2013年 北约自主招生数学试题

2013年北约自主招生数学试题解析1、以2和321-为两根的有理系数多项式的次数最小是（ ）A ．2B ．3C ．5D ．62、在66⨯的棋盘中停放着3个红色車和3个黑色車，每一行、每一列都只有一个車，共有多少种停放方法 （ ）A ．720B ．20C ．518400D ．144003、已知522+=y x ，522+=x y ，求32232y y x x +-的值．4、如图，ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，DN DM ,分别为ADC ADB ∠∠,的角平分线，试比较CN BM +与MN 的大小关系，并说明理由．5、设数列{}n a 满足11=a ，前n 项和为n S ，241+=+n n a S ，求2013a ．6、模长为1的复数z y x ,,满足0≠++z y x ，求zy x zxyz xy ++++．ＡＣＮ27、最多有多少个两两不等的正整数，满足其中任意三数之和都为素数．8、已知i a ，2013,,3,2,1 =i 为2013个实数，满足02013321=++++a a a a ，且212a a -322a a -==…120132a a -=，求证02013321=====a a a a ．9、对于任意的θ，求θθθθ2cos 154cos 66cos cos 326---的值．10、已知有mn 个实数，排列成n m ⨯阶数阵，记作{}n m ij a ⨯使得数阵的每一行从左到右都是递增的，即对任意的m i ,,3,2,1 =，当21j j <时，有21ij ij a a <；现将{}nm ij a ⨯的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的n m ⨯阶数阵，记作{}nm ija ⨯'，即对任意的n j ,,3,2,1 =，当21i i <时，有j i j i a a 21''<，试判断{}n m ij a ⨯'中每一行的各数的大小关系，并加以证明．【参考答案】1、解析：显然)2)1)((2(32+--x x 为满足要求的多项式，其次数为5．若存在n 次有理系数多项式)(x f 以2和321-为两根，则)(x f 必含有因式)2)1)((2(32+--x x ，∴5≥n ，即最小次数为5．故选C ．2、解析：先排3个红色車，从6行中任取3行，有2036=C 种取法；在选定的3行中第一行有6种停法，第一行选定后第二行有5种停法，第二行选定后第三行有4种停法；红車放定后，黑車只有6种停法． 故停放方法共14400645620=⨯⨯⨯⨯种．故选D ．3、解析：∵32232y y x x +-)52()52)(52(2)52(++++-+=x y x y y x50)(154-+--=y x xy ，又由522+=y x ，522+=x y ，有)(222y x y x --=- ∴y x =或2-=+y x ．当y x =时，有522+=x x ，61±=x ，50)(154-+--y x xy 503042---=x x 7038--=x 7038--=x 638108±-=；当2-=+y x 时，5)2(22++-=x x ，1)2(=+x x50)(154-+--y x xy 20)2(4----=x x 80)2(4-+=x x 16-=．4、解析：延长ND 至E ，使ED ND =，连结ME BE ,，则BED ∆≌CND ∆，MED ∆≌MND ，MN ME =，由EM BE BM >+，得MN CN BM >+．5、解析：∵11=a ，24121+=+a a a ，∴52=a ；由 241+=+n n a S ，有2≥n 时，241+=-n n a S ，于是1144-+-=n n n a a a ，特征方程442-=x x 有重根2，可设n n c c a 2)(21⨯+=，将11=a ，52=a 代入上式，得411-=c ，432=c ，于是22)13(2)4143(-⨯-=⨯-=n n n n n a ，∴2011201326038⨯=a ． 6、解析：取1===z y x ，便能得到zy x zxyz xy ++++＝1．ＡＣＮ4下面给出证明，1===z z y y x x ，于是2z y x zx yz xy ++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++=z y x zx yz xy z y x zx yz xy zy x zxyz xy z y x zx yz xy ++++⨯++++= 1111111=++++++++++++++++=xy x z x z x y z y z x x y x z x z x y z y z x ． ∴z y x zxyz xy ++++＝1． 7、解析：设满足条件的正整数为n 个．考虑模3的同余类，共三类，记为0，1，2．则这n 个正整数需同时满足①不能三类都有；②同一类中不能有3个和超过3个．否则都会出现三数之和为3的倍数．故4≤n ．当4=n 时，取1，3，7，9，其任意三数之和为11，13，17，19均为素数，满足题意， 所以满足要求的正整数最多有4个．8、解析：设212a a -322a a -==…120132a a -=k =，若0=k ，则212a a =，322a a =，…，201320122a a =，120132a a =， 于是0222212011121112013321=+++++=++++a a a a a a a a a ， ∴01=a ，进而02013321=====a a a a ．若0>k ，则212a a -，322a a -，…，120132a a - 这2013个数去掉绝对值号后只能取k 和k -两值，又212a a -+-+322a a …201320122a a -+0212013=-+a a ， 即这2013个数去掉绝对值号后取k 和k -两值的个数相同，这不可能． 9、解析：42cos 122cos 122cos 4)22cos 1(32cos 322336+++=+=θθθθθ， θθθ2cos 32cos 46cos 3+-=-，62cos 124cos 62+-=-θθ， θθ2cos 152cos 15-=-，各式相加，得102cos 154cos 66cos cos 326=---θθθθ．10、解析：数阵{}nm ija ⨯'中的中每一行的各数仍是递增的．下面用反证法给出证明．若在第p 行存在)1(''+>q p pqa a，令)1()1('++=q i q k k a a ，其中m k ,,3,2,1 =，{}{}m i i i i m ,,3,2,1,,,,321 =，则当p t ≤时，)1(+≤q i qi t ta a )1('+=q t a <≤+)1('q p a pq a '即在第q 列中至少有p 个数小于pq a '，也就是pq a '在数阵{}n m ij a ⨯'中的第q 列中至少排在第1+p 行，这与pq a'排在第p 行矛盾．所以数阵{}n m ij a ⨯'中的中每一行的各数仍是递增的．。

