新江苏省高三数学上学期考试试题分类汇编导数及其应用

江苏省18市县2019届高三上学期期中期末考试数学试题分类汇编导数及其应用一、填空题1、（常州市2019届高三上学期期末）若直线0kx y k --=与曲线e x y =（e 是自然对数的底数）相切，则实数k =________.2、（南京市、镇江市2019届高三上学期期中）已知e 为自然对数的底数，函数y ＝e x －lnx 在［1，e ］的最小值为＿＿3、（苏州市2019届高三上学期期末）曲线2xy x e =+在0x =处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为 ．4、（苏州市2019届高三上学期期中）函数()x f x e x a =-在(1,2)-上单调递增，则实数a 的取值范围是 ▲ ．5、（泰州市2019届高三上学期期末）已知函数42()24f x x x =+，若(3)(1)f a f a +>-，则实数a 的取值范围为6、（盐城市2019届高三上学期期中）在平面直角坐标系中，曲线21xy e x =++在x ＝0处的切线方程是 ．7、（盐城市2019届高三上学期期中）已知函数21()()(1)2xf x x m e x m x =+--+在R 上单调递增，则实数m 的取值集合为 ．8、（镇江市2019届高三上学期期末）设函数32()f x ax bx cx =++(a ，b ，c ∈R ，a ≠0)．若不等式()()2xf x af x '-≤对一切x ∈R 恒成立，则b ca+的取值范围为 ．参考答案 一、填空题1、2e 2、e 3、234、-1a ≤或3a ≥5、a >-16、32y x =+7、{}1-8、二、解答题 1、（常州市2019届高三上学期期末）已知函数2()m x x =，函数()ln 1()R n x a x a =+∈. (1) 若2a =，求曲线()y n x =在点(1,(1))n 处的切线方程；(2) 若函数()()()f x m x n x =-有且只有一个零点，求实数a 的取值范围；(3) 若函数()()10e e x g x n x x =-+-≥对[1,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围.(e 是自然对数的底数，2.71828e ≈) 2、（海安市2019届高三上学期期末）设k ∈R ，函数g (x )＝k (x －e )，其中e 为自然对数的底数．⑴设函数f (x )＝x1－ln x．①若k ＝－1，试判断函数f (x )与g (x )的图像在区间(1，e )上是否有交点；②求证：对任意的k ∈R ，直线y ＝g (x )都不是曲线y ＝f (x )的切线； ⑵设函数h (x )＝2x －x ln x ＋xg (x )－ekx ，试判断函数h (x )是否存在极小值，若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由．3、（南京市、盐城市2019届高三上学期期末）若函数y ＝f (x )在x ＝x 0处取得极大值或极小值，则称x 0为函数y ＝f (x )的极值点．设函数f (x )＝x 3－tx 2＋1(t ∈R )． （1）若函数f (x )在(0，1)上无极值点，求t 的取值范围；（2）求证：对任意实数t ，在函数f (x )的图象上总存在两条切线相互平行；（3）当t ＝3时，若函数f (x )的图象上存在的两条平行切线之间的距离为4，问：这样的平行切线共有几组？请说明理由．4、（南京市、镇江市2019届高三上学期期中）已知函数2(),(),,x f x e g x mx m R ==∈e 为自然对数的底数。

江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编 导数及其应用 1、（南通市2013届高三期末）曲线在点(1，f(1))处的切线方程为 ▲ ． 答案：． 2、（苏州市2013届高三期末）过坐标原点作函数图像的切线，则切线斜率为 ． 答案： 3、（泰州市2013届高三期末）曲线y=2lnx在点（e,2）处的切线与y轴交点的坐标为 (0,0) 4、（扬州市2013届高三期末）已知函数（）在区间上取得最小值4，则 ▲ ． 5、（常州市2013届高三期末）第八届中国花博会将于2013年9月在常州举办，展览园指挥中心所用地块的形状是大小一定的矩形ABCD，，．a，b为常数且满足.组委会决定从该矩形地块中划出一个直角三角形地块建游客休息区（点E，F分别在线段AB，AD上），且该直角三角形AEF的周长为（），如图．设，△的面积为． （1）求关于的函数关系式； （2）试确定点E的位置，使得直角三角形地 块的面积最大，并求出的最大值． 解：（1）设，则，整理，得．………3分 ，． …………………………………4分 （2） 当时，，在递增，故当时，； 当时，在上，，递增，在上，，递减，故当时，. 6、（连云港市2013届高三期末）（连云港市2013届高三期末）某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度,拟制定医疗费用在2万元10万元2万元10万元方案报销医疗费用y(万元)随医疗总费用x(万元)增加而增加报销医疗费用不得低于医疗总费用的50%报销医疗费用不得超过万元. (1)请分析采用函数模型y0.05(x2+4x+8)作为报销方案； (2)若定采用函数模型y+a(a为常数)作为报销方案，请你确定整数的值．(1)函数y=0.05(x2+4x+8)在[2,10]上是增函数，满足条件①， ……………2分 当x=10时,y有最大值7.4万元,小于8万元,满足条件③. ………………………4分 但当x=3时,y=0得xb时由（1）知x1=b，x2=A（b,0）B 当a<b时 x1=,x2=b 同理可得a-b=(舍) 综上a-b=………………………………………………..………………………….7分 的减区间为即（b,b+1）（x）减区间为 ∴公共减区间为（b，b+）长度为…………………………….……………………10分 （3） 若，则左边是一个一次因式，乘以一个恒正（或恒负）的二次三项式，或者是三个一次因式的积，无论哪种情况，总有一个一次因式的指数是奇次的，这个因式的零点左右的符号不同，因此不可能恒非负。

