波的叠加干涉和驻波.

—波的叠加原理。
6
叠加原理的重要性在于可以将任一复杂的波分解 为简谐波的组合。能分辨不同的声音正是这个原因；
波的叠加原理并不是普遍成立的，有些是不遵 守叠加原理的。
如果描述某种运动的微分方程是线性微分方程 ，这个运动就遵从叠加原理，如果不是线性微分方 程，它就不遵从叠加原理。
波动方程： 2 y x 2
2.干涉减弱条件
当 cos 1时，即 (2k 1) ,(k 0,1,2,3 )
A Amin | A1 A2 |
I Imin I1 I2 2 I1I2
11
干涉相消
当两相干波源为同相波源
时，有： 1 2


(2
1)

2
(r2
P
y20 A20 cos(t 2 )
r1
r2
两列波传播到 P 点引起的振动分别为：
y1

A1
cos(t
1

2
r1 )
S1 S2
y2

A2
cos(t
2

2
r2 )
A1、A2是S1、S2在P点引起的振动的振幅。
在 P 点的振动为同方向同频率振动的合成。
9
下面讨论干涉现象中的强度分布 S2 在 P 点的合成振动为：
第二节
波的叠加原理 波的干涉、驻波
1
一、惠更斯原理
1.内容
介质中任一波阵面上的各点， 都是发射子波的新波 源，其后任意时刻，这些子波的包络面就是新的波阵面
根据惠更斯原理，只要知道某一时刻的波阵面， 就可以确定下一时刻的波阵面。
t 时刻波面 t+t时刻波面 t+ t
波传播方向
ut
平面波
球面波
2
腹处相对形变最小，势能最小。势能集中在波节。当
各质点回到平衡位置时，全部势能为零；动能最大。
动能集中在波腹。
• 能量从波腹传到波节，又从波节传到波腹，往复循环，
能量不被传播。这可从能流密度证明：因为能流密度等
于平均能量密度乘波速，左行波与右行波能流密度之和
为零。所以驻波不传播能量，它是媒质的一种特殊的运
i

BD AD

u1t
AD
sin r AC AD
u2t
AD
u2t r D
C
r
sin sin
i r

u1 u2

1 2
/ t / t

1 2

n 21
证毕
惠更斯原理不能说明子波的强度分布，也不能解释
波动为什么不会向后传播的问题。
5
二、波的叠加原理
1.内容 1.几列波相遇后仍保持它们原有的特性（频率、波长、 振幅、传播方向）不变，互不干扰。好象在各自传播 过程中没有遇到其它波一样。 ——波的独立性原理 2.在相遇区域内，介质任一点的振动为各列波单独存 在时在该点所引起的振动位移的矢量和。
rB
100
A 20m B


B
A

2
rB

rA




200
201
P点干涉减弱。
13
例2：两相干波源分别在 PQ 两点处，初相相同， 它们相距 3 / 2，由 P、Q 发出频率为 ，波长 为的两列相干波，R 为 PQ 连线上的一点。求： ①自P、Q 发出的两列波在 R 处的相位差。②两波

1 u2
2y t 2
它是各种平面波所必须满足的线性偏微分方程。
若 y1、y2分别是它的解，则( y1 y2 ) 也是它的解,
即上述波动方程遵从叠加原理。
7
三、波的干涉
1.波的干涉现象
频率相同、振动方向相同、有恒定的相位差的两
列波（或多列波）相遇时，在介质中某些位置的点
振幅始终最大，另一些位置振幅始终最小，而其它
可见在A、B两点是波腹处。
23
4.半波损失
在绳与墙壁固定处，为波
节位置。
波节 波腹
这一现象说明，在反射端，入射波与反射波在
该点各自引起的两个振动位相相反，两位相相差为， 相当于波程相差/2。
入射波在反射时反射波相位突变了，相当于波
程损失了半个波长的现象称为半波损失。
反射波与入射波形成的驻波在介质分界处是波节
在空间形成稳定的分布，即有干涉现象。
10
A
A12

