高三数学一轮复习练习 4.3挑战真题

一、单选题二、多选题三、填空题1. 某三棱锥的三视图如图所示（网格中正方形的边长为1），则其表面积为（）A．B．C．D．2. 已知a 、b 是实数，则“a ＞1，b ＞2”是“a ＋b ＞3且ab ＞2”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条3. 下列函数中，最小正周期为的是（ ）A．B．C．D．4.设，，那么等于A．B．C．D．5. 在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，AB ＝1，，E 为PD 的中点，点N 在平面PAC 内，且NE ⊥平面PAC ，则点N 到平面PAB 的距离为（ ）A．B．C．D．6. 如图，在一个的二面角的棱上有两个点，线段分别在这个二面角的两个半平面内，并且都垂直于棱，且，则的长为（）A ．1B．C．D ．27. 下列命题中，错误的是（ ）A ．垂直于同一个平面的两个平面平行B ．三个平面两两相交，则交线平行C ．一个平面与两个平行平面相交，则交线平行D ．平行于同一条直线的两个平面平行8. 已知四棱锥，底面ABCD是正方形，平面，，PC 与底面ABCD 所成角的正切值为，点M 为平面内一点（异于点A），且，则（ ）A ．存在点M ，使得平面B ．存在点M ，使得直线与所成角为C．当时，三棱锥的体积最大值为D ．当时，以P 为球心，为半径的球面与四棱锥各面的交线长为9. 设常数使方程在闭区间上恰有三个解，，，则________.2023年全国新高考高三押题卷（四）数学试题(高频考点版)2023年全国新高考高三押题卷（四）数学试题(高频考点版)四、解答题10. 如图，四面体ABCD 中，DA =DB =DC =1，且DA 、DB 、DC 两两互相垂直，在该四面体表面上与点A 距离是的点形成一条曲线，这条曲线的长度是____________．11. 化简:____________.12.已知函数若函数在上不是增函数，则a 的一个取值为___________.13.求经过直线与直线的交点M ，且分别满足下列条件的直线方程：（1）与直线平行；（2）与直线垂直.14. 已知集合，，定义两个集合P ，Q 的差运算：．(1)当时，求与；(2)若“”是“”的必要条件，求实数a 的取值范围．15.已知数列中，，，且.（1）求，的值；（2）设，求数列的通项公式；（3）设，求数列的前项和.16. 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知.（1）求A ；（2）已知，，且边BC 上有一点D 满足，求AD .。

2024届全国高考数学一轮复习好题专项（导数的综合应用）练习一、基础练习1．（2021ꞏ沙坪坝区ꞏ重庆一中高三其他模拟）已知e 为自然对数的底数，a ，b 为实数，且不等式()ln 310x e a x b +-++≤对任意()0,x ∈+∞恒成立，则当3b a+取最大值时，实数a 的值为（ ） A ．3eB ．31e +C ．4eD ．41e +2．（2021ꞏ湖南高三其他模拟）已知函数()e ax f x =a 的取值范围是（ ） A ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,2e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭3．（2021ꞏ四川遂宁市ꞏ高三三模（理））已知函数()()2xh x x e =-，()212a a g x x x =-，又当()0h x ≥时，()()h x g x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(2,e ⎤-∞⎦B ．(],e -∞C ．(20,e ⎤⎦D ．(]0,e4．（2021ꞏ全国高三其他模拟）已知f （x ）是定义在区间[﹣2，2]上的偶函数，当x ∈[0，2]时，f （x ）＝xxe ，若关于x 的方程2f 2（x ）+（2a ﹣1）f （x ）﹣a ＝0有且只有2个实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[﹣1e ，﹣22e ] B ．[﹣1e ，﹣22e ） C ．（﹣22e，0）D ．（﹣22e ，0）∪{﹣1e}5．（2021ꞏ宁夏银川市ꞏ高三其他模拟（理））平行于x 轴的直线与函数ln ,0,(),0,x x f x e x x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩的图像交于,A B 两点，则线段AB 长度的最小值为（ ） A ．1e e-B ．1e e+C ．eD ．2e6．（2021ꞏ正阳县高级中学高三其他模拟（理））已知2m <-，若关于x 的不等式22e 2x mx n x +<+恒成立，则实数n 的取值范围为（ ） A ．[)3e,+∞B ．)2e ,⎡+∞⎣C ．[)e,+∞D ．[)2e,+∞7．【多选题】（2021ꞏ河北衡水中学高三其他模拟）已知函数()3e exxx a f x x -=-+-，则下列结论中正确的是（ ）A ．若()f x 在区间[]1,1-上的最大值与最小值分别为M ，m ，则0M m +=B ．曲线()y f x =与直线y ax =-相切C ．若()f x 为增函数，则a 的取值范围为(],2-∞D ．()f x 在R 上最多有3个零点8．（2021ꞏ黑龙江大庆市ꞏ高三一模（理））用总长11m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一条边比另一条边长1m ，则该容器容积的最大值为________m 3（不计损耗）． 9．（2021ꞏ湖南高三其他模拟）中国最早的化妆水是1896年在香港开设的广生行生产的花露水，其具有保湿、滋润、健康皮肤的功效.已知该化妆水容器由一个半球和一个圆柱组成（其中上半球是容器的盖子，化妆水储存在圆柱中），容器轴截面如图所示，上部分是半圆形，中间区域是矩形，其外周长为12cm .则当圆柱的底面半径r =___________时，该容器的容积最大，最大值为___________.10．（2021ꞏ全国高三其他模拟）若函数ln ()1xxf x ae x=--只有一个零点，则实数a 的取值范围是 ________． 二、提升练习1．（2021ꞏ全国高三其他模拟）若不等式ln x ax b ≤+恒成立，则2a b +的最小值为（ ） A ．2B ．3C ．ln 2D ．52.（2021ꞏ北京高考真题）已知函数()lg 2f x x kx =--，给出下列四个结论： ①若0k =，则()f x 有两个零点； ②0k ∃<，使得()f x 有一个零点； ③0k ∃<，使得()f x 有三个零点； ④0k ∃>，使得()f x 有三个零点． 以上正确结论得序号是_______．3．（2021ꞏ四川省绵阳南山中学高三其他模拟（文））设函数()()222ln xf x x x e aex e x =-+-，其中e 为自然对数的底数，曲线()y f x =在()()22f ,处切线的倾斜角的正切值为2322e e +．（1）求a 的值； （2）证明：()0f x >．4．（2021ꞏ全国高三其他模拟（理））已知函数()()ln e xf x x m x -=+-.（1）若()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线与直线20x y -=平行，求m 的值； （2）在（1）的条件下，证明：当0x >时，()0f x >； （3）当1m >时，求()f x 的零点个数.5．（2021ꞏ黑龙江哈尔滨市ꞏ哈尔滨三中高三其他模拟（文））已知函数2211()(1)ln (0)22f x x a x a x a a =-+++>. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()y f x =只有一个零点，求实数a 的取值范围.6．（2021ꞏ河北高三其他模拟）已知函数2ln 1()(ln )()2k x f x x k x+=+∈R . （1）当0k =时，求证：()1f x ≤； （2）当0k ≠时，讨论()f x 零点的个数.7．（2021ꞏ重庆市育才中学高三二模）已知函数()x f x e =，()1g x ax =+. （1）已知()()f x g x ≥恒成立，求a 的值；（2）若(0,1)x ∈，求证：21ln 11()x x f x x-+-<. 8.（2021ꞏ全国高三其他模拟）已知函数()()ln x a f x a x+=+，()0,x ∈+∞.（1）当0a =时，讨论函数()f x 的单调性； （2）若函数()f x 存在极大值M ，证明：12M e≤<.9．（2021ꞏ重庆高三二模）已知函数()ln ()f x ax x a R =+∈在1x =处取得极值． （1）若对(0,),()1x f x bx ∀∈+∞≤-恒成立，求实数b 的取值范围；（2）设()()(2)x g x f x x e =+-，记函数()y g x =在1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为m ，证明：(4)(3)0m m ++<． 10．（2021ꞏ江苏南通市ꞏ高三一模）已知函数()()21ln 22f x ax ax x =+-，0a >. （1）求函数()f x 的增区间；（2）设1x ，2x 是函数()f x 的两个极值点，且12x x <，求证：122x x +>. 三、真题练习1．（2021ꞏ全国高考真题（文））设函数22()3ln 1f x a x ax x =+-+，其中0a >. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()y f x =的图像与x 轴没有公共点，求a 的取值范围.2.（2021ꞏ全国高考真题（理））设函数()()ln f x a x =-，已知0x =是函数()y xf x =的极值点． （1）求a ； （2）设函数()()()x f x g x xf x +=．证明:()1g x <．3．（2021ꞏ全国高考真题）已知函数()()1ln f x x x =-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<. 4.（2020·山东海南省高考真题）已知函数1()e ln ln x f x a x a -=-+．（1）当a e =时，求曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若f （x ）≥1，求a 的取值范围．5．（2020·浙江省高考真题）已知12a <≤，函数()e xf x x a =--，其中e =2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）证明：函数()y f x =在(0)+∞，上有唯一零点；（Ⅱ）记x 0为函数()y f x =在(0)+∞，上的零点，证明：0x ≤≤； （ⅱ）00(e )(e 1)(1)x x f a a ≥--．6.（2019·全国高考真题（理））已知函数.（1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；（2）设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线的切线.()11ln x f x x x -=-+e x y =参考答案一、基础练习1．（2021ꞏ沙坪坝区ꞏ重庆一中高三其他模拟）已知e 为自然对数的底数，a ，b 为实数，且不等式()ln 310x e a x b +-++≤对任意()0,x ∈+∞恒成立，则当3b a+取最大值时，实数a 的值为（ ） A ．3e B ．31e +C ．4eD ．41e +【答案】C 【答案解析】不等式(3)10lnx e a x b +-++…对任意(0,)x ∈+∞恒成立，化为不等式31lnx ex ax b +--…对任意(0,)x ∈+∞恒成立，必然有0a >．令1=x e，化为：31b a e +…．令4a e =，1b =．利用导数研究函数的单调性极值最值即可得出结论． 【答案详解】解：不等式(3)10lnx e a x b +-++…对任意(0,)x ∈+∞恒成立， 则不等式31lnx ex ax b +--…对任意(0,)x ∈+∞恒成立， 则0a >． 令1=x e，则131a b e -+--…，化为：31b a e +…． 令4a e =，1b =．不等式31lnx ex ax b +--…对任意(0,)x ∈+∞恒成立，即不等式20lnx ex -+…对任意(0,)x ∈+∞恒成立， 令()2f x lnx ex =-+，则1()1()e x e f x e x x --'=-=，可得：1=x e 时，函数()f x 取得极大值即最大值，1(1120f e=--+=， 满足题意．可以验证其他值不成立． 故选：C ．2．（2021ꞏ湖南高三其他模拟）已知函数()e ax f x =a 的取值范围是（ ） A ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【答案解析】函数零点即方程ax e =的解，2ax e x =（0x >），取对数得2ln ax x =，此方程有两个解，引入函数()ln 2g x x ax =-，利用导数求得函数的单调性，函数的变化趋势，然后由零点存在定理可得结论．【答案详解】显然(0)1f =，()e ax f x =有两个零点，即方程ax e =，2ax e x =在(0,)+∞上有两个解，两边取对数得到2ln ax x =，令()ln 2g x x ax =-，1()2g x a x '=-，()g x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减，又当0x →时，()g x →-∞，当x →+∞时，()g x →-∞， 因为()g x 有两个零点，则11ln 1022g a a ⎛⎫=->⎪⎝⎭， 解得12e a <.所以正数a 的取值范围是10,2e ⎛⎫⎪⎝⎭. 故选：C ．3．（2021ꞏ四川遂宁市ꞏ高三三模（理））已知函数()()2xh x x e =-，()212a a g x x x =-，又当()0h x ≥时，()()h x g x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(2,e ⎤-∞⎦B ．(],e -∞C ．(20,e ⎤⎦D ．(]0,e【答案】A 【答案解析】首先根据()0h x ≥求出2x ≥，进而参变分离解决恒成立的问题即可. 【答案详解】因为()()2xh x x e =-，所以()0h x ≥，即2x ≥，所以当2x ≥时，()()h x g x ≥恒成立，即()2122xa a x e x x -≥-， 即()()1222xx e x ax -≥-， 当2x =时，()()1222xx e x ax -≥-恒成立，符合题意；当()2,x ∈+∞时，有12xe ax ≥，即2xe xa ≥，令()2x e m x x =，则()()2210x e x m x x-'=>，所以()m x 在()2,x ∈+∞上单调递增，而()22m e =，所以2e a ≥，故选：A.4．（2021ꞏ全国高三其他模拟）已知f （x ）是定义在区间[﹣2，2]上的偶函数，当x ∈[0，2]时，f （x ）＝xxe ，若关于x 的方程2f 2（x ）+（2a ﹣1）f （x ）﹣a ＝0有且只有2个实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[﹣1e ，﹣22e ]B ．[﹣1e ，﹣22e ） C ．（﹣22e，0）D ．（﹣22e ，0）∪{﹣1e}【答案】D 【答案解析】利用导数研究函数在定义域上的单调性，得出1()f x e≤；结合题意得出()f x 在[]02，有且仅有1个解，计算(0)(2)f f 、的值即可. 【答案详解】当[]02x ∈，时()xxf x e =， 则1()x xf x e-'=令()=0f x '，解得1x =，所以当[]01x ∈，时()0f x '>，()f x 单调递增； 当[]12x ∈，时()0f x '<，()f x 单调递减， 所以max 1()(1)f x f e==，故1()f x e≤在定义域上恒成立，由22()(21)()0f x a f x a +--=有且只有2个实数根， 得方程[]12()()02f x a f x ⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦有2个解，又1()f x e≤，所以111()022f x e -≤-<，则()f x 在[]02，有且仅有1个解， 因为22(0)0(2)f f e ==，，则220a e <-<或1a e-=， 所以220a e-<<或1a e =-，即实数的取值范围是2210e e ⎛⎫⎧⎫--⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，， 故选：D5．（2021ꞏ宁夏银川市ꞏ高三其他模拟（理））平行于x 轴的直线与函数ln ,0,(),0,x x f x e x x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩的图像交于,A B 两点，则线段AB 长度的最小值为（ ） A ．1e e-B ．1e e+C ．eD ．2e【答案】D 【答案解析】画出函数图像，数形结合构造函数，利用导数判断函数单调性并求函数最值即可. 