复变函数与积分变换第二章测验题与答案

一．判断题（每题2分，共12分） 1. ∨2. ⨯ 3.⨯ 4∨. 5. ∨ 6.⨯ 二、选择题（每题3分，共21分）1. B2.D3.D4.B5.A6.A7.A 三、填空题（每题3分，共12分） 1. 2012k i,k ,,,-π=±± 2. 10i π 3. ()j F ωω4. 201 2n nn ()z (|z |).n!+∞=-<+∞∑ 四、计算题（共55分）本题主要考查学生计算能力和对计算方法的掌握程度，以及解决问题的能力。

评分标准：1.计算过程完整，答案正确，给满分2.部分正确可根据对错程度，依据答案评分点给分。

试题：1．设22(,)ln().u x y x y =+ 求(,)v x y ，使得()(,)(,)f z u x y iv x y =+为解析函数，且满足(1)ln 2f i +=.其中z D ∈（D 为复平面内的区域）.（10分）参考答案： 解：222u x x x y ∂=∂+，222u y y x y ∂=∂+………………………………………………(4分) (,)(0,0)(,)x y y x v x y u dx u dy c =-++⎰(,)2222(0,0)22x y y xdx dy c x y x y-=++++⎰2202yx dy c x y =++⎰2arctan yc x=+………………………………………………(8分)(1)(1,1)(1,1)ln 2(2arctan1)ln 2f i u iv i c +=+=++=故2c π=-……………………………………………………( 9分)(,)2arctan2y v x y x π=- ……………………………………………………(10分) 试题：2. 利用复连通区域柯西定理及高阶导数公式计算积分3221z cos zdz z (z )=π-⎰.（10分）参考答案：因为32cos ()z (1)zf z z π=-在:2C z =所围成的圆域内除去0,1z =两点外解析，作闭曲线1C 与2C 分别包含0,1z =，而1C 2C 既不相交，又不相含，又都在圆域C 的内部. ………….（3分）由复连通区域柯西定理得12233232cos cos cos (1)z z (1)z (1)C C C z zzz dz dz dz z z πππ-=+--⎰⎰⎰……………………………（5分）而1232cos 2cos (1)=[]''z 2!(1)z C zi z z dz z πππ=--⎰2=(6)i ππ-23231cos 2cos z =[]'(1)1!z z C zi z dz z πππ=-⎰=6i π…………..…………………（9分）223226+6121z cos zdz ()i i ()i z (z )=π=-πππ=-ππ-⎰ …………（10分） 试题：3. 将函数21()(2)(+1)f z z z =-在12z <<展开为洛朗级数.（10分） 参考答案：222112111()(2)(+1)5+15+152z f z z z z z z ==--+--………（4分）在12z <<时，有211,12z z<<成立。

第二章 解析函数一、选择题：1．B 可参照填空题第四小题的处理方法。

2．B 注： 函数)(z f 在点z 可导，)(z f 在点z 不一定解析；反之，)(z f 在点z 不解析，则函数)(z f 在点z 可导；函数)(z f 在一 区域内处处可导等价于处处解析3．D 注： A 三角函数的模可能大于1或无界；B 若0z 是函数)(z f 的奇点，则)(z f 在点0z 不一定不可导C 解析的条件; v u ,在区域D 内可微，v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程，4． C 由柯西黎曼方程可得。

5．B 第二节例2.3的结论： 解析函数若)(z f '在某一区域内处处为零，则函数在此区域内为常数。

6．C 注：选项A ，B ，D 中函数)(z f 只是有定义，并为要求解析。

反例：x i x z f sin cos )(+= 选项C 设解析函数),(),()(y x iv y x u z f += 则 解析函数 ),(),()(y x iv y x u z f -=两式相加得到解析函数),()(y x u z g 2= 满足柯西黎曼方程 ，因此0=∂∂xu 两式相减得到解析函数),()(y x v z h 2= 满足柯西黎曼方程 ，因此 0=∂∂xv 所以，函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导数0=∂∂+∂∂=x v i x u z f )(' 根据：第二节例2.3的结论： 解析函数若)(z f '在某一区域内处处为零，则函数在此区域内为常数。

