最新高三三模考试数学试题

山东省济宁市2024届高三下学期三模数学试题注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则中元素的个数为（ ）A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】根据分式不等式解集合B ，结合交集的概念与运算即可求解.【详解】由，得且，解得，即，所以，有2个元素.故选：B2. 的展开式中的系数为（ ）A. B. C. 120 D. 160【答案】A 【解析】【分析】求出二项式展开式的通项公式，再由给定幂指数求解即得.【详解】二项式展开式的通项为，由，得，所以的展开式中的系数为.故选：A{}22,1,1,2,01x A B x x ⎧⎫+=--=≤⎨⎬-⎩⎭A B ⋂201x x +≤-(2)(1)0≤x x +-10x -≠21x -£<{21}B x x =-≤<{2,}1A B ⋂=--262()x x-3x 160-120-262(x x-261231662C ()()(2)C ,N,6r rr r r r r T x x r r x--+=-=-∈≤1233r -=3r =262()x x-3x 336(2)C 160-=-3. 若随机变量，随机变量，则（ ）A. 0 B.C.D. 2【答案】B 【解析】【分析】利用正态分布的两个参数就是随机变量的期望和方差，再利用两个线性随机变量之间的期望和方差公式，即，就可以求出结果.【详解】由可知：，又因为，所以，，则，故选：B.4. 已知数列中，，则（ ）A. B. C. 1D. 2【答案】C 【解析】【分析】利用数列的递推公式求出数列的周期，即可求解.【详解】由，得，，，，，，()2~32X N ，1(3)2Y X =-()1()1E Y D Y +=+1245()()(),E Y E kX b kE X b =+=+()2()()D Y D kX b k D X =+=()2~32X N ，()3,()4E X D X ==1(3)2Y X =-()131333()(0222222E Y E X E X =-=-=-=()131()(1224D Y D X D X =-==()1011()1112E Y D Y ++==++{}n a ()*1211212n n n a a a a a n n +-===-≥∈N ，，，2024a=2-1-()*12112,1,2,n n n a a a a a n n +-===-≥∈N3211a a a =-=-4322a a a =-=-4531a a a ==--6541a a a =-=7652a a a =-=8761a a a ==-则是以6为周期的周期数列，所以.故选：C5. 已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交抛物线于，两点，若，则（ ）A.B. 1C.D. 2【答案】D 【解析】【分析】设，，，联立抛物线方程，利用韦达定理和抛物线的定义建立关于的方程，解之即可求解.【详解】由题意知，，设，联立直线与抛物线得，消去，得，所以.由抛物线的定义知.而，故，解得.故选：D.{}n a 20243376221a a a ⨯+===2:2(0)C y px p =>F F 2l C A B ||5AB =p =1232:22p l y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭()11,A x y ()22,B x y p ,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭()()1122:2(),,,,2p l y x A x y B x y =-22()22p y x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩y 22460x px p -+=1232x x p +=1212352222p p AB AF BF x x x x p p p p ⎛⎫⎛⎫=+=+++=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5AB =552p =2p =6. 已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再借助正弦函数的图象与性质求解即得.【详解】依题意，函数，当时，，显然，且正弦函数在上单调递减，由在区间上的值域为，得，解得，所以实数的取值范围是.故选：D7. 已知函数为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】利用偶函数的性质求出的解析式，再利用导数的几何意义求出切线方程.【详解】函数为偶函数，当时，，则当时，，求导得，则，而，所以曲线在点处的切线方程是，即.故选：A1()cos )cos 2f x x x x =+-()f x π[,]4m -[m ππ[,62ππ[,62π7π[,612π7π,612⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x 211π()cos cos 2cos 2sin(2226f x x x x x x x =+-=+=+π[,]4x m ∈-πππ2[,2]636x m +∈-+π4ππsin(sin 1332-===sin y x =π4π[,]23()f x π[,]4m -[ππ4π2263m ≤+≤π7π612m ≤≤m π7π,612⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x 0x <2()ln()f x x x =-+()y f x =(1,(1))f 320x y --=320x y +-=320x y ++=320x y -+=0x >()f x 0x <2()ln()f x x x =-+0x >2()()ln f x f x x x =-=+1()2f x x x'=+(1)3f '=(1)1f =()y f x =(1,(1))f 13(1)y x -=-320x y --=8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，根据双曲线的光学性质可知，过双曲线上任意一点的切线平分.直线过交双曲线的右支于A ，B 两点，设的内心分别为，若与的面积之比为，则双曲线的离心率为（ ）A.B.C.D..【答案】C【解析】【分析】利用切线长定理求得直线的方程，再借助双曲线的切线方程求出点的横坐标，结合面积关系求解即得.【详解】令圆切分别为点，则，，令点，而，因此，解得，又，则点横坐标为，同理点横坐标为，即直线方程为，设，依题意，直线的方程分别为：，，联立消去得：，整理得，令直线的方程为，于是，即点的横坐标为，因此，所以双曲线的离心率.故选：C的2222:1(00)x y C a b a b-=>>，12,F F C ()00,P x y 0022:1(0,0)x x y yl a b a b-=>>12F PF ∠1l 2F C 12121,,AF F BF F ABF 12,,I I I 12II I 212F I I 35C 325312I I I 1I 1212,,AF AF F F ,,P Q T 1122||||,||||,||||AP AQ F P FT F Q F T ===121212||||||||||||2FT F T F P F Q AF AF a -=-=-=0(,0)T x 12(,0),(,0)F c F c -00()()2x c c x a ----=0x a =112I T F F ⊥1I a 2I a 12I I x a =1122(,),(,)A x y B x y ,AI BI 11221x x y y a b -=22221x x y y a b -=y 122122(1)(1)x x x x y y a a -=-2211221()a y y x x y x y -=-AB x my c =+22211221()()()a y y a x my c y my c y c -==+-+I 2a c12212235II I F I I a a S a c S c a c -===- C 53c e a ==【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：①定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率定义求解离心率；②齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9. 已知复数，则下列说法中正确的是（ ）A. B. C. “”是“”的必要不充分条件 D. “”是“”的充分不必要条件【答案】AC 【解析】【分析】根据复数加法、乘法、乘方运算，结合复数的几何意义计算，依次判断选项即可.【详解】A ：设，则，所以，则，故A 正确；B ：设，则，所以，，则，故B 错误；C ：由选项A 知，，，又，所以，不一定有，即推不出；的,a c e ,a c e 12,z z 1212z z z z =⋅1212z z z z +=+12z z ∈R 12z z =12=z z 2212z z =12i,i(,,,)z a b z c d a b c d =+=+∈R 12(i)(i)()()i z z a b c d ac bd ad bc =++=-++12z z ===1212z z z z =12i,i(,,,)z a b z c d a b c d =+=+∈R 12()()i z z a c b d +=+++1z +=12z z +=1212z z z z +≠+12(i)(i)()()i z z a b c d ac bd ad bc =++=-++2i z c d =-12z z ∈R 0ad bc +=a cb d =⎧⎨=-⎩12z z =由，得，则，则，即，所以“”是“”的必要不充分条件，故C 正确；D ：设，则，若，则，即，若，则，得，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故D 错误.故选：AC10. 已知数列的前项和为，且满足，数列的前项和为，且满足，则下列说法中正确的是（ ）A. B. 数列是等比数列C. 数列是等差数列 D. 若，则【答案】BC 【解析】【分析】由数列的前项和为求出判断B ；由递推公式探讨数列的特性判断C ；求出判断A ；由求出，再利用裂求和法求解即得.【详解】由，得，，当时，，满足上式，因此，数列是等比数列，B 正确；由，得，，解得，，A 错误；当时，，两式相减得，于是，两式相加得，整理得，因此数列是等差数列，C 正确；12z z =i i a b c d +=-a cb d=⎧⎨=-⎩0ad bc +=12z z ∈R 12z z ∈R 12z z =12i,i(,,,)z a b z c d a b c d =+=+∈R 22222212()2i,()2i z a b ab z c d cd =-+=-+12=z z =2222+=+a b c d 2212z z=2222()2i ()2i a b ab c d cd -+=-+222222a b c d ab cd⎧-=-⎨=⎩12=z z 2212z z ={}n a n n S 1233n nS +=-{}n b n n T 112n n T b n =+113=a b {}n a {}n b 23b =101319log 10na n nb ==∑{}n a n n S n a {}n b 1b 23b =n b 1233n nS +=-113322n n S +=⋅-113a S ==2n ≥111(33)32n nn n n n a S S +-=-=-=13a =3n n a ={}n a 112n n T b n =+2n n n T b n =+111112b T b ==+12b =113a b ≠2n ≥11112n n n T b n ---=+-121122n n n n b b ---+=11122n n n n b b +-=+112211222n n n n n n b b b -+---=+112n n n b b b -+=+{}n b当时，等差数列的公差为1，通项，，所以，D 错误.故选：BC11. 如图，在直三棱柱中，，，分别是棱，上的动点（异于顶点），，为的中点，则下列说法中正确的是（ ）A. 直三棱柱体积的最大值为B. 三棱锥与三棱锥的体积相等C. 当，且时，三棱锥外接球的表面积为D. 设直线，与平面分别相交于点，，若，则的最小值为【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项：根据三棱柱体积公式，结合三角函数值域可得最值；B 选项：根据等体积转化可判断；C 选项：结合正弦定理确定正三角形外心，进而确定球心及半径；D选项：根据相似及基本不等式可得最值.【详解】A 选项：由已知可得，又，所以，即体积的最大值为，A 选项错误；B 选项：如图所示，23b ={}n b 1n b n =+31111log (1)1n a n b n n n n ==-++10131111111111011log 22391010111111na n nb ==-+-++-+-=-=∑ 111ABC A B C -2AB BC ==13AA =D E 1AA 1CC 1AD C E =F 11B C 111ABC A B C -1B DEF -A DEF -60ABC ∠=︒123AD AA =D ABC -28π3DF EF ABC P Q 1cos 4ABC ∠=AP CQ +111111sin 6sin 2ABC A B C ABC V S AA BA BC ABC AA ABC -=×=××Ð×=Ð()0,ABC π∠∈(]sin 0,1ABC ∠∈6由点为的中点，则，设点到平面的距离为，则，，又，所以，所以，B 选项正确；C 选项：如图所示，由已知为正三角形，设外接球球心为，中心为，中点为，则平面，且，，即，所以外接球半径为，外接球表面积为，C 选项正确；D 选项：如图所示，取中点，可知在的延长线上，在的延长线上，F 11B C 111B DEF C DEF F C DE V V V ---==F 11AA C C h 11113B DEF F C DE C DE V V S h --==×13B DEF F ADE ADE V V S h --==×1ADC E =1ADE C DE S S = 1F C DE F ADE V V --=ABC O ABC 1O AD M 1OO ⊥ABC 1111123OO AD AA ===12sin AB O A ACB ==∠1O A =R ==228π4π3R =BC N P NA Q BC则，即，设，，易知，，则，，则，,，所以，当且仅当，即时取等号，故D 选项正确；故选：BCD.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知函数则____________.【解析】【分析】利用已知分段函数，可先求，再求.【详解】因为，所以.所以..13. 甲和乙两个箱子中各装有6个球，其中甲箱子中有4个红球、2个白球，乙箱子中有2个红球、4个白球，现随机选择一个箱子，然后从该箱子中随机取出一个球，则取出的球是白球的概率为____________.【答案】##05的.22212coc 4122144AN BA BN BA BN ABC =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=2AN =11AD C E AA λ==()0,1λ∈PAD PNF 1QCE FC E PA AD PN NF =11QC CEFC C E=()()2PA PN PA AN PA λλλ==+=+21PA λλ=-111QC FC λλλλ--==211AP CQ λλλλ-+=+≥-211λλλλ-=-1λ=410()2log 0xx f x x x ⎧⎛⎫⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，，，…12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11(22f =-1122f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭410()2log 0xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，，，44111log =log 2222f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭11221112222f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12【解析】【分析】把所求概率的事件分拆成两个互斥事件的和，再利用互斥事件的概率公式及相互独立事件的概率公式求解即得.【详解】依题意，取出的球是白球的事件是取甲箱并取白球的事件与取乙箱并取白球的事件的和，显然事件与互斥，，，所以.故答案为：14. 已知，则的最小值为____________.【解析】【分析】根据平面向量的模求出数量积，利用向量的几何意义和运算律计算可得与点的距离之和，作出图形，确定的最小值，结合图形即可求解.【详解】由，得，即，解得.，与点的距离之和.如图，点关于x轴的对称点为，连接，A1A2A 1A2A1121()266P A=⨯=2141()263P A=⨯=121()()()2P A P A P A=+=126a a b=-=11()()23f x xa b xa b x=-+-∈Ra b⋅()f x=(,0)P x1111(,(,)2233A B----PA PB+6,a a b=-=222218a b a a b b-=-⋅+=1823618a b-⋅+=18a b⋅=-11()23f x ax b ax b=-+-=====(,0)P x1111(,(,)2233A B----A11(,)22A'-A B'则，当且仅当三点共线时等号成立，所以的最小值为与点的距离之和，结合图形，确定（当且仅当三点共线时等号成立）.四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. 产品重量误差是检测产品包装线效能的重要指标.某食品加工厂为了检查一条新投入使用的全自动包装线的效能，随机抽取该包装线上的20件产品作为样本，并检测出样本中产品的重量（单位:克），重量的分组区间为.由此得到样本的频率分布直方图（如图），已知该产品标准重量为500克.（1）求直方图中的值；（2）若产品重量与标准重量之差的绝对值大于或等于5，即判定该产品包装不合格，在上述抽取的20件PA PB PA PB A B +=+≥=='',,A P B '()f x (,0)P x 1111(,(,)2233A B ----PA PB PA PB A B ++'=≥',,A P B '(485,490],(490,495],,(505,510] a产品中任取2件，求恰有一件合格产品的概率；（3）以样本的频率估计概率，若从该包装线上任取4件产品，设为重量超过500克的产品数量，求的数学期望和方差.【答案】（1）0.05； （2）； （3），.【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图中小矩形面积和为1求出的值.（2）求出抽取的20件产品中的不合格件数，再利用古典概率计算即得.（3）求出样本中，重量超过500克的产品数量及对应概率，利用二项分布的期望、方差公式计算得解.【小问1详解】依题意，，解得，所以直方图中的值是0.05.【小问2详解】样本中不合格产品数量为，记事件表示“在上述抽取的20件产品中任取2件，恰有一件合格产品”则，所以在上述抽取的20件产品中任取2件，恰有一件合格产品的概率为.小问3详解】根据该样本频率分布直方图，重量超过500克的产品数量为，则从包装线上任取一件产品，其重量超过500克的概率为所以，随机变量，因此，.16. 图1是由正方形ABCD 和两个正三角形组成的一个平面图形，其中，现将沿AD 折起使得平面平面，将沿CD 折起使得平面平面，连接EF ，BE ，BF ，如图2.【Y Y 4895652125a (0.010.060.070.01)51a ++++⨯=0.05a =a 20(0.010.060.01)58⨯++⨯=A 11812220C C 48()C 95P A ==489520(0.050.01)56⨯+⨯=632010=3~(4,)10Y B 36()4105E Y =⨯=3321()4(1)101025D Y =⨯⨯-=,ADE CDF △△2AB =ADE V ADE ⊥ABCD CDF CDF ⊥ABCD（1）求证:平面；（2）求平面与平面夹角的大小.【答案】（1）证明见解析； （2）.【解析】【分析】（1）取的中点，利用面面垂直的性质，结合平行四边形的性质、线面平行的判定推理即得.（2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用面面角的向量求法求解即得.【小问1详解】分别取棱的中点，连接，由是边长为2正三角形，得，又平面平面，平面平面，平面，则平面，同理平面，于是，即四边形为平行四边形，，而平面平面，所以平面.【小问2详解】//EF ABCD ADE BCF π6,CD AD ,O P O BCF ,CD AD ,O P ,,OF PE OP CDF ,OF CD OF ⊥=CDF ⊥ABCD CDF ⋂ABCD DC =OF ⊂CDF OF ⊥ABCD PE ⊥,ABCD PE =//,OF PE OF PE =OPEF //OP EF OP ⊂,ABCD EF ⊄ABCD //EF ABCD取棱的中点，连接，由四边形为正方形，得，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，设平面的一个法向量为，则，令，得，由，平面平面，平面平面平面，得平面，则为平面的一个法向量，设平面与平面的夹角为则，解得，所以平面与平面的夹角为.17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为，已知.（1）求证:；（2）若，求面积的取值范围.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据两角和差的正弦公式、二倍角的余弦公式化简计算可得，结合诱导公式计算即可证明；（2）由（1）得且，根据正弦定理、三角形的面积公式和三角恒等变换化简可得，结合正切函数的性质即可求解.【小问1详解】，，，又，则，，AB Q OQ ABCD OQ CD ⊥O ,,OQ OC OF,,x y z (2,1,0),(0,1,0),(0,1,0)B C F D -(2,0,0),(0,CB CF ==-BCF (,,)n x y z = 200n CB x n CF y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩1z =n =CD AD ⊥ADE ⊥ABCD ADE ,ABCD AD CD =⊂ABCD CD ⊥ADE (0,2,0)DC =ADE ADE BCF θ||cos |cos ,|||||DC n DC n DC n θ⋅=〈〉===π(0,]2θ∈π6θ=ADE BCF π6a b c ，，(1cos 2)(sin 1)cos sin 20C A A C -+-=π2B C =+ππ4,,86a C ⎛⎫=∈⎪⎝⎭ABC (4,2sin (sin cos )0C C B +=π22A C =-ππ64A <<4tan 2ABC S C = (1cos 2)(sin 1)cos sin 20C A A C -+-=sin 1cos 2sin cos 2cos sin 20A C A C A C +---=sin cos 21sin(2)0A C A C -+-+=πA CB +=-sin()cos 21sin()0BC C B C +-+--=2sin cos sin cos 12sin 1sin cos sin cos 0B C C B C B C C B +-++-+=，即，又，所以，即，又，所以；【小问2详解】由（1）知，，得，由，得，由正弦定理得，得，所以，又，所以，又在上单调递增，则，所以，即的面积我取值范围为.18. 已知椭圆的左焦点为，上顶点为，离心率，直线FB 过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与椭圆相交于M ，N 两点（M 、N 都不在坐标轴上），若，求直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出即得椭圆的标准方程.（2）根据给定条件，借助倾斜角的关系可得，设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理结合斜率的坐标公式求解即得.【小问1详解】22sin 2sin cos 0C C B +=2sin (sin cos )0C C B +=sin 0C >sin cos 0C B +=πcos sin cos()2B C C =-=+0π,0πB C <<<<π2B C =+π2B C =+πA B C ++=π22A C =-ππ86C <<ππ64A <<sin sin a c A C=sin sin 4sin πsin cos 2sin(2)2a C a C Cc A C C ===-2211sin π1sin 4sin 2sin 4sin()4cos 4tan 222cos 222cos 2cos 2ABC C C CS ac B C C C C C C==⨯⨯+=⨯⨯== ππ86C <<ππ243C <<tan y x =ππ(,22-tan 2C ∈4tan 2C ∈ABC (4,2222:1(0)x y E a b a b +=>>F B e =(1,2)P E F l E MPF NPF =∠∠l 2212x y +=550x y ++=,,a b c E 1MP NP k k ⋅=l令，由，得，则直线的斜率，由直线过点，得直线的方程为，因此所以椭圆的标准方程为.【小问2详解】设，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，由直线的斜率知直线的倾斜角为，于是，即有，显然均不等于，则，即直线的斜率满足，由题设知，直线的斜率不为0，设直线的方程为，由，消去x 并整理得，，显然，设，则，由，得，即，则，整理得，即，于是，而，解得，，所以直线的方程为，即.【点睛】关键点点睛：本题第2问，由，结合直线倾斜角及斜率的意义求得(,0)F c -c e a ==,a b c ==FB 1k =FB (1,2)P FB 1y x =+1,b c a ===C 2212x y +=MPF NPF θ∠=∠=MP βNP αFP 1k =FP π4ππ,44αθβθ=+=+π2αβ+=,αβπ2πsin()sin 2tan tan 1πcos cos()2αααβαα-=⋅=-,MP NP 1MP NP k k ⋅=l l 1,1x my m =-≠22122x my x y =-⎧⎨+=⎩22(2)210m y my +--=0∆>1122(,),(,)M x y N x y 12122221,22m y y y y m m +==-++1MP NP k k ⋅=121222111y y x x --⋅=--1212(1)(1)(2)(2)0x x y y -----=1212(2)(2)(2)(2)0my my y y -----=21212(1)(22)(0)m y y m y y ---+=2221(22)2022m m m m m --⋅--=++25410m m --=1m ≠15m =-l 115x y =--550x y ++=MPF NPF =∠∠是解题之关键.19. 已知.（1）判断在上的单调性；（2）已知正项数列满足.（i ）证明:；（ii ）若的前项和为，证明:.【答案】（1）单调递减；（2）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，再判断时，导数值的正负即可得解.（2）（i ）利用（1）的结论，结合分析法可得，再利用分析法推理，构造函数借助导数确定单调性即可得；（ii ）利用（i ）的结论，借助放缩法及等比数列求和即得.【小问1详解】函数的定义域为，求导得，令，求导得，当时，，函数在上单调递减，则，即所以在上单调递减.【小问2详解】（i ）首先证明:，即证明，即证明，即证明，由及（1）知，，所以；要证明，即证，只需证，而，则只需证，，令，则，由，知，则，1MP NP k k ⋅=()(2)e x f x x x =--()f x (0,)+∞{}n a 1*1)1,e e 1(n n a a n a a n +=⋅=-∈N *112()n n n a a a n ++<<∈N {}n a n n S *112()2n n S n -≥-∈N ()f x 0x >1n n a a +<12n n a a +<()f x R ()(1)e 1x f x x '=--()(1)e 1x g x x =--()e x g x x '=-,()0x ∈+∞()0g x '<()g x (0,)+∞()(0)g x g <()0f x '<()f x (0,)+∞1n n a a +<1ee n na a +<e 1e n na a na -<(1e 10)n a n a --<0n a >((1)e 0)1n an n g a a =--<1n n a a +<12n n a a +<112n n a a +<112e e n n a a n n a a +<1*e e 1()n n a a n a n +⋅=-∈N 12e e 1n n aa na ⋅<-12e n a t =2ln n a t =111,n n a a a +=<01n a <≤t ∈只需证，即证，令，求导得，于是函数在上单调递减，，即，因此，所以.（ii ）由（i ）可知，，则当且时，，当时，，所以.【点睛】思路点睛：数列是一类特殊的函数某些数列问题，，准确构造相应的函数，借助函数导数研究其单调性是解题的关键，背景函数的条件，应紧扣题中的限制条件.22ln 1t t t ⋅<-12ln ,t t t t<-∈1()2ln (),h t t t t t =--∈222222121(1)()10t t t h t t t t t-+--'=--==-<()ht t ∈()(1)0h t h <=12ln t t t<-12n n a a +<112n n n a a a ++<<1213243231111111,,,222222a a a a a a a =>=>>>>541411111,,2222n n n a a a a -->>>> 2n ≥*n ∈N 1232111111112*********n n nn n S a a a a ---=++++>++++==-- 1n =11S =*112()2n n S n -≥-∈N。

一、单选题二、多选题1. 若“，使得”为真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A．B．C．D．2. 已知，，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A．B．C．D．3. 已知在中，，则（ ）A．B．C．D．4. 复数为虚数单位）的共轭复数对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5. 已知，，，则（ ）A．B．C．D．6. 若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为（ ）A．B．C．D．7. 设为上的可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为（ ）A ．2B ．-1C ．1D．8. 设函数，为定义在上的奇函数，且当时，，若，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．9. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，焦点到渐近线的距离为.过作直线交双曲线的右支于、两点，若、分别为与的内心，则（ ）A．的渐近线方程为B．点与点均在同一条定直线上C ．直线不可能与平行D．的取值范围为10. 已知函数，则（ ）A．是周期函数B．是偶函数C ．是上的增函数D ．的最小值为11. 设圆锥曲线C 的两个焦点分别为，若曲线C 上存在点P 满足，则曲线C 的离心率可以是（ ）A．B．C．D ．212. 为评估一种农作物的种植效果，选了10块地作试验田.这10块地的亩产量（单位：kg ）互不相等，且从小到大分别为，则下列说法正确的有（ ）天津市2023届高三三模数学试题(3)天津市2023届高三三模数学试题(3)三、填空题四、解答题A ．的平均数可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度B ．的标准差可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度C．可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度D ．的中位数为13. 某运动生理学家在一项健身活动中选择了10名男性参与者，以他们的皮下脂肪厚度来估计身体的脂肪含量，其中脂肪含量以占体重（单位：kg ）的百分比表示.得到脂肪含量和体重的数据如下个体编号体重x （kg ）脂肪含量y （%）1892828827366244592359329673257822987725910030106723建立男性体重与脂肪含量的回归方程为：___________.（结果中回归系数保留三位小数）14. 已知是拋物线上两点，且，为焦点，则最大值为______.15. 一个棱长为的正方体中有一个实心圆柱体，圆柱的上、下底面在正方体的上、下底面上，侧面与正方体的侧面相切，则在正方体与圆柱的空隙中能够放置的最大球的半径为__________．16. 为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动，甲､乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛，规定：每一局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局，首先获得5分者获胜，比赛结束.假设每局比赛甲获胜的概率都是.（1）求比赛结束时恰好打了6局的概率；（2）若甲以3：1的比分领先时，记X 表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求X 的分布列及期望.17. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与交于两点，直线与轴分别交于两点．若，试探究是否为定值？若为定值，求出此定值；否则，请说明理由．18.已知函数(1)判断并证明函数的奇偶性；(2)求不等式的解集.19. 如图，四边形ACC1A1与四边形BCC1B1是全等的矩形，．(1)若P是AA1的中点，求证:平面PB1C1⊥平面PB1C;(2)若P是棱AA1上的点，直线BP与平面ACC1A1所成角的正切值为，求二面角B1﹣PC﹣C1的余弦值．20. 已知数列的各项均不为0，其前n项和为．若，，，．（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）若数列满足，，求证：数列是等差数列．21. 已知椭圆方程：，，分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上的点，的内切圆为，的外接圆为，若时，的半径为.（1）求椭圆方程；（2）设圆的面积为，的面积为，求的最小值.。

乌鲁木齐地区2024年高三年级第三次质量监测数学（问卷）（卷面分值：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1．本试卷分为问卷（4页）和答卷（4页），答案务必书写在答卷（或答题卡）的指定位置上．2．答题前，先将答卷密封线内的项目（或答题卡中的相关信息）填写清楚．第I 卷（选择题共58分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1．已知集合{}U 1,2,3,4,5=，{}A 1,2,3=，{}B 2,3,4=，则图中阴影部分表示的集合为A．{}1B．{}1,2C．{}1,4D．{}1,2,3,42．若()()12i 2i i ,,i a b a b R (-+=+∈是虚数单位），则a ，b 的值分别等于A．4,5-B．4,3-C．0,3-D．0,5-3．已知数列{}n a 满足()*1112,n n a n n a N -=+≥∈，若332a =，则1a =A．12B．23C．1D．24．已知()lg f x x =，若1()2a f =，1(3b f =，(4)c f =，则A．a b c<<B．b c a <<C．c a b <<D．c b a<<5．数列{}n a 是等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，,,,m n p q 是正整数，甲：m n p q S S S S +=+，乙：m n p q +=+，则甲是乙的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．三棱锥A BCD -中，AD ^平面ABC ，60BAC ∠=︒，1AB =，2AC =，4AD =，则三棱锥A BCD -外接球的表面积为A．10πB．20πC．25πD．30π7．直线1l ，2l 的斜率分别为1,2，1l ，2l 夹角为θ，则sin 2θ=A．34B．45C．35D．3108．已知符号函数1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则函数()sgn(ln )ln f x x x x =-零点个数为A．0B．1C．2D．3二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9．某运动员的特训成绩分别为：9,12,8,16,12,16,13,20,18,16，则这组数据的A．极差为12B．众数为16C．平均数为14D．第80百分位数为1610．已知双曲线2213y x -=的右焦点为F ，过原点O 作斜率为k 的直线交双曲线于A ，B 两点，且0FA FB ×< ，则k 的可能取值是A．B．6511．{}|||1S x x =<，S 中的运算“Å”为1a b a b ab +Å=+，则A．()0a a -Å=B．ab b a Å=ÅC．D．第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．12．下表为某商品某年前5个月的平均价格与月份的统计数据：月份代码x12345平均价格y （元）1716201819用方程ˆ16.2ykx =+拟合上述数据，当残差的平方和达到最小值时，k =；13．设,,M N P 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上的三个点，O 为坐标原点，且四边形OMNP 为正方形，则椭圆的离心率为；14．数列{}n a 是公比为()1q q ¹的等比数列，前n 项和为n S ，数列{}n b 满足11b a =，223b a a =+，3456b a a a =++，以此类推，则n n b S =．四、解答题：本大题共5小题，共计77分．解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.（13分）已知函数2()x f x e ax a =-ÎR （）．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x 的最小值为m ，求证1m £．16.（15分）某学科测试题有多项选择题，在每小题给出的A ，B ，C ，D 四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分，若正确答案为两项，每对一项得3分；若正确答案为三项，每对一项得2分；…．学生在作答某题时，对四个选项能正确地判断，判断不了（不选）和错误地判断的概率如下表：选项作出正确的判断判断不了（不选）作出错误的判断A0.40.20.4B0.20.30.5C0.60.30.1D 0.50.30.2已知此题的正确选项为AD．（Ⅰ）求学生答此题得6分的概率；（Ⅱ）求学生此题得分的分布列及数学期望．17．（15分）直线l 与锐角ABC D 的边AB 夹角为θ，l 的方向向量为i ，设AB c =，BC a =，CA b =．（Ⅰ）计算()AB BC CA ×++i ，并由此证明()()cos cos cos c b A a B θθθ=++-；（Ⅱ）根据（Ⅰ）证明sin sin a b A B=，2222cos c a b ab C =+-．18.（17分）由平行六面体1111ABCD A B C D -截去三棱锥111B A BC -后得到如图所示的几何体，其体积为5，底面ABCD 为菱形，AC 与BD 交于点O ，11A B BC =.（Ⅰ）证明1//D O 平面11A BC ；（Ⅱ）证明平面1D DO ^平面11A BC ；（Ⅲ）若2AB =，60DAB Ð=°，1AA 与底面ABCD 所成角为60°，求1AA 与平面11A BC 所成角的余弦值．19.（17分）已知抛物线24x y =，ABC D 的三边AB ，AC ，BC 所在直线分别与抛物线相切于点M ，N ，D ，点52,4A -().（Ⅰ）求直线MN 的方程；（Ⅱ）证明MBACBA CN =；（Ⅲ）证明ABC D 的垂心H 在定直线上.。

