重庆中考第10题专项训练(数学)
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重庆数学中考试题及答案一、选择题(每题3分,共30分)1. 下列哪个数是最小的正整数?A. 0B. 1C. 2D. 3答案:B2. 如果一个直角三角形的两个直角边分别为3和4,那么斜边的长度是?A. 5B. 6C. 7D. 8答案:A3. 以下哪个表达式的结果不是整数?A. 3 * 4B. 5 / 2C. 7 - 2D. 8 ÷ 2答案:B4. 下列哪个是二次方程?A. x + 2 = 0B. x^2 + x + 1 = 0C. x^3 - 2x^2 + x = 0D. x^2 - 4 = 0答案:B5. 圆的周长公式是?A. C = πdB. C = 2πrC. A = πr^2D. A = πd^2答案:B6. 一个数的平方根是它自己,这个数是?A. 1B. -1C. 0D. 2答案:C7. 以下哪个是立方体的体积公式?A. V = a^2B. V = a^3C. V = 2aD. V = πa^3答案:B8. 一个数的倒数是1/5,这个数是?A. 5B. 4C. 3D. 2答案:A9. 以下哪个是正弦函数的图像?A. 直线B. 抛物线C. 正弦曲线D. 双曲线答案:C10. 如果一个角的正弦值是0.5,那么这个角的度数是?A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案:B二、填空题(每题2分,共20分)11. 已知一个数的平方是25,这个数是________。
答案:±512. 一个圆的半径是7,那么它的直径是________。
答案:1413. 一个长方体的长、宽、高分别是2、3、4,它的体积是________。
答案:2414. 一个等腰三角形的两个底角相等,如果顶角是60°,那么底角是________。
答案:60°15. 一个数的立方是-27,这个数是________。
答案:-316. 一个直角三角形的两个直角边分别是6和8,那么斜边的长度是________。
重庆中考数学第10题专项训练1、如图,正方形ABCD 的对角线相交于点O ,AE 平分∠BAC 分别交DC 、BC 于点H 、E ,延长AB 至点F ,使BF=BE ,连接CF ,延长AE 交CF 于点G ,连接OG .下列结论:①△ABE ≌△CBF ;②OG ∥AB ;③AH=HG ;④以AG 为直径的圆与CF 相切.其中正确的个数有2、如图,正方形ABCD 边长为12,E 为CD 上一点,沿AE 将△ADE 折叠得△AEF ,延长EF 交BC 于G ,连接AG 、CF ,BG=6,下列说法①△ABG ≌△AFG ;②DE=4;③AG ∥CF ;④ 572=∆FGC S 正确的个数有3、如图,在正方形ABCD 中,点O 为对角线AC 的中点,过点0作射线OM 、ON 分别交AB 、BC 于点E 、F ,且∠EOF=90°,BO 、EF 交于点P .则下列结论中:(1)图形中全等的三角形只有两对;(2)正方形ABCD 的面积等于四边形OEBF 面积的4倍;(3)BE+BF=20A ;(4)OB OP CF AE ⋅=+222,正确的结论有 个.4、如图,在口ABCD 中,分别以AB 、AD 为边向外作等边△ABE 、△ADF ,延长CB 交AE 于点G ,点G 在点A 、E 之间,连接CE 、CF ,则以下四个结论①△CDF ≌△EBC ;②∠CDF=∠EAF ;③△ECF 是等边△;④CG ⊥AE 一定正确的有 个5、如图,正方形ABCD 中,点M 是边BC 上一点(异于点B 、C ),AM 的垂直平分线分别交AB 、CD 、BD 于E 、F 、K ,连AK 、MK .下列结论:①EF=AM ;②AE=DF+BM ;③EK >FK ; ④∠AKM=90°.其中正确的结论个数是6、如图,正方形ABCD 中,P 为对角线上的点,PB=AB ,连PC ,作CE ⊥CP 交AP 的延长线于E ,AE 交CD 于F ,交BC 的延长线于G ,则下列结论:①E 为FG 的中点;②CD CF FG ⋅=42;③AD=DE ;④CF=2DF .其中正确的个数是7、如图,已知四边形ABCD 是四个角都是直角,四条边都相等的正方形,点E 在BC 上,且BC CE 41=,点F 是CD 的中点,延长AF 与BC 的延长线交于点M .以下结论:①AB=CM ;②AE=AB+CE ;③ABCF AEF S S 四边形41=∆;④∠AFE=90°,其中正确的结论的个数有8、如图,在正方形ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O ,BE 平分∠DBC ,交DC 于点E ,延长BC 到点F ,使CF=CE ,连接DF ,交BE 的延长线于点G ,AC 交BG 于点H ,连接OG ,下列结论:①OG ∥AD ;②△CHE 为等腰三角形;③BH=GH ;④tan ∠F=2;⑤2:1:=∆∆B D E B C E S S 其中正确的结论有1.(重庆一中初2011级九下开学考试)如图,Rt ABC 中,AC BC ⊥,AD 平分BAC ∠交BC 于点D ,DE AD ⊥交AB 于点E ,M 为AE 的中点,BF ⊥BC 交CM 的延长线于点F ,BD=4,CD=3.下列结论①AED ADC ∠=∠;②3 4DE DA =;③AC BE 12⋅=;④3BF 4AC =; 其中结论正确的个数有( )A .1个B .2个C .3个D .4个2.(重庆一中初2012级八下期中)如图,在边长为1的正方形ABCD 中,E 为AD 边上一点,连接BE ,将ABE 沿BE 对折,A 点恰好落在对角线BD 上的点F 处.延长AF ,与CD 边交于点G ,延长FE ,与BA 的延长线交于点H ,则下列说法:①BFH 为等腰直角三角形;②ADF FHA ≅ ;③60DFG ∠=︒;④2DE =S AEF S DFG = .其中正确的说法有( )A .1个B .2个C .3个D .4个3.(重庆一中初2011级九上期末)如图,在△ABC 中,∠A=60°,∠ABC 、∠ACB 的平分线分别交AC 、AB 于点D 、E ,CE 、BD 相交于点F ,连接DE .下列结论:① 12DE BC =;② 1cos 2BFE ∠=;③E D F F E D ∠=∠; ④点F 到ABC ∆三个顶点的距离相等;⑤BE CD BC +=. 其中正确的结论有( )个.A .1个B .2个C .3个D .4个4.(重庆一中初2011级九下期中)如图,在直角梯形ABCD中,AD ∥BC ,∠ADC=90°,BC=CD ,E 为梯形内一点,∠BEC=90°,将△BEC 绕C 点旋转90°,使BC 与DC 重合,得到△DCF ,连接EF 交CD 于点M .给出以下5个命题: ①DM MC MF ME =::;②BE DF ⊥;③若1sin 2EBC ∠=,则(3S BCE S EMC = ;④若1tan ,3EBC BC ∠==则点D 到直线CE 的距离为1;⑤若M 为EF 中点,则点B 、E 、D 三点在同一直线上.则正确命题的个数( )A .2个B .3个C .4个 D .5个5.(重庆一中初2011级九下3月月考)如图,正方形ABCD 中,M 为BC 上一点,且13BM BC =.△AMN 为等腰直角三角形,斜边AN 与CD 交于点F ,延长AN 与BC 的延长线交于点E ,连接MF 、CN ,作NG ⊥BE ,垂足为G ,下列结论:①ABM MGN ≅ ;②△CNG 为等腰直角三角形;③MN=EN ;④S ABM S CEN = ;⑤BM+DF=MF .其中正确的个数为( )A .2个B .3个C .4个D .5个6.(重庆一中初2011级中考二模)如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点,DE ⊥BC 交AC 与E ,已知AD=AB ,连接BE 交AD 于F ,下列结论:①BE=CE ;②∠CAD=∠ABE ;③AF=DF ;④S △ABF=3S △DEF ;⑤△DEF ∽△DAE ,其中正确的有( )个.A .5B .4C .3D .27.(重庆一中初2011级九下5月月考)如图,正方形ABCD 中,点E 是对角线BD 上一点,点F 是边BC 上一点,点G 是边CD 上一点,BE=2ED ,CF=2BF ,连接AE 并延长交CD 于G ,连接AF 、EF 、FG .给出下列五个结论:① DG=GC ;②∠FGC=∠AGF ;③S △ABF=S △FCG ;④AF =;⑤∠AFB=∠AEB .其中正确结论的个数是( )个A .5B .4C .3D .28.(重庆一中初2012级八下期末)如图,在正方形ABCD 中,E 为AD 的中点,DF ⊥CE 于M ,交AC 于点N ,交AB 于点F ,连接EN 、BM .有如下结论:①△ADF ≌△DCE ;②MN=FN ;③CN=2AN ;④ADN CNFB S S 25= 四边形::;⑤∠ADF=∠BMF .其中正确结论的个数为( )A .2个B .3个C .4个D .5个9.(重庆一中初2010级九上期中)如图,等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB=DC ,折叠梯形ABCD ,使点B 与点D 重合,EF 为折痕,且DF ⊥BC ,下列结论:①△BFD 为等腰直角三角形;②△ABD ∽△ADE ;③EF ∥AC ;④AD+FC >DF其中正确的是( )A.②④B.①④C.②③D.①③A B C E F10.(重庆一中初2010级中考一模)如图,已知边长为4的正方形ABCD 中,E 为AD 中点,P 为CE 中点,F 为BP 中点,FH ⊥BC 交BC 于H ,连接PH ,则下列结论正确的是( )①BE=CE ;② 1sin EBP 2∠=;③HP ∥BE ;④HF=1;⑤S BFD 1= . A.①④⑤ B.①②③ C.①②④ D.①③④11.(重庆一中初2010级上期末)如图,在等边△ABC 中,M 、N 分别是边AB ,AC 的中点,D 为MN 的中点,CD ,BD 的延长线分别交于AB ,AC 于点E ,点F ,下列结论正确的是( )①MN 的长是BC 的12 ;②△EMD 的面积是△ABC 面积的 116; ③EM 和FN 的长度相等;④图中全等的三角形有4对;⑤连接EF ,则四边形EBCF 一定是等腰梯形.A.①②⑤B.①③④C.①②④D.①③⑤12. (重庆一中初2010级九下半期)如图,在正方形ABCD 中,AB=4,E 为CD 上一动点,连AE 交BD 于F ,过F 作FH ⊥AE 交BC 于H ,过H 作GH ⊥BD 交BD 于G ,下列有四个结论: ①AF=FH ,②∠HAE=45°,③BD=2FG ,④△CEH 的周长为定值, 其中正确的结论是( )A .①②③B .①②④C .①③④D .①②③④13. (重庆一中初2010级九上10月月考)如图,△ABC 为等腰直角三角形,∠BAC=90°,BC=2,E 为AB 上任意一动点,以CE 为斜边作等腰Rt △CDE ,连接AD ,下列说法:①∠BCE=∠ACD ;②AC ⊥ED ;③△AED ∽△ECB ;④AD ∥BC ;⑤四边形ABCD 的面积有最大值,且最大值为32. 其中,正确的结论是( )A.①②④B.①③⑤C.②③④D.①④⑤14. (重庆一中初2011级八上期末)如图,正方形ABCD 中,在AD 的延长线上取点E ,F ,使DE=AD ,DF=BD ,连接BF 分别交CD ,CE 于H ,G ,下列结论:①EC=2DG ;②∠GDH=∠GHD ;③S S CDG DHGE = ;④图中有8个等腰三角形.其中正确的是( )A.①③B.②④C.①④D.②③E H。
2023年重庆一中中考数学模拟试题一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)在每个小题的下面,都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案,请将答题卡上对应选项的代号涂黑.1.−3的相反数是A.3B.13C.−13D.−3 2.下列几何体中,俯视图是三角形的是3.a 2·a 3的运算结果正确的是A.a 2+a 3B.a 6C.a 5D.6a4.下列图象是函数图象的是5.如图,在平面直角坐标系中,已知A(6,4),B(2,3),D(3,2),△ABC 与△DEF 位似,原点O 是位似中心,则E 点的坐标是A.(1,2)B.(1, 32)C.(32,2)D.(32, 32) 6.下列说法正确的是A.代数式x+4π是分式 B.分式xy x−y 中x ,y 都扩大3倍,分式的值不变 C.分式x+1x 2+1是最简分式 D.分式x+1x−1有意义7.一辆汽车的速度(km/h)与时间(min)之间的变化关系如图所示,则下列说法正确的是A.时间是因变量,速度是自变量B.汽车在3~8min 时匀速行驶C.汽车在8~12min 时匀速行驶D.汽车最快的速度是10km/hB. D. B. A.C.D.8.如果m=3√2−1,那么m 的取值范围正确的是A.1<m <2B.2<m <3C.3<m <4D.4<m <59.如图,等腰直角三角形ABC 两腰与圆相切,底边BC 过圆心O 点,⊙O 的半径为1,则线段BD 的长为A.√2−1B.2−√2C.√2+1D.√2+210.已知a >b >0>c >d >e ,对多项式a −b −c −d −e 任意添加绝对值运算(不可添加为单个字母的绝对值或绝对值中含有绝对值的情况)后仍只含减法运算,称这种操作为“绝对领域”,例如:a −|b −c −d|−e ,a −|b −c|−|d −e|等,下列相关说法正确的个数是①一定存在一种“绝对领域”操作使得操作后的式子化简的结果为非负数;②一定存在一种“绝对领域”操作使得操作后的式子化简的结果与原式互为相反数; ③进行“绝对领域”操作后的式子化简的结果可能有11种结果.A.0B.1C.2D.3二、填空题(本大题共8个小题,每小题4分,共32分)请将每小题的答案直接填在答.题卡..中对应的横线上. 11.计算:sin30°−(1+π)0=_______.12.已知第一组数据:1,3,5,7的方差为S 12;第二组数据:6,6,6,6的方差为S 22;第三组数据:2023,2022,2021,2020的方差为S 32,则S 12,S 22,S 32的大小关系是_______.(用“<”连接)13.若y=(m+2)x |m|-3是关于x 的反比例函数,则m 的值为_______.7题图(min) 9题图 5题图14.有四张大小和背面完全相同的不透明卡片,正面分别印有“1”、 “2”、“3”、 “6”四个数字,将这四张卡片背面朝上洗匀,从中随机抽取两张卡片,所抽取的卡片正面上数字的积为6的概率是_______.15.如图,正方形ABCD 中,扇形ABC 与扇形BCD 的弧交于点E ,BC=1cm ,则图中阴影部分的面积为_______cm 2.(结果保留π)16.若关于y 的不等式组{y −1≥2y−13−12(y −a)>0无解,且关于x 的分式方程a x+1+1=x+a x−1的解为负数,则所有满足条件的整数a 的值之和是_______.17.如图,在△ABC 中,∠C=90°,AC=BC=5,点E ,F 分别为边AB 与BC 上两点,连接EF ,将△BEF 沿着EF 翻折,使得B 点落在AC 边上的D 处,AD=2,则EO 的值为_______.18.一个各位数字都不为0的四位正整数m ,若千位与个位数字相同,百位与十位数字 相同,则称这个数m 为“双胞蛋数”,将千位与百位数字交换,十位与个位数字交换,得到一个新的“双胞蛋数”m´,并规定F(m)=m−m ´11.则F(8228)=_______;若已知数m为“双胞蛋数”,且千位与百位数字互不相同,F(m)54是一个完全平方数,则满足条件的m 的最小值为_______. F AE B DOC 17题图15题图三、解答题(本大题共8个小题,19、20每小题8分,21-25每小题10分,26题12分,共78分)解答题时每小题须给出必要的演算过程或推理步骤,画出必要的图形(包括作辅助线),请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.19.(1)y(4x −3y)+(x −2y)2 (2)( a+1a−1+1)÷2aa 2−120.如图,在矩形ABCD 中,点E 是边AD 上一点,连接CE ,且满足CE=BC.(1)用尺规完成以下基本作图:过点B 作CE 的垂线,垂足为F ;(保留作图痕迹,不写作法)(2)在(1)问所作的图形中,求证:AE=EF.证明:∵四边形ABCD 是矩形,∴①,AD=BC ,∠D=90°.∴∠DEC=∠ECB ,CE=AD.∵BF⊥CE,∴②,∴∠D=∠CFB.在△DCE 和△FBC 中:{∠D =∠CFB∠DEC =∠FCB ③∴△DCE≌△FBC(A AS),∴④∴AD-DE=CE −CF即AE=EF21.国家利益高于一切,国家安全人人有责,2023年4月15日是第八个全民国家安全教育日,某校开展了“树牢总体国家安全观,感悟新时代国家安全成就”的国安知识竞赛,现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩(100分制)进行整理、A BD C E描述和分析(成绩用x表示,共分成四组:不合格0≤x<60,合格60≤x<80,良好80≤x<100,优秀x=100),下面给出了部分信息:七年级抽取的学生竞赛成绩在良好组的数据是:80,84,85,90,95,98八年级的学生竞赛成绩在良好组的数据是:80,82,84,86,86,90,94,98七年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图七、八年级抽取的学生竞赛成绩的统计量根据以上信息,解答下列问题:(1)直接写出a,b的值;(2)根据上述数据,你认为该校七、八年级中哪个年级学生对“国安知识”掌握较好?请说明理由(写出一条理由即可);(3)该校七、八年级各有800人参加此次竞赛活动,估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是多少?22.周末,小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体.若两人同时从A地出发,匀速跑向距离12000m处的B地,小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍,那么小明比小红早5分钟到达B地.(1)求小明、小红的跑步速度;(2)若从A地到达B地后,小明以跑步形式继续前进到C地(整个过程不休息).据了解,在他从跑步开始前30分钟内,平均每分钟消耗热量10卡路里,超过30分钟后,每多跑步1分钟,平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里,在整个锻炼过程中,小明共消耗2300卡路里的热量,小明从A地到C地锻炼共用多少分钟?23.长嘴壶茶艺表演是一项深受群众喜爱的民俗文化,所用到的长嘴壶更是历史悠久, 源远流长.如图是长嘴壶放置在水平桌面上,l 是水平桌面,测得AD=BC=4AE ,AB=30cm ,CD=22cm ,且CD∥AB,∠DAB=60°,壶嘴EF 与水平面的夹角为α(0°<α<90°).(参考数据:√2≈1.414,√3≈1.732,√6≈2.449)(1)如图,当壶嘴EF 与水平面的夹角为45°时,壶嘴口F 离桌面高度恰好为壶身高度的3倍,求壶嘴EF 的长度;(结果保留根号)(2)若长嘴壶放置在水平桌面上,为使得长嘴壶能够装满茶水,求EF 的取值范围.(结果保留两位小数)24.如图,在正方形ABCD 中,AD=4,动点F ,E 分别从点A ,B 出发,F 点沿着A→D→C 运动,到达C 点停止运动,点E 沿着B→A→D 运动,到达D 点停止运动,连接EC ,BF ,己知F 点的速度v F =1且BF⊥CE,令S △AEC =y 1,S △ABF =y 2,运动时间为t ,请回答下列问题:(1)请直接写出y 1,y 2与t 之间的函数关系式以及对应的t 的取值范围;(2)请写出函数y 1的一条性质;(3)在直角坐标系中画出y 1、y 2的图象;并根据图形直接写出当y 1≥y 2时t 的取值范围. B C DFEl25.如图1,抛物线y=a x 2+b x +c(a≠0)与x 轴相交于点A 、B(点B 在点A 左侧),与y 轴相交于点C(0,3),已知点A 坐标为(1,0),△ABC 面积为6.(1)求抛物线的解析式;(2)点P 是直线BC 上方抛物线上一动点,过点P 作直线BC 的垂线,垂足为点E ,过点P 作PF∥y 轴交BC 于点F ,求△PEF 周长的最大值及此时点P 的坐标;(3)如图2,将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线y ´,平移后的抛物线与原抛物线相交于点D ,点M 为直线BC 上的一点,点N 是平面坐标系内一点,是否存在点M ,N ,使以点B ,D ,M ,N 为顶点的四边形为菱形,若存在,请直接写出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.26.如图,在△ABC 中,AB=AC=3,∠BAC=120°,点D 为直线AC 右上方一点,且满足∠ADC=6O °,连接BD.(1)如图1,若CD⊥AC,BD 交AC 于点O ,求CO 的长;图2 图1 A DC B EF(2)如图2,点E 为线段BD 上一点,连接EA ,EC ,且满足∠EAD=60°,试证明AD=CD+2AE ;(3)如图3,在(2)的条件下,以AC ,CD 为边构造平行四边形ACDF ,当AE+AF=2时,直接写出△ADF 的面积.参考答案图1D图2 A B C E D 图3 F D C B A E。
