2020-2021学年重庆市三峡名校联盟高二上学期12月联考数学试题 word版

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟.第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}==N M ,2,1,0｛x ｜x=2a ,M a ∈｝，则集合=N M A ．{}0B ．{}1,0C ．{}2,1D ．{}2,02．直线10x y -+=与圆22(1)2x y -+=的位置关系是A.相离B.相切C.相交且过圆心D.相交但不过圆心3．曲线2y x =在点(1,1)P 处的切线方程为 A.2y x = B.21y x =- C.21y x =+ D.2y x =- 4．若复数2(2)(32)m m m m i -+-+是纯虚数，则实数m 的值为 A. 0或2 B. 2 C. 0 D. 1或2 5. 函数()()lg 72f x x g x x ==-与图象交点的横坐标所在区间是 A ．（1，2） B ．（2，3）C ．（3，4）D ．（1，5）6．已知24:ππ<<a p ，x x f q a tan log )(:=在),0(+∞内是增函数，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．设数列{a n }是公差不为零的等差数列，它的前n 项和为S n ，且S 1 S 2、S 4成等比数列，则14a a 等于 A.3 B ．4 C ．6 D.78. 在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且sin 2sin ,sin A B a bC c--=则角A的大小为A.6π B.4π C.3π D.23π9. 已知,a b R +∈，直线6ax by +=平分圆04222=+--+m y x y x 的周长，则A ．6B ．4C ．3D ．310．定义域为[]b a ,的函数)(x f y =图象上两点),()),(,()),(,(y x M b f b B a f a A 是)(x f y =图象上任意一点，其中[]1,0,)1(∈-+=λλλb a x .已知向量)1(λλ-+=k ≤对任意[]1,0∈λ恒成立，则称函数)(x f 在[]b a ,上“k 阶线性近似”．若函数xx y 1-=在1,3上“k 阶线性近似”，则实数的k 取值范围为A ．[)+∞,0B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,121 C ．423,33D ．42+3,33第Ⅱ卷(非选择题，共100分)二．填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为20,x y -=则椭圆22221x y a b+=的离心率_________e = 12.观察下列不等式1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74， ……照此规律，第五个．．．不等式为______________. 13.知幂函数13()n y xn N *-=∈ 的定义域为(0,)+∞ ，且单调递减，则n =__________.考生注意：14、15、16为选做题，请从中任选两题作答O ，若三题全做，则按前两题给分． 14．（几何证明选讲选做题）如图所示，AB 是半径等于3的圆O 的直径，CD 是圆O的弦，BA ，DC 的延长线交于点P.若PA =4，PC =5，则 ∠CBD= ．15．（坐标系与参数方程选做题）极坐标系下，直线2)4cos(=-πθρ与圆2=ρ的公共点个数是________．16. （不等式选讲选做题）已知函数2()log (12)f x x x m =++--．若关于x 的不等式1)(≥x f 的解集是R ，则m 的取值范围是 .三、解答题：本大题6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分13分） 已知函数2()ln .f x x x ax =++（1）当3,()a y f x =-=时求函数的极值点；（2）当24,()0(1,)a f x x =-+=+∞时求方程在上的根的个数。

说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题，50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、设全集{}1,2,3,4,5I =，集合{}A=2,3,5，集合{}1,2B =，则()I C B A 为A 、{}2 ;B 、{}3,5 ;C 、{}1,3,4,5;D 、{}3,4,5;2、命题“对任意x R ∈，都有20ax bx c ++<” 的否定为A 、存在0x R ∈，使得2000ax bx c ++≥; B 、不存在x R ∈，使得20axbx c ++≥;C 、存在0x R ∈，使得2000ax bx c ++<; D 、对任意x R ∈，都有 20ax bx c ++≥；3、函数y =的定义域为A 、(2,3)(3,)+∞;B 、(2,)+∞;C 、(3,)+∞;D 、(2,5)(5,)+∞;4、“1sin 2θ=”是“2()6k k z πθπ=+∈”的 A 、 充分不必要条件; B 、 必要不充分条件;C 、 充要条件;D 、 既不充分也不必要条件; 5、要得到函数y= sinx 的图象，只需将函数cos()6y x π=-的图象A 、向右平移6π个单位; B 、向右平移3π个单位C 、向左平移3π个单位 ; D 、向左平移6π个单位;6、右图给出的是计算11111352013++++的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是 A ．i ≥2013? ; B ．1007i ≤？ C ．2013i <？ ; D ．1007i >？;7、已知x,y 满足约束条件010220x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩,则12z x y =+的最小值为 A 、12; B 、 34; C 、 1 ; D 、3 ; 8、关于x 的一元二次不等式25500ax x -->的解集为12(,)x x ，且2115x x -=，则a =24 （左视图） 4（俯视图）23A 、1-;B 、1;C 、19-;D 、19; 9、若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，线段12F F 被 抛物线22y bx =的焦点分成长度之比为2︰1的两部分线段，则此双曲线的离心率为A 、95 ; B 35 ; C 、98; D 、324 ;10、 已知函数()f x 的定义域为[]15,-，部分对应值如下表，()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所示. 下列关于()f x 的命题：①函数()f x 的极大值点为0，4； ②函数()f x 在[]02,上是减函数；③如果当[]1x ,t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④函数()y f x =最多有2个零点。