2024年高考第三次模拟考试
高三数学（广东专用）
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：高考全部内容
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
2168πcm
C．3
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
⎫
对称
⎪
⎭
单调递减
与平面ABP夹角的余弦值．
2 21
y
b
+=的焦距为2，1F 的周长为8．。

昆明市2024届“三诊一模”高考模拟考试数学注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图，已知集合{}1,2,3,4A =，{}3,4,5,6B =，则图中阴影部分所表示的集合为（）A.{}1,2 B.{}3,4 C.{}5,6 D.{}3,4,5,62.已知点()1,2A 在抛物线()2:20C y px p =>的图象上，F 为C 的焦点，则AF =（）A.B.2C.3D.3.已知ABC 中，3AB =，4BC =，AC =，则ABC 的面积等于（）A.3B.C.5D.4.某学校邀请,,,,A B C D E 五个班的班干部座谈，其中A 班有甲、乙两位班干部到会，其余班级各有一位班干部到会，会上共选3位班干部进行发言，则A 班至少选到一位班干部的不同的选法种数为（）A.10B.12C.16D.205.已知,m n 是两条不重合的直线，,αβ是两个不重合的平面，下列说法错误的是（）A.若m α⊥，则“n α∥”是“m n ⊥”的必要条件B.若m α⊄，n ⊂α，则“m n ∥”是“m α∥”的充分条件C.若m α⊥，则“m β⊥”是“αβ∥”的充要条件D.若m α∥，则“m n ∥”是“n α∥”的既不充分也不必要条件6.在定点投篮练习中，小明第一次投篮命中的概率为35，第二次投篮命中的概率为710，若小明在第一次命中的条件下第二次命中的概率是p ，在第一次未命中的条件下第二次命中的概率是12p ，则p =（）A.34B.78C.25D.577.某艺术吊灯如图1所示，图2是其几何结构图．底座ABCD 是边长为的正方形，垂直于底座且长度为6的四根吊挂线1AA ，1BB ，1CC ，1DD 一头连着底座端点，另一头都连在球O 的表面上（底座厚度忽略不计），若该艺术吊灯总高度为14，则球O 的体积为（）A.108π3B.256π3C.500π3D.864π38.函数()y f x =在R 上的图象是一条连续不断的曲线，且与x 轴有且仅有一个交点，对任意x ，R y ∈，()()f x f y f+=，()11f =，则下列说法正确的是（）A.()22f = B.()f x 为奇函数C.()f x 在()0,∞+单调递减D.若()4f x ≤，则[]2,2x ∈-二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在一个有限样本空间中，事件,,A B C 发生的概率满足()()()13P A P B P C ===，()59P A B = ，A与C 互斥，则下列说法正确的是（）A.()13P AC =B.A 与B 相互独立C.()127P ABC =D.()89P A B C ≤10.已知函数()()πsin 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期大于π2，若曲线()y f x =关于点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，则下列说法正确的是（）A.π322f ⎛⎫=-⎪⎝⎭B.π12y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是偶函数C.π12x =是函数()f x 的一个极值点 D.()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭单调递增11.已知12,F F 分别是双曲线2212y x -=的左、右焦点，M 是左支上一点，且在x 在上方，过2F 作12F MF ∠角平分线的垂线，垂足为,N O 是坐标原点，则下列说法正确的是（）A.若12π2MF F ∠=，则直线MN 的斜率为B.若12π2MF F ∠=，则222F M F N ⋅= C.若12MF F α∠=，则1ON =D.若12MF F α∠=，则cos ON α=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数z 满足i 2i z =-，则z =__________13.过点()1,m 可以向曲线()e xf x x =作n 条切线，写出满足条件的一组有序实数对(),m n __________14.以max A 表示数集A 中最大的数．已知0a >，0b >，0c >，则11max ,,b a M b c c a ac b ⎧⎫=+++⎨⎬⎩⎭的最小值为__________四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.甲、乙两位同学组成学习小组进行项目式互助学习，在共同完成某个内容的互助学习后，甲、乙都参加了若干次测试，现从甲的测试成绩里随机抽取了7次成绩，从乙的测试成绩里随机抽取了9次成绩，数据如下：甲：93958172808292乙：858277809486928485经计算得出甲、乙两人的测试成绩的平均数均为85.（1）求甲乙两位同学测试成绩的方差；（2）为检验两组数据的差异性是否显著，可以计算统计量()()()1222111,1212211n n n n S F n n S ---=-，其中1n 个数据的方差为21S ，2n 个数据的方差为22S ，且2212S S >．若()1201,1n n F F --≥，则认为两组数据有显著性差异，否则不能认为两组数据有显著性差异.若0F 的临界值采用下表中的数据：11n -21n -123456781161200216225230234237239218.519.019.219.219.319.319.419.4310.19.559.289.129.018.948.898.8547.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.045 6.61 5.79 5.41 6.19 5.05 4.95 4.88 4.826 5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.157 5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.7385.324.464.073.843.693.583.503.44例如：()3,5F 对应的临界值0F 为5.41.请根据以上资料判断甲、乙两位同学进行项目式互助学习的效果是否有显著性差异.16.正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，2421n n n S a a =++，2421n n n T b b =++（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）已知数列{}n c 满足11n n n n n a c b a a ++=⋅，求数列{}n c 的前n 项和n H ．17.如图，在三棱台111ABC A B C -中，上、下底面是边长分别为2和4的正三角形，1AA ⊥平面ABC ，设平面11AB C 平面=ABC l ，点,E F 分别在直线l 和直线1BB 上，且满足EF l ⊥，1EF BB ⊥．（1）证明：EF ⊥平面11BCC B ；（2）若直线EF 和平面ABC 所成角的正弦值为33，求该三棱台的高．18.已知函数()e sin xf x ax =-；（1）当1a =-时，证明：对任意π,6x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，()0f x >；（2）若0x =是函数()f x 的极值点，求实数a 的值．19.已知曲线C 由半圆()2210x y x +=≤和半椭圆()22102x y x +=>组成，点M 在半椭圆上，()1,0A -，()1,0B ．（1）求MA MB +的值；（2）N 在曲线C 上，若OM ON ⊥（O 是原点）．（ⅰ）求MN 的取值范围；（ⅱ）如图，点N 在半圆上时，将y 轴左侧半圆沿y 轴折起，使点A 到A '，使点N 到N '，且满足2πA OB ∠'=，求MN '的最大值．昆明市2024届“三诊一模”高考模拟考试数学注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图，已知集合{}1,2,3,4A =，{}3,4,5,6B =，则图中阴影部分所表示的集合为（）A.{}1,2 B.{}3,4 C.{}5,6 D.{}3,4,5,6【答案】A 【解析】【分析】结合韦恩图，根据集合的运算和表示法即可求解.【详解】由题可知阴影部分表示的集合为：{x x A ∈且}x B ∉，即{}1,2.故选：A.2.已知点()1,2A 在抛物线()2:20C y px p =>的图象上，F 为C 的焦点，则AF =（）A.B.2C.3D.【答案】B 【解析】【分析】先根据点()1,2A 在抛物线上求出p ，再根据抛物线的定义求出焦半径即可.【详解】将()1,2A 代入22y px =，即2221p =⨯⨯，所以2p =，所以11122pAF =+=+=.故选：B.3.已知ABC 中，3AB =，4BC =，AC =，则ABC 的面积等于（）A.3B.C.5D.【答案】B 【解析】【分析】由余弦定理及同角三角函数的平方关系得出sin B ，再根据三角形面积公式计算即可．【详解】由余弦定理得，222222345cos 22346AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯，因为B 为三角形内角，则11sin 6B ==，所以11sin 34226ABC S AB BC B =⋅⋅=⨯⨯⨯= ，故选：B ．4.某学校邀请,,,,A B C D E 五个班的班干部座谈，其中A 班有甲、乙两位班干部到会，其余班级各有一位班干部到会，会上共选3位班干部进行发言，则A 班至少选到一位班干部的不同的选法种数为（）A.10B.12C.16D.20【答案】C 【解析】【分析】由分类加法和分步乘法计数原理计算即可．【详解】由题分两类讨论，当A 班选到1位班干部发言有12C 种选法，其余班级有24C 种选法；当A 班选到2位班干部发言有22C 种选法，其余班级有14C 种选法；故共有12212424C C C C 261416+=⨯+⨯=种选法，故选：C ．5.已知,m n 是两条不重合的直线，,αβ是两个不重合的平面，下列说法错误的是（）A.若m α⊥，则“n α∥”是“m n ⊥”的必要条件B.若m α⊄，n ⊂α，则“m n ∥”是“m α∥”的充分条件C.若m α⊥，则“m β⊥”是“αβ∥”的充要条件D.若m α∥，则“m n ∥”是“n α∥”的既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用线面垂直的性质可判断A ；利用线面平行的判定和性质可判断B ；利用线面垂直的性质和面面平行的判定可判断C ；利用线面平行的性质可判断D.【详解】对于A ，若m α⊥，则“n α∥”是“m n ⊥”的充分不必要条件，故A 错误；对于B ，m α⊄，n ⊂α，则“m n ∥”⇒“m α∥”⇒“m ，n 平行或异面，所以m n ∥是m α∥的充分条件，故B 正确；对于C ，m α⊥，则“m β⊥”⇔“αβ∥”，则“m β⊥”是“αβ∥”的充要条件，故C 正确；对于D ，m α∥，则“m n ∥”⇒“n α∥或n ⊂α”，“n α∥”⇒“m ，n 相交、平行或异面”，所以“m n ∥”是“n α∥”的既不充分也不必要条件，故D 正确.故选：A .6.在定点投篮练习中，小明第一次投篮命中的概率为35，第二次投篮命中的概率为710，若小明在第一次命中的条件下第二次命中的概率是p ，在第一次未命中的条件下第二次命中的概率是12p ，则p =（）A.34B.78C.25D.57【答案】B 【解析】【分析】利用全概率公式即可求解.【详解】设事件A 表示“小明第一次投篮命中”，事件B 表示“小明第二次投篮命中”，则()()()()371,,,5102P A P B P B A p P B A p ====，所以()()()()()3317155210P B P A P B A P A P B A p p ⎛⎫=+=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭，解得78p =.故选：B .7.某艺术吊灯如图1所示，图2是其几何结构图．底座ABCD 是边长为的正方形，垂直于底座且长度为6的四根吊挂线1AA ，1BB ，1CC ，1DD 一头连着底座端点，另一头都连在球O 的表面上（底座厚度忽略不计），若该艺术吊灯总高度为14，则球O 的体积为（）A.108π3B.256π3C.500π3D.864π3【答案】C 【解析】【分析】由题意做出该艺术吊灯的主视图，确定正方形1111D C B A 的外接圆圆心为1O ，连接1OO ，由勾股定理及球体积公式计算即可．【详解】如图，作出该艺术吊灯的主视图，由已知得四边形1111D C B A 为正方形，则118B D =，设正方形1111D C B A 的外接圆圆心为1O ，连接1OO 交球面于点E ，如图所示，则111OO B D ⊥，所以11114D O B O ==，因为该艺术吊灯总高度为14，116DD BB ==，所以18O E =，设球半径为R ，则18OO R =-，在11Rt OO B 中，()22284R R -+=，解得5R =，所以球O 的体积为3344500πππ5333R =⨯=，故选：C ．8.函数()y f x =在R 上的图象是一条连续不断的曲线，且与x 轴有且仅有一个交点，对任意x ，R y ∈，()()(22f x f y fx y +=+，()11f =，则下列说法正确的是（）A.()22f = B.()f x 为奇函数C.()f x 在()0,∞+单调递减D.若()4f x ≤，则[]2,2x ∈-【答案】D 【解析】【分析】由已知条件，通过赋值法求出(0),(1),(2)f f f 及奇偶性，结合函数单调性的定义判断出单调性，即可得出判断．【详解】令0x y ==得，2(0)(0)f f =，则(0)0f =；对于A ，令1x y ==，有()212f f =，则22f =，令2x y ==，有()222ff =，则()242f =≠，故A 错误；对于B ，令0y =，则(),0()0,0,(),0f x x f x x f x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，故()f x 为偶函数，故B 错误；对于C ，因为()f x 在R 上的图象是一条连续不断的曲线，且与x 轴有且仅有一个交点，(0)0,(1)10f f ==>，所以当0x >时，()0f x >，设120x x <<，令22121,0x x y x x ==-，则222221211212()))()f x f x x f x x x f x +-=+-=，即222121()())0f x f x f x x -=->，所以()f x 在()0,∞+单调递增，故C 错误；对于D ，由上述结论得，()f x 为偶函数，且在()0,∞+单调递增，(0)0,(2)4f f ==，所以若()4f x ≤，则[]2,2x ∈-，故D 正确；故选：D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在一个有限样本空间中，事件,,A B C 发生的概率满足()()()13P A P B P C ===，()59P A B = ，A与C 互斥，则下列说法正确的是（）A.()13P AC =B.A 与B 相互独立C.()127P ABC = D.()89P A B C ≤【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，根据互斥得到()0P AC =，()()()13P AC P A P AC =-=；B 选项，根据()()()()P A B P A P B P A B ⋃=+-⋂求出()19P A B ⋂=，故()()()P A B P A P B ⋂=，B 正确；C 选项，A 与C 互斥，故AB 与C 互斥，故C 正确；D 选项，根据()()8899P A B C P BC ⋃⋃=-≤求出D 正确.【详解】A 选项，A 与C 互斥，故A C ⋂=∅，()0P AC =，则C 包含事件A ，故()()13P AC P A ==，A 正确；B 选项，()()()()P A B P A P B P A B ⋃=+-⋂，即()115339P A B +-⋂=，故()19P A B ⋂=，故()()()P A B P A P B ⋂=，A 与B 相互独立，B 正确；C 选项，A 与C 互斥，故AB 与C 互斥，故()()0P ABC P AB C ⎡⎤=⋂=⎣⎦，C 错误；D 选项，()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ⋃⋃=++---+()()111118333339P BC P BC =++-⨯-=-，因为()0P BC ≥，故()()8899P A B C P BC ⋃⋃=-≤，D 正确.故选：ABD10.已知函数()()πsin 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期大于π2，若曲线()y f x =关于点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，则下列说法正确的是（）A.π322f ⎛⎫=-⎪⎝⎭B.π12y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是偶函数C.π12x =是函数()f x 的一个极值点 D.()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭单调递增【答案】ABC 【解析】【分析】由最小正周期大于π2，关于点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，可知()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，直接代入函数解析式求解即可；对于B ，利用函数奇偶性的定义判断即可；对于C ，通过求导，令导函数为0，求得x 的值，并判断π12x =左右两端函数的单调性即可判断；对于D ，通过求函数的单调递增区间即可求解.【详解】因为()()πsin 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期大于π2，所以2ππ2ω>，即04ω<<，又()y f x =关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，所以()πππZ 33k k ω+=∈，所以13k ω=-+，因为04ω<<，所以当1k =时，2ω=，所以()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，对于A ，ππππ3sin 2sin 22332f ⎛⎫⎛⎫=⨯+=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；对于B ，ππππsin 2sin 2cos 2121232f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由()cos 2cos 2x x -=且x 是全体实数，所以π12y f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭是偶函数，故B 正确；对于C ，()π2cos 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭'，令()0f x '=得ππ12x k =+，Z k ∈，当5ππ,1212x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，当π7π,1212x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以π12x =是函数()f x 的极大值点，故C 正确；对于D ，由πππ2π22π232k x k -+≤+≤+，Z k ∈，得5ππππ1212k x k -+≤≤+，函数的单调递增区间为5πππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈，当0k =时，5ππ,1212x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，当1k =时，7π13π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，显然函数在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故D 不正确.故选：ABC .11.已知12,F F 分别是双曲线2212y x -=的左、右焦点，M 是左支上一点，且在x 在上方，过2F 作12F MF ∠角平分线的垂线，垂足为,N O 是坐标原点，则下列说法正确的是（）A.若12π2MF F ∠=，则直线MN 的斜率为B.若12π2MF F ∠=，则222F M F N ⋅= C.若12MF F α∠=，则1ON =D.若12MF F α∠=，则cos ON α=【答案】AC 【解析】【分析】根据垂直关系以及角平分线可得22π3MOF ∠=，即可求解斜率，判断A ，根据数量积的几何意义即可根据长度求解B ，根据三角形全等，以及三角形的中位线即可求解DC.【详解】1,a b c ===M 在第二象限，当12π2MF F ∠=时，则112MF F F ⊥，则())12,F F ，故()2M ，122F F c ==，24MF ==,故12π3F MF ∠=,21π6MF F ∠=，由于NM 是12F MF ∠的角平分线，所以2π6NMF ∠=,进而可得22π3MOF ∠=,故斜率为A 正确，由于2NM F N ⊥ ，所以222222142F M F N F N MF ⎛⎫⋅=== ⎪⎝⎭,B错误，延长2F N ,1MF 交于点H ，连接HM ,由于NM 是12F MF ∠的角平分线，2NM F N ⊥，所以2MNH MNF ≅ ,故N 是2HF 的中点，2HM F M =,由双曲线定义可得2111222F M F M a HM F M a HF a -=⇒-=⇒=，又O 是12F F 的中点，1112ON HF a ===,故C 正确，D 错误，故选：AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数z 满足i 2i z =-，则z =__________【答案】【解析】【分析】根据复数的乘除运算及复数的模的运算公式即可求解.【详解】因为复数z 满足i 2i z =-，所以2i12i iz -==--，所以z ==.13.过点()1,m 可以向曲线()e xf x x =作n 条切线，写出满足条件的一组有序实数对(),m n __________【答案】()e,1（答案不唯一）【解析】【分析】设切点坐标为()000,ex x x ，利用导数表示出切线方程，代入点()1,m ，通过构造函数，研究新函数的单调性和极值，对m 的取值范围进行讨论，得到0x 解的个数，可得对应的切线条数.【详解】()e xf x x =，()()e e 1e xxxf x x x =+=+'，设所求切线的切点坐标为()000,e x x x ，则切线斜率为()001e x k x=+，得切线方程为()()00000e1e x x y x x x x -=+-，由切线过点()1,m ，有()()00000e 1e 1x x m x x x -=+-，化简得()02001e xm x x =+-，设()()21e xg x x x=+-，则()()22exg x x x -'=-，()0g x '<，解得<2x -或1x >；()0g x '>，解得2<<1x -，()g x 在(),2∞--和()1,∞+上单调递减，在()2,1-上单调递增，极大值()1e g =，极小值()252eg -=-，且12x -<或x >()0g x <，151522x -+<<时，()0g x >，()g x 的函数图象如图所示，则当e m >时，0x 无解，0n =；当e m =或25em <-时，0x 有一个解，1n =；当25e m =-或0e m ≤<时，0x 有两个解，2n =；当250em -<<时，0x 有三个解，3n =.故答案为：()e,1（答案不唯一）14.以max A 表示数集A 中最大的数．已知0a >，0b >，0c >，则11max ,,b a M b c c a ac b ⎧⎫=+++⎨⎬⎩⎭的最小值为__________【答案】2【解析】【分析】根据题意求出M 所满足的不等式，再结合基本不等式求解即可.【详解】由题意可知11,,b aM M b M c c a ac b≥+≥+≥+,所以有,2112a a bc b c b ac b c aM M ≥++++++≥，因为0,0,0a b c >>>所以14a c b b ac +++≥，当且仅当11,,a b c a b ac a ===，即1a b c ===时取等号，另外14a b c b c a +++≥，当且仅当1,a b c b a c==即,1a b c ==时取等号，综合上述，所以有24M ≥即2M ≥，当且仅当1a b c ===时取等号.故答案为：2.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.甲、乙两位同学组成学习小组进行项目式互助学习，在共同完成某个内容的互助学习后，甲、乙都参加了若干次测试，现从甲的测试成绩里随机抽取了7次成绩，从乙的测试成绩里随机抽取了9次成绩，数据如下：甲：93958172808292乙：858277809486928485经计算得出甲、乙两人的测试成绩的平均数均为85.（1）求甲乙两位同学测试成绩的方差；（2）为检验两组数据的差异性是否显著，可以计算统计量()()()1222111,1212211n n n n S F n n S ---=-，其中1n 个数据的方差为21S ，2n 个数据的方差为22S ，且2212S S >．若()1201,1n n F F --≥，则认为两组数据有显著性差异，否则不能认为两组数据有显著性差异.若0F 的临界值采用下表中的数据：11n -21n -123456781161200216225230234237239218.519.019.219.219.319.319.419.4310.19.559.289.129.018.948.898.8547.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.045 6.61 5.79 5.41 6.19 5.054.954.88 4.8265.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.157 5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.7385.324.464.073.843.693.583.503.44例如：()3,5F 对应的临界值0F 为5.41.请根据以上资料判断甲、乙两位同学进行项目式互助学习的效果是否有显著性差异.【答案】（1）24327S =甲，22309S =乙（2）没有显著性差异【解析】【分析】（1）根据数据求出两位同学的均值，再结合均值用方差公式求解即可；（2）根据题意求出()6,8F 的近似值，比较()6,8F 的临界值即可求解.【小问1详解】依题意：93958172808292857x ++++++==甲，858277809486928485859x ++++++++==乙，所以，()2143264100161692594977S =++++++=甲，()21230096425811491099S =++++++++=乙.【小问2详解】由于22S S >甲乙，则2214327S S ==甲，17n =，2222309S S ==乙，29n =，则()()()22116,821224328712887 2.502301115699n n S F n n S ⨯⨯-===≈-⨯⨯，查表得()6,8F 对应的临界值为3.58，则()6,8 2.50 3.58F ≈<，所以甲、乙两位同学进行项目式互助学习的效果没有显著性差异.16.正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，2421n n n S a a =++，2421n n n T b b =++（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）已知数列{}n c 满足11n n n n n a c b a a ++=⋅，求数列{}n c 的前n 项和n H ．【答案】（1）21n a n =-；()11n n b -=-（2）111,221111,221n n n H n n ⎧⎛⎫- ⎪⎪+⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+ ⎪⎪+⎝⎭⎩为偶数为奇数【解析】【分析】（1）由n a 与n S 的关系，结合等差数列和等比数列的定义、通项公式，可得所求；（2）求得n c 后，讨论n 为奇数或偶数，由数列的裂项相消求和，即可得到所求.【小问1详解】当1n =时，2111421S a a =++，即2111421a a a =++，()2110a -=，所以11a =，同理11b =．当2n ≥时，()()221111142n n n n n n n a S S a a a a ---=-=-+-，化简得：()()111204n n n n a a a a --+--=，因为0n a >，所以12n n a a --=，即12n n a a --=，故2d =，又11a =，所以21n a n =-．同理，10nn b b -+=或12n n b b --=，因为{}n b 是等比数列，所以10n n b b -+=，即1q =-，所以()11n n b -=-．【小问2详解】由（1）知()()()()()11111121111212122121n n n n n n n a n c a a n n n n ---+-+⎛⎫=-⋅=-⋅=+ ⎪-+-+⎝⎭，所以当n 为奇数时，12n nH c c c =++⋅⋅⋅+111111111233523212121n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++⋅⋅⋅++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，111221n ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，同理当n 为偶数时，111221n H n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭．所以111,221111,221n n n H n n ⎧⎛⎫- ⎪⎪+⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+ ⎪⎪+⎝⎭⎩为偶数为奇数.17.如图，在三棱台111ABC A B C -中，上、下底面是边长分别为2和4的正三角形，1AA ⊥平面ABC ，设平面11AB C 平面=ABC l ，点,E F 分别在直线l 和直线1BB 上，且满足EF l ⊥，1EF BB ⊥．（1）证明：EF ⊥平面11BCC B ；（2）若直线EF 和平面ABC 所成角的正弦值为33，求该三棱台的高．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）根据面面平行的性质定理及线面平行的性质定理可得//l BC ，根据线面垂直的判定定理可得结果；（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面11BCC B 与平面ABC 的法向量，利用线面角的向量求法可得结果.【小问1详解】证明：由三棱台111ABC A B C -知，11//B C 平面ABC ，因为11B C ⊂平面11AB C ，且平面11AB C 平面=ABC l ，所以11B C l ∥，又11B C BC ∥，所以//l BC ，因为EF l ⊥，所以EFBC ⊥，又1EF BB ⊥，1BC BB B = ，且BC ⊂平面11BCC B ，1BB ⊂平面11BCC B ，所以EF ⊥平面11BCC B ．【小问2详解】以A 为原点建立空间直角坐标系如图，设三棱台的高为h ，则()2,B，()1B h，()2,C -，()4,0,0CB =，()11,BB h =- ，设平面11BCC B 的法向量为(),,n x y z =，则40x x hz =⎧⎪⎨--+=⎪⎩，令y h =，则z =，所以平面11BCC B的一个法向量(0,n h =，易得平面ABC 的一个法向量()0,0,1m =，设EF 与平面ABC 夹角为θ，由（1）知//EF n，所以由已知得sin cos ,3m n m n m nθ⋅===⋅，解得h =．18.已知函数()e sin xf x ax =-；（1）当1a =-时，证明：对任意π,6x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，()0f x >；（2）若0x =是函数()f x 的极值点，求实数a 的值．【答案】（1）证明见解析（2）1【解析】【分析】（1）求导得到函数的单调区间，求出()π6π1e 062f x f -⎛⎫>-=-> ⎪⎝⎭，结合对数的运算可得结果；（2）求导得到函数的单调区间，可得()f x 在π,06⎛⎫-⎪⎝⎭单调递减，在()0,∞+单调递增，满足0x =是()f x 的极值点，进而求出结果即可.【小问1详解】当1a =-时，()e sin x f x x =+，()e cos xf x x =+'，当()0,x ∈+∞时，e 1sin x x >≥-，则()0f x >；当π,06x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦时，cos 0x >，e 0x >，故()0f x ¢>，所以()f x 在π,06⎛⎤- ⎥⎝⎦单调递增，因为e 2.8<<，所以π4e e 64<<，所以π6ln2<，所以πln26<，所以π6e 2<，故()π6π1e 062f x f -⎛⎫>-=-> ⎪⎝⎭；综上，对任意π,6x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，()0f x >．【小问2详解】x ∈R ，()e cos x f x a ax =-'，因为0x =是()f x 的极值点，所以()010f a '=-=，即1a =．当1a =时，()e sin x f x x =-，令()()e cos x g x f x x =-'=，则()e sin xg x x '=+，由（1）可知，对任意π,6x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，()0g x '>，故()g x 在π,6∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭单调递增，又()00g =，故当π,06x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x <，即()0f x '<，当()0,x ∈+∞时，()0g x >，即()0f x ¢>，故()f x 在π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，在()0,∞+单调递增，满足0x =是()f x 的极值点，综上，实数a 的值为1．【点睛】关键点点睛：第二问由极值点求参数可先分析单调性，再由极值点处导数为零求参数即可.19.已知曲线C 由半圆()2210x y x +=≤和半椭圆()22102x y x +=>组成，点M 在半椭圆上，()1,0A -，()1,0B ．（1）求MA MB +的值；（2）N 在曲线C 上，若OM ON ⊥（O 是原点）．（ⅰ）求MN 的取值范围；（ⅱ）如图，点N 在半圆上时，将y 轴左侧半圆沿y 轴折起，使点A 到A '，使点N 到N '，且满足2πA OB ∠'=，求MN '的最大值．【答案】（1）MA MB +=（2）（ⅰ）；（ⅱ【解析】【分析】（1）,A B 是椭圆2212x y +=的左、右焦点，由椭圆的定义求MA MB +的值；（2）（ⅰ）OM ON ⊥，222MN OM ON =+，,M N 两点的位置，分类讨论,OM ON 的值，利用换元法和二次函数的性质可求MN 的取值范围；（ⅱ）过N '作N E '垂直y 轴，垂足为E ，设N Oy ∠α'=，把,ME NE 表示为α的函数，利用换元法和三角函数的性质求MN 的取值范围.【小问1详解】由题意知，,A B 是椭圆2212x y +=的左、右焦点，由椭圆的定义知：MA MB +=．【小问2详解】（ⅰ）由题意知，OM ON ⊥，则222MN OM ON =+，当M为半椭圆右顶点时，MN ==当M 不为半椭圆右顶点时，设直线OM 方程为()0y kx k =≠，联立2212x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得22221M x k =+，222221M k y k =+，故2222221k OM k +=+，①若点N 在半圆上，则21ON=，所以2222221122121k MN k k +=+=+++，所以()22122,321MN k =+∈+，所以MN ∈，②若点N 在半椭圆上，因为OM ON ⊥，设直线ON 的方程为1=-y x k ，同理可得222222k ON k +=+，所以()()()222222222612222212212k k k MN k k k k +++=+=++++，令211k t +=>，则()()()()()222222226166611211212119224k t MN t t k k t t t +====-+++⎛⎫-++--+ ⎪⎝⎭，因为1t >，故101t <<，所以2268,3311924MN t ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，所以263MN ⎡∈⎢⎣，综上所述，所以MN ∈．（ⅱ）过N '作N E '垂直y 轴，垂足为E ，设N Oy ∠α'=，则sin ,cos N E OE αα=='，π2MOE α∠=-，所以222π2cos 2ME OM OE OM OE α⎛⎫=+-''- ⎪⎝⎭，即2222222222cos cos sin 2121k k ME k k ααα++=+-++，2πA OB ∠'=，则半圆所在平面与半椭圆所在平面垂直，两平面交线为y 轴，则有N E EM '⊥，所以22222222222222222221cos sin sin2121212121k k k k MN ME N E k k k k ααα++++=+=+-=-+++++''，(2222221k m k +=∈+，22sin2132sin23MN m m αα=-+≤-≤'，当且仅当2m =0α=时，MN '3综上所述MN '3【点睛】方法点睛：折叠与展开问题是立体几何的两个重要问题，这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现，处理这类题型的关键是抓住两图的特征关系；折叠问题是立体几何的一类典型问题是实践能力与创新能力考查的好素材；解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形，并弄清折叠前后哪些发生了变化，哪些没有发生变化，这些未变化的已知条件都是我们分析问题和解决问题的依据，而表面展开问题是折叠问题的逆向.。

