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海淀区高三年级第一学期期中练习数学(理科) 答案2013.11一、选择题1、A2、C3、B4、C5、B6、B7、D8、C二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9.210..211. a b c >> 12..2π3,π6 13..2λ> 14. 4；6(31)n - 三、解答题: 本大题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程。
15.解：（Ⅰ）由60A =和332ABC S ∆=可得133sin6022bc =, ---------------------------2分 所以6bc =， --------------------------------------3分又32,b c =所以2,3b c ==. ------------------------------------5分（Ⅱ）因为2,3b c ==,60A =,由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得 ------------------------------------7分2222367a =+-=，即7a =. ------------------------------------9分由正弦定理sin sin a b A B=可得------------------------------------11分 72sin sin60B =，------------------------------------12分 所以21sin B =.------------------------------------13分 16. 解：（I ）π()3cos4cos(4)2f x x x =-+------------------------------------2分 3cos4sin 4x x =+------------------------------------4分π2sin(4)3x =+------------------------------------6分 ()f x 最小正周期为πT 2=，------------------------------------8分 （II ）因为ππ64x -≤≤，所以ππ4π4333x -≤+≤-----------------------------------10分 所以3πsin(4)13x -≤+≤-----------------------------------12分 所以π32sin(4)23x -≤+≤， -----------------------------------13分 所以()f x 取值范围为[3,2]-. ------------------------------------14分17.解：（I ）由已知11,1AH t PH t =-=+ -------------------------------------1分所以APH ∆的面积为1()(11)1,1112f t t t t =-+-<<. ---------------------4分（II ）解法1. 111'()1(11)2221f t t t t =-++⨯-⨯+ 3(3)41t t -=+ -------------------------------------7分 由'()0f t =得3t =， -------------------------------------8分 函数()f t 与'()f t 在定义域上的情况下表：t (1,3)-3 (3,11) '()f t +0 - ()f t↗ 极大值 ↘-----------------------------------12分 所以当3t =时，函数()f t 取得最大值8. ------------------------------------13分 解法2.由211()(11)1(11)(1),11122f t t t t t t =-+=-+-<< 设2()(11)(1),111g t t t t =-+-<<， -------------------------------------6分则2'()2(11)(1)(11)(11)(1122)3(3)(11)g t t t t t t t t t =--++-=--++=--.-------7分函数()g t 与'()g t 在定义域上的情况下表：t (1,3)-3 (3,11) '()g t +0 - ()g t↗ 极大值 ↘------------------------------------11分 所以当3t =时，函数()g t 取得最大值， -----------------------------------12分 所以当3t =时，函数()f t 取得最大值1(3)82g =.------------------------------------13分18.解：（I ）由②可得2112a a ⋅=，3122a a ⋅= -------------------------------2分 由①可得12a =. -------------------------------3分（II ）由②可得112n n a a +⋅=， ------------------------------6分所以数列{}n a 的通项公式2n n a =. ------------------------------7分（III ）由（II ）可得21(1)421n n n n b a +=+=++，易得1{4},{2}n n +分别为公比是4和2的等比数列，------------------------------8分由等比数列求和公式可得124(14)4(12)1(416)214123n n n n n S n n ++--=++=-++--.--13分19.解：（I ）因为1a =，2()42ln f x x x x =-+,所以2242'()(0)x x f x x x-+=>, ------------------------------1分 (1)3f =-，'(1)0f =, ------------------------------3分所以切线方程为3y =-. ------------------------------4分(II ）222(1)22(1)()'()(0)x a x a x x a f x x x x-++--==>, ----------------------------5分 由'()0f x =得12,1x a x ==, ------------------------------6分 当01a <<时，在(0,)x a ∈或(1,)x ∈+∞时'()0f x >，在(,1)x a ∈时'()0f x <,所以()f x 的单调增区间是(0,)a 和(1,)+∞，单调减区间是(,1)a ； ---------------7分 当1a =时，在(0,)x ∈+∞时'()0f x ≥，所以()f x 的单调增区间是(0,)+∞；-----8分 当1a >时，在(0,1)x ∈或(,)x a ∈+∞时'()0f x >，在(1,)x a ∈时'()0f x <.所以()f x 的单调增区间是(0,1)和(,)a +∞，单调减区间是(1,)a . ---------------10分 (III ）由（II ）可知()f x 在区间[1,e]上只可能有极小值点，所以()f x 在区间[1,e]上的最大值在区间的端点处取到，-------------------------12分 即有(1)12(1)0f a =-+≤且2(e)e 2(1)e 20f a a =-++≤,解得2e 2e 2e 2a -≥-. ---------------------14分 20.解：（I ）27,9,3；8,9,3；6,2,3. --------------------------------------3分（II ）若k a 被3除余1，则由已知可得11k k a a +=+,2312,(2)3k k k k a a a a ++=+=+； 若k a 被3除余2,则由已知可得11k k a a +=+,21(1)3k k a a +=+,31(1)13k k a a +≤++； 若k a 被3除余0，则由已知可得113k k a a +=,3123k k a a +≤+； 所以3123k k a a +≤+， 所以312(2)(3)33k k k k k a a a a a +-≥-+=- 所以，对于数列{}n a 中的任意一项k a ，“若3k a >，则3k k a a +>”.因为*k a ∈N ，所以31k k a a +-≥.所以数列{}n a 中必存在某一项3m a ≤（否则会与上述结论矛盾！）若3m a =,则121,2m m a a ++==；若2m a =,则123,1m m a a ++==,若1m a =,则122,3m m a a ++==, 由递推关系易得{1,2,3}A ⊆. ---------------------------------------8分 （III ）集合A 中元素个数()Card A 的最大值为21.由已知递推关系可推得数列{}n a 满足：当{1,2,3}m a ∈时，总有3n n a a +=成立，其中,1,2,n m m m =++.下面考虑当12014a a =≤时，数列{}n a 中大于3的各项：按逆序排列各项，构成的数列记为{}n b ，由（I ）可得16b =或9，由（II ）的证明过程可知数列{}n b 的项满足： 3n n b b +>，且当n b 是3的倍数时，若使3n n b b +-最小，需使2112n n n b b b ++=-=-， 所以，满足3n n b b +-最小的数列{}n b 中，34b =或7，且33332k k b b +=-，所以33(1)13(1)k k b b +-=-，所以数列3{1}k b -是首项为41-或71-的公比为3的等比数列， 所以131(41)3k k b --=-⨯或131(71)3k k b --=-⨯，即331k k b =+或3231k k b =⨯+， 因为67320143<<，所以，当2014a ≤时，k 的最大值是6，所以118a b =，所以集合A 重元素个数()Card A 的最大值为21.---------------13分。
2014北京市海淀区高三（一模）数学（理）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．（5分）已知集合A={1，2，}，集合B={y|y=x2，x∈A}，则A∩B=（）A．{} B．{2} C．{1} D．∅2．（5分）复数z=（1+i）（1﹣i）在复平面内对应的点的坐标为（）A．（1，0）B．（0，2）C．（0，1）D．（2，0）3．（5分）下列函数f（x）图象中，满足f（）＞f（3）＞f（2）的只可能是（）A．B．C．D．4．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），则直线l的普通方程为（）A．x﹣y﹣2=0 B．x﹣y+2=0 C．x+y=0 D．x+y﹣2=05．（5分）在数列{a n}中，“a n=2a n﹣1，n=2，3，4，…”是“{a n}是公比为2的等比数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．（5分）小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面．他想把4个硬币摆成一摞，且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，不同的摆法有（）A．4种B．5种C．6种D．9种7．（5分）某购物网站在2013年11月开展“全场6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额（6折后）满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元（单价）的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为（）A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）已知A（1，0），点B在曲线G：y=ln（x+1）上，若线段AB与曲线M：y=相交且交点恰为线段AB的中点，则称B为曲线G关于曲线M的一个关联点．记曲线G关于曲线M的关联点的个数为a，则（）A．a=0 B．a=1 C．a=2 D．a＞2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为．