三峡名校联盟2023年秋季联考高2025届数学试卷（答案在最后）命题人：数学测试卷共4页，满分150分、考试时间120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线y =的倾斜角为（）A.30︒B.60︒C.90︒D.不存在【答案】B 【解析】【分析】先求出斜率，进而可求出倾斜角.【详解】直线y =，所以其倾斜角为60︒.故选：B .2.已知空间向量()3,2,1a =，则向量a在坐标平面Oxy 上的投影向量是（）A.()3,2,0 B.()3,0,1 C.()0,2,1 D.()0,2,0【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量的定义可得结果.【详解】根根据空间中点的坐标确定方法知，空间中点(3,2,1)a =在坐标平面Oxy 上的投影坐标，竖坐标为0，横坐标与纵坐标不变.所以空间向量(3,2,1)a =在坐标平面oxy 上的投影坐标是：(3,2,0).故选：A.3.若双曲线2212y x m -=的焦点与椭圆22134x y +=的长轴端点重合，则m 的值为（）A.2B.4C.2- D.4-【答案】A 【解析】【分析】根据椭圆以及双曲线的几何性质即可求解.【详解】椭圆22134x y +=的长轴端点为(0,2),(0,2)-，所以双曲线的焦点为(0,2),(0,2)-，故242m m +=⇒=，故选：A4.在三棱锥A BCD -中，若BCD △为正三角形，且E 为其中心，则1322AB BC DE AD +--等于（）A.ABB.2BDC.0D.2DE【答案】C 【解析】【分析】延长DE 交BC 于F ，得F 是BC 中点，32DF DE =，然后由向量的线性运算求解．【详解】延长DE 交BC 于F ，如图，则F 是BC 中点，32DF DE =，1322AB BC DE AD +-- 0AB BF DF AD AB BF FD AD =+--=++-= ，故选：C．5.希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明，他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e 的点的轨迹叫做圆锥曲线：当01e <<时，轨迹为椭圆；当1e =时，轨迹为抛物线；当1e >时，轨迹为双曲线.3412x y =+-表示的圆锥曲线为（）A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.以上都不对【答案】B 【解析】3412x y =+-51=>判断.3412x y =+-51=>表示：动点(),P x y 到定点()0,0O 的即可与到定直线34120x y +-=的距离的比为5且大于1，所以其轨迹为双曲线，故选：B6.已知圆2221:C x y b +=与椭圆22222:1(0),x y C a b P a b+=>>为椭圆2C 的右顶点，由点P 作圆1C 的两条切线其夹角为60︒，则椭圆2C 的离心率是（）A.12B.2C.2D.32【答案】C 【解析】【分析】由题意作图，由点(,0)P a 作圆1C 的两条切线,PB PC ，则30OPB ∠=︒,得2a b =，进而得2234a c =，即可得出离心率.【详解】圆2221:C x y b +=的圆心1C 即为(0,0)O ，半径为b ，由题意作图，由点(,0)P a 作圆1C 的两条切线,PB PC，∵两条切线其夹角为60︒，∴30OPB ∠=︒,∴2OP OB =，即2a b =，则222244()a b a c ==-，即2234a c =，得2c e a ==，故选：C.7.已知点P 为圆22(1)(2)1x y -+-=上动点，且x =，则m 的最大值为（）A.0B.45C.115D.【答案】B 【解析】【分析】由x =1m =，即求y x 的最小值，数形结合即可求解.【详解】圆22(1)(2)1x y -+-=，圆心(1,2)，半径为1，则[0,2],[1,3]x y ∈∈，当0x =时，2y =，此时0m =，当2(]0,x ∈时，由x =1m =，即求yx的最小值，即圆上的动点与原点连线的斜率最小，结合图形可知，当直线与圆相切时，取得最小值，又斜率不存在时，0x =，则斜率存在，设直线为y kx =1=，解得34k =，则m 的最大值为45.故选：B8.与三角形的一条边以及另外两条边的延长线都相切的圆被称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心被称为三角形的旁心，每个三角形有三个旁心，如图1所示，已知12,F F 是双曲线22221x y a b-=的左右焦点，P 是双曲线右支上一点，Q 是12PF F △的一个旁心，如图2所示，直线PQ 与x 轴交于点M ，若2MQ PQ =，则该双曲线的渐近线方程为（）A.32y x =± B.23y x =±C.43y x =±D.34y x=±【答案】A 【解析】【分析】结合题意，运用三角形旁心的定义得出角相等，结合正弦定理，将角度关系转换为边长关系，再结合题意得到a 、b 、c 之间的关系后即可计算渐近线方程.【详解】双曲线221916x y -=中229,16a b ==，所以3,4a b ==，则225c a b =+=，由三角形得旁心的定义可知12,F Q F Q 分别平分12,PF M PF M ∠∠，在1PF Q △中，111sin sin PF PQPQF PFQ =∠∠，在1MF Q 中，111|sin sin MF MQ MQF MF Q=∠∠∣，因为11πPQF MQF ∠+∠=，11PF Q MF Q ∠=∠，所以11sin sin PQF MQF ∠=∠，11sin sin PF Q MF Q ∠=∠，所以11MQ MF PQ PF =，同理可得22MQ MF PQPF =，所以2112211221322MQ MF MF MF MF c c PQPF PF PF PF a a -======-，而2222222133142c a b b b a a a a +==+=⇒=±，故渐近线方程为：32y x =±.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知向量()()1,1,,2,1,2m b m a =-=--，则下列结论中正确的是（）A.若2a =，则m = B.若a b ⊥，则1m =-C.不存在实数λ，使得a bλ=D.若1a b ⋅=-，则1m =【答案】AC 【解析】【分析】根据向量的模的计算公式A 正确，根据向量垂直的条件B 错误，以及共线向量的相关判断C 正确，条件根据向量计算基本法则得出D 错误，即可得出答案.【详解】对于A 中,由2,a =可得2,=解得m =,故A 选项正确；对于B 中,由a b ⊥,可得2120m m --++=，解得1m =,故B 选项错误;对于C 中，若存在实数λ，使得a b λ=则()2,,1112m m λλλ-===--显然λ无解，即不存在实数λ，使得a b λ= 故C 选项正确；对于D 中1a b ⋅=-，则2121m m --++=-，解得0m =，故D 错误.故选：AC10.已知圆22:(1)(1)4C x y -+-=与直线20x my m +--=，下列选项正确的是（）A.圆的圆心坐标为()1,1 B.直线过定点()2,1-C.直线与圆相交且所截最短弦长为D.直线与圆可以相离【答案】AC 【解析】【分析】根据圆的标准方程，可判定A 正确；化简直线为2(1)0x m y -+-=，可判定B 不正确；根据圆的性质和圆的弦长公式，可判定C 正确；根据点()2,1P 在圆内，可判定D 不正确.【详解】对于A 中，由圆22(1)(1)4x y -+-=，可得圆的圆心坐标为()1,1C ，半径为2r =，所以A 正确；对于B 中，由直线20x my m +--=，可化为2(1)0x m y -+-=，令2010x y -=⎧⎨-=⎩，解得2,1x y ==，所以直线恒过点()2,1P ，所以B 不正确；对于C 中，由圆心坐标为()1,1C 和定点()2,1P ，可得1d CP ==，根据圆的性质，当直线与CP 垂直时，直线与圆相交且所截的弦长最短，则最短弦长为=C 正确；对于D 中，由直线恒过定点，且1CP r =<，即点()2,1P 在圆内，所以直线与圆相交，所以D 不正确.故选：AC.11.如图所示几何体，是由正方形ABCD 沿直线AB 旋转90︒得到，G 是圆弧 CE的中点，H 是圆弧 DF 上的动点（含端点），则（）A.存在点H ，使得EH BD ∥B.存在点H ，使得EH BG ⊥C.存在点H ，使得//EH 平面BDGD.存在点H ，使得EH ⊥平面BDG【答案】BC 【解析】【分析】对于A ，由题意可将图形补全为一个正方体，从而可得//BD EM ，推出矛盾；对于B ，由EF ⊥平面BCNE 可判断；对于CD ，建立空间直角坐标系，设出坐标即可计算判断.【详解】由题意可将图形补全为一个正方体ADMF BCNE -，如图所示:对于A ，因为//BD EM ，若//EH BD ，则//EH EM ，又EH EM E ⋂=，则,EH EM 重合，因为H 是圆弧 DF上的动点，,EH EM 不可能重合，所以//EH BD 不成立，故A 错误；对于B ，因为EF ⊥平面BCNE ，BG ⊂平面BCNE ，所以EF BG ⊥，所以当,F H 重合时，有EH BG ⊥，故B 正确；对于C ，以A 为原点建立空间直角坐标系，设2BC =，则(0,0,2)B ，(2,0,0)D，2)G ，(0,2,2)E ，设(,,0)H m n ，必有224m n +=，故BG = ，(2,0,2)BD =- ，(,2,2)EH m n =--，设面BDG的法向量为(,,)n x y z =，则220x z -=，0+=，解得1x =，1y =-，1z =，故(1,1,1)n =-r，若//EH 平面BDG ，则0EH n m n -=⋅=，解得m n ==H 是 DF的中点，故C 正确；对于D ，由选项C 可知，当EH n λ= 时，EH ⊥平面BDG ，则22m n λλλ=⎧⎪-=-⎨⎪-=⎩，解得202m n λ=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，又0,0m n ≥≥，所以EH n λ= 不成立，所以不存在点H ，使得EH ⊥平面BDG ，故D 错误.故选：BC12.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线2:2C y px =，O 为坐标原点，一束平行于x 轴的光线1l 从点()()2,4P m n n m <射入，经过C 上的点()11,A x y 反射后，再经C 上另一点()22,B x y 反射后，沿直线2l 射出，且2l 经过点Q ，则（）A.当12p =，1n =时，延长AO 交直线14x =-于点D ，则D 、B 、Q 三点共线B.当12p =，1n =时，若PB 平分ABQ ∠，则4116m =C.AOB ∠的大小为定值D.设该抛物线的准线与x 轴交于点K ，则AKF BKF ∠=∠【答案】ABD 【解析】【分析】对AB ，可代入条件求出抛物线方程后计算出相应的点的坐标，A 选项验证三点纵坐标可得，B 选项中结合条件得到AP AB =计算即可得；对CD ，设出直线AB 方程，联立后得出两点横纵坐标关系后，结合斜率与倾斜角的关系即可得.【详解】如图所示：对A 、B 选项：由()()1122,,,A x y B x y ，1l 平行于x 轴的，当12p =，1n =时，1l 过点()(),11P m m >，所以11y =，把1y =代入抛物线的方程2y x =，解得1x =，即()1,1A ，直线AB 经过焦点1,04⎛⎫⎪⎝⎭，直线AB 的方程为()1011114y x --=--，即4310x y --=，联立24310x y y x--=⎧⎨=⎩，得24310y y --=，所以1234y y +=，1214y y =-，因为11211,4y y y ==-，所以214y =-，即B 点纵坐标为14-，代入得B 点横坐标2116x y ==，直线AO 的方程为y x =，联立14y x x =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得1414x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以D 点坐标为11,44⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由光学性质可知BQ 平行于x 轴，则D 、B 、Q 三点纵坐标都相同，所以D 、B 、Q 三点共线，故A 正确；由光学性质可知AP 平行于x 轴，BQ 平行于x 轴，则//AP BQ ，有APB PBQ =∠∠，PB 平分ABQ ∠，有ABP PBQ ∠=∠，所以APB ABP ∠=∠，AP AB ∴=，即25116m -=，得4116m =，故B 正确；对C 、D 选项：设AB 为2px my =+，()11,A x y 、()22,B x y ，由222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去x 得：2220y pmy p --=，0∆>恒成立，有122y y pm +=，212y y p =-，()()1122221x x m y y p m p +=++=+，设AOx α∠=，BOx β∠=，而11tan OA x k y α==，22tan OB k y x β==-，则()21212212121224tan tan 44OA OBy y y y p k k x x y y y y p αβ-=⋅====-，则tan tan 4αβ=，而()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 3AOB αβαβαβαβ++∠=+==--，并不是定值，故C 错误；直线AK 斜率11112AK y y k p my p x ==++，直线BK 斜率22222BK y y k pmy p x ==++21222121211112111222y y p p p p p y y p my y py py mp y mp y y y y y -======++----+11112221111222222py py y y p y p px p my p my p =-=-=-=-+++⎛⎫++ ⎪⎝⎭，即AK BK k k =-，因此AKF BKF ∠=∠，故D 正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.抛物线22x y =的焦点F 到准线l 的距离是__________.【答案】1.【解析】【分析】写出焦点坐标与准线方程即可得到答案.【详解】由已知，抛物线的焦点为1(0,)2，准线为=1x -，故抛物线22x y =的焦点F 到准线l 的距离是1.故答案为：1.【点睛】本题考查抛物线的定义，注意焦点到准线的距离为p ，本题是一道基础题.14.已知椭圆22:1167x y C +=的左焦点为,F A B 、是C 上关于原点对称的两点，且90AFB ∠=︒，则ABF △的周长为___________．【答案】14【解析】【分析】设椭圆的右焦点为1F ，连接1AF ，1BF ，根据椭圆的对称性可得四边形1AFBF 为矩形，从而可得28AF BF a +==，12AB FF c ==，得出答案.【详解】设椭圆的右焦点为1F ，连接1AF ，1BF ，根据椭圆的对称性可得190AF B ∠=︒,即四边形1AFBF 为矩形所以1BF AF =,126AB FF c ====由椭圆的定义可得128AF AF a +==，所以8AF BF +=所以ABF △的周长为：6814AF BF AB ++=+=故答案为：1415.长方体1111ABCD A B C D -中，12,1,AB AD AAH ===为1AC 的中点，则直线BH 与AD 所成角的余弦值为________.【答案】23【解析】【分析】以D 为原点，建立空间直角坐标系，求得1(2,0,0),(1,1,2DA BH ==-- ，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】以D 为原点，以1,,DA DC DD 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为12,1AB AD AA ===，且H 为1AC 的中点，可得1(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(1,1,2D A B H ，则1(2,0,0),(1,1,2DA BH ==-- ，可得32,2,2DA BH DA BH ⋅=-== ，设直线BH 与AD 所成角为θ，可得2cos cos ,3DA BH DA BH DA BH θ⋅=== ，所以直线BH 与AD 所成角的余弦值为23.故答案为：23.16.设A ，B 是半径为8的球体O 表面上两定点，且60AOB ∠=︒，球体O 表面上动点P 满足34AC AB = ，0PA PC ⋅= ，则动点P 的轨迹为________（在直线，圆，椭圆，双曲线，抛物线选择）则点P 的轨迹长度为________．【答案】①.圆②.243π7【解析】【分析】先再平面AOB 内求得动点P 的轨迹是一个圆，再转化到空间中，点P 的轨迹是一个球，从而得到两球的交线即为点P 的轨迹．【详解】设以AOB 所在的平面建立直角坐标系，AB 为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，(),P x y ，依题意可得8AB =，则()4,0A -，()4,0B ，由34AC AB = ，则()2,0C ，又0PA PC ⋅= ，即()()()224,2,190x y x y x y ---⨯--=++-=，则点P 的轨迹满足22(1)9x y ++=，故点P 轨迹是以()1,0D -为圆心，半径3的圆，转化到空间中，当点P 绕AB 为轴旋转一周时，PA ，PB 不变，依然满足0PA PC ⋅= ，故空间中点P 的轨迹为以D 为球心，半径为3的球，又点P 在球O 上，故点P 在两球的交线上，其轨迹为圆，球心距为222212cos603823872DO AD AO AD AO =+-⋅︒=+-⨯⨯⨯=，在ODP 中，2222228371cos 22832OP PD OD DPO OP PD +-+-∠===⨯⨯⨯⨯，设DO 边上的高为h ，由等面积法得11sin 22ODP S OD h OP PD DPO =⋅=⋅∠ ,即7832h =⨯⨯，解得7h =，则点P 的轨迹对应圆的半径为17r =，所以点P 的轨迹长度为11232432π2ππ77r =⨯=．故答案为：圆；243π7．【点睛】方法点睛：求球与平面公共点轨迹长度时，先求出平面截球所得圆面的半径，当截面为完整的圆时，可直接求圆周长；当截面只是圆的一部分时，先求圆心角的大小，再计算弧长．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在平面直角坐标系xOy 中，设点P 的轨迹为曲线C ，点P 到()1,0F 的距离比P 到y 轴的距离大1（其中点P 的横坐标不小于0）.（1）求曲线C 的方程；（2）F 是曲线C 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，求MF .【答案】（1）24y x=（2）32【解析】【分析】（1）设(),,0P x y x ≥，由条件列式化简可得结果；（2）结合焦点坐标可求得点M 的横坐标，利用焦半径公式可求得结果.【小问1详解】设(),,0P x y x ≥，由题意得1PF x =+，即1x =+，整理可得24y x =，即曲线C 的方程为24y x =；【小问2详解】由抛物线方程得：()1,0F ，准线方程为：=1x -，M 为FN 中点，点N 在y 轴上，M ∴点的横坐标为10122+=，由抛物线定义知：13122MF =+=.18.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，2,AB E F =,分别是1,BD B C 的中点.（1）求直线1A E 与平面BDF 所成角的正弦值；（2）求点1A 到平面BDF 的距离.【答案】（1）3（2）3【解析】【分析】（1）根据题目建立空间直角坐标系，求出平面BDF 的法向量，然后利用线面夹角正弦值的计算公式求解即可；（2）由（1）得出平面BDF 的法向量和1A E ，然后利用向量直接求解点到面的距离即可.【小问1详解】由题知，以D 为原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系如图，则()0,0,0D ，()2,2,0B ，()1,2,1F ，()12,0,2A ，()1,1,0E ，设直线AE 与平面BDF 所成角为θ，平面BDF 的法向量为()(),,,2,2,0n x y z DB == ，()1,0,1BF =-，则00n DB n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得2200x y x z +=⎧⎨-+=⎩，取1x =，则1,1y z =-=，得平面BDF 的一个法向量为()1,1,1n =- ，向量()1,1,2AE =-- ，则sin 3AE n AE nθ⋅==⋅ .【小问2详解】由（1）知，平面BDF 的一个法向量为()1,1,1n =- ，()11,1,2A E =-- ，所以点1A 到平面BDF的距离为13A E n n ⋅==.19.一个火山口的周围是无人区，无人区分布在以火山口中心()0,0O 为圆心，半径为400km 的圆形区域内，一辆运输车位于火山口的正东方向600km 处准备出发，若运输车沿北偏西60°方向以每小时km 的速度做匀速直线运动：（1）运输车将在无人区经历多少小时？（2）若运输车仍位于火山口的正东方向，且按原来的速度和方向前进，为使该运输车成功避开无人区，求至少应离火山口多远出发才安全？【答案】（1）5小时（2）800km【解析】【分析】（1）根据题意，以火山口的位置为坐标原点O ，其正东方向为x 轴正方向，正北方向为y 轴正方向，建立平面直角坐标系，结合点到直线的距离公式求得弦长，即可得到结果；（2）根据题意，由直线与圆相切，即可得到结果.【小问1详解】以火山口的位置为坐标原点O ，其正东方向为x 轴正方向，正北方向为y 轴正方向，建立平面直角坐标系，如图所示，记运输车从()600,0A 出发，点N 处开始进入无人区，到M 处离开无人区，则圆O 方程为222400x y +=，由运输车沿北偏西60°方向运动，可得直线AB 的斜率3tan1503k =︒=-，则():6003AB l y x =--，即30y +-=，因为O 到AB l 的距离为300km OO '==,则2MN =⨯==，5=小时.【小问2详解】设运输车至少应离火山口km a 出发才安全，此时运输车的行驶直线刚好与圆O 相切，且直线方程为)3y x a =--30y +-=，则O到直线的距离400d ==，解得800a =，即运输车至少应离火山口800km 出发才安全.20.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>)2．（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线y kx m =+与双曲线C 交于,P Q 两点，M 是C 的右顶点，且直线MP 与MQ 的斜率之积为23-，证明：直线PQ 恒过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）2212y x -=（2）证明见解析，定点()2,0-．【解析】【分析】（1）根据题意可得关于,a b 的方程组，解得2a ，2b 即可得到双曲线C 的方程；（2）联立直线PQ 与双曲线C 的方程，结合韦达定理再化简23MP MQ k k ⋅=-得2m k =，即可得出直线PQ 恒过定点()2,0-．【小问1详解】根据题意可得222222221c e a c a b a b ⎧⎪==⎪⎪=+⎨⎪⎪-=⎪⎩，解得21a =，22b =，所以双曲线C 的方程为2212y x -=．【小问2详解】设()11,P x y ，()22,Q x y ，联立2212y kx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()2222220k x kmx m -+++=，()22820m k ∆=-+>，12222km x x k -+=-，212222m x x k +=-，又(1,0)M 所以()()()1212121212111MP MQ kx m kx m y y k k x x x x x x ++⋅=⋅=---++()()()222222222121221212222222221122k m k m m k x x km x x m k k m km x x x x k k +-++++--==+-++++--22()()2()2()3k m k m k m k m k m +--===-++，所以2m k =，所以直线PQ 的方程为()2y k x =+，恒过定点()2,0-．21.如图甲，在矩形ABCD中，2AB AD E ==为线段DC 的中点，ADE V 沿直线AE折起，使得DC O =点为AE 的中点，连接DO OC 、，如图乙.（1）求证：DO OC ⊥；（2）线段AB 上是否存在一点H ，使得平面ADE 与平面DHC所成角的余弦值为7？若不存在，说明理由；若存在，求出AH 的长度.【答案】（1）证明见解析（2）存在，2【解析】【分析】（1）结合余弦定理求得||OC ，结合勾股定理即可证明.（2）以E 为原点，,,EA EB l 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，应用向量法即可求解.【小问1详解】取线段AE 的中点O ，连接,DO OC ，在Rt ADE △中，DA DE ==π4DEA ∠=，,1DO AE DO ∴⊥=，在OEC △中，131,π24OE AE EC OEC ∠====，由余弦定理可得：2122152OC =++⨯=，OC ∴=，在DOC △中，2226==+DC DO OC ，DO OC ∴⊥；【小问2详解】因为,,,DO AE DO OC AE OC O DO AE ⊥⊥=⊂ 、平面,90ABCE AEB ∠=︒，所以DO ⊥平面ABCE ，过E 作DO 的平行线l ，以E 为原点，,,EA EB l 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，()()()()1,0,1,1,1,0,2,0,0,0,2,0D C A B -，平面ADE 的法向量()10,1,0n = ，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 的方程为2x y +=，设H 的坐标为()[],2,0,0,2t t t -∈，则()()1,1,0,2,1,1HC t t DC =---=-- ，设平面DHC 的法向量为()2,,n x y z =u u r ，220,0n HC n DC ⋅=⋅= 所以()()110,20t x t y x y z --+-=-+-=，令1y t =+，则()21,3,1,1,3x t z t n t t t =-=-∴=-+- ，由已知121212cos ,7n n n n n n ⋅〈==〉 ，解之得：32t =或4（舍去），3111,,0,,,0,22222H AH AH ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.22.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(0,，A B 、为椭圆C 的左右顶点，P 为椭圆C 上不同于,A B 的动点，直线,PA PB 的斜率为12,k k 满足1289k k ⋅=-.（1）求椭圆C 的方程；（2）1F 为椭圆C 的左焦点，过右焦点2F 的直线l 交椭圆C 于,M N 两点，记1F MN △的内切圆半径为r ，求r 的取值范围.【答案】（1）22198x y +=（2）80,9⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据点P 在椭圆上及1289k k ⋅=-，得2289b a -=-；再根据椭圆的几何性质可得b =，计算得：29a =即可得出椭圆的方程.（2）先联立直线l 与椭圆C 的方程，表示1MN F S 并变形化简；再通过构造函数，利用函数单调性得出1MNF S范围；最后利用等面积法表示出1MN F S ，即可求出内切圆半径r 的取值范围.【小问1详解】由A B 、为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点，得(),0A a -，(),0B a .设点P 坐标为()00,x y .因为P 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上不同于,A B 的动点∴22000221()x y x a a b +=≠±，即()2222002b y a x a=-.又 1289k k ⋅=-，00120202200y y k k x a x y x a a ⋅=⋅--=+，∴2289b a -=-.由椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(0,，得：b =.∴29a =，28b =.所以椭圆方程为：22198x y +=.【小问2详解】由题意得：直线l 的斜率不为0；()11,0F -，()21,0F ；且1226NF NF a +==，1226MF MF a +==.设直线l 方程为：1x ty -=，设()()1122,,,M x y N x y .联立方程组221981x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，整理得：()228916640t y ty ++-=.则2122122Δ1016896489t t y y t y y t ⎧⎪=+>⎪-⎪+=⎨+⎪-⎪=⎪+⎩，∴1121212F MN S F F y y =⨯⨯-△12122y y =⨯-=====++481=+.令1u =≥，函数18y u u =+在[)1,+∞上单调递增，则189u u+≥，所以48160,138u u⎛⎤∈ ⎥⎝⎦+，即1160,3F MN S ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦△.因为三角形1F MN 的内切圆半径为r ，所以由等面积法得：()1111142622F MN S NF MF MN r a r ar r =⨯++⨯=⨯⨯==△，则16F MNS r =△.所以80,9r ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.。

