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中大计算方法04第四章 插值与拟合PPT课件

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数学建模～插值与拟合(课件ppt)

数学建模～插值与拟合(课件ppt)

• 代数多项式插值是最常用的插值方式，其内容也 是最丰富的，它又可分为以下几种插值方式： （1）非等距节点插值，包括拉格朗日插值、利用 均差的牛顿插值和埃特金插值； （2）非等距节点插值，包括利用差分的牛顿插值 和高斯插值等； （3）在插值中增加了导数的Hermite（埃尔米特） 插值； （4）分段插值，包括分段线性插值、分段Hermite （埃尔米特）插值和样条函数插值； （5）反插值。 • 按被插值函数的变量个数还可把插值法分为一元 插值和多元插值。
引言2---插值和拟合的联系与区别
联系：二者都是函数逼近的主要方法
• 区别： •运算过程上的区别：
– 拟合：是将数据点用最恰当的曲线描述出来，以反映问题的规律， 是特殊到一般的过程。 – 插值：是在知道曲线的形状后得出某些具体点的性质的过程,是 从一般到特殊。
•求解误差上的区别：
– 拟合：考虑观察值的误差（误差不可避免时）。以偏差的某种最 小为拟合标准
n n ik
0 i k 而： lk xi 1 i k
22
例1
x1 1, x2 2, x3 4, f ( x1 ) 8, f ( x2 ) 1, f ( x3 ) 5
求二次插值多项式。
解:
按拉格朗日方法，有：
L( x) y1l1 x y2l2 x y3l3 x ( x 2)( x 4) ( x 1)( x 4) ( x 1)( x 2) 8 1 5 (1 2)(1 4) (2 1)(2 4) (4 1)(4 2) 3x 2 16 x 21
4.2 插值方法 选用不同类型的插值函数，逼近的效 果就不同，一般有： （1）拉格朗日插值（lagrange插值） （2）分段线性插值 （3）Hermite （4）三次样条插值。

计算方法 第4章 插值方法与数据拟合

计算方法 第4章 插值方法与数据拟合

图4.1 线性插值函数
记
x x0 x x1 l 0 ( x) , l1 ( x) x0 x1 x1 x0
则 L1 ( x) 可以表示为：
拉 格 朗 日 插 值
L1 ( x) y0 l0 ( x) y1l1 ( x)
(4.5)
称 L1 ( x) 为线性Lagrange插值函数或一次插值函数，其中的
解：取 x0 4, x1 9 作为插值节点，y0 2, y1 3 ，则线性插值 函数为
拉 格 朗 日 插 值
L1 ( x) 2
x9 x4 3 49 94 59 54 5 L1 (5) 2 3 2.2 49 94
与精确值 5 2.236067977 相比线性插值函数的计算结果有2
中n+1个互异点及相应的函数值 y k f ( xk ), k 0,1,2,, n ，
必存在唯一的多项式函数
n ( x) a0 a1 x a 2 x 2 a n x n
插 值 问 题
(4.4)
满足如下插值条件
n ( xk ) y k , k 0,1,2,, n
(4.11)
如果记
wn ( x) ( x x0 )( x x1 )( x xn )
(4.12)
拉 格 朗 日 插 值
则有
( x) ( x x j ) wn
k 0 j k
n
( xk ) ( xk x j ) wn
jk
从而n次Lagrange插值函数也可表示为：
Ln ( x) y k
k 0 n
wn ( x) ( xk )( x xk ) wn
4. 插值余项 现在讨论n次Lagrange插值多项式 Ln ( x) 与被插值函数f(x)的误 差，记