重庆数学中考试题及答案****一、选择题(每题3分,共30分)1. 下列哪个数是正数?A. -2B. 0C. 3D. -0.5**答案:C**2. 以下哪个选项是二次方程的解?A. x^2 - 4x + 4 = 0B. x^2 + 4x + 4 = 0C. x^2 - 4x - 4 = 0D. x^2 + 4x - 4 = 0**答案:A**3. 以下哪个函数是一次函数?A. y = 2x + 3B. y = x^2 + 2C. y = 3x^3 - 2D. y = 1/x**答案:A**4. 以下哪个图形是轴对称图形?A. 圆B. 椭圆C. 抛物线D. 双曲线**答案:A**5. 以下哪个选项是等腰三角形?A. 三边长分别为3, 4, 5B. 三边长分别为2, 2, 3C. 三边长分别为1, 1, 2D. 三边长分别为4, 5, 6**答案:B**6. 下列哪个选项是锐角三角形?A. 三角形内角分别为30°, 60°, 90°B. 三角形内角分别为45°, 45°, 90°C. 三角形内角分别为60°, 60°, 60°D. 三角形内角分别为50°, 70°, 60° **答案:D**7. 以下哪个选项是不等式?A. 2x + 3 = 5B. 3x - 2 > 4C. 5y - 7 = 0D. 4z + 6 ≤ 10**答案:B**8. 以下哪个选项是反比例函数?A. y = 2xB. y = 1/xC. y = x^2D. y = 3x + 2**答案:B**9. 以下哪个选项是相似三角形?A. 三角形ABC和三角形DEF,AB/DE = AC/DF = BC/EFB. 三角形ABC和三角形DEF,AB/DE ≠ AC/DF = BC/EFC. 三角形ABC和三角形DEF,AB/DE = AC/DF ≠ BC/EFD. 三角形ABC和三角形DEF,AB/DE ≠ AC/DF ≠ BC/EF **答案:A**10. 以下哪个选项是圆的标准方程?A. (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 1B. x^2 + y^2 = 4C. (x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 9D. x^2 + y^2 - 2x + 4y - 4 = 0**答案:B**二、填空题(每题3分,共30分)11. 一个数的相反数是-5,这个数是 _______。
初中数学七年级下册第十章数据的收集、整理与描述专项练习(2021-2022学年考试时间:90分钟,总分100分)班级:__________ 姓名:__________ 总分:__________一、单选题(10小题,每小题3分,共计30分)1、下列说法正确的是()A.折线图易于显示数据的变化趋势B.条形图能显示每组数在总体中所占百分比C.扇形图易于比较每组数的大小差别D.扇形图能显示每组的具体数据2、下面调查中,最适合采用全面调查的是()A.对全国中学生视力状况的调查B.了解重庆市八年级学生身高情况C.调查人们垃圾分类的意识D.对“天舟三号”货运飞船零部件的调查3、为了估计鱼塘中的鱼数,养鱼者首先从鱼塘中打捞n条鱼,在每一条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘,再从鱼塘中打捞a条鱼,如果在这a条鱼中有b条鱼是有记号的,那么估计鱼塘中鱼的条数为()A.anbB.bnaC.banD.abn4、2021年我县有101万名初中毕业生参加升学考试,为了了解这101万名考生的数学成绩,从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计,在这个问题中样本是()A.101万名考生B.101万名考生的数学成绩C.2000名考生D.2000名考生的数学成绩5、下列调查中,适合采用全面调查(普查)方式的是()A.了解江西省中小学生的视力情况B.在“新型冠状病肺炎”疫情期间,对出入某小区的人员进行体温检测C.了解全国快递包裹产生包装垃圾的数量D.了解抚州市市民对社会主义核心价值观的内容的了解情况6、下列说法正确的是()A.抽样调查比全面调查更科学B.全面调查比抽样调查更科学C.抽样调查的样本可以随意选取D.抽样调查是根据样本来估计总体的一种调查7、某运动品牌经销商对鞋码大小进行抽样调查,经销商最感兴趣的数据是()A.中位数B.平均数C.众数D.方差8、下列调查中,最适合采用全面调查的是()A.疫情防控阶段进出某小区人员的体温检测 B.调查湖北省七年级学生的身高C.检测一批手持测温仪的使用寿命D.端午节期间市场上粽子质量9、下列说法中正确的个数是()个.①a表示负数;②若|x|=x,则x为正数;③单项式229xyπ-的系数是29-;④多项式﹣3a2b+7a2b2﹣2ab﹣1的次数是4;⑤了解全市中小学生每天的零花钱适合抽样调查;⑥调查七年级(1)班学生的某次数学考试成绩适合抽样调查.A.1 B.2 C.3 D.410、某养羊场对200头生羊量进行统计,得到频数直方图(每一组含前一个边界值,不含后一个边界值)如图所示,其中质量在77.5kg及以上的生羊的只数是()A.180 B.140 C.120 D.110二、填空题(5小题,每小题4分,共计20分)1、已知有50个数据分别落在五个小组内,落在第一、二、三、五小组内的数据个数分别为2,8,15,15,则落在第四小组内的频率是_____.2、2021年6月6日是全国爱眼日,某校对七年级学生进行了视力监测,收集了部分学生的监测数据,并绘制成了频数分布直方图,从左至右每个小长方形的高的比为2:3:4:1,其中第三组的频数为80,则共收集了______名学生的监测数据.3、某地区为估计该地区黄羊的只数,先捕捉20只黄羊给它们分别作上标志,然后放回,待有标志的黄羊完全混合于黄羊群后,第二次捕捉40只黄羊,发现其中两只有标志.从而估计该地区有黄羊____只.4、为了贯彻和落实“双减政策”,某学校七年级在课后辅导中开设剪纸、做豆腐、硬笔书法、篮球、戏剧赏析五个课程.为了了解七年级学生对这五个课程的选择情况,小明同学随机抽取了部分学生进行调查(规定每人必须并且只能选择其中一个课程),并把调查结果绘制成如图所示的统计图,根据这个统计图可以估计七年级500名学生中选择做豆腐课程的学生约为 ___名.5、为了解神舟飞船的设备零件的质量情况,选择抽样调查的方式是否合理______(填是或否).三、解答题(5小题,每小题10分,共计50分)1、在疫情防控期间,某市防控指挥部想了解各学校教职工参与志愿服务的情况.在全市各学校随机调查了部分参与志愿服务的教职工,对他们志愿服务的时间进行了统计,整理并绘制成如下的统计表和不完整的统计图.(1)本次被抽取的教职工共有名;(2)表中a = ,扇形统计图中“C”部分所占百分比为 %;(3)若该市共有30 000名教职工参与志愿服务,那么志愿服务时间多于60小时的教职工大约有多少人?2、为了解中考体育科目训练情况,某区从全区九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试(把测试结果分为四个等级:A级:优秀;B级:良好;C级:及格;D级:不及格),并将测试结果绘成了如图、图2所示的两幅不完整的统计图,请根据统计中的信息解答下列问题:(1)求本次抽样测试的学生人数是多少;(2)通过计算把条形统计图补充完整;(3)该区九年级有学生3500名,如果全部参加这次中考体育科目考试,请估计不及格的人数有多少人.3、为庆祝五四青年节,学校计划在“五四”前夕举行班级歌咏比赛,要确定一首喜欢唱的人数最多的A B C D四首备选曲目让学生选择,经过抽样调查,并将采集歌曲为每班必唱歌曲.为此提供代号为,,,的数据绘制成如下的两幅不完整的统计图.请根据图1,图2所提供的信息,解答下列问题:(1)本次抽样调查的学生有多少名?(2)请将条形统计图补充完整;(3)求扇形图中A的圆心角度数;(4)由统计图发现喜欢唱的人数最多的歌曲为哪一首?若全校共有1200名学生,根据抽样调查的结果估计全校共有多少名学生喜欢唱此歌曲?4、虎林市教育局为了解九年级学生每学期参加综合实践活动的情况,随机抽样调查某校九年级学生一个学期参加综合实践活动的天数,并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图.请你根据图中提供的信息,回答下列问题:(1)求出该校九年级学生总数.(2)求出活动时间为5天的学生人数,并补全频数分布直方图.(3)求该校九年级学生一个学期参加综合实践活动天数在5天以上(含5天)的人数是多少?5、某校随机抽取部分学生,对“学习习惯”进行问卷调查.设计的问题:对自己做错的题目进行整理、分析、改正;答案选项为:A.很少;B.有时;C.常常;D.总是.将调查结果的数据进行了整理、绘制成如图两幅不完整的统计图.请根据图中信息,解答下列问题:(1)填空:a= %,b= %;(2)请你补全条形统计图;(3)若该校有2000名学生,请你估计其中“常常”和“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生各有多少名?---------参考答案-----------一、单选题1、A【解析】【分析】根据扇形统计图、折线统计图、条形统计图的含义求解即可.【详解】解:选项A:折线图易于显示数据的变化趋势,故A正确;选项B、C、D:条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目,扇形图能显示每组数在总体中所占百分比,故B、C、D错误.故选:A.【点睛】本题考查统计图的选择及用途:扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比,但一般不能直接从图中得到具体的数据;折线统计图表示的是事物的变化情况;条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目.2、D【解析】【分析】根据普查得到的调查结果比较准确,但所费人力、物力和时间较多,而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断.【详解】解:A.对全国中学生视力状况的调查,适合抽样调查,故本选项不合题意;B.了解重庆市八年级学生身高情况,适合抽样调查,故本选项不合题意;C.调查人们垃圾分类的意识,适合抽样调查,故本选项不合题意;D.对“天舟三号”货运飞船零部件的调查,适合普查,故本选项符合题意.故选:D.【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别,解题的关键是掌握选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用,一般来说,对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大,应选择抽样调查,对于精确度要求高的调查,事关重大的调查往往选用普查.3、A【解析】【分析】首先求出有记号的b条鱼在a条鱼中所占的比例,然后根据用样本中有记号的鱼所占的比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例,即可求得鱼的总条数.【详解】解:∵打捞a条鱼,发现其中带标记的鱼有b条,∴有标记的鱼占ba,∵共有n条鱼做上标记,∴鱼塘中估计有n÷ba=anb(条).故选:A.【点睛】此题考查了用样本估计总体,关键是求出带标记的鱼占的百分比,运用了样本估计总体的思想.4、D【解析】【分析】根据样本的定义:从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本,依此即可求解.解:根据样本的定义可得,在这个问题中,样本是2000名考生的数学成绩.故选:D【点睛】本题考查了总体、个体、样本和样本容量:我们把所要考察的对象的全体叫做总体;把组成总体的每一个考察对象叫做个体;从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本;一个样本包括的个体数量叫做样本容量,解题的关键是掌握样本的有关概念.5、B【解析】【分析】由题意根据普查得到的调查结果比较准确,但所费人力、物力和时间较多,而抽样调查得到的调查结果比较近似进行分析判断即可.【详解】解:A. 了解江西省中小学生的视力情况,适合采用抽样调查,A不合题意;B. 在“新型冠状病肺炎”疫情期间,对出入某小区的人员进行体温检测,应该采用全面调查(普查),B符合题意;C. 了解全国快递包裹产生包装垃圾的数量,适合采用抽样调查,C不合题意;D. 了解抚州市市民对社会主义核心价值观的内容的了解情况,适合采用抽样调查,D不合题意.故选:B.【点睛】本题考查抽样调查和全面调查的区别,注意掌握选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用,一般来说,对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大,应选择抽样调查,对于精确度要求高的调查,事关重大的调查往往选用普查.6、D【分析】根据全面调查和抽样调查的定义进行判断即可.【详解】选择全面调查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用,抽样调查比全面调查哪个更科学并不是绝对的,故A、B错误;抽样调查的样本选取要有代表性和一般性,不能随意选取,故C错误;抽样调查是根据样本来估计总体的一种调查,故D正确,故选 D.【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别,选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用,一般来说,对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时,应选择抽样调查,对于精确度要求高的调查,事关重大的调查往往选用普查.7、C【解析】【分析】经销商最感兴趣的是这组鞋号中销售量最大的尺码,即这组鞋号的众数.【详解】解:由于众数是数据中出现次数最多的数.经销商最感兴趣的是这组鞋号中销售量最大的尺码,故应关注众数的大小.故选:C.【点睛】本题主要考查学生对统计量的意义的理解与运用,要求学生对统计量进行合理的选择和恰当的运用.8、A【解析】【分析】根据调查对象的特点,结合普查得到的调查结果比较准确,但所费人力、物力和时间较多,而抽样调查得到的调查结果接近准确数值,从而可得答案.【详解】解:A 疫情防控阶段进出某小区人员的体温检测,适合采用全面调查方式,故本选项符合题意;B 调查湖北省七年级学生的身高,适合采用抽样调查,故本选项不合题意;C 检测一批手持测温仪的使用寿命,适合采用抽样调查,故本选项不合题意;D 调查端午节期间市场上粽子质量,适合采用抽样调查,故本选项不合题意.故选:A.【点睛】本题考查的是抽样调查和全面调查,选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用,一般来说,对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大,应选择抽样调查,对于精确度要求高的调查,事关重大的调查往往选用普查.9、B【解析】【分析】直接根据单项式以及多项式的相关概念,正数和负数,抽样调查和全面调查的概念进行判断即可.【详解】解:①a表示一个正数、0或者负数,故原说法不正确;②若|x|=x,则x为正数或0,故原说法不正确;③单项式﹣229xyπ的系数是﹣29π,故原说法不正确;④多项式﹣3a2b+7a2b2﹣2ab﹣1的次数是4,故原说法正确;⑤了解全市中小学生每天的零花钱适合抽样调查,故原说法正确;⑥调查七年级(1)班学生的某次数学考试成绩适合全面调查,故原说法不正确.正确的个数为2个,故选:B.【点睛】本题考查了多项式、正数和负数、抽样调查和全面调查及绝对值的性质,掌握它们的性质概念是解本题的关键.10、B【解析】【分析】根据题意和直方图中的数据可以求得质量在77.5kg及以上的生猪数,本题得以解决.【详解】解:由直方图可得,质量在77.5kg及以上的生猪:90+30+20=140(头),故选B.【点睛】本题考查频数分布直方图,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.二、填空题1、0.4【解析】【分析】先求出第四小组的频数,再根据频率=频数÷样本容量计算即可;【详解】由题可知:第四小组的频数()502815520=-+++=,频率=频数÷样本容量20500.4=÷=;故答案是0.4.【点睛】本题主要考查了频率和频数的计算,准确分析计算是解题的关键.2、200【解析】【分析】根据频率=频数除以总数进行计算即可.【详解】 解:4802002341÷=+++(人), 故答案为:200.【点睛】本题考查了频数分布直方图,掌握频率=频数除以总数是解答本题的关键.3、400【解析】【分析】设这个地区有黄羊x 只,根据第二次捕捉40只绵羊,其中有2只有记号,即可列方程求解.【详解】设这个地区有黄羊x 只,由题意得240=20xx=解得400则估计这个地区有黄羊400只.故答案为:400【点睛】本题考查的是用样本估计总体,解答本题的关键是读懂题意,得到第二次捕捉的绵羊中有记号的占全部有记号的比例.4、100【解析】【分析】用整体1减去篮球、硬笔书法、戏剧赏析、剪纸所占的百分比,求出做豆腐课程所占的百分比,再用该学校500名学生乘以做豆腐课程所占的百分比即可得出答案.【详解】解:根据题意得,估计该学校500名学生中选择做豆腐课程的学生约为500×(1-30%-20%-14%-16%)=100(名),故答案为:100.【点睛】本题考查了用样本估计总体,依据扇形统计图求出做豆腐课程所占的百分比是解题的关键.5、否【解析】【分析】由全面调查得到的调查结果比较准确,但所费人力、物力和时间较多,而抽样调查得到的调查结果比较近似.据此解答即可.【详解】解:为了了解神舟飞船的设备零件的质量情况,意义重大,适合普查,不适合抽样调查.故答案为:否.【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别,选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用,一般来说,对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时,应选择抽样调查,对于精确度要求高的调查,事关重大的调查往往选用普查.三、解答题1、(1)50;(2)4,32;(3)21600【分析】(1)由B等级的人数及其所占百分比即可求出被调查的总人数;(2)用总人数减去B、C、D的人数即可得出a的值,用C等级人数除以被调查总人数即可得出其对应百分比;(3)用总人数乘以样本中C、D人数所占比例即可.【详解】解:(1)本次被抽取的教职工共有10÷20%=50(名),故答案为:50;(2)a=50−(10+16+20)=4,扇形统计图中“C”部分所占百分比为1650×100%=32%,故答案为:4,32;(3)志愿服务时间多于60小时的教职工大约有30000×162050=21600(人).【点睛】此题主要考查了扇形统计图、频数(率)分布表,以及样本估计总体,关键是正确从扇形统计图和表格中得到所用信息.2、(1)抽样测试的学生人数为40人;(2)条形统计图见详解;(3)估计不及格人数有700人【分析】(1)用B级人数除以B级人数占的百分比即可;(2)用(1)中求得的数据乘以35%即可求出C级人数,然后补全统计图即可;(3)用总人数乘以D级人数的比例即可.