一种新型混沌系统的分析及电路实现

一个新四维自治超混沌系统及其电路实现唐良瑞　李　静　樊　冰(华北电力大学电气与电子工程学院,北京　102206)(2008年8月5日收到;2008年11月11日收到修改稿) 提出了一个新的四维超混沌系统,并对该系统的基本动力学特性进行了深入研究,得到该系统的LE ,LE 维数,给出了P oincare 映射图、LE 谱、分岔图以及时域图和相图.利用Mutisim 软件设计了该新混沌系统的振荡电路并进行了仿真实验.经过数值仿真和电路系统仿真证实该系统与以往发现的混沌吸引子并不拓扑等价,属于新的混沌系统.关键词:超混沌系统,Lyapunov 指数,P oincare 截面图,电路实现PACC :0545E 2mail :tangliangrui @11引言自Lorenz 于1963年在数值实验中偶然发现第一个混沌吸引子以来,Lorenz 系统作为第一个混沌的物理和数学模型,成为后人研究混沌理论的出发点和基石[1,2].近年来,国内外许多学者对混沌的特性进行了深入地分析和研究,发现了许多新的混沌系统,较为知名的系统如Chen 系统[3]、L ü系统[4,5]、Liu 系统[6]和Qi 系统[7].现在混沌动力学正由数学和物理的基础理论研究逐步过渡到实际的工程应用领域,并得到了很大发展.例如混沌理论可用在保密通信、图像加密等数字信息领域[8—10],因而混沌动力学具有广泛的应用前景.三维混沌系统都有个共同点就是结构较为简单,在物理上实现容易.但是这样的混沌系统用于数字信息加密工程领域的效果不是很好,这主要是由于三维混沌系统的带宽相对较窄,容易导致混沌序列被数字滤波器给滤掉,失去加密的意义.而对于一个超混沌系统或者高频混沌系统而言,其产生的混沌序列信号有比较宽的带宽,不容易被数字滤波器过滤,这对于数字加密领域有非常重要的研究意义.因此,超混沌系统是非线性动力学一个重要的研究方向.本文提出了一个新的四维混沌系统.该系统含有8个参数,其中三个方程中各含有一个非线性乘积项.通过理论分析、数值仿真、LE (Lyapunov 指数)、LE 维数、P oincare 映射图、LE 谱以及分岔图研究了该系统的基本动力学特性,设计了该混沌系统的硬件电路,并进行了仿真实现,证实了该系统的可实现性.21新超混沌系统的基本分析2111新超混沌系统模型 本文提出的新超混沌系统的数学模型为x ・=-ax +by ;y ・=cx -xz -dy -u ;z ・=xy -ez -f x +gu ;u ・=h (yz -u ).(1)式中,a ,b ,c ,d ,e ,f ,g ,h 是实常数.当参数a =2015,b =6818,c =42,d =016,e =4,f =415,g =5,h =018时,系统存在一个典型的混沌吸引子.2121理论分析212111耗散性和吸引子的存在性由于ΔV =9x ・9x +9y ・9z +9z ・9z +9u ・9u=-a -d -e -h ,(2)当a +d +e +h >0时,则系统(1)是耗散的,且以指第58卷第3期2009年3月100023290Π2009Π58(03)Π1446210物　理　学　报ACT A PHY SIC A SI NIC AV ol.58,N o.3,March ,2009ν2009Chin.Phys.S oc.数形式收敛:d Vd t=e-(a+d+e+h),(3)即体积元V0在时刻t时收缩为体积元V0e-(a+d+e+h)t,这意味着,当t→∞时,包含系统轨迹的每个体积元以指数率-(a+d+e+h)收缩到零.因此,所有系统轨迹线最终会被限制在一个体积为零的集合上,且它渐进运动固定在一个吸引子上. 212121平衡点及稳定性系统(1)存在三个非线性项,状态变量分别为x,y,z,u.为了求解系统(1)的平衡点,令参数为a =2015,b=6818,c=42,d=016,e=4,f=415,g= 5,h=018,并且方程组为-ax+by=0;cx-xz-dy-u=0;xy-ez-fx+gu=0;h(yz-u)=0.