七年级数学命题定理

人教版数学七年级下册５.３.２-1《命题、定理、证明１》教案2一. 教材分析《命题、定理、证明1》是人教版数学七年级下册第五章第三节的一部分，这部分内容是学生学习数学证明的基础。

通过这部分的学习，学生将理解命题与定理的概念，学会如何阅读和理解数学证明，并初步掌握证明的方法。

二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力，能够理解和运用基本的数学概念和运算。

但是，对于数学证明这一概念，学生可能还比较陌生，需要通过具体的例子和实践活动来逐渐理解和掌握。

三. 教学目标1.了解命题和定理的概念，能够区分它们。

2.学会阅读和理解数学证明，能够初步进行简单的证明。

3.培养学生的逻辑思维能力和数学表达能力。

四. 教学重难点1.命题与定理的概念。

2.数学证明的方法和步骤。

五. 教学方法采用问题驱动法和案例教学法，通过具体的例子和实践活动，引导学生理解和掌握命题、定理和证明的概念和方法。

六. 教学准备1.PPT课件。

2.相关例题和练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个具体的数学问题，引出命题、定理和证明的概念。

2.呈现（15分钟）讲解命题和定理的概念，通过具体的例子让学生理解它们的区别。

然后讲解数学证明的方法和步骤，引导学生学会阅读和理解数学证明。

3.操练（15分钟）让学生分组讨论，尝试解决一些简单的证明问题，教师巡回指导。

4.巩固（5分钟）对学生的解答进行点评，指出其中的错误和不足，引导学生正确理解和掌握证明的方法。

5.拓展（5分钟）给出一些思考题，让学生进一步深入理解和掌握命题、定理和证明的知识。

6.小结（5分钟）对本节课的主要内容进行总结，强调命题、定理和证明的概念和方法。

7.家庭作业（5分钟）布置一些相关的练习题，让学生巩固所学知识。

8.板书（5分钟）将本节课的主要内容进行板书，方便学生复习和记忆。

教学过程每个环节所用的时间：导入5分钟，呈现15分钟，操练15分钟，巩固5分钟，拓展5分钟，小结5分钟，家庭作业5分钟，板书5分钟。

【选做1】
3.如图，已知A,B,C在一条直线上
请从三个论断：①AD∥BE，②∠2=∠2，③∠A=∠E，选两个作为条件，另一个作为结论构成一个真命题.
条件：__________
结论：__________（填序号）
【选做2】
4.能说明“锐角α，锐角β的和小于90°”是假命题的例证图是（）
A.
B.
C.
D. D
考查知识：举反例
设计意图：把今天所学知识
应用在图中，既起到了复习
的效果，又能提高学生的看
图能力.
题目来源：【高效课堂宝典
训练期末必考题 P12 T4】
改编
完成时长：3分钟
能力创新
阅读下列问题后作出相应的
解答
“同位角相等，两直线平行”
和“两直线平行，同位角相等”这
两个命题的题设和结论在命题中
的位置恰好对调，我们把其中一个
逆命题：在角
的内部距离相等的
点在这个角的平分
线上.
题设：在角的
内部到角两边的距
离相等的点.
考查知识：逆命题的改编
设计意图：通过阅读来激发
学生的思考能力，通过改编
原题句子的形式来学习和
掌握逆命题.
题目来源：原创
完成时长：3分钟。

七年级命题定理证明教学设计七年级命题定理证明教学设计1教学内容：命题教学目标：了解命题、定义的含义;对命题的概念有正确的理解。

会区分命题的题设和结论。

知道判断一个命题是假命题的方法。

教学重点：找出命题的题设和结论。

教学难点：命题概念的理解。

教学过程：一、复习引入：我们已经学过一些图形的特性，如“三角形的内角和等于180°”、“等腰三角形的两个底角相等”等.根据我们学过的图形特性，试判断下列句子是否正确. (1) 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等; (2) 两直线平行，同位角相等; (3) 同旁内角相等，两直线平行; (4) 平行四边形的对角线相等; (5) 直角都相等.二、探究新知(一)命题、真命题和假命题学生回答后给出答案：句子(1)、(2)、(5)是正确的，句子(3)、(4)是错误的.引出概念：可以判断它是正确的或是错误的句子叫做命题(proposition).正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题.在数学中，许多命题是由题设(或已知条件)、结论两部分组成的.题设是已知事项;结论是由已知事项推出的事项.这样的命题常可写成“如果??，那么??”的形式.用“如果”开始的部分就是题设，而用“那么”开始的部分就是结论.例如，在命题(1)中，“两个角是对顶角”是题设，“这两个角相等”是结论.有的命题的题设与结论不十分明显，将它写成“如果??，那么??”的形式，也可分清它的题设与结论.例如，命题(5)可写成“如果两个角是直角，那么这两个角相等”.(二)例题选讲例1：把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果??，那么??”的形式，并分别指出命题的题设与结论.解：这个命题可以写成“如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形”.这个命题的题设是“一个三角形的三个角都相等”，结论是“这个三角形是等边三角形”.例2：指出下列命题的题设和结论，并把它改写成“如果??那么??”的形式，它们是真命题还是假命题?(1)对顶角相等;(2)如果ab，bc，那么a=c;(3)两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等;(4)菱形的四条边都相等; (5)全等三角形的面积相等。