7．A 导数公式 xv i x u z f y x iv y x u z f ∂∂+∂∂=+=)('),(),()(，则导数若 8．A 注： 本题 函数是 z e ，不是 ze 。

))sin()(cos(y i y e e e x iy x z -+-==-判定时，按照判定复变函数可导解析的方法进行处理。

复变函数与积分变换试题（一）一、填空（3分×10）1．的模 ，幅角 。

)31ln(i --2．-8i 的三个单根分别为： ，，。

3．Ln z 在 的区域内连续。

4．的解极域为：。

z z f =)(5．的导数。

xyi y x z f 2)(22+-==')(z f 6．。

=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s 7．指数函数的映照特点是：。

8．幂函数的映照特点是：。

9．若=F [f (t )]，则= F 。

)(ωF )(t f )][(1ω-f 10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]=。

二、(10分)已知，求函数使函数为解析函222121),(y x y x v +-=),(y x u ),(),()(y x iv y x u z f +=数，且f (0)=0。

三、（10分）应用留数的相关定理计算⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分（5分×2）1．⎰=-2||)1(z z z dz2． C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。

⎰-c i z z3)(cos 五、（10分）求函数在以下各圆环内的罗朗展式。

)(1)(i z z z f -=1．1||0<-<i z 2．+∞<-<||1i z 六、证明以下命题：（5分×2）（1）与构成一对傅氏变换对。

)(0t t -δo iwt e -（2）)(2ωπδ=⎰∞+∞-ω-dt e t i 七、（10分）应用拉氏变换求方程组满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。

⎪⎩⎪⎨⎧='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 八、（10分）就书中内容，函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。

复变函数与积分变换试题答案（一）一、1．， 2.-i 2i -i22942ln π+ππk arctg 22ln 32+-333.Z 不取原点和负实轴 4. 空集5.2z 6．07.将常形域映为角形域8.角形域映为角形域9.10.⎰∞+∞-ωωπωωd e F i )(21⎰∞+-0)(dte tf st 二、解：∵∴（5分）yu x x v ∂∂-=-=∂∂xuy y v ∂∂==∂∂c xy u +=cxy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222121)(∵f (0)=0c =0（3分）∴（2分）222222)2(2)(2)(z ixyi y x i y x i xy z f -=+--=--=三、解：原式=（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621π01=z 12=z （2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2643π33=z ∞=4z 2312(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--分）z z z s =0⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（∴原式=（2分） =23126⨯⨯i πi 63π-四、1．解：原式（3分）z 1=0z 2=1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=∑=k k z z z s i ,)1(1Re 221=0（2分）]11[2+-=i π2．解：原式=iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=）（cos i i cos π-=1ich π-五、1．解：ni z z f ∑∞⎪⎫⎛--⋅=⋅⋅=⋅=1111111111)(分）（分）（分）（（2分）11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=2．解：⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分）（分）（（1分）（2分）nn i z i i z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=02)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 20)(--∞=-=∑n n n i z i 六、1．解：∵（3分）∴结论成立0)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-⎰（2）解：∵（2分）1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-⎰t i t i e dw e ∴与1构成傅氏对)(2w πδ∴（2分）)(2ωπδω=-∞+∞-⎰dt e t i 七、解：∵（3分）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX S （2）-（1）：∴（3分）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=s s s Y 111)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--=1111211112s s s s s s ∴cht e e t Y t t -=--=-121211)(八、解：①定义；②C-R 充要条件Th ；③v 为u 的共扼函数10分复变函数与积分变换试题（二）一、填空（3分×10）1．函数f (z )在区域D 内可导是f (z )在D 内解析的（）条件。

第一章 复数与复变函数本章知识点和基本要求掌握复数的概念和它的各种表示方法及运算; 熟悉复平面、模与辐角的概念;熟练掌握乘积与商的模、隶莫弗公式、方根运算公式； 了解区域的概念;理解复变函数的概念; 理解复变函数的极限和连续的概念。

