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数值积分与积分变换 第2 章.

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大学数学课程目录

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大学数学课程目录一、基础数学课程1. 高等数学1.1 微积分1.2 数列与级数1.3 多元函数微积分2. 线性代数2.1 矩阵与向量2.2 行列式与矩阵的逆2.3 线性方程组与解空间二、概率与统计1. 概率论与数理统计1.1 概率空间与事件1.2 随机变量与概率分布1.3 参数估计与假设检验三、离散数学1. 图论1.1 图的基本概念1.2 最短路径与最小生成树1.3 匹配与网络流四、数值计算方法1. 数值计算方法1.1 插值与逼近1.2 数值积分与数值解微分方程1.3 线性方程组的数值解法五、数学分析1. 实分析1.1 极限与连续1.2 一元函数微积分1.3 常微分方程六、复变函数1. 复变函数1.1 复变函数与解析函数1.2 留数与积分变换1.3 应用：调和函数与辐角原理七、偏微分方程1. 偏微分方程1.1 一阶与二阶偏微分方程1.2 分离变量法与叠加原理1.3 积分变换法与解析解八、拓扑学1. 拓扑学1.1 拓扑空间与连续映射1.2 连通性与紧致性1.3 定向和同伦等价九、几何学1. 解析几何1.1 空间点、直线与平面1.2 圆锥曲线与二次曲面1.3 空间位置关系与投影几何以上为大学数学课程目录的一个简要概述。

大学数学课程的目标是培养学生的数学思维能力和问题解决能力。

不同课程之间存在一定的联系和依赖，学生可以按照自己的兴趣和发展方向选择适合的课程进行学习。

这些数学课程将为学生日后的学术研究、工程技术和各类应用领域提供坚实的数学基础。

通过大学数学课程的学习，学生将掌握数学的基本概念、方法和技巧，培养逻辑思维和分析问题的能力，为未来的发展打下坚实的基础。

积分变换 ppt课件

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16
可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示,
这个线段的长度表示d-函数的积分值, 称为d-函数
的强度.
d (t)
1
O
t
d-函数有性质：
d d (t)f(t)dtf(0)及 (tt0)f(t)dtf(t0).
（ ft为 连 续 函 数 ）
可见d-函数和任何连续函数的乘积在实轴上的
这表明在通常意义下的函数类中找不到一个
函数能够表示这样的电流强度. 为了确定这样的电
流强度, 引进一称为狄拉克(Dirac)的函数, 简单记
成d-函数:
d
t
0
t 0 t 0
有了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量,
例如点电荷, 点热源, 集中于一点的质量及脉冲技
பைடு நூலகம்
术中的非常窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的
F() f(t)eitdt 1 eitdt eit 1
1
i
1
1 eiei 2sin
i
f(t)21
F()eitd1
F()costd
0
102s incostd20sin costd
9
例 2求 指 数 衰 减 函 数 f(t) e 0 ,t,
t0的 傅 氏 变 换 及 其 t0
积 分 表 达 式 ,其 中 0.
如果成立
F(w) f(t)ejwdt t
f(t)1 F(w)ejwdt w
2
并称F(ω)为f (t)的象函数
或付里叶变换，记为
F[f(t)]；称f (t)为F(ω)的象 原函数或付里叶逆变换，
记为F-1[F(ω)]
8
例1
求矩形脉冲函数

第2章 数值微分和数值积分概论

第2章 数值微分和数值积分概论

h0
h
lim f (x) f (x h)
h0
h
lim f (x h) f (x h)
h0
2h
向前差商
f (x0 )
f (x0 h) h
f (x0 )
向后差商 中心差商
f (x0 )
f (x0 ) f (x0 h) h
f (x0 )
f (x0 h) f (x0 h) 2h
本节内容可以主要由学生讨论完成。
考虑1：插值解决了函数的近似问题；导数是由函数定义的，研究导数 的近似方法是否与插值有关？
考虑2：导数的定义是什么？几何意义？在这里有什么直接意义？
回答：数值微分有几种形式？每一种方法是如何讨论的？
看书，回答上述问题。
导数的三种定义形式：
f (x) lim f (x h) f (x)
x
0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
f (x) 5.06 5.07
5.065 5.05 5.055
计算 f (0.02), f (0.06), f (0.10), f (0.08)
解： f (0.02) (7.07 5.06) 0.5 0.04 0.02
f (0.06) 5.05 5.07 0.5 0.08 0.04
但是，误差的表达式中还有高阶导数，用此公式确定步长，难度较大。 实际使用中可使用事后估计法。
通常用 D(h) ，D( h)
2
给定误差界 ，当
表示步长为
h
h
，
2
D(h) D(h)
2
h 2
时的差商计算公式，
为合适的步长。
注意：所谓的“事后估计法”，是近似计算常用的估计误差方法。