人教版七年级数学下册5.3.2《命题、定理、证明》说课稿一. 教材分析《人教版七年级数学下册5.3.2<命题、定理、证明>》这一节主要让学生了解命题、定理和证明的概念。

通过学习，学生能理解命题的含义，区分定理和证明，并学会运用证明的方法来解决数学问题。

教材通过丰富的实例和具有启发性的问题，引导学生主动探索、发现和证明数学结论，培养学生的逻辑思维能力和数学素养。

二. 学情分析学生在学习这一节内容时，已经有了一定的数学基础，例如了解四则运算、几何图形的性质等。

但部分学生可能对抽象的逻辑推理和证明过程感到困难，对定理和证明的概念理解不深。

因此，在教学过程中，要关注学生的个体差异，引导他们通过观察、思考、讨论和动手操作等方式，逐步理解和掌握知识。

三. 说教学目标1.知识与技能：使学生了解命题、定理和证明的概念，学会运用证明的方法来解决数学问题。

2.过程与方法：通过观察、思考、讨论和动手操作等方式，培养学生的逻辑思维能力和数学素养。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、坚持真理的精神。

四. 说教学重难点1.重点：命题、定理和证明的概念，证明的方法。

2.难点：对命题、定理和证明的理解，证明方法的运用。

五. 说教学方法与手段1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探索、发现和证明数学结论。

2.运用多媒体课件、实物模型等教学手段，辅助学生直观地理解概念和证明过程。

3.小组讨论，让学生在合作交流中提高逻辑思维能力。

4.注重实践操作，让学生动手动脑，增强对知识的理解和运用能力。

六. 说教学过程1.导入：通过一个有趣的数学故事，引发学生对命题、定理和证明的好奇心，激发他们的学习兴趣。

2.新课导入：介绍命题、定理和证明的概念，引导学生理解它们之间的关系。

3.实例讲解：分析具体的数学问题，讲解证明的方法，让学生学会如何运用证明来解决实际问题。

4.小组讨论：学生进行小组讨论，让他们分享自己的理解和方法，互相学习和借鉴。

专题5.18 平移与命题、定理、证明（知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】命题、定理、证明1．命题：判断一件事情的语句，叫做命题．要点提醒：（1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．（2）命题的表达形式：“如果……，那么……．”，也可写成：“若……，则……．”（3）真命题与假命题：真命题：题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题．假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题．2．定理：定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理也可以作为继续推理的依据．3．证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明．要点提醒：（1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等．（2）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可．【知识点二】平移1．定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移．要点提醒：（1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离．（2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置．2．性质：图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体来说：（1）平移后，对应线段平行且相等；（2）平移后，对应角相等；（3）平移后，对应点所连线段平行且相等；（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形．要点提醒：（1）“连接各组对应点的线段”的线段的长度实际上就是平移的距离．（2）要注意“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别，前者是通过连接平移前后的对应点得到的，而后者是原来的图形与平移后的图形上本身存在的．3． 作图：平移作图是平移基本性质的应用，在具体作图时，应抓住作图的“四步曲”——定、找、移、连．（1）定：确定平移的方向和距离；（2）找：找出表示图形的关键点；（3）移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点；（4）连：按原图形顺次连接对应点．【考点目录】【考点1】命题与证明；【考点2】定理与证明；【考点3】图形的平移与作图；【考点4】平移的性质证明与求值；【考点5】平移的性质的应用；【考点1】命题与证明；【例1】（2022下·山东滨州·七年级校考阶段练习）1．