2003—2008《工程与科学计算》历届试题类型
1. 直解法
例 1. 用列主元素Gauss 消去解下列线性方程组（结果保留5位小数）
⎪⎩
⎪
⎨⎧=++=++=++0000
.11000.12100.13310.18338.00000.10000.10000.16867.09000.08100.07290.0321321321x x x x x x x x x
例2. 设线性方程组b Ax =,其中 1
123
1
112341113
4
51
A ⎡⎤⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
求)(A Cond ∞，并分析线性方程组是否病态 ? 2.迭代法
例1. 设线性方程组b Ax =为
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----221221122321x x x ααα ， 0≠α
写出求解线性方程组的Jacobi 迭代格式，并确定当α取何值时Jacobi 迭代格式收敛. 例 2. 写出求解线性方程组b Ax =的Seidel 迭代格式，并判断所写格式的收敛性，其中
b Ax =为
⎪⎩
⎪
⎨
⎧=++-=+=-5
228262332
13231x x x
x x x x
3.插值
例 1. 已知,12144,11121,10100===
（1）试用二次插值多项式计算115的近似值（数据保留至小数点后第5位） （2）估计所得结果的截断误差（数据保留至小数点后第5位） 例 2. 由下列插值条件
4. Runge —Kutta 格式
例 写出标准Kutta Runge -方法解初值问题
⎩⎨⎧==+-=1
)0(,1)0(sin 2'
2'''y y x y xy y 的计算格式
5. 代数精度
例 1. 数值求积公式形如
)1()0()1()0()()(321010
f A f A f A f A x S dx x xf '+'++=≈⎰
试确定其中参数,,,,4321A A A A 使其代数精度尽量高, 并确定代数精度. 例 2. 验证数值求积公式
20120
()(1(1)(1f x dx A f A f A f ≈++⎰
是Gauss 型求积公式.
6．Romberg 方法 例 对积分
⎰
+10
21dx x ，用Romberg 方法计算积分的近似值，误差不超过510-并将结果填
7．证明
（1）设)(x ϕ为],[b a 上关于权函数)(x ρ的n 次正交多项式，以)(x ϕ的零点为节点建立
Lagrange 插值基函数)}({x l i ，
证明：⎰
⎰==b a
b
a
i i n
i dx x l x dx x l x ,,2,1,)]()[()()(2 ρρ
证明: 设n 次正交多项式()x ϕ的零点为12,,
n x x x ，则以这n 个零点为节点建立的
Lagrange 插值基函数{()},1,2
,i l x i n =是n-1次多项式，[]2
()i l x 是2n-2次多项式. 故
当()f x 取()i l x 和[]2
()i l x 时Gauss 型求积公式
1
()()()
n
b k k a
k x f x dx A f x ρ=≈∑⎰
等号成立, 即
1
()()()n
b i k i k i
a
k x l x dx A l x A ρ===∑⎰
2
21
()()()n
b i k i k i
a
k x l x dx A l x A ρ===∑⎰
则有 ⎰
⎰==b a
b
a
i i n
i dx x l x dx x l x ,,2,1,)]()[()()(2 ρρ
（2）对线性方程组b Ax =，若A 是n 阶非奇异阵，0≠b ，*x 是b Ax =的精确解，x 是
b Ax =的近似解。记Ax b r -=
证明：
b
r CondA
x
x x ≤-*
*
证明：由于*x 是b Ax =的精确解，则 A x b *
=，()r b Ax Ax Ax A x x *
*
=-=-=- 又A 是n 阶非奇异阵，则 1x x A r *--=
11x x A r A r *---=≤，且b Ax A x **=≤，则 b x A
≥
故 *11*
x x A r r r A A
CondA
b
A
b
b
x ---≤
==
（3）初值问题0)0(,
=+='y b ax y 有解bx ax x y +=2
21)(，若nh x n
=，n y 是用Euler 格式解得的)(x y 在n x x =处的近似值，证明：n n n ahx y x y 21)(=- . 证明：记 n n n f y x f b ax y x f =+=),(,
),(，且0)0(=y ，nh x n = Euler 格式为
),(1n n n n y x hf y y +=+ 则有
=++=+=-----12211)(n n n n n n hf hf y hf y y
n
n n n n n bx ahx ax nhb ah hb ah n hb ah hb ah hb b ax h b ax h b ax h hf hf hf y +-=+=
+-+++++=++++++=++++=---21
22122
)
1(2
2
2
1101
100)1(2)()()(
n n n n n n n n ahx ahx bx ax bx ax y x y 21
21221221)()(=-+-+=-.
（4）设n
n C A ⨯∈为非奇异阵，试证：线性方程组b Ax =的数值解可用Seidel 迭代方法求
得.
