复变函数与积分变换第二章 ppt课件

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复变函数与积分变换第二章

故不连续。故不连续。
( 2 )在负实轴上 ∀ P ( x , 0 )( x < 0 ) Q lim+ arg z = π
y→ 0 y→ 0
y z o z
(z)
lim− arg z = − π
∀P ( x ,0)
x
∴ arg z 在负实轴上不连续。上不连续。
定理2.3 连续函数的和、差、积、商 (分母不为连续函数的和、分母不为0) 定理分母不为仍为连续函数; 仍为连续函数定理2.4 连续函数的复合函数仍为连续函数。连续函数的复合函数仍为连续函数。定理定理2.5 定理设 f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y ), 则 f (z)
z → z0
内处处连续，若在区域 D 内处处连续，则称 f ( z )在 D 内连续 ; 若 z 、 z 0 ∈ C , 且 lim f ( z ) = f ( z 0 )，则称 f ( z )
z → z0
在曲线 C 上点 z 0处连续 .
证明f 在原点及负实轴上不连续。例4 证明 (z)=argz在原点及负实轴上不连续。在原点及负实轴上不连续证明 (1) Q f ( z ) = arg z 在原点没有定义，在原点没有定义，
复变函数的极限与连续性
1. 函数的极限 2. 相关定理 3.函数的连续性函数的连续性
复变函数的极限
定义2.2 定义设复变函数w=f(z)在z0的某个去心在设复变函数邻域内有定义, 是复常数是复常数. 邻域内有定义 A是复常数若对任意给定的ε >0, 使得对一切满足0<|z-z0|<δ 的z , 都有存在δ >0, 使得对一切满足

复变函数与积分变换-PPT课件

i i 1 2 1 2
推广至有限个复数的乘法
i i i n 1 2 z z z r e r e r e 12 n 1 2 n i ( ) 1 2 n r r r e 12 n
浙江大学
除法运算
z1 0
z2 z2 z1 z1
z2 z2 , z1 z1
n 1 1 n
浙江大学
x iy z1 x1 iy1 1 iy 1 x 2 2 x2 iy iy z2 x2 iy2 2 x 2 2

x x y y i x y x y 1 2 1 2 2 1 1 2
x y
2 2 2 2
b) 按上述定义容易验证加法交换律、结合律
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
w r (cos isin ) 0 n n 1 2 2 n w r (cos i sin ) 1 n n 1 4 4 n w r (cos i sin ) 2 n n
1 n

2 ( n 1 ) 2 ( n 1 ) w r (cos i sin )
z z ( z z ) e 3 1 2 1 1 3 ( 1i)( i) 2 2 1 3 1 3 i 2 2
3 3 1 3 z i 3 2 2
i 3
z3
z2
x
O
z1
3 3 1 3 z i 3 2 2
浙江大学
复数的乘幂
n个相同复数z的乘积成为z的n次幂
z1
O 加法运算 x
z z z z 1 2 1 2
浙江大学
y
z1
z2

复变函数与积分变换__第2章

连续可导
复变函数
解析
判别方法指数函数对数函数幂函数三角函数双曲函数
解析函数与调和函数的关系
初等解析函数
第二章
解析函数
§2.1 解析函数的概念 §2.2 解析函数与共轭调和函数的关系 §2.3 初等函数
§2.1 解析函数的概念
1 复变函数的导数 2 解析函数的概念
一、复变函数的导数
三、柯西-黎曼方程
2. 区域解析的条件定理函数 w f ( z ) u( x, y ) i v( x, y ) 在区域 D 内解析的充要条件是： u( x, y ) 和 v( x , y ) 在区域 D 内可微，且满足 C R 方程。推论若函数 u( x, y ) 和 v( x , y ) 的四个偏导数 u x , u y , v x , v y 则函数在区域 D 内存在且连续，并满足 C R 方程，
注解：
利用这些法则，我们可以计算常数、多项式以及
有理函数的导数，其结果和数学分析的结论基本相同. 根据定理可知: 任务！！！
(1) 所有多项式在复平面内是处处解析的. 用定义讨论函数的解析 P ( z ) 寻求研究解性绝不是一种好办法！ ( 2) 任何一个有理分式函数在不含分母为 Q( z ) 析性的更好的方法零的点的区域内是解析的, 使分母为零的点是
定理（函数在一点可导的充分条件）
设函数 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ) 定义在区域D 内, 则 f ( z ) 在 D内一点 z x yi 可(微)导的充分条件是: (1) ux ,u y , v x , v y 在点 ( x , y )连续 ( 2 ) u( x , y ), v ( x , y )在点( x , y )满足C-R条件 u v u v , . x y y x

