高中数学：全称量词与全称命题 课时训练 北师大选修

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作§3全称量词与存在量词3.1全称量词与全称命题3.2存在量词与特称命题课时目标 1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义.2.能准确地利用全称量词与存在量词叙述数学内容，并判断全称命题和特称命题的真假．1．全称量词与全称命题命题中“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”等词语，都是在指定范围内，表示______________的含义，这样的词叫作全称量词，含有______________的命题，叫作全称命题．2．存在量词与特称命题命题中“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”这样的词语，都是表示________的含义，这样的词叫作存在量词．含有____________的命题叫作特称命题．一、选择题1．下列语句不是全称命题的是()A．任何一个实数乘以零都等于零B．自然数都是正整数C．高二(一)班绝大多数同学是团员D．每一个向量都有大小2．下列命题是特称命题的是()A．偶函数的图像关于y轴对称B．正四棱柱都是平行六面体C．不相交的两条直线是平行直线D．存在实数大于等于33．下列是全称命题且是真命题的是()A．任意x∈R，x2>0B．任意x∈Q，x2∈QC．存在x0∈Z，x20>1D．任意x，y∈R，x2＋y2>04．下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是()A ．斜三角形的内角是锐角或钝角B ．至少有一个实数x 0，使x 20>0C ．任一无理数的平方必是无理数D ．存在一个负数x 0，使1x 0>2 5．下列全称命题中假命题的个数是( )①2x ＋1是整数(x ∈R )；②对所有的x ∈R ，x >3；③对任意一个x ∈Z,2x 2＋1为奇数A ．0B ．1C ．2D ．36．下列命题中，真命题是( )A ．存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数B ．存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数C ．任意m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是偶函数D ．任意m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是奇函数题 号1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．下列特称命题中是真命题的有________．(填序号)①存在x ∈R ，x 2＝0；②有的菱形是正方形；③至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数．8．不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对于x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是__________．9．下列命题中，真命题有__________．(填序号)①不存在实数x ，使x 2＋x ＋1<0；②对任意实数x ，均有x ＋1>x ；③方程x 2－2x ＋3＝0有两个不等的实根；④不等式x 2－x ＋1|x |＋1<0的解集为∅. 三、解答题10．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假．(1)若a >0，且a ≠1，则对任意实数x ，a x >0.(2)对任意实数x 1，x 2，若x 1<x 2，则tan x 1<tan x 2.(3)存在T 0∈R ，使|sin(x ＋T 0)|＝|sin x |.(4)存在x 0∈R ，使x 20＋1<0.11．已知对任意x >0，a <x ＋1x恒成立，求a 的取值范围．能力提升12．已知a >0，则x 0满足关于x 的方程ax ＝b 的充要条件是( )A ．存在x ∈R ，12ax 2－bx ≥12ax 20－bx 0 B ．存在x ∈R ，12ax 2－bx ≤12ax 20－bx 0 C ．任意x ∈R ，12ax 2－bx ≥12ax 20－bx 0 D ．任意x ∈R ，12ax 2－bx ≤12ax 20－bx 01．判断一个命题是全称命题还是特称命题，主要看命题中是否含有全称量词或存在量词，有的题目隐含了全称量词或存在量词，要注意对其进行改写找到．2．要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M 中的每一个元素x 验证p (x )成立；但要判定一个全称命题是假命题，却只需找出集合M 中的一个x ＝x 0，使得p (x 0)不成立即可(这就是我们常说的“举出一个反例”)．要判定一个特称命题为真命题，只要在限定集合M 中，至少能找到一个x ＝x 0，使得p (x 0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．§3 全称量词与存在量词3.1 全称量词与全称命题3.2 存在量词与特称命题知识梳理1．整体或全部 全称量词2．个别或一部分 存在量词作业设计1．C [“高二(一)班绝大多数同学是团员”，即“高二(一)班有的同学不是团员”，是特称命题．]2．D [“存在”是存在量词．]3．B [A 、B 、D 中命题均为全称命题，但A 、D 中命题是假命题．]4．B 5.C6．A [对于选项A ，存在m ∈R ，当m ＝0时，f (x )＝x 2＋mx ＝x 2是偶函数．故A 正确．]7．①②③解析 对于命题①，当x ＝0时，x 2＝0；对于命题②，有一个角是直角的菱形是正方形；对于命题③，整数1既不是合数，也不是素数．8．(－2,2]解析 当a ＝2时，显然符合条件；当a ≠2时，有⎩⎪⎨⎪⎧ a <2，Δ＝4(a －2)2－4(a －2)×(－4)<0， ⇒－2<a <2.综上，a 的取值范围是(－2,2]．9．①②④解析 对于选项③，方程x 2－2x ＋3＝0没有实根，是假命题．10．解 (1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题．(1)∵a x >0 (a >0，a ≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题．(2)存在x 1＝0，x 2＝π，x 1<x 2，但tan 0＝tan π，∴命题(2)是假命题．(3)y ＝|sin x |是周期函数，π就是它的一个周期，∴命题(3)是真命题．(4)对任意x 0∈R ，x 20＋1>0，∴命题(4)是假命题．11．解 由于对任意x >0，a <x ＋1x恒成立， 只需a <⎝⎛⎭⎫x ＋1x min 恒成立． ∵x >0，x ＋1x≥2，即⎝⎛⎭⎫x ＋1x min ＝2. ∴a <2.故a 的取值范围是(－∞，2)．12．C [由于a >0，令函数y ＝12ax 2－bx ＝12a (x －b a )2－b 22a ，此时函数对应的图像开口向上，当x ＝b a 时，取得最小值－b 22a ，而x 0满足关于x 的方程ax ＝b ，那么x 0＝b a ，y min ＝12ax 20－bx 0＝－b 22a ，那么对于任意的x ∈R ，都有y ＝12ax 2－bx ≥－b 22a ＝12ax 20－bx 0.]。