10．（5分）函数y=x﹣x2的图象与x轴所围成的封闭图形的面积等于．11．（5分）如图，AB切圆O于B，AB=，AC=1，则AO的长为．12．（5分）已知圆x2+y2+mx﹣=0与抛物线y2=4x的准线相切，则m= ．13．（5分）如图，已知△ABC中，∠BAD=30°，∠CAD=45°，AB=3，AC=2，则= ．14．（5分）已知向量序列：，，，…，，…满足如下条件：||=4||=2，2•=﹣1且﹣=（n=2，3，4，…）．若•=0，则k= ；||，||，||，…，||，…中第项最小．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）已知函数f（x）=2sin xcos x，过两点A（t，f（t）），B（t+1，f（t+1））的直线的斜率记为g （t）．（Ⅰ）求g（0）的值；（Ⅱ）写出函数g（t）的解析式，求g（t）在[﹣，]上的取值范围．16．（13分）为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如图：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元．（Ⅰ）根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；（Ⅱ）为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．17．（14分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，如图2所示．（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCD；（Ⅱ）求二面角A﹣DC﹣B的余弦值．（Ⅲ）在线段AF上是否存在点M使得EM∥平面ADC？若存在，请指明点M的位置；若不存在，请说明理由．18．（13分）已知曲线C：y=e ax．（Ⅰ）若曲线C在点（0，1）处的切线为y=2x+m，求实数a和m的值；（Ⅱ）对任意实数a，曲线C总在直线l：y=ax+b的上方，求实数b的取值范围．19．（14分）已知A，B是椭圆C：2x2+3y2=9上两点，点M的坐标为（1，0）．（Ⅰ）当A，B两点关于x轴对称，且△MAB为等边三角形时，求AB的长；（Ⅱ）当A，B两点不关于x轴对称时，证明：△MAB不可能为等边三角形．20．（13分）在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）A （n）：A1，A2，A3，…，A n与B（n）：B1，B2，B3，…，B n，其中n≥3，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②线段A i A i+1⊥B i B i+1，其中i=1，2，3，…，n﹣1，则称A（n）与B（n）互为正交点列．（Ⅰ）求A（3）：A1（0，2），A2（3，0），A3（5，2）的正交点列B（3）；（Ⅱ）判断A（4）：A1（0，0），A2（3，1），A3（6，0），A4（9，1）是否存在正交点列B（4）？并说明理由；（Ⅲ）∀n≥5，n∈N，是否都存在无正交点列的有序整点列A（n）？并证明你的结论．数学试题答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．【解答】当x=1时，y=1；当x=2时，y=4；当x=时，y=，∴B={1，4，}，∴A∩B={1}．故选：C．2．【解答】∵z=（1+i）（1﹣i）=1﹣i2=2，∴复数z=（1+i）（1﹣i）在复平面内对应的点的坐标为（2，0）．故选：D．3．【解答】由所给的不等式可得，函数是先减后增型的，故排除A，B，由于C的图象关于x=1对称，左减右增，有f（）=f（）＜f（3），故排除CD图象在（0，1）上递减且递减较快，在（1，+∞）递增，递增较慢，可能满足f（）＞f（3）＞f（2），故选D．4．【解答】将直线l的参数方程为（t为参数），利用代入法，化成普通方程为x﹣y﹣2=0．故选：A．5．【解答】若“{a n}是公比为2的等比数列，则当n≥2时，a n=2a n﹣1，成立．当a n=0，n=1，2，3，4，…时满足a n=2a n﹣1，n=2，3，4，但此时{a n}不是等比数列，∴“a n=2a n﹣1，n=2，3，4，…”是“{a n}是公比为2的等比数列”的必要不充分条件．故选：B．【解答】记反面为1，正面为2；则正反依次相对有12121212，21212121两种；有两枚反面相对有21121212，21211212，6．21212112；共5种摆法，故选B7．【解答】∵原价是：48×42=2016（元），2016×0.6=1209.6（元），∵每张订单金额（6折后）满300元时可减免100，∴若分成10，10，11，11，由于48×10=480，480×0.6=288，达不到满300元时可减免100，∴应分成9，11，11，11．∴只能减免3次，故答案选：C．8．【解答】设点B（x，ln（x+1）），则点A，B的中点的坐标是（，），由于此点在曲线M：y=上，故有=，即ln（x+1）=，此方程的根即两函数y=ln（x+1）与y=的交点的横坐标，由于此二函数一为增函数，一为减函数，故两函数y=ln（x+1）与y=的交点个数为1，故符合条件的关联点仅有一个，所以a=1故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．【解答】由三视图知：几何体为三棱柱，且三棱柱的高为8，底面三角形的一条边长为6，该边上的高为4，∴几何体的体积V=×6×4×8=96．故答案为：96．10．【解答】由方程组，解得，x1=0，x2=1．故所求图形的面积为S=（ x﹣x2）dx=（x2﹣x3）=．故答案为：．11．【解答】设圆的半径为r，则∵AB切圆O于B，∴AB2=AC•（AC+2r），∵AB=，AC=1，∴3=1+2r，∴r=1，∴AO=AC+1=2．故答案为：2．12．【解答】抛物线y2=4x的准线为x=﹣1，圆x2+y2+mx﹣=0的圆心O（﹣，0），半径r=，∵圆x2+y2+mx﹣=0与抛物线y2=4x的准线相切，∴圆心O（﹣，0）到准线为x=﹣1的距离d=r，∴d=|﹣1|=，解得m=，故答案为：．13．【解答】过C作CE∥AB，与AD的延长线相交于E，则∠AEC=30°．在△AEC中，∵∠CAD=45°，∴，∴CE=2，∵CE∥AB，AB=3，∴===．故答案为：．14．【解答】∵﹣=，∴=+（k﹣1），又∵||=4||=2，2•=﹣1∴||=2，||=，•=∴•=•[+（k﹣1）]=+（k﹣1）•=22+（k﹣1）（）=0，解得k=9∴=[+（k﹣1）]2=+（k﹣1）2+2（k﹣1）•=22+（k﹣1）2﹣（k﹣1）=（k﹣3）2+3，故当k=3时，上式取最小值，即||最小，故答案为：9；3三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．【解答】（Ⅰ）∵f（x）=2sin xcos x，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∴=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∵，∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）∴g（t）在上的取值范围是﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）16．【解答】（Ⅰ）甲公司员工A投递快递件数的平均数为：=（32+33+33+38+35+36+39+33+41+40）=36，众数为33．（2分）（Ⅱ）设a为乙公司员工B投递件数，则当a=34时，X=136元，当a＞35时，X=35×4+（a﹣35）×7元，∴X的可能取值为136，147，154，189，203，（4分）P（X=136）=，P（X=147）=，P（X=154）=，P（X=189）=，P（X=203）=，X的分布列为：X 136 147 154 189 203P（9分）=．（11分）（Ⅲ）根据图中数据，由（Ⅱ）可估算：甲公司被抽取员工该月收入=36×4.5×30=4860元，乙公司被抽取员工该月收入=165.5×30=4965元．（13分）17．【解答】（Ⅰ）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，交线为BD，又在△ABD中，AE⊥BD于E，AE⊂平面ABD∴AE⊥平面BCD．（3分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）结论AE⊥平面BCD，∴AE⊥EF．由题意知EF⊥BD，又AE⊥BD．如图，以E为坐标原点，分别以EF，ED，EA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系E﹣xyz，（4分）不妨设AB=BD=DC=AD=2，则BE=ED=1．由图1条件计算得，，，EF=，则，．∵AE⊥平面BCD，∴平面DCB的法向量为=（0，0，）．（6分）设平面ADC的法向量为=（x，y，z），则，即令z=1，得=（﹣1，，1）．（8分）∴cos＜＞==，∴二面角A﹣DC﹣B的余弦值为．（9分）（Ⅲ）解：设，其中λ∈[0，1]．∵，∴，其中λ∈[0，1]，（10分）∴，（11分）由，即，（12分）解得，（13分）∴在线段AF上存在点M，使，且．（14分）18．【解答】（Ⅰ）y'=ae ax，因为曲线C在点（0，1）处的切线为L：y=2x+m，所以1=2×0+m且y'|x=0=2．解得m=1，a=2（Ⅱ）法1：对于任意实数a，曲线C总在直线的y=ax+b的上方，等价于∀x，a∈R，都有e ax＞ax+b，即∀x，a∈R，e ax﹣ax﹣b＞0恒成立，令g（x）=e ax﹣ax﹣b，①若a=0，则g（x）=1﹣b，所以实数b的取值范围是b＜1；②若a ≠0，g'（x ）=a （e ax﹣1），由g'（x ）=0得x=0，g'（x ），g （x ）的情况如下： x （﹣∞，0）0 （0，+∞） g'（x ）﹣ 0 + g （x ） ↘ 极小值 ↗ 所以g （x ）的最小值为g （0）=1﹣b ，所以实数b 的取值范围是b ＜1；综上，实数b 的取值范围是b ＜1．法2：对于任意实数a ，曲线C 总在直线的y=ax+b 的上方，等价于∀x ，a ∈R ，都有e ax ＞ax+b ，即∀x ，a ∈R ，b ＜e ax ﹣ax 恒成立，令t=ax ，则等价于∀t ∈R ，b ＜e t ﹣t 恒成立，令g （t ）=e t ﹣t ，则 g'（t ）=e t ﹣1，由g'（t ）=0得t=0，g'（t ），g （t ）的情况如下： t （﹣∞，0）0 （0，+∞） g'（t ）﹣ 0 + g （t ） ↘极小值 ↗所以 g （t ）=e t ﹣t 的最小值为g （0）=1，实数b 的取值范围是b ＜1．19．【解答】（Ⅰ）解：设A （x 0，y 0），B （x 0，﹣y 0），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）因为△ABM 为等边三角形，所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）又点A （x 0，y 0）在椭圆上， 所以 消去y 0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）得到 ，解得x 0=2或，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）当x0=2时，；当时，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）证明：设A（x1，y1），则，且x1∈[﹣，]，所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）设B（x2，y2），同理可得，且x2∈[﹣，]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）因为在[﹣，]上单调所以，有x1=x2⇔|MA|=|MB|，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）因为A，B不关于x轴对称，所以x1≠x2．所以|MA|≠|MB|，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）所以△ABM不可能为等边三角形．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）20．