(4)求解(4)式可得到系统三个平衡点为s0(0,0,0,0);s1(219,0186,32122,27188);s2(-148190,-44137,32122,-1429158). 在平衡点s(0,0,0,0),对系统(1)进行线性化得其Jacobian矩阵为J0=-a b00 c-z d-x-1 y-f x-e g 0hz hy-h=-201568180042-0160-1-4150-45 000-018. 为了求平衡点s(0,0,0,0)相应的特征根,令det(J0-λI)=0,得到相应的特征根λ1=-410,λ2=4411181,λ3= -6512181,λ4=-018.这里四个特征根都是实根,但是不全为负实根.根据R outh2Hurwitz条件[11],可得平衡点s0是不稳定的鞍点.在平衡点s1(219,0186,32122,27188),采用同样的方法可求得相应的特征根λ1=-3815266,λ2= 1711337,λ3=-212535+311427i,λ4=-212535-311427i.其中λ1为负实根,λ2为正实根,λ3与λ4是负实部的共轭复根.因此,平衡点s1是一个不稳定的鞍点.通过同样的计算方法可得在平衡点s2(-148190,-44137,32122,-1429158)相应的特征根为λ′1=15814476,λ′2=-13914219,λ′3=4410970,λ′4= -018287.这里四个特征根都为实根,但是不全为负实根,所以根据R outh2Hurwitz条件知,平衡点s2是不稳定的鞍点.从上述分析可知,系统(1)的三个平衡点都是不稳定的鞍点.从理论上证明了该系统有存在超混沌特性的可能性.2131混沌吸引子 系统(1)参数为a=2015,b=6818,c=42,d= 016,e=4,f=415,g=5,h=018时,存在一个典型的混沌吸引子.本文采用了四阶龙格2库塔离散化算法,得到混沌吸引子相图如图1所示.相图中其轨线在特定的吸引域内具有遍历性.这个混沌的奇怪吸引子与Lorenz系统形状完全不同,并且与Qi系统[12] (该系统有九个平衡点)吸引子不同.本文提出的这个新系统仅存在三个平衡点,因此其拓扑结构与其他系统的拓扑结构完全不同.系统(1)的时域波形具有非周期性,解的流对初始值极为敏感,它的时域波形如图2所示.而它的频谱都是连续谱,其频谱图如图3所示.计算的频谱均被单位标准化,大于单位谱的1Π10频谱范围作为该信号的频谱带宽,这是由于幅值相对较低的频谱的信号对加密意义很小,可以通过滤波等简单方法提取信息.从图3可以看出,Lorenz系统x变量的频谱带宽大约在0—3H z,本文提出的新系统x变量的频谱带宽大约在0—32H z,是Lorenz系统信号带宽的11倍左右.所以新混沌系统的混沌吸引子具有非常宽的频谱,对保密通信、流体混合等基于混沌的实际应用具有重要价值.2141Lyapunov指数和Lyapunov维数 混沌吸引子的相邻轨线之间呈现出彼此排斥的趋势,并以指数速率相互分离,而Lyapunov指数(LE)是定量描述轨线彼此排斥和吸引的量.特别是系统的最大LE,是判断混沌系统的重要特征.计算最大LE的方法很多,如最小数据量法,W olf法, Jacobian法等.本文利用奇异值分解[13]的方法计算出系统(1)的四个LE为LE1=418444,LE2=112642, LE3=-111176,LE4=-2212627,其最大LE比Qi系统的最大LE要大(LE1=313152)[12],说明系统(1)比74413期唐良瑞等:一个新四维自治超混沌系统及其电路实现图1　新混沌系统的奇怪吸引子图　(a )x 2y 2z 平面奇怪吸引子;(b )x 2y 平面奇怪吸引子;(c )x 2z 平面奇怪吸引子;(d )y 2u 平面奇怪吸引子图2　新系统的四个序列时域波形图8441物 理 学 报58卷图3　新系统的功率谱图　(a)x序列的功率谱图;(b)y序列的功率谱图Qi系统运动轨迹更加复杂.