课时作业(七) 全称量词命题与存在量词命题[练基础]1．下列选项中，与其他命题不同的命题是( )A．存在一个平行四边形是矩形B．任何一个平行四边形都是矩形C．有些平行四边形是矩形D．有一个平行四边形是矩形2．下列命题中，是真命题的全称量词命题是( )A．对于实数a，b∈R，有a2＋b2－2a－2b＋2<0B．梯形两条对角线相等C．有小于1的自然数D．函数y＝kx＋1的图象过定点(0,1)3．关于命题“当m∈[1,2]时，方程x2－2x＋m＝0没有实数解”，下列说法正确的是( )A．是全称量词命题，假命题B．是全称量词命题，真命题C．是存在量词命题，假命题D．是存在量词命题，真命题4．命题“已知y＝|x|－1，∀x∈R都有m≤y”是真命题，则实数m的取值范围是( ) A．m≥－1 B．m>－1C．m≤－1 D．m<－15．命题“有些一元一次不等式的解集是空集”是________．(全称量词命题、存在量词命题)6．推断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，然后写出对应的否定命题，并推断真假．(1)不论m取何实数，关于x的方程x2＋x－m＝0必有实数根；(2)全部末位数字是0或5的整数都能被5整除；(3)某些梯形的对角线相互平分；(4)函数y＝kx图象恒过原点．[提实力]7．[多选题]下列命题中正确的有( )A．“实数都大于0”的否定是“实数都小于或等于0”B．“三角形外角和为360度”是含有全称量词的真命题C．“至少存在一个实数x，使得|x|≥0”是含有存在量词的真命题D．“能被3整除的整数，其各位数字之和也能被3整除”是全称量词命题8．若“∀x∈R，(a－2)x＋1>0”是真命题，则实数a的取值范围是________．9．若p：存在x0<5，使2x0＋a>0是真命题，则实数a的取值范围是________．[战疑难]10．已知命题p：∀x∈[2,3]，x2－a≥0，命题q：∃x∈R，x2＋2x＋2－a＝0.若命题p 和命题q都是真命题，求实数a的取值范围．课时作业(七) 全称量词命题与存在量词命题1．解析：A、C、D都是含有存在量词的存在量词命题，B是含有全称量词的全称量词命题．答案：B2．解析：选项A是全称量词命题，a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≤0，故A是假命题；B是假命题；“存在小于1的自然数”，C是存在量词命题；D项，对于全部k∈R，函数y＝kx＋1的图象过定点(0,1)，所以正确选项为D.答案：D3．解析：原命题的含义是“对于随意m∈[1,2]，方程x2－2x＋m＝0都没有实数解”，但当m＝1时，方程有实数解x＝1，故命题是含有全称量词的假命题，所以正确选项为A.答案：A4．解析：由已知y＝|x|－1，得y≥－1，要使∀x∈R，都有m≤y成立，只需m≤－1，所以正确选项为C.答案：C5．解析：原命题即是“存在一元一次不等式的解集是空集”，所以答案为“存在量词命题”． 答案：存在量词命题6．解析：(1)即“全部m ∈R ，关于x 的方程x2＋x －m ＝0都有实数根”，是全称量词命题，其否定为“存在实数m ，使得方程x2＋x －m ＝0没有实数解”，真命题；(2)是全称量词命题，其否定为“存在末位数字是0或5的整数不能被5整除”，假命题；(3)是存在量词命题，其否定为“全部梯形的对角线不相互平分”，真命题；(4)即“全部k ∈R ，函数y ＝kx 图象都过原点”，是全称量词命题，其否定为“存在实数k ，使函数y ＝kx 图象不过原点”，是假命题．7．解析：A.“实数都大于0”的含义是“全部实数都大于0”，所以它的否定应当是“存在实数不大于0”，所以A 错误；B.“三角形外角和为360度”的含义是“全部三角形外角和为360度”，所以B 正确；同理CD 也正确．故选BCD.答案：BCD8．解析：“∀x ∈R ，(a －2)x ＋1>0”是真命题，等价于(a －2)x ＋1>0的解集为R ，所以a －2＝0，即a ＝2.答案：{2}9．解析：存在x0<5，使2x0＋a>0，即存在x0<5，使x0>－a 2，所以－a 2<5，所以a>－10. 答案：a>－1010．解析：∵∀x ∈[2,3]，x2－a ≥0，即a ≤x2，当x ∈[2,3]时恒成立．∴a ≤4. ∵∃x ∈R ，x2＋2x ＋2－a ＝0，即方程x2＋2x ＋2－a ＝0有实根，∴Δ＝4－4×1×(2－a)≥0.解得a ≥1.∵命题p 和命题q 都是真命题，∴实数a 的取值范围是[1,4]．。

§3全称量词与存在量词知识点一全称量词与全称命题的定义[填一填](1)在命题的条件中，“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”等都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词，像这样含有全称量词的命题叫作全称命题．(2)在某些全称命题中，有时全称量词可以省略．[答一答]将下列不含全称量词的全称命题改写成含有全称量词的命题．(1)不共线的三点确定一个平面；(2)平行线不相交；(3)对顶角相等．提示：(1)任意不共线的三点都可以确定一个平面．(2)任意两条平行线都不相交．(3)每一组对顶角都相等．知识点二存在量词与特称命题的定义[填一填]在命题中，“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词，像这样含有存在量词的命题，叫作特称命题．[答一答]下列各命题中含有的量词分别是什么？(1)任意实数的平方都是正数；(2)0乘以任何数都等于0；(3)任何一个实数都有相反数；(4)△ABC的内角中有小于60°的角．提示：(1)任意(2)任何(3)任何(4)有知识点三全称命题、特称命题的否定形式[填一填](1)要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个反例就可以了．实际上是要说明这个全称命题的否定是正确的．全称命题的否定是特称命题．(2)要说明一个特称命题“存在一些对象满足某一性质”是错误的，就要说明所有的对象都不满足这一性质．实际上是要说明这个特称命题的否定是正确的．特称命题的否定是全称命题．[答一答]1．命题的否定和否命题的区别与联系．提示：命题的否定是只否定命题的结论，而否命题是条件和结论同时否定，原命题和命题的否定必须一真一假，原命题和否命题没有固定的真假关系．2．如何写出含有量词的命题的否定，原先的命题与它的否定在形式上有何变化？提示：写含有量词的否定，不只是否定命题的结论，还要把全称量词改为存在量词或把存在量词改为全称量词．1．关于全称量词和全称命题的几个注意点：(1)全称量词往往有一定的限制范围，该范围直接影响着全称命题的真假．若对于给定范围x∈M内的一切值，全称命题成立，则全称命题为真命题．若能举出反例，则为假命题．(2)有的命题省去全称量词，仍是全称命题．如“有理数都是实数”就省去了全称量词“所有”．因此，要判定一个命题是否是全称命题，除看它是否含有全称量词外，还要结合具体意义．(3)在全称命题中，可以包括多个变量．如：对任意a，b∈R，(a ＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3.全称命题为真，意味着对限定集合中的每一个元素都具有某种性质，使所给语句为真．当然，当a＝3，b＝5时，上式自然是正确的．2．特称命题的真假判定：要判定一个特称命题为真，只要在限定集合M中，能找到一个元素，使特称命题成立即可；否则，这一特称命题为假．3．常见量词的否定形式：类型一全称命题、特称命题的判断【例1】判断下列命题哪些是全称命题，哪些是特称命题．(1)对任意x∈R，x2>0；(2)有些无理数的平方也是无理数；(3)正四面体的各面都是正三角形；(4)存在x＝1，使方程x2＋x－2＝0；(5)对任意x∈{x|x>－1},3x＋4>0成立；(6)存在a＝1且b＝2，使a＋b＝3成立．【思路探究】先观察命题中所含的量词，根据量词的意义来判断命题的类别．不含量词的命题要注意结合命题的语境进行分析．【解】(1)(5)含全称量词“任意”，(3)虽不含有量词，但其本义是所有正四面体的各面都是正三角形．故(1)(3)(5)为全称命题；(2)(4)(6)为特称命题，分别含有存在量词“有些”“存在”“存在”．规律方法判断一个命题是全称命题还是特称命题时，需要注意以下两点：(1)若命题中含有量词，则直接判断所含量词是全称量词还是存在量词；(2)若命题中不含有量词，则要根据命题的实际意义进行判断．判断下列语句是否是全称命题或特称命题．(1)有一个实数a，a不能取对数．(2)所有不等式的解集A，都有A⊆R.(3)三角函数都是周期函数吗？(4)有的向量方向不定．(5)自然数的平方是正数．解：因为(1)(4)含有存在量词，所以命题(1)(4)为特称命题．又因为“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方都是正数”，所以(2)(5)均为全称命题．(3)是疑问句，不是命题．综上所述，(1)(4)为特称命题，(2)(5)为全称命题，(3)不是命题．类型二全称命题、特称命题的否定形式【例2】判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定．(1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图像都开口向下；(3)存在一个四边形不是平行四边形．【思路探究】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．【解】(1)是全称命题且为真命题．命题的否定是：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形且它的内角和不等于180°.(2)是全称命题且为假命题．命题的否定是：存在一个二次函数的图像开口不向下．(3)是特称命题且为真命题．命题的否定是：所有的四边形都是平行四边形．规律方法解题时要注意存在量词、全称量词的不同表示形式．特称命题p：存在x∈A，p(x)，其否定为：任意x∈A，非p(x)；全称命题q：任意x∈A，q(x)，其否定为：存在x∈A，非q(x)．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出其否定形式．