中考数学专题 根与系数关系

一、基本知识原理设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根分别为x1 ，x2 ，则有根与系数的关系：x1 +x2 = -(b/a)；x1 x2 =c/a ；根与方程的关系：ax12+bx1+c=0 ，ax22+bx2+c=0 。

二、解题方法与策略对于中考数学中这种常见填空题型，出题方式一般是，条件中直接告诉方程有两个根，但通常不会告诉这两个根的具体值，就算你用求根公式可以解出根的具体值，看起来非常繁琐，也不利于求解。

所以，对于这种题目我们的解题方法与策略是：（1）运用根与系数的关系，先求出方程两个根的和与积；（2）对方程进行适当变形，使二次项转化为一次项或常数；或对所求代数表达式进行适当的变形，使其变为含有两根的和或积的形式；（3）代入两个根的和与积，或者代入根与方程的关系，进行计算，问题便迎刃而解。

三、例题详解例1、已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣2020＝0的两个根，则a2+2b﹣3的值等于解：由题意可知：a2﹣2a＝2020，（对方程进行适当的变形，使高次项转化为一次项或常数）由根与系数的关系可知：a+b＝2，（根据方程求出两个根的和）∴原式＝a2﹣2a+2a+2b﹣3 （对所求代数表达式进行适当的变形，使表达式中含有两根之和的形式；）＝2020+2（a+b）﹣3＝2020+2×2﹣3＝2021例2、一个直角三角形的两条直角边的长度恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是.例4、已知关于x的方程x2-4x+k-1=0的两根之差等于6，那么k ．解：设方程的两根为a、b，∴a+b=4 , ab = k-1（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab = 42 -4(k-1)=36解得：k=-4例5、设m、n是一元二次方程x2-2018x+1=0的两个实数根，则代数式2017m2+2018n2-2018n-2017×20182 的值为（）解：由已知得m+n = 2018 , mn=1（先求出方程两个根的和与积）m2+n2 =(m+n)2 -2mn = 20182 -2 （利用和与积化简高次项为常数）∴2017m2+2018n2-2018n-2017×20182 （对所求代数表达式进行适当的变形）= 2017(m2+n2) + n2 -2018n-2017×20182= 2017( 20182 -2)-1-2017×20182= -4035。

中考数学专项练习一元二次方程系数与根的关系（含解析）一、单选题1.若、是一元二次方程的两根，则的值是（）A.-2B.2C.3D.12.一元二次方程x2+3x﹣a=0的一个根为﹣1，则另一个根为（）A.﹣2B.2C.4D.﹣33.已知方程x2-5x+2=0的两个解分别为m，n，则m+n-mn的值是（）A.-7B.-3C.7D.34.若关于x一元二次方程x2﹣x﹣m+2=0的两根x1 ，x2满足（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣1，则m的值为（）A.3B.-3C.2D.-25.下列方程中：①x2-2x-1=0，②2x2-7x+2=0，③x2-x+1=0两根互为倒数有（）A.0个B.1个C.2个D.3个6.设x1 ，x2是一元二次方程-2x-3=0的两根，则=（）A.6B.8C.1D.127.一元二次方程x2＋x－2＝0的两根之积是()A.－1B.－2C.1D.28.方程x2+2x-4=0的两根为x1 ，x2 ，则x1+x2的值为（）A.2B.－2C.D.－9.若矩形的长和宽是方程x2﹣7x+12=0的两根，则矩形的对角线之和为（）A.5B.7C.8D.1010.假如a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣4=0的两个根，那么a3b﹣2a2b 的值为（）A.-8B.8C.-16D.1611.假如是一元二次方程的两个实数根，那么的值是（）A.B.C.D.二、填空题12.设x1、x2是方程x2-4x+3=0的两根，则x1+x2=________.13.定义新运算“*”，规则：a*b= ，如1*2=2，* ．若x2+x﹣1=0的两根为x1 ，x2 ，则x1*x2=________．14.若x1、x2是方程2x2﹣3x﹣4=0的两个根，则x1•x2+x1+x2的值为________．15.若a、b是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，则的值是_____ ___．16.写出一个以2和3为两根且二项系数为1的一元二次方程，你写的是________．17.若方程x2﹣3x+1=0的两根分别为x1和x2 ，则代数式x1+x2﹣x 1x2=________．18.若一个一元二次方程的两个根分别是1、3，请写出一个符合题意的一元二次方程________．三、运算题19.已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值.20.已知一元二次方程x2﹣6x+4=0的两根分别是a，b，求（1）a2+b2（2）a2﹣b2的值．四、解答题21.已知关于x的方程x2+x+a﹣1=0有一个根是1，求a的值及方程的另一个根．22.阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1 ，x2 ，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=﹣，x1•x2=．请依照该材料解题：已知x1 ，x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，求+和x12x2+x1x22的值．答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】根与系数的关系【解析】【分析】∵一元二次方程的两根分别是、，∴==3．故选C．2.【答案】A【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：设x1、x2是关于x的一元二次方程x2+3x﹣a=0的两个根，则x1+x2=﹣3，又﹣x2=﹣1，解得：x1=﹣2．即方程的另一个根是﹣2．故选：A．【分析】依照一元二次方程根与系数的关系x1+x2=﹣求另一个根即可．3.【答案】D【考点】根与系数的关系【解析】【分析】利用根与系数的关系求出m+n与mn的值，代入所求式子中运算即可求出值．【解答】∵x2-5x+2=0的两个解分别为m，n，∴m+n=5，mn=2，则m+n-mn=5-2=3．故选D【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练把握根与系数的关系是解本题的关键．4.【答案】A【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：依照题意得x1+x2=1，x1x2=﹣m+2，∵（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣1，∴x1x2﹣（x1+x2）+1=﹣1，∴﹣m+2﹣1+1=﹣1，∴m=3．故选A．【分析】依照根与系数的关系得到x1+x2=1，x1x2=﹣m+2，再变形等式（x 1﹣1）（x2﹣1）=﹣1得到x1x2﹣（x1+x2）+1=﹣1，则有﹣m+2﹣1+1=﹣1，然后解此一元一次方程即可．5.【答案】B【考点】一元二次方程的根与系数的关系【解析】【解答】两根互为倒数则说明两根之积为1且△≥0，即，则a=c，∴只有②是正确的，③没有实数根．故答案为：B【分析】由两根互为倒数则说明两根之积为1且△≥0，可得出答案。

专题 根与系数的关系例1. 152s ≥-且3,5s s ≠-≠ 例2. C 提示: 设三根为121,,x x ,则121x x -< 例3. 设223,A βα=+223,B αβ=+ 31004A B += ①A B -= ② 解由① ②联立的 方程组得1(4038A =-例 4. 0,s ≠Q 故第一个等式可变形为211()99()190,s s ++= 又11,,st t s ≠∴Q 是一元二次方程 299190x x ++=的两个不同实根, 则1199,19,t t s s +=-=g 即199,19.st s t s +=-=故41994519st s s st s++-+==- 例5. (1) 当a b =时, 原式=2; 当a b ≠时, 原式=-20, 故原式的值为2或-20(2) 由方程组得232,326(6),x y a z x y z az +=-=-+g 易知3,2x y 是一元二次方程22()6(6)0t a z t z az --+-+=的两个实数根,0∴∆≥, 即2223221440z az a -+-≤,由z 为实数知,22'(22)423(144)0,a a ∆=--⨯⨯-≥解得a ≥故正实数a的最小值为(3) xy 与x y +是方程217660m m -+=的两个实根,解得11,6x y xy +=⎧⎨=⎩或6,()xy 11.x y +=⎧⎨=⎩舍原式=()()222222212499x y x y xy x y +-++=． 例6 解法一：∵ac ＜0，2=40b ac ∆-＞，∴原方程有两个异号实根，不妨设两个根为x 1，x 2，且x 1<0<x 2，由韦达定理得x 1+ x 2=b a -，12cx x a =，由0=，得0b ca a +=，)12120x x x ++=，解得2x =假设2x ，由10x ＜推得3-不成立，故2x 假设21x ≥，1，由10x ＜推得10x ，矛盾．