并且该系统具有两个正的LE,具有超混沌的特征,系统的动态行为更加难以预测.新混沌系统的LE维数为D L=j+1|LE j+1|6ji=1LE i=3+(LE1+LE2+LE3)|LE4|=3+(418444+112642-111176)|-2212627|=312242.(5) 由此可见,这个新系统的LE维数是分数维数,从而验证了该系统为混沌系统.2151Poincare截面图 为了利于观察系统的动力学行为,P oincare截面的选取要恰当,此截面不能包含系统的轨线,也不能与轨线相切.在给定的某组参数下,本文选取了相空间中穿过某一个平衡点的平面作为P oincare截面,然后观察P oincare截面上截点的情况,由此判断这组固定参数下系统的运动是否为混沌[14].在固定参数a=2015,b=6818,c=42,d=016, e=4,f=415,g=5,h=018时,系统存在两个大于零的LE指数,可知系统处于超混沌状态,图4是此时系统在几个截面上的P oincare映像图.由图4可以看出,P oincare截面上有一些成片的具有分形结构的密集点,吸引子的叶片清晰可见,进一步说明了此时系统的运动是混沌的.2161系统参数的影响 随着系统参数的改变,系统平衡点的稳定性将会发生变化,从而系统也将处于不同的状态.从系统的LE谱和分岔图可很直观的分析出各个参数变化时,系统的变化情况.利用LE谱分析时,对于平衡点系统有LE4< LE3<LE2<LE1<0;对于周期轨有LE1=0,LE4<LE3 <LE2<0;对于拟周期轨有LE1=LE2=0,LE4<LE3 <0;对于混沌状态有LE1>0,LE2≤0,LE4<LE3<0, LE1+LE3+LE4<0;对于超混沌状态则有LE1>LE2 >0,LE3≤0,LE4<0,LE1+LE2+LE3+LE4<0.1)固定参数b=6818,c=42,d=016,e=4,f= 415,g=5,h=018,改变a,a∈[0,22].当a∈[0,22]变化时,系统的LE谱以及关于x 的分岔图如图5所示.由图5(a)可见,随着a的变化,系统的LE在变化,系统状态也在发生改变.当a ∈[0,2]时,系统的LE都小于0,系统中都是平衡点,当a∈[2,12],系统只有一个正的LE,表明随着a的增加系统由平衡态演化到混沌状态;当a∈[12,22]时,系统存在两个正的LE,显然系统处于超混沌状态,表明系统随着a的变化由混沌状态演化到超混沌状态.2)固定参数a=2015,c=42,d=016,e=4,f= 415,g=5,h=018,改变b,b∈[30,70].当b∈[30,70]时,系统的LE谱以及关于x的分岔图如图6所示.从图6(a)中可知,当b∈[30, 48]时,系统存在两个正的LE,显然系统处于超混沌状态;当b∈[48,50]时,系统仅存在一个正的LE,系统由超混沌状态演化为混沌状态;当b∈[50,70],系统存在两个正的LE,系统又由混沌状态演变为超混沌状态.由此可见当b∈[30,70]时,系统的状态在混沌状态与超混沌状态之间相互转变.3)固定参数a=2015,b=6818,d=016,e=4,f94413期唐良瑞等:一个新四维自治超混沌系统及其电路实现=415,g =5,h =8,改变c ,c ∈[0,45].当c ∈[0,45]时,系统的LE 谱以及关于x 的分岔图如图7所示.从图7(a )中可知,当c ∈[0,3],系统的所有的LE 都小于0,所以此时系统中都是平衡点;当c ∈[3,12]和c ∈[15,25]时,系统仅有一个正的LE ,系统处于混沌状态;当c ∈[12,15]和c ∈[25,45]时,系统存在两个正的LE ,系统由混沌态演化为超混沌状态.由于本系统参数比较多,鉴于篇幅有限在文中只详细分析其中的三个参数变化时,系统状态的变化情况,其他参数只给出结论,如表1所示.