25 从算术到方程

北师大版小学数学专题讲解——列方程解应用题在小学数学教学中，列方程解应用题是难点.这一部分内容融入了等式的性质，利用四则运算各部分的关系,有助于对所学的算术知识进行巩固和加深理解，初步渗透代数的思想，然而在这一部分教学中存在一定的难点.一、审清题意：审题，理解题意。

即全面分析题目中的已知量、未知量及二者之间的关系。

特别要把牵涉到的一些概念术语弄清，如同向，相向，增加到，增加了等.二、确立未知数：即用x表示所求的数量或有关的未知量.若题中含有两个或两个以上的未知量，则找出他们之间数量关系，用含有x的式子分别将它们表示出来；三、寻找等量关系：“含有未知数的等式称为方程”因而是“等式"是列方程比不可少的条件。

所以寻找等量关系是解题的关键。

常见的等量关系有以下几种：1、总量相等;2、成倍数相等;3、按公式相等;小学常用数量关系总结：【行程问题】速度×时间=路程①合作行程:速度和×时间=路程和甲的路程+乙的路程=总路程甲的速度×甲的时间+乙的速度×乙的时间=总路程（注意:总路程是指已经行走的路程，未走的路程要扣除)②追及行程：速度差×时间=路程差甲的路程—乙的路程=路程差甲的速度×甲的时间—乙的速度×乙的时间=路程差（注意：路程差是指二者相差的路程，分为先天形成和后天形成两种）③流水行船:顺流速度=静水速度+水流速度逆流速度=静水速度—水流速度（静水速度是指船在不受外力影响的作用下，由船本身决定的速度，一般不会改变）【工程问题】工作效率×工作时间=工作总量①合作工程：工作效率和×工作时间=工作总量和甲的工作总量+乙的工作总量=总的工作总量甲的工作效率×甲的工作时间+乙的工作效率×乙的工作时间=总的工作总量(注意:总的工作总量是指已经完成的工作，未完成的工作要扣除)②追及工程：工作效率差×工作时间=工作总量差甲的工作总量-乙的工作总量=工作总量差甲的工作效率×甲的工作时间—乙的工作效率×乙的工作时间=工作总量差(注意:工作总量差是指二者相差的工作量，分为先天形成和后天形成两种）【商品问题】单价×数量=总价售价-成本=利润利润÷成本—利润率【植树问题】（一）在线段上的植树问题可以分为以下三种情形.1、如果植树线路的两端都要植树,那么植树的棵数应比要分的段数多1，即：棵数=间隔数+1。

九章算术九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》(汉唐之间出现的十部古算书)中最重要的一种。

魏晋时刘徽为《九章算术》作注时说:“周公制礼而有九数，九数之流则《九章》是矣”，又说“汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。

苍等因旧文之遗残，各称删补，故校其目则与古或异，而所论多近语也”。

根据研究，西汉的张苍、耿寿昌曾经做过增补。

最后成书最迟在东汉前期，但是其基本内容在东汉后期已经基本定型。

《汉书艺文志》(班固根据刘歆《七略》写成者)中着录的数学书仅有《许商算术》、《杜忠算术》两种，并无《九章算术》，可见《九章算术》的出现要晚于《七略》。

《后汉书马援传》载其侄孙马续“博览群书，善《九章算术》”，马续是公元1世纪最后二、三十年时人。

再根据《九章算术》中可供判定年代的官名、地名等来推断，现传本《九章算术》的成书年代大约是在公元1世纪的下半叶。

九章算术将书中的所有数学问题分为九大类，就是“九章”。

1984年，在湖北出土了《算数书》书简。

据考证，它比《九章算术》要早一个半世纪以上，书中有些内容和《九章算术》非常相似，一些内容的文句也基本相同。

有人推测两书具有某些继承关系，但也有不同的看法认为《九章算术》没有直接受到《算数书》影响。

后世的数学家，大都是从《九章算术》开始学习和研究数学，许多人曾为它作过注释。

其中最著名的有刘徽(263)、李淳风(656)等人。

刘、李等人的注释和《九章算术》一起流传至今。

唐宋两代，《九章算术》都由国家明令规定为教科书。

到了北宋，《九章算术》还曾由政府进行过刊刻(1084)，这是世界上最早的印刷本数学书。

在现传本《九章算术》中，最早的版本乃是上述北宋本的南宋翻刻本(1213)，现藏于上海图书馆(孤本，残，只余前五卷)。

清代戴震由《永乐大典》中抄出《九章算术》全书，并作了校勘。

此后的《四库全书》本、武英殿聚珍本、孔继涵刻的《算经十书》本(1773)等，大多数都是以戴校本为底本的。

初中七年级上册数学《从算式到方程》教案五篇初中七年级上册数学《从算式到方程》教案一1、通过对多种实际问题的分析，感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义;2、了解什么是方程，什么是一元一次方程及什么是方程的解。

1、认识列方程解决问题的思想以及用字母表示未知数，用方程表示相等关系的符号化的方法2、结合从实际问题中得出的方程，学会用“去分母”解一元一次方程，进一步体会化归的思想。

体验数学与日常生活密切相关，认识到许多实际问题可以用数学方法解决，激发学习数学的热情。

建立一元一次方程的概念。

问题与情境师生活动设计意图一、创设情境，展示问题：问题1：世界最大的动物是蓝鲸，一只蓝鲸重124吨，比一头大象体重的25倍少一吨，这头大象重几吨? 问题2：章前图中的汽车匀速行驶途经王家庄、青山、秀水三地的时间如表所示，翠湖在青山、秀水之间，距青山50千米，距秀水70千米，王家庄到翠湖有多远? 地名时间王家庄10：00 青山13：00 秀水15：00 教师展示问题，要求用算术解法，让学生充分发表意见。

算术方法：(124+1)25=5(吨)方程方法：可设大象重为`吨，则124=25`-1 学生独立思考，小组交流，代表发言，解释说明。

问题1的算术解法：(50+70)2=60(千米/时) 605-70=230(千米) 问题1用算术法较容易解决，但问题2却不容易解决，这样产生矛盾冲突，使学生认识到进一步学习的必要性。

示意图有助于分析问题。

二、寻找关系，列出方程1、对于问题1，如果设王家庄到翠湖的路程是`千米，则：路程时间速度王家庄-青山王家庄-秀水根据汽车匀速前进，可知各路段汽车速度相等，列方程。

2、比一比：列算式与列方程有什么不同?哪一个更简便?3、想一想：对于问题1，你还能列出其他方程吗?如果能，你根据的是哪个相等关系?你认为列方程的关键是什么? 结合图形，引导学生分析各路段的路程、速度、时间之间的关系，填写表格。

