积分变换第二章习题课

t F ( s) f (t )dt s 0
ℒ 1 F (s a) f (t ) ea t
ℒ
ℒ
1
1
ℒ F (s) tf (t )
1
ℒ
1
F ( s )ds f (t ) s t
ℒ
1
F1(s)F2 (s) f1(t) f2 (t)
例5 求下列函数的卷积：
(1) sin t cos t; (2) t *sin t .
例6 利用Laplace变换解常微分方程的初值问题：
y 4y 3y e t y(0) y(0) 1
第二章 Laplace变换
1 内容提要
2 典型例题
1
拉普拉斯变换
1.1拉普拉斯变换的概念 定义1 设函数 f (t ) 当 t 0 有定义,而且积分

0
f (t ) e st dt
(s 是一个复参量）
在 s 所确定的某一域内收敛,则由此积分所确定的 函数可写为 F (s) f (t ) e st dt
0
t
称为函数 f1 (t ), f 2 (t ) 在 [0, ) 上的卷积.
(2)拉氏变换的卷积定理 若 ℒ f1 (t ) F1 (s), ℒ f 2 (t ) F2 (s), 则 ℒ ℒ
f1(t) f2 (t) F1(s)F2 (s)
1
F1(s)F2 (s) f1(t) f2 (t)
二、典型例题
例1 求 cos2 t的Laplace变换。
例2 求函数f (t ) e 4t sin 3t的Laplace变换。
例3 求函数f (t ) te
3 t
sin 2t的Laplace变换.
例4
求下列函数的Fourier逆变换。 1 （1） F ( s ) 4 s 5 s2 4 1 （2） F ( s ) 2 2 （s 2 s 2）
1 e sk
kt
n
1 u (t ) s
k n! t n 1 sin kt 2 s s k2
cos kt
s s2 k 2
拉氏逆变换的性质
ℒ
1
F1(s) F2 (s) f1(t ) f2 (t )
st0 e F (s) f (t t0 )u (t t0 )
5 拉普拉斯变换的应用
常系数线性微分方程的拉普拉斯变换解法
利用拉普拉斯变换可以比较方便地求解常系 数线性微分方程（或方程组）的初值问题,其 基本步骤如下: （1）根据拉普拉斯变换的微分性质和线性 性质,对微分方程（或方程组）两端取拉普拉 斯变换,把微分方程化为象函数的代数方程; （2）从象函数的代数方程中解出象函数; （3）对象函数求拉普拉斯逆变换,求得微分 方程（或方程组）的解.
1 e sk
kt
n
1 u (t ) s
k n! t n 1 sin kt 2 s s k2
cos kt
s s2 k 2
2 拉普拉斯变换的性质
2.1 线性性质 设 ℒ f1 (t ) F1 (s) ℒ f2 (t ) F2 (s) , 为常数则
t 0
右端的积分称为拉氏反演积分.它是一 个复变函数的积分,但计算比较麻烦.
• 求拉普拉斯逆变换的方法主要有留数法、部 分分式法、查表法等. 我们简单介绍留数法和查 表法.
利用拉普拉斯变换表和性质求拉普拉斯逆变 换
一些常用函数的拉氏变换
(t ) 1 ( n) (t ) s n
0
我们称上式为函数 f (t ) 的拉普拉斯变换式 ,记做 F ( s ) ℒ f (t ) F ( s) 叫做 f (t ) 的拉氏变换,象函数.
f (t ) 叫做 F ( s ) 的拉氏逆变换,象原函数, f (t ) = ℒ
1
F ( s)
一些常用函数的拉氏变换
(t ) 1 ( n) (t )源自文库 s n
ℒ F (s) tf (t )
1
f (t ) t ℒ 1 F (s)
2.4 积分性质
（1）象原函数的积分性质 若 ℒ f (t ) F (s),
则
F ( s) ℒ [ 0 f (t )dt ] s t 1 F ( s ) f (t )dt ℒ s 0
st ℒ f (t t0 )u(t t0 ) e 0 F (s)
st0 ℒ e F ( s) f (t t0 )u (t t0 ) （2）象函数的位移性质 1
at ℒ e f (t ) F ( s a)
2.3 微分性质 （1）象原函数的微分性质 若 ℒ f (t ) F (s), 则
1
F ( s )ds s
一般地
f (t ) ℒ [ t n ] s ds s ds n 次

s
ds F ( s)
3 拉普拉斯逆变换
根据拉普拉斯变换的定义 1 j st f t F s e ds 2 j j
4 拉氏变换的卷积与卷积定理
(1) [0, ) 上的卷积定义 若函数 f1 (t ), f 2 (t ) 满足, t 0 时都为零,
则可以证明卷积
f1 (t ) f 2 (t )

f1 ( ) f 2 (t )d f1 ( ) f 2 (t )d
ℒ f1 (t ) f2 (t ) F 1 ( s) F 2 ( s) ℒ
1
F1(s) F2 (s) f1(t ) f2 (t )
2.2位移性质 （1）象原函数的位移性质 若 ℒ f (t ) F ( s) t 0 为非负实常数,则
t
一般地
ℒ [ 0 dt 0 dt
n 次
t
t

t 0
1 f (t )dt ] n F ( s) s
（2）象函数的积分性质 若 ℒ f (t ) F (s), 且积分

s
F (s)ds 收敛
则
或
f (t ) ] F ( s )ds ℒ [ s t
1 f (t ) ℒ t
ℒ f (t ) sF (s) f (0) 一般地,
(n) n n 1 n 2 f ( t ) s F ( s ) s f (0) s f (0) ℒ
(Re s C)
f ( n 1) (0)
特别地,当
f (0) f (0) f (0)
f ( n1) (0) 0
时,
(n) n f ( t ) s F ( s) ℒ
可以证明
(n) n ( t ) s ℒ
（2）象函数的微分性质
若 ℒ f (t ) F (s),
从而 ℒ tf (t ) F (s) 则
F (s) ℒ tf (t )