高中数学选修第1章-1.3.1二项式定理人教版ppt课件

《二项式定理》现代教学的核心是“以学生的发展为本”，注重学生的学习状态和情感体验，注重教学过程中学生主体地位的体现和主体作用的发挥，强调尊重学生人格和个性，鼓励发现、探究与质疑，鼓励培养学生的创新精神和实践能力。

二项式定理这部分内容比较枯燥，如何发挥学生的主体作用，使学生自己探究学习知识、建构知识网络，是本节课教学设计的核心。

【知识与能力目标】◆教材分析◆教学目标进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式。

【过程与方法目标】能解决二项展开式有关的简单问题。

【情感态度价值观目标】教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。

【教学重点】二项式定理及通项公式的掌握及运用。

【教学难点】二项式定理及通项公式的掌握及运用。

预习任务预习自测（一）课前设计1.预习任务（阅读教材完成）1.二项式定理：=+nba）（；2.(1)nba）（+的二项展开式中共有项；(2)二项式系数：；(3)二项展开式的通项公式：=+1rT，它是展开式的第项. 2．预习自测1.二项式91()xx-的展开式的第3项是( )A．－84x3 B．84x3 C．－36x5 D．36x5解：D2．(1＋x)7的展开式中x2的系数是( )A．42 B．35 C．28 D．21◆教学重难点◆◆课前准备◆◆教学过程解：D3．在62()x x的二项展开式中，常数项等于________． 解：－160 （二）课堂设计 1．知识回顾 (1)；(2)(3)2．问题探究问题探究一 探究归纳，形成二项式定理 ●活动一 回顾旧知，回忆展开式(a+b)4=(a+b) (a+b) (a+b) (a+b)展开式中的各项是什么？ 思考：ab 3是怎样来的？有多少个？引导学生追究每个系数的来源，借助于组合的思想找到规律，从中体会到探索的乐趣.归纳结论：由上面的探索得到：(a+b)4=C 04a 4+C 14a 3b+C 24a 2b 2+C 34ab 3+C 44b 4●活动二 大胆猜想(a+b)n展开式中的各项是什么？ 归纳：一般对于任意的正整数n,有：(a+b)n=C 0n a n+C 1n a n-1b+…+C rn a n-r b r…+C nn b n(n ∈N *)并指出：①这个式子所表示的定理叫二项式定理.右边的多项式叫(a+b)n的二项展开式.各项系数C rn （r=0、1、2、…、n ）叫做二项式系数.②式子中的C rn a n-r b r叫做二项展开式的通项.记做：T r+1=C rn a n-r b r.上述结论是从分析了少数特例后，得出了一般的结论，这种方法叫不完全归纳法，还需用 数学归纳法证明，但这里教材不要求证明了. 问题探究二 利用二项式定理能解决问题？ 1.求二项式的指定项或其系数例1.（1）(1＋x )7的展开式中x 2的系数是( ) A ．42 B ．35 C ．28 D ．21【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：选D 依题意可知，二项式(1＋x )7的展开式中x 2的系数等于C 27×15＝21.（2）在(2x 2－1x)5的二项展开式中，x 的系数为( ) A ．10 B ．－10 C ．40 D ．－40【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：D.(2x 2－1x )5的展开式的通项为T r ＋1＝5r C (2x 2)5－r (－1x)r ＝5r C 25－r(－1)r x 10－3 r ，令10-3r ＝1得，r ＝3，∴T 4＝35C 22(－1)3x ＝－40x.∴x 的系数是－40.例2.（1）在62()x x-的二项展开式中，常数项等于________． 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：-160.由通项公式得T r ＋1＝6r C x6－r2()r x-＝(－2)r 6r C x 6－2r ，令6－2r ＝0，解得r ＝3，所以是第4项为常数项，T 4＝(－2)336C ＝－160.(2)已知8()ax x-展开式中常数项为1 120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是( )A ．28B ．38C ．1或38D ．1或28【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：选C 由题意知48C ·(－a )4＝1 120，解得a ＝±2，令x ＝1，得展开式各项系数和为(1－a )8＝1或38.例3.(1) 在(x －2)5＋y)4的展开式中x 3y 2的系数为________．【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：480 (x －2)5的展开式的通项为T r ＋1＝5r C x5－r(－2)r，令5－r ＝3得r ＝2，得x 3的系数25C (－2)2＝40＋y)4的展开式的通项公式为T r ＋1＝4rC)4－r y r，令r ＝2得y 2的系数24C )2＝12，于是展开式中x 3y 2的系数为40×12＝480.(2) 在(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)的展开式中，含x 4的项的系数是________． 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：－15.从4个因式中选取x ，从余下的一个因式中选取常数，即构成x 4项，即－5x 4－4x 4－3x 4－2x 4－x 4，所以x 4项的系数应是－1－2－3－4－5＝－15. 3．课堂总结 【知识梳理】二项式定理及其通项公式 1.二项式定理：2.(1)nb a ）（+的二项展开式中共有项；(2)二项式系数：；(3)二项展开式的通项公式：.【重难点突破】常数项、有理项和系数最大的项：求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性. 4．随堂检测1.261()x x+的展开式中x 3的系数为________(用数字作答)．【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：20.由261()x x+的展开式的通项为T r ＋1＝6r C (x 2)6－r·1()r x＝6r C x12－3r，令12－3r ＝3，得r ＝3，所以展开式中x 3的系数为36C ＝20.2.(a ＋x )4的展开式中x 3的系数等于8，则实数a ＝________. 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：2.(a ＋x )4的展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝4r C a4－r x r，令r ＝3，得含x 3的系数为34C a ，故34C a ＝8，解得a ＝2.3.若二项式2)n x的展开式中第5项是常数项，则正整数n 的值可能为( ) A ．6 B ．10 C ．12 D ．15【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：选C 3212()(2)n rr n rr r rr nn T C C x x --+=-=-，当r ＝4时，32n r -＝0，又n ∈N *，所以n ＝12.4．(1＋x ＋x 2)61()x x-的展开式中的常数项为________．【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：－5.解析：61()x x-的展开式的通项为T r ＋1＝6rC (－1)r x6－2r，当r ＝3时，T 4＝－36C ＝－20，当r ＝4时，T 5＝46C x －2＝15x －2，因此常数项为－20＋15＝－5.（三）课后作业 基础型 自主突破1.二项式5()x y +的展开式中,含23x y 的项的系数是_________.