下载文档原格式
认识三角形的高线什么是三角形的高线？在几何学中，三角形的高线指的是从三角形的顶点向对边作垂线所得到的线段。
简单来说，三角形的高线就是从三角形的顶点到对边上一点的垂直线段。
三角形的高线有哪些重要性质？性质1：三角形的三条高线交于一点首先，需要强调的是三角形的三条高线是会相交于一点的，这个点称为三角形的垂心。
垂心可以视为三条高线的交点。
性质2：高线的长度不一定相等三角形的高线的长度不一定相等。
只有在等腰三角形和等边三角形中，三条高线才会相等。
性质3：高线与边的关系三角形的高线与三条边有一定的关系，可以根据不同的情况进行分类。
•普通三角形：高线与对边的关系是垂直关系，即高线与对边成垂直角。
•直角三角形：直角三角形的两条腰分别等于底边的一半，即高线等于底边的一半。
•等腰三角形：等腰三角形的高线是等边线的垂直平分线，即高线与底边相交的点同时也是底边中点。
•等边三角形：等边三角形的高线是等边线的垂直平分线，即高线与底边相交的点同时也是底边中点。
性质4：高线与外心、内心和重心的关系除了垂心之外，三角形的高线还与三个特殊的点有关，即外心、内心和重心。
•外心：三角形的外接圆的圆心称为外心。
外心与三角形的顶点、底边上的点以及底边中垂心构成的四边形是一个矩形。
•内心：三角形的内接圆的圆心称为内心。
内心与三角形的顶点、底边上的点以及底边中垂心构成的四边形是一个平行四边形。
•重心：三角形的三条高线交于一点，这个交点称为重心。
重心与三角形的顶点、底边上的点以及底边中点构成的四边形是一个平行四边形。
怎样求解三角形的高线？在求解三角形的高线时，可以根据具体的已知条件和问题要求使用不同的方法。
1.已知三边长度：可以通过海伦公式计算出三角形的面积，然后利用面积公式求解高线的长度。
2.已知一个角和两边长度：可以根据三角形的正弦定理或余弦定理求解出另外两个角的大小，然后根据三角形的性质求解高线的长度。
3.已知一个角和一个高线的长度：可以根据三角形的正弦定理或余弦定理求解出另外两个角的大小，然后根据三角形的性质求解高线的长度。
三角形的高、中线与角平分线教材分析：本节内容着重介绍了三角形的三种特殊线段，已学过的过直线外一点作已知直线的垂线、线段的中点、角的平分线等知识是学习本节新知识的基础，其中三角形的高学生从小学起已开始接触，教材从学生已有认知出发，从高入手，利用图形，给高作了具体定义，使学生了解三角形的高为线段，进而引出三角形的另外几种特殊线段——中线、角平分线。
通过本节内容学习，可使学生掌握三角形的高、中线、角平分线与垂线、角平分线的联系与区别。
通过学习作图、观察与探究，会发现三角形的三条高所在的直线、三条角平分线、三条中线都各自交于一点，这为三角形的重心及以后三角形的内心、外心等知识的学习打下一定的基础，另外，本节内容也是日后学习等腰三角形等特殊三角形的垫脚石。
故学好本节内容是十分必要的。
因此，对三角的高、中线、角平分线定义的理解及画法的掌握是本节教学的重点，而三角形的高由于三角形的形状改变而使其位置呈现多样性，学生难以掌握，故在各类三角形中作出它们是本课的难点。
教法：1、情境创设法：通过复习相关知识走进课堂，更能贴近学生实际，以激发学生对学习本节内容的求知欲，培养他们运用所学知识解决问题的能力。
2、加强学生学习的主动性与探究性在课堂中要充分调动学生自主学习的潜能，让他们自由探究中发现，从而发展他们的创新能力，让他们感受到成功的喜悦。
学生在画一画、折一折、何三个探究活动中体验数学知识的形成过程。
当学生在探究过程中遇到困难时，才取消组建的交流与合作，充分发挥学生的团队作用，以更好地激发学生的积极思维，得到更大的收获。
3、运用多媒体等作为教辅工具，增强学生的直观感受，扫除学生从形象思维难以跨越到抽象思维的障碍，突出重点，突破难点。