【答案详解】根据题意，画出()f x 的图象如下所示：令()f x t =，(0)t >，故可得lnx t =，解得t x e =；e t x -=，解得e x t=-.故可得(),,,te A e t B t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(0)t >， 故()teAB g t e t==+，(0)t >， 故可得()2te g t e t ='-，()30te g t e t'=+>'恒成立， 故()g t '是单调递增函数，且()10g '=，关于()0g t '<在()0,1成立，()0g t '>在()1,+∞成立， 故()g t 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增， 故()()12min g t g e e e ==+=. 即||AB 的最小值为2e . 故选：D6．（2021ꞏ正阳县高级中学高三其他模拟（理））已知2m <-，若关于x 的不等式22e 2x mx n x +<+恒成立，则实数n 的取值范围为（ ） A ．[)3e,+∞ B ．)2e ,⎡+∞⎣C ．[)e,+∞D ．[)2e,+∞【答案】D 【答案解析】参变分离可得222e x mx x n +-<，研究函数()222exmx xf x +-=，根据导函数()()22e x m x x m f x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭'=以及2m <-，可得函数()f x 的极大值为22222e 0e m m f m -⎛⎫==> ⎪⎝⎭，当2x >，()2220ex mx x f x -+=<，所以()2max 2e m f x -⎡⎤=⎣⎦，根据()f x 的最大值的范围即可得解. 【答案详解】由22e 2xmx n x +<+，得222exmx x n +-<， 令()222exmx xf x +-=，则()()22e xm x x m f x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭'=，当2m <-时，210m-<<， 函数()f x 在2,m ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，()2,+∞上单调递增，在2,2m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故函数()f x 的极大值为22222e 0e mm f m -⎛⎫==> ⎪⎝⎭，极小值为()24220e m f -=<， 且2x >时，()2220ex mx x f x -+=<，所以()2max 2e m f x -⎡⎤=⎣⎦，由2m <-， 得22e 2e m -<，由()f x n <恒成立，得2e n ≥， 故选：D ．7．【多选题】（2021ꞏ河北衡水中学高三其他模拟）已知函数()3e exxx a f x x -=-+-，则下列结论中正确的是（ ）A ．若()f x 在区间[]1,1-上的最大值与最小值分别为M ，m ，则0M m +=B ．曲线()y f x =与直线y ax =-相切C ．若()f x 为增函数，则a 的取值范围为(],2-∞D ．()f x 在R 上最多有3个零点 【答案】ACD 【答案解析】由定义法确定函数的奇偶性，再求导数判断函数的单调性与切线斜率，以及零点情况. 【答案详解】因为对于任意x ∈R ，都有()()()()3e e x x x x a xf x f -=-+---=--， 所以()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，故A 正确.又()2e e 3xxx a f x =++-'，令()f x a '=-，得2e e 30x x x -++=(*)，因为e 0x >，e 0x ->，所以方程(*)无实数解，即曲线()y f x =的所有切线的斜率都不可能为a -，故B 错误.若()f x 为增函数，则()f x ¢大于等于0，即2e e 3x x a x -≤++，2e e 32x x x -++≥， 当且仅当0x =时等号成立，所以2a ≤，故C 正确.令()0f x =，得0x =或2e e x x x a x --+=(0x ≠).设()2e e x x g x x x--=+，则()()()21e 1e 2x x x x x x g x -'=-+++，令()()()1e 1e x xx x t x -=-++，则()()e exxx x t -='-.当0x >时，()0t x '>，当0x =时，()0t x '=，当0x <时，()0t x '>，所以函数()t x 为增函数，且()00t =，所以当0x >时，()0t x >，从而()0g x ¢>，()g x 单调递增.又因为对于任意0x ≠，都有()()g x g x -=，所以()g x 为偶函数，其图象关于y 轴对称. 综上，()g x 在(),0-?上单调递减，在()0,+?上单调递增，则直线y a =与()y g x =最多有2个交点，所以()f x 在R 上最多有3个零点，故D 正确. 故选ACD .8．（2021ꞏ黑龙江大庆市ꞏ高三一模（理））用总长11m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一条边比另一条边长1m ，则该容器容积的最大值为________m 3（不计损耗）． 【答案】916. 【答案解析】设长方体的底面边长为,a b ，高为h ，由题可得3217244V b b b =--+，求出函数导数，判断单调性，即可求出最值. 【答案详解】设长方体的底面边长为,a b ，高为h ，则由题可得1a b =+，()411a b h ++=，则可得784b h -=，则708b <<， 则该容器容积()32781712444b V abh b b b b b -==+⋅⋅=--+，217176624212V b b b b ⎛⎫⎛⎫'=--+=--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当10,2b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0V '>，V 单调递增；当17,28b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0V '<，V 单调递减， ∴当12b =时，max 916V =，即该容器容积的最大值为916. 故答案为：916.9．（2021ꞏ湖南高三其他模拟）中国最早的化妆水是1896年在香港开设的广生行生产的花露水，其具有保湿、滋润、健康皮肤的功效.已知该化妆水容器由一个半球和一个圆柱组成（其中上半球是容器的盖子，化妆水储存在圆柱中），容器轴截面如图所示，上部分是半圆形，中间区域是矩形，其外周长为12cm .则当圆柱的底面半径r =___________时，该容器的容积最大，最大值为___________.【答案】8 c m 2π+ ()32128 c m 2ππ+ 【答案解析】设圆柱的底面半径为r ，圆柱的高为h ，根据已知条件可得出262h r π+=-，根据柱体的体积公式可得()23262V r r πππ+=-，利用导数可求得V 的最大值及其对应的r 的值，即为所求.【答案详解】设圆柱的底面半径为r ，圆柱的高为h . 则由题意可得2212r h r π++=，所以()1222622r h r ππ-++==-.由0h >，得122r π<+. 故容器的容积()22232212660222V r h r r r r r πππππππ++⎛⎫⎛⎫==-=-<< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，容易忽略上半球是容器的盖子，化妆水储存在圆柱中.()232122V r r πππ+'=-，令0V '=，解得0r =（舍）或82r π=+. 显然当80,2r π⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭时，0V '>，函数()23262V r r πππ+=-单调递增； 当812,22r ππ⎛⎫∈⎪++⎝⎭时，0V '<，函数()23262V r r πππ+=-单调递减. 所以当8cm 2r π=+时，V 取得最大值， 此时2862cm 22h ππ+=-⨯=+，()23281282cm 22V ππππ⎛⎫=⨯= ⎪+⎝⎭+. 故答案为：8 c m 2π+；()32128 c m 2ππ+. 10．（2021ꞏ全国高三其他模拟）若函数ln ()1xxf x ae x=--只有一个零点，则实数a 的取值范围是 ________． 【答案】0a ≤或1a e= 【答案解析】将函数的零点转化为方程ln (0)x x x a x xe +=>的根，令ln ()xx xg x xe +=，利用导数研究函数的图象特征，即可得到答案； 【答案详解】ln ln 10(0)x x x x xae a x x xe +--=⇔=>， 令ln ()xx x g x xe+=，则'2()(1ln )()x x x x g x x e +--=， ''()01ln 0,()01ln 0,g x x x g x x x >⇔--><⇔--<令()1ln u x x x =--，则'1()10u x x=--<在0x >恒成立， ∴()1ln u x x x =--在(0,)+∞单调递减，且(1)0u =， ∴''()001,()01g x x g x x >⇒<<<⇒>，∴()g x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减，且1(1)g e=，当x →+∞时，()0g x →， 如图所示，可得当0a ≤或1a e =时，直线y a =与ln xx x y xe +=有且仅有一个交点， 故答案为：0a ≤或1a e=1．（2021ꞏ全国高三其他模拟）若不等式ln x ax b ≤+恒成立，则2a b +的最小值为（ ） A ．2 B ．3C ．ln 2D ．5【答案】C 【答案解析】构造函数()ln f x ax x b =-+，根据函数的单调性及最值可得ln 1b a ≥--，故22ln 1a b a a +≥--，再构造()2ln 1g x x x =--，求得函数()g x 的最小值即可. 【答案详解】由ln x ax b ≤+恒成立，得ln 0ax x b -+≥， 设()ln f x ax x b =-+，()1f x a x'=-， 当0a ≤时，()0f x ¢<，()f x 在()0,+?上单调递减，不成立；当0a >时，令()0f x ¢=，解得1x a=，故函数()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 故()10f x f a ⎛⎫≥≥⎪⎝⎭，即11ln 0a b a a ⎛⎫⋅-+≥ ⎪⎝⎭，ln 1b a ≥--，练提升22ln 1a b a a +≥--，设()2ln 1g x x x =--，()12g x x'=-， 令()0g x ¢=，12x =， 故()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 故()1112ln 1ln 2222g x g ⎛⎫⎛⎫≥=⨯--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即2ln 2a b +≥， 故选：C.2.（2021ꞏ北京高考真题）已知函数()lg 2f x x kx =--，给出下列四个结论： ①若0k =，则()f x 有两个零点； ②0k ∃<，使得()f x 有一个零点； ③0k ∃<，使得()f x 有三个零点； ④0k ∃>，使得()f x 有三个零点． 以上正确结论得序号是_______． 【答案】①②④ 【答案解析】由()0f x =可得出lg 2x kx =+，考查直线2y kx =+与曲线()lg g x x =的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误. 【答案详解】对于①，当0k =时，由()lg 20f x x =-=，可得1100x =或100x =，①正确； 对于②，考查直线2y kx =+与曲线()lg 01y x x =-<<相切于点(),lg P t t -，对函数lg y x =-求导得1ln10y x '=-，由题意可得2lg 1ln10kt t k t +=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得100100lg e t k e e ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以，存在100lg 0k e e=-<，使得()f x 只有一个零点，②正确； 对于③，当直线2y kx =+过点()1,0时，20k +=，解得2k =-，所以，当100lg 2e k e-<<-时，直线2y kx =+与曲线()lg 01y x x =-<<有两个交点， 若函数()f x 有三个零点，则直线2y kx =+与曲线()lg 01y x x =-<<有两个交点，直线2y kx =+与曲线()lg 1y x x =>有一个交点，所以，100lg 220e k ek ⎧-<<-⎪⎨⎪+>⎩，此不等式无解， 因此，不存在0k <，使得函数()f x 有三个零点，③错误；对于④，考查直线2y kx =+与曲线()lg 1y x x =>相切于点(),lg P t t ，对函数lg y x =求导得1ln10y x '=，由题意可得2lg 1ln10kt t k t +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得100lg 100t ee k e =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以，当lg 0100ek e<<时，函数()f x 有三个零点，④正确.故答案为：①②④.3．（2021ꞏ四川省绵阳南山中学高三其他模拟（文））设函数()()222ln xf x x x e aex e x =-+-，其中e 为自然对数的底数，曲线()y f x =在()()22f ,处切线的倾斜角的正切值为2322e e +． （1）求a 的值； （2）证明：()0f x >．【答案】（1）2a =；（2）证明见答案解析． 【答案解析】（1）求出函数的导函数，再代入计算可得；（2）依题意即证()()2222ln 0xf x x x e ex e x =-+->，即()12ln 2x x x e e x--+>，构造函数()()222x g x x e e-=-+，()ln xh x x =，利用导数说明其单调性与最值，即可得到()()>g x h x ，从而得证； 【答案详解】解：（1）因为()()222ln xf x x x e aex e x =-+-，所以()()222xef x x e ae x'=-+-，()22332222e ef ae e =+=+'，解得2a =．（2）由（1）可得()()2222ln xf x x x e ex e x =-+-即证()()()2212ln 22ln 02x x x f x x x e ex e x x e e x-=-+->⇔-+>． 令()()222x g x x e e-=-+，()()21x g x x e -=-'，于是()g x 在()0,1上是减函数，在()1,+∞上是增函数，所以()()11g x g e≥=（1x =取等号）． 又令()ln x h x x =，则()21ln xh x x -'=，于是()h x 在()0,e 上是增函数，在(),e +∞上是减函数，所以()()1h x h e e≤=（x e =时取等号）．所以()()>g x h x ，即()0f x >．4．（2021ꞏ全国高三其他模拟（理））已知函数()()ln e xf x x m x -=+-.（1）若()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线与直线20x y -=平行，求m 的值； （2）在（1）的条件下，证明：当0x >时，()0f x >； （3）当1m >时，求()f x 的零点个数.【答案】（1）1m =；（2）证明见答案解析；（3）有一个零点. 