3.3 导数在实际问题中的应用及综合应用挖命题【考情探究】力及学生数学建模与数学抽象的学科素养.炼技法【方法集训】方法一利用导数解决不等式恒成立、存在性问题的方法(2019届江苏启东检测)设函数f(x)=aln x+—x〔bx(a胡)，曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线斜率为0.⑴求b;⑵若存在X。

羽，使得f(x 0)<一,求a的取值范围解析(1)f '(x)= -+(1-a)x-b. 由题设知f '(1)=0,解得b=1.⑵f(x) 的定义域为(0,+ a),由(1)知,f(x)=aln x+—x2-x,f '(x)= -+(1-a)x-仁一- (x-1).①若a©,则一w1,故当x q1,+ a)时，f '(x)>0, f(x)在(1,+上单调递增所以存在x0>1,使得f(x0)<—的充要条件为f(1)< —,即—仆―,解得--1<a< -1.②若_va<1,则一>1,故当x€ 一时，f '(x)<0,当x €一时，f '(x)>0,即f(x)在—上单调递减在—上单调递增.所以存在x o>1,使得f(x o)<一的充要条件为f 一 <一. 而f —— =aln ——+ ---- +——>——,所以不合题意.③若a>1,则f(1)= —-1=——<—恒成立,所以a>1.综上,a的取值范围是(-一-1, 一-1) U(1,+ g ).方法二利用导数解决函数零点问题的方法(2018江苏镇江期末)已知b>0,且b^1,函数f(x)=e x+b x,其中e为自然对数的底数.(1) 对满足b>0,且b#1的任意实数b,证明函数y=f(x)的图象经过唯一定点；(2) 如果关于x的方程f(x)=2有且只有一个解，求实数b的取值范围.解析⑴假设y=f(x)过定点(x o’y。