《数值积分方法》课件

《数值积分方法》课件

数值积分的分类
按方法分类
可分为直接法和间接法。直接法如蒙特卡洛方法，间 接法如梯形法则、辛普森法则等。
按精确度分类
可分为低阶和高阶方法。低阶方法如梯形法则，高阶 方法如复合梯形法则、复合辛普森法则等。
按使用范围分类
可分为有限区间上的数值积分和无限区间上的数值积 分。
02
直接法
矩形法
总结词：简单直观
在金融建模中的应用
期权定价模型
数值积分方法可以用于求解期权定价模型，从而为金融衍生品定价提供依据。例如，二叉 树模型和蒙特卡洛模拟等。
利率衍生品定价
在利率衍生品定价中，数值积分方法可以用于求解利率期限结构模型，例如LIBOR市场模 型等。
风险管理
通过数值积分方法，可以对金融风险进行量化评估和管理。例如，计算VaR（风险价值） 和CVaR（条件风险价值）等指标，以评估投资组合的风险暴露程度。
自适应插值控制法
总结词
自适应插值控制法是一种通过插值技术来提 高数值积分精度的控制方法。
详细描述
在数值积分过程中，自适应插值控制法利用 插值技术对积分函数进行逼近，以提高数值 积分的精度。这种方法能够根据积分区间和 积分函数的特性，自动选择合适的插值方法 ，以获得更高的积分精度。同时，自适应插 值控制法还能够有效地处理复杂积分函数和
80%
算法设计与实现
数值积分方法的设计与实现是计 算数学的重要研究内容，推动了 科学计算的发展。
数值积分的概念
定义
数值积分是对函数在某个区间 上的定积分进行数值逼近的方 法。
思想
通过选取适当的积分点和权函 数，将定积分的计算转化为数 值逼近问题。
近似公式
常用的数值积分公式有梯形公 式、辛普森公式、复合梯形公 式、复合辛普森公式等。

高等数学研究生教材目录

高等数学研究生教材目录

高等数学研究生教材目录第一章极限与连续1.1 实数及其性质1.2 数列与极限1.3 函数与极限1.4 极限运算法则1.5 连续与间断1.6 中值定理与极值问题第二章导数与微分2.1 导数的概念2.2 导数的几何意义与物理意义2.3 微分的概念与计算方法2.4 高阶导数与高阶微分2.5 隐函数与参数方程的导数2.6 函数的单调性与曲线的凹凸性第三章一元函数的积分学3.1 不定积分3.2 定积分与积分的几何意义3.3 定积分的计算方法3.4 反常积分3.5 牛顿—莱布尼兹公式与定积分的应用3.6 微积分基本定理与换元积分法第四章多元函数微分学4.1 二元函数的极限与连续4.2 二元函数的偏导数4.3 隐函数与参数方程的偏导数4.4 多元复合函数的偏导数4.5 方向导数与梯度4.6 多元函数的极值及条件极值第五章重积分与曲线曲面积分5.1 二重积分的概念与性质5.2 二重积分的计算方法5.3 三重积分的概念与性质5.4 三重积分的计算方法5.5 曲线积分的概念与计算方法5.6 曲面积分的概念与计算方法第六章微分方程6.1 常微分方程的基本概念与解的存在唯一性6.2 一阶线性微分方程6.3 高阶线性微分方程与常系数齐次线性微分方程6.4 高阶线性微分方程与常系数非齐次线性微分方程6.5 常微分方程的近似解与级数解法6.6 常微分方程的应用与控制问题第七章空间解析几何与向量代数7.1 空间中的点、直线及其方程7.2 空间中的平面及其方程7.3 空间曲线及其参数方程7.4 向量的概念与运算7.5 向量的线性相关与线性无关7.6 空间中的向量积与混合积第八章多元函数积分学8.1 二重积分的曲线坐标与极坐标化法8.2 三重积分的柱面坐标、球面坐标与轮换对称性8.3 曲线积分的参数化与曲线坐标法8.4 曲面积分的参数化与曲面坐标法8.5 多元函数积分学在物理与工程中的应用8.6 曲线积分与曲面积分的变量替换第九章常微分方程数值解9.1 常微分方程初值问题的数值方法9.2 常微分方程边值问题的有限差分方法9.3 常微分方程边值问题的轮换对称法9.4 常微分方程边值问题的变分法9.5 常微分方程初值问题与边值问题的MATLAB解法9.6 常微分方程数值解方法的应用示例第十章特殊函数与积分变换10.1 常见特殊函数的性质与应用10.2 变限积分与非定积分10.3 积分变换的基本概念与性质10.4 拉普拉斯变换与傅里叶变换10.5 微分方程的解法应用于积分变换10.6 积分变换在控制与信号处理中的应用每一章节内容都经过仔细编排，涵盖了高等数学研究生教材的核心知识点。