2013年北约自主招生数学试题与答案2013-03-16（时间90分钟，满分120分）(1(7)(232(630g a b c d e a b c d a b c =-+----+++++702320a b c d e a b c d +---=⎧⇒⎨+++=⎩ 即方程组：420(1)20(2)70(3)2320(4)630(5)a c e b d a b c d e a b c d a b c ++=⎧⎪+=⎪⎪+---=⎨⎪+++=⎪++=⎪⎩，有非0有理数解.由（1）+（3）得：110a b c d ++-= （6） 由（6）+（2）得：1130a b c ++= （7） 由（6）+（4）得：13430a b c ++= （8） 由（7）-（5）得：0a =，代入（7）、（8）得：0b c ==，代入（1）、（2）知：0d e ==.于是知0a b c d e =====，与,,,,a b c d e 不全为0矛盾.所以不存在一个次数不超过4的有理系数多项式()g x和11为两根的有理系数多项式的次数最小为5.1． 在66⨯的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行每一列只有一辆车，每辆车占一格，共有几种停放方法？ A. 720 B. 20 C. 518400 D. 14400解析：先从6行中选取3行停放红色车，有36C 种选择.最上面一行的红色车位置有6种选择；最上面一行的红色车位置选定后，中间一行的红色车位置有5种选择；上面两行的红色车位置选定后，最下面一行的红色车位置有4种选择。