《插值与拟合》课件

《插值与拟合》课件

拟合的方法
1
最小二乘法
通过最小化残差平方和，找到与数据最匹配的函数。
2
局部加权回归
给予附近数据点更高的权重，拟合接近局部数据点的函数。
3
多项式拟合
用多项式函数逼近数据，通过选择合适的次数实现拟合。
插值与拟合的误差分析
插值和拟合都会引入近似误差，需要评估误差范围和影响因素。
插值与拟合在数据处理与分析中的应用
数据分析
通过插值和拟合方法对数据进 行探索和分析。
数据处理
在数据处理过程中使用插值和 拟合技术来填充缺失值和平滑 数据。
数据建模
利用插值和拟合模型对数据特 征进行捕捉和预测分析。
插值与拟合的推广和发展前景
随着数据科学和人工智能的不断发展，插值和拟合在各个领域的应用前景越 来越广阔。
插值与拟合的应用范围
科学研究
用于数据分析、信号优化设计、近似计算和 效能提升。
经济金融
用于市场分析、预测模型和 风险评估。
插值的方法
1
拉格朗日插值
基于多项式插值公式，用拉格朗日多项式逼近函数。
2
牛顿插值
基于差商的概念，用多项式逼近函数的值。
3
分段插值
将插值区间划分为多个子区间，并在每个子区间上进行插值。
《插值与拟合》PPT课件
插值与拟合是数值计算和数据分析中重要的概念。
插值与拟合的概念
插值
通过已知值的推算，计算在未知点的近似值。
拟合
通过曲线或曲面拟合已知数据，以描述和预 测未知数据。
插值与拟合的区别与联系
1 区别
2 联系
插值重点关注已知点的准确性，而拟合则 着重于整体形状的拟合。
插值和拟合都通过数学模型逼近离散数据， 以实现数据的补全和预测。

数值计算04-插值与拟合

数值计算04-插值与拟合

二维插值的定义
第一种（网格节点）：
y
O
x
已知 mn个节点 其中 互不相同，不妨设
构造一个二元函数
通过全部已知节点,即
再用
计算插值，即
第二种（散乱节点）：
y



0
x
已知n个节点
其中 互不相同，
构造一个二元函数
通过全部已知节点,即
再用
计算插值，即
最邻近插值
y
( x1 , y2 ) ( x2 , y2 )
( x1 , y1 ) ( x2 , y1 )

x
O
注意：最邻近插值一般不连续。具有连续性的最简单 的插值是分片线性插值。
分片线性插值
速度最快，但平滑性差
linear
占有的内存较邻近点插值方法多，运算时间 也稍长，与邻近点插值不同，其结果是连续 的，但在顶点处的斜率会改变 运算时间长，但内存的占有较立方插值方法 要少，三次样条插值的平滑性很好，但如果 输入的数据不一致或数据点过近，可能出现 很差的插值结果 需要较多的内存和运算时间，平滑性很好 二维插值函数独有。插值点处的值和该点值 的导数都连续
x=0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 y=0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
海拔高度数据为： z=89 90 87 85 92 91 96 93 90 87 82 92 96 98 99 95 91 89 86 84 82 84 96 98 95 92 90 88 85 84 83 81 85 80 81 82 89 95 96 93 92 89 86 86 82 85 87 98 99 96 97 88 85 82 83 82 85 89 94 95 93 92 91 86 84 88 88 92 93 94 95 89 87 86 83 81 92 92 96 97 98 96 93 95 84 82 81 84 85 85 81 82 80 80 81 85 90 93 95 84 86 81 98 99 98 97 96 95 84 87 80 81 85 82 83 84 87 90 95 86 88 80 82 81 84 85 86 83 82 81 80 82 87 88 89 98 99 97 96 98 94 92 87