学法：1、本节重点是三角形的三种重要线段，难点是对三角形的角平分线、中线、高的准确理解、作图与正确运用，而突破难点的关键是运用好数形结合的数学思想从画图入手，从大量的活动入手获得三种线段的直观形象，进一步架起数与形之间的桥梁，加强知识间的相互联系。
三角形的高中线与边的关系三角形作为几何形状中最为基础且常见的形式之一，其各个要素之间存在着很多有趣的关系和性质。
其中，高和中线是三角形中常见的线段，它们与三角形的边之间有着一定的关系。
本文将讨论三角形的高中线与边的关系，以便帮助读者深入理解三角形这一重要的几何形状。
高线是指从三角形的一个顶点垂直向对边画出的线段。
在一个三角形中，每条边都可以作为另外两边所对应的顶点的高线，因此一个三角形可以有三条不同的高线。
根据高线的性质，我们可以得出以下结论：第一，三角形的高线相交于一个点，这个点被称为三角形的垂心。
垂心是三角形的一个特殊点，它可以通过求解高线的交点来确定。
垂心将高线分为三个等分段，分别与三角形的三条边垂直。
第二，三角形的垂心到三个顶点的距离分别等于相应边的高，即高线的长度。
这个结论可以通过垂心和所对边的垂足之间的垂直关系来得出。
由于高线的性质，这个结论适用于所有三角形。
中线是指从三角形的一个顶点到对边中点的线段。
由于中线是连接顶点和对边中点的，所以一个三角形可以有三条不同的中线。
根据中线的性质，我们可以得出以下结论：第一，三角形的中线相交于一个点，这个点被称为三角形的重心。
重心是三角形的一个特殊点，它可以通过求解中线的交点来确定。
重心将中线按照比例分为三段，其中与对边的比例为2:1。
第二，三角形的重心到三个顶点的距离分别等于相应边的2/3，即中线的2/3长度。
这个结论可以通过重心和顶点之间的距离比例关系来得出。
由于中线的性质，这个结论同样适用于所有三角形。
在进行实际问题求解时，三角形的高中线与边的关系也经常被用到。
例如，通过利用高线相交于垂心的特点，我们可以求解出三角形的垂心坐标，进而计算出垂心到各顶点的距离。
同样地，通过利用中线相交于重心的特点，我们可以求解出三角形的重心坐标，进而计算出重心到各顶点的距离。
在几何证明中，三角形的高中线与边的关系也有着广泛的应用。
例如，通过利用垂心到顶点距离等于高线长度的性质，我们可以推导出三角形高线长度不等式的一种证明方法。
三角形的高与重心三角形是基础几何学中最简单的多边形之一，它由三条边和三个顶点组成。
在三角形的研究中，高和重心是两个重要的概念。
本文将深入讨论三角形的高和重心，并探究它们之间的关系。
一、三角形的高在三角形中，高是从一个顶点到相对边的垂直距离，也就是所谓的高线。
对于不同类型的三角形，高有不同的特点。
1.1等边三角形等边三角形的三条边相等，因此，从任意一个顶点到相对边的垂直距离也相等。
所以，等边三角形的高是相等的，并且可以互相垂直平分。
1.2等腰三角形等腰三角形的两条边相等，因此，从顶点到底边中点的距离等于底边的一半，也就是说，对于等腰三角形来说，高线也是底边上的中线。
1.3一般三角形对于一般的三角形，高是从一个顶点到相对边的垂直距离。
每个顶点都有一个相应的高线。
二、三角形的重心重心是指三角形三条中线的交点，也可以理解为三角形内部的质心。
三角形的中线是连接顶点与对边中点的线段。
2.1等边三角形对于等边三角形来说，三个中线互相重合，也就是说重心和垂心重合。
重心将等边三角形的三条中线平分为三等分。
2.2等腰三角形对于等腰三角形来说，重心位于底边上的高线交点处，同时还有一个性质是顶点到重心的距离等于重心到底边中点的距离。
2.3一般三角形对于一般的三角形来说，重心是三条中线的交点，也就是说重心将三角形的三条中线平分为六等分。
三、高与重心的关系高和重心有着密切的关系。
我们可以发现，在等边三角形和等腰三角形中，高线和中线存在某种关系。
在等边三角形中，由于高线和中线重合，所以高线也是中线。
这种情况是非常特殊的，只有等边三角形中才会出现。
在等腰三角形中，底边上的高线既是高线也是中线。