故21x ＜，综上所述21x ＜．解法二：设()2f x ax bx c =++，由条件得)b =，得)3355f a c a c=++=-++=，()1f a b c a a c⎤=++=-⎦．若a＞0，0c＜，则0f＜，()10f＞；若a＜0，0c＞，则0f＞，()10f＜．∴0ac＜时，总有()10f f.＜，故原方程必1之间．A级1．3 2．2 3．-2 m＞2 0＜m≤183提示：12x-＞，22x-＞与124x x+-＞，124x x⋅＞不等价．4．100134016-提示：由条件得2n na b n+=+，22n na b n⋅=-，则()()()2221n na b n n--=-+，则()()211112221na b n n⎛⎫=--⎪--+⎝⎭．5．C 6．C 7．A 8．A 9．提示：（1）()2=2120m∆-+＞（2）2124mx x=-≤0，m=4或m=0．10．（1）43k-＞且0k≠（2）存在k=4 11．由题意得2m n=，224840n m n--+＜．当n=1时，m=2；当n=2时，m=4．12．设方程两根为1x，2x，则1212,.x x mnx x m n+=⎧⎨=+⎩∵m，n，1x，2x均为正整数，设121x x≥≥，1m n≥≥，则()1212x x x x mn m n+-=-+，即有()()()()1211112x x m n--+--=，则()()()()12112,1,0,110,1,2.x xm n⎧--=⎪⎨--=⎪⎩∴123,2,5,2,2,1,5,2,3,1,2,2.xxmn=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩故5,2,3,1;2; 2.m m mn n n===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩B级1．0 提示：由条件得21130x x+-=，22230x x+-=，∴2113x x=-，2223x x=-，∴()3211111111333343x x x x x x x x=-=-+=-+=-，∴原式=()()121212434319431241944x x x x x x---+=--++=++．又∵121x x+=-,∴原式=0．2．853．5 4．638-提示：()2=240a∆-+＞，原式=2963632488a⎛⎫----⎪⎝⎭≤．5．D 6．C 7．B 8．B 9．()231αβαβ+-=，由根与系数关系得()241a b ab+-=，即()21a b-=，a -b =1．又由0∆≥得()2316a b ab +≥，从而()24a b +≤．由a -b =1，()24a b +≤，得满足条件的整数点对（a ，b ）是（1,0）或（0，-1）． 104447αβ+=，662248p αβαβ-==-，()2244227q αβαβαβ-==-．11．a +b =3,c +d =4,ab =1,cd =2,a +b +c +d =7,222219a b c d +++=．(1)原式=()()()()7a a b c d a b c d d a b c d d a b c aa b c d a b c b c d+++-+++++-+++=-++++++…+77777.b c d b c d M c d a d a b a b c +-+-+-=-++++++ （2）原式=()()()()2222a a b c d a b c d d a b c d d a b c b c da b c+++-+++++-+++=++++…+()()22227774968M a b c d M --+++=-．12．（1）m =． （2）原式=()()()22212121221212352312122m x x x x x x m m m x x x x ⎡⎤+-+⎛⎫⎣⎦=-+=-- ⎪-++⎝⎭．∵11m -≤≤,∴当m =-1时，22121211mx mx x x +--的最大值为10． 13．设20x ax b ++=的两根分别为,αβ（其中,αβ为整数且αβ≤），则方程20x cx a ++=的两根分别为1,1αβ++，又∵,(1)(1)a a αβαβ+=-++=，两式相加，得2210αβαβ+++=，即(2)(2)3αβ++=，从而2123αβ+=⎧⎨+=⎩，或2321αβ+=-⎧⎨+=-⎩，解得12αβ=-⎧⎨=⎩，或53αβ=-⎧⎨=-⎩，∴012a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，或8156a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴3a b c ++=-或29．。

专题01 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系【母题来源一】【2019•河南】一元二次方程（x+1）（x-1）=2x+3的根的情况是A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【答案】A【解析】原方程可化为：x2-2x-4=0，∴a=1，b=-2，c=-4，∴Δ=（-2）2-4×1×（-4）=20>0，∴方程有两个不相等的实数根．故选A．【名师点睛】本题运用了根的判别式的知识点，把方程转化为一般式是解决问题的关键．【母题来源二】【2019•河北】小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）时，只抄对了a=1，b=4，解出其中一个根是x=-1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2．则原方程的根的情况是A．不存在实数根B．有两个不相等的实数根C．有一个根是x=-1 D．有两个相等的实数根【答案】A【解析】∵小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）时，只抄对了a=1，b=4，解出其中一个根是x=-1，∴（-1）2-4+c=0，解得：c=3，故原方程中c=5，则b2-4ac=16-4×1×5=-4<0，则原方程的根的情况是不存在实数根．故选A．【名师点睛】此题主要考查了根的判别式，正确得出c的值是解题关键．【母题来源三】【2019•荆州】若一次函数y=kx+b的图象不经过第二象限，则关于x的方程x2+kx+b=0的根的情况是A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定【答案】A【解析】∵一次函数y=kx+b的图象不经过第二象限，∴k>0，b≤0，∴Δ=k2-4b>0，∴方程有两个不相等的实数根．故选A．【名师点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．也考查了一次函数的性质．【母题来源四】【2019•包头】已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根，则m的值是A．34 B．30C．30或34 D．30或36【答案】A【解析】当a=4时，b<8，∵a、b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根，∴4+b=12，∴b=8不符合；当b=4时，a<8，∵a、b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根，∴4+a=12，∴a=8不符合；当a=b时，∵a、b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根，∴12=2a=2b，∴a=b=6，∴m+2=36，∴m=34，故选A．【名师点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系；根据等腰三角形的性质进行分类讨论，结合韦达定理和三角形三边关系进行解题是关键．【母题来源五】【2019•上海】如果关于x的方程x2-x+m=0没有实数根，那么实数m的取值范围是________．【答案】m1 4 >【解析】由题意知Δ=1-4m<0，∴m14 >．故答案为：m14 >．【名师点睛】总结：一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系：（1）Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ<0⇔方程没有实数根．【母题来源六】【2019•衡阳】关于x的一元二次方程x2-3x+k=0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m-1）x2+x+m-3=0与方程x2-3x+k=0有一个相同的根，求此时m的值．【解析】（1）根据题意得Δ=（-3）2-4k≥0，解得k94≤．（2）k的最大整数为2，方程x2-3x+k=0变形为x2-3x+2=0，解得x1=1，x2=2，∵一元二次方程（m-1）x2+x+m-3=0与方程x2-3x+k=0有一个相同的根，∴当x=1时，m-1+1+m-3=0，解得m32 =；当x=2时，4（m-1）+2+m-3=0，解得m=1，而m-1≠0，∴m的值为32．【母题来源七】【2019•黄石】已知关于x的一元二次方程x2-6x+（4m+1）=0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）若该方程的两个实数根为x1、x2，且|x1-x2|=4，求m的值．