学生思考回答：1、王家庄-青山(`50)千米，王家庄-秀水(`+70)千米。

5.1.1从算式到方程课时目标1.通过引入实际问题情境,让学生在算式、代数两种方式下解决问题,体会由算术到代数是数学的一大进步,从而培养学生分析、归纳和抽象概括的思维能力,初步认识建立数学模型的思想.2.经历用含有未知数的等式表示实际问题中的相等关系,感悟方程的现实意义,理解方程的概念,培养学生获取信息、分析问题、处理问题的能力,提升方程模型的应用意识.3.通过数学背景材料,让学生理解并掌握方程、一元一次方程及其相关概念的内涵,培养学生的阅读理解、拓展探究的能力,增强学生的数学应用意识,调动学生学习数学的主动性.学习重点寻找相等关系列出方程,方程、一元一次方程及其相关概念.学习难点寻找相等关系列出方程的意识和过程.课时活动设计情境引入问题:甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发.甲队从距大本营1 km的一号营地出发,每小时行进1.2km;乙队从距大本营3km的二号营地出发,每小时行进0.8km.多长时间后,甲队在途中追上乙队?学生先独立思考、作答,然后小组交流合作,最后选派学生代表板演展示,教师巡视指导.解:甲队追上乙队所用的时间为3−11.2−0.8=20.4=5(小时).教师适时追问:(1)这是算术解法,同学们,你们知道这样做的根据吗?(2)你还有其它的解决方法吗?教师引导学生尝试通过列方程的方法来解决这个问题.解:设x小时后,甲队在途中追上乙队.当甲队追上乙队时,甲队距大本营的路程为(1.2x+1)km,乙队距大本营的路程为(0.8x+3)km.因为甲队在途中追上乙队,即甲队距大本营的路程=乙队距大本营的路程,于是1.2x+1=0.8x+3.设计意图:通过设置这个学生熟悉的行程问题,让学生尝试用自身拥有的数学知识(算术方法)解决,然后逐步引导学生用含有未知数的式子表示有关的量,并进一步依据相等关系列出含有未知数的等式——方程,目的在于突出方程的根本特征,为引出方程的概念作铺垫.探究新知探究1方程的概念和列方程教师请同学们按照教学活动1中的方法,先设出未知数,再根据问题中的相等关系列出含有未知数的等式.学习先独立思考解答下列两个问题,然后再进行小组谈论,最后选派代表板演展示.问题1:用买3个大水杯的钱,可以买4个小水杯,大水杯的单价比小水杯的单价多5元,两种水杯的单价各是多少元?分析:根据题意,可知3个大水杯的总价=4个小水杯的总价,大水杯的单价-小水杯的单价=5,总价=数量×单价.因此,只要设出大水杯的单价或小水杯的单价,就可以列出方程了.解:设大水杯的单价为x元,那么小水杯的单价为(x-5)元.因为用买3个大水杯的钱,可以买4个小水杯,所以3x=4(x-5).由这个含有未知数x的等式可以求出大水杯的单价,进而可以求出小水杯的单价.问题2:如图是一枚长方形的庆祝中国共产党成立100周年纪念币,其面积是4 000mm2,长和宽的比为85(即宽是长的58).这枚纪念币的长和宽分别是多少毫米?分析:根据题意,可知这个长方形的宽=58×长方形的长,长方形的面积=长×宽,因此,只要设出长方形的长或宽,就可以列出方程了.解:设这枚纪念币的长为x mm,则纪念币的宽可以表示为58x mm,面积可以表58x2mm2.已知纪念币的面积为4000mm2,所以58x2=4000.由这个含有未知数x的等式可以求出这枚纪念币的长,进而可以求出纪念币的宽.教师引导学生归纳:像这样,先设出字母表示未知数,然后根据问题中的相等关系,列出一个含有未知数的等式,这样的等式叫作方程.教师适时追问:(1)你能解释这些方程的左边、右边各表示什么意思吗?(2)对于根据问题中的相等关系列方程,说说你的体会?学生思考,小组讨论交流.教师引导学生归纳:分析实际问题中的数量关系,利用其中的相等关系列出方程,是用数学解决实际问题的一种方法.这个过程可以表示如下:教师进一步指出:用算术方法解题时,列出的算式表示用算术方法解题的计算过程,其中只含有已知数,不含未知数;而方程是根据问题中的相等关系列出的等式,其中既含有已知数,也含有用字母表示的未知数,这为解决许多问题带来了方便.探究2解方程和方程的解问题3:请同学们尝试解方程1.2x+1=0.8x+3.学生先独立解答,然后再小组交流,教师巡视指导.解:可以发现,当x=5时,左边=1.2×5+1=7,右边=0.8×5+3=7,这时方程左右两边的值相等.教师引导学生归纳:一般地,使方程左、右两边的值相等的未知数的值,叫作方程的解.例如,x=5就是方程1.2x+1=0.8x+3的解.求方程的解的过程,叫作解方程.判断未知数是否为方程的解的具体步骤:(1)把未知数的值分别代入方程的左、右两边进行计算;(2)若左边=右边,则这个未知数是方程的解;反之,则不是.探究3一元一次方程的概念问题4:观察下列方程,你有什么发现.1.2x+1=0.8x+3;3x=4(x-5).先让学生独立思考,自主探索,然后将分析结果在小组内进行交流,形成共识,最后由学生代表回答问题,教师巡视指导学生的学习情况.解:这些方程中只有1个未知数x,且未知数x的次数都是1.引导学生归纳出一元一次方程的概念:一般地,如果方程中只含有一个未知数(元),且含有未知数的式子都是整式,未知数的次数都是1,这样的方程叫作一元一次方程.设计意图:通过设置一系列问题,突出方程的根本特征,使学生认识到从算式到方程是更有力、更方便的数学工具,从算术方法到代数方法是数学的一大进步.初步培养了学生由实际问题抽象出方程模型的能力.典例精讲例1根据下列问题,设未知数并列出方程:(1)某校女生占全体学生数的52%,比男生多80人,这所学校有多少名学生?(2)如图,一块正方形绿地沿某一方向加宽5m,扩大后的绿地面积是500m2,求正方形绿地的边长.分析:(1)根据题意,可知女生人数-男生人数=80,并且女生人数=全体学生数×52%,因此,只需设出全体学生数就可以列出方程了;(2)由题意,可知扩大后的绿地的长=正方形绿地的长+5,扩大后的绿地面积=500,所以只需设出原来绿地的长就可以列出方程了.解:(1)设这所学校的学生数为x,那么女生数为0.52x,男生数为(1-0.52)x,根据“女生比男生多80人”,列得方程0.52x-(1-0.52)x=80.(2)设正方形绿地的边长为x m,那么扩大后的绿地面积为(x2+5x)m2,根据“扩大后的绿地面积是500m2”,列得方程x2+5x=500.例2(1)x=2,x=32是方程2x=3的解吗?(2)x=10,x=20是方程3x=4(x-5)的解吗?解:(1)当x=2时,方程2x=3的左边=2×2=4,右边=3,方程左、右两边的值不相等,所以x=2不是方程2x=3的解;当x=32时,方程2x=3的左边=2×32=3,右边=3,方程左、右两边的值相等,所以x=32是方程2x=3的解.(2)当x=10时,方程3x=4(x-5)的左边=3×10=30,右边=4×(10-5)=20,方程左、右两边的值不相等,所以x=10不是方程3x=4(x-5)的解;当x=20时,方程3x=4(x-5)的左边=3×20=60,右边=4×(20-5)=60,方程左、右两边的值相等,所以x=20是方程3x=4(x-5)的解.例32x+1=0.8x+3,3x=4(x-5),0.52x-(1-0.52)x=80,它们有什么共同特征?解:(1)只含有一个未知数x;(2)未知数x的次数都是1;(3)整式方程.设计意图:将列方程解决实际问题这一本章的教学难点分散在本章教学的每一节课中是设置这一系列教学活动的目的,化整为零地培养学生由实际问题抽象出方程模型的能力,持续渗透建模思想.教学中,通过先让学生独立思考、然后再进行小组合作的学习活动,既能培养学生的阅读理解能力、分析问题、解决问题的能力,又能提高学生的抽象思维能力.巩固训练1.x=3是下列哪个方程的解(B)A.2x+7=11B.5x-8=2x+1C.3x=1D.-x=32.小芬买了15份礼物,共花了900元,已知每份礼物内都有1包饼干及每支售价20元的棒棒糖2支,若每包饼干的售价为x元,则依题意可列出下列哪一个一元一次方程(C)A.15(2x+20)=900B.15x+20×2=900C.15(x+20×2)=900D.15×x×2+20=9003.当m=3或1时,关于x的方程x|2-m|+1=0是一元一次方程.4.下列式子中,哪些是方程,哪些是一元一次方程?并说明理由.①2x+1;②2m+15=3;③3x-5=5x+4;④x2+2x-6=0;⑤-3x+1.8=3y;⑥3a+9>15.解:上述式子是方程的有②③④⑤,其中②③是一元一次方程.理由:①是含有未知数的式子,不是等式;⑥是不等式;而②③④⑤是含有未知数的等式,符合方程的定义,其中④未知数的次数是2,⑤含有两个未知数,只有②③符合一元一次方程的定义,因此它们是一元一次方程.5.根据下列问题,设未知数并列出方程:(1)某长方形足球场的周长为310米,长和宽之差为25米,求这个足球场的宽;(2)《数学学习方法报》每份0.6元,《数学周报》每份0.5元,小明用10元钱买了两种报纸共18份,他买的两种报纸各多少份?解:(1)设这个足球场的宽为x米,则长为(x+25)米,依题意,得2x+2(x+25)=310.(2)设《数学学习方法报》买了x份,则《数学周报》买了(18-x)份,则有0.6x+0.5(18-x)=10.设计意图:通过练习,巩固方程及一元一次方程的概念,促进学生对知识的理解,使学生更加深刻地把握概念的内涵和外延,持续体会数学建模思想.课堂小结1.这节课你学到了哪些知识?2.在探寻方程的有关概念的学习过程中,你学到了哪些数学方法?积累了哪些活动经验?3.在利用列方程解实际问题的过程中,对你有哪些启示?设计意图:通过课堂小结的形式,让学生回顾知识点,形成知识体系,有利于学生养成回顾梳理知识的习惯.课堂8分钟.1.教材第118页习题5.1第1,2,3,5,6题.2.七彩作业.5.1.1从算式到方程1.解决数学实际问题的方式:(1)算式方法.(2)用含有未知数的等式表示问题中的相等关系.2.方程:含有未知数的等式叫作方程.3.用方程的方法解决实际问题是更方便的数学工具.4.方程的解、解方程的概念.5.一元一次方程的概念.教学反思5.1.2等式的性质课时目标1.通过使学生亲身经历运用所学知识探索等式的性质的过程,激发学生的数学学习兴趣,增强学生学好数学的信心,进而培养学生自主探究和实践能力.2.通过让学生从事自主学习、合作交流等数学活动,理解并掌握等式的性质,在实际操作中学习知识,在解决问题中深化认知,发展和提高学生的应用意识.3.通过使学生经历利用等式的性质解方程的过程,逐步培养学生观察、分析、概括的逻辑思维能力,从而渗透“化归”的思想.学习重点等式的性质和运用.学习难点应用等式的性质把简单的一元一次方程化成“x=m”的形式.课时活动设计情境引入用观察的方法我们可以求出简单的一元一次方程的解.你能用这种方法求出下列方程的解吗?(1)3x-5=22;(2)0.28-0.13y=0.27y+1.学生独立思考解答,然后小组交流,最后选派学生代表板演展示,教师巡视指导.解:对于(1),通过观察,可以看出x=9是方程的解;但是(2)不容易直接看出来.追问:既然不容易直接看出来,那么我们还能借助哪些知识来解这个方程呢?设计意图:设置悬念,引出等式的性质的讨论,为后面逐步过渡到用等式的性质讨论方程的解法作铺垫.探究新知探究1等式的性质问题1:请同学们填空,使式子成立.(1)如果m=n,那么n=m;(2)如果x+2x=3x,那么3x=x+2x;(3)如果a=3,b=3,那么a= b.(填“>”“=”或“<”)学生独立思考解答,然后小组交流,最后选派学生代表板演展示,教师巡视指导.教师归纳:诸如m+n=n+m,x+2x=3x,3×3+1=5×2,3x+1=5y这样的式子,都是等式.我们可以用a=b表示一般的等式.首先,给出关于等式的两个基本事实:(1)等式两边可以交换.如果a=b,那么b=a;(2)相等关系可以传递.如果a=b,b=c,那么a=c.思考:在小学,我们已经知道:等式两边同时加(或减)同一个正数,同时乘同一个正数,或同时除以同一个不为0的正数,结果仍相等.引入负数后,这些性质还成立吗?完成下列题目,试试你的猜想是否成立.问题2:用适当的数或整式填空,使所得结果仍是等式.(1)如果3x=-2x-1,那么3x+2x=-1,两边同时加2x;(2)如果12x=5,那么x=10,两边同时乘2;(3)如果13x-2=x-12,那么13x-x=-12+2,两边同时加2-x.学生独立思考解答,然后小组交流,最后选派学生代表板演展示,教师巡视指导.教师根据学生回答情况作出评价,适时进行追问:(1)在运用等式的性质时,等式的两边要做怎样的变化?(2)在等式两边同除以一个数时,应注意什么?师生共同归纳:等式的性质1:等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等.用符号语言描述:如果a=b,那么a±c=b±c.等式的性质2:等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等.用符号语言描述:如果a=b,那么ac=bc;如果a=b,c≠0,那么=.探究2利用等式的性质解方程问题3:利用等式的性质解下列方程:(1)x+3=5;(2)3x+2=8.学生独立思考,小组交流讨论,并派学生代表上台板演.解:(1)方程两边减3,得x+3-3=5-3.于是x=2.(2)方程两边减2,得3x+2-2=8-2.化简,得3x=6.方程两边除以3,得x=2.教师引导学生归纳:一般地,从方程解出未知数的值从后,通常需要代入原方程检验,看这个值能否使方程左、右两边的值相等.例如,将x=2代入方程3x+2=8的左边,得3×2+2=8.方程左、右两边的值相等,所以x=2是方程3x+2=8的解.解以x为未知数的方程,就是把方程逐步转化为x=m(常数)的形式,等式的性质是转化的重要依据.设计意图:设置上述教学环节,让学生借助具体的式子来验证等式的两条性质,加深对等式的性质的认知,同时又用文字语言和符号语言两种形式来描述这些性质,目的在于让学生切实理解等式的性质,体会如何用数学的符号语言抽象概括地表示它们.典例精讲例1根据等式的性质填空,并说明依据:(1)如果2x=5-x,那么2x+=5;(2)如果m+2n=5+2n,那么m=;(3)如果x=-4,那么·x=28;(4)如果3m=4n,那么32m=·n.解:(1)2x+x=5;根据等式的性质1,等式两边加x,结果仍相等.(2)m=5;根据等式的性质1,等式两边减2n,结果仍相等.(3)-7·x=28;根据等式的性质2,等式两边乘-7,结果仍相等.(4)32m=2·n;根据等式的性质2,等式两边除以2,结果仍相等.例2利用等式的性质解下列方程:(1)x+7=26;(2)-5x=20;(3)-13x-5=4.分析:要使方程x+7=26转化为x=m(常数)的形式,需要去掉方程左边的7,利用等式的性质1,方程两边减7就得出x的值.类似地,利用等式的性质,可以将另外两个方程转化为x=m的形式.解:(1)方程两边减7,得x+7-7=26-7.于是x=19.(2)方程两边除以-5,得-5-5=20-5.于是x=-4.(3)方程两边加5,得-13x-5+5=4+5.化简,得-13x=9.方程两边乘-3,得x=-27.设计意图:通过例题,让学生在观察等式的两边的变化情况后运用等式的性质做题,进一步加深学生对等式性质的准确把握,同时有助于引导学生利用等式的性质研究方程的解法,对于需要运用两次等式的性质来解方程的题目,需要学生有一定的思维顺序,能够锻炼学生的思维能力.巩固训练1.如果mx=my,那么下列等式中不一定成立的是(D)A.mx+1=my+1B.mx-3=my-3C.-12mx=-12myD.x=y2.下列方程的变形,符合等式的性质的是(D)A.由2x-3=7得2x=7-3B.由-3x=5得x=5+3C.由2x-3=x-1得2x-x=-1-3D.由-14x=1得x=-43.用适当的数或整式填空,使所得的式子仍是等式,并注明根据.(1)如果x+2=3,那么x=3+-2,根据是等式的性质1;(2)如果4x=3x-7,那么4x-3x=-7,根据是等式的性质1;(3)如果-2x=6,那么x=-3,根据是等式的性质2;(4)如果12x=-4,那么x=-8,根据是等式的性质2.4.利用等式的性质解方程:(1)x-4=1;(2)3x+5=0.解:(1)方程两边加4,得x-4+4=1+4.于是x=5.(2)方程两边减5,得3x+5-5=0-5.整理,得3x=-5.方程两边除以3,33=-53.于是x=-53.设计意图:通过巩固训练,进一步巩固学生对等式的性质的认识,让学生充分认识到如何应用等式的性质去解题.课堂小结1.本节课你学到了什么知识?2.在运用等式的性质解题时,应该注意什么?3.在运用等式的性质解方程时,你获得了哪些宝贵的经验?设计意图:通过课堂小结的形式,让学生回顾知识点,形成知识体系,有利于学生养成回顾梳理知识的习惯,让学生在对课堂所学有系统认知的基础上,深化对知识的理解程度.课堂8分钟.1.教材第118页习题5.1第4,7,8,10,11题.2.七彩作业.5.1.2等式的性质1.关于等式的两个基本事实:等式两边可以交换.如果a=b,那么b=a.相等关系可以传递.如果a=b,b=c,那么a=c.2.等式的基本性质:等式的性质1等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等.等式的性质2等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等.教学反思。