一、填空题1、若等式))(()75(i y i x i i -+=-成立，则=x ______, =y _______.2、设(12)(35)13i x i y i ++-=-,则x = ，y =3、若1231izi i，则z4、若(3)(25)2i i zi,则Re z5、若421iz i i+=-+，则z = 6、设(2)(2)z i i =+-+,则arg z =7复数1z i =-的三角表示式为 ，指数表示式为 .8、复数i z 212--=的三角表示式为 _________________，指数表示式为_________________. 9、设i z 21=，i z -=12，则)(21z z Arg = _ _____。

10、设4i e 2z π=，则Rez=____________. Im()z = 。

z11、。

方程0273=+z 的根为_________________________________。

12、一曲线的复数方程是2z i -=，则此曲线的直角坐标方程为 . 13、方程3)Im(=-z i 表示的曲线是__________________________.14、复变函数12+-=z z w 的实部=),(y x u _________，虚部=),(y x v _________。

15、不等式114z z -++<所表示的区域是曲线 的内部.16二、判断题（正确打√，错误打⨯）1、复数7613i i +>+. （ ）2、若z 为纯虚数，则z z ≠. （ ）3、若 a 为实常数，则a a = （ ）4、复数0的辐角为0.5、()f z u iv =+在000iy x z +=点连续的充分必要条件是(,),(,)u x y v x y 在00(,)x y 点连续。