(用数字作答) 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：10 解析T r +1=5r C x 5-r y r(r =0,1,2,3,4,5),由题意知523r r -=⎧⎨=⎩,∴含x 2y 3的系数为3510C =.2.()6的二项展开式中的常数项为_____.(用数字作答) 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：-160 ()6的展开式项公式是663166C (C 2(1)r r r r rr r r T x ---+==-.由题意知30,3r r -==,所以二项展开式中的常数项为33346C 2(1)160T =-=-.3.在6)1(xx -的二项展开式中,常数项等于_________. 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：-20 展开式通项r r r rr r r r x C x x C T 266661)1()1(---+-=-=,令6-2r =0,得r =3, 故常数项为2036-=-C .4.设常数a ∈R .若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为-10,则a =_______.【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：2- 2515()(),2(5)71r r r r aT C x r r r x-+=--=⇒=,故15102C a a =-⇒=-. 5.5()a x +展开式中2x 的系数为10, 则实数a 的值为__________. 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：1 5()a x +展开式中第k 项为555kk k k T C a x ,令2k ,2x 的系数为23510C a ,解得1a .6.81()2x x+的展开式中2x 的系数为____.【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：7 根据已知条件可得81()2x x +展开式的通项公式为88218811()()22r r r r r r r T C x C x x --+==,令8223r r -=⇒=,故所求2x 的系数为3381()72C =.能力型 师生共研 7．在二项式(x 2－1x)5的展开式中，含x 4的项的系数是( ) A ．－10 B ．10 C ．－5 D ．5 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：B 8．(2x 3－212x )10的展开式中的常数项是( ) A ．210 B.1052 C.14D ．－105 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：B9．(x y )10的展开式中x 6y 4项的系数是( )A ．840B ．－840C ．210D ．－210 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：A10．二项式)24展开式中的整数项是( )A ．第15项B ．第14项C ．第13项D ．第12项 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：A探究型 多维突破11．(1－x )4(13的展开式中x 2的系数是( )A ．－6B ．－3C ．0D ．3 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：A 12．(x ＋a x )(2x －1x)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( ) A ．－40 B ．－20 C ．20 D ．40 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：D 自助餐1．二项式611()22+的展开式的第3项的值是( ) A.332 B.364 C.1564D.516【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：选C 二项式611()22+的展开式的第3项是24261115()().2264C =2.在二项式的展开式中,含的项的系数是（ ）A.5B.10C.-5D.-10【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：选B 3.若的展开式中的系数是,则实数的值是（ ）A ．B ．C ．D ．2【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：D 4.的展开式中常数项是（ ）A ．-160B ．-20C ．20D ．160 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：A 5.在的展开式中,含的系数是（ ）A ．10B ．15C ．20D ．25【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：C6.若二项式21(3)n x x-的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为( ) A ．－2739C B ．2739C C ．－949C D ．949C【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：选B 各项系数之和为(3－1)n＝2n＝512，故n ＝9，展开式的通项是T r ＋1＝9r C (3x 2)9－r1()r x -＝(－1)r ×39－r ×9r C x 18－3r .令18－3r ＝0，则r ＝6，故展开式的常数项为(－1)6×33×69C ＝2739C .7.(-)8的展开式中的系数为,则的值为_______.【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：1或-18．在(x ＋1)(2x ＋1)…(nx ＋1)(n ∈N *)的展开式中一次项系数为_______. 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：1＋2＋3＋…＋n ＝(1)2n n +＝21n C +. 9．在二项式(x 2＋x ＋1)(x －1)5的展开式中，含x 4项的系数是_______. 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：∵(x 2＋x ＋1)(x －1)＝x 3－1，∴原式可化为(x 3－1)(x －1)4.故展开式中，含x 4项的系数为34C (－1)3－04C ＝－4－1＝－5.10.求8的展开式中常数项.【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：二项展开式的通项841881()2r rr r r r r T C C x --+==，当4－r ＝0时，r ＝4，所以展开式中的常数项为448135().28C =11．(a ＋x )5展开式中x 2的系数为10，求实数a 的值． 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：由二项展开式的通项公式可得，T 3＝25C a 3x 2＝10x 2，解得a ＝1. 解：112．若1()n x x +的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，求该展开式中21x的系数. 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：56.由26n nC C=可知n＝8，所以81()xx+的展开式的通项公式为8821881()()r r r r rrT C x C xx--+==, 所以8－2r＝－2，解得r＝5.所以21x的系数为58C＝56. 略。