【答案解析】（1）利用导数的几何意义求解即可（2）利用导数，得到()f x 在()0,∞+上单调递增，由()00f =，即可证明()0f x >在()0,∞+上恒成立 （3）由（2）可知当1m >且0x >时，()()ln 1e0xf x x x ->+->，即()f x 在()0,∞+上没有零点，再根据，0x m +>，得到x m >-， 对(),0x m ∈-进行讨论，即可求解 【答案详解】解：（1）因为()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线与直线20x y -=平行，所以()112f '=， 因为()()11e x f x x x m -+-'=+， 所以()11112f m ='=+，解得1m =. （2）由（1）得当1m =时，()()()21e 11e 11ex xx x f x x x x -+-=+-=++'， 当0x >时，因为()0f x '>，所以()f x 在()0,∞+上单调递增， 因为()00f =，所以()0f x >在()0,∞+上恒成立. （3）由（2）可知当1m >且0x >时，()()ln 1e 0xf x x x ->+->，即()f x 在()0,∞+上没有零点，当(),0x m ∈-时，()()()()2e 111e e x xxx m x m f x x x m x m -++--=+-=++'，令()()2e 1xg x x m x m =++--，(),0x m ∈-，则()e 21xg x x m =++-'单调递增，且()e21e 10mm g m m m m ---=-+-=--<'，()00g m '=>，所以()g x '在(),0m -上存在唯一零点，记为0x ，且()0,x m x ∈-时，()0g x '<，()0,0x x ∈时，()0g x '>， 所以()g x 在()0,m x -上单调递减，在()0,0x 上单调递增， 因为1m >， 所以()e0mg m --=>，()010g m =-<，因为()()00g x g <，所以()00g x <，所以()g x 在()0,m x -上存在唯一零点1x ，且在()0,0x 上恒小于零， 故()1,x m x ∈-时，()0g x >；()1,0x x ∈时，()0g x <，所以()f x 在()1,m x -上单调递增，在()1,0x 上单调递减，且()0ln 0f m =>， 所以()f x 在(),0m -上至多有一个零点， 取()e 2e ,0mm x m m -=-+∈-， 则有()()22ln e 0mf x x m m <++=，所以由零点存在定理可知()f x 在(),0m -上只有一个零点， 又f (0)不为0，所以()f x 在(),m -+∞上只有一个零点.5．（2021ꞏ黑龙江哈尔滨市ꞏ哈尔滨三中高三其他模拟（文））已知函数2211()(1)ln (0)22f x x a x a x a a =-+++>. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()y f x =只有一个零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案见答案解析；（2）01a <<+或a e >.【答案解析】 （1）求得()'fx ，对a 进行分类讨论，由此求得()f x 的单调区间.（2）根据（1）的结论，结合函数的极值以及零点个数，求得a 的取值范围. 【答案详解】 （1）()()()'1x x a f x x--=，当01a <<时，由()'00f x x a >⇒<<或1x >，所以()f x 在()0,a ，()1,+∞单调递增，由()'01fx a x <⇒<<，所以()f x 在(),1a 单调递减；当1a >时，由()'001fx x >⇒<<或x a >，所以()f x 在()0,1，(),a +∞单调递增，由()'01f x x a <⇒<<，所以()f x 在()1,a 单调递减；当1a =时，()()2'10x f x x-=≥⇒()f x 在()0,∞+单调递增.（2）1(1)(1(12f a a ⎡⎤⎡⎤=--⎣⎦⎣⎦，()(ln 1)f a a a =-， 由（1）知当01a <<时，()f x 在x a =处，有极大值，且()0f a <，此时函数有一个零点； 当1a =时，()f x 在()0,∞+单调递增，且()10f <，此时函数有一个零点；当1a >时，()0,1，(),a +∞单调递增，()1,a 单调递减，()f x 在x a =处，有极小值，()f x 在1x =处，有极大值，则当()10f <，或()0f a >时函数有一个零点，有11a <<或a e >.综上：01a <<+或a e >.6．（2021ꞏ河北高三其他模拟）已知函数2ln 1()(ln )()2k x f x x k x+=+∈R . （1）当0k =时，求证：()1f x ≤； （2）当0k ≠时，讨论()f x 零点的个数.【答案】（1）证明过程见解答；（2）当0k <时，()f x 有两个零点，当0k >时，()f x 有一个零点． 【答案解析】（1）将0k =代入，对()f x 求导，得到其单调性，判断其最值，即可得证；（2）令t lnx =，则()0f x =即为2102t k t t e ++=，显然0t ≠，进一步转化为212t k t t e +-=，令21()(0)t t h t t t e+=≠，利用导数作出()h t 的大致图象，进而图象判断方程解的情况，进而得到函数()f x 零点情况． 【答案详解】（1）证明：当0k =时，1()(0)lnx f x x x +=>，则2()lnxf x x'=-， ∴当(0,1)x ∈时，()0f x '>，()f x 单增，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单减，()f x f ∴…（1）1=，即得证；（2）令t lnx =，则()0f x =即为2102t k t t e++=，当0t =，即1x =时，该方程不成立，故1x =不是()f x 的零点； 接下来讨论0t ≠时的情况，当0t ≠时，方程可化为212tk t t e +-=， 令21()(0)t t h t t t e +=≠，则222()tt th t t e++'=-，当0t <时，22220t t ++-=-<…，当且仅当t =当0t >时，22220t t +++=+>…，当且仅当t =时取等号，∴当0t <时，()0h t '>，()h t 单增，当0t >时，()0h t '<，()h t 单减，且当0t →时，()h t →+∞，(1)0h -=，当1t <-时，()0h t <，当0t >时，()0h t >， 函数()h t 的大致图象如下：由图象可知，当02k -<，即0k >时，212t k t t e +-=只有一个解，则()f x 有一个零点，当02k ->，即0k <时，212tk t t e +-=有两个解，则()f x 有两个零点． 综上，当0k <时，()f x 有两个零点，当0k >时，()f x 有一个零点． 7．（2021ꞏ重庆市育才中学高三二模）已知函数()x f x e =，()1g x ax =+. （1）已知()()f x g x ≥恒成立，求a 的值；（2）若(0,1)x ∈，求证：21ln 11()x x f x x-+-<. 【答案】（1）1a =；（2）证明见答案解析. 【答案解析】（1）作差，设()()()1x h x f x g x e ax =-=--，利用导数求出()h x 的最小值为(ln )ln 10h a a a a =--≥，只需1ln 10a a +-≤；设1()ln 1a a aϕ=+-，利用导数求出min ()(1)0a ϕϕ==，解出1a =； （2）利用1x e x >+把原不等式转化为证明1ln 111x x x x -+-<+，即证：21ln 10x x x-++>， 设21()ln 1F x x x x=-++，利用导数求出最小值，即可证明.【答案详解】（1）设()()()1x h x f x g x e ax =-=--，()x h x e a '=-，当0a ≤时，()0x h x e a '=->，()h x 单增，当,()x h x →-∞→-∞，不满足恒成立 当0a >，()h x 在(,ln )x a ∈-∞单减，()h x 在(ln ,)x a ∈+∞单增， 所以()h x 的最小值为(ln )ln 10h a a a a =--≥，即11ln 0a a --≥，即1ln 10a a+-≤ 设1()ln 1a a a ϕ=+-，21()a a aϕ-'=，所以()ϕx 在(0,1)x ∈单减，()ϕx 在(1,)+∞单增， 即min()(1)0a ϕϕ==，故1ln 10a a+-≤的解只有1a =，综上1a =（2）先证当(0,1)x ∈时，1x e x >+恒成立.令()1x h x e x =--，求导()10x h x e '=->，所以()h x 在(0,1)x ∈上单调递增，()(0)0h x h >=，所以1x e x >+所以要证1ln 11x x x e x -+-<，即证1ln 111x x x x-+-<+， 即证211ln 1x x x x x x +-++-<+，即证：21ln 10x x x -++>， 设21()ln 1F x x x x=-++，求导22111()2(1)20F x x x x x x x '=--=--<，所以()F x 在(0,1)上单调递减，所以()(1)10F x F >=>，即原不等式成立.所以当(0,1)x ∈时，如1ln 11()x x f x x-+-<成立. 8.（2021ꞏ全国高三其他模拟）已知函数()()ln x a f x a x+=+，()0,x ∈+∞.（1）当0a =时，讨论函数()f x 的单调性； （2）若函数()f x 存在极大值M ，证明：12M e≤<. 【答案】（1）当()0,x e ∈时，()f x 单调递增；当(),x e ∈+∞时，()f x 单调递减；（2）证明见答案解析． 【答案解析】（1）将0a =代入函数，并求导即可分析单调性；（2）求导函数，讨论当0a =，01a <<与1a ≥时分析单调性，并判断是否有极大值，再求解极大值，即可证明．【答案详解】（1）()f x 的定义域是()0,∞+ 当0a =时，()ln x f x x =，()21ln xf x x -'=， 令()0f x '=，得x e =，所以当()0,x e ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当(),x e ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；（2）()()()()()22ln ln xx a x x a x ax a f x x x x a -+-+++'==+， 令()()()()ln ,0,g x x x a x a x =-++∈+∞， 则()()ln g x x a '=-+，由()f x 的定义域是()0,∞+，易得0a ≥，当0a =时，由（1）知，()f x 在x e =处取得极大值，所以()1==M f e e. 当1a ≥时，()0g x '<在()0,x ∈+∞上恒成立，所以()g x 在()0,∞+上单调递减，()ln 0g x a a <-<，所以()0f x '<，故()f x 没有极值. 当01a <<时，令()0g x '=，得1x a =-，所以当()0,1x a ∈-时，()0g x '>，()g x 单调递增；当()1,x a ∈-+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减. 所以当()0,1x a ∈-时，()ln 0g x a a >->，又()110g a a -=->，()0-=-<g e a a ，且1-<-e a a ，所以存在唯一()01,∈--x a e a ，使得()()()0000ln g x x x a x a =-+⋅+，当()00,x x ∈时，()0g x >，即()0f x '>，()f x 单调递增；当()0,x x ∈+∞时，()0g x <，即()0f x '<，()f x 单调递减.所以当0x x =时，()f x 取得极大值，所以()()000ln x a M f x a x +==+，所以()()()()000000011ln M x a x x a x a x a x a x a=++-=++-+⋅+++. 令0x a t +=，则()1,t e ∈，设()1ln h t t t t t=+-，()1,t e ∈， 则()21ln 0h t t t'=--<， 所以()h t 在()1,e 上单调递减， 所以()12<<h t e ，所以12<<M e. 综上，若函数()f x 存在极大值M ，则12M e≤<． 9．（2021ꞏ重庆高三二模）已知函数()ln ()f x ax x a R =+∈在1x =处取得极值． （1）若对(0,),()1x f x bx ∀∈+∞≤-恒成立，求实数b 的取值范围；（2）设()()(2)x g x f x x e =+-，记函数()y g x =在1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为m ，证明：(4)(3)0m m ++<． 【答案】（1）211b e -≤；（2）证明见答案解析． 【答案解析】（1）由条件求出a ，然后由()1f x bx ≤-可得1ln 1+x b x x≤-，然后用导数求出右边对应函数的最小值即可；（2）11()(1)e 1(1)(xx g x x x e x x'=--+=--，令()1e x h x x =-，然后可得存在01(,1)2x ∈使得()00h x =，即01ex x =，即00ln x x =-，然后可得0max 000000000012()()(2)ln (2)12x m g x g x x e x x x x x x x x ===--+=---=--，然后判断出函数2()12G x x x=--的单调性即可. 【答案详解】 （1）∵1()f x a x'=+，(1)10f a '=+=，∴1a =-，由已知()1f x bx ≤-，即ln 1x x bx -≤-，即1ln 1+x b x x≤-对()0,x ∀∈+∞恒成立， 令1ln ()1x t x x x =+-，则22211ln ln 2()x x t x x x x --'=--=，易得()t x 在2(0,)e 上单调递减，在2(,)e +∞上单调递增， ∴2min 21()()1t x t e e==-，即211b e -≤． （2）()()(2)e (2)e ln x x g x f x x x x x =+-=--+，则11()(1)e 1(1)(xx g x x x e x x'=--+=--． 当114x <<时，10x -<，令()1e xh x x=-， 则21()e 0xh x x'=+>，所以()h x 在1[,1]4上单调递增．∵121(()e 202h h x ==-<，(1)10h e =->，∴存在01(,1)2x ∈使得()00h x =，即01ex x =，即00ln x x =-． ∴当01(,)4x x ∈时，()0h x <，此时()0g x '>； 当0(,1)x x ∈时，()0h x >，此时()0g x '<； 即()g x 在01(,)4x 上单调递增，在0(),1x 上单调递减，则0max 000000000012()()(2)ln (2)12xm g x g x x e x x x x x x x x ===--+=---=--． 令2()12G x x x =--，1(,1)2x ∈，则22222(1)()20x G x x x '-=-=>，∴()G x 在1(,1)2x ∈上单调递增，则1()(42G x G >=-，()(1)3G x G <=-， ∴43m -<<-．∴()()430m m ++<．10．（2021ꞏ江苏南通市ꞏ高三一模）已知函数()()21ln 22f x ax ax x =+-，0a >. （1）求函数()f x 的增区间；（2）设1x ，2x 是函数()f x 的两个极值点，且12x x <，求证：122x x +>.【答案】（1）答案见答案解析；（2）证明见答案解析. 【答案解析】（1）求函数的导数，分类讨论，解不等式即可求解；（2）根据极值点可转化为1x ，2x 是方程2210-+=ax x 的两个不相等的正实数根，可得12x >且1x ≠，要证122x x +>，只要证212x x >-，利用构造函数的单调性证明即可. 【答案详解】（1）由题意得()21212ax ax x f x x x-+=+='-(0x >). 令()0f x '>，则2210ax x -+>.①当()2240a ∆=--≤，即1a ≥时，2210ax x -+>在()0,∞+上恒成立，即()f x 的增区间为()0,∞+；②当()2240a ∆=-->，即01a <<时，10x a -<<或1x a+>，即()f x 的增区间为10,a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭.综上，当1a ≥时，()f x 的增区间为()0,∞+；当01a <<时，()f x 的增区间为10,a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭. （2）因为()221x x ax xf -+'=(0x >)，()f x 有两个极值点1x ，2x ， 所以1x ，2x 是方程2210-+=ax x 的两个不相等的正实数根，可求出 从而()2240a ∆=-->，0a >，解得01a <<. 由2210-+=ax x 得221x a x -=. 因为01a <<，所以12x >且1x ≠.令()221x g x x -=，12x >且1x ≠，则()()321x g x x-'=，所以当112x <<时，()0g x '>，从而()g x 单调递增；当1x >时，()0g x '<，从而()g x 单调递减， 于是1222122121x x a x x --==(12112x x <<<). 要证122x x +>，只要证212x x >-，只要证明()()212g x g x <-. 因为()()12g x g x =，所以只要证()()112g x g x <-. 令()()()()()1111122112212122x x F x g x g x x x ---=--=-- 则()()()()1113311212212x x F x xx --⎡⎤-⎣⎦'=+-()()()11331121212x x x x --=+- ()()1331111212x x x ⎡⎤=--⎢⎥-⎢⎥⎣⎦()()()()22211111331141222x x x x x x x ⎡⎤--+-+⎣⎦=-.