【解答】（Ⅰ）设点列A1（0，2），A2（3，0），A3（5，2）的正交点列是B1，B2，B3，由正交点列的定义可知B1（0，2），B3（5，2），设B2（x，y），，，由正交点列的定义可知，，即，解得所以点列A1（0，2），A2（3，0），A3（5，2）的正交点列是B1（0，2），B2（2，5），B3（5，2）．（3分）（Ⅱ）由题可得，设点列B1，B2，B3，B4是点列A1，A2，A3，A4的正交点列，则可设，λ1，λ2，λ3∈Z因为A1与B1，A4与B4相同，所以有因为λ1，λ2，λ3∈Z，方程（2）显然不成立，所以有序整点列A1（0，0），A2（3，1），A3（6，0），A4（9，1）不存在正交点列；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（Ⅲ）∀n≥5，n∈N，都存在整点列A（n）无正交点列．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∀n≥5，n∈N，设，其中a i，b i是一对互质整数，i=1，2，3…，n﹣1若有序整点列B1，B2，B3，…B n是点列A1，A2，A3，…A n正交点列，则，则有①当n为偶数时，取A1（0，0），．由于B1，B2，B3，…B n是整点列，所以有λi∈Z，i=1，2，3，…，n﹣1．等式（2）中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立，所以该点列A1，A2，A3，…A n无正交点列；②当n为奇数时，取A1（0，0），a1=3，b1=2，，由于B1，B2，B3，…B n是整点列，所以有λi∈Z，i=1，2，3，…，n﹣1．等式（2）中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立，所以该点列A1，A2，A3，…A n无正交点列．综上所述，∀n≥5，n∈N，都不存在无正交点列的有序整数点列A（n）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）。
北京市海淀区2014届高三数学上学期期末考试试题文（扫描版）新人教A版海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文）参考答案及评分标准2014．1 阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分)15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）πcosππ2()2sinππ44sin cos44f=+=+=+------------------------3分（Ⅱ）由sin cos0x x+≠得ππ,4x k k≠-∈Z.因为cos2()2sinsin cosxf x xx x=++22cos sin2sinsin cosx xxx x-=++------------------------------------5分cos sinx x=+π)4x+，-------------------------------------7分所以()f x的最小正周期2πT=. -------------------------------------9分9． 2 10． 16 11. 712．{1,2,4} 13． 50，1015 14．1-;①②③因为函数sin y x=的对称轴为ππ+,2x k k =∈Z,------------------------------11分又由πππ+,42x k k +=∈Z ,得ππ+,4x k k =∈Z , 所以()f x 的对称轴的方程为ππ+,4x k k =∈Z .-----------------------------------13分16．（本小题共13分）解：（Ⅰ）由上图可得0.010.190.290.451a ++++=,所以0.06a =.----------------------------------4分（Ⅱ）设事件A 为“甲队员射击，命中环数大于7环”，它包含三个两两互斥的事件：甲队员射击，命中环数为8环，9环，10环.所以()0.290.450.010.75P A =++=.----------------------------------9分（Ⅲ）甲队员的射击成绩更稳定.---------------------------------13分 17．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为底面ABCD 是菱形，所以//CD AB又因为CD ⊄平面PAB ， -------------------3 所以//CD 平面PAB （Ⅱ）因为PA PB =，点E 是棱AB 的中点， 所以PE AB ⊥.----------------------------------5分 因为平面PAB ⊥平面ABCD ,平面PAB平面ABCD AB =,PE ⊂平面PAB ,----------------------------------7分 所以PE ⊥平面ABCD ,------------------------------------8分 因为AD ⊂平面ABCD , 所以PE AD ⊥.------------------------------------9分 （Ⅲ）因为CA CB =，点E 是棱AB 的中点， 所以CE AB ⊥.--------------------------------10分 由（Ⅱ）可得PE AB ⊥，---------------------------------11分 所以AB ⊥平面PEC ，--------------------------------13分 又因为AB ⊂平面PAB ,所以平面PAB ⊥平面PEC .--------------------------------14分 18．（本小题共13分） 解：（Ⅰ）'()(1)e xf x x a =++,x ∈R .-------------------------------2分因为函数()f x 是区间[3,)-+∞上的增函数， 所以'()0f x ≥，即10x a ++≥在[3,)-+∞上恒成立.------------------------------3分 因为1y x a =++是增函数，所以满足题意只需310a -++≥，即2a ≥.-------------------------------5分 （Ⅱ）令'()0f x =，解得1x a =---------------------------------6分 (),'()f x f x 的情况如下：--------------------------------------10分①当10a --≤，即1a ≥-时，()f x 在[0,2]上的最小值为(0)f ， 若满足题意只需2(0)e f ≥，解得2e a ≥，所以此时，2e a ≥；--------------------------------------11分②当012a <--<，即31a -<<-时，()f x 在[0,2]上的最小值为(1)f a --， 若满足题意只需2(1)e f a --≥，求解可得此不等式无解，所以a不存在；------------------------12分③当12a --≥，即3a ≤-时，()f x 在[0,2]上的最小值为(2)f , 若满足题意只需2(2)e f ≥，解得1a ≥-,所以此时，a不存在.------------------------------13分综上讨论，所求实数a 的取值范围为2[e ,)+∞. 19. （本小题共14分） 解：（Ⅰ）由题意可得1c =，----------------------------------1分 又由题意可得12c a =， 所以2a =，----------------------------------2分 所以2223b ac =-=,----------------------------------3分 所以椭圆C 的方程为22143x y +=.---------------------------------4分所以椭圆C 的右顶点(2,0)A ，--------------------------------5分 代入圆F 的方程，可得21r =, 所以圆F 的方程为22(1)1x y -+=.------------------------------6分 （Ⅱ）法1：假设存在直线l :(2)y k x =-(0)k ≠满足条件，-----------------------------7分由22(2),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(43)1616120k x k x k +-+-=----------------------------8分设11(,)B x y ，则21216243k x k +=+,---------------------------------9分 可得中点22286(,)4343k k P k k -++，--------------------------------11分由点P 在圆F 上可得2222286(1)()14343k k k k --+=++化简整理得20k =--------------------------------13分 又因为0k ≠， 所以不存在满足条件的直线l .--------------------------------14分 （Ⅱ）法2：假设存在直线l 满足题意. 由（Ⅰ）可得OA 是圆F 的直径，-----------------------------7分 所以OP AB ⊥.------------------------------8分由点P 是AB 中点，可得||||2OB OA ==.--------------------------------9分设点11(,)B x y ，则由题意可得2211143x y +=.--------------------------------10分又因为直线l 的斜率不为0，所以214x <, -------------------------------11分所以22222211111||3(1)3444x x OB x y x =+=+-=+<,-------------------------------13分 这与||||OA OB =矛盾，所以不存在满足条件的直线l .--------------------------14分20. （本小题共13分）解：（Ⅰ）只有y =是N 函数. ----------------------------3分（Ⅱ）函数()[ln ]1g x x =+是N 函数.证明如下：显然，*x ∀∈N ，*()[ln ]1g x x =+∈N .---------------------------------------4分不妨设*[ln ]1,x k k +=∈N ,由[ln ]1x k +=可得1ln k x k -≤<，即11e e k k x -≤≤<.因为*k ∀∈N ，恒有11e e e (e 1)1k k k ---=->成立，所以一定存在*x ∈N ，满足1e e k k x -≤<，所以设*k ∀∈N ，总存在*x ∈N 满足[ln ]1x k +=，所以函数()[ln ]1g x x =+是N 函数.---------------------------------------8分（Ⅲ）（1）当0b ≤时，有2(2)[]0f b a =⋅≤，所以函数()[]x f x b a =⋅都不是N 函数.---------------------------9分（2）当0b >时，① 若0a ≤，有(1)[]0f b a =⋅≤，所以函数()[]x f x b a =⋅都不是N 函数. ------------------10分② 若01a <≤，由指数函数性质易得x b a b a ⋅≤⋅，所以*x ∀∈N ，都有()[][]x f x b a b a =⋅≤⋅所以函数()[]x f x b a =⋅都不是N 函数. -----------------11分③ 若1a >，令12m m b a b a +⋅-⋅>，则2log (1)a mb a >⋅-， 所以一定存在正整数k 使得 12k k b a b a +⋅-⋅>，所以*12,n n ∃∈N ，使得112k k b a n n b a +⋅<<<⋅，所以12()(1)f k n n f k <<≤+.又因为当x k <时，x k b a b a ⋅<⋅,所以()()f x f k ≤；当1x k >+时，1x k b a b a +⋅>⋅,所以()(1)f x f k ≥+，所以*x ∀∈N ，都有*1{()|}n f x x ∉∈N ，所以函数()[]x f x b a =⋅都不是N 函数.------------------13分综上所述，对于任意实数,a b ，函数()[]x f x b a =⋅都不是N 函数.。