复变函数和积分变换第2章解析函数.ppt

的可导性与解析性．
解由例2.1、例2.2知在C 上可导，在上处处不可导，从而由导数的运
算法则知，函数f(z)=
在z≠0时不可导.当z=0时,可得
即在z=0处可导．综上所述，函数f(z)= 仅在z=0可导，故在全平面 C上处处不解析．由复变函数的求导法可推出解析函数的以下性质:
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复变函数与积分变换
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复变函数与积分变换
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定理2.2f(z)=u(x,y)+iυ(x,y)在某点z=x+iy可导的充分必要条件是 ①u(x,y),v(x,y)在点(x,y)处可微； ②在点(x,y)处有
此时f(z)的导数为
称式(2.3)为柯西—黎曼（Cauch-Riemann）方程，或简称为C.-R.条件．
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复变函数与积分变换
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下面我们列出复变函数导数的运算法则，其证明方法与微积分中方法类似. 如果函数f(z)，g(z)在区域D内可导，则在对任意z∈D有
②设函数ξ=g(z)在区域D内可导，w=f(ξ)在区域G内可导，且对于D内每一点z，函数值ξ=g(z)均在区域G内，则对任意z∈D有
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2.1解析函数的概念 2.1.1复变函数的导数与微分 (1)复变函数的导数把一元实变函数的导数概念形式推广到复变函数中来，就得到复变函数导数的概念. 定义2.1设w=f(z)是定义在区域D内的复变函数，z0,z0+Δz∈D，若极限
存在，则称f(z)在点z0可导，这个极限值称为f(z)在z0的导数，记作
复变函数与积分变换
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第2章解析函数
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复变函数与积分变换
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复变函数与积分变换第二章_解析函数

z0 可微等价.
与一元实函数类似, 记
df ( z0 ) f ( z0 ) z f ( z0 ) dz ,
称之为 f ( z ) 在 z0 处的微分. 如果函数 f ( z ) 在区域D内处处可微, 则称
f ( z ) 在区域D内可微, 并记为
df ( z ) f ( z ) dz .
也称 z0 是 f ( z ) 的解析点. (2) 若 f ( z ) 在区域D内每一点都解析，则称
f ( z ) 在区域D内解析, 或者称 f ( z ) 是区域D内的
解析函数.
(3) 设G是一个区域，若闭区域 D G , 且 f ( z ) 在G内解析，则称 f ( z ) 在闭区域 D 上解析. 函数 f ( z ) 在 z0 处解析和在 z0 处可导意义不同，前者指的是在 z0 的某一邻域内可导, 但后者只要求在 z0 处可导. 函数 f ( z ) 在 z0 处解析和在 z0的某一个邻域内解析意义相同.
连续，但处处不可导.
定理1.1
例2.2 证明 f ( z ) x 2 yi 在复面内处处
设 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ), 则 f (x)
(3) 求导法则
复变函数中导数的定义与一元实函数
导数的定义在形式上完全一致，同时，复变函
数中的极限运算法则也和实函数中一样，因而
当 z0 0 时, 由 z zz , z0 z0 z0 得
2
2
f ( z ) f ( z0 ) z 2 z z0 2 z0
( z 2 z z0 2 z ) ( z0 2 z z0 2 z0 ).
f ( z ) f ( z0 ) 2 z z0 ( z z0 ) z z 0 . 故 z z0 z z0