(1)有理数都能写成分数的形式；(2)方程x2＋2x＋8＝0有实数解；(3)有一个素数是偶数；(4)对任意m∈Z，都有m2－3>0成立．解：(1)是全称命题，省略了全称量词“任意一个”，即“任意一个有理数都能写成分数的形式”，命题的否定为：存在一个有理数不能写成分数的形式，为假命题．(2)是特称命题，即“存在实数x，使方程x2＋2x＋8＝0成立”，命题的否定为：对任意实数x，方程x2＋2x＋8＝0不成立，为真命题．(3)是特称命题，即“存在一个素数是偶数”，命题的否定为：所有的素数都不是偶数，为假命题(2是素数，也是偶数)．(4)命题中含有全称量词“任意”，所以是全称命题；否定形式：存在m∈Z，使m2－3≤0成立．类型三利用全称命题、特称命题求参数的取值范围【例3】对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x2＋px>4x＋p －3恒成立，试求x的取值范围．【思路探究】本题看上去是一个不等式的问题，但是经过等价转化，确定适当的变量和参数，把它转化为一个简单的一次函数，并借助函数图像建立一个关于x的不等式组，从而求得x的取值范围．【解】 不等式x 2＋px >4x ＋p －3恒成立，即(x －1)p ＋x 2－4x ＋3>0恒成立，构造函数f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3.当x ＝1时，f (p )＝0，不满足f (p )>0，∴f (p )表示p 的一次函数．∵p ∈[0,4]，∴函数f (p )的图像是一条线段，要使f (p )>0在[0,4]上恒成立，需满足⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)>0，f (4)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3>0，(x －1)·4＋x 2－4x ＋3>0， 解得x <－1或x >3.所以x 的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．规律方法 全称命题的考查在试题中经常出现，如：“恒成立”问题就属于这一题型．其命题方向往往是求式子中某个参数的取值范围．而特称命题常常以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”，求出相应的参数的取值范围．解题时的依据是：“假设存在，利用条件进行推理论证，若导出合理结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则可否定存在性．”已知二次函数f (x )＝ax 2＋x .对于任意x ∈[0,1]，|f (x )|≤1成立，试求实数a 的取值范围．解：|f (x )|≤1⇔－1≤f (x )≤1⇔－1≤ax 2＋x ≤1，x ∈[0,1]．①当x ＝0时，a ≠0，①式显然成立；当x ∈(0,1]时，①式化为－1x 2－1x ≤a ≤1x 2－1x 在x ∈(0,1]上恒成立．设t ＝1x ，则t ∈[1，＋∞)，则有－t 2－t ≤a ≤t 2－t ，所以只需⎩⎪⎨⎪⎧a ≥(－t 2－t )max ＝－2，a ≤(t 2－t )min ＝0， ⇒－2≤a ≤0，又a ≠0，故－2≤a <0.综上，所求实数a 的取值范围是[－2,0)．——规范解答——根据全称命题、特称命题的真假确定参数范围【例4】 若命题“存在x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋a <0成立”是真命题，求实数a 的取值范围．【思路分析】 解决本题的关键是将已知的特称命题是真命题转化为相应的函数在x 轴下方一定有图象，这是函数思想的应用．【解】 设函数f (x )＝ax 2＋2x ＋a ，原命题为真等价于函数f (x )在x 轴下方有图象．当a ＝0时，f (x )＝2x ，满足题意；当a <0时，二次函数f (x )的图象是开口向下的抛物线，在x 轴下方一定有图象，满足题意；当a >0时，只需4－4a 2>0，所以0<a <1.综上，实数a 的取值范围是(－∞，1)．(1)若命题“对于任意实数x ，不等式sin x ＋cos x >m 恒成立”是真命题，求实数m 的取值范围；(2)若命题“存在实数x ，使不等式sin x ＋cos x >m 有解”是真命题，求实数m 的取值范围．解：(1)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ，∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≥－2， 又∵任意x ∈R ，sin x ＋cos x >m 恒成立，∴只要m <－2即可．∴所求m 的取值范围是(－∞，－2)．(2)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ，∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[－2，2]． 又∵存在x ∈R ，使sin x ＋cos x >m 有解，∴只要m <2即可，∴所求m 的取值范围是(－∞，2)．1．下列特称命题是真命题的是( B )A ．存在x ∈R ，使x 2<0B ．有的三角形是等边三角形C ．有的偶数不能被2整除D ．平面内存在一个四边形的内角和小于360°解析：A ，C ，D 均为假命题，B 是真命题．2．给出下列四个命题：①对任意的x ∈R ，x 2>0；②存在x ∈R ，使得x 2≤x 成立；③对于集合M ，N ，若x ∈M ∩N ，则x ∈M 且x ∈N ；④存在α，β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β.其中真命题的个数是( D )A ．0B ．1C ．2D ．3 解析：存在x ＝0，使x 2＝0，故①是假命题；显然②③④都是真命题．3．命题“某些平行四边形是矩形”的否定是( C )A．某些平行四边形不是矩形B．每一个平行四边形都是矩形C．每一个平行四边形都不是矩形D．以上都不对解析：先否定结论，再把量词“某些”变成“每一个”．4．命题“所有偶函数的图像关于y轴对称”是真命题(填“真”或“假”)．其命题的否定为存在一个偶函数的图像不关于y轴对称，是假命题(填“真”或“假”)．5．写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)所有能被5整除的整数的末位数字都是0；(2)有的等腰三角形是直角三角形；(3)任意两个等边三角形都是相似的．解：(1)存在一个能被5整除的整数的末位数字不是0，真命题；(2)所有的等腰三角形都不是直角三角形，假命题；(3)存在两个等边三角形不相似，假命题．。

§3全称量词与存在量词[对应学生用书P8]全称量词与全称命题在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城．我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸．我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人．可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸．这就是著名的“罗素理发师悖论”问题．问题1：文中理发师说：“我将给所有的不给自己刮脸的人刮脸”．对“所有的”这一词语，你还能用其他词语代替吗？提示：任意一个，全部，每个．问题2：上述词语都有什么含义？提示：表示某个范围内的整体或全部．全称量词与全称命题(1)“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词．(2)含有全称量词的命题，叫作全称命题.存在量词与特称命题观察语句①②：①存在一个x∈R，使3x＋1＝5；②至少有一个x∈Z，x能被2和3整除．问题1：①②是命题吗？若是命题，判断其真假．提示：是，都为真命题．问题2：①②中的“存在一个”、“至少有一个”有什么含义？提示：表示总体中“个别”或“一部分”．问题3：你能写出一些与问题2中具有相同意义的词语吗？提示：某些，有的，有些．存在量词与特称命题(1)“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词．(2)含有存在量词的命题，叫作特称命题.全称命题与特称命题的否定观察下列命题：①被7整除的整数是奇数；②有的函数是偶函数；③至少有一个三角形没有外接圆．问题1：命题①的否定：“被7整除的整数不是奇数”对吗？提示：不对，命题①是省略了量词“所有”的全称命题，其否定应为“存在被7整除的整数不都是奇数”．问题2：命题②的否定：“有的函数不是偶函数”对吗？提示：不对，应为每一个函数都不是偶函数．问题3：判断命题③的否定的真假．提示：命题③的否定：所有的三角形都有外接圆，是真命题．