《积分变换法》课件

《积分变换法》课件

信号处理
在频域中，积分变换法可用于 滤波、降噪和信号分析。
电路分析
积分变换法可帮助分析电路的 稳定性、频率响应和系统性能。
总结
优缺点
积分变换法具有数学表达简单、普适性强等优点，但对初始条件敏感。
与其他方法的比较
相比其他方法，积分变换法可以更方便地处理连续和离散函数。
发展趋势
未来，积分变换法将继续应用于自动控制、信号处理和电子技术等领域，不断发展和完善。
《积分变换法》PPT课件
欢迎来到本次《积分变换法》PPT课件。让我们一起探索积分变换法的定义、 分类、常见方法以及在控制工程、信号处理和电路分析中的应用。
什么是积分变换法？
定义
积分变换法是一种数学方法，通过对函数的积分来研究和处理一些问题。
分类
积分变换法分为拉普拉斯变换、傅里叶变换和Z变换等不同类型。
1 参考文献
常见的积分变换频域，可用于信号
处理和频谱分析。
3
拉普拉斯变换
将函数从时域转换到频域，广泛应用于 控制系统和信号分析。
Z变换
将离散信号从时域转换到Z域，在数字信 号处理和系统分析中有重要应用。
积分变换法的应用
控制工程
积分变换法可用于控制系统的 建模、参数估计和控制器设计。