习题二1、 求映射1w z z =+下圆周||2z =的像、 解:设i ,i z x y w u v =+=+则 2222221i i i i i()i x y x y u v x y x y x y x y x y x y x y -+=++=++=++-++++ 因为224x y +=,所以53i 44u iv x y +=+ 所以 54u x =,34v y =+ 5344,u v x y == 所以()()2253442uv +=即()()222253221u v +=,表示椭圆、2、 在映射2w z =下,下列z 平面上的图形映射为w 平面上的什么图形,设e i w ϕρ=或i w u v =+、(1)π02,4r θ<<=; (2)π02,04r θ<<<<; (3) x=a, y=b 、(a, b 为实数) 解:设222i ()2i w u v x iy x y xy =+=+=-+所以22,2.u x y v xy =-=(1) 记e i w ϕρ=,则π02,4r θ<<=映射成w 平面内虚轴上从O 到4i 的一段,即 π04,.2ρϕ<<=(2) 记e i w ϕρ=,则π0,024r θ<<<<映成了w 平面上扇形域,即π04,0.2ρϕ<<<<(3) 记w u iv =+,则将直线x =a 映成了22,2.u a y v ay =-=即2224().v a a u =-就是以原点为焦点,张口向左的抛物线将y =b 映成了22,2.u x b v xb =-=即2224()v b b u =+就是以原点为焦点,张口向右抛物线如图所示、3、 求下列极限、(1) 21lim 1z z →∞+; 解:令1z t=,则,0z t →∞→、 于就是22201lim lim 011z t t z t →∞→==++、 (2) 0Re()lim z z z→; 解:设z =x +y i,则Re()i z x z x y=+有 000Re()1lim lim i 1i z x y kx z x z x kx k →→=→==++ 显然当取不同的值时f (z )的极限不同所以极限不存在、 (3) 2lim (1)z i z i z z →-+; 解:2lim (1)z i z i z z →-+=11lim lim ()()()2z i z i z i z i z z i z i z →→-==-+-+、(4) 2122lim 1z zz z z z →+---、 解:因为222(2)(1)2,1(1)(1)1zz z z z z z z z z z +--+-+==-+-+ 所以2112223lim lim 112z z zz z z z z z →→+--+==-+、4、 讨论下列函数的连续性: (1) 22,0,()0,0;xy z x y f z z ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩解:因为220(,)(0,0)lim ()limz x y xy f z x y →→=+, 若令y =kx ,则222(,)(0,0)lim1x y xy k x y k →=++, 因为当k 取不同值时,f (z )的取值不同,所以f (z )在z =0处极限不存在、 从而f (z )在z =0处不连续,除z =0外连续、 (2) 342,0,()0,0.x y z f z x y z ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩解:因为33422022x y x x y x y x y ≤≤=+, 所以342(,)(0,0)lim 0(0)x y x y f x y →==+ 所以f (z )在整个z 平面连续、5、 下列函数在何处求导？并求其导数、(1) 1()(1)n f z z -=- (n 为正整数);解:因为n 为正整数,所以f (z )在整个z 平面上可导、1()(1)n f z n z -'=-、 (2) 22()(1)(1)z f z z z +=++、 解:因为f (z )为有理函数,所以f (z )在2(1)(1)0z z ++=处不可导、从而f (z )除1,i z z =-=±外可导、2222232222(2)(1)(1)(1)[(1)(1)]()(1)(1)2543(1)(1)z z z z z z f z z z z z z z z ''+++-+++'=++-+++=++ (3) 38()57z f z z +=-、 解:f (z )除7=5z 外处处可导,且223(57)(38)561()(57)(57)z z f z z z --+'==---、 (4) 2222()i x y x y f z x y x y +-=+++、 解:因为2222222i()i i(i )(i )(1i)(1i)1i ()x y x y x y x y x y z f z x y x y x y z z++--+--+++=====+++、 所以f (z )除z =0外处处可导,且2(1i)()f z z+'=-、6、 试判断下列函数的可导性与解析性、(1) 22()i f z xy x y =+;解:22(,),(,)u x y xy v x y x y ==在全平面上可微、22,2,2,y u v v y xy xy x x y x y∂∂∂∂====∂∂∂∂ 所以要使得u v x y ∂∂=∂∂, u v y x∂∂=-∂∂, 只有当z =0时,从而f (z )在z =0处可导,在全平面上不解析、(2) 22()i f z x y =+、解:22(,),(,)u x y x v x y y ==在全平面上可微、2,0,0,2u u v v x y x y x y∂∂∂∂====∂∂∂∂ 只有当z =0时,即(0,0)处有u v x y ∂∂=∂∂,u v y y∂∂=-∂∂、 所以f (z )在z =0处可导,在全平面上不解析、(3) 33()23i f z x y =+;解:33(,)2,(,)3u x y x v x y y ==在全平面上可微、226,0,9,0u u v v x y x y x y∂∂∂∂====∂∂∂∂=时,才满足C-R 方程、从而f (z )0=处可导,在全平面不解析、 (4) 2()f z z z =⋅、解:设i z x y =+,则23232()(i )(i )i()f z x y x y x xy y x y =-⋅+=+++ 3232(,),(,)u x y x xy v x y y x y =+=+22223,2,2,3u u v v x y xy xy y x x y x y∂∂∂∂=+===+∂∂∂∂ 所以只有当z =0时才满足C-R 方程、从而f (z )在z =0处可导,处处不解析、7、 证明区域D 内满足下列条件之一的解析函数必为常数、(1) ()0f z '=;证明:因为()0f z '=,所以0u u x y ∂∂==∂∂,0v v x y∂∂==∂∂、 所以u ,v 为常数,于就是f (z )为常数、(2) ()f z 解析、证明:设()i f z u v =-在D 内解析,则()u v u v x y x y∂∂-∂∂=⇒=-∂∂∂∂ ()u v v y x y∂-∂-∂==+∂∂∂ ,u v u v x y y x∂∂∂∂=-=∂∂∂∂ 而f (z )为解析函数,所以,u u u v x y y x ∂∂∂∂==-∂∂∂∂ 所以,,v v v v x x y y ∂∂∂∂=-=-∂∂∂∂即0u u v v x y x y∂∂∂∂====∂∂∂∂ 从而v 为常数,u 为常数,即f (z )为常数、(3) Re f (z )=常数、证明:因为Re f (z )为常数,即u =C 1, 0u u x y∂∂==∂∂ 因为f (z )解析,C-R 条件成立。