拟合与插值专题ppt课件

拟合与插值专题ppt课件
在大量的应用领域中，人们经常面临用一个解析 函数描述数据(通常是测量值)的任务。对这个问 题有两种方法。
一种是插值法，数据假定是正确的，要求以某种方法描述数 据点之间所发生的情况。
另一种方法是曲线拟合或回归。人们设法找出某条光滑曲线， 它最佳地拟合数据，但不必要经过任何数据点。
本专题的主要目的是：了解插值和拟合的基本内容； 掌握用Matlab求解插值与拟合问题的基本命令。
cj 103 4.54 4.99 5.35 5.65 5.90 6.10 6.26 6.39 6.50 6.59
该问题即解最优化问题：
min 1 F (a,b, k)
2
1 2
10
[a be0.02kt j
j 1
c j ]2
解法1. 用命令lsqcurvefit
F(x，tdata)= (a be0.02kt1 ,, a be0.02kt10 )T ，x=(a，b，k)
ydata=（ydata1，ydata2，…，ydatan） lsqcurvefit用以求含参量x（向量）的向量值函数
F(x,xdata)=（F（x，xdata1），…，F（x，xdatan））T
中的参变量x(向量),使得
1
2
n i 1
( F ( x,
xdatai )
2
ydatai )
最小
输入格式: (1) x = lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata); (2) x =lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata,lb, ub);
1）编写M-文件 curvefun1.m
function f=curvefun1(x,tdata)
f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata)

数学建模插值与拟合课件

数学建模插值与拟合课件
２. Lagrange插值公式
设函数 y f (x) 在 n 1个相异点 x0 , x1, x2 , , xn 上的值为 y 0 , y1, y2 , , yn ，要求一个次数≤n 的代数多
项式
Pn (x) a0 a1x a2 x 2 an x n
使在节点 xi 上成立 Pn (xi ) yi (i 0,1,2, , n) ，称此为 n 次代数插值问题，Pn (x) 称为插值多项式。可以证明 n
如果不要求近似函数通过所有数据点， 而是要求它能较好地反映数据变化规律的近 似函数的方法称为数据拟合。（必须有函数 表达式）
近似函数不一定（曲线或曲面）通过所 有的数据点。
三、插值与拟合的区别和联系
1、联系 都是根据实际中一组已知数据来构造一个能够 反映数据变化规律的近似函数的方法。 2、区别 插值问题不一定得到近似函数的表达形式，仅 通过插值方法找到未知点对应的值。数据拟合 要求得到一个具体的近似函数的表达式。
图所示，当n 增大时，pn x在两端会发出激烈
的振荡，这就是所谓龙格现象。
龙格现象
2
y=1/(1+x2) y=p4(x) y=p10(x) 1.5
1
0.5
0
-0.5
-5 -4 -3 -2 -1
0
1
2
3
4
5
x
To MATLAB lch(larg1)
分段插值的概念
所谓分段插值，就是将被插值函数逐段 多项式化。一般来说，分段插值方法的处理 过程分两步，先将所考察的区间作一分划
y1
lj(x)
当n =2 时，有三点二次（抛物线）插值多项式：
P2
(x)
(x (x0
x1)(x x2 ) x1)(x0 x2 )

数值分析课件第4章

数值分析课件第4章

数值分析课件第4章
数值分析课件第4章：插值与拟合。从插值与拟合的概念和区别开始，详细介 绍线性插值、非线性插值、最小二乘法、数据拟合、插值误差和拟合误差等 内容，以及在图像处理和实际问题中的应用。
插值与拟合的概念及区别
插值与拟合是数值分析中常用的数据处理方法。插值通过已知数据点之间的 函数曲线拟合，以在未知点上估计函数值。拟合则是找到最适合数据的函数 曲线，可能不通过已知数据点。
最小二乘法：原理与应用
最小二乘法是一种通过最小化数据与拟合函数之间的误差来拟合数据的方法。它可以应用于线性和非线 性拟合问题，适用于存在噪音和不完美数据的情况。
数据拟合：多项式拟合、指数拟合、对 数拟合等
数据拟合是根据数据的特点选择合适的函数形式进行拟合。多项式拟合在一定范围内适用于大多数问题， 而指数拟合和对数拟合则适合呈指数或对数关系的数据。
插值误差与拟合误差
插值误差是指插值函数与真实函数之间的差距，取决于插值方法和数据分布。 拟合误差则是指拟合函数与真实数据之间的偏差，受拟合口卷积法等
数据平滑是通过降低噪音和突变来减少数据中的波动。移动平均法和窗口卷积法是常用的数据平滑方法， 可以平滑曲线并减少噪音的影响。
线性插值：拉格朗日与牛顿法
线性插值可以用拉格朗日或牛顿法实现。拉格朗日插值使用多个已知数据点 构建一个多项式函数，适用于等间距的数据。牛顿插值则通过分段差商构造 一个插值多项式。
非线性插值：样条插值
非线性插值中，样条插值是常用的方法。它使用分段多项式函数拟合数据， 每个区间内都有一个多项式来逼近数据的行为，从而实现更加平滑的插值效 果。