作业一从算术到方程1、根据数量关系列代数式(1) x的2倍与y的和； (2)m与n5的差的平方；(3)m与n的和除以10的商； (4)a与b和的平方；(5)x的立方与y的立方的差； (6)a的平方与b的平方的和.2、根据下列条件列出方程:(1)某数的5倍加上3，等于该数的7倍减去5；(2)某数的3倍减去9，等于该数的三分之二加6；(3)某数的8倍比该数的5倍大12；(4）某数的一半加上4，比该数的3倍小21.(5)某班有x名学生，要求平均每人展出4枚邮票，实际展出的邮票量比要求数多了15枚，问该班共展出多少枚邮票？3、根据下列问题，设未知数并列方程。

（1）王涛买了6kg香蕉和3kg苹果，共花了19元，已知苹果1.8元/kg，则香蕉每千克多少元？（2）如果一种小麦磨成面粉后质量减少了20%，那么要得到4500千克面粉，需要多少千克小麦？（3）甲乙两人骑自行车，同时从相距45km的两地出发相向而行，2h后相遇，已知甲每小时比乙多前进2.5km,求甲、乙两人的速度。

4、设未知数，列出方程。

（1）小红买了甲、乙两种圆珠笔共7支，一共用了9元，已知甲种圆珠笔每支1.5 元，一种圆珠笔每支1元，求甲、乙两种圆珠笔各买了多少支？（2）一根铁丝，第一次用去它的一半多1米，第二次又用去了剩下的一半少1米，这时还剩下3.5米。

请问铁丝原长多少米?（3）把一些苹果分给几个小朋友，如果每个小朋友分5个苹果，那么还剩2个苹果；如果每个小朋友分6个苹果，那么还缺3 个苹果。

一共有几个小朋友？(2010•云南省曲靖市)5、练习本比水性笔的单价少2元，小刚买了5本练习本和3支水性笔正好用去14元.如果设水性笔的单价为x 元，那么下列所列方程正确的是（ ）Ａ．5(2)314x x -+= Ｂ．5(2)314x x ++=Ｃ．53(2)14x x ++= Ｄ．53(2)14x x +-=（2011甘肃兰州，11，4分）6、某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x 名学生，根据题意，列出方程为A ．(1)2070x x -=B ．(1)2070x x +=C ．2(1)2070x x +=D ．(1)20702x x -= （2011湖南湘潭市，13，3分）7、湘潭历史悠久，因盛产湘莲，被誉为“莲城”.李红买了8个莲蓬，付50元，找回38元，设每个莲蓬的价格为x 元，根据题意，列出方程为______________.作业二 一元一次方程1、判断下列式子是否是方程:(1)5x+3y-6x=7 (2)4x-7 (3)5x >3(4)6x 2+x-2=0 (5)1+2=3 (6) -x5-m=112、下列式子哪些是一元一次方程？不是一元一次方程的，要说明理由.(1)9x=2 (2)x+2y=0 (3)x 2-1=0(4) x=0 (5) x3=2 (6) ax=b(a 、b 是常数)3、关于x 的方程2（x-1）-3a=0的解为3，则a 的值为 ( ) A.-34 B.-43 C . 34 D. 43 4、x=1是下列方程（ ）的解：A ．21=-x ， B.x x 3412-=-，C.4)1(3=--x ），D.254-=-x x5、在方程①32x x-=，②0.31y =，③2560x x -+=，④0x =，⑤69x y -=，⑥21136x x +=中，是一元一次方程的有 ． 6、已知221(2)0x y -++=，则2006()xy = ．7、已知2x m+1 +3=7是一元一次方程，则m=＿＿；8、已知关于x 的方程mx n-1+2=5是一元一次方程，则m=＿＿,n=＿＿.9、已知方程232)1(2=-+-x x a 是关于x 的一元一次方程，则a= 。