【详解】解:(1)1230%40÷=(人),∴本次抽样测试的学生人数是40人;(2)4035%14⨯=(人),∴抽样测试中为C级的人数是14人,补全条形统计图,如图所示;(3)8350070040⨯=(人),∴估计不及格的人数有700人.【点睛】题目主要考查扇形统计图和条形统计图的综合,求样本总量,画条形统计图,用样本估计总体等,理解题意,数量掌握计算方法是解题关键.3、(1)本次抽样调查的学生有180人;(2)见解析;(3)72°;(4)由统计图可知喜欢唱的人数最多的歌曲是C,估计全校共有480人喜欢唱此歌曲.【分析】(1)用曲目D的人数除以其占比即可得到答案;(2)根据(1)所求,先算出曲目C的人数,然后补全统计图即可;(3)用360度乘以曲目A的人数占比即可得到答案;(4)根据统计图可知喜欢曲目C的人数最多,然后用全校人数乘以样本中曲目C的占比即可得到答案.【详解】解:(1)由题意得:总人数8442180360︒=÷=︒人,答:本次抽样调查的学生有180人;(2)由(1)得喜欢曲目C的人数180********=---=人,∴补全条形统计图如下所示:(3)由题意得扇形图中A的圆心角度数3636072180=︒⨯=︒;(4)由统计图可知喜欢唱的人数最多的歌曲是C,估计全校共有721200480180⨯=人,答:由统计图可知喜欢唱的人数最多的歌曲是C,估计全校共有480人喜欢唱此歌曲.【点睛】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联,用样本估计总体,补全统计图,求扇形圆心角度数等等,读懂统计图是解题的关键.4、(1)200;(2)50,图见解析;(3)90【分析】(1)根据综合实践活动的天数为4天的人数60人,所占比例为30%,即可求得总人数;(2)将总人数乘以实践活动的天数为5天的学生人数所占的比例即可求得, 活动时间为5天的学生人数,进而求得活动时间为7天的人数,即可补全统计图(3)分别求得活动时间为5,6,7天的人数,求其和即可【详解】解:(1)活动的天数为4天的人数60人,所占比例为30%,则总人数为:60÷30%=200(人)(2)活动的天数为5天的有:200×(1-10%-15%-30%-5%-15%)=50(人)活动的天数为7天的有:200×5%=10(人)补全5天和7天的两个直方条(如图)(3)50+30+200×5%=90(人)该校九年级学生一个学期参加综合实践活动天数在5天以上(含5天)的人数是90人【点睛】本题考查了频数直方图和扇形统计图信息关联,从统计图中获取信息是解题的关键.5、(1)12,36;(2)见解析;(3)720人【分析】(1)首先计算出抽查的学生总数,然后再计算a、b的值即可;(2)计算出“常常”所对的人数,然后补全统计图即可;(3)利用样本估计总体的方法计算即可.【详解】解:(1)调查总人数:4422%200÷=(人),24a=⨯=,100%12%20072100%36%b=⨯=,200故答案为:12,36;(2)“常常”所对的人数:200×30%=60(人),补全统计图如图所示:;(3)2000×30%=600(人),2000×36%=720(人),答:“常常”对错题进行整理、分析、改正的有600人,“总是”对错题进行整理、分析、改正的有720人.【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图的综合运用,熟练掌握抽样的各项数目、各项百分比、总数、各项圆心角及整体的各项数目、各项百分比、总数等的计算方法是解题关键.。
2020重庆中考复习数学几何最值专题训练十(含答案解析)例1、(2017春•东台市期中)如图,在等腰直角△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BC=4,点D是AC上一动点,连接BD,以AD为直径的圆交BD于点E,则线段CE长度的最小值是( )A.2 B.4 C. D.练习:(2016秋•江阴市校级月考)如图,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BC=2,点D是AC 边上一动点,连接BD,以AD为直径的圆交BD于点E,则线段CE长度的最小值为( )A.2﹣2 B. C. D.例2、(2017•曲江区校级三模)如图,在正方形ABCD中,动点E、F分别从D、C两点同时出发,以相同的速度在直线DC、CB上移动,连接AE和DF交于P,若AD=6,则线段CP的最小值为 .练习:1、(2015•无锡校级一模)如图,在正方形ABCD中,动点E,F分别从D,C两点同时出发,以相同的速度在边DC,CB上移动,连接AE和DF交于点P,由于点E,F的移动,使得点P也随之运动.若AD =2,线段CP的最小值是 .2、在正方形ABCD中,点E,F分别从D,C两点同时出发,以相同的速度在直线DC,CB上移动,连接AE和DF交于点P,由于点E,F的移动,使得点P也随之运动,若AD=4,则线段CP的最小值为.例3、(2019•宝安区二模)如图,正方形ABCD中,BC=6,点E为BC的中点,点P为边CD上一动点,连接AP,过点P作AP的垂线交BC于点M,N为线段AP上一点,且PN=PM,连接MN,取MN的中点H,连接EH,则EH的最小值是 .例4、如图,在等腰△ABC中,∠BAC=30°,AB=AC,BC=2,点P、Q、R分别为边BC、AB、AC上(均不与端点重合)的动点,则△PQR周长的最小值是 .练习:如图,△ABC三个顶点都在坐标轴上,其中A(0,6),∠BAC=60°,O为坐标原点,点P、Q、R分别是边BC、AB、AC上的动点,则△PQR周长的最小值.例5、(2018秋•沙坪坝区校级月考)如图,在Rt△ABC中∠C=90°,∠A=30°,BC=2,点P,Q,R 分别是AB,AC,BC上的动点,PQ+PR+QR的最小值是 .练习:如图2,若点N是线段ME上一点,且MN=3,点Q是线段AE上一动点,连接PQ、PN、NQ得到△PQN,则△PQN周长的最小值为.例6、(2019•龙岩一模)如图,△ABC中,∠ABC=30°,AB=4,BC=5,P是△ABC内部的任意一点,连接P A,PB,PC,则P A+PB+PC的最小值为 .练习:1、如图所示,△ABC中,∠ACB=30°,AC=3,BC=4,P是△ABC内部一点,则P A+PB+PC的最小值为( )A.2 B.4 C.6 D.52、(2019秋•蔡甸区期中)如图,在△ABC中,∠ABC=60°,AB<AC,点P是△ABC内一点,AB=6,BC=8,则P A+PB+PC的最小值是 .例7、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,∠ABC=30°,点P为Rt△ABC的费马点,连接AP,BP,CP,求P A+PB+PC的值.练习:(2018春•青山区期末)如图,矩形ABCD中,AB=2,BC=6,P为矩形内一点,连接P A,PB,PC,则P A+PB+PC的最小值是( )A.4+3 B.2 C.2+6 D.4例8、如图,∠ACB =90°,P 是ABC ∆内一点,且1,PC PA PB ===则AB 的最大值为AB例9、如图,正方形ABCD 的边长为2,点M 、P 、N 分别在CD 为直径的半圆上、边BC 、边AB 上运动,并且保持PM ⊥PN ,PM :PN=2:3则线段PM 长的最小值为2020重庆中考复习数学几何最值专题训练十答案解析例1、(2017春•东台市期中)如图,在等腰直角△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BC=4,点D是AC上一动点,连接BD,以AD为直径的圆交BD于点E,则线段CE长度的最小值是( )A.2 B.4 C. D.解:如图,以AB为直径作⊙O,连接OC、OE.∵AB=AC,∠BAC=90°,BC=4,∴AB=BC=4,OA=OB=2,OC==2.∵OE=OA=2,OE+EC≥OC,∴O、E、C共线时,EC的值最小,最小值为2﹣2,故选:D.练习:(2016秋•江阴市校级月考)如图,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BC=2,点D是AC 边上一动点,连接BD,以AD为直径的圆交BD于点E,则线段CE长度的最小值为( )A.2﹣2 B. C. D.解:连结AE,如图1,∵∠BAC=90°,AB=AC,BC=2,∴AB=AC=2,∵AD为直径, ∴∠AED=90°,∴∠AEB=90°,∴点E在以AB为直径的⊙O上,∵⊙O的半径为1,连接OE,OC,∴OE=AB=1 在Rt△AOC中,∵OA=1,AC=2,∴OC==, 由于OC=,OE=1是定值,点E在线段OC上时,CE最小,如图2,∴CE=OC﹣OE=﹣1,即线段CE长度的最小值为﹣1.故选:C.例2、(2017•曲江区校级三模)如图,在正方形ABCD中,动点E、F分别从D、C两点同时出发,以相同的速度在直线DC、CB上移动,连接AE和DF交于P,若AD=6,则线段CP的最小值为 3﹣3.解:由题意得:AD=CD,DE=FC,∠ADC=∠DCF=90°,∴△DCF≌△ADE(SAS),∴∠DAE=∠FDC,∴∠APD=90°,即:相当于点P始终在以AD为直径的圆上,取AD的中点Q,当Q、P、C三点共线时,PC最小,PC=CQ﹣PQ=﹣3=3﹣3.练习:1、(2015•无锡校级一模)如图,在正方形ABCD中,动点E,F分别从D,C两点同时出发,以相同的速度在边DC,CB上移动,连接AE和DF交于点P,由于点E,F的移动,使得点P也随之运动.若AD =2,线段CP的最小值是 ﹣1.解:如图:在△ADE和△DCF中,,∴∠DAE≌∠CDF(SAS),∴∠DAE=∠CDF,∵∠DAE+∠AED=90°,∴∠CDF+∠AED=90°,∴∠DPE=∠APD=90°, 由于点P在运动中保持∠APD=90°,∴点P的路径是一段以AD为直径的弧,设AD的中点为Q,连接QC交弧于点P,此时CP的长度最小,在Rt△QDC中,QC=,∴CP=QC﹣QP=.2、在正方形ABCD中,点E,F分别从D,C两点同时出发,以相同的速度在直线DC,CB上移动,连接AE和DF交于点P,由于点E,F的移动,使得点P也随之运动,若AD=4,则线段CP的最小值为.∵四边形ABCD是正方形,∴AD=DC=4,∠ADC=∠C=90°.在△ADE和△DCF中,,∴△ADE≌△DCF(SAS).∴AE=DF,∠DAE=∠CDF,由于∠CDF+∠ADF=90°,∴∠DAE+∠ADF=90°.∴AE⊥DF;由于点P在运动中保持∠APD=90°,∴点P的路径是一段以AD为直径的弧,设AD的中点为Q,连接QC交弧于点P,此时CP的长度最小,在Rt△QDC中,QC===2,∴CP=QC﹣QP=2﹣2.线段CP的最小值为2﹣2.例3、(2019•宝安区二模)如图,正方形ABCD中,BC=6,点E为BC的中点,点P为边CD上一动点,连接AP,过点P作AP的垂线交BC于点M,N为线段AP上一点,且PN=PM,连接MN,取MN的中点H,连接EH,则EH的最小值是 .解:连接PH,可得∠PHN=90°由∠PHM=∠C=90°,可得PHMC四点共圆,可知∠MCH=∠MPH=45°,所以点H在AC上如图,EH⊥AC时,EH最小,在Rt△EHC中,EC=3,EH=HC=例4、如图,在等腰△ABC中,∠BAC=30°,AB=AC,BC=2,点P、Q、R分别为边BC、AB、AC 上(均不与端点重合)的动点,则△PQR周长的最小值是 2+.解:过BC的中点P作AB,AC的对称点M,N,连接MN交AB与Q,交AC于R,则此时△PQR周长最小,∵∠BAC=30°,∴∠B=∠C=75°,∠MPN=150°,∴∠M=∠N=15°,∴∠MQB=∠PQB=∠B=75°,∴MN∥BC,PQ=PB=1,同理PR=PC=1,∵AP⊥BC,∴AP⊥MN.∵∠PQR=180°﹣75°﹣75°=30°,∴QR=2×PQ=,∴△PQR周长的最小值是2+.练习:如图,△ABC三个顶点都在坐标轴上,其中A(0,6),∠BAC=60°,O为坐标原点,点P、Q、R分别是边BC、AB、AC上的动点,则△PQR周长的最小值 6.解:如图,作点P关于AB的对称点P′,点P关于AC的对称点P″,连接P′P″交AB于Q,交AC于R.连接AP′、AP″.则AP=AP′=AP″,∠P AB=∠P′AB,∠P AC=∠P″AC,∵∠BAC=60°,∴∠P′AP″=120°,∴△AP′P″是等顶角为120°的等腰三角形,∵PQ=QP′,RP=RP″,∴△PQR的周长=PQ+QR+RP=QP′+QR+RP″=P′P″的长,∵AP=AP′,∴P A的值最小时,P′P″的值最小,∵P A≤OA,A(0,6),∴P A的最小值为6, ∴AP′的最小值为6,此时P′P″=6,∴△PQR周长的最小值为6.例5、(2018秋•沙坪坝区校级月考)如图,在Rt△ABC中∠C=90°,∠A=30°,BC=2,点P,Q,R 分别是AB,AC,BC上的动点,PQ+PR+QR的最小值是 2.解:如图,作点P关于AC的对称点P′,点P关于BC的对称点P″,连接P′Q,P″R,CP′,CP″,PC.根据对称的性质可知:QP′=QP,RP″=RP,CP=CP′=CP″,∠ACP=∠ACP′,∠PCR=∠BCP″,∵∠ACB=90°,∴∠PCP′+∠PCP″=180°,∴P′,C′P″共线,∵CP=CP′=CP″,∴△PP′P″是直角三角形,∴PQ+RQ+PR=P′R+QR+RP″≤P′P″, ∴PQ+PR+QR的最小值,就是线段P′P″的长,当PC⊥AB时,P′P″的长最小,在Rt△ACB中,∵∠A=30°,BC=2,∴AC=2,AB=4,当PC⊥AB时,PC===, ∴PQ+PR+QR的最小值是2.练习:如图2,若点N是线段ME上一点,且MN=3,点Q是线段AE上一动点,连接PQ、PN、NQ得到△PQN,则△PQN周长的最小值为.解:作点N关于AC的对称点N′,关于AB的对称点N′′,连接N′N′′交AC于P,交AB于Q,连接N′′E,则△PQN即为周长最小的三角形,由题意得,N′E=7,N′′E=NE=1,∵ME∥BC,∴∠AEN=∠B=45°,∴∠N′′EN=90°,∴N′N′′==5,则△PQN周长的最小值是5.例6、(2019•龙岩一模)如图,△ABC中,∠ABC=30°,AB=4,BC=5,P是△ABC内部的任意一点,连接P A,PB,PC,则P A+PB+PC的最小值为 .解:如图,将△ABP绕着点B逆时针旋转60°,得到△DBE,连接EP,CD,∴△ABP≌△DBE ∴∠ABP=∠DBE,BD=AB=4,∠PBE=60°,BE=PE,AP=DE,∴△BPE是等边三角形∴EP=BP∴AP+BP+PC=PC+EP+DE∴当点D,点E,点P,点C共线时,P A+PB+PC有最小值CD∵∠ABC=30°=∠ABP+∠PBC∴∠DBE+∠PBC=30°∴∠DBC=90°∴CD==,练习:1、如图所示,△ABC中,∠ACB=30°,AC=3,BC=4,P是△ABC内部一点,则P A+PB+PC的最小值为( )A.2 B.4 C.6 D.5解:如图,∵将△APC绕点C顺时针旋转60°,得到△EDC,∴△APC≌△EDC,△CDP是等边三角形,∴∠ACP=∠ECD,AC=EC=3,∠PCD=60°,PD=CP,∴∠ACP+∠PCB=∠ECD+∠PCB,∴∠ECD+∠PCB=∠ACB=30°,∴∠BCE=∠ECD+∠PCB+∠PCD=30°+60°=90°.在Rt△BCE中,∵∠BCE=90°,BC=4,CE=3,∴BE===5,即P A+PB+PC 的最小值为5.故选:D.2、(2019秋•蔡甸区期中)如图,在△ABC中,∠ABC=60°,AB<AC,点P是△ABC内一点,AB=6,BC=8,则P A+PB+PC的最小值是 2.解:如图3中,将△PBF绕点B逆时针旋转60°得到△BFE,作EH⊥CB交CB的延长线于H.∵∠ABC=60°,∠PBF=60°,∵∠ABP=∠EBF,∴∠EBF+∠BC=60°,∴∠EBC=120°,∵PB=BF,∠PBF=60°,∴△PBF是等边三角形,∴PB=PF,∵P A=EF,∴P A+PB+PC=CP+PF+EF,根据两点之间线段最短可知,当E,F,P,C共线时,P A+PB+PC的值最小,最小值=EC的长, 在Rt△EBH中,∵∠EBH=60°,EB=6,∴BH=BE•cos60°=3,EH=EB•sin60°=3,∴CH=BH+CB=3+8=11,∴EC===2.例7、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,∠ABC=30°,点P为Rt△ABC的费马点,连接AP,BP,CP,求P A+PB+PC的值.解:如图3,将△APB绕点B顺时针旋转60°至△A′P′B处,连接PP′,∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,∠ABC=30°,∴AB=2,∴BC==,∵△APB绕点B顺时针方向旋转60°,∴△A′P′B如图所示;∠A′BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°,∵∠C=90°,AC=1,∠ABC=30°,∴AB=2AC=2,∵△APB绕点B顺时针方向旋转60°,得到△A′P′B,∴A′B=AB=2,BP=BP′,A′P′=AP,∴△BPP′是等边三角形,∴BP=PP′,∠BPP′=∠BP′P=60°,∵∠APC=∠CPB=∠BP A=120°,∴∠COP+∠BPP′=∠BP′A′+∠BP′P=120°+60°=180°,∴C、P、A′、P′四点共线,在Rt△A′BC中,A′C===,∴P A+PB+PC=A′P′+PP′+PC=A′C=.练习:(2018春•青山区期末)如图,矩形ABCD中,AB=2,BC=6,P为矩形内一点,连接P A,PB,PC,则P A+PB+PC的最小值是( )A.4+3 B.2 C.2+6 D.4解:由旋转的性质可知:△PFC是等边三角形,∴PC=PF,∵PB=EF,∴P A+PB+PC=P A+PF+EF,∴当A、P、F、E共线时,P A+PB+PC的值最小,∵四边形ABCD 是矩形,∴∠ABC =90°,∴tan ∠ACB==,∴∠ACB =30°,AC =2AB =4,∵∠BCE =60°,∴∠ACE =90°, ∴AE ==2,故选:B .例8、如图,∠ACB =90°,P 是ABC ∆内一点,且1,PC PA PB ===则AB 的最大值为ABA解:构造矩形,由2222PA PB PC PD +=+得:=3.PD 4.AB CD PC PD =≤+=AB 的最大值为4.例9、如图,正方形ABCD 的边长为2,点M 、P 、N 分别在CD 为直径的半圆上、边BC 、边AB 上运动,并且保持PM ⊥PN ,PM :PN=2:3则线段PM 长的最小值为K解:取CD 中点O ,NP 中点K ,连接BK 、BO 、MO 、KM 。
重庆市2010年初中毕业暨高中招生考试(全卷共五个大题,满分150分,考试时间120分钟)题号 一 二 三 四 五 总分 总分人得分参考公式:抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)的顶点坐标为(—b 2a ,4ac —b 24a ),对称轴公式为x =—b2a.一、选择题:(本大题共10个小题,每小题4分,共40分)在每个小题的下面,都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案中,其中只有一个是正确的,请将正确答案的代号填表在题后的括号中.1.3的倒数是( ) A .13 B .— 13C .3D .—32.计算2x 3·x 2的结果是( ) A .2x B .2x 5 C .2x 6 D .x 53.不等式组⎩⎨⎧>≤-62,31x x 的解集为() A .x >3 B .x ≤4 C .3<x <4 D .3<x ≤44.如图,点B 是△ADC 的边AD 的延长线上一点,DE ∥BC ,若∠C =50°,∠BDE =60°,则∠CDB 的度数等于()A .70°B .100°C .110°D .120°5.下列调查中,适宜采用全面调查(普查)方式的是()A .对全国中学生心理健康现状的调查B .对冷饮市场上冰淇淋质量情况的调查C .对我市市民实施低碳生活情况的调查D .以我国首架大型民用直升机各零部件的检查6.如图,△ABC 是⊙O 的内接三角形,若∠ABC =70°,则∠AOC 的度数等于() A .140° B .130° C .120° D .110° 7.由四个大小相同的正方体组成的几何体如图所示,那么它的俯视图是()8.有两个完全重合的矩形,将其中一个始终保持不动,另一个矩形绕其对称中心O 按逆时针方向进行旋转,每次均旋转45°,第1次旋转后得到图①,第2次旋转后得到图②,……,则第10次旋转后得到的图形与图①~④中相同的是()A .图①B .图②C .图③D .图④9.小华的爷爷每天坚持体育锻炼,某天他慢步到离家较远的绿岛公园,打了一会儿太极拳后跑步回家。