秘密★启用前重庆市名校联盟2021－2022学年度第一次联合考试数学试题（高2023届）（本试卷共4页，总分150分，考试时间120分钟）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应題目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.如图，在空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点N 为BC 的中点，点M在线段OA 上，且OM ＝2MA ，则MN =（ ）A .121233a b c -- B .111322a b c -++ C .211323a b c -+ D .211322a b c -++2.直线360x -=的倾斜角为（ ）A .23π B .3π C .6πD .56π 3.已知直线1:10l mx y +-=与直线2:10l x my +-=相互垂直，则实数m 的值是（ ） A .0 B .1 C .－1 D .1±4.倾斜角为45°，在y 轴上的截距为2021的直线方程是（ ） A .20210x y --= B .20210x y -+= C .20210x y +-= D .20210x y ++=5.一束光线，从点A （－3，3）出发，经x 轴反射到圆C ：（x －5）2＋（y －5）2＝4上的最短路径的长度是（ ）A .2B .2C .2D .26.已知两条异面直线的方向向量分别是(3,1,2),(3,2,1)u v =-=--，则这两条异面直线所成的角θ满足（ ） A .9sin 14θ=B .1sin 4θ=C .9cos 14θ=D .1cos 4θ=7.已知⊙0的圆心是坐标原点O ，且被直线0x +=截得的弦长为6，则⊙O 的方程为（ ）A .224x y +=B .228x y +=C .2212x y +=D .2216x y += 8.已知双曲线C 的焦点为12(2,0),(2,0)F F -，点A 在C 上，且关于原点O 的对称点为B ，||AB =12F F ，四边形12AF BF 的面积为6，则双曲线C 的方程为（ ）A .2213x y -=B .2213y x -= C .222x y -= D .2213y x -=二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9.已知M ，A ，B ，C 四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使{,,}MA MB MC 成为空间的一个基底的是（ ）A .111345OM OA OB OC =++ B .2MA MB MC =+ C .23OM OA OB OC =++ D . 32MA MB MC =- 10.已知直线:20l kx y k -+=和圆22:9O x y +=，则（ ） A .直线l 恒过定点（2，0）B .存在k 使得直线l 与直线0:220l x y -+=垂直C .直线l 与圆O 相交D .若k ＝－1，直线l 被圆O 截得的弦长为11.已知直线l 经过点（3，5），且点A （－2，3），B （4，－1）到直线l 的距离相等，则直线l 的方程可能为（ ）A .23210x y +-=B .210x y --=C .220x y ++=D .2360x y -+=12.如图，P 为椭圆221:186x y C +=上的动点，过P 作1C 的切线交圆222:24C x y +=于M ，N ，过点M ，N 作2C 的切线交于点Q ，则（ ）A .OPQSB .OPQSC .Q 的轨迹方程是2213648x y +=D .Q 的轨迹方程是2217296x y +=第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知点A （－2，－2），B （a ，2）且||5AB =，则a 的值为 ．14.已知圆C ：x 2＋y 2－6x －8y －m ＝0，其中m ∈R ，如果圆C 与圆x 2＋y 2＝1相外切，则m 的值为 ．15.已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0内有点M （3，1），则以点M 为中点的圆C 的弦所在的直线方程为 ．16.如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面1AEC F 所截而得到的，若AB ＝4，BC ＝2，13CC =，BE ＝1，则（1）||BF = ；（2）点C 到平面1AEC F 的距离为 ．四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知点A （5，－1）关于x 轴的对称点为()11,B x y ，关于原点的对称点为()22,C x y ． （Ⅰ）求△ABC 中过AB ，BC 边上中点的直线方程； （Ⅱ）求△ABC 的面积． 18.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆N 过点（－1，0），（1，0），且圆心N 在直线l ：x ＋y －1＝0上；圆M ：22(3)(4)8x y ++-=．（Ⅰ）求圆N 的标准方程，并判断圆M 与圆N 的位置关系；（Ⅱ）直线MN 上是否存在点B ，使得过点B 分别作圆M 与圆N 的切线，切点分别为T ，S （不重合），满足BS ＝2BT ？若存在，求出点B 的坐标，若不存在，请说明理由． 19.（本小题满分12分）如图，AP 是圆柱的母线，正△ABC 是该圆柱的下底面的内接三角形，D ，E ，F 分别为BC ，PB ，AB 的中点，G 是EF 的中点，且AP ＝AC ． （Ⅰ）求证：DG ∥平面P AC ；（Ⅱ）求直线DG 与平面PBC 所成角的正弦值．20.（本小题满分12分）已知双曲线C 与椭圆221126x y +=有相同的焦点，(P -是C 上一点．（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）记C 的右顶点为M ，与x 轴平行的直线l 与C 交于A ，B 两点，求证：以AB 为直径的圆过点M ．21.（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝AB ＝2AD ＝2DC ． （Ⅰ）证明：平面P AD ⊥平面PCD ；（Ⅱ）若M 是PB 的中点，求平面AMC 与平面BMC 的夹角的余弦值．22.（本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，其长轴为8，过椭圆上一点P 作圆O ：x 2＋y 2＝b 2的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与x ，y 轴的交点分别为E 、Q ． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求△EOQ 面积的最小值．重庆市名校联盟2021－2022学年度第一次联合考试数学试题参考答案（高2023届）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.∵N 为BC 的中点，点M 在线段OA 上，且OM ＝2MA ，且,,OA a OB b OC c ===，11111,,()()33222MA OA a AB OB OA b a BN BC OC OB c b ∴===-=-==-=-，11211()32322MN MA AB BN a b a c b a b c ∴=++=+-+-=-++，故选D ．2.直线360x -=的方程转换为y =+，所以tan θ=，由于(0,)θπ∈，所以23πθ=，故选A ． 3.因为直线1:10l mx y +-=与直线2:10l x my +-=相互垂直，所以mx 1＋1xm ＝0，解得m ＝0，即实数m 的值是0，故选A ．4.因为倾斜角为45°，所以直线的斜率为k ＝tan45°＝1，又在y 轴上的截距为2021，所以所求直线的方程为y ＝x ＋2021，即x －y ＋2021＝0，故选B ．5.如图1，由圆C 的方程可得圆心坐标C （5，5），半径r ＝2，设A 点关于x 轴对称点(3,3)A --'，连接A C '交x 轴于Q 点，交圆C 于P 点，则A P '为所求的最短距离，证明如下：任取x 轴上一点Q ，则AQ QP A Q QP A P ++''=，当且仅当,,A Q P '三点共线时取等号，所以22A P A C r ''=-==，故选A ．6.∵两条异面直线的方向向量分别是(3,1,2),(3,2,1),33(1)u v u v =-=--∴⋅=⨯+-⨯2(2)2(1)9,||3(u -+⨯-==+=，2||3(v =+-=，，又两条异面所成的角为θ，则||99cos |cos ,|||||1414u v u v u v θ⋅=<>===⋅⋅，故选C ．7.∵⊙O 的圆心是坐标原点O ，且被直线0x -+=截得的弦长为6，设⊙O 的方程为x 2＋y 2＝r 2，则弦心距为22262d r ⎛⎫==∴+= ⎪⎝⎭，解得r 2＝12，可得圆的标准方程为x 2＋y 2＝12，故选C ．8.∵原点O 分别为AB 和12F F 的中点，∴四边形12AF BF 为平行四边形，又12||AB F F =，∴四边形12AF BF 为矩形，∵四边形12AF BF 的面积为6， 126AF AF ∴=，又222222121212121216,||2,42AF AF F F AF AF a a AF AF AF AF +==-=∴=+-=16－12＝4，解得a 2＝1，∴b 2＝c 2－a 2＝3，故双曲线的方程为2213y x -=，故选B ．二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9.对于A ，因为111345OM OA OB OC =++，且1111345++≠，利用平面向量基本定理可知：点M 不在平面ABC 内，向量,,MA MB MC 能构成一个空间基底；对于B ，因为2MA MB MC =+，利用平面向量基本定理可知：向量,,MA MB MC 共面，不能构成一个空间基底；对于C ，由23,1231OM OA OB OC =++++≠，利用平面向量基本定理和空间平行六面体法可知：OM 是以点O 为顶点的对角线，向量,,MA MB MC 能构成一个空间基底；对于D ，由32MA MB MC =-，根据平面向量的基本定理可知：向量,,MA MB MC 共面，不能构成空间的一个基底，故选AC ．10.直线:20l kx y k -+=，即(2)0k x y +-=，则直线恒过定点（－2，0），故A 错误；当k ＝－2时，直线:20l kx y k -+=与直线0:220l x y -+=垂直，故B 正确：∵定点（－2，0）在圆O ：x 2＋y 2＝9内部，∴直线l 与圆O 相交，故C 正确：当k ＝－1时，直线l 化为－x －y －2＝0，即x ＋y ＋2＝0，圆心O 到直线的距离d ==l 被圆O 截得的弦长为=D 正确，故选BCD ．11.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝3，此时点A 到直线l 的距离为5，点B 到直线l 的距离为1，此时不成立；当直线l 的斜率k 存在时，设直线l 的方程为y －5＝k （x －3），即kx －y ＋5－3k ＝0，∵点A （－2，3），B （4，－1）到直线l 的距离相等，=，解得23k =-或k ＝2，当23k =-时，直线l 的方程为25(3)3y x -=--，整理得2x ＋3y －21＝0，当k ＝2时，直线l 的方程为y －5＝2（x －3），整理得2x －y －1＝0.综上，直线l 的方程可能为2x ＋3y －21＝0或2x －y －1＝0，故选AB ．12.设()(),,,p p Q Q P x y Q x y ，则:186P P MN x yl x y +=，即3424p p x x y y +=，过M ，N 作2C 切线交于Q ，则:24MN Q Q l x x y y +=，所以3,4Q P Q P x x y y ==，即,34Q Q P P x y x y ==，因为点P 为椭圆221:186x y C +=上的动点，所以2234186Q Q x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，可得点Q 的轨迹方程为2217296x y +=，故C 错误・D 正确；因为()(),,3,4P P P P OP x y OQ x y ==，所以()222222Δ111||sin ||||1cos ||||()2OPQ S OP OQ POQ OP OQ POQ OP OQ OP OQ ∠∠==-=-⋅12P P x y ===，因为2222128648P P P P xy x y +=p p y =，所以23P P x y ，所以3OPQS，即OPQS的最A 正确，B 错误，故选AD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.∵点A （－2，－2），B （a ，2），且||5,5,1AB a ==∴=或5a =-．14.由圆C ：x 2＋y 2－6x －8y －m ＝0，可得（x －3）2＋（y －4）2＝25＋m ，则圆心C （3，4），半径r =，由圆x 2＋y 2＝1，可得圆心（0，0），半径R ＝1，因为两圆外切，则1=+m ＝－915.圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，即（x －2）2＋y 2＝4，则圆心C （2，0），所以直线MC 的斜率为10132k -==-，则以点M 为中点的圆C 的弦所在的直线的斜率为1k '=-，所以所求直线的方程为y －1＝－1×（x －3），即x ＋y －4＝016.如图2，以D 为原点，DA ，DC ，DF 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，D 0，0，0），B （2，4，0），A （2，0，0），C （0，4，0），E （2，4，1），1C （0，4，3）（1）设F （0，0，a ），由1AF EC =，得(2,0,)(2,0,2),2a a -=-∴=，(0,0,2),(2,4,2),||26F BF BF ∴=--∴=．（2）设(,,)n x y z =为平面1AEC F 的法向量，由0n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得40220y z x z +=⎧⎨-+=⎩，取z ＝1，则11,,14n ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 又1(0,0,3),CC C =∴到平面1AEC F 的距离1433||11CC n d n ⋅==． 四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）∵点A （5，－1）关于x 轴的对称点为()11,,(5,1)B x y B ∴，………………（1分） 又∵点A （5，－1）关于原点的对称点为()22,,(5,1)C x y C ∴-，………………（2分） ∴AB 的中点坐标是（5，0），BC 的中点坐标是（0，1）．………………（4分）过（5，0），（0，1）的直线方程是051005y x --=--， 整理得x ＋5y －5＝0………………（6分）（Ⅱ）由题意知|||1(1)|2,|||55|10,AB BC AB BC =--==--=⊥，………………（8分）∴△ABC 的面积11||||2101022S AB BC =⋅=⨯⨯=．………………（10分） 18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意知，圆N 的圆心N 也在直线x ＝0上，联立100x y x +-=⎧⎨=⎩，解得x ＝0，y ＝1，∴N （0，1），半径为||r NA ==2分）圆N 的标准方程为x 2＋（y －1）2＝2，又||NM ==4分）而||M N r r MN +===， ∴圆M 与圆N 相外切．………………（6分）（Ⅱ）∵N （0，1），M （－3，4），直线MN 的方程为x ＋y －1＝0，………………（7分） 设直线MN 上是存在点B 满足题意，设B （a ，1－a ）， 由BS ＝2BT 可知，BS 2＝4BT 2，即BN 2－2＝4（BM 2－8），所以BN 2＝4BM 2－30，………………（9分） 即a 2＋（1－a －1）2＝4[（a ＋3）2＋（1－a －4）2]－30， 整理得a 2＋8a ＋7＝0，解得a ＝－1或a ＝－7，∴B （－1，2）或（－7，8），……………………（11分） 当B （－1，2）时，点B 为圆N 与圆M 的公切点，此时T ，S ，B 重合，不符合题意．∵存在点B （－7，8），满足BS ＝2BT ．………………（12分） 19.（本小题满分12分） （Ⅰ）证明：如图3，连接DE ，∵E ，F 分别为PB ，AB 的中点，∴，EF ∥P A ，PA ⊂平面P AC ，EF ⊄平面P AC ，∴EF ∥平面P AC ，………………（2分）∵D ，E 分别为BC ，PB 的中点，∴DE ∥PC ，PC ⊂平面P AC ，DE ⊄平面P AC ，∴DE ∥平面P AC ，………………（4分）又,EF DE ⊂平面DGE ，且EF DE E ⋂=， ∴平面DEG ∥平面P AC ，而DG ⊂平面DEG ， ∴DG ∥平面P AC ．………………（6分）（Ⅱ）解：以A 为坐标原点，分别以AD ，AP 所在直线为y 、z 轴建立空间直角坐标系， ∵△ABC 是正三角形，且AP ＝AC ，不妨设AP ＝4，(0,0,4),(0,(2,P D B G ∴．(2,23,4),(2,0,0),(1,PB DB DG =-==-．……………………（8分）设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则24020n PB x z n DB x ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅==⎪⎩取y ＝1，则0,1,2n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．………………（10分）设直线DG 与平面PBC 所成角为θ，则|||sin |cos ,||1n DG n DG n DG θ-⋅=<>===∣， ∴直线DG 与平面PBC 12分） 20.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：由已知设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，由已知得a 2＋b 2＝12－6＝6，且22961a b-=， 解得a 2＝b 2＝3，∴双曲线C 的方程为22133xy -=．……………………（4分）（Ⅱ）证明：设直线l 的方程为y ＝m （m≠0）， 与x2－y 2＝3联立解得x =x = 不妨设()),A m Bm ，由（Ⅰ）知点M ，……………………（7分）∴AM ，BM的斜率分别为AM BM k k ==，1AM BM k k ∴==-，………………（10分）所以AM ⊥BM ，故以AB 为直径的圆过点M ．……………………（12分）21.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图4，∵P A ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，∴AP ⊥DC ， 由题设知，AD ⊥DC ， AP AD A ⋂=，由此得DC ⊥平面P AD ， 又DC ⊂平面PCD ，∴平面P AD ⊥平面PCD ．……………………（3分）（Ⅱ）解：以A 为坐标原点，分别以AD ，AB ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，由于P A ＝AB ＝2AD ＝2DC ，设P A ＝2，则A （0，0，0），B （0，2，0），C （1，1，0），D （1，0，0），P （0，0，2），M （0，1，1），则(1,1,0),(0,1,1),(0,1,1),(1,1,0)AC AM BM BC ===-=-，………………（6分） 设平面AMC 的一个法向量为()1111,,n x y z =，11111100n AC x y n AM y z ⎧⋅=+=⎪∴⎨⋅=+=⎪⎩，取11x =，得1(1,1,1)n =-；………………（8分） 设平面BMC 的一个法向量为()2222,,n x y z =，22222200n BC x y n BM y z ⎧⋅=-=⎪∴⎨⋅=-+=⎪⎩，取21x =，得2(1,1,1)n =．……………………（10分） 121212111cos ,33n n n n n n ⋅-∴=><==⨯，∴平面AMC 与平面BMC 的夹角的余弦值为13．………………（12分） 22.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，2a ＝8，得a ＝4，2c e c b a ==∴==． ∴椭圆方程为221164x y +=．（Ⅱ）设点椭圆上点P 坐标为()00,x y ，切点坐标为()()1122,,,A x y B x y ， ∵直线AP ，BP 为圆O 的两切线，圆O 方程为x 2＋y 2＝4………………（4分）0OA AP ∴⋅=，()0101,,(,)AP x x y y OA x y =--=， ()()1011010OA AP x x x y y y ∴⋅=-+-=，得到：221010114x x y y x y ⋅+⋅=+=，即10104x x y y ⋅+⋅=，同理可得20204x x y y ⋅+⋅=，………………（6分）所以点()()1122,,,A x y B x y 同时满足直线方程004x x y y ⋅+⋅=， 即直线AB 方程为：004x x y y ⋅+⋅=，……………………（8分）令x ＝0，得Q 点坐标为040,y ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 令y ＝0，得E 点坐标为040,x ⎛⎫⎪⎝⎭，所以001162EOQSx y =⋅，…………………………（10分）因为P 在椭圆上，22220000001,11641644x y x y x y ∴+==+，即EOQ S 最小值为2，当002x y ==12分）。