A22
2A1A2
cos ,

(2
1)
2
(r2
r1)
1.干涉加强条件
当 cos 1 时， 即 2k , (k 0,1,2,3,...)
A Amax A1 A2
干涉相长
I Imax I1 I2 2 I1I2
21 动状态，稳定态。
例题 ： 位于A、B两点的两个波源，振幅相等，频率都 是100赫兹，相差为，其A、B 相距30米，波速为400米/ 秒，求: AB连线之间因相干涉而静止的各点的位置。
解：如图所示，取A点为坐标原点，A、B联线为X轴
，取A点的振动方程 : yA Acos(t )
y1 t 0
x
x0
y2 t 0
x
x0
y

y1

y2

Acos(t

2
x)
Acos(t

2
x)
16
利用三角函数关系 cos cos 2cos cos
求出驻波的表达式：
2
2
y

y1

y2

Acos(t

2
x)
Acos(t

2
2 r u 2
①.入射线、折射线和界面的法线在同一平面上；
②.
4
sin i sin r
u1 1 u 2 2
n2 n1
n 21
定理证明:
由惠更斯原理，A、B为同一波面上的两点，A、B 点会发射子波，
经t后， B点发射的子波到达界面处iD
点， A点的到达C点，
A
B
i u1t
sin
倍时合振幅最小，干涉相消。
干涉加强减弱条件：
12
2k 加强 (2k 1) 减弱
例：两相干波源 A、B 位置如图所示，频率 =100Hz， 波速 u =10 m/s，AB=，求：P 点振动情况。
解：rA 15m
P
rB 15 2 20 2
u 10 0.1m 15m

x) 20

](SI )
O
y2 7 x(m)
此波在x=7m处受到波密介质平面的反射（设反射
时波的强度不变）。求：（1）反射波的波动方程；
（2）在x=6m处介质质元的振动方程；（3）在区
间0<x<7m，干涉相消点的位置。
源在 R 处干涉时的合振幅。
解：



2
(r1
r2 )

2
3
2
3
为 的奇数倍，
P
Q
R
合振幅最小，
3 /2
| A1 A2 |
14
四、驻波
1.驻波的产生 有两列相干波，它们不仅频率相同、位相差恒
定、振动方向相同，而且振幅也相等。当它们在同 一直线上沿相反方向传播时，在它们迭加的区域内 就会形成一种特殊的波。这种波称为驻波。
2x 2 (30 x) (2k 1) (k 1,2,3 )


相干相消的点需满足： 30 2x k
因为： u 4m / sec
x
X

A
30 x B
x 15 k 2 k 0,1,2,...
30m
x 1,3,5,7,9,.....2. 5,27,29m
2
的各点。
波节的位置为： x (2k 1) ,
18
4
波节 波腹
k 0,1,2,3,...
相邻波腹间的距离为：
x k 1 x k
(k 1) k
22

2
波节 波腹
因此可用测量波腹间的距离，来确定波长。
相邻波节间的距离为：
x k 1 x k
[2(k 1) 1] (2k 1)
2.惠更斯原理的应用
利用惠更斯原理可解释波的衍射、反射和折射。 1、波的衍射
波在传播过程中，遇到障碍物 时其传播方向发生改变，绕过障碍 物的边缘继续传播的现象。
波达到狭缝处，缝上各点都可看 作子波源，作出子波包络，得到新的 波前。在缝的边缘处，波的传播方向发生改变。 当狭缝缩小，与波长相近时，衍射效果显著。
在X轴上A点发出的行波方程：
yA

A c os (t


2x )
O
A
x
30 x 30m
X B
B点的振动方程 : yB Acos(t 0)
在X轴上B点发出的行波方程：
yB

A c os [t

0

2
(30

x)]
22
因为两波同频率，同振幅，同方向振动，所以相干为 静止的点满足：
x)
2Acos 2 x cost

简谐振动的振幅
简谐振动
它表示各点都在作简谐振动，各点振动的频率 相同，是原来波的频率。但各点振幅随位置的不 同而不同。
驻波方程： y 2Acos 2 x cost
17