积分(二重,三重积分,第一类曲线,曲面积分)的定义和性质

七大积分总结范文积分是微积分的一个重要概念，它在数学、物理及工程学等领域中具有广泛的应用。

在微积分中，积分被认为是导数的逆运算，可以用来求函数的面积、弧长、体积等。

在数学中，有七大积分，包括定积分、不定积分、曲线积分、曲面积分、重积分、线积分和路径积分。

下面将对这七大积分进行详细总结。

定积分是微积分中最基本的积分形式，它可以用于计算曲线下面积。

定积分被表示为∫f(x)dx，在区间 [a,b] 上计算函数 f(x) 的定积分，可以得到曲线 f(x) 和 x 轴之间的面积。

定积分的计算有很多方法，如牛顿-莱布尼茨公式、Riemann 可积性等。

定积分广泛应用于计算几何、物理学、经济学等领域。

不定积分是定积分的逆运算，表示为∫f(x)dx = F(x) + C，其中F(x) 是函数 f(x) 的原函数，C 是常数。

不定积分求解的过程中，要确定函数 f(x) 的原函数 F(x)，然后加上一个常数 C。

不定积分在微积分中有着广泛应用，如求函数的原函数、求定积分中的不定系数等。

曲线积分是一种沿曲线或曲线段对给定函数进行积分的方法。

它可以用来计算沿曲线运动的物体的工作量、流量、质心等。

曲线积分有两种形式：第一类曲线积分和第二类曲线积分。

第一类曲线积分表示为∫Cf(x,y) ds，第二类曲线积分表示为∫C Pdx + Qdy。

曲线积分的计算可以通过参数方程、向量法、Green 公式等方法进行。

曲面积分是对给定曲面上的函数进行积分的方法。

它可以用来计算质量、重心、通量等。

曲面积分有两种形式：第一类曲面积分和第二类曲面积分。

第一类曲面积分表示为∫∫S f(x,y,z) dS，第二类曲面积分表示为∫∫S Pdydz + Qdzdx + Rdxdy。

曲面积分的计算可以通过参数方程、向量法、高斯公式等方法进行。

重积分是对多元函数在给定区域上进行积分的方法。

它可以用来计算体积、质量、质心、惯性矩等。

重积分可以分为二重积分和三重积分。

高等数学中的三重积分与曲面积分在高等数学中，三重积分和曲面积分是两个重要的概念和计算方法。

它们在物理学、工程学和计算机图形学等领域中有着广泛的应用。

本文将介绍三重积分和曲面积分的基本概念、计算方法以及它们的应用。

一、三重积分三重积分是对三维空间中某一区域内的函数进行求和的方法。

它可以看作是二重积分的推广。

三重积分的计算需要确定积分区域的边界和积分函数的形式。

一般来说，三重积分可以分为直角坐标系下的三重积分和柱坐标系下的三重积分。

在直角坐标系下，三重积分的计算可以通过分割积分区域为小立方体，并对每个小立方体进行求和来实现。

具体地，我们可以将积分区域分割成若干个小立方体，每个小立方体的体积为ΔV，然后对每个小立方体内的函数值进行求和，并在极限情况下求得积分的值。

这种方法称为立体分割法。

在柱坐标系下，三重积分的计算可以通过极坐标变换来实现。

具体地，我们可以将积分区域由直角坐标系转化为柱坐标系，然后对柱坐标系下的函数进行积分。

柱坐标系下的三重积分的计算方法相对简单，适用于具有旋转对称性的问题。

二、曲面积分曲面积分是对曲面上的函数进行求和的方法。

它可以看作是线积分的推广。

曲面积分的计算需要确定曲面的参数方程和积分函数的形式。

一般来说，曲面积分可以分为第一类曲面积分和第二类曲面积分。

第一类曲面积分是对曲面上的标量函数进行求和的方法。

具体地，我们可以将曲面分割为若干个小面元，每个小面元的面积为ΔS，然后对每个小面元上的函数值进行求和，并在极限情况下求得积分的值。

第一类曲面积分的计算方法相对简单，适用于曲面上的标量场问题。

第二类曲面积分是对曲面上的向量函数进行求和的方法。

具体地，我们可以将曲面分割为若干个小面元，每个小面元的面积为ΔS，然后对每个小面元上的向量函数进行求和，并在极限情况下求得积分的值。

第二类曲面积分的计算方法相对复杂，适用于曲面上的向量场问题。

三、应用三重积分和曲面积分在物理学、工程学和计算机图形学等领域中有着广泛的应用。

