后构造一个多项式函数。

多项式函数的系数可以通过解线性方程组来确定。

接下来，通过调整正则化项的权重，可以得到不同光滑程度的插值函数。

最后，将插值函数应用于需要插值的点，即可得到插值结果。

算法应用离散光滑插值算法在实际问题中有着广泛的应用。

例如，在地理信息系统中，我们经常需要根据离散的地理数据点来构造地形图或者地图等。

离散光滑插值算法可以帮助我们通过这些离散的数据点来构造出光滑的地形图或者地图。

同样，在工程设计中，离散光滑插值算法也可以用来构造光滑的曲线或者曲面，以满足实际需求。

总结离散光滑插值算法是一种用于处理离散数据的插值方法。

通过构造光滑的多项式函数，并引入正则化项来保证插值函数的光滑性，离散光滑插值算法能够通过离散的数据点来推测整个数据集的情况。

拉格朗日插值法5.2 拉格朗日（Lagrange）插值可对插值函数选择多种不同的函数类型，由于代数多项式具有简单和一些良好的特性，例如，多项式是无穷光滑的，容易计算它的导数和积分，故常选用代数多项式作为插值函数。

5.2.1 线性插值问题5.1给定两个插值点其中，怎样做通过这两点的一次插值函数？过两点作一条直线，这条直线就是通过这两点的一次多项式插值函数，简称线性插值。

如图5.1所示。

图5.1 线性插值函数在初等数学中，可用两点式、点斜式或截距式构造通过两点的一条直线。

下面先用待定系数法构造插值直线。

设直线方程为，将分别代入直线方程得：当时，因，所以方程组有解，而且解是唯一的。

这也表明，平面上两个点，有且仅有一条直线通过。

用待定系数法构造插值多项式的方法简单直观，容易看到解的存在性和惟一性，但要解一个方程组才能得到插值函数的系数，因工作量较大和不便向高阶推广，故这种构造方法通常不宜采用。

当时，若用两点式表示这条直线，则有：（5.1）这种形式称为拉格朗日插值多项式。

，，称为插值基函数，计算，的值，易见（5.2）在拉格朗日插值多项式中可将看做两条直线，的叠加，并可看到两个插值点的作用和地位都是平等的。

拉格朗日插值多项式型式免除了解方程组的计算，易于向高次插值多项式型式推广。

线性插值误差定理5.1记为以为插值点的插值函数，。

这里，设一阶连续可导，在上存在，则对任意给定的，至少存在一点，使（5.3）证明令，因是的根，所以可设对任何一个固定的点，引进辅助函数：则。

由定义可得，这样至少有3个零点，不失一般性，假定，分别在和上应用洛尔定理，可知在每个区间至少存在一个零点，不妨记为和，即和，对在上应用洛尔定理，得到在上至少有一个零点，。

现在对求二次导数，其中的线性函数)，故有代入，得所以即5.2.2 二次插值问题5.2给定三个插值点，,其中互不相等，怎样构造函数的二次的（抛物线）插值多项式？平面上的三个点能确定一条次曲线，如图5.2所示。

曲线插值方法
曲线插值是指通过给定的一组离散的数据点，找到一条光滑的曲线来逼近这些点的过程。

常见的曲线插值方法包括：
1. 线性插值（Linear Interpolation）：通过两个相邻的数据点之间的直线来逼近其他点。

这种方法简单，但是不能很好地逼近复杂的曲线。

2. 拉格朗日插值（Lagrange Interpolation）：通过多项式来逼近数据点，具体地，通过构建一个经过所有数据点的多项式来逼近。

这种方法可以精确地逼近所有数据点，但是当数据点很多时，多项式的阶数会相应增加，计算复杂度较高。

3. 牛顿插值（Newton Interpolation）：与拉格朗日插值类似，牛顿插值也通过多项式来逼近数据点，但是通过不断增加多项式的阶数来逼近数据点，而不是重新构建一个多项式。

这样可以避免重复计算，提高计算效率。

4. 三次样条插值（Cubic Spline Interpolation）：将插值区间划分为多个小段，每个小段内部使用三次多项式来逼近，保证相邻多项式之间的一阶、二阶导数连续，从而得到一条光滑的曲线。

除了上述方法，还有其他一些特定的插值方法，如Hermite插值、Bezier曲线等，它们适用于不同的插值问题和数据特征。

在实际应用中，常常根据具体问题选择合适的曲线插值方法。