第Ⅰ卷(共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1。
已知集合{1,1,2}A =-,{|10}B x x =+≥，则A B =( )A 。
{1,1,2}-B. {1,2}C. {1,2}-D.{2}2。
下列函数中,值域为(0,)+∞的函数是（ ） A.()f x x= B 。
()ln f x x= C.()2xf x = D.()tan f x x =3。
在ABC ∆中,若tan 2A =-,则cos A =（ ) 5 B.525 D 。
25【答案】B 【解析】试题分析：因为,在ABC ∆中,若tan 2A =-，所以，A (,)2ππ∈，2115cosA=-551tan A=-=-+， 故选B.考点:任意角的三角函数4。
在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,0),(0,1),(1,2),(,0)O A B C m -，若//OB AC ，则实数m 的值为（ ） A.2-B.12-C. 12D 。
25。
若a ∈R ，则“2aa>"是“1a >”的（ ）A. 充分而不必要条件 B 。
必要而不充分条件 C 。
充分必要条件D 。
既不充分也不必要条件6。
已知数列{}n a 的通项公式2(313)nn a n =-，则数列的前n 项和nS 的最小值是（ ) A. 3SB 。
4SC. 5S D 。
6S【答案】B7.已知0a >，函数2πsin ,[1,0),()21,[0,),x x f x ax ax x ⎧∈-⎪=⎨⎪++∈+∞⎩若11()32f t ->-，则实数t 的取值范围为( ） A 。
2[,0)3- B.[1,0)- C 。
[2,3) D.(0,)+∞8.已知函数sin cos ()sin cos x x f x x x+=，在下列给出结论中:①π是()f x 的一个周期;②()f x 的图象关于直线x 4π=对称;③()f x 在(,0)2π-上单调递减.其中,正确结论的个数为( ） A 。
北京市海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.（1）已知全集U ，A B ⊆，那么下列结论中可能不成立的是（ ）（A ）AB A = （B ）A B B =（C ）()U A B ≠∅ð （D ）()U B A =∅ð（2）抛物线22y x =的准线方程为（ ） （A ）18y =-（B ）14y =- （C ）12y =- （D ）1y =- （3）将函数cos 2y x =的图象按向量(,1)4a π=平移后得到函数()f x 的图象，那么（ ）（A ）()sin 21f x x =-+ （B ）()sin 21f x x =+ （C ）()sin 21f x x =-- （D ）()sin 21f x x =- （4）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，如果a c 3=，30B =?，那么角C 等于（ ）（A ）120° （B ）105° （C ）90° （D ）75° （5）位于北纬x 度的A 、B 两地经度相差90︒，且A 、B 两地间的球面距离为3R π（R 为地球半径），那么x 等于（ ）（A ）30 （B ） 45 （C ） 60 （D ）75 （6）已知定义域为R 的函数()f x ，对任意的R x Î都有1(1)()22f x f x +=-+恒成立，且1()12f =，则(62)f 等于 （ ） （A ）1 （B ） 62 （C ） 64 （D ）83（7）已知{},1,2,3,4,5αβÎ，那么使得sin cos 0αβ?的数对(),αβ共有（ ）(A) 9个 (B) 11个 (C) 12个 (D) 13个（8）如果对于空间任意()2n n ³条直线总存在一个平面α，使得这n 条直线与平面α所成的角均相等，那么这样的n （ ）（A ）最大值为3 （B ）最大值为4 （C ）最大值为5 （D ）不存在最大值 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上. （9）22462limnnn ++++= .（10）如果()1,10,1x f x x ì£ïï=íï>ïî，， 那么()2f f 轾=臌 ；不等式()1212f x -?的解集是 .（11）已知点1F 、2F 分别是双曲线的两个焦点， P 为该双曲线上一点，若12PF F ∆为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为_____________.（12）若实数x 、y 满足20,,,x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩且2z x y =+的最小值为3，则实数b 的值为 .（13）已知直线0=++m y x 与圆222x y +=交于不同的两点A 、B ，O 是坐标原点，||||OA OB AB +?，那么实数m 的取值范围是 .（14）已知：对于给定的*q N Î及映射*:,N f AB B．若集合C A Í，且C 中所有元素对应的象之和大于或等于q ，则称C 为集合A 的好子集． ① 对于2q =，{},,A a b c =，映射:1,f x x A ，那么集合A 的所有好子集的个数为 ；② 对于给定的q ，{}1,2,3,4,5,6,A π=，映射:f A B ®的对应关系如下表：x12 3 4 5 6π()f x1 1 1 1 1yz若当且仅当C 中含有π和至少A 中2个整数或者C 中至少含有A 中5个整数时，C 为集合A 的好子集．写出所有满足条件的数组(),,q y z ： ． 三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. (15)（本小题共12分）已知函数22()sin )cos()cos 44f x x x x x ππ=++---. （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）求函数)(x f 在25,1236ππ轾犏-犏臌上的最大值和最小值并指出此时相应的x 的值. （16）（本小题共12分）已知函数)(x g 是2()(0)f x x x =>的反函数，点),(00y x M 、),(00x y N 分别是)(x f 、)(x g 图象上的点，1l 、2l 分别是函数)(x f 、)(x g 的图象在N M ,两点处的切线，且1l ∥2l ． （Ⅰ）求M 、N 两点的坐标；（Ⅱ）求经过原点O 及M 、N 的圆的方程． （17）（本小题共14分）已知正三棱柱111C B A ABC -中，点D 是棱AB的中点，11,BC AA ==.（Ⅰ）求证：//1BC 平面DC A 1； （Ⅱ）求1C 到平面1A DC 的距离； （Ⅲ）求二面角1D AC A --的大小.（18）（本小题共14分）某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障使用时间T （单位：年）有关. 若1≤T ，则销售利润为0元；若31≤<T ，则销售利润为100元；若3>T ，则销售利润为200元. 设每台该种电器的无故障使用时间1≤T ，31≤<T 及3>T 这三种情况发生的概率分别为321,,p p p ，又知21,p p 是方程015252=+-a x x 的两个根，且32p p =.（Ⅰ）求321,,p p p 的值；（Ⅱ）记ξ表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求ξ的分布列； （Ⅲ）求销售两台这种家用电器的销售利润总和的平均值. （19）（本小题共14分）已知点()0,1A 、()0,1B -，P 是一个动点，且直线PA 、PB 的斜率之积为12-. （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设()2,0Q ，过点()1,0-的直线l 交C 于M 、N 两点，QMN ∆的面积记为S ，若对满足条件的任意直线l ，不等式tan S MQN λ≤恒成立，求λ的最小值. （20）（本小题共14分）如果正数数列{}n a 满足：对任意的正数M ，都存在正整数0n ，使得0n a M >，则称数列{}n a 是一个无界正数列．（Ⅰ）若()32s i n ()1,2,3,n a n n =+=， 1, 1,3,5,,1, 2,4,6,,2n n nb n n ⎧=⎪⎪=⎨+⎪=⎪⎩分别判断数列{}n a 、{}n b 是D C 1B 1A 1CBA否为无界正数列，并说明理由；（Ⅱ）若2n a n =+，是否存在正整数k ，使得对于一切n k ≥，有1223112n n a a a n a a a ++++<-成立； （Ⅲ）若数列{}n a 是单调递增的无界正数列，求证：存在正整数m ，使得122312009mm m a a a a a a +-+++<． 海淀区高三年级第一学期期末练习 数学（理科）参考答案及评分标准 2009.01一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）CABAB DDA二、填空题（本大题共6小题，每小题5分.有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分） （9）1 （10）1，[0,1] （111（12）94（13）(2,[2,2)- （14） 4，(5,1,3) 三、解答题（本大题共6小题,共80分） (15)（本小题共12分）解：（Ⅰ）22()sin )cos()cos 44f x x x x x ππ=++-- 2sin(2)6x π=- ………………………………………………4分所以22T ππ==. ………………………………………………5分 由()3222262Z k x k k πππππ+???得所以函数)(x f 的最小正周期为π，单调递减区间为5[,]36k k ππππ++()k ∈Z .………………………………………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）有()2sin(2)6f x x π=-.因为25,1236x ππ轾犏?犏臌， 所以112,639x πππ轾犏-?犏臌. 因为411sin()sin sin 339πππ-=<，所以当12x π=-时，函数)(x f取得最小值-3x π=时，函数)(x f 取得最大值2.………………………………………………12分（16）（本小题共12分） 解：（Ⅰ）因为2()(0)f x x x =>，所以()0)g x x =>.从而,2)(x x f ='()g x ¢=. ………………………………………………3分所以切线21,l l 的斜率分别为,2)(001x x f k ='=00221)(y y g k ='=.又2000(0)y x x =>，所以2012k x =. ………………………………………………4分 因为两切线21,l l 平行，所以21k k =. ………………………………………………5分从而20(2)1x =.因为00x >， 所以012x =. 所以N M ,两点的坐标分别为)21,41(),41,21(. ………………………………………7分 （Ⅱ）设过O 、M 、N 三点的圆的方程为：220x y Dx Ey F ++++=.因为圆过原点，所以0F =.因为M 、N 关于直线y x =对称，所以圆心在直线y x =上. 所以D E =.又因为11(,)24M 在圆上， 所以512D E ==-. 所以过O 、M 、N 三点的圆的方程为：225501212x y x y +--=. ………………12分 （17）（本小题共14分）（Ⅰ）证明：连结1AC 交1A C 于点G ，连结DG .在正三棱柱111C B A ABC -中，四边形11ACC A 是平行四边形， ∴DG ∥1BC . ………………………………………2分∵DG ⊂平面1A DC ，1BC ⊄平面1A DC ，∴1BC ∥平面1A DC .………………………………………4分解法一：（Ⅱ）连结1DC ，设1C 到平面1A DC 的距离为h .∵四边形11ACC A 是平行四边形，∴1118C A CD V -=. ………………………………………6分在等边三角形ABC 中，D 为AB 的中点， ∵AD 是1A D 在平面ABC 内的射影，∴1CD A D ^. ………………………………………8分∴111313C A DC A DCV h S -∆==. ………………………………………9分 （Ⅲ）过点D 作DE AC ⊥交AC 于E ，过点D 作1DF A C ⊥交1A C 于F ，连结EF .∵平面ABC ⊥平面11ACC A ，DE ⊂平面ABC ，平面ABC平面11ACC A AC =，∴DE ⊥平面11ACC A .