全称命题与特称命题的否定全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．1．判断一个命题是全称命题还是特称命题时，首先要分析命题中含有的量词，含有全称量词的是全称命题，含有存在量词的是特称命题．2．要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个反例即可，实际上就是说明这个全称命题的否定是正确的；要说明一个特称命题是错误的，就要说明所有的对象都不满足这一性质，即说明这个特称命题的否定是正确的．[对应学生用书P9]全称命题与特称命题的判断[例1] 判断下列命题哪些是全称命题，哪些是特称命题．(1)对任意x∈R，x2>0；(2)有些无理数的平方也是无理数；(3)正四面体的各面都是正三角形；(4)存在x＝1，使方程x2＋x－2＝0；(5)对任意x∈{x|x>－1},3x＋4>0成立；(6)存在a＝1且b＝2，使a＋b＝3成立．[思路点拨] 先观察命题中所含的量词，根据量词的意义来判断命题的类别．不含量词的命题要注意结合命题的语境进行分析．[精解详析] (1)(5)含全称量词“任意”，(3)虽不含有量词，但其本义是所有正四面体的各面都是正三角形．故(1)(3)(5)为全称命题；(2)(4)(6)为特称命题，分别含有存在量词“有些”、“存在”、“存在”．[一点通]判断一个命题是全称命题还是特称命题时，需要注意以下两点：(1)若命题中含有量词则直接判断所含量词是全称量词还是存在量词；(2)若命题中不含有量词，则要根据命题的实际意义进行判断．1．下列命题为特称命题的是( )A．奇函数的图像关于原点对称B．正四棱柱都是平行六面体C．棱锥仅有一个底面D．存在大于等于3的实数x，使x2－2x－3≥0解析：A，B，C中命题都省略了全称量词“所有”，所以A，B，C都是全称命题；D中命题含有存在量词“存在”，所以D是特称命题，故选D.答案：D2．下列命题中，全称命题的个数是( )①任意一个自然数都是正整数；②所有的素数都是奇数；③有的等差数列也是等比数列；④三角形的内角和是180°.A．0个B．1个C．2个D．3个解析：命题①②含有全称量词，而命题④可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，故有三个全称命题．答案：D全称命题与特称命题的真假判断[例2] 指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断其真假．(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点；(2)存在一个实数，它的绝对值不是正数；(3)对任意实数x1，x2，若x1<x2，都有tan x1<tan x2；(4)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数．[思路点拨] 本题可由命题中所含量词的特点或命题的语境判断命题的类别，再结合相关知识判断真假．[精解详析] (1)(3)是全称命题，(2)(4)是特称命题．(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题．(2)存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题．(3)存在x1＝0，x2＝π，x1<x2，但tan 0＝tan π，所以该命题是假命题．(4)存在一个函数f(x)＝0，它既是偶函数又是奇函数，所以该命题是真命题．[一点通]1．要判断一个全称命题是真命题，必须对限定条件中的每一个元素x，验证命题成立．而要判断它是假命题，只要能举出限定条件中的一个x，使命题不成立即可．2．要判断一个特称命题是真命题，只要在限定条件中，至少能找到一个x，使命题成立即可，否则这一特称命题就是假命题．3．下列命题的假命题是( )A．有些不相似的三角形面积相等B．存在一个实数x，使x2＋x＋1≤0C ．存在实数a ，使函数y ＝ax ＋b 的值随x 的增大而增大D ．有一个实数的倒数是它本身解析：以上4个均为特称命题，A ，C ，D 均可找到符合条件的特例；对B ，任意x ∈R ，都有x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0.故B 为假命题．答案：B4．判断下列命题的真假，并说明理由： (1)对任意x ∈R ，都有x 2－x ＋1＞12成立；(2)存在实数α，β，使cos(α－β)＝cos α－cos β成立； (3)对任意x ，y ∈N ，都有(x －y )∈N ； (4)存在x ，y ∈Z ，使2x ＋y ＝3成立．解：(1)法一：当x ∈R 时，x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34≥34＞12，所以该命题是真命题．法二：x 2－x ＋1＞12 ⇔x 2－x ＋12＞0，由于Δ＝1－4×12＝－1＜0，所以不等式x 2－x ＋1＞12的解集是R ，所以该命题是真命题． (2)当α＝π4，β＝π2时，cos(α－β)＝cos(π4－π2)＝cos(－π4)＝cos π4＝22，cos α－cos β＝cos π4－cos π2＝22－0＝22，此时cos(α－β)＝cos α－cos β，所以该命题是真命题．(3)当x ＝2，y ＝4时，x －y ＝－2∈/ N ，所以该命题是假命题．(4)当x ＝0，y ＝3时，2x ＋y ＝3，即存在x ，y ∈Z ，使2x ＋y ＝3，所以该命题是真命题.全称命题、特称命题的否定[例3] (1)三角形的内角和为180°； (2)每个二次函数的图像都开口向下； (3)有些实数的绝对值是正数； (4)某些平行四边形是菱形．[思路点拨] 先判断是全称命题还是特称命题，再对命题否定．[精解详析] (1)是全称命题且为真命题． 命题的否定：三角形的内角和不全为180°， 即存在一个三角形的内角和不等于180°. (2)是全称命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图像开口不向下． (3)是特称命题且为真命题．命题的否定：所有实数的绝对值都不是正数． (4)是特称命题，且为真命题．命题的否定：每一个平行四边形都不是菱形． [一点通]1．全称命题的否定为特称命题，特称命题的否定为全称命题．2．写全称(特称)命题的否定时，先把全称(存在)量词改为存在(全称)量词，然后再否定结论．5．(湖北高考)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( ) A ．任意一个有理数，它的平方是有理数 B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C ．存在一个有理数，它的平方是有理数 D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数解析：根据特称命题的否定是全称命题即可解答．“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是“任意一个无理数，它的平方不是有理数”，故选B.答案：B6．若“对任意x ∈R ，ax 2－2ax －1＜0”为真命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：依题意，问题等价于对任意x ∈R ，ax 2－2ax －1＜0恒成立．当a ＝0时，不等式显然成立；当a ≠0时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝4a 2＋4a ＜0，解得－1＜a ＜0，故实数a 的取值范围是(－1,0]答案：(－1,0]7．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出其否定形式． (1)对数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数能被2整除且能被5整除；(4)对任意m∈Z，都有m2－3＞0成立．解：(1)命题省略了全称量词“所有”，所以是全称命题；否定形式：有的对数函数不是单调函数．(2)命题含有存在量词“至少”，所以是特称命题；否定形式：所有整数不能被2整除或不能被5整除．(3)命题含有存在量词，所以是特称命题；否定形式：对任意x∈R，都有log2x≤0.(4)命题中含有全称量词“任意”，所以是全称命题；否定形式：存在m∈Z，使m2－3≤0成立．1．判断命题是全称命题还是特称命题主要是看命题中含有的量词．有些命题没有明显的量词或省略了量词，可以根据命题的实际含义作出判断．2．对含有一个量词的命题的否定要注意以下几个问题：(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题；(2)改变量词；(3)否定结论；(4)无量词的全称命题要先补上量词再否定．[对应课时跟踪训练三]1．将命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称命题为( )A．