三辆红色车的位置选定后，黑色车的位置有3！=6种选择。

所以共有36654614400C ⨯⨯⨯⨯=种停放汽车的方法. 2． 已知2225,25x y y x =+=+，求32232x x y y -+的值. A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 解析：根据条件知：32232(25)2(25)(25)(25)x x y y x y y x y x -+=+-++++1515450x y xy =---由2225,25x y y x =+=+两式相减得()()22x y x y y x -+=-故y x =或2x y +=-①若x y =则225x x =+，解得1x =±于是知1x y ==1x y ==当1x y ==+3223222415()50430504(25)3870x x y y xy x y x x x x x -+=-++-=---=-----3870108x =--=--.当1x y ==-3223222415()50430504(25)3870x x y y xy x y x x x x -+=--+-=---=-+---22(25)(25)2()2x y y x y x x y +=+-+=-⇒+=-3870108x =--=-+.（2）若x y ≠，则根据条件知：22(25)(25)2()2x y y x y x x y +=+-+=-⇒+=-，于是22(25)(25)2()106x y y x x y +=+-+=++=，进而知222()()12x y x y xy +-+==-. 于是知：32232415()5016x x y y xy x y -+=-+-=-.综上所述知，32232x x y y -+的值为108-±或16-.3． 数列{}n a 满足11a =，前n 项和为1,42n n n S S a +=+，求2013a .A. 3019⨯2 2012B. 3019⨯22013C. 3018⨯22012D.无法确定解析：根据条件知：1221221424244n n n n n n n n n a S a S a a a a a ++++++++==+=++⇒=-.又根据条件知：1212121,425a S a a a a ==+=+⇒=.所以数列{}1221:1,5,44n n n n a a a a a a ++===-.又212114422(2)n n n n n n n a a a a a a a +++++=-⇔-=-.令12n n n b a a +=-， 则11212,23n n b b b a a +==-=，所以132n n b -=⋅.即11232n n n a a -+-=⋅.对11232n n n a a -+-=⋅，两边同除以12n +，有113224n n n n a a ++-=，即113224n n n n a a ++=+.令2n nn a c =，则134n n c c +=+，11122a c ==，于是知1331(1)244n n c n -=+-=.所以231,2(31)24nn n n a n --==-⋅.于是知：201120122013(320131)230192a =⨯-⋅=⋅.5．如图，ABC ∆中，AD 为BC 边上中线，,DM DN 分别,ADB ADC ∠∠的角平分线，试比较BM CN +与MN 的大小关系，并说明理由.A. BM+CN>MNB. MN +CN <MNC. BM+CN =MND.无法确定解析：如图，延长ND 到E ，使得DE DN =，连接BE ME 、.易知BDE CDN ∆≅∆，所以CN BE =.又因为,DM DN 分别为,ADB ADC ∠∠的角平分线，所以90MDN ∠=︒，知MD 为线段EN 的垂直平分线，所以MN ME =.所以BM CN BM BE ME MN +=+>=.6.模长为1的复数A B C 、、，满足0A B C ++≠，求AB BC CAA B C++++的模长.A. -1/2B. 1C. 2D.无法确定解析：根据公式z =1,1,1A A B B C C ⋅=⋅=⋅=.于是知：AB BC CAA B C ++=++=1==.所以AB BC CAA B C++++的模长为1.7．最多能取多少个两两不等的正整数，使得其中任意三个数之和都为素数. 解析：所有正整数按取模3可分为三类：3k 型、31k +型、32k +型.首先，我们可以证明，所取的数最多只能取到两类.否则，若三类数都有取到，设所取3k 型数为3a ，31k +型数为31b +，32k +型数为32c +，则3(31)(32)3(1)a b c a b c ++++=+++，不可能为素数.所以三类数中，最多能取到两类. 其次，我们容易知道，每类数最多只能取两个.否则，若某一类3(012)k r r +=、、型的数至少取到三个，设其中三个分别为333a r b r c r +++、、，则(3)(3)(3)3()a r b r c r a b c r +++++=+++，不可能为素数.所以每类数最多只能取两个.结合上述两条，我们知道最多只能取224⨯=个数，才有可能满足题设条件. 另一方面，设所取的四个数为1、7、5、11，即满足题设条件. 综上所述，若要满足题设条件，最多能取四个两两不同的正整数.8．已知1232013a a a a R ∈ 、、、、，满足12320130a a a a ++++= ，且122334201220132013122222a a a a a a a a a a -=-=-==-=- ，求证：12320130a a a a ===== .解析：根据条件知:122334************(2)(2)(2)(2)()0a a a a a a a a a a a a -+-+-++-=-++++= ，（1）另一方面，令12233421312222a a a a a a a a m -=-=-==-= ，则1223342222a a a a a a a a ---- 、、、、中每个数或为m ，或为m -.设其中有k 个m ，(2013)k -个m -，则：12233420131(2)(2)(2)(2)(2013)()(22013)a a a a a a a a k m k m k m-+-+-++-=⨯+-⨯-=- （2）由（1）、（2）知：(22013)0k m -= （3）而22013k -为奇数，不可能为0，所以0m =.于是知：12233420122013201312,2,2,,2,2a a a a a a a a a a ===== .从而知：2013112a a =⋅，即得10a =.同理可知：2320130a a a ==== .命题得证.9．对任意的θ，求632cos cos66cos 415cos 2θθθθ---的值. 解析：根据二倍角和三倍角公式知：632cos cos66cos 415cos 2θθθθ---622232cos (2cos 31)6(2cos 21)15(2cos 1)θθθθ=------63222232cos 2(4cos 3cos )162(2cos 1)115(2cos 1)θθθθθ⎡⎤⎡⎤=--------⎣⎦⎣⎦664242232cos (32cos 48cos 18cos 1)(48cos 48cos 6)(30cos 15)θθθθθθθ=--+---+--10=.10．已知有mn 个实数，排列成m n ⨯阶数阵，记作{}mxnija ，使得数阵中的每一行从左到右都是递增的，即对任意的123i m = 、、、、，当12j j <时，都有12ij ij a a ≤.现将{}mxnija 的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的m n ⨯阶数阵，记作{}mxnija '，即对任意的123j n = 、、、、，当12i i <时，都有12i j i j a a ''≤.试判断{}mxnija '中每一行的n 个数的大小关系，并说明理由.解析：数阵{}mxnija '中每一行的n 个数从左到右都是递增的，理由如下：显然，我们要证数阵{}mxnija '中每一行的n 个数从左到右都是递增的，我们只需证明，对于任意123i m = 、、、、，都有(1)iji j a a +''≤，其中1231j n =- 、、、、. 若存在一组(1)pq p q a a +''>.令(1)(1)k k q i q a a ++'=，其中123k m = 、、、、，{}{}123,,,,1,2,3,,m i i i i m = .则当t p ≤时，都有(1)(1)(1)tti q i q t q p q pq a a a a a +++'''≤=≤<.也即在(123iq a i = 、、、、m)中，至少有p 个数小于pq a '，也即pq a '在数阵{}mxnij a '的第q 列中，至少排在第1p +行，与pq a '排在第p 行矛盾.所以对于任意123i m = 、、、、，都有(1)iji j a a +''≤，即数阵{}mxnij a '中每一行的n 个数从左到右都是递增的.。