计算方法 第4章 插值方法与数据拟合

计算方法 第4章 插值方法与数据拟合
如果我们选取 为代数多项式函数，称 为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值，我们首先给出插值多项式的存在性定理。
定理4.1设函数 在区间 上有定义，给定其中n+1个互异点及相应的函数值 ，必存在唯一的多项式函数
(4.4)
满足插值条件 。
证明：将 代入(4.4)式的多项式函数，根据插值条件有
该方程组系数矩阵的行列式为：
即可构造出 次插值多项式
(4.9)
此插值函数满足插值条件是显然的，现构造 次插值基函数，根据 的特点设
将 代入此式，求出待定系数 即可得到基函数
(4.10)
有此基函数，就可得到 次Lagrange插值函数。
(4.11)
如果记
(4.12)
则有
(4.13)
从而 次Lagrange插值函数也可表示为：
4.插值余项
由克兰姆法则，该方程组的解存在且唯一，即多项式函数 存在且唯一。
根据定理4.1中插值多项式的唯一性可得如下推论。
推论：对于次数不超过 的多项式，插值多项式就是其被插函数自身，即 。
4.2
1．线性插值
首先考虑最简单的两点插值，已知两个互异的插值节点 和它们的函数值 ，现构造如图的线性插值函数 ，显然只需构造过两点 的直线函数即可
与 的精确值 相比二次插值函数的计算结果有3位数字相同，优于线性插值的结果。
3.n次插值问题
考虑 个点插值问题，已知 个互异的插值节点 及相应的函数值 ，构造这 个点的插值函数( 次多项式) 使其满足插值条件
根据定理4.1， 存在且唯一，类似于线性、抛物线插值函数的形式，构造 次基函数 ，使其满足
(4.8)
当插值节点数 时得到线性插值公式和抛物线插值公式的插值余项。

工程计算4插值和拟合

工程计算4插值和拟合

Rn(x) = f(x) Ln(x)=
+ f[x0,x1,…,xn]n (x)
均差与插值点次序无关，因此，如果增加一个新的 插值点，以前的计算公式不变。
2020/11/6
23
4.2 插值
牛顿插值余项为
Rn(x) = (xx0) (xx1)…(xxn) f[x,x0,…,xn]
= n+1 (x)f[x0,x1,…,xn]
显然
Rn(xi) =0
记子区间的最大长度
h0m ianx1(xi1,xi)
2020/11/6
31
4.3 分段插值
n
则称分段线性函数 lh(x) li(x) f (xi) i0
为f(x)在区间[a,b]上关于划分的分段线性插值多项式
其中插值基函数
li(x) ((x x x xii 1 1))//((x xii x xii 1 1))
则
R n(x)f((n n1 )(1)!x) n1(x) x [a,b]
如果f(x)C2[a，b]，采用线性插值，令
M2
max| x[a,b]
f(x)|
则
| Rn(x)|M82 (ba)2
2020/11/6
15
4.2 插值
4.2.3 均差和牛顿插值 如果取点斜式，则得到另一种形式的插值公式。
1
2020/11/6
12
4.2 插值
n=3时的基函数
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4 0.4
0.2 0.2
0
0
0
1
2
0
1
l (3)
0
l (3)
1