∴EF 是DF 在平面11ACC A 内的射影.∴DFE Ð是二面角1D AC A --的平面角. ………………………………………12分 在直角三角形ADC中，AD DC DE AC ×==同理可求：118A D DC DF AC ×==.∴DFE ?………………………………………14分解法二：过点A 作AO BC ⊥交BC 于O ，过点O 作F ED C 1B 1A 1CBAOE BC ⊥交11B C 于E .因为平面ABC ⊥平面11CBB C ，所以AO ⊥平面11CBB C .分别以,,CB OE OA 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示.因为11,BC AA ==，ABC ∆是等边三角形，所以O 为BC 的中点.则()0,0,0O ，A ⎛ ⎝⎭，1,0,02C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1A ⎛ ⎝⎭，1(4D ，112C ⎛⎫- ⎪⎝⎭. ………………………………………6分 （Ⅱ）设平面1A DC 的法向量为(),,n x y z =，则取x =1A DC 的一个法向量为()3,1,3n =-. ………………………………………8分∴1C 到平面1A DC 的距离为：13913CC n n⋅=………………………………………10分 (Ⅲ)解：同（Ⅱ）可求平面1ACA 的一个法向量为()13,0,1n =-. …………………………12分设二面角1D AC A --的大小为θ，则1cos cos ,n n θ=<>=∴θ=. ………………………………………14分 （18）（本小题共14分）解：（Ⅰ）由已知得1321=++p p p .21,p p 是方程015252=+-a x x 的两个根, ∴511=p ,5232==p p . ………………………………………3分 （Ⅱ）ξ的可能取值为0，100，200，300，400. ………………………………………4分()400=ξP =2545252=⨯. ………………………………………9分随机变量ξ的分布列为：ξ 0 100 200 300 400P251 254 258 258 254………………………………………11分 （Ⅲ）销售利润总和的平均值为E ξ=2544002583002582002541002510⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=240. ∴销售两台这种家用电器的利润总和的平均值为240元.………………………………………14分注：只求出E ξ，没有说明平均值为240元，扣1分. （19）（本小题共14分）解：（Ⅰ）设动点P 的坐标为(),x y ，则直线,PA PB 的斜率分别是11,y y x x-+. 由条件得1112y y x x-+?-. 即()22102x y x +=?. 所以动点P 的轨迹C 的方程为()22102x y x +=?. ………………………………………5分 注：无0x ¹扣1分. （Ⅱ）设点,M N 的坐标分别是()()1122,,,x y x y .当直线l 垂直于x 轴时，21212111,,2x x y y y ==-=-=. 所以()()()1122112,,2,2,QM x y QN x y x y =-=-=--. 所以()22111722QM QNx y ?--=. ………………………………………7分 当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为()1y k x =+,由221,2(1)x y y k x ìïï+=ïíïï=+ïî得()2222124220k x k x k +++-=. 所以 2122, 21422212221k k x x k k x x +-=+-=+. ………………………………………9分 所以()()()12121212122224QM QNx x y y x x x x y y ?--+=-+++.因为()()11221,1y k x y k x =+=+， 所以()()()()2221212217131712422212QM QNk x x k x x k k ?++-+++=-<+.综上所述⋅的最大值是217. ………………………………………11分 因为tan S MQN λ≤恒成立,即1sin ||||sin 2cos MQN QM QN MQN MQNλ⋅≤恒成立. 由于()2171302212QM QNk ?->+. 所以cos 0MQN >.所以2QM QN λ⋅≤恒成立. ………………………………………13分 所以λ的最小值为174. ………………………………………14分 注：没有判断MQN Ð为锐角，扣1分. （20）（本小题共14分）解：（Ⅰ）{}n a 不是无界正数列．理由如下：取M = 5，显然32sin()5n a n =+≤，不存在正整数0n 满足05n a >；{}n b 是无界正数列．理由如下：对任意的正数M ，取0n 为大于2M 的一个偶数，有0012122n n M b M ++=>>，所以{}n b 是无界正数列． ………………………………………4分（Ⅱ）存在满足题意的正整数k .理由如下： 当3n ³时， 因为12231n n a a a n a a a +⎛⎫-+++⎪⎝⎭32121231n nn a a a a a a a a a ++---=+++即取3k =，对于一切n k ≥，有1223112n n a a a n a a a ++++<-成立. ……………………9分 注：k 为大于或等于3的整数即可.（Ⅲ）证明：因为数列{}n a 是单调递增的正数列，所以12231n n a a a n a a a +⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭32121231n nn a a a a a a a a a ++---=+++即12123111n n n a a a a n a a a a +++++<-+. 因为{}n a 是无界正数列，取12M a =，由定义知存在正整数1n ，使1112n a a +>. 所以1112123112n n a a a n a a a ++++<-.由定义可知{}n a 是无穷数列，考察数列11n a +，12n a +，13n a +，…，显然这仍是一个单调递增的无界正数列，同上理由可知存在正整数2n ，使得()112112122123112n n n n n n a a a n n a a a ++++++++<--.重复上述操作，直到确定相应的正整数4018n .则401840181212140184017231111222n n a a a n n n n n a a a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<-+--++-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即存在正整数4018m n =，使得122312009mm m a a a a a a +-+++<成立. ………………………………………14分。
北京市海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.（1）已知全集U ，，那么下列结论中可能不成立的是（ ）（A ）（B ） （C ）()UA B ≠∅ （D ）()U B A =∅（2）抛物线的准线方程为 （ ）（A ） （B ） （C ） （D ） （3）将函数的图象按向量平移后得到函数的图象，那么（ ）（A ） （B ）（C ） （D ） （4）在中，角、、C 所对的边分别为、、c ，如果，，那么角C 等于（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）（5）位于北纬x 度的、两地经度相差，且、两地间的球面距离为（为地球半径），那么x 等于（ ）（A ）30 （B ） 45 （C ） 60 （D ）75 （6）已知定义域为的函数，对任意的都有恒成立，且，则 等于 （ ）（A ）1 （B ） 62 （C ） 64 （D ）83（7）已知，那么使得的数对共有（ ）(A) 9个 (B) 11个 (C) 12个 (D) 13个（8）如果对于空间任意条直线总存在一个平面，使得这条直线与平面所成的角均相等，那么这样的（ ）（A ）最大值为3 （B ）最大值为4 （C ）最大值为5 （D ）不存在最大值二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上. （9）22462limnnn = .（10）如果 那么 ；不等式的解集是 .（11）已知点、分别是双曲线的两个焦点， 为该双曲线上一点，若为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为_____________.（12）若实数x 、满足 且的最小值为3，则实数的值为 .（13）已知直线与圆交于不同的两点、，是坐标原点，，那么实数的取值范围是 . （14）已知：对于给定的及映射．若集合，且C 中所有元素对应的象之和大于或等于，则称C 为集合A的好子集．① 对于，，映射，那么集合A 的所有好子集的个数为 ； ② 对于给定的，，映射的对应关系如下表：x 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1若当且仅当C 中含有和至少A 中2个整数或者C 中至少含有A 中5个整数时，C 为集合A 的好子集．写出所有满足条件的数组： ．三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. (15)（本小题共12分）已知函数（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）求函数在上的最大值和最小值并指出此时相应的x 的值.（16）（本小题共12分）已知函数是的反函数，点、分别是、图象上的点，1l 、2l 分别是函数、的图象在两点处的切线，且1l ∥2l ．（Ⅰ）求、两点的坐标；（Ⅱ）求经过原点及、的圆的方程．（17）（本小题共14分）已知正三棱柱中，点是棱的中点，.（Ⅰ）求证：平面；C到平面的距离；（Ⅱ）求1（Ⅲ）求二面角的大小.（18）（本小题共14分）某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障使用时间（单位：年）有关. 若，则销售利润为0元；若，则销售利润为100元；若，则销售利润为200元. 设每台该种电器的无故障使用时间，及这三种情况发生的概率分别为，又知是方程的两个根，且.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）记表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求的分布列；（Ⅲ）求销售两台这种家用电器的销售利润总和的平均值.（19）（本小题共14分）已知点、，是一个动点，且直线、的斜率之积为.（Ⅰ）求动点的轨迹C的方程；（Ⅱ）设，过点的直线l交C于、两点，的面积记为S，若对满足条件的任意直线l，不等式恒成立，求的最小值.（20）（本小题共14分）如果正数数列满足：对任意的正数M，都存在正整数，使得，则称数列是一个无界正数列．（Ⅰ）若，分别判断数列、是否为无界正数列，并说明理由；（Ⅱ）若，是否存在正整数k，使得对于一切，有成立；（Ⅲ）若数列是单调递增的无界正数列，求证：存在正整数，使得．海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科）参考答案及评分标准2009.01一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）CABAB DDA二、填空题（本大题共6小题，每小题5分.有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）（9）1 （10）1，（11）（12）9 4（13）（14），三、解答题（本大题共6小题,共80分）(15)（本小题共12分）解：（Ⅰ）………………………………………………4分所以. ………………………………………………5分由得所以函数的最小正周期为，单调递减区间为.………………………………………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）有.因为，所以.因为，所以当时，函数取得最小值；当时，函数取得最大值2.………………………………………………12分（16）（本小题共12分）解：（Ⅰ）因为，所以.从而. ………………………………………………3分所以切线的斜率分别为.