“北约”“华约”2013年自主招生数学模拟试题（满分150分）5. 设P 是抛物线2440y y x --=上的动点,点A 的坐标为(0,1)-,点M 在直线PA 上, 且分PA uu u v 所成的比为2:1,则点M 的轨迹方程是 . 第二部分：解答题（共5小题 每题20分）1设集合()12log 32A x x ⎧⎫⎪⎪=-≥-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，21a B x x a ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭．若A B ≠∅I ，求实数a 的取值范围2. 为了搞好学校的工作，全校各班级一共提了P )(+∈N P 条建议.已知有些班级提出了相同的建议，且任何两个班级都至少有一条建议相同，但没有两个班提出全部相同的建议.求证该校的班级数不多于12-P 个3. 设平面向量3,1)a =-v ,13(,22b =v .若存在实数(0)m m ≠和角((,))22ππθθ∈-,使向量2(tan 3)c a b =+-v v v ,tan d ma b θ=-+u v v v ,且c d ⊥v u v .(I)求函数()m f θ=的关系式; (II)令tan t θ=,求函数()m g t =的极值.4. 已知双曲线的两个焦点分别为1F ,2F ,其中1F 又是抛物线24y x =的焦点,点A (1,2)-, B (3,2)在双曲线上.(I)求点2F 的轨迹方程; (II)是否存在直线y x m =+与点2F 的轨迹有且只 有两个公共点?若存在,求实数m 的值,若不存在,请说明理由.5. 已知a ，b 均为正整数，且,sin )(),20(2sin ,2222θπθθn b a A ba ab b a n n ⋅+=<<+=>其中求证：对一切*N ∈n ，n A 均为整数参考答案一、选择题1. 由tan 2α=,得sin 2cos αα=,有22sin 4cos αα=,即221cos 4cos αα-=. 则21cos 5α=,原式=222216cos 6cos 5cos 5cos 1αααα--==. 2. 设x a bi =+,,a b R ∈,代入原方程整理得22(2256)(45)0a b a b ab a b i --+-++-=有2222560450a b a b ab a b ⎧--+-=⎨+-=⎩,解得11a b =⎧⎨=⎩或3232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,所以1x i =+或3322x i =-. 3. 直接求x 的个位数字很困难，需将与x 相关数联系，转化成研究其相关数. 【解】令])22015()22015[(,)22015()22015(82198219+++=+-+-=y x y 则 ])22015()22015[(8219-+-+，由二项式定理知，对任意正整数n.)2201515(2)22015()22015(22Λ+⋅⋅+=-++-n n n n n C 为整数，且个位数字为零.因此，x y +是个位数字为零的整数.再对y 估值， 因为2.0255220155220150=<+=-<， 且1988)22015()22015(-<-， 所以.4.02.02)22015(201919<⨯<-<<y 故x 的个位数字为9.【评述】转化的思想很重要，当研究的问题遇到困难时，将其转化为可研究的问题.4. 解：被7除余2的数可写为72k +. 由100≤72k +≤600.知14≤k ≤85.又若某个k 使72k +能被57整除，则可设72k +=57n . 即5722877n n k n --==+. 即2n -应为7的倍数. 设72n m =+代入，得5716k m =+. ∴14571685m ≤+≤. ∴m =0,1.于是所求的个数为70．5. 设点P 00(,)x y ,M (,)x y ,有0203x x +⨯=,02(1)3y y +⨯-=,得03x x =,032y y =+ 而2000440y y x --=,于是得点M 的轨迹方程是291240y x --=.二、解答题1. 解：{}13A x x =-≤<，()(){}30B x x a x a =--<． 当0a >时，{}03B x a x a =<<<，由A B ≠∅I 得03a <<； 当0a <时，{}30B x a x a =<<<，由A B ≠∅I 得1a >-；当0a =时，{}20B x x =<=∅，与A B ≠∅I 不符．综上所述，()()1,00,3a ∈-U2. 证明：假设该校共有m 个班级，他们的建议分别组成集合m A A A ,,,21Λ。