2021-2022学年重庆市九校联盟高二（上）联考数学试卷（12月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 若直线x +2y =0与直线mx −y +5=0垂直，则m =( )A. 1B. 2C. −1D. −22. 双曲线x 2−y 25=1的离心率为( )A. √5B. 2C. √6D. 33. 已知{a ⃗ ,b ⃗ ,c ⃗ }是空间的一个基底，下列不能与m ⃗⃗⃗ =a ⃗ −b ⃗ ，n ⃗ =b ⃗ −c ⃗ 构成空间的另一个基底的是( ) A. a⃗ −c ⃗ B. a⃗ +c ⃗ C. a ⃗ +b ⃗ D. a ⃗ +b ⃗ +c ⃗4. 设直线l 经过圆x 2+y 2−6x +4y =0的圆心和点(4,2)，则l 的一个方向向量的坐标可以为( )A. (−1,4)B. (−1,3)C. (−1,−3)D. (−1,−4)5. 下列四个椭圆中，形状最扁的是( )A. x 220+y29=1 B. x 220+y210=1 C. x 220+y211=1 D. x 220+y212=1 6. 若点P 是双曲线C ：x 29−y 216=1上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，则“|PF 1|=6”是“|PF 2|=12”的( )A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知抛物线C ：x 2=2py(p >0)的焦点为F ，点M(4,y 0)为C 上一点，若|MF|=2y 0，则C 的准线方程为( )A. x =−2B. y =−2C. x =−3D. y =−38. 在空间直角坐标系O −xyz 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,1)，平面α的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(−1,0,1)，则平面α与平面ABC 夹角的正弦值为( ) A. √336B. √36C. √34D. √134二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）A. 直线MN 的倾斜角为45°B. 点M 到直线3x −4y =0的距离为1C. 点N 在直线x +2y −10=0上D. 直线x −y +1=0与直线MN 平行10. 已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,2)，BE ⊥平面BCD ，则( )A. 点A 到平面BCD 的距离为23B. AB 与平面BCD 所成角的正弦值为√26C. 点A 到平面BCD 的距离为13D. AB 与平面BCD 所成角的正弦值为√3611. 若双曲线C ：x 2a2−y 24=1(a >0)与圆M ：x 2+y 2=4有4个交点，则C 的渐近线方程可能为( )A. y =±65xB. y =±54xC. y =±23xD. y =±43x12. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，上、下顶点分别为B 1，B 2.点M 为C 上不在坐标轴上的任意一点，且MA 1，MA 2，MB 1，MB 2四条直线的斜率之积大于19，则C 的离心率可以是( )A. √33B. √63C. 23D. √73三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知某直线满足以下两个条件，写出该直线的一个方程：______.(用一般式方程表示)①倾斜角为30°； ②不经过坐标原点．14. 已知椭圆的面积等于πl4，其中l 是椭圆长轴长与短轴长的乘积，则椭圆x 22+y 28=1的面积为______．15. 在正四面体ABCD 中，AB =2，若AE⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 16. 位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥(如图所示)有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线的一部分．该桥的高度为ℎ米，跨径为1米，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为______米．(结果用ℎ，l 表示)四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.(1)求直线3x−4y+1=0与x+y−2=0的交点的坐标；(2)求两条平行直线3x−4y−6=0与3x−4y+14=0间的距离．18.如图，三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=2，AB⊥AC，M，N和P分别是CC1，BC和A1B1的中点．(1)证明：PN//平面ACC1A1；(2)求异面直线AN与PM所成角的余弦值．19.已知F(1−p,0)为抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点．(1)求C的方程；)，求直线l的方程．(2)若直线l与交C于M，N两点，且弦MN的中点为A(1,1220.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面为直角梯形，CD//AB，AD⊥AB，且PA=AD，E为PD的中点．(1)证明：AE⊥平面PCD．AB，求二面角B−PC−D的大小．(2)若AD=CD=1221.已知圆M经过函数y=x2−6x+5的图象与坐标轴的3个交点．(1)求圆M的标准方程；(2)若点P为圆N：x2+(y−2)2=1上一动点，点Q为圆M上一动点，点A在直线y=22. 已知点P 是一个动点，A(−2√2,0)，B(2√2,0)，|PA|−|PB|=4.动点P 的轨迹记为Ω． (1)求Ω的方程．(2)设T 为直线x =1上一点，过T 的直线l 与Ω交于C ，D 两点，试问是否存在点T ，使得TC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TD ⃗⃗⃗⃗⃗ =OT2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ？若存在，求T 的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为直线x+2y=0与直线mx−y+5=0垂直，所以1×m+2×(−1)=0，解得m=2．故选：B．由直线的垂直关系可得关于m的方程，求解即可．本题主要考查直线的一般式方程与直线的垂直关系，考查运算求解能力，属于基础题．2.【答案】C=1中a=1，b=√5，【解析】解：因为双曲线x2−y25所以c=√a2+b2=√6，=√6．所以e=ca故选：C．结合双曲线的性质先求出c，然后结合离心率公式即可求解．本题主要考查了双曲线的性质的简单应用，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：由m⃗⃗⃗ =a⃗−b⃗ ，n⃗=b⃗ −c⃗，两式相加可得m⃗⃗⃗ +n⃗=(a⃗−b⃗ )+(b⃗ −c⃗ )=a⃗−c⃗，所以得a⃗−c⃗与m⃗⃗⃗ ，n⃗是共面向量，故a⃗−c⃗不能与m⃗⃗⃗ =a⃗−b⃗ ，n⃗=b⃗ −c⃗构成空间的另一个基底．故选：A．根据空间向量的一组基底是：任意两个不共线，且不为零向量，三个向量不共面，即可判断出结论．本题考查了空间向量的共面定理与应用问题，是基础题．4.【答案】D【解析】解：因为圆x2+y2−6x+4y=0的圆心为(3,−2)，则l的斜率为k=2−(−2)4−3=4，方向向量的坐标可以为(−1.−4)．故选：D．由圆的方程求出圆心坐标，求出直线斜率，即可求出直线方向向量本题考查圆的一般方程，考查学生的运算能力，属于容易题．5.【答案】A【解析】解：由备选答案可得a相同，当椭圆的离心率越大，椭圆最扁，而e=ca =√1−b2a2，所以b越小，离心率越大，故选：A．由椭圆的离心率越大，椭圆越扁，由a，b，c的关系，当a不变时b越小，离心率越大，故选出正确答案．本题考查椭圆的形状与a，b的关系，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：双曲线C：x29−y216=1，由双曲线的定义可知||PF1|−|PF2||=2a，由双曲线的标准方程得，||PF1|−|PF2||=6，由|PF1|=6可推出|PF2|=0(舍去)或|PF2|=12，所以“|PF1|=6”推出“|PF2|=12”；反之，由|PF2|=12可推出|PF1|=6或18，则“|PF1|=6”是“|PF2|=12”的充分不必要条件．故选：C．根据题意结合双曲线的定义可得||PF1|−|PF2||=6，由|PF1|=6可推出|PF2|=0或12，反之，由|PF2|=12可推出|PF1|=6或18，再利用必要条件，充分条件的定义，即可得出答案．本题考查充分必要条件，解题中注意双曲线的定义的应用，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：由抛物线的定义及其性质可知，|MF|=y 0+p2=2y 0， ∴y 0=p2， ∴42=2py 0， ∴p =4，即x 2=8y ， ∴C 的准线方程为：y =−2． 故选：B ．由抛物线的性质以及|MF|=2y 0，可得p 的值，进而解出C 的准线方程． 本题考查了抛物线的定义及其性质，学生的数学运算能力，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,1)，设平面ABC 的一个法向量为n ⃗ =(x,y,z)， 可得{n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x −y =0n⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +z =0，不妨x =1，则y =1，z =2，所以n⃗ =(1,1,2) 又平面α的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(−1,0,1)， 平面α与平面ABC 夹角的余弦函数值：√1+1+4⋅√1+1=√36， 平面α与平面ABC 夹角的正弦值为：√336． 故选：A ．求出平面ABC 的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值，然后求解平面α与平面ABC 所成角的正弦值．本题考查空间角的求法，考查空间向量的应用，考查运算求解能力，是基中档题．9.【答案】AB【解析】解：因为M(1,2)，N(3,4)，所以k MN =4−23−1=1，所以直线MN 的倾斜角为45°，故A 正确； 点M 到直线3x −4y =0的距离为√32+42=1，故B 正确；因为3+2×4−10=1≠0，故点N(3,4)不在直线x +2y −10=0上，故C 错误；故选：AB ．由斜率公式可求得k MN ，从而可得直线MN 的倾斜角，可判断A ；由点到直线的距离公式可判断B ；将点N 的坐标代入直线方程即可判断C ；由点斜式方程求出MN 即可判断D ． 本题主要考查直线的倾斜角，点到直线的距离公式，点与直线的位置关系的判断，两直线位置关系的判断，考查运算求解能力，属于基础题．10.【答案】BC【解析】解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,2)，BE ⊥平面BCD ， 所以点A 到平面BCD 的距离：|AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||=√4+1+4=13，所以A 不正确；C 正确； AB 与平面BCD 所成角的正弦值为：|AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2⋅3=√26， 所以B 正确，D 错误； 故选：BC ．利用点到平面的距离判断A 、C 的正误；直线与平面所成角求解AB 与平面BCD 所成角的正弦值判断B 、D 的正误即可．本题列出空间直线与平面所成角的求法，点、线、面距离的求法，是中档题．11.【答案】ABD【解析】解：双曲线C ：x 2a 2−y 24=1(a >0)与圆M ：x 2+y 2=4有4个交点，可得a <2，所以双曲线的渐近线方程为：y =±2a x ，2 a >1， 所以选项ABD 正确． 故选：ABD ．利用双曲线与圆有个交点，推出a 的范围，然后求解渐近线方程即可． 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想，计算能力，是中档题．12.【答案】AC【解析】解：设M(s,t)为椭圆C 上不在坐标轴上的任意一点，椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)，∴s 2a 2+t 2b 2=1，t 2=b 2a 2(a 2−s 2)，s 2=a 2b 2(b 2−t 2)， k MA 1⋅ k MA 2⋅k MB 1⋅k MB 2=t s+a⋅t s−a⋅t−b s⋅t+b s=t 2s 2−a2⋅t 2−b 2s 2，=b 2a 2(a 2−s 2)s 2−a 2⋅t 2−b 2a 2b 2(b 2−t 2)=(b 2a 2)2>19，则a 2<3b 2，所以a <√3b ，∴e =ca=√a 2−b 2a 2<√63， 故选：AC ．求得四条直线的斜率，由斜率乘积，转化求得a 和b 的关系，即可求得椭圆离心率； 本题考查椭圆的简单几何性质，直线的斜率公式，考查计算能力，考查分析问题及解决问题的能力，属于中档题．13.【答案】x −√3y +1=0(答案不唯一)【解析】解：由①可得直线的斜率k =tan30°=√33，由②可得直线y =√33x +b 中的b ≠0，可得直线的一个方程为y =√33x +√33，即x −√3y +1=0．故答案为：x −√3y +1=0(答案不唯一)．由①可得直线的斜率k =√33，由②可得直线y =√33x +b 中的b ≠0，即可求解．本题主要考查直线的一般式方程与直线的性质，考查运算求解能力，属于基础题．14.【答案】4π【解析】解：椭圆x 22+y 28=1，可得2a =4√2，2b =2√2，所以椭圆x 22+y 28=1的面积为：π×4ab 4=π×4√2×2√24=4π．故答案为：4π．求出椭圆的长轴长，短轴长，利用椭圆的面积公式求解即可． 本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题．15.【答案】6【解析】解：AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2×2cos π3+2×2cos π3=6，故答案为：6．利用向量关系，结合向量的数量积转化求解即可．本题考查空间向量的数量积的运算，考查转化思想以及计算能力，是中档题．16.【答案】l 28ℎ【解析】解：根据题意，以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，该抛物线方程可写为x 2=−2py(p >0)．∵该抛物线经过点(l 2,−ℎ)，代入抛物线方程可得l 24=2ℎp ，解得p =l 28ℎ． ∴桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离即为：l 28ℎ． 故答案为：l 28ℎ． 根据题意建立一个平面直角坐标系，然后根据桥形的特点写出对应的抛物线方程，再将已知点(l2,−ℎ)代入抛物线方程解出p 的值，而桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离即为p ．本题主要考查抛物线在实际中的应用，考查了抛物线的基础知识．本题属基础题． 17.【答案】解：(1)联立{3x −4y +1=0,x +y −2=0,得{x =1,y =1,故所求交点的坐标为(1,1)．(2)两条平行直线3x −4y −6=0与3x −4y +14=0间的距离d =|−6−14|√32+(−4)2=205=4．【解析】(1)联立直线方程，组成方程组，求解即可得到交点坐标．(2)利用平行线之间的距离公式求解即可．本题考查平行线之间距离公式的应用，交点坐标的求法，是基础题．18.【答案】(1)证明：取AC 的中点D ，连接ND ，A 1D .因为N 和P 分别是BC 和A 1B 1的中点，所以ND//AB ，ND =12AB ，A 1P =12A 1B 1， 因为A 1B 1//AB ，所以ND =A 1P ，ND//A 1P ，所以四边形NDA 1P 为平行四边形，则PN//A 1D .因为PN ⊄平面ACC 1A 1，A 1D ⊂平面ACC 1A 1，所以PN//平面ACC 1A 1．(2)解：以点A 为坐标原点，分别以AC ，AA 1，AB 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A −xyz ，则A(0,0,0)，M(2,1,0)，N(1,0,1)，P(0,2,1)，AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,1)，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,−1)， 所以cos <AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2×√6=√36， 故A N 与PM 所成角的余弦值为√36．【解析】(1)取AC 的中点D ，连接ND ，A 1D ，推导出四边形NDA 1P 为平行四边形，从而PN//A 1D ，由此能证明PN//平面ACC 1A 1．(2)以点A 为坐标原点，分别以AC ，AA 1，AB 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A −xyz ，利用向量法能求出AN 与PM 所成角的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)因为抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为(p 2,0)， 所以1−p =p 2，解得p =23，故C 的方程为y 2=43x ．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则{y 12=43x 1,y 22=43x 2, 两式相减得(y 1+y 2)(y 1−y 2)=43(x 1−x 2)，所以k l =y 1−y 2x 1−x 2=43(y 1+y 2)，因为y 1+y 2=2×12=1，所以k l =43．故直线l 的方程为y −12=43(x −1)，即y =43x −56．【解析】(1)利用抛物线的焦点坐标，列出方程，求解p ，得到抛物线方程．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)利用平方差法．求解直线的斜率，然后求解直线l 的方程． 本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，抛物线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．20.【答案】(1)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，所以CD ⊥PA ．又CD//AB ，AD ⊥AB ，所以CD ⊥AD ．因为AD ∩PA =A ，所以CD ⊥平面PAD ，则CD ⊥AE ．因为PA =AD ，E 为PD 的中点，所以AE ⊥PD ．又CD ∩PD =D ，所以AE ⊥平面PCD ．(2)解：以A 为坐标原点，AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系A −xyz ，设AD =2，则P(0,0,2)，B(0,4,0)，C(2,2,0)，E(1,0,1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2,0),PB⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,−2)． 设平面PCB 的法向量为n⃗ =(x,y,z)， 则n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2x −2y =0,4y −2z =0,令x =1，得n⃗ =(1,1,2)． 由(1)知，平面PCD 的一个法向量为AE⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,1)， 则cos〈n ⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉=3√6×√2=√32， 由图可知，二面角B −PC −D 为钝角，所以二面角B −PC −D 的大小为5π6．【解析】(1)利用线面垂直的判定定理进行证明即可．(2)建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，再求夹角即可．本题考查利用向量法解决立体几何的问题，考查了学生的运算运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)因为函数y =x 2−6x +5的图象与坐标轴的3个交点分别为B(0,5)，C(1,0)，D(5,0)，所以可设M(3,b)，由|MB|=|MC|，得√9+(b −5)2=√4+b 2，解得b =3，则|MC|=√13，故圆M 的标准方程为(x −3)2+(y −3)2=13．(2)设圆N 关于直线y =−2对称的圆为圆E ，则圆E 的方程为x 2+(y +6)2=1． 设A(x,−2)，则当A ，E ，M 三点共线时，|AP|+|AQ|取得最小值，且|AP|+|AQ|的最小值为|ME|−√13−1=√92+32−√13−1=3√10−√13−1， 此时，k ME =k AE ，即3+63=−2+6x ， 解得x =43，故点A 的横坐标为43．【解析】(1)求出函数y =x 2−6x +5的图象与坐标轴的3个交点分别为B(0,5)，C(1,0)，D(5,0)，然后求解圆的圆心与半径，然后推出圆的方程．(2)求出圆N 关于直线y =−2对称的圆E 的方程．设A(x,−2)，则当A ，E ，M 三点共线时，|AP|+|AQ|取得最小值，利用斜率相等，求解A 的横坐标即可．本题考查直线与圆的位置关系的应用，圆的方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．22.【答案】解：(1)因为|AB|=4√2>4，且|PA|−|PB|=4，所以P 的轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为4的双曲线的右支． 由2a =4，2c =4√2，得a =2，c =2√2，b 2=c 2−a 2=4，所以Ω的方程为x 24−y 24=1(x ≥2)．(2)设T(1,t)，C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，设直线CD 的方程为y −t =k(x −1)，即y =kx +t −k ，联立{y =kx +t −k,x 2−y 2=4,得(k 2−1)x 2+2k(t −k)x +(t −k)2+4=0， 则Δ=4k 2(t −k)2−4(k 2−1)[(t −k)2+4]>0，且x 1+x 2=2k 2−2ktk 2−1>0，x 1x 2=(t−k)2+4k 2−1>0，所以TC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TD ⃗⃗⃗⃗⃗ =|TC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|TD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=(1+k 2)⋅|x 1−1|⋅|x 2−1|=(1+k 2)⋅|x 1x 2−(x 1+x 2)+1|=(t 2+3)(1+k 2)k 2−1．假设存在点T 满足TC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TD ⃗⃗⃗⃗⃗ =OT 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则(t 2+3)(1+k 2)k 2−1=t 2+1，整理得t 2+k 2+2=0，但t 2+k 2+2≥2>0，所以假设不成立，故不存在满足题意的点T ．【解析】(1)判断P 的轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为4的双曲线的右支．然后求解Ω的方程即可．(2)设T(1,t)，C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，设直线CD 的方程为y −t =k(x −1)，联立直线与双曲线方程，利用判别式以及韦达定理，结合向量的数量积判断求解即可．本题考查轨迹方程的求法，斜率的数量积的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．。

重庆市巫山中学高2017级2015年秋期联合考试理科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共150分.考试时间120分钟一、选择题：(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.已知直线(1)210m x my +-+=的倾斜角是45︒，则m 的值是 （ ） A.-1 B. 0 C.1 D.22．l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 （ ） A.l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3 B.l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3C.l 1∥l 2∥l 3⇒l 1，l 2，l 3共面D.l 1，l 2，l 3共点⇒l 1，l 2，l 3共面 3. 已知复合命题()p q ∧⌝是真命题，则下列命题中也是真命题的是 ( ) A ．()p q ⌝∨ B ． p q ∨ C ． p q ∧ D ．()()p q ⌝∧⌝4．方程)0(02222≠=-++a ay ax y x 表示的圆 ( ) A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线0=-y x 对称D ．关于直线0=+y x 对称5．直线L 1：ax+3y+1=0，L 2：2x+（a+1）y+1=0，若L 1∥L 2，则a 的值为 （ ） A.﹣3 B.2 C.﹣3或2 D.3或﹣26. 三棱锥S ­ABC 及其三视图中的正视图和 侧视图如图所示, 则棱S B 的长为 （ ）A . 42B . 19C . 20D . 437.已知向量(1,0,2),(6,21,2)λμλ=+=-a b r r ，若//a b r r，则λ与μ的值可以是 ( )A. 12,2B. 11,32- C. 3,2- D. 2，28．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是CC 1、AD 的中点，那么异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值等于 （ ）A. B. C. D.9．若点(5,)b 在两条平行直线6810x y -+=与3450x y -+=之间，则整数b 的值为( )A ．4-B ．4C ．5-D ．510. 方程为x2a2＋y 2b2＝1(a >b >0)的椭圆的左顶点为A , 左、右焦点分别为F 1、F 2, D 是它短轴上的一个端点, 若错误!未找到引用源。