第一章 复数与复变函数本章知识点和基本要求掌握复数的概念和它的各种表示方法及运算； 熟悉复平面、模与辐角的概念；熟练掌握乘积与商的模、隶莫弗公式、方根运算公式； 了解区域的概念；理解复变函数的概念； 理解复变函数的极限和连续的概念。

一、填空题1、若等式))(()75(i y i x i i -+=-成立，则=x ______, =y _______.2、设(12)(35)13i x i y i ++-=-，则x = ，y =3、若1231izi i，则z4、若(3)(25)2i i zi，则Re z5、若421iz i i+=-+，则z = 6、设(2)(2)z i i =+-+，则arg z =7复数1z i =-的三角表示式为 ，指数表示式为 。

8、复数i z 212--=的三角表示式为 _________________，指数表示式为_________________.9、设i z 21=,i z -=12，则)(21z z Arg = _ _____.10、设4i e 2z π=,则Rez=____________. Im()z = 。

z11、.方程0273=+z 的根为_________________________________.12、一曲线的复数方程是2z i -=，则此曲线的直角坐标方程为 。

13、方程3)Im(=-z i 表示的曲线是__________________________. 14、复变函数12+-=z z w 的实部=),(y x u _________,虚部=),(y x v _________. 15、不等式114z z -++<所表示的区域是曲线 的内部。

16二、判断题（正确打√，错误打⨯）1、复数7613i i +>+. ( )2、若z 为纯虚数，则z z ≠. ( )3、若 a 为实常数，则a a = （ ）4、复数0的辐角为0.5、()f z u iv =+在000iy x z +=点连续的充分必要条件是(,),(,)u x y v x y 在00(,)x y 点连续。