对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立B．存在x，y∈R，使x2＋y2≥2xy成立C．对任意x＞0，y＞0，都有x2＋y2≥2xy成立D．存在x＜0，y＜0，使x2＋y2≤2xy成立解析：本题中的命题仅保留了结论，省略了条件“任意实数x，y”，改成全称命题为：对任意实数x，y，都有x2＋y2≥2xy成立．答案：A2．“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于( )A．存在x∈R，使得f(x)＞0成立C ．对任意x ∈R ，使得f (x )＞0成立D ．对任意x ∈R ，f (x )≤0成立解析：“关于x 的不等式f (x )＞0有解”等价于“存在实数x ，使得f (x )＞0成立”，故选A.答案：A3．下列命题为真命题的是( ) A ．对任意x ∈R ，都有cos x ＜2成立 B ．存在x ∈Z ，使log 2(3x －1)＜0成立 C ．对任意x ＞0，都有3x＞3成立 D ．存在x ∈Q ，使方程2x －2＝0有解解析：A 中，由于函数y ＝cos x 的最大值是1，又1＜2，所以A 是真命题；B 中，log 2(3x －1)＜0⇔0＜3x －1＜1⇔13＜x ＜23，所以B 是假命题；C 中，当x ＝1时，31＝3，所以C 是假命题；D 中，2x －2＝0⇔x ＝2∈/ Q ，所以D 是假命题，故选A.答案：A4．给出四个命题：①末位数字是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x ，使x ＞0；④对于任意实数x,2x ＋1都是奇数．下列说法正确的是( )A ．四个命题都是真命题B ．①②是全称命题C ．②③是特称命题D ．四个命题中有两个假命题解析：①④为全称命题；②③为特称命题；①②③为真命题；④为假命题． 答案：C5．下列命题中全称命题是__________；特称命题是________． ①正方形的四条边相等；②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形； ③正数的平方根不等于0； ④至少有一个正整数是偶数．解析：①③是全称命题，②④是特称命题． 答案：①③ ②④6．命题“偶函数的图像关于y 轴对称”的否定是________．解析：本题中的命题是全称命题，省略了全称量词，加上全称量词后该命题可以叙述为：所有偶函数的图像关于y 轴对称．将命题中的全称量词“所有”改为存在量词“有些”，结论“关于y 轴对称”改为“关于y 轴不对称”，所以该命题的否定是“有些偶函数的图像关于y 轴不对称”．答案：有些偶函数的图像关于y 轴不对称 7．写出下列命题的否定并判断其真假． (1)有的四边形没有外接圆； (2)某些梯形的对角线互相平分； (3)被8整除的数能被4整除．解：(1)命题的否定：所有的四边形都有外接圆，是假命题． (2)命题的否定：任一个梯形的对角线不互相平分，是真命题． (3)命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题．8．(1)若命题“对于任意实数x ，不等式sin x ＋cos x >m 恒成立”是真命题，求实数m 的取值范围；(2)若命题“存在实数x ，使不等式sin x ＋cos x >m 有解”是真命题，求实数m 的取值范围．解：(1)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ，∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≥－2，又∵任意x ∈R ，sin x ＋cos x >m 恒成立， ∴只要m <－2即可．∴所求m 的取值范围是(－∞，－2)． (2)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ，∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[－2，2]． 又∵存在x ∈R ，使sin x ＋cos x >m 有解，∴只要m <2即可，∴所求m 的取值范围是(－∞，2)．。

学业分层测评(四)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(2016·宁波高二检测)将“a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2”改写成全称命题是( )A ．存在a 0，b 0∈R ，使a 20＋b 20＋2a 0b 0＝(a 0＋b 0)2B ．存在a 0＜0，b 0＞0，使a 20＋b 20＋2a 0b 0＝(a 0＋b 0)2C ．存在a 0＞0，b 0＞0，有a 20＋b 20＋2a 0b 0＝(a 0＋b 0)2D ．对所有a ，b ∈R ，有a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2【解析】 a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2是全称命题，隐藏了“对所有a ，b ∈R ”．【答案】 D2．下列命题中的真命题是( )A ．存在x 0∈N ，使4x 0<－3B ．存在x 0∈Z ，使2x 0－1＝0C ．对任意x ∈R,2x ＞x 2D ．对任意x ∈R ，x 2＋2＞0【解析】 当x ∈R 时，x 2≥0，∴x 2＋2≥2＞0【答案】 D3．已知命题p ：∃x 0∈R ，sin x 0＜12x 0，则綈p 为( )A ．∃x 0∈R ，sin x 0＝12x 0B ．∀x ∈R ，sin x ＜12xC ．∃x 0∈R ，sin x 0≥12x 0D ．∀x ∈R ，sin x ≥12x【解析】 原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即綈p ：∀x ∈R ，sin x ≥12x .【答案】 D4．非空集合A、B满足A B，下面四个命题中正确的个数是()①对任意x∈A，都有x∈B；②存在x0∉A，使x0∈B；③存在x0∉B，使x0∈A；④对任意x∉B，都有x∉A.A．1B．2C．3D．4【解析】根据A B知，①②④正确，③错误．【答案】 C5．(2016·广东梅州一模)下列命题中的假命题是()A．对任意x∈R,2x－1＞0B．对任意x∈N*，(x－1)2＞0C．存在x∈R，lg x＜1D．存在x∈R，tan x＝2【解析】A项，∵x∈R，∴x－1∈R，由指数函数性质得2x－1＞0；B项，∵x∈N*，∴当x＝1时，(x－1)2＝0，与(x－1)2＞0矛盾；C项，当x＝110时，lg110＝－1＜1；显然D正确．【答案】 B二、填空题6．下列命题，是全称命题的是________；是特称命题的是________．【导学号：32550011】①正方形的四条边相等；②有两个角是45°的三角形都是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．【解析】①②③都是省略了全称量词的全称命题．④是特称命题．【答案】①②③④7．“所有的自然数都大于零”的否定是________．【解析】 改变量词并否定判断词．【答案】 存在一个自然数小于或等于零8．若命题“存在x 0∈R ，x 20＋mx 0＋2m －3＜0”为假命题，则实数m 的取值范围是________．【解析】 由题意可知，命题“对任意x ∈R ，x 2＋mx ＋2m －3≥0”为真命题，故Δ＝m 2－4(2m －3)＝m 2－8m ＋12≤0，解得2≤m ≤6.【答案】 [2,6]三、解答题9．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断真假．(1)对任意的实数a 、b ，关于x 的方程ax ＋b ＝0恰有唯一解；(2)存在实数x ，使得1x 2－2x ＋3＝34. 【解】 (1)该命题是全称命题．当a ＝0，b ≠0时方程无解，故该命题为假命题．(2)该命题是特称命题．∵x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2≥2，∴1x 2－2x ＋3≤12＜34. 故该命题是假命题．10．写出下列全称命题或特称命题的否定：(1)所有能被3整除的整数都是奇数；(2)每一个四边形的四个顶点共圆；(3)有的三角形是等边三角形．【解】 (1)该命题的否定是：至少存在一个能被3整除的整数不是奇数．(2)该命题的否定是：至少存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．(3)该命题的否定是：所有三角形都不是等边三角形．[能力提升]1．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是() A．