2013年综合性大学自主选拔录取联合考试（北约）数学试题一.选择题（每题8分，共48分）1.1为根的有理系数方程的最小次数为 ． A ． 2 B ．3 C ．5 D ．62.在66⨯棋盘上放3个完全相同的红色的车和3个完全相同的黑色的车，若这6个车不在同一行也不在同一列上，则不同的放法有 种．A ． 720B ．518400C ．20D ．144003.在ABC △中，D 为BC 的中点，DM 平分ADB ∠交AB 于M ，DN 平分ADC ∠交AC 于N ，则B M C N +与MN 的大小关系是 ．A ．BM CN MN +>B ．BM CN MN +=C ．BM CN MN +<D ．不能确定4.若222525x y y x ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，x y ≠，则32232x x y y -+的值为 ．A ．10-B ．12-C ．14-D ．以上答案均不对5.n S 表示数列{}n a （1n ≥）的前n 项和．已知11a =，且1n ∀≥，142n n S a +=+，则2013a 等于 ． 的模等于 ．k a 与l a 的几何平的算术平均．求证：3.实数12201,,,a a a 满足1220130a a a +++=，122320131222a a a a a a -=-==-．求证：1220130a a a ====．4.对任意θ，求632cos cos66cos415cos2θθθθ---的值．5.（理科）设有mn 个实数排成一个m 行n 列的阵列{}ij m na ⨯，使得每一行上的n 个数从左到右都按递增的顺序排列，即对任意1i m ≤≤，当12j j <时有12ij ij a a ≤．下面把每列上的m 个数都从上到下都按递增的顺序重排得到阵列{}ij m na ⨯'，即对任意的1j n ≤≤，当12i i <时有12i j i j a a ''≤，问这个新的阵列{}ij m na ⨯'每一行中的n 个数的大小顺序如何？给出结论并说明理由．2013年综合性大学自主选拔录取联合考试（北约）数学答案一、选择题（每题8分，共48分） 1.【解析】 C ．可以构造方程()()322120x x ⎡⎤--+=⎣⎦，于是次数不超过5．假设有3次方((()10x x x m ⎡⎤--=⎣⎦满足要求，则1m，(1m ⋅均为有理数．设m p =p 为有理数，(1m -⋅5155111636622222222222p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=--+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭可能为有理数．因此次数不小于4． 2.【解析】 D ．视6枚棋子均相同，记落在第i 行的的棋子在i a 列，则排列()126,,,a a a 与放法对应．于是633663A C C 14400⋅⋅=为所求． 3.【解析】 A ．E 点平化为2226x y x y +=-⎧⎨+=⎩，即21x y xy +=-⎧⎨=-⎩．是()214n n n a a a ++=-，即此()311242n n a n =-+，解得AB AC BA BC C A CB+++++二、解答题（每题18分，共72分） 1.【解析】 根据题意有2m na a +，又2k l a a +，于是22k l m na a a a ++>．因此k l m a a a a +>+．设()11n a a n d =+-，则k l m n a a a a +>+⇒()()()()11111111a k d a l d a m d a n d +-++->+-++-⇒k l m n +>+22k l m n++⇒> E N M D C B A2.【解析】 至多可以找到4个，如1,3,7,9．下面证明不能找到5个符合题意的正整数．考虑它们模3的余数，设余数为0、1、2的分别有a 、b 、c 个，则1°若a 、b 、c 均不为零，则存在三个数，它们的和为3的倍数，一定不是质数；2°若a 、b 、c 中有零，则根据抽屉原理，至少存在三个数，它们的余数相同．此时它们的和为3的倍数，一定不是质数． 综上，不能找到5个符合题意的正整数． 3．【解析】 令1122b a a =-，2232b a a =-，…，2013201312b a a =-，则122013b b b ===，1220130b b b +++=．设122013b b b ===m =，则122013,,,b b b 或者为m 或者为m -，设其中有x 个m ，2013x -个m -，则()()()122013201322013b b b mx m x m x +++=+--=-．由于220130x -≠，因此0m =．于是1220130b b b ====，进而易得1220130a a a ====． 4．【解析】 632cos cos66cos415cos2θθθθ---()()3321cos 2324cos 23cos 262cos 2115cos 22θθθθθ+⎛⎫=⋅----- ⎪⎝⎭10=5.．【解析】 新的阵列{}ij m na ⨯'中，每一行上的n 个数从左到右还是按递增的顺序排列．反证如下，若有某一行不是这样，不妨设第i 行上存在j k <且ij ik a a ''>．由新阵列的排法知()121k k ik ij mj i j a a a a a a +''''''≤≤≤≤≤≤≤．返回到原阵列{}ijm na ⨯讨论，i 个数1k a '，2k a '，…，ik a '都在原阵列的第k 列上，而剩余的()1m i -+个数ij a '，()1i j a +'，…，mj a '都在原阵列的第j 列上，由于这些数共有1m +个而总共有m 行，所以一定有1k a '，2k a '，…，ik a '中的某个数与ij a '，()1i j a +'，…，mj a '中的某个数在原阵列的同一行．故在原阵列的此行上，第j 列上的数大于第k 列上的数，与原阵列的排法矛盾．。