第二章第二章 解析函数解析函数1．用导数定义，求下列函数的导数：．用导数定义，求下列函数的导数： (1) ()Re .f x z z = 解: 因0()()lim z f z z f z z D ®+D -D0()Re()Re lim z z z z z z zz D ®+D +D -=D 0Re Re Re limz z z z z z zz D ®D +D +D D =D0Re lim(ReRe )z zz z z z D ®D =+D +D00Re lim(Re )lim(Re ),z x y zx z z z z z x i y D ®D ®D ®D D =+=+D D +D当0z ¹时,上述极限不存在,故导数不存在；当0z =时,上述极限为0,故导数为0. 2．下列函数在何处可导?何处不可导?何处解析?何处不解析? (1) 2().f z z z =× 解: 22222222()||()()()(),f z z z z z z z zx y x iy x x y iy x y =×=××=×=++=+++这里2222(,)(),(,)().u x y x x y v x y y x y =+=+2222222,2,2,2.x y y x u x y x v x y y u xy v xy =++=++==要,x y y x u v u v ==-，当且当0,x y ==而,,,x y x yu u v v 均连续，故2().f z z z =×仅在0z =处可导，处处不解析. (2) 3223()3(3).f z x xy i x y y =-+-解: 这里322322(,)3,(,)3.33,x u x y x xy v x y x y y u x y =-=-=-226,6,33,y x y u xy v xy v x y =-==-四个偏导数均连续且,x y y x u v u v ==-处处成立,故()f z 在整个复平面上处处可导,也处处解析. 3．确定下列函数的解析区域和奇点,并求出导数. (1) (,).az bc d cz d++至少有一不为零解: 当0c ¹时，()az b f z cz d +=+除d z c =-外在复平面上处处解析, dz c=-为奇点, 222()()()()()()()()().()()az b f z cz daz b cz d cz d az b cz d a cz d c az b ad cb cz d cz d +¢¢=+¢¢++-++=++-+-==++ 当0c =时，显然有0d ¹，故()az b f z d +=在复平面上处处解析，且()a f z d ¢=. 4.若函数()f z 在区域D 内解析,并满足下列条件之一,试证()f z 必为常数. (1) ()f z 在区域D 内解析; (2) 2;v u =(3) arg ()f z 在D 内为常数; (4) (,,).au bv c a b c +=为不全为零的实常数 证 (1) 因为()f z 在D 中解析,所以满足C R -条件条件,,u v u v x y y x¶¶¶¶==-¶¶¶¶又()f z u iv =-也在D 中解析,也满足C R -条件条件()(),.u v u v x y y x¶¶-¶¶-==-¶¶¶¶ 从而应有0u u v v x y x y¶¶¶¶====¶¶¶¶恒成立,故在D 中,u v 为常数, ()f z 为常数. (2) 因()f z 在D 中解析且有2()f z u iu =+,由C R -条件,有2,2.u uu x y u u u yx ¶¶ì=ﶶïí¶¶ï=-ﶶî 则可推出0u u x y¶¶==¶¶,即u C =(常数).故()f z 必为D 中常数. (3) 设()f z u iv =+,由条件知arctan v C u =,从而22(/)(/)0,0,1(/)1(/)v u v u yx v u v u ¶¶¶¶==++计算得计算得2222()/0v uu u v u xxu v ¶¶-¶¶=+，2222()/0,v uu u v u yy u v ¶¶-¶¶=+化简,利用C R -条件得条件得0,0.uu u v yx u u u v xy ¶¶ì--=ﶶïí¶¶ï-=ﶶî 所以0,u u x y ¶¶==¶¶同理0,v vx y ¶¶==¶¶即在D 中,u v 为常数,故()f z 在D 中为常数. (4) 法一：设0,a ¹则()/,u c bv a =-求导得求导得,,u b v u b v xa x ya y ¶¶¶¶=-=-¶¶¶¶由C R -条件条件,,u b u v b vx a y x a y ¶¶¶¶==¶¶¶¶ 故,u v 必为常数,即()f z 在D 中为常数. 设0,0,0a b c =¹¹则bv c =,知v 为常数,又由C R -条件知u 也必为常数,所以()f z 在D 中为常数. 