江苏 13 大 2019 高三上学期年终数学试题分类汇编- 导数及其应用导数及其应用1、〔南通市2018 届高三期末〕曲e x在点 (1 ， f (1)) 的切 方f ( x)f (1) f (0) x1 x 2e2程 ▲、答案 ：1 、y ex22、〔 州市 2018 届高三期末〕 坐 原点作函数yln x 像的切 ，那么切 斜率 、答案：1e3、〔泰州市 2018 届高三期末〕曲 y=2lnx在点〔 e,2 〕 的切 与 y 交点的坐(0,0)4、〔 州市2018 届高三期末〕函数ln x m 〔m R 〕在区 [1, e] 上获得最小f ( x)x4，那么 m▲、3e5、〔常州市 2018 届高三期末〕第八届中国花博会将于2018 年 9 月在常州 ，展 园指中心所用地 的形状是大小必定的矩形ABCD ，，、a ，b 常数且 足 b a.BC a CD b委会决定从 矩形地 中划出一个直角三角形地AEF 建旅客歇息区 〔点 E ，F 分 在段 ， 上〕，且 直角三角形 的周 〔l 2b 〕，如 、 AE x，△AEF 的面AB AD AEFS 、〔 1〕求 S 对于 x 的函数关系式；〔 2〕 确立点 E 的地点，使得直角三角形地 AEF的面 S 最大，并求出 S 的最大 、解：〔 1〕 AFy，那么x yx 2y 2l ，整理，得 yl 2 2lx 、⋯⋯⋯ 3 分2(l x) 1 x(l 2 2lx) ，x(0,b 、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分Sxyx)24(l 〔2〕S ' l 2x 24lxl 2 2l222 22 2 xlxl , x (0, b4x l4 x l22当b 22，S'0，S在(0,b增，故当x b，bl2b l；2lSmax4b l当2 2 l ，在0,22 l上，S'0，S增，在上，b x x22l , b222S'0，S减，故当22，3 2 2.x l S max l 2246、〔连云港市2018 届高三期末〕〔连云港市 2018 届高三期末〕某位决定本位工行年医用制度, 拟订年医用在 2 万元至 10 万元 (包含 2万元和 10 万元 )的方案 , 方案要求同具以下三个条件：① 的医用y(万元)随医用x(万元)增添而增添；② 的医用不得低于医用的50%；③ 的医用不得超 8 万元.(1) 你剖析位可否采函数模型y＝0.05( x2+4x+8)作方案；(2)假位决定采函数模型y＝ x 2ln x+a( a 常数)作方案，你确立整数 a 的、 ( 参照数据： ln2 0.69 ，ln10 2.3)【解】 (1) 函数y=0.05(x2+4x+8)在[2,10]上是增函数，足条件①，⋯⋯⋯⋯⋯2分当 x=10 , y 有最大7.4万元,小于 8万元 , 足条件③ . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分29 3x但当 x=3 , y=20<2,即 y2不恒建立 , 不足条件② ,故函数模型不切合位方案. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分2 x－2(2) 对于函数模型y=x 2ln x+a， f ( x)= x2ln x+a，那么f′( x)=1 x= x0.所以 f ( x)在[2，10]上是增函数，足条件①，x x由条件②，得x 2ln x+a 2，即 a 2ln x2在 x [2，10]上恒建立，x2 1 4－x令 g( x)=2ln x2，那么 g′( x)=x－2=2x，由 g′( x)>0得 x<4，g( x)在(0，4)上增函数，在(4，10)上是减函数.a g(4)=2ln42=4ln22. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分由条件③，得 f (10)=102ln10+ a 8，解得a 2ln10 2. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分另一方面，由x 2ln+，得a2lnx在x[2 ， 10] 上恒建立 ,x a xa2ln2,上所述， a 的取范[4ln2 2，2ln2]，所以足条件的整数 a 的 1.⋯⋯⋯⋯⋯14分、〔南京市、城市2018届高三期末〕对于定在区D上的函数 f ( x),假任x0 D ,7均有 f ( x0 ) D ,那么称函数 f (x)在区D上封.判断 f ( x) x 1在区 [ 2,1] 上能否封,并明原因；假函数g (x)3x a在区[3,10]上封,求数a的取范；x1假 函数 h(x) x 3 3x 在区 [a, b]( a,bZ ) 上封 , 求 a, b 的 .解:(1) f ( x)x 1在区 [ 2,1] 上 增 , 所以 f (x) 的 域 [-3,0]⋯⋯⋯2分而[-1,0][ 2,1] , 所以 f ( x) 在区 [2,1] 上不是封 的⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分(2) 因 g( x)3x a 3 a 3 ,x 1 x 1①当 a 3 , 函数 g (x) 的 域3[3,10] , 合适 意⋯⋯⋯⋯⋯5 分②当 a3 , 函数 g (x) 在区[3,10] 上 减 , 故它的 域 [ 30 a , 94 a] ,1130 a330 a 9 a113 a31由][3,10], 得,解 得, 故[ ,9a1011443 a 31 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分③ 当 a3, 在 区[3,10] 上 有 g( x)3x aa33 ,然 不 合x131x 意⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分上所述 , 数 a 的取 范 是 3 a 31⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分(3) 因 h( x)x 3 3x , 所以 h (x) 3x 23 3(x 1)(x 1) ,所以 h( x) 在 (, 1) 上 减 , 在 (1,1) 上 增 , 在 (1, )上 增.①当 ab 1 , h(a)a 10 分h(x) 在区 [ a, b] 上 增 , 所以, 现在无解⋯⋯⋯h(b) b②当a1 1 b 1 , 因 h( x)maxh( 1) 2b , 矛盾 , 不合 意⋯⋯⋯⋯ 11分且 ③当 a1且b 1 , 因 h(1)2, h(1)2, 故a 2都在函数的 域内 b,2ah(a)3 3a2 a 或 a 2 a2又 a, 解得 03或, 进而 ⋯⋯⋯ 12 分b h(b)3b b 0 b 2b 2b 21 ab 1, h(b) a (*),④当h( x) 在区 [ a,b] 上 减 ,bh(a)而 a, b Z ,,均不合 (*)式⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分⑤当且, 因h( x)h(1)2 a , 矛盾 , 不合 意⋯⋯⋯⋯14 分1 a 1 b 1min⑥当b a, h(x) 在区 [ a, b] 上 增 , 所以h(a) a, 现在无解⋯⋯⋯⋯⋯15 分1h(b) b上所述 , 所求整数 a,b 的 a2, b 2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 16分8、〔南通市 2018 届高三期末〕 某企业 一家制冷 厂 生 一种 方形B薄板，其周 4 米， 种薄板 沿其 角 折叠后使用、以下 ，ABCD ( ABAD ) 方形薄板，沿 AC 折叠后， AB 交 DC 于点 、当△ADP DPCP 的面 最大 最 能，凹多 形ACB PD 的面 最大 制冷成效最好、〔 1〕 AB =x 米，用 x 表示 中 DP 的 度，并写出 x 的取 范 ；〔 2〕假 要求最 能， 怎么 薄板的 和 ？〔 3〕假 要求制冷成效最好， 怎么 薄板的 和 ？AB解：〔1〕由 意， AB x，BC2x、因x 2 x，故1x 2 、⋯⋯⋯⋯（第 17 题）2 分DPy ，那么PCxy、因△ ADP≌△CB P，故PAPC x y、由 PA2AD2DP 2，得(x y)2(2 x)2y 2y2(1 1 ) ，1 x 2、⋯⋯ 5分〔 2〕 △ ADP 的面 S 1x，那么S (11)(2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分x)1x3 ( x 2)22 ，2x 2 ∈ (1 ， 2) ， S 1获得最大 、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯当且 当 x8 分 故当薄板2 米， 2 2 米 ， 能成效最好、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分〔 3〕 △ ADP 的面 S 2，那么S 21x(2x)(1 1 )(2x) 3 1 ( x 2 4 ， 1x 2 、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分2x 2 x )所以，S1(2 x 4 )32 0 x 32 、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分x22x2x 2对于 x 的函数S 2在(1,3 2) 上 增，在 ( 3 2,2) 上 减、所以当 x 32，S 2 获得最大 、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分故当薄板32米， 232 米 ，制冷成效最好、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分 9、〔徐州、淮安、宿迁市 2018 届高三期末〕函数f ( x) a xx 2x ln a(a0, a1).（ 1） 求函数 f ( x ) 在点 (0, f ( 0)) 的切 方程；（ 2） 求函数 f ( x ) 区 ；（3） 假 存在 x 1 , x 2[ 1,1]，使得f ( x 1 )f ( x 2 ) e 1( e 是自然 数的底数〕 ，求 数a 的取 范 .⑴因 函数 f ( x)a x+ xx ln a(a 0, a 1)，2所以f ( x) a xln a + 2 x ln a ，f (0)0 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分又因 f(0)1 ，所以函数f (x)在点(0, f (0))的切 方程y 1、⋯⋯⋯⋯4 分⑵由⑴， f ( x) a xln a + 2 x ln a2 x + ( a x1)ln a、因 当 a0,a1 ， 有 f( x) 在 R 上是增函数，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分又f (0)0 ，所以不等式f ( x)的解集(0, + )，故函数 f (x) 的 增区 (0, + ) 、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分⑶因 存在x 1, x 2[ 1,1]，使得f (x 1 )f ( x 2 ) ≥ e1建立，而当 x [ 1,1]，f ( x 1 )f ( x 2 ) ≤ f ( x) max f ( x) min ，所以只需 f ( x) maxf (x)min ≥ e1 即可、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分又因x ， f ( x) ， f ( x)的 化状况以下表所示：x(,0) 0(0,+ )f ( x)+f ( x)减函数 极小增函数所以f (x)在[ 1,0]上是减函数， 在[0,1] 上是增函数， 所以当 x[ 1,1]，f x的最小f x minf 01 ，fx的最大 f x max f1和f 1 中的最大 、因( a + 1( 1+ 1 + ln a) a 1，f (1)f ( 1) ln a) 2ln aa a令1，因1 212，g (a) a a2ln a( a 0)g ( a) 1+a 2 a(1 a)所以a1在 a0,上是增函数、g (a)a 2ln a而 g (1) 0 ，故当 a1，g a，即f (1) f ( 1)；当0 a1，g a 0，即f (1)f ( 1)、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分所以，当a 1，f (1) f (0) ≥ e1，即a ln a ≥e 1，函数y a ln a在a(1,)上是增函数，解得a≥ e ；当0a 1，f (1) f (0) ≥ e 1，即11，函ln a ≥ ea数1在a(0,1) 上是减函数，解得 1 、y ln a0 a ≤a e上可知，所求 a 的取范a1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16 分(0, ] [e, + )e10、〔泰州市 2018届高三期末〕函数 f(x)=(x-a)( x b)2,a,b 常数，〔1〕假 ab, 求：函数 f(x) 存在极大和极小〔2〕〔 1〕中f(x)获得极大、极小自量的分x1, x2，令点A( x1 , f ( x1 ))，B( x2 , f ( x2 ) ),若是直 AB的斜率1，求函数 f(x)和f / ( x)的公共减区的度2〔3〕假 f (x)mf(x)对于全部x R 恒建立，求数m,a,b 足的条件/解：〔 1〕f/( x)( x b) 3x(2a b) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分a b2ab f,( x) 0有两不等b和2a bb33f 〔x〕存在极大和极小⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分〔2〕①假a=b，f〔x〕不存在减区②假 a>b 由〔1〕知 x1=b， x2=2a b3A〔 b,0〕 B2a b ,2(a b) 2392(a b)22(a b)23(a b)b 391a2 2a b23b○3 当a<bx1=2a b ,x2=b。

