复变函数与积分变换第二章 ppt课件

1 dz 1 dz2i.
C zz0
C1 zz0
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例3 计算 C z21的 z d值z ，其中 为 C 包含圆周 z在内1 的任何正向简 单闭曲线．
C
1
C
2
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解：设
C
及
1
C
2
是
C
内分别以
z 0, z 1为
圆心，互不包含也不相 交的正向圆周，
由复合闭路定理得
1
1
1
C
z2
dz z
C1
z2
dz z
C2
z2
dz z
1
1
1
1
dz dz
dz dz
C1 z 1
z C1
Cwenku.baidu.com z 1
z C 2
0 2i 2i 0 0
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如果函 (z)在 数区 B内 域的导 f(z),数为 即 (z)f(z),那末 (z称 )为 f(z)在区 B内 域
的原.函数
显F 然 (z)zz0f()d是 f(z)的一个 . 原
原函数之间的关系:
f(z)的任何两个原函一数个相常差 . 数
证: 设G(z)和H(z)是f(z)的任何两个 ,
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那 G ( z ) 末 H ( z ) G ( z ) H ( z )
如果函f数(z在 ) 单连通B域 内处处解析
G(z为 ) f(z的 ) 一个原函 那数 末,
f z1
z0
(
ζdζ )G
(1z)G
(0z)
这里z0, z1为域B内的两. 点
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证明: 因为 z f()d也是 f(z)的原,函数 z0
所以 z f()dG(z)c, z0
当 zz0时 ,
根据柯西积分定理, 得 c G (z0),
如果函f(数 z)在单连B 通 内域 处处,解 z0 析 B
那末函 F(数 z)zz0 f()d必为 B内的一个解
析函,并 数且 F(z)f(z).
证：因
F(z) z f(ξd)ξ z0
(x,y) udx vdyi (x,y) vdx udy
( x0 ,y0 )
( x0 ,y0 )
P(x,y)iQ(x,y)
f(z) f(z) 0 于 G (z ) 是 H (z ) c .(c 为任意常数) [证毕] 根据以上讨论可知: 如果 f(z)在区 B内 域有一个 F(z原 ), 函数 那末它就有无穷多个原函数, 一般表 F (z) 达 c(c为 式任 为 ).意常
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定理4: (类似于牛顿-莱布尼兹公式)
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两个线积分与路径无关，因此
dP udx vdy, dQ vdx udy.
即 P u, P v, Q v, Q u.
x
y
x
y
由此可知F (z) P(x, y) iQ(x, y)是E内的解析函数，
而且
F '(z) P i Q u iv f (z). x x
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原函数的定义:
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复合闭路定理的一个特殊情形：
CC0 C1
闭路变形公式 :
f(z)dz f(z)dz
C0
C1
重要性在于能够把函数沿一闭曲线的积分转化到 另一闭曲线的积分．
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例2 设 C为包含 的z 0 任一正
向闭曲线，求
1
dz.
C z z0
解：以 z0为圆心作圆 C1,使 周C1含于C 的内部，由闭路式变，形得公
如果起 z0,终 点点 z为 1, 为
B
C1
z0 C2
z1
B
C1
z0
z1
C2
f(z)dz f(z)dz z1 f (z)dz
C1
C2
z0
如z 0 果 ,让 z 1 在 B 内 固 ,并 变 定 z 1 z ,令 动
便可B 确 内定 的一个 F(z单 )zz0值 f()d 函 .
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定理3：
所z以 z0 f()dG (z)G (z0),
令上 z z 1 ,即 式 z z 0 1f得 (中 )d G (z 1 ) G (z 0 ).[证毕]
说明: 有了以上定理, 复变函数的积分就可以用
跟微积分学中类似的方法去计算.
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例1 计算下列积分:
1)
2i (z 2)2dz
2
2) 2i cos( z )dz
1
格林定理：曲线积分 Pdx Qdy与路径 C
无关的充要条件是 P Q , y x
P , P , Q , Q 都连续. x y x y
2
又称为柯西-古萨定理
3
练习: 计算z积 12z1 分 3dz.
解 函数 1 在z1内解 , 析 2z3
根据柯西积分定理, 有
1 dz0.
z1 2z3
4
5
0
2
解1） ： i ;2)ee1. 3
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定理5 （复合闭路定理）如果 f ( 在z ) 多连域 内E
解析，复合闭路 C ( C 0 C 1 C n )所围的 区域全部包含于 中，那E 么
f(z)dz0
C
或C0
n
f (z)dz k1 Ck
f (z)d． z
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E1
L1
L2
L0
E2
Ln