平方根与算术平方根的区别在数学的世界里，平方根和算术平方根是两个容易被混淆，但又有着明显区别的概念。

理解它们的差异对于我们正确解决数学问题、深入掌握数学知识至关重要。

首先，让我们来看看什么是平方根。

平方根，简单来说，如果一个数 x 的平方等于 a，那么 x 就叫做 a 的平方根。

用数学式子表示就是，如果 x²＝ a，那么 x ＝±√a 。

这里的“±”表示正负两个值。

例如，因为4²＝ 16，同时（－4)²＝ 16，所以 16 的平方根是 ±4 。

而算术平方根呢，它是平方根中的非负根。

也就是说，如果一个非负数 x 的平方等于 a，那么 x 就叫做 a 的算术平方根，记为√a 。

例如，4 的算术平方根是 2，因为 2²＝ 4 ，且算术平方根只取正值。

从符号上来看，平方根的符号是±√ ，而算术平方根的符号是√ ，没有“±”。

这是一个非常直观的区别，在看到符号的时候就能立刻判断出是在求平方根还是算术平方根。

从取值范围来说，平方根可以是正的，也可以是负的，还可以是0 。

而算术平方根一定是非负的，即大于等于 0 。

比如，0 的平方根和算术平方根都是 0 ，因为 0²＝ 0 。

但对于正数，如 9 ，它的平方根是 ±3 ，而算术平方根是 3 。

在实际计算中，平方根的计算结果通常有两个值，一正一负。

而算术平方根只有一个正值。

这在解决方程问题时需要特别注意。

比如，当方程 x²＝ 25 时，x 的值为 ±5 ，这是求平方根；但如果是√x ＝ 5 ，那么 x ＝ 25 ，这里的√x 表示的就是算术平方根。

再从几何意义上来理解。

假设一个正方形的面积是 a ，那么这个正方形的边长就是a 的平方根。

但如果我们说这个正方形的边长是正数，那么这个边长就是 a 的算术平方根。

在数学运算中，平方根和算术平方根的性质也有所不同。

九章算术九章算术与希腊数学的发展同步，中国数学也有了长⾜的进步、⼀系列的数学思想和著作开始流传，到了西汉时代的《九章算术》，标志着中国数学已逐渐形成体系、流传⾄今的最早的数学思想，当推墨经中的⼏何学与逻辑学的表达、《庄⼦》中的“⼀尺之棰，⽇取其半，万世不竭”，蕴涵了⽆限的数学思想、到公元前两百年，已有数学著作流传、1984年在湖北江陵张家⼭出⼟的《算数书》⽵简，总字数约7000余，有60余⼩标题，如“⽅⽥”，“税⽥”，“⾦价”，“合分”，“约分”，“少⼴”，“程⽲”，“贾盐”等等，涉及⾯积计算、开⽅、分数运算等、由于全部⽵简尚未公开，其内涵有待进⼀步研究，与《算数书》⼏乎同时的还有《周髀算经》，涉及天⽂学上的分数运算、⽐例、等差级数等问题，⽽以勾股定理的论述最为重要、此后还有《淮南⼦》，《三统历》、《许商算术》、《杜忠算术》等著作，涉及数学问题、⽽集⼤成的，就是《九章算术》，就其内容和标题来分折，它是《算数书》的继续与发展、现传本《九章算术》成书于何时，⽬前众说纷纭，多数认为在西汉末到东汉初之间，约公元⼀世纪前后、《九章算术》的内容⼗分丰富，全书采⽤问题集的形式，收有246个与⽣产、⽣活实践有联系的应⽤问题，其中每道题有问(题⽬)、答(答案)、术(解题的步骤，但没有证明)，有的是⼀题⼀术，有的是多题⼀术或⼀题多术、这些问题依照性质和解法分别⾪属于⽅⽥、粟⽶、衰分、少⼴、商功、均输、盈不⾜、⽅程及勾股九章如下表所⽰、《九章算术》的作者不详、很可能是在成书前⼀段历史时期内通过多⼈之⼿逐次整理、修改、补充⽽成的集体创作结晶、由于⼆千年来经过辗转⼿抄、刻印，难免会出现差错和遗漏，加上《九章算术》⽂字简略有些内容不易理解，因此历史上有过多次校正和注释，其中重要的有：三国时曹魏刘徽注，唐朝李淳风注，南宋杨辉著《详解九章算法》选⽤《九章算术》中80道典型的题作过详解并分类，清李潢(？～1811年)所著《九章算术细草图说》对《九章算术》进⾏了校订、列算草、补插图、加说明、现代钱宝琮(1892～1974年)曾对包括《九章算术》在内的《算经⼗书》进⾏了校点，⽤通俗语⾔、近代数学术语对《九章算术》及刘、李注⽂详加注释、80年代以来，今⼈⽩尚恕、郭书春、李继闵等都有校注本出版、现将《九章算术》的主要内容，按算术、代数和⼏何三部分概要介绍如下：【⼀】《九章算术》中的算术部分1、分数《九章算术》中有⽐较完整的分数计算⽅法，包括四那么运算，通分、约分、化带分数为假分数(我国古代称为通分内⼦，“内”读为纳)等等、其步骤与⽅法⼤体与现代的雷同、分数加减运算，《九章算术》已明确提出先通分，使两分数的分母相同，然后进⾏加减、加法的步骤是“母互乘⼦，并以为实，母相乘为法，实如法⽽⼀”这⾥“实”是分⼦、“法”是分母，“实如法⽽⼀”也就是⽤法去除实，进⾏除法运算，《九章算术》还注意到两点：其⼀是运算结果如出现“不满法者，以法命之”、就是分⼦⼩于分母时便以分数形式保留、其⼆是“其母同者，直相从之”，就是分母相同的分数进⾏加减，运算时不必通分，使分⼦直接加减即可、关于分数乘法，《九章算术》中提出的步骤是“母相乘为法，⼦相乘为实，实如法⽽⼀”、《九章算术》对分数除法虽然没有提出⼀般法那么，但算法也很清楚、如第⼀章⽅⽥章的第18个题“有三⼈三分⼈之⼀〔即313〕，分六钱三分钱之⼀〔即316〕，四分钱之三〔即43〕，问⼈得⼏何”、“答⽈：⼈得⼆钱⼋分钱之⼀”〔即每⼈得812钱〕、“经分〔分数除法称经分〕术⽈：以⼈数为法，钱数为实，实如法⽽⼀”、即313)43316(÷+、在计算过程中⾸先需要把带分数化为假分数，然后分数相除，即相当于现在所说的“颠倒相乘”、2、最⼤公约数与最⼩公倍数《九章算术》中还有求最⼤公约数和约分的⽅法、求最⼤公约数的⽅法称为“更相减损”法，其具体步骤是“可半者半之，不可半者，副置分母⼦之数，以少减多，更相减损，求其等也、以等数约之、”这⾥所说的“等数”就是我们现在的最⼤公约数、可半者是指分⼦分母都是偶数，可以折半的先把它们折半，即可先约去2、不都是偶数了，那么另外摆(即副置)分⼦分母算筹进⾏计算，从⼤数中减去⼩数，辗转相减，减到余数和减数相等，即得等数、如⽅⽥章第六题：“⼜有九⼗⼀分之四⼗九，问约之得⼏何”、将更相减损这⼀运算写成现代的图式就是于是7就是所求得的等数，再以它约9149得简约分数137、更相减损法实质上是辗转相减法、辗转相减法与欧⼏⾥得的辗转相除法在步骤上虽然略有不同，但在理论上却是⼀致的、《九章算术》在分数的加减运算中，⽤最⼩公倍数作公分母，例如少⼴章第六题相当于分数的运算，这个公分母420正是1，2，3，4，5，6，7的最⼩公倍数、3、⽐例算法在《九章算术》的第【⼆】【三】六等章内，⼴泛地使⽤了各种⽐例解应⽤问题、粟⽶章的开始就列举了各种粮⾷间互换的⽐率如下：“粟⽶之法：粟率五⼗，粝⽶三⼗，粺⽶⼆⼗七，糳⽶⼆⼗四，……”(图1－23)这是说：⾕⼦五⽃去⽪可得糙⽶三⽃，⼜可舂得九折⽶⼆⽃七升，或⼋拆⽶⼆⽃四升，……、例如，粟⽶章第⼀题：“今有粟⽶⼀⽃，欲为粝⽶，问得⼏何”、它的解法是：“以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法⽽⼀”、⽤现代的⽅式来表达，即为公式：或所求数∶所有数＝所求率∶所有率、这个题是欲将粟⽶换成粝⽶，其中“粟⽶⼀⽃(⼗升)”是“所有数”，粝⽶数即为“所求数”，按规定“粟率五⼗”为“所有率”，粝⽶30为“所求率”、于是得所求数为10×30÷50＝6(升)，这就是说⼀⽃⾕⼦可以砻得六升糙⽶、因⽽可以根据物与物的⽐率，再由今有数(所有数)即可求得未知数据(所求数)，因为这类应⽤问题⼤都依据“今有”的数据，问所求的数，因此我国古代数学家刘徽就⽤“今有术”作为这类⽐例问题解法的专⽤名词、在《九章算术》中，今有术应⽤特别⼴泛，是⼀种普遍的解题⽅法、与⽐率有关的其他⼀些算法⼀般都是在今有术的基础上演化⽽来的、《九章算术》中另⼀个常⽤的⽐率算法是衰分术，所谓“衰分”就是差分、⽐例分配的意思，它是古代处理配分问题的⼀般⽅法，“衰分术⽈，各置列衰(即所配的⽐率)，副并(得所配⽐率的和)为法，以所分乘未并者各⾃为实，实如法⽽⼀”，刘徽“注”说：“列衰各为所求率，副并(所得的和)为所有率，所分为所有数”，⽤“今有术”计算，就可以得到各所求数、例如衰分章第⼆题：“今有⽜、马、⽺⾷⼈苗，苗主责之粟五⽃，⽺主⽈，我⽺⾷半马(所⾷)，马主⽈，我马⾷半⽜(所⾷)，今欲衰偿之，问各⼏何”，依照⽺主⼈、马主⼈的话，⽜、马、⽺所⾷粟相互之⽐率是4∶2∶1，就⽤4、2、1各为所求率，4＋2＋1＝7为所有率，粟50升为所有数、以“今有术”演算分别得⽜主⼈应偿7450 ＝7428〔升〕，马主⼈应偿7214升，⽺主⼈应偿717升、《九章算术》中有相当复杂的⽐例问题，例如均输章中，既有按正⽐“列衰”也有按反⽐“列衰”的⽐例分配问题等等、因此《九章算术》已包括了现代算术中的全部⽐例的内容，形成了⼀个完整的体系、4、盈亏问题《九章算术》第七章“盈不⾜”专讲盈亏问题及其解法其中第⼀题：“今有(⼈)共买物，(每)⼈出⼋(钱)，盈(余)三钱；⼈出七(钱)，不⾜四(钱)，问⼈数、物价各⼏何”，“答⽈：七⼈，物价53(钱)、”“盈不⾜术⽈：置所出率，盈、不⾜各居其下、令维乘(即交错相乘)所出率，并以为实，并盈，不⾜为法，实如法⽽⼀……置所出率，以少减多，余，以约法、实、实为物价，法为⼈数”、如以算筹演算⼤致如图1－24所⽰、⽤现代的符号来表⽰：设每⼈出a 1钱，盈b 1钱；每⼈出a 2钱，不⾜b 2钱，求物价u 和⼈数v 、依据术⽂得以下⼆公式：当然我们还可以算出每⼈应该分摊的钱数因此上述的盈不⾜术实际上包含着三个公式、盈不⾜章的第9到第20题，是⼀般的算术应⽤题，有些问题还相当难，初学者不易解达、如果通过两次假设(分别各假设⼀个答数)然后分别验算其盈余和不⾜的数量，这样任何算术问题都可以改造成为⼀个盈亏问题来解、因此盈不⾜术是中国数学史上解应⽤问题的⼀种别开⽣⾯的创造，它在我国古代算法中占有相当重要的地位、盈不⾜术还经过丝绸之路西传中亚阿拉伯国家，受到特别重视，被称为“契丹算法”，后来⼜传⼊欧洲，中世纪时期“双设法”曾长期统治了他们的数学王国、【⼆】《九章算术》中的代数部分《九章算术》中的代数内容同样很丰富，具有当时世界的先进⽔平、1、开平⽅和开⽴⽅《九章算术》中讲了开平⽅、开⽴⽅的⽅法，⽽且计算步骤和现在的基本⼀样、所不同的是古代⽤筹算进⾏演算，现以少⼴章第12题为例，说明古代开平⽅演算的步骤，“今有积五万五千⼆百⼆⼗五步、问为⽅⼏何”、“答⽈：⼆百三⼗五步”、这⾥所说的步是我国古代的长度单位、“开⽅(是指开平⽅，由正⽅形⾯积求其⼀边之长、)术⽈：置积为实(即指筹算中把被开⽅数放置于第⼆⾏，称为实)借⼀算(指借⽤⼀算筹放置于最后⼀⾏，如图1－25(1)所⽰⽤以定位)、步之(指所借的算筹⼀步⼀步移动)超⼀等(指所借的算筹由个位越过⼗位移⾄百位或由百位越过千位移⾄万位等等，这与现代笔算开平⽅中分节相当如图1－25(2)所⽰)、议所得(指议得初商，由于实的万位数字是5，⽽且22＜5＜32，议得初商为2，⽽借算在万位，因此应在第⼀⾏置初商2于百位，如图1－25(3)所⽰)、以⼀乘所借⼀算为法(指以初商2乘所借算⼀次为20000，置于“实”下为“法”，如图1－25(4)所⽰)⽽以除(指以初商2乘“法”20000得40000，由“实”减去得：55225－40000＝15225，如图1－25(5)所⽰)除已，倍法为定法，其复除，折法⽽下(指将“法”加倍，向右移⼀位，得4000为“定法”因为现在要求平⽅根的⼗位数字，需要把“借算”移⾄百位，如图1－25(6)所⽰)、复置借算步之如初，以复议⼀乘之，所得副，以加定法，以除(这⼀段是指：要求平⽅根的⼗位数字，需置借算于百位、因“实”的千位数字为15，且4×3＜15＜4×4，于是再议得次商为3、置3于商的⼗位、以次商3乘借算得3×100＝300，与定法相加为4000＋300＝4300、再乘以次商，那么得：3×4300＝12900，由“实”减去得：15225－12900＝2325、如图1－25(7)所⽰，以所得副从定法，复除折下如前(这⼀段是指演算如前，即再以300×1＋4300＝4600向右移⼀位，得460，是第三位⽅根的定法，再把借算移到个位，如图1－25(8)所⽰；⼜议得三商应为5，再置5于商的个位如图1－25(9)所⽰，以5＋460＝465，再乘以三商5，得465×5＝2325经计算恰尽如图1－25(10)所⽰，因此得平⽅根为235、)上述由图1－25(1)～(10)是按算筹进⾏演算的，看起来似乎很繁琐，实际上步骤⼗分清楚，易于操作、它的开平⽅原理与现代开平⽅原理相同、其中“借算”的右移、左移在现代的观点下可以理解为⼀次变换和代换、《九章算术》时代并没有理解到变换和代换，但是这对以后宋、元时期⾼次⽅程的解法是有深远影响的、2、⼆次⽅程问题《九章算术》勾股章第⼆⼗题：“今有⾢⽅不知⼤⼩，各中开门，出北门⼆⼗步有⽊，出南门⼗四步，折⽽西⾏⼀千七百七⼗五步见⽊，问⾢⽅⼏何、”“答⽈：⼆百五⼗步”、：如图1－26所⽰，CD＝20步，EB＝14步，BF＝1775步，求CE、按题意，得或EC(CE＋CD＋EB)＝2CD·BF、设x＝EC、经整理，得x 2＋34x ＝71000、这是⼀个解数字⼆次⽅程的问题、这种⼆次⽅程有⼀个正系数的⼀次项在⼆次项后⾯，我国古代称这个⼀次项为“从法”、《九章算术》少⼴章开平⽅术虽然专为开整平⽅⽽建⽴，但是也可以利⽤来解⼀般的⼆次⽅程问题、解这种⼆次⽅程只需开带“从法”的平⽅，或简称为“开带从平⽅”、从⽽即可求得⽅程的正根、因此上述勾股章第20题的解法为：“术⽈以出北门步数乘西⾏步数倍之，(2CD ·BF ＝2×20×1775＝71000)为实，并出南门步数为从法(20＋14＝34)，开⽅除之，即⾢⽅、”现列出开带从平⽅的筹算步骤如图1－27所⽰、(注：为了不易搞错，空位补上0)如果我们将上述开带从平⽅的演算过程与55225的开平⽅的演算过程作⼀⽐较的话，我们就可以发现：在55225开平⽅过程中，议平⽅根的第⼆位和第三位数字时，所列的算式是⼀个有“从法”的开⽅式相当于我们分别⽤开带从平⽅的⽅法解⼆次⽅程：）—，（参阅图)6(251152254000100222=+x x以及）—．（参阅图)8(2512325460323=+x x不过要注意的是前者的正根是10x 2＝35，⽽后者的正根是x 3＝5、3、多元⼀次⽅程组及其解法《九章算术》⽅程章中所谓“⽅程”是专指多元⼀次⽅程组⽽⾔，与现在“⽅程”的含义并不相同、《九章算术》中多元⼀次⽅程组的解法，是将它们的系数和常数项⽤算筹摆成“⽅阵”(所以称之谓“⽅程”)、消元的过程相当于现代⼤学课程⾼等代数中的线性变换、⽅程章第⼀题：“今有上⽲(指上等稻⼦)三秉(指捆)中⽲⼆秉，下⽲⼀秉，实(指⾕⼦)三⼗九⽃；上⽲⼆秉，中⽲三秉，下⽲⼀秉，实三⼗四⽃；上⽲⼀秉，中⽲⼆秉，下⽲三秉，实⼆⼗六⽃、问上、中、下⽲实⼀秉各⼏何”，这⼀题假设按现代的记法、设x 、y 、z 依次为上、中、下⽲各⼀秉的⾕⼦数，那么上述问题是求解三元⼀次⽅程组：《九章算术》⽤算筹演算：“⽅程术⽈，置上⽲三秉，中⽲⼆秉，下⽲⼀秉，实三⼗九⽃，于右⽅、中、左⾏列如右⽅(图1－28)以右⾏上⽲徧乘(即遍乘)中⾏⽽以直除(这⾥“除”是减，“直除”即连续相减、)……(引⽂下略)”、现将遍乘直除法解⽅程组的过程，按算筹演算如图1－29所⽰：这题的答案：《九章算术》⽅程章第⼀题“答⽈：上⽲⼀秉，九⽃四分⽃之⼀〔419⽃〕；中⽲⼀秉，四⽃四分⽃之⼀〔414⽃〕；下⽲⼀秉，⼆⽃四分⽃之三〔432⽃〕、《九章算术》⽅程章中共计18个题，其中⼆元的8题，三元的6题，四元、五元的各2题都⽤上述的演算法解决，直除法是我国古代解⽅程组的最早的⽅法、多元⼀次⽅程组解法在印度最早出现于第七世纪(约628年)在欧洲最早提出三元⼀次⽅程组和解法的是16世纪中(1559年)的法国数学家布丢(Buteo)、⾄于线性⽅程组的⼀般理论直到18世纪(1779年)才由法国数学家别朱(E、Be－zout)建⽴、可见《九章算术》中的⽅程术，不但是中国古代数学中的伟⼤成就，在世界数学史上，也是⼀份值得我们⾃豪的宝贵遗产、4、正负数由于《九章算术》在⽤直除法解⼀次⽅程组过程中，不可避免地要出现正负数的问题，于是在⽅程章第三题中明确提出了正负术、刘徽在该术的注⽂⾥实质上给出了正、负数的定义：“两算得失相反，要令‘正’、‘负’以名之”、并在计算⼯具即算筹上加以区别“正算⾚，负算⿊，否那么以邪正为异”、这就是规定正数⽤红⾊算筹，负数⽤⿊⾊算筹、如果只有同⾊算筹的话，那么遇到正数将筹正放，负数时邪(同斜)放、宋代以后出现笔算也相应地⽤红、⿊⾊数码字以区别正、负数，或在个位数上记斜划以表⽰负数，如(即—1824)，后来这种包括负数写法在内的中国数码字还传到⽇本、关于正、负数的加减运算法那么，“正负术⽈：同名相除，异名相益，正⽆⼊负之，负⽆⼊正之、其异名相除，同名相益，正⽆⼊正之，负⽆⼈负之”、这⾥所说的“同名”、“异名”分别相当于现在所说的同号、异号、“相益”、“相除”是指⼆数相加、相减、术⽂前四句是减法运算法那么：(1)如果被减数绝对值⼤于减数绝对值，即a＞b≥0，那么同名相除：(±a)－(±b)＝±(a－b)，异名相益：(±a)－(b)＝±(a＋b)、(2)如果被减数绝对值⼩于减数绝对值，即b＞a≥0、①如果两数皆正那么a－b＝a－[a＋(b－a)]＝－(b－a)、中间⼀式的a和a对消，⽽(b－a)⽆可对消，那么改“正”为“负”，即“正⽆⼊负之”、“⽆⼊”就是⽆对，也就是⽆可对消(或不够减或对⽅为零)、②如果两数皆