每一个锐角三角形的内角都是锐角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x0，使1x0＞2【解析】B，D是特称命题，D是假命题，B是真命题．【答案】 B2．“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于()A．存在x∈R，使得f(x)＞0成立B．存在x∈R，使得f(x)≤0成立C．对任意x∈R，使得f(x)＞0成立D．对任意x∈R，f(x)≤0成立【解析】“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于“存在实数x，使得f(x)＞0成立”，故选A.【答案】 A3．命题“偶函数的图像关于y轴对称”的否定是________．【解析】本题中的命题是全称命题，省略了全称量词，加上全称量词后该命题可以叙述为：所有偶函数的图像关于y轴对称．将命题中的全称量词“所有”改为存在量词“有些”，结论“关于y轴对称”改为“关于y轴不对称”，所以该命题的否定是“有些偶函数的图像关于y轴不对称”．【答案】有些偶函数的图像关于y轴不对称4．已知对任意x∈(－∞，1]，不等式(a－a2)4x＋2x＋1＞0恒成立．求a的取值范围．【导学号：32550012】【解】令2x＝t，∵x∈(－∞，1]，∴t ∈(0,2]，∴a 2－a ＜t ＋1t 2. 要使上式在t ∈(0,2]上恒成立，只需求出f (t )＝t ＋1t 2在t ∈(0,2]上的最小值即可． ∵f (t )＝t ＋1t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＋1t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋122－14， 且1t ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞，∴f (t )min ＝f (2)＝34. ∴a 2－a ＜34.∴－12＜a ＜32.所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.。

全称量词和全称命题（北京习题集）（教师版）一．选择题（共4小题）1．（2012•顺义区二模）已知全集为U ，P U ⊆，定义集合P 的特征函数为1,()0,P U x Pf x x C P∈⎧=⎨∈⎩，对于A U ⊆，B U ⊆，给出下列四个结论：①对x U ∀∈，有()()1A UC A f x f x +=；②对x U ∀∈，若A B ⊆，则()()A B f x f x ； ③对，有()()()A B ABf x f x f x =；④对x U ∀∈，有()()()A B ABf x f x f x =+．其中，正确结论的序号是( ) A ．①②④B ．②③④C ．②③D ．①②③2．（2010•通州区一模）若函数2()()f x x ax a R =+∈，则下列结论正确的是( ) A ．a R ∃∈，()f x 是偶函数 B ．a R ∃∈，()f x 是奇函数C ．a R ∀∈，()f x 在(0,)+∞上是增函数D ．a R ∀∈，()f x 在(0,)+∞上是减函数3．（2008秋•怀柔区期末）将2222()a b ab a b ++=+改写成全称命题是( ) A ．0a ∀>，0b >，2222()a b ab a b ++=+ B ．a ∀，b R ∈，2222()a b ab a b ++=+C ．0a ∃<，0b >，2222()a b ab a b ++=+D ．a ∃，b R ∈，2222()a b ab a b ++=+4．（2016秋•丰台区期末）已知函数()()sin f x ln x a x =+-．给出下列命题： ①当0a =时，(0,)x e ∀∈，都有()0f x <； ②当a e 时，(0,)x ∀∈+∞，都有()0f x >； ③当1a =时，0(2,)x ∃∈+∞，使得0()0f x =． 其中真命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3二．填空题（共8小题）5．（2019•西城区校级模拟）写出一个满足“(0,)x ∀∈+∞，(1)()f x f x +>均成立，()f x 在(0,)+∞上不是增函数”的具体函数 ．6．（2017秋•丰台区期末）若“x R ∀∈，21m x -+”是真命题，则实数m 的最小值为 ． 7．（2017秋•丰台区期末）若“x R ∀∈，22m x x -+”是真命题，则实数m 的最小值为 ． 8．（2012秋•海淀区期末）命题:p a ∀，b R ∈，222a b ab +，则命题p ⌝是 ．9．（2013春•西城区期末）设函数()1n n f x x x =+-，其中*n N ∈，且2n ，给出下列三个结论： ①函数2()f x 在区间1(,1)2内不存在零点；②函数3()f x 在区间1(,1)2内存在唯一零点；③*n N ∀∈，且4n ，函数()n f x 在区间1(,1)2内存在零点．其中所有正确结论的序号为 ．10．（2012•北京）已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x g x =-，若同时满足条件： ①x R ∀∈，()0f x <或()0g x <； ②(,4)x ∃∈-∞-，()()0f x g x <． 则m 的取值范围是 ．11．（2012•顺义区二模）已知全集为U ，P U ，定义集合P 的特征函数为1,()0,P U x Pf x x C P ∈⎧=⎨∈⎩，对于A U ，BU ，给出下列四个结论：①对x U ∀∈，有()()1A CU A f x f x +=； ②对x U ∀∈，若A B ，则()()A B f x f x ；③对x U ∀∈，有()()()A B A Bf x f x f x =； ④对x U ∀∈，有()()()A B ABf x f x f x =+．其中，正确结论的序号是 ．12．（2009秋•昌平区校级月考）写出命题“x R ∀∈，2410ax ax ++>”的否定形式： ，又如果x R ∀∈，2410ax ax ++>，实数a 的取值范围是： ．全称量词和全称命题（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．（2012•顺义区二模）已知全集为U ，P U ⊆，定义集合P 的特征函数为1,()0,P U x Pf x x C P ∈⎧=⎨∈⎩，对于A U ⊆，B U ⊆，给出下列四个结论：①对x U ∀∈，有()()1A UC A f x f x +=；②对x U ∀∈，若A B ⊆，则()()A B f x f x ； ③对，有()()()A B ABf x f x f x =；④对x U ∀∈，有()()()A B ABf x f x f x =+．其中，正确结论的序号是( ) A ．①②④B ．②③④C ．②③D ．①②③【分析】利用特殊值法解决．先设出特殊的集合U ，A ，B ，然后再验证判断四个命题的真假即可得出答案． 【解答】解：利用特殊值法进行求解．设{1U =，2，3}，{1}A =，{1B =，2}．那么： 对于①有A f （1）1=，A f （2）0=，A f （3）0=，f U C A（1）0=，fU C A（2）1=，fU C A（3）1=．可知①正确；对于②有A f （1）1B f ==（1），A f （2）0B f =<（2）1=，A f （3）B f =（3）0=可知②正确； 对于③有A f （1）1=，A f （2）0=，A f （3）0=，B f （1）1=，B f （2）1=，B f （3）0=，ABf （1）1=，ABf （2）0=，ABf （3）0=．可知③正确；对于④有A f （1）1=，A f （2）0=，A f （3）0=，B f （1）1=，B f （2）1=，B f （3）0=，AB f （1）1=，ABf （2）1=，ABf （3）0=可知．④不正确；其中，正确结论的序号是：①、②、③． 故选：D ．【点评】本题考查集合的基本运算，特值法判断选项的正误能够快速解答选择题，理解题意是本题解答的关键． 2．（2010•通州区一模）若函数2()()f x x ax a R =+∈，则下列结论正确的是( ) A ．a R ∃∈，()f x 是偶函数B ．a R ∃∈，()f x 是奇函数C ．a R ∀∈，()f x 在(0,)+∞上是增函数D ．a R ∀∈，()f x 在(0,)+∞上是减函数【分析】当0a =时，()f x 是偶函数；有2x 的存在，()f x 不会是奇函数；在(0,)∝上，只有当0a >时，()x 在(0,)+∞上是增函数；2()g x x =在(0,)+∞上是增函数，不存在a R ∈，有()f x 在(0,)+∞上是减函数．【解答】解：当0a =时，()f x 是偶函数 故选：A ．【点评】本题通过逻辑用语来考查函数的单调性和奇偶性．3．（2008秋•怀柔区期末）将2222()a b ab a b ++=+改写成全称命题是( ) A ．