【解析】（1）∵关于x的一元二次方程x2-6x+（4m+1）=0有实数根，∴Δ=（-6）2-4×1×（4m+1）≥0，解得：m≤2．（2）∵方程x2-6x+（4m+1）=0的两个实数根为x1、x2，∴x1+x2=6，x1x2=4m+1，∴（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=42，即32-16m=16，解得：m=1．【母题来源八】【2019•黄冈】若x1，x2是一元二次方程x2-4x-5=0的两根，则x1·x2的值为A．-5 B．5C．-4 D．4【答案】A【解析】∵x1，x2是一元二次方程x2-4x-5=0的两根，∴x1·x2ca==-5．故选A．【名师点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于ca是解题的关键．【母题来源九】【2019•广东】已知x1，x2是一元二次方程x2-2x=0的两个实数根，下列结论错误的是A．x1≠x2B．x12-2x1=0C．x1+x2=2 D．x1·x2=2【答案】D【解析】∵Δ=（-2）2-4×1×0=4>0，∴x1≠x2，选项A不符合题意；∵x1是一元二次方程x2-2x=0的实数根，∴x12-2x1=0，选项B不符合题意；∵x1，x2是一元二次方程x2-2x=0的两个实数根，∴x1+x2=2，x1·x2=0，选项C不符合题意，选项D符合题意．故选D．【名师点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．【母题来源十】【2019•淄博】若x 1+x 2=3，x 12+x 22=5，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是 A ．x 2-3x +2=0 B ．x 2+3x -2=0 C ．x 2+3x +2=0 D ．x 2-3x -2=0【答案】A【解析】∵x 12+x 22=5， ∴（x 1+x 2）2-2x 1x 2=5， 而x 1+x 2=3， ∴9-2x 1x 2=5， ∴x 1x 2=2，∴以x 1，x 2为根的一元二次方程为x 2-3x +2=0． 故选A ．【名师点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2b a =-，x 1x 2c a=． 【母题来源十一】【2019•江西】设x 1，x 2是一元二次方程x 2-x -1=0的两根，则x 1+x 2+x 1x 2=__________． 【答案】0【解析】∵x 1、x 2是方程x 2-x -1=0的两根， ∴x 1+x 2=1，x 1×x 2=-1， ∴x 1+x 2+x 1x 2=1-1=0． 故答案为：0．【名师点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2b a =-，x 1·x 2ca=．【母题来源十二】【2019•娄底】已知方程x 2+bx +3=0__________．【解析】设方程的另一个根为c ，c =3，∴c =-【名师点睛】本题考查的是根与系数的关系，熟记一元二次方程根与系数的关系是解答此题的关键． 【母题来源十三】【2019•十堰】已知于x 的元二次方程x 2-6x +2a +5=0有两个不相等的实数根x 1，x 2． （1）求a 的取值范围；（2）若x 12+x 22-x 1x 2≤30，且a 为整数，求a 的值．【解析】（1）∵关于x 的一元二次方程x 2-6x +2a +5=0有两个不相等的实数根x 1，x 2， ∴Δ>0，即（-6）2-4（2a +5）>0，解得a <2． （2）由根与系数的关系知：x 1+x 2=6，x 1x 2=2a +5， ∵x 1，x 2满足x 12+x 22-x 1x 2≤30， ∴（x 1+x 2）2-3x 1x 2≤30， ∴36-3（2a +5）≤30， ∴a 32≥-，∵a 为整数， ∴a 的值为-1，0，1．【名师点睛】本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，利用根的判别式求得k 的取值范围是解题的关键，注意方程根的定义的运用．【母题来源十四】【2019•鄂州】已知关于x 的方程x 2-2x +2k -1=0有实数根． （1）求k 的取值范围；（2）设方程的两根分别是x 1、x 2，且2112x x x x +=x 1·x 2，试求k 的值． 【解析】（1）∵原方程有实数根， ∴b 2-4ac ≥0∴（-2）2-4（2k -1）≥0， ∴k ≤1．（2）∵x 1，x 2是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得： x 1+x 2=2，x 1·x 2=2k -1， 又∵2112x x x x +=x 1·x 2， ∴22121212x x x x x x +=⋅⋅， ∴（x 1+x 2）2-2x 1x 2=（x 1·x 2）2， ∴22-2（2k -1）=（2k -1）2，解之，得：1222k k ==-．经检验，都符合原分式方程的根，∵k ≤1，∴k =． 【名师点睛】本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识，解答本题的关键是根据根的判别式的意义求出k 的取值范围，此题难度不大．【命题意图】这类试题主要考查一元二次方程根的判别式，常与一次函数、等腰三角形等知识结合考查．一元二次方程根与系数的关系． 【方法总结】1．一元二次方程根的情况与判别式的关系（1）当240b ac ->时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根； （2）当240b ac -=时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有1个（两个相等的）实数根； （3）当240b ac -<时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠没有实数根．2．（1）应用根的判别式时必须先将一元二次方程化成一般形式，然后确定a ，b ，c 的值；（2）此判别式只适用于一元二次方程，当无法判断方程是不是一元二次方程时，应对方程进行分类讨论；（3）当240b ac -=时，方程有两个相等的实数根，不能说成方程有一个实数根． 3．一元二次方程根的判别式的应用主要有以下三种情况： （1）不解方程，判定根的情况；（2）根据方程根的情况，确定方程系数中字母的取值范围； （3）应用判别式证明方程根的情况． 4．根与系数关系对于一元二次方程20ax bx c ++=（其中a b c ，，为常数，0a ≠），设其两根分别为1x ，2x ，则12b x x a +=-，12cx x a=．5．一元二次方程根与系数的关系的应用（1）不解方程，求关于方程两根的代数式的值； （2）已知方程一根，求方程的另一根及方程中字母的值； （3）已知方程两根的关系，求方程中字母的值； （4）与根的判别式相结合，解决一些综合题. 6．与一元二次方程两根有关的几个代数式的变形（1）()()22222121122*********x x x x x x x x x x x x +=++-=+-；（2）12121211x x x x x x ++=； （3）12x x -==（4）()222121221211212122x x x x x x x x x x x x x x +-++==； （5）()()221212124x x x x x x -=+-；（6）()()()2121212x k x k x x k x x k ++=+++．1．【天津市滨海新区2019届中考一模数学试题】下列方程中，有两个不相等的实数根的方程是 A ．28170x x +=- B ．26100x x -=-C ．290x +=-D ．2440x x +=-【答案】B【解析】A ．Δ=（-8）2-4×1×17=-4<0，故方程没有实数根，该选项不符合题意， B ．Δ=（-6）2-4×1×（-10）=76>0，故方程有两个不相等的实数根，该选项符合题意， C ．Δ=（-2-4×1×9=-4<0，故方程没有实数根，该选项不符合题意， D ．Δ=（-4）2-4×1×4=0，故方程有两个相等的实数根，该选项不符合题意， 故选B ．【名师点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系：Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；Δ=0时，方程有两个相等的实数根；Δ<0时，方程没有实数根．2．【2019年河南省第二届名校联盟中考数学模拟试卷（5月份）】若关于x 的一元二次方程mx 2-2x +1=0有两个实数根，则实数m的取值范围是A．m≤1B．m≤-1C．m≤1且m≠0D．m≥1且m≠0【答案】C【解析】根据题意得m≠0且Δ=（-2）2-4m≥0，解得m≤1且m≠0．故选C．【名师点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ<0时，方程无实数根．3．【山东省诸城市部分学校2019届中考模拟（6月）数学试题】已知a、b、c为正数，若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，则关于x的方程a2x2+b2x+c2=0解的情况为A．有两个不相等的正根B．有一个正根，一个负根C．有两个不相等的负根D．不一定有实数根【答案】C【解析】∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，∴Δ=b2-4ac≥0．又∵a、b、c为正数，∴b2-4ac+2ac=b2-2ac>0，b2+2ac>0．∵方程a2x2+b2x+c2=0的根的判别式Δ=b4-4a2c2=（b2+2ac）（b2-2ac）>0，∴该方程有两个不相等的实数根．设关于x的方程a2x2+b2x+c2=0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2=22ba<0，x1x2=22ca>0，∴关于x的方程a2x2+b2x+c2=0有两个不相等的负根．故选C．【名师点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，利用根的判别式及根与系数的关系，找出关于x的方程a2x2+b2x+c2=0有两个不相等的负根是解题的关键．4．【2019年四川省内江市中考数学模拟试卷（三）】关于x的方程ax2-（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1-x1x2+x2=1-a，则a的值是A．1 B．-1C．1或-1 D．2【答案】B【解析】依题意Δ>0，即（3a+1）2-8a（a+1）>0，即a2-2a+1>0，（a-1）2>0，a≠1，∵关于x的方程ax2-（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1-x1x2+x2=1-a，∴x1-x1x2+x2=1-a，∴x1+x2-x1x2=1-a，∴3122a aa a++-=1-a，解得：a=±1，又a≠1，∴a=-1．故选B．【名师点睛】此题考查了根的判别式，根与系数的关系，以及一元二次方程的定义，一元二次方程中根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0时，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0时，方程没有实数根．5．【2019年山东省潍坊市中考数学一模试卷】已知关于x的方程x2+（k2-4）x+k-1=0的两实数根互为相反数，则k=__________．【答案】-2【解析】设方程的两根分别为x1，x2，∵x2+（k2-4）x+k-1=0的两实数根互为相反数，∴x1+x2，=-（k2-4）=0，解得k=±2，当k=2，方程变为：x2+1=0，Δ=-4<0，方程没有实数根，所以k=2舍去；当k=-2，方程变为：x2-3=0，Δ=12>0，方程有两个不相等的实数根；∴k=-2．故答案为：-2．【名师点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根与系数的关系：若方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2=-ba；x1·x2=ca．也考查了一元二次方程的根的判别式Δ=b2-4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．6．【2019年江西省南昌市十校联考中考数学模拟试卷（5月份）】已知α、β是一元二次方程x2-2019x+1=0的两实根，则代数式（α-2019）（β-2019）=__________．【答案】1【解析】∵α、β是一元二次方程x2-2019x+1=0的两实根，∴α+β=2019，αβ=1，∴（α-2019）（β-2019）=αβ-2019（α+β）+22019=1．故答案为：1．【名师点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练运用一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键．7．【河南省2019年中考数学模试题（一）】已知关于x的一元二次方程ax2-（a+2）x+2=0有两个不相等的正整数根时，整数a的值是__________．【答案】1【解析】∵方程ax2-（a+2）x+2=0是关于x的一元二次方程，∴a≠0．∵Δ=（a+2）2-4a×2=（a-2）2≥0，∴当a=2时，方程有两个相等的实数根，当a≠2且a≠0时，方程有两个不相等的实数根．∵方程有两个不相等的正整数根，∴a≠2且a≠0．设方程的两个根分别为x1、x2，∴x1·x2=2a，∵x1、x2均为正整数，∴2a为正整数，∵a为整数，a≠2且a≠0，∴a=1，故答案为：1．【名师点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：①找出Δ=（a-2）2≥0；②找出x1·x2=2a为正整数．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，由方程的两根均为整数确定a的值是难点．8．【2019年江苏省盐城市建湖县中考数学二模试卷】已知关于x方程x2-6x+m+4=0有两个实数根x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若x1=2x2，求m的值．【解析】（1）∵关于x方程x2-6x+m+4=0有两个实数根，∴Δ=（-6）2-4×1×（m+4）≥0，解得：m≤5．（2）∵关于x方程x2-6x+m+4=0有两个实数根x1，x2，∴x1+x2=6，x1x2=m+4．又∵x1=2x2，∴x2=2，x1=4，∴4×2=m+4，∴m=4．【名师点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有实数根”；（2）根据根与系数的关系结合x1=2x2，求出x1，x2的值．9．【2019年江苏省泰州市兴化市中考数学二模试卷】已知关于x的一元二次方程x2-（m+2）x+2m=0．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；（2）若直角△ABC的两直角边AB、AC的长是该方程的两个实数根，斜边BC的长为3，求m的值．【解析】（1）∵Δ=[-（m+2）]2-4×2m=（m-2）2≥0，∴不论m为何值，该方程总有两个实数根．（2）∵AB、AC的长是该方程的两个实数根，∴AB+AC=m+2，AB·AC=2m，∵ΔABC是直角三角形，∴AB2+AC2=BC2，∴（AB+AC）2-2AB·AC=BC2，即（m+2）2-2×2m=32，解得：m∴m的值是又∵AB•AC=2m，m为正数，∴m【名师点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．10．【湖北省黄石市河口中学2019届九年级中考模拟考试三数学试题】已知x1、x2是一元二次方程（a-6）x 2+2ax +a =0的两个实数根．（1）求实数a 的取值范围；（2）若x 1、x 2满足x 1x 2-x 1=4+x 2，求实数a 的值．【解析】（1）∵一元二次方程（a -6）x 2+2ax +a =0有两个实数根，∴（2a ）2-4（a -6）×a ≥0，a -6≠0， 解得，a ≥0且a ≠6．（2）∵x 1、x 2是一元二次方程（a -6）x 2+2ax +a =0的两个实数根，∴x 1+x 2=26a a -，x 1·x 2=x 1·x 2=6a a -， ∵x 1x 2-x 1=4+x 2， ∴x 1x 2=4+x 2+x 1，即6a a -=4+26a a -， 解得，a =24．【名师点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=b a ，x 1x 2=c a，反过来也成立． 11．【北京市石景山区2019届九年级统一练习暨毕业考试数学试题】关于x 的一元二次方程2(3)x m x-+20m ++=．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是正整数，求m 的最小值．【解析】（1）依题意，得()()224[3]42b ac m m ∆=-=-+-+ 26948m m m =++--()21m =+．∵2(1)0m +≥，∴0∆≥．∴方程总有两个实数根．（2）由2320x m x m -+++=（）．可化为：[](1)(2)0x x m --+=， 得1212x x m ==+，，∵方程的两个实数根都是正整数，m+≥．∴21m≥-．∴1-．∴m的最小值为1【名师点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根的个数关系和利用十字相乘法解含参数的方程，熟知根的判别式大于零方程有两个不相等的实数根，判别式等于零有两个相等的实数根或只有一个实数根，判别式小于零无根和十字相乘法的法则是解题关键．。

中考数学专题复习-一元二次方程的根与系数的关系（含解析）一、单选题1.设方程x2﹣5x+k=0的一个根比另一个根的2倍少1，则k的值为（）A. B. 6 C. -6 D. 152.已知a、b是一元次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，则a2b+ab2的值是（）A. -1B. -5C. -6D. 63.已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个根，则x1•x2等于（）A. ﹣4B. ﹣1C. 1D. 44.设方程的两个根为、，那么的值等于( )。