如图，有如下三个论断：①AD EF ，②12180∠+∠=︒，③DG AB ∥．(1)请从这三个论断中选择两个作为题设，余下的一个作为结论，构成一个真命题．试用【变式1】（2020下·七年级课时练习）5．下列说法正确的是（）A．命题是定理，定理是命题B．命题不一定是定理，定理不一定是命题C．真命题有可能是定理，假命题不可能是定理【考点3】图形的平移与作图；【例3】（2023下·7．如图，在边长为(1)根据题意，补全图形；(2)若不增加其他条件，图中与AOB ∠【变式1】（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨德强学校校考期中）8．观察下面图案，在A 、B 、C 、D A ． ． ． ．【变式2】（2023·山东淄博·统考中考真题）．在边长为的正方形网格中，右边的图案是由左边的图案经过一次平移得到【考点4】平移的性质证明与求值；【例4】（2023下·全国·八年级假期作业）10．如图，△ABC 是等边三角形，将△ABC 沿直线BC 到△DCE ，连接BD 交AC 于点F ．猜想AC 与BD 的位置关系，并证明你的结论．【变式1】（2024上·广东深圳·八年级深圳外国语学校校考期末）11．如图，在锐角ABC 中，BAC ∠（平移后点A ，B ，C 的对应点分别是点A ．20︒B ．40︒【变式2】（2023下·内蒙古鄂尔多斯12．如图，4cm AB =，5cm =BC 【考点5】平移的应用．【例5】（2022下·河北唐山·七年级统考期末）13．动手操作：(1)如图1，在55⨯的网格中，每个小正方形的边长为1，将线段AB 向右平移，得到线段A B ''，连接AA '，BB '．①线段AB 平移的距离是________；②四边形ABB A ''的面积是________；A．1200元B．1320元【变式2】（2023上·黑龙江哈尔滨15．如图，有一块长方形区域，AD1．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据平行直线的性质和判断即可得到答案；（2）根据平行直线的性质：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，再结合平行直线的判断方法，即可证得．【详解】（1）解：①如图，如果AD EF ，12180∠+∠=︒，那么DG AB ∥；②如图，如果12180∠+∠=︒，DG AB ∥，那么AD EF ；③如图，DG AB ∥，AD EF ，那么12180∠+∠=︒；（2）解：①如图，如果AD EF ，12180∠+∠=︒，那么DG AB ∥；证明：∵AD EF ，∴2180BAD ∠+∠=︒，∵12180∠+∠=︒，∴1BAD ∠=∠，∴DG AB ∥；②如图，如果12180∠+∠=︒，DG AB ∥，那么AD EF ；证明：∵DG AB ∥，∴1BAD ∠=∠，∵12180∠+∠=︒，∴2180BAD ∠+∠=︒，∴AD EF ；③如图，DG AB ∥，AD EF ，那么12180∠+∠=︒；∵DG AB ∥，∴1BAD ∠=∠，∵AD EF ，∴2180BAD ∠+∠=︒，∴12180∠+∠=︒．【点睛】本题考查命题与定理、平行线的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．2．A【分析】本题考查了反证法；根据反例满足条件，不满足结论可对各选项进行判断．【详解】解：A.1245∠=∠=°，满足条件，不满足结论，可作为说明原命题是假命题的反例，符合题意；B.140∠=︒，250∠=︒，满足条件和结论，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意；C.150∠=︒，250∠=︒，不满足条件，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意；D.140∠=︒，240∠=︒，不满足条件，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意；故选：A ．3．如果有两个角是同一个角或者两个相等的角，那么这两个角的余角相等【分析】本题考查命题的定义，根据命题的定义，命题有题设和结论两部分组成．命题有题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．【详解】解：根据命题的特点，可以改写为：“如果两个角是同一个角或两个相等的角的余角，那么这两个角相等”，故答案为：如果两个角是同一个角或两个相等的角的余角，那么这两个角相等．4．（1）见解析；（2）同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．【分析】（1）利用同旁内角互补，两直线平行和内错角相等；两直线平行判断AB ∥CD ，CD ∥EF ，则利用平行线的传递性得到AB ∥EF ，然后根据平行线的性质得到结论；（2）利用了平行线的判定与性质定理求解．【详解】（1）证明：∵∠B ＋∠1＝180°，∴AB ∥CD ，∵∠2＝∠3，∴CD ∥EF ，∴AB ∥EF ，∴∠B ＋∠F ＝180°；（2）解：在（1）的证明过程中应用的两个互逆的真命题为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．