高等数学理工版教材目录

高等数学理工版教材目录第一章导数与微分1.1 函数与映射1.2 限制与连续1.3 导数的定义1.4 导数的计算1.5 高阶导数1.6 微分学中的应用第二章极限与连续2.1 数列极限2.2 函数的极限2.3 无穷小与无穷大2.4 极限存在准则2.5 连续的概念与性质2.6 连续函数的运算第三章一元函数微分学3.1 导数的定义与性质3.2 基本导数公式与运算法则3.3 高阶导数与莱布尼茨公式3.4 隐函数与参数方程的导数3.5 微分中值定理3.6 泰勒公式与函数的逼近第四章一元函数积分学4.1 不定积分与定积分4.2 积分基本公式与运算法则4.3 第一类换元积分法4.4 第二类换元积分法4.5 定积分的几何应用4.6 牛顿—莱布尼茨公式与不定积分的逆运算第五章微分方程5.1 微分方程的基本概念5.2 一阶线性微分方程5.3 高阶线性齐次微分方程5.4 二阶线性非齐次微分方程5.5 线性微分方程的解法总结5.6 非线性微分方程与常微分方程的初步第六章多元函数微分学6.1 多元函数的概念与性质6.2 偏导数与全微分6.3 隐函数与参数方程的微分6.4 多元函数的极值与条件极值6.5 二重积分的计算6.6 重积分的计算与应用第七章多元函数积分学7.1 二重积分的概念与性质7.2 二重积分的计算方法7.3 三重积分的概念与性质7.4 三重积分的计算方法7.5 曲线积分与曲面积分7.6 广义积分的概念与收敛性第八章空间解析几何8.1 坐标系与向量8.2 空间平面与直线8.3 点、直线与平面的位置关系 8.4 球面与圆锥面8.5 空间曲线与曲面8.6 曲线与曲面的参数表示第九章数值级数9.1 级数的概念与性质9.2 正项级数的审敛法9.3 收敛级数的性质9.4 幂级数与函数展开9.5 函数项级数的收敛性9.6 反常积分与反常级数第十章复变函数与积分变换10.1 复数及其运算10.2 复变函数的概念10.3 解析函数与全纯函数10.4 积分变换的基本概念10.5 拉普拉斯变换10.6 傅里叶变换第十一章偏微分方程11.1 偏微分方程的基本概念 11.2 一阶线性偏微分方程11.3 二阶线性偏微分方程11.4 热方程与波动方程11.5 椭圆型方程与抛物型方程 11.6 解的存在唯一性与稳定性第十二章线性代数初步12.1 行列式与矩阵的运算12.2 矩阵的秩与逆12.3 矩阵方程与向量空间12.4 线性方程组12.5 特征值与特征向量12.6 对角化与二次型以上是《高等数学理工版教材》的目录内容，涵盖了导数与微分、极限与连续、微分方程、多元函数微分学、多元函数积分学、空间解析几何、数值级数、复变函数与积分变换、偏微分方程、线性代数初步等重要的数学知识点。

数值积分和数值微分ppt课件


5.2.2 数值微分
设函数 f(x)在[a,b]上可导，已知 f(x)在 x j 的函数 值 y j f (x j ) ( j 0,1,, n) ， a x0 x1 xn b . 如果 f(x)的解析表达式未知，问如何近似计算 f(x)在 某点 x=c 处的导数？特别是如何近似计算 f(x)在 x0, x1,, xn 的导数？
y4
未 知 函 数 f(x)
y3
已知结点
线 性 插 值 函 数 S41(x)
y2
y1
y0
y
0
x0
x1
x2
x3
x4
x
图5.9 复化梯形求积公式示意图
5.2.1 数值积分
容易求得
b a
Sn1
(
x)dx
的值为
1 n
Tn 2 j1 x j x j1 y j1 y j
(5.2.1)
如果划分 a x0 x1 xn b 将区间[a,b] n 等分，
b]为n等分，分点为 xk x0 kh k = 0, 1, 2,…, n
2）在区间 [xk, xk+1]上使用以上求积公式求得Ik 3）取和值，作为整个区间上的积分近似值。 这种求积方法称为复化求积方法。
j
值 y j f (x j ) ( j 0,1,, n) ， a x0 x1 xn b ，
5.2.2 数值微分
先考虑简化的问题：设划分 a x0 x1 x2 b 将 区间[a,b]二等分，记 h (b a) 2 ，已知 f(x)在 x j 的函
数值 y j f (x j ) (j=0,1,2). 记
L2 (x) c1(x x1)2 c2 (x x1) c3 是由结点 (x j , y j ) (j=0,1,2)确定的至多二次插值多项

积分变换第2讲


同前面一样,此时 仍然可以这样说: 象函数 F(w) 仍然可以这样说: w 亦构成一个傅氏变换对. 和象原函数 f (t) 亦构成一个傅氏变换对.
例2
1, u(t ) = 0,
t > 0, 称为单位跃阶函数. 称为单位跃阶函数 t <0
1 u 证明 (t )的傅氏变换为 + πδ (ω). iω
证：首先注意，这里的变换显然指的是广义变换 首先注意，这里的变换显然指的是广义变换. 我们用考察逆变换的方法证明. 我们用考察逆变换的方法证明. 逆变换的方法证明
事实上， 事实上，设 F ( ω ) = 1 iω + πδ ( ω ), 则
1 f (t ) = 2π
1 [ + πδ (ω )]e iω t d ω ∫− ∞ iω
由于电流强度是电荷函数对时间的变化率, 由于电流强度是电荷函数对时间的变化率, 即
dq(t ) q(t + ∆t ) − q(t ) i(t ) = . = lim ∆t → 0 dt ∆t
所以, 由于q(t)不连续 不连续, 所以 当t≠0时, i(t)=0, 由于 不连续 从而在普 ≠ 时 通导数意义下, 在这一点是不能求导数的. 通导数意义下 q(t)在这一点是不能求导数的 在这一点是不能求导数的
设F[ f (t )] = F(ω) ，则对于实常数0 ,ω0 , 有 t
F[ f (t ± t0 )] = e±iωt0 F(ω)] .
证明：根据定义， 证明：根据定义，得
F[ f (t ± t0 )] = ∫
t ±t0 =u
+∞
−∞
f (t ± t0 )e−iωt dt
du
=
∫
+∞