法二：等式两边对,x y 求偏导得：00x x y y au bv au bv +=ìí+=î，由C R -条件，我们有条件，我们有0,00x y x x y y au bu u a b bu au u b a -=-ìæöæö=íç÷ç÷+=èøîèø即， 而220a b+¹，故0x y u u ==，从而u 为常数，即有()f z 在D 中为常数. 5.设()f z 在区域D 内解析,试证: 222222()|()|4|()|.f z f z xy¶¶¢+=¶¶证: 设 222(),|()|,f z u i v f z u v =+=+ 222(),|()|()().uuu u f z i f z x yx y ¶¶¶¶¢¢=-=+¶¶¶¶ 而2222222222222222222222222()|()|()()2()()()(),f z u v u v xyx y u u v v u u v vu v u v x x x x y y y y ¶¶¶¶+=+++¶¶¶¶éù¶¶¶¶¶¶¶¶=+++++++êú¶¶¶¶¶¶¶¶ëû又()f z 解析,则实部u 及虚部v 均为调和函数.故222222220,0.u u v v u v xyx y¶¶¶¶=+==+=¶¶¶¶则22222222()|()|4(()())4|()|.u u f z f z x yxy¶¶¶¶¢+=+=¶¶¶¶6.由下列条件求解解析函数().f z u iv =+ (1)22()(4);u x y x xy y =-++ 解: 因22363,u v x xy y x y ¶¶==+-¶¶所以所以 22(363)v x xy y dy =+-ò22333(),x y xy y x j =+-+又222263(),363,()3,v u xy y x x xy y x x xxj j ¶¶¢¢=++=--=-¶¶而所以 则3()x x C j =-+.故2222222233332222222233()()(4)(33)(1)()(1)()2(1)2(1)(1)()2(1)(1)(2)(1)f z u ivx y x xy y i x y xy y x C i x x iy y i x iy x y i xy i Ciz i x y xyi iz i Cii z x y xyi Ci i z Ci=+=-++++--+=-+--+-+--+=---×-+=---+=-+ (2) 23;v xy x =+解: 因23,2,v v y x xy¶¶=+=¶¶由()f z 解析,有22,2().u v x u xdx x y x yf ¶¶====+¶¶ò又23,u v y y x ¶¶=-=--¶¶而(),u y y f ¶¢=¶所以()23,y y f ¢=--则2()3.y y y C f =--+故 22()3(23).f z x y y C i xy x =--+++ (3) 2(1),(2);u x y f i =-=-解: 因2,2(1),u u y x x y ¶¶==-¶¶由()f z 的解析性,有2(1),v ux x y ¶¶=-=--¶¶22(1)(1)(),v x d x x y f =--=--+ò 又2,v uy y x ¶¶==¶¶而(),v y yf ¶¢=¶所以2()2,(),y y y y C f f ¢==+则22(1),v x y C =--++故22()2(1)((1)),f z x y i x y C =-+--++由(2)f i =-得(2)(1),f i C i =-+=-推出0.C =即2222()2(1)(21)(21)(1).f z x y i y x x i z z i z =-+-+-=-+-=--7.设sin ,pxv e y =求p 的值使v 为调和函数,并求出解析函数().f z u iv =+解: 要使(,)v x y 为调和函数,则有0.xx yyv v v D =+=即2sin sin 0,px px p e y e y -=所以1p =±时,v 为调和函数,要使()f z 解析,则有,.xy y x uv u v ==-1(,)cos cos (),1sin ()sin .pxpx x px px y u x y u dx e ydx e y y pu e y y pe y pf f ===+¢=-+=-òò()3i 33)i 3p),i p p p.22ee e e ==c t 3(1)l n 2(2)4l n22l n 2244ln 224cos(ln 2)sin(ln 2).44i i k k i k k ee ei p p p p p p pp p p éù++-+êúëûéù+-++-êúëû+-==éù=-+-êúëû(4) 33;i- 解: 3(3)ln3(3)(ln32)3ii i k i eep---+==(3)l n 323l n 32227(c o s l n3s i n l n 3).i k k i ik ee eee i p p p-+-=×=×=-。