0a ∀>，0b >，2222()a b ab a b ++=+B ．a ∀，b R ∈，2222()a b ab a b ++=+C ．0a ∃<，0b >，2222()a b ab a b ++=+D ．a ∃，b R ∈，2222()a b ab a b ++=+【分析】根据全称命题的定义，全称命题要包含全称量词，我们利用全称量词易得到答案． 【解答】解：利用全称命题来改写． 将2222()a b ab a b ++=+改写成全称命题是： a ∀，b R ∈，2222()a b ab a b ++=+故选：B ．【点评】本题考查的知识点是全称命题的定义，属于基础题．4．（2016秋•丰台区期末）已知函数()()sin f x ln x a x =+-．给出下列命题： ①当0a =时，(0,)x e ∀∈，都有()0f x <； ②当a e 时，(0,)x ∀∈+∞，都有()0f x >； ③当1a =时，0(2,)x ∃∈+∞，使得0()0f x =． 其中真命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】根据函数值得特点，逐一判断即可．【解答】解：对于①当0a =时，()sin f x lnx x =-，当56x π=时，5551()sin 06662f ln πππ=->=，故不正确， 对于②a e 时，(0,)x ∀∈+∞，()1ln x a lne +>=，1sin 1x -，则()0f x >恒成立，故正确，对于③当1a =时，()(1)sin f x ln x x =+-，当2x >时，13x +>，故(1)1ln x +>，故()0f x >恒成立，故不正确， 故选：B ．【点评】本题考查了函数的单调性和命题的真假，属于基础题． 二．填空题（共8小题）5．（2019•西城区校级模拟）写出一个满足“(0,)x ∀∈+∞，(1)()f x f x +>均成立，()f x 在(0,)+∞上不是增函数”的具体函数 21()()2f x x =-（答案不唯一） ．【分析】根据条件写出一个函数只需要其满足条件即可，答案不唯一． 【解答】解：根据条件可写函数21()()2f x x =-，由()f x 有，2211(1)()()()2022f x f x x x x +-=+--=>，对“(0,)x ∀∈+∞成立，并且()f x 在1(0,)2上单调递减，在1(,)2+∞上单调递增．故答案为：21()()2f x x =-．【点评】本题考查了根据条件写函数解析式，属基础题．6．（2017秋•丰台区期末）若“x R ∀∈，21m x -+”是真命题，则实数m 的最小值为 1 ．【分析】由题意可知21m x -+ x R ∈恒成立，不等式恒成立问题通常用最值法，求出21x -+的最大值，则m 的范围得解【解答】解：由已知有：“x R ∀∈，21m x -+， 即21m x -+ x R ∈恒成立， 即2(1)max m x -+ x R ∈， 又当0x =时21x -+取最大值1， 即1m ，即m 的最小值为1， 故答案为：1【点评】本题考查了全称命题和全称量词，并着重考查了不等式恒成立问题，通常用最值法解决． 7．（2017秋•丰台区期末）若“x R ∀∈，22m x x -+”是真命题，则实数m 的最小值为 1 ．【分析】要使不等式恒成立，只需m 大于右边式子的最大值即可，则问题转化为求右边函数的最大值问题． 【解答】解：222(1)1x x x -+=--+，22x x ∴-+最大值为1， x R ∀∈，22m x x -+，1m ∴，∴实数m 的最小值为1．故答案为：1．【点评】本题考查了不等式恒成立问题，二次函数的最值问题的求法，属于基础题，要注意总结方法，体会解题思想．8．（2012秋•海淀区期末）命题:p a ∀，b R ∈，222a b ab +，则命题p ⌝是 a ∃，b R ∈，222a b ab +< ． 【分析】根据全称命题的否定是特称命题，写出其否定命题即可． 【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题，P ∴⌝是：ab R ∃∈，222a b ab +<．故答案是ab R ∃∈，222a b ab +<【点评】本题考查命题的否定及全称命题与特称命题．全称命题与特称命题是互为否定命题． 9．（2013春•西城区期末）设函数()1n n f x x x =+-，其中*n N ∈，且2n ，给出下列三个结论： ①函数2()f x 在区间1(,1)2内不存在零点；②函数3()f x 在区间1(,1)2内存在唯一零点；③*n N ∀∈，且4n ，函数()n f x 在区间1(,1)2内存在零点．其中所有正确结论的序号为 ②③ ．【分析】①判断函数22()1f x x x =+-在区间1(,1)2上取值情况．②利用33()1f x x x =+-的单调性判断．③利用根的存在定理判断．【解答】解：①因为22()1f x x x =+-，所以221111(1)10,()102424f f =>=+-=-<，所以2()f x 在区间1(,1)2上存在零点，所以①错误．②由题意知33()1f x x x =+-．因为331113(1)10,()102828f f =>=+-=-<，所以3()f x 在区间1(,1)2上存在零点，又因为33()1f x x x =+-为单调递增函数，所以函数3()f x 在区间1(,1)2内存在唯一零点，所以②正确．③*n N ∀∈，且4n ，11111(1)10,()()1()022222n n n n f f =>=+-=-<，所以函数()n f x 在区间1(,1)2内存在零点，所以③正确． 故答案为：②③．【点评】本题考查了函数零点的判断，判断函数零点问题主要是利用根的存在定理，判断区间短点处的函数值符合相反即可．10．（2012•北京）已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x g x =-，若同时满足条件： ①x R ∀∈，()0f x <或()0g x <；②(,4)x ∃∈-∞-，()()0f x g x <． 则m 的取值范围是(4,2)-- ．【分析】①由于()220x g x =-时，1x ，根据题意有()(2)(3)0f x m x m x m =-++<在1x >时成立，根据二次函数的性质可求②由于(,4)x ∈-∞-，()()0f x g x <，而()220x g x =-<，则()(2)(3)0f x m x m x m =-++>在(,4)x ∈-∞-时成立，结合二次函数的性质可求 【解答】解：对于①()22x g x =-，当1x <时，()0g x <，又①x R ∀∈，()0f x <或()0g x <()(2)(3)0f x m x m x m ∴=-++<在1x 时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x 轴交点都在(1,0)的左面 则03121m m m <⎧⎪--<⎨⎪<⎩40m ∴-<<即①成立的范围为40m -<<又②(,4)x ∈-∞-，()()0f x g x <∴此时()220x g x =-<恒成立()(2)(3)0f x m x m x m ∴=-++>在(,4)x ∈-∞-有成立的可能，则只要4-比1x ，2x 中的较小的根大即可， ()i 当10m -<<时，较小的根为3m --，34m --<-不成立， ()ii 当1m =-时，两个根同为24->-，不成立，()iii 当41m -<<-时，较小的根为2m ，24m <-即2m <-成立．综上可得①②成立时42m -<<-． 故答案为：(4,2)--．【点评】本题主要考查了全称命题与特称命题的成立，指数函数与二次函数性质的应用是解答本题的关键． 11．（2012•顺义区二模）已知全集为U ，P U ，定义集合P 的特征函数为1,()0,P U x Pf x x C P ∈⎧=⎨∈⎩，对于A U ，BU ，给出下列四个结论：①对x U ∀∈，有()()1A CU A f x f x +=； ②对x U ∀∈，若A B ，则()()A B f x f x ；③对x U ∀∈，有()()()A B A Bf x f x f x =； ④对x U ∀∈，有()()()A B ABf x f x f x =+．其中，正确结论的序号是 ①、②、③ ．【分析】利用特殊值法，先设出特殊的集合U ，A ，B ，然后再验证判断四个命题的真假即可得出答案． 【解答】解：利用特殊值法进行求解．设{1U =，2，3}，{1}A =，{1B =，2}．那么：对于①有A f （1）1=，A f （2）0=，A f （3）0=，U C A f （1）0=，U C A f （2）1=，U C A f （3）1=．可知①正确； 对于②有A f （1）1B f ==（1），A f （2）0B f =<（2）1=，A f （3）B f =（3）0=可知②正确； 对于③有A f （1）1=，A f （2）0=，A f （3）0=，B f （1）1=，B f （2）1=，B f （3）0=，ABf （1）1=，ABf （2）0=，ABf （3）0=．