这是因为等腰三角形的两条中线与底边垂直且相等，所以高线也是中线。
而对于一般的三角形，在形状上，高线和中线并不重合，它们有各自独特的性质和作用。
总结：三角形的高和重心是三角形研究中重要的概念。
在等边三角形中，高线和中线重合；在等腰三角形中，底边上的高线即是高线又是中线；而在一般三角形中，高线和中线则具有各自独特的性质。
三角形的高线、角平分线与中位线三角形是几何学中的基础概念之一，它有许多有趣而重要的性质和定理。
其中，高线、角平分线和中位线是比较常见且常用的三角形线段。
本文将介绍这三种线段的定义、性质和应用。
一、高线高线是指从三角形的一个顶点到对边上垂直的线段。
对于任意三角形ABC，以顶点A为例，从A点引一条垂直于BC边的线段AD，AD 就是三角形ABC的高线。
同理，从B和C点分别引出高线，得到的线段分别为BE和CF。
高线具有以下性质：1. 高线的长度可以不相等，取决于三角形的形状和大小。
2. 高线相交于一个点，这个点被称为三角形的垂心，记为H。
3. 垂心与三个顶点的连线分别垂直于对边。
高线的应用：1. 高线可以帮助我们确定三角形的垂直性质。
如果一个三角形的三条高线相交于一个点且互相垂直，那么这个三角形就是直角三角形。
2. 高线还可以用于解决一些几何问题，如寻找最短路径或确定最佳角度等。
二、角平分线角平分线是指从一个角的顶点引出的线段，将该角分成两个相等的角。
对于任意三角形ABC，以角A为例，从A点引一条线段AD，使得∠BAD=∠DAC，AD就是角A的平分线。
同理，从B和C点分别引出平分线，得到的线段分别为BE和CF。
角平分线具有以下性质：1. 三角形的三条角平分线相交于一个点，称为三角形的内心，记为I。
2. 内心到各边的距离相等，即ID = IE = IF。
3. 内心与各边的连线平分相应的内角。
角平分线的应用：1. 角平分线可以帮助我们确定三角形的内切圆，即内心为圆心，与三边相切。
内切圆有许多有趣的性质与应用。
2. 角平分线还可以用于构造一些特殊的图形或解决几何问题。
三、中位线中位线是指连接三角形的一个顶点与对边中点的线段。
对于任意三角形ABC，以顶点A为例，连接A点与BC中点M的线段AM，AM 就是三角形ABC的中位线。
同理，从B和C点分别连接中点，得到的线段分别为BM和CM。
中位线具有以下性质：1. 三角形的三条中位线交于一个点，称为三角形的重心，记为G。
三角形的高中线角平分线教案目标（1）知识与技能目标：通过观察、画、折等实践操作、想像、推理、交流等过程，认识三角形的高线、角平分线、中线；会画出任意三角形的高线、角平分线、中线，通过画图、折纸了解三角形的三条高线、三条角平分线、三条中线会交于一点．（2）过程与方法目标：经历画、折等实践操作活动过程，发展学生的空间观念，推理能力及创新精神．学会用数学知识解决实际问题能力，发展应用和自主探究意识，并培养学生的动手实践能力．（3）情感与态度目标：通过对问题的解决，使学生有成就感，培养学生的合作精神，树立学好数学的信心．教案重点能够正确地画出三角形的“高”、“角平分线”和“中线”，并理解它们概念的含义、联系和区别．教案难点在钝角三角形中作高．教案过程本节课按照“创设情境，引入新课”——“合作交流，探求新知”——“拓展创新，挑战自我”——“课堂小结，感悟反思”——“走出课堂，应用数学”的流程展开．合作交流探究新知（一）探究角形的高教案环节1 .三角形高的定义：（你能描述三角形的高吗？）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.如图，在△ ABC中，AD丄BC,点D是垂足，AD是厶ABC的一条高.2 .做一做：（每一个同学准备一个锐角三角形的纸片）你能画出这个三角形的三条高吗？你能用折纸的方法得到它们吗？从这三条高中你发现了什么？（这三条高之间有怎样的位置关系）（（可以反过来画好高后，找哪条边上高））3 .