又，所以. ………………………………………………4分因为两切线平行，所以. ………………………………………………5分从而.因为，所以.所以两点的坐标分别为. ………………………………………7分（Ⅱ）设过、、三点的圆的方程为：.因为圆过原点，所以.因为、关于直线对称，所以圆心在直线上.所以.又因为在圆上，所以.所以过、、三点的圆的方程为：. ………………12分（17）（本小题共14分）（Ⅰ）证明：连结交于点G，连结.在正三棱柱中，四边形是平行四边形，∴.∵，∴∥. ………………………………………2分 ∵平面，平面，∴∥平面.………………………………………4分解法一：（Ⅱ）连结，设1C 到平面的距离为.∵四边形是平行四边形，∴.∴. ∵，∴. ………………………………………6分在等边三角形中，为的中点，∴.∵是在平面内的射影，∴. ………………………………………8分 ∴.∴. ………………………………………9分（Ⅲ）过点作交于，过点作交于，连结.∵平面⊥平面，平面，平面平面，∴平面.∴是在平面内的射影. ∴.∴是二面角的平面角. ………………………………………12分 在直角三角形中，. 同理可求： . ∴. ∵，∴. ………………………………………14分解法二：过点作交于，过点作交于.因为平面⊥平面，所以平面.分别以所在的直线为x 轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示.因为，是等边三角形，所以为的中点.则，，，，，. ………………………………………6分 （Ⅱ）设平面的法向量为，则10,0.n CD n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ∵，， ∴取，得平面的一个法向量为. ………………………………………8分∴1C 到平面的距离为：13913CC n n⋅=. ………………………………………10分 (Ⅲ)解：同（Ⅱ）可求平面的一个法向量为. …………………………12分 设二面角的大小为θ，则.∵， ∴. ………………………………………14分（18）（本小题共14分） 解：（Ⅰ）由已知得. , .是方程的两个根, .,. ………………………………………3分（Ⅱ）的可能取值为0，100，200，300，400. ………………………………………4分 =, =, =, =,=. ………………………………………9分随机变量的分布列为：0 100 200 300 400………………………………………11分 （Ⅲ）销售利润总和的平均值为==240.销售两台这种家用电器的利润总和的平均值为240元.………………………………………14分注：只求出，没有说明平均值为240元，扣1分. （19）（本小题共14分） 解：（Ⅰ）设动点的坐标为，则直线的斜率分别是11,y y x x. 由条件得1112y y x x . 即.所以动点的轨迹C 的方程为. ………………………………………5分 注：无扣1分. （Ⅱ）设点的坐标分别是.当直线l 垂直于x 轴时，.所以.所以. ………………………………………7分 当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为, 由得.所以. ………………………………………9分 所以. 因为， 所以.综上所述的最大值是217. ………………………………………11分 因为恒成立, 即恒成立. 由于. 所以.所以恒成立. ………………………………………13分 所以的最小值为174. ………………………………………14分 注：没有判断为锐角，扣1分.（20）（本小题共14分）解：（Ⅰ）不是无界正数列．理由如下： 取M = 5，显然，不存在正整数满足； 是无界正数列．理由如下：对任意的正数M ，取为大于2M 的一个偶数，有，所以是无界正数列． ………………………………………4分 （Ⅱ）存在满足题意的正整数k .理由如下： 当时，因为32121231n nn a a a a a a a a a ++---=+++，即取，对于一切，有成立. ……………………9分 注：k 为大于或等于3的整数即可.（Ⅲ）证明：因为数列是单调递增的正数列，所以32121231n nn a a a a a a a a a ++---=+++. 即.因为是无界正数列，取，由定义知存在正整数，使. 所以.由定义可知是无穷数列，考察数列，，，…，显然这仍是一个单调递增的无界正数列，同上理由可知存在正整数，使得.重复上述操作，直到确定相应的正整数.则.即存在正整数，使得成立.………………………………………14分。
海淀区高三年级第一学期期末练习 数学 （理科2）2014.1本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. 复数21i-化简的结果为 A.1i + B.1i -+ C. 1i - D.1i --2.已知直线2,:2x t l y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）与圆2cos 1,:2sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），则直线l 的倾斜角及圆心C 的直角坐标分别是A.π,(1,0)4 B.π,(1,0)4- C.3π,(1,0)4 D.3π,(1,0)4- 3.向量(3,4),(,2)x ==a b , 若||⋅=a b a ,则实数x 的值为 A.1- B.12-C.13- D.1 4.某程序的框图如图所示, 执行该程序，若输入的p 为24，则输出 的,n S 的值分别为A.4,30n S ==B.5,30n S ==C.4,45n S ==D.5,45n S ==5.如图，PC 与圆O 相切于点C ，直线PO 交圆O 于,A B 两点，弦CD 垂直AB 于E . 则下面结论中，错误．．的结论是 Ａ.BEC ∆∽DEA ∆ B.ACE ACP ∠=∠ C.2DE OE EP =⋅ D.2PC PA AB =⋅6.数列{}n a 满足111,n n a a r a r +==⋅+（*,n r ∈∈N R 且0r ≠），则“1r =”是“数列{}n a 成等差数列”的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 用数字0,1,2,3组成数字可以重复的四位数, 其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为A. 144B.120C. 108D.72B8. 椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P ∆为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是A.12(,)33B.1(,1)2C. 2(,1)3D.111(,)(,1)322二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 以y x =±为渐近线且经过点(2,0)的双曲线方程为______.10.数列{}n a 满足12,a =且对任意的*,N m n ∈，都有n mn ma a a +=，则3_____;a ={}n a 的前n 项和n S =_____.11. 在261(3)x x+的展开式中，常数项为______.(用数字作答)12. 三棱锥D ABC -及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱BD 的长为_________.13. 点(,)P x y 在不等式组 0,3,1x x y y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥+⎩表示的平面区域内，若点(,)P x y 到直线1y kx =-的最大距离为___.k =14. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -表面上运动，且PA r =（0r <<，记点P 的轨迹的长度为()f r ，则1()2f =______________;关于r 的方程()f r k =的解的个数可以为________.（填上所有可能的值）.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15. （本小题满分13分）已知函数21()cos cos 2222x x x f x =+-，ABC ∆三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .（I ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若()1,f B C +=1a b ==，求角C 的大小.DABC左视图16.（本小题满分13分）汽车租赁公司为了调查A,B 两种车型的出租情况,现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表:（I ）从出租天数为3天的汽车（仅限A,B 两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A 型车的概率；（Ⅱ）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A 型车，一辆B 型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率； （Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A ，B 两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.17. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，12,AB AC AA ===E 是BC 中点.（I ）求证：1//A B 平面1AEC ；（II ）若棱1AA 上存在一点M ，满足11B M C E ⊥，求AM 的长； （Ⅲ）求平面1AEC 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值.18. （本小题满分13分）已知函数e ().1axf x x =-（I ） 当1a =时,求曲线()f x 在(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.EC 1B 1A 1CBA19. （本小题满分14分）已知()2,2E 是抛物线2:2C y px =上一点，经过点(2,0)的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点（不同于点E ），直线,EA EB 分别交直线2x =-于点,M N . （Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标；（Ⅱ）已知O 为原点，求证：MON ∠为定值.20. （本小题满分13分）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，若()f x y x=在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“一阶比增函数”；若2()f x y x =在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“二阶比增函数”. 我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为1Ω，所有“二阶比增函数”组成的集合记为2Ω. (Ⅰ)已知函数32()2f x x hx hx =--，若1(),f x ∈Ω且2()f x ∉Ω，求实数h 的取值范围； (Ⅱ)已知0a b c <<<，1()f x ∈Ω且()f x 的部分函数值由下表给出，求证：(24)0d d t +->；(Ⅲ)定义集合{}2()|(),,(0,)(),f x f x k x f x k ψ=∈Ω∈+∞<且存在常数使得任取,请问：是否存在常数M ，使得()f x ∀∈ψ，(0,)x ∀∈+∞，有()f x M <成立？若存在，求出M 的最小值；若不存在，说明理由.。
数学（理）答案及评分参考一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）D （3）B （4）C （5）B （6）A （7）C （8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。