5．C【分析】根据命题和定理的定义逐项判断即可．【详解】解：A 、命题不一定是定理，所以本选项错误；B 、命题不一定是定理，但定理一定是命题，所以本选项错误；C 、真命题有可能是定理，假命题不可能是定理，所以本选项正确；D 、定理不可能是假命题，所以本选项错误．故选：C ．【点睛】本题考查了命题与定理，定理是命题，并且是真命题，但真命题不一定是定理，熟知命题和定理的定义及其关系是解题的关键．6． BOD ∠ ， 同角的余角相等【分析】由∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°，即可得到∠AOC=∠BOD.【详解】解：∵90AOB COD ︒∠=∠=，∴∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°，根据同角的余角相等，∴∠AOC=∠BOD ；故答案为BOD ∠，同角的余角相等.【点睛】本题考查了同角的余角相等，解题的关键是熟练掌握定理.7．(1)见解析(2)AOB ∠相等的角有BPP ∠'、P AC '∠、PP A '∠，理由见解析【分析】（1）根据平移的定义画出相应的图形即可；（2）由平移的性质可得出四边形'OAP P 是平行四边形，根据平行四边形的性质以及平行线的性质进行判断即可．【详解】（1）解：补全图形如图所示：（2）解：AOB ∠相等的角有'BPP ∠、'P AC ∠、'PP A ∠，理由：由平移的性质可知，'OP AP =，OP AP '∥∴四边形'OAP P 是平行四边形，'AOB PP A ∴∠=∠，OA PP '∥'AOB BPP ∴∠=∠、'AOB P AC ∠=∠，'''AOB BPP P AC PP A ∴∠=∠=∠=∠．【点睛】本题考查平移的性质，掌握平移的性质，平行四边形的性质以及平行线的性质是正确解答的前提．8．C【分析】本题主要考查了图形的平移，根据图形的平移只改变位置，不改变大小，形状和方向进行求解是解题的关键．【详解】解：由平移只改变位置，不改变大小，形状和方向可知，只有C 选项中的图案是图案1平移得到的，故选C ．9．6【分析】确定一组对应点，从而确定平移距离．【详解】解：如图，点,A A '是一组对应点，6AA '=，所以平移距离为6；故答案为：6【点睛】本题考查图形平移；确定对应点从而确定平移距离是解题的关键．10．AC ⊥BD ．证明见解析【详解】解：AC ⊥BD ．证明如下：∵△ABC 是等边三角形，AB BC AC ∴==，60ACB ABC ∠=∠=︒．∵△DCE 是由△ABC 平移得到的，CE BC CD AB ∴===，60DCE ABC ∠=∠=︒，∵A B C ''' 由ABC 平移得到，AB A B ∴''∥，∵CG AB ∥，，同理可得CG A B ''∥，60ACG BAC ∴∠=∠=︒①当2AC B A CA ''∠'∠=时，()11cm =，故答案为：11．13．(1)①3；②6；(2)③见解析，④6；(3)()ab mb -平方米．【分析】（1）①根据平移性质和网格特点求解即可；②根据网格特点和平行四边形的面积公式求解即可；（2）③根据平移性质和网格特点可画出图形；④根据网格特点，三角形的面积公式和长方形的面积公式求解即可；（3）根据平移性质，可将小路两边的草坪平移，拼凑成一个长()-a m 米，宽为b 米的长方形，再利用长方形的面积公式求解即可．【详解】（1）解：①根据平移性质，线段AB 平移的距离是3AA '=；②根据图形，四边形ABB A ''的面积为:326⨯=；故答案为：①3；②6；（2）解：③如图所示，A B C ''' 即为所求作；④由图形知，3BB '=，2AB =∴多边形ACBB C A '''的面积为:()326ACBB C A ACB ABB A B C A ABB A S S S S S ''''''''''=+-==⨯=，故答案为：6；（3）解：由题意得，将小径右侧平移与左侧拼接成一个长方形，长方形的长()-a m 米，宽为b 米，则剩下的草坪面积是：()a m b ab mb -=-，故答案为：()ab mb -平方米．【点睛】本题考查平移性质的应用、列代数式，熟知网格特点，掌握平移性质是解答的关键．14．C【分析】将地毯分成水平方向与竖直方向的两类，分别求出其面积，然后再相加，即可求出地毯的总面积，最后乘以地毯的价格．【详解】解：地毯在水平面上的面积为()23824m ⨯=，地毯在竖直面上的面积为()()223212m⨯⨯=，所以，地毯的总面积为：()2122436m +=．铺满整个领奖台需要花：36401440⨯=(元)故选：C ．【点睛】本题考查了长方形的面积求法，解题的关键是将地毯的各个小长方形的面积分成水平方向与竖直方向两种情况，然后分别叠加即可．15．36【分析】利用平移的性质得出空白区域为一个矩形，则矩形的长为()251⨯-米，宽为()51-米，根据矩形面积公式计算即可．【详解】解：由平移的性质知，空白区域为一个矩形，则矩形的长为2519⨯-=（米），宽为514-=（米），∴空白区域的面积4936=⨯=（平方米），故答案为：36．【点睛】本题考查平移的性质，解答本题的关键是读懂题意，利用平移把空白区域可以拼成一个矩形．。