A. B. C. D.5.已知一元二次方程x2﹣3x﹣3=0的两根为α与β，则的值为（）A. -1B. 1C. -2D. 26.设x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3=0的两根，则x13﹣4x22+15等于（）A. -4B. 8C. 6D. 07.若、是一元二次方程x2+5x+4=0的两个根，则的值是（）.A. -5B. 4C. 5D. -48.已知x=1是方程x2+bx－2=0的一个根，则方程的另一个根是( ).A. 1B. 2C. －2D. －19.一元二次方程的两实数根相等，则的值为（）A. B. 或 C. D. 或10.若方程x2+x﹣2=0的两个实数根分别是x1、x2，则下列等式成立的是（）A. x1+x2=1，x1•x2=﹣2B. x1+x2=﹣1，x1•x2=2C. x1+x2=1，x1•x2=2D. x1+x2=﹣1，x1•x2=﹣211.下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是（）A. x2+2x﹣4=0B. x2﹣4x+4=0C. x2+4x+10=0D. x2+4x﹣5=012.已知x1，x2是一元二次方程x2+4x﹣3=0的两个实数根，则x1+x2﹣x1x2的值是（）A. 6B. 0C. 7D. -113.若方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么下列式子正确的是（）A. α+β=1B. αβ=1C. α2+β2=2D. =1二、填空题14.写出以2，﹣3为根的一元二次方程是________．15.一元二次方程的两根和是________；16.已知α，β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α2+2αβ+β2的值为________．17.已知关于x的方程x2+2kx+k2+k+3=0的两根分别是x1、x2，则（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是________18.若关于x的一元二次方程为ax2+bx+c=0的两根之和为3，则关于x的方程a（x+1）2+b（x+1）+c=0的两根之和为________．三、计算题19.已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值.20.设方程4x2﹣7x﹣3=0的两根为x1，x2，不解方程求下列各式的值：（1）x12x2+x1x22．（2）+ ．21.已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（1）；（2）22.已知一元二次方程x2﹣6x+4=0的两根分别是a，b，求（1）a2+b2（2）a2﹣b2的值．23.已知a、b是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根且a2﹣2a﹣1=0，求a2﹣a+b+3ab的值．四、解答题24.关于x的方程（k﹣1）x2﹣x+1=0有实根．（1）求k 的取值范围；（2）设x1、x2是方程的两个实数根，且满足（x1+1）（x2+1）=k﹣1，求实数k的值．25.若关于x的一元二次方程x2+kx+3x+k=0的一个根是﹣2，求方程另一个根和k的值．26.若关于x的方程x2+6x+m=0的一个根为3﹣，求方程的另一个根及m的值．五、综合题27.已知关于x的方程x2﹣5x+3a+3=0（1）若a=1，请你解这个方程；（2）若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围．28.已知抛物线的不等式为y=﹣x2+6x+c．（1）若抛物线与x轴有交点，求c的取值范围；（2）设抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2．若x12+x22=26，求c的值．（3）若P，Q是抛物线上位于第一象限的不同两点，PA，QB都垂直于x轴，垂足分别为A，B，且△OPA与△OQB全等．求证：c＞﹣．答案解析部分一、单选题1.设方程x2﹣5x+k=0的一个根比另一个根的2倍少1，则k的值为（）A. B. 6 C. -6 D. 15【答案】B【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：设方程x2﹣5x+k=0另一个根为a，则一个根为2a﹣1，则a+2a﹣1=5，解得a=2，2×2﹣1=3因此k=2×3=6．故选：B．【分析】设方程的另一个根为a，则一个根为2a﹣1，根据根与系数的关系得出a+2a﹣1=5，得出a=3，另一个跟为5，进一步利用两根的积得出k的数值即可．2.已知a、b是一元次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，则a2b+ab2的值是（）A. -1B. -5C. -6D. 6【答案】C【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：∵a、b是一元次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，∴ab=﹣3，a+b=2，∴a2b+ab2=ab（a+b）=﹣3×2=﹣6，故选C．【分析】根据根与系数的关系，可得出ab和a+b的值，再代入即可．3.已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个根，则x1•x2等于（）A. ﹣4B. ﹣1C. 1D. 4【答案】C【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：根据题意得x1•x2=1．故选C．【分析】直接根据根与系数的关系求解．4.设方程的两个根为、，那么的值等于( )。

【母题来源】2015南充10【母题原题】关于x 的一元二次方程0222=++n mx x 有两个整数根且乘积为正，关于y 的一元二次方程0222=++m ny y 同样也有两个整数根且乘积为正．给出四个结论：①这两个方程的根都是负根；②2)1()1(22≥-+-n m ；③1221≤-≤-n m ．其中正确结论的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C ．【考点定位】根与系数的关系；根的判别式；综合题．【试题解析】①两个整数根且乘积为正，两个根同号，由韦达定理有，1220x x n =>，1220y y m =>，1220y y n +=-<，1220x x m +=-<，这两个方程的根都为负根，①正确；②由根判别式有：△=24b ac -=2480m n -≥，△=24b ac -=2480n m -≥，248m n -=220m n -≥，248n m -=220n m -≥，2221212m m n n -++-+≥，2)1()1(22≥-+-n m ，②正确；③∵122y y n +=-，122y y m =，∴121222m n y y y y -=++，∵1y 与2y 都是负整数，不妨令13y =-，25y =-，则：2m ﹣2n =﹣8+15=7，不在﹣1与1之间，③错误，其中正确的结论的个数是2，故选C ．【命题意图】本题主要考查根与系数的关系和根的判别式．【方法、技巧、规律】由已知先得出12x x +，12x x 的值或表达式，再根据题目要求变形即可．【探源、变式、扩展】对于系数全是已知数字的，直接运用即可；若含有字母系数，需要考虑根的判别式△≥0．【变式】（2015内江）已知关于x 的方程260x x k -+=的两根分别是1x ，2x ，且满足12113x x +=，则k 的值是 ．【答案】2．【考点】根与系数的关系．【解析】∵关于x 的方程260x x k -+=的两根分别是1x ，2x ，∴126x x +=，12x x k =，1212121163x x x x x x k++===，解得：k =2，故答案为：2．1．（2015安岳县中考适应）若α、β是方程2450x x --=的两个实数根，则22αβ+的值为（ ）A ．30B ．26C ．10D ．62．（2015成都）如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的是________．（写出所有正确说法的序号）．①方程220x x --=是倍根方程;]②若(2)()0x mx n -+=是倍根方程，则22450m mn n ++=；③若点()p q ，在反比例函数2y x=的图像上，则关于x 的方程230px x q ++=是倍根方程； ④若方程20ax bx c ++=是倍根方程，且相异两点(1)M t s +，，N(4)t s -，都在抛物线2y ax bx c=++上，则方程20ax bx c ++=的一个根为54． 3．（2015凉山州）已知实数m ，n 满足23650m m +-=，23650n n +-=，且m n ≠，则n m m n += ． 4．（2015泸州）设1x 、2x 是一元二次方程2510x x --=的两实数根，则2212x x +的值为 ．5．（2015雅安中学中考模拟）已知m ，n 是方程2250x x +-= 的两个实数根，则23m mn m n -++= ．6．（2015中江县九下第一学月联考）设a 、b 是方程020142=-+x x 的两个不等的根，则a 2+2a+b 的值为 ．7．（2015乐山五通桥九年级调考）已知二次方程()02321222=+-+++m m x m x 的两个实数根为α和β．（1）求m 的取值范围；（2）若2=+βα，求m 的值．。

专题1.4 根与系数的关系【十大题型】【苏科版】【题型1 由根与系数的关系直接求代数式的值】 (1)【题型2 由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值】 (1)【题型3 由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值】 (2)【题型4 由方程两根满足关系求字母的值】 (2)【题型5 不解方程由根与系数的关系判断根的正负】 (3)【题型6 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】 (3)【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】 (4)【题型8 已知方程根的情况判断另一个方程】 (4)【题型9 根与系数关系中的新定义问题】 (5)【题型10 根与系数的关系和根的判别式的综合应用】 (5)【知识点一元二次方程的根与系数的关系】若一元二次方程（a、b、c为常数，）的两根为，，则，．注意它的使用条件为，，.【题型1 由根与系数的关系直接求代数式的值】【例1】（2023春·广东广州·九年级统考期末）若，是一元二次方程的两个根，则的值是（）A．B．C．1 D．7【变式1-1】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知m，n是一元二次方程的两根，则的值是（）A．B．C．D．【变式1-2】（2023·上海·九年级假期作业）已知a，b是方程的两个根，则的值．【变式1-3】（2023春·九年级单元测试）已知、是方程的两根，且，则的值为．【题型2 由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值】【例2】（2023春·浙江·九年级专题练习）设α、β是方程的两个实数根，则的值为（）A．－2014 B．2014 C．2013 D．－2013【变式2-1】（2023春·湖北恩施·九年级统考期中）已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为()A．B．C．D．【变式2-2】（2023·江西萍乡·校考模拟预测）若、是一元二次方程的两个根，则的值是．【变式2-3】（2023春·安徽池州·九年级统考期末）已知和是方程的两个根，则的值为（）A．B．2021 C．D．2023【题型3 由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值】【例3】（2023春·广东广州·九年级广州市第二中学校考阶段练习）若p、q是方程的两个不相等的实数根，则代数式的值为．【变式3-1】（2023春·山东日照·九年级统考期末）已知，是方程的两个根，则代数的值为．【变式3-2】（2023春·浙江温州·九年级校考阶段练习）已知、是方程的两根，则的值是（）A．7 B．8 C．9 D．10（2023春·九年级课时练习）已知，是方程的两根，则代数式【变式3-3】的值是（）A．B．C．D．【题型4 由方程两根满足关系求字母的值】【例4】（2023·四川乐山·统考中考真题）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（）A．4 B．8 C．12 D．16【变式4-1】（2023·上海·九年级校考期中）已知关于x的方程的两根为满足：，求实数k的值【变式4-2】（2023春·广东佛山·九年级校考阶段练习）方程的两个实数根互为相反数，则的值是．【变式4-3】（2023春·安徽马鞍山·九年级安徽省马鞍山市第七中学校考期末）若、是关于的方程的两个不相等的实数根，且，则的值为．【题型5 不解方程由根与系数的关系判断根的正负】【例5】（2023春·江苏南京·九年级专题练习）关于的方程（为常数）根的情况，下列结论中正确的是（）A．有两个相异正根B．有两个相异负根C．有一个正根和一个负根D．无实数根【变式5-1】（2023春·安徽合肥·九年级统考期末）方程根的符号是（）A．两根一正一负 B．两根都是负数C．两根都是正数D．无法确定【变式5-2】（2023春·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考阶段练习）已知a、b、c是的三条边的长，那么方程的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的负实根D．只有一个实数根【变式5-3】（2023·九年级统考课时练习）已知，，，则方程的根的情况是（）.A．有两个负根B．两根异号且正根绝对值较大C．有两个正根D．两根异号且负根绝对值较大【题型6 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】【例6】（2023·四川成都·三模）若方程x2+（m﹣4）x+﹣m＝0有两个不相等的实数根x1和x2，且x1+x2＞﹣3，x1x2＜，则m的取值范围为多少？【变式6-1】（2023·山东日照·日照港中学统考二模）已知关于x的一元二次方程的实数根，满足，则m的取值范围是．【变式6-2】（2023春·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考阶段练习）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，，则k的取值范围是（）A．B．C．D．且【变式6-3】（2023春·九年级单元测试）设关于的方程有两个不相等的实数根，，且，那么实数的取值范围是．【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】【例7】（2023·陕西西安·校考二模）已知mn≠1，且5m2+2010m+9=0，9n2+2010n+5=0，则的值为（）A．﹣402 B．C．D．【变式7-1】（2023春·广东梅州·九年级校考阶段练习）已知，则的最小值是（）．A．6 B．3 C．-3 D．0【变式7-2】（2023·山东德州·统考一模）已知互不相等的三个实数a、b、c满足，，求的值．【变式7-3】（2023春·江苏·九年级专题练习）设，，，为互不相等的实数，且，，则的值为（）A．-1 B．1 C．0 D．0.5【题型8 已知方程根的情况判断另一个方程】【例8】（2023春·浙江·九年级期中）若关于x的一元二次方程的一个根为m，则方程（）（）的两根分别是（）．A．，B．，C．，D．，【变式8-1】（2023春·江西萍乡·九年级统考期中）有两个一元二次方程：：；：，其中，以下四个结论中，错误的是（）A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是【变式8-2】（2023春·安徽合肥·九年级校考期末）关于x的一元二次方程有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是（）A．p是正数，q是负数B．＜C．q是正数，p是负数D．【变式8-3】（2023春·九年级单元测试）一元二次方程；，其中，，给出以下四个结论：①若方程M有两个不相等的实数根，则方程N也有两个不相等的实数根；②若方程M的两根符号相同，则方程N的两根符号也相同；③若m是方程M的一个根，则是方程N的一个根；④若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根必是，其中正确的结论是（）A．①③B．①②③C．①②④D．①③④【题型9 根与系数关系中的新定义问题】【例9】（2023春·山东日照·九年级日照市田家炳实验中学校考阶段练习）定义：如果实数a、b、c满足a²+b²=c²，那么我们称一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)为“勾股”方程；二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)为“勾股”函数．(1)理解：下列方程是“勾股”方程的有．①x²-1=0；②-；③；④4x²+3x=5(2)探究：若m、n是“勾股”方程ax²+bx+c=0 的两个实数根，试探究m、n之间的数量关系．【变式9-1】（2023春·河南安阳·九年级校联考期中）定义运算：．若a，b是方程的两根，则的值为（）A．0 B．1 C．2 D．与m有关【变式9-2】（2023春·广东揭阳·九年级校联考阶段练习）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，求的值．【变式9-3】（2023春·辽宁鞍山·九年级校考阶段练习）已知：、是一元二次方程的两个实数根，设，，．根据根的定义，有、，将两式相加，得，于是根据以上信息，解答下列问题．(1)求、的值，并利用一元二次方程根与系数关系，求出的值．(2)猜想：当时，、、之间满足的数量关系，并证明你的猜想．【题型10 根与系数的关系和根的判别式的综合应用】【例10】（2023春·广东广州·九年级广州白云广雅实验学校校考阶段练习）已知关于x的方程有两实数根，，(1)若，求k的值．(2)是否存在实数k满足，若存在请求出k的值，若不存在请说明理由．【变式10-1】（2023春·黑龙江大庆·九年级统考阶段练习）已知关于x的方程有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围．(2)若两个实数根分别是，，且，求m的值．【变式10-2】（2023·安徽·模拟预测）关于x的一元二次方程有两个实数根，，若，则．【变式10-3】（2023·浙江·九年级假期作业）已知，关于x的方程有两个实数根．(1)求k的取值范围．(2)若方程的两实根为，且满足，求k的值．(3)当k为何值时，式子有最小值，并求出该最小值．