二次函数图象与系数的关系1.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示,则下列结论中,正确的是()A.a>0 B.b<0 C.c<0 D.a+b+c>02.(2011•雅安)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,其对称轴x=﹣1,给出下列结果①b2>4ac;②abc>0;③2a+b=0;④a+b+c>0;⑤a﹣b+c<0,则正确的结论是()A.①②③④B.②④⑤C.②③④D.①④⑤3.(2011•孝感)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交,其顶点坐标为(),下列结论:①ac<0;②a+b=0;③4ac﹣b2=4a;④a+b+c<0.其中正确结论的个数是()A.1 B.2 C.3 D.44.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,对称轴为直线x=1,则下列结论正确的是()A.ac>0 B.方程ax2+bx+c=0的两根是x1=﹣1,x2=3 C.2a﹣b=0D.当x>0时,y随x的增大而减小第1题图第2题图第3题图第4题图5.(2011•泸州)已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的图象如图所示,有下列结论:①abc>0,②b2﹣4ac<0,③a﹣b+c>0,④4a﹣2b+c<0,其中正确结论的个数是()A.1 B.2 C.3 D.46.(2011•兰州)如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中,刘星同学观察得出了下面四条信息:(1)b2﹣4ac>0;(2)c>1;(3)2a﹣b<0;(4)a+b+c<0.你认为其中错误的有()A.2个B.3个C.4个D.1个7.(2011•昆明)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列说法正确的是()A.b2﹣4ac<0 B.abc<0 C.D.a﹣b+c<08.(2011•鸡西)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,现有下列结论:①b2﹣4ac>0 ②a>0 ③b>0 ④c>0 ⑤9a+3b+c<0,则其中结论正确的个数是()A.2个B.3个C.4个D.5个第5题图第6题图第7题图第8题图24. 如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,点G是BC延长线上一点,连结AG,点E、F分别在AG上,连接BE、DF,∠1=∠2 ,∠3=∠4. (1)证明:△AB E≌△DAF;(2)若∠AGB=30°,求EF的长.9.(2011•广西)已知:二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0)的图象如图所示,下列结论中:①abc>0;②2a+b<0;③a+b<m (am+b )(m≠1的实数);④(a+c )2<b 2;⑤a>1.其中正确的项是( ) A .①⑤ B .①②⑤ C .②⑤ D .①③④10.(2010•梧州)已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示,那么下列判断不正确的是( )A .ac <0B .a ﹣b+c >0C .b=﹣4aD .关于x 的方程ax 2+bx+c=0的根是x 1=﹣1,x 2=511.(2010•天津)已知二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0)的图象如图所示,有下列结论:①b 2﹣4ac >0;②abc >0;③8a+c >0;④9a+3b+c <0其中,正确结论的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .412.(2009•芜湖)如图所示是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分,图象过A 点(3,0),二次函数图象对称轴为x=1,给出四个结论:①b 2>4ac ;②bc <0;③2a+b=0;④a+b+c=0,其中正确结论是( ) A .②④ B .①③ C .②③ D .①④第9题图 第10题图 第11题图 第12题图13.(2009•随州)如图是某二次函数的图象,将其向左平移2个单位后的图象的函数解析式为y=ax 2+bx+c (a≠0),则下列结论中正确的有( )(1)a >0;(2)c <0;(3)2a ﹣b=0;(4)a+b+c >0. A .1个 B .2个 C .3个 D .4个14.已知二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0)的图象如图所示,则下列结论:①ac >0;②方程ax 2+bx+c=0的两根之和大于0;③y 随x 的增大而增大;④a ﹣b+c <0,其中正确的个数( ) A .4个 B .3个 C .2个 D .1个15.二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0)的图象如图所示,对称轴是直线x=1,则下列四个结论错误的是( )A .c >0B .2a+b=0C .b 2﹣4ac >0 D .a ﹣b+c >016.(2009•南宁)已知二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0)的图象如图所示,有下列四个结论:①b <0;②c >0;③b 2﹣4ac >0;④a ﹣b+c <0,其中正确的个数有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个第13题图 第14题图 第15题图 第16题图17.(2009•济宁)小强从如图所示的二次函数y=ax 2+bx+c 的图象中,观察得出了下面五条信息: (1)a <0;(2)c >1;(3)b >0;(4)a+b+c >0;(5)a ﹣b+c >0.你认为其中正确信息的个数有( ) A .2个 B .3个 C .4个 D .5个第17题图。
第10题专项训练1、考点:抛物线与x轴的交点;二次函数的性质.分析:根据二次函数的各项系数的功能和二次函数图象的性质以及给出的条件逐一分析即可.解答:解:因为当抛物线开口向上时,则a>0,故①正确;若对称轴与x轴交于正半轴时,则可得ab异号即ab<0,故②错误;若抛物线与x轴交于A,B 与y轴交于C,△ABC是直角三角形,:可设抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴的交点分别是A、B、E,且△ABE是等腰直角三角形,∴对称轴为y轴,∴b=0,y= ax2+c,令x=1,得到y=a+c,而x=1对应的函数值不一定为0,故a+c不一定为0;∵OA=OB=OE,∴方程ax2+bx+c=0的两根为c与-c,∴a/c2+c=0,∵c≠0,∴c(ac+1)=0,∴ac=-1,故③正确;若抛物线与x轴的两个交点及顶点构成等腰直角三角形时,有③可知a/c=-1,b=0则b2-4ac=2.故④正确.∴正确的个数有3个,故选C.2、考点:二次函数图象与系数的关系;抛物线与x轴的交点.专题:图表型.分析:由抛物线的开口方向判断a 的符号,由抛物线与y轴的交点判断c的符号,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.解答:解:①∵开口方向向上,∴a>0;②∵抛物线与x轴有两个交点,∴△=b2-4ac>0,∵与y轴交于点(0,2),∴c=2,∴b2-8a>0;③∵对称轴为x=-b/2a>1,∴2a+b<0,∵a>0,∴a+b<0;④∵0<x1<1,1<x2<2,∴1<x1+x2<3,即x1+x2=-b/a<3,整理得:3a+b>0,∴3a+b>0.3、4、考点:二次函数图象与系数的关系.分析:由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点得出c的值,然后根据抛物线与x轴交点的个数及x=1时二次函数的值的情况进行推理,进而对所得结论进行判断.解答:解:由二次函数的图象开口向下可得a<0,由抛物线与y轴交于x轴上方可得c>0,由抛物线与x轴有两个交点可以看出方程ax2+bx+c=0的根的判别式b2-4ac>0,把x=1代入y=ax2+bx+c,得:y=a+b+c,由函数图象可以看出x=1时二次函数的值为正,∵对称轴为x=1,a,b异号,∴b>0,∴①abc<0;故此选项错误;②∵当x=-1时,ax2+bx+c<0,∴a-b+c<0,∴-(a-b+c)>0,∴b-a>c;故此选项正确;③当x=2时,ax2+bx+c>0,∴4a+2b+c>0;④2c<3b;当x=3时函数值小于0,y=9a+3b+c<0,且x=-b/2a=1,即a=-b2,代入得9(-b2)+3b+c<0,得2c<3b,正确;⑤当x=1时,y的值最大.此时,y=a+b+c,而当x=m时,y=am2+bm+c,所以a+b+c>am2+bm+c,故a+b>am2+bm,即a+b>m(am+b),正确.②③④⑤正确.故选B.评:此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系,二次函数与方程之间的转换,根的判别式的熟练运用.会利用特殊值代入法求得特殊的式子,如:y=a+b+c,y=a-b+c,然后根据图象判断其值.5、考点:二次函数的性质;二次函数图象与系数的关系.分析:根据二次函数图象反映出的数量关系,逐一判断正确性.解答:解:根据图象可知:①∵抛物线开口向上,∴a>0,故①错误;②∵抛物线与原点相交,∴c=0,故②正确;③函数的最小值看顶点坐标的纵坐标为-3,故③正确;④由图象可看出当x<0时,y>0,正确;⑤由图象可看出当0<x1<x2<2时,y1>y2正确.正确的有4个.故选C.点评:主要考查了二次函数的性质,会根据图象获取所需要的信息.掌握函数性质灵活运用6、7、(2012年重庆市渝北区中考数学一模试卷)考点:菱形的性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质;轴对称-最短路线问题;旋转的性质.分析:(1)连接AC,根据“两点之间线段最短”,可得,当M点落在BD的中点时,AM+CM的值最小;(2)由题意得MB=NB,∠ABN=30°,所以∠EBN=30°,容易证出△AMB≌△ENB;(3)连接AC,可以得到S△ABE=S△ADC,S△AMB≠S△AMC,从而可以得出结论.(4)假设AN⊥BE,根据等腰三角形的性质及垂直平分线的性质得出EN=BN,从而得出结论.(5)根据“两点之间线段最短”,当M点位于BD与CE的交点处时,AM+BM+CM的值最小,即等于EC的长,(如图)作辅助线,过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F,由题意求出∠EBF=60°,设菱形的边长为x,在Rt △EFC中,根据勾股定理求得菱形的边长.解答:解:①连接AC,交BD于点O,∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,BD⊥AC,AO=BO∴点A,点C关于直线BD对称,∴M点与O点重合时AM+CM的值最小为AC的值∵∠ABC=60,∴△ABC是等边三角形,∴AB=AC,∵AB=1,∴AC=1,即AM+CM的值最小为1,故本答案正确.②∵△ABE是等边三角形,∴BA=BE,∠ABE=60°.∵∠MBN=60°,∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN.即∠MBA=∠NBE.又∵MB=NB,∴△AMB≌△ENB(SAS),故本答案正确.③∵S△ABE+S△ABM=S四边形AMBES△ACD+S△AMC=S四边形ADCM,且S△AMB≠S△AMC,∴S△ABE+S△ABM≠S△ACD+S△AMC,∴S四边形AMBE≠S四边形ADCM,故本答案错误.④假设AN⊥BE,且AE=AB,∴AN是BE的垂直平分线,∴EN=BN=BM=MN,∴M点与O点重合,∵条件没有确定M点与O点重合,故本答案错误.⑤如图,连接MN,由(1)知,△AMB≌△ENB,∴AM=EN,∵∠MBN=60°,MB=NB,∴△BMN是等边三角形.∴BM=MN.∴AM+BM+CM=EN+MN+CM.(10分)根据“两点之间线段最短”,得EN+MN+CM=EC最短∴当M点位于BD与CE的交点处时,AM+BM+CM的值最小,即等于EC的长.过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F,∴∠EBF=180°-120°=60°,设菱形的边长为x,点评:本题考查了菱形的性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,轴对称最短路线问题和旋转的问题.。
2019年中考数学真题分类训练——专题十:三角形一、选择题1.(2019滨州)如图,在OAB △和OCD △中,,,,40OA OB OC OD OA OC AOB COD ==>∠=∠=︒,连接,AC BD 交于点M ,连接OM .下列结论:①AC BD =;②40AMB ∠=︒;③OM 平分BOC ∠;④MO 平分BMC ∠.其中正确的个数为A .4B .3C .2D .1【答案】B2.(2019陕西)如图,在△ABC 中,∠B =30°,∠C =45°,AD 平分∠BAC 交BC 于点D ,DE ⊥AB ,垂足为E .若DE =1,则BC 的长为A .B +C2 D .3【答案】A3.(2019衢州)“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的,借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA ,OB 组成,两根棒在O 点相连并可绕O 转动,C 点固定,OC =CD =DE ,点D 、E 可在槽中滑动.若∠BDE =75°,则∠CDE 的度数是A.60°B.65°C.75°D.80°【答案】D4.(2019重庆A卷)如图,在△ABC中,D是AC边上的中点,连接BD,把△BDC′沿BD翻折,得到BDC'△,DC与AB交于点E,连接AC',若AD=AC′=2,BD=3则点D到BC的距离为A.2B.3217C.7D.13【答案】B5.(2019南通)小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后,进行练习:首先画数轴,原点为O,在数轴上找到表示数2的点A,然后过点A作AB⊥OA,使AB=3(如图).以O为圆心,OB的长为半径作弧,交数轴正半轴于点P,则点P所表示的数介于A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间【答案】C6.(2019宁波)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图1,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出A.直角三角形的面积B.最大正方形的面积C.较小两个正方形重叠部分的面积D.最大正方形与直角三角形的面积和【答案】C7.(2019青岛)如图,BD是△ABC的角平分线,AE⊥BD,垂足为F.若∠ABC=35°,∠C=50°,则∠CDE的度数为A.35°B.40°C.45°D.50°【答案】C9.(2019天水)如图,等边OAB△的边长为2,则点B的坐标为A.(11),B.(1C .1)D .【答案】B10.(2019宁波)已知直线m ∥n ,将一块含45°角的直角三角板ABC 按如图方式放置,其中斜边BC 与直线n 交于点D .若∠1=25°,则∠2的度数为A .60°B .65°C .70°D .75°【答案】C11.(2019宿迁)一副三角板如图摆放(直角顶点C 重合),边AB 与CE 交于点F ,DE BC ∥,则BFC ∠等于A .105︒B .100︒C .75︒D .60︒【答案】A12.(2019临沂)如图,D 是AB 上一点,DF 交AC 于点E ,DE FE =,FC AB ∥,若4AB =,3CF =,则BD 的长是A .0.5B .1C .1.5D .2【答案】B13.(2019绍兴)如图,墙上钉着三根木条a ,b ,c ,量得∠1=70°,∠2=100°,那么木条a ,b 所在直线所夹的锐角是A .5°B .10°C .30°D .70°【答案】B14.(2019潍坊)如图,已知AOB ∠.按照以下步骤作图:①以点O 为圆心,以适当的长为半径作弧,分别交AOB ∠的两边于C ,D 两点,连接CD .②分别以点C ,D 为圆心,以大于线段OC 的长为半径作弧,两弧在AOB ∠内交于点E ,连接CE ,DE .③连接OE 交CD 于点M .下列结论中错误的是A .CEO DEO ∠=∠B .CM MD =C .OCD ECD ∠=∠D .12OCED S CD OE =⋅四边形 【答案】C15.(2019梧州)如图,DE 是ABC △的边AB 的垂直平分线,D 为垂足,DE 交AC 于点E ,且85AC BC ==,,则BEC △的周长是A .12B .13C .14D .15【答案】B16.(2019杭州)在△ABC 中,若一个内角等于另外两个内角的差,则 A .必有一个内角等于30° B .必有一个内角等于45°C .必有一个内角等于60°D .必有一个内角等于90° 【答案】D17.(2019河南)如图,在四边形ABCD 中,AD ∥BC ,∠D =90°,AD =4,BC =3.分别以点A ,C 为圆心,大于12AC 长为半径作弧,两弧交于点E ,作射线BE 交AD 于点F ,交AC 于点O .若点O 是AC 的中点,则CD 的长为A .B .4C .3D 【答案】A18.(2019张家界)如图,在ABC △中,90C ∠=︒,8AC =,13DC AD =,BD 平分ABC ∠,则点D 到AB 的距离等于A .4B .3C .2D .1【答案】C19.(2019台州)下列长度的三条线段,能组成三角形的是 A .3,4,8 B .5,6,10 C .5,5,11D .5,6,11【答案】B20.(2019台湾)如图,△ABC 中,AC =BC <AB .若∠1、∠2分别为∠ABC 、∠ACB 的外角,则下列角度关系何者正确A .∠1<∠2B .∠1=∠2C .∠A +∠2<180°D .∠A +∠1>180°【答案】C21.(2019长春)如图,在ABC △中,ACB ∠为钝角.用直尺和圆规在边AB 上确定一点D .使2ADC B ∠=∠,则符合要求的作图痕迹是A .B .C .D .【答案】B22.(2019金华)若长度分别为a ,3,5的三条线段能组成一个三角形,则a 的值可以是 A .1 B .2C .3D .8【答案】C23.(2019广西)如图,在ABC ∆中,,40AC BC A =∠=︒,观察图中尺规作图的痕迹,可知BCG ∠的度数为A .40︒B .45︒C .50︒D .60︒【答案】C24.(2019大庆)如图,在△ABC 中,BE 是∠ABC 的平分线,CE 是外角∠ACM 的平分线,BE 与CE 相交于点E ,若∠A =60°,则∠BEC 是A .15°B .30°C .45°D .60°【答案】B25.(2019荆门)将一副直角三角板按如图所示的位置摆放,使得它们的直角边互相垂直,则1∠的度数是A .95︒B .100︒C .105︒D .110︒【答案】C26.(2019百色)三角形的内角和等于 A .90︒B .180︒C .270︒D .360︒【答案】B27.(2019徐州)下列长度的三条线段,能组成三角形的是 A .2,2,4 B .5,6,12 C .5,7,2 D .6,8,10【答案】D 二、填空题28.(2019临沂)如图,在ABC △中,120ACB ∠=︒,4BC =,D 为AB 的中点,DC BC ⊥,则ABC △的面积是__________.【答案】29.(2019南京)如图,在△ABC 中,BC 的垂直平分线MN 交AB 于点D ,CD 平分∠ACB .若AD =2,BD =3,则AC 的长为__________.30.