复变函数与积分变换（修订版）主编：马柏林（复旦大学出版社）——课后习题答案习题一1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数π/43513;;(2)(43);711i i e i i i i i-++++++.①解i 4πππe cos isin 44-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭②解： ()()()()35i 17i 35i 1613i 7i 11+7i 17i 2525+-+==-++-③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 1335=i i i 1i 222-+-+=-+2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )(z a a z a -∈+); 33311;;;.22n z i ⎛⎛-+-- ⎝⎭⎝⎭①： ∵设z =x +iy则()()()()()()()22i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y -++-⎡⎤⎡⎤+--+-⎣⎦⎣⎦===+++++++ ∴()22222Re z a x a y z a x a y ---⎛⎫= ⎪+⎝⎭++,()222Im z a xyz a x a y-⎛⎫=⎪+⎝⎭++． ②解： 设z =x +iy ∵()()()()()()()()323222222223223i i i 2i i 22i33iz x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++⎡⎤=--+-+⎣⎦=-+- ∴()332Re 3z x xy =-,()323Im 3z x y y =-．③解：∵(()(){}33232111313188-+⎡⎤⎡⎤==--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭． ④解：∵()()(()2332313131i 8⎡⎤--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎣⎦=⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭． ⑤解： ∵()()1,2i 211i,kn kn k k n k ⎧-=⎪=∈⎨=+-⋅⎪⎩． ∴当2n k =时，()()Re i 1kn=-，()Im i 0n=；当21n k =+时，()Re i 0n =，()()Im i 1kn =-．3.求下列复数的模和共轭复数12;3;(2)(32);.2ii i i +-+-++①解：2i -+==2i 2i -+=--②解：33-=33-=-③解：()()2i 32i 2i 32i ++=++=()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+⋅+=-⋅-=-④解：1i 1i 22++==()1i 11i222i ++-⎛⎫== ⎪⎝⎭4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数．证明：若z z =，设i z x y =+，则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0 ∴z =x 为实数．若z =x ，x ∈ ，则z x x ==． ∴z z =．命题成立．5、设z ,w ∈ ，证明： z w z w ++≤证明∵()()()()2z w z w z w z w z w +=+⋅+=++()()22222Re z z z w w z w wz zw z w w z wz w =⋅+⋅+⋅+⋅=++⋅+=++⋅()2222222z w z wz w z w z w ++⋅=++⋅=+≤∴z w z w ++≤．6、设z ,w ∈ ，证明下列不等式． ()2222Re z w z z w w +=+⋅+ ()2222Re z w z z w w -=-⋅+()22222z w z w z w++-=+并给出最后一个等式的几何解释．证明：()2222Re z w z z w w +=+⋅+在上面第五题的证明已经证明了．下面证()2222Re z w z z w w -=-⋅+．∵()()()()222z w z w z w z w z w z z w w z w-=-⋅-=--=-⋅-⋅+()222Re z z w w =-⋅+．从而得证．∴()22222z w z w z w ++-=+几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．3352π2π;;1;8π(1);.cos sin 7199i i i i +⎛⎫--+ ⎪+⎝⎭ ①解：()()()()35i 17i 35i 7i 117i 17i +-+=++-3816i 198i e 5025i θ⋅--==其中8πarctan 19θ=-．②解：e i i θ⋅=其中π2θ=．π2e i i =③解：ππi i 1e e -==④解：()28π116ππ3θ-+==-.∴()2πi 38π116πe--+=⋅⑤解：32π2πcos isin 99⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 解：∵32π2πcosisin 199⎛⎫+= ⎪⎝⎭．∴322πi π.3i 932π2πcos isin 1e e 99⋅⎛⎫+=⋅= ⎪⎝⎭8.计算：(1)i 的三次根；(2)-1的三次根；(3)的平方根.⑴i 的三次根． 解：()13ππ2π2πππ22cos sin cosisin 0,1,22233++⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭k k i k∴1ππ1cosisin i 662=+=+z ．2551cos πisin πi 662=+=+z3991cos πisin πi 662=+=-z ⑵-1的三次根 解：()()132π+π2ππcos πisin πcosisin 0,1,233k k k ++=+=∴1ππ1cos isin 332=+=z 2cos πisin π1=+=-z3551cos πisin π332=+=-z的平方根． 解：πi 4e ⎫⎪⎪⎝⎭∴)()1π12i 44ππ2π2π44e6cos isin 0,122k k k ⎛⎫++ ⎪=⋅+= ⎪⎝⎭∴π11i 8441ππ6cos isin 6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z911πi 8442996cos πisin π6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z ． 9.设2πe,2inz n =≥. 证明：110n z z -+++=证明：∵2πi e nz ⋅= ∴1n z =，即10n z -=．∴()()1110n z z z --+++=又∵n ≥2． ∴z ≠1 从而211+0n z z z -+++=11.设Γ是圆周{:},0,e .i z r r a c r z c α=>=+-令:Im 0z a L z b β⎧-⎫⎛⎫==⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭, 其中e i b β=.求出L β在a 切于圆周Γ的关于β的充分必要条件. 解：如图所示．因为L β={z : Im z a b -⎛⎫⎪⎝⎭=0}表示通过点a 且相切，则CA ⊥L β．过C 作直线平行L β，则有∠BCD =β，∠ACB =90° 故α-β=90°所以L β在α处切于圆周T 的关于β的充要条件是α-β=90°．12.指出下列各式中点z 所确定的平面图形，并作出草图.(1)arg π;(2);1(3)1|2;(4)Re Im ;(5)Im 1 2.z z z z i z z z z ==-<+<>><且解：(1)、argz =π．表示负实轴．(2)、|z -1|=|z |．表示直线z =12．(3)、1<|z +i|<2解：表示以-i 为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。