因为1112x <<， 所以()10F x '>，即()1F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()()110F x F <=，即()()112g x g x <-， 所以212x x >-，即122x x +>.1．（2021ꞏ全国高考真题（文））设函数22()3ln 1f x a x ax x =+-+，其中0a >. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()y f x =的图像与x 轴没有公共点，求a 的取值范围. 【答案】（1）()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭；（2）1a e >. 练真题（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.（2）根据()10f >及（1）的单调性性可得()min 0f x >，从而可求a 的取值范围. 【答案详解】（1）函数的定义域为()0,∞+，又()23(1)()ax ax f x x+-'=，因为0,0a x >>，故230ax +>， 当10x a <<时，()0f x '<；当1x a>时，()0f x '>； 所以()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭.（2）因为()2110f a a =++>且()y f x =的图与x 轴没有公共点， 所以()y f x =的图象在x 轴的上方， 由（1）中函数的单调性可得()min 1133ln 33ln f x f a a a ⎛⎫==-=+ ⎪⎝⎭， 故33ln 0a +>即1a e>. 2.（2021ꞏ全国高考真题（理））设函数()()ln f x a x =-，已知0x =是函数()y xf x =的极值点． （1）求a ； （2）设函数()()()x f x g x xf x +=．证明:()1g x <．【答案】1；证明见答案详解 【答案解析】（1）由题意求出'y ，由极值点处导数为0即可求解出参数a ； （2）由（1）得()()ln 1()ln 1x x g x x x +-=-，1x <且0x ≠，分类讨论()0,1x ∈和(),0x ∈-∞，可等价转化为要证()1g x <，即证()()ln 1ln 1x x x x +->-在()0,1x ∈和(),0x ∈-∞上恒成立，结合导数和换元法即可求解（1）由()()()n 1'l a f x a x f x x ⇒==--，()()'ln xy a x x ay xf x ⇒=-=+-， 又0x =是函数()y xf x =的极值点，所以()'0ln 0y a ==，解得1a =； （2）由（1）得()()ln 1f x x =-，()()ln 1()()()ln 1x x x f x g x xf x x x +-+==-，1x <且0x ≠，当 ()0,1x ∈时，要证()()ln 1()1ln 1x x g x x x +-=<-，()0,ln 10x x >-< ， ()ln 10x x ∴-<，即证()()ln 1ln 1x x x x +->-，化简得()()1ln 10x x x +-->；同理，当(),0x ∈-∞时，要证()()ln 1()1ln 1x x g x x x +-=<-，()0,ln 10x x <-> ， ()ln 10x x ∴-<，即证()()ln 1ln 1x x x x +->-，化简得()()1ln 10x x x +-->；令()()()1ln 1h x x x x =+--，再令1t x =-，则()()0,11,t ∈+∞ ，1x t =-， 令()1ln g t t t t =-+，()'1ln 1ln g t t t =-++=，当()0,1t ∈时，()'0g x <，()g x 单减，假设()1g 能取到，则()10g =，故()()10g t g >=； 当()1,t ∈+∞时，()'0g x >，()g x 单增，假设()1g 能取到，则()10g =，故()()10g t g >=； 综上所述，()()ln 1()1ln 1x x g x x x +-=<-在()(),00,1x ∈-∞ 恒成立3．（2021ꞏ全国高考真题）已知函数()()1ln f x x x =-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<. 【答案】（1）()f x 的递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞；（2）证明见答案解析. 【答案解析】（1）求出函数的导数，判断其符号可得函数的单调区间； （2）设1211,x x a b==，原不等式等价于122x x e <+<，前者可构建新函数，利用极值点偏移可证，后者可设21x tx =，从而把12x x e +<转化为()()1ln 1ln 0t t t t -+-<在()1,+∞上的恒成立问题，利用导数可。

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高中学业水平考试模拟测试卷（四）(时间：90分钟满分100分）一、选择题（共15小题,每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合P＝{1，2}，Q＝｛2，3｝,全集U＝{1,2,3}，则∁U（P∩Q）等于（) A．｛3｝B．｛2，3} C．{2} D．{1，3｝解析：因为全集U＝｛1，2，3｝，集合P＝｛1，2}，Q＝｛2,3},所以P∩Q＝{2}，所以∁U（P∩Q）＝{1，3｝，故选D.答案:D2．圆x2＋y2－4x＋6y＋11＝0的圆心和半径分别是（）A．(2，－3）；错误!B．(2，－3)；2C．（－2，3）；1 D．（－2，3);错误!解析：圆x2＋y2－4x＋6y＋11＝0的标准方程为(x－2)2＋(y＋3）2＝2，据此可知圆心坐标为（2，－3），圆的半径为错误!,故选A。

答案：A3．已知a⊥b，|a|＝2,｜b｜＝3且向量3a＋2b与ka－b互相垂直，则k的值为（）A．－错误! B.错误!C．±错误!D．1解析：因为3a＋2b与ka－b互相垂直,所以（3a＋2b)·（ka－b)＝0，所以3ka2＋(2k－3）a·b－2b2＝0，因为a⊥b,所以a·b＝0,所以12k－18＝0，k＝错误!。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=1时取得最小值，则下列选项中正确的是（）A. a > 0, b = 0, c < 0B. a < 0, b = 0, c > 0C. a > 0, b ≠ 0, c > 0D. a < 0, b ≠ 0, c < 02. 下列各数中，无理数是（）A. √3B. -√2C. 3/4D. 1.4143. 若复数z满足|z - 2i| = 3，则复数z在复平面内对应的点的轨迹是（）A. 圆B. 线段C. 直线D. 双曲线4. 已知函数f(x) = log2(x - 1)，则f(x)的定义域是（）A. (1, +∞)B. (0, 1)C. (1, 2]D. (2, +∞)5. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3 = 9，S5 = 21，则该数列的公差d是（）A. 2B. 3C. 4D. 56. 下列命题中，正确的是（）A. 若两个函数的图像关于y轴对称，则这两个函数互为反函数B. 若两个函数的图像关于x轴对称，则这两个函数互为反函数C. 若两个函数的图像关于原点对称，则这两个函数互为反函数D. 若两个函数的图像关于直线y = x对称，则这两个函数互为反函数7. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，若存在实数a和b，使得f(a) + f(b) = 0，则a + b的值为（）A. 0B. 1C. -1D. 28. 下列方程中，无解的是（）A. x^2 + 2x + 1 = 0B. x^2 + 2x - 1 = 0C. x^2 - 2x + 1 = 0D. x^2 - 2x - 1 = 09. 若不等式x^2 - 4x + 3 < 0的解集是（）A. (1, 3)B. (-∞, 1) ∪ (3, +∞)C. (-∞, 1) ∩ (3, +∞)D. (1, +∞) ∪ (-∞, 3)10. 已知函数f(x) = (x - 1)/(x + 1)，则f(-1)的值为（）A. 0B. 1C. -1D. 不存在二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 2，d = 3，则S10 = ________.12. 若复数z = a + bi（a, b ∈ R），则|z|^2 = ________.13. 函数f(x) = log2(3 - 2x)的定义域为 ________.14. 若等比数列{an}的公比q = -2，且a1 = 3，则第5项a5 = ________.15. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 3，则f(-1) = ________.16. 若不等式x^2 - 4x + 3 ≤ 0的解集为A，则不等式x^2 - 4x + 3 > 0的解集为 ________.17. 已知函数f(x) = 2x - 1，则f(-3) + f(2) = ________.18. 若复数z满足|z - 2i| = 3，则复数z在复平面内对应的点的坐标是________.19. 已知函数f(x) = (x - 1)/(x + 1)，则f(1)的值为 ________.20. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3 = 9，S5 = 21，则该数列的第4项a4 = ________.三、解答题（每题20分，共60分）21. （本题满分20分）已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），若f(1) = 2，f(2) = 5，求a，b，c的值。

第4章 第3节一、选择题1．(2010·江西文)函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( ) A ．[－1,1]B ．[－54，－1]C ．[－54，1]D ．[－1，54][答案] C[解析] 本题考查了换元法，一元二次函数闭区间上的最值问题，通过sin x ＝t 换元转化为t 的一元二次函数的最值问题，体现了换元思想和转化的思想，令t ＝sin x ∈[－1,1]，y ＝t 2＋t －1，(－1≤t ≤1)，显然－54≤y ≤1，选C.2．函数y ＝sin2x ＋a cos2x 的图像关于直线x ＝－π8对称，则a 的值为( )A. 2 B ．－ 2 C ．1D ．－1[答案] D[解析] 解法1：由y ＝sin2x ＋a cos2x 可联想到形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数．又知其对称轴为x ＝－π8，故此直线必经过函数图像的波峰或波谷．从而将x ＝－π8代入原式，可使函数取最大值或最小值．即－22＋22a ＝±a 2＋1，∴a ＝－1. 解法2：由于函数图像关于直线x ＝－π8对称∴f (0)＝f (－π4)，∴a ＝－1，故选D.3．(2010·重庆文)下列函数中，周期为π，且在[π4，π2]上为减函数的是( )A ．y ＝sin (2x ＋π2)B ．y ＝cos (2x ＋π2)C ．y ＝sin(x ＋π2)D ．y ＝cos(x ＋π2)[答案] A[解析] 本题考查三角函数的周期性、单调性以及诱导公式．选项A ：y ＝sin(2x ＋π2)＝cos2x ，周期为π，在[π4，π2]为减函数；选项B ：y ＝cos(2x ＋π2)＝－sin2x ，周期为π.在[π4，π2]为增函数；选项C ：y ＝sin(x ＋π2)＝cos x ，周期为2π；选项D ：y ＝cos(x ＋π2)＝－sin x ，周期为2π.故选A.4．已知函数f (x )＝3sin πx R图像上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好都在圆x2＋y 2＝R 2上，则f (x )的最小正周期为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] D[解析] f (x )的周期T ＝2ππR＝2R ，f (x )的最大值是3，结合图形分析知R >3，则2R >23>3，只有2R ＝4这一种可能，故选D.5．函数y ＝2tan x －1tan x的图像关于( )A ．点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，0对称 B ．点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称 C ．直线x ＝－π4对称D ．直线x ＝π2对称[答案] B[解析] y ＝2tan x －1tan x ＝2tan xtan 2x －1＝－tan2x ⎝⎛⎭⎪⎫x ≠k π4，k ∈Z .函数图像大致如下图，显见它不是轴对称图形，而是关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫k π4，0对称的中心对称图形，故选B.6．已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数(0<θ<π)，其图像与直线y ＝2的交点的横坐标为x 1、x 2，若|x 1－x 2|的最小值为π，则( )A ．ω＝2，θ＝π2B ．ω＝12，θ＝π2C ．ω＝12，θ＝π4D ．ω＝2，θ＝π4[答案] A[解析] y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数且0<θ<π， 所以θ＝π2，y ＝2cos ωx ，∴y ∈[－2,2]．又∵|x 1－x 2|min ＝π，故y ＝2与y ＝2cos ωx 的交点为最高点，于是最小正周期为π.即2πω＝π，所以ω＝2.故选A.7．(2010·新课标理)如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为( )[答案] C[解析] 本小题考查了任意角的三角函数的概念、三角函数的图像，结合物理学的角速度问题，考查学科知识交汇点，解答此题的关键是找到点P 运动后对应的坐标．方法一：(排除法)当t ＝0时，P 点到x 轴的距离为2，排除A 、D ，由角速度为1知，当t ＝π4或t ＝3π4时，P 点落在x 轴上，即P 点到x 轴的距离为0，故选C. 方法二：由题意知P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π4，2sin ⎝⎛⎭⎪⎫t －π4，∴P 点到x 轴的距离为d ＝|y 0|＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫t －π4，当t ＝0时，d ＝2；当t ＝π4时，d ＝0.故选C.8．函数f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ)是奇函数，则θ等于( ) A ．k π (k ∈Z )B ．k π＋π6 (k ∈Z )C ．k π＋π3 (k ∈Z )D ．k π－π3(k ∈Z )[答案] D[解析] 解法1：由两角和与差的三角公式得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－3x ＋θ.由f (x )是奇函数得π3＋θ＝k π(k ∈Z )⇒θ＝k π－π3(k ∈Z )．故选D.解法2：∵函数f (x )为奇函数，定义域为R . ∴f (0)＝0，即3cos θ＋sin θ＝0， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝0，∴θ＋π3＝k π， ∴θ＝k π－π3(k ∈Z )．二、填空题9．比较大小：(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18________sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10. (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5________cos ⎝⎛⎭⎪⎫－17π4.[答案] (1)> (2)<[解析] (1)∵－π2<－π10<－π18<π2，y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10.(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5＝cos 23π5＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋3π5＝cos 3π5， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4＝cos 17π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π4＝cos π4. ∵0<π4<3π5<π，且函数y ＝cos x 在[0，π]上是减函数，∴cos π4>cos 3π5，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4>cos ⎝⎛⎭⎪⎫－23π5， 即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5<cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4. 