负那么(－a)－(－b)＝－a－[(－a)－(b－a)］＝＋(b－a)、在中间的式⼦⾥(－a)和(－a)对消，⽽－(b－a)⽆可对消，那么改“负”为“正”所以说“负⽆⼊正之”、③如果两数⼀正⼀负、那么仍同(1)的异名相益、术⽂的后四句是指正负数加法运算法那么、(1)同号两数相加，即同名相益，其和的绝对值等于两数绝对值和、如果a＞0，b＞0，那么a＋b＝a＋b，(－a)＋(－b)＝－(a＋b)(2)异号两数相加，实为相减，即异名相除、如果正数的绝对值较⼤，其和为正，即“正⽆⼊正之”、如果负数的绝对值较⼤，其和为负，即“负⽆⼊负之”、⽤符号表⽰为①如果a＞b≥0，那么a＋(－b)＝［b＋(a－b)]＋(－b)＝a－b，或(－a)＋b＝［(－b)－(a－b)]＋b＝－(a－b)、②如果b＞a≥0，那么a＋(－b)＝a＋[(－a)－(b－a)]＝－(b－a)，或(－a)＋b＝(－a)＋［a＋(b－a)]＝b－A、关于正负数的乘除法那么，在《九章算术》时代或许会遇到有关正负数的乘除运算、可惜书中并未论及，直到元代朱世杰于《算学启蒙》(1299年)中才有明确的记载：“同名相乘为正，异名相乘为负”，“同名相除所得为正，异名相除所得为负”，因此⾄迟于13世纪末我国对有理数四那么运算法那么已经全⾯作了总结、⾄于正负数概念的引⼊，正负数加减运算法那么的形成的历史记录，我国更是遥遥领先、国外⾸先承认负数的是七世纪印度数学家婆罗门岌多(约598-？)欧洲到16世纪才承认负数、【三】《九章算术》中的⼏何部分《九章算术》总结了⽣产、⽣活实践中⼤量的⼏何知识，在⽅⽥、商功和勾股章中提出了很多⾯积、体积的计算公式和勾股定理的应⽤，现分别介绍如下1、⾯积计算《九章算术》⽅⽥章主要论述平⾯图形直线形和圆的⾯积计算⽅法、《九章算术》⽅⽥章第⼀题“今有⽥⼴⼗五步，从(⾳纵zong)⼗六步、问为⽥⼏何、”“答⽈：⼀亩”、这⾥“⼴”就是宽，“从”即纵，指其长度，“⽅⽥术⽈：⼴从步数相乘得积步，(得积步就是得到乘积的平⽅步数)以亩法⼆百四⼗步(实质应为积步)除之，即亩数、百亩为⼀顷、”当时称长⽅形为⽅⽥或直⽥、称三⾓形为圭⽥，⾯积公式为“术⽈：半⼴以乘正从”、这⾥⼴是指三⾓形的底边，正从是指底边上的⾼，刘徽在注⽂中对这⼀计算公式实质上作了证明：“半⼴者，以盈补虚，为直⽥也、”“亦可以半正从以乘⼴”(图1－30)、盈是多余，虚乃不⾜、“以盈补虚”就是以多余部分填补不⾜的部分，这就是我国古代数学推导平⾯图形⾯积公式所⽤的传统的“出⼊相补”的⽅法，由上图“以盈补虚”变圭⽥为与之等积的直⽥，于是得到了圭⽥的⾯积计算公式、⽅⽥章第⼆⼗七、⼆⼗⼋题把直⾓梯形称为“邪⽥”(即斜⽥)它的⾯积公式是：“术⽈：并两邪(即两斜，应理解为梯形两底)⽽半之，以乘正从……，⼜可半正从……以乘并、”刘徽在注中说明他的证法仍是“出⼊相补”法、在⽅⽥章第⼆⼗九、三⼗题把⼀般梯形称为“箕⽥”，上、下底分别称为“⾆”、“踵”，⾯积公式是：“术⽈：并踵⾆⽽半之，以乘正从”、⾄于圆⾯积，在《九章算术》⽅⽥章第三⼗【⼀】三⼗⼆题中，它的⾯积计算公式为：“半周半径相乘得积步”、这⾥“周”是圆周长，“径”是指直径、这个圆⾯积计算公式是正确的、只是当时取径⼀周三(即π≈3)、于是由此计算所得的圆⾯积就不够精密、除了上述⾯积计算公式以外，《九章算术》中还有近似计算公式，⽅⽥章第三⼗六题中有弧⽥(指现在的⼸形)⾯积计算公式：“术⽈：以弦乘⽮，⽮⼜⾃乘，并之，⼆⽽⼀”(图1－31)、⽤现代的记号表⽰为)(212h bh S +=⼸、这是⼀个经验公式，所得近似值不很精密、综上所述，可以认为《九章算术》时代关于常见的平⾯图形(直线形与圆)⾯积计算已经⼤都可以转化为运⽤上述公式来进⾏计算了、2、体积计算《九章算术》商功章收集的都是⼀些有关体积计算的问题、但是商功章并没有论述长⽅体或正⽅体的体积算法、看来《九章算术》是在长⽅体或正⽅体体积计算公式：V ＝abh 的基础上来计算其他⽴体图形体积的、《九章算术》商功章提到城、垣、堤、沟、堑、渠，因其功⽤不同因⽽名称各异，其实质都是正截⾯为等腰梯形的直棱柱，他们的体积计算⽅法：“术⽈：并上、下⼴⽽半之，以⾼假设深乘之，⼜以袤乘之，即积尺”、这⾥上、下⼴指横截⾯的上、下底(a ，b )⾼或深(h )，袤是指城垣……的长(l )、因此城、垣…的体积计算术公式hl b a V )(21+=、刘徽在注释中把对于平⾯图形的出⼊相补原理推⼴应⽤到空间图形，成为“损⼴补狭”以证明⼏何体体积公式、刘徽还⽤棋验法来推导⽐较复杂的⼏何体体积计算公式、所谓棋验法，“棋”是指某些⼏何体模型即⽤⼏何体模型验证的⽅法，例如长⽅体本⾝就是“棋”[图1－32(1)]斜解⼀个长⽅体，得两个两底⾯为直⾓三⾓形的直三棱柱，我国古代称为“堑堵”[图1－32(2)]，所以堑堵的体积是长⽅体体积的⼆分之⼀、abh V 21=堑堵再解开右后边的堑堵[图1－32(3)]、得⼀个底⾯为长⽅形⽽有⼀棱和底⾯垂直的四棱锥(古代称之为“阳马”)和⼀个底⾯为直⾓三⾓形⽽有⼀棱和底⾯垂直的三棱锥(古代称之为“鳖臑”(臑⾳闹)[图1－32(4)]这个阳马⼜可以对分为两个“鳖臑”[图1－32(5)]，如果原长⽅体为正⽅体的话，那么极容易看出：由⼀个堑堵分解出来的三个鳖臑是等积的、刘徽可以证明在长⽅体的情况下，由⼀个堑堵分解出来的三个鳖臑仍然是等积的、于是阳马体积应是长⽅体体积的三分之⼀、abh V 31=阳马，abh V 61=鳖臑这样我们可以把正四棱锥(古代称为“⽅锥”)分解为四个阳马，因此⽅锥体积为h a V 231=⽅锥、正四棱台(古代称为“⽅亭”)可分解为⼀个正四棱柱，四个堑堵和四个阳马，因此h ab b a V )(3122++=⽅亭、《九章算术》商功章还有圆锥、圆台(古代称“圆亭”)的体积计算公式、甚⾄对三个侧⾯是等腰梯形，其他两⾯为勾股形的五⾯体(古代称“羡除”)[图1－33(1)]，上、下底为矩形的拟柱体(古代称“刍童”)以及上底为⼀线段，下底为⼀矩形的拟柱体(古代称“刍甍”)(甍⾳梦)［图1－33(2)]等都可以计算其体积、3、勾股定理及其应⽤《九章算术》以前虽然已经有了勾股定理，但主要是在天⽂⽅⾯的应⽤、在《九章算术》中已经⽤得很⼴，⽽且在勾股章⼀开始就先讲了勾股定理及其变形，前三个题的“勾股术⽈：勾股各⾃乘，并⽽开⽅除之，即弦、⼜股⾃乘，以减弦⾃乘，其余开⽅除之，即勾、⼜勾⾃乘，以减弦⾃乘，其余开⽅除之，即股”、如果以a 、b 、c 各表⽰直⾓三⾓形的勾、股、弦、那么上述三句话即相当于： 22b a c +=，22b c a -=，22a c b -=、因此，勾股术可以理解为直⾓三⾓形两边推求第三边的⽅法、刘徽在注⽂中，曾对勾股定理⽤出⼊相补原理来论证这⼀定理，可惜所绘的弦图早已散失，没有能够和注⽂⼀起留传下来、《九章算术》勾股章除了勾股定理及其变形的三个题以及涉及勾股容⽅、容圆各⼀题以外，其余⼗九个题全是应⽤问题、例如勾股章第六题“今有池⽅⼀，葭(⾳jia ，⼀种芦苇类植物)⽣其中央，出⽔⼀尺、引葭赴岸，适与岸齐、问⽔深，葭长各⼏何、”“答⽈：⽔深⼀丈⼆尺；葭长⼀丈三尺、”术⽈：半池⽅⾃乘，以出⽔⼀尺⾃乘，减之，余，倍出⽔除之，即得⽔深、加出⽔数，得葭长”、如图1－34所⽰，设池⽅为2a ，⽔深为b ，葭长为c ，那么按术得：⽔深12215)(2)(222=-=---=b c b c a b ，葭长13)()(2)(22=-+---=b c b c b c a c 、现代解法：设⽔深为x 尺，那么葭长为x ＋1，按题意由勾股定理，得52＋x 2＝(x ＋1)2、整理，得2x ＝52－12，∴x ＝12、两种解法相⽐较，可见实质解法步骤完全⼀致、印度古代有著名的“莲花问题”，其中除了只有数据与《九章算术》的“葭⽣中央问题”不同以外，其余完全相同、但要⽐中国《九章算术》晚了⼀千多年、我国古代数学巨著《九章算术》流传⾄今已达两千余年之久，不仅指导着我国数学的发展，⽽且早已流传到世界各地，翻译成⽇、英、俄、德等多种⽂字，对世界数学的发展也有不可估量的巨⼤贡献和影响、把《九章算术》与西⽅最早的⼀本数学名著欧⼏⾥得的《⼏何原本》相对照，就可以发现从形式到内容都各有特⾊和所长，形成东、西⽅数学的不同风格、《⼏何原本》以形式逻辑⽅法把全部内容贯穿起来，⽽《九章算术》那么按问题的性质和解法把全部内容分类编排、《⼏何原本》中极少提及应⽤问题，⽽《九章算术》那么是解应⽤问题为主，《⼏何原本》以⼏何为主，略有⼀点算术内容，⽽《九章算术》那么包含了算术、代数、⼏何等我国当时数学的全部内容、其中尤其是代数⽆可争辩地是中国所创、在16世纪以前基本上是中国⼀⼿包办了的、因此，完全可以说《九章算术》与《⼏何原本》是世界数学史上东西辉映的两本不朽的传世名著、也是现代数学的两⼤主要源泉、。