温州市2024届普通高中高三第三次适应性考试高三数学试题卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC 中，三个内角,,A B C 成等差数列，则()sin A C +=（）A ．12B．2CD ．12．平面向量()(),2,2,4a m b ==-，若()a ab - ∥，则m =（）A ．1-B ．1C ．2-D ．23．设,A B 为同一试验中的两个随机事件，则“()()1P A P B +=”是“事件,A B 互为对立事件”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知*m ∈N ，()21mx +和()211m x ++的展开式中二项式系数的最大值分别为a 和b ，则（）A ．a b <B ．a b=C ．a b>D ．,a b 的大小关系与m 有关5．已知5πsin 4⎛⎫β+=-⎪⎝⎭()()sin 2cos cos 2sin αβαβαα---=（）A ．2425-B ．2425C ．35-D ．356．已知函数()223,02,0xx x x f x x ⎧-+>=⎨≤⎩，则关于x 方程()2f x ax =+的根个数不可能是（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7．已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点，C 上两点,A B 满足：222AF F B = ，14cos 5AF B ∠=，则椭圆C 的离心率是（）A ．34BC ．23D8．数列{}n a 的前n 项和为()*1,n n n n S S a n a +=∈N ，则5622111i i i i a a -==-∑∑可以是（）A ．18B ．12C ．9D ．6二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

2024年枣庄市高三数学第三次调研模拟考试卷试卷满分150分，考试用时120分钟2024.05一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}20A x x =+>∣，{}220B x x x =--<∣，则A B = （）A ．{21}xx -<<∣B ．{22}x x -<<∣C ．{11}x x -<<∣D ．{12}xx -<<∣2．已知双曲线22:14y x C m-=的一条渐近线方程为2y x =，则m =（）A ．1B ．2C ．8D ．163．已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点ππcos ,sin 33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则πcos 6α⎛⎫-=⎪⎝⎭（）A ．0B ．12C D ．24．对数螺线广泛应用于科技领域．某种对数螺线可以用πe ϕρα=表达，其中α为正实数，ϕ是极角，ρ是极径．若ϕ每增加π2个单位，则ρ变为原来的（）A ．13e 倍B ．12e 倍C ．π2e 倍D ．πe 倍5．己知平面向量(1,1),(2,0)a b =-=，则a 在b 上的投影向量为（）A ．(1,0)-B ．(1,0)C ．(D ．6．已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（）A ．4πB ．6πC ．8πD ．10π7．已知复数1212,,z z z z ≠，若12,z z 同时满足||1z =和|1||i |z z -=-，则12z z -为（）A ．1BC ．2D ．8．在ABC 中，1202ACB BC AC ∠=︒=，，D 为ABC 内一点，AD CD ⊥，120BDC ∠=︒，则tan ACD ∠=（）A ．B C D二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知两个变量y 与x 对应关系如下表：x 12345y5m8910.5若y 与x 满足一元线性回归模型，且经验回归方程为ˆ125 4.25yx =+．，则（）A ．y 与x 正相关B ．7m =C ．样本数据y 的第60百分位数为8D ．各组数据的残差和为010．若函数()()()2ln 1ln 1f x x x x=+--+，则（）A ．()f x 的图象关于()0,0对称B ．()f x 在22⎛ ⎝⎭上单调递增C ．()f x 的极小值点为22D ．()f x 有两个零点11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M ，N 分别为棱1,DD DC 的中点，点P 为四边形1111D C B A （含边界）内一动点，且2MP =，则（）A ．1AB ∥平面AMNB ．点P 的轨迹长度为π2C ．存在点P ，使得MP ⊥平面AMND ．点P 到平面AMN 三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12．写出函数()sin cos 1f x x x =+图象的一条对称轴方程．13．某人上楼梯，每步上1阶的概率为34，每步上2阶的概率为14，设该人从第1阶台阶出发，到达第3阶台阶的概率为．14．设()()1122,,,A x y B x y 为平面上两点，定义1212(,)d A B x x y y =-+-、已知点P 为抛物线2:2(0)C x py p =>上一动点，点(3,0),(,)Q d P Q 的最小值为2，则p =；若斜率为32的直线l 过点Q ，点M 是直线l 上一动点，则(,)d P M 的最小值为．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．如图，四棱台1111ABCD A B C D -的底面为菱形，14,3,60AB DD BAD ==∠=︒，点E 为BC 中点，11,D E BC D E ⊥=(1)证明：1DD ⊥平面ABCD ；(2)若112AD =，求平面11A C E 与平面ABCD 夹角的余弦值．16．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左，右焦点分别为12,F F ，椭圆E 的离心率为12，椭圆E 上的点到右焦点的最小距离为1．(1)求椭圆E 的方程；(2)若过右焦点2F 的直线l 与椭圆E 交于B ，C 两点，E 的右顶点记为A ，1//AB CF ，求直线l 的方程．17．在一个袋子中有若干红球和白球（除颜色外均相同），袋中红球数占总球数的比例为p ．(1)若有放回摸球，摸到红球时停止．在第2次没有摸到红球的条件下，求第3次也没有摸到红球的概率；(2)某同学不知道比例p ，为估计p 的值，设计了如下两种方案：方案一：从袋中进行有放回摸球，摸出红球或摸球5次停止．方案二：从袋中进行有放回摸球5次．分别求两个方案红球出现频率的数学期望，并以数学期望为依据，分析哪个方案估计p 的值更合理．18．已知函数2()e x f x ax x =--，()f x '为()f x 的导数(1)讨论()f x '的单调性；(2)若0x =是()f x 的极大值点，求a 的取值范围；(3)若π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，证明：sin 1cos 1e e ln(sin cos )1θθθθ--++<．19．若数列{}n a 的各项均为正数，对任意*N n ∈，有212n n n a a a ++≥，则称数列{}n a 为“对数凹性”数列．(1)已知数列1，3，2，4和数列1，2，4，3，2，判断它们是否为“对数凹性”数列，并说明理由；(2)若函数231234()f x b b x b x b x =+++有三个零点，其中0(1,2,3,4)i b i >=．证明：数列1234,,,b b b b 为“对数凹性”数列；(3)若数列{}n c 的各项均为正数，21c c >，记{}n c 的前n 项和为n S ，1n n W S n=，对任意三个不相等正整数p ，q ，r ，存在常数t ，使得()()()r p q p q W q r W r p W t -+-+-=．证明：数列{}n S 为“对数凹性”数列．1．D【分析】首先解一元二次不等式求出集合B ，再根据交集的定义计算可得.【详解】由220x x --<，即()()120x x +-<，解得12x -<<，所以{}{}21220|B xx x x x <-=-=<-<∣，又{}{}202A xx x x =+>=>-∣∣，所以{}12A B x x =-<< ∣.故选：D 2．A【分析】利用双曲线方程先含参表示渐近线方程，待定系数计算即可.【详解】依题意，得0m >，令2204y x y x m -=⇒=，即C 的渐近线方程为y x =，21m=⇒=.故选：A 3．D【分析】根据三角函数的定义求出sin α，cos α，再由两角差的余弦公式计算可得.【详解】因为ππcos ,sin 33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即122P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，即角α的终边经过点1322P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以sin α=，1cos 2α=，所以πππ11cos cos cos sin sin 66622ααα⎛⎫-=+== ⎪⎝⎭.故选：D 4．B【分析】设0ϕ所对应的极径为0ρ，10π2ϕϕ=+所对应的极径为1ρ，根据所给表达式及指数幂的运算法则计算可得.【详解】设0ϕ所对应的极径为0ρ，则0π0e ϕρα=，则10π2ϕϕ=+所对应的极径为0π2π1eϕρα+=，所以0000ππ222π1πππ1e e e e ϕϕϕϕραρα++-===，故ϕ每增加π2个单位，则ρ变为原来的12e 倍.故选：B 5．A【分析】根据已知条件分别求出a b ⋅ 和b ，然后按照平面向量的投影向量公式计算即可得解.【详解】(1,1),(2,0)a b =-=，2a b ⋅=-，2b =,a 在b 上的投影向量为()()22,01,04a b b bb⋅-⋅==-.故选：A.6．C【分析】利用圆柱及球的特征计算即可.【详解】由题意可知该球为圆柱的外切球，所以球心为圆柱的中心，设球半径为r ，则r =，故该球的表面积为24π8πr =.故选：C 7．C【分析】设()i ,R z x y x y =+∈，根据||1z =和|1||i |z z -=-求出交点坐标，即可求出12,z z ，再计算其模即可.【详解】设()i ,R z x y x y =+∈，则()11i z x y -=-+，()i 1i z x y -=+-，由||1z =和|1||i |z z -=-，所以221x y +=且()()222211x y y x -+=-+，即221x y +=且x y =，解得22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或22x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以122z =+、2i 22z =-（或122i 22z =--、222i 22z =+），则21i i 2222z z ⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭（或21z z -=），所以122z z -=.故选：C 8．B【分析】在Rt ADC 中，设ACD θ∠=，AC x =，即可表示出CB，CD ，再在BCD △中利用正弦定理得cos sin(60)x θθ-︒，再由两角差的正弦公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，即可得解.【详解】在Rt ADC 中，设ACD θ∠=π02θ⎛⎫<<⎪⎝⎭，令AC x =()0x >，则2CB x =，cos CD x θ=，在BCD △中，可得120BCD θ∠=︒-，60CBD θ∠=-︒，由正弦定理sin sin BC CDCDB CBD=∠∠，cos sin(60)x θθ==-︒=，可得tan θ=tan ACD ∠=故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题解答关键是找到角之间的关系，从而通过设元、转化到BCD △中利用正弦定理得到关系式.9．AD【分析】利用相关性的定义及线性回归直线可判定A ，根据样本中心点在回归方程上可判定B ，利用百分位数的计算可判定C ，利用回归方程计算预测值可得残差即可判定D.【详解】由回归直线方程知：1.250>，所以y 与x 正相关，即A 正确；由表格数据及回归方程易知32.53, 1.253 4.257.55mx y m +==⨯+=⇒=，即B 错误；易知560%3⨯=，所以样本数据y 的第60百分位数为898.52+=，即C 错误；由回归直线方程知1,2,3,4,5x =时对应的预测值分别为 5.5,6.75,8,9.25,.5ˆ10y=，对应残差分别为0.5,0.75,0,0.25,0--，显然残差之和为0，即D 正确.故选：AD 10．AC【分析】首先求出函数的定义域，即可判断奇偶性，从而判断A ，利用导数说明函数的单调性，即可判断B 、C ，求出极小值即可判断D.【详解】对于函数()()()2ln 1ln 1f x x x x =+--+，令10100x x x +>⎧⎪->⎨⎪≠⎩，解得10x -<<或01x <<，所以函数的定义域为()()1,00,1-U ，又()()()()()()22ln 1ln 1ln 1ln 1f x x x x x f x x x ⎡⎤-=--+-=-+--+=-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 为奇函数，函数图象关于()0,0对称，故A 正确；又()22221121122211111f x x x x x x x x x---'=--=+-=-+-+--222222222(1)24(1)(1)x x x x x x x ----==--，当x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '<，即()f x在⎛ ⎝⎭上单调递减，故B 错误；当2x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，即()f x在,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，根据奇函数的对称性可知()f x 在21,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 的极小值点为22，极大值点为22-，故C 正确；又(()ln 320f x f ==++⎝⎭极小值，且当x 趋近于1时，()f x 趋近于无穷大，当x 趋近于0时，()f x 趋近于无穷大，所以()f x 在()0,1上无零点，根据对称性可知()f x 在()1,0-上无零点，故()f x 无零点，故D 错误．故选：AC ．11．ABD【分析】利用线线平行的性质可判定A ，利用空间轨迹结合弧长公式可判定B ，建立空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系及点面距离可判定C 、D.【详解】对于A ，在正方体中易知1111//,////MN CD CD A B NM A B ⇒，又1⊄A B 平面AMN ，MN ⊂平面AMN ，所以1A B ∥平面AMN ，即A 正确；对于B ，因为点P 为四边形1111D C B A （含边界）内一动点，且2MP =，11MD =，则1DP =P 点轨迹为以1D所以点P的轨迹长度为132ππ42⨯，故B 正确；对于C ，建立如图所示空间直角坐标系，则()()())π2,0,0,0,0,1,0,1,0,,,20,2A M N Pθθθ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以()())2,0,1,2,1,0,,1AM AN MP θθ=-=-=，若存在点P ，使得MP ⊥面AMN，则100AM MP AN MP θθθ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，解之得sin ,cos θθ=即不存在点P ，使得MP ⊥面AMN ，故C 错误；对于D ，设平面AMN 的一个法向量为(),,n x y z = ，则2020AM n x z AN n x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取12x y z =⇒==，即()1,2,2n =，则点P 到平面AMN的距离()221πtan ,0,3322n MP d n θϕθθϕϕ⋅++⎛⎫++⎛⎫====∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ，显然π2θϕ+=时取得最大值max d =D 正确.故选：ABD【点睛】思路点睛：对于B ，利用定点定距离结合空间轨迹即可解决，对于C 、D 因为动点不方便利用几何法处理，可以利用空间直角坐标系，由空间向量研究空间位置关系及点面距离计算即可.12．π4x =（答案不唯一）【分析】利用二倍角公式及三角函数的图象与性质计算即可.【详解】易知1()sin 212f x x =+，所以()()πππ2πZ Z 242k x k k x k =+∈⇒=+∈，不妨取0k =，则π4x =.故答案为：π4x =（答案不唯一）13．1316【分析】先分①②两种方法，再由独立事件的乘法公式计算即可.【详解】到达第3台阶的方法有两种：第一种：每步上一个台阶，上两步，则概率为3394416⨯=；第二种：只上一步且上两个台阶，则概率为14，所以到达第3阶台阶的概率为911316416+=，故答案为：1316.14．232【分析】利用定义结合二次函数求最值计算即可得第一空，过P 作//PN x 并构造直角三角形，根据(,)d P M 的定义化折为直，结合直线与抛物线的位置关系计算即可.【详解】设2,2m P m p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()()2221,30332222m m p d P Q m m m p p p p =-+-≥-+=-+-，322p⇒-=，即2p =，p m =时取得最小值；易知39:22l y x =-，2:4C x y =，联立有26180x x -+=，显然无解，即直线与抛物线无交点，如下图所示，过P 作//PN x 交l 于N ，过M 作ME PN ⊥，则(,)d P M PE EM PE EN PN =+≥+=（,M N 重合时取得等号），设2,4n P n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则223,64n n N ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以()22133336622n PN n n =-+=-+≥，故答案为：2，32【点睛】思路点睛：对于曼哈顿距离的新定义问题可以利用化折为直的思想，数形结合再根据二次函数的性质计算最值即可.15．(1)证明见解析【分析】（1）连接DE 、DB ，即可证明BC ⊥平面1D DE ，从而得到1BC DD ⊥，再由勾股定理逆定理得到1DD DE ⊥，即可证明1DD ⊥平面ABCD ；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】（1）连接DE 、DB ，因为四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠= 所以BDC 是边长为4的正三角形，因为E 为BC 中点，所以DE BC ⊥，DE =又因为11,D E BC D E DE E ⊥⋂=，1,D E DE ⊂平面1D DE ，所以BC ⊥平面1D DE ，又1DD ⊂平面1D DE ，所以1BC DD ⊥，又1D E =13DD =，DE =所以22211DD DE D E +=，所以1DD DE ⊥，又因为,,DE BC E DE BC =⊂ 平面ABCD ，所以1DD ⊥平面ABCD.（2）因为直线1,,DA DE DD 两两垂直，以D 为原点，1,,DA DE DD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()()10,0,0,4,0,0,0,,2,2,2,0,3D A E C A -，所以()()1111,2,2A C AC EA ==-=- 设平面11A C E 的一个法向量为(),,n x y z = ，则11130230n A C x n EA x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，即43y x z ⎧=⎪⎨=⎪⎩，令3x =，得4y z ==，所以()4n = ，由题意知，()0,0,1m = 是平面ABCD 的一个法向量，设平面11A C E 与平面ABCD 的夹角为θ，则cos 13m n m n θ⋅===⋅ ，所以平面11A C E与平面ABCD 16．(1)22143x y +=(2)10x y +-=或10x y -=【分析】（1）利用椭圆焦半径公式及性质计算即可；（2）设直线l 方程，B 、C 坐标，根据平行关系得出两点纵坐标关系，联立椭圆方程结合韦达定理解方程即可.【详解】（1）设焦距为2c ，由椭圆对称性不妨设椭圆上一点()()000,0P x y a x ≥≥，易知()2,0F c ，则2PF =00c c x a a x a a =-=-，显然0x a =时2min PF a c =-，由题意得222121ca a c abc ⎧=⎪⎪⎨-=⎪⎪=+⎩解得2,1,a c b ===所以椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）设()()1122,,,C x y B x y ，因为AB //1CF ，所以1122::2:1CF AB F F F A ==所以122y y =-①设直线l 的方程为1x my =+，联立得221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()2234690m y my ++-=，由韦达定理得()122122634934my y m y y m ⎧+=-⎪+⎪⎨=-⎪+⎪⎩，把①式代入上式得222226349234my m y m ⎧-=-⎪⎪+⎨⎪-=-⎪-+⎩，得()()22222236923434m y m m ==++，解得255m =±，所以直线l 的方程为：10x y -=或10x y -=.17．(1)1p-(2)答案见解析【分析】（1）设事件A =“第2次没有摸到红球”，事件B =“第3次也没有摸到红球”，根据条件概率公式计算可得；（2）记“方案一”中红球出现的频率用随机变量X 表示，X 的可能取值为11110,,,,,15432，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望，“方案二”中红球出现的频率用随机变量Y 表示，则()55,Y B p ~，由二项分布的概率公式得到分布列，即可求出期望，再判断即可.【详解】（1）设事件A =“第2次没有摸到红球”，事件B =“第3次也没有摸到红球”，则()()21P A p =-，()()31P B p =-，所以()()()()()32(1)|1(1)P AB P B p P B A p P A P A p -====--；（2）“方案一”中红球出现的频率用随机变量X 表示，则X 的可能取值为：11110,,,,,15432，且()()501P X p ==-，()4115P X p p ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()3114P X p p ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()2113P X p p ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()112P X p p ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()1P X p ==，所以X 的分布列为：X 0151413121P 5(1)p -4(1)p p -3(1)p p -2(1)p p -()1p p-p 则()()()354211110(1)(1)1(1)115432E X p p p p p p p p p p =⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯()4321(1)(1)(1)5432p p p p p p p p p ----=++++，“方案二”中红球出现的频率用随机变量Y 表示，因为()55,Y B p ~，所以5Y 的分布列为：()555C (1),0,1,2,3,4,5k k k P Y k p p k -==-=，即Y 的分布列为：Y 0152535451P 5(1)p -45(1)p p -3210(1)p p -3210(1)p p -()451p p -5p 所以()55E Y p =，则()E Y p =，因为()E X p >，()E Y p =，所以“方案二”估计p 的值更合理.18．(1)答案见解析(2)12a >(3)证明见解析【分析】（1）令()()g x f x '=，求出导函数，再分0a ≤和0a >两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；（2）结合（1）分0a ≤、102a <<、12a =、12a >四种情况讨论，判断()f x 的单调性，即可确定极值点，从而得解；（3）利用分析法可得只需证sin 12e ln sin sin θθθ-+<，cos 12e ln cos cos θθθ-+<，只需证对任意10x -<<，有()2e ln 1(1)x x x ++<+，结合（2）只需证明()ln 1(10)x x x +<-<<，构造函数，利用导数证明即可.【详解】（1）由题知()e 21x f x ax =--'，令()()21x g x f x ax =-'=-e ，则()e 2x g x a '=-，当0a ≤时，()()0,g x f x ''>在区间(),-∞+∞单调递增，当0a >时，令()0g x '=，解得ln2=x a ，当(),ln2x a ∞∈-时，()0g x '<，当()ln2,x a ∈+∞时，()0g x '>，所以()f x '在区间(),ln2a -∞上单调递减，在区间()ln2,a +∞上单调递增，综上所述，当0a ≤时，()f x '在区间(),-∞+∞上单调递增；当0a >时，()f x '在区间(),ln2a -∞上单调递减，在区间()ln2,a +∞上单调递增.（2）当0a ≤时，()00f '=，由（1）知，当(),0x ∈-∞时，()()0,f x f x '<在(),0∞-上单调递减；当()0,x ∈+∞时，()()0,f x f x '>在()0,∞+上单调递增；所以0x =是函数()f x 的极小值点，不符合题意；当102a <<时，ln20a <，且()00f '=，由（1）知，当()ln2,0x a ∈时，()()0,f x f x '<在()ln2,0a 上单调递减；当()0,x ∈+∞时，()()0,f x f x '>在()0,∞+上单调递增；所以0x =是函数()f x 的极小值点，不符合题意；当12a =时，ln20a =，则当(),x ∈-∞+∞时，()()0,f x f x '≥在(),-∞+∞上单调递增，所以()f x 无极值点，不合题意；当12a >时，ln20a >，且()00f '=；当(),0x ∈-∞时，()()0,f x f x '>在(),0∞-上单调递增；当()0,ln2∈x a 时，()()0,f x f x '<在()0,ln2a 上单调递减；所以0x =是函数()f x 的极大值点，符合题意；综上所述，a 的取值范围是12a >.（3）要证()sin 1cos 1e e ln sin cos 1θθθθ--++<，只要证()()sin 1cos 122e e ln sin ln cos sin cos θθθθθθ--+++<+，只要证sin 12e ln sin sin θθθ-+<，cos 12e ln cos cos θθθ-+<，因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()sin 0,1,cos 0,1θθ∈∈，所以只要证对任意01x <<，有12e ln x x x -+<，只要证对任意10x -<<，有()2e ln 1(1)x x x ++<+（※），因为由（2）知：当1a =时，若0x <，则()()01f x f <=，所以2e 1x x x --<，即2e 1x x x <++①，令函数()()ln 1(10)h x x x x =+--<<，则()1111x h x x x-'=-=++，所以当10x -<<时()0h x '>，所以()h x 在()1,0-单调递增；则()()00h x h <=，即()ln 1(10)x x x +<-<<，由①+②得()22e ln 121(1)x x x x x ++<++=+，所以（※）成立，所以()sin 1cos 1e e ln sin cos 1θθθθ--++<成立.【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.19．(1)只有1，2，4，3，2是“对数凹性”数列，理由见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）利用“对数凹性”数列的定义计算即可；（2）利用导数研究三次函数的性质结合()1,f f x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭零点个数相同及“对数凹性”数列的定义计算即可；（3）将,p q 互换计算可得0=t ，令1,2p q ==，可证明{}n W 是等差数列，结合等差数列得通项公式可知()11n W c n d =+-，利用1n n W S n=及,n n S c 的关系可得()121n c c d n =+-，并判定{}n c 为单调递增的等差数列，根据等差数列求和公式计算()2124n n n S S S ++-结合基本不等式放缩证明其大于0即可.【详解】（1）根据“对数凹性”数列的定义可知数列1，3，2，4中2234≥⨯不成立，所以数列1，3，2，4不是“对数凹性”数列；而数列1，2，4，3，2中222214423342⎧≥⨯⎪≥⨯⎨⎪≥⨯⎩均成立，所以数列1，2，4，3，2是“对数凹性”数列；（2）根据题意及三次函数的性质易知2234()23f x b b x b x =++'有两个不等实数根，所以221324324Δ44303b b b b b b =-⨯>⇒>，又0(1,2,3,4)i b i >=，所以2324243b b b b b >>，显然()1000x f b =⇒=>，即0x =不是()f x 的零点，又2312341111f b b b b x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令1t x =，则()231234f t b b t b t b t =+++也有三个零点，即32123431b x b x b x b f x x +++⎛⎫= ⎪⎝⎭有三个零点，则()321234g x b x b x b x b =+++有三个零点，所以()212332g x b x b x b =++'有两个零点，所以同上有22221321313Δ44303b b b b b b b b =-⨯>⇒>>，故数列1234,,,b b b b 为“对数凹性”数列（3）将,p q 互换得：()()()r q p t q p W p vr W r q W t =-+-+-=-，所以0=t ，令1,2p q ==，得()()(2210r W r W r W -+-+-=，所以()()()()12121211r W r W r W W r W W =-+-=+--，故数列{}n W 是等差数列，记221211022S c c d W W c -=-=-=>，所以()()2111112n c c W c n c n d -⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，所以()21n n S nW dn c d n ==+-，又因为11,1,2n n n c n c S S n -=⎧=⎨-≥⎩，所以()121n c c d n=+-，所以120n n c c d +-=>，所以{}n c 为单调递增的等差数列，所以()11210,2,2n n n n n n n n cc c c c c c S ++++>>+==.所以()()()()()22212111124(1)2n n n n n n S S S n c c n n c c c c ++++-=++-+++()()()()22112211(1)22n n n c c c c n c c n n ++⎡⎤+++>++-+⎢⎥⎣⎦()()222112112(1)22n n c c c n c c n n ++++⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭()()()2221111(1)2n n n c c n n c c ++=++-++()()2211(1)2n n n n c c +⎡⎤=+-++⎣⎦()2110n c c +=+>所以212n n n S S S ++≥，数列{}n S 是“对数凹性”数列【点睛】思路点睛：第二问根据定义及三次函数的性质、判别式先判定2324243b b b b b >>，再判定()1,f f x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭零点个数相同，再次利用导函数零点个数及判别式判定2213133b b b b b >>即可；第三问根据条件将,p q 互换得0=t ，利用赋值法证明{}n W 是等差数列，再根据1n n W S n=及,n n S c 的关系可得n c 从而判定其为单调递增数列，根据等差数列求和公式计算()2124n n n S S S ++-结合基本不等式放缩证明其大于0即可.。