10．函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图像与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是________．[答案] (1,3)[解析] f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ， 0≤x ≤π，－sin x ，π<x ≤2π.在同一坐标系中，作出函数f (x )与y ＝k 的图像可知1<k <3.11．(2010·安徽理)动点A (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t ＝0时点A 的坐标是(12，32)，则当0≤t ≤12时，动点A 的纵坐标y 关于t (单位：秒)的函数的单调递增区间是________．[答案] [0,1]和[7,12][解析] 设点A 的纵坐标y 关于t 的函数为y ＝sin(ωt ＋φ)． ∵T ＝12＝2πω，∴ω＝π6.当t ＝0时，sin φ＝32，cos φ＝12，∴φ可取π3. ∴y ＝sin(π6t ＋π3)，由正弦函数的单调性知．2k π－π2≤π6t ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )2k π－5π6≤π6t ≤2k π＋π6(k ∈Z )．∴12k －5≤t ≤12k ＋1(k ∈Z )． 当k ＝0时 ，－5≤t ≤1； 当k ＝1时，7≤t ≤13又∵0≤t ≤12，∴单调增区间为[0,1]和[7,12]． 三、解答题12．(2011·深圳模拟)已知函数f (x )＝sin x ＋a cos 2x 2，a 为常数，a ∈R ，且x ＝π2是方程f (x )＝0的解．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈[0，π]时，求函数f (x )的值域． [解析] (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sin π2＋a cos 2π4＝0，则1＋12a ＝0，解得a ＝－2.所以f (x )＝sin x －2cos 2x2＝sin x －cos x －1，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4－1.所以函数f (x )的最小正周期为2π.(2)由x ∈[0，π]，得x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，则2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4－1∈[－2，2－1]， 所以y ＝f (x )值域为[－2，2－1]．13．(2010·北京理)已知函数f (x )＝2cos2x ＋sin 2x －4cos x . (1)求f (π3)的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．[解析] 本题考查了三角函数的化简求值及二次函数在区间上的最值．(1)可直接求解，(2)化简后转化为关于cos x 的二次函数，求值即可．(1)f (π3)＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3＝－1＋34－2＝－94.(2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x ＝3cos 2x －4cos x －1 ＝3(cos x －23)2－73，x ∈R因为cos x ∈[－1,1]，所以当cos x ＝－1时，f (x )取最大值6；当cos x ＝23时，取最小值－73.14．(2011·福建四地六校联考)已知函数f (x )＝－1＋23sin x cos x ＋2cos 2x . (1)求f (x )的单调递减区间；(2)求f (x )图像上与原点最近的对称中心的坐标； (3)若角α，β的终边不共线，且f (α)＝f (β)， 求tan(α＋β)的值．[解析] f (x )＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， (1)由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )， ∴f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )． (2)由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝0得2x ＋π6＝k π(k ∈Z )，即x ＝k π2－π12(k ∈Z )， ∴f (x )图像上与原点最近的对称中心坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0. (3)由f (α)＝f (β)得：2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2β＋π6， 又∵角α与β不共线，∴⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π6＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2β＋π6＝2k π＋π(k ∈Z )，即α＋β＝k π＋π3(k ∈Z )，∴tan(α＋β)＝ 3.15．已知函数f (x )＝log 12(sin x －cos x )．(1)求它的定义域和值域； (2)求它的单调区间； (3)判断它的奇偶性；(4)判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期．[分析] 对于(1)，(2)可以从sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4入手．对于(3)则看f (x )的定义域是否关于原点对称．对于(4)可利用f (x ＋T )＝f (x )先验证T 是一个周期，再证T 是最小正周期．[解析] (1)由题意得sin x －cos x >0，即2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4>0，从而得2k π<x －π4<2k π＋π(k ∈Z )．∴函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π4<x <2k π＋54π，k ∈Z .∵0<sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4≤1，∴0<sin x －cos x ≤2， 即有log 122≤log 12(sin x －cos x )．故函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞.(2)∵sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4在f (x )的定义域上的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋3π4(k ∈Z )，单调递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π＋3π4，2k π＋5π4(k ∈Z )．∴f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π＋3π4，2k π＋5π4(k ∈Z )； 单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋3π4(k ∈Z )．(3)∵f (x )的定义域在数轴上对应的点关于原点不对称，∴函数f (x )是非奇非偶函数． (4)∵f (x ＋2π)＝log 12[sin(x ＋2π)－cos(x ＋2π)]＝log 12(sin x －cos x )＝f (x )，∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π.[点评] 本题综合考查了三角函数的性质，解题的关键是把sin x －cos x 化为A sin(ωx ＋φ)的形式．。

一、单选题二、多选题1. 已知集合，，则集合中元素的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52. 历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：，，，，，，，，，，，，即，此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列，则的值为（ ）．A．B．C．D．3.已知等比数列的前项积为，若，，则当取得最大值时，的值为A ．2B ．3C ．4D ．64. 函数的部分图象如图所示，则（）A ．1B．C．D．5. 若向量，则（ ）A ．-36B ．36C ．12D ．-126. 已知，，，则（ ）A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．b >c >a7. 中国书法历史悠久、源远流长．书法作为一种艺术，以文字为载体，不断地反映和丰富着华夏民族的自然观、宇宙观和人生观．谈到书法艺术，就离不开汉字．汉字是书法艺术的精髓．汉字本身具有丰富的意象和可塑的规律性，使汉字书写成为一门独特的艺术．我国书法大体可分为篆、隶、楷、行、草五种书体，如图：以“国”字为例，现有甲乙两名书法爱好者分别从五种书体中任意选两种进行研习，且甲乙选书体互相独立，则甲不选隶书体，乙不选草书体的概率为（）．A．B．C．D．8. 设函数满足，若存在零点，则下列选项中一定错误的是A．B．C．D．9. 函数的两个极值点分别是，则下列结论正确的是（ ）A．B．C．D．10. 下列说法正确的是（ ）A ．已知经验回归方程，则当时，的估计值为12.22B ．在回归分析中，残差点分布的带状区域的宽度越窄表示拟合效果越差2023年全国新高考高三押题卷（四）数学试题三、填空题四、解答题C ．在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量将平均减少0.3个单位D ．在一元线性回归模型分析中，决定系数用来刻画模型的拟合效果，若的值越小，则模型的拟合效果越好11.已知数列满足，，为数列的前项和.若对任意实数，都有成立.则实数的可能取值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．112. 已知函数的最小正周期为，且满足，，若在上有三个不同的零点，则的取值可以是（ ）A．B．C．D ．313.在四面体中，，，向量与的夹角为，若，则该四面体外接球的表面积为_____________．14. 已知函数的定义域为，且，当时，．若存在，使得，则的取值范围为________．15. 已知定义在上的函数满足，且，则下列说法正确的是________.①是奇函数②③④时，16. 已知，，、、是的内角；（1）当时，求的值；（2）若，，当取最大值时，求的大小及边的长．17.已知单调递减的正项数列，时满足．为前n 项和．(1)求的通项公式；(2)证明：.18. 已知椭圆的焦距为4，经过点的直线与椭圆交于不同的两点，，当直线轴时，的面积为（为坐标原点）.（1）求椭圆的方程；（2）与直线垂直的直线也过点，且与椭圆交于不同的两点，，求的取值范围.19. 某国在实弹演习中分析现有导弹技术发展方案的差异，有以下两种方案：方案1：发展一弹多头主动制导技术，即一枚一弹多头导弹的弹体含有3个弹头，每个弹头独立命中的概率均为0.415，一枚弹体至少有一个弹头命中即认为该枚导弹命中，演习中发射该导弹10枚；方案2：发展一弹一头导弹的机动性和隐蔽性，即一枚一弹一头导弹的弹体只含一个弹头，演习中发射该导弹30枚，其中22枚命中．(1)求一枚一弹多头导弹命中的概率（精确到0.001），并据此计算本次实战演习中一弹多头导弹的命中枚数（取，结果四舍五入取整数）；(2)结合（1）的数据，根据小概率值的独立性检验，判断本次实战演习中两种方案的导弹命中率是否存在明显差异．附，其中．0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.841 6.6357.87910.82820. 已知三棱柱中，侧面是矩形，是的菱形，且平面平面，，，分别是，，的中点.（1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值.21. 已知函数，.（Ⅰ）当时，求的图象在点处的切线；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）判断函数在区间上的单调性.。

新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习：单元质检卷四三角函数(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若θ=cos 2 021π,则角θ的终边在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有一点A(3cos α,2),则sin α的值等于()A.√53B.23C.-23D.-√533.(2021湖南师大附中高三月考)已知1+sin2α2cos2α+sin2α=2,则tan 2α=()A.-34B.-43C.34D.434.(2021山西太原高三月考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b sin(π-C)-√2c cos(π+B)=0,则tan B=()A.√22B.√2 C.-√22D.-√25.(2021安徽合肥高三期末)已知函数f(x)=tanωx+π6(ω>0)的图象上相邻两个对称中心的距离为π4,若将f(x)的图象向右平移π12个单位长度得到函数g(x)的图象,则函数g(x)的单调递增区间为()A.kπ2−π4,kπ2+π4(k∈Z)B.kπ2−7kπ24,kπ2+5π24(k∈Z)C.kπ-7π12,kπ+5π12(k∈Z)D.kπ-π2,kπ+π2(k∈Z)6.如图,一个大风车的半径为8 m,12 min旋转一周,它的最低点P0离地面2 m,风车翼片的一个端点P 从P0开始按逆时针方向旋转,则点P离地面的距离h(单位:m)与时间t(单位:min)之间的函数关系式是()A.h(t)=-8sinπ6t+10B.h(t)=-cosπ6t+10C.h(t)=-8sinπ6t+8D.h(t)=-8cosπ6t+107.(2021天津和平高三期中)已知函数f(x)=a sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的最小正周期为π,其最小值为-2,且满足f(x)=-fπ2-x,则φ=()A.±π3B.±π6C.π6或π3D.-π6或-π38.已知锐角三角形ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,若cos 2C=1-c 2b2,则角B等于()A.π4B.3π4C.π6D.π39.设α是三角形的一个内角,则下列哪些值可能为正值()①sin(π-α)②cos(-α)③tan(π+α)④tanα2−3π2A.①②B.②③C.③④D.①④10.若将函数f(x)=cos2x+π12的图象向左平移π8个单位长度,得到函数g(x)的图象,则下列说法不正确的是()A.g (x )的最小正周期为πB.g (x )在区间0,π2上单调递减C.x=π12不是函数g (x )图象的对称轴 D.g (x )在-π6,π6上的最小值为-1211.已知tan(α+β)=tan α+tan β,其中α≠k π2(k ∈Z )且β≠m π2(m ∈Z ),则下列结论一定正确的是( ) A.sin(α+β)=1 B.cos(α+β)=1 C.sin 2α2+sin 2β2=1D.sin 2α+cos 2β=112.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若sin 2C=tan A (2sin 2C+cos C-2),则下列结论中错误的是( )A.△ABC 可能是直角三角形B.角B 是锐角C.必有A=2BD.可能有a=2b二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021山东德州高三月考)若函数f (x )=√2sin(2ωx-θ)(ω>0,-π<θ<0)是周期为π2的偶函数,则fπ6= .14.(2021北京海淀高三月考)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若sin C=2sin A ,b 2-a 2=12ac ,则sin B 等于 .15.已知sin(α-β)=25,sin(α+β)=12,则tanαtanβ= .16.如图所示,在平面四边形ABCD 中,AB ⊥BD ,AB=BD ,BC=CD ,AD=2,在△ABC 中,角A ,B ,C 的对应边分别为a ,b ,c ,若c 2=2ab cos ∠BCA ,则△ACD 的面积为 .