都是递进关系，从一重积分开始，只说几何意义吧。

一重积分(定积分)：只有一个自变量y = f(x)当被积函数为1时，就是直线的长度(自由度较大)∫(a→b) dx = L(直线长度)被积函数不为1时，就是图形的面积(规则)∫(a→b) f(x) dx = A(平面面积)另外，定积分也可以求规则的旋转体体积，分别是盘旋法(Disc Method)：V = π∫(a→b) f²(x) dx圆壳法(Shell Method)：V = 2π∫(a→b) xf(x) dx计算方法有换元积分法，极坐标法等，定积分接触得多，不详说了∫(α→β) (1/2)[A(θ)]² dθ = A(极坐标下的平面面积)二重积分：有两个自变量z = f(x，y)当被积函数为1时，就是面积(自由度较大)∫(a→b) ∫(c→d) dxdy = A(平面面积)当被积函数不为1时，就是图形的体积(规则)、和旋转体体积∫(a→b) ∫(c→d) dxdy = V(旋转体体积)计算方法有直角坐标法、极坐标法、雅可比换元法等极坐标变换：{ x = rcosθ{ y = rsinθ{ α≤θ≤β、最大范围：0 ≤θ≤ 2π∫(α→β) ∫(h→k) f(rcosθ，rsinθ) r drdθ三重积分：有三个自变量u = f(x，y，z)被积函数为1时，就是体积、旋转体体积(自由度最大)∫(a→b) ∫(c→d) ∫(e→f) dxdydz = V(旋转体体积)当被积函数不为1时，就没有几何意义了，有物理意义等计算方法有直角坐标法、柱坐标切片法、柱坐标投影法、球面坐标法、雅可比换元法等极坐标变化(柱坐标)：{ x = rcosθ{ y = rsinθ{ z = z{ h ≤ r ≤ k{ α≤θ≤β、最大范围：0 ≤θ≤ 2π∫(α→β) ∫(h→k) ∫(z₁→z₂) f(rcosθ，rsinθ，z) r dzdrdθ极坐标变化(球坐标)：{ x = rsinφcosθ{ y = rsinφsinθ{ z = rcosφ{ h ≤ r ≤ k{ a ≤φ≤ b、最大范围：0 ≤φ≤π{ α≤θ≤β、最大范围：0 ≤θ≤ 2π∫(α→β) ∫(a→b) ∫(h→k) f(rsinφcosθ，rsinφsinθ，rcosφ) r²sin²φ drdφdθ所以越上一级，能求得的空间范围也越自由，越广泛，但也越复杂，越棘手，而且限制比上面两个都少，对空间想象力提高了。

曲面积分的定义曲面积分是微积分中的一项重要概念，在数学和物理学中有广泛的应用。

本文将介绍曲面积分的定义及其应用。

首先，我们来了解一下曲面积分的基本概念。

曲面积分是对一个曲面上某个向量场进行积分，用于表示该向量场在曲面上的贡献。

曲面积分可以分为两种类型：第一类曲面积分和第二类曲面积分。

第一类曲面积分是在曲面上的每一个微小面元上计算某个标量函数的积分。

设S是一个光滑曲面，f(x, y, z)是定义在S上的连续函数，则第一类曲面积分的定义如下：∬S f dS = ∫∫S f(x, y, z) dS其中，∬表示曲面积分，S表示曲面，f表示定义在曲面上的函数，dS表示曲面上的面元。

第二类曲面积分是在曲面上的每一个微小面元上计算某个向量场的点积，它表示向量场贯穿曲面的流量。

设F(x, y, z)是一个定义在曲面S上的向量场，则第二类曲面积分的定义如下：∬S F ⋅ dS = ∫∫S F(x, y, z) ⋅ dS其中，F表示定义在曲面上的向量场，⋅表示点积。

曲面积分的计算可以通过参数化方法进行。

将曲面参数化为u和v的函数，即：r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))。

在这个参数化的曲面上，微小面元dS可以表示为：dS = |r_u × r_v| du dv其中，r_u和r_v分别是r对u和v的偏导数，×表示向量的叉乘。

通过参数化方法，我们可以将曲面积分转化为二重积分。

例如，第一类曲面积分可以表示为：∬S f dS = ∫∫D f(r(u, v))|r_u × r_v| du dv其中，D是曲面在平面上的投影，表示为(u, v)的取值范围。