《计算方法》第四章 插值方法

《计算方法》第四章 插值方法

Ln ( x） f ( xk ) l k ( x)
k 0
n
n
其中,
l k ( x)
j 0 j k
x xj x k x j (k 0,1,...n) .
20
构造插值多项式的方法：
(1) (2) 先求插值基函数. 构造插值多项式.
以下的问题：如何分析插值的余项？
21
例题 已知连续函数 f (x) 的函数表如下： x f (x) -1 0 1 2 -2 -2 1 2
Return
13
§4.2 拉格朗日多项式 /* Lagrange Polynomial */
1. 构造线性插值基函数的方法:
n=1 已知 x0 , x1 ; y0 , y1 ，求 L1(x) = a0 + a1 x 使得
L1 ( x0 ) y0 , L1 ( x1 ) y1
可见 L1(x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 两点的直线。
由 l k ( xk ) 1, 得:
1 A ( xk x0 ) ( xk xk 1 ) ( xk xk 1 ) ( xk xn )
l k ( x)
k = 0, 1 ,⋯, n .
( x x0 )( x xk 1 ) ( x xk 1 )( x xn ) ， ( x k x0 )( xk xk 1 ) ( xk xk 1 )( xk xn )
18
一般情形
希望找到 li (x)，i = 0, …, n 使得 li (xj) = ij ；然后令
Ln ( x ） f ( x k ) l k ( x )，则显然有 Pn(xi) = yi 。
k 0 n
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(7)、(8)、(9)称为抛物插值多项式。
7
例2 . （略）
§4.3 拉格朗日插值公式
一、拉格朗日插值公式
问 题 ： 已 知 f ( x i ) y i ( i 0 ， 1 ， n ;x i 互 异 ）
求次数不超过n 的多项式
n (x ) a 0 a 1 x a 2 x 2 a n x n ( 1 )
6. R(x)f(x) (x)称为 ( x )的余项或是截断误差。
2
§4.2 线性插值多项式的存在和唯一性 线性插值和抛物插值
一 插值多项式的存在唯一性
多项式是最简单的函数类
插 值 条 件 ( x i ) y i i 0 , 1 ,n ( 1 )
是 n 1 个 ， 因 此 取 ( x ) 为 n 次 多 项 式
使
n(x i)y i (i 0 ,1 , ,n )
(2 )
称为 n 次代数的插值问题.
1.线性插值
1(x)xx0xx11y0xx1 xx00 y1
令
l0(x)xx0 xx11 ,l1(x)xx1 xx00
则
ll00((xx10))01
ll11((xx01))10
1(x)l0(x)y0l1(x)y1
8
2 (x ) l0 (x )y 0 l1 (x )y 1 l2 (x )y 2
第四章 插值与拟合
§4.1 引言
设有函数 yf(x) ,x [a,b]
实测得
xi x0 x1 xn
yi y0 y yn
问题：能否构造一个有分析表达式的函数 ( x ) ，使
1 ( x ) 能近似表示 f ( x ) ；
2 ( x ) 本身比较简单？
能。用插值法和拟合法。
1
本章重点是插值法。
已知 f(xi)yi (i0 ,1 , ,n)
使
1(x0)y0, 1(x1)y1
几何意义：求过点 (x0,y0),(x1,y1)的直线方程.于是
y1(x)y0yx1 1 xy0 0(xx0)
（4）
， 称 f(xxjj) xfi(xi)为 f(x)在 xi,xj(xi xj)处的一阶均差，记以 f ( xi , x j )
则（4）可写成 1 (x ) f(x 0 ) f(x 0 ,x 1 ) (x x 0 )
1 x0 x02
1 D
x1
x12
1 xn xn2
x0n
x1n
(xi xj)
0jin
xnn
是范德蒙行列式.因为 xi(0,1,2, ,n)互异，所以D≠0。（3）的解存在 唯一，因此满足（1）的多项式 n ( x ) 是存在唯一的。
4
二、线性插值与抛物插值
1.线性插值
已知 f(x0)y0 ,f(x 1)y1 ，求 y1(x)aoa1x
n(x)a 0a 1xa nxn
(2 )
（2）中 a0,a1, ,an待定，刚好由N+1个条件确定.
nn((xx01))aa00
a1x0 a1x1
a2x02 a2x12
n(xn)a0 a1xn a2xn2
anx0n y0 anx1n y1
anxnn yn
(3 )

