正余弦定理的应用举例备课教案

《正弦定理和余弦定理的实际运用举例》教学设计正弦定理和余弦定理的实际运用举例教学设计简介本教学设计旨在教授正弦定理和余弦定理的实际运用方法。

通过实例演示和练题的形式，帮助学生理解和掌握这两个几何定理的应用场景。

教学目标- 理解正弦定理和余弦定理的概念和原理- 掌握正弦定理和余弦定理在实际问题中的应用方法- 进一步发展解决几何问题的能力教学内容正弦定理- 介绍正弦定理的概念和公式（a/sinA = b/sinB = c/sinC）- 解释正弦定理的几何意义和运用场景- 演示实际问题中如何利用正弦定理求解未知变量余弦定理- 介绍余弦定理的概念和公式（c² = a² + b² - 2abcosC）- 解释余弦定理的几何意义和运用场景- 演示实际问题中如何利用余弦定理求解未知变量实际运用举例- 提供几个实际问题的案例，涉及三角形的边长和角度- 分步引导学生运用正弦定理和余弦定理解决这些问题- 给予学生充足的练机会，以加深对定理应用的理解和熟练度教学步骤1. 引入：复三角形的基本概念和知识点2. 正弦定理：- 介绍正弦定理的公式和使用方法- 演示一个实际问题的解决过程，利用正弦定理求解未知变量- 学生模仿演示并完成相关练题3. 余弦定理：- 介绍余弦定理的公式和使用方法- 演示一个实际问题的解决过程，利用余弦定理求解未知变量- 学生模仿演示并完成相关练题4. 实际运用举例：- 提供几个实际问题的案例，涉及三角形的边长和角度- 分组或个人完成案例分析和解决过程- 学生通过小组或个人报告展示解决思路和结果5. 总结与讨论：- 综合讨论学生的解决思路和方法的优劣- 引导学生总结出正弦定理和余弦定理在解决实际问题中的重要性和应用价值教学评估1. 参与度评估：观察学生在课堂中的积极参与程度和问题解答能力2. 练成绩评估：通过练题的完成情况和准确度，进行学生对正弦定理和余弦定理的理解和应用评估3. 案例分析评估：评估学生在实际问题解决中的思考能力和解决方法的合理性参考资源1. 《高中数学教材》2. 互动教学软件和课件3. 个人和小组练习题。

正余弦定理的应用举例教案一、教学目标1. 理解正余弦定理的概念及其在几何中的应用。

2. 学会运用正余弦定理解决实际问题，提高解决问题的能力。

3. 培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。

二、教学内容1. 正余弦定理的定义及公式。

2. 正余弦定理在直角三角形中的应用。

3. 正余弦定理在非直角三角形中的应用。

4. 正余弦定理解决实际问题举例。

三、教学重点与难点1. 教学重点：正余弦定理的定义及公式，正余弦定理在几何中的应用。

2. 教学难点：正余弦定理在非直角三角形中的应用，解决实际问题。

四、教学方法1. 采用讲授法讲解正余弦定理的定义及公式。

2. 利用案例分析法讲解正余弦定理在直角三角形和非直角三角形中的应用。

3. 利用小组讨论法解决实际问题。

五、教学过程1. 引入：通过讲解正弦、余弦的概念，引导学生理解正余弦定理的背景。

2. 讲解：详细讲解正余弦定理的定义及公式，结合实际例子，让学生理解并掌握定理的应用。

3. 练习：布置练习题，让学生运用正余弦定理解决直角三角形和非直角三角形的问题。

4. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用正余弦定理进行解决，培养学生的解决问题的能力。

5. 小组讨论：让学生分组讨论，分享各自的解题思路和方法，培养学生的团队协作能力。

6. 总结：对本节课的主要内容进行总结，强调正余弦定理在几何中的应用及其重要性。

7. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。

六、教学评估1. 课堂练习：通过课堂练习，了解学生对正余弦定理的理解和应用情况。

2. 课后作业：布置有关正余弦定理应用的作业，收集并批改，分析学生的掌握情况。

3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，了解他们的合作能力和问题解决能力。

七、教学反思1. 教师应根据学生的反馈，及时调整教学方法和进度。

2. 对于学生的共性问题，应加强讲解和辅导。

3. 鼓励学生积极参与课堂和课后实践，提高他们的实际应用能力。

八、拓展与延伸1. 引导学生思考正余弦定理在其他领域的应用。

正弦定理和余弦定理的运用教案正文：正弦定理和余弦定理的运用教案一、教学目标1. 理解正弦定理和余弦定理的含义和基本公式；2. 掌握正弦定理和余弦定理在解决三角形相关问题中的应用方法；3. 培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