同样地，第二类曲面积分也可以通过参数化方法进行计算。

例如，第二类曲面积分可以表示为：∬S F ⋅ dS = ∫∫D F(r(u, v)) ⋅ (r_u × r_v) du dv曲面积分在数学和物理学中有广泛的应用。

定积分、曲线积分、重积分、曲面积分的几何意义(2014.1.25)一、定积分x d x f b a ⎰)(1、物理意义：变速直线运动的路程⎰21)(t t dt t v （或变力沿直线做功⎰ba dr r F )(） 2、几何意义：求以)(x f 为曲边的曲边梯形的面积当)(x f =1时，x d ba ⎰表示求直线段的长度二、曲线积分第一型曲线积分(对弧长) (,)L f x y ds ⎰（或(,,)Lf x y z ds ⎰） 1、物理意义 ：求曲线段的质量（()y x f ,表示线密度）2、几何意义：当()时，1,=y x f ()ds y x f l ,⎰表示求曲线段的长度 第二型曲线积分(对坐标)(,)(,)L P x y dx Q x y dy +⎰（或(,,)(,,)(,,)LP x y z dx Q x y z dy R x y z dz ++⎰） 物理意义：求变力做功 三、重积分二重积分(,)D f x y d σ⎰⎰1、物理意义：求平面薄板的质量（()y x f ,表示面密度）（或加在平面面积上压力（压强可变））2、几何意义：求以()y x f z ,=为曲顶的曲顶柱体的体积当()时，1,=y x f σd y x f D ),(⎰⎰表示求平面区域D 的面积 三重积分(,,)V f x y z dV ⎰⎰⎰1、物理意义：求空间物体的质量（),,(z y x f 表示体密度）2、几何意义：当),,(z y x f =1时，⎰⎰⎰VdV 表示求空间区域V 的体积四、曲面积分第一型曲面积分（对面积）(,,)S f x y z dS ⎰⎰1、物理意义：求曲面块的质量（),,(z y x f 表示面密度）2、几何意义：当),,(z y x f =1时，⎰⎰S dS 表示求曲面快的面积 第二型曲面积分（对坐标）(,,)(,,)(,,)S P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy ++⎰⎰物理意义：求流经曲面流体的流量。

重积分、曲线积分、曲面积分一、曲线积分第一型曲线积分(对弧长)定义：设L 为平面上可求长度的曲线段，(,)f x y 为定义在L 上的函数。

对曲线L 作分割T ，它把L 分成n 个可求长度的小曲线段(1,2,,),i L i n = i L 的弧长记为,i s ∆ 分割T的细度为1max ,i i nT s ≤≤=∆ 在i L 上任取一点(,)(1,2,,).i i i n ξη= 若极限1lim(,)niiiT i f s ξη→=∆∑存在，则称此极限值为(,)f x y 在L 上的第一型曲线积分（对弧长的积分），记作(,)Lf x y ds ⎰。

若L 为空间可求长曲线段，(,,)f x y z 为定义在L 上的函数，则可类似定义(,,)f x y z 在空间曲线L 上的第一型曲线积分，并且记为(,,)Lf x y z ds ⎰。

性质： 1. 若(,)(1,2,,)i Lf x y ds i k =⎰存在，(1,2,,)i c i k =为常数，则1(,)ki i Li c f x y ds =∑⎰也存在，且11(,)(,).kki i i i LLi i c f x y ds c f x y ds ===∑∑⎰⎰2. 若曲线段L 由曲线12,,k L L L 首尾相接而成，且(,)(1,2,,)i Lf x y ds i k =⎰都存在，则(,)Lf x y ds ⎰也存在，且1(,)(,).ikLL i f x y ds f x y ds ==∑⎰⎰3. 若(,)Lf x y ds ⎰与(,)Lg x y ds ⎰都存在，且在L 上(,)(,),f x y g x y ≤ 则(,)(,).LL f x y ds g x y ds ≤⎰⎰4. 若(,)Lf x y ds ⎰存在，则|(,)|Lf x y ds ⎰也存在，且|(,)||(,)|LLf x y ds f x y ds ≤⎰⎰。