潍坊市高考模拟考试（潍坊三模）数学2024.5一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求.1．设复数πsin 2i 4z θ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是纯虚数，则θ的值可以为（）A ．π4B ．5π4C ．2023π4D ．2025π42．已知集合{}{}3,2,1,0,1,2,3,|3,Z A B x x n n =---==∈，则A B ⋂的子集个数是（）A ．3个B ．4个C ．8个D ．16个3．如图，半径为1的圆M 与x 轴相切于原点O ，切点处有一个标志，该圆沿x 轴向右滚动，当圆M 滚动到与出发位置时的圆相外切时(记此时圆心为N )，标志位于点A 处，圆N 与x 轴相切于点B ，则阴影部分的面积是（）A ．2B ．1C ．π3D ．π44．某同学在劳动课上做了一个木制陀螺，该陀螺是由两个底面重合的圆锥组成．已知该陀螺上、下两圆锥的体积之比为1:2，上圆锥的高与底面半径相等，则上、下两圆锥的母线长之比为（）A B ．12C ．2D 5．牛顿迭代法是求方程近似解的一种方法．如图，方程()0f x =的根就是函数()f x 的零点r ，取初始值()0,x f x 的图象在点()()00,x f x 处的切线与x 轴的交点的横坐标为()1,x f x 的图象在点()()11,x f x 处的切线与x 轴的交点的横坐标为2x ，一直继续下去，得到12,,,n x x x ，它们越来越接近r ．设函数()2f x x bx =+，02x =，用牛顿迭代法得到11619x =，则实数b =（）A ．1B ．12C ．23D ．346．已知1F ，2F 分别为椭圆C ：22162x y+=的左、右焦点，点()00,P x y 在C 上，若12F PF ∠大于π3，则0x 的取值范围是（）A ．(),-∞+∞B ．(C ．(),-∞+∞D ．(7．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且()1e f =，当0x >时，()1e xf x x<'+，则不等式()ln 1e xf x x ->的解集为（）A ．()0,1B ．()0,∞+C ．()1,∞+D ．()()0,11,∞⋃+8．已知()()()()()()828901289321111x x a a x a x a x a x ++=+++++++++ ，则8a =（）A ．8B ．10C ．82D ．92二、多项选择题:本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别为棱111,C D C C 的中点，则（）A ．直线BN 与1MB 是异面直线B ．直线MN 与AC 所成的角是3πC ．直线MN ⊥平面ADND ．平面BMN 截正方体所得的截面面积为98.10．下列说法正确的是（）A ．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，事件“至少有一个黑球”与事件“至少有一个红球”是互斥事件B ．掷一枚质地均匀的骰子两次，“第一次向上的点数是1”与“两次向上的点数之和是7”是相互独立事件C ．若123452,,,,,x x x x x 的平均数是7，方差是6，则12345,,,,x x x x x 的方差是65D ．某人在10次射击中，设击中目标的次数为X ，且()10,0.8B X ，则8X =的概率最大11．已知12F F ，双曲线()222:104x y C b b-=>的左、右焦点，点P 在C 上，设12PF F △的内切圆圆心为I ，半径为r ，直线PI 交12F F 于Q ，若53PQ PI = ，1215PI PF t PF =+，R t ∈则（）A ．25t =B ．圆心I 的横坐标为1C ．5r =D ．C 的离心率为2三、填空题:本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12．已知向量()()()1,2,4,2,1,a b c λ==-=，若()20c a b ⋅+= ，则实数λ=13．已知关于x 的方程()()2cos 0x k ωϕω+=≠的所有正实根从小到大排列构成等差数列，请写出实数k 的一个取值为14．已知,,a b c 均为正实数，函数()()22ln f x x a b x x =+++．（1）若()f x 的图象过点()1,2，则12a b+的最小值为；（2）若()f x 的图象过点(),ln c ab c +，且()3a b t c +≥恒成立，则实数t 的最小值为．四、解答题:本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、说明过程或演算步骤.15．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,2AB AC AB AC AA ⊥==，E 是棱BC的中点．(1)求证：1//A C 平面1AB E ；(2)求二面角11A B E A --的大小．16．已知正项等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且12311S S S ++，，成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)若()1,1sin ,2nn n n S b n S n π⎧⎪⎪=⎨-⎪⋅⎪⎩为奇数，为偶数，求数列{}n b 的前4n 项和.17．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，E 为直线:1l y =-上一点，动点F 满足FE l ⊥，OF OE ⊥ .(1)求动点F 的轨迹C 的方程;(2)若过点1,02T ⎛⎫⎪⎝⎭作直线与C 交于不同的两点,M N ，点()1,1P ，过点M 作y 轴的垂线分别与直线,OP ON 交于点,A B .证明：A 为线段BM 的中点.18．某高校为了提升学校餐厅的服务水平，组织4000名师生对学校餐厅满意度进行评分调查，按照分层抽样方法，抽取200位师生的评分(满分100分)作为样本，绘制如图所示的频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级:满意度评分[0,60)[60,80)[80,90)[]90100，满意度等级不满意基本满意满意非常满意(1)求图中a 的值，并估计满意度评分的25%分位数;(2)若样本中男性师生比为1:4，且男教师评分为80分以上的概率为0.8，男学生评分为80分以上的概率0.55，现从男性师生中随机抽取一人，其评分为80分以上的概率为多少?(3)设在样本中，学生、教师的人数分别为()1200m n n m ≤≤≤，，记所有学生的评分为12,,m x x x ，，其平均数为x ，方差为2x s ，所有教师的评分为12,,n y y y ，，其平均数为y ，方差为2y s ，总样本的平均数为z ，方差为2s ，若245x y x y s s s ==，试求m 的最小值.19．一个完美均匀且灵活的项链的两端被悬挂，并只受重力的影响，这个项链形成的曲线形状被称为悬链线.1691年，莱布尼茨、惠根斯和约翰・伯努利等得到“悬链线”方程e e 2x xccc y -⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，其中c 为参数.当1c =时，就是双曲余弦函数()e e ch 2x x x -+=，类似地双曲正弦函数()e e sh 2x xx --=，它们与正、余弦函数有许多类似的性质.(1)类比三角函数的三个性质：①倍角公式sin22sin cos x x x =；②平方关系22sin cos 1x x +=；③求导公式()()''sin cos cos sin x x x x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，写出双曲正弦和双曲余弦函数的一个正确的性质并证明；(2)当0x >时，双曲正弦函数()sh y x =图象总在直线y kx =的上方，求实数k 的取值范围；(3)若1200x x >>，，证明：()()()()()2221112121ch sh 1ch sh sin sin cos .x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤+--⋅+>+--⎣⎦⎣⎦1．C【分析】根据题意得到πsin 04θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，将四个选项代入检验，得到答案.【详解】由题意得πsin 04θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，A 选项，当π4θ=时，ππsin 144⎛⎫+= ⎪⎝⎭，不合题意，A 错误；B 选项，当5π4θ=时，5ππsin 144⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，不合要求，B 错误；C 选项，当2023π4θ=时，2023ππsin sin 506π044⎛⎫+==⎪⎝⎭，故C 正确；D 选项，当2025π4θ=时，2025ππsin 144⎛⎫+=⎝⎭，D 错误.故选：C 2．C【分析】由交集的定义求得A B ⋂，根据子集个数的计算方法即可求解．【详解】由题意得，{3,0,3}A B ⋂=-，则A B ⋂的子集有328=个，故选：C ．3．B【分析】根据给定条件，求出劣弧AB 的长，再利用扇形面积公式计算即得．【详解】由圆M 与圆N 外切，得2MN =，又圆M ，圆N 与x 轴分别相切于原点O 和点B ，则2OB MN ==，所以劣弧AB 长等于2OB =，所以劣弧AB 对应的扇形面积为12112⨯⨯=.故选：B 4．A【分析】由圆锥的体积公式及圆锥高、半径与母线的关系计算即可．【详解】设上、下两圆锥的底面半径为r ，高分别为12,h h ，体积分别为12,V V ，因为上圆锥的高与底面半径相等，所以1h r =，则2111222221π1312π3r h V h r V h h r h ====得，22h r =，=，5=，故选：A ．5．D【分析】求得()f x 在()()22f ,的切线方程，代入16,019⎛⎫⎪⎝⎭求解即可．【详解】()2f x x b '=+，(2)4f b '=+，()242f b =+，则()f x 在()()22f ,处的切线方程为()()()4242y b b x -+=+-，由题意得，切线过16,019⎛⎫⎪⎝⎭代入得，()()16424219b b ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭，解得34b =，故选：D ．6．D【分析】由已知可知1PF ，2PF的坐标和模，由向量数量积的定义及坐标运算可得关于0x 的不等关系，即可求解.【详解】因为椭圆C ：22162x y +=，所以26a =，22b =，所以2224c a b =-=，所以()12,0F -，()22,0F ，因为点()00,P x y 在C 上，所以2200162x y +=，所以2200123y x =-，0x <<，又()1002,PF x y =--- ，()2002,PF x y =-- ，所以222120002423PF PF x y x ⋅=+-=- ，又)10033PF x ==+=+ ，)2003PF x x ==-=- ，所以121212cos PF PF PF PF F PF ⋅=⋅∠ ，因为12F PF ∠大于π3，所以121212πcos cos 3PF PF F PF PF PF ⋅∠<⋅ ，所以()()2000221233332x x x -<+⋅-⋅，解得0x <<所以0x 的取值范围是(.故选：D .7．A【分析】由不等式化简构造新函数，利用导数求得新函数的单调性，即可求解原不等式.【详解】不等式()ln 1exf x x->等价于()e ln x f x x >+，即()e ln 0x f x x -+>，构造函数()()e ln ,0x g x f x x x =-+>，所以1()()e xg x f x x''=--，因为0x >时，()1e xf x x<'+，所以()0g x '<对(0,)∀∈+∞x 恒成立，所以()g x 在(0,)+∞单调递减，又因为(1)(1)e ln10g f =--=，所以不等式()e ln 0x f x x -+>等价于()(1)g x g >，所以01x <<，即()ln 1exf x x->的解集为()0,1.故选：A.8．B【分析】由()()()()88321211x x x x ⎡⎤⎡⎤++=++++⎣⎦⎣⎦，利用二项式定理求解指定项的系数.【详解】()()()()88321211x x x x ⎡⎤⎡⎤++=++++⎣⎦⎣⎦，其中()811x ⎡⎤++⎣⎦展开式的通项为()()88188C 11C 1rrr r rr T x x --+=+⋅=+，N r ∈且8r ≤，当0r =时，()()8818C 11T x x =+=+，此时只需乘以第一个因式()12x ⎡⎤++⎣⎦中的2，可得()821x +；当1r =时，()()77128C 181T x x =+=+，此时只需乘以第一个因式()12x ⎡⎤++⎣⎦中的()1x +，可得()881x +.所以82810a =+=.故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键点是把()()832x x ++表示成()()81211x x ⎡⎤⎡⎤++++⎣⎦⎣⎦，利用即可二项式定理求解.9．ABD【分析】根据异面直线成角，线面垂直的判定定理，梯形面积公式逐项判断即可.【详解】对于A ，由于BN ⊂平面11BB C C ，1MB 平面1111BB C C B ,B BN =∉，故直线BN 与1MB 是异面直线，故A 正确；对于B ，如图，连接1CD ，因为M N ，分别为棱111C D C C ，的中点，所以1∥MN CD ，所以直线MN 与AC 所成的角即为直线1CD 与AC 所成的角，又因为1ACD △是等边三角形，所以直线1CD 与AC 所成的角为π3，故直线MN 与AC 所成的角是π3，故B 正确；对于C ，如图，假设直线MN ⊥平面ADN ，又因为DN ⊂平面ADN ，所以MN DN ⊥，而222MN DN DM ===，这三边不能构成直角三角形，所以DN 与MN 不垂直，故假设错误，故C 错误；对于D ，如图，连接11,A B A M ，因为111,A B CD CD MN ∥∥，所以1//A B MN ，所以平面BMN 截正方体所得的截面为梯形1A BNM ，且11,2MN A B A M BN ====4，所以截面面积为19(2248⨯+⨯=，故D 正确.故选：ABD.10．BCD【分析】由互斥事件的定义即可判断A ；由独立事件的乘法公式验证即可判断B ；由平均值及方差的公式即可判断C ；由二项分布的概率公式即可判断D ．【详解】对于A ，事件“至少有一个黑球”与事件“至少有一个红球”可以同时发生，所以不是互斥事件，故A 错误；对于B ，设A =“第一次向上的点数是1”，B =“两次向上的点数之和是7”，则()16P A =，()61366P B ==，()136P AB =，因为()()()P AB P A P B =⋅，所以事件A 与B 互相独立，故B 正确；对于C ，由123452,,,,,x x x x x 的平均数是7，得12345,,,,x x x x x 的平均数为8，由123452,,,,,x x x x x 方差是6，则()()222222123451234514752536xx x x x x x x x x ++++-+++++⨯+=，所以()()222222123451234516856x x x x x x x x x x ++++-+++++⨯=，所以12345,,,,x x x x x 的方差()()22222212345123451685655xx x x x x x x x x ++++-+++++⨯=，故C 正确；对于D ，由()10,0.8B X 得，当()110,Z x r r r =≤≤∈时，()101041C 55rrr P x r -⎛⎫⎛⎫==⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当2r ≥时，令()()()101011111041C 411551141C 55r rr r r r P x r r P x r k ----⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪=-⎝⎭⎝⎭==≥=-⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，即445r ≤，令()()()10101911041C 1551141041C 55r rrr r r P x r r P x r k -+-+⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪=+⎝⎭⎝⎭==≥=+-⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得395r ≥，即394455r ≤≤，所以当8r =时，()8P X =最大，故D 正确，故选：BCD ．11．ACD【分析】由121533PQ PF t PF =+ ，且12,,F Q F 三点共线，得到25t =，可判定A 正确；根据双曲线的定义和122EF EF c +=，求得12,EF a c EF c a =+=-，可判定B 错误；利用角平分线定理得到11222PF QF PF QF ==，结合三角形的面积公式，分别求得,c r 的值，可判定C 正确；结合离心率的定义和求法，可判定D 正确.【详解】对于A 中，因为12515333PQ PI PF t PF ==+，且12,,F Q F 三点共线，所以15133t +=，可得25t =，所以A 正确；对于B 中，设切点分别为,,E F G ，则12122EF EF PF PF a -=-=，又因为122EF EF c +=，所以12,EF a c EF c a =+=-，所以点E 为右顶点，圆心I 的横坐标为2，所以B 错误；对于C 中，因为121233PQ PF PF =+ ，所以122QF QF =，由角平分线定理，得11222PF QF PF QF ==，又因为1224PF PF a -==，所以128,4PF PF ==，由53PQ PI = 可得52P y r =，所以()121152122222PF F S c r c r =+⋅=⨯⨯ ，可得4c =，所以128F F =，则12PF F △为等腰三角形，所以1211(812)422PF F S r =+⋅=⨯⨯ 5r =，所以C 正确；对于D 中，由离心率422c e a ===，所以D 正确.【点睛】方法点拨：对于双曲线的综合问题的求解策略：1、与双曲线的两焦点有关的问题，在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合122PF PF a -=，运用平方的方法，建立12PF PF ⋅的联系；2、当与直线有关的问题，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式，根与系数的关系构造相关变量关系式进行求解；3、当与向量有关相结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系转化为点的坐标问题，再根据与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解.12．3-【分析】根据向量线性运算和数量积公式得到方程，求出答案.【详解】()()()22,44,26,2a b +=+-=，()()()21,6,2620c a b λλ⋅+=⋅=+=，解得3λ=-.故答案为：3-13．10,,12（答案不唯一，填写其中一个即可）【分析】根据三角降幂公式化简，再结合图象求得k 的取值即可.【详解】因为()()2cos 0x k ωϕω+=≠，所以cos 2()12x k ωϕ++=，即cos 2()21x k ωϕ+=-，要想方程所有正实根从小到大排列构成等差数列，则需要210k -=或1±，所以10,1,2k =.故答案为：10,,12（答案不唯一，填写其中一个即可）.14．9113【分析】（1）由()f x 的图象过点()1,2得21a b +=，根据基本不等式“1”的妙用计算即可；（2）由()f x 的图象过点(),ln c ab c +得()22c ac b a c +=-，进而得出22c ac b a c+=-，利用换元法及基本不等式即可求得3ca b+的最大值，即可得出t 的最小值．【详解】（1）由()f x 的图象过点()1,2得，(1)122f a b =++=，即21a b +=，所以()12222559b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当22b a a b =，即13a b ==时等号成立．由()3a b t c +≥恒成立得，3ct a b≥+，（2）因为()f x 的图象过点(),ln c ab c +，则()()22ln ln f c c a b c c ab c =+++=+，即()22c ac b a c +=-，当2a c =时，0c =不合题意舍，所以2a c ≠，即2a c ≠，则22c acb a c+=-，则由0b >得2a c >，所以222222233533512ac c c ac a ac c c a b a ac c a a a c c c --===+-+⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭+-，设20am c-=>，所以()()222237332521351a m m c m m a a m m c c -==+++-++⎛⎫-+ ⎪⎝⎭1131337m m =≤++，当且仅当33m m=，即1m =，则3,4a c b c ==时，等号成立，故答案为：9；113．【点睛】方法点睛：第二空由()f x 的图象过点(),ln c ab c +得出22c acb a c+=-，代入消元得出关于,a c 的齐次式，换元后根据基本不等式计算可得．15．(1)证明见解析(2)30︒【分析】（1）取11B C 的中点D ，连接1,,A D CD DE ，先得出平面1//A DC 平面1AB E ，由面面平行证明线面平行即可；（2）建立空间直角坐标系，根据面面夹角的向量公式计算即可．【详解】（1）取11B C 的中点D ，连接1,,A D CD DE ，由直三棱柱111ABC A B C -得，1111,//B C BC B C BC =，1111,//AA BB AA BB =，因为E 是棱BC 的中点，点D 是11B C 的中点，所以1B D CE =，所以四边形1ECDB 为平行四边形，所以1//CD B E ，同理可得四边形1BEDB 为平行四边形，所以11,//,BB DE BB DE =所以11,//AA DE AA DE =，所以四边形1AEDA 为平行四边形，所以1//A D AE ，因为AE ⊂平面1AB E ，1A D ⊄平面1AB E ，所以1A D //平面1AB E ，同理可得//CD 平面1AB E ，又1A D CD D = ，1,A D CD ⊂平面1A DC ，所以平面1//A DC 平面1AB E ，又1AC ⊂平面1A DC ，所以1//A C 平面1AB E ．（2）设122AB AC AA ===，以A 为原点，分别以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则()()()()110,0,0,0,0,1,2,0,1,1,1,0A A B E ，所以()()()()11111,1,0,2,0,1,2,0,0,1,1,1AE AB A B EA ====--，设平面1AEB 的一个法向量为()1111,,n x y z =，由11100AE n AB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得，1111020x y x z +=⎧⎨+=⎩，取11x =，的()11,1,2n =-- ，设平面11A EB 的一个法向量为()2222,,n x y z =，由112120A B n EA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得，2222200x x y z =⎧⎨--+=⎩，取21y =，的()20,1,1n = ，设平面1AEB 与平面11A EB 的夹角为θ，则1212cos n n n n θ⋅===由图可知二面角11A B E A --为锐角，则二面角11A B E A --的大小为30︒．16．(1)21n a n =+(2)28(1)41nn n n -++【分析】（1）根据12311S S S ++，，成等比数列求得1a ，即可求得{}n a 的通项公式.（2）根据{}n a 的通项公式求得n S ，分奇偶项分别求出n b 再求和，即可求得{}n b 的前4n 项和.【详解】（1）因为2213(1)(1)S S S =++，所以2111(22)(1)(37)a a a +=++，即11(1)(3)0a a +-=，解得11a =-或3，又因为0n a >，所以13a =，所以32(1)21n a n n =+-=+.（2）1()(2)2n n n a a S n n +==+，所以1111()22nS n n =-+，所以n 为奇数时，1341134111111111111(1()()2323524141n n b b b S S S n n --+++=+=-+-++--+ 11(1)241n =-+，n 为偶数时，424424(42)44(42)16n n n n b b S S n n n n n--+=-=-⨯-⨯+=-24416(12)8(1)n b b b n n n +++=-+++=-+ ，所以前4n 项和4112(1)8(1)8(1)24141n nT n n n n n n =--+=-+++.17．(1)2y x =(2)证明见详解.【分析】（1）设动点F 的坐标为(),x y ，直接利用题中的条件列式并化简，从而求出动点F 的轨迹方程；（2）要证A 为线段BM 的中点，只需证12A B x x x =+即可，设直线的方程为12x my =+，设点()11,M x y ，()22,N x y ，()1,A A x y ，()1,B B x y ，联立直线与曲线的方程，列出韦达定理，由直线OP ，ON 可求得点,A B ，计算120B A x x x +-=即可证.【详解】（1）设点(),F x y ，则(),1E x -，因为OF OE ⊥，所以0OF OE =⋅ ，所以20x y -=，即2x y =，所以动点F 的轨迹方程为：2y x =；（2）因为BM y ⊥轴，所以设()11,M x y ，()22,N x y ，()1,A A x y ，()1,B B x y ，若要证A 为线段BM 的中点，只需证12A B x x x =+即可，当直线MN 斜率不存在或斜率为0时，与抛物线只有一个交点，不满足题意，所以直线MN 斜率存在且不为0，12120x x y y ≠，设直线MN ：12x my =+，0m ≠，由212x my y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得22210mx x -+=，442148m m ∆=-⨯⨯=-，由题意可知，直线MN 与抛物线C 有两个交点，所以0∆>，即480m ->，所以12m <，由根与系数的关系得，121x x m +=，1212x x m=，由题意得，直线OP 方程y x =，所以()11,A y y ，直线ON 方程22y y x x =，所以2112,x y B y y ⎛⎫⎪⎝⎭，所以22212111111111222222212B A x y x x x x x x x y x x x x y x x ⎛⎫⋅+-=+-=+-=+- ⎪⎝⎭()121211112122222112202x x x x x x x x x x x x x x m m +-⎛⎫=⋅=+-=-⨯= ⎪⎝⎭，所以A 为线段BM 的中点.18．(1)0.035a =；72.5(2)0.6(3)160【分析】（1）由频率分布直方图的概率和为1，列出方程，求得0.035a =，再利用百分位数的计算方法，即可求解；（2）设“抽到男学生”为事件A ，“评分80分以上”为事件B ，结合全概率公式，即可求解；（3）根据题意，利用方差的计算公式，求得245x y s s s =，得到160y x y x s s m n s s +=，令x y s t s =，得到160n my t +=，利用基本不等式求得nmy t+≥200n m =-，得出不等式160≥m 的范围，即可求解.【详解】（1）解：由频率分布直方图的性质，可得：(0.0020.0040.00140.00200.0025)101a +++++⨯=，解得0.035a =，设25%分位数为0x ，由分布直方图得0.020,040.140.2++=，所以0700.05100.2x -=，解得072.5x =.（2）解：设“抽到男学生”为事件A ，“评分80分以上”为事件B ，可得()0.8,(|)0.55,()0.2,(|)0.8P A P B A P A P B A ====，由全概率公式得()()(|)()(|)0.80.550.20.80.6P B P A P B A P A P B A =⋅+⋅=⨯+⨯=.（3）解：由x y =，可得mx n yz x m n+==+，所以22222111111[()()][()()]200200m n m ni i i i i j i j s x z y z x x y y =====-+-=-+-∑∑∑∑2214()2005x y x y ms ns s s =+=，所以22160x y x y ms ns s s +=，即160y xy xs s mn s s +=，令x y s t s =，则160nmy t+=，由于n my t +≥=n my t =时，等号成立，又因为200n m =-，可得160≥=220064000m m -+≥，解得40m ≤或160m ≥，因为1200n m ≤≤≤且200m n +=，所以160m ≥，所以实数m 的最大值为160.19．(1)答案见解析，证明见解析(2)(],1-∞(3)证明见解析【分析】（1）类比，写出平方关系，倍角关系和导数关系，并进行证明；（2）构造函数()()sh F x x kx =-，()0,x ∞∈+，求导，分1k ≤和1k >两种情况，结合基本不等式，隐零点，得到函数单调性，进而得到答案；（3）结合新定义将所证变为()()121112121e sin e sin e cos x x x x x x x x x +-+>-+-，设函数()=e sin x f x x -，即证()()()12121f x x f x x f x >+'+，先利用导数求得()=e cos x f x x -'在()0,∞+上单调递增，再设()()()()()111,0h x f x x f x xf x x =+-->'，利用导数得其单调性及()0h x >，从而()()()111f x x f x xf x >+'+，得证.【详解】（1）平方关系：()()22chsh 1x x -=；倍角公式：()()()sh 22sh ch x x x =；导数：()()sh()ch()ch()sh()x x x x ''⎧=⎪⎨=⎪⎩.理由如下：平方关系，()()2222e e e e ch sh 22x x x x x x --⎛⎫⎛⎫+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222e e e e 12244x x x x --++=--=+；倍角公式：()()()()()22e e e e e e sh 22sh ch 22x x x x x x x x x ----+-===；导数：()()e e ee sh()ch 22x xxxx x --'--+===，()e e ch()sh 2x x x x -'-==；以上三个结论，证对一个即可.（2）构造函数()()sh F x x kx =-，()0,x ∞∈+，由（1）可知()()ch F x x k ='-，①当1k ≤时，由e e ch()12x xx -+=≥，又因为0x >，故e e x x -≠，等号不成立，所以()()ch 0F x x k '=->，故()F x 为严格增函数，此时()(0)0F x F >=，故对任意0x >，()sh x kx >恒成立，满足题意；②当1k >时，令()()(),0,G x F x x ∞∈'=+，则()()sh 0G x x ='>，可知()G x 是严格增函数，答案第15页，共15页由(0)10G k =-<与1(ln 2)04G k k=>可知，存在唯一0(0,ln 2)x k ∈，使得0()0G x =，故当0(0,)x x ∈时，0()()()0F x G x G x =<='，则()F x 在0(0,)x 上为严格减函数，故对任意0(0,)x x ∈，()()00F x F <=，即()sh x kx >，矛盾；综上所述，实数k 的取值范围为(],1-∞；（3）因为()()ch sh e xx x +=，所以原式变为()()21212121e 1e sin sin cos x x x x x x x x --⋅>+--，即证()()121112121e sin e sin e cos x x x x x x x x x +-+>-+-，设函数()=e sin x f x x -，即证()()()12121f x x f x x f x >+'+，()=e cos x f x x -'，设()()=e cos x t x f x x =-'，()e sin x t x x '=+，0x >时()0t x '>，()t x 在()0,∞+上单调递增，即()=e cos x f x x -'在()0,∞+上单调递增，设()()()()()111,0h x f x x f x xf x x =+-->'，则()()()11h x f x x f x =+'-''，由于()=e cos x f x x -'在()0,∞+上单调递增，11x x x +>，所以()()11f x x f x +>''，即()0h x '>，故()h x 在()0,∞+上单调递增，又()00h =，所以0x >时，()0h x >，所以()()()1110f x x f x xf x +-->'，即()()()111f x x f x xf x >+'+，因此()()()12121f x x f x x f x >+'+恒成立，所以原不等式成立，得证.【点睛】思路点睛：对新定义的题型要注意一下几点：（1）读懂定义所给的主要信息筛选出重要的关键点（2）利用好定义所给的表达式以及相关的条件（3）含有参数是要注意分类讨论的思想.。