图4　新系统的P oincare 映射图　(a )x =0;(b )y =0;(c )z =80;(d )u =图5　a 变化时新系统的LE 谱图以及关于x 的分岔图　(a )LE 谱图;(b )关于x 的分岔图0541物 理 学 报58卷图6　b 变化时新系统的LE 谱图以及关于x 的分岔图　(a )LE 谱图;(b )关于x的分岔图图7　c 变化时新系统的LE 谱图以及关于x 的分岔图　(a )LE 谱图;(b )关于x 的分岔图表1　新系统的状态变化情况参数变化范围平衡点周期态拟周期态混沌状态超混沌状态d [0,1]无无无无[0,1]e [0,5]无无无[0,113](113,5]f [0,5]无无无f =017,f ∈[1127,113][0,017)(017,1127)(113,5]g [0,6]无无无[0,213](213,6]h[0,1]无无无无[0,1]31新系统的振荡电路设计与实现 混沌系统的最直接最简单的物理实现是通过电路来完成的,许多混沌系统的动力学行为都是通过电路得到了验证[15].同样这个四维混沌系统也可以通过电路来实现.由于直接根据系统微分方程设计的电路很难正常运行,为此有必要对原方程作一些适当地变换,这样做的目的有两方面:一是通过线性缩放,使得状态变量的变化范围在集成电路允许的工作的电压范围内;二是简化电路设计,尽量减少元件和集成电路.本文采用线性电阻、线性电容、运算放大器(LM741)、模拟乘法器(AD633)来设计实现系统(1)的电路.利用Multisim 软件设计的电路如图8所示,其中运算放大器是用来进行电路的加减运算,模拟乘法器则用来实现系统中的非线性项.为了有效的进行电路实验,把混沌信号的输出电平调小为原来15413期唐良瑞等:一个新四维自治超混沌系统及其电路实现的1Π200,设m =200x ,v =200y ,w =200z ,n =200u .(6) 又由于系统变量的变换,不影响系统的状态及性能,从而在令x =m ,y =v ,z =w ,u =n ,(7)则(1)式可变为x ・=-ax +by ;y ・=cx -200xz -dy -u ;z ・=200xy -ez -f x -gu ;u ・=h (200yz -u ).(8)图8　电路原理图根据电路理论以及各个元件的特性,得其电路方程为x ・=-R 2R 21R 1C 1x +R 2R 3R 2C 1y ;y ・=R 7R 22R 6C 2x -R 7R 8R 6C 2200xz-R 7R 23R 6C 2y -R 7R 24R 6C 2u ;z ・=R 12R 13R 11C 3200xy -R 12R 26R 11C 3z-R 12R 25R 11C 3x -R 12R 27R 11C 3u ;u ・=R 17R 18R 16C 4200yz -R 17R 28R 16C 4u .(9)2541物 理 学 报58卷(11)式与(12)式相比较,可得a =R 2R 21R 1C 1;b =R 2R 3R 1C 1;c =R 7R 22R 6C 2;d =R 7R 23R 6C 2;e =R 12R 26R 11C 3;f =R 12R 25R 11C 3;g =R 12R 27R 11C 3;h =R 12R 18R 16C 4=R 12R 28R 16C 4. 当电路中的各元器件值如图8中所示时,利用示波器得到系统(1)各序列的时域图,如图9.利用示波器也可以看到混沌吸引子的相图,如图10所示.与数值仿真图基本相同,但有一定的区别,这是因为电路实验所的相图是从时间t =0开始绘制的,而数值仿真是截取了混沌序列后14000个数据绘制而成,取消了最开始的1000个数据.所以该混沌系统的仿真实验和实际电路实验应该是基本符合的.从而说明该混沌系统可以通过电路产生,具有很大的实用性.通过上述理论分析和仿真实验证实,本文提出的非线性系统是一个新的混沌系统,它具有一切混沌系统的共有特征:确定性、有界性、对初值的极端敏感性、长期不可预测性、正的最大Lyapunov 指数、一定频率范围内的连续谱和遍历性等.图9　系统(1)部分序列的时序图;(a )x 时序图;(b )y 时序图35413期唐良瑞等:一个新四维自治超混沌系统及其电路实现图10　系统(1)的电路实验相图　(a)x2y平面;(b)x2z平面;(c)y2z平面;(d)x2u平面4541物 理 学 报58卷41结论通过以上理论分析和计算机仿真,可以得出以下结论:11本文提出的超混沌系统的数学模型拓扑结构简单,仅具有三个平衡点.21这个新的混沌系统存在着复杂的混沌动力学行为,它具有一切混沌系统的共有特征.31这个新的超混沌系统可以用电子振荡电路来实现.它在电子测量、保密通信、数字图像加密等领域中具有潜在的应用价值.如何控制这个系统以及深入研究系统的动力学行为是作者今后将要进行的工作.[1]Lorenz E N 1963J .Atmos .Sci .20130[2]Lorenz E N 1993The E ssence o f Chaos (W ashington :University of W ashington Press )[3]Celikovsky S ,Chen G R 2002Int .J .Bifurc .Chaos 121789[4]Lu J H ,Chen G R 2002Int .J .Bifurc .Chaos 12659[5]Chen G R ,Lu J H 2003Dynamics o f the Lorenz System Family :Analysis ,Control ,and Synchronization (Beijing :Science Press )(inChinese )[陈关荣、吕金虎2003Lorenz 系统族的动力学分、控制与同步(北京:科学出版社)][6]Liu C X ,Liu L ,Liu K 2004Chaos Solitons Frac .221031[7]Qi G Y,Du S ,Chen G R ,Chen Z ,Y uan Z 2005Chaos SolitonsFrac .231671[8]Li W ,Hao J H ,Qi B 2008Acta .Phys .Sin .571398(in Chinese )[李　伟、郝建红、祁　兵2008物理学报571398][9]X ie K,Lei M ,Feng Zh J 2005Acta Phys .Sin .541267(in Chinese )[谢　鲲、雷　敏、冯正进2005物理学报541267][10]Hua C C ,G uan X P 2004Chin .Phys .131441[11]Liu Z H 2006Fundamentals 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the new system are investigated via theoretical analysis ,numerical simulation ,Lyapunov exponent ,Lyapunov dimension and P oincare diagrams.Finally the chaotic circuit is designed and realized by the Multisim software.It con firms that the chaotic system is different from the exisiting chaotic systems and is a new hyperchaotic system.K eyw ords :hyperchaotic system ,Lyapunov exponent ,P oincare diagrams ,circuit realization PACC :0545E 2mail :tangliangrui @55413期唐良瑞等:一个新四维自治超混沌系统及其电路实现。