三、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)(2021福建泉州高三月考)已知f (θ)=sin(3π2+θ)cos(π2-θ)sin(π+θ)cos(2π-θ)(1-cos2θ)2.(1)化简f (θ);(2)若tan θ=12,求f θ-3π4的值.18.(12分)(2021安徽六安高三期中)已知函数f (x )=A sin(ωx+φ)+B A>0,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示.(1)求f (x )的解析式及对称中心坐标; (2)设α∈(0,π),且f α2=-2,求α的值.19.(12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=√3,b=2.(1)若A=π6,求cos 2B;(2)当A取得最大值时,求△ABC的面积.20.(12分)(2021河北石家庄高三二模)已知函数f(x)=cos x+π2cos x+5π4.(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;(2)将函数f(x)的图象向右平移π4个单位长度,再将横坐标扩大为原来的2倍得到g(x)的图象,求函数g(x)在[0,π]上的值域.21.(12分)(2021福建宁德高三二模)如图,准备在河岸一侧建造一个观景台P,已知射线AB,AC为两边夹角为120°的公路(长度均超过√3千米),在两条公路AB,AC上分别设立游客上下点M,N,从观景台P到M,N建造两条观光线路PM,PN,测得AM=√3千米,AN=√3千米.(1)求线段MN的长度;(2)若∠MPN=60°,求两条观光线路PM与PN之和的最大值.22.(12分)如图,平面四边形ABCD ,点B ,C ,D 均在半径为5√33的圆上,且∠BCD=π3.(1)求BD 的长度;(2)若AD=3,∠ADB=2∠ABD ,求△ABD 的面积.单元质检卷四 三角函数1.D 解析:因为θ=cos2021π=-1∈-π2,0,所以角θ的终边在第四象限,故选D . 2.B 解析:由三角函数定义得tan α=23cosα,即sinαcosα=23cosα,所以sin α=23,故选B .3.A 解析:因为1+sin2α2cos 2α+sin2α=1+2sinαcosα2cos 2α+2sinαcosα=(sinα+cosα)22cosα(sinα+cosα)=sinα+cosα2cosα=12tan α+12=2,所以tanα=3,从而可得tan2α=2tanα1−tan 2α=61−9=-34,故选A .4.D 解析:由已知得b sin C+√2c cos B=0,即sin B sin C+√2sin C cos B=0,因为sin C ≠0,所以sin B+√2cos B=0,故tan B=-√2,故选D .5.A 解析:依题意得T2=π4,所以T=π2,所以πω=π2,解得ω=2,所以f (x )=tan 2x+π6,把f (x )的图象向右平移π12个单位长度,得到函数g (x )=tan 2x-π12+π6=tan2x 的图象,令k π-π2<2x<k π+π2,k∈Z ,解得k π2−π4<x<k π2+π4,k ∈Z ,所以函数g (x )的单调递增区间为k π2−π4,k π2+π4(k ∈Z ),故选A .6.D 解析:设h=A sin(ωt+φ)+B A>0,ω>0,|φ|≤π2,由题意可得h max =18,h min =2,T=12,∴A=ℎmax -ℎmin2=8,B=ℎmax +ℎmin2=10,ω=2πT=π6,则h=8sinπt 6+φ+10.当t=0时,8sin φ+10=2,得sin φ=-1,则φ=-π2,所以h=8sin π6t-π2+10=-8cos π6t+10.故选D . 7.A 解析:由最小正周期为π,可得ω=2.∵最小值为-2,∴√a 2+1=2,a=±√3. ∵f (x )=-fπ2-x ,∴函数图象关于点π4,0对称.①若a=√3,则f (x )=√3sin(2x+φ)+cos(2x+φ)=2sin 2x+φ+π6.∵2×π4+φ+π6=k π(k ∈Z ),∴φ=k π-2π3(k ∈Z ).令k=1,得φ=π3.②若a=-√3,则f (x )=-√3sin(2x+φ)+cos(2x+φ)=-2sin 2x+φ-π6,∵2×π4+φ-π6=k π(k ∈Z ),则φ=k π-π3(k ∈Z ).令k=0,得φ=-π3. 综上可得,φ=±π3,故选A .8.A 解析:由cos2C=1-c 2b2,结合正弦定理可得1-2sin 2C=1-sin 2Csin 2B,整理得sin 2B-2sin 2C sin 2B=sin 2B-sin 2C.又C 为锐角,故sin C ≠0.于是sin 2B=12,从而sin B=√22.又因为三角形ABC 是锐角三角形,所以B=π4.9.B 解析由已知可得0<α<π,则0<α2<π2,sin(π-α)=sin α>0,故①不正确,tan3π2−α2=tanπ2−α2=1tanα2>0,故④不正确;当π2<α<π时,cos(-α)=cos α<0,tan(π+α)=tan α<0,故②③正确.故选B .10.B 解析:由题意可得g (x )=cos 2x+π8+π12=cos 2x+π3,∴函数g (x )的最小正周期为π,故A 正确;当x ∈0,π2时,2x+π3∈π3,4π3,故g (x )在区间0,π2上不单调,故B 不正确;∵g π12=0,故x=π12不是函数g (x )图象的对称轴,故C 正确;当x ∈-π6,π6时,2x+π3∈0,2π3,∴当2x+π3=2π3,即x=π6时,g (x )取得最小值-12,故D 正确,故选B .11.D 解析:因为tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanα·tanβ,且tan(α+β)=tan α+tan β,所以1-tan α·tan β=1,即tan α·tan β=0,所以α=k 1π(k 1∈Z )或β=m 1π(m 1∈Z ),sin(α+β)=sin(k 1π+m 1π)=0(k 1,m 1∈Z ),故A 错误;cos(α+β)=cos(k 1π+m 1π)=±1(k 1,m 1∈Z ),故B 错误; sin 2α2+sin 2β2=sin2k 1π2+sin 2m 1π2,令k 1=m 1=1,则sin 2π2+sin 2π2=2,故C 错误;由A 知sin(α+β)=0,则α+β=n π(n ∈Z ),故sin 2α+cos 2β=sin 2α+cos 2(n π-α)=sin 2α+cos 2α=1(n ∈Z ),故D 正确,故选D .12.C 解析:依题意得2sin C cos C=sinAcosA(2-2cos 2C+cos C-2),即2sin C cos C=sinAcosA·cos C (1-2cos C ),整理得cos C ·[2(sin A cos C+cos A sin C )-sin A ]=0,即cos C ·(2sin B-sin A )=0,所以cos C=0或sin A=2sin B.当cos C=0时,△ABC 是直角三角形,故A 选项正确;而当sin A=2sin B 时,由正弦定理可得a=2b ,故C 选项错误,D 选项正确;无论cos C=0或sin A=2sin B ,均可得角B 为锐角,故B 选项正确. 13.-√22解析:依题意可得2π2ω=π2,θ=-π2,即ω=2,θ=-π2,于是f (x )=√2cos4x ,因此fπ6=√2cos4×π6=-√22.14.√74解析:∵sin C=2sin A ,∴c=2a.又b 2-a 2=12ac ,∴b 2=2a 2,即b=√2a.由余弦定理可得,cos B=a 2+c 2-b 22ac=a 2+4a 2-2a 22a ·2a=34.又0<B<π,∴sin B=√1−cos 2B =√1−(34) 2=√74. 15.9 解析:由题得sin αcos β-cos αsin β=25,sin αcos β+cos αsin β=12,两式相加得sin αcos β=920,两式相减得cos αsin β=120,因此tanαtanβ=sinαcosβcosαsinβ=920120=9.16.√22 解析:∵AB=BD ,AB ⊥BD ,∴在等腰直角三角形ABD 中,AD=√2AB=√2c.在△ABC 中,由余弦定理得a 2+b 2-2ab cos ∠BCA=c 2,又已知c 2=2ab cos ∠BCA ,∴a 2+b 2=2c 2.又a=BC=CD ,b=AC ,AD=√2c ,∴AC 2+CD 2=AD 2,∴AC ⊥CD.作CF ⊥BD 分别交BD ,AD 于点F ,E ,∵BC=CD ,E ,F 分别为线段AD ,BD 的中点,∴∠CED=45°,CE=ED=1,∴S △ACD =2S △ECD =2×12×EC ×ED ×sin45°=√22.17.解(1)f (θ)=sin(3π2+θ)cos(π2-θ)sin(π+θ)cos(2π-θ)(1-cos2θ)2=-cosθsinθ(-sinθ)cosθ(2sin 2θ)2=cosθsinθsinθcosθ4sin 4θ=cosθcosθ4sin 2θ=14tan 2θ.(2)因为tan θ=12, 所以tan θ-3π4=tanθ-tan3π41+tanθtan3π4=12-(-1)1+12×(−1)=3,所以f θ-3π4=14tan 2(θ-3π4)=14×32=136.18.解(1)由函数图象可知A+B=1,B-A=-3, 则A=2,B=-1.又T2=7π12−π12=π2,即T=π,所以ω=2πT=2,从而函数f (x )=2sin(2x+φ)-1.把π12,1代入f (x )解析式得π6+φ=π2+2k π,φ=π3+2k π(k ∈Z ).又|φ|<π2,故φ=π3,所以函数解析式为f (x )=2sin 2x+π3-1.由2x+π3=k π(k ∈Z )得x=-π6+k π2(k ∈Z ),所以对称中心坐标为k π2−π6,-1(k ∈Z ).(2)因为fα2=2sin α+π3-1=-2,所以sin α+π3=-12.又α∈(0,π),则α+π3∈π3,4π3,所以α+π3=7π6,即α=5π6.19.解(1)由正弦定理asinA =b sinB得,√312=2sinB,解得sin B=√33,∴cos2B=1-2sin 2B=1-23=13. (2)由余弦定理得cos A=b 2+c 2-a 22bc=c 2+14c,∵c 2+14c≥2c4c =12,当且仅当c=1时,等号成立,∴cos A ≥12,则0<A ≤π3,即A 的最大值为π3, 此时S △ABC =12bc sin A=12×2×1×√32=√32. 20.解(1)f (x )=cos x+π2·cos x+5π4=(-sin x )·-cos x+π4=sin x√22cos x-√22sin x=√22sin x cos x-√22sin 2x=√24sin2x-√22×1−cos2x2=√24sin2x+√24cos2x-√24=12sin 2x+π4-√24,所以函数f (x )的最小正周期为2π2=π.由-π2+2k π≤2x+π4≤π2+2k π(k ∈Z ),得-3π8+k π≤x ≤π8+k π(k ∈Z ),故函数的单调递增区间为-3π8+k π,π8+k π(k ∈Z ).(2)函数f (x )的图象向右平移π4个单位长度,得到y=12sin 2x-π4+π4-√24=12sin 2x-π4-√24,再将横坐标扩大为原来的2倍得到g (x )=12sin x-π4-√24.因为x ∈[0,π],则x-π4∈-π4,3π4,则sin x-π4∈-√22,1,故g (x )∈-√22,12−√24.故函数g (x )在[0,π]上的值域为-√22,12−√24.21.解(1)在△AMN 中,由余弦定理得MN 2=AM 2+AN 2-2AM ·AN cos120°=3+3-2×√3×√3×-12=9, 所以MN=3,故线段MN 的长度为3千米.(2)设∠PMN=α,因为∠MPN=60°,所以∠PNM=120°-α. 在△PMN 中,由正弦定理得MNsin ∠MPN=PM sin(120°−α)=PN sinα=3sin60°=2√3,所以PM=2√3sin(120°-α),PN=2√3sin α. 因此PM+PN=2√3sin(120°-α)+2√3sin α=2√3√32cos α+12sin α+2√3sin α=3√3sin α+3cos α=6sin(α+30°).由于0°<α<120°,所以30°<α+30°<150°. 所以当α+30°=90°,即α=60°时,PM+PN 取到最大值6. 即两条观光线路距离之和的最大值为6千米. 22.解(1)由题意可知,△BCD 的外接圆半径为5√33,由正弦定理BD sin ∠BCD=2R=5√33×2,解得BD=5.(2)(方法1)在△ABD 中,设∠ABD=α,α为锐角,则∠ADB=2α, 因为AB sin2α=AD sinα,所以AB2sinαcosα=3sinα, 所以AB=6cos α.因为AD 2=AB 2+BD 2-2AB ·BD ·cos α,即9=36cos 2α+25-60cos 2α,11 所以cos α=√63.则AB=6cos α=2√6,sin α=√33,所以S △ABD =12AB ·BD ·sin α=5√2.(方法2)在△ABD 中,因为∠ADB=2∠ABD , 所以sin ∠ADB=sin2∠ABD=2sin ∠ABD cos ∠ABD ,所以AB=2AD ·cos ∠ABD=2AD ·AB 2+BD 2-AD 22AB ·BD ,因为BD=5,AD=3,所以AB=2√6, 所以cos ∠ABD=√63,则sin ∠ABD=√33,所以S △ABD =12AB ·BD ·sin ∠ABD=5√2.。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列函数中，在其定义域内是增函数的是（）A. y = x^2B. y = 2^xC. y = log2(x)D. y = -x2. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则下列等式中不正确的是（）A. a1 + a2 = 2a1 + dB. a1 + a3 = 2a2C. a1 + a4 = 2a3 + dD. a1 + a5 = 2a43. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则f(x)的对称中心是（）A. (0, 0)B. (1, -2)C. (-1, 2)D. (1, 2)4. 在三角形ABC中，若∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数是（）A. 60°B. 75°C. 90°D. 105°5. 已知等比数列{bn}的首项为b1，公比为q，若b1 = 2，b3 = 8，则b5的值为（）A. 16B. 32C. 64D. 1286. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，则f(x)的图像是（）A. 双曲线B. 抛物线C. 直线D. 椭圆7. 在等差数列{an}中，若a1 = 3，a3 = 9，则该数列的公差d是（）A. 2B. 3C. 6D. 98. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1，则f(x)的极值点是（）A. x = 0B. x = 1C. x = 2D. x = 39. 在三角形ABC中，若AB = AC，则下列结论正确的是（）A. ∠A = ∠BB. ∠A = ∠CC. ∠B = ∠CD. ∠A = ∠B = ∠C10. 已知函数f(x) = |x - 1| + |x + 1|，则f(x)的值域是（）A. [-2, 2]B. [0, 2]C. [2, +∞)D. (-∞, 2]二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，若a3 = 5，a5 = 9，则a1 =______，d = ______。