议一议：（使折痕过顶点，，顶点的对边边缘重合）如果用直角三角形和钝角三角形纸片，你能通过折或画的方法找到它的高吗？它们的高有几条？它们又有什么样的位置关系？4 .练一练：（1）AD 为.\ABC 的高，则.ADB ==B L __ □—（2）如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，‘那么这个三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形教案过程借助学生对问题的解决，唤醒学生对三角形的高的认识与确认，有助于新知的解决，并且发展学生的观察力与语言表述能力.通过折或画出三角形的高，提高学生的基本作图能力，发展其空间观念.小组合作交流，并通过观察、猜想经历知识的发展形成过程，体验了“发现”知识的快乐，变被动接受为主动探究.设计练习，使学生对三角形高的的有关知识加以巩固，让学生从运用所学知识解决问题的过程，获得成功的体验，从而激发他们学习的积极性.设计意图合作交流探究新知(二)活动3（三）探究角形的角平问题1你能将ABC分为面积相等的两个三角形吗？（引出三角形中线）1 .三角形中线的定义：三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段，叫做这个三角形的中线.）如图，D是BC的中点，则线段人。
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------认识三角形的高线认识三角形的高线教学设计北师大版义务教育课程标准实验教科书七年级下册第五章第一节第四部分三角形的高线。
教材分析：本节是学生在认识了三角形，并且讨论过三角形角平分线，三角形的中线的定义及其性质，学生反反复复地折纸、画线、交流感受其意义,同时也在七年级上学期了解了两直线互相垂直等概念，会过一点作已知直线的垂线的基础上进一步的整理与探究。
认识三角形的高线主要研究的就是三角形的高线的定义及其性质，能在具体的三角形中作出它们。
因为有了三角形的角平分线，三角形的中线的定义及其性质作为基础。
在此，学生将进一步熟悉实验探究的基本方法，加深对三角形的理解和认识。
这样，有利于知识的系统化和条理化。
又因为我们研究的方法类似于研究三角形的角平分线和三角形的中线的定义及其性质的方法，所以我们要对照比较学习，找出它们之间的区别及其联系。
在教学中，要充分地给学生动手、动脑的时间，让学生慢慢地思考、总结、归纳，积累数学思维的经验，从而提高学生分析问题和解决问题的能力。
1/ 9教学内容：认识三角形的高线。
教学目标：知识与技能：1 .认识三角形高线的定义。
2.会在任意一个三角形中画出三角形的三条高线。
通过画图了解三角形三条高的位置随着三角形的形状的不同而不同。
过程与方法: 通过观察,操作,想象,推理,交流等活动,发展空间观念,培养学生动手动脑,发现问题及解决问题的能力,以及推理能力和有条理的表达能力。
情感与态度: 通过折纸,画图等活动,培养学生的动手能力,提高学生的识图技能,使学生的思维变得更灵活。
教学重点：理解三角形高线的定义。
会画任意一个三角形的三条高，了解三角形的三条高（或所在的直线）交于一点。
了解三角形三条高的位置随着三角形的形状的不同而不同；锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形的两条高与直角边重合，斜边上的高在三角形的内部；钝角三角形有两条高在三角形的外部，一条高在三角形的内部。
教学难点：---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 1 .钝角三角形高的画法及三角形三条高的位置关系与三角形的形状关系的理解。
2.区别三角形的角平分线、三角形的中线和三角形的高线。
教学时数：1 课时。