一个新型指数混沌系统的设计与电路实现薛华【摘要】为了提高混沌系统的复杂性，用自然乘积指数函数替代一个3阶混沌系统中的非线性乘积项构造一个新型混沌系统。

分析该系统的耗散性、平衡点、稳定性、Laypunov指数、分岔图等基本动力学特性。

设计该混沌系统的硬件电路，并进行实验验证，电路实验结果和数值仿真一致。

该新型混沌系统通过了 NIST 标准测试，可作为随机信号源产生更为复杂、随机性更好的伪随机序列。

%In order to improve complexity of chaos,a novel chaotic system was constructed by replacing the nonlinear product term in the continuous three-dimensional chaotic system with a natural exponential function. Some basic properties of this chaotic system, including dissipativity,equilibriumpoint,stability,Lyapunov exponent spectrum,bifurcation,were analyzed in detail.Moreover,a hardware circuit of this chaotic system was designed and confirmed by experiment.Circuit experimental results were in accordance with experimental results.The novel chaotic system accorded with the test of NIST standard basically,and could be a random signal source to generate good pseudo-random sequences with more complex and better randomness.【期刊名称】《安徽大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(000)006【总页数】7页(P66-72)【关键词】混沌系统;动力学特性;电路实现;指数函数【作者】薛华【作者单位】滨州学院光电工程系，山东滨州 256603【正文语种】中文【中图分类】TN914.42混沌可作为随机信号源用以产生保密通信中所需的伪随机序列.为了提高混沌伪随机序列的复杂性，近年来各种新型的混沌系统不断被提出，如超混沌系统［1－2］、分数阶混沌系统［3－4］、基于记忆电阻的混沌系统［5－6］、恒lyapunov指数混沌系统［7］等.非线性是系统产生混沌的必要条件之一，从某种意义上说非线性的强弱决定了混沌系统本身及其混沌吸引子的复杂性.迄今混沌系统中采用的非线性函数除乘积函数外，还有分段线性、绝对值及正弦等函数［8－10］.指数函数本身是一个非线性函数，如果把其指数变量用两个或两个以上的变量的乘积来表示，其将是一个强非线性项.另外，指数函数常作为人口成长模型，而PN结的数学模型也是一个自然指数函数.因此，如果自然指数函数能够构成混沌系统，其在实际应用中将比乘积项更有价值.但目前此类研究较少，因此作者拟提出用自然指数函数替代一个非线性乘积项来构建一种新型混沌系统，研究该系统的复杂动力学特性，同时还设计该混沌系统的硬件电路，通过数值仿真和电路实验验证该系统的混沌特性.1 混沌模型构造的新混沌系统为其中：a，b，c∈R＋ .令其中系统的5个平衡点为通过分析可知，当系统参数a，b，c∈R＋，x2 和y2 为复数时，只有S0，S1，S2 为系统的平衡点.当a＝10，b＝3，c＝4时，系统（1）存在一个混沌吸引子，如图1所示.图1 系统（1）的混沌吸引子相图Fig.1 The chaotic attractor phase diagramof system（1）2 基本动力学特性2.1 系统的耗散性系统（1）的散度为当a＝10，b＝3，c＝4，－（a＋b－c）＜0时，系统为耗散系统，该系统按照如下指数速率收敛系统被限制在一个体积为0的点集上，其渐进动力学行为被限制在一个吸引子上，说明该系统存在着吸引子.2.2 平衡点及稳定性先求系统（1）的平衡态（定常状态解），令，有当a＝10，b＝3，c＝4时，系统的3个平衡点为在S0处将方程线性化，可得Jacobian矩阵由其特征方程为｜J｜－λI＝0，得在S0处，当a＝10，b＝3，c＝4时，系统（1）的特征根为为使系统（1）产生混沌，特征方程的特征根要至少有一项大于零.当a＝3，b＝4，c＝10时，系统（1）的特征方程特征根λ2＝3.675 0＞0，由此可知平衡点S0不稳定.在平衡点S1，S2处将方程线性化，得到二者相同的特征多项式当a＝10，b＝3，c＝4时，线性化系统在S1，S2处的Jacobian矩阵具有相同的特征值且满足Shil Nikov定理，则系统（1）能产生混沌的鞍焦点.2.3 Lyapunov指数和分岔图为了研究参数变化对系统动力学特性的影响，固定参数a＝10，c＝4，使参数b在［0，6］这个区间内变化，Lyapunov指数随b变化的指数图谱和变量x随b变化的分岔图如图2～3所示.图2 Lyapunov指数谱Fig.2 Lyapunov index spectrum图3 分岔图Fig.3 Bifurcation diagram从图2可以看出，当a＝10，b＝1，c＝4时，LE1＝0，LE2＝LE3＜0，系统（1）处于周期状态.当b∈［2.3，3.2］，［3.5，6］，LE1＞0，LE2＝0，LE3＜0时，系统处于混沌状态，通过数值仿真可得到混沌吸引子相图（见图1）.3 混沌系统的电路设计与实现为了验证系统的混沌行为，基于模拟电子电路的设计原理，设计出了如图4所示的混沌电路［11］.该电路可实现加、减、反相、积分、指数运算，电路中的乘法器（AD633）可实现非线性乘积项，乘法器的增益为0.1［12］.图4 系统（1）的混沌电路Fig.4 Chaotic circuit of system（1）图4所示电路的状态方程为设R4＝R11＝R17＝R，C1＝C2＝C3＝C.