(2019威海)如图,在四边形ABCD 中,AB CD ∥,连接AC ,BD .若90ACB ∠=︒,AC BC =,AB BD =,则ADC ∠=__________︒.【答案】10531.(2019北京)如图所示的网格是正方形网格,则∠PAB +∠PBA =__________°(点A ,B ,P 是网格线交点).【答案】4532.(2019成都)如图,在△ABC 中,AB =AC ,点D ,E 都在边BC 上,∠BAD =∠CAE ,若BD =9,则CE 的长为__________.【答案】933.(2019黄冈)如图,AC BD ,在AB 的同侧,288AC BD AB ===,,,点M 为AB 的中点,若120CMD ∠=︒,则CD 的最大值是__________.【答案】1434.(2019舟山)如图,一副含30°和45°角的三角板ABC 和EDF 拼合在一个平面上,边AC 与EF 重合,AC =12cm .当点E 从点A 出发沿AC 方向滑动时,点F 同时从点C 出发沿射线BC 方向滑动.当点E 从点A 滑动到点C 时,点D 运动的路径长为__________cm ;连接BD ,则△ABD 的面积最大值为__________cm 2.【答案】(24–),()35.(2019长沙)如图,要测量池塘两岸相对的A ,B 两点间的距离,可以在池塘外选一点C ,连接AC ,BC ,分别取AC ,BC 的中点D ,E ,测得DE =50 m ,则AB 的长是__________m .【答案】10036.(2019南京)在△ABC 中,AB =4,∠C =60°,∠A >∠B ,则BC 的长的取值范围是__________.【答案】4<BC 37.(2019枣庄)把两个同样大小含45︒角的三角尺按如图所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A ,且另外三个锐角顶点B C D ,,在同一直线上.若AB =2,则CD =__________.38.(2019兰州)在△ABC 中,AB =AC ,∠A =40°,则∠B =__________. 【答案】70°39.(2019盐城)如图,在ABC △中,BC =,45C ∠=︒,AB =,则AC 的长为__________.【答案】240.(2019伊春)一张直角三角形纸片ABC ,90ACB ∠=︒,10AB =,6AC =,点D 为BC 边上的任一点,沿过点D 的直线折叠,使直角顶点C 落在斜边AB 上的点E 处,当BDE △是直角三角形时,则CD 的长为__________. 【答案】3或24741.(2019襄阳)如图,已知ABC DCB ∠=∠,添加下列条件中的一个:①A D ∠=∠,②AC DB =,③AB DC =,其中不能确定ABC △≌△DCB △的是__________(只填序号).【答案】②42.(2019南通)如图,△ABC 中,AB =BC ,∠ABC =90°,F 为AB 延长线上一点,点E 在BC 上,且AE =CF ,若∠BAE =25°,则∠ACF =__________度.【答案】7043.(2019哈尔滨)在ABC △中,50A ∠=︒,30B ∠=︒,点D 在AB 边上,连接CD ,若ACD △为直角三角形,则BCD ∠的度数为__________. 【答案】60︒或10︒44.(2019怀化)若等腰三角形的一个底角为72︒,则这个等腰三角形的顶角为__________. 【答案】36°45.(2019通辽)腰长为5,高为4的等腰三角形的底边长为__________. 【答案】6或25546.(2019大庆)如图,在△ABC 中,D 、E 分别是BC ,AC 的中点,AD 与BE 相交于点G ,若DG =1,则AD =__________.【答案】347.(2019江西)如图,在ABC △中,点D 是BC 上的点,40BAD ABC ∠=∠=︒,将ABD △沿着AD 翻折得到AED △,则CDE ∠=__________°.三、证明题48.(2019南京)如图,D是△ABC的边AB的中点,DE∥BC,CE∥AB,AC与DE相交于点F.求证:△ADF ≌△CEF.证明:∵DE∥BC,CE∥AB,∴四边形DBCE是平行四边形,∴BD=CE,∵D是AB的中点,∴AD=BD,∴AD=EC,∵CE∥AD,∴∠A=∠ECF,∠ADF=∠E,∴△ADF≌△CEF.49.(2019益阳)已知,如图,AB=AE,AB∥DE,∠ECB=70°,∠D=110°,求证:△ABC≌△EAD.证明:由∠ECB=70°得∠ACB=110°,又∵∠D=110°,∴∠ACB=∠D,∴∠CAB=∠E,∴在△ABC和△EAD中,==ACB DCAB E AB AE∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩,∴△ABC≌△EAD.50.(2019山西)已知:如图,点B,D在线段AE上,AD=BE,AC∥EF,∠C=∠F.求证:BC=DF.证明:∵AD=BE,∴AD-BD=BE-BD,∴AB=ED,∵AC∥EF,∴∠A=∠E,在△ABC和△EDF中,C FA E AB ED∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABC≌△EDF(AAS),∴BC=DF.51.(2019兰州)如图,AB=DE,BF=EC,∠B=∠E,求证:AC∥DF.证明:∵BF=EC,∴BF +FC =EC +FC , ∴BC =EF ,在△ABC 和△DEF 中,AB DE B E BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABC ≌△DEF (SAS ), ∴∠ACB =∠DFE , ∴AC ∥DF .52.(2019广州)如图,D 是AB 上一点,DF 交AC 于点E ,DE =FE ,FC ∥AB ,求证:ADE CFE △≌△.证明:∵FC ∥AB ,∴∠A =∠FCE ,∠ADE =∠F ,所以在△ADE 与△CFE 中,A FCE ADE F DE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ADE ≌△CFE .53.(2019泸州)如图,AB CD ∥,AD 和BC 相交于点O ,OA OD =.求证:OB OC =.证明:∵AB CD ∥,∴A D ∠=∠,B C ∠=∠,在AOB △和DOC △中,A D B C OA OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴AOB DOC △≌△,∴OB OC =.54.(2019重庆A 卷)如图,在△ABC 中,AB =AC ,D 是BC 边上的中点,连结AD ,BE 平分∠ABC 交AC 于点E ,过点E 作EF ∥BC 交AB 于点F . (1)若∠C =36°,求∠BAD 的度数.(2)若点E 在边AB 上,EF ∥AC 叫AD 的延长线于点F .求证:FB =FE .证明:(1)∵AB AC =,∴C ABC ∠=∠, ∵36C ∠=︒, ∴36ABC ∠=︒,∵D 为BC 的中点,∴AD BC ⊥,∴90903654BAD ABC ∠=-∠=-︒=︒︒︒. (2)∵BE 平分ABC ∠,∴ABE EBC ∠=∠, 又∵EF BC ∥,∴EBC BEF ∠=∠, ∴EBF FEB ∠=∠, ∴BF EF =.55.(2019桂林)如图,AB =AD ,BC =DC ,点E 在AC 上. (1)求证:AC 平分∠BAD ; (2)求证:BE =DE .证明:(1)在△ABC 与△ADC 中,AB AD AC AC BC DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△ADC (SSS ), ∴∠BAC =∠DAC , 即AC 平分∠BAD .(2)由(1)∠BAE =∠DAE ,在△BAE 与△DAE 中,得BA DA BAE DAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BAE ≌△DAE (SAS ), ∴BE =DE .56.(2019黄石)如图,在ABC △中,90BAC ∠=︒,E 为边BC 上的点,且AB AE =,D 为线段BE 的中点,过点E 作EF AE ⊥,过点A 作AF BC ∥,且AF 、EF 相交于点F . (1)求证:C BAD ∠=∠; (2)求证:AC EF =.证明:(1)如图,∵AB AE =,∴ABE △是等腰三角形, 又∵D 为BE 的中点,∴AD BE ⊥,在Rt ABC △和Rt DBA △中,∵B Ð为公共角,90BAC BDA ∠=∠=︒, ∴C BAD ∠=∠.(2)∵AF BC ∥,∴EAF AEB ∠=∠, ∵AB AE =,∴ABE AEB ∠=∠, ∴EAF ABC ∠=∠,又∵90BAC AEF ∠=∠=∠︒, ∴BAC AEF △≌△, ∴AC EF =.57.(2019重庆)如图,在△ABC 中,AB =AC ,AD ⊥BC 于点D . (1)若∠C =42°,求∠BAD 的度数;(2)若点E 在边AB 上,EF ∥AC 交AD 的延长线于点F .求证:AE =FE .证明:(1)∵AB =AC ,AD ⊥BC 于点D , ∴∠BAD =∠CAD ,∠ADC =90°,又∠C =42°,∴∠BAD =∠CAD =90°-42°=48°. (2)∵AB =AC ,AD ⊥BC 于点D , ∴∠BAD =∠CAD , ∵EF ∥AC , ∴∠F =∠CAD , ∴∠BAD =∠F ,∴AE =FE .58.(2019苏州)如图,ABC △中,点E 在BC 边上,AE AB =,将线段AC 绕点A 旋转到AF 的位置,使得CAF BAE ∠=∠,连接EF ,EF 与AC 交于点G .(1)求证:EF BC =;(2)若65ABC ∠=︒,28ACB ∠=︒,求FGC ∠的度数.证明:(1)∵CAF BAE ∠=∠, ∴BAC EAF ∠=∠,∵AE AB AC AF ==,, ∴BAC EAF △≌△, ∴EF BC =.(2)∵65AB AE ABC =∠=︒,, ∴18065250BAE ∠=︒-︒⨯=︒, ∴50FAG ∠=︒, ∵BAC EAF △≌△, ∴28F C ∠=∠=︒, ∴502878FGC ∠=︒+︒=︒.59.(2019无锡)如图,在△ABC 中,AB =AC ,点D 、E 分别在AB 、AC 上,BD =CE ,BE 、CD 相交于点O . 求证:(1)DBC ECB △≌△; (2)OB OC =.证明:(1)∵AB =AC , ∴∠ECB =∠DBC ,在DBC △与ECB △中,BD CE DBC ECB BC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴DBC △≌ECB △.(2)由(1)DBC △≌ECB △, ∴∠DCB =∠EBC , ∴OB =OC .60.(2019枣庄)在ABC △中,90BAC ∠=︒,AB AC =,AD BC ⊥于点D .(1)如图1,点M ,N 分别在AD ,AB 上,且90BMN ∠=︒,当30AMN =︒∠,2AB =时,求线段AM 的长; (2)如图2,点E ,F 分别在AB ,AC 上,且90EDF ∠=︒,求证:BE AF =;(3)如图3,点M 在AD 的延长线上,点N 在AC 上,且90BMN ∠=︒,求证:AB AN +=.证明:(1)∵90BAC ∠=︒,AB AC =,AD BC ⊥,∴AD BD DC ==,45ABC ACB ∠=∠=︒,45BAD CAD ∠=∠=︒, ∵2AB =,∴AD BD DC ===,∵30AMN ∠=︒,∴180903060BMD ∠=︒-︒-︒=︒,∴30BMD ∠=︒,∴2BM DM =,由勾股定理得,222BM DM BD -=,即222(2)DM DM -=,解得DM =∴AM AD DM =-=. (2)∵AD BC ⊥,90EDF ∠=︒,∴BDE ADF ∠=∠,在BDE △和ADF △中,B DAF DB DA BDE ADF ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩,∴BDE ADF △≌△, ∴BE AF =.(3)如图,过点M 作//ME BC 交AB 的延长线于E ,∴90AME ∠=︒,则AE =,45E ∠=︒,∴ME MA =,∵90AME ∠=︒,90BMN ∠=︒, ∴BME AMN ∠=∠,在BME △和AMN △中,E MAN ME MA BME AMN ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩,∴BME AMN △≌△,∴BE AN =,∴AB AN AB BE AE +=+==.61.(2019温州)如图,在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,E 是AB 边上一点,过点C 作CF ∥AB 交ED 的延长线于点F .(1)求证:△BDE ≌△CDF ;(2)当AD ⊥BC ,AE =1,CF =2时,求AC 的长.证明:(1)∵CF AB ∥, ∴B FCD BED F ∠=∠∠=∠,, ∵AD 是BC 边上的中线,∴BD CD =, ∴△BDE ≌△CDF . (2)∵△BDE ≌△CDF , ∴2BE CF ==,∴123AB AE BE =+=+=. ∵AD BC BD CD ⊥=,, ∴3AC AB ==.62.(2019杭州)如图,在△ABC 中,AC <AB <BC .(1)已知线段AB 的垂直平分线与BC 边交于点P ,连接AP ,求证:∠APC =2∠B .(2)以点B 为圆心,线段AB 的长为半径画弧,与BC 边交于点Q ,连接AQ .若∠AQC =3∠B ,求∠B 的度数.证明:(1)∵线段AB 的垂直平分线与BC 边交于点P , ∴PA =PB , ∴∠B =∠BAP ,∵∠APC=∠B+∠BAP,∴∠APC=2∠B;(2)根据题意可知BA=BQ,∴∠BAQ=∠BQA,∵∠AQC=3∠B,∠AQC=∠B+∠BAQ,∴∠BQA=2∠B,∵∠BAQ+∠BQA+∠B=180°,∴5∠B=180°,∴∠B=36°.四、解答题63.(2019河北)已知:整式A=(n2-1)2+(2n)2,整式B>0.尝试化简整式A.发现A=B2,求整式B.联想由上可知,B2=(n2-1)2+(2n)2,当n>1时,n2-1,2n,B为直角三角形的三边长,如图.填写下表中B的值:解:A=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2,∵A=B2,B>0,∴B=n2+1,当2n =8时,n =4,∴n 2+1=42+1=15; 当n 2-1=35时,n 2+1=37.64.(2019大庆)如图,一艘船由A 港沿北偏东60°方向航行10 km 至B 港,然后再沿北偏西30°方向航行10 km 至C 港.(1)求A ,C 两港之间的距离(结果保留到0.1 km≈1.414≈1.732); (2)确定C 港在A 港的什么方向.解:(1)由题意可得,∠PBC =30°,∠MAB =60°, ∴∠CBQ =60°,∠BAN =30°,∴∠ABQ =30°, ∴∠ABC =90°.∵AB =BC =10,∴AC≈14.1.答:A 、C 两地之间的距离为14.1 km . (2)由(1)知,△ABC 为等腰直角三角形, ∴∠BAC =45°,∴∠CAM =15°, ∴C 港在A 港北偏东15°的方向上.65.(2019金华)如图,在76⨯的方格中,ABC △的顶点均在格点上,试按要求画出线段EF (E ,F 均为格点),各画出一条即可.【答案】如图所示:。
专题10 最值模型---胡不归问题最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查,可将胡不归问题看作将军饮马衍生,主要考查转化与化归等的数学思想。
在各类考试中都以高档题为主,中考说明中曾多处涉及。
本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析,方便掌握。
在解决胡不归问题主要依据是:①两点之间,线段最短;②垂线段最短。
【模型背景】从前有个少年外出求学,某天不幸得知老父亲病危的消息,便立即赶路回家.根据“两点之间线段最短”,虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地,但他义无反顾踏上归途,当赶到家时,老人刚咽了气,小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说,老人弥留之际不断念叨着“胡不归?胡不归?看到这里很多人都会有一个疑问,少年究竟能不能提前到家呢?假设可以提早到家,那么他该选择怎样的一条路线呢?这就是今天要讲的“胡不归”问题.【模型解读】一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1,在直线MN 上运动的速度为V 2,且V 1<V 2,A 、B 为定点,点C 在直线MN 上,确定点C 的位置使21AC BCV V +的值最小.(注意与阿氏圆模型的区分)1)121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛⎫++ ⎪⎝⎭,记12V k V =,即求BC +kAC 的最小值. 2)构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ,CHk AC=,CH =kAC ,将问题转化为求BC +CH 最小值. 3)过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ,交AD 于H 点,此时BC +CH 取到最小值,即BC +kAC 最小.【解题关键】在求形如“P A +kPB ”的式子的最值问题中,关键是构造与kPB 相等的线段,将“P A +kPB ”型问题转化为“P A +PC ”型.(若k >1,则提取系数,转化为小于1的形式解决即可)。
【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短。