二、教学重点1. 正弦定理的推导和应用；2. 余弦定理的推导和应用。

三、教学难点1. 正弦定理和余弦定理的理解和记忆；2. 通过具体问题实际运用，使学生深入理解定理的应用方法。

四、教学准备1. 教材：三角函数学科教材；2. 工具：投影仪、黑板、粉笔、直尺、量角器。

五、教学过程Ⅰ. 导入（10分钟）1. 教师简要复习三角比的概念和计算方法；2. 教师引导学生思考：在已知某一角的情况下，如何确定三角形的边长呢？Ⅱ. 正弦定理的推导和应用（20分钟）1. 教师通过投影仪展示正弦定理的基本公式：a/sinA = b/sinB =c/sinC；2. 教师讲解正弦定理的推导过程，并与学生一同完成推导；3. 教师给出具体问题，引导学生运用正弦定理解决问题，并逐步引导学生总结出应用方法。

Ⅲ. 余弦定理的推导和应用（20分钟）1. 教师通过投影仪展示余弦定理的基本公式：c² = a² + b² - 2abcosC；2. 教师讲解余弦定理的推导过程，并与学生一同完成推导；3. 教师给出具体问题，引导学生运用余弦定理解决问题，并逐步引导学生总结出应用方法。

Ⅳ. 正弦定理和余弦定理的综合应用（25分钟）1. 教师给出一些复合问题，要求学生结合正弦定理和余弦定理解决问题；2. 学生分组讨论、解答问题，并在黑板上展示解题过程；3. 教师组织学生展示解题思路和方法，并针对不同解题方法进行及时点评。

Ⅴ. 拓展应用（15分钟）1. 教师布置一些拓展性应用题，要求学生在课后完成；2. 学生自主学习拓展内容，并在下节课讲解时与教师进行互动讨论。

Ⅵ. 总结与作业（10分钟）1. 教师对本节课的要点进行总结，并强调正弦定理和余弦定理的重要性；2. 布置作业：完成课后习题，复习和巩固所学知识。

正余弦定理的应用举例教案第一章：正弦定理的应用1.1 概述介绍正弦定理的概念和基本公式解释正弦定理在几何图形中的应用1.2 三角形内角和定理证明三角形内角和定理运用正弦定理计算三角形的内角和1.3 三角形面积计算介绍三角形面积计算公式运用正弦定理计算三角形的面积第二章：余弦定理的应用2.1 概述介绍余弦定理的概念和基本公式解释余弦定理在几何图形中的应用2.2 三角形边长计算运用余弦定理计算三角形的边长举例说明余弦定理在实际问题中的应用2.3 三角形角度计算运用余弦定理计算三角形的角度举例说明余弦定理在实际问题中的应用第三章：正弦定理与余弦定理的综合应用3.1 概述介绍正弦定理与余弦定理的综合应用解释正弦定理与余弦定理在几何图形中的应用3.2 三角形全等的证明运用正弦定理与余弦定理证明三角形全等举例说明正弦定理与余弦定理在三角形全等问题中的应用3.3 三角形相似的证明运用正弦定理与余弦定理证明三角形相似举例说明正弦定理与余弦定理在三角形相似问题中的应用第四章：正弦定理与余弦定理在实际问题中的应用4.1 概述介绍正弦定理与余弦定理在实际问题中的应用解释正弦定理与余弦定理在实际问题中的重要性4.2 测量问题中的应用运用正弦定理与余弦定理解决测量问题举例说明正弦定理与余弦定理在测量问题中的应用4.3 几何问题中的应用运用正弦定理与余弦定理解决几何问题举例说明正弦定理与余弦定理在几何问题中的应用第五章：正弦定理与余弦定理的拓展与应用5.1 概述介绍正弦定理与余弦定理的拓展与应用解释正弦定理与余弦定理在其他领域中的应用5.2 在物理学中的应用介绍正弦定理与余弦定理在物理学中的应用举例说明正弦定理与余弦定理在振动、波动等问题中的应用5.3 在工程学中的应用介绍正弦定理与余弦定理在工程学中的应用举例说明正弦定理与余弦定理在建筑、航空航天等领域中的应用第六章：正弦定理与余弦定理在三角形中的应用举例6.1 概述回顾正弦定理与余弦定理的基本概念和公式。