作线性变换和时间线性变换得将上式改写为当a＝10，b＝3，c＝4时，将式（1）与（10）比对，得到令可解得根据图4所示的电路搭建硬件电路，通过示波器观察到的混沌吸引子如图5所示，此实验结果和Matlab仿真结果相同.图5 示波器中观测到的混沌吸引子相图Fig.5 The chaotic attractor phase diagram that is observed in oscillograph4 指数混沌序列随机性测试为了了解指数混沌系统所产生的伪随机序列的随机性，采用NIST测试标准和安装在Linux系统下的STS－2.0软件包对其进行随机性测试.根据测试要求，利用该文提出的指数混沌系统生成了109 bit的2进制序列，并将其分成1 000组进行测试，测试结果如表1所示.表1 指数混沌伪随机序列测试结果Tab.1 Test results of the index chaotic pseudo－random sequence测试项 P－VALUE值 PROPORTION 通过率0.800 005 0.989 0块内频率测试 0.915 317 0.990 0游程测试 0.431 754 0.988 0最长游程测试 0.034 031 0.991 0累积和测试 0.832 561 0.987 0二进制矩阵阶测试 0.657 933 0.987 0傅里叶变换测试 0.000 000 1.000 0非重叠模式匹配测试0.854 708 0.985 0重叠模块匹配测试 0.262 249 0.988 0通用统计测试 0.516 113 1.000 0近似熵测试 0.000 156 0.946 0随机偏离测试 0.002 043 1.000 0随机偏离变量测试 0.000 430 1 1.000 0串行测试 0.361 938 0.995 0线性复杂度测试频率测试0.010 252 6 0.980 0根据P－VALUE值计算公式可得，若P－VALUE≥0.000 1，则可认为被测试序列P－VALUE值是均匀分布的.观察表1中15项测试的P－VALUE值，除了傅里叶变换测试项外，其余14项都满足判定要求，在测试中表现为均匀分布.根据通过率可信区间的计算公式可知，当PROPORTION通过率的值落在（0.980 560 8，0.999 439 2）区间内时，就表明序列能通过此测试项.由表1中数据可知，只有一项测试的通过率落在可信区间外，其余14项测试全部通过.值得注意的是，虽然测试项在P－VALUE值和PROPORTION通过率中各有一项未通过，但一般情况下表1中前4项（基本测试项）通过即表明序列有良好的随机特性［13］，该测试中4个基本项在均匀分布和通过率方面都通过了测试，说明指数混沌有着良好的随机特性.5 结束语作者提出了一个新型的混沌系统，用指数函数替代原方程中的非线性项，该系统有复杂的动力学特性，理论上的动力学分析、数值仿真及实验都证明了系统具有混沌性，所设计的硬件电路选用的是反相输入运算放大器，使硬件电路的参数调节方便.指数运算电路是通过一个二极管实现，电路简单可行.该混沌系统通过了NIST测试，表明其有着良好的随机特性，因此可作为混沌信号源应用于混沌保密系统和混沌雷达系统之中.参考文献：［1］Lorenz E N.Deterministic non－perodic flows［J］.Atoms Sci，1963，20：130－136.［2］Chen G，Ueta T.Yet another chaotic attractor［J］.International Journal of Bifurcation and Chaos，1999，9（7）：1465－1466.［3］蔡国梁，谭振梅，周维怀，等.一个新的混沌系统的动力学分析及混沌控制［J］.物理学报，2007，56（11）：6230－6237.［4］禹思敏.混沌系统与混沌电路－原理、设计及其在通信中的应用［M］.西安：西安电子科技大学出版社，2011：22.［5］周小勇.一个新混沌系统及其电路仿真［J］.物理学报，2012，61（3）：030504.［6］Wang G Y，Bao X L，Wang Z L.Design and FPGA implementation ofa new hyperchaotic system［J］.Chinese Physics B，2008，17（10）：3596－3602.［7］Wang G Y，Qiu S S，Li H W，et al，A new chaotic system and itscircuit realization［J］.Chinese Physics，2006，15（12）：2872－2977. ［8］Stojanovski T，Kocarev L.Chaos－based random number generators－part I：analysis［J］.IEEE Trans Circuits Systems I，2001，48（3）：281－288.［9］Stojanovski T，Pihl J，Kocarev L.Chaos－based random number generators－part II：practical realization［J］.IEEE Trans Circuits Systems I，2001，48（3）：382－385.［10］Ding Q，Pang J，Fang J，et al.Designing of chaotic system output sequence circuit based on FPGA and its applications in network encryption card［J］.Int J of Innovative Computing，Information and Control，2007，3（2）：449－456.［11］王光义，丘水生，等.一个新的三维二次混沌系统及其电路实现［J］.物理学报，2006，55（7）：3295－3301.［12］韩春艳，薛华，吴新华.一个新的混沌模型及其数字伪随机信号的实现［J］.河北师范大学学报：自然科学版，2010，34（2）：165－169.［13］Yalcin M E，Suykens J A K，Vandewalle J.True random bit generation from a double－scroll attractor［J］.TEEE Trans Cir Syst I，2004，51：1395－1404.。