重庆市巫山中学高2017级2015年秋期联合考试理科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共150分.考试时间120分钟一、选择题：(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知直线(1)210m x my +-+=的倾斜角是45︒，则m 的值是 （ ） A.-1 B. 0 C.1 D.22．l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 （ ） A.l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3 B.l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3C.l 1∥l 2∥l 3⇒l 1，l 2，l 3共面D.l 1，l 2，l 3共点⇒l 1，l 2，l 3共面3. 已知复合命题()p q ∧⌝是真命题，则下列命题中也是真命题的是 ( ) A ．()p q ⌝∨ B ． p q ∨ C ． p q ∧ D ．()()p q ⌝∧⌝4．方程)0(02222≠=-++a ay ax y x 表示的圆 ( ) A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线0=-y x 对称D ．关于直线0=+y x 对称5．直线L 1：ax+3y+1=0，L 2：2x+（a+1）y+1=0，若L 1∥L 2，则a 的值为 （ ） A.﹣3 B.2 C.﹣3或2 D.3或﹣26. 三棱锥S -ABC 及其三视图中的正视图和 侧视图如图所示, 则棱S B 的长为 （ ） A . 42B .19C .20 D . 437.已知向量(1,0,2),(6,21,2)λμλ=+=-a b ，若//a b ，则λ与μ的值可以是 ( ) A. 12,2 B. 11,32- C. 3,2-D. 2，2第6题图8．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是CC 1、AD 的中点，那么异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值等于 （ ）A. B. C. D.9．若点(5,)b 在两条平行直线6810x y -+=与3450x y -+=之间，则整数b 的值为( )A ．4-B ．4C ．5-D ．510. 方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的椭圆的左顶点为A , 左、右焦点分别为F 1、F 2, D 是它短轴上的一个端点, 若错误！未找到引用源。

2019-2020学年重庆市三峡名校联盟高二上学期联合考试数学试题一、单选题1．将选项中所示的三角形绕直线l 旋转一周，可以得到下图所示的几何体的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由几何体的轴截面特征直接判断即可。

【详解】由题可得：该几何体的轴截面是关于直线l 对称的， 并且l 的一侧是选项B 中的三角形形状。

故选：B 【点睛】本题主要考查了空间思维能力及关于直线旋转的几何体特征，属于基础题。

2．设k 为实数，则方程()1y k x =+表示的图形是（ ） A ．通过点()1,0的所有直线 B ．通过点()1,0-的所有直线C ．通过点()1,0且不与y 轴平行的所有直线D ．通过点()1,0-且不与y 轴平行的所有直线 【答案】D【解析】由直线方程的斜截式判断，再由直线方程得到过定点判断。

【详解】由直线方程的斜截式可知，直线斜率为k ，故直线不能与y 轴平行。

再由直线方程得到过定点()1,0-， 【点睛】本题考查了直线方程的斜截式及过定点问题。

3．已知命题:,(0,1)∀∈P x y ，2x y +<，则命题 P 的否定为（ ） A ．,(0,1)∀∈x y ，2x y +≥ B ．,(0,1)∀∉x y ，2x y +≥ C ．00,(0,1)∃∉x y ，002+≥x y D ．00,(0,1)∃∈x y ，002+≥x y【答案】D【解析】根据全称命题的否定是特称命题，可直接得出结果. 【详解】命题:,(0,1)∀∈P x y ，2x y +<的否定为“00,(0,1)∃∈x y ，002+≥x y ”。

故选D 【点睛】本题主要考查全称命题的否定，只需改写量词与结论即可，属于基础题型.4．如图，正方形O A C B ''''的边长为1cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则它的原图形面积（ ）A ．2B ．24C ．2(13)+D ．6【答案】A【解析】由题意求出直观图中O B ''的长度，根据斜二测画法，求出原图形平行四边形的底和高，求出面积即可. 【详解】由正方形O A C B ''''的边长为1cm ，所以2O B ''=O A C B ''''是水平放置的一个平面图形的直观图，所以它对应的原图为平行四边形高为222''=O B 底边长为1，所以原图形的面积为12222⨯=故选：A 【点睛】本题主要考查斜二测画法，属于基础题.5．已知m ，n 为两条直线，,αβ为两个平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若n αP ，n βP ，则αβ∥ B ．若m αP ，n αP ，则m n P C ．若m α⊥，n β⊥，则αβ∥ D ．若m α⊥，m β⊥，则αβ∥【答案】D【解析】A 项中，当直线平行于两相交平面的交线时，则直线与两平面都平行；B 项中，平行于同一平面的两直线可能平行，可能相交，也可能异面；C 项中，因为m 与n 关系不确定，所以由m α⊥，n β⊥无法确定α与β间关系；D 项中，垂直于同一直线的两平面平行，即可得出结论. 【详解】A 项中，若n αP ，n βP ，则α与β平行或相交，故A 错；B 项中，若m αP ，n αP ，则m 与n 平行、相交、异面均有可能，故B 错；C 项中，若m α⊥，n β⊥，因为m 与n 关系不确定，所以无法确定α与β间关系，故C 错；D 项中，若m α⊥，m β⊥，由垂直于同一直线的两平面平行可得αβ∥，故D 正确. 故选：D 【点睛】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系，解题的关键熟练掌握空间中线、面关系.6．过点(12)A ，的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ） A ．10x y -+=B ．30x y +-=C ．20x y -=或+30x y -=D ．20x y -=或10x y -+=【答案】D【解析】设直线方程为(1)2y k x =-+，计算截距得到2210k k--+=，计算得到答案. 【详解】易知斜率不存在时不满足；设直线方程为(1)2y k x =-+，则截距和为：2210k k--+=解得1k =或2k = 故直线方程为：1y x =+和2y x = 故选：D 【点睛】本题考查了直线方程，意在考查学生的计算能力.7．在ABC ∆中，“0AB AC ⋅<u u u r u u u r”是“ABC ∆为钝角三角形”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件【答案】A【解析】由0AB AC ⋅<u u u r u u u r可得出角A 为钝角，然后再利用充分条件、必要条件定义得出两条件之间的关系. 【详解】cos 0AB AC AB AC A ⋅=⋅<u u u r u u u r u u u r u u u rQ ，cos 0A ∴<，则A 为钝角， ∴“0AB AC ⋅<u u u r u u u r”⇒“ABC ∆是钝角三角形”，另一方面，“ABC ∆是钝角三角形”⇒“A 是钝角”.因此，“0AB AC ⋅<u u u r u u u r”是“ABC ∆为钝角三角形”的充分非必要条件.故选：A. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，要结合充分条件与必要条件的定义来判断，考查推理能力，属于中等题.8．圆台上底半径为2，下底半径为6，母线长为5，则圆台的体积为（ ） A ．40π B ．52πC ．50πD ．2123π 【答案】B【解析】作出圆台的轴截面，由圆台的上、下底面半径分别为2，6，构造直角三角形，结合母线长为5，由勾股定理求出圆台的高．再求圆台的体积. 【详解】作出圆台的轴截面如图所示：上底面半径2MD =，下底面半径6NC =，过D 做DE 垂直NC ， 则624EC =-= 由5CD = 故3DE = 即圆台的高为3, 所以圆台的体积为222213(2626)523V πππππ=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=. 故选B ． 【点睛】本题考查的知识点是旋转体及其体积的计算，圆台的几何特征，其中画出轴截面，将空间问题转化为平面问题是解答的关键．9．已知圆心(,)a b (0,0)a b ><在直线21y x =-+上，且与x 轴相切，在y 轴上截得的弦长为5 ） A ．22(3)(5)25x y -++= B ．22(2)(3)9x y -++=C ．22(1)(1)1x y -++= D ．222749339x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【答案】B【解析】由题意可分析出圆的半径为b ，圆心到y 轴的距离为a ，y 轴上截得的弦长为5出等式2225=+b a ，再由圆心(,)a b 在直线21y x =-+上，所以21b a =-+，联立方程求出a ，b 的值，写出椭圆方程即可. 【详解】因为圆心(,)a b (0,0)a b ><在直线21y x =-+上，所以将圆心(,)a b 代入直线方程可得21b a =-+①，因为圆与x 轴相切，所以圆的半径为b ，圆心到y 轴的距离为a ，又因为在y 轴上截得的弦长为5所以由勾股定理可得2225=+b a ②，联立①②可得22221b a b a =-+⎧⎪⎨=+⎪⎩，又因为0,0a b ><，所以可解得2a =，3b =-，所以圆心为(2,3)-，半径为3，所以圆的方程为22(2)(3)9x y -++=. 故选：B 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，解题的关键是运用数形结合的思想解题.10．若圆()()22235x y r -++=上有且只有两个点到直线432x y -=的距离等于1，则半径r 的范围是（ ） A ．(]4,6 B ．[)4,6C ．()4,6D ．[]4,6【答案】C【解析】先求出圆心到直线的距离d ，再根据有且只有两个点到直线432x y -=的距离等于1得到半径的范围为()1,1d d -+． 【详解】圆心坐标为()3,5-，它到直线432x y -=的距离为5d ==，因为有且只有两个点到直线432x y -=的距离等于1，故半径()1,1R d d ∈-+， 所以()4,6R ∈． 故选C ． 【点睛】若圆的圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，（1）若圆上有且仅有四个点到直线的距离为m ，则0d r m ≤<-； （2）若圆上有且仅有三个点到直线的距离为m ，则d r m =-； （3）若圆上有且仅有四个点到直线的距离为m ，则r m d r m -<<+； （4）若圆上有且仅有一个点到直线的距离为m ，则d r m =+.11．如果底面是菱形的直棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱）1111ABCD A B C D -的所有棱长都相等，60ABC ︒∠=，E ，M ，N 分别为,AB ,BC 1CC 的中点，现有下列四个结论：①CE ⊥平面11CC D D ②1A B MN ∥③1AD ∥平面1A MN ④异面真线1D C 与MN 所成的角的余弦值为34，其中正确结论的个数为（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】根据线面垂直的性质可判断①正确；由1MN BC P 可知1A B 与MN 为异面直线，故②错误；根据线面平行的性质可判断③正确；根据异面直线1D C 与MN 所成的角即为11A BC ∠，可求出其余弦值. 【详解】如图，①连接AC ，CE ，因为60ABC ︒∠=，AB BC =，所以ABC ∆为等边三角形，又E 为AB 的中点，所以CE AB ⊥，因为1111ABCD A B C D -为底面是菱形的直棱柱，所以AB CD ∥，所以CE CD ⊥，因为1CC ⊥底面ABCD ，又CE ⊂底面ABCD ，所以1⊥CC CE ，又因为1=I CC CD C ，所以CE ⊥平面11CC D D ，故①正确； ②连接1A B ，MN ，1C B ，因为M ，N 分别为BC ，1CC 的中点，所以1MN BC P ，又11A B BC B ⋂=，所以1A B 与MN 为异面直线，故②错误；③连接1AD ，所以11AD BC P ，又1MN BC P ，所以1∥MN AD ，又因为MN ⊂平面1A MN ，1AD ⊄平面1A MN ，，所以1AD ∥平面1A MN ，故③正确；④连接1A B ，所以11D C A B P ，又1MN BC P ，所以异面真线1D C 与MN 所成的角即为11A BC ∠，设1111ABCD A B C D -的所有棱长都为1，则112==A BC B ，111=AC ，由余弦定理可知113cos 4222==⨯⨯∠BC A ，故④正确.所以正确的有①③④.故选：C 【点睛】本题主要考查空间几何体中线面关系，要重点考查线面垂直、线面平行的性质，以及异面直线所成角的求法.12．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点Q 、P 的距离之比||||MQ MP λ=(0,1)λλ>≠，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为221x y +=，定点Q 为x 轴上一点，1,02P ⎛⎫-⎪⎝⎭且2λ=，若点(1,1)B ，则2||||MP MB +的最小值为（ ）ABCD【答案】C【解析】设(),0Q a ，(),M x y ，根据||||MQ MP λ=和221x y +=求出a 的值，由2||||||||+=+MP MB MQ MB ，两点之间直线最短，可得2||||MP MB +的最小值为BQ ，根据坐标求出BQ 即 【详解】设(),0Q a ，(),M x y ，所以=MQ 1,02P ⎛⎫-⎪⎝⎭，所以=PQ ，因为||||MQ MP λ=且2λ=2=，整理可得22242133+-++=a a x y x ，又动点M 的轨迹是221x y +=，所以24203113aa +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得2a =-，所以()2,0Q -，又=2||MQ MP 所以2||||||||+=+MP MB MQ MB ，因为(1,1)B ，所以2||||MP MB +的最小值为==BQ故选：C 【点睛】本题主要考查圆上动点问题，考查两点间直线最短.二、填空题13．若“x a >”是“2x >”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________. 【答案】(2,)+∞【解析】根据“x a >”是“2x >”的充分不必要条件，可知{}x x a >是{}2x x >的子集，由集合间关系即可求出. 【详解】因为“x a >”是“2x >”的充分不必要条件，所以2>⇒>x a x ，所以2a >. 故答案为：(2,)+∞ 【点睛】本题主要考查充分、必要条件，解题的关键是会分析充分必要条件与集合间关系.14．已知12,F F 为椭圆221259x y += 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A B ， 两点，若2212F A F B += ，则||AB = ________ 【答案】8【解析】运用椭圆的定义，可得三角形ABF 2的周长为4a ＝20，再由周长，即可得到AB 的长． 【详解】椭圆22259x y +=1的a ＝5，由题意的定义，可得，|AF 1|+|AF 2|＝|BF 1|+|BF 2|＝2a ， 则三角形ABF 2的周长为4a ＝20，若|F 2A |+|F 2B |＝12， 则|AB |＝20﹣12＝8． 故答案为：8 【点睛】本题考查椭圆的方程和定义，考查运算能力，属于基础题．15．过点P 且与圆224x y +=相切的直线方程 ___．40y +-=【解析】解：因为点P 在圆上，则过圆上点的切线方程为0044xx yy y +=+=40y +-=16．已知底面边长为a 的正三棱柱111ABC A B C -（底面是等边三角形的直三棱柱）的六个顶点在球1O 上，且球2O 与此正三棱柱的5个面都相切，则球1O 与球2O 的表面积之比为________. 【答案】5: 1【解析】设球1O 与球2O 的半径分别为R ，r ，由题意分析球2O 的半径等于正三棱柱底面正三角形内切圆的半径，且等于正三棱柱高的一半，求出其半径r ，再由球1O 的球心在上下底面中心连线的中点上，求出半径R ，再由球的表面积公式求出比值即可. 【详解】设球1O 与球2O 的半径分别为R ，r ，因为球2O 与此正三棱柱的5个面都相切，所以球2O 的半径等于正三棱柱底面正三角形内切圆的半径，且等于正三棱柱高的一半，如图所示，因为正三棱柱111ABC A B C -底面边长为a 的正三棱柱，所以AB a =，所以2323=⨯=AE a a ，1236===⨯=r DE OE ，因为正三棱柱111ABC A B C -的六个顶点在球1O 上，所以球1O 的球心在上下底面中心连线的中点上，所以2222222512⎫⎫==+=+=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭R OA OE AE a ，所以球1O 与球2O 的表面积之比为2 222225412543ππ===⎛⎫⎪⎝⎭aR Rr ra，所以表面积之比为5: 1.故答案为：5: 1【点睛】本题以三棱柱为依托，考查正三棱柱外接球及内切球的性质，考察了空间想象能力，逻辑推理能力和运算求解能力.三、解答题17．已知:,p x R∀∈cos x m>，q:方程22184x ym m+=+-表示焦点在x轴上的椭圆，（1）若命题p为假命题，求实数m的取值范围；（2）若命题p和命题q中有一个为真命题且另一个为假命题，求实数m的取值范围.【答案】（1）1m≥-（2）2m≤-或14m-≤<【解析】（1）令p为真命题，求出m的范围，则命题p为假命题时，取补集即可；（2）令命题q为真命题，求出对应的m范围，由命题p和命题q中有一个为真命题且另一个为假命题，则分情况p真q假和p假q真讨论，求出m的取值范围即可.【详解】（1）若p真；则cos x m>恒成立，所以1m<-；则当P为假时，1m≥-.（2）若q真，方程22184x ym m+=+-表示焦点在x轴上的椭圆，则8440m mm+>-⎧⎨->⎩，即：24m-<<则m的取值范围是(2,4)-.若p真q假，则142mm m<-⎧⎨≥≤-⎩或，所以2m≤-；若p 假q 真，则124m m ≥-⎧⎨-<<⎩，所以14m -≤<；综上，2m ≤-或14m -≤<. 【点睛】本题主要考查真假命题，熟练掌握命题的真假与集合补集间关系. 18．已知圆221:1C x y +=与圆222:60C x y x m +-+=. （1）若圆1C 与圆2C 外切，求实数m 的值；（2）在（1）的条件下，若直线l 与圆2C 的相交弦长为(2,1)，求直线l 的方程.【答案】（1）5m =；（2）直线l 方程为：2x =或1y =【解析】（1）先根据圆的方程求出圆心坐标和半径，再由由圆1C 与圆2C 外切，可知两圆心的距离等于两圆半径之和，代入数据求解即可；（2）分析可知弦的垂直平分线过圆心，由勾股定理可求出圆心到直线的距离，再由直线l 过点(2,1)，可设出直线方程，分斜率存在和不存在两种情况，求出方程即可. 【详解】（1）221x y +=Q ，1(0,0),C ∴11r =，2260x y x m +-+=Q ，22(3)9x y m ∴-+=-，2(3,0)C ∴，2r ，Q 圆1C 与圆2C 外切，1212C C r r ∴=+，31∴=，5m ∴=；（2）由（1）得5m =，圆2C 的方程为22(3)4,x y -+=2(3,0),C 22r =，设圆心2C 到直线l 的距离d ，因为直线l 与圆2C 的相交弦长为2222=+r d ，代入数据解得1d =，当直线l 无斜率时：直线方程为2x =.符合题意. 当直线l 斜率为k 时，则直线方程为1(2)y k x -=-， 化为一般形式为210kx y k --+=，则圆心(3,0)到直线l 的距离211d k ==+，解得0k =.综上，直线l 方程为：2x =或1y =. 【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，圆与直线的位置关系，求直线方程时要分析斜率是否存在.19．如图，已知三棱锥A -BPC 中，,AP PC ⊥AC BC ⊥，M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，且PMB △为正三角形.（1）求证：DM P 平面APC ；（2）若4BC =，10AB =，求三棱锥D -BCM 的体积. 【答案】（1）证明见解析；（253【解析】（1）因为M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，由中位线定理可得MD AP P ，再由线面平行的判定定理即可证明；（2）根据题意得M 到平面BCD 的距离为MD 的长，由三棱锥D -BCM 的体积即为三棱锥M -BCD 的体积，由题设条件求出MD 的长，及三角形BCD 的面积，由椎体体积公式代入数据求解即可. 【详解】（1）证明：因为M 为AB 的中点，D 为PB 的中点， 所以MD 是ABP △的中位线，MD AP P . 又MD Ë平面APC ，AP ⊂平面APC ， 所以MD P 平面APC .（2）在等边三角形PMB 中，D 为PB 的中点，MD PB ∴⊥，AP PB ∴⊥，又AP PC ⊥，PB PC ⊂、平面PBC ，PB PC P ⋂=，AP ∴⊥平面PBC ，MD ∴⊥平面PBC ， BC ⊂Q 平面PBC ，AP BC ∴⊥，又BC AC ⊥Q ，PA AC ⊂、平面P AC ，PA AC A =I ，BC ∴⊥平面P AC ，∴⊂PC 平面PBC ，BC PC ∴⊥.MD ⊥Q 平面PBC ，即MD 是三棱锥M -DBC 的高.又因为10AB =，M 为AB 的中点，PMB △为正三角形，所以5PB MB ==，=MD ， 由BC ⊥平面APC ，可得BC PC ⊥，在直角三角形PCB 中，由5,PB =4BC =，可得3PC =. 于是111433222∆∆==⨯⨯⨯=BCP BCD S S ,所以M D B BCM D C V V --=13∆=⋅BCD S MD 133=⨯=. 【点睛】本题主要考查线面平行的判定及椎体的体积，解题的关键时对三棱锥体积的转化.20．已知椭圆222:1x C y m+=（常数1m >），P 是曲线C 上的动点，M 是曲线C 的右顶点，定点A 的坐标为(2,0).（1）若M 与A 重合，求曲线C 的焦距. （2）若3m =，求||PA 的最大值与最小值.【答案】（1）（2）||PA 的最大值为5，最小值为2. 【解析】（1）由M 与A 重合，可得椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，即2m =，再由222c a b =-即可求出c 的值，从而求出焦距2c ；（2）设(),P x y ，利用两点间的距离公式及点P 坐标满足椭圆方程，得到||PA 关于x 的一元二次方程，根据二次函数的性质求出||PA 的最大值与最小值即可. 【详解】（1）根据题意，若M 与A 重合，即椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，则2m =，所以椭圆的方程为：2214x y +=，其焦点在x 轴上，设焦距为2c ，所以有2413=-=c 则3c =，所以椭圆焦距为23；（2）若3m =，则椭圆的方程为2219x y +=，变形可得2219x y =-，设(),P x y ，则222||(2)PA x y =-+228894125994⎛⎫=-+=- +⎪⎝⎭x x x (33)x -≤≤根据二次函数的性质，可得3x =-时，2||PA 取得最大值25， 当94x =时，2||PA 取得最小值12， 所以||PA 的最大值为5，最小值为2. 【点睛】本题主要考查椭圆知识的综合应用，解题的关键是熟练掌握并应用椭圆的有关性质. 21．如图，在直角梯形中，，，且，点是中点，现将沿折起，使点到达点的位置.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ） 【解析】第（Ⅰ）问先证平面，由线面垂直证明面面垂直；第（Ⅱ）问先找垂直关系后建立空间直角坐标系，利用向量法求出两面的法向量，进而求所成二面角的余弦值. 【详解】解：（Ⅰ）证明：∵，，点是中点，∴，，∴四边形为平行四边形，∴， 又，∴，∴，，∴平面，∴平面，又∵平面，∴平面平面；（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，∴即为与平面所成的角，∴，∵平面，∴，∴为等腰直角三角形，∴，故为等边三角形，取的中点，连结，则，∵平面，又平面，∴平面平面，又平面，∴平面，以为坐标原点，过点与平行的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立空间直角坐标系如图，设，则，，，，从而，，设平面的一个法向量为，则由得，令得，又平面的一个法向量，则，所以，平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【点睛】本题是一道立体几何综合题，考查面面垂直的证明及二面角的求解。