福建省龙岩第一中学2023届高三三模数学试题及参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2|1ln 2,N |8120A x x B x x x =<<=∈-+≤，则A B = （）A.{}2|2e x x ≤< B.{}|e 6x x <≤C.{}4,5 D.{}3,4,5,62.已知复数z 满足(12i)|34i |z -=+，则复数z 的虚部为（）A.2B.2i- C.2- D.i3.在ABC ∆中，D 为BC 的中点，E 为AC 边上的点，且3AE EC = ，则ED =（）A.1124AB AC-+B.1223AB AC -C.1124AB AC -D.1223AB AC-+4.《九章算术》是世界数学发展史上的一颗璀璨明珠，书中《商功》有如下问题：今有委菽依垣，下周三丈，高七尺，问积及为菽各几何？其意思为：现将大豆靠墙堆放成半圆锥形，底面半圆的弧长为3丈，高7尺，问这堆大豆的体积是多少立方尺？应有大豆是多少斛？主人欲卖掉该堆菽，已知圆周率约为3，一丈等于十尺，1斛约为2.5立方尺，1斛菽卖300钱，一两银子等于1000钱，则主人可得银子（）两A.40B.42C.44D.455.若从0，1，2，3，…9这10个整数中同时取3个不同的数，则其和为偶数的概率为（）A.112B.16C.13D.126.已知函数()()cos 04f x x b πωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ，23T ππ<<，且()y f x =的图像关于点3,12π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，若将()y f x =的图像向右平移()0m m >个单位长度后图像关于y 轴对称，则实数m 的最小值为（）A.10π B.310π C.710π D.1110π7.已知正六棱锥P ABCDEF -的各顶点都在球O 的球面上，球心O 在该正六棱锥的内部，若球O 的体积为36π，则该正六棱锥体积的最大值为（）A. B. C. D.8.已知 1.01 1.03 1.021.03, 1.01, 1.02a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系是（）A.c b a<< B.c<a<bC.b<c<aD.bc a <<二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（）A.若,//m n n α⊥，则m α⊥B.若,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥C.若,,,m n m αβαβ⊥⋂=⊥则n β⊥D.若,m n αα⊂⊂，且m 与n 不平行，//,//,m n ββ则//αβ10.已知函数()2211eex x f x -+=+，则（）A.()f x 为奇函数B.()f x 在区间()0,2上单调递减C.()f x 的极小值为22e D.()f x 的最大值为411e +11.已知圆M ：()()22114x y +++=，直线l ：20x y +-=，P 为直线l 上的动点，过P 点作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，则下列说法正确的是（）A.当()1,1P 时，直线AB 的方程为0x y +=B.四边形MAPB 面积的最小值为4C.线段AB 的最小值为D.当3APB π∠>时，点P 横坐标取值范围是()1,3-12.定义在R 上的函数()f x 与()g x 的导函数分别为()f x '和()g x '，若(1)(2)2g x f x +--=，()(1)f x g x ''=-，且(2)g x +为奇函数，则下列说法中一定正确的是（）A.(2)0=g B.函数()f x '关于2x =对称C.函数()f x 是周期函数D.20231()0k g k ==∑三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.在()5611y x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，22x y 的系数为____________.14.已知直线1:0l y =，2:l y =，圆C 的圆心在第一象限，且与1l ，2l 都相切，则圆C的一个方程为______.（写出满足题意的任意一个即可）15.如图，1F ，2F 分别为椭圆2214xy +=的左、右焦点，A ，C 在椭圆上且关于原点对称（点A 在第一象限），延长2CF 交椭圆于点B ，若124913AF BF +=，则直线AC 的方程为______.16.若在平面直角坐标系xOy 中，曲线()2ln (0)f x ax x a =+>与x 轴交于点A ，且在点A 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2e，则a 的值为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.已知各项均为正数的等比数列{}n a ，其前n 项和为n S ，满足226n n S a +=-，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记m b 为数列{}n S 在区间()2,m m a a +中最大的项，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18.设钝角△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()2222ab c R ab +-=，其中R 是ABC ∆外接圆的半径．（1）若7π12B =，求C 的大小；（2）若2CD DA =，π2CBD ∠=，证明：ABC ∆为等腰三角形．19.已知三棱台111A B C ABC -中，1AA ⊥底面ABC ，2AB AC ==，1111AA A B ==，111AB AC ⊥，E 、F 分别是BC 、1BB 的中点，D 是棱11AC 上的点.（1）求证：1AB DE ⊥；（2）若D 是线段11AC 的中点，平面DEF 与11A B 的交点记为M ，求二面角C AM E --的余弦值.20.一个不透明的盒子中有质地、大小相同的球5个，其中红球3个，黄球2个，每次不放回的随机从盒中取一个球，当盒中只剩一种颜色时，停止取球．（1）求盒子中恰剩2个红球的概率；（2）停止取球时，记盒子中所剩球的个数为X ，求X 的分布列与数学期望．21.已知双曲线22:14x C y -=，点A 是双曲线C 的左顶点，点P 坐标为()4,0.（1）过点P 作C 的两条渐近线的平行线分别交双曲线C 于R ，S 两点.求直线RS 的方程；（2）过点P 作直线l 与椭圆2214x y +=交于点D ，E ，直线AD ，AE 与双曲线C 的另一个交点分别是点M ，N .试问：直线MN 是否过定点，若是，请求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.22.已知函数()1emx f x x -=-.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当0m >时，函数()()ln 1x g x f x x m+=-+恰有两个零点.（i ）求m 的取值范围；（ii ）证明:()11mmg x m m->-.参考答案一、单项选择题1.【答案】D【详解】由1ln 2x <<，可得2e e x <<，则{}2|e eA x x =<<，又由28120x x -+≤，解得26x ≤≤，因为N x ∈，所以{}2,3,4,5,6B =，所以{}3,4,5,6A B ⋂=．2.【答案】A【详解】由题意可知|34i |5+===，由(12i)|34i |z -=+，得()()()512i 512i 12i 12i 12i z ⨯+===+--⨯+，所以复数z 的虚部为2.3.【答案】C【详解】由E 为AC 边上的点，且3AE EC =，得()111111424224ED EC CD AC CB AC CA AB AB AC =+=+=++=-.4.【答案】B【详解】因为半圆锥的底面半圆弧长为30尺，所以可得底面圆的半径为30r 10π==，又半圆锥的高为7尺，所以半圆锥的体积为213V πr 100735066h ==⨯⨯=立方尺140=斛，所以主人可得银子1400.342⨯=两.5.【答案】D【详解】10不同的数取3个不同的数的情况为：310C 120=，其中3个之和为偶数的情况为：①三个为偶数：35C 10=，②两奇数一偶数：2155C C 50=，共60种情况，所以所求概率为：6011202=.6.【答案】B 【详解】2T πω=，0ω>，且23T ππ<<，223πππω<∴<，即23ω<<，()y f x = 的图像关于点3,12π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，1b ∴=，且3cos 024ππω⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即()3242k k πππωπ-=+∈Z ，解得()1223k k ω=+∈Z ，23ω<< ，∴取3k =，52ω=，()5cos 124f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∴，将()y f x =的图像向右平移()0m m >个单位长度后得到()55cos 1224x m f x m π-=⎛⎫--+ ⎪⎝⎭的图像，()f x m - 的图像关于y 轴对称，()524m k k ππ--=∴∈Z ，解得()2105k m k ππ=--∈Z ，0m > ，m ∴的最小值，令1k =-，得min 2310510m πππ=-+=7.【答案】B【详解】如图所示，设球半径为R ，球心O 到六棱锥底面中心O '的距离为h ，由题意易知正六棱锥顶点P 与,O O '共线，由球的体积为3436π=π3R ，可得3R =，则AO '==，()21634P ABCDEF V R h AO -'=⨯+⨯⨯，即()()()()()()333336224P ABCDEF V h h h h h h -=+⋅+⋅-=+⋅+⋅-()()()33362343h h h ++++-⎡⎤≤=⎢⎥⎣⎦.当且仅当362h h +=-362h h +=-，即1h =时，正六棱锥的体积取得最大值.8.【答案】C【详解】构造ln(0.01)(),(0,)x f x x x+=∈+∞，则2ln(0.01)0.01()xx x f x x-+'+=，构造()ln(0.01)0.01xu x x x =-++，则220.011()0(0.01)0.01(0.01)x u x x x x -=-=<++'+，故()u x 在(0,)+∞内单调递减，110.01)022u -==-．故2()()0u x f x x'=>对任意0.01)x ∈-恒成立，则()f x在0.01)-单调递增，因为2(1.020.01) 1.0609e +=<，所以1.020.01<-，故(1.02)(1.01)f f >，即ln1.03ln1.021.02 1.01>，即1.01ln1.03 1.02ln1.02>，即 1.01 1.02ln1.03ln1.02>，即 1.01 1.021.03 1.02a c =>=，同理构造ln(0.01)(),(0.01,)x g x x x-=∈+∞，则2ln(0.01)0.01()xx x g x x--'-=，构造()ln(0.01)0.01xv x x x =---，则220.011()0(0.01)0.01(0.01)x v x x x x --=---'=-<，故()v x 在(0.01,)+∞内单调递减，e 0.011(e 0.01)10e 100ev ++=-=>，故2()()0v x g x x'=>对任意(0,e 0.01)x ∈+恒成立，则()g x 在(0,e 0.01)+单调递增，故(1.03)(1.02)g g >，即ln1.02ln1.011.03 1.02>，即1.02ln1.02 1.03ln1.01>，即 1.021.03ln1.02ln1.01>，即 1.02 1.031.02 1.01c b =>=，则a，b，c 的大小关系是b c a <<．二、多项选择题9.【答案】BD【详解】A：若,//m n n α⊥，则m 与α平行或相交或m α⊂，A 选项错误；B：因为,ααβ⊥⊥m ，所以//m β或m β⊂，又n β⊥，所以m n ⊥，B 选项正确；C：若,,,m n m αβαβ⊥⋂=⊥则n 与β相交或平行或n β⊂，C 选项错误；D：若一个平面内两条相交直线都平行与另一个平面，则这两个平面平行，D 选项正确10.【答案】CD【详解】解：由题意知，()f x 的定义域为R ，()()22221111eeeex x x x f x f x ---++--=+=+=，所以()f x 为偶函数，A 错；当()0,2x ∈时，()22211ee e e e x x x xf x ---⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则()22211e 1e 0e e ex x x x f x +-⎛⎫'=-=> ⎪⎝⎭，所以，函数()f x 在()0,2上单调递增，B 错；对于C 选项，当[)2,x ∞∈+时，()2211e e x x f x -+=+，所以，()22110e e x x f x -+'=--<，所以，函数()f x 在[)2,+∞上单调递减．又因为函数()f x 为偶函数，所以，函数()f x 的递增区间为(),2-∞-、()0,2，递减区间为()2,0-、()2,+∞，所以，函数()f x 的极小值为()220ef =，C 对；对于D 选项，因为函数()f x 为偶函数，且函数()f x 的极大值为()()41221ef f =-=+，故函数()f x 的最大值为411e +，D 对.11.【答案】ABD【详解】圆M：()()22114x y +++=的圆心()1,1M --，半径为2，对于A，当()1,1P时，PM =，2PA ==，所以PAM △是等腰直角三角形，所以45AMP ∠=︒，90AMB ∠=︒，所以点M 到直线AB距离为122222ABMSAB⨯⨯⨯==，因为1PM k =，所以1AB k =-，设AB 的方程为y x m =-+，由点M 到直线AB距离为=，解得0m =或4m =-（舍）所以直线AB 的方程为0x y +=，故A 正确，对于B，因为2MA MB ==，PA AM ⊥，所以PA =，所以1222MAPB APMS SAM PA ==⨯⨯⨯=，当PM 取最小值时，四边形MAPB面积最小，此时PM ==，所以四边形MAPB面积的最小值为4=，故B 正确；对于C，因为在MAB △中，2MA MB ==，所以当AMB ∠最小时，AB 最小，当AMB ∠最小时，AMP ∠最小，πsin 4PA AM =⨯最小，PM 最小，由前面知minPM=，此时142MAPB S PM AB =⋅=，所以此时AB =<对于D，当3APB π∠>时，6APM π∠>，所以21sin 2APM PM ∠=>，所以4PM <，设(),2P x x -4<，解得13x -<<，故D 正确12.【答案】ACD【详解】因为()2g x +为奇函数，所以()()22g x g x +=--+，取0x =可得()20g =，A 对，因为(1)(2)2g x f x +--=，所以()()120g x f x ''++-=所以()()30g x f x ''+-=，又()(1)f x g x ''=-，即(1)()f x g x '+='，()()130f x f x ''++-=，故()()220f x f x ''++-=，所以函数()f x '的图象关于点(2,0)对称，B 错，因为()(1)f x g x ''=-，所以()()10f x g x '--=⎡⎤⎣⎦所以()()1f x g x c --=，c 为常数，因为(1)(2)2g x f x +--=，所以()()32g x f x --=，所以()()312g x g x c ---=+，取2x =可得2c =-，所以()()13g x g x -=-，又()()22g x g x +=--+，即()()13g x g x +=--+，所以()()11g x g x +=--，所以()()2g x g x =--，所以()()42()g x g x g x +=-+=，故函数()g x 为周期为4的函数，因为()()2g x g x +=-，所以()()31g g =-，()()420g g =-=，所以(1)(2)(3)(4)0g g g g +++=，所以()[][]20231(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)k g k g g g g g g g g ==++++++++⋅⋅⋅∑[](2017)(2018)(2019)(2020)(2021)(2022)(2023)g g g g g g g +++++++，所以()202315050(2021)(2022)(2023)(1)(2)(3)(4)0k g k g g g g g g g ==⨯+++=++=-=∑，故()20231k g k =∑的值为0，D 正确；因为()()32g x f x --=，即()()32f x g x =--，故()f x 也为周期为4的函数，C 正确.13.【答案】15014.【答案】(()2211x y +-=（答案不唯一）【详解】由题意可得，1:0l y =为x轴，2:l y =的倾斜角为60 ，因为圆C 的圆心在第一象限，且与1l ，2l 都相切，所以圆心所在直线的倾斜角为30 ，所以圆心C在直线3y x =上，设圆C的圆心为)(),0a a >，则由题意可知，圆C 的半径为r a =，所以圆C的方程为()()()2220x y a a a +-=>.故答案为：(()2211x y +-=（答案不唯一）.15.【答案】0x -=【详解】连接2AF ，1CF ，AO OC = ，12F O OF =，∴四边形12AF CF 为平行四边形，∴21BF AF ∥设直线1AF 的斜率为k，()1F Q ，直线1AF的方程为(y k x =+.联立方程，得(2214y k x xy ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，整理得()2222411240k x x k +++-=，点A在第一象限，()222241241A x k k -+-+∴==++，同理可得22432141B x k +=+.)()212241494113A B A B k AF BF x x k +∴+=+=+==+得2148k =，A x ∴=12A ⎫⎪⎭，直线AC的方程为0x -=.16.【答案】2e【详解】解：由题意知()20f x a x=+>'，()()e e 20a af a --=-<，()10f a =>，所以曲线()y f x =与x 轴有唯一交点A ，记点A 的横坐标为0x ，所以，()00,1x ∈，02ln x a x =-，所以曲线()y f x =在点A 处的切线的方程为()0000222y a x x a x ax x x ⎛⎫⎛⎫=+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.设切线与y 轴交于点B ，则02B y ax =--，易得0B y <，所以OAB ∆的面积()00000122ln 2eS x ax x x x =+=-=.设()ln g x x x x =-，()0,1x ∈，则()ln 0g x x '=->在()0,1x ∈恒成立，所以()g x 在()0,1上单调递增，因为12e eg ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以01e x =，12ln e 2e 1ea ⎛⎫⎪⎝⎭=-=.四、解答题17.解：（1）设{}n a 的公比为q ，则0q >，又226n n S a +=-，当1n =时，1326S a =-，当2n =时，2426S a =-，两式相减可得，2432a a a =-，所以22q q =-，所以2q =或1q =-(舍去)，所以1312646S a a =-=-，即13a =，所以等比数列{}n a 的通项公式为132n n a -=⨯；（2）由132n n a -=⨯，226n n S a +=-，可得()()1211632632322n n n n S a ++=-=⨯-=⨯-，所以113n n n S a a ++=-<，又0n a >，所以n n S a ≥，当且仅当1n =时等号成立，所以122m m m m m a S S a S +++≤<<<，所以11323m m m b S ++==⨯-，所以()2341322223n n T n +++=+-+ 22233322212312n n n n ++-⨯⨯-==---.即222313n n T n +--=⨯.18.解：（1）因为()2222a b c R ab +-=，由余弦定理得：22cos Rab C ab =，所以2cos R C b =，由正弦定理得：2cos 2sin R C R B =，所以cos sin C B =，又(),,0,πA B C ∈，π2B C +≠，所以π2B C =+，又7π12B =，所以π12C =．（2）由题意得3bAD =，23CD b =，由（1）知：π2ABC C ∠=∠+，所以ABD C ∠=∠，所以ADB ABC ∆∆∽，则AB AD AC AB =，即2AB AD AC =⋅，即2213c b =，在ABC ∆中2222223cos 22a b a b c C ab ab++-==，在Rt ABC △中3cos 2a C b =，所以2223322a b a ab b+=，解得3a b =，故3cos 22a C b ==，又()0,πC ∈，故π6C =，ππ226A C =-=，所以ABC ∆为等腰三角形．19.解：（1）证明：取线段AB 的中点G ，连接1AG 、EG ，因为E 、G 分别为BC 、AB 的中点，则//EG AC ，在三棱台111ABC A B C -中，11//AC AC ，所以，11E G//AC ，且11D AC ∈，故E 、G 、1A 、D 四点共面，因为111AB AC ⊥，11//AC AC ，则1AB AC ⊥，又因为1AA ⊥底面ABC ，AG 、AC ⊂平面ABC ，所以1AA AC ⊥，1AG AA ⊥，因为1AB AA A ⋂=，AB 、1AA ⊂平面11AA B B ，所以AC ⊥平面11AA B B ，因为//EG AC ，所以EG ⊥平面11AA B B ，因为1AB ⊂平面11AA B B ，所以1AB EG ⊥，因为1111AA A B AG ===，11//AG A B ，又因为1AA AG ⊥，所以四边形11AA B G 是正方形，所以11AB AG ⊥，又因为1EG AG G = ，EG 、1AG ⊂平面1A DEG ，所以1AB ⊥平面1A DEG ，因为DE ⊂平面1A DEG ，所以1AB DE ⊥.（2）解：延长EF 与11C B 相交于点Q ，连接DQ ，则11DQ A B M = ，因为F 、E 分别为1BB 和BC 的中点，1//B Q BE ，则111B Q B FBE BF==，则11112B Q BE BC B C ===，所以，1B 为1C Q 的中点，又因为D 为11AC 的中点，且11A B DQ M = ，则M 为11AC Q 的重心，则1112233A M AB ==，由（1）知AC AB ⊥，所以AC 、AB 、1AA 两两垂直，以点A 为原点，AC 所在的直线为x 轴，AB 所在的直线为y 轴，1AA 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，则()0,2,0B 、()2,0,0C 、()1,1,0E 、20,,13M ⎛⎫ ⎪⎝⎭、()0,0,0A ，所以，()2,0,0AC = ，20,,13AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1,1,0AE = ，设平面MAC 的法向量()1,,n a b c = ，则1120203n AC a n AM b c ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取3b =-，则()10,3,2n =-，设平面AME 的法向量为()2,,n x y z =u u r ，则220203n AE x y n AM y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取=3y -，可得()23,3,2n =-，所以，121212286cos ,22n n n n n n ⋅==⋅，由图可知，二面角C AM E --为锐角，故二面角C AM E --的余弦值为22.20.解：（1）恰剩2红球，第3次必是黄球，所以盒子中恰剩2个红球的概率112232135C C A 1A 5P ==；（2）X 的所有可能取值为1，2，3，()2131323245C C A C 31A 5P X ===，()311232323355A C C A 32A A 10P X ==+=，()2225A 13A 10P X ===，∴X 的分布列为X123P35310110()3313123510102E X =⨯+⨯+⨯=．21.解：（1）由题意，得双曲线C 的渐近线方程为12y x =±，过P 与12y x =平行的直线方程为()142y x =-，由()2214244y x x y ⎧=-⎪⎨⎪-=⎩，解得53,24R ⎛⎫- ⎪⎝⎭，过P 与12y x =-平行的直线方程为()142y x =--，由()2214244y x x y ⎧=--⎪⎨⎪-=⎩，解得53,24S ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴直线RS 的方程为52x =.（2）直线MN 过定点.由已知，易知过P 的直线斜率存在且不为0，直线AD ，AE 斜率存在且不为0，设直线AD ，AE 的直线方程分别为12x t y =-和22x t y =-，()(),,,D D E E D x y E x y .由122244x t y x y =-⎧⎨+=⎩，得()2211440t y t y +-=，解得12144D t y t =+，则2121284D t x t -=+.同理22244E t y t =+，则2222284D t x t -=+.又P ，D ，E 三点共线，而21122112244,44t t PD t t ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭ ，22222222244,44t t PE t t ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭故221221222212212244224404444t t t t t t t t ----⨯-⨯=++++，解得1212t t =.设()11,M x y ，()22,N x y ，则11112AM AD y k k x t ===+，22212AN AE y k k x t ===+，∴1212122212x x t t y y ++=⋅=，即()()()()121212221212x x y y kx m kx m ++==++化简整理，得()()()2212121221211240km x x k x x m -++-+-=（*），易知直线MN 斜率存在，设直线MN 的方程y kx m =+，由2244y kx m x y =+⎧⎨-=⎩，消去y 整理，得()222148440k x kmx m ----=，∴当2140k -≠且()()222201641416kk m m-=+∆+>时，有122814km x x k +=-，21224414m x x k --⋅=-，代入（*）化简，解得2220m mk k --=，即()()20m k m k +-=，故m k =-或2m k =.当2m k =时，2y kx m kx k =+=+，经过点()2,0-，不合题意，当m k =-时，y kx m kx k =+=-，经过点()1,0，满足题意.因此直线MN 过定点()1,0.22.解：（1）()1e1mx f x m -'=-，当0m ≤时，()1e10mx m f x -'=-<，所以函数()f x 在R 上递减，当0m >时，设()1e 1mx F x m -=-，则()21e 0mx F x m -'=>，所以函数()1e1mx F x m -=-在R 上递增，即()1e 1mx f x m -'=-在R 上递增，令()1e10mx f x m -'=-=，得1ln mx m-=，当1ln ,m x m -⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数()f x 为减函数，当1ln ,m x m -⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，函数()f x为增函数，综上可得，当0m ≤时，函数()f x 在R 上递减；当0m >时，函数()f x 在1ln ,m m -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上递减，在1ln ,m m -⎛⎫+∞⎪⎝⎭上递增；（2）（i）()()()1ln 1ln 1e 0mx x x g x f x x m m m-++=-+=->，函数()g x 的定义域为()0,∞+，()()2111e 1e0mx mx m x g x m x mx mx---=-'=>，设()21e1mx h x m x -=-，则()()()211e 00mx h x m mx x -=+>>'，所以函数()h x 在()0,∞+上递增，由（1）可知，当1m =时，()()1ln 1110m f x f f m -⎛⎫≥==-=⎪⎝⎭，即1e x x -≥，所以3211333322222211e 1111m m h mm m m m m m -⎛⎫ ⎪+----- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-≥+⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以3332222110h m m m m m ---⎛⎫+>⋅⋅⋅-= ⎪⎝⎭，又因()01h =-，由零点的存在性定理可得，存在3210,1x m -⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，使得()10h x =，即1111emx mx m -=，（*）当()10,x x ∈时，()0h x <，即()0g x '<，()g x 为减函数，当()1,x x ∈+∞时，()0h x '>，即()0g x '>，()g x 为增函数，当m 1≥时，由（*）可知()()111111122111ln 1ln 1ln 11e mx mx x x x g x m m x m m x --+++=-=-=，且11110e1mx mx m-<=≤，设()1ex x x ϕ-=，则()()()11e00x x x x ϕ-=+>>'，所以函数()1e x x x ϕ-=在()0,∞+上递增，因为()11φ=，结合11110e1mx mx m-<=≤，得11mx ≤，又m 1≥，所以111x m≤≤，所以()1111ln 110mx x mx -+≥-≥，即()()10g x g x ≥≥，所以当m 1≥时，函数()g x 最多一个零点，与题意矛盾，当01m <<时，()111e m g m-=-，设()()11e01x G x x x -=-<<，则()()121e 001x G x x x-'=+><<，所以函数()G x 在()0,1上递增，所以()()10G x G <=，即()111e 0m g m-=-<，因为()1e0x x x -≥>，所以1ln x x -≥1≥2ln x -≥，则()2212x xg x mx mx m m-+≥->-，所以44440g m m m ⎛⎫>⋅= ⎪⎝⎭，且241m>，当01m <<时，1111e1mx mx m-=>，所以由()x ϕ的单调性可知11mx >，且111x m>>，所以当()11,x x ∈时，()0g x '<，()g x 为减函数，当()1,x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 为增函数，所以由零点的存在性定理可知，()g x 在区间441,m ⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一的零点，11ee1ln 11e e e 0e m m g m-+⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭，且11e<，所以由零点的存在性定理可知，()g x 在区间1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在唯一的零点，所以当01m <<时，函数()g x 恰有两个零点，综上所述，m 的取值范围为()0,1；（ii）因为1111emx mx m-=，即112ln ln 10m x mx ++-=，则11ln 12ln 2x m mx +=--+，所以()1111121ln 112ln 2emx x m g x x m m x m m-+=-=++-，有基本不等式可得()112112ln 22ln 22ln m m mg x x m x m m m m m=++-≥-=，当且仅当1211x m x =，即11x m=时，取等号，由1111emx mx m -=，由11x m=可得1m =，这与01m <<矛盾，所以11x m ≠，所以()()12ln mg x g x m≥>，要证()11mmg x m m ->-，即证()111mmg xmm->-，设()()12ln 0H x x x x x=-+>，则()22211110H x x x x ⎛⎫=--=--≤ ⎪⎝⎭'所以函数()H x 在()0,∞+上递减，所以当01x <<时，()()10H x H >=，因为01m <<，所以101m m <<，所以1112ln 2ln m m m m m m m m-=>-，又()()12ln mg x g x m≥>，所以()11m mg x m m->-.。