高中数学《正余弦定理应用举例》公开课优秀教学设计本节课是一节实际应用课，主要研究正弦定理、余弦定理及三角形中的几何计算。

通过解决实际问题，引领学生认识问题、分析问题并最终解决问题。

二、教学目标设置根据学生的认知水平，确定本节课的教学目标：知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决有关测量距离的实际问题，了解测量的方法和意义。

在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法，搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题和基本图形和基本等量关系。

过程与方法：采用启发与尝试的方法，让学生在解决实际问题中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架。

通过解三角形的应用的研究，提高解决实际问题的能力，让学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用。

情感、态度、价值观：激发学生研究数学的兴趣，并体会数学的应用价值。

培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力。

进一步培养学生研究数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力。

三、学生学情分析本节课的教学对象是XXX高二年级的学生。

学生已经研究了正弦定理和余弦定理，能够运用解决一些三角形问题，但在运用正弦定理和余弦定理解三角形的时候不能将实际问题转化成数学问题，构造模型的能力有待提高。

难点：1.实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解。

2.根据题意建立数学模型，画出示意图。

突破策略：1.在探索概念阶段，让学生和老师共同完成例1，让学生体会实际问题建立数学模型，解答数学模型，再得到实际问题解的过程。

2.在应用概念阶段，通过对解答过程的分析，帮助学生掌握在实际问题中找寻可解三角形的实际过程。

3.教师启发引导，组织学生交流研讨，展现思维过程。

五、教学过程设计教学过程】一、创设情境，明确目标。

在古代，天文学家没有先进的仪器，却能够估算出地球和月亮之间的距离。

实用文案天津职业技术师范大学人教A版数学必修51.2正弦定理余弦定理的应用举例理学院数学0701田承恩一、教材分析本课是人教A版数学必修5 第一章解三角形中1.2的应用举例中测量长度问题。

因为在本节课前，同学们已经学习了正弦定理、余弦定理的公式及基本应用。

本节课的设计，意在复习前面所学两个定理的同时，加深对其的了解，以便能达到在实际问题中熟练应用的效果。

同学们在学习时可以考虑，题中为什么要给出这些已知条件，而不是其他条件？要注意的是在某种特殊的实际问题下哪些条件可以测量，哪些不能。

这节课我们就跟同学们共同研究这个问题。

(一)重点1.正弦定理、余弦定理各自的公式记忆。

2.解斜三角形问题的实际应用以及全章知识点的总结归纳。

(二)难点1.根据已知条件如何找出最简单的解题方法。

2.用应用数学的思想解决实际问题。

(三)关键让学生灵活运用所学正弦定理、余弦定理。

并具备解决一些基本实际问题的能力。

二、学情分析学生已经学习了高中数学大部分内容，已经有了必要的数学知识储备和一定的数学思维能力；作为高中高年级学生，也已经具有了必要的生活经验。

因此，可以通过生活中的例子引入如何用正弦定理、余弦定理解决实际问题。

让学生自然而然地接受一些固定解法，这样，学生既学习了知识又培养了能力。

三、学习目标(一)知识与技能1.熟练掌握正弦定理、余弦定理的公式2.掌握应用正弦定理、余弦定理解题的基本分析方法和步骤(二)过程与方法1.通过应用举例的教学，培养学生的推理能力，优化学生的思维品质2.通过教学中的不断设问，引导学生经历探索、解决问题的过程(三)情感、态度与价值观让同学找到学习数学的乐趣，让同学们感受到数学在现实中应用的广泛性。

四、教学手段计算机，ppt，黑板板书。

五、教学过程（设计）之后，再在ABC中，应用余弦定理，⨯cosBCα六、板书设计。

高中数学正余弦定理教案模板（精选7篇）作为一位杰出的老师，时常要开展教案准备工作，编写教案有利于我们准确把握教材的重点与难点，进而选择恰当的教学方法。

如何把教案做到重点突出呢？这里给大家分享一些关于高中数学余弦定理教案，方便大家学习。

下面是的为您带来的7篇《高中数学正余弦定理教案模板》，希望能够对困扰您的问题有一定的启迪作用。

余弦定理教案篇一今天我说课的内容是余弦定理，本节内容共分3课时，今天我将就第1课时的余弦定理的证明与简单应用进行说课。

下面我分别从教材分析。

教学目标的确定。

教学方法的选择和教学过程的设计这四个方面来阐述我对这节课的教学设想。

一、教材分析本节内容是江苏教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书《数学》必修五的第一章第2节，在此之前学生已经学习过了勾股定理。