(3)是N+1个未知量， N+1个方程的线性方程组，其系数行列式
找 ( x ) ，使 (xi)yi i0 ,1 , n
1. 这个问题称为插值问题；
2. x i 称为插值节点；
3. [min{xi},max{xi}]称为插值区间； 4. ( x ) 称为插值函数，f ( x ) 称为被插值函数；
5.在插值区间内部用 ( x ) 代替 f ( x ) 称为内插； 在插值区间外部用 ( x ) 代替 f ( x ) 称为外插或外推。
,
l1(x)
xx0xx2 x1x0x1x2
l2(x) xx2 xx00xx2xx11
则
l0 (x 0 ) l0 (x1 )
1 0
l 0 ( x 2 ) 0
l1(x0 ) l1 ( x 1 )
0 1
l 1 ( x 2 ) 0
l2 l2
(x (x
0 1
) )
0 0
l 2 ( x 2 ) 1
设
2(x)y 0y x 1 1 x y 0 0(x x 0) a (x x 0)(x x 1 )
显然已满足
2(x0)y0, 2(x1)y1
令
x 2( 2) y2
可推得
y2y1 y1y0
a
x2
x1 x2
x1x0 x0
(xx0)(xx1)
6
于是
y2y1y1y0
2(x)y0y x1 1 x y0 0(xx0)x2x x1 2x x 0 1x0(xx0)(xx1)
2.抛物插值
2 ( x ) x x 0 x x 1 1 x x 0 x x 2 2 y 0 x x 1 x x 0 0 x x 1 x x 2 2 y 1 x x 2 x x 0 0 x x 2 x 1 x 1 y 2
令
l0(x)
xx1xx2 x0 x1x0 x2
或 2 (x ) f(x 0 ) f(x 0 ,x 1 ) (x x 0 )
f(x1,xx 22 ) x f0 (x0,x1)(xx0)(xx1)
(7 )
称 f(x j,x x k k ) x fi(x i,x j)为 f(x )在 x i,x j,x k(x i,x j,x k 互 异 )
处 的 二 阶 均 差 ， 记 为 f( x i,x j,x k ） 。 于 是 （ 2 x ） f ( x 0 ) f ( x 0 , x 1 ) ( x x 0 ) （ f x 0 ， x 1 ， x 2 ） ( x x 0 ) ( x x 1 )( 8 )
（ 2 x ） = ( ( x x 0 - - x x 1 1 ) ) ( ( x x 0 - - x x 2 2 ) )y 0 ( ( x x 1 - - x x 0 0 ) ) ( ( x x 1 - - x x 2 2 ) )y 1 ( ( x x 2 - - x x 0 0 ) ) ( ( x x 2 - - x x 1 1 ) )y 2 ( 9 )
（5）
（4）式按
y0,
y
整理：
1
1(x)xx0xx11
y0xx1 xx00
y1
（6）
（4）、（5）、（6）都称为线性插值多项式.
例1
（略）
5
2.抛物插值
已知 f(x 0 ) y 0 ,f(x 1 ) y 1 ,f(x 2 ) y 2
求
y2(x)a oa 1xa2x2
使 2(xi)yi (i0,1,2)