复变函数与积分变换课件第2章

例：设f(z)在z0处连续，且f(z0)不等于0，那么可以
找到z0的一个邻域，在这个邻域内f(z)不等于0
1 导数的定义
定义设函数w=f(z)在包含z0的某邻域D内有定义，点z0+⊿z∈D. 如果极限
f ( z0 Δ z ) - f ( z0 ) lim Δ z 0 Δz
存在, 则称f(z)在z0可导, 此极限值就称为f(z)在z0 的导数, 记作
பைடு நூலகம்
定义如果函数f(z)不仅在z0可导，而且在z0的某个邻域内的任一点都可导, 则称f(z)在z0解析。如果f(z)在区域D内每一点解析, 则称f(z)在D内解析, 或称f(z)是D内的一个解析函数(全纯函数或正则函数)
如果f (z)在点z0不解析，就称z0是f (z)的奇点。
(1) w=f (z) 在 D 内解析等价于在D内可导。 (2) 函数f (z)在 z0 点可导，未必在z0解析。（3）函数在区域D内的点z处解析，则z 一定是D的内点。
（4） f ( z ) z Re( z )
例3. 证明 sin ' z cos z
例4 如果f '(z)在区域D处处为零, 则f(z)在D内为一常
数 .
4.高阶导数
二阶及二阶以上的导数称为高阶导数
例应用公式
sin( z

2
) cos z ,
（n) 求 sin z
1.解析函数的概念
例2
求f ( z) z 在z 0时的极限. z
z z0
例3 求极限 lim cos z 例4 证明 f ( z ) Re z
在z 0时的极限不存在 .
z
定理2
若 lim f ( z ) A lim g ( z ) B, 则

积分变换第二章 - 副本——复变函数与积分变换课件PPT

= 1 tes t 1 estdt
s
0 s0
1 s2
Re s 0
(t)
tu( t )
1 s2
Laplace变换存在定理
定理设函数 f (t) 在 t 0 的任何有限区间内分段连续, 并且当 t 时, f (t)的增长速度不超过某一指数函数, 即存在常数 M 0 和 s0 0,
sint
s2
2
cost
s2
s
2
例5 求 f (t) tn (n 1)的Laplace变换.
解如果n是正整数, 则有
L tn
n! sn1
(Re(s) 0).
tn
n! sn1
当 n 1 不是正整数时, 利用复变函数论的
方法, 可求出
L[tn]
第2章 Laplace变换
§2.1 Laplace变换的概念 §2.2 Laplace变换的性质 §2.3 Laplace 逆变换 §2.4 Laplace变换的应用
Fourier积分存在定理
若函数 f (t)在任何有限区间上满足狄氏条件：即函数在任何有限区间上满足: (1)连续或只有有限个第一类间断点; (2)至多有有限个极值点;
并且在(-∞,+∞)上绝对可积则有:
f (t) 1
2
f
(
)e
j
d
e
j
t
d
f (t)
f (t
0)
f (t
0)
2
t 为连续点; t 为间断点.
在(, )绝对可积是指的
|
f (t) |dt
收敛。
Fourier变换在许多领域中发挥着重要的作用, 但是在通常意义下，Fourier变换存在的条件需要实函数f (t)在(-,+)上绝对可积. 很多常见的初等函数(例如，常数函数、多项式函数、正弦与余弦函数等)都不满足这个要求. 另外，很多以时间t 为为自变量的函数，当t<0时，往往没有定义，或者不需要知道t<0的情况. 因此, Fourier变换在实际应用中受到一些限制.