三峡名校联盟高2023级2020－2021年第一学期数学试题(总分150分，考试时间120分钟)一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.命题“∀x ∈R ，e x >x2的否定是A.∀x ∈R ，e x <x 2B.∀x ∈R ，e x ≤x 2C.∃x 0∈R ，0xe >x 02 D.∃x 0∈R ，0xe ≤x 02 2.设集合A ＝{x|y ＝lg(x ＋1)}，B ＝{x|2x >4}，则A ∩(∁R B)＝ A.(2，＋∞) B.(－1，2] C.(－1，2) D.(－1，＋∞) 3.在半径为2的圆中，长度为2的弦所对劣弧所在的扇形的面积是 A.23π B.3π C.6πD.43π 4.已知函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，则m ＝f(log 23)，n ＝f(log 25)，r ＝f(1)的大小关系正确的是A.m>n>rB.n>m>rC.m>r>nD.r>m>n5.若si nθ＋cosθ＝23，则tanθ＋1tan θ＝ A.－518 B.518 C.－185 D.1856.2020年7月31日，中国宣布北斗三号全球卫星导航系统正式开通，成为继美国GPS 等系统后另一个能为全球提供高质量导航定位的系统北斗卫星由长征三号乙运载火箭成功送入太空，长征三号乙运载火箭在发射时会产生巨大的噪音声音的等级d(x)(单位：dB)与声音的强度x(单位：w/m 2)满足d(x)＝9lg13110x-⨯，火箭发射时的声音等级约为153dB ，两人交谈时的声音等级大约为54dB ，那么火箭发射时的声音强度大约是两人交谈时声音强度的倍 A.109 B.1010 C.1011 D.10127.已知函数f(x)＝|log 2x|，当0<m<n 时，f(m)＝f(n)，若f(x)在[m 2，n]上的最大值为2，则n m＝ A.2 B.52C.3D.4 8.已知log 3(a －1)＋log 3(b －3)＝1，则a ＋3b 取到最小值时，2a ＋b 的值为 A.16 B.12 C.9 D.8二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，选出错误选项得0分)9.下列函数中，其定义域与函数y＝12x的定义域相同的是A.y＝2xB.y＝(x)2C.y＝21x- D.y＝lne x10.若函数f(x)同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f(x)＋f(－x)＝0；②对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0，则称该函数为“七彩函数”。

2020-2021学年重庆市三峡名校高二12月联考文数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若直线的方程为x y =，则此直线的倾斜角为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 2．命题“若0a =，则0ab =”的否命题是（ ） A ．若0ab =，则0a = B ．若0ab =，则0a ≠ C ．若0a ≠，则0ab ≠D ．若0ab ≠，则0a ≠3．用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．4．设,a b 为两条直线，,αβ为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） A ．若,a b 与α所成的角相等，则a ∥b B ．若a ∥α，b ∥β，α∥β，则a ∥b C ．若,,a b αβ⊂⊂a ∥b ，则α∥β D ．若,,a b a b αα⊥⊥⊄，则b ∥α5．长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AB AA AD ===，则异面直线1BC 与AC 所成角的余弦值为（ ）A ．15 B ．126．已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么A ⌝是B ⌝的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ） A ．3243R π B ．383R π C ．3245R π D ．385R π 8．若过定点(1,0)M -且斜率为k 的直线与圆22450x x y ++-=在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是（ ）A ．0k <<B ．0k <<C ．0k <<D ．05k <<9．若()}{(){()()()22222,(4)(4)8,,11.0}M x y x y N x y x y r r =+++==-+-=>，且M N φ⋂=,则r 范围是（ ）A ．(B ．()+∞C ．(-∞D ．(()⋃+∞10．设椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点分别为21,F F ,焦距为c 2,直线)(3c x y +=与椭圆的一个交点为M ,若12212MF F MF F ∠=∠,则椭圆离心率为（ ）A ．32- C D ．13-11．已知矩形,ABCD 1,AB BC ==将ABD ∆沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中（ ）A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直12．点P 在正方体1111,ABCD A B C D -的底面ABCD 所在平面上，E 是1A A 的中点，且1EPA D PD ∠=∠，则点P 的轨迹是（ ）A ．圆B ．直线C ．椭圆D ．圆的一部分二、填空题13．已知二次方程2220x y x a +++=表示圆，则a 的取值范围为 ． 14．棱长为2的正方体内切球的表面积为__________．15．已知点A 在x 轴正半轴上，点(1,2,0)B ，且AB =则点A 的坐标是__________．16．在直线04:=-+y x l 任取一点M,过M 且以1121622=+y x 的焦点为焦点作椭圆,则所作椭圆的长轴长的最小值为__________．三、解答题17．已知ABC ∆的三个顶点(4,6),(4,0),(1,4)A B C ---，求 （1）AC 边上的高BD 所在直线方程； （2）AB 边的中线的方程．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB AD =，60,,BAD E F ∠=分别是,AP AD 的中点．求证：（1）直线EF ∥平面PCD ； （2）直线BF ⊥平面PAD ．19．已知R a ∈，设命题:p 函数()xf x a =是R 上的单调递减函数；命题q ：函数2()lg(221)g x ax ax =++的定义域为R ．若“p q ∨”是真命题，“p q ∧”是假命题，求实数a 的取值范围．20．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，90ACB ∠=，112AC BC AA ==，D 是棱1AA 的中点.（Ⅰ）证明：平面1BDC ⊥平面BDC ； （Ⅱ）求异面直线DC 与1BC 所成角的余弦值. 21．已知圆25)2()1(:22=-+-y x C ，直线)(047)1()12(:R m m y m x m l ∈=--+++．（1）求证：对任意m R ∈，直线l 与圆C 恒有两个交点；（2）求直线l 被圆C 截得的线段的最短长度，及此时直线l 的方程．22．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为2(1,0)F ，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）点M 在圆222x y b +=上，且M 在第一象限，过M 作圆222x y b +=的切线交椭圆于,两点，求证：△的周长是定值．参考答案1．B 【解析】试题分析：由直线斜率公式k=tan 1α=且)0180α⎡∈⎣，得倾斜角=45α，故选B ． 考点：直线的斜率公式的应用． 2．C 【解析】试题分析：由否命题的定义“条件、结论同时换质”可知原命题的否命题是“若0a ≠，则0ab ≠”，故选C ．考点：否命题定义的应用． 3．B 【解析】试题分析：用一个平行于水平面的平面去截球，截面是圆，由俯视图的定义知该几何体的俯视图是两个同心圆，外面的一个圆是球的大圆，里面的圆是截面圆，因截面圆被大圆完全遮住看不到，所以应该是虚线，故选B ． 考点：简单几何体的三视图． 4．D 【解析】试题分析：本题可以通过画图找反例来排除．A 选项可用正棱锥的侧棱和底面来否定；B 选项中与两个平行平面分别平行的直线可以平行，可以相交，也可以异面，所以B 不对；C 中，可把两直线,a b 分别放入两个相交平面内且都与交线平行来否定,故选D ． 考点：空间中的平行关系． 5．A 【解析】试题分析：以D 为原点，1,,DA DC DD 为x 轴，y 轴，z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则A （1，0，0），B （1，2，0），C （0，2，0），C 1（0，2，2），所以1(102)BC =-，，(120)AC =-，，，所以1111cos cos ,5AC BC AC BC AC BC θ⋅===，故选A ．考点：异面直线所成的角，空间向量的应用． 6．B 【解析】解：因为A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，说明了集合A 含于集合B ，那么则利用等价命题B ⌝一定是A ⌝的充分条件，因此说一定是必要条件．选B 7．A 【解析】试题分析：设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则2r=R,r=2R ππ∴，222,,2r h R h R +=∴=所以圆锥的体积231=32R V R π⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭，故选A ．考点：圆锥的侧面展开图及体积公式． 8．A 【解析】222x 2y 3203x 0y A 0kMA 10k 0k 0k ?A ++=-===-∴∴=∴解：圆的方程可变形为（），圆心（，），半径等于，令，则设（又直线过第一象限且过（，）点，＞．又直线与圆在第一象限内有相交点，＜． 9．A 【解析】试题分析：由集合的表示方法可知：两个集合M ，N 分别表示两个圆221C (4)(4)8x y +++=：，()()22211x y r -+-=2C ：上的点，圆心C 1（-4，-4），C 2（1，1），12C C =由于M N φ⋂=，所以两个圆是相外离或内含关系，所以1212C C r C C r <->+r r <>0r >，根据选项可知，只有A 正确．考点：集合的表示及圆与圆的位置关系． 10．D 【解析】试题分析：如下图所示，直线)(3c x y +=的斜率，所以倾斜角=60α，12212MF F MF F ∠=∠，21=30MF F ∴∠，12=90F MF ∴∠，设21n MF m MF ==，，则有22221224m n am n F F c m +=⎧⎪+==⎨⎪=⎩，解得e 1c a ==，故选D ．考点：椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系及椭圆的几何性质． 11．B 【解析】试题分析：如图，AE ⊥BD ，EF ⊥BD，依题意，1,AB BC ==3AE CF ==3BE EF FD ===A 选项，若存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直，则由于AE ⊥BD ，所以BD ⊥平面AEC ，从而BD ⊥EC ，这与已知相矛盾，所以A 错误；B 选项中，若存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直，则CD ⊥平面ABC ，平面BCD ⊥平面ABC ，取BC 得中点M ，连接ME ，则ME ⊥BD ，所以AEM ∠就是二面角A-BD-C 的平面角，此角显然存在，即当A 在底面是的射影位于BC 的中点时，AB ⊥ CD ，故B 正确；C 选项中，若存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直，则BC ⊥平面ACD ，从而平面ACD ⊥平面B CD ，即点A 在底面BCD 上的射影应在线段CD 上，这是不可能的，故排除C ；根据上述亦可排除D ，故选B ．考点：空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面的垂直关系．【方法点晴】这是一道折叠问题，应当注意折叠前后的变量与不变量，计算几何体中的相关边长，再分别对四个选项进行分析排除，这就需要用到反证法，先假设某个条件成立，从该条件出发，结合原图形中的不变关系，看能否推出矛盾，这是探索性问题常用的解题思路，本题中还要用到线线垂直、线面垂直及面面垂直之间的相互转化，这就需要考生对空间中的垂直关系非常熟悉，方能顺利解答． 12．A 【解析】试题分析：在Rt APE 中，tan ,AEAPE AP ∠=在1Rt D DP 中，11tan DD D PD DP∠=，1EPA D PD ∠=∠，1tan tan EPA D PD ∴∠=∠，即1=,DD AE AP DP又12DD AE=2PD PA ∴=，也就是说动点P 到定点D 的距离是它到A 距离的2倍，以A 为原点建立如图平面直角坐标系xoy ，设(x,y)P 为所求轨迹上的任意一点，(00)A ，，(02)D ，，则=2233440x y y ++-=，又因为P 正方体的底面ABCD所在的平面上，所以P 点的轨迹为圆2233440x y y ++-=，故选A ．考点：空间线面垂直关系，直角三角形中正切函数的定义，直接法求轨迹方程．【方法点晴】本题是一道立体几何与平面解析几何相结合的综合题，要研究P 的轨迹，应设法把几何体中两角的关系转化为平面内的距离问题，在这个转化过程中，正方体中的侧棱与底面垂直和棱长相等是转化的基础，在转化基础上，建立平面直角坐标系，设出P 点的坐标，把距离关系转化为坐标的关系，整理方程即可判断轨迹形状． 13．(,1)-∞ 【解析】试题分析：根据原一般方程需满足的条件2240D E F +->得：4-40a >，1a ∴<． 考点：圆的一般方程． 14．4π 【解析】试题分析：由正方体与其内切球的关系可知，内切球的直径2r=2，所以r=1，2=4r 4S ππ∴=球．考点：正方体与球的组合体及球的表面积公式． 15．(2,0,0) 【解析】试题分析：设点,0,0(0)x x A >（），则AB ==()2x 11-=，解得02x x ==或，又0x >，所以2x =，A 的坐标是(2,0,0)． 考点：空间中两点的距离公式．【方法点晴】本题是一道空间中两点间距离公式的应用问题，求点的坐标可先根据条件设出坐标，设法建立关于该点坐标的方程或方程组，通过解方程解决问题，同时要注意审题，由点B 的坐标要能想到这是空间坐标系中的两点，同时要注意点A 的位置，从而保证正确解答．16． 【解析】试题分析：椭圆2211612x y +=的焦点坐标分别为12(20)(20)F F -，，，，设点2(20)F ，关于直线04:=-+y x l 的对称点为P （x,y ），则2402212x yy x +⎧+-=⎪⎪⎨⎪=⎪-⎩解得P （4,2），连接PF 1交直线l 于点M ，直线PF 1的方程为320x y -+=，联立方程组40320x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得5322M （，）即为满足所作椭圆的长轴长最小，否则在直线l 上任取不同于5322M （，）的一点Q ，12112QF QF PF MF MF +>=+，设所求的椭圆长轴长为2a，则12a PF ==．考点：椭圆的定义、方程，直线与椭圆的位置关系以及转化的数学思想．【方法点晴】本题的突破口是所“作椭圆以已知椭圆的焦点为焦点且经过经过直线l 上的动点M ”，这为应用椭圆的定义创造了条件，要使所作椭圆的长轴长最小，只要在直线l 上求一点M 使得它到两个定点F 1、F 2的距离之和最小即可，最终转化为平面上两点与直线的距离和最小问题，应用对称的相关知识作解． 17．（1）240x y -+=；（2）730x y ++=． 【解析】试题分析：第（1）问可先有两直线的垂直关系求出高BD 的斜率，用点斜式求出直线方程；第（2）问中，AB 边上的中线经过AB 的中点和点C ，用斜率公式求出斜率，然后代入点斜式方程整理即得所求方程．试题解析：（1）直线AC 的斜率为46214AC k -==--- ∴高BD 所在直线斜率为12直线的方程为1(4)2y x =+ 即 240x y -+= （2）AB 中点坐标为(0,3)-∴AB 边中线方程为304310y x +-=+-- 即 730x y ++= 考点：平面上两直线的垂直关系，求直线方程．18．（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】试题分析：第（1）问中，要证明线面平行可通过证线线平行即在平面PCD 内找EF 的平行线，用线面平行的判定定理来证明；第（2）问中因为存在平面PAD 的垂面ABCD ，所以只需证明BF 与两个平面的交线垂线即可．试题解析：（1）,E F 分别为,AP AD 的中点,//EF PD ∴EF ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ∴直线//EF 平面PCD（2）连接BD ,60AB AD BAD =∠=ABD ∴为正三角形 F 为AD 的中点BF AD ∴⊥平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =∴直线BF ⊥平面PAD考点：空间直线与直线、直线与平面平行关系，垂直关系及平面与平面的垂直关系应用．19．{|120}a a a ≤<=或．【解析】试题分析：要使“p q ∨”是真命题，“p q ∧”是假命题，应有p,q 一真一假即“p 真q 假”或“P 假q 真”两种情况，可分情况讨论，解题时可先分别求出“p 真”、“q 真”时a 的取值范围，其补集即为使“p 假”、“q 假”的a 的范围．试题解析：解：若p 为真，则01a <<若q 为真，则0a =或20(2)420a a a >⎧⎨∆=-⋅<⎩02a ∴≤< p q ∨为真命题，p q ∧为假命题∴p ，q 一真一假当p 真q 假时，0102a a a <<⎧⎨<≥⎩或a φ⇒∈ 当p 假q 真时，0112002a a a a a ≤≥⎧⇒≤<=⎨≤<⎩或或综上所述：实数a 的取值范围为{|120}a a a ≤<=或考点：简易逻辑中“p q ∨”、“p q ∧”形式符合命题真假判断的应用及分类讨论数学思想的应用．20．（Ⅰ）证明见解析； 【详解】试题分析：（I ）易证得1DC ⊥平面BDC ,再由面面垂直的判定定理即可证得平面1BDC ⊥平面BDC ；(II)设棱锥1B DACC -的体积为1,1V AC =,易求得112V =，三棱术111ABC A B C -的体积为1V =,于是得1():1:1V V V -=,从而可得答案.试题解析： （I ）由题意知BC ⊥CC 1，BC ⊥AC ，CC 1∩AC=C ，∴BC ⊥平面ACC 1A 1，又DC 1⊂平面ACC 1A 1，∴DC 1⊥BC ．由题设知∠A 1DC 1=∠ADC=45°，∴∠CDC 1=90°，即DC 1⊥DC ，又DC∩BC=C ，∴DC 1⊥平面BDC ，又DC 1⊂平面BDC 1，∴平面BDC 1⊥平面BDC ；（II ）以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设AC ＝BC ＝＝1， 则D （1，0，1），C （0，0，0），B （0，1，0），C 1（0，0，2），＝（﹣1，0，﹣1），＝（0，﹣1，2），设异面直线DC 与BC 1所成角为θ，则cos θ＝＝＝，∴异面直线DC 与BC 1所成角的余弦值为．【易错点睛】本题主要考查了平面与平面垂直的判定；棱柱的结构特征；棱柱,棱锥,棱台的体积.着重考查直线与平面垂直的判定定理的应用与棱柱,棱锥的体积,考查分析,表达与运算能力,属于中档题.证明垂直问题时一定严格按照定理成立的条件规范书写过程,另注意问题的转化:线线垂直--线面垂直--线线垂直.本题难度中等.21．（1）证明见解析；（2）最短弦长l 的方程为210x y --=．【解析】试题分析：（1）直线l 表示的是过两直线交点的直线系方程，可先求出交点，研究该点与圆的位置关系来证明；（2）涉及到圆的弦长问题，应通过分析直线与圆的位置关系来确定直线的位置，分析图形容易发现当直线l 与过圆心和顶点的直线垂直时，弦长最短． 试题解析：解：（1）直线l 化为(27)40m x y x y +-++-=由27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得(3,1)P ，l 恒过点P ，||5PC r ==<=∴点P 在圆C 内∴直线l 与圆C 恒有两个交点（2）l 恒过圆C 内一点(3,1)P∴当l 过P 与PC 垂直时，弦最短||5PC r ==，∴最短弦长||AB ==直线PC 斜率为 31212PC k -==--12l k ∴= ∴l 方程为 11(3)2y x -=- 即210x y --= 考点：直线与圆的位置关系，求直线方程．【方法点晴】（1）对直线l 的方程分离参数m ，容易发现直线l 经过定点P ，这样要证明直线与圆的相交关系，只要证明直线l 经过的定点P 在圆内即可；（2）直线被圆截得的弦长可以表示为l r 为定值，所以要让弦长最短，就需圆心到直线的距离最小，结合圆的知识可知当直线l 垂直于PC 时，满足题意． 22．（1）22198x y ；（2）△2PF Q 的周长是定值6．【解析】【详解】 试题分析：（1）这是一个焦点在x 轴上的椭圆，给出焦点坐标即得c 的值，由椭圆上的点H 和焦点结合椭圆的定义易求a 的值，再由椭圆中三个参数a ，b ，c 的关系222a b c =+，可得b 的值，从而求得椭圆方程；（2）中，△2PF Q 的周长C C ∆BA =22PF QF PQ ++，其中F 2是定点，P 、Q 是直线PQ 与椭圆的两个交点，可先设出P 、Q 两点的坐标，用两点间距离公式表示出22PF QF ，，用弦长公式表示出|PQ|,通过椭圆方程消除其中的纵坐标，得到横坐标之间的关系，把韦达定理代入整理，看周长是否是定值．试题解析：（1）由已知得，椭圆的左右焦点分别是12(1,0),(1,0),1F F c -=(3,0)H 在椭圆上，122426a HF HF ∴=+=+=3,a b ∴==椭圆的方程是22198x y ；（2）方法1：设()1122,,(,)P x y Q x y ，则2211198x y +=，2PF ===， ∵103x <<，∴1233x PF =-， 在圆中，M 是切点，∴113PM x====，∴211113333PF PM x x+=-+=，同理23QF QM+=，∴22336F P F Q PQ++=+=，因此△2PF Q的周长是定值6．方法2：设PQ的方程为(0,0),y kx m k m=+1122(,),(,),P x y Q x y由22{,198y kx mx y=++=得222(89)189720k x kmx m+++-=则212122218972,8989km mx x x xk k--+==++12PQ x∴=-===PQ∵与圆228x y+=相切=即m=∴2689kmPQk=-+∵2PF===，∵103x<<，∴1233xPF=-，同理2221(9)333xQF x=-=-，∴12222226666663898989x x km km kmF P F Q PQk k k+++=--=+-=+++，因此△2PF Q的周长是定值6．考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，函数与方程的思想方法．【点睛】【方法点晴】（1）求椭圆方程最常用的方法是待定系数法，有时可以利用椭圆的定义简化运算，提高解题速度；（2）在研究直线与圆锥曲线位置关系中的定值问题，通常是把待证的量用直线与圆锥曲线的两个交点坐标表示出来，先选取合理的参数，联立并整理方程组用韦达定理把两点坐标的和、积表示出来，代入整理，直接得到定值或者构造关于参数的函数关系式，用函数的知识求得定值．。