• 188•本文研究动力学特性更为复杂的新三维混沌系统。

首先利用数值建模分析了三维混沌系统的基本动力学特性，然后搭建新混沌系统硬件电路，通过Multisim软件进行硬件电路仿真模拟，最后验证了系统的物理可行性，结果表明仿真实验与理论分析结论吻合。

1963年MIT(Massachusetts Institute of Technology)气象学家Loren 发现已确定的三阶微分方程具有不规则的解，提出了“蝴蝶效应”理论，开启了研究混沌现象的序幕。

混沌作为非线性动力学的一个分支，在很多领域具有广泛应用。

复杂混沌系统的产生、分析和控制近年来引起了国内外同行的广泛关注。

经典的混沌系统诸如：Rössler 系统、Chen 系统及Lü系统等被提出，一些新的混沌系统被发现，它们具有更大的Lyapunov 指数和更强的混沌特性。

本文基于文献中Lorenz-Like 系统，搭建了新三维混沌系统，发现此系统的混沌特性比原系统复杂，在不同参数值下不仅折叠吸引子的涡卷数增加；并且发现在4.28＜b ＜10.5时，系统产生新的两翼折叠混沌吸引子，其最大Lyapunov 指数高达6.7872，比上述文献中混沌系统的Lyapunov 指数值均大。

1 混沌系统模型及特性分析1.1 混沌系统模型本文基于Lorenz-Like 系统构建了一个新三维自治混沌系统，该系统的数学模型可描述为：（1）式中，x ，y ，z 为状态变量。

当初值为(10，10，60)，参数a =10、b =3、c =50、h =-1时，系统存在一个典型混沌吸引子如图1所示。

图1 系统(1)相图1.2 三维系统参数的影响系统动力学特性随参数的变化而变化，系统的运行状态可以直观的由Lyapunov 指数谱及分岔图反映。

当固定参数a 、c 、h ，参数b 变化。

图2(a)反映在0＜b ≤2.256及b ＞12.39区域Lyapunov 指数谱符号为(-，-，-)或(0，-，-)，系统处于周期运动状态；在2.257＜b ≤12.35区域Lyapunov 指数谱符号为(+，0，-)，系统处于混沌运动状态。