5. 若(,)Lf x y ds ⎰存在，L 的弧长为s ，则存在常数c ，使得(,)Lf x y ds ⎰=cs 。

二重积分第一类曲面积分第二类曲线
二重积分（第一类）和曲面积分（第二类）是数学中的两个重要概念，分别与曲线和曲面上的函数相关。

1. 二重积分（第一类）：
二重积分是对平面上的函数进行积分的一种方法。

它用于计算平面区域内函数在该区域上的总体积、质量、重心等物理量。

第一类表示积分变量是平面上的面积元素，通常用两个变量表示。

例如，对于函数f(x, y)，在平面区域D 上的二重积分可以表示为∬D f(x, y) dA。

2. 曲面积分（第二类）：
曲面积分是对曲面上的函数进行积分的一种方法。

它用于计算曲面上的流量、电荷、质量等物理量。

第二类表示积分变量是曲面上的面积元素，通常用参数方程表示。

例如，对于函数f(x, y, z)，在曲面S 上的曲面积分可以表示为∬S f(x, y, z) dS。

3. 第一类曲线积分：
第一类曲线积分是对曲线上的函数进行积分的一种方法。

它用于计算曲线上的长度、质量、功等物理量。

第一类表示积分变量是曲线上的弧长元素，通常用参数方程表示。

例如，对于函数f(x, y, z)，在曲线C 上的第一类曲线积分可以表示为∮C f(x, y, z) ds。

总之，二重积分（第一类）和曲面积分（第二类）分别应用于平面和曲面上的函数积分，而第一类曲线积分用于曲线上的函数积分。

它们在数学和物理学等领域具有广泛的应用。

第十九章 积分的定义和性质第一节 二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分的概念回顾: 一元函数的定积分.1()lim ()nbi ai i f x dx f x λζ→==∑∫⋅Δ) (1)其中, 1(,i i i x x ζ−∈, max()i ix λ=Δ.基本思想: 分割, 以不变代变, 作和, 求极限.若极限(1)存在，则称()f x 在[],a b 可积. 若可积, 则必有界. 令[][]11,,sup (),inf()i i i i i i x x x x x x M f x m f x −−∈∈==,且达布上和与达布下和为1ni i S M ==⋅∑i x Δx , 1ni i i S m −==⋅Δ∑.则()f x 在[],a b 可积0lim()0S S λ→−⇔−=. 可积函数类：连续函数, 分段连续函数, 单调有界函数等. 性质:1. .()()b ba a kf x dx k f x dx =∫∫2. []()()()()b b a a ba f x g x dx f x dx g x dx ±=±∫∫∫. 3. ()()bba a f x dx f x dx ≤∫∫.4. ()()()bcba a c f x dx f x dx f x dx =+∫∫∫. （区间可加性） 5. 设. 若ab <()()f x g x ≥, 则()()bba a f x dx g x dx ≥∫∫.6. (第一积分中值定理) 若()f x 在[],a b 连续, 在[可积，()g x ],a b且不变号, 则[]()()()(),,bbaaf xg x dx f g x dx a b ζζ=⋅∃∈∫∫.7. Cauchy-Schwartz 不等式:222()()()()b b b a aa f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤≤⋅⎢⎥⎣⎦∫∫∫.8. 计算(Newton-Leibniz 公式): ()()()()ba bf x dx F x F b F a a==−∫. 9. 应用(第八章)一. 曲顶柱体的体积1lim (,)ni i i d i V f ξη→==∑δ⋅Δ⊂V ⋅Δ (2) 二. 非均匀物体的质量: 给定密度函数,V 有界. 则3(,,),(,,)x y z x y z V ρρ=∈\ . (3) 01lim (,,)ni i i i d i m ρξηζ→==∑三. 非均匀空间曲线的质量: 给定密度函数(,,),(,,)x y z x y z ρρ=∈A , 则分割成: . 令A 12,,,n ΔΔΔA A "A max()i id =ΔA , 则. (4) 01lim (,,)ni i i i d i m ρξηζ→==∑A ⋅Δ四. 空间曲面的质量: 给定密度函数(,,),(,,)x y z x y z S ρρ=∈, 分割: . 令为S 12,,,n S S S ΔΔΔ"i d i S Δ的直径, max i id d =. 则. (5) 01lim (,,)ni i i i d i m ρξηζ→==∑S ⋅Δ抽去几何意义及物理意义:1. 01(,)lim (,)ni i i d i Df x y dxdy f ξησ→==∑∫∫⋅Δ. (二重积分) 2. 01(,,)lim (,,)ni i i i d i Vf x y z dxdydz f V ξηζ→==∑∫∫∫⋅Δ. (三重积分) 3. 01(,,)lim (,,)ni i i i d i f x y z d f ξηζ→==⋅Δ∑∫AA A . (第一类曲线积分) 4. 01(,,)lim (,,)ni i i i d i Sf x y z dS f S ξηζ→==∑∫∫⋅Δ. (第一类曲面积分)上面的四种积分, 为简单起见, 统一记成1()lim ()ni i d i f M d f M Ω→=Ω=⋅∑∫ΔΩ此时, 上式称为()f M 在Ω上的Riemamn 积分, 或称()f M 在上可积. Ω注： 平面有界区域的面积1Ddxdy ⋅∫∫==D=立体V 的体积1V dxdydz ⋅∫∫∫ 空间曲线的弧长 1d ⋅=∫AA A曲面的面积1SdS ⋅∫∫S 统称为的度量. Ω定理19.1. (可积的必要条件) 若()f M 在Ω上可积, 则()f M 在Ω上有界.定理19.2. 若()f M 在上连续, 则Ω()f M 在Ω上可积.第二节 积分的性质定理19.3. 若()f M 在上可积, 为常数, 则Ωk ()k f M ⋅在上也可积, 且Ω()()kf M d k f M d ΩΩΩ=⋅Ω∫∫.定理19.4. 若()f M 和在()g M Ω上可积, 则()()f M g M ±在上也可积, 且Ω(()())()()f M g M d f M d g M d ΩΩΩ±Ω=Ω±∫∫∫Ω2.定理19.5. 若1Ω=ΩΩ∪, 且12,ΩΩ无公共内点, 则12()()()f M d f M d f M d ΩΩΩΩ=Ω+Ω∫∫∫.定理19.6. 若(),()f M g M 在Ω上可积, 且()()f M g M ≤, 则()()f M d g M d ΩΩΩ≤Ω∫∫.定理19.7. 若()f M 在上可积, 则Ω()f M 在Ω上亦可积, 且()()f M d f M d ΩΩΩ≤Ω∫∫.但反过来()f M 可积推不出()f M 可积.定理19.8. 若()f M 在上可积, 记Ωsup ()M M f M ∈Ω=,inf ()M m f ∈ΩM =, 则存在 使得[,],c m M ∈()(f M d c ΩΩ=⋅Ω∫的度量).推论. 若()f M 在上连续，则ΩM ∗∃∈Ω，使得()()()f M d f M ∗ΩΩ=⋅Ω∫的度量.。