平面向量、正弦定理等相关知识，这为过渡到本节内容的学习起着铺垫作用。

本节内容实质是学生已经学习的勾股定理的延伸和推广，它描述了三角形重要的边角关系，将三角形的“边”与“角”有机的联系起来，实现边角关系的互化，为解决斜三角形中的边角求解问题提供了一个重要的工具，同时也为在日后学习中判断三角形形状，证明三角形有关的等式与不等式提供了重要的依据。

在本节课中教学重点是余弦定理的内容和公式的掌握，余弦定理在三角形边角计算中的运用；教学难点是余弦定理的发现及证明；教学关键是余弦定理在三角形边角计算中的运用。

二、教学目标的确定基于以上对教材的认识，根据数学课程标准的“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者。

引导者与合作者”这一基本理念，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我认为本节课的教学目标有：1、知识与技能：熟练掌握余弦定理的内容及公式，能初步应用余弦定理解决一些有关三角形边角计算的问题；2、过程与方法：掌握余弦定理的两种证明方法，通过探究余弦定理的过程学会分析问题从特殊到一般的过程与方法，提高运用已有知识分析、解决问题的能力；3、情感态度与价值观：在探究余弦定理的过程中培养学生探索精神和创新意识，形成严谨的数学思维方式，培养用数学观点解决问题的能力和意识、三、教学方法的选择基于本节课是属于新授课中的数学命题教学，根据《学记》中启发诱导的思想和布鲁纳的发现学习理论，我将主要采用“启发式教学”和“探究性教学”的教学方法即从一个实际问题出发，发现无法使用刚学习的正弦定理解决，造成学生在认知上的冲突，产生疑惑，从而激发学生的探索新知的欲望，之后进一步启发诱导学生分析，综合，概括从而得出原理解决问题，最终形成概念，获得方法，培养能力。

《正弦定理和余弦定理的应用举例》教学设计《正弦定理和余弦定理的应用举例》教学设计一、设计思想：游玩中有数学、生活中用数学、专业中需数学二、教材分析：这是一堂关于正余弦定理应用举例课．利用应用举例培养数学建模能力。

为能让学生切身体验数学在生活中的重要性、普遍性，也为了更有说服力，本教学设计更换教材的例题背景，采用旅游管理专业中导游模拟形式展开设计，利用自己游玩时的经历作为背景设计问题，把应用正余弦定理解决有关距离高度角度等问题融合起来，让学生经历情景的过程中解决数学问题。

三、教学目标：知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离、高度、角度的实际问题，了解常用的测量相关术语；过程与方法：本节课是在学习了正弦定理余弦定理等内容后安排的应用举例课。

为了能引起学生更多的兴趣和热情，通过模拟导游解说，用一路游玩的过程所拍摄的照片设计一系列的开放问题，顺利地引导新课展开。

其次结合学生的实际情况，采用“情景设置——尝试建模——定理应用——归纳提炼——延时探究”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开系列讨论，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生抽象出三角形，能够类比解决实际问题。

对于三个开放的讨论题，鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正；情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力。

四、重点难点：教学重点：实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解。

教学难点：根据题意建立数学模型，画出示意图。

五、教学策略与手段：通过模拟导游带领一路游玩几处风景的讲解，把几个问题串成一个整体的游览图，用多媒体展示出来，让学生身临其境地参与进来。

六、课前准备：利用假期赴洞头拍摄照片利用网络寻找资源制作多媒体课件。

情景设计尝试建模定理的运用归纳提炼延时探究七、教学过程（一）教学基本流程（二）教学情景教学环节教学内容师生活动设计意图情景设计结合五一长假游玩经历，展示游玩洞头岛时图片，利用图片设计开放问题。