《命题、定理、证明》教学详案1.掌握命题、定理的概念,并能分清命题的组成.2.了解证明的意义.通过讨论、探究、交流等形式,使学生在质疑、辩论中获得知识体验.培养学生敢于怀疑、大胆探究的品质.【重点】掌握命题、定理的概念,了解证明的意义.【难点】1.分清命题的组成,能说出一个命题的逆命题.2.掌握推理的方法和步骤.导入一:我们学过一些对某一件事情做出判断的语句,例如:(1)如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行;(2)两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补;(3)对顶角相等;(4)等式两边加同一个数,结果仍是等式.像这样判断一件事情的句子叫做什么呢?通过教材的举例,直接导入本课时的学习.导入二:在直角三角形中,如果一条直角边长为3,另一条直角边长为4,那么这个直角三角形的斜边长是5.这个结论是否正确呢?如果我们说它是正确的,就要拿出相应的依据,或者去证明你的猜想是正确的.要认识这个问题,就需要我们了解一些命题、定理、证明的相关知识.通过学生可能掌握的常识性问题,引出一些结论只靠猜想和验证还是不够的,必须给予科学的证明.(针对导入一)像对顶角相等这样的句子叫什么呢?一、命题的定义定义:判断一件事情的语句,叫做命题.问题:下列语句,哪些是命题?哪些不是?(1)过直线AB外一点P,作AB的垂线;(2)过直线AB外一点P,可以作几条直线与AB平行?(3)经过直线AB外一点P,有且只有一条直线与这条直线平行;(4)若|a|=-a,则a≤0.处理方式:(1)教师总结:(3)(4)这两个句子的共同特征是对一件事情做出判断;(2)指明概念以后,安排学生举例;(3)教师评价和鼓励学生.(补充)判断下列语句是不是命题.(1)两条直线相交有几个交点?(2)相等的角是对顶角;(3)画∠AOB=30°;(4)如果x2=y2,那么x=y.〔解析〕问句一定不是命题,只有对一件事情做出判断的句子才是命题,而与是否正确无关.解:(1)(3)不是命题,(2)(4)是命题.(1)必须是对某件事情作出判断的句子,才能叫命题,反之不能作出判断的句子,不叫命题,这是辨别一个语句是否是命题的根本原则.(2)命题的形式并非全部是语言叙述的形式,也可以用数学符号表示.(3)命题的内容并非全部为数学语言,还有生活中其他方面更广泛的内涵.二、命题的组成命题的形式多种多样,命题是由哪些部分组成的呢?命题由题设和结论两部分组成.题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项.命题常写成“如果……那么……”的形式,这时,“如果”后接的部分是题设,“那么”后接的部分是结论.1.处理方式.教师直接给出命题的组成包括两部分,题设和结论.并向学生解释命题的常见形式,即以“如果……那么……”的形式展现.强调有些命题的形式不明显,需要先将它写成以上形式.2.例题讲解.(补充)指出下列命题的题设和结论.(1)对顶角相等;(2)不相等的两个角不是对顶角.〔解析〕根据题意,适当增减词语,将原命题改写成“如果……那么……”的形式.用“如果”开始的部分即为题设,用“那么”开始的部分即为结论.解:(1)题设:两个角是对顶角.结论:这两个角相等.(2)题设:两个角不相等.结论:这两个角不是对顶角.(1)任何命题都由“题设”和“结论”构成.已知的事项为题设,在命题的前半部分;由已知事项推出的结果是结论,在命题的后半部分.(2)辨别题设和结论时,通常将命题改写为“如果……那么……”的形式,“如果”以后的内容为题设,“那么”以后的内容为结论.改写时需在不改变原意的情况下,适当补充词语,使语句通顺、完整.三、命题的真假凡是命题都是正确或者是错误的吗?1.判断下列命题是否正确.(1)如果两个数互为相反数,那么这两个数的商为-1;(2)如果两个角是邻补角,那么这两个角互补;(3)如果两个数互为相反数,那么这两个数的和为0;(4)如果两个数的商为-1,那么这两个数互为相反数;(5)如果两个数的和为0,那么这两个数互为相反数;(6)如果两个角互补,那么这两个角是邻补角.2.真命题和假命题.如果题设成立,那么结论一定成立,这样的命题叫真命题;有些命题中,题设成立时,不能保证结论一定成立,这样的命题叫做假命题.3.例题讲解.(补充)“相等的角是对顶角”是真命题吗?如果是,说出理由;如果不是,请举出反例.〔解析〕对事情做出判断,若正确,即为真命题,否则,是假命题.若为真命题,可通过讲道理说明,若为假命题,可通过举一反例说明.解:不是真命题,如下图中∠1=∠2,但∠1与∠2不是对顶角.命题的真假是以对事情所作出判断的正确与否来划分的.四、定理和证明命题有真有假,有的命题不是一目了然就能辨出真假,怎么办呢?这就需要我们用推理的方法来加以证明.1.定理.定理与命题的联系,定理属于命题,而且属于真命题.即定理都叫命题,但命题不一定是定理.2.如果是真命题,可以经推理证明其正确性,若判断为假命题,则需举反例说明或用反证法的思想说明.(教材例2)如图所示,已知直线b∥c,a⊥b.求证a⊥c.〔解析〕要证明a⊥c,只需要证明∠2为90°即可.如果能证明∠1=∠2,问题即可解决.证明:因为a⊥b(已知),所以∠1=90°(垂直的定义).又b∥c(已知),所以∠2=∠1(两直线平行,同位角相等).