专题1.4 根与系数的关系【十大题型】【苏科版】【题型1 由根与系数的关系直接求代数式的值】 (1)【题型2 由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值】 (1)【题型3 由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值】 (2)【题型4 由方程两根满足关系求字母的值】 (2)【题型5 不解方程由根与系数的关系判断根的正负】 (3)【题型6 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】 (3)【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】 (4)【题型8 已知方程根的情况判断另一个方程】 (4)【题型9 根与系数关系中的新定义问题】 (5)【题型10 根与系数的关系和根的判别式的综合应用】 (5)【知识点一元二次方程的根与系数的关系】若一元二次方程（a、b、c为常数，）的两根为，，则，．注意它的使用条件为，，.【题型1 由根与系数的关系直接求代数式的值】【例1】（2023春·广东广州·九年级统考期末）若，是一元二次方程的两个根，则的值是（）A．B．C．1 D．7【答案】D【分析】利用两根之和为，两根之积为，计算即可．【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根，∴，，∴，故选：D．【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系的公式．【变式1-1】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知m，n是一元二次方程的两根，则的值是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后将分式化简，代入即可求解．【详解】解：∵，是一元二次方程的两根，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，熟练掌握以上知识是解题的关键．【变式1-2】（2023·上海·九年级假期作业）已知a，b是方程的两个根，则的值．【答案】【分析】由根与系数关系知，，即知a＜0，b＜0，化简原式，所以原式故答案为：﹣14．【详解】解：∵a，b是方程的两个根，∴，，∴a＜0，b＜0，∴∴原式故答案为：﹣14．【点睛】本题主要考查根与系数关系、完全平方公式变形及二次根式的运算及化简；能够根据a,b的关系式确定其取值范围，进而准确处理二次根式的运算及化简是解题的关键．【变式1-3】（2023春·九年级单元测试）已知、是方程的两根，且，则的值为．【答案】【分析】由题意可得，，然后代入所求式子计算即可.【详解】解：∵、是方程的两根，∴，，∵，∴，∴；故答案为：.【点睛】本题考查了一元二次方程的求解、根与系数的关系以及二次根式的混合运算，熟练掌握一元二次方程的相关知识、正确计算是解题的关键.【题型2 由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值】【例2】（2023春·浙江·九年级专题练习）设α、β是方程的两个实数根，则的值为（）A．－2014 B．2014 C．2013 D．－2013【答案】D【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到x2+x+2012=0，即α2+α=-2012，则α2+2α+可化为α2+α+α+β=-2012+α+β，然后利用根与系数的关系得到α+β=-1，再利用整体代入的方法计算即可．【详解】∵α是方程x2+x+2012=0的根，∴α2+α+2012=0，即α2+α=-2012，∴α2+2α+β=α2+α+α+β=-2012+α+β，∵α，β是方程x2+x+2012=0的两个实数根，∴α+β=-1，∴α2+2α+β=-2012-1=-2013．故选D．【点睛】考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．【变式2-1】（2023春·湖北恩施·九年级统考期中）已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为()A．B．C．D．【答案】C【分析】根据一元二次方程的根的定义可得，根据一元二次方程根与系数的关系可得，代入代数式即可求解．【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系，得出，是解题的关键．【变式2-2】（2023·江西萍乡·校考模拟预测）若、是一元二次方程的两个根，则的值是．【答案】6【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，由根的定义可得，代入即可得答案．【详解】∵，，∴．故答案为：6【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系及方程根的概念．【变式2-3】（2023春·安徽池州·九年级统考期末）已知和是方程的两个根，则的值为（）A．B．2021 C．D．2023【答案】A【分析】由和是方程的两个根，根据根于系数关系可得，，，由一元二次方程根的定义可得，，即可求解；【详解】和是方程的两个根，，，，，故选A．【点睛】该题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，熟记一元二次方程根与系数关系公式是解答该题的关键．【题型3 由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值】【例3】（2023春·广东广州·九年级广州市第二中学校考阶段练习）若p、q是方程的两个不相等的实数根，则代数式的值为．【答案】【分析】根据一元二次方程的解的定义得到，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体思想计算即可．【详解】∵若p、q是方程的两个不相等的实数根，∴，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的解，利用整体思想降次消元是解题的关键．【变式3-1】（2023春·山东日照·九年级统考期末）已知，是方程的两个根，则代数的值为．【答案】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义，得，，，，再代入降次求值即可．【详解】解：由题意，得，，，，，，原式，，，=．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，整式的化简求值，本题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．【变式3-2】（2023春·浙江温州·九年级校考阶段练习）已知、是方程的两根，则的值是（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得出，，，，再对所求式子变形整理，求出答案即可．【详解】解：∵、是方程的两根，∴，，，，∴，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义和根与系数的关系，若一元二次方程（a、b、c 为常数，）的两根为，，则，．（2023春·九年级课时练习）已知，是方程的两根，则代数式【变式3-3】的值是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】由根与系数的关系可得：a+b=1，再由a与b是方程的两根可得a2=a+1，b2=b+1，把a3与b3采用降次的方法即可求得结果的值．【详解】∵a与b是方程的两根∴a+b=1，a2-a-1=0，b2-b-1=0∴a2=a+1，b2=b+1∵，同理：∴故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概论、一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，灵活进行整式的运算是解题的关键．【题型4 由方程两根满足关系求字母的值】【例4】（2023·四川乐山·统考中考真题）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后即可确定两个根，再由根与系数的关系求解即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程两根为、，∴，∵，∴，∴，故选：C．【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握此关系是解题关键．【变式4-1】（2023·上海·九年级校考期中）已知关于x的方程的两根为满足：，求实数k的值【答案】【分析】利用根的判别式求出k的取值范围，利用根与系数的关系求出，，代入，即可求得k的值.【详解】解：∵关于x的方程的两根为∴解得：，∵∴代入，得：解得：∵∴【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程求解，熟练掌握相关知识点是解题关键.【变式4-2】（2023春·广东佛山·九年级校考阶段练习）方程的两个实数根互为相反数，则的值是．【答案】【分析】设方程的两根分别为，，根据根与系数的关系得到，解得，然后分别计算，最后确定．【详解】解：设方程的两根分别为，，∵方程的两个实数根互为相反数，，∴，解得，当，方程变为：，＜，方程没有实数根，所以舍去；当，方程变为：，＞，方程有两个不相等的实数根；∴．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程（，，，为常数）根与系数的关系：若方程的两根分别为，，则；．也考查了一元二次方程的根的判别式：当＞，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当＜，方程没有实数根．【变式4-3】（2023春·安徽马鞍山·九年级安徽省马鞍山市第七中学校考期末）若、是关于的方程的两个不相等的实数根，且，则的值为．