教学过程：一.温故而知新 1 .导入：同学们，你还记得我们学过如何过直线外一点作已知直线的垂线吗？由学生思考并动手画。
教师引导：我们曾经学习过过直线外一点作已知直线的垂线的方法，可以用五个字来概括放、靠、移、过、画。
如图，即放：指用一个三角板的一边放与已知直线重合；靠：指将另外一个三角板的一直角边紧靠前一个三角板与直线重合的边；移：指将在上方的三角板的直角边紧贴下方三角板的边移动；过：指将上方的三角板移动过直线外一点；画：指用铅笔沿着上方的三角板的直角边画出已知直线的垂线。
待学生画完后，教师演示并画出已知直线的垂线。
说明：3/ 9直线的垂线仍然是一条直线。
2.学生动手：任意画出一个锐角△ABC，并画出三角形底边 BC 上的高 AD。
学生边画教师边引导：方法就类似于画过直线外一点作已知直线的垂线，把底边 BC 看成已知直线，把底边 BC 所对角的顶点看成直线外一点即可完成。
注意：如图，要标明直角符号┑ 和垂足的字母 D，线段 AD 就是三角形 BC 边上的高。
说明：现在我们所画的线是一条直线，而在三角形中，顶点到垂足之间的线是一条线段。
这条线段就叫做三角形的高线。
3.出示课题（认识三角形的高线）。
4.总结：l 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就叫做三角形的高线，简称三角形的高。
二.做一做每人准备一个锐角三角形纸片。
1 .你能画出这个三角形的三条高吗？你能用折纸的方法得到它们吗？引导：先按照上述方法来画出△ABC 各边上的高 AD、 BE 和 CF。
再用折纸的方法来验证，要求折痕要过顶点，顶点对边的边---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 缘要互相重合。
2.这三条高之间有怎样的位置关系？将你的结果与同伴进行交流。
学生讨论交流后，师生共同归纳总结。
l 锐角三角形的三条高交于一点，并且交点在三角形的内部。
3.观察图形，锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是在三角形的外部？ l 锐角三角形的三条高都在三角形的内部。
三.议一仪 1 .在纸上画出一个直角三角形。
并且画出它的三条高,观察它们有怎样的位置关系？将你的结果与同伴进行交流。
让学生在练习本上画直角三角形的三条高，教师巡视指导，再让大家观察、交流，找出直角三角形的三条高的位置关系。
说明：如图，在Rt△ABC 中直角边 BC 上的高与直角边 AB 重合，直角边 AB 上的高与直角边 BC 重合，而斜边 AC 上的高就是 BD。
总结：l 直角三角形的三条高交于一点，交点在三角形的直角顶点上。
2. 在纸上画出一个钝角三角形。
你能画出它的三条高吗？观察它们有怎样的位置关系？将你的结果与同伴进行交流。
5/ 9引导：如图，让学生用纸折出钝角三角形的三条高，为了便于折出三角形 BC 边上的高，需要延长线段 CB 至点 D，才能够把 BC 边上的高 AD 折出来。
同理，要折出三角形 AB 边上的高，也需要延长线段 AB 至点 F，才能够把 AB 边上的高 CF 折出来。
（提示：图形中的延长线要用虚线表示。
）作图：让学生沿着折痕把三角形的高 BE、 AD 和 CF 画出来。
同时还要标明直角符号┑ 和垂足的字母。
提问：请同学们观察三角形三条高的位置关系，是否交于一点？他们所在的直线是否交于一点？总结：l 钝角三角形的三条高不相交于一点，但钝角三角形的三条高所在的直线交于一点。
四.忆一忆今天我们又认识了三角形另外的一种重要的线段：三角形的高线。
学会了画三角形的高线。
通过折纸和画图知道了锐角三角形，直角三角形和钝角三角形的三条高的位置关系。
三角形三条高所在的直线交于一点。
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 那么，三角形的几种重要线段有何区别。