2013年自主招生数学仿真试题--北约（ 考试时间：90分钟，总分100分）一、解答题1.（12分）设()=11=+1-nn k a k n k ∑，求证：当正整数2n ≥时+1<n n a a2.（13分）在平行四边形ABCD 中，AB=x ，BC=1，对角线AC 与BD 的夹角=45BOC ∠ ，记直线AB 与CD 的距离为()h x ，求()h x 的表达式，并写出x 的取值范围。

3.（15分）已知函数()=sin f x x 的图像与直线()=>0y kx k 有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，求证：2cos 1+=sin +sin 34ααααα4．（15分）如图所示，AB 是⊙O 的直径，G 为AB 延长线上的一点，GCD 是⊙O 的割线，过点G 作AB 的垂线，交AC 的延长线于点E ，交AD 的延长线于点F ，过G 作⊙O 的切线，切点为H .求证：(1)C ，D ，F ，E 四点共圆；(2)GH 2＝CE ·GF .5.（15分）已知点(),E m n 为抛物线()2=2>0y px p 内一定点，过E 作斜率分别为12,k k 的两条直线交抛物线于A ，B ，C ，D ，且M ，N 分别是线段AB ，CD 的中点；（1）当=0n 且12=-1k k ⋅时，求EMN 的面积的最小值（2）若()12+=0,k k λλλ≠为常数证明：直线MN 过定点。

6.（15分）一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于2n，则算过关。

问：（Ⅰ）某人在这项游戏中最多能过几关？（Ⅱ）他连过前三关的概率是多少？（注：骰子是一个在各面上分别有1，2，3，4，5，6点数的均匀正方体。

抛掷骰子落地静止后，向上一面的点数为出现点数。

）7.（15分）某校数学兴趣小组由m位同学组成，学校专门安排n为老师作为指导教师，在该小组的一次活动中，每位同学之间相互为对方提出一个问题，每位同学又向每位指导老师各提一个问题，以上所有问题各不相同，共有51个问题，试求m，n的值。

2013年北约自主招生数学试题2013-03-16（时间90分钟，满分120分）1．以2和312-为两根的有理系数多项式的次数最小是多少？A ．2B ．3C ．5D ．6解析：显然，多项式f （x ）=（x 2-2）［（1-x ）3-2］的系数均为有理数，且有两根分别为2和312-，于是知，以2和312-为两根的有理系数多项式的次数的最小可能值不大于5.若存在一个次数不超过4的有理系数多项式g （x ）=ax 4+bx 3+cx 2+dx+e ，其两根分别为2和312-，其中a ，b ，c ，d ，e 不全为0，则：()33312(7)(232)2(63)40g a b c d e a b c d a b c -=-+----++++++=702320a b c d e a b c d +---=⎧⇒⎨+++=⎩即方程组：420(1)20(2)70(3)2320(4)630(5)ac e bd a b c de a b c d ab c ++=⎧⎪+=⎪⎪+---=⎨⎪+++=⎪++=⎪⎩，有非0有理数解。

由（1）+（3）得：110a b c d ++-= （6） 由（6）+（2）得：1130a b c ++= （7） 由（6）+（4）得：13430a b c ++= （8） 由（7）-（5）得：0a = 代入（7）、（8）得：0b c == 代入（1）、（2）知：0d e ==于是知0a b c d e =====，与,,,,a b c d e 不全为0矛盾。