所以∠1=∠2=90°(等量代换),所以a⊥c(垂直的定义).证明的实质是将命题的题设实现为命题的结论,为原因(题设)与结果(结论)架设一座桥梁,不论采取什么方法,只要用已经学过的知识、有理论依据地推出结论就可以,因此证明同一个命题会有多种方法.1.命题的“题设”和“结论”是就命题的结构而言,任何一个命题都包含这两部分,而且“题设在前,结论在后”.对于这两部分不明显的命题,需挖掘隐含的内容,将它写成“如果……那么……”的形式,再辨别.2.命题的“真”“假”是对命题的内容而言的.任何一个命题非真即假.要说明一个命题的正确性,一般需推理、论证,而说明一个命题的错误性只需举出一个反例即可.3.证明中的每一步推理都要有根据,根据可以是已知条件,也可以是学过的定义、基本事实、定理等.1.下列语句中不是命题的是()A.锐角小于钝角B.作角A的平分线C.对顶角不相等D.股票不是人民币解析:根据命题的定义:对一件事情作出判断的语句叫做命题进行解答.“锐角小于钝角,对顶角不相等,股票不是人民币”都对一件事情作出了判断,而“作角A的平分线”描述的是一种行为,没有作出判断,不是命题.故选B.2.下列命题中,正确的是()A.对顶角相等B.同位角相等C.内错角相等D.同旁内角互补解析:对顶角相等,正确;在两平行线被第三条直线所截的条件下,B,C,D才正确.故选A.3.请给假命题“一个正数永远大于它的倒数”举出一个反例:.解析:判断“一个正数永远大于它的倒数”什么情况下不成立,即找出一个正数小于或等于它的倒数即可.答案不唯一.故填,<=2.5.3.2命题、定理、证明1.命题的定义例12.命题的组成例23.命题的真假例34.定理和证明例4一、教材作业【必做题】教材第21页练习第1题;教材第22页练习第1题.【选做题】教材第24页习题5.2第13题.二、课后作业【基础巩固】1.给出下列语句:①两点之间,直线最短;②不许大声讲话;③连A,B两点;④鸟是动物;⑤不相交的两条直线叫做平行线.其中是命题的有 ()A.2个B.3个C.4个D.5个2.下列命题中真命题是()A.同位角相等B.两点之间,线段最短C.相等的角是对顶角D.互补的角是邻补角3.下面各数中,可以用来证明命题“任何偶数都是8的倍数”是假命题的反例是()A.9B.8C.4D.164.说出下列命题的题设和结论.(1)互为邻补角的两个角的平分线互相垂直;(2)钝角大于它的补角.【能力提升】5.下列说法中正确的是()A.两直线被第三条直线所截得的同位角相等B.两直线被第三条直线所截得的同旁内角互补C.两平行线被第三条直线所截得的同位角的平分线互相垂直D.两平行线被第三条直线所截得的同旁内角的平分线互相垂直6.下列说法错误的是()A.所有的命题都是定理B.定理是真命题C.公理是真命题D.“画线段AB=CD”不是命题7.下列选项中,可以用来证明命题“若a2>1,则a>1”是假命题的反例是()A.a=-2B.a=-1C.a=1D.a=28.将下列命题改写成“如果……那么……”的形式.(1)直角都相等;(2)等量代换;(3)末位数是5的整数能被5整除;(4)三角形的内角和是180°.【拓展探究】9.判断下列语句是不是命题,如果是命题,并判断命题是否正确.(1)连接AB;(2)如果两平行线被第三条直线所截,那么内错角相等.10.判断下列命题是真命题还是假命题,如果是假命题,举一个反例.(1)两条直线被第三条直线所截,同位角相等;(2)如果a>b,那么ac>bc;(3)两个锐角的和是钝角.【答案与解析】1.B(解析:判断一件事情的语句是命题,由此可判断出①④⑤是命题.)2.B(解析:根据平行线的性质对A进行判断;根据线段最短的公理对B进行判断;根据对顶角的定义对C进行判断;根据邻补角的定义对D进行判断.A.两直线平行,同位角相等,所以A选项错误;B.两点之间,线段最短,所以B选项正确;C.相等的角不一定是对顶角,所以C选项错误;D.有一条边共线且互补的两个角是邻补角,所以D选项错误.故选B.)3.C(解析:根据偶数与倍数的定义对各选项进行验证即可.A.9不是偶数,故本选项错误;B.8是8的倍数,故本选项错误;C.4是偶数但不是8的倍数,故本选项正确;D.16是8的倍数,故本选项错误.故选C.)4.解:(1)题设:两角互为邻补角,结论:它们的平分线互相垂直. (2)题设:一个角是钝角,结论:这个角大于它的补角.5.D(解析:A.两平行线被第三条直线所截得的同位角相等,原说法错误,故本选项错误;B.两平行线被第三条直线所截得的同旁内角互补,原说法错误,故本选项错误;C.两平行线被第三条直线所截得的同位角的平分线互相平行,原说法错误,故本选项错误;D.两平行线被第三条直线所截得的同旁内角的平分线互相垂直,说法正确,故本选项正确.故选D.)6.A(解析:A.定理是真命题,但假命题不是定理,故错误,本选项符合题意;B.定理是真命题,C.公理是真命题,D.“画线段AB=CD”不是命题,均正确,不符合题意.故选A.)7.A(解析:根据要证明一个结论不成立,可以通过举反例的方法来证明.用来证明命题“若a2>1,则a>1”是假命题的反例可以是a=-2,因为a2>1,但是a=-2<1,所以A正确.故选A.) 8.解:(1)如果几个角是直角,那么它们都相等. (2)如果两个量相等,那么它们可以互相代换. (3)如果一个数的末位数是5,那么它能被5整除. (4)如果一个图形是三角形,那么它的内角和是180°.9.