三角形的重要线段意义图形表示方法备注三角形的中线三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段。
1 .AD 是△ABC 的 BC边上的中线， BD= DC= BC。
2. CF 是△ABC 的 AB 边上的中线， AF= BF= AB。
3. BE 是△ABC 的 AC 边上的中线， AE= CE= AC。
1 .AD 是△ABC 的BAC 的平分线， 1 =2 = BAC 。
2. BE 三角形有 3条中线，且交于三角形内一点（该点叫做三角形重心）。
三角形的角平分线三角形一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线三角形有 3条角平分线，且交于三角形内一点（该点叫做三段。
是△ABC 的ABC 的平分线， 3= 4= ABC 。
3.CF 是△ABC 的ACB 的平分线， 5= 6= ACB 。
1 .AD 是△ABC 的 BC边上的高线， ADBC于 D， 1 = 2= 90。
2. BE是△ABC 的 AC 边上的高线， BEAC 于 E，3= 4= 90。
3. CF是△ABC 的 AB 边上的高线， CFAB 于 F，5= 6= 90。
角形的内心）。
三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在的直7/ 9线作垂线，顶点和垂足之间的线段。
三角形有 3 条高线，三条高所在的直线交于一点（该点叫做三角形的垂心）。
五.练一练 1 .如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形 2.三角形的三条高相交于一点，该点一定在（） A.三角形的内部 B.三角形的外部 C.三角形的一条边上 D.不能确定 3.一个缺角三角形残片如图所示，不恢复这个缺角，请你作出 AB 边上的高所在的直线，你是怎样作的？为什么？六.课堂小结： 1 .从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就叫做三角形的高线，简称三角形的高。
2. 三角形的三条高的特性：分类情况种类锐角三角形直角三角形钝角三角形备注三角形内部高的数量三角形外部高的数量三角形边上高的数量高之间是否相交高所在的直线是否相交三条高所在的直线的交点位置 3 1 1 三角形的三条高所在的直线交于一点(该点叫做三角形的垂心) 0 0 2 0 2 0 相交相交相交相交直角顶点不相交相交三角形外部三角形内部七.布置作业：1 .画出锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的三条高。
2.习题 5.4.第二题。
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------八.教学反思: 本节课的内容是建立在熟练掌握三角形的两条重要性质（即三角形的角平分线和三角形的中线）的基础之上。
由上学期学过的过直线外一点作已知直线的垂线引入，然后过度到三角形中，层层推进，探索新知。
如果对所学知识的掌握程度不够，则可以减少所学三角形的重要线段（即三角形的角平分线、三角形的中线和三角形的高线）的区别和联系部分进行教学。
由于利用多媒体辅助教学，有意识增加了课时内容，突破了教学重点、难点。
拓宽了学生的知识面，并对所学知识进一步系统化和条理化。
本节运用了新课改理念，以教师为主导，学生为主体，练习为主线的教学原则，采用启发式的教学方法，辅之以讲授，操作、讨论、交流等方法,力求体现数学教学主要是数学活动的教学，力求使学生对数学知识，技能和思想方法统一起来，体现学生的数学素养全面地提高。
这是笔者的一些浅见认识，教学设计的不妥之处难免，敬望同行予以多多指教为谢！9/ 9。