一、单选题1．已知集合，，则等于（ ） 104x A xx ⎧⎫-=<⎨⎬-⎩⎭{}2230B x x x =--≥A B ⋂A ．(-1，1] B ． C ．[3，4) D ．(](),11,-∞-+∞ (][),13,-∞-+∞ 【答案】C【分析】先解出集合A 、B ，再求.A B ⋂【详解】由题意，集合，{}{}223013B x x x x x x =--≥=≤-≥或又因为集合， {}10144x A xx x x ⎧⎫-=<=<<⎨⎬-⎩⎭所以. {}34A B x x ⋂=≤<故选：C. 2．若，则（ ） 1i42i 1iz -=+-+z =A ．5 B ．4C ．3D ．2【答案】A【分析】复数的基本运算 【详解】因为，所以． 1i42i=1iz -=+-+i 42i 43i -+-=-5z =故选：A.3．“是”是“是”的（ ） b 11b 22A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据等差中项和等比中项的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】若是 b 11则，1b ==若是与的等比中项， b 22则，1b ==±则“是”是“是与的等比中项”的充分不必要条件，b 11b 22故选A.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差中项和等比中项的定义求出的值是b 解决本题的关键．4．如图，在中，，，为边的中点，且，则ABC 4AB =AC =135BAC ∠=︒D BCAM MD =向量的模为（ ）BMABCD52【答案】B【解析】由条件可得，然后用、表示出，然后可算出答案.8AB AC ⋅=- ABAC BM 【详解】因为，，，所以.4AB =AC =135BAC ∠=︒8AB AC ⋅=-因为， 12BM AM AB AD AB =-=-=()131444AB AC AB AB AC +-=-+所以BM ==故选：B5．某网店经销某商品，为了解该商品的月销量(单位：千件)与售价(单位：元/件)之间的关系，y x 收集组数据进行了初步处理，得到如下数表： 5x 5 6 7 89 y 8 6 4.5 3.53根据表中的数据可得回归直线方程，以下说法正确的是（ ） ˆ 1.2513.75yx =-+A ．，具有负相关关系，相关系数 x y 1.25r =-B ．每增加一个单位，平均减少个单位x y 13.75C ．第二个样本点对应的残差 2ˆ0.25e =D ．第三个样本点对应的残差 3ˆ0.5e =-【答案】D【分析】对于A ，由相关系数绝对值的范围而判断；对于B ，由回归直线方程的意义可作判断；对于C ，D ，计算给定样本点处的残差即可判断作答.【详解】对于A 选项：由相关系数绝对值的不超过1，A 不正确；对于B 选项：由回归直线方程知，每增加一个单位，平均减少个单位，B 不正确；x y 1.25对于C 选项：第二个样本点对应的残差，C 不正确； 2ˆ6( 1.25613.75)0.25e=--⨯+=-对于D 选项：第三个样本点对应的残差，D 正确. 3 4.5( 1.2ˆ0.55713.75)e =--⨯=-+故选：D6．已知函数，若（其中．），则的最小值为()22log log 28x xf x =⋅()()12f x f x =12x x ≠1219x x +（ ）． A ．B ．C ．2D ．43432【答案】B【分析】根据二次函数的性质及对数的运算可得，利用均值不等式求最值即可. 1216x x ⋅=【详解】, ()2222222log log (log 1)(log 3)log 4log 328x xf x x x x x =⋅=--=-+ 由，()()12f x f x =，2122log log 4x x ∴+=即，1216x x ⋅=，当且仅当，即时等号成立，121933242x x ∴+≥=⨯=1219x x =124,123x x ==故选：B7．已知平行六面体的各棱长都为，，、、1111ABCD A B C D -21160A AD A AB BAD ∠=∠=∠=E F G 分别是棱、、的中点，则（ ） AB AD CD A ．平面 1//B G 1A EF B ．平面平面1A EF⊥ABCD C ．平面与平面 ABCD 1111D C B A D ．直线与平面1AA ABCD 【答案】A【分析】证明出平面平面，利用面面平行的性质可判断A 选项；利用反证法结合面11//B D G 1A EF面垂直的性质定理可判断B 选项；利用勾股定理可判断C 选项；利用线面角的定义可判断D 选项. 【详解】对于A 选项，连接、、，11B D 1D G GE 在平行六面体中，且， 1111ABCD A B C D -11//BB DD 11BB DD =所以，四边形为平行四边形，所以，，11BB D D 11//B D BD 因为、分别为、的中点，则，所以，， E F AB AD //EF BD 11//EF B D 因为平面，平面，所以，平面， 11B D ⊄1A EF EF ⊂1A EF 11//B D 1A EF 同理可证且，11//AD A D 11AD A D =因为且，、分别为、的中点，所以，且， //AB CD AB CD =E G AB CD //AE DG AE DG =所以，四边形为平行四边形，故且，ADGE //EG AD EG AD =所以，且，故四边形为平行四边形，故， 11//EG A D 11EG A D =11A D GE 11//D G A E 因为平面，平面，所以，平面.1D G ⊄1A EF 1A E ⊂1A EF 1//D G 1A EF 因为，、平面，所以，平面平面， 1111B D D G D = 11B D 1D G ⊂11B D G 11//B GD 1A EF 因为平面，所以，平面，A 对； 1B G ⊂11B D G 1//B G 1A EF 对于B 选项，连接、、，1A B 1A D BD 由题意可知，，，则为等边三角形， 12AA AB ==160AA B ∠= 1AA B 所以，，同理可得，故三棱锥为正四面体， 12A B =12A D BD ==1A ABD -设点在平面内的射影点为点，则为等边的中心， 1A ABCD H H ABD △易知点不在直线上，H EF 若平面平面，过点在平面内作，垂足为点，1A EF ⊥ABCD 1A 1A EF 1A M EF ⊥M因为平面平面，平面平面，平面，1A EF ⊥ABCD 1A EF ABCD EF =1A M ⊂1A EF所以，平面，1A M ⊥ABCD 但过点作平面的垂线，有且只有一条，矛盾，假设不成立，B 错； 1A ABCD 对于C 选项，连接，则，且BF H BF ∈222sin 602333BH BF AB ===⨯=因为平面，平面，则，1A H ⊥ABCD BH ⊂ABCD 1A HBH ⊥故1A H ===故平面与平面，C 错； ABCD 1111D C B A 对于D 选项，连接，因为平面，AH 1A H ⊥ABCD 所以，与平面所成的角为，且， 1AA ABCD 1A AH ∠1111sin 2AH A AH AA ∠===所以，直线与平面D 错. 1AA ABCD 故选：A.8．已知满足，且在上单调，则的最大()sin()f x x ωφ=+(0)>ω()14f π=503f π⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x 5,46ππ⎛⎫⎪⎝⎭ω值为（ ） A ．B ．C ．D ．12718176173017【答案】B【分析】通过对称轴与对称点得出的式子，再通过单调得出的范围，即可得出答案.ωω【详解】满足，，()sin()f x x ωφ=+ (0)>ω(14f π=503f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即， 53442T nTππ∴-=+()1736T n nπ=∈+N ， ()61217nn ω+∴=∈N 在上单调， ()f x 5,46ππ⎛⎫⎪⎝⎭，即， 572641222T ππππω∴-=≤=127ω≤当时最大，最大值为， ∴1n =ω1817故选：B.二、多选题9．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交2:2C y px =()0p >FF l C 于点、两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的A B A D 8AF =是 A ． B ．C ．D ．4p == DF FA 2BD BF =4BF =【答案】ABC【分析】作出图形，利用抛物线的定义、相似三角形等知识来判断各选项命题的正误. 【详解】如下图所示：分别过点、作抛物线的准线的垂线，垂足分别为点、.A B C m E M抛物线的准线交轴于点，则，由于直线，C m x P PF p =l 60 轴，，由抛物线的定义可知，，则为等边三角形，//AE x 60EAF ∴∠= AE AF =AEF ∆，则，，得，60EFP AEF ∴∠=∠= 30PEF ∠= 228AF EF PF p ∴====4p =A 选项正确；，又，为的中点，则，B 选项正确； 2AE EF PF == //PF AE F ∴AD DF FA =，，（抛物线定义），C 选项正确；60DAE ∴∠= 30ADE ∴∠= 22BD BM BF ∴==，，D 选项错误. 2BD BF = 118333BF DF AF ∴===故选：ABC.【点睛】本题考查与抛物线相关的命题真假的判断，涉及抛物线的定义，考查数形结合思想的应用，属于中等题.10．已知为偶函数，且恒成立．当时．则下列四()()f x x ∈R 3122f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭[]2,3x ∈()f x x =个命题中，正确的是（ ） A ．的周期是B ．的图象关于点对称 ()f x ()20,k k k ≠∈Z ()f x ()1,0C ．当时，D ．当时，[]3,2x ∈--()f x x =-[]2,0x ∈-()31f x x =-+【答案】ACD【分析】由可以得出函数的周期，判断选项A ；由于又是偶函数，3122f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x ()f x 可以推出函数的对称性，判断选项B ；是偶函数及周期性，判断选项()()()2f x f x f x -==+()f x C ，D.【详解】由得，，所以的周期是．A 正确．3122f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()2f x f x =+()f x ()20,k k k ≠∈Z 因为是偶函数，所以就是，即，所以()f x ()()2f x f x =+()()2f x f x -=+()()11f x f x -=+()f x 的图象关于直线对称．B 不正确． 1x =根据偶函数的对称性，C 显然正确．当时，，则，即； []2,1x ∈--[]42,3x +∈()()44f x f x x =+=+()4f x x =+当时，，则，即． (]1,0x ∈-(]23,2x -∈--()()22f x f x x =-=-()2f x x =-所以D 正确． 故选：ACD ．11．人民日报智慧媒体研究院在2020智慧媒体高峰论坛上发布重磅智能产品—人民日报创作大脑，在AI 算法的驱动下，无论是图文编辑､视频编辑，还是素材制作，所有的优质内容创作都变得更加容易.已知某数据库有视频a 个､图片b 张，从中随机选出一个视频和一张图()*,,1a b a b ∈>>N 片，记“视频甲和图片乙入选”为事件A ，“视频甲入选”为事件B ，“图片乙入选”为事件C ，则下列判断中正确的是（） A ． ()()()P A P B P C =+B ． ()()()P A P B P C =⋅C ． ()()(P A P BC P BC >+D ． ()()P BC P BC <【答案】BC【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】由相互独立事件的概率的乘法计算公式，可得A 错误，B 正确；事件包含“视频甲未入选，图片乙入选”、“视频甲入选，图片乙未入选”、“视频甲､图片乙都未入A 选”三种情况，所以，则，所以C 正确；()()()()P A P BC P BC P BC =++()()(P A P BC P BC >+由题可知，，，111()1a P BC a b ab -⎛⎫=-⋅= ⎪⎝⎭111()1b P BC a b ab -⎛⎫=⋅-= ⎪⎝⎭因为a ，，，所以，即，故D 错误. *b N ∈1a b >>11a b ab ab-->()()P BC P BC >故选:BC .12．已知四面体ABCD 中，面BCD ，，E 、F 分别是棱AC 、AD 上的点，且AB ⊥BC CD ⊥，.记四面体ABEF 、四棱锥、四面体ABCD 的外接球体积分别是、BE AC ⊥BF AD ⊥B ECDF -1V 、，则的值不可能是（ ） 2V3V 123V V V +A ．1 BC D ．34【答案】AB【分析】通过线面垂直的判定和性质定理得到，，，再设，112R AB =212R BD =312R AD =2AD =，计算知，利用换元法结合导数即可求出答案. ADB θ∠=123(sin cos )(1sin cos )V V V θθθθ+=+-【详解】设四面体ABEF 、四棱锥、四面体ABCD 的外接球的半径分别是、、，B ECDF -1R 2R 3R 分别取AD 、BD 的中点M 、N ，因为，，所以易知的中点到点的距离相等，所以. BE AC ⊥BF AD ⊥AB ,,,A B E F 112R AB =又面，面，， AB ⊥BCD CD ⊂BCD AB CD ∴⊥，，面，BC CD ⊥ AB BC B ⋂=,AB BC ⊂ABC 平面，平面，所以，CD \^ABC AC ⊂ ABC AC CD ⊥所以，从而. MA MD MB MC ===312R AD =因为，为中点，则为的外心， BCCD ⊥N BD N Rt BCD 因为，面，所以面， //MN AB AB ⊥BCD MN ⊥BCD 则四棱锥外接球的球心在直线MN 上，B ECDF -因为，所以， BF AD ⊥12NF BD NB ND ===平面，平面，所以，CD ⊥ ABC BE ⊂ABC CD BE ⊥，面， BE AC ⊥ ,AC CD C AC CD =⊂ ACD 所以平面ACD ，平面，BE ⊥ED ⊂ ACD 所以，于是，又因为，BE ED ⊥12NE BD NB ==12NC BD =故点N 就是四棱锥外接球的球心，所以.B ECDF -212R BD =设，，，2AD =ADB θ∠=0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则，，，1sin R θ=2cos R θ=31=R 所以. 33331212333sin cos (sin cos )(1sin cos )V V R R V R θθθθθθ++==+=+-，πππ3π0,,,2444θθ⎛⎫⎛⎫∈∴+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 令，则，(πsin cos 4t θθθ⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭21sin cos 2t θθ-=. ()33231212333111322V V R R t t t t V R ⎛⎫++-==-=- ⎪⎝⎭记，， ()31()32f t t t =-(t ∈则，所以在上单调递减， ()23()102f t t '=-<()ft (故，123()V V f t V ⎫+=∈⎪⎪⎭而，，1⎫∉⎪⎪⎭⎫⎪⎪⎭⎫⎪⎪⎭34⎫∈⎪⎪⎭故选：AB.【点睛】关键点睛：本题的关键是利用线面垂直关系从而确定三个空间几何体的外接球得球心所在位置，从而再设，，利用三角函数和球的体积公式得2AD=ADB θ∠=，再根据和的关系设利用123(sin cos )(1sin cos )V V V θθθθ+=+-sin cos θθ+sin cos θθsin cos t θθ=+换元法得到，，再利用导数即可求出其值域，最后对照选项即可. ()31()32f t t t =-(t ∈三、填空题13．将函数表示为，其中，，，，()8f x x =280128()(1)(1)(1)f x a a x a x a x =+++++++ 0a 1a 2a L为实数，则______.8a 3a =【答案】56-【分析】将函数改写成，然后利用二项展开式通项公式可解.[]88()(1)1f x x x ==+-【详解】由于，那么其展开式通项为，[]88()(1)1f x x x ==+-818C (1)(1)r r rr T x -+=+-故，.=5r 553388876C (1)C 56321a ⨯⨯=-=-=-=-⨯⨯故答案为：.56-14．已知函数在点处的切线方程为l ：，若对任意2()e 2e 2x x f x x =-+()()00,P x f x ()y g x =x ∈R ，都有成立，则______．()()0()()0x x f x g x --≥0x =【答案】/2ln -12ln 【分析】根据条件表示出，再令，求导分类研究函数单调性，进而求出()y g x =()()()h x f x g x =-结果.【详解】因为，2()e 2e 2x x f x x =-+所以，，2()2e 2e 2x x f x '=-+00200()e 2e 2x xf x x =-+所以，()()()00002200=2e 2e 2e 2e 2x x x xg x x x x -+-+-+令，()()()h x f x g x =-则， ()()000022200()e 2e 22e 2e 2e 2e 2x x x x x xh x x x x x ⎡⎤=-+--+-+-+⎣⎦则，0()0h x =，()0022()2e 2e 2e 2e x x x x h x =---'令，则， 2()2e 2e x x x ϕ=-2()4e 2e x x x ϕ=-'令，得，()0x ϕ'=ln 2x =-所以时，，单调递减，(),ln 2x ∈-∞-()0x ϕ'<()ϕx 时，，单调递增， ()ln 2,x ∈-+∞()0x ϕ'>()ϕx 当，时，， ()0ln 2,x ∞∈-+0x x ≥0()()x x ϕϕ>则，单调递增，()()0()0h x x x ϕϕ'=->()h x，即，0()()0h x h x ≥=()()f x g x ≥所以当，时，成立， ()0ln 2,x ∞∈-+0x x ≥()()0()()0x x f x g x --≥当，时，， ()0,ln 2x ∞∈--0x x <0()()x x ϕϕ>则，单调递增，()()0()0h x x x ϕϕ'=->()h x ，即，0()()0h x h x <=()()f x g x <所以当，时，成立， ()0,ln 2x ∞∈--0x x <()()0()()0x x f x g x -->综上所述. 0ln 2x =-故答案为：.ln 2-【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．15．已知双曲线C ：的左、右焦点分别为，，点M ，N 分别为C 的渐()222210,0x y a b a b -=>>1F 2F 近线和左支上的动点，且的最小值恰为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为______. 2MN NF +【分析】利用双曲线定义，将的最小值转化为的最小值，结合点到直线距2MN NF +1MN NF +离公式求出，从而求出离心率.2b a =【详解】由双曲线的定义得，所以， 212NF NF a -=212NF a NF =+于是.212NF MN NF MN a +=++如图：当M 、N 、三点共线，且与点M 所在的渐近线垂直时，1F 1F M 取得最小值，其最小值就是到渐近线的距离d ，1MN NF +1F又C 的渐近线方程为，所以，故的最小值为b ，0bx ay ±=d b ==1MN NF +从而的最小值为，由题设知，所以，2MN NF +2b a +24b a a +=2b a =所以e ==16．已知且时，恒成立，则的最小值是_________． 21a -<<0x ≥()585e 4842x x a +≥-a 【答案】/22ln -22ln -+【分析】构造函数，由题可得，求导可得，使()()585e 4248x f x x a =--+()min 0f x ≥()00,1x ∃∈，利用换元法，则可转化为()()008100min 5e 4e 48x x f x f x ==-+()022e 1e x t t =<<()0f x ，结合导数即可求解．()455448g t t t =-+【详解】解：设，，，由题可得()()585e 4248x f x x a =--+0x ≥21a -<<()min 0.f x ≥，()()()()242240e e 2e 22x x x x a a f x x x a ⎡⎤'=+-⋅-+-+⎣⎦当时，．0x ≥2e 210x x a a +-≥->设，，则且不恒为零，()2e 2xh x x a =-+0x ≥()22e 20x h x '=-≥即在上单调递增，故．()h x [)0,∞+()()01h x h a ≥=+当时，，即且不恒为零，在上单调递增，11a -≤<()0h x ≥()0f x '≥()f x [)0,∞+故，满足题意．()()505340f x f a ≥=+>当，，，21a -<<-()010h a =+<()221e 2e 40h a =-+>->则，使，即．()00,1x ∃∈()00h x =020e20x x a -+=当时，，即． [)00,x x ∈()0h x <()0f x '<当时，，即，()0,x x ∈+∞()0h x >()0f x ¢>故在上单调递减，在上单调递增，()f x [)00,x ()0,x +∞则．()()008100min 5e 4e 48x xf x f x ==-+记，令，()022e1e x t t =<<()()4505448f x g t tt ==-+，则在上单调递减， ()()32010g t t t '=-<()g t ()21,e 由且，知，即，故 ()0g t ≥()20g =12t <≤021e 2x <≤010ln2.2x <≤设，，则，()22e xP x x =-0x ≥()()221e 0x P x '=-≤故在上单调递减，故，()P x [)0,∞+()01ln2ln 222a P x P ⎛⎫=≥=- ⎪⎝⎭因此实数的最小值是． a ln22-故答案为：．ln22-【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数的取值范围，解题的关键就是利用导数分析函数的单调性，将问题转化为，在求实数的取值范围时，充分利用了函数极值()min 0f x ≥a 点所满足的条件，将转化为函数的值域，结合导数法来求解.a四、解答题17．在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且． ABC cos sin 02A CB ++=(1)求角B 的大小；(2)若，且AC ，求的周长． :3:5a c =ABC 【答案】(1) 2π3(2)15【分析】（1）利用三角形内角和及诱导公式得到，再利用余弦的倍角公式得到sin cos 22A C B+=，解得，从而得到； 22cos cos 1022B B +-=1cos 22B =2π3B =（2）由比例引入常数，利用三角形面积相等得到，从而利用余弦定理得到关于的,a c m 27b m =m 方程，解之即可得到，由此得解. ,,a b c 【详解】（1）因为， ππsin sin sin cos 22222AC B B B +-⎛⎫==-= ⎪⎝⎭所以由得， cos sin 02A CB ++=cos cos 02B B +=所以，解得或， 22coscos 1022B B +-=1cos 22B =cos 12B =-因为，所以，则，故，0πB <<π022B <<cos 02B >1cos 22B =则，故．π23B =2π3B =（2）因为，令，则，:5:3c a =()50c m m =>3a m =由三角形面积公式可得，故，11sin 22ac B b =2157715b ac m ==⨯27b m =由余弦定理可得，则，解得， 2222cos b a c ac B =+-424949m m =1m =从而，，，故的周长为． 3a =5c =7b =ABC 15a b c ++=18．设数列的前n 项和为，且.{}n a n S ()*112,22n n a S S n N +==+∈（1）求数列的通项公式； {}n a （2）设，求数列的前n 项和.()()111nn n n a b a a +=++{}n b n T 【答案】(1) ； (2) . 2n n a =111321n n T +=-+【分析】(1)由可得两式相减得()*122n n S S n N+=+∈()*1222,,nn SS n N π-=+≥∈.利用等比数列的定义求解即可；(2)由(1)已知可得()*122,n n a a n n N +=≥∈，利用裂项相消法求解即可. ()()11211=21212121n n n n n b ++=-++++【详解】(1)由可得两式相减得()*122n n S S n N +=+∈()*1222,,nn SS n N π-=+≥∈.()*122,n n a a n n N +=≥∈又，则. 21226S S =+=22144,22a a a ===所以， ()*12n na n N a +=∈所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故.{}n a 2nn a =(2)由(1)已知可得， ()()11211=21212121n n n n n b ++=-++++故其前n 项和， 12231111111...212121212121n n n T +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭化简可得.111321n n T +=-+【点睛】本题主要考查等差数列的通项与求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭； （3）；（4）1k=()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭()()11122n n n =++；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦计算结果错误.19．如图，四棱锥的底面是平行四边形，侧面是边长为2的正三角形，P ABCD -ABCD PAD.AB BD ==3PB =（Ⅰ）求证：平面平面；PAD ⊥ABCD （Ⅱ）设是棱上的点，当平面时，求二面角的余弦值. Q PC //PA BDQ A BD Q --【答案】（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）【分析】（1）取AD 中点O ，连结OP ，OB ，可得OP OP ⊥AD ，OB ⊥AD ，且OB=OB 2+OP 2＝9＝PB 2，从而OP ⊥面ABCD ，即面PAD ⊥面ABCD ．=（2）连结AC 交BD 于E ，则E 为AC 的中点，连结EQ ，当PA ∥面BDQ 时，PA ∥EQ ，所以Q 是BC 中点．由（1）知OA ，OB ，OP 两两垂直，分别以OA ，OB ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量求解．【详解】解：（1）取AD 中点O ，连结OP ，OB ，∵△PAD 是边长为2的正三角形，∴OP OP ⊥AD ， =又AB ＝AD OB ⊥AD ，且OB ===于是OB 2+OP 2＝9＝PB 2，从而OP ⊥OB ．所以OP ⊥面ABCD ，而OP ⊂面PAD ，所以面PAD ⊥面ABCD ．（2）连结AC 交BD 于E ，则E 为AC 的中点，连结EQ ，当PA ∥面BDQ 时，PA ∥EQ ，所以Q 是BC 中点．由（1）知OA ，OB ，OP 两两垂直，分别以OA ，OB ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则B （0，0），C （﹣20），D （﹣1，0，0），P （0，0Q （﹣1），，．()DB =0DQ ⎛= ⎝ 设面BDQ 的法向量为，由，取． ()n x y z = ，，00n DB x n DQ y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩(n = ，面ABD 的法向量是，∴cos()001m = ，，m n = ＜，＞∵二面角A﹣BD ﹣Q 是钝角，∴二面角A ﹣BD ﹣Q 的余弦值为．20．已知椭圆E ：A ，B 是它的左、右顶点，过点的()222210x y a b a b +=>>()1,0D 动直线l （不与x 轴重合）与E 相交于M ，N 两点，的最大面积为 MAB △(1)求椭圆E 的方程；(2)设是直线AM 与直线BN 的交点． (),P m n （i ）证明m 为定值；（ii ）试堔究：点B 是否一定在以MN 为直径的圆内？证明你的结论．【答案】(1)22142x y +=(2)（i ）证明见解析；（ii ）点B 一定在以MN 为直径的圆内，证明见解析【分析】（1）根据最大面积可得求解作答.ab =222a b c =+（2）（i）设出直线l 的方程，与椭圆E 的方程联立，利用韦达定理结合三点共线的斜率关系列式求解作答；（ii ）利用平面向量数量积推导为钝角作答. MBN ∠【详解】（1）设椭圆E 的焦距为2c ，依题意，，设椭圆E 上点M 的纵坐标为，c a =0y ，00||y b <≤的面积，当且仅当时取等号， MAB △0011||||2||22MAB S AB y a y ab =⋅=⋅⋅≤ 0||y b =因此，且，解得，ab =222a b c =+a 2a =b c ==所以椭圆E 的方程为.22142x y +=（2）由（1）知，，，设直线l 的方程为，()2,0A -()2,0B 1x ty =+而点在椭圆E 内，直线l 与E 总相交，由得：， ()1,0D 221421x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()222230t y ty ++-=设，，则，，()11,M x y ()22,N x y 12222t y y t -+=+12232y y t -=+（i ）由P ，A ，M 共线，得，由P ，B ，N 共线，得， 1122n y m x =++2222n y m x =--联立两式得，又，即有， 12122222m y x m x y --=⋅++2211142x y +=1111222y x x y -=+因此， 212121212121212(2)(2)(1)(1)(122222)x x ty ty t y y t y y m m y y y y y y -----++-=-=-=-+222223212262t t t t t -++++=--+13=所以，为定值．4m =（ii ）点B 一定在以MN 为直径的圆内，由（i ）知，，，即， (4,)P n 11112622y x nx y -==+()1132ny x =-因为，，因此， ()112,BM x y =- ()2,BP n =()111222BM BP x ny x ⋅=-+=- 而2，从而，于是，为钝角，12x -<<0BM BP ⋅> 0BM BN ⋅<MBN ∠所以点B 一定在以MN 为直径的圆内.【点睛】方法点睛：（1）引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；（2）特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．21．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，，，，，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即2t X -1t X -t X 1t X +1t X +t X ．()()1211,,,t t t t t t P X X X X P X X +--+⋅⋅⋅=现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为，且每局赌赢可以赢得150%元，每一局赌徒赌输的概率为，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种50%情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B 元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为，赌博过程如下图的数轴所示．()*N ,A A A B ∈<当赌徒手中有n 元（，）时，最终输光的概率为，请回答下列问题： 0n B ≤≤N n ∈()P n (1)请直接写出与的数值．()0P ()P B (2)证明是一个等差数列，并写出公差d ．(){}P n (3)当时，分别计算，时，的数值，并结合实际，解释当时，100A =200B =1000B =()P A B →∞的统计含义．()P A 【答案】(1)， ()01P =()0P B =(2)证明见解析； 1d B=-(3)时，，当时，，统计含义见解析 200B =()50%P A =1000B =()90%P A =【分析】（1）明确和的含义，即可得答案； 0n =n B =（2）由全概率公式可得，整理为，即11()(1)(1)22P n P n P n =-++()()()()11P n P n P n P n --=+-可证明结论；（3）由（2）结论可得，即可求得，时，的数值，结合概率的()1AP A B=-200B =1000B =()P A 变化趋势，即可得统计含义.【详解】（1）当时，赌徒已经输光了，因此.0n =()01P =当时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率. n B =()0P B =（2）记M ：赌徒有n 元最后输光的事件，N ：赌徒有n 元上一场赢的事件,, ()()(|)()(|)P M P N P M N P N P M N =+即， 11()(1)(1)22P n P n P n =-++所以， ()()()()11P n P n P n P n --=+-所以是一个等差数列，(){}P n 设，则， ()()1P n P n d --=()()()()1210P n P n d P P d ---=-=，, 累加得，故，得， ()(0)P n n P d -=()(0)P B P Bd -=1d B=-（3），由得,即, 100A =()()0P n P nd -=()()0P A P Ad -=()1A P A B=-当时，， 200B =()50%P A =当时，，1000B =()90%P A =当时，，因此可知久赌无赢家， B →∞()1P A →即便是一个这样看似公平的游戏，只要赌徒一直玩下去就会的概率输光．100%【点睛】关键点睛：此题很新颖，题目的背景设置的虽然较为陌生复杂，但解答并不困难，该题将概率和数列知识综合到了一起，解答的关键是要弄明白题目的含义，即审清楚题意，明确，即可求解, 11()(1)(1)22P n P n P n =-++22．已知函数．()e (R)xa f x a x =-∈(1)讨论函数零点个数；()f x (2)若恒成立，求a 的取值范围． ()ln f x a x a >-【答案】(1)答案见解析； (2). e 1(e ,)+∞-【分析】（1）将零点问题转化为函数图象交点问题，设，求出函数的导数，判断()f x ()e xh x x =单调性，作出其大致图象，数形结合，即可求得答案.（2）分三种情况分类讨论，利用导数判断函数的单调性，结合不等式恒成立考虑0,0,0a a a =<>函数最值情况或利用单调性求解不等式，从而求得参数范围.【详解】（1）由，得, ()e 0xaf x x=-=e ,(0)x x a x =≠设，则，()e xh x x =()()1e xh x x '=+当时，，当时，，1x <-()0h x '<10,0x x -<<>()0h x '>所以在上单调递增；在上单调递减，()e xh x x =(1,0),(0,)-+∞(,1)-∞-所以，min 1()(1)eh x h =-=-据此可画出大致图象如图，()e xh x x =所以（i ）当或时，无零点：1e <-a 0a =()f x （ii ）当或时，有一个零点；1a e =-0a >()f x （iii)当时，有两个零点；10ea -<<()f x （2）①当时，即恒成立，符合题意；0a =()ln f x a x a >-e 0x >②当时，由可得，则， 0a <()ln f x a x a >-0x >e 0xax->则，即，e ln x a a x a x->-1(ln e 1)x x a x >+-设，则， 1()ln 1m x x x =+-22111()x m x x x x-'=-+=当时，，当时，， 01x <<()0m x '<1x >()0m x '>所以在上单调递减，在上单调递增， ()m x (0,1)(1,+)∞所以，()()10m x m ≥=所以，当时，，0a <1e 0(ln 1)xx a x >≥+-即恒成立，即符合题意；()ln f x a x a >-0a <③当时，由（1）可知，，在上单调递增．0a >()e x h x a x a -=-(0,)+∞又，，()00h a a -=-<()e (0)1ah a a a -=->所以，使.0(0,)x a ∃∈000()e 0xh x a x a -=-=第 21 页 共 21 页i ）当时，，即， 0(0,)x x ∈e 0x x a -<e 0x ax-<设， ()e ln 0x a g x a x a x=--+>则，所以在上单调递减， 2()e 0x a a g x x x '=---<()g x 0(0,)x 所以时，；0(0,)x x ∈()()00ln g x g x a x a >=-+ii ）当时，，即， 0(,)x x ∈+∞e 0x x a ->e 0x a x->设， ()e ln 0x a t x a x a x=--+>因为， 222e ()e x x a a x a ax t x x x x +-'=+-=令，则，20()e ,,()x p x x a a x x x =+-+∈∞2()(2)e x p x x x a '=+-又令，20()(2)e (),,x n x x x a x x =+∈+∞-则，得在上单调递增，2()(42)e 0x n x x x '=++>()n x 0(),x +∞有，020000()()()(2)e 0x p x n x n x x x a ax a '=≥=+-=+>得在上单调递增，有，()p x 0(),x +∞02000e ()()0x p x p x x a ax a =+-=>≥则，得在上单调递增， 2()()0p x t x x'=>()t x 0(,)x +∞则时，，0(,)x x ∈+∞()()00ln t x t x a x a ≥=-+又时，，0(0,)x x ∈()()00ln g x g x a x a >=-+得当时，时，，0a >()ln f x a x a >-00ln 00e a x a x -+>⇒<<由上可知，在上单调递增，则此时， 00e x a x =()e x h x x =(0,)+∞e+10e a <<综上可知，a 的范围是.e 1(e ,)+∞-【点睛】难点点睛：第二问解答不等式恒成立求解参数范围时，需要讨论a 的正负，看能否保证不等式恒成立，特别是当时，要结合函数的零点情况，反复构造函数，判断函数单调性，由此0a >求得参数a 的范围，计算过程十分复杂，计算量较大，难度很大.。

江苏省金陵中学、海安中学、南京外国语学校2024届高三三模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}{}21,3xM x N x x =≥=≤，则M N ⋂=（ ）A ．](-,3∞B ．[]0,1C ．[]0,3D ．[]1,32．已知复数z 满足()1i 5i z +=+，则复数z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．下列结论中正确是（ ）A ．若直线a ，b 为异面直线，则过直线a 与直线b 平行的平面有无数多个B ．若平面α//平面β，直线m ⊂α，点M ∈β，则过点M 有且只有一条直线与m 平行C ．若直线m 与平面α内无数条直线平行，则直线m 与平面α平行D ．若直线l ⊥平面α，则过直线l 与平面α垂直的平面有且只有一个4．抛物线26y x =上一点M 到其焦点的距离为92，则点M 到坐标原点的距离为（ ）AB ．C ．D ．5．对于函数()y f x =，部分x 与y 的对应关系如下表：数列{}n x 满足12x =，且对任意*n N ∈，点()1,n n x x +都在函数()y f x =的图象上，则1232016x x x x +++⋯+的值为（ ）A ．9400B ．9408C ．9410D ．94146．定义：一对轧辊的减薄率-=输入该对的面带厚度输出该对的面带厚度输入该对的面带厚度.如图所示，为一台擀面机的示意图，擀面机由若干对轧辊组成，面带从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出.已知擀面机没对轧辊的减薄率都为0.2（轧面的过程中，面带宽度不变，且不考虑损耗）.有一台擀面机共有10对轧辊，所有轧辊的横截面积均为2640000mm π，若第k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在面带上压出一个疵点，在擀面机输出的面带上，疵点的间距为k L ，则（ ）A ．1016000.2mm k k L -=⨯B ．1016000.2mm k k L -=⨯C ．1016000.8mm k k L -=⨯D ．1016000.8mm k k L -=⨯7．已知函数()f x 的大致图象如图所示，则其解析式可能为（ ）A ．2()e e -=+x x f xB ．e e ()2-+=x xf xC ．2()e e-=-x x f xD ．e e ()2--=x xf x8．已知双曲线22136x y -=，O 为坐标原点，P ，Q 为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥，则2211||||OP OQ +=（ ） A ．2 B ．1C ．13D ．16二、多选题9．已知平面α的一个法向量为111,2,2n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u r ，平面β的一个法向量为()21,0,2n =--u u r ，直线l 的方向向量为()1,0,2a =r ，直线m 的方向向量为()0,1,2b =-r，则（ ） A ．//l α B ．αβ⊥C ．l 与m 为相交直线或异面直线D ．a r 在b r 向量上的投影向量为480,,55⎛⎫⎪⎝⎭10．已知函数()π1sin sin 34f x x x ⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭的定义域为[](),m n m n <，值域为11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则n m-的值不可能是（ ）A ．5π12B ．7π12C ．34π D ．11π1211．钻石是金刚石精加工而成的产品，是世界上最坚硬的、成分最简单的宝石，它是由碳元素组成的、具有立方结构的天然晶体．如图，已知某钻石形状的几何体由上、下两部分组成，上面为一个正六棱台 111111ABCDEF A B C D E F -（上、下底面均为正六边形，侧面为等腰梯形），下面为一个正六棱锥P -ABCDEF ，其中正六棱台的上底面边长为a ，下底面边长为2a ，且P 到平面111A B C 的距离为3a ，则下列说法正确的是（ ）（台体的体积计算公式：(1213V S S h =+，其中1S ，2S 分别为台体的上、下底面面积，h 为台体的高）A ．若平面PAF ⊥平面11AFF A ，则正六棱锥P -ABCDEFB ．若PA =2C ．该几何体存在外接球，且外接球的体积为350081a πD ．若该几何体的上、下两部分体积之比为7：83三、填空题12．已知5723456701234567(1)(1)x x a a x a x a x a x a x a x a x -++=-+-+-+-，则246a a a ++的值为 ．13．已知3,,sin cos 4πθπθθ⎛⎫∈-= ⎪⎝⎭1sin 2cos 2θθ-= ．14．已知()f x 是定义在R 上的函数，1(1)0f =，且对于任意x ∈R 都有(20)()20f x f x +≥+，(1)()1f x f x +≤+，若()()1g x f x x =-+，则(10)g = ．四、解答题15．记n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知632a S =+，654S a =. (1)求{}n a 的通项公式；(2)设234111111111n n T S S S S +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⋅⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，证明：1324nT <≤. 16．佛山顺德双皮奶是一种粤式甜品，上层奶皮甘香，下层奶皮香滑润口，吃起来，香气浓郁，入口嫩滑，让人唇齿留香．双皮奶起源于清朝末期，是用水牛奶做原料，辅以鸡蛋和白糖制成．水牛奶中含有丰富的蛋白质，包括酪蛋白和少量的乳清蛋白，及大量人体生长发育所需的氨基酸和微量元素．不过新鲜的水牛奶保质期较短．某超市为了保证顾客能购买到新鲜的水牛奶又不用过多存货，于是统计了50天销售水牛奶的情况，获得如下数据：假设水牛奶日销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率． (1)求接下来三天中至少有2天能卖出3件水牛奶的概率；(2)已知超市存货管理水平的高低会直接影响超市的经营情况．该超市对水牛奶实行如下存货管理制度：当天营业结束后检查存货，若存货少于2件，则通知配送中心立即补货至3件，否则不补货．假设某天开始营业时货架上有3件水牛奶，求第二天营业结束后货架上有1件存货的概率．17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥底面ABCD ，M 为线段PC 的中点，1PD AD ==，N 为线段BC 上的动点．（1）证明：MD PN ⊥；（2）当N 为线段BC 的中点时，求三棱锥A MND -的体积．18．若函数()3f x ax bx =+，当2x =-时函数()f x 有极值163. (1)求函数()f x 的解析式；(2)求曲线()y f x =过点()3,3P -的切线方程.19．某兴趣小组对小球在坚直平面内的匀速圆周运动进行研究，将圆形轨道装置放在如图1所示的平面直角坐标系中，此装置的圆心O 距离地面高度为2m ，装置上有一小球P （视为质点），P 的初始位置在圆形轨道的最高处，开启装置后小球P 按逆时针匀速旋转，转一周需要6min ．小球P 距离地面的高度H （单位：m ）与时间t （单位：min ）的关系满足()sin (0,0,02π)H r t h r ωϕωϕ=++>>≤<．(1)写出H 关于t 的函数解析式，并求装置启动1min 后小球P 距离地面的高度；(2)如图2，小球Q （视为质点）在半径为1m 的另一圆形轨道装置上，两圆形轨道为同心圆，Q 的初始位置在圆形轨道的最右侧，开启装置后小球Q 以角速度为πrad /min 3顺时针匀速旋转．两装置同时启动，求,P Q 两球高度差的最大值．。