解析
课堂互动探究
探究1 二项式定理的正用与逆用
例 1 (1)若 f(x)＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋4，则 f(2019)－
f(－2019)的值为________；
(2)求
x－2
1
4
x
的展开式．
[解析] (1)根据 f(x)的解析式，逆用二项式定理，得 f(x)＝[(x－1)＋1]4＋
答案
解析 (1)展开式的通项公式为 Tr＋1＝Cr16·x16－r·－1xr＝(－1)r·Cr16·x16－2r， 所以第 4 项为 T4＝(－1)3C316·x10＝－C316x10＝－560x10. (2)1＋1x4＝1＋C411x＋C421x2＋C341x3＋1x4＝1＋4x＋x62＋x43＋x14. (3)T4＝C53x2y3 含 x2y3 的项的系数是 C53＝10.
答案
拓展提升 利用二项式定理可以解决余数和整除性问题，通常需将底数化成两数的 和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系． 整除性问题或求余数问题的处理方法： (1)解决这类问题，理这类问题，通常把被除数的底数写成除数(或与除数 密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或 者是前面)的几项就可以了．
[跟踪训练1]
(1)用二项式定理展开3
x＋ 1x4；
(2)化简 1＋2Cn1＋4Cn2＋…＋2nCnn.
解
(1)解法一：3
x＋
1
4
x
＝(3
x)4＋C41(3
x)3·1x＋C24(3
x)2
1x2＋C43
(3
x)
1x3＋C44
1x4＝81x2＋108x＋54＋1x2＋x12.