课题：一元一次方程的概念【教学目标】1、通过对多个实际问题的分析，让学生体验从算术方法到代数方法是一种进步，归纳并理解一元一次方程的概念，领悟一元一次方程的意义和作用.2、在学生根据问题寻找相等关系、根据相等关系列出方程的过程中，培养学生获取信息、分析问题、处理问题的能力.3、使学生经历把实际问题抽象为数学方程的过程，认识到方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型，初步体会建立数学模型的思想.【教学重点、难点】使学生理解问题情境，探究情境中包含的数量关系，最终用方程来描述和刻画事物间的相等关系．【教学方法】启发式讲授法【教学过程】问题与情境 师生活动 设计意图 [阶段1] 情境导入 回顾旧知今年进行的德国世界杯足球赛，吸引了全球的目光.你喜欢足球吗？下面来看一个与足球场有关的问题.引例 德国世界杯足球赛莱比锡赛场为长方形的足球场，周长为310米，长和宽之差为25米，这个足球场的长与宽分别是多少米？教师给出引例，带领学生进入到实际问题的情境中.1、算术方法：足球场长与宽的和为 310÷2=155（米）． 由和差关系，得足球场的长度为（155+25）÷2=90（米），宽度为90-25=65（米）.2、方程方法：设足球场的长度为x 米，那么足球场的宽度能用含x 的式子表示为(25)x -米.根据“长方形的周长=（长+宽）×2”，列出方程：[]2(25)310x x +-=.教师指出，如何解出方程中的未知数x ，是今后要学习的知识.然后，请学生回顾方程的概念：含有未知数的等式，叫做方程.依据新课程的理念，教师要创造性地使用教材.作为引入本课的第一个例子,选用了“世界杯足球赛赛场问题”,以激发学生的学习兴趣，而且设置了符合学生认知水平的问题情境，以达到由浅入深、逐步提高的目的.[阶段２]联系实际探究新知请同学们用方程来研究问题.例 1 青藏铁路格尔木至某某段全长共1142千米，途中经过冻土路段和非冻土路段.若列车在冻土路段的速度为每小时80千米，非冻土路段的速度为每小时110千米，全程行驶时间为12小时，你能算出列车经过的冻土路段有多少千米吗？例 2 学校召开运动会，王平负责给同学们购买饮料.现在要选购两种饮料共40瓶，其中矿泉水 1.5教师引导学生从实际问题列出方程.明确用方程研究问题，所以设列车经过的冻土路段为x千米，然后分析发现两个相等关系：冻土路段路程+非冻土路段路程=全程冻土路段行驶时间+非冻土路段行驶时间=全程行驶时间可以利用第一个相等关系，得到非冻土路段行驶路程为(1142)x-千米，再将第二个相等关系用字母和数字表示出来，得到方程11421280110x x-+=.由学生尝试分析数量关系，找出相等关系，列出方程:购买矿泉水数量+购买茶饮料数量=总的选购数量购买矿泉水的费用+购买茶饮料的费用=总的花费通过设置问题情境，引导学生关注社会，使学生进一步经历列方程研究实际问题的过程，培养学生将实际问题抽象为数学问题的能力.选择与学生生活非常贴近的情境来设计问题，引导学生关注生活及培养学生在元一瓶，茶饮料2元一瓶.王平计划恰好花费65元购买这些饮料，那么两种饮料应该各买多少瓶呢？例3 将一个底面半径是5厘米、高为36厘米的“瘦长”型圆柱钢材锻压成高为9厘米的“矮胖”型圆柱钢材，底面半径变成了多少厘米？（14.3取π）预案1 设购买矿泉水的数量为x瓶，根据第一个相等关系，得到购买茶饮料的数量为(40)x- 1.52(40)65x x+-=.预案2 设购买茶饮料的数量为x瓶，则购买矿泉水的数量为(40)x-瓶，得到方程65)40(5.12=-+xx.预案3 设购买购买矿泉水x瓶，购买茶饮料y瓶，可以列出两个方程40=+yx和6525.1=+yx.教师指出预案3的方程也可以解决问题，这方面的知识将在今后进一步学习.先请学生回忆小学学过的圆柱体积公式:圆柱体积=底面积×高再通过动画演示使学生注意到锻压前后圆柱的体积不变，然后由学生根据这一相等关系，设底面半径变成了x厘米，列出方程:914.336514.322⋅⋅=⨯⨯x .生活中应用数学的意识.学生可能设的未知数不同，列出不同的方程，有利于培养学生的发散思维.设计的问题情境可以让学生关注生产实践,并且前面列出的方程中的未知数指数都是1，而本例列出的方程中的未知数指数是2，可以为归（1）957=+x ；（2）63-x ；（3）2245x x -=；（4）236y +=-； （5）57=-y x ； （6）92>a ．练习 2 列方程研究古诗文问题： 隔墙听得客分银，不知人数不知银.七两分之多四两，九两分之少半斤.（注：在古代1斤是16两，半斤就是8两）的未知数不止一个，有的未知数的指数不是1.师生理解古诗文：有几个客人在房间内分银子，每人分七两，最后多四两，每人分九两，最后还少八两，问有几个人？有几两银子？预案1 学生用x 表示人数，然后根据两种分法总银两数不变，得到方程8947-=+x x . 预案2 用x 表示总银两数，根据两种分法人数相同，得到方程4879x x -+=.然后，教师向学生介绍中国古代数学家在方程发展过程中所做贡献：通过练习使学生巩固一元一次方程的概念，把握住概念的本质.设计古诗文应用题的目的是增加数学课的人文色彩，使学生感受数学来源于生活，应用于生活的文化内涵.练习 3 设计一道以“2008奥运会”为实际背景的可列出一元一次方程的应用题，并进行交流．[阶段４]归纳小结布置作业归纳小结：布置作业：在我国，“方程”一词最早出现于《九章算术》．《九章算术》全书共分九章，第八章就叫“方程”．12世纪前后，我国数学家用“天元术”来解题，即先要“立天元为某某”，相当于“设x为某某”．14世纪初，我国元朝数学家朱世杰创立了“四元术”，四元指天、地、人、物，相当于四个未知数．采用小组合作学习方式，以四人小组为单位合作设计一个实际问题，然后在全班进行小组交流.教师引导学生从回顾知识和总结方法两个方面进行课堂小结．(1)回顾知识:方程、一元一次方程的概念．(2)总结方法:分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法.设未知数列方程通过介绍，使学生对中国古代数学家在方程的发展方面所作贡献增加了解.开放的问题，可以使学生开阔思维，充分发挥想象力和创造力. 小组合作，组间交流，还可以培养学生的合作意识.主要由学生进行总结和互相补充，教师只做适当的点拨，实际问题一元一次方程(1)阅读教材相关内容，然后完成教材第74页的习题6、7、8.(2)选做作业：列方程解决问题某某市出租车白天的收费标准为：起步价６元（即行驶距离不超过3千米都需付６元），行驶超过3千米以后，每增加1千米加收１.5元（不足1千米时按1千米计算）．王明和李红乘坐这种出租车去博物馆参观，下车时他们交付了15元车费，那么他们搭乘出租车最多走了多少千米（不计等候时间）？以培养学生的归纳概括能力．为了适应学生不同层次的需求，设计了分层作业.教材上的基础题目可进一步巩固课堂所学知识，选做作业则可以发挥学生学习的自主性.教学设计说明（一）教学目标的确定本节课的教学目标是从知识与技能、过程与方法、情感与态度三个方面，根据《全日制义务教育数学课程标准》中关于“一元一次方程概念”的教学要求，结合学生的实际情况确定的．学生在小学时已经能较为熟练的运用算术方法解决问题，列出的算式只能用已知数；而方程是根据问题中的等量关系列出的等式，其中既含有已知数，又含有用字母表示的未知数．通过比较，让学生感受到方程作为刻画现实世界有效模型的意义，明确列方程的关键就是根据题意找到“相等关系”，能用方程来描述和刻画事物间的相等关系．通过对实际问题的研究，学生可以初步认识到日常生活中的许多问题可以用数学方法解决，体验到实际问题“数学化”的过程．（二）教学过程的设计１．通过设置“世界杯赛场问题”这一情境来复习方程的概念，以激发学生的好奇心和主动参与学习的欲望．通过比较算术方法和方程方法的区别，初步体验从算术到方程是数学的进步．２．设置的例题与练习给学生提供了丰富多彩的、贴近学生生活实际的问题情境，以鼓励和培养学生应用数学知识解决实际问题的意识，并鼓励学生从不同的角度分析问题，根据不同的设法，列出不同的方程．在学习数学知识的同时，还渗透了对学生的人文教育．３．通过师生共同小结，发挥学生的主体作用，有利于学生巩固所学知识，培养学生归纳、概括的能力．作业安排是为了让学生更进一步落实课堂教学目标，选做题是为了满足不同层次学生的需求，为学有余力的学生提供发展空间.4.主要采用了启发式讲授的教学方法，以生活中的实际问题为例来创设情境，引导学生关注国家大事、身边小事、生产实践等.在课堂上努力营造一种学生自主探究和合作交流的氛围，引导学生去分析思考和归纳总结，进而达到对知识的“发现”和接受的目的．有意识地给学生创造一个欣赏数学、探索数学的平台, 渗透给学生由实际问题抽象为方程模型这一过程中蕴涵的符号化、模型化的思想。