复变函数与积分变换课堂PPT第二章

由加法定理, 可以推出exp z的周期性。它的周期是 ,即
其中k为任何整数。这个性质是实变指数函数没有的。
2.对数函数
和实变函数一样，对数函数定义为指数函数的反函数。将满足方程
的函数w = f (z)称为对数函数。令
,则
所以因此
由于Arg z为多值函数，所以对数函数 w = f (z)为多值函数，并且每两个值相差的整数倍,记作
是两个互为
反函数的单值函数，且
。
iv) 微分的概念设函数w =f (z)在z0可导, 则有
其中
因此,
是的高阶无穷
小量, 而
是函数w=f (z) 的改变量的线性部
分, 称为函数w = f (z)在点z0的微分, 记作
如果函数在z0的微分存在, 则称函数 f (z)在z0可微。
特别, 当f (z) = z时, 得
如果在曲线交点处 uy与 vy都不为零，由隐函数求导
法则知曲线族中任一条曲线的斜率分别为
和
利用柯西-黎曼方程得
例4 如果 f (z) = u + iv为一解析函数，且 f '(z)0，则曲线族 u(x,y)=c1和 v(x,y)=c2必互相正交，其中c1, c2为常数。
[证] 利用柯西-黎曼方程得
例3 研究函数
和
的解析性。
[解] 由解析函数的定义与前面的例题可知，
在复平面内是解析的，而
却是处
处不解析的。下面研究
的解析性。
由于
如果，那么当
时，上式的极限是零。如果
，令
沿直线
趋于，由于k 的任意性，
不趋于一个确定的值。所以当
时，
的极限不存在。
因此，

复变函数课件第二章

的导数,
记作
dw f ( z 0 z ) f ( z0 ) f ( z0 ) lim . dz z z0 z 0 z
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
y 1 0 当 z 0(x 0, y 0) 时， lim z 0 x iy i y lim ∴ z 0 不存在，即处处不可导。 x iy
y lim 0 当 z 0(x 0, y 0) 时， z 0 x iy
复变函数与积分变换
复变函数与积分变换
在定义中应注意: z0 z z0 (即z 0)的方式是任意的.
Complex Analysis and Integral Transform
即z0 z在区域D内以任意方式趋于 0时, z f ( z0 z ) f ( z0 ) 比值都趋于同一个数 . z
y 1 f f ( z z ) f ( z ) lim , lim lim y 0 x i y z 0 z z 0 i z x 0
当点沿不同的方向使z 0时, 极限值不同 ,
故f ( z ) Im z在复平面上处处不可导.
复变函数与积分变换
例2
Complex Analysis and Integral Transform
2
研究函数 f ( z ) z 2 , g( z ) x 2 yi 和
h( z ) z 的解析性.
解由本节例1和例3知:
f ( z ) z 2 在复平面内是解析的 ;

复变函数课件02章解析函数

试求： f (i)
答案：－3
复变函数与积分变换
第2章解析函数
定理2.3（解析的充要条件）
函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的充要条件是： u(x,y)和v(x,y)在D内可微，且满足柯西——黎曼方程。
u v , v u x y x y
复变函数与积分变换
第2章解析函数
和、差、积、商（除z 去0 分母为0点）仍为解析函数；
由解析函数构成的复合函数也是解析函数。
复变函数与积分变换
第2章解析函数
§2.2 复变函数可导与解析的充要条件
定理2.2（可导的充要条件）
函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定义域内一点z=x+iy可导的充要条件是：u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)可微，且满足柯西——黎曼方程。
u v , v u x y x y 则称v(x,y)为u(x,y)的共轭调和函数。
定理2.6
函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内是解析的函数的充要条件为：虚部v(x,y)是实部u(x,y)的共轭调和函数。
复变函数与积分变换
第2章解析函数
例2.12 试求一解析函数f(z) ，使其实部为 u(x,y)=x2+y2-2xy.
第2章解析函数
例2.1 求函数 f (z) zn 的导数(n为正
整数)。
f (z) (zn ) lim (z z)n zn nzn1
z 0
z
例2.2 求函数 f (z) z2 的导数(n为正
整数)。
(z2 ) 2z
复变函数与积分变换
第2章解析函数
某点可导
该点连续