选做题： 1.求多项式：
2 3 4
(1 x ) (1 x )(1 x )(1 x )(1 x )
的展开式中 x 的系数. 2.求230除以9所得的余数.
2
5
谢谢指导！
19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。 20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。 21、理想是反映美的心灵的眼睛。 22、人生最高之理想，在求达于真理。 便有了文明。 24、生当做人杰，死亦为鬼雄。 25、有理想的、充满社会利益的、具有明确目的生活是世界上最美好的和最有意义的生活。 26、人需要理想，但是需要人的符合自然的理想，而不是超自然的理想。 27、生活中没有理想的人，是可怜的。 28、在理想的最美好的世界中，一切都是为美好的目的而设的。 29、理想的人物不仅要在物质需要的满足上，还要在精神旨趣的满足上得到表现。 30、生活不能没有理想。应当有健康的理想，发自内心的理想，来自本国人民的理想。 31、理想是美好的，但没有意志，理想不过是瞬间即逝的彩虹。 32、骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。——荀况 33、伟大的理想只有经过忘我的斗争和牺牲才能胜利实现。 34、为了将来的美好而牺牲了的人都是尊石质的雕像。 35、理想对我来说，具有一种非凡的魅力。 36、扼杀了理想的人才是最恶的凶手。 37、理想的书籍是智慧的钥匙。 人生的旅途，前途很远，也很暗。然而不要怕，不怕的人的面前才有路。—— 鲁 迅 2 人生像攀登一座山，而找寻出路，却是一种学习的过程，我们应当在这过程中，学习稳定、冷静，学习如何从慌乱中找到生机。 —— 席慕蓉 3 做人也要像蜡烛一样，在有限的一生中有一分热发一分光，给人以光明，给人以温暖。—— 萧楚女 4 所谓天才，只不过是把别人喝咖啡的功夫都用在工作上了。—— 鲁 迅 5 人类的希望像是

二项式定理(dìnglǐ) 思维导航 1．我们已知(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，展开式中有3项；运 用多项式乘法可以求得(a＋b)3、(a＋b)4的展开式，并且它们分 别(fēnbié)有4项、5项，你能用类比归纳的方法得出(a＋b)n(n≥2) 的展开式吗？
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新知导学 1．二项展开式的推导：(a＋b)n(n∈N*)是 n 个因式(a＋b) 的积，按多项式乘以多项式的法则，可知确定乘积展开式中的 每一项，需要看有多少个因式(a＋b)中取 a，多少个因式(a＋b) 中取 b，如果从 k 个因式中选取 b，则就有__n_－__k____个因式中 选 a.∴积式为 an－kbk(k＝0、1、2、…、n)的形式的项共有__C_nk___ 个．合并同类项后为 _____C_nk_a_n－_k_b_k__________.因此(a ＋b)n＝ _C_0n_a_n＋__C__1na_n_－_1b_＋__…__＋__C__rna_n_－_rb_r_＋__…__＋__C_nn_－_1a_b_n_－_1_＋__C_nn_b_n__这个公式 叫做二项式定理．
D．－40
[解析] Tr＋1＝Cr5(x2)5－r(－x23)r＝Cr5x10－2r·(－2)r·x－3r ＝C5r (－2)r·x10－5r. 令 10－5r＝0，∴r＝2，常数项为 C25×4＝40.
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若
x＋ 1 4
2
n x
展开式中前三项系数依次成等差
数列．求：
(1)展开式中含 x 的一次幂的项；
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[方法规律总结] 二项式系数与项的系数是两个不同的概 念，前者仅与二项式的指数及项数有关(yǒuguān)，与二项式的 构成无关，后者与二项式的构成、二项式的指数及项数均有关 (yǒuguān)．