导数及其应用一、填空题1、（江苏省扬州中学2014届高三上学期12月月考）函数32()f x x bx cx d =+++在区间[]1,2-上是减函数,则c b +的最大值为 ▲ 答案：152-2、（江苏省南京市第一中学2014届高三12月月考）已知R 上的可导函数)(x f 的导函数)(x f '满足：)(x f '+)(x f 0>，且1)1(=f 则不等式>)(x f 11-x e的解是 ．答案：),1(+∞3、（江苏省阜宁中学2014届高三第三次调研）若函数()32f x x ax bx c =+++有极值点12,x x ，且()11f x x =，则关于x 的方程()()()2320f x af x b ++=的不同实根个数是 ▲ .答案：34、（江苏省灌云高级中学2014届高三第三次学情调研）已知函数()x x mx x f 2ln 2-+=在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为_________答案：12m ≥5、（江苏省粱丰高级中学2014届高三12月第三次月考）已知函数32()f x mx nx =+的图象在点(1,2)-处的切线恰好与直线30x y +=平行，若()f x 在区间[],1t t +上单调递减，则实数t 的取值范围是 ▲答案：1(1,1)e+6、（江苏省如东县掘港高级中学2014届高三第三次调研考试）函数12ln y x x=+的单调减区间为__________ 答案：1(0,)27、（江苏省睢宁县菁华高级中学2014届高三12月学情调研）已知函数()f x ,()g x 满足(1)2f =,(1)1f '=,(1)1g =,(1)1g '=,则函数()(()1)()F x f x g x =-⋅的图象在1x =处的切线方程为 ▲ .答案：2x －y －1＝0 二、解答题1、（江苏省扬州中学2014届高三上学期12月月考）设0a >，两个函数()axf x e =，g()ln x b x =的图像关于直线y x =对称. （1）求实数b a ,满足的关系式；（2）当a 取何值时，函数()()()h x f x g x =-有且只有一个零点； （3）当1=a 时，在),21(+∞上解不等式2)()1(x x g x f <+-．解：（1）设P()axx e ，是函数()axf x e =图像上任一点，则它关于直线y x =对称的点P ()axe x ，，在函数g()ln x b x =的图像上，ln axx b eabx ∴==，1ab ∴=.（2）当0a >时，函数()()()h x f x g x =-有且只有一个零点，两个函数的图像有且只有一个交点，两个函数关于直线y x =对称，∴两个函数图像的交点就是函数()axf x e =，的图像与直线y x =的切点.设切点为00A()ax x e，，00=ax x e ()ax f x ae =，，0=1ax ae ∴，0=1ax ∴，00==ax x e e ∴,∴当011a x e==时，函数()()()h x f x g x =-有且只有一个零点x e =； （3）当a =1时，设 ()2()(1)+g r x f x x x =--1xe-=2ln x x +-，则()r x ，112x e x x -=-－＋，当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，112211,1x x e x --<-=<-－，()0r x ，＜，当[)1,+x ∈∞时，112121,0x x e x--≤-=<－－，()0r x ，＜． ()r x ∴在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是减函数.又(1)r ＝0，∴不等式()2(1)+g f x x x -<解集是()1,+∞．2、（江苏省南京市第一中学2014届高三12月月考）已知f (x )＝x ln x －ax ，g (x )＝-x 2－2，（Ⅰ）对一切x ∈(0, +∞)，f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）当a ＝－1时，求函数f (x )在[m ，m ＋3]( m ＞0)上的最值；（Ⅲ）证明：对一切x ∈(0, +∞)，都有lnx ＋1＞exe x 21-成立。

导数及其应用一、填空题1、（常州市武进区2014届高三上学期期中考）定义在R 上的函数()f x ，其导函数()'f x 满足()'1f x >，且()23f =，则关于x 的不等式()1f x x <+的解集为 ▲ ．答案：(),2-∞2、（海安县2014届高三上学期期中）在平面直角坐标系xOy 中，若直线1y x b e =+（e 是自然对数的底数）是曲线y ln x 的一条切线，则实数b 的值为▲ ．答案：03、（海门市2014届高三11月诊断）已知函数()ln af x x x=-，(0,4]x ∈，若()y f x =图像上任意一点的切线的斜率12k ≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ . 答案：[4,)+∞4、（苏州市2014届高三上学期期中）设函数()32f x x ax bx c =+++的图象过点A(2，1)，且在点A 处的切线方程为2x －y + a = 0，则a + b + c= ▲ ． 答案：05、（苏州市2014届高三上学期期中）已知定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数为/()f x ，满足/()()f x f x <，且(1)y f x =+为偶函数，(2)1f =，则不等式()xf x e <的解集为 ▲答案：(0,)+∞6、（无锡市2014届高三上学期期中）设实数,b c 满足221b c +=，且()sin cos f x ax b x c x =++的图像上存在两条切线垂直，则a b c ++的取值范围是 。