积分变换第二章 - 副本——复变函数与积分变换课件PPT


= 1 tes t 1 estdt
s
0 s0
1 s2
Re s 0
(t)
tu( t )
1 s2
Laplace变换存在定理
定理 设函数 f (t) 在 t 0 的任何有限区间 内分段连续, 并且当 t 时, f (t)的增长速度不 超过某一指数函数, 即存在常数 M 0 和 s0 0,
sint
s2
2
cost
s2
s
2
例5 求 f (t) tn (n 1)的Laplace变换.
解 如果n是正整数, 则有
L tn
n! sn1
(Re(s) 0).
tn
n! sn1
当 n 1 不是正整数时, 利用复变函数论的
方法, 可求出
L[tn]
第2章 Laplace变换
§2.1 Laplace变换的概念 §2.2 Laplace变换的性质 §2.3 Laplace 逆变换 §2.4 Laplace变换的应用
Fourier积分存在定理
若函数 f (t)在任何有限区间上满足狄氏条件： 即函数在任何有限区间上满足: (1)连续或只有有限个第一类间断点; (2)至多有有限个极值点;
并且在(-∞,+∞)上绝对可积则有:
f (t) 1
2
f
(
)e
j
d
e
j
t
d
f (t)
f (t
0)
f (t
0)
2
t 为连续点; t 为间断点.
在(, )绝对可积是指的
|
f (t) |dt
收敛。
Fourier变换在许多领域中发挥着重要的作用, 但是在通常意义下，Fourier变换存在的条件需要 实函数f (t)在(-,+)上绝对可积. 很多常见的初等 函数(例如，常数函数、多项式函数、正弦与余弦 函数等)都不满足这个要求. 另外，很多以时间t 为 为自变量的函数，当t<0时，往往没有定义，或者 不需要知道t<0的情况. 因此, Fourier变换在实际 应用中受到一些限制.
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(1) 设 z0 D , 若存在 z0 的一个邻域，使得 f (z) 在此邻域内处处可导, 则称 f (z)在 z0处解析, 也称 z0是 f (z)的解析点.
(2) 若 f (z)在区域D内每一点都解析，则称 f (z)在区域D内解析, 或者称 f (z)是区域D内的 解析函数.
(3) 设G是一个区域，若闭区域 D G, 且 f (z)在G内解析，则称 f (z) 在闭区域 D 上 解析.
定义中的极限式可以写为
lim f (z0 z) f (z0 ) ,
z0
z
即当 f (z) 在 z z0 点可导时,
f (z0 )
lim
z z0
f (z) z
f (z0 ) z0
lim f (z0 z) f (z0 ) .
z0
z
注意 z z0 (z 0) 的方式是任意的.
若 f (z)在区域 D内每一点都可导, 则称 f (z)
根据求导法则，很容易得到下面的结论.
设函数 f (z), g(z)在区域D内解析, 则
f (z) g(z), f (z)g(z)
也在D内解析.
于是根据 定理1连.3续知，, 但函处数处不f (可z)导. x 2 yi 连续.
定理1.1 设 f (z) u( x, y) iv( x, y), 则 f (x)
3、求导法则 由于复变函数中导数的定义与一元实函数
导数的定义在形式上完全一致，同时，复变函 数中的极限运算法则也和实函数中一样，因而 实函数中的求导法则可推广到复变函数中，且 证明方法相同.
在区域 D内可导.
此时，对D内任意一点z, 有
也可用
f (z) lim f (z z) f (z) .
z0
z
dw , df (z) dz dz
等表示 f (z)在z点的导数.
例1 设 f (z) z2, 则 f (z)在复平面内 处处可导，且 f (z) 2z.
解 因为
f (z) lim f (z z) f (z)