2022-2023学年重庆市三峡名校联盟高二上学期12月联考数学试题一、单选题1．已知()1,4A --，(),2B λ两点所在直线的倾斜角为4π，则实数λ的值为（ ） A ．7- B ．5- C ．2-D ．5【答案】D【分析】根据直线斜率的计算公式，结合已知条件，列出方程，即可求得参数值. 【详解】根据题意可得()()246tan 1411πλλ--===--+，解得5λ=. 故选：D.2．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆上一点(),P x y 到焦点1F 的最大距离为7，最小距离为3，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．12B ．25C ．23D ．52【答案】B【分析】根据点(),P x y 在椭圆上得22221x y a b+=，且a x a -≤≤，再利用两点距离求得1c PF x a a =+，从而可确定1PF 的最大值与最小值，即可求得,a c 的值，即可得离心率ce a=的值.【详解】解：设椭圆的半焦距为c ，若椭圆上一点(),P x y ，则22221x y a b+=，且a x a -≤≤又1(,0)F c -，222a b c =+则1c PF x a a ==+由于a x a -≤≤，所以11max min 7,3PF a c PF a c =+==-= 于是可得5a =，2c =，所以椭圆C 的离心率25c e a ==. 故选：B.3．若直线l 的方向向量为()2,1,a m =，平面α的法向量为11,,22n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且 l α∥，则（ ）A ．45- B ．54- C ．4 D ．52【答案】B【分析】因为l α∥，所以有a n ⊥，由向量垂直的坐标运算即可求解.【详解】若l α∥，则有a n ⊥， 即12202a n m ⋅=++=，解得54m =-.故选：B4．己知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，321S S =，则23S =（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】根据等差数列的性质即可求解. 【详解】∵321S S =， ∴()345421212190S S a a a a a -=+++=+=，∴2410a a +=，∴()2312345212223S a a a a a a a a =+++++++()12322231421122a a a a a a a a a =++++=++==，故选：B5．若圆()()2221:10C x y r r +-=>上存在点P ，且点P 关于直线y ＝x 的对称点Q 在圆()()222:211C x y -+-=上，则r 的取值范围是（ ）A ．1⎤⎦B ．C ．⎡⎣D ．(]0,1【答案】A【分析】利用对称圆，把问题转化为两圆的位置关系问题进行处理.【详解】根据题意，圆1C 的圆心坐标为（0，1），半径为r ，其关于直线y ＝x 的对称圆3C 的方程为()2221x y r -+=，根据题意，圆3C 与圆2C 有交点，既可以是外切，也可以是相交，也可以是内切．又圆()()222:211C x y -+-=，所以圆3C 与圆2C 的圆心距为23||C C =需11r r -≤≤+，解得1r ⎤∈⎦．故B ，C ，D 错误.故选：A.6．5G 是第五代移动通信技术的简称，其意义在于万物互联，即所有人和物都将存在于有机的数字生态系统中，它把以人为中心的通信扩展到同时以人与物为中心的通信，将会为社会生活与生产方式带来巨大的变化．目前我国最高的5G 基站海拔6500米．从全国范围看，中国5G 发展进入了全面加速阶段，基站建设进度超过预期．现有8个工程队共承建10万个基站，从第二个工程队开始，每个工程队所建的基站数都比前一个工程队少16，则第一个工程队承建的基站数（单位：万）约为（ ）A ．88810665⨯-B ．78810665⨯-C ．78880665-⨯D ．68810665⨯-【答案】B【分析】8个工程队所建的基站数依次成等比数列，比为56，第一个工程队承建的基站数为1a （万），由等比数列前n 项和公式列式求解．【详解】由题意，8个工程队所建的基站数依次成等比数列，比为56，记第一个工程队承建的基站数为1a （万），则815[1()]610516a -=-，718810665a ⨯-=． 故选：B ．7．已知直线l 过点(1,3,1)P ，且方向向量为(1,0,1)m =-，则点(1,1,1)A --到l 的距离为（ ） A．B ．4 C．D ．3【答案】A【分析】根据直线l 一个方向向量为m ，取直线l 的一个单位方向向量为m mμ=，计算PA ，代入点到直线的距离公式22)(d PA AP μ⋅=-计算即可．【详解】直线l 的一个方向向量为()1,0,1m =-，取直线l 一个单位方向向量为()21,0,12m mμ==-=⎝⎭， 又()1,1,1A --为直线外一点，且直线l 过点()1,3,1P ， ()0,4,2PA ∴=--， ()0,4,2PA μ⋅--⋅∴=⎝⎭25AP =∴点A 到直线l 的距离为22()d PA AP μ⋅-===故选：A ．8．已知抛物线C ：22y px =()0p >的焦点为F ，过点F 的直线与C 交于A ，B 两点，与y 轴正半轴交于点D ，与抛物线C 的准线l 交于点E .若2BF AF =，则ABDE=（ ） A ．23B ．1C ．32D ．2【答案】C【分析】作AA l '⊥，BB l '⊥，垂足分别为A '，B '，且BB '与y 轴交于点M ，作AG BB '⊥，FH BB '⊥，垂足分别为G ，H ，由三角形相似的性质与抛物线的性质求解即可 【详解】如图，作AA l '⊥，BB l '⊥，垂足分别为A '，B '，且BB '与y 轴交于点M ， 作AG BB '⊥，FH BB '⊥，垂足分别为G ，H .设AF m =，则B G AA m ''==，2BB BF m '==，故BG m =. 因为BHF BGA ∽△△， 所以23BH BF BG AB ==， 所以23BH m =.因为B H p '=，所以223m p m +=，所以43p m =，则1223B M p m '==. 因为G 为BB '的中点，且//AG y 轴， 所以A 为BE 的中点，即3AE AB m ==. 因为BND BB E '∽△△，所以23BD BM BB B M BE BB BB ''-===''， 所以4BD m =， 所以2DE m =，故3322AB m DE m ==. 故选：C二、多选题9．下列说法错误的是（ ）A ．过点()2,3A --且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为5x y +=-B ．直线2(1)(3)750m x m y m ++-+-=必过定点()1,3C ．经过点()1,1P ，倾斜角为θ的直线方程为()1tan 1y x θ-=-D ．直线10kx y k ---=和以()3,1M -，()3,2N 为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为1322k -≤≤【答案】ACD【分析】当在两坐标轴上的截距相等且等于0时可判断A ；由含参直线方程过定点的求法计算可判断B ；由π2θ=可判断C ；计算出端点处的斜率结合图形可判断D 【详解】对于A ：当在两坐标轴上的截距相等且等于0时，直线过原点， 可设直线方程为y kx =，又直线过点()2,3A --，则32k -=-，即32k ， 此时直线方程为32y x =，故A 错误； 对于B ：直线()()213750m x m y m ++-+-=可变形为()252370x y m x y +-+-+=，由2502370x y x y +-=⎧⎨-+=⎩解得13x y =⎧⎨=⎩， 即直线()()213750m x m y m ++-+-=必过定点()1,3，故B 正确； 对于C ：当倾斜角π2θ=时，tan θ无意义，故C 错误； 对于D ：直线10kx y k ---=即()11y k x +=-，经过定点()1,1P -，当直线经过点()3,1M -时，斜率为()111312k --==---， 当直线经过点()3,2N 时，斜率为()213312k --==-，由于线段MN 与y 轴相交，故实数k 的取值范围为12k ≤-或32k ≤，故D 错误；故选：ACD10．已知方程F ：()2210x y mn m n-=≠，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．若0m n +=，则方程F 表示的图形是圆B ．若0mn >，则方程F 表示的图形是双曲线，且渐近线方程为n y x m=± C ．若0mn <且0m n +≠，则方程F 表示的图形是椭圆 D ．若01m <<且1n <-，则方程F 1mn+ 【答案】BD【分析】对于A ，由题知方程F 为()2210x y mn m m+=≠，再根据0m >，0m <时的情况判断A ； 对于B ，分0,0m n >>和0,0m n <<两种情况讨论判断B ； 对于C ，分0,0m n ><和0,0m n <>两种情况讨论判断C ；对于D ，由题知方程()2210x y mn m n-=≠表示焦点在y 轴上的椭圆，再求离心力判断D. 【详解】解：对于A 选项，由于0m n +=且0mn ≠得m n =-，故方程为()2210x y mn m m+=≠， 所以，当0m >时，方程F 表示的图形是圆；当0m <时，方程F 不表示任何图形，故A 选项错误； 对于B 选项，若0mn >，则方程F 表示的图形是双曲线，当0,0m n >>时，焦点在x 轴上，22,a m b n ==，渐近线方程为b ny x x a m =±=±； 当0,0m n <<时，焦点在y 轴上，22,a n b m =-=-，渐近线方程为a ny x x b m=±=±； 所以，B 选项正确；对于C 选项，由于0mn <且0m n +≠，所以当0,0m n ><时，方程()2210x y mn m n-=≠表示焦点在x 轴上的椭圆； 当0,0m n <>时，方程()2210x y mn m n-=≠不表示任何图形； 所以，C 选项错误；对于D 选项，若01m <<且1n <-，方程()2210x y mn m n-=≠表示焦点在y 轴上的椭圆，其中222,,a n b m c n m =-==--，所以，离心率为c e a ===D 选项正确. 故选：BD11．在数列{}n a 中，其前n 的和是n S ，下面正确的是（ ）A ．若2234n S n n -=+ ，则其通项公式45n a n =-B ．若112,1+==++n n a a a n ，则其通项公式21(2)2n a n n =++C ．若112,(1)n n a na n a +==+，则其通项公式2n a n =D ．若21a =，2n n S na =，则其通项公式1n a n =- 【答案】BCD【分析】A 根据,n n a S 的关系讨论1n =、2n ≥求通项公式即可；B 由递推式可得1(234...)n a a n =+++++即可求通项公式；C 构造数列{}n an 即可求通项；D 应用数学归纳法求证通项公式即可.【详解】A ：1n =时，112343a S =+-==，当2n ≥时，221232(1)3(1)45n n n a S S n n n n n -=-=---+-=-，而14151a ≠⨯-=-，故错误；B ：由题设，212a a =+，323a a =+，434a a =+，545a a =+，…，则21(2)(1)2(234...)222n n n n n a a n +-++=+++++=+=，故正确；C ：由题设，11n n a a n n +=+，而121a=，则2n a n=，即2n a n =，故正确；D ：假设1n a n =-成立，当1n =时，1112a a S ==，即1011a ==-成立； 若2n k =≥时，1k a k =-成立，则1n k =+时，1111(1)(1)(1)22k k k k k k k a ka k S a k k a S +++++-+--==-=，此时1(1)(1)k k a k k +-=-，则1k a k +=也成立，故正确. 故选：BCD12．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13AD AA ==，2AB =，点P ，E 分别为AB ，1AA 的中点，点M 为直线1CD 上的动点，点N 为直线11C D 上的动点，则（ ）A ．对任意的点N ，一定存在点M ，使得PM DN ⊥B ．向量PM ，1A B ，1D E 共面C ．异面直线PM 和1AA 所成角的最小值为4π D ．存在点M ，使得直线PM 与平面11DCC D 所成角为3π 【答案】BCD【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量的方法可判断ACD 的正误，利用中位线和长方体的性质可判断B 的正误.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则))()()3,0,0,3,2,0,0,2,0,0,0,0A BC D ， (((11113,0,3,3,2,3,3,3A B C D ，故)3,1,0P，设(0,3N t ，11D M DC λ=，02,01t λ≤≤≤≤， 而(10,2,3D C =-，故()10,2,3D M λλ=-即()0,233M λλ=，故()()0,,3,3,2DN t PM λ==--， 若PM DN ⊥，则0DN PM ⋅=即()()21330t λλ-+-=，当1t =时，λ不存在，故当N 为11D C 中点，不存在M ，使得PM DN ⊥，故A 错误. 连接EF ，则1//EF A B ，由长方体可得11//D C A B ，故1//EF CD ， 故PM ，EF ，1D E即PM ，1A B ，1D E 共面，故B 正确. (1AA =，故1cos ,AA PM =31λ-=，当1λ=时，1cos ,0AA PM=，此时1AA PM ⊥；当01λ≤<时，1cos ,AA PM =，令()2211t λλλ-+=-，设(]10,1u λ=-∈，则21133244t u ⎛⎫=-+≥⎪⎝⎭，故1cos ,2AA PM ==， 所以异面直线PM 和1AA 所成角的范围为,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故直线PM 和1AA 所成角的最小值为4π，故C 正确.平面11DCC D 的法向量为()1,0,0n =，故cos ,n PM =若直线PM 与平面11DCC D 所成角为3π 故271030λλ-+=，所以37λ=或1λ=，故D 正确. 故选：BCD.【点睛】思路点睛：空间位置关系中的最值问题，可通过建立空间直角坐标系，把角的最值问题或存在性问题转化为函数的最值或方程的解的问题.三、填空题13．已知直线()21:130l a x y -+=与直线()2:140l x a y +++=垂直，则实数a 的值为__________．【答案】1-或2-【分析】直接根据直线垂直的公式计算即可.【详解】直线()21:130l a x y -+=与直线()2:140l x a y +++=垂直， 故()()21310a a -++=，解得1a =-或2a =-.故答案为：1-或2-14．在等比数列{}n a 中，14a ，42a ，7a 成等差数列，则35119a a a a +=+_______.【答案】14【分析】根据三项成等差数列可构造方程求得等比数列的公比q 满足32q =，将所求式子化为1a 和q 的形式，化简可得结果. 【详解】14a ，42a ，7a 成等差数列 17444a a a ∴+=即：6311144a a q a q +=，解得：32q =243511108611911114a a a q a q a a a q a q q ++∴===++ 本题正确结果：14【点睛】本题考查等差数列和等比数列的综合应用问题，关键是能够求解出等比数列的基本量，属于基础题.15．