高等数学中几种积分的注记摘要：高等数学课程中出现了多种积分形式，本文从积分概念、积分实际意义、计算公式等几个方面，用列表的形式加以总结、梳理、区分。

关键字：定积分,二重积分,三重积分,曲线积分,曲面积分 《高等数学》中我们学习了多种积分，以及他们的计算方法。

如果不及时总结梳理所学的知识，往往会混淆概念，对公式一知半解，犹如走入了迷宫，满头雾水。

做起题目不知从何下手。

下面我们就定积分，二重积分，三重积分，第一类曲线、曲面积分，第二类曲线、曲面积分，从定义、实际意义、计算方法几个方面进行总结梳理。

1．积分定义上述几种积分的概念都可以划分为四步：“大化小、常代变、近似和、取极限”。

因此定积分、二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分可以概括为如下的定义1，第二类曲线积分、第二类曲面积分可以概括为如下的定义2定义1 设Ω为一有界几何体，f (M )是Ω上的有界函数，把Ω任意划分成n 部分,1∆Ω ,2∆Ωn ∆Ω, (i ∆Ω同时也表示第i 部分的度量)，令λ = max{i ∆Ω的直径}，M i 为i ∆Ω上任意取定的一点，作和式in i iM f ∆Ω∑=1)(。

如果当λ→0时，ini iM f ∆Ω∑=→1)(lim λ总存在，则称此极限为f (M )在几何体Ω上的积分，记为⎰ΩΩd f )M (，即i ni i M f d f ∆Ω=Ω∑⎰=→Ω1)(lim )M (λ上述概念将前五种积分统一起来，分析如下表：定义2 设Ω为N 维空间中一光滑有向的有界几何体，且Ω为m 维(m <N )，f (M )是Ω上的有界函数，把Ω任意划分成n 部分,1∆Ω n ∆Ω∆Ω,,2 (i ∆Ω同时也表示第i 部分的度量)，令λ = max{i ∆Ω的直径}，i ∆Ω在某m 维子空间的投影为m i )(∆Ω(m i )(∆Ω也表示±1·m i )(∆Ω的度量，其中符号有Ω的方向决定)，M i 为i ∆Ω上任意取定的一点，作和式in i iM f ∆Ω∑=1)(。