数学2014·3“方程”单元的教学是学生初次经历从算术思维向代数思维发展的一个过程，是从认识方程开始，到要学会用方程来解决简单的实际问题。

我在教学这一单元时，面对学生出现的诸多问题颇感困惑和疑虑，通过观摩吴正宪老师执教“认识方程”一课，使我豁然开朗，顿悟不少。

问题一：会辨认方程的样子就是认识方程了吗？学生心声：方程嘛，不就是含有未知数的等式吗？学习方程，有什么用？我的困惑：教学方程，只要学生辨别方程的样子就可以了吗？学习方程，天平的价值有多大？教材中反复出现的天平，仅仅是让学生直观认识等式吗？我的所得：在吴老师的课上，一架自制的、可活动的天平成了课堂中的灵魂，逐步引导学生将心中的天平代替活动的天平。

让我们回顾一下吴老师教学中的精彩片断。

师：现在老师把看得见的天平收起来了，不知道你们的心中有天平吗？生：有！师：拿出来！（生两手平衡表示天平）出示题目：一壶装有2000毫升的水往两个暖壶倒满水，再往一个200毫升的水杯倒满水，正好倒完。

师：这道题里有天平吗？生：没有。

师：真的没有吗？生：有！师：在哪儿呢？拿出来。

右边2000毫升水壶，现在天平怎么样？（生演示）左边倒满一个暖壶，再倒满一个暖壶，天平还不平衡，再加一个装满水的200毫升的水杯，天平平衡吗？师：你会列出方程吗？……学习方程，形式上的天平并不重要，重要的是心中要一直有一架天平，那就是数量间的相等关系。

只有心中有数量之间的相等关系，才能真正体会到这种相等关系所带来的数学思维的变化。

在以往的教学中，学生的确会依葫芦画瓢地判断这是否是方程，可方程中蕴含的代数思想、数量间的等量关系似乎让他们涉及、体验的太少了。

吴老师的课给我们做了很好的示范，让我们在以后的教学中能更好地把握教材，理清教学思路。

问题二：用算式的思维列方程不对吗？学生心声：列方程解决问题真是烦，既要解设，又要列方程解答，本来一步就可以解决的问题为什么搞得这么复杂？我的困惑：教材呈现的都是学生以前比较熟悉的题目，但现在要求学生将列算式求解的思维习惯改为列方程表示等量关系，于是很多学生“穿新鞋走老路”，用算术的思维列出不伦不类的方程。