所以不存在一个次数不超过4的有理系数多项式()g x ，其两根分别为2和312-.综上所述知，以2和312-为两根的有理系数多项式的次数最小为5．2．在66⨯的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行每一列只有一辆车，每辆车占一格，共有几种停放方法？A ．720B ．20C ．518400D ．14400解析：先从6行中选取3行停放红色车，有36C 种选择．最上面一行的红色车位置有6种选择；最上面一行的红色车位置选定后，中间一行的红色车位置有5种选择；上面两行的红色车位置选定后，最下面一行的红色车位置有4种选择。

2013年自主招生数学试题一.选择题：（本大题共12个小题，每个4分，共48分，将所选答案填涂在机读卡上） 1、下列因式分解中，结果正确的是（ ）A.2322()x y y y x y -=-B.424(2)(x x x x -=+C.211(1)x x x x x--=--D.21(2)(1)(3)a a a --=--2、“已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，试判断a b c ++与 0的大小.”一同学是这样回答的：“由图像可知：当1x =时0y <， 所以0a b c ++<.”他这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫 做（ ）A.换元法B.配方法C.数形结合法D.分类讨论法 3、已知实数x 满足22114x x x x ++-=，则1x x-的值是（ ）A.-2B.1C.-1或2D.-2或14、若直线21y x =-与反比例函数k y x =的图像交于点(2,)P a ，则反比例函数ky x=的图像还必过点（ ）A. (-1,6)B.(1,-6)C.(-2,-3)D.(2,12)5、现规定一种新的运算：“*”：*()m nm n m n -=+，那么51*22＝（ ）A.54B.5C.3D.96、一副三角板，如图所示叠放在一起，则AOB COD ∠+∠＝（ ）A.180°B.150°C.160°D.170°7、某中学对2005年、2006年、2007年该校住校人数统计时发现，2006年比2005年增加20%，2007年比2006年减少20%，那么2007年比2005年（ ）A.不增不减B.增加4％C.减少4％D.减少2％8、一半径为8的圆中，圆心角θ为锐角，且θ=，则角θ所对的弦长等于（ ）A.8B.10C. D.169、一支长为13cm 的金属筷子（粗细忽略不计），放入一个长、宽、高分别是4cm 、3cm 、16cm 的长方体水槽中，那么水槽至少要放进（ ）深的水才能完全淹没筷子。

华约自主招生试题（数学）1．设},10|{Z x x x A ∈≥=，A B ⊆，且B 中元素满足：任意一个元素各数位的数字互不相同；任意一个元素的任意两个数字之和不等于9．（1）求B 中的两位数和三位数的个数；（2）是否存在五位数，六位数？（3）将B 中的元素从小到大排列，求第1081个元素．2．已知31s in s in =+y x ，51cos cos =-y x ，求)c o s (y x +，)sin(y x -． 3．点A 在kx y =上，点B 在kx y -=上，其中0>k ，12+=k OB OA ，且A ，B 在y 轴同侧．（1）求AB 中点M 的轨迹C 的方程；（2）曲线C 与抛物线)0(22>=p py x 相切，求证：切点分别在两定直线上，并求切线方 程．4．7个红球，8个黑球，任取4个．（1）求恰有1个红球的概率；（2）记取黑球个数为x ，求其分布列和期望；（3）取出4球同色，求全为黑球的概率．5．已知21++=n n n ca a a ， ,3,2,1=n ，0>1a ，0>c ．（1）证明对任意的0>M ，存在正整数N ，使得对于N n >，M a n >（2）设1+1=n n ca b ，记n s 为n b 前项和，证明n s 有界，且0>d 时，存在正整数k ，k n >时d ca s n <1<01－． 6．设z y x ,,是两两不等且大于1的正整数，求所有使得xyz 整除)1)(1z (1)(－－－zx y xy 的z y x ,,．7．设1e )1(=)(－－x x x f ． （1）证明当0>x 时，0<)(x f ；（2）令1e =1+－n n x x n e x ，1=1x ，证明n x 递减且n n x 21>． 华约自主招生试题（物理）一、 （15分）（1）质量约1T 的汽车在10s 内由静止加速到60km/h 。