2驿道V 2V 1MNCBA例1.(2022·内蒙古·中考真题)如图,在△ABC 中,AB =AC =4,△CAB =30°,AD △BC ,垂足为D ,P 为线段AD 上的一动点,连接PB 、PC .则P A +2PB 的最小值为 _____.例2.(2022·湖北武汉·一模)如图,在ACE △中,CA CE =,30CAE ∠=︒,半径为5的O 经过点C ,CE是圆O 的切线,且圆的直径AB 在线段AE 上,设点D 是线段AC 上任意一点(不含端点),则12OD CD +的最小值为______.例3.(2021·眉山市·中考真题)如图,在菱形中,,对角线、相交于点,点在线段上,且,点为线段上的一个动点,则的最小值是______.例4.(2022·山东淄博·二模)如图,在平面直角坐标系中,点A 的坐标是(0,2),点C 的坐标是(0,2)-,点(,0)B x 是x 轴上的动点,点B 在x 轴上移动时,始终保持ABP 是等边三角形(点P 不在第二象限),连接PC ,求得12AP PC +的最小值为( )ABCD 10AB AC ==AC BD O M AC 3AM =P BD 12MP PB+A.B .4 C.D .2例5.(2021·资阳市·中考真题)抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C ,且.(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,点P 是抛物线上位于直线上方的一点,与相交于点E ,当时,求点P 的坐标;(3)如图2,点D 是抛物线的顶点,将抛物线沿方向平移,使点D 落在点处,且,点M 是平移后所得抛物线上位于左侧的一点,轴交直线于点N ,连结的值最小时,求的长.例6.(2020·湖南·中考真题)已知直线与抛物线(b ,c 为常数,)的一个交点为,点是x 轴正半轴上的动点.(1)当直线与抛物线(b ,c 为常数,)的另一个交点为该抛物线的顶点E 时,求k ,b ,c 的值及抛物线顶点E 的坐标; (2)点D 在抛物线上,且点D 的横坐标为时,求b 的值.2y x bx c =-++()()1,0,0,3B C -AC BPAC :1:2PE BE =CD D 2DD CD '=D //MN y OD 'CN D N CN '+MN 2y kx =-2y x bx c =-+0b >(1,0)A -(,0)M m 2y kx =-2y x bx c =-+0b >12b +2DM +例7.(2022·四川成都·中考模拟)6.如图,已知抛物线为常数,且与轴从左至右依次交于,两点,与轴交于点,经过点的直线与抛物线的另一交点为. (1)若点的横坐标为,求抛物线的函数表达式;(2)若在第一象限内的抛物线上有点,使得以,,为顶点的三角形与相似,求的值;(3)在(1)的条件下,设为线段上一点(不含端点),连接,一动点从点出发,沿线段以每秒1个单位的速度运动到,再沿线段以每秒2个单位的速度运动到后停止,当点的坐标是多少时,点在整个运动过程中用时最少?(2)(4)(8ky x x k =+-0)k >x A B y CB y x b =+D D 5-P A B P ABC ∆k F BD AF M A AF F FD D FM课后专项训练1.(2022·河北·九年级期中)如图,在△ABC 中,∠A =15°,AB =2,P 为AC 边上的一个动点(不与A 、C 重合),连接BP ,则AP +PB 的最小值是( )A .B .C .D .22.(2022·江苏·九年级月考)如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,∠B =30°,AB =4,点D 、F 分别是边AB ,BC 上的动点,连接CD ,过点A 作AE ⊥CD 交BC 于点E ,垂足为G ,连接GF ,则GF +FB 的最小值是( )A .B .C .D .3.(2022·山东·九年级月考)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y =x 2﹣2x +c 的图象与x 轴交于A 、C两点,与y 轴交于点B (0,﹣3),若P 是x 轴上一动点,点D (0,1)在y 轴上,连接PD +PC 的最小值是( )A .4B .2+C .D .324.(2022·重庆·九年级期中)如图所示,菱形ABCO 的边长为5,对角线OB 的长为P 为OB 上一动点,则AP 的最小值为( )A .4B .5C .D .5.(2022·浙江宁波·九年级开学考试)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y =x 轴、y 轴于A 、B 两点,若C 为x 轴上的一动点,则2BC +AC 的最小值为__________.6.(2022·湖南·九年级月考)如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,∠A =60°,AB =6,△BCD 为等边三角形点E 为△BCD 围成的区域(包括各边)的一点过点E 作EM ∥AB ,交直线AC 于点M 作EN ∥AC 交直线AB 于点N ,则AN +AM 的最大值为 .7.(2022·湖北武汉·九年级期末)如图,△ABCD 中60A ∠=︒,6AB =,2AD =,P 为边CD 上一点,则2PB +的最小值为______.8.(2022·成都市七中育才九年级期中)如图,在平面直角坐标系中,直线l 分别交x 、y 轴于B 、C 两点,点A 、C 的坐标分别为(3,0)、(0,﹣3),且△OCB =60°,点P 是直线l 上一动点,连接AP ,则AP 的最小值是______.9.(2022·四川自贡·一模)如图,ABC 中,10AB AC ==,tan 2A =,BE AC ⊥于点E ,D 是线段BE 上的一个动点,则CD 的最小值是__________.10.(2022·广东·一模)已知抛物线243y xx =-+与x 轴交于A ,B 两点(A 在B 点左侧),与y 轴正半轴交于点C ,点P 是直线BC 上的动点,点Q 是线段OC 上的动点.(1)求直线BC 解析式.(2)如图①,求OP +P A 的和取最小值时点P 的坐标. (3)如图②,求AQ +QP 的最小值.(4)如图③,求AQ 12+QC 的最小值.11.(2022·江苏·中考模拟)如图,抛物线与直线交于,两点,交轴于,两点,连接,,已知,.(Ⅰ)求抛物线的解析式和的值;(Ⅱ)在(Ⅰ)条件下:(1)为轴右侧抛物线上一动点,连接,过点作交轴于点,问:是否存在点使得以,,为顶点的三角形与相似?若存在,请求出所有符合条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.(2)设为线段上一点(不含端点),连接,一动点从点出发,沿线段以每秒一个单位速度运动到点,再沿线段个单位的速度运动到后停止,当点的坐标是多少时,点在整个运动中用时最少?12.(2020·四川乐山市·中考真题)已知抛物线与轴交于,两点,为抛物线的顶点,抛物线的对称轴交轴于点,连结,且,如图所示.(1)求抛物线的解析式;(2)设是抛物线的对称轴上的一个动点.①过点作轴的平行线交线段于点,过点作交抛物线于点,连结、,求的面积的最大值;②连结,求的最小值.212y x mx n=++132y x=-+A B x DC AC BC(0,3)A(3,0)C tan BAC∠P y PA P PQ PA⊥y Q P A P Q ACB∆PE AC DE M DDE E EA A E M2y ax bx c=++x(1,0)A-(50)B,Cx D BC4tan3CBD∠=P P x BC EE EF PE⊥F FB FC BCF∆PB35PC PB+13.(2021·四川达州市·中考真题)如图,在平面直角坐标系中,抛物线交轴于点和,交轴于点,抛物线的对称轴交轴于点,交抛物线于点.(1)求抛物线的解析式;(2)将线段绕着点沿顺时针方向旋转得到线段,旋转角为,连接,,求的最小值.(3)为平面直角坐标系中一点,在抛物线上是否存在一点,使得以,,,为顶点的四边形为矩形?若存在,请直接写出点的横坐标;若不存在,请说明理由;14.(2022·广西·南宁三中一模)如图,二次函数21y ax bx =++的图象交x 轴于点()2,0A -、()10B ,,交y 轴于点C ,点D 是第四象限内抛物线上的动点,过点D 作//DE y 轴交x 轴于点E ,线段CB 的延长线交DE 于点M ,连接OM 、BD 交于点N ,连接AD .(1)求二次函数的表达式;(2)当OEM DBES S =时,求点D 的坐标及sin DAE ∠;(3)在(2)的条件下,点P 是x轴上一个动点,求DP 的最小值.2y x bx c =-++x A ()1,0C y ()0,3B x E F OE О'OE ()090αα︒<<︒'AE 'BE 13''BE AE +M N A B M NN15.(2022·广东·东莞市三模)已知,如图,二次函数2y ax bx c =++图像交x 轴于(1,0)A -,交y 交轴于点(0,3)C ,D 是抛物线的顶点,对称轴DF 经过x 轴上的点(1,0)F .(1)求二次函数关系式;(2)对称轴DF与BC 交于点M ,点P 为对称轴DF 上一动点.①求AP PD 的最小值及取得最小值时点P 的坐标; ②在①的条件下,把APF 沿着x 轴向右平移t 个单位长度(04)t ≤≤时,设APF 与MBF 重叠部分面积记为S ,求S 与t 之间的函数表达式,并求出S 的最大值.16.(2022·天津·中考模拟)如图,在△ACE 中,CA =CE ,∠CAE =30°,⊙O 经过点C ,且圆的直径AB 在线段AE 上.(1)证明:CE 是⊙O 的切线;(2)若△ACE 中AE 边上的高为h ,试用含h 的代数式表示⊙O 的直径AB ;(3)设点D 是线段AC 上任意一点(不含端点),连接OD +OD 的最小值为6时,求⊙O 的直径AB 的长.。
新定义阅读理解题1.阅读下列材料,解答下列问题:材料一:一个三位以上的自然数,如果该自然数的末三位表示的数与末三位之前的数字表示的数之差是11的倍数,我们称满足此特征的数叫“网红数”.如:65362,362-65=297=11×27,称65362是“网红数”.材料二:对任意的自然数p 均可分解为p =100x +10y +z (x ≥0,0≤y ≤9,0≤z ≤9且想,x ,y ,z 均为整数),如:5278=52×100+10×7+8,规定:G (p )= zx x z x x -++-+112)( . (1)求证:任意两个“网红数”之和一定能被11整除;(2)已知:s =300+10b +a ,t =1000b +100a +1142(1≤a ≤7,0≤b ≤5,且a 、b 均为整数),当s +t 为“网红数”时,求G (t )的最大值.(1)证明:设两个“网红数”为mn ,ab (n ,b 分别为mn ,ab 末三位表示的数,m ,a 分别为mn ,ab 末三位之前的数字表示的数),则n -m =11k 1,b -a =11k 2, ∴mn +ab =1001m +1001a +11(k 1+k 2)=11(91m +91a +k 1+k 2).又∵k 1,k 2,m ,n 均为整数,∴91m +91a +k 1+k 2为整数,∴任意两个“网红数”之和一定能被11整除.(2)解:s =3×100+10b +a ,t =1000(b +1)+100(a +1)+4×10+2,S +t =1000(b +1)+100(a +4)+10(b +4)+a +2,①当1≤a ≤5时,s +t =))()()((2a 4b 4a 1b ++++, 则))()((2a 4b 4a +++-(b +1)能被11整除,∴101a +9b +441=11×9a +2a +11b -2b +40×11+1能被11整除,∴2a -2b +1能被11整除.∵1≤a ≤5,0≤b ≤5,∴-7≤2a -2b +1≤11,∴2a -2b +1=0或11,∴a =5,b =0,∴t =1642,G (1642)=17141, ②当6≤a ≤7时,s +t =))()()((2a 4b 6a 2b ++-+, 则))()((2a 4b 6a ++--(b +2)能被11整除, ∴101a +9b -560=11×9a +2a +11b -2b -51×11+1能被11整除,∴2a -2b +1能被11整除.∵6≤a ≤7,0≤b ≤5,∴3≤2a -2b +1≤15,∴2a -2b +1=11,∴⎩⎨⎧==1b 6a ,⎩⎨⎧==2b 7a , ∴t =2742或3842,G (2742)=28251,G (3842)=39361, 综上,G (t )的最大值为39361. 2.若将自然数中能被3整除的数,在数轴上的对应点称为“3倍点”,取任意的一个“3倍点”P ,到点P 距离为1的点所对应的数分别记为a ,b .定义:若数K =a 2+b 2-ab ,则称数K 为“尼尔数”.例如:若P 所表示的数为3,则a =2,b =4,那么K =22+42-2×4=12;若P 所表示的数为12,则a =11,b =13,那么K =132+112-13×11=147,所以12,147是“尼尔数”.(1)请直接判断6和39是不是“尼尔数”,并且证明所有“尼尔数”一定被9除余3;(2)已知两个“尼尔数”的差是189,求这两个“尼尔数”.解:(1)6不是尼尔数,39是尼尔数.证明:设P 表示的数为3m ,则a =(3m -1),b =(3m +1),K =(3m -1)2+(3m +1)2-(3m -1)(3m +1)=9m 2+3,∵m 为整数,∴m 2为整数,∴9m 2+3被9除余3;(2)设这两个尼尔数分别是K 1,K 2,将两个“尼尔数”所对应的“3倍点数”P 1,P 2分别记为3m 1,3m 2.∴K 1-K 2=9m 12-9m 22=189,∴m 12-m 22=21,∵m 1,m 2都是整数,∴m 1+m 2=7,m 1-m 2=3,∴⎩⎨⎧==2m 5m 21,∴⎩⎨⎧==39k 228k 21. 3.若在一个两位正整数 N 的个位数字与十位数字之间添上数字 2 ,组成一个新的三位数,我们称这个三位数为 N 的“诚勤数”,如 34 的“诚勤数”为 324 ;若将一个两位正整数 M 加 2 后得到一个新数,我们称这个新数为 M 的“立达数”,如 34 的“立达数”为 36.(1)求证:对任意一个两位正整数 A ,其“诚勤数”与“立达数”之差能被 6 整除;(2)若一个两位正整数 B 的“立达数”的各位数字之和是 B 的各位数字之和的一半,求 B 的值.解:(1)设A 的十位数字为a ,个位数字为b ,则A =10a +b ,它的“诚勤数”为100a +20+b ,它的“立达数”为10a +b +2, ∴100a +20+b -(10a +b +2)=90a +18=6(15a +3),∵a 为整数,∴15a +3是整数,则“诚勤数”与“立达数”之差能被6整除;(2)设B =10m +n ,1≤m ≤9,0≤n ≤9(B 加上2后各数字之和变小,说明个位发生了进位),∴B +2=10m +n +2,则B 的“立达数”为10(m +1)+(n +2-10),∴m +1+n +2﹣10=21(m +n ),整理,得m +n =14,∵1≤m ≤9,0≤n ≤9,∴⎩⎨⎧==6n 8m 、⎩⎨⎧==8n 6m 、⎩⎨⎧==5n 9m 、⎩⎨⎧==9n 5m 、⎩⎨⎧==7n 7m , 经检验:77、86和95不符合题意,舍去,∴所求两位数为68或59.4.一个正偶数k 去掉个位数字得到一个新数,如果原数的个位数字的2倍与新数之和与19的商是一个整数,则称正偶数k 为“魅力数”,把这个商叫做k 的魅力系数,记这个商为F (k ).如:722去掉个位数字是72,2的2倍与72的和是76,76÷19=4,4是整数,所以722是“魅力数”,722的魅力系数是4,记(72)4F =.(1)计算:(304)(2052)F F +;(2)若m 、n 都是“魅力数”,其中3030101m a =+,40010n b c =++(0≤a ≤9,0≤b ≤9,0≤c ≤9,a 、b 、c 是整数),规定:(,)a c G m n b-=.当()()24F m F n +=时,求(,)G m n的值.解:(1)∵30+2×4=38,38÷19=2,∴F(304)=2. ∵205+2×2=209,209÷19=11,∴F(2025)=11. ∴F(304)+F(2052)=13;(2)∵m=3030+101a=3000+100a+30+a,∴F(m)=19a2 3a10300+++=19a12303+=15+19a1218+. ∵m是“魅力数”,∴19a1218+是整数.∵0≤a≤9,且a是偶数,∴a=0,2,4,6,8.当a=0时,19a1218+=1918不符合题意.当a=2时,19a1218+=1942不符合题意.当a=4时,19a1218+=1966不符合题意.当a=6时,19a1218+=1990不符合题意.当a=8时,19a1218+=19114=6符合题意.∴a=8,此时m=3838,F(m)=F(3838)=6+15=21. 又∵F(m)+F(n)=24,∴F(n)=3.∵n=400+10b+c,∴F(n)=19c2b40++=3,∴b+2c=17,∵n是“魅力数”,∴c是偶数,又∵0≤c≤9,∴c=0,2,4,6,8. 当c=0时,b=17不符合题意.当c =2时,b =13不符合题意.当c =4时,b =9符合题意.此时,G (m ,n )=b c a -=948-=94. 当c =6时,b =5符合题意.此时,G (m ,n )=b c a -=568-=52. 当c =8时,b =1符合题意.此时,G (m ,n )=b c a -=188-=0. ∵ 94>52>0, ∴G (m ,n )的最大值是94. 5.已知一个正整数,把其个位数字去掉,再将余下的数加上个位数字的4倍,如果和是13的倍数,则称原数为“超越数”.如果数字和太大不能直接观察出来,就重复上述过程.如:1131:113+4×1=117,117÷13=9,所以1131是“超越数”;又如:3292:329+4×2=337,33+4×7=61,因为61不能被13整除,所以3292不是“超越数”.(1)请判断42356是否为“超越数” (填“是”或“否”),若ab +4c =13k (k 为整数),化简abc 除以13的商(用含字母k 的代数式表示).(2)一个四位正整数N =abcd ,规定F (N )=|a +d 2﹣bc |,例如:F (4953)=|4+32﹣5×9|=32,若该四位正整数既能被13整除,个位数字是5,且a =c ,其中1≤a ≤4.求出所有满足条件的四位正整数N 中F (N )的最小值. 解:(1)否,4235+4×6=4259,425+4×9=461,46+4×1=50,因为50不能被13整除,所以42356不是超越数. ∵ab +4c =13k ,∴10a +b +4c =13k ,∴10a +b =13k ﹣4c , ∵abc =100a +10b +c =10(10a +b )+c =130k ﹣40c +c =130k ﹣39c =13(10k ﹣3c ),∴13abc =10k ﹣3c ; (2)由题意得d =5,a =c ,∴N =1000a +100b +10c +5,∵N 能被13整除,∴设100a +10b +c +4×5=13k ,∴101a +10b +20=13k ,且a 为正整数,b ,k 为非负整数,1≤a ≤4,∴a =2,b =9,k =24 或a =3,b =8,k =31,或a =4,b =7,k =38, ∴F (N )=|2+25﹣18|=9,或F (N )=|3+25﹣24|=4,或F (N )=|4+25﹣28|=1,∴F (N )最小值为1.6.一个两位正整数n ,如果n 满足各数位上的数字互不相同且均不为0,那么称n 为“启航数”,将n 的两个数位上的数字对调得到一个新数'n .把'n 放在n 的后面组成第一个四位数,把n 放在'n 的后面组成第二个四位数,我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以11所得的商记为()F n ,例如:23n =时,32n '=,23323223(23)8111F -==-. (1)计算(42)_____;F = 若m 为“启航数”,()F m 是一个完全平方数,求()F m 的值;(2)s t 、为“启航数”,其中10,10s a b t x y =+=+(1≤b ≤a ≤9,1≤x 、y ≤5,且y x b a ,,,为整数) 规定:(,)s t K s t t-=,若()F s 能被7整除,且()()81162F s F t y +-=,求(,)K s t 的最大值.解:(1)F (42)=162,设m =pq (1≤p ≤q ≤9,且p 、q 为整数), 则()=81()11pqqp qppq F m p q -=-, ∵()F m 完全平方数,∴p q -为完全平方数,∵1≤p ≤q ≤9,且p 、q 为整数,∴0<p -q ≤8,∴14p q -=或,∴F (m )=81或324;(2)由题意知:s =ab ,t =xy (1≤b ≤a ≤9,1≤x 、y ≤5,且a b x y 、、、为整数), ∴()81()F s a b =-,()81()F t x y =-,∵()F s 能被7整除,∴81()7a b -为整数, 又∵1≤b ≤a ≤9,∴0<a -b ≤8,∴7a b -=,∴9,28,1a b a b ====或,∴s =92或81.又∵()()81162F s F t y +-=,∴81(a -b )+81(x -y )-81y =162,∴2y =x +5,∵1≤x ,y ≤5且x y ≠,∴1,33,4x y x y ====或,∴t =13 或34, ∴79(92,13)13K =,K (92,34)=3458,68(81,13)13K =,47(81,34)34K = K max =1379. 7.若一个三位数,其个位数加上十位数等于百位数,可表示为t =100(x +y )+10y +x(x+y≤9),则称实数t为“加成数”,将t的百位作为个位,个位作为十位,q,例如:十位作为百位,组成一个新的三位数h.规定q=t﹣h,f(m)=9 321是一个“加成数”,将其百位作为个位,个位作为十位,十位作为百位,108=12.得到的数h=213,∴q=321﹣213=108,f(m)=9(1)当f(m)最小时,求此时对应的“加成数”的值;(2)若f(m)是24的倍数,则称f(m)是“节气数”,猜想这样的“节气数”有多少个,并求出所有的“节气数”.q,解:(1)∵f(m)=9∴当f(m)最小时,q最小,∵t=100(x+y)+10y+x=101x+110y,h=100y+10x+x+y=101y+11x,∴q=t﹣h=101x+110y﹣(101y+11x)=9y+90x,且1≤y≤9,0≤x≤9,x、y 为正整数,当x=0,y=1时,q=9,此时对应的“加成数”是110;(2)∵f(m)是24的倍数,设f(m)=24n(n为正整数),q,q=216n,则24n=9由(1)知:q=9y+90x=9(y+10x),∴216n=9(y+10x),24n=y+10x,(x+y<10)①当n=1时,即y+10x=24,解得:x=2,y=4,则这样的“节气数”是24;②当n=2时,即y+10x=48,解得:x=4,y=8,x+y=12>10,不符合题意;③当n=3时,即y+10x=72,解得:x=7,y=2,则这样的“节气数”是72;④当n=4时,即y+10x=96,解得:x=9,y=6,x+y=15>10,不符合题意;⑤当n=5时,即y+10x=120,没有符合条件的整数解,综上,这样的“节气数”有2个,分别为24,72.8.