4.3 利用递推公式求通项（精练）（基础版）1．（2022·陕西·无高三阶段练习）若数列{}n a 满足11lg 1n n a a n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭且11a =，则数列{}n a 的第100项为（ ） A ．2B ．3C ．1lg99+D ．2lg99+2．（2022·四川·树德中学）已知数列{}n a 满足128a =，12n n a a n +-=，则na n的最小值为（ ） A ．293B ．471-C ．485D ．2743．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足13a =，()111n n a a n n +=++，则n a =（ ） A ．14n +B ．14n -C ．12n +D ．12n-4．（2022·全国·高三专题练习）数列{}n a 满足11a =，且11n n a a a n +=++（*n ∈N ），则122017111a a a ++⋅⋅⋅+=（ ） A ．20171009B ．40322017C ．40282015D ．201510085．（2022·全国·高三专题练习）在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n ，则通项公式a n ＝________． 6．（2022·全国·高三专题练习）已知110,21n n a a a n +==+-，求通项n a = . 7．（2022·重庆·模拟预测）已知数列{}n a 满足()*112,22n n n a a a n n +-+=+∈N . (1)求证：{}1n n a a +-是等差数列； (2)若121,2a a ==，求{}n a 的通项公式. 1．（2022·全国·高三专题练习）在数列{an }中，a 1=1，111n n a a n -⎛⎫=- ⎪⎝⎭(n ≥2)，求数列{an }的通项公式.2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足12a =，*12,n n na n a n +=+∈N ，求数列{}n a 的通项公式.3．（2022·全国·高三专题练习）数列{}n a 满足：123a =，()()()21*12122n n n n a a n +++-=-∈N ，求{}n a 的通项公式 .题组一 累加法题组二 累乘法4．（2022·全国·高三专题练习）在数列{}n a 中，()()22112,1222n n a n a n n a +=+=-+，求数列{}n a 的通项公式 .5．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的首项为12，且满足()()()*1112,n n n a n a n n N -+=-≥∈.求{}n a 的通项公式. 1．（2022·全国·高三专题练习）已知n a 为数列{}n S 的前n 项积，若121n nS a -=，则数列{}n a 的通项公式n a =（ ） A ．3-2nB ．3+2nC ．1+2nD ．1-2n2．（2022·湖北省武汉市汉铁高级中学高三阶段练习）(多选）数列{}n a 的前n 项为n S ，已知2421n n n S a a =++，下列说法中正确的是（ ） A ．{}n a 为等差数列B ．{}n a 可能为等比数列C ．{}n a 为等差数列或等比数列D ．{}n a 可能既不是等差数列也不是等比数列3．（2022·全国·高三专题练习）若数列{}n a 满足112a =,212323n n a a a na n a +++⋯+=,则2017a =______ ．4．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足11a =，()12311111231n n a a a a a n n -=+++⋅⋅⋅+>-.数列{}n a 的通项公式 .5．（2022·四川·什邡中学）数列{}n a 的前n 项和2321n S n n =-+，则它的通项公式是_______．6．（2022·安徽宿州）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2n n a S n ++=∈N ，则{}n a 的通项公式为n a =______． 7．（2022·北京交通大学附属中学高二期中）已知数列{}n a 满足()212n a a a n n n *+++=+∈N ，则n a =____.8．（2022·山西太原·二模（文））已知数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，且()12n n nS n S +=+，则数列{}n a 的通项公式n a =___________. 1．（2022·全国·课时练习）在数列{}n a 中，若111,12n n naa a a +==+，则n a =________.题组三 公式法题组四 构造等差数列2．（2022·湖北·荆州中学）已知数列{}n a 满足11a =，且11nn n a a a +=+．则数列{}n a 的通项公式为n a =_______． 3．（2022·全国·课时练习）已知数列{}n a 中，1*113,323,n n n a a a n N ++==+⨯∈，求数列{}n a 的通项公式 ；4．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 中，213a =，112n n n n a a a a ++=+．求数列{}n a 的通项公式 ； 5．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 中，11a =，133nn n a a +=+，求数列{}n a 的通项公式 .1．（2022·四川师范大学附属中学二模）已知数列{}n a 满足1122n n a a +=+，且{}n a 前8项和为761，则1a =______．2．（2022·山西）已知数列{}n a 满足1267n n a a +=+，11a =，则n a =___________. 3．（2021·全国·专题练习）已知数列{}n a 满足：11a =，12nn n a a a +=+()n N +∈，则6a =( ) A ．131B ．132C ．163D ．1644．（2022·黑龙江）已知数列{}n a 的通项公式为135a =，1321nn n a a a +=+求数列{}n a 的通项公式 .题组五 构造等比数列4.3 利用递推公式求通项（精练）（基础版）1．（2022·陕西·无高三阶段练习）若数列{}n a 满足11lg 1n n a a n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭且11a =，则数列{}n a 的第100项为（ ） A ．2 B ．3 C ．1lg99+ D ．2lg99+【答案】B【解析】由题意，因为()111lg 1lglg 1lg n n n a a n n n n ++⎛⎫-=+==+- ⎪⎝⎭， 所以10099lg100lg99a a -=-， ⋯⋯32lg3lg2a a -=-， 21lg2lg1a a -=-，以上99个式子累加得1001lg100a a -=， 100lg10013a =+=． 故选：B ．2．（2022·四川·树德中学）已知数列{}n a 满足128a =，12n n a a n +-=，则na n的最小值为（ ） A ．293B ．471-C ．485D ．274【答案】C【解析】因为12n n a a n +-=，所以()121n n a a n --=-，()1222n n a a n ---=-，，2121a a -=⋅，1n -式相加可得()()()()()11112121212n n n a a n n n +---=+++-=⋅=-，所以228n a n n =-+，2812281471n a n n n=+-≥-=-，当且仅当27n =取到，但*n N ∈，()275,6∈，所以5n =时5284851555a =+-=，当6n =时，6282961663a =+-=，482953<，所以n a n 的最小值为485.故选：C3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足13a =，()111n n a a n n +=++，则n a =（ ）A ．14n+B ．14n-C ．12n+D ．12n-题组一 累加法【答案】B【解析】由题意可得()111111n n a a n n n n +-==-++，所以21112a a -=-，321123a a -=-，…，1111n n a a n n--=--， 上式累加可得()()()121321--=-+-++-n n n a a a a a a a a111111112231=-+-++-=--n n n， 又13a =，所以14=-n a n.故选：B .4．（2022·全国·高三专题练习）数列{}n a 满足11a =，且11n n a a a n +=++（*n ∈N ），则122017111a a a ++⋅⋅⋅+=（ ） A ．20171009B ．40322017C ．40282015D ．20151008【答案】A【解析】∵11n n a a n +-=+，111n n a a n --=-+，…，2111a a -=+， ∵()1112n n n a a n ++-=+，即()1112n n n an ++=++， ∵()()1122n n n n n a n -+=+=，2n ≥． ∵11a =符合上式，∵()12n n n a +=． ∵11121n a n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， 122017111111112122320172018a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=⨯-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 1212018⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭，20171009=． 故选：A ．5．（2022·全国·高三专题练习）在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n ，则通项公式a n ＝________．【答案】2n －1【解析】由题意得a n ＋1－a n ＝2n ，把n ＝1，2，3，…，n －1(n ≥2)代入，得到(n －1)个式子，累加即可得(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(an －an －1)＝2＋22＋23＋…＋2n －1，所以()1121212n n a a ---=-，即a n －a 1＝2n －2，所以a n ＝2n －2＋a 1＝2n －1．当n ＝1时，a 1＝1也符合上式，所以a n ＝2n －1．故答案为：2n －1 6．（2022·全国·高三专题练习）已知110,21n n a a a n +==+-，求通项n a = .【答案】()()2*1n a n n N =-∈【解析】 121n n a a n +-=-，∴ 211a a -=，323a a -= ，435a a -=，123n n a a n --=- ()2n ≥，以上各式相加得1n a a -()()21357...231n n =+++++-=-()2n ≥，又10a =，所以()21n a n =- ()2n ≥，而10a =也适合上式， ∴ ()()2*1n a n n N =-∈.7．（2022·重庆·模拟预测）已知数列{}n a 满足()*112,22n n n a a a n n +-+=+∈N . (1)求证：{}1n n a a +-是等差数列； (2)若121,2a a ==，求{}n a 的通项公式.【答案】(1)证明见解析(2)2254n a n n =-+【解析】(1)由题1124n n n a a a +-+=+，即114n n n n a a a a +--=-+，{}1n n a a +∴-是公差为4的等差数列. (2)()()211211,42472n n a a a a a a n n n --=∴-=-+-=-12411n n a a n ---=-⋯⋯，累加可得()()()()()21471147411125322n n n a a n n n n n-+--=-+-++==-+()22542n a n n n =-+，当1n =时1a 也满足上式2254n a n n ∴=-+.1．（2022·全国·高三专题练习）在数列{an }中，a 1=1，111n n a a n -⎛⎫=- ⎪⎝⎭(n ≥2)，求数列{an }的通项公式.【答案】1n a n=【解析】因为a 1=1，111n n a a n -⎛⎫=- ⎪⎝⎭(n ≥2)，所以-11n n a n a n -=，所以1232112321n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -----=⋅⋅⋅⋯⋅⋅⋅123··12n n n n n n ---=--·…·21·32·1=1n. 题组二 累乘法又因为当n=1时，a 1=1，符合上式，所以a n =1n.2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a满足1a =*1,n n n +∈N ，求数列{}n a 的通项公式.【答案】)*n a n ∈N1n n +，得1n n a a += 所以当2n ≥时，32123451112321n n a a a n n aa a n n +⋅=⋅⋅⋅=---，因为1a)2n a n =≥，又因为1n =时，1a )*n a n ∈N3．（2022·全国·高三专题练习）数列{}n a 满足：123a =，()()()21*12122n n n n a a n +++-=-∈N ，求{}n a 的通项公式 .【答案】()()122121nn nn a +=-- 【解析】由()()2112122n n n n a a +-+-=-得，1122222122121n n n n n n a a ++++--==⋅--，1231122113123121212121222221212121n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a -----+--------⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=----()()11322121n n n -+--，即()()111322121n n n n a a -+⋅=--，所以()()122121nn nn a +=--.4．（2022·全国·高三专题练习）在数列{}n a 中，()()22112,1222n n a n a n n a +=+=-+，求数列{}n a 的通项公式 . 【答案】()2211nn -+【解析】依题意，()()22112,1222n n a n a n n a +=+=-+，即()()()2221121,2111211n n n n n a n a n a a n ++⎡⎤-+⎣⎦⎡⎤+=+=-⎣⎦+，所以当2n ≥时13211221n n n n n a a a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅⋅()()()()22222222211201222212311121111n n n n ⎡⎤⎡⎤-+-+⎣⎦⎣⎦-+-+⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦=⋅⋅⋅⋅⋅++()2211nn =-+当1n =时也满足上式 所以()2211nn a n =-+5．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的首项为12，且满足()()()*1112,n n n a n a n n N -+=-≥∈.求{}n a 的通项公式. 【答案】()11n a n n =+.【解析】由()()111n n n a n a -+=-，得111n n a n a n --=+， 又112a =，所以当2n ≥时，123211232112321······1143n n n n n n n a a a a a n n n a a a a a a a n n n --------=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+-()1121n n ⋅=+， 又1n =也满足上式，所以()11n a n n =+；1．（2022·全国·高三专题练习）已知n a 为数列{}n S 的前n 项积，若121n nS a -=，则数列{}n a 的通项公式n a =（ ） A ．3-2n B ．3+2nC ．1+2nD ．1-2n【答案】D【解析】当n =1时，1111211a a a -=⇒=-；当2n ≥时，11112212n n n n n n n n a a a a a a a a ----=-=⇒-=-，于是{}n a 是以-1为首项，-2为公差的等差数列，所以()12112n a n n =---=-.故选：D.2．（2022·湖北省武汉市汉铁高级中学高三阶段练习）(多选）数列{}n a 的前n 项为n S ，已知2421n n n S a a =++，下列说法中正确的是（ ） A ．{}n a 为等差数列 B ．{}n a 可能为等比数列C ．{}n a 为等差数列或等比数列D ．{}n a 可能既不是等差数列也不是等比数列题组三 公式法【答案】BD【解析】依题意，2421n n n S a a =++，当1n =时，22111111421,210,1a a a a a a =++-+==，当2n ≥时，2421n n n S a a =++，2111421n n n S a a ---=++，两式相减得2211422n n n n n a a a a a --=-+-，()()()11120n n n n n n a a a a a a ---+--+=，()()1120n n n n a a a a ----+=，当10n n a a -+=时，1n n a a -=-，则数列{}n a 是首项为1，公比为1-的等比数列. 当120n n a a ---=时，12n n a a --=，则数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列， 当10n n a a -+=，120n n a a ---=交替成立时，{}n a 既不是等差数列也不是等比数列. 故选：BD3．（2022·全国·高三专题练习）若数列{}n a 满足112a =,212323n n a a a na n a +++⋯+=,则2017a =______ ．