有两空的小题，第一空2分，第二空3分）（9）15（10）11）3 （12）2π3（13）13；4（14）11,,A B D 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）ϕ的值是π6. ………………2分0x 的值是53. (5)分（Ⅱ）由题意可得：11ππ()cos(π())cos(π)sin π3362f x x x x +=++=+=-. ………………7分所以1π()()cos(π)sin π36f x f x x x ++=+- ππcos πcos sin πsin sin π66x x x =--………………8分1πsin πsin π2x x x =--3ππsin ππ)23x x x =-=+. ………………10分 因为11[,]23x ∈-，所以ππ2ππ633x -≤+≤.所以当ππ03x +=，即13x =-时，()g x当π2ππ33x +=，即13x =时，()g x 取得最小值2-. ………………13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）抽取的5人中男同学的人数为530350⨯=，女同学的人数为520250⨯=. ………………4分（Ⅱ）由题意可得：2323551(3)10A A P X A ===. ………………6分 因为321105a b +++=， 所以15b =. ………………8分 所以113232101105105EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.………………10分 （Ⅲ）2212s s =. (13)分（17）（共14分） 证明：（Ⅰ）连接1BC .在正方形11ABB A 中，1AB BB .因为 平面11AA B B ⊥平面11BB C C ，平面11AA B B平面111BB C C BB =，AB平面11ABB A ，所以 AB 平面11BB C C . ………………1分 因为 1B C 平面11BB C C ，所以1ABB C . ………………2分在菱形11BB C C 中，11BC B C .因为 1BC 平面1ABC ，AB平面1ABC ，1BC AB B ，CBC 1B 1A 1A所以 1B C 平面1ABC . (4)分 因为1AC 平面1ABC ，所以 1B C ⊥1AC .………………5分（Ⅱ）EF ∥平面ABC ，理由如下： (6)分取BC 的中点G ，连接,GE GA . 因为 E 是1B C 的中点， 所以GE ∥1BB ，且GE 112BB . 因为 F 是1AA 的中点， 所以AF112AA . 在正方形11ABB A 中，1AA ∥1BB ，1AA 1BB .所以 GE ∥AF ，且GEAF .所以 四边形GEFA 为平行四边形.所以 EF ∥GA . ………………8分 因为 EF平面ABC ，GA平面ABC ，所以 EF ∥平面ABC . ………………9分（Ⅲ）在平面11BB C C 内过点B 作1Bz BB .由（Ⅰ）可知：AB平面11BB C C . 以点B 为坐标原点，分别以1,BA BB 所在的直线为,x y轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，设(2,0,0)A ，则1(0,2,0)B . 在菱形11BB C C 中，11=60BB C ∠，所以(0,C -，1(0,1C .GFECB C 1B 1A 1A设平面1ACC 的一个法向量为(,,1)x y =n .因为10,0AC CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即(,,1)(2,0,(,,1)(0,2,0)0,x y x y ⎧⋅--=⎪⎨⋅=⎪⎩所以20,x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩即=n .………………11分由（Ⅰ）可知：1CB 是平面1ABC 的一个法向量.………………12分所以1113((0,3,2cos ,CBCB CB ⋅⋅<>===⋅n n n . 所以二面角1B AC C --的余弦值为7.………………14分（18）（共13分）解：（Ⅰ）由22143x y +=得：2,a b ==. 所以椭圆M 的短轴长为………………2分 因为1c ==， 所以12c e a ==，即M 的离心率为12. ………………4分（Ⅱ）由题意知：1(2,0),(1,0)C F --，设000(,)(22)B x y x -<<，则2200143x y+=. (7)分因为10000(1,)(2,)BF BC x y x y ⋅=---⋅---2200023x x y =+++………………9分20013504x x =++>，………………11分 所以π(0,)2B ∠∈.所以点B 不在以AC 为直径的圆上，即：不存在直线l ，使得点B 在以AC 为直径的圆上. (13)分另解：由题意可设直线l 的方程为1x my =-，1122(,),(,)A x y B x y .由221,431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩可得：22(34)690m y my +--=. 所以122634m y y m +=+，122934y y m -=+. ………………7分 所以1122(2,)(2,)CA CB x y x y ⋅=+⋅+21212(1)()1m y y m y y =++++22296(1)13434m m m m m -=++⋅+++ 25034m -=<+. ………………9分因为cos (1,0)CA CB C CA CB⋅=∈-⋅，所以π(,π)2C ∠∈. ………………11分所以π(0,)2B ∠∈.所以点B 不在以AC 为直径的圆上，即：不存在直线l ，使得点B 在以AC 为直径的圆上.………………13分（19）（共13分）解：（Ⅰ）函数()f x 是偶函数，证明如下： ………………1分对于ππ[,]22x ∀∈-，则ππ[,]22x -∈-. ………………2分因为()cos()sin()cos sin ()f x a x x x a x x x f x -=---=+=，所以()f x 是偶函数. ………………4分 （Ⅱ）当0a >时，因为 ()cos sin 0f x a x x x =+>，ππ[,]22x ∈-恒成立， 所以集合{|()0}A x f x ==中元素的个数为0. ………………5分 当0a =时，令()sin 0f x x x ==，由ππ[,]22x ∈-， 得0x =.所以集合{|()0}A x f x ==中元素的个数为1. ………………6分 当0a <时，因为 π'()sin sin cos (1)sin cos 0,(0,)2f x a x x x x a x x x x =-++=-+>∈，所以函数()f x 是π[0,]2上的增函数. ………………8分因为ππ(0)0,()022f a f =<=>，所以()f x 在π(0,)2上只有一个零点.由()f x 是偶函数可知，集合{|()0}A x f x ==中元素的个数为 2. ………………10分综上所述，当0a >时，集合{|()0}A x f x ==中元素的个数为0；当0a =时，集合{|()0}A x f x ==中元素的个数为1；当0a <时，集合{|()0}A x f x ==中元素的个数为2.（Ⅲ）函数()f x 有3个极值点. ………………13分（20）（共14分）解：（Ⅰ）因为123224(,),(,),(,)a a a a a a T ∈，所以21(,)0T d a a =，23(,)0T d a a =，24(,)1T d a a =，故2()1T l a =.………………1分因为24(,)a a T ∈，所以42(,)0T d a a =.所以4414243()(,)(,)(,)1012T T T T l a d a a d a a d a a =++≤++=.所以当244143(,),(,),(,)a a a a a a T ∈时，4()T l a 取得最大值2. ………………3分 （Ⅱ）由(,)T d a b 的定义可知：(,)(,)1T T d a b d b a +=.所以122113311()[(,)(,)][(,)(,)]n T i T T T T i la d a a d a a d a a d a a ==+++∑1111[(,)(,)][(,)(,)]T n T n T n n T n n d a a d a a d a a d a a --+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++21(1)2n C n n ==-. ………………6分设删去的两个数为(),()T k T m l a l a ，则1()()(1)2T k T m l a l a n n M +=--. 由题意可知：()1,()1T k T m l a n l a n ≤-≤-，且当其中一个不等式中等号成立，不放设()1T k l a n =-时，(,)1T k m d a a =，(,)0T m k d a a =.所以()2T m l a n ≤-. ………………7分 所以()()1223T k T m l a l a n n n +≤-+-=-. 所以1()()(1)232T k T m l a l a n n M n +=--≤-，即1(5)32M n n ≥-+. ………………8分（Ⅲ）对于满足()1T i l a n <-（1,2,3,,i n =）的每一个集合T ，集合S 中都存在三个不同的元素,,e f g ，使得(,)(,)(,)3T T T d e f d f g d g e ++=恒成立，理由如下：任取集合T ，由()1T i l a n <-（1,2,3,,i n =）可知，12(),(),,()T T T n l a l a l a ⋅⋅⋅中存在最大数，不妨记为()T l f （若最大数不唯一，任取一个）.因为()1T l f n <-，所以存在e S ∈，使得(,)0T d f e =，即(,)e f T ∈. 由()1T l f ≥可设集合{|(,)}G x S f x T =∈∈≠∅. 则G 中一定存在元素g 使得(,)1T d g e =. 否则，()()1T T l e l f ≥+，与()T l f 是最大数矛盾.所以(,)1T d f g =，(,)1T d g e =，即(,)(,)(,)3T T T d e f d f g d g e ++=. ………………14分。
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）房山区良乡中学 任宝泉录入整理一、选择题（共8道小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合{}2|20A x x x =-=，{}0,1,2B =，则AB =（ ）A ．{}0 B.{}0,1 C.{}0,2 D.{}0,1,2 2.下列函数中，在区间()0,+∞上为增函数的是（ ） A．y =B.2(1)y x =-C.2x y -=D.0.5log (1)y x =+3.曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩，（θ为参数）的对称中心（ ）A ．在直线2y x =上 B.在直线2y x =-上 C.在直线1y x =-上 D.在直线1y x =+上4．当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）5．设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“{}n a ”为递增数列的（ ）A ．充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C ．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为4-，则k 的值为（ ）A ．2 B.2- C.12 D.12- 7.在空间直角坐标系O x y z 中，已知(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，(0,2,0)C，(1,1D ，若123,,S S S 分别表示三棱锥D ABC -在,,xOy yOz zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）A ．123S S S == B. 12S S =且31S S ≠ C. 13S S =且32S S ≠ D. 23S S =且13S S ≠ 8．有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”、“合格”、“不合格”三种。
若A 同学每科成绩不低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好”。
