连续函数的性质

99定理 1.（有界性）若函数)(x f 在闭区间[a,b]连续，则函数)(x f 在闭区间[a,b]有界，即∃M >0,∈∀x [a,b],有|)(x f |≤M .()f x 在区间能取到最小值m 与最大值M ，即：[]12,,x x a b ∃∈使：()1f x m =与()2f x M =[](),x a b m f x M ∀∈⇒≤≤证明：根据定理3，数集()[]{}|,f x x a b ∈有界。

设：sup ()[]{}|,f x x a b M ∈=用反证法：假使[],x a b ∀∈有()f x <M,显然，()0M f x -> ([],x a b ∀∈)，且()M f x -在[],a b 连续，于是函数()1M f x -在[],a b 连续，根据定理3，函数()1M f x -在[],a b 有界，即：0c ∃>，[],x a b ∀∈⇒()1c M f x <-，或，()1f x M c<-由上确界的定义知：M 不是数集()[]{}|,f x x a b ∈的上确界，矛盾，于是[]2,x a b ∃∈，使()2f x M =。

定理3.(零点定理) 若函数)(x f 在闭区间],[b a 连续，且)()(b f a f <0(即)(a f 与)(b f 异号)，则在开区间（a,b ）内至少存在一点c ,使)(c f =0证明：不妨设)(a f <0，)(b f >0.用反证法，假设∈∀x [a,b]，有)(x f ≠0，将闭区间],[b a 二等分，分点为2b a +.已知)2(b a f +≠0，如果)2(ba f +>0,则函数)(x f 在闭区间]2,[b a a +的两个端点的函数值的符号相反；如果)2(ba f +<0,则函数)(x f 在闭区间[2ba +,b] 的两个端点的函数值的符号相反.于是两个闭区间]2,[b a a +与[2ba +,b]必有一个使函数)(x f 在其两个端点的函数值的符号相反.将此闭区间表为[11,b a ]，有)()(11b f a f <0，再将[11,b a ]二等分，必有一个闭区间，函数)(x f 在其两个端点的函数值的100符号相反.将此闭区间表为[22,b a ]，有)()(22b f a f <0，用二分法无限进行下去，得到闭区间{[n n b a ,]}（b b a a ==00,），且1）[a,b]⊃ [11,b a ]⊃…⊃[n n b a ,]⊃……; 2))(lim n n n a b -∞→= nn ab 2lim-∞→=0对每个闭区间[n n b a ,]，有)()(n n b f a f <0，根据闭区间套定理（4.1定理1），存在唯一数c 属于所有的闭区间，且n n a ∞→lim =n n b ∞→lim =c （1）而c ∈[a,b]，且)(c f ≠0，设)(c f >0.一方面，已知函数)(x f 在c 连续，根据连续函数的保号性，δ∃>0,x ∀:|c x -|<δ,即x ∀),(δδ+-∈c c ，有)(x f >0;另一方面，由（1）式，当n 充分大时，有[n n b a ,]⊂),(δδ+-c c ，已知)()(n n b f a f <0，即函数)(x f 在),(δδ+-c c 中某点的函数值小于0，矛盾.于是，)(c f ≯0.同法可证)(c f ≮0.所以闭区间[n n b a ,]内至少存在一点c ,使)(c f =0.二、 一致连续性 已知：()f x =1x在()0,1连续，即：∀0x ∈()0,1，∀ε>0,(限定00||||2x x x -<⇒0||||2x x > 011||x x -=00||||||x x x x -≤0202||||x x x -<ε 0||x x -<20||*2x ε，取200||||min *,22x x δε⎧⎫=⎨⎬⎩⎭于是：∀0x ∈()0,1，∀ε>0,∃0x δ=20||*2x ε。

∀x ：||x x δ- <0x δ⇒()()||f x f x δ-<ε由此看出，对同一ε，()0,1的不同的点0x ，使上式成立的δ的大小不同，换句话说，δ的大小不仅与给定的ε有关，同时也与点0x 在()0,1中的位臵有关。

区间()0,1有无限多个0x ，相应地存在无限多个0x δ>0，那么这无限多个0x δ中是否存在一个公用的δ>0，（即最小的δ>0），使∀0x ∈()0,1，∀x ：0||x x -101<δ⇒()()0||f x f x -<ε呢？事实上，在区间上的连续函数中，有的存在公用的δ，有的不存在公用的δ。

（存在的，就是一致连续）定义：设函数()f x 定义在区间上，若∀ε>0,∃δ>0，∀1x ，2x ∈I ：12||x x -<δ⇒()()12||f x f x -<ε，则称函数()f x 在区间I 上一致连续（均匀连续）比较与连续概念的异同。