【答案】122017【解析】2212121331(1)((23231))2)1(,n n n n n a a a na n a a a a na n a n a +++++⋯+=+++⋯+++⇒+=(2)(1)-得,122111)1)((1n n n n n a n a n a nn a a n +++-⇒+==++, 所以有324123111123112234n n n a a a a n n a a a a a a n a --=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=,因此2017122017a =. 故答案为1220174．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足11a =，()12311111231n n a a a a a n n -=+++⋅⋅⋅+>-.数列{}n a 的通项公式 . 【答案】1,1,22n n a n n =⎧⎪=⎨≥⎪⎩ 【解析】1231111(1)231n n a a a a a n n -=++++>-，11a =当2n =时，211a a == 当2n >时，112311111231n n n a a a a a a n n+-∴=+++++-，两式相减得：11n n n a a a n+-=，即11n n n a a n++=，∴11n n a n a n ++=， 11n n a na n -∴=-，1212n n a n a n ---=-，2323n n a n a n ---=-，3434n n a n a n ---=-⋯3232a a =， 累乘得：22nana =，所以2n n a =，()2n >1,1,22n n a n n =⎧⎪∴=⎨≥⎪⎩故答案为：1,1,22n n a nn =⎧⎪=⎨≥⎪⎩. 5．（2022·四川·什邡中学）数列{}n a 的前n 项和2321n S n n =-+，则它的通项公式是_______．【答案】2,165,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩ 【解析】当1n =时，211312112a S ==⨯-⨯+=，当2n ≥时，()()()22132********n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦经检验当1n =时不符合，所以2,165,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩，故答案为：2,165,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩，6．（2022·安徽宿州）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2n n a S n ++=∈N ，则{}n a 的通项公式为n a =______． 【答案】112n -⎛⎫⎪⎝⎭【解析】当1n =时，112a S +=，得11a =， 当2n ≥时，由()2n n a S n ++=∈N ，得112n n a S --+=， 所以110n n n n a S a S --+--=，所以120n n a a --=，所以112n n a a -=， 所以数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列，所以112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，故答案为：112n -⎛⎫⎪⎝⎭7．（2022·北京交通大学附属中学高二期中）已知数列{}n a 满足()212n a a a n n n *+++=+∈N ，则n a =____.【答案】2n 【解析】因为212(1)n n a a a n +++=+，所以当2n ≥时，有2121(11)(2)n a a n n a -+++=--+，(1)(2)-，得2n a n =，当1n =时，12a =也适合2n a n =， 故答案为：2n8．（2022·山西太原·二模（文））已知数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，且()12n n nS n S +=+，则数列{}n a 的通项公式n a =___________. 【答案】n【解析】∵1(2)n n nS n S +=+，∵12n n S n S n ++= 当2n ≥时，121121n n n n n S S S S S S S S ---=⨯⨯⨯⨯， 1126543112344321n n n n n n n n +--=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯----(1)2n n +=当1n =时，111212S a ⨯===成立， ∵(1)2n n n S +=， 当2n ≥时，1(1)(1)22n n n n n n na S S n -+-=-=-=，当1n =时，11a =满足上式， ∵n a n =. 故答案为：n1．（2022·全国·课时练习）在数列{}n a 中，若111,12nn naa a a +==+，则n a =________.【答案】121n - 【解析】取倒数得:1112n na a +=+， 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为2的等差数列，题组四 构造等差数列所以112(1)21n n n a =+-=-，所以121n a n =-. 故答案为：121n - 2．（2022·湖北·荆州中学）已知数列{}n a 满足11a =，且11nn n a a a +=+．则数列{}n a 的通项公式为n a =_______． 【答案】1n【解析】因为11n n n a a a +=+，所以11111,1111n n n n n n a a a a a a ++=-+=+=，所以数列1na 是首项为1，公差为1 的等差数列，所以11,nn n a a n ==故答案为：1n. 3．（2022·全国·课时练习）已知数列{}n a 中，1*113,323,n n n a a a n N ++==+⨯∈，求数列{}n a 的通项公式 ；【答案】()213nn a n =-⋅．【解析】由11323n n n a a ++=+⨯，得：111123333n n n n n n a a ++++⋅=+，∵11233n n n na a ++-=， 即数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为2的等差数列，∵213n n a n =-，得()213n n a n =-⋅． 4．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 中，213a =，112n n n n a a a a ++=+．求数列{}n a 的通项公式 ；【答案】121n a n =- 【解析】因为112n n n n a a a a ++=+，213a =所以令1n =，则12122a a a a =+，解得11a =， 对112n n n n a a a a ++=+两边同时除以1n n a a +，得1112n na a +-=， 又因为111a ，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为2的等差数列，所以112(1)21n n n a =+-=-，所以121n a n =-； 5．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 中，11a =，133nn n a a +=+，求数列{}n a 的通项公式 .【答案】13n n a n -=⋅【解析】∵133nn n a a +=+，∵111333n n n n a a ++-=，∵数列3n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，公差为13，又1133a =， ∵11(1)3333n na nn =+-⨯=，∵13n n a n -=⋅. 题组五 构造等比数列1．（2022·四川师范大学附属中学二模）已知数列{}n a 满足1122n n a a +=+，且{}n a 前8项和为761，则1a =______．【答案】52【解析】数列{}n a 满足1122n n a a +=+，整理得1112()22n n a a ++=+，若112a =-，则12n a =-，显然不符合题意，所以12n a ≠-，则121212n n a a +++=（常数）；所以数列12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以112a +为首项，2为公比的等比数列；所以1111222n n a a -⎛⎫+=+⋅ ⎪⎝⎭，整理得1111222n n a a -⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭；由于前8项和为761，所以187811111121()(12...2)842554761222122S a a a -⎛⎫⎛⎫=+⋅+++-⨯=+⨯-=+-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，解得152a =．故答案为：52． 2．（2022·山西）已知数列{}n a 满足1267n n a a +=+，11a =，则n a =___________. 【答案】1117344n -⋅- 【解析】由已知可得1732n n a a +=+，设()13n n a x a x ++=+，则132n n a a x +=+，所以，722x =，可得74x =，所以，177344n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，且171144a +=，由题意可知，对任意的n *∈N ，704n a +≠，则174374n n a a ++=+， 所以，数列74n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，且该数列的首项为114，公比为3，所以，1711344n n a -+=⋅，因此，1117344n n a -=⋅-.故答案为：1117344n -⋅-. 3．（2021·全国·专题练习）已知数列{}n a 满足：11a =，12nn n a a a +=+()n N +∈，则6a =( ) A ．131B ．132C ．163D ．164【答案】C【解析】由题意，12121n n n n a a a a ++==+，即+11112(1)n na a +=+，故111211n n a a ++=+， 又因为1112a +=，所以数列1{1}n a +是以首项为2，公比为2的等比数列，从而561122a +=⨯，解得6163a =.故选：C. 4．（2022·黑龙江）已知数列{}n a 的通项公式为135a =，1321nn n a a a +=+求数列{}n a 的通项公式 .【答案】332nn na =+ 【解析】因为1321n n n a a a +=+，所以121121333n n n n a a a a ++==+，则1111113n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 又11213a -=，所以数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以23为首项，13为公比的等比数列，所以112121333n n n a --=⨯=， 所以1323n n n a +=，所以332nn na =+.。

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(考点:复数,★)若复数z 满足(1-i)z=1+2i,则z −在复平面内对应的点位于( ). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知集合{}2230M x x x =--<，{}0N x x x =-=，则M N =（ ）A ．{}0,1B ．[)0,1C ．()0,3D ．[)0,33.(考点:函数的奇偶性与周期性,)已知奇函数f (x )满足f (x+2)=f (x ),且当x ∈(-1,1)时,f (x )=lg (21-x +a),则f (40412)=( ).A .0B . lg 3C .lg 5D .14.(考点:三角恒等变换,)已知tan α=2tan π7,则cos(α-5π14)sin(α+6π7)=( ).A .3B .1C .-1D .-35.(考点:等比数列,★★)已知数列{a n }中,a 1=1,a n+1=√2a n (n ∈N *),则a 1+a 3+a 5+a 7+a 9=( ). A .31 B .63C .123D .10236.(考点:双曲线,★★)已知直线y=2b 与双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的渐近线在第一象限交于点C ,双曲线的左、右焦点分别为F 1,F 2,若tan ∠CF 2F 1=√15,则双曲线的离心率为( ). A.1611 B .2 C.4 D.4或16117.(考点:样本的数字特征,★★★)一张白纸上曾经写有x 1,x 2,…,x 16等16个数据,由于时间长了,除了数据9.22比较清楚外,剩下的15个数据模糊不清,但是这15个数据的平均数为10.02,16个数据的标准差s=√116 i=116(x i -x −)2≈0.212,其中i=1,2,…,16,则 i=116x i2=( ).(结果保留小数点后三位数字) A.1584.034 B.1589.134 C.1591.134 D.1594.1348.(考点:函数图象的判断,★★★)函数f (x )=sinx+xcosx+|x |在[-π,π]上的大致图象为( ).二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9．已知某圆锥的母线长为2，其轴截面为直角三角形，则下列关于该圆锥的说法中正确的有 A 22B ．圆锥的表面积为22πC 2π的扇形D ．圆锥的内切球表面积为(24162π-10．已知a ，b ，c 为实数，且0a b >>，则下列不等式不一定．．．成立的是 A ．22ac bc >B ．b aa b< C ．()222log log ab b ->D ．1122a b< 11．设正实数x ，y 满足21x y +=，则 A ．10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．xy 的最大值为14C ．22x y +的最小值为15D ．42x y +的最小值为412．设函数()πsin 5f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0>ω），若()f x 在[]0,π有且仅有5个极值点，则A ．()f x 在()0,π有且仅有3个极大值点B ．()f x 在()0,π有且仅有4个零点C ．ω的取值范围是4353,1010⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．()f x 在π0,20⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．给出一个满足以下条件的函数()f x =___________. ①()f x 的定义域是R ，且其图像是一条连续不断的曲线； ②()f x 是偶函数；③()f x 在()0,∞+不是单调函数； ④()f x 有无数个零点. 14．23()33xf x =+，且11(0())(1)n n a f f f f n N n n *-⎛⎫⎛⎫=++⋯++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则数列{}n a 的通项公式为________． 15．正方体1111ABCD A B C D -为棱长为2，动点P ，Q 分别在棱BC ，1CC 上，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，设BP x =，CQ y =，其中x ，[]0,2y ∈，下列命题正确的是_____．（写出所有正确命题的编号）①当0x =时，S 为矩形，其面积最大为4；②当1x y ==时，S 的面积为92；③当1x =，()1,2y ∈时，设S 与棱11C D 的交点为R ，则144RD y=-；④当2y =时，以1B 为顶点，S 为底面的棱锥的体积为定值83．16．对于函数()f x 与()g x ，若存在0x ，使()()00f x g x =-，则称点()()00,A x f x ，()()00,B x g x 是函数()f x 与()g x 图象的一对“靓点”．已知函数()2ln ,022,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，()g x kx =，若函数()f x 与()g x 恰有两对“靓点”，则k 的取值范围为______四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第16题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤。