2 连续函数的性质

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§2 连续函数的性质

教学目标：

通过本节内容的学习，达到以下教学目标与要求：

一级目标：熟练掌握连续函数的局部性质

二级目标：闭区间上连续函数的基本性质

教学内容和重、难点：

1.连续函数的局部性质

2. 闭区间上连续函数的基本性质

3.函数的一致连续性

重点：连续函数的局部性质

难点：函数的一致连续性

教学方法和教具使用：

讲授法。

教学过程：

一 连续函数的局部性质

定理4.2 （局部有界性）若函数fx在点0x连续，则fx在点0x的某邻域内有界.

证 因为fx在点0x连续，所以，取正数1，存在正数，使得当0xx时有

0.fxfx

故当0xx时有

000001fxfxfxfxfxfxfxfx，

即函数fx在点0x的邻域内有界.

定理4.3 （局部保号性）若函数fx在点0x连续，且00fx（或0），则2

00,rfx（或00,rfx，存在点0x的某邻域0Ux，使得当0xUx时有

fxr（或fxr）.

证 只证00fx的情形.r00,fx，取正数0fxr，由函数fx在点0x连续得，存在正数，使得当0xx时有

00fxfxfxr，

000002rfxfxrfxfxfxrfxr

故但0;xUx时有.fxr

附注：若函数fx在点0x左连续（或右连续），且00fx（或0），则00,rfx（或00,rfx，存在点0x的某左邻邻域0Ux（或右邻域0Ux），使得当0xUx（或0xUx）时有

fxr（或fxr）.

定理4.4 （四则运算）若函数fx和gx在点0x连续，则,,fxgxfxgx00fxgxgx也都在点0x连续.

证 只证商的情形.

设fxhxgx.因fx和gx在点0x连续，00gx，故

0000lim,lim0xxxxfxfxgxgx.

由商的极限法则得

0000000limlimlimlimxxxxxxxxfxfxfxhxhxgxgxgx.

由函数连续的定义得，hx在点0x连续.

定理4.5若极限0limxxfx存在，00limxxfxu，函数gu在点0u连续，则3

00limxxgfxgu，即00limlim.xxxxgfxgfx

证 因gu在点0u处连续，故0，10，使得当01uu（即01;uUu）时有

0.gugu

又因极限00limxxfxu，故由函数极限定义得，对正数1，存在相应的正数，使得当00xx时有

0101,;fxufxUu，

0,gfxgu

故由函数极限定义得

00lim.xxgfxgu

推论 若函数fx在点0x连续，00ufx，函数gu在点0u连续，则 复合函数gfx在点0x处连续.

证 因fx在点0x连续，故000limxxfxfxu.又因函数gu在点0u连续，故有定理4.5得

000limxxgfxgugfx，

故函数gfx在点0x连续.

例1 求21limsin1.xx

解 因为21lim10xx，sinu在点0u处连续，故由定理4.5得

2211limsin1sinlim1sin00.xxxx

例2 求极限

（1）1sinlim2xxx； （2）sinlim2.xxx

解 （1）1111sinsinsinlim2lim2lim2lim211xxxxxxxxxx；

（2）sinsinsinlim2lim2lim2lim202.xxxxxxxxxx 4

二 闭区间上连续函数的性质

定义1 设fx为定义在数集D上的函数.若存在0xD，使得

0fxfx0fxfx，xD

则称函数fx在D上有最大（最小）值，并称0fx为fx在D上的最大（最小）值.

定理4.6 （最大、最小值定理）闭区间上的连续函数必有最大值与最小值.

先证一个引理.

引理（有界性定理） 若函数fx在闭区间,ab上连续，则fx在闭区间,ab上有界.

证 假设函数fx在闭区间,ab上无界，则对于任意正整数n，存在,nxab使得nfxn.

取1,2,n，得到一个数列nx，这个数列中的每一项,nxab，且nfxn，故

limnnfx.

因nx是一个有界数列，故由致密性定理得，nx有收敛的子列knx，设0limknkxx，

则由

,1,2,knaxbk

及数列极限的不等式性得，0.axb

因为数列knfx是数列nfx的一个子列，limnnfx，故

lim.knkfx

另一方面，由已知条件得，函数fx在,ab上连续，而0,xab，故00lim.xxfxfx

又因为0knxxk，故由归结原则得

0lim.knkfxfx

到此，我们获得了两个互相矛盾的结论：

limknkfx及0lim.knkfxfx

定理4.6的证明 由引理得，fx在闭区间,ab上有界.由确界原理得，fx在闭区 5

间,ab有上确界，设

,sup.xabMfx

下面用反证法证明：,ab，使得.fM

假设这一结论不对，则

,,.fxMxab

令

1,,gxxabMfx，

则0,,.gxxab由连续函数的四则运算法则易得，gx在闭区间,ab上连续.

故由引理得，函数gx在,ab有上界，故存在正数G，使得

10,,.gxGxabMfx

由此易得

1,,.fxMxabG

这与M为fx在闭区间,ab上确界矛盾.

同理可证fx在,ab上存在最小值.

定理4.7 （介值性定理） 设函数fx在闭区间,ab上连续，fafb，为介于

fa与 fb之间的一个实数（即fafb或fafb），则存在点

0,xab使得

0.fx

推论（根的存在定理）（也称零点定理）若函数fx在闭区间,ab上连续，且

0fafb，则存在点0,xab，使得

00.fx

定理4.7的证明 只证fafb的情形（另一情形可类似证明）.因为函数fx 6

在,ab上连续，所以函数

gxfx，,xab

也在,ab上连续.

下面证明，存在点0,xab，使得00.gx设集合

|0,,Exgxxab，

则aE，故E是一个非空有界数集.由确界原理，集合E有上确界，设

0sup.xE

因0ga，gx在点a右连续，故由连续函数的局部保号性，存在正数1使得

10,,gxxaa.

（这一结论也可以这样证明：由gx在点a右连续得，对于正数12ga，存在

正数1，使得当1,xaa时有

12gxgaga，110.22gxgagaga）

故1,aaE，0.xa

因0gb，gx在点b左连续，故由连续函数的局部保号性得，存在正数2，使

得

20,,gxxbb.

故2,Ebb，从而2,xbxE.故0.xb

于是0,.xab 下证00.gx假设00gx，不妨设00.gx则由连续函数的

局部保号性得，存在点0x的某个邻域0;Ux，使得

00,;.gxxUx

（这一结论也可以这样证明：

取，由gx在点0x连续得，对于正数012gx，存在正数，使得当0xx时有

00000111,0.222gxgxgxgxgxgxgx） 7

因00;2xUx，故000,.22gxxE因

0supxE，02xE，故00.2xx矛盾.

例3 证明：若0r，n为正整数，则存在唯一正数0x，使得0nxr（0x称为r的n次正根，记作nr，即0.nxr

证 设nfxx，则fx在,上连续.因

00fr，11221111nnnnnnnnfrrrCrCrCrr，

故由介值定理得，存在点00,1xr，使得0fxr，即0.nxr故存在正数0x使得0.nxr

再证唯一性.设正数1x使得1nxr，则

011210100110,0.nnnnnxxxxxxxx

但1210011nnnxxxx为正数，故01010,.xxxx

例4 设fx在,ab上连续，满足

,,.fabab

证明：存在0,xab，使得00.fxx

证 ,xab，,,fxfabab，.afxb

特别地，,.afafbb

若afa或fbb，则取0xa或b即可满足要求.

当afa且fbb时，令

Fxfxx，

则由连续函数的四则运算法则易得，Fx在,ab上连续，且

0,0FafaaFbfbb，