试卷编号:10461北京一零一中2023-2024学年度第二学期高三数学三模一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{20},{10}M x x N x x =+≥=-<∣∣，则M N ⋂=（）A.{21}x x -≤<∣B.{21}x x -<≤∣C.{2}xx ≥-∣ D.{1}xx <∣【答案】A 【解析】【分析】先化简集合,M N ，然后根据交集的定义计算.【详解】由题意，{20}{|2}M xx x x =+≥=≥-∣，{10}{|1}N x x x x =-<=<∣，根据交集的运算可知，{|21}M N x x =-≤< .故选：A2.已知复数()i z a a =+∈R 满足5z z ⋅=，则a 的值为（）A.B.2C. D.2±【答案】D 【解析】【分析】根据共轭复数的概念及复数的乘法运算得解.【详解】因为i z a =+，所以2(i)(i)15z z a a a ⋅=+-=+=，解得2a =±，故选：D3.下列函数中，满足对任意的1x ，()20,x ∈+∞都有()()()1212f x x f x f x =的是（）A.()12f x x = B.() ln f x x = C.()22f x x= D.()³f x x =-【答案】A 【解析】【分析】根据各项函数解析式，结合指对数运算性质或特例判断是否满足题设，即可得答案.【详解】对于A ：若()12f x x =，则()()121212f x x x x =，()()()111222121212f x f x x x x x =⋅=，()()()1212f x x f x f x =，成立；对于B ：若()ln f x x =，由()()()1212f x x f x f x =，得()1212ln ln ln x x x x =，取121,2x x ==，得ln20=不成立；对于C ：若()22f x x =，由()()()1212f x x f x f x =，得2222121224x x x x =，取121x x ==，得24=不成立；对于D ：若()3f x x =-，由()()()1212f x x f x f x =，得33331212x x x x -=，取121x x ==，得11-=不成立.故选：A4.若等差数列{}n a 满足31a =-，41a =，则其前n 项和的最小值为（）A.9-B.8- C.7- D.6-【答案】A 【解析】【分析】由已知求出1a 和d 的值，得到()22639n S n n n =-=--，即可求出最小值.【详解】由题意可得，432d a a =-=，又312a a d =+，所以15a =-.所以，{}n a 的前n 项和()1522n n n S n -=-+⨯()226399n n n =-=--≥-，当3n =时，n S 有最小值9-.故选：A.5.设l 是直线，α，β是两个不同平面，则下面命题中正确的是（）A.若//l α，l //β，则//αβB.若//l α，l β⊥，则αβ⊥C.若l β⊥，αβ⊥，则//l αD.若//l α，αβ⊥，则l β⊥【答案】B 【解析】【分析】由线面平行，线面垂直，面面平行，面面垂直的性质逐项判断即可；【详解】A ：若//l α，l //β，则//αβ或相交，故A 错误；B ：若//l α，l β⊥，由线面平行和垂直的性质可得αβ⊥，故B 正确；C ：若l β⊥，αβ⊥，则//l α或l ⊂α，故C 错误；D ：若//l α，αβ⊥，则l β⊥或l //β或l β⊂，故D 错误；故选：B.6.若△ABC 为钝角三角形，且2a =，3b =，则边c 的长度可以为（）A.2.5B.3C.4D.【答案】C 【解析】【分析】由于钝角三角形较短两边平方和小于较长边的平方，分类讨论c 为最长边和b 为最长边两种情况，即可得出结论.【详解】因为钝角三角形较短两边平方和小于较长边的平方，因此有两种情况：若c 为最长边，由2222490a b c c +-=+-<，可得c >，又235a b c +=+=>，5c <<，可得C 正确；若b 为最长边，由222249c a c b +=+<=，可得c <1c b a >-=，所以1c <<.故选：C7.已知点N 在边长为2的正八边形128,,,A A A 的边上，点M 在边12A A 上，则12A M A N ⋅的取值范围是（）A.422,2⎡--⎣B.4,42⎡-+⎣C.2,42⎡-+⎣D.22,4⎡⎤-⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】以1A 为原点，建立平面直角坐标系，表示出点M N 、的坐标，计算12A M A N ⋅即可.【详解】以1A 为原点，12A A 为x 轴，16A A 为y 轴建立平面直角坐标系，设()()112,,,0N x y M x ，则()()12211,0,,A M x A N x y ==，所以1212A M A N x x ⋅=，由于正八边形的每个外角都为π4；则[]210,2,2,22x x ⎡∈∈+⎣，所以121222,42A M A N x x ⎡⋅=∈-+⎣.故选：C8.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，A 为双曲线右支上一点，连接1AF 交y 轴于点B ．若2ABF △为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（）A.23B.32C.3D.332【答案】C 【解析】【分析】由长度关系可得2112BF AF =，知212AF F F ⊥，在12Rt F F A △中，利用12tan F AF ∠=可构造齐次方程求得双曲线离心率.【详解】设2AF m =，2ABF 为等边三角形，2AB BF m ∴==，12π3F AF ∠=，又12BF BF m ==，2112BF AF ∴=，212AF F F ∴⊥，22b AF a ∴=，1212222tan F F cF AF bAF a∴∠===，2222ac ∴==，220e -=，解得：33e =-（舍）或e =∴双曲线C.故选：C.9.已知2()f x ax bx =+，其中10a -≤<，0b >则“存在[0,1],x ∈使()1f x >”是“1a b +>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】2()f x ax bx =+可得()111a b f +>⇔>，由10a -≤<，0b >，得到()f x 的对称轴bx 02a=->，计算2024b bf a a ⎛⎫-=> ⎪-⎝⎭代入即可，反之同理．【详解】因为2()f x ax bx =+，且10a -≤<，0b >，所以()111a b f +>⇔>，因为存在[0,1],x ∈使()1f x >，所以()max 1f x >因为10a -≤<，0b >，所以函数()f x 的对称轴bx 02a=->计算下列数据：()00f =，()1f a b =+，2024b b f a a ⎛⎫-=> ⎪-⎝⎭，因为()11>f ，所以1b a >-，所以241244a b b f a a a ⎛⎫-=>= ⎪--⎝⎭，反之也成立，若24b a >-，则1b a >-，所以“存在[0,1],x ∈使()1f x >”是“1a b +>”的充要条件．故选：C ．【点睛】本题利用10a -≤<，0b >，找到2024b bf a a ⎛⎫-=> ⎪-⎝⎭是解决问题的关键．10.平面内相距7m 的A ，B 两点各放置一个传感器，物体P 在该平面内做匀速直线运动，两个传感器分别实时记录下,A B 两点与P 的距离，并绘制出“距离---时间”图象，分别如图中曲线,a b 所示.已知曲线a 经过点()00,r ，()11,t r ，()20,t r ，曲线b 经过点()22,t r ，且1122112,4,2s,4s.rt r t r m t t ====若P 的运动轨迹与线段AB 相交，则P 的运动轨迹与直线AB 所成夹角的正弦值以及0r 分别为（）A.67B.67C.27D.27【答案】B 【解析】【分析】建系，设点，作出相应的辅助线，分析可知6m,AC =2m BC v =，结合7m AB =分析求解即可.【详解】如图，建立平面直角坐标系，设动点P 的轨迹与y 轴重合，其在120,,t t t =时刻对应的点分别为,,O D E ，P 的速度为m/s,0v v >，因为1122112,4m,2s,4s rt r t r t t ====，可得22m r =，由题意可知：,AD BE 均与x 轴垂直，且4m,2m,2m AD BE OD DE v ====，作BC AD ⊥垂足为C ，则6m,2m AC BC v ==，因为222AC BCAB +=，即236449v +=，解得132v =；又因为∥BC y 轴，所以P 的运动轨迹与直线AB 所成夹角的正弦值为：6sin 7AC ABC AB∠==；又2v =，4m,AD OD ==，所以0r OA ===故选：B.【点睛】关键点点睛：建系，设动点P 的轨迹与y 轴重合，以坐标系为依托，把对应的量转化为相应的长度，进而分析求解.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.在51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，1x 的系数为______．【答案】10-【解析】【分析】根据题意，由二项式展开式的通项公式，代入计算，即可得到结果.【详解】51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()()()5152155C 11C r r r r r rr r T x x x ---+=⋅⋅-⋅=-⋅，令521r -=-，可得3r =，故1x的系数为()3351C 10-=-.故答案为：10-12.已知角α，β的终边关于原点O 对称，则()cos αβ-=______．【答案】1-【解析】【分析】根据角α，β的终边关于原点O 对称得()()21Z k k βαπ=+-∈，即可得到()cos αβ-的值.【详解】 角α，β的终边关于原点O 对称，(21)(Z)k k βαπ∴=+-∈，()()()cos cos 121Z k k αβπ⎡⎤∴-=-=-∈⎣⎦.故答案为：1-.13.的直线与y 轴交于点A ，与圆()2211x y +-=相切于点B ，则AB =____________．【解析】【分析】设直线AB 的方程为y b =+，则点()0,A b ，利用直线AB 与圆()2211x y +-=相切求出b 的值，求出AC ，利用勾股定理可求得AB .【详解】设直线AB 的方程为y b =+，则点()0,A b ，由于直线AB 与圆()2211x y +-=相切，且圆心为()0,1C ，半径为1，则11b -=，解得1b =-或3b =，所以2AC =，因为1BC =，故AB ==.14.已知函数2()()()(,)f x a x a x b a b =--∈R ，当x b =时，()f x 有极小值．写出符合上述要求的一组a ，b 的值为a =_______，b =_______．【答案】①.4（不唯一）②.5（不唯一）【解析】【分析】由极小值的概念及求导法则即可求解.【详解】当0a =时，()0f x =无极小值，故0a ≠，()2()2()()()(32)f x a x b a x a x b a x b x a b '=-+--=---，由()0f x '=可得x b =或23a bx +=，当0a >时，由x b =时，()f x 有极小值可知23a bb +<，即0a b <<，当a<0时，由x b =时，()f x 有极小值可知23a bb +<，即0b a <<.所以,a b 的一组取值可取4a =，5b =故答案为：4；5（答案不唯一，满足0a b <<或0b a <<即可）.15.已知函数()[][]sin cos 23,x x f x =+其中[]x 表示不超过x 的最大整数.例如：[][][]11,0.50,0.51==-=-给出以下四个结论：①2π4;33f ⎛⎫=⎪⎝⎭②集合}R (,{)R |y y f x x ∈=∈的元素个数为9;③存在R a ∈，对任意的x ∈R ，有()()f a x f a x =-+;④()f x x a >+对任意[0,2π]x ∈都成立，则实数a 的取值范围是3,2π,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦其中所有正确结论的序号是__________.【答案】①④【解析】【分析】利用给定定义直接判断①，卡出[]0,2πx ∈，求出每个元素判断②，举反例判断③，利用题意分离参数，得到min ()a g x <，再结合给定定义求解min ()g x ，最后得到参数范围即可.【详解】对于①，由()[][]sin cos 23x x f x =+知，()2π2π1sin cos 0133242323233f x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⎢⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦=+=+=+=，故①正确，对于②，由周期性可知，()f x 的周期为2π，故讨论[]0,2πx ∈即可，易得当0x =时，()01234f x =+=，当π2x =时，()10233f x =+=，当πx =时，()014233f x -=+=，当3π2x =时，()103232f x -=+=，当2πx =时，()01234f x =+=，当π(,π)2x ∈时，()014233f x -=+=，当π(0,2x ∈时，()00232f x =+=，当3ππ,2x ∈(时，()115236f x --=+=，当3π,2π2x ∈()时，()103232f x -=+=，故该集合元素个数为6，故②错误，对于③，显然在[]0,2πx ∈时，()f x 的值域不关于x a =对称，故()f x 不关于x a =对称，即()()f a x f a x -≠+，故③错误，对于④，当0x =时，()012304f x x -=+-=，当π2x =时，()10ππ23322f x x -=+-=-，当2πx =时，()01232π42πf x x -=+-=-，当π(0,2x ∈时，()0π232(2,2)2f x x x x -=+-=-∈-，当π,π2x ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，()01444π23π,3332f x x x x -⎡⎫-=+-=-∈--⎪⎢⎣⎭，当3ππ,2x ∈(时，()11553π523(,π)6626f x x x x ---=+-=-∈--，当3π,2π2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()103333232π,π2222f x x x -⎛⎤=+-=-∈-- ⎥⎝⎦，而()f x x a >+对任意[0,2π]x ∈都成立，故()a f x x <-恒成立，令()()g x f x x =-，即min ()a g x <，而显然3()2π2g x >-，可得32π2a ≤-恒成立，即3,2π2a ∞⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦，故④正确.故答案为：①④【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数新定义，解题关键是找合理分离参数，然后利用给定定义求解函数最值，最后得到所要求的参数范围即可．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16.在ABC 中，,cos 510b A a ==.（1）求证ABC 为等腰三角形;（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一，求b 的值.条件①：π6B ∠=;条件②：ABC 的面积为152;条件③：AB 边上的高为3.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）根据余弦定理及已知可得5c m =，所以a c =，可得结果；（2）若选择条件①，可得5π12A C ∠=∠=，可得62cos 4A =，与已知矛盾；若选择条件②，根据平方关系及面积公式可得结果；若选择条件③，根据平方关系及正弦定理可得结果.【小问1详解】在ABC 中,,cos 510b A a ==，设5,,0a m b m ==>，根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222102510210m m c c =+-⨯，整理，得222150c mc m --=，因为0c >,解得5c m =,所以a c =，所以ABC 为等腰三角形.【小问2详解】若选择条件①：若π6B ∠=，由（1）可知a c =，及5π12A C ∠=∠=，所以5πππππππ6210cos coscos cos sin sin 12464646410A ⎛⎫==+=-= ⎪⎝⎭，所以ABC 不存在.若选择条件②:在ABC 中,由10310cos sin 1010A A =⇒=,由（1）5,,0a m b m ==>，所以2113101515sin 5221022ABC S bc A m m ==⨯⨯== ，解得1m =,即b =.若选择条件③:在ABC 中,由AB 边上的高为3,得sin 3b A =，由10310cos sin 1010A A =⇒=，解得b =.17.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F G H 分别是棱11111,,,AB B C C D D D 的中点.（1）求证:,,,E F G H 四点共面;（2）求1B D 与平面EFGH 所成角的正弦值;【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）取1BB 的中点M ,连接,,EM FM HM ，利用平行关系可得,,,H M G F 四点共面，,,,H M G E 四点共面，再根据过不共线的的三点,,H M G 的平面具有唯一性，即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求出1B D 的方向向量和平面EFGH 的法向量，利用向量法求解即可.【小问1详解】如图,取1BB 的中点M ,连接,,EM FM HM ，因为,,,E F G H 分别是棱11111,,,AB B C C D D D 的中点，所以11HM B D ∥，11GF B D ∥，所以HM GF ∥，,,,H M G F 四点共面，又1EM AB ∥，11HG DC AB ∥∥，所以EM GH ∥，,,,H M G E 四点共面，又因为过不共线的的三点,,H M G 的平面具有唯一性，则平面HMFG 与平面EMGH 重合,故,,,E F G H 四点共面.【小问2详解】以D 为原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形的的边长为a ，则()1,,B a a a ，()0,0,0D ，,,02a E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,,2a F a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,,2a G a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()1,,DB a a a = ，,,022a a GF ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(),0,GE a a =-，设平面EFGH 的法向量(),,n x y z =，则0220a a n GF x y nGE ax az ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=-=⎩，令1x =解得平面EFGH 的一个法向量()1,1,1n =- ，所以1111cos ,3n DB n DB n DB ⋅===，所以1B D 与平面EFGH 所成角的正弦值为13.18.自2022北京冬奥会以来，花样滑冰项目引起了广泛关注.选手们在冰上起舞，做出步法、旋转、跳跃等技术动作.“技术动作分”由“基础分”和“执行分”相加得到.不同的技术动作，其“基础分”也不同，其中四个跳跃动作4T ，4S ，4F ，4Lz 的“基础分”如表1所示.跳跃动作4T 4S 4F 4Lz 基础分9.59.711.011.5表1选手表演完，得到相应动作的“执行分”.把“执行分”为非负值的跳跃动作记为“成功”，否则记为“失败”.表2为某选手在上一赛季各跳跃动作的“技术动作分”.4T12.0411.22 4.759.069.9711.6310.984S10.9810.5711.32 4.859.5112.074F13.69 5.5014.0212.924Lz13.5414.2311.218.3811.87表2假设用频率估计概率，且选手每个跳跃动作是否“成功”相互独立.（1）从该选手上一赛季所有4T动作中任选一次，估计这次跳跃为“成功”的概率；（2）若该选手在本赛季中，计划完成4T，4S，4F这三个动作，且每个动作只完成一次.将这三个动作中成功的跳跃个数记为X，求X的分布列和数学期望E（X）；（3）在本赛季中，从四个跳跃动作4T，4S，4F，4Lz中选出三个，使得该选手这三个动作中“成功”的跳跃个数的期望最大，请直接写出这三个动作的名称.【答案】（1）5 7（2）分布列见解析，数学期望为179 84（3）4T,4S,4F【解析】【分析】（1）根据题意，结合表格的数据，结合古典概型的概率公式代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由条件可得X的所有可能取值为0,1,2,3，然后分别计算对应的概率，即可得到分布列，再由期望的计算公式即可得到结果.（3）根据题意，结合表格中的数据即可得到结果.【小问1详解】根据题中数据，该选手上一赛季7个4T动作中，有5个跳跃为“成功”，所以从该选手上一赛季所有4T动作中任选一次，这次跳跃“成功”的概率可以估计为5. 7【小问2详解】同(1)，从该选手上一赛季所有4S，4F动作中分别任选一次，这次跳跃“成功”的概率分别可以估计为423,.634X的所有可能取值为0,1,2,3.()52310111,73442P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()52352352351111111,73473473428P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()523523523372111,73473473484P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-+-⨯+⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭()52353.73414P X ==⨯⨯=所以随机变量X 的分布列为：X123P1425283784514所以()153751790123.4228841484E X =⨯+⨯+⨯+⨯=【小问3详解】由表格可知，4T 动作成功的概率为57，失败的概率为27，4S 动作成功的概率为23，失败的概率为13，4F 动作成功的概率为34，失败的概率为14，4Lz 动作成功的概率为35，失败的概率为25，由35234735>>>可知，选4T,4S,4F.19.已知椭圆2222:1x y C a b +=的离心率为63，其长轴的两个端点分别为()30A -,，()3,0B .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）点P 为椭圆上除A ，B 外的任意一点，直线AP 交直线4x =于点E ，点O 为坐标原点：过点O 且与直线BE 垂直的直线记为l ，直线BP 交y 轴于点M ，交直线l 于点N ，问：是否存在点P 使得ABE 与MON △的面积相等?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）22193x y +=（2）存在，15122,1111⎛⎫±⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率与a值，求出c =222a b c =+求出b 后即可得椭圆的方程；（2）()00,P x y ，()03,3x ∈-且00y ≠，根据已知条件将E 点坐标以及OM 用0x 表示，求得214N x =，由此可将ABE 与MON △的面积用0x 表示，构成方程即可求解0x ，即可解答.【小问1详解】由题意，3a =，又3c e a ==，所以c =，则b ==C 的方程为22193x y +=.【小问2详解】设()00,P x y ，()03,3x ∈-且00y ≠，则2200193x y +=，又因为()3,0A -，所以直线AP 的斜率为03y x +，所以直线AP 的方程为()0033y y x x =++，令4x =，得0073E y y x =+，所以点E 的坐标为0074,3y x ⎛⎫⎪+⎝⎭，因为()3,0B ，所以直线BE 的斜率为0000737433y x y x +=-+，因为BE l ⊥，所以直线l 的斜率为0037x y +-，所以直线l 的方程为0037x y x y +=-，因为()()0000,3,0P x y x y ≠±≠，()3,0B ，所以直线PB 的斜率为03y x -，所以直线PB 的方程为()0033y y x x =--，即0000333y yy x x x =⋅---，所以0033y OM x -=-，联立直线l 和直线PB 的方程()00003733x y x y y y x x +⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩，消去y 得()00003373x y x x y x +-=--，即00000033733x y y x y x x ⎛⎫++= ⎪--⎝⎭，整理有：()22000000793733y x y x y x x +-=--，因为2200193x y +=，所以22093x y -=-，所以()20000043733y y x y x x =--，解得点N 的横坐标214N x =，007116223ABE E y S AB y x =⋅=⨯⨯+ ，003114223MON E y S OM x x -=⋅=⨯⨯- ，要使得ABE 与MON △的面积相等，应有0000731121623243y y x x -⨯⨯=⨯⨯+-，整理有000073213383y y x x -=+-，即008333x x -=+，解得0353x =，01511x =，因为()03,3x ∈-，0353x =（舍去），所以01511x =，由2200193x y +=可得点P 的坐标为15122,1111⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭.20.已知函数()()2sin cos f x x x x ax a =--∈R .（1）若曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线与直线2y x =+平行.（i ）求a 的值；（ii ）证明：函数()f x 在区间()0,π内有唯一极值点；（2）当1a ≤时，证明：对任意()0,πx ∈，()0f x >.【答案】（1）（i ）0a =；（ii ）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）（i ）求出()f x '，由直线平行的充要条件得到切线的斜率，根据导数的几何意义求出a 的值，即可得到答案；（ii ）求出()f x '，令()()g x f x '=，利用导数研究()g x 的单调性，从而得到()g x 的取值情况，由此得到()f x 的单调性，结合极值的定义进行分析，即可证明；（2）利用（1）中的单调性，分1a ≤-，11a -<≤两种情况，分别利用导数研究函数的单调性，确定函数()f x 的取值情况，由此证明结论.【详解】（1）（i ）解：因为函数()2sin cos f x x x x ax =--，所以()cos sin f x x x x a '=+-，因为曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线与直线2y x =+平行，所以切线的斜率为1，则()01f '=，即11a -=，解得0a =，检验：当0a =时，()00f =，因此切线方程为y x =，符合题意，故0a =.（ii ）证明：由（i ）可知，0a =，则()cos sin f x x x x '=+，令()()cos sin g x f x x x x '==+，则()cos g x x x '=，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，则()g x 单调递增，即()f x '单调递增，当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0g x '<，则()g x 单调递减，即()f x '单调递减，又()010f '=>，ππ022f ⎛⎫'=>⎪⎝⎭，()π10f '=-<，故存在唯一的0π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()00f x '=，当()00,x x ∈时，()0f x ¢>，则()f x 单调递增，当()0,πx x ∈时，()0f x '<，则()f x 单调递减，所以当0x x =时，函数()f x 取得极大值()0f x ，故函数()f x 在区间()0,π内有唯一极值点.（2）证明：由（1）可知，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x '单调递增，当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()f x '单调递减，因为1a ≤，则()010f a '=-≥，且()π1f a '=--，①若10a --≥，即1a ≤-时，则()π0f '>，所以()0f x ¢>在()0,π上恒成立，即()f x 在()0,π上单调递增，故()()02sin 00f x f >==，符合题意；②若10a --<，即11a -<≤时，()π0f '<，因为ππ022f a ⎛⎫'=->⎪⎝⎭，故存在0π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()00f x '=，当()00,x x ∈时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当()0,πx x ∈时，()0f x '<，则()f x 单调递减，所以当0x x =时，函数()f x 取得极大值()0f x ，即()()00f x f >=且()()()ππ10f x f a >=->，符合题意.综上所述，当1a ≤时，对任意()0,πx ∈，()0f x >.21.设N n *∈，若非空集合,,A B C 同时满足以下4个条件，则称,,A B C 是“n -无和划分”:①{1,2,,}A B C n = ；②,,A B B C A C =∅=∅=∅ ；③1A ∈，且C 中的最小元素大于B 中的最小元素；④,,x A y B z C ∀∈∀∈∀∈，必有,,x y C y z A z x B +∉+∉+∉.（1）若{}{}{}1,3,2,4,5,6A B C ===，判断,,A B C 是否是“6-无和划分”，并说明理由.（2）已知,,A B C 是“n -无和划分”（4n ≥）.①证明:对于任意,()m k C m k ∈<，都有1k m -≠；②若存在,i j C ∈，使得2j i =+，记A B C Ω=⋃⋃,证明：Ω中的所有奇数都属于A .【答案】（1）不是，理由见解析（2）①证明见解析；②证明见解析【解析】【分析】（1）取1,4A B ∈∈，则145C +=∈，即可得到结论；（2）①假设存在,m k C ∈，使得1k m -=，记m 的最小值为0m ，得到00,1m m C +∈，设B 中最小的元素为b ，求得00,1m b m b -+-不同属于C ，列出方程组，即可得到结论；②由①知00002,1,1,3i i i i C --++∉，设B 中最小的元素为b ,得出02,2A i b C ∈+-∈矛盾，求得2B ∈，进而得到05,3C i B ∉-∈，05i A -∈，得到对于任意奇数0,t i <都有0,t A i t A ∈-∈，进而得到结论.【小问1详解】解：不是.理由如下：取1,4A B ∈∈，则145C +=∈，说明,,A B C 不是“6-无和划分”.【小问2详解】解：①假设存在,()m k C m k ∈<，使得1k m -=,记m 的最小值为0m ，则00,1m m C +∈；设B 中最小的元素为b ，则2b ≥，所以(1,2,3,,1)i A i b ∈=- ，所以00,1m b A m b A -∉+-∉，（否则与00,,1b B m m C ∈+∈矛盾），01m b B +-∉(否则与01,b A m C -∈∈矛盾)，所以01m b C +-∈，因为00m b m -<，所以00,1m b m b -+-不同属于C ，所以001m b B m b C -∈⎧⎨+-∈⎩这与1A ∈矛盾，所以假设不成立.②因为,,A B C 是“n -无和划分”,且存在,i j C ∈,使得2,j i =+记i 的最小值为0i ，所以00,2i i C +∈，由①知00002,1,1,3i i i i C --++∉，因为1A ∈,所以001,1i i A -+∈，所以3A ∉，设B 中最小的元素为b ,若2b ≠，则4b ≥，所以()111,2,,1i A i b ∈=- ，所以00,2i b A i b A -∉+-∉(否则与00,,2b B i i C ∈+∈矛盾)，所以02i b B +-∉(否则02i b B +-∈与02,b A i C -∈∈矛盾)，所以02i b C +-∈，又因为0i b -和02i b +-不同属于C ，所以0i b B -∈，这与02,2A i b C ∈+-∈矛盾，所以2b =，即2B ∈，所以3C ∉，所以3A ∈，所以05,3C i B ∉-∈，所以03i C -∉(否则与01,2i A B -∈∈矛盾)，所以03i A -∈，若5∈B ，则与03i A -∈和02i C +∈矛盾，所以5A ∈所以7C ∉,05i B -∉(否则与05,A i C ∈∈矛盾)，05i C -∉(否则与03,2i A B -∈∈矛盾)，所以05i A -∈，以此类推，对于任意奇数0,t i <都有0,t A i t A ∈-∈，所以0i 为偶数(否则，02i A -∈与2∈B 和0i C ∈矛盾),所以00,1i t i -+均为奇数.因为03i C +∉，所以03i B +∉(否则与03,A i C ∈∈矛盾)，所以03i A +∈，所以05i C +∉，所以05i B +∉(否则与05,A i C ∈∈矛盾)，所以05i A +∈，以此类推，对于任意大于0i ，小于或等于n 的奇数都属于集合A ，综上所述，Ω中的所有奇数都属于集合A .【点睛】知识方法点拨：与新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.方法点拨：与数列有关的问题的求解策略：3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识.4、若新定义与集合的运算有关，要熟记集合的性质以及集合的运算法则，必要时可利用集合的韦恩图，更加直观的求解.。

