3-6 ＊关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论

二阶常微分方程边值问题求解的常数变易法2009-8-31数理方程所解决的问题与高等数学（微积分）教科书中的常微分方程有很大区别，其中最显著的特点是多数微分方程的条件是边值问题，即知道未知函数在自变量变化区域的边界上的取值。

这就是所谓的边值问题。

最简单的是二阶常微分方程的两点边值问题。

二阶常微分方程的解是一个一元函数，关于这个一元函数的信息，知道的不多，除了微分方程本身提供的之外，还有未知函数在一个区间的两个端点处的值。

微积分所教给我们的技巧是先求出常微分方程的通解，再根据两个条件确定通解中的两个任意常数。

进入这门课之初，先回顾初值问题，再思考边值问题。

在边值问题中，数理方程课程内容中出现了一个历史上非常著名的函数，即格林函数。

对力的分析中普遍使用一个方程：F=ma 。

这是著名的牛顿第二定律，其中，F 表示力，m 表示物体的质量，而a 表示物体运动的加速度。

由于加速度的物理意义可解释为物体运动时位移变量对时间的二阶导数，再结合使用虎克定律，就得出简单的振动所满足的二阶常微分方程02=+''y y ω如果考虑外力作用，该方程化为更一般的情况⎩⎨⎧='==+''βαω)0(,)0()(2y y x f y y 两个初始条件可解释为已经知道初始位移和初始速度。

求解上面方程需要用常数变易法。

先回顾一阶常微分方程求解的方法，然后再讨论二阶常微分方程的常数变易法。

一、一阶常微分方程初值问题的常数变易法一阶常微分方程常数变易法，用于解源函数不为零的常微分方程问题⎩⎨⎧=>=+'α)0(0),()()(y x x f x ry x y 先求解简化的（源函数为零）的方程：0)()(=+'x ry x y由分离变量：ry dxdy-=，→ rdx y dy -= 积分：c rx y +-=ln ，→ )exp()(rx C x y -=应用常数变易法，假设简化前的方程的解具有与简化后方程的解有相同形式，将常数替换为待定的函数，即)exp()()(rx x u x y -=求导数，得)exp()()exp()()(rx x u r rx x u x y ---'=')()exp()(x ry rx x u --'=将其代入化简前的方程，得等式)()exp()(x f rx x u =-'，→ )()exp()(x f rx x u ='积分，得C d f r x u x+=⎰)()ex p()(ξξξ代入表达式)exp()()(rx x u x y -=，得)ex p(])()ex p([)(0rx C d f r x y x-+=⎰ξξξ应用初始条件，得解函数⎰--+-=xd f x r rx x y 0)()](ex p[)ex p()(ξξξα从两部分解读解函数的意义。

在微分方程的研究中，二阶常系数非齐次微分方程解的关系是一个重要的主题。

通过深入分析和探讨，我们可以更好地理解和应用这一概念。

在本文中，我将从浅入深地讨论二阶常系数非齐次微分方程的解，带领您深入探索这一主题。

1. 二阶常系数非齐次微分方程的基本概念让我们了解一下二阶常系数非齐次微分方程的基本概念。

二阶常系数非齐次微分方程的一般形式可以表示为：$$ay'' + by' + cy = f(x)$$其中，a、b、c为常数，f(x)为非齐次项。

在研究二阶常系数非齐次微分方程的解的关系时，我们需要重点关注它的特征根和非齐次项的关系。

2. 特征根与非齐次项的关系在求解二阶常系数非齐次微分方程时，我们首先需要求得对应齐次方程的特征根。

特征根的求解可以帮助我们得到齐次方程的通解。

接下来，我们要考虑非齐次项f(x)的形式和特征根的关系。

这个关系非常重要，它决定了非齐次微分方程的特解形式。

一般来说，非齐次项f(x)的形式决定了特解的形式，而特解与齐次方程的通解之间存在一定的关系。

3. 解的关系及其应用通过对二阶常系数非齐次微分方程解的关系进行深入研究，我们可以发现其中蕴含着许多有趣的数学性质和应用。

在信号处理中，二阶常系数非齐次微分方程解的关系可以帮助我们分析和处理不同类型的信号。

在控制理论中，这一概念也有着重要的应用，例如在控制系统的建模和分析中起着关键作用。

4. 个人观点和总结对于二阶常系数非齐次微分方程解的关系，我个人认为它是微分方程理论中的一个重要且有趣的研究方向。

通过深入的学习和探讨，我们可以更好地理解和应用这一概念，从而为实际问题的解决提供有力的数学工具和方法。

在撰写本文的过程中，我深入思考并总结了二阶常系数非齐次微分方程解的关系，希望对您有所帮助。

在本文中，我从浅入深地探讨了二阶常系数非齐次微分方程解的关系这一主题，并共享了个人观点和总结性内容。

通过多次提及指定的主题文字，我希望能够全面、深刻地探讨这一概念，为您对这一主题的理解和应用提供有力的支持。

第六章 二阶线性偏微分方程的分类与小结一 两个自变量的二阶线性方程 1 方程变换与特征方程两个自变量的二阶线性偏微分方程总表示成f cu u b u b u a u a u a y x yy xy xx =+++++212212112 ①它关于未知函数u 及其一、二阶偏导数都是线性的，其中f u c b b a a a ，，，，，，，21221211都是自变量y x ,的已知函数，假设它们的一阶偏 导数在某平面区域D 内都连续，而且221211a a a ，，不全为0 。

设),(000y x M 是D 内给定的一点，考虑在0M 的领域内对方程进行简化。

取自变量变换),(y x ξξ=,),(y x ηη=其中它们具有二连续偏导数，而且在0M 处的雅可比行列式。

=∂∂),(),(y x ηξyx yx ηηξξ =x y y x ηξηξ- 根据隐函数存在定理，在0M 领域内存在逆变换,),(ηξx x =,),(ηξy y =因为x x x u u u ηξξξ+=，y y y u u u ηξξξ+=xx xx x x x x xx u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222 yy yy y y y y yy u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222 xy xy y x x y y x x x xy u u u u u u ηξηηηξηξξξηξηηξηξξ+++++=)(将代入①使其变为F Cu u B u B u A u A u A =+++++ηξηηξηξξ212212112经过变换后，方程的阶数不会升高，由变换的可逆性，方程的阶数也不会降低，所以221211,,A A A 不全为0。

并可验证222112122211212))((x y y x a a a A A A ηξηξ--=-这表明，在可逆变换下22211212A A A -与2211212a a a -保持相同的正负号。

二阶常系数线性非齐次微分方程特解的求法讨论幸克坚（遵义师范学院贵州遵义５６３００２）摘要：非数学专业《常微分方程》中，“二阶常系数线性微分方程”一般是作为一个单独的模块来讲授。

但在一般非数学专业使用的《高等数学》教材中，特解的介绍常常比较突然和不够完整，引入不大自然也不易于理解和接受。

本文结合非数学专业学生的特点就特解的求法进行了分析和讨论。

关键词：常系数线性微分方程特解讨论中图分类号：O171 文献标识码：E文章编号：1009-3583（2004）03-00XING Ke-jian(Departent of Mathematics,Zunyi Normai College,Zunyi 563002,China)Abstract:Key words:一、问题的提出“微分方程”中的“常系数线性微分方程”的求解理论，在数学专业的《常微分方程》教材中已得到完美的解决，但由于专业所限，非数学专业《高等数学》内容中《常微分方程》不可能系统介绍，往往只是将“二阶常系数线性微分方程”作为一个单独的模块来讲授。

一般是先求出二阶常系数线性齐次微分方程的通解，然后，找出非齐次方程：y״+py׳+qy=f(x) （1）的一个特解，最后按照“叠加原理”将这个特解与相应的齐次方程的通解相加，就得到非齐次方程的通解。

这两个环节比较而言，难点在第二步——求特解。

虽然非数学专业的《高等数学》侧重于应用而不在于推导，但知识点的介绍和引入也应该遵循引入自然和易于理解接受的原则。

而非数学专业使用的不少《高等数学》教材中，特解的引入常常比较突然并且不够完整，让学生无法理解和接受，也形不成清晰完整的印象。

如笔者使用的这本教材①中就仅从一个十分具体的例子：例1、求方程y״+y׳+y=x+2 (2)y״+y׳ =x+2 (3)y״ =x+2 (4)--------------------------收稿日期：2004-03-作者简介：幸克坚（1954--），贵州遵义人，遵义师范学院数学系副教授，从事数学教育和数学史研究的特解来引出。