答案：[2,2]7、（兴化市2014届高三上学期期中）曲线xy 1=和2x y =在它们的交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是4． 答案：43 8、（徐州市2014届高三上学期期中）曲线xy e =（其中 2.71828e =）在1x =处的切线方程为答案：ex y =9、（盐城市2014届高三上学期期中）已知函数()2(1)ln f x f x x '=-，则()f x 的极大值为▲ .答案：2ln2－210、（盐城市2014届高三上学期期中）设)(x f '和)(x g '分别是()f x 和()g x 的导函数，若()()0f x g x ''≤在区间I 上恒成立，则称)(x f 和)(x g 在区间I 上单调性相反.若函数31()23f x x ax =-与2()2g x x bx =+在开区间(,)a b 上单调性相反（0a >），则b a -的最大值为▲答案：12学科网二、解答题1、（常州市武进区2014届高三上学期期中考）已知函数32()4f x x ax =-+-（a ∈R ）. ⑴ 若函数)(x f y =的图象在点()()1,1P f 处的切线的倾斜角为4π，求()f x 在[]1,1-上的最小值； ⑵ 若存在),0(0+∞∈x ，使0)(0>x f ，求a 的取值范围．解：（1）.23)(2ax x x f +-=' …………………………. ……………1分根据题意，(1)tan1,321, 2.4f a a π'==∴-+==即 …………………3分 此时，32()24f x x x =-+-，则2()34f x x x '=-+. 令124'()00,.f x x x ===，得…………………………………………………………………………………………. 6分 ∴当[]1,1x ∈-时，()f x 最小值为()04f =-. ………………………7分 （2）).32(3)(a x x x f --=' ①若0,0,()0,()(0,)a x f x f x '><∴+∞≤当时在上单调递减. 又(0)4,0,() 4.f x f x =-><-则当时000,0,()0.a x f x ∴>>当≤时不存在使…………………………………………..10分②若220,0,()0;,()0.33a aa x f x x f x ''><<>><则当时当时从而)(x f 在（0，23a ）上单调递增，在（23a ，+)∞上单调递减..4274494278)32()(,),0(333max-=-+-==+∞∈∴a a a a f x f x 时当 根据题意，33440,27. 3.27a a a ->>∴>即 …………….............................. 13分综上，a 的取值范围是(3,)+∞.……………………………………14分2、（海安县2014届高三上学期期中）已知定义域为R 的函数f (x)有一个零点为1， f (x)的导函数()()1'12f x x =+．（1）求函数f (x)的解析式；（2）若数列{an}的各项均为正数，其前n 项的和()n n S f a =(n N*） ，求数列{an}的通项公式．解：(1)因为f (x)的导函数()()1'12f x x =+， 所以，21()2f x x x c =++， 又函数f (x)有一个零点为1，所以，1102c ++=， 所以，213()22f x x x =+- （2）21322n n n S a a =+-，则可求得132a =211113(1)22n n n S a a n ---=+->两式相减，得22111122n n n n n a a a a a --=-+-，即221111022n n n n a a a a -----=所以，111()()2n n n n a a a a --+--＝0因为，数列{an}的各项均为正数，所以，112n n a a --= 数列{an}是等差数列 所以，311(1)1222n a n n =+-=+3、（海门市2014届高三11月诊断）已知函数()ln f x ax x =-，()e 3ax g x x =+，其中a ∈R ． （1）求()f x 的极值；（2）若存在区间I ，使()f x 和()g x 在区间I 上具有相同的单调性，求a 的取值范围．解：（1）11()ax f x a x x-'=-=，0,x a R >∈ ① 当0a ≤时，()0f x '<，故()f x 在(0,)+∞上单调递减， 从而()f x 没有极大值，也没有极小值． ………2分 ② 当0a >时，令()0f x '=，得1x a=，()f x ∴的极小值为1()1ln f a a=+；没有极大值； ………4分（2）()e 3,(,),ax g x a x a R '=+∈-∞+∞∈0(1)当0a >时，显然 ()0g x '>，从而()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，由（1）得，此时()f x 在1(,)a+∞上单调递增，符合题意；………5分0(2)当0a =时，()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，()ln f x x =-在(0,)+∞上单调递减，不合题意． ………6分 0(3)当0a <时，令()0g x '=，则13ln()x a a=-，()g x '时，在上单调递减，∴由题设得：13ln()0a a->，3a ∴<- ………9分综上a 的取值范围是(,3)(0,)-∞-+∞． ………10分4、（淮安、宿迁市2014届高三11月诊断）已知函数()ln 3()f x a x ax a =--∈R ． （1）当0a ＞时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()y f x =的图象在点(2(2))f ，处的切线的倾斜角为45︒，且函数21()()()2g x x nx mf x m n '=++∈R ，当且仅当在1x =处取得极值，其中()f x '为()f x 的导函数，求m 的取值范围；（3）若函数()y f x =在区间1(3)3，内的图象上存在两点，使得在该两点处的切线相互 垂直，求a 的取值范围．解：（1）(1)()(0)a x f x x x-'=＞， ……………………………………1分 当0a ＞时，令()0f x '＞得01x ＜＜，令()0f x '＜得1x ＞，故函数()f x 的单调增区间为(01)，，单调减区间为(1)+∞，；………………………4分 （2）函数()y f x =的图象在点(2(2))f ，处的切线的倾斜角为45︒， 则(2)1f '=，即2a =-； ………………………………………5分所以212()(2)2g x x nx m x =++-，所以322222()m x nx mg x x n x x ++'=++=，因为()g x 在1x =处有极值，故(1)0g '=，从而可得12n m =--，……………………6分则322222(1)(22)()x nx m x x mx m g x x x ++---'==，又因为()g x 仅在1x =处有极值，所以2220x mx m --≥在(0)+∞，上恒成立， …………………………………8分 当0m ＞时，由20m -＜，即0(0)x ∃∈+∞，，使得200220x mx m --＜， 所以0m ＞不成立，故0m ≤，又0m ≤且(0)x ∈+∞，时，2220x mx m --≥恒成立， 所以0m ≤； ………………………………………10分（注：利用分离变量方法求出0m ≤同样给满分．）（3）由(1)()(0)a x f x x x-'=＞得(01)，与(1)+∞，分别为()f x 的两个不同的单调区间， 因为()f x 在两点处的切线相互垂直，所以这两个切点一定分别在两个不同单调区间内． …………………………………12分故可设存在的两点分别为1122(,())(,())x f x x f x ，，其中121133x x ＜＜＜＜， 由该两点处的切线相互垂直，得1212(1)(1)1a x a x x x --⋅=-， ……………………13分 即12212111x x x a x -=-⋅-，而111(02)x x -∈，，故2221(02)1x a x -⋅∈-，， 可得222(21)2a x a -＞，由20x ＞得2210a -＞，则222221a x a -＞，又213x ＜＜，则222321a a -＜，即234a ＞，所以a的取值范围为3(()-∞+∞，，． ……………………………………16分5、（苏州市2014届高三上学期期中）已知函数()ln ,2af x x a x a R =--∈， (I)求函数()f x 的单调区间；(II)若函数()f x 有两个零点12,x x ，(12x x <)，求证：2121x a x a <<<<．解：(I)依题意有，函数的定义域为(0,)+∞，当0a ≤时，()ln ln 22a af x x a x x a x =--=--()102a f x x'=->，函数()f x 的单调增区间为(0,)+∞，…………………………4 分当0a >时，ln ,2()ln 2ln ,02a x a x x a a f x x a x a a x x x a⎧--≥⎪=--=⎨--<<⎪⎩若x a ≥，2()1022a x a f x x x -'=-=>，此时函数单调递增， …………………6分若x a <，()102a f x x'=--<，此时函数单调递减， ……………………………8分综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的单调增区间为(0,)+∞， 当0a >时，函数()f x 的单调减区间为(0,)a ，单调增区间为(,)a +∞(II)由(I)知，当0a ≤时，函数()f x 单调递增，至多只有一个零点，不合题意； 则必有0a >，………………………………………………………10分 此时函数()f x 的单调减区间为(0,)a ，单调增区间为(,)a +∞，由题意，必须()ln 02af a a =-<，解得1a >由(1)1ln1102af a a =--=->，()0f a <，得1(1,)x a ∈………………12分而22()ln (1ln )f a a a a a a a a =--=-- 下面证明：1a >时，1ln 0a a --> 设()1ln g x x x =--，(1x >)，则11()10x g x x x-'=-=>所以()g x 在1x >时递增，则()(1)0g x g >=所以22()ln (1ln )0f a a a a a a a a =--=--> …………………………14分又因为()0f a <，所以22(,)x a a ∈综上所述，2121x a x a <<<< ………………………………16分6、（无锡市2014届高三上学期期中）已知实数0a ≠，函数21()(2)2ln ,()()44f x a x x g x f x a a=-+=-+。