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1 dz 1 dz2i.
C zz0
C1 zz0
18
例3 计算 C z21的 z d值z ，其中为 C 包含圆周 z在内1 的任何正向简单闭曲线．
C
1
C
2
19
解：设
C
及
1
C
2
是
C
内分别以
z 0, z 1为
圆心，互不包含也不相交的正向圆周，
由复合闭路定理得
1
1
1
C
z2
dz z
C1
z2
dz z
C2
z2
dz z
1
1
1
1
dz dz
dz dz
C1 z 1
z C1
C 0
20
如果函f(数 z)在单连B 通内域处处,解 z0 析 B
那末函 F(数 z)zz0 f()d必为 B内的一个解
析函,并数且 F(z)f(z).
证：因
F(z) z f(ξd)ξ z0
(x,y) udx vdyi (x,y) vdx udy
( x0 ,y0 )
( x0 ,y0 )
P(x,y)iQ(x,y)
所z以 z0 f()dG (z)G (z0),
令上 z z 1 ,即式 z z 0 1f得 (中 )d G (z 1 ) G (z 0 ).[证毕]
说明: 有了以上定理, 复变函数的积分就可以用
跟微积分学中类似的方法去计算.
12
例1 计算下列积分:
1)
2i (z 2)2dz
2
2) 2i cos( z )dz
如果函 (z)在数区 B内域的导 f(z),数为即 (z)f(z),那末 (z称 )为 f(z)在区 B内域
的原.函数
显F 然 (z)zz0f()d是 f(z)的一个 . 原
原函数之间的关系:
f(z)的任何两个原函一数个相常差 . 数
证: 设G(z)和H(z)是f(z)的任何两个 ,
9
那 G ( z ) 末 H ( z ) G ( z ) H ( z )
7
两个线积分与路径无关，因此
dP udx vdy, dQ vdx udy.
即 P u, P v, Q v, Q u.
x
y
x
y
由此可知F (z) P(x, y) iQ(x, y)是E内的解析函数，
而且
F '(z) P i Q u iv f (z). x x
8
原函数的定义:
如果函f数(z在 ) 单连通B域内处处解析
G(z为 ) f(z的 ) 一个原函那数末,
f z1
z0
(
ζdζ )G
(1z)G
(0z)
这里z0, z1为域B内的两. 点
11
证明: 因为 z f()d也是 f(z)的原,函数 z0
所以 z f()dG(z)c, z0
当 zz0时 ,
根据柯西积分定理, 得 c G (z0),
1
格林定理：曲线积分 Pdx Qdy与路径 C
无关的充要条件是 P Q , y x
P , P , Q , Q 都连续. x y x y
2
又称为柯西-古萨定理
3
练习: 计算z积 12z1 分 3dz.
解函数 1 在z1内解 , 析 2z3
根据柯西积分定理, 有
1 dz0.
z1 2z3
4
5
0
2
解1）： i ;2)ee1. 3
13
14
定理5 （复合闭路定理）如果 f ( 在z ) 多连域内E
解析，复合闭路 C ( C 0 C 1 C n )所围的区域全部包含于中，那E 么
f(z)dz0
C
或C0
n
f (z)dz k1 Ck
f (z)d． z
15
E1
L1
L2
L0
E2
Ln
f(z) f(z) 0 于 G (z ) 是 H (z ) c .(c 为任意常数) [证毕] 根据以上讨论可知: 如果 f(z)在区 B内域有一个 F(z原 ), 函数那末它就有无穷多个原函数, 一般表 F (z) 达 c(c为式任为 ).意常
10
定理4: (类似于牛顿-莱布尼兹公式)
如果起 z0,终点点 z为 1, 为
B
C1
z0 C2
z1
B
C1
z0
z1
C2
f(z)dz f(z)dz z1 f (z)dz
C1
C2
z0
如z 0 果 ,让 z 1 在 B 内固 ,并变定 z 1 z ,令动
便可B 确内定的一个 F(z单 )zz0值 f()d 函 .
6
定理3：
16
复合闭路定理的一个特殊情形：
CC0 C1
闭路变形公式 :
f(z)dz f(z)dz
C0
C1
重要性在于能够把函数沿一闭曲线的积分转化到另一闭曲线的积分．
17
例2 设 C为包含的z 0 任一正
向闭曲线，求
1
dz.
C z z0
解：以 z0为圆心作圆 C1,使周C1含于C 的内部，由闭路式变，形得公

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