可知③正确；对于④有A f （1）1=，A f （2）0=，A f （3）0=，B f （1）1=，B f （2）1=，B f （3）0=，AB f （1）1=，ABf （2）1=，ABf （3）0=可知．④不正确；故答案为：①、②、③．【点评】本题考查集合的基本运算，特值法判断选项的正误能够快速解答选择题，理解题意是本题解答的关键． 12．（2009秋•昌平区校级月考）写出命题“x R ∀∈，2410ax ax ++>”的否定形式： x R ∃∈，2410ax ax ++ ，又如果x R ∀∈，2410ax ax ++>，实数a 的取值范围是： ．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行否定即可．利用恒成立的条件求实数a 的取值范围．【解答】解：全称命题的否定是特称命题，∴命题“x R ∀∈，2410ax ax ++>”的否定是：x R ∃∈，2410ax ax ++． 当0a =时，不等式2410ax ax ++>等价为10>，满足条件． 当0a ≠时，要使2410ax ax ++>恒成立，则△21640a a =-<， 即2104a a -<，解得104a <<．综上104a <． 故答案为：x R ∃∈，2410ax ax ++；104a <． 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，以及命题恒成立问题，比较 基础．。

第一章 常用逻辑用语第3.1节 全称量词与全称命题第3.2节 存在量词与特称命题1．判断下列全称命题的真假，其中真命题为（ ）A ．所有奇数都是质数B ．2,11x R x ∀∈+≥C ．对每个无理数x ，则x 2也是无理数D ．每个函数都有反函数2．将“x 2+y 2≥2xy ”改写成全称命题，下列说法正确的是（ ）A ．,x y R ∀∈，都有222x y xy +≥B ．,x y R ∃∈，都有222x y xy +≥C ．0,0x y ∀>>，都有222x y xy +≥D ．0,0x y ∃<<，都有222x y xy +≤3．判断下列命题的真假，其中为真命题的是A ．2,10x R x ∀∈+=B ．2,10x R x ∃∈+=C ．,sin tan x R x x ∀∈<D ．,sin tan x R x x ∃∈<4．下列命题中的假命题是（ ）A ．存在实数α和β，使cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin βB ．不存在无穷多个α和β，使cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin βC ．对任意α和β，使cos(α+β)=cos αcos β－sin αsin βD ．不存在这样的α和β，使cos(α+β) ≠cos αcos β－sin αsin β5．对于下列语句（1）2,3x Z x ∃∈= （2）2,2x R x ∃∈=（3）2,302x R x x ∀∈>++ （4）2,05x R x x ∀∈>+- 其中正确的命题序号是 。

（全部填上）61a bb +=+是全称命题吗？如果是全称命题，请给予证明，如果不是全称命题，请补充必要的条件，使之成为全称命题。

参考答案：1．B2．A3．D4．B5．（2）（3）6．不是全称命题，补充条件：1a b <-<（答案不惟一）当1a b <-<时, 0a b +>，10b +>11)(1)(2++≠++-=++b b a b b a b b a。

全称量词命题与存在量词命题[A级基础巩固]1．下列命题中全称量词命题的个数是( )①至少有一个偶数是质数；②∀x∈R，2x＞0；③实数的平方是正数．A．0 B．1C．2 D．3解析：选C ①中含有存在量词“至少”，所以是存在量词命题；②中含有全称量词符号“∀”，所以是全称量词命题；③中省略了全称量词“任意一个”，所以是全称量词命题．2．(多选)下列命题是“∃x∈R，x2＞3”的表述方法的有( )A．有一个x∈R，使得x2＞3成立B．对有些x∈R，使得x2＞3成立C．任选一个x∈R，都有x2＞3成立D．至少有一个x∈R，使得x2＞3成立解析：选ABD C选项是全称量词命题，A，B，D选项符合题意，故选A、B、D.3．已知“∀x∈{x|0≤x≤2}，m＞x”和“∃x∈{x|0≤x≤2}，n＞x”均为真命题，那么m，n的取值范围分别是( )A．m＞0，n＞0 B．m＞0，n＞2C．m＞2，n＞0 D．m＞2，n＞2解析：选C 由“∀x∈{x|0≤x≤2}，m＞x”是真命题，可得m＞2；由“∃x∈{x|0≤x ≤2}，n＞x”是真命题，可得n＞0.4．(多选)下列存在量词命题中，是真命题的是( )A．∃x∈Z，使x2－2x－3＝0B．至少有一个整数x，使x能同时被2和3整除C．∃x∈R，使|x|＜0D．有些自然数是偶数解析：选ABD A中，x＝－1或3时，满足x2－2x－3＝0，所以A是真命题；B中，6能同时被2和3整除，所以B是真命题；D中，2既是自然数又是偶数，所以D是真命题；C 中，因为所有实数的绝对值非负，所以C是假命题．故选A、B、D.5．已知命题p：∀x∈{x|1≤x≤3}，x－a≥0，若命题p是真命题，则实数a的取值范围是( )A．{a|a＜1} B．{a|a＞3}C．{a|a≤1} D．{a|a≥3}解析：选C 由p是真命题，可知a≤x，因为1≤x≤3，因此a≤1，故选C.6．已知命题p ：“∀x ∈R ，mx 2≥0”是真命题，则实数m 的取值范围是________． 解析：当x ∈R 时，x 2≥0，若“∀x ∈R ，mx 2≥0”是真命题，则m ≥0.答案：m ≥07．已知p (x )：x 2＋2x －m ＞0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围是________．解析：由p (1)是假命题，p (2)是真命题，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋2－m ≤0，4＋4－m ＞0，解得3≤m ＜8.答案：[3，8)8．已知命题p ：∃x ≥3，使得2x －1＜m 是假命题，则实数m 的最大值是________． 解析：因为命题p ：∃x ≥3，使得2x －1＜m 是假命题，所以m ≤2x －1(x ≥3)恒成立，所以m ≤2×3－1，解得m ≤5.故实数m 的最大值是5.答案：59．指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假：(1)有的集合中存在两个相同的元素；(2)∀a ，b ∈R ，(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＝a 3＋b 3；(3)存在一个x ∈R ，使1x －1＝0； (4)对任意直角三角形的两个锐角A ，B ，都有sin A ＝cos B ．解：(1)是存在量词命题，由集合中元素的互异性可知，此命题是假命题．(2)是全称量词命题，∀a ，b ∈R ，(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＝a 3－a 2b ＋ab 2＋a 2b －ab 2＋b 3＝a 3＋b 3是真命题．(3)是存在量词命题．因为不存在x ∈R ，使1x －1＝0成立，所以该命题是假命题． (4)是全称量词命题，根据锐角三角函数的定义可知，对任意直角三角形的两个锐角A ，B ，都有sin A ＝cos B ，是真命题．10．若对于一切x ∈R 且x ≠0，都有|x |＞ax ，求实数a 的取值范围．解：若x ＞0，由|x |＞ax ，得a ＜|x |x＝1， 若x ＜0，由|x |＞ax ，得a ＞|x |x＝－1， 若对于一切x ∈R 且x ≠0，都有|x |＞ax ，则实数a 的取值范围是－1＜a ＜1.[B 级 综合运用]11．能够说明“存在两个不相等的正数a ，b ，使得a －b ＝ab 是真命题”的一组有序数对(a ，b )为________．解析：答案不唯一，如⎝ ⎛⎭⎪⎫12，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫13，14，⎝ ⎛⎭⎪⎫14，15都符合题意． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，13(答案不唯一) 12．是否存在整数m ，使得命题“∀x ≥－14，－5＜3－4m ＜x ＋1”是真命题？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解：假设存在整数m ，使得命题“∀x ≥－14，－5＜3－4m ＜x ＋1”是真命题．因为当x ≥－14时，x ＋1≥34，所以－5＜3－4m ＜34，解得916＜m ＜2.又m 为整数，所以m ＝1，故存在整数m ＝1，使得命题“∀x ≥－14，－5＜3－4m ＜x ＋1”是真命题．。