江苏省13市县2016届高三上学期期末考试数学试题分类汇编导数及其应用一、填空题1、（（无锡市2016届高三上期末）过曲线1(0)y x x x=->上一点00(,)P x y 处的切线分别与x 轴，y 轴交于点A 、B ，O 是坐标原点，若OAB ∆的面积为13，则0x =填空题答案1二、解答题1、（常州市2016届高三上期末）已知,a b 为实数，函数3()f x ax bx =-。

（1）当a ＝1且[1,3]b ∈时，求函数()1()|ln |21([,2])2f x F x x b x x =-++∈的最大值M （b ）;（2）当0,1a b ==-时，记ln ()()x h x f x =。

①函数()h x 的图象上一点P 00(,)x y 处的切线方程为()y y x =，记()()()g x h x y x =-。

问：是否存在0x ，使得对于任意10(0,)x x ∈，任意21(,)x x ∈+∞，都有12()()0g x g x <恒成立？若存在，求出所有可能的0x 组成的集合，若不存在，说明理由。

②令函数,()2(),0x x s H x e h x x s⎧≥⎪=⎨⎪<<⎩，若对任意实数k ，总存在实数0x ，使得0()H x k =成立，求实数s 的取值集合。

2、（淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三上期末）已知函数]42)4(231[)(23--++-=a x a x x e x f x ，其中R a ∈，e 为自然对数的底数 （1）若函数)(x f 的图像在0=x 处的切线与直线0=+y x 垂直，求a 的值．（2）关于x 的不等式x e x f 34)(-<在)2,(-∞上恒成立，求a 的取值范围．（3）讨论)(x f 极值点的个数．3、（南京、盐城市2016届高三上期末）已知函数()x ax f x e =在0x =处的切线方程为y x =. （1）求a 的值；（2）若对任意的(0,2)x ∈，都有21()2f x k x x<+-成立，求k 的取值范围； （3）若函数()ln ()g x f x b =-的两个零点为12,x x ，试判断12()2x x g +'的正负，并说明理由.4、（南通市海安县2016届高三上期末）设a 为正常数，函数x x g ax x f ln )(,)(==；（1）求函数)()()(x g x f x h ⋅=的极值；（2）证明：R x ∈∃0，使得当0x x >时，)()(x g x f >恒成立。

2023年苏教版数学导数高级应用练习题及答案导数是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。

为了帮助学生提高导数应用的能力，苏教版数学教材特别设计了一套高级应用练习题。

本文将为大家介绍2023年苏教版数学导数高级应用练习题，并提供相应的答案。

一、函数极值问题1. 某建筑师需要设计一个长方形的游泳池，其中一侧将沿着河岸，需要围起来。

如果游泳池的长边是沿着河岸的，而另外三边由篱笆围起来，求游泳池的最大面积。

解答：设游泳池的长为x，宽为y，面积为S，由题意可知：周长P = x + 2y根据题意，得出 y = (1/2)(P - x)所以，游泳池的面积为：S = xy = x(1/2)(P - x) = (P/2)x - (1/2)x^2对S求导，令导数等于0，可以求得极值点。

dS/dx = 0P/2 - x = 0x = P/2因此，当x等于P/2时，游泳池的面积取得最大值。

2. 某公司生产商品的总成本C（单位：万元）与生产数量x（单位：件）之间的关系由函数C(x) = 2x^3 - 15x^2 + 36x + 20给出，问多少件商品时，生产成本最低？解答：对C(x)求导，令导数等于0，可以求得极值点。

dC/dx = 06x^2 - 30x + 36 = 0x^2 - 5x + 6 = 0(x - 2)(x - 3) = 0得到x = 2或x = 3，对应生产数量为2件或3件。