北京市海淀区2014届高三数学上学期期末考试试题理（扫描版）新人教A版海淀区高三年级第一学期期末练习数 学 （理）参考答案及评分标准2014．1阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分,有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）由sin cos 0x x +≠得ππ,4x k k≠-∈Z . 因为cos2()2sin sin cos xf x x x x =++22cos sin 2sin sin cos x x x x x-=++-----------------------------------2分cos sin x x =+π)4x+，-------------------------------------4分因为在ABC ∆中，3cos 05A =-<，所以ππ2A <<，-------------------------------------5分 所以4sin 5A ==,------------------------------------7分所以431()sin cos 555f A A A =+=-=.-----------------------------------8分9． 2 10．4511. (0,1)；412． 13 14．43；①②③（Ⅱ）由（Ⅰ）可得π())4f x x +,所以()f x 的最小正周期2πT =. -----------------------------------10分 因为函数sin y x =的对称轴为ππ+,2x k k =∈Z,-----------------------------------11分又由πππ+,42x k k +=∈Z ,得ππ+,4x k k =∈Z , 所以()f x 的对称轴的方程为ππ+,4x k k =∈Z .----------------------------------13分16．（本小题共13分）解：（Ⅰ）由上图可得0.010.190.290.451a ++++=,所以0.06a =.--------------------------------3分（Ⅱ）由图可得队员甲击中目标靶的环数不低于8环的概率为0.450.290.010.75++=----------------------------------4分由题意可知随机变量X 的取值为：0,1,2,3.----------------------------------5分事件“X k =”的含义是在3次射击中，恰有k 次击中目标靶的环数不低于8环.3333()1(0,1,2,3)44kkk P X k C k -⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭----------------------------------8分 即X 的分布列为所以X 的期望是1927279()0123646464644E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.------------------------10分 （Ⅲ）甲队员的射击成绩更稳定.---------------------------------13分17．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为底面ABCD 是菱形，AC BD O =,所以O 为,AC BD 中点.-------------------------------------1分又因为,PA PC PB PD ==,所以,P O A ⊥⊥,---------------------------------------3分所以PO ⊥底面A.----------------------------------------4分 （Ⅱ）由底面ABCD 是菱形可得AC BD ⊥,又由（Ⅰ）可知,PO AC PO BD ⊥⊥. 如图，以O 为原点建立空间直角坐标系O xyz -.由PAC ∆是边长为2的等边三角形，PB PD ==，可得PO OB OD ===所以(1A C-.---------------------------------------5分所以(1CP =,(1AP =-.由已知可得13(,0,44O FOA A =+= -----------------------------------------6分设平面BDF 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,OB OF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,30.4x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 令1x =，则z =，所以(1,0,=n .----------------------------------------8分因为1cos 2||||CP CP CP ⋅<⋅>==-⋅n n n ，----------------------------------------9分所以直线CP 与平面BDF 所成角的正弦值为12， 所以直线CP 与平面BDF 所成角的大小为30.-----------------------------------------10分 （Ⅲ）设BMBPλ=(01)λ≤≤，则(1)CM CB BM CB BP λλ=+=+=-.---------------------------------11分若使CM ∥平面B D F ，需且仅需0CM ⋅=n 且CM ⊄平面B D F ，---------------------12分解得1[0,1]3λ=∈,----------------------------------------13分 所以在线段PB 上存在一点M ，使得CM ∥平面BDF .此时BMBP=13.-----------------------------------14分 18.（本小题共13分） 解：（Ⅰ）2e (2)(2)'()(e )e x x xa x a x f x ----==，x ∈R .------------------------------------------2分当1a =-时，()f x ,'()f x 的情况如下表：所以，当1a =-时，函数()f x 的极小值为2e --.-----------------------------------------6分 （Ⅱ）(2)'()'()e xa x F x f x --==. ①当0a <时，(),'()F x F x 的情况如下表：--------------------------------7分因为(F =>,------------------------------8分若使函数()F x 没有零点，需且仅需2(2)10eaF =+>，解得2e a >-,-------------------9分所以此时2e 0a -<<；-----------------------------------------------10分 ②当0a >时，(),'()F x F x 的情况如下表：--------11分 因为(2F F >>,且10110101110e 10e 10(1)0eea aaF a------=<<,---------------------------12分所以此时函数()F x 总存在零点.--------------------------------------------13分 综上所述，所求实数a 的取值范围是2e 0a -<<. 19.（本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意得1c =,---------------------------------------1分 由12c a =可得2a =,------------------------------------------2分 所以23b a c =-=,-------------------------------------------3分所以椭圆的方程为22143x y +=. ---------------------------------------------4分 （Ⅱ）由题意可得点3(2,0),(1,)2A M -, ------------------------------------------6分 所以由题意可设直线1:2l y x n =+,1n ≠.------------------------------------------7分 设1122(,),(,)B x y C x y ， 由221,4312x y y x n ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得2230x nx n ++-=.由题意可得2224(3)1230n n n ∆=--=->,即(2,2)n ∈-且1n ≠.-------------------------8分21212,3x x n x x n +=-=-.-------------------------------------9分 因为1212332211MB MCy y k k x x --+=+-------------------------------------10分 121212121212131311222211111(1)(2)1()1x n x n n n x x x x n x x x x x x +-+---=+=++-----+-=+-++2(1)(2)102n n n n -+=-=+-， ---------------------------------13分 所以直线,MB MC 关于直线m 对称. ---------------------------------14分20.（本小题共13分）解：（Ⅰ）①②③都是等比源函数. -----------------------------------3分（Ⅱ）函数()2x f x =+不是等比源函数. ------------------------------------4分证明如下：假设存在正整数,,m n k 且m n k <<，使得(),(),()f m f n f k 成等比数列， 2(21)(21)(21)n m k +=++，整理得2122222n n m k m k +++=++，-------------------------5分等式两边同除以2,m 得2122221n m n m k k m --+-+=++.因为1,2n m k m -≥-≥，所以等式左边为偶数，等式右边为奇数，所以等式2122221n m n m k k m --+-+=++不可能成立，所以假设不成立，说明函数()21x f x =+不是等比源函数.-----------------------------8分（Ⅲ）法1：因为*,b n ∀∈N ，都有(1)()g n g n d +-=，所以*,d b ∀∈N ，数列{()}g n 都是以(1)g 为首项公差为d 的等差数列. *,d b ∀∈N ，2(1),(1)(1),(1)(1)g g d g d ++成等比数列，因为(1)(1)(1)((1)11)[(1)1]g d g g d g g +=++-=+，2(1)(1)(1)(2(1)(1)11)[2(1)(1)1]g d g g g d d g g g d +=+++-=++，所以(1),[(1)1],[2(1)(1)1]g g g g g g d +++*{()|}g n n ∈∈N ，所以*,d b ∀∈N ，函数()g x dx b =+都是等比源函数.-------------------------------------------13分（Ⅲ）法2：因为*,b n ∀∈N ，都有(1)()g n g n d +-=，所以*,d b ∀∈N ，数列{()}g n 都是以(1)g 为首项公差为d 的等差数列. 由2()(1)()g m g g k =⋅，（其中1m k <<）可得2[(1)(1)](1)[(1)(1)]g m d g g k d +-=⋅+-，整理得(1)[2(1)(1)](1)(1)m g m d g k -+-=-，令(1)1m g =+，则(1)[2(1)(1)](1)(1)g g g d g k +=-，所以2(1)(1)1k g g d =++，所以*,d b ∀∈N ，数列{()}g n 中总存在三项(1),[(1)1],[2(1)(1)1]g g g g g g d +++成等比数列.所以*,d b ∀∈N ，函数()g x dx b =+都是等比源函数.-------------------------------------------13分。