正弦定理、余弦定理应用举例1．用正弦定理和余弦定理,面积公式2．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))． (2)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图(2))．(3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏南60°,东北方向等． 【例题分析】 一、基础理解1．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为( )．A ．α＞βB ．α＝βC ．α＋β＝90° D．α＋β＝180°2．若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的( )． A ．北偏东15° B ．北偏西15° C ．北偏东10° D ．北偏西10°3．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( )．A ．5海里B ．53海里C ．10海里D ．103海里 二、测量距离问题例1、如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )．A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.2522 m例2、 如图，A ，B ，C ，D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B 、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°，30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°，AC ＝0.1 km.试探究图中B 、D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B ，D 的距离．三、测量高度问题例3、如图，山脚下有一小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB＝20 m，求山高CD.例4、如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.四、航海问题例、如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．问：乙船每小时航行多少海里？练习1．海上有A ，B ，C 三个小岛，测得A ，B 两岛相距10海里，∠BAC ＝60°，∠ABC ＝75°，则B ，C 间的距离是________海里．2. 已知一小山的高度100m,CD =从山顶看A 点的俯角为030,看B 点的俯角为045,A,B,D 三点在一条直线上，则AB= 米3. 如图，在四边形ABCD 中，∠ADB=∠BCD=75︒，∠ACB=∠BDC=45︒，DC=3，求：(1)AB 的长 (2)四边形ABCD 的面积3.如图，一艘船上午9：30在A 处得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距82n mile ．求船的航速4.如图所示，为了测量河对岸A ，B 两点间的距离，在这岸定一基线CD ，现已测出CD ＝a 和∠ACD ＝60°，∠BCD ＝30°，∠BDC ＝105°，∠ADC ＝60°，试求AB 的长．ABCD E5.如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东β的方向即沿直线CB前往B处救援，求cosβ.6．某人在塔AB 的正东C处，沿着南偏西60的方向前进40米到达D处，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30，求塔高.7．如图，点A表示一小灵通信号发射的位置（塔高不计），l为一条东北走向的公路，技术人员为测试该发射塔信号的覆盖范围，自A点正西方向的B处骑自行车沿公路出发，约经过6分钟，发现小灵通开始有信号，已知：AB=24km，车速10km/h，能否根据以上信息，测算出该塔信号的覆盖半径以及小灵通持续显示信号的时间？A北。

《6.4.3 余弦定理、正弦定理》教案第3课时余弦定理、正弦定理应用举例【教材分析】三角形中的几何计算问题主要包括长度、角、面积等，常用的方法就是构造三角形，把所求的问题转化到三角形中，然后选择正弦定理、余弦定理加以解决，有的问题与三角函数联系比较密切，要熟练运用有关三角函数公式.【教学目标与核心素养】课程目标1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语；2、激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力.数学学科素养1.数学抽象：方位角、方向角等概念；2.逻辑推理：分清已知条件与所求，逐步求解问题的答案；3.数学运算：解三角形；4.数学建模：数形结合，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解．【教学重点和难点】重点：由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解；难点：根据题意建立数学模型，画出示意图.【教学过程】一、情景导入在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，但是没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。