因此，当生产数量为2件或3件时，生产成本最低。

二、相关变化率问题1. 某矩形铁皮的长和宽均以1cm/s的速度减小，若此刻矩形的长为10cm，宽为6cm，求此刻矩形的边长之比。

解答：设矩形的长为L，宽为W，边长之比为k。

则有 L/W = k根据题意，L和W均以1cm/s的速度减小，则有 dL/dt = dW/dt = -1。

根据导数的定义，有 dL = (dL/dt)dt = -dt，dW = (dW/dt)dt = -dt。

代入边长之比的表达式中，得到 L/W = -dt/-dt = 1。

江苏省12市2015届高三上学期期末考试数学试题分类汇编——导数及其应用一．填空题1．(常州市2015届高三)曲线cos y x x =-在点ππ22⎛⎫ ⎪⎝⎭，处的切线方程为 二．解答题1．(常州市2015届高三)已知a b ，为实数，函数1()f x b x a=++，函数()ln g x x =． (1)当0a b ==时，令()()()F x f x g x =+，求函数()F x 的极值；(2)当1a =-时，令()()()G x f x g x =⋅，是否存在实数b ，使得对于函数()y G x =定义域中的任意实数1x ，均存在实数2[1,)x ∈+∞，有12()0G x x -=成立？若存在，求出b 的取值集合；若不存在，说明理由．2．(连云港．徐州．淮安．宿迁四市2015届高三)已知函数x ax x x f +-=221ln )(，a R ∈． (1)若2a =，求函数()f x 的单调递减区间；(2)若关于x 的不等式()1f x ax -≤恒成立，求整数a 的最小值； (3)若2a =-，1x ，2x 是两个不相等的正数，且1212()()0f x f x x x ++=，求证：12512x x -+≥．3．(南京市．盐城市2015届高三)已知函数()e x f x =，()g x mx n =+．(1)设()()()h x f x g x =-．①若函数()h x 在0x =处的切线过点(1,0)，求m n +的值；②当0n =时，若函数()h x 在(1,)-+∞上没有零点，求m 的取值范围；(2)设函数1()()()nx r x f x g x =+，且4(0)n m m =>，求证：当0x ≥时，()1r x ≥．4．(南通市2015届高三)若函数()y f x =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数()y f x =的极值点．已知函数()3()3ln 1f x ax x x a =+-∈R ． (1)当0a =时，求()f x 的极值；(2)若()f x 在区间1e ,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且只有一个极值点，求实数a 的取值范围．5．(苏州市2015届高三上期末)已知函数()e (1)x f x a x =--，其中a ∈R ，e 为自然对数底数．(1)当1a =-时，求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)讨论函数()f x 的单调性，并写出相应的单调区间；(3)已知b ∈R ，若函数()f x b ≥对任意x ∈R 都成立，求ab 的最大值．。

江苏省13市2017高三上学期考试数学试题分类汇编导数及其应用一、填空题1、（南通、泰州市2017届高三第一次调研测）已知两曲线()2sin f x x =，()cos g x a x =，π(0)2x ∈，相交于点P ．若两曲线在点P 处的切线互相垂直，则实数a 的值为 ▲ ．2、（盐城市2017届高三上学期期中）若函数321()33f x x x ax a =+-+在区间[1,2]上单调递增，则实数a 的取值范围是 ▲3、（盐城市2017届高三上学期期中）已知()f x 为奇函数，当0x <时，()2xf x e x =+，则曲线()y f x =在1x =处的切线斜率为 ▲ ．4、（扬州市2017届高三上学期期中）已知函数x a x x f sin )(+=在),(+∞-∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 。

5、（扬州市2017届高三上学期期末）已知1,5x x ==是函数()()()cos 0f x x ωϕω=+>两个相邻的极值点，且()f x 在2x =处的导数()20f '<，则()0f = ▲ ．二、解答题1、（南京市、盐城市2017届高三第一次模拟）设函数()ln f x x =，1()3a g x ax x-=+-（a R ∈）.（1）当2a =时，解关于x 的方程()0xg e =（其中e 为自然对数的底数）；（2）求函数()()()x f x g x ϕ=+的单调增区间；（3）当1a =时，记()()()h x f x g x =⋅，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式2()h x λ≥有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由.（参考数据：ln 20.6931≈，ln 3 1.0986≈）2、（南通、泰州市2017届高三第一次调研测）已知函数2()ln f x ax x x =--，a ∈R ．（1）当38a =时，求函数()f x 的最小值；（2）若10a -≤≤，证明：函数()f x 有且只有一个零点； （3）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．3、（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中）设函数2()ln f x x ax ax=-+，a 为正实数． （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求证：1()0f a≤；（3）若函数()f x 有且只有1个零点，求a 的值．4、（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）已知函数2(),()ln ,2R x f x ax g x x ax a e=-=-∈．（1）解关于()R x x ∈的不等式()0f x ≤； （2）证明：()()f x g x ≥；（3）是否存在常数,a b ，使得()()f x ax b g x +≥≥对任意的0x >恒成立？若存在，求 出,a b 的值；若不存在，请说明理由．5、（苏州市2017届高三上学期期中调研）已知32()31(0)f x ax x a =-+>，定义{}(),()()()max (),()(),()()f x f x g x h x f x g x g x f x g x ⎧==⎨<⎩≥． （1）求函数()f x 的极值；（2）若()()g x xf x '=，且存在[1,2]x ∈使()()h x f x =，求实数a 的取值范围； （3）若()ln g x x =，试讨论函数()h x (0)x >的零点个数．6、（无锡市2017届高三上学期期末）已知()()()21,.xf x x mx m Rg x e =++∈=（1）当[]0,2x ∈时，()()()F x f x g x =-为增函数，求实数m 的取值范围； （2）若()1,0m ∈-，设函数()()()()15,,44f x G x H x xg x ==-+，求证：对任意[]12,1,1x x m ∈-，()()12G x H x <恒成立.7、（盐城市2017届高三上学期期中）设函数()ln f x x ax =-()a R ∈.（1）若直线31y x =-是函数()f x 图象的一条切线，求实数a 的值；（2）若函数()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上的最大值为1ae -（e 为自然对数的底数），求实数a 的值；（3）若关于x 的方程()()22ln 23ln x x t x x t x t --+--=-有且仅有唯一的实数根，求实数t 的取值范围.8、（扬州市2017届高三上学期期中）已知函数x xae x f x+=)(。