在任意n(n>1且为整数)位正整数K的首位后添加6得到的新数叫做K的“顺数”,在K的末位前添加6得到的新数叫做K的“逆数”.若K的“顺数”与“逆数”之差能被17整除,称K是“最佳拍档数”.比如1324的“顺数”为16324,1324的“逆数”为13264,1324的“顺数”与“逆数”之差为16324﹣13264=3060,3060÷17=180,所以1324是“最佳拍档数”.(1)请根据以上方法判断31568(填“是”或“不是”)“最佳拍档数”;若一个首位是5的四位“最佳拍档数”N,其个位数字与十位数字之和为8,且百位数字不小于十位数字,求所有符合条件的N的值.(2)证明:任意三位或三位以上的正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除.(1)解:是;【解法提示】∵361568﹣315668=45900,且45900÷17=2700,∴根据最佳拍档数的定义可知,31568是“最佳拍档数”;故答案为:是设“最佳拍档数”N的十位数字为x,百位数字为y,则个位数字为8﹣x,y≥x,N=5000+100y+10x+8﹣x=100y+9x+5008,∵N是四位“最佳拍档数”,∴50000+6000+100y+10x+8﹣x﹣[50000+1000y+100x+60+8﹣x],=6000+100y+9x+8﹣1000y﹣100x﹣68+x,=5940﹣90x﹣900y,=90(66﹣x﹣10y),∴66﹣x ﹣10y 能被17整除,①x =2,y =3时,66﹣x ﹣10y =34,能被17整除,此时N 为5326; ②x =3,y =8时,66﹣x ﹣10y =﹣17,能被17整除,此时N 为5835; ③x =5,y =1时,66﹣x ﹣10y =51,能被17整除,但x >y ,不符合题意; ④x =6,y =6时,66﹣x ﹣10y =0,能被17整除,此时N 为5662;⑤x =8,y =3时,66﹣x ﹣10y =28,不能被17整除,但x >y ,不符合题意; ⑥当x =9,y =4时,66﹣x ﹣10y =17,能被17整除,但x >y ,不符合题意; 综上,所有符合条件的N 的值为5326,5835,5662;(2)证明:设三位正整数K 的个位数字为x ,十位数字为y ,百位数字为z , 它的“顺数”:1000z +600+10y +x ,它的“逆数”:1000z +100y +60+x ,∴(1000z +600+10y +x )﹣(1000z +100y +60+x )=540﹣90y =90(6﹣y ), ∴任意三位正整数K 的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除,设四位正整数K 的个位数字为x ,十位数字为y ,百位数字为z ,千位数字为a , ∴(10000a +6000+100z +10y +x )﹣(10000a +1000z +100y +60+x )=5940﹣900z ﹣90y =90(66﹣10z ﹣y ),∴任意四位正整数K 的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除,同理得:任意三位或三位以上的正整数K 的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除.9.若实数a 可以表示成两个连续自然数的倒数差,即a =n 1-1n +1,那么我们称a 为第n 个“1阶倒差数”,例如21=1-21,∴21是第1个“1阶倒差数”,61=21-31,∴16是第2个“1阶倒差数”.同理,若b =n 1-2n 1 ,那么,我们称b 为第n 个“2阶倒差数”.(1)判断132是否为“1阶倒差数”;直接写出第5个“2阶倒差数”;(2)若c ,d 均是由两个连续奇数组成的“2阶倒差数”,且d 1-c 1=22,求c ,d 的值.解:(1)132不是“1阶倒差数”,235;【解法提示】∵32=1×32=2×16=4×8,不是两个连续自然数的积, ∴321不是“1阶倒差数”. 第5个“2阶倒差数”为51-71=352. (2)设m 是由两个连续奇数2x -1,2x +1组成的“2阶倒差数”,则m =1x 21--1x 21+=))(()(1x 21x 21x 21x 2-+--+=1x 422-. ∵c ,d 是两个连续奇数组成的“2阶倒差数”,∴可设c =1y 422-,d =1z 422-, ∵d 1-c 1=22,∴4z 2-12-4y 2-12=22,即z 2-y 2=11,∴(z +y )(z -y )=11>0,∴z >y .∵11=1×11,∴⎩⎨⎧=-=+1y z 11y z ,解得⎩⎨⎧==6z 5y , ∴c =15422-⨯=299,d =16422-⨯=2143. 10.任意一个正整数n ,都可以表示为:n =a ×b ×c (a ≤b ≤c ,a ,b ,c 均为正整数),在n的所有表示结果中,如果|2b﹣(a+c)|最小,我们就称a×b×c是n的“阶梯三分法”,并规定:F(n)=b ca+,例如:6=1×1×6=1×2×3,因为|2×1﹣(1+6)|=5,|2×2﹣(1+3)|=0,5>0,所以1×2×3是6的阶梯三分法,即F(6)=231+=2.(1)如果一个正整数p是另一个正整数q的立方,那么称正整数p是立方数,求证:对于任意一个立方数m,总有F(m)=2;(2)t是一个两位正整数,t=10x+y(1≤x≤9,0≤y≤9,且x≥y,x+y≤10,x 和y均为整数),t的23倍加上各个数位上的数字之和,结果能被13整除,我们就称这个数t为“满意数”,求所有“满意数”中F(t)的最小值.解:(1)∵m为立方数,∴设m=q×q×q,∴|2q﹣(q+q)|=0,∴q×q×q是m的阶梯三分法,∴F(m)=q qq+=2;(2)由已知,[23(10x+y)+x+y]能被13整除,整理得:231x+24y能被13整除,∵231x+24y=13(18x+2y)﹣(3x+2y),∴3x+2y能被13整除,∵1≤x≤9,0≤y≤9,∴3≤3x+2y≤45,∵x,y均为整数,∴3x+2y的值可能为13、26或39,①当3x +2y =13时,∵x ≥y ,x +y ≤10,∴x =3,y =2,t =32,∴32的阶梯三分法为2×4×4, ∴F (32)=23242=+; ②同理,当3x +2y =26时,可得x =8,y =1或x =6,y =4, ∴t =81或64,∴F (81)=4,F (64)=2; ③同理,当3x +2y =39时,可得x =9,y =6(不合题意舍去), ∴综合①②③,F (t )最小值为23.。
2024数学重庆中考试题【2024年重庆市中考数学试题】一、选择题1. 下列哪个数是无理数?- A. 根号3- B. 0.33333(无限循环)- C. 1/7- D. π2. 一个圆的半径为r,其面积的公式是:- A. πr²- B. 2πr- C. πr- D. r²3. 一个等差数列的前三项分别为2,5,8,那么第10项的值是:- A. 23- B. 21- C. 20- D. 19二、填空题1. 计算 (-2)³的结果是:______。
2. 如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4,那么斜边的长度是:______。
3. 一个正数的平方根是4,那么这个正数是:______。
三、解答题1. 已知一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c,求证:长方体的对角线长度为√(a²+b²+c²)。
2. 一个班级有50名学生,其中男生人数是女生人数的两倍。
设女生人数为x,求班级中男生和女生的人数。
3. 一个工厂计划生产一批零件,如果每天生产100个零件,需要20天完成。
现在工厂决定提高效率,每天生产120个零件,问需要多少天可以完成原计划?四、应用题1. 一个农场有一块长方形的田地,长为300米,宽为200米。
农场主计划在这块田地的周围种植一圈树,每棵树之间的距离为5米。
如果树的直径为0.2米,那么农场主需要购买多少棵树?2. 某公司计划投资一个新项目,预计投资成本为500万元。
如果项目成功,公司可以获得的回报是投资成本的两倍。
如果项目失败,公司将损失全部投资。
现在公司决定投资,求公司预期的净收益。
五、综合题1. 一个班级进行数学竞赛,共有50名学生参加。
竞赛结束后,成绩排名前10%的学生将获得奖励。
如果班级中成绩排名在前10%的学生平均分是90分,而排名在后10%的学生平均分是60分,求班级所有学生的平均分。
2. 某市的居民用水价格分为两个阶梯,第一阶梯是每吨水价格为2元,第二阶梯是每吨水价格为4元。
2021重庆中考数学第10题三角函数实际问题专题训练1.某数学兴趣小组在歌乐山森林公园借助无人机测量某山峰的垂直高度AB.如图所示,无人机在地面BC上方120米的D处测得山顶A的仰角为22°,测得山脚C的俯角为63.5°.已知AC的坡度为1:0.75,点A,B,C,D在同一平面内,则山峰的垂直高度AB约为()(参考数据:sin63.5°≈0.89,tan63.5°≈2.00,sin22°≈0.37,tan22°≈0.40)A.141.4米B. 188.6米C. 205.7米D. 308.6米2.小敏利用无人机测量某座山的垂直高度AB.如图所示,无人机在地面BC上方130米的D处测得山顶A的仰角为22°,测得山脚C的俯角为63.5°.已知AC的坡度为1:0.75,点A,B,C,D在同一平面内,则此山的垂直高度AB约为()(参考数据:sin63.5°≈0.89,tan63.5°≈2.00,sin22°≈0.37,tan22°≈0.40)A.146.4米B. 222.9米C. 225.7米D. 318.6米3.一天,小明和朋友一起到小区测量小明所住楼房的高度,他们首先在A测得楼房顶部E的仰角为37°,然后沿着斜坡AB走了7.8米到B处,再测得楼房顶部E的仰角为45°,身高忽略不计.已知斜坡AB的坡度i=1:2.4,楼房EF所离BC高度CD为1.8米.则楼房自身高度EF大约为()米(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)A.40.8B. 33.6C. 31.8D. 30.64.如图,为了测量某建筑物AB的高度,小明在点C处放置了高度为2米的测角仪CD,测得建筑物顶端A点的仰角∠ADE=53°,然后他沿着坡度i=1:2.4的斜坡CF走了13米到达点F,再沿水平方向走4米就到达了建筑物底端点B.则建筑物AB的高度约为()米.(精确到0.1,参考数sin53°≈0.80,cos53°≈0.60.tan53°=1.33)A.21.3B. 18.3C. 12.0D. 9.05.为了纪念巴蜀中学首任校长周助成和首任教务主任孙伯才而修建的助艾亭,见证了巴蜀走过的风雨历程;助艾亭下的石榴花,阶梯边的蓝楹树,也陪伴着一届届巴蜀学子的青春成长.小宇和小轲两位同学准备利用所学数学知识对助艾亭的高度进行测量,他们在临时搭建的一个坡度为12:5的钢板斜坡上的F点测得亭顶A点的仰角为13°,F点到地面的垂直高度FG=1.8米.从钢板斜坡底的E点向前走16.25米到D点,测得亭前阶梯CD的长度为2.5米,坡度为3:4.C点到亭中心O点的距离为1米.根据测量结果,助艾亭的高度AO大约为()米.(参考数据:sin13°≈0.22,cos13°≈0.97,tan13°≈0.23,A;B,C,D,E,F,G各点均在同一平面内)A.4.9米B. 4.6米C. 6.4米D. 6.1米6.如图,AB,CD为两个建筑物,两建筑物底部之间的水平地面上有一点M,从建筑物AB的顶点A测得M点的俯角为45°,从建筑物CD的顶点C测得M点的俯角为75°,测得建筑物AB的顶点A的俯角为30°.若已知建筑物AB的高度为20米,求两建筑物顶点A、C之间的距离()(结果精确到1m,参考数据:√2≈1.414,√3≈1.732)A.29B. 35C. 37D. 447.今年春天,红梅、李花、桃花争相盛开,重庆“开往春天的列车”火爆全网.重庆育才中学初三学生小陶来到佛图关公园附近的观景台上开展数学实践活动.如图,轻轨站上停靠着一辆长度为200米的轻轨列车AB,小陶从轨道正上方观景台C处先沿直线步行一段距离到达点D处后,他再沿着坡度为i=1:2.4的斜坡DE走了28.6米到另一观景台点E处,在点E处测得停靠在车站的轻轨车头端点A的俯角为50°,测得车尾端点B 的俯角为14度.如图,若点A、B、C、D、E、F在同一平面内,点A、B、F在同一水平线上,则观景台C点距离轻轨轨道的竖直高度CF约为()米.(结果保留一位小数,参考数据:sin14°≈0.24,cos14°≈0.9,tan14°≈0.25;sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.2)A.39.1B. 47.3C. 52.2D. 63.28.某游乐场新推出了一个“极速飞车”的项目.项目有两条斜坡轨道以满足不同的难度需求,游客可以乘坐垂直升降电梯AB自由上下选择项目难度.其中斜坡轨道BC的坡度(或坡比)为i=1:2,BC=12√5米,CD=8米,∠D=36°,(其中点A、B、C、D均在同一平面内)则垂直升降电梯AB的高度约为()米.(精确到0.1米,参考数据:tan36°≈0.73,cos36°≈0.81,sin36°≈0.59)A.5.6B. 6.9C. 11.4D. 13.99.如图,一棵松树AB挺立在斜坡CB的顶端,斜坡CB长为52米,坡度为i=12:5,小张从与点C相距60米的点D处向上爬12米到达观景台DE的顶端点E,在此测得松树顶端点A的仰角为39°,则松树的高度AB约为()(参考数据:sin39°≈0.63,cos39°≈0.78,tan39°≈0.81)A.16.8米B. 28.8米C. 40.8米D. 64.2米10.重庆实验外国语学校某数学兴趣小组,想测量华岩寺内七佛塔的高度,他们在点C处测得七佛塔顶部A处的仰角为45°,再沿着坡度为i=1:2.4的斜坡CD向上走了5.2米到达点D,此时测得七佛塔顶部A的仰角为37°,七佛塔AB所在平台高度EF为0.8米,则七佛塔AB的高约为()米.(参考数据:sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,tan37°≈0.75)A.20.8B. 21.6C. 23.2D. 2411.如图,小王在山坡上E处,用高1.5米的测角仪EF测得对面铁塔顶端A的仰角为25°,DE平行于地面BC,若DE=2米,BC=10米,山坡CD的坡度i=1:0.75,坡长CD=5米,则铁塔AB的高度约是()(参考数据:sin25°≈0.42,cos25°≈0.91,tan25°≈0.47)A.11.1米B. 11.8米C. 12.0米D. 12.6米12.国家电网近来实施了新一轮农村电网改造升级工程,解决了农村供电“最后1公里”问题,电力公司在改造时把某一输电线铁塔建在了一个坡度为1:0.75的山坡CD的平台BC上(如图),测得∠AED=52.5°,BC=5米,CD=35米,DE=19米,则铁塔AB的高度约为(参考数据:sin52.5°≈0.79,cos52.5°≈0.61,tan52.5°≈1.30)()A.7.6米B. 27.5米C. 30.5米D. 58.5米13.山城重庆的美景吸引了很多游客,越来越多的人喜欢用无人机拍摄网红景点.如图,为了拍摄坡比为1:2.4的斜坡AB上的景点A,航拍无人机先从C点俯拍,此时的俯角为37°,为取得更震撼的拍摄效果,无人机升高100米到达D点,此时的俯角变为45°.已知坡AB的长为65米,则无人机与斜坡AB的坡底B的水平距离BE的长度为()米.(参考数据:tan37°≈0.75,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80)A.335B. 340C. 345D. 35014.如图,我校本部教学楼AD上有“育才中学”四个字的展示牌DE,某数学兴趣小组的同学准备利用所学的三角函数知识估测该教学楼的高度.由于场地有限,不便测量,所以小明沿坡度i=√3:1的阶梯从看台前的B处前行50米到达C处,测得展示牌底部D 的仰角为45°,展示牌顶部E的仰角为53°(小明的身高忽略不计),已知展示牌DE=15米,则该教学楼AD的高度约为()米.(精确到整数,参考数据:sin53°≈0.8,cos53°≈0.6,tan53°≈1.3,√3≈1.7)A.95B. 93C. 91D. 8915.如图,育才成功学校求真楼AB侧方有一斜坡AC,AC=25米且坡比为0.75,在斜坡的顶部C看教学楼楼顶B的仰角为26°(AB、CD在同一平面内),则教学楼的高AB为()(tan26°≈0.5)A.10米B. 15米C. 20米D. 25米16.我校兴趣小组同学为测量校外“御墅临枫”的一栋电梯高层AB的楼高,从校前广场的C处测得该座建筑物顶点A的仰角为45°,沿着C向上走到30√5米处的D点.再测得顶点A的仰角为22°,已知CD的坡度:i=1:2,A、B、C、D在同一平面内,则高楼AB的高度为()(参考数据;sin22°≈0.37,cos22°≈0.93,tan22°≈0.40)A. 60B. 70C. 80D. 9017.江津四面山是国家5A级风景区,里面有一个景点被誉为亚洲第一岩--土地神岩,土地神岩壁画高度从石岩F处开始一直竖直到山顶E处,为了测量土地神岩上壁画的高度,小明从山脚A处,沿坡度i=1:0.75的斜坡上行65米到达C处,在C处测得山顶E处仰角为26.5°,再往正前方水平走15米到达D处,在D处测得壁画底端F处的俯角为42°,壁画底端F处距离山脚B处的距离是12米,A、B、C、D、E、F在同一平面内,A、B 在同一水平线上,EB⊥AB,根据小明的测量数据,则壁画的高度EF为()米(精确到0.1米,参考数据:sin26.5°≈0.45,cos26.5°≈0.9,tan26.5°≈0.5,sin42°≈0.67,cos42°≈0.74,tan42°≈0.9)A.49.5B. 68.7C. 69.7D. 70.218.春节期间,某老师读到«行路难»中“闲来垂钓碧溪上,忽复乘舟梦日边.”邀约好友一起在江边垂钓,如图,河堤AB的坡度为1:2.4,AB长为5.2米,钓竿AC与水平线的夹角是60°,其长为6米,若钓竿AC与钓鱼线CD的夹角也是60°,则浮漂D与河堤下端B之间的距离约为()(参考数据:√3=1.732)A. 2.33米B. 2.35米C. 2.36米D. 2.42米。
2023年重庆新中考指标到校数学模拟试卷十一.选择题:(本大题12个小题,每小题4分,共48分)在每个小题的下面,都给出了代号为A、B、C、D的四个答案,其中只有一个是正确的,请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。