已知直三棱柱111ABC A B C 中,90ABC ∠=︒,1AC AA ==2AB =,M 为1BB 的中点,则点1B 到平面ACM 的距离为______． 【答案】1【分析】根据题意建立空间直角坐标系,找到点的坐标和平面ACM 的法向量,利用公式求出点到面的距离即可.【详解】解:由题知,直三棱柱111ABC A B C ,且90ABC ∠=︒,故以B 为原点,BC 方向为x 轴,BA 方向为y 轴,1BB 方向为z 轴建立如图所示空间直角坐标系,122AC AA ==2AB =,M 为1BB 的中点,(0,0,0),(0,2,0),(2,0,0),B A C ∴111(0,0,22),(0,2,22),(2,0,22),2)B A C M , 1(2,2,0),(2,0,2),2)AC CM MB =-=-=,记平面ACM 法向量为(,,)n x y z =, 00n AC n CM ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩即220220x y x z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩,令1x =,则(1,1,2)n =,1B 到平面ACM 的距离为1212n MB n⋅==. 故答案为:116．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与C 的右支交于A ，B 两点，若1221F AF AF F ∠=∠，222F B F A =，则C 的离心率为______. 【答案】53##213【分析】设2AF 的中点为M ，连接1F M ，1BF ，由题意可得1122AF F F c ==，12F M AF ⊥，由双曲线的定义可得222F A c a =-，2MF c a =-，244BF c a =-，142BF c a =-，2121BF F MF F π∠+∠=，2121cos cos 0BF F MF F ∠+∠=，在12MF F △和12BF F △中利用余弦定理表示出两个角的余弦值，即可求出,a c 的关系，从而可得双曲线C 的离心率.【详解】解：如图：设2AF 的中点为M ，连接1F M ，1BF ，因为1221F AF AF F ∠=∠，所以1122AF F F c ==， 因为M 为2AF 的中点，所以12F M AF ⊥， 由122AF F A a =-，得222F A c a =-， 所以2212F A M F c a ==-， 在12MF F △中，22112cos 2MF c aMF F F F c-∠==， 因为22244BF AF c a ==-，所以12242BF a BF c a =+=-， 在12BF F △中，()()()22222212212112241642cos 2224F F BF BF c c a c a BF F F F BF c c a +-+---∠==⨯⨯⨯-()224121616c a ac c c a +-=-，因为2121BF F MF F π∠+∠=，所以2121cos cos 0BF F MF F ∠+∠=，即()22412160216c a c a acc c c a -+-+=-， 整理可得221616120a ac c -+=，即225830a ac c -+=， 所以()()530a c a c --=， 所以53a c =或a c =（舍）， 所以离心率53c e a ==， 故答案为：53.四、解答题17．已知等差数列{}n a 满足32a =，前4项和47S =．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设等比数列{}n b 满足23b a =，415b a =，数列{}n b 的通项公式． 【答案】(1)1122n a n =+ (2)12n n b -=或()12n n b -=--【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知条件列关于1a 和d 的方程组，解方程求得1a 和d 的值，即可求解；（2）等比数列{}n b 的公比为q ，由等比数列的通项公式列方程组，解方程求得1b 和q 的值，即可求解.【详解】（1）设等差数列{}n a 首项为1a ，公差为d ．∵3427a S =⎧⎨=⎩∴()1122441472a d a d +=⎧⎪⎨⨯-+=⎪⎩解得：1112a d =⎧⎪⎨=⎪⎩∴等差数列{}n a 通项公式()11111222n a n n =+-⨯=+（2）设等比数列{}n b 首项为1b ，公比为q∵2341528b a b a ==⎧⎨==⎩∴13128b q b q ⋅=⎧⎨⋅=⎩ 解得：24q =即112b q =⎧⎨=⎩或112b q =-⎧⎨=-⎩ ∴等比数列{}n b 通项公式12n n b -=或()12n n b -=--18．已知圆C 经过原点且与直线40x y --=相切，圆心C 在直线0x y +=上.(1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过点()2,1，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程. 【答案】(1)()()22112x y -++= (2)2x =或3420x y --=【分析】（1）由d OC =可求得圆心()1,1C -和半径； （2）分直线k 存在和不存在两种情况讨论.【详解】（1）因为圆心C 在直线0x y +=上，可设圆心为(),C a a -，则点C 到直线40x y --=的距离d =，OC =据题意，d OC ==解得1a =，所以圆心为()1,1C -，半径r d = 则所求圆的方程是()()22112x y -++=.（2）当弦长为21=. 当k 不存在时，直线2x =符合题意；当k 存在时，设直线方程为210kx y k --+=，1=，∴34k =， ∴直线方程为3420x y --=.综上所述，直线方程为2x =或3420x y --=.19．已知数列{}n a ，其中前n 项和为n S ，且满足15a =，*123(N )n n a a n +=+∈． (1)证明：数列{3}n a +为等比数列； (2)求数列{}n a 的通项公式及其前n 项和n S ． 【答案】(1)证明见解析(2)223n n a +=-，*n ∈N ，n S 3238n n +=--．【分析】（1）根据题意对123n n a a +=+两边同时加3，进一步推导即可发现数列{3}n a +是以8为首项，2为公比的等比数列；（2）先根据第（1）题的结果计算出数列{3}n a +的通项公式，进一步计算出数列{}n a 的通项公式，再运用分组求和法及等比数列的求和公式即可计算出前n 项和n S ． 【详解】（1）证明：由题意，123n n a a +=+两边同时加3， 可得132332(3)n n n a a a ++=++=+， 13538a +=+=，∴数列{3}n a +是以8为首项，2为公比的等比数列．（2）解：由（1）可得123822n n n a -++=⋅=，则223n n a +=-，*n ∈N ，故12n n S a a a =++⋅⋅⋅+342(23)(23)(23)n +=-+-+⋅⋅⋅+- 342(222)3n n +=++⋅⋅⋅+-⋅3322312n n +-=--3238n n +=--．20．如图，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右两个焦点分别为1F ､2F ，左､右顶点分别为A ､B ，离心率为12，过2F 的动直线l 与椭圆C 交于M ､N 两点，且1△MNF 的周长为8.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若()4,0P ，记2MPF ､2ANF △的面积记分别为1S ､2S ，求12S S 的取值范围.【答案】(1)22143x y +=(2)1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据椭圆离心率即1△MNF 的周长，结合椭圆定义即可求出椭圆C 的标准方程；（2）由题意可知将2MPF ､2ANF △的面积1S ､2S 分别表示成其纵坐标的形式，再利用韦达定理即可求出12S S 的取值范围.【详解】（1）由题意可知，12c e a ==， 由1△MNF 的周长为8得48a =，所以2,1a c ==； 即2223b a c =-=；所以，椭圆C 的标准方程为22143x y +=. （2）由（1）知，2(1,0)F ，(2,0)A -，所以223PF AF == 设直线l 的方程为1x my =+，1122(,),(,)M x y N x y ，由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x 并整理得22(34)690m y my ++-=， 则1221226 349·34m y y m y y m -⎧+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪+⎨-⎪=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪+⎩①②而211221221212S PF y y y AF y S ==， 令12t y y =，则①式平方除以②式可得，2122214234y y m y y m -++=+，则12221210834y y m y m y ++=-+，所以，21101633(34)t t m +=-+，即1102,3t t ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭解得133t <<所以，12S S 的取值范围是1,33⎛⎫⎪⎝⎭21．如图，在四棱锥P ABCD -中，1//,90,2,2AB DC ADC AB AD DC PB PD ︒∠======BC PD ⊥．（1）求证：平面PBD ⊥平面ABCD ；（2）点M 为线段PC 上异于,P C 的一点，若平面PBD 与平面BDM 6求点M 的位置．【答案】（1）证明见解析；（2）点M 为线段PC 的中点．【分析】（1）由已知得22BD =，利用余弦定理求得22BC =BC BD ⊥，利用线面垂直的判定定理证得BC ⊥平面PBD ，再利用面面垂直的判定定理证得结论；（2）取BD 的中点O ，连结PO ，利用面面垂直的性质定理知PO ⊥平面ABCD ，建立如图所示的空间直角坐标系，设(,,)M x y z ，利用空间向量求出平面PBD 与平面BDM 所成锐二面角的余弦值，列出等式求出λ，即得解. 【详解】（1）证明：//AB DC ，90ADC ∠=，122AB AD DC ===， 22BD ∴=4DC =，45BDC ∠=在BCD △中，由余弦定理得2222222cos 454(22)2428BC DC BD BD DC =+-⋅=+-⨯⨯=，22BC ∴=222BC BD CD ∴+=，BC BD ∴⊥．又BC PD ⊥，BD PD D =，BC ∴⊥平面PBD ． 又BC ⊂平面ABCD ，所以平面PBD ⊥平面ABCD ． （2）取BD 的中点O ，连结PO ，PB PD =，PO BD ∴⊥由（1）知平面PBD ⊥平面ABCD ，面PBD 面ABCD BD =，PO ∴⊥平面ABCD ，由90ADC ︒∠=，以D 为坐标原点，,DA DC 方向为x 轴，y 轴，以平行于PO 的方向为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)D ，(2,2,0)B ，(0,4,0)C ，(1,1,0)O ．12,322DO BD PD ===4PO ∴=，即(1,1,4)P ． 设(,,)M x y z ，则(,4,)CM x y z =-，(1,3,4)CP =-不妨设(01)CM CP λλ=<<，即(,4,)(1,3,4)x y z λ-=-，得(,43,4)M λλλ-，(,43,4),(2,2,0)DM DB λλλ∴=-=．设平面BDM 的法向量()111,,n x y z =，则0,0,n DM n DB ⎧⋅=⎨⋅=⎩即11111(43)40,220,x y z x y λλλ+-+=⎧⎨+=⎩，令11x =得11,1,n λλ-⎛⎫=- ⎪⎝⎭．又BC ⊥平面PBD ，(2,2,0)BC ∴=-为平面PBD 的法向量． 因为平面PBD 与平面BDM 所成锐二面角的余弦值为63， 所以2|212(1)|6cos ,3182n BC n BC n BCλλ⋅-⨯+⨯-===⋅-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，解得12λ=． 所以点M 为线段PC 的中点．【点睛】方法点睛：本题考查面面垂直，及线面角的求法，利用空间向量求立体几何常考查的夹角： 设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面,αβ的法向量分别为,u v ，则①两直线,l m 所成的角为θ(02πθ<≤),cos a b a bθ⋅=；②直线l 与平面α所成的角为θ(02πθ≤≤),sin a u a uθ⋅=；③二面角l αβ--的大小为θ(0θπ≤≤),cos .u v u vθ⋅=22．已知抛物线()220y px p =>，直线1:02pl x my --=与抛物线相交于()()1122,,,A x y B x y 两点. (1)证明：12y y 为定值；(2)当2p =时，直线21:02pl x y m +-=()0m ≠与抛物线相交于()()3344,,,C D x y y x 两点，其中10y >，30y <.是否存在实数m ，使得经过,A C 两点的直线斜率为2，若存在求线段BD 的长度，若不存在说明理由.【答案】(1)证明见解析 (2)存在，且BD =【分析】（1）抛物线()220y px p =>与直线1:02pl x my --=联立，利用根与系数的关系即可证明； （2）由已知得抛物线24y x =的焦点为()1,0F ，12l l ⊥且过定点()1,0F ，设直线():20AC y x b b =+≠，并与抛物线联立，利用根与系数的关系，结合向量垂直的坐标表示以及（1）的结论即可求解【详解】（1）因为抛物线()220y px p =>与直线1:02pl x my --=相交于()()1122,,,A x y B x y 两点， 所以2202y px px my ⎧=⎪⎨--=⎪⎩， 所以2220y mpy p --=， 又()22Δ440mp p =+>，所以212y y p =-，为定值；（2）当2p =时，抛物线24y x =，直线1:10l x my --=，直线21:10l x y m+-=()0m ≠， 所以抛物线24y x =的焦点为()1,0F ，12l l ⊥且过定点()1,0F ， 假设存在实数m ，使得经过,A C 两点的直线斜率为2， 设直线():20AC y x b b =+≠，由224y x b y x=+⎧⎨=⎩得2220y y b -+=， 因为480b ∆=->，所以13132,2y y y y b +==， 又()()3311,,1,1FA x y FC x y =-=-， 因为FA FC ⊥，所以()()1313110FA FC x x y y --+=⋅=，即33221144011y y y y ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎝⎭-⎪⎭-=⎝， 所以()221313133102144y y y y y y y y +-⎛⎫-++ ⎪⎝=⎭，所以22022221244b b b -⨯⎛⎫-++ ⎪⎭=⎝，所以2201b b +=，解得12b =-或0b =（舍），所以22240y y --=，136,4y y ==-，由（1）可知212y y p =-可得12344,4y y y y =-=-，所以242,13y y =-=，所以121,,,1934B D ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以BD ==。