于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。

那么运用正弦定理、余弦定理能否解决这些问题？又怎么解决？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本48-51页，思考并完成以下问题1、方向角和方位角各是什么样的角？2、怎样测量物体的高度？3、怎样测量物体所在的角度？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1、实际测量中的有关名称、术语四、典例分析、举一反三题型一测量高度问题例1 济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征．李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A 点测得泉标顶端的仰角为60°，他又沿着泉标底部方向前进15.2 m ，到达B 点，测得泉标顶部仰角为80°.你能帮李明同学求出泉标的高度吗？(精确到1 m)【答案】泉城广场上泉标的高约为38 m.【解析】如图所示，点C ，D 分别为泉标的底部和顶端．依题意，∠BAD ＝60°，∠CBD ＝80°，AB ＝15.2 m ，则∠ABD ＝100°，故∠ADB ＝180°－(60°＋100°)＝20°.在△ABD 中，根据正弦定理，BD sin 60°＝AB sin ∠ADB . ∴BD ＝AB ·sin 60°sin 20°＝15.2·sin 60°sin 20°≈38.5(m)． 在Rt △BCD 中，CD ＝BD sin 80°＝38.5·sin 80°≈38(m)，即泉城广场上泉标的高约为38 m.解题技巧（测量高度技巧）(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．跟踪训练一1、乙两楼相距200 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是多少？【答案】甲楼高为200 3 m ，乙楼高为40033m. 【解析】如图所示，AD 为乙楼高，BC 为甲楼高．在△ABC 中，BC ＝200×tan 60°＝2003，AC ＝200÷sin 30°＝400，由题意可知∠ACD ＝∠DAC ＝30°，∴△ACD 为等腰三角形．由余弦定理得AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD ·cos 120°，4002＝AD 2＋AD 2－2AD 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3AD 2，AD 2＝40023，AD ＝40033.故甲楼高为200 3 m ，乙楼高为40033 m. 题型二 测量角度问题例2 如图所示，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3) n mile 的两个观测点．现位于A 点北偏东45°方向、B 点北偏西60°方向的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距20 3 n mile 的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30n mile/h ，则该救援船到达D 点需要多长时间？【答案】 救援船到达D 点需要的时间为1 h. 【解析】由题意，知AB ＝5(3＋3)n mile ，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB 中，由正弦定理得BD sin ∠DAB ＝AB sin ∠ADB， 即BD ＝AB sin ∠DAB sin ∠ADB＝＝＝10 3 n mile.又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝60°，BC ＝20 3 n mile ， 3)sin 45sin1055(33)sin 4545cos 60cos 45sin 60++∴在△DBC 中，由余弦定理，得CD ＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC cos ∠DBC ＝ 300＋1 200－2×103×203×12＝30 n mile ， 则救援船到达D 点需要的时间为3030＝1 h. 解题技巧： (测量角度技巧)测量角度问题的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量．通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解．跟踪训练二1、在海岸A 处，发现北偏东45°方向，距离A 处(3－1)n mile 的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile 的C 处的缉私船奉命以10 3 n mile 的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h 的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？【答案】缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.【解析】 设缉私船用t h 在D 处追上走私船，画出示意图，则有CD ＝103t ，BD ＝10t ，在△ABC 中，∵AB ＝3－1，AC ＝2，∠BAC ＝120°，∴由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos∠BAC ＝(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos 120°＝6，∴BC ＝6，且sin ∠ABC ＝ACBC ·sin∠BAC ＝26·32＝22， ∴∠ABC ＝45°，∴BC 与正北方向成90°角．∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°，在△BCD 中，由正弦定理，得sin ∠BCD ＝BD ·sin∠CBD CD ＝10t sin 120°103t＝12，∴∠BCD ＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.题型三 测量距离问题例3 如图所示，要测量一水塘两侧A ，B 两点间的距离，其方法先选定适当的位置C ，用经纬仪测出角α，再分别测出AC ，BC 的长b ，a 则可求出A ，B 两点间的距离．若测得CA＝400 m ，CB ＝600 m ，∠ACB ＝60°，试计算AB 的长．【答案】A ，B 两点间的距离为2007 m.【解析】在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ，∴AB 2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000.∴AB ＝2007 (m)．即A ，B 两点间的距离为2007 m.例4 如图所示，A ，B 两点在一条河的两岸，测量者在A 的同侧，且B 点不可到达，要测出A ，B 的距离，其方法在A 所在的岸边选定一点C ，可以测出A ，C 的距离m ，再借助仪器，测出∠ACB ＝α，∠CAB ＝β，在△ABC 中，运用正弦定理就可以求出AB .若测出AC ＝60m ，∠BAC ＝75°，∠BCA ＝45°，则A ，B 两点间的距离为________ m.【答案】20 6 .【解析】∠ABC ＝180°－75°－45°＝60°，所以由正弦定理得，AB sin C ＝AC sin B ， ∴AB ＝AC ·sin C sin B ＝60×sin 45°sin 60°＝206(m)． 即A ，B 两点间的距离为20 6 m.解题技巧（测量距离技巧）当A，B两点之间的距离不能直接测量时，求AB的距离分为以下三类：(1)两点间不可通又不可视(如图①)：可取某点C，使得A，B与C之间的距离可直接测量，测出AC＝b，BC＝a以及∠ACB＝γ，利用余弦定理得：AB＝a2＋b2－2ab cos γ.(2)两点间可视但不可到达(如图②)：可选取与B同侧的点C，测出BC＝a以及∠ABC 和∠ACB，先使用内角和定理求出∠BAC，再利用正弦定理求出AB.(3)两点都不可到达(如图③)：在河边测量对岸两个建筑物之间的距离，可先在一侧选取两点C，D，测出CD＝m，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠ADB，再在△BCD中求出BC，在△ADC 中求出AC，最后在△ABC中，由余弦定理求出AB.跟踪训练三1.如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.若测得CD＝32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离．【答案】A，B两点间的距离为64km.【解析】∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝32.在△BCD中，∠DBC＝45°，由正弦定理，得BC ＝DC sin ∠DBC ·sin∠BDC ＝32sin 45°·sin 30°＝64. 在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 45°＝34＋38－2×32×64×22＝38. ∴AB ＝64(km)．∴A ，B 两点间的距离为64km. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本51页练习，52页习题6.4中剩余题.【教学反思】对于平面图形的计算问题，首先要把所求的量转化到三角形中，然后选用正弦定理、余弦定理解决.构造三角形时，要注意使构造三角形含有尽量多个已知量，这样可以简化运算.学生在这里的数量关系比较模糊，需要强化，三角形相关知识点需要简单回顾。