1.在实数﹣、3、0、﹣0.5中,最小的数是()A.﹣B.3C.0D.﹣0.52.如图是由8个完全相同的小正方体组成的一个立体图形,其主视图是()A.B.C.D.3.下列计算正确的是()A.(﹣2a2b)3=﹣8a6b3B.a6÷a3+a2=2a2C.2a+3b=5ab D.a2•a4=a84.估计×+÷的运算结果应在下列哪两个数之间()A.3.5和4.0B.4.0和4.5C.4.5和5.0D.5.0和5.55.下面命题中,为真命题的是()A.内错角相等B.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形C.弧长相等的弧是等弧D.平行于同一直线的两直线平行6.如图,△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的,若OA′:A′A =1:2,则△A′B′C′的周长与△ABC的周长比是()A.1:2B.1:3C.1:4D.4:97.已知AB为⊙O的直径,C为圆周上一点,AC∥DO,∠DBC=35°,则∠ABC的度数为()A.10°B.15°C.20°D.30°8.如图,在矩形ABCD中,E,F分别是边AB,CD上的点,AE=CF,连接EF,BF,EF 与对角线AC交于点O,且BE=BF,∠BEF=2∠BAC,FC=2,则AB的长为()A.8B.8C.4D.69.我国古代数学著作《增删算法统宗》中有这么一首诗:“今有布绢三十疋,共卖价钞五百七.四疋绢价九十贯,三疋布价该五十.欲问绢布各几何?价钞各该分端的.若人算得无差讹,堪把芳名题郡邑.”其大意是:今有绵与布30疋,卖得570贯钱,4疋绢价90贯,3疋布价50贯,欲问绢布有多少,分开把价算,若人算得无差错,你的名字城镇到处扬.设有绢x疋,布y疋,依据题意可列方程组为()A.B.C.D.10.甲、乙两人沿同一条笔直的公路相向而行,甲从A地前往B地,乙从B地前往A地.甲先出发3分钟后乙才出发,当甲行驶到6分钟时发现重要物品忘带,立刻以原速的掉头返回A地.拿到物品后以提速后的速度继续前往B地,二人相距的路程y(米)与甲出发的时间x(分钟)之间的关系如图所示,下列说法不正确的是()A.乙的速度为240m/minB.两人第一次相遇的时间是分钟C.B点的坐标为(3,3520)D.甲最终达到B地的时间是分钟11.若关于x的一元一次不等式组的解集恰好有3个负整数解,且关于y的分式方程=1有非负整数解,则符合条件的所有整数a的和为()A.6B.9C.﹣1D.212.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴负半轴交于(﹣,0),对称轴为直线x=1.有以下结论:①abc>0;②3a+c>0;③若点(﹣3,y1),(3,y2),(0,y3)均在函数图象上,则y1>y3>y2;④若方程a(2x+1)(2x﹣5)=1的两根为x1,x2且x1<x2,则x1<﹣<<x2;⑤点M,N是抛物线与x轴的两个交点,若在x轴下方的抛物线上存在一点P,使得PM⊥PN,则a的范围为a≥﹣4.其中结论正确的有()A.2个B.3个C.4个D.5个二.填空题:(本大题4个小题,每小题4分,共16分)请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。
2018年重庆中考第10题专项训练1.(重庆一中初2011级九下开学考试)如图,Rt ABC 中,AC BC ⊥,AD 平分BAC ∠交BC 于点D ,DE AD ⊥交AB 于点E ,M 为AE 的中点,BF ⊥BC 交CM 的延长线于点F ,BD=4,CD=3.下列结论①AED ADC ∠=∠;②34DE DA =; ③AC BE 12⋅=;④3BF 4AC =;其中结论正确的个数有( )A .1个B .2个C .3个D .4个2.(重庆一中初2018级八下期中)如图,在边长为1的正方形ABCD 中,E 为AD 边上一点,连接BE ,将ABE 沿BE 对折,A 点恰好落在对角线BD 上的点F 处.延长AF ,与CD 边交于点G ,延长FE ,与BA 的延长线交于点H ,则下列说法:①BFH 为等腰直角三角形;②ADF FHA ≅;③60DFG ∠=︒;④2DE =S AEF S DFG =.其中正确的说法有( )A .1个B .2个C .3个D .4个3.(重庆一中初2011级九上期末)如图,在△ABC 中,∠A=60°,∠ABC 、∠ACB 的平分线分别交AC 、AB 于点D 、E ,CE 、BD 相交于点F ,连接DE .下列结论:① 12DE BC =;② 1cos 2BFE ∠=;③EDF FED ∠=∠; ④点F 到ABC ∆三个顶点的距离相等;⑤BE CD BC +=.其中正确的结论有( )个.A .1个B .2个C .3个D .4个4. (重庆一中初2011级八上期末)如图,正方形ABCD 中,在AD 的延长线上取点E ,F ,使DE=AD ,DF=BD ,连接BF 分别交CD ,CE 于H ,G ,下列结论:①EC=2DG ;②∠GDH=∠GHD ③S S CDG DHGE =;④图中有8个等腰三角形.其中正确的是( ) A.①③ B.②④ C.①④ D.②③5.(重庆一中初2009级中考二模)如图,把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠,使点B 落在AD 边上的点B '处,点A 落在点A '处.设AE=a ,AB=b ,BF=c ,下列结论:①B E BF '=;②四边形B CFE '是平行四边形;③222a b c +=;④A B EB CD ''';其中正确的是( ) A.②④ B.①④ C.②③ D.①③6.(重庆一中初2018级九上半期)如图,在正方形ABCD 中 ,AB=1,E ,F 分别是边BC ,CD 上的点,连接EF 、AE 、AF ,过A 作AH ⊥EF 于点H. 若EF=BE+DF ,那么下列结论:其中正确结论的个数是( )个 ①AE 平分∠BEF ;②FH=FD ;③∠EAF=45°; ④EAF ABE ADF S S S ∆∆∆=+; ⑤△CEF 的周长为2.7. (重庆一中初2018级九上开学考试)如图,在正方形ABCD 中,点E 是AD 的中点,连接BE 、CE ,点F 是CE 的中点,连接DF 、BF ,点M 是BF 上一点且21=MF BM ,过点M 做BC MN ⊥于点N ,连接FN .下列结论中①CE BE =;②DFE BEF ∠=∠;③AB MN 61=;④61=∆EBNF FMN S S 四边形 其中正确结论的个数是:( )A .1个B .2个C .3个D .4个8.(重庆一中初2010级九下定时作业)如图,P 、Q 是矩形ABCD 的边BC 和CD 延长上的两点,AP 与CQ 相交 于点E ,且∠PAD =∠QAD 。
2012年重庆中考第10题专项训练1.(重庆一中初2011级九下开学考试)如图,Rt ABC 中,AC BC ⊥,AD 平分BAC ∠交BC 于点D ,DE AD ⊥交AB 于点E ,M 为AE 的中点,BF ⊥BC 交CM 的延长线于点F ,BD=4,CD=3.下列结论①AED ADC ∠=∠;②34DE DA =; ③AC BE 12⋅=;④3BF 4AC =;其中结论正确的个数有( )A .1个B .2个C .3个D .4个2.(重庆一中初2012级八下期中)如图,在边长为1的正方形ABCD 中,E 为AD 边上一点,连接BE ,将ABE 沿BE 对折,A 点恰好落在对角线BD 上的点F 处.延长AF ,与CD 边交于点G ,延长FE ,与BA 的延长线交于点H ,则下列说法:①BFH 为等腰直角三角形;②ADF FHA ≅;③60DFG ∠=︒;④2DE =S AEF S DFG =.其中正确的说法有( )A .1个B .2个C .3个D .4个3.(重庆一中初2011级九上期末)如图,在△ABC 中,∠A=60°,∠ABC 、∠ACB 的平分线分别交AC 、AB 于点D 、E ,CE 、BD 相交于点F ,连接DE .下列结论:① 12DE BC =;② 1cos 2BFE ∠=;③EDF FED ∠=∠; ④点F 到ABC ∆三个顶点的距离相等;⑤BE CD BC +=.其中正确的结论有( )个.A .1个B .2个C .3个D .4个4. (重庆一中初2011级八上期末)如图,正方形ABCD 中,在AD 的延长线上取点E ,F ,使DE=AD ,DF=BD ,连接BF 分别交CD ,CE 于H ,G ,下列结论:①EC=2DG ;②∠GDH=∠GHD ③S S CDG DHGE =;④图中有8个等腰三角形.其中正确的是( ) A.①③ B.②④ C.①④ D.②③5.(重庆一中初2009级中考二模)如图,把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠,使点B 落在AD 边上的点B '处,点A 落在点A '处.设AE=a ,AB=b ,BF=c ,下列结论:①B E BF '=;②四边形B CFE '是平行四边形;③222a b c +=;④A B E B CD ''';其中正确的是( ) A.②④ B.①④ C.②③ D.①③6.(重庆一中初2012级九上半期)如图,在正方形ABCD 中 ,ADFAB=1,E ,F 分别是边BC ,CD 上的点,连接EF 、AE 、AF ,过A 作AH ⊥EF 于点H. 若EF=BE+DF ,那么下列结论:其中正确结论的个数是( )个 ①AE 平分∠BEF ;②FH=FD ;③∠EAF=45°; ④EAF ABE ADFS S S ∆∆∆=+; ⑤△CEF 的周长为2.7. (重庆一中初2012级九上开学考试)如图,在正方形ABCD 中,点E 是AD 的中点,连接BE 、CE ,点F 是CE 的中点,连接DF 、BF ,点M 是BF 上一点且21=MF BM ,过点M 做BC MN ⊥于点N ,连接FN .下列结论中①CE BE =;②DFE BEF ∠=∠;③AB MN 61=;④61=∆EBNF FMN S S 四边形 其中正确结论的个数是:( )A .1个B .2个C .3个D .4个8.(重庆一中初2010级九下定时作业)如图,P 、Q 是矩形ABCD 的边BC 和CD 延长上的两点,AP 与CQ 相交 于点E ,且∠PAD =∠QAD 。
则 ① DQ = DE ②∠BAP=AQE ;③AQ ⊥PQ ; ④EQ = 2CP ;⑤ABCD APQ S S 矩形=∆下列四个结论中正确的是( ) A.①②⑤ B.①③⑤ C.①②④ D.①②③④9.(重庆一中初2010级九下定时作业)如图,点E 是正方形ABCD 的边BC 上一点,将△ABE 绕着顶点A 逆时针旋转90°,得△ADF ,连接EF ,P 为EF 的中点,则下列结论正确的是( )①sin AEF ∠=②EF=2EC ③∠DAP=∠CFE ④∠ADP=45° ⑤PD//AF A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①③⑤10.(重庆育才初2011级二诊模拟)如图,在正方形ABCD 的对角线上取点E ,使得∠BAE=︒15,连结AE ,CE .延长CE 到F ,连结BF ,使得BC=BF .若AB=1,则下列结论:①AE=CE ,②F 到BC 的距离为22;③BE+EC=EF ;④8241+=∆AED S ;⑤123=∆EBF S .其中正确的个数是( )A .2个B .3个C .4个D .5个11.(重庆育才初2012级九上一诊)如图,正方形ABCD 的边长为4,F 为BC的中点,A BC DEF连接BD 、AF 、DF ,AF 交BD 于点E ,连接CE 交DF 于点G ,下列结论:①ABE CBE ∆≅∆;②DF DE ⊥;③DE DC = ④34ABE BDF S S ∆∆=;⑤CDEF 20=3S 四边形其中正确的结论个数是( ) 12.(重庆育才初2012级九上二诊模拟)如图,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠ABC =90°,AB =BC, E 为AB 边上一点,∠BCE =15°,AE =AD .连接DE 交对角线AC 于H ,连接BH . 下列结论:①△ACD ≌△ACE ; ②△CDE 为等边三角形;③EH 2BE=;④S S AEH DHC DHCH ∆∆=.其中正确的结论有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个13. (重庆育才初2012级九上入学考试)在等腰Rt ABC ∆中,∠A=90°,AC=AB=2,D 是BC 边上的点且13BD CD =,连接AD.把AD 绕着点A 顺时针旋转90°得到线段AE , 连接BE.下列结论:① ADC AEB ∆≅∆;②BE CB ⊥;② ③点B 到直线AD④四边形AEBC2;⑤=2S 四边形ADBE 其中正确的有( )A .4个B .3个C .2个D .1个14.(重庆南开初2012级九上一诊)如图,E 为边长为1的正方形ABCD 的对角线BD 上一点,且BE BC =,P 为CE 上任一点,PQ BC ⊥于Q ,PR BE ⊥于R 。
有下列结论:①PCQPER ∆∆;②DCE S ∆=;③tan 1DCE ∠=④2PQ PR +=.其中正确的结论的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个中考专项训练——计算题BACDGFE EDCBA(17题、计算)1、计算:3082145+-Sin 2.计算:3.计算:2×(-5)+23-3÷12 . 4. 计算:22+(-1)4+(5-2)0-|-3|;5. 计算:︒+-+-30sin 2)2(20. 6、计算:()()022161-+--7.、计算,8、计算:(3)0-(12 )-2+tan45° 9、 计算:()()0332011422---+÷-(18题、解方程或不等式组)1、解方程x 2﹣4x+1=0 2. 解分式方程2322-=+x x 3、解方程:3x = 2x -1 . 4. 已知|a ﹣1|+=0,求方裎+bx=1的解. 5. 解方程:x2+4x -2=0 6.解方程:xx -1 - 31-x= 21.解不等式组,并写出不等式组的整数解.2.解不等式组()()()⎩⎨⎧+≥--+-14615362x x x x 3.解不等式组:⎩⎨⎧2x +3<9-x ,2x -5>3x .4.求不等式组⎩⎨⎧3x -6≥x -42x +1>3(x -1)的解集,并写出它的整数解.5.解不等式:3﹣2(x ﹣1)<1.6. 解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+>+.221,12x x8.解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≤-〉-121312x x x x 9. 解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x +23 <1,2(1-x )≤5,并把解集在数轴上表示出来。
10. 解不等式组:102(2)3x x x -≥⎧⎨+>⎩ 11. 解不等式组313112123x x x x +<-⎧⎪++⎨+⎪⎩≤,并写出它的所有整数解.重庆市中考数学专项训练分式化简求值题专练(第21小题)1. 先化简,再求值:,2222444222-+÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--a aa a a a a 其中3-=a2. 先化简,再求值:11)1211(2+÷---+a a a a ,其中13+=a . 3. 先化简,再求值:2244(1),442x x x x-÷--+-其中222-=x4. 先化简,再求值:222222,1121a a aa a a a ---÷+--+其中a = 5. 先化简,再求值:12413123+--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--+x x x x x x ,其中2=x ; 6. 先化简,再求值)21(222222ab b a ab b a b a +-÷+-,其中1-=a ,2=b . 7. 先化简,再求值2235(2),22a a aa a a a -÷--++其中 3.a = 8. 先化简,再求值:xx xx x x --÷--+224)1151(,其中43-=x . 9. 先化简,再求值:2234(1),121x x x x -+÷--+其中 3.x = 10. 先化简,再求值:22221,369x y x y x y x xy y +--÷--+其中2,x y == 11. 先化简,再求值:222221(),11a a a a a a a -+-÷-+- 其中a 是方程2702x x --=的解.12. 先化简,再求值:222222,1121a a a a a a a ---÷+--+ 其中tan 60;a = 13. 先化简,再求值:2222(2),442x x x x x x x -÷---+- 其中 2.x =-14. 先化简,再求值:121,x x x x x --⎛⎫÷- ⎪⎝⎭其中 1.x = 重庆市中考数学专项训练反比例函数专练(第22小题)1. 若反比例函数xky =1过面积为9的正方形AMON 的顶点A ,且过点A 的直线n mx y -=2的图象与反比例函数的另一交点为B (a ,1-)(1)求出反比例函数与一次函数的解析式; (2)求∆AOB 的面积;2. 如图,反比例函数xky =的图象与一次函数b mx y +=(1)求反比例函数与一次函数的解析式;(2)根据图象回答:当x 取何值时,反比例函数的值大于一次函数的值.3. 已知点A 与点B(-3,2)关于y 轴对称,反比例函数ky x=与一次函数y mx b =+的图象都经过点A ,且点C(2,0)在一次函数y mx b =+的图象上.(1)求反比例函数和一次函数的解析式;(2)若两个函数图象的另一个交点为D ,求△AOD 的面积.4. 如图,已知反比例函数y =xm的图象经过点A (1,-3),一次函数y = kx + b 的图象经过点A 与点C (0,-4),且与反比例函数的图象相交于另一点B(3,n ). (1)试确定这两个函数的解析式;(2)求△AOB 的面积;(22题图)x(3)根据图形直接写出反比例函数值大于一次函数值时自变量的取值范围.5. 如图,O 是坐标原点,直线OA 与双曲线)0(≠=k xk y 在第一象限内交于点A ,过点A 作AB ⊥x 轴,垂足为B ,若OB=4,tan ∠AOB=21. ⑴求双曲线的解析式;⑵直线AC 与y 轴交于点C (0,1),与x 轴交于点D ,求△AOD 的面积.6. 已知:如图,一次函数的图象与反比例函数的图象交于A B 、两点,过A 作x AC ⊥轴于点.C 已知,2,5AC OC OA ==且点B 的纵坐标为-3.(1)求点A 的坐标及该反比例函数的解析式; (2)求直线AB 的解析式.7. 如图,一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限只有—个交点A ,一次函数的图象与x轴、y 轴分别交于B 、C 两点,AD 垂直平分OB ,垂足为D ,OA=5,sin ∠ABO=52.(1)求点A 的坐标及反比例函数解析式; (2)求一次函数的的解析式.8. 如图,已知反比例函数m y x=的图象经过点(1,3),A -一次函数y kx b =+的图象经过点A 与点(0,4),C -且与反比例函数的图象相交于另一点(3,).B n(1)试确定这两个函数的解析式; (2)求AOB ∆的面积;(3)根据图象直接写出反比例函数值大于一次函数值时 自变量的取值范围.5题图8题图9. 如图,在直角坐标系中,点A 是反比例函数1ky x=的图象上一点,AB x ⊥轴的正半轴于B 点,C 是OB 的中点,一次函数2y ax b =+的图象经过A C 、两点,并交y 轴于点(0,2),D -且AOD ∆的面积为4.(1)求反比例函数和一次函数的解析式;(2)请直接写出在y 轴的右侧,当12y y >时,x10. 如图,已知一次函数12y kx =+的图象与y 轴交于点,C与反比例函数2my x=的图象相交于点,A 点A 的横坐标为1. 过A 作AD y ⊥轴于点,D 且tan 1.ACD ∠=(1)求这两个函数的解析式及两图象的另一交点B 的坐标; (2)观察图象,直接写出使函数值12y y ≥的自变量x 的取值范围.11. 如图,一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my =的图象交于(3,1),(2,)A B n -两点,直线AB 分别交x 轴、y 轴于,D C 两点. (1)求上述反比例函数和一次函数的解析式; (2)连接,AO BO 、 求出AOB ∆的面积; (3)请由图象直接写出....,当x 满足什么条件时, 一次函数的值小于反比例函数的值?12. 如图,已知一次函数1y k x b =+的图象分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A B 、两点,且与反比例函数2k y x=交于C E 、两点,点C 在第二象限,过点C 作CD x ⊥轴于点,D 1.OA OB OD ===(1)求反比例函数与一次函数的解析式; (2)求OCE ∆的面积.x12题图10元~15元40%图215元~20元25元~30元20元~25元b%a%10%捐款人数扇形统计图金额重庆市中考数学专项训练概率与统计专练(第23小题)1. 某班有50名同学,男、女生人数各占一半,在本周操行评定中操行得分情况如图(1)统计表中所示,图(2)是该班本周男生操行得分的条形统计图:图(1)(1)补全统计表和条形统形图;(2)计算全班同学的操行平均得分; (3)若要在操行得分为5分的4名同学中选出两名同学作“本周明星”,用画树状图或列表的方法求出选为“本周明星”的正好是一名男同学和一名女同学的概率。