解:(1)“连接AB”不是判断一件事情的语句,所以不是命题. (2)“如果两平行线被第三条直线所截,那么内错角相等”是命题,是正确的命题.10.解:(1)假命题.两直线不平行时不成立,可通过画图说明,图略. (2)假命题.当c≤0时不成立,如3>2,但3×0=2×0. (3)假命题.如α=20°,β=50°,则α+β=70°不是钝角.本课时是学生学习证明的正式开始,理解相关几个概念不是难点,难点是领会证明的基本思路和要领.因此本课时在引导学生准确理解相关定义的基础上,通过较多的例题,给学生做证明问题的示范,突出了课时教学的重点,取得了较好的课堂学习效果.在前面基本定义的教学过程中,老师的讲解过多,出示给学生问题阅读提纲,通过学生交流后老师总结即可.这在一定程度上限制了学生课堂学习的主动性.在课时教学过程中,命题的例子基本都是老师呈现给学生的,可以尝试让学生根据所学知识,按照一定的要求自拟几个命题,这样更有利于理解命题的相关含义.对于为什么要进行证明和证明的意义要加以点拨,对于可以作为证明的依据也要帮助学生归纳和总结一下.练习(教材第21页)1.解:(1)题设:AB⊥CD,垂足为O;结论:∠AOC=90°. (2)题设:∠1=∠2,∠2=∠3;结论:∠1=∠3. (3)题设:两直线平行;结论:同位角相等.2.提示:答案不唯一,如“对顶角相等”“两直线平行,同位角相等”等.练习(教材第22页)1.同旁内角互补,两直线平行两直线平行,同旁内角互补2.解:不是真命题.如图所示,∠1和∠2是同位角,但不相等.习题5.3(教材第22页)1.解:135°.因为转弯后公路方向相同,即平行,而且两次拐弯时的角为内错角,必然相等.2.解:因为AD∥BC,所以∠A+∠B=180°,所以∠B=180°-∠A=120°.因为DC与AB可能平行,也可能不平行,所以∠D的度数不确定.3.解:(1)∠2=110°.两直线平行,内错角相等. (2)∠3=110°.两直线平行,同位角相等.(3)∠4=70°.两直线平行,同旁内角互补.4.解:∠2=80°,∠3=110°,∠4=110°.理由如下:因为a∥b,所以∠2=∠1=80°.因为a∥b,所以∠3+∠5=180°,所以∠3=180°-∠5=110°.因为a∥b,所以∠4=∠3=110°.5.解:应以60°铺设.因为两直线平行,同旁内角互补.6.内错角相等,两直线平行两直线平行,内错角相等7.(1)C(2)C(解析:(1)两直线平行,内错角相等.(2)两直线平行,同旁内角互补.)8.解:∠3=∠1=45°,∠4=∠2=122°,∠5=180°-∠2=58°,∠6=180°-∠4=58°,∠7=180°-∠1=135°,∠8=180°-∠3=135°.9.解:(1)因为∠1=∠2,且∠1和∠2为内错角,所以AB∥EF. (2)因为DE∥BC,∠1和∠B为同位角,∠3和∠C为同位角,所以∠1=∠B,∠3=∠C.12.解:(1)假命题.30°与60°和为直角;70°与80°和为钝角. (2)真命题. (3)假命题.如三角形中任意两角均互为同旁内角,但它们不互补. 13.解:(1)∠C 两直线平行,内错角相等两直线平行,同旁内角互补(2)∠A'B'C' 角平分线定义等量代换14.解:(1)∠DAB=∠B=44°,两直线平行,内错角相等. (2)∠EAC=∠C=57°,两直线平行,内错角相等. (3)∠BAC=180°-∠DAB-∠EAC=79°.通过此题可知∠B+∠C+∠BAC=∠DAB+∠EAC+∠BAC=180°.15.解:因为镜子是平行的,所以∠2=∠3(两镜子被竖直光线所截).又因为∠1=∠2,∠3=∠4,所以∠5=∠6,所以进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的(内错角相等,两直线平行).求证:如果两条平行线被第三条直线所截,那么同旁内角的平分线互相垂直.〔解析〕首先应读懂题意,画出相应的图形,并写出已知、求证,然后再考虑找出证明的途径.已知AB∥CD,EF交AB于点E,交CD于点F,EM平分∠BEF,FN平分∠EFD,FN交EM于点O,如图所示.求证EM⊥FN.人教版数学七年级下册-打印版证明:因为AB∥CD,所以∠BEF+∠EFD=180°.因为EM平分∠BEF,FN平分∠EFD,所以∠MEF=∠BEF,∠NFE=∠EFD,所以∠MEF+∠NFE=90°,所以∠EOF=90°,所以EM⊥FN.如图所示,已知AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于M,N,MP平分∠EMB,NQ平分∠MND,那么MP∥NQ,为什么?〔解析〕本题考查平行线的性质与判定,要说明平行,可寻找满足条件的同位角、内错角、同旁内角的关系,可由条件AB∥CD及角平分线的定义得到平行.解:因为AB∥CD(已知),所以∠EMB=∠MND(两直线平行,同位角相等).因为MP平分∠EMB,NQ平分∠MND(已知),所以∠EMP=∠EMB,∠MNQ=∠MND(角平分线定义),所以∠EMP=∠MNQ(等量代换),所以MP∥NQ(同位角相等,两直线平行).两平行线被第三条直线所截而成的同位角平分线,内错角平分线均互相平行,同旁内角平分线互相垂直.。