2013年“华约”自主招生数学试题1. 已知集合{}10A x Z x =∈≥，B 是A 的子集，且B 中元素满足下列条件： （a ）数字两两不等;(b)任意两个数字之和不等于9;试求： （1）B 中有多少个两位数？多少个三位数？ （2）B 中是否有五位数？是否有六位数？（3）将B 中元素从小到大排列，第1081个元素是多少？ 2. 已知实数,x y 满足sin x +sin y =13， cos cos x y - =15，求sin()x y -，cos().x y +3. 已知0k >，从直线y kx =和y kx =-上分别选取点(,),(,)A A B B A x y B x y ，0A B x x >，满足21OA OB k =+，其中O 为坐标原点，AB 中点M 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)抛物线22(0)x py p =>与曲线C 相切于两点，求证：两点在两条定直线上，并求出两条切线方程.4. 有7个红球8个黑球，从中任取四个. ⑴求恰有一个红球的概率；⑵设四个球中黑球个数为X ，求X 的分布列及数学期望Ex ； ⑶求当四个球均为一种颜色时，这种颜色为黑色的概率. 5. 已知数列{}n a 满足10a >，21n n n a a ca +=+，1,2...n =,，其中0c >， ⑴证明：对任意的0M >，存在正整数N ，使得对于n N >，n a M >；⑵设11n n b ca =+，n S 为n b 前n 项和，证明:{}n S 有界，且对0d >，存在正整数k ，当n k >时，110.n S d ca <-< 6. 已知,,x y z 是三个大于1的正整数，且xyz 整除(1)(1)(1),xy yz xz ---求,,x y z 的所有可能值.7. 已知()(1)1xf x x e =--， ⑴证明：当0x >时，()0f x <； ⑵若数列{}n x 满足11x =，11n n x x n x ee +=-.证明:数列{}n x 递减,且12nn x ⎛⎫> ⎪⎝⎭.2013年“华约”自主招生数学试题解析1.【试题分析】本题是集合元素的计数问题，需要用到排列组合的知识，对分步思维的理解要求较高。

2010年“北约”自主招生数学试题1．（仅文科做）02απ<<，求证：sin tan ααα<<．2．AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB （25分）3．AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值．（25分）4．向量OA 与OB 已知夹角，1OA =，2OB =，(1)OP t OA =-，OQ tOB =，01t ≤≤．PQ 在0t 时取得最小值，问当0105t <<时，夹角的取值范围．（25分）5．（仅理科做）存不存在02x π<<，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列．（25分）2011北约自主招生数学试题∎1、已知平行四边形的其中两条边长分别是3和5，一条对角线长是6，求另一条对角线的长。

∎2求过抛物线2，交点的直线方程。

∎3、等差数列满足=，，这个数列的前n项和为，数列中哪一项最小，并求出这个最小值。

∎4、∆ABC的三边a,b,c满足a+b≥2c，A,B,C为∆ABC的内角，求证：C≤。

∎ 5、是否存在四个正实数，它们的两两乘积分别是2,3,5,6,10,16？∎6、和是平面上两个不重合的固定圆，C是该平面上的一个动圆，C和都相切，则C的圆心的轨迹是何种曲线？说明理由。

∎7、求f(x)=的最小值。

2012年“北约”自主招生数学试题1、求x 的取值范围使得12)(-+++=x x x x f 是增函数；2、求1210272611=+-+++-+x x x x 的实数根的个数；3、已知0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的4个根组成首项为41的等差数列，求n m -；4、如果锐角ABC ∆的外接圆的圆心为O ，求O 到三角形三边的距离之比；5、已知点)0,2(),0,2(B A -，若点C 是圆0222=+-y x x 上的动点，求ABC ∆面积的最小值。

2013年“北约”自主招生训练题二1、函数sin cos y x x =+(x ∈R )的单调减区间是 .2、设函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是关于x 的奇函数，则函数()y f x =在区间[]0,100上至少有 个零点.3、圆环形手镯上等距地镶嵌着4颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中的一种．其中镀2金2银的概率是 ．4、在三棱锥A B C D -中，已知A C B C B A ∠=∠，A C D A D C B C D B D C ∠=∠=∠=∠θ=，且cos 10θ=．已知棱A B的长为，则此棱锥的体积为 ．5、设复数列{}n x 满足1n x a ≠-，0，且11n n n a x x x +=+．若对任意n ∈N * 都有3n n x x +=，则a 的值是 ．6、已知平面上两定点A （－3，0），B （0，－4），P 为曲线12(0)y x x=>上任意一点，过点P作PC ⊥x 轴，PD ⊥y 轴，垂足分别为C,D ，则四边形ABCD 面积S 的最小值为 7、函数()2f x x =-__________________________.8、函数22*()sincos()kkf x x x k N =+∈的最小值为9、设O 是平面上一个定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足||||A C A BO P O A A C A B λλ-=+，其中[0,)λ∈+∞，则点P 的轨迹为_________________. 10、函数21)(2+-=x x x f 的值域是__________________。

11、若ABC ∆为锐角三角形，满足)cos(sin sin B A BA +=，则A tan 的最大值是___________。

12、将9,,2,1 随机填入右图正方形ABCD 的九个格子中，则其每行三数，每列三数自上而下、自左至右顺次成等差数列的概率P=__________。