黑龙江大庆市2023届高三三模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．1B ．557．函数()()e 211x x f x x -=-，则方程()f x A ．0B ．18．已知3e a -=，ln1.02b =，sin 0.04c =A ．a b c <<C ．c b a<<二、多选题A ．筒车转动的角速度π50ω=B ．当75t =秒时，点P 的纵坐标为-2C ．当75t =秒时，点P 和初始点0P 的距离为4D ．当030t <≤秒时，点P 距离x 轴的最大值为11．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2222:x y E a b -2F ，渐近线方程为20x y ±=，M 为双曲线E 上任意一点，10F N MN ⋅=，2ON =，则（）A ．双曲线的离心率为5A ．平面ABC 截勒洛四面体所得截面的面积为B ．记勒洛四面体上以C ．该勒洛四面体表面上任意两点间距离的最大值为D ．该勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为三、填空题13．曲线()2ln f x x x=+14．某校学生参与“保护地球频率分布直方图如图所示，请据此估计学生成绩的第四、双空题15．已知函数()3e 1e xxf x =+()()243f ax f x -+≥恒成立，则实数五、填空题六、解答题(1)证明：1AA AC ⊥；(2)若1BB AB ⊥，60ABC ∠=︒，且三棱柱11B B D C --的余弦值．20．天宫空间站是我国建成的国家级太空实验室，由天和核心舱、问天实验舱和梦天实。

山西省晋中市2023届高三三模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
A． AB B．
6．已知α，β为锐角，且
A．
310
10
-B．
GF平面PCD；
(1)求证：//
(2)若平面PAD⊥平面ABCD，PAD
线AG与平面PBD所成角的正弦值．
参考答案：
则()(PA PB PO OA PO ⋅=+⋅+ 当P 在正方体表面上运动时，运动到所以2
22max 1PO D D DA AO =++ 所以PA PB ⋅
的最大值为8.
所以当0t <时，方程()f x t =没有实根；当0=t 或1
e
t >时，方程()f x =当1
t e
=
时，方程()f x t =有2个实根；当1
0e t <<时，方程()f x t =有
所以函数e x
y=的图象与曲线2x+所以存在两个不同的a，使得圆
过F 作平面ABD 的垂线n ，则四面体因为3
A π
=
，D 是AC 边的中点，且
故答案为：(1,2]. 17．(1)证明见解析
(2)10
5
．
取BC中点M，以O为坐标原点，
【点睛】关键点点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
22．(1)答案见解析
+
(2)3ln21
答案第17页，共17页。

2024年沈阳市高中三年级教学质量监测（三）数学 参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1.B 2.D 3.D 4.B 5.A 6.C 7.C 8.A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. ACD 10.BCD 11.AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.13. 314. 109 【部分题目解析】8．因为(21)f x -是偶函数，则()f x 的图象关于直线1x =-轴对称，又因为(2)f x -是奇函数，则()f x 的图象关于点(2,0)中心对称，故函数()f x 具有周期性，且周期为4，则(7)(1)(1)1f f f =-=-=-．11．21()cos cos sin(2)62f x nx nx nx nx π=+=++，对于A ，当[0,]2x π∈时，72[,]666nx πππ+∈，1sin(2[,1]62nx π+∈-，min ()0f x =；对于B ，函数()f x 图象的对称中心的纵坐标应为12；对于C ，22[,]62636n n nx πππππ+∈++，解2226,232362n k k Z n k ππππππππ⎧+≤+⎪⎪∈⎨⎪+≤+⎪⎩得到214[,2][,5]33n ∈ ，所以1,2,5n =； 对于D ，方程等价于1sin(2)64nx π+=，函数()sin(2)6g x nx π=+的图象和直线14y =的交点如图函数()g x 的最小正周期13||T A A =，设12||A A dT =，23||A A DT =，（其中1D d =-） 因为10sin 46π<<，所以由下图可知112323d D <<<<，26364d D <<<<因为在区间00(,6x x π+内的解的个数[5,9]m ∈，所以区间长度6π应满足：(2)(4)6D T d T π+<+ ，由T nπ=，则(2)(4)6D d nnπππ+<+ ，化简得126246D n d +<+ ，所以[16,26]n ∈．正整数的n 值有11个．12．由2(4)44+⋅=⋅+=a b b a b b ，得2222|2|4442420+=+⋅+=⨯+=a b a a b b ，所以|2|+=a b 13．由题意11||||sin120||||sin 6022ABC ABD ACD S S S BD AD CD AD =+=⋅⋅︒+⋅⋅︒△△△，又||2||CD BD =，||1AD =，ABC S =△43BD =，在ABD △中，由余弦定理解，得22237||||||2||||cos1209AB BD AD BD AD =+-⋅⋅︒=，则3c =． 14．由题意得，2log ,2yp y q ==，2log 22024yy +=，设2()log 2xf x x =+，显然()f x 是增函数，从而y 是方程()2024f x =的唯一解， 由101121024,22048==，且当[10,11]x ∈时，2log (3,4)x ∈可得102(10)log 102(1027,1028)f =+∈，112(11)log 112(2051,2052)f =+∈， 从而y 应略小于11，需要判断y 与10.9的大小关系，先估算10.92的近似值。

一、单选题二、多选题1. 已知，，，则（ ）A．B．C．D．2. 函数的定义域是（ ）A．B．C ．[0，2]D ．（2，2）3. 已知正方体的棱长为1，平面过正方体的一个顶点，且与正方体每条棱所在直线所成的角相等，则该正方体在平面内的正投影面积是（ ）A．B．C．D．4.在复平面内，复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5. 某几何体的正视图和侧视图如图①，它的俯视图的直观图的矩形如图②，其中则该几何体的体积为A．B．C．D．6. 已知集合，则（ ）A．B．C．D．7.已知数列满足，，设，若为数列中唯一最小项，则实数的取值范围是A．B．C．D．8. 已知，则（ ）A ．0B ．1C ．2D．9. 已知函数.若函数的图像的任意一条对称轴与轴交点的横坐标都不属于区间，则的取值可能是（ ）A．B．C．D．10. 排球是一项深受人们喜爱的运动项目，排球比赛一般采用5局3胜制．在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分．在决胜局（第五局）采用15分制，某队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜．现有甲、乙两队进行排球比赛，则下列说法正确的是（ ）A ．已知前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局，若甲队最后赢得整场比赛，则甲队将以或的比分赢得比赛B．若甲队每局比赛获胜的概率为，则甲队赢得整场比赛的概率也是C ．已知前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局，且接下来两队赢得每局比赛的概率均为，则甲队最后赢得整场比赛的概率为山东省青岛市2023届高三三模数学试题山东省青岛市2023届高三三模数学试题三、填空题四、解答题D ．已知前四局比赛中甲、乙两队已经各赢两局比赛．在决胜局（第五局）中，两队当前的得分为甲、乙各14分．若两队打了个球后甲赢得整场比赛，则的取值为2或411. 某地区城乡居民储蓄存款年底余额（单位：亿元）变化情况如图所示，下列判断一定正确的是（）A ．该地区城乡居民储蓄存款年底余额总数逐年上升B ．到年农村居民存款年底总余额已超过了城镇居民存款年底总余额C ．城镇居民存款年底余额逐年下降D ．年城乡居民存款年底余额增长率大约为12. 2020年4月，在疫情防控阻击战之外，另一条战线也日渐清晰--复工复产、恢复经济正常运行．某企业对本企业1644名职工关于复工的态度进行调查，调查结果如图所示，则下列说法错误的是（）A．B．从该企业中任取一名职工，该职工倾向于在家办公的概率为C ．不到名职工倾向于继续申请休假D ．倾向于复工后在家办公或在公司办公的职工超过名13. 已知向量，，，则__________．14. 已知公比不为等于1的无穷等比数列各项均为整数,且有连续四项在集合中,请写出数列的一个通项公式:________（写出一个正确的即可）．15.已知的展开式中的系数为的展开式中的系数为，，则非零常数的值为__________．16. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，椭圆C 的离心率小于.点P 在椭圆C 上，，且面积的最大值为.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)点M （1，1），A ，B 是椭圆C 上不同的两点，点N 在直线l ：上，且，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.17. 运输一批海鲜，可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择，它们的速度分别为60千米/小时、120千米/小时、600千米/小时，的运费分别为20元、10元、50元.这批海鲜在运输过程中的损耗为m 元（），运输的路程为S （千米）.设用汽车、火车、飞机三种运输工具运输时各自的总费用（包括运费和损耗费）分别为（元）、（元）、（元）.（1）请分别写出、、的表达式；（2）试确定使用哪种运输工具总费用最省.每千米每小时18. 已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直.（1）若函数的单调区间；（2）若关于x 的不等式恒成立，求实数m 的取值范围.19.如图多面体中，四边形是菱形，平面，.(1)证明：平面；(2)在棱上有一点（不包括端点），使得平面与平面的夹角余弦值为，求点到平面的距离.20.如图，已知的面积为1，点D ，E ，F 分别为线段，，的中点，记的面积为；点G ，H ，I 分别为线段，，的中点，记的面积为；…；以此类推，第n 次取中点后，得到的三角形面积记为．(1)求，，并求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n 项和．21. 在三棱台中，，分别是，的中点，，平面，且，．(1)求证：；(2)求三棱锥的体积．。

山东省青岛市2023届高三三模数学试题及答案解析满分150分，考试时间：120分钟一、单选题1．已知全集U =R ，集合A ，B 满足()B A A ⋂⊆，则下列关系一定正确的是（）A ．A B=B ．B A ⊆C ．()φ=⋂B C A U D ．()φ=⋂B A C U 2．若{}n a 为等比数列，则“135a a a <<”是“数列{}n a 是递增数列”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．将四位数2023的各个数字打乱顺序重新排列，则所组成的不同的四位数（含原来的四位数）中两个2不相邻的概率为（）A ．59B ．524C ．14D ．234．某比赛决赛阶段由甲，乙，丙，丁四名选手参加，在成绩公布前，A ，B ，C 三人对成绩作出如下预测：A 说：乙肯定不是冠军；B 说：冠军是丙或丁；C 说：甲和丁不是冠军．成绩公布后，发现三人中只有一人预测错误，则冠军得主是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁5．瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知ABC ∆的顶点()30A -,，()3,0B ，()3,3C ，若直线l ：()2390ax a y +--=与ABC ∆的欧拉线平行，则实数a 的值为（）A ．－2B ．－1C ．－1或3D ．36．将函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭图象向左平移π2ω后，得到()g x 的图象，若函数()g x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的取值范围为（）A ．(]0,3B ．(]0,2C ．40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦7．已知向量a ，b ，c 满足：1a b == ，()12a ab ⋅-= ，()()30b c b c -⋅-= ，则a c - 的最小值为（）A ．31-B ．3C ．2D ．1四、解答题19．记n S 是数列{}n a 的前n 项和，1(1)3n nn n S a ++-=，2122n n n b a a +=+．(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)若1a ，2a ，3a 成等差数列，求21n S -．答案解析一、单项选择题12345678CBADBCAD1.解析：∵A A ⊆∩B ，∴B A ⊆，对A ：当A 为B 的真子集时，不成立；对B ：当A 为B 的真子集时，不成立；对C ：恒成立；对D ：当A 为B 的真子集时，不成立.2.解析：若等比数列{}n a 是递增数列，可得531a a a <<一定成立；反之：例如数列(){}n n 211+-，此时满足531a a a <<531a a a <<，但数列{}n a 不是递增数列，∴“531a a a <<”是“数列{}n a 是递增数列”的必要不充分条件.3.解析：将2023各个数字打乱顺序重新排列所组成的不同四位数（含原来的四位数）的基本事件有：2203，2230，3220，3022，2023，2320，2032，2302，3202共9个，所组成的不同四位数（含原来的四位数）中两个2不相邻的基本事件有：2023，2320，2032，2302，3202共5个，∴所组成的不同四位数（含原来的四位数）总两个3不相邻的概率为95.4.解析：若A 预测错误，则B 、C 预测正确，即乙是冠军，则B 的预测冠军时丙或丁错误，矛盾；若B 预测错误，则A 、C 预测正确，即甲乙丁不是冠军，丙是冠军，与B 的预测矛盾；所以C 预测错误，则A 、B 预测正确，即甲盒丁有一个是冠军，又B 预测冠军是丙或丁正确，故冠军为丁.5.解析：由ABC ∆的顶点()03，-A ，()03，B ，()33，C 知ABC ∆的重心为⎪⎭⎫⎝⎛++++-33003333，，即()1,1.又三角形为直角三角形，∴外心为斜边中点⎪⎭⎫⎝⎛++-230233，，即⎪⎭⎫⎝⎛230，，∴可得ABC ∆的欧拉线方程为：123111--=--x y ，即032=-+y x ，∵()0932=--+y a ax 与032=-+y x 平行，∴392312-≠-=a a ，解得1-=a .6.解析：()()03sin >⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ωπωx x f 向左平移ωπ2，得()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=65sin 32sin πωπωπωx x x g ，当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，⎦⎤⎢⎣⎡+∈+6526565πωπππω，x ，()x g 在⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上单调递减，即342365≤⇒≤+ωππωx ，故⎥⎦⎤ ⎝⎛∈34,0ω.7.解析：由题意不妨设()0,1==OB b ，()n m OA a ,==，()y x OC c ,==，则()()21,1,=-⋅n m n m ，即432122=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-n m ，且122=+n m ，解得：21=m ，23=n 或23-=n ，由()()()()()012,3,10322=-+-=--⋅--==-⋅-y x y x y x c b c b ，即()1222=+-y x ，即c 的终点C 在以()0,2D 为圆心，1=-，由圆的对称性，不妨令23=n ，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23,21a ，连接AD 交圆于E ，由点与圆的位置关系可知：1312322122-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=≥DE AD .8.解析：如图所示：由题意知：()0,1c F -，()0,2c F ，其中22b a c +=，设直线AB 方程为()c x y -=3，联立()⎪⎩⎪⎨⎧=--=132222b y ax c x y ，整理可得：()036322222222=--+-b a c a cx a x a b，设()11,y x A ，()22,y x B，则222222212222133,36b a b a c a x x b a c a x x -+=-=+，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>+>∆≠-00003212122x x x x a b ∴223b a >∴()222222222221221233436241b a b a c a b a ca x x x x kAB -+⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-++=22238b a ab -=……①由双曲线定义知，a BF BF AF AF 22121=-=-，∴AB F 1∆的周长为：aBF a AF BF BF AF AF 2222222121+++=+++()12424222=+=++=a AB a BF AF ∴a AB 26-=……②由①②得：022223=++-b ab a a ……③又∵W 为AB 的中点，∴22221332b a ca x x x W -=+=，()222333b ac b c x y W W -=-=，∴W (22233ba ca -,22233b ac b -)∴W F 22222222222222323333b a b a c b b a cb c b a c a +=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=，解得：b a =……④由③④可得：1==b a ，∴双曲线方程为122=-y x ∴双曲线渐近线方程为x y ±=，故A 项错误，B 项错误；对于C 项，426=-=a AB ，故C 项错误；对于D 项，∵1==b a ，∴2=c ，∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛26223，W ，∴62622322=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=OW ，故D 项正确.二、多选题9.解析：∵()422-=±i ，因此不妨令方程42-=x 的复数解i z 21=，i z 22-=，对于A ，()42221=-⋅=⋅i i z z ，A 错误；对于B ，1z 与2z 互为共轭复数，B 正确；对于C ，i z 21=，由i z z +=⋅21得()()()i i i i i i i z -=-⋅-⋅+=+=212222，则复数z 在复平面内对应的点⎪⎭⎫ ⎝⎛-121在第四象限，C 错误；对于D ，设()R y x yi x z ∈+=,，由1=z 得122=+y x ，显然有11≤≤-x ，由选项A 知421=⋅z z ，因此()()3817442221≥-=+-=+-=⋅-x y x yi x z z z ，当且仅当1=x ，即1=z 时取等号.10.解析：A ：支出极差：20-1=19，故A 正确；B ：销售额中位数：按照从小到大的顺序排列后，可知中位数为44，故B 错误；C ：样本中心()()42,8=y x 恒过线性回归方程，∵m x y +=5.1，∴30=m ，故C 正确；D ：∵()19,1不在线性回归直线上且偏差极大，去掉这组数据后，相关程度会更高，故D 错误.11.解析：A ：∵()4ln 4ln ln ln ln 22abb a b a =+<，即14ln 2>ab ，解得2ln >ab 或2ln -<ab ，∴2e ab >或210e ab <<，故A 错误；B ：()()a b b a a b b a b a ln ln 2ln ln ln ln ln 2ln ln 2ln ln 2ln 2log 2log -=-=-=-，∵0>>b a ，则b a ln ln >，即0ln ln <-a b ，且02ln >，∴02log 2log <-b a ，即2log 2log b a <，故B 正确；C ：∵0>>b a ，且01ln ln >=b a ，可得b a ln ln ，同号，则有：若b a ln ln ，同正，可得1>>>b e a ，9101112BDACBCDABD则()()()0111>++-=--b a ab b a ，可得b a ab +>+1；若b a ln ln ，同负，可得011>>>>b ea ，则()()()0111>++-=--b a ab b a ，可得b a ab +>+1；综上所述：b a ab +>+1.又∵x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21在定义域内单调递减，∴ba ab ++⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛21211，故C 正确；D ：∵0>>b a ，则0>-b a ，可得ba xy -=在()∞+，0内单调递增，可得0>>--b a b a b a ，且0,>a b b a ，∴a b b a b a b a >，故D 正确.12.解析：A ：∵222AC PC P A =+，222AC BC BA =+，故P A PC ⊥，BC AB ⊥，则22==BN PN ，又∵1=PB ，∴222PB BNPN =+，故NB PN ⊥，∵PC P A =，N 为AC 的中点，∴AC PN ⊥，又N NB AC =⋂，⊂NB AC ，平面ABC ，∴⊥PN 平面ABC ，又⊂PN 平面P AC ，则平面P AC ⊥平面ABC ，故A 正确；B ：∵⊥PN 平面ABC ，AC BN ⊥，以N 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00,22，A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,220，B ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2200，，P ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛42420，，M ，∴=+=+=AP NA AW NA NW λ+⎪⎪⎭⎫⎝⎛00,22，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-22022，，λ()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=λλ220122，，，∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛=42420，，NM ，设NW NM ，所成角为θ，而21cos 212+-=⋅=⋅λλθθNW NM，又λ41=⋅NW NM ，故2121cos 2+-=λλλθ，212143sin 22+-+-=λλλλθ，∴WMN ∆的面积为：2463223419232234121434122=⋅⋅≥+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=+-==λλλθS 故B 正确；C ：当W 为P A 中点，取BC 的中点D ，连接ND MD ，，∵ND AB MW ∥∥，2121===ND AB MW ，故D N W M ,,,四点共面，且四边形MWND 为平行四边形，又∵2121===MD PC WN ，故四边形MWND 为菱形，∴当W 为P A 中点时，平面WMN 截该三棱锥所得截面MWND 为菱形，故C 不正确；D ：∵P A PC ⊥，BC AB ⊥，∴22===NP NA NC ，故三棱锥ABC P -的外接球半径为22，故该外接球的内接正方形的棱长为2，故三棱锥ABC P -可以在一个正方体内任意转动，则此正方体的体积最小值为()2223==V ，故D 正确.三、填空题13.13422=+x y ；14.34π；15.28；16.1-13.解析：抛物线方程化为标准方程得y x 42=，焦点坐标为()10，F ，∵抛物线焦点与椭圆C 的一个焦点重合，∴椭圆焦点在y 轴，设椭圆标准方程为()012222>>=+b a bx a y ，则由焦点坐标和长轴长知1=c ，42=a ，∴2=a ，∴3222=-=c a b ，∴椭圆C 的标准方程为13422=+x y.14.解析：设圆锥母线长为l ，由题意l ππ=⨯12，2=l ，圆锥内半径最大的球与圆锥相切，作出圆锥的轴截面P AB ∆，截球得大圆为圆锥轴截面三角形的内切圆O ，E D ,是切点，如图，已知PD 是圆锥的高，O 在PD 上，由2=P A ，1=BD 得3π=∠BPD ，因此3π=∠ABP ，∴621π=∠=∠DBP OBD ，336tan ==πBD OD ，∴圆锥内半径最大的球的表面积为343342ππ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=S .15.解析：∵展开式的所有项的二项式系数和为2562=n，解得8=n ，则n x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+31展开式为()82388881331--+=⎪⎭⎫⎝⎛=rr r rrr r xC x x C T ，8,2,1,0 =r ，可得第1+r 项得到系数为8,2,1,0,3881==-+r C a r rr ，令⎩⎨⎧≥≥+++rr r r a a a a 121，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥----+-rr r r rr r r C C C C 91888718883333，解得6=r ，∴展开式中第7项系数最大，其二项式系数为2868=C .16.解析：令1==y x ，则()()()()()()00210012==+=f f f f f f ，∴()00=f ；令2=x ，1-=y ，则()()()()11121222=-=-+=ffff ，又()01<-f ，∴()11-=-f ；令1=y ，则()()()()()()x f f x f f x f x f -=-+=+11101，∴()x f 关于直线1=x 对称；令x y -=，在()()()()()()()[]()01110=+-+=--++=x f x f x f x f x f x f x f f ，∵()01=+x f 不恒成立，∴()()0=-+x f x f 恒成立，∴()x f 为奇函数，∵()()()x f x f x f -=-=+2，∴()()()x f x f x f =+-=+24，∴()x f 是周期为4的周期函数，∴()()()11114455-=-=-⨯=f f f.四、解答题17.解：（1）∵()C c a B c tan 2sin 2-=，∴()CCC A B C cos sin sin sin 2sin sin 2⋅-=，又0sin ≠C ，则()CC B C A C B sin sin 2sin sin 2cos sin 2-+=-=()C C B C B sin sin cos cos sin 2-+=，整理得：C B C sin cos sin 2=，又0sin ≠C ，∴21cos =B ，而()π，0∈B ，∴3π=B ；（2）a c 3=，由余弦定理得：22222273cos329cos 2a a a a a B ac c a b =⨯⨯-+=-+=π，∴a b 7=，∵D 是AC 中点，则a CD AD 27==，在ABD ∆中由余弦定理得：1327291347cos 22⨯⨯-+=∠a a a ADB ，在CBD ∆中由余弦定理得：1327291347cos 22⨯⨯-+=∠a a a CDB ，∵π=∠+∠ADB CDB ，∴0cos cos =∠+∠ADB CDB ，0132729134713272913472222=⨯⨯-++⨯⨯-+a a a a a a ，解得2=a ，∴ABC ∆的周长为72837+=++=++a a a c b a .18.解：（1）在三棱台111C B A ABC -中，取11C B 的中点1O ，连接11O A ,∵AC AB =，2π=∠BAC ，4211==B A AB ，则21111==C A B A ，2111π=∠C A B ，有24=BC ，2211=C B ，1111C B O A ⊥，211=O A ，∵平面11B BCC ⊥平面ABC ，平面ABC ∥平面111C B A ，则平面11B BCC ⊥平面111C B A ，平面11B BCC ∩平面111C B A 11C B =，又⊂11O A 平面111C B A ，∴11O A ⊥平面11B BCC ，梯形11B BCC 中，311==CC BB ，则梯形11B BCC 的高()()12322221121=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=C B BC BB h ，因此梯形11B BCC 的面积()231242221=⨯+⨯=S ，∴四棱锥111B BCC A -的体积2223313111=⨯⨯=⋅=O A S V .（2）取BC 的中点O ，连接AO ，∵AC AB =，∴BC AO ⊥，在等腰梯形11B BCC 中，O O ，1分别为上下底边BC C B ，11的中点，有BC OO ⊥1，∵平面11B BCC ⊥平面ABC ，平面11B BCC ∩平面ABC BC =，⊂1OO 平面11B BCC ，∴1OO ⊥平面ABC ，以O 为原点，分别以1,,OO OB OA 所在直线为z y x ,,建立空间直角坐标系，则()0,022，A ，()0220，，B ，()0220，，-C ，()1201，，B ，令()101<<=m BB m BE ，有()m m E ,2220-，，设平面ACE 的法向量为()z y x n ,,=，而()02222，，=CA ，()m m CE ,224,0-=，则()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=+=⋅022402222mz y m EA n y x CA n ，令m x =，得()m m m n 224,,--=，∵1OO ⊥平面ABC ，则()1,0,01=OO 为平面ABC 的一个法向量，记二面角B AC E --的平面角为θ，于是()10272242224cos 22=-+-===mm m θ，即0262=-+m m ，而10<<m ，解得21=m ，∴存在点E 为B B 1的中点，使得二面角B AC E--的余弦值为1027.19.解：（1）∵()nn nn a S 311=-++，∴2≥n 时，()11131---=-+n n n n a S ，两式相减得：()()113211-+⨯=-+-+n n nn nn a a a ，n 是偶数时，11322-+⨯=+n n n a a ，∴12212322-+⨯=+=n n n n a a b ；（2）由已知321=-a a ……①，9321=++a a a ……②，∵321,,a a a 成等差数列，∴2312a a a =+……③，①②③联立解得61=a ，32=a ，03=a ，∴61=S ，932==S S ,由已知得()23221222≥=+---n a S n n n ，即()29312212≥==---n S n n n ，综上，⎩⎨⎧≥==--2,91,6112n n S n n .20.解：（1）如图所示：由题意知，圆B 圆心为()0,3B ，半径为4，设动圆P 的半径为R ，∵()16332<--，∴点()03，-A 在圆B 内，∴R P A =，R PB -=4，∴324=>=+AB PB P A ，∴圆心P 的轨迹为以B A 、为焦点，长轴长为4的椭圆.∴42=a ，322=c ，故2=a ，3=c ，则122=-=c a b ，∴曲线C 的方程为1422=+y x .（2）如图所示，存在常数m 使得QM m QB =,理由如下：设()00,y x Q ，则142020=+y x ，[]2,20-∈x ，()0,y t M ，∴()()43243413302220202+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=+-=x x x x y xQB ，t x QM -=0，假设存在常数m使得QM m QB =,则()202202043243t x m x x -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-对于任意的[]2,20-∈x 恒成立，即：()2022033443t x m x -=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-对于任意的[]2,20-∈x 恒成立，∴432=m ，334=t .即存在常数23±=m 使得QM m QB =成立，此时直线l 方程为334=x .21.解：（1）由题意可知：X 的取值为1,0,1-，()1213214311=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=X P ；()12532431321430=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯==X P ；()2132431=⨯==X P 故X 的分布列如下：则()()12521112501211=⨯+⨯+⨯-=X E .（2）由题可知，87211113321=⎪⎭⎫ ⎝⎛-===P P P ，，，1613213144=⎪⎭⎫⎝⎛⨯-=P ；经分析可得：若第n 轮没有得1分，则121-=n n P P ；若第n 轮得1分，且第1-n 轮没有得1分，则241-=n n P P ；若第n 轮得1分，且第1-n 轮得1分，第2-n 轮没有得1分，则381-=n n P P ；故()4814121321≥++=---n P P P P n n n n ，故81,41,21===c b a ；∵321814121---++=n n n n P P P P ，故211814121--+++=n n n n P P P P ，故211814121--+++-=-n n n n n P P P P P 21321814181412121-----++⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=n n n n n P P P P P 01613<-=-n P ；X -11()X P 12112521故()41≥<+n P P n n ，且4321P P P P >>=，则 >>>>=54321P P P P P ，∴答题轮数越多（轮数不少于3），出现“连续三轮每轮得1分”的概率越大.22.解：（1）依题意，()x e c x x f +=sin ，求导得()xe cx x x f --='sin cos ，于是()010=-='c f ，解得1=c ，当1=c 时，()xex x f 1sin +=，()10=f ，因此曲线()x f y =在0=x 处的切线为1=y ，平行于x 轴，∴1=c .（2）由（1）知，()xa xb x f 1sin +=，当[]π,0∈x 时，()01sin 11sin 1≥--⇔≤+⇔≤x b a ax b x f xx，令()[]π,0,1sin ∈--=x x b a x g x，求导得()x b a a x g x cos ln -='，若10<<a ，则()01<-=ππa g ，不符合题意，若1>a ，当0≤b 时，()01sin ≥--=x b a x g x，符合题意，当a b ln 0≤<时，()0ln ln cos ln ≥-≥-≥-='b a b a a x b a a x g xx，因此函数()x g 在[]π，0上单调递增，()()00=≥g x g ，符合题意当a b ln >时，令()()x g x h '=，则()()0sin ln 2>+='x b a a x h x，即函数()x g '在[]π，0上单调递增，而()0ln 0<-='b a g ()0ln >+='b a a g ππ，则存在()π,00∈x 使得()00='x g ，当()0,0x x ∈时，()0<'x g ，函数()x g 在()0,0x 上单调递减，当()0,0x x ∈时，()()00=<g x g ，不符合题意，综上得a b ln <且1>a ，则有a e a eb a ln -≥-，令()1,ln >-=a a e a a ϕ，求导得()aea -='1ϕ，当e a <<1时，()0<'a ϕ，当e a >时，()0>'a ϕ，函数()a ϕ在()e ,1上单调递减，在()+∞,e 上单调递增，因此()()0ln =-=≥e e e e a ϕϕ，即0ln ≥-≥-a e a eb a ，∴eb a ≥.。