人教版七年级数学下册5.3.2《命题、定理、证明》教学设计一. 教材分析《命题、定理、证明》是人教版七年级数学下册第五章第三节的内容，主要介绍了命题、定理和证明的概念。

这部分内容是学生学习几何证明的基础，对于培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力具有重要意义。

本节课的内容主要包括命题的定义、分类及定理的概念，以及证明的方法。

二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力，对于基本的几何概念和性质有一定的了解。

但是，学生在证明方面的知识和能力还有待提高，因此，在教学过程中需要注重引导学生理解和掌握证明的方法和技巧。

三. 教学目标1.理解命题、定理和证明的概念，能够区分它们之间的联系和区别。

2.学会用几何语言表达命题和定理。

3.掌握证明的方法和技巧，能够运用所学的知识解决一些简单的几何问题。

四. 教学重难点1.重点：命题、定理和证明的概念及它们之间的联系和区别。

2.难点：证明的方法和技巧，以及如何运用所学的知识解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过自主学习、合作探究的方式掌握命题、定理和证明的概念。

2.利用几何图形和实例，帮助学生直观地理解命题、定理和证明的联系和区别。

3.通过练习和案例分析，培养学生的证明能力和解决实际问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关的几何图形和实例，用于讲解和展示。

2.准备一些练习题和案例，用于巩固和拓展所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个简单的几何问题引入命题、定理和证明的概念，激发学生的兴趣。

2.呈现（10分钟）讲解命题、定理和证明的定义及它们之间的联系和区别。

通过几何图形和实例，让学生直观地理解这些概念。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，分析一些给定的几何问题，尝试运用所学的命题、定理和证明方法解决问题。

教师巡回指导，解答学生的问题。

4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些相关的练习题，巩固对命题、定理和证明的理解。

人教版数学七年级下册教案5.3.2《命题、定理、证明》一. 教材分析《命题、定理、证明》是人教版数学七年级下册的教学内容，这部分内容是学生学习几何初步知识的重要环节。

通过学习命题、定理和证明，使学生了解几何学的基本概念和逻辑推理方法，培养学生空间想象能力和思维能力。

本节课的内容在教材中起到了承前启后的作用，为后续几何知识的学习打下基础。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了平面几何的基本概念，具备了一定的逻辑推理能力。

但部分学生对抽象的命题、定理和证明的概念理解起来较为困难，需要通过具体例子来帮助学生理解和掌握。

三. 教学目标1.了解命题、定理、证明的概念，理解它们之间的关系。

2.学会用逻辑推理的方法证明几何命题。

3.培养学生的空间想象能力和思维能力。

四. 教学重难点1.教学重点：命题、定理、证明的概念及逻辑推理方法。

2.教学难点：理解命题、定理、证明之间的关系，运用逻辑推理证明几何命题。

五. 教学方法采用情境教学法、启发式教学法和小组合作学习法。

通过具体例子引入概念，引导学生主动探究、合作交流，培养学生的逻辑推理能力。

六. 教学准备1.教学PPT课件。

2.相关例题及练习题。

3.几何画图工具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT课件展示生活中的一些几何现象，引导学生思考这些现象背后的几何规律。

通过观察和讨论，让学生感受到几何学的魅力，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）介绍命题、定理、证明的概念，并通过PPT课件展示相关例题。

让学生直观地了解命题、定理、证明之间的关系，帮助学生建立基本概念。

3.操练（15分钟）让学生分组讨论，选取一些简单的几何命题，尝试用逻辑推理的方法进行证明。

教师巡回指导，解答学生疑问，帮助学生掌握证明的方法。

4.巩固（10分钟）出示一些有关命题、定理、证明的练习题，让学生独立完成。

教师及时批改、讲解，巩固学生所学知识。

5.拓展（10分钟）引导学生思考：如何判断一个命题是真命题还是假命题？让学生通过举例、分析，掌握判断命题真假的方法。

七年级下册数学命题定理证明
七年级下册数学内容通常包括几何、代数、统计和概率等方面的知识。

命题证明是数学中重要的推理和证明方法之一，可以帮助学生深入理解数学定理和原理。

以下是七年级下册可能涉及的数学命题定理和其证明方法的一些示例：
1.平行线的性质：
o定理1：同位角相等定理。

o定理2：同旁内角相等定理。

o定理3：平行线上的转角定理。

这些定理可以通过欧几里得几何的基础命题、共线线段角性质和平行线性质进行证明。

证明可以基于共线线段上的平行线性质，利用转角相等定理等。

2.三角形的性质：
o定理1：三角形内角和定理。

o定理2：三角形外角和定理。

o定理3：三角形外接圆定理。

这些定理可以通过三角形内角和定理的证明，应用角的补角、共补角和对应角等概念来推导。

3.图形的性质：
o定理1：相等线段的等分线是平行线定理。

o定理2：四边形对角线的性质。

o定理3：平行四边形的性质。

这些定理可以通过直线平行定理、共线线段上的平行线性质和对角线性质进行证明。

在证明数学命题时，可以运用基础的几何原理（如直线平行定理、三角形内角和定理等）、共线线段上的平行线性质、相等线段的等分线定理、代数运算等。

证明中需要使用严密的逻辑推理和严谨的符号表达，结合几何图形进行说明。