函数 f (z)在 z0处解析和在 z0 处可导意义 不同，前者指的是在 z0 的某一邻域内可导, 但后者只要求在 z0处可导.
函数 f (z)在 z0处解析和在 z0的某一个邻 域内解析意义相同.
复变函数在区域内解析与在该区域内可导 是等价的.
事实上，复变函数在区域内解析显然在该 区域内可导.
反之, 设函数 f (z)在区域D内可导, 则对 任意 z D, 存在z的某一个邻域U, 使得U D,
z0
这说明 f (z) x 2 yi 在复面内处处连续.
但是,
f (z z) f (z)
z
( x x) 2( y y)i x 2 yi x yi
x 2yi . x yi
设 z 沿着平行于x 轴的
y
z o
y 0 x
方向趋向于 0, 即 x 0, y 0. 于是
x 2yi
函数f (z)在z0处可导，则在z0处一定连续, 但 函数f (z)在z0处连续不一定在z0处可导.
事实上,由 f (z)在z0点可导, 必有
lim
z0
f
( z0
z) z
f (z0 )
f (z0 )
0,
令 r(z)
f (z0 z) z
f (z0 )
f (z0 ).
f (z0 z) f (z0 ) f (z0 )z r(z)z,
z0
z
lim (z z)2 z2
z0
z
lim(2z z). z0
所以 z2 2z.
例2 证明 f (z) x 2 yi 在复面内处处 连续，但处处不可导.
证明 对复平面内任意点z, 有 f (z z) f (z)
( x x) 2( y y)i x 2 yi x 2yi. 故 lim[ f (z z) f (z)] 0.
x
lim
lim 1.
x0 x yi x0 x
y0
设 z 沿着平行于y 轴的方向趋向于 0, 即
x 0, y 0,
lim x 2yi lim 2yi 2.
x0 x yi
y0
y0 yi
所以 f (z) x 2 yi 的导数
x 0 y
z o
y 0 x
不存在.
2、 可导与连续的关系
再由 lim r(z) 0, 所以 z0
lim
z0
f
(z0
z)
f (z0),
即 f (z)在 z0处连续.
反之, 由例 1 知, f (z) x 2 yi 不可导.
但是二元实函数 u( x, y) x, v( x, y) 2 y 连续,
例1.9 证明 f (z) x 2 yi 在复面内处处
由 f (z)在D内可导, 可知 f (z)在U内可导, 即 f (z)在z处解析.
由例1和例2知, 函数 f (z) z2 是全
平面内的解析函数，但是函数 f (z) x 2 yi 是处处不解析的连续函数.
若函数 f (z)在 z0处不解析，则称 z0是 f (z) 的奇点. 若 z0 是 f (z) 的奇点, 但在 z0 的某邻域内, 除 z0外, 没有其他的奇点，则称 z0 是函数 f (z) 的孤立奇点.
求导公式与法则: (1) (c) 0, 其中c为复常数.
(2) (zn ) nzn1, 其中n为正整数.
(3) f (z) g(z) f (z) g(z).
(4) f (z)g(z) f (z)g(z) f (z)g(z).
ห้องสมุดไป่ตู้
f (z)
f (z)g(z) f (z)g(z)
(5)
g(z)
g2(z)
, ( g(z) 0).
(6) f [g(z)] f (w)g(z), 其中 w g(z).
(7) f (z) 1 , 其中 w f (z) 与 z (w) ( w )
是两个互为反函数的单值函数, 且(w) 0.
二、 解析函数
定义2.1.2 f z在区域D有定义.
§2.1 解析函数的概念
一、复变函数的导数
1、 导数的定义
定义2.1.1 设 w f (z)是定义在区域D上的
复变函数, z0是区域D内的定点. 若极限
lim f (z) f (z0 )
z z0
z z0
存在，则称 f (z)在 z z0点可导, 并把这个极 限值称为 f (z) 在 z z0 点的导数，记做 f (z0 ).