【答案】3【分析】根据根与系数的关系得到，，再根据得到，解方程求出k的值，最后用根的判别式验证是否符合题意即可．【详解】解：∵、是关于的方程的两个不相等的实数根，∴，，∵，∴，即，∴，∴，解得或，又∵方程有两个不相等的实数根，∴，∴，∴，故答案为：3．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键．【题型5 不解方程由根与系数的关系判断根的正负】【例5】（2023春·江苏南京·九年级专题练习）关于的方程（为常数）根的情况，下列结论中正确的是（）A．有两个相异正根B．有两个相异负根C．有一个正根和一个负根D．无实数根【答案】C【分析】先对方程进行化简，然后再根据一元二次方程根的判别式可进行求解．【详解】解：由题意得：方程可化为，∴，∴该方程有两个不相等的实数根，设该方程的两个根为，则根据根与系数的关系可知：，∴该方程的两个根为一正一负，故选C．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．【变式5-1】（2023春·安徽合肥·九年级统考期末）方程根的符号是（）A．两根一正一负 B．两根都是负数C．两根都是正数D．无法确定【答案】C【分析】利用一元二次方程根与系数的关系分析求解．【详解】解：的两根分别为，，则，，∴方程的两根同号，且两根都是正数，故选：C．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，理解一元二次方程的两根，满足，是解题关键．【变式5-2】（2023春·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考阶段练习）已知a、b、c是的三条边的长，那么方程的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的负实根D．只有一个实数根【答案】C【分析】首先根据根的判别式，结合三角形三边关系，得出方程有两个不相等的实数根，再根据根与系数的关系，判断出两根之和和两根之积的符号，即可作出判断．【详解】解：在方程中，可得：，∵a、b、c是的三条边的长，∴，，．，即，∴，∴，∴方程有两个不相等的实数根，又∵两根的和是，两根的积是，∴方程有两个不等的负实根．故选：C【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、三角形的三边关系，解本题的关键在熟练掌握根据一元二次方程根与系数的关系，判断出方程有两个不等的负实根．【变式5-3】（2023·九年级统考课时练习）已知，，，则方程的根的情况是（）.A．有两个负根B．两根异号且正根绝对值较大C．有两个正根D．两根异号且负根绝对值较大【答案】D【分析】先计算=b2+4ac，由a＜0，b＞0，c＜0，得到＞0，然后根据判别式的意义得到方程有两个实数根．设方程两根为x1，x2．由得到方程有异号两实数根，再由得到负根的绝对值大．【详解】=（﹣b）2﹣4•a•（﹣c）=b2+4ac．∵a＜0，b＞0，c＜0，∴b2＞0，ac＞0，∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根．设方程两根为x1，x2．∵，∴方程有异号两实数根．∵，∴负根的绝对值大．故选D．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式和根与系数的关系．当＞0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当＜0，方程没有实数根．【题型6 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】【例6】（2023·四川成都·三模）若方程x2+（m﹣4）x+﹣m＝0有两个不相等的实数根x1和x2，且x1+x2＞﹣3，x1x2＜，则m的取值范围为多少？【答案】﹣2＜m＜1或3＜m＜7【分析】由方程有两个不相等实数根结合根的判别式即可得出关于m的不等式，解不等式即可得出m的取值范围，结合根与系数的关系可得出关于m的不等式，解不等式可得出答案．【详解】解：∵方程x2+（m﹣4）x+﹣m＝0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＝﹣﹣4×＞0，整理得：，即，根据乘法法则得：或，解前一不等式组得：m＞3；解后一不等式组得：m＞1，∴原不等式的解集为：m＞3或m＜1；由题意得x1+x8＝＝（4﹣m）＞﹣3，解得m＜7；∵x1x2＝，解得m＞﹣2．综上所述，﹣2＜m＜1或3＜m＜7．【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式，根据题意得出关于m的不等式是解题的关键【变式6-1】（2023·山东日照·日照港中学统考二模）已知关于x的一元二次方程的实数根，满足，则m的取值范围是．【答案】【分析】根据根的判别式Δ≥0、根与系数的关系列出关于m的不等式组，通过解该不等式组，求得m的取值范围．【详解】解：由题意得：，所以，依题意得：，解得4＜m≤5．故答案是：4＜m≤5．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，解此题的关键是得出关于m的不等式，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）①当b2-4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，②当b2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，③当b2-4ac＜0时，一元二次方程没有实数根．【变式6-2】（2023春·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考阶段练习）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，，则k的取值范围是（）A．B．C．D．且【答案】C【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围．根据，，可得，结合，从而最后确定的取值范围．【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，∴，解得：，∵，，∴又∵，∴，解得：，综上，的取值范围为：．故选：C．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，关键是得到．【变式6-3】（2023春·九年级单元测试）设关于的方程有两个不相等的实数根，，且，那么实数的取值范围是．【答案】【分析】由方程有两个不相等的实数根利用根的判别式Δ＞0，可得出a的取值范围，利用根与系数的关系可得出，，由可得出，展开代入后可得出a的不等式，解之即可求出a取值范围．【详解】解：方程有两个不相等的实数根，，解得：，，，，，，，，即，当时，解得（舍去）；当时，解得，又，的取值范围为．故答案为：．【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，由根与系数的关系结合，找出关于a的不等式是解题的关键．【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】【例7】（2023·陕西西安·校考二模）已知mn≠1，且5m2+2010m+9=0，9n2+2010n+5=0，则的值为（）A．﹣402 B．C．D．【答案】C【详解】将9n2+2010n+5=0方程两边同除以n2，变形得：5×（）2+2010×+9=0，又5m2+2010m+9=0，∴m与为方程5x2+2010x+9=0的两个解，则根据一元二次方程的根与系数的关系可得m•==．故选：C．【变式7-1】（2023春·广东梅州·九年级校考阶段练习）已知，则的最小值是（）．A．6 B．3 C．-3 D．0【答案】A【分析】由已知得m，n是关于x的一元二次方程x2－2ax＋2＝0的两个根，根据根与系数的关系得到m＋n ＝2a，mn＝2，再根据完全平方公式展开化简，利用二次函数的性质解决问题．【详解】解：∵m2－2am＋2＝0，n2－2an＋2＝0，∴m，n是关于x的一元二次方程x2－2ax＋2＝0的两个根，∴m＋n＝2a，mn＝2，∴(m－1)2＋(n－1)2＝m2－2m＋1＋n2－2n＋1＝(m＋n)2－2mn－2(m＋n)＋2＝4a2－4－4a＋2＝4(a－)2－3，∵a≥2，∴当a＝2时，(m－1)2＋(n－1)2有最小值，∴(m－1)2＋(n－1)2的最小值＝4(2－)2－3＝6，故选A．【点睛】本题考查了根与系数的关系，二次函数的最值，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．【变式7-2】（2023·山东德州·统考一模）已知互不相等的三个实数a、b、c满足，，求的值．【答案】﹣2【分析】将已知的两等式去分母得到关系式a2+3a+c=0和b2+3b+c=0，把a、b看成方程x2+3x+c=0的两根，由根与系数的关系得到a+b=﹣3，ab=c，所求式子变形后，把a+b=﹣3，ab=c代入，即可求出值．【详解】由=﹣a﹣3得：a2+3a+c=0①；由=﹣b﹣3得：b2+3b+c=0②；∵a≠b，∴a、b可以看成方程x2+3x+c=0的两根，∴a+b=﹣3，ab=c；∴+﹣=====﹣2．故答案为﹣2．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及分式的加减运算，灵活变换已知等式