()f x 在I 连续，∀1x ∈I ∀ε>0,∃δ>0。

∀2x ：12||x x -<δ⇒()()2||f x f x -<ε。

（一致连续的1x ，2x 是任意的，δ与x 无关；连续中的1x 是固定的，δ与1x 有关 一致连续是整体性质，是关于区间来谈的。

连续是局部性质，是针对区间中的一点来谈的。

）从定义可知： “一致连续⇒连续”，但不能说“连续⇒一致连续”。

非一致连续（()f x 在I ）定义：∃0ε>0，∀δ>0，∃1x ，2x ∈I ：12||x x -<δ⇒()()12||f x f x -≥0ε 例1、2定理4（一致连续性）：若()f x 在[],a b 连续，则()f x 在[],a b 一致连续。

证法：应用反证法与致密性定理证明：假设函数)(x f 在[a,b]非一致连续，即00>∃ε，0>∀δ，'x ∃，"x ∈[a,b]：|-'x "x |<δ,有 |)('x f )("x f -|≥0ε.取δ=1，'x ∃，"x ∈[a,b]：|-'x "x |<1，有|)('x f )("x f -|≥0ε.取δ=21，'x ∃，"x ∈[a,b]：|-'x "x |<21，有|)('x f )("x f -|≥0ε.…取δ=n 1，'x ∃，"x ∈[a,b]：|-'x "x |<n1，有102|)('x f )("x f -|≥0ε.…这样的闭区间[a,b]构造两个有界数列{'n x }与{"n x }根据致密定理（4.1定理5）数列{'n x }存在收敛的子数列{'kn x }，设∞→k lim 'k n x =∈ξ[a,b]因为|'kn x "kn x -|<kn 1,所以，也有∞→k lim"kn x =ξ. 一方面，已知函数)(x f 在ξ连续，有∞→k lim |)('kn x f )("k n x f -|=|)()(ξξf f -|=0 即当k 充分大时，有|)('kn x f )("k n x f -|<0ε 另一方面，+∈∀N k ,有|)('kn x f )("k n x f -|≥0ε 矛盾，即函数)(x f 在闭区间[a,b]一致连续.定理指出：函数在闭区间[],a b 上连续与一致连续等价。

证明：函数()f x 在(),a b 内连续，函数在(),a b 内一致连续的必要充分条件是()0f a +与()0f b +都存在。

3（3）.证明：函数()f x=[0,)+∞一致连续证明：将[0,)+∞分为[]0,1 [1,)+∞∀ε>0，∀1x ，2x ∈[1,)+∞，()()12||f x f x -=|-=≤12||2x x -<ε， 12||x x -<2ε 取1δ=2ε于是∀ε>0，∃1δ=2ε，∀ 1x ，2x ∈[1,)+∞：12||x x -<δ⇒|<ε[1,)+∞一致连续。

又[0,)+∞连续，∴[]0,2连续，[]0,2一致连续。

即：103∀ε>0，∃2δ>0，∀1x ，2x ∈[]0,2，12||x x -<δ⇒||<ε取δ={}12min ,,1δδ，那么∀1x ，2x ∈[0,)+∞，且12||x x -<δ时，有1x ，2x ∈[]0,2或1x ，2x ∈[1,)+∞于是∀ε>0，∃δ={}12min ,,1δδ，∀ 1x ，2x ∈[0,)+∞，12||x x -<δ⇒|-<ε[0,)+∞一致连续。

8.证明：若函数()f x 在[,)a +∞连续，且lim x →+∞()f x b =，则函数()f x 在[,)a +∞一致连续。

证明：已知lim x →+∞()f x b =即：∀ε>0，∃0A >，1x ，2x >A 。

⇒()1||2f x b ε-<，()2||2f x b ε-<⇒()()12||f x f x -≤()1||f x b - + ()2||f x b -<ε又 ()f x 在[,)a +∞连续，∴()f x 在[],1a A +连续。

因此()f x 在[],1a A +一致连续即：：∀ε>0，∃10δ> ∀ 1x ，2x ∈[],1a A +，12||x x -<1δ⇒()()12||f x f x -<ε，取δ={}1min ,1δ于是：∀ε>0，∃δ={}1min ,1δ，∀1x ，2x ∈[,)a +∞12||x x -<δ⇒()()12||f x f x -<ε即()f x 在[,)a +∞一致连续。

例：用一致连续定义证明：若函数()f x 在[],a c 与[],c b 都一致连续，则函数()f x 在[,)a +∞一致连续。

证明：已知()f x 在[],a c 一致连续，()f x 在[],c b 一致连续 即：∀ε>0，∃1δ>0，∀1x ，2x ∈[],a c ：12||x x -<1δ⇒()()12||f x f x -<ε∀ε>0，∃2δ>0，∀1x ，2x ∈[],c b ：12||x x -<2δ104⇒()()12||f x f x -<ε取δ={}12min ,δδ ，∀1x ，2x ∈[],a b ，12||x x -<δ，当1x ，2x ∈[],a c 或[],c b 时，已有()()12||f x f x -<ε，若1x ∈[],a c ，2x ∈[],c b ，则()()12||f x f x -≤()()()()12||||f x f c f x f c -+-<2ε即：∀ε>0，∃δ={}12min ,δδ ，∀1x ，2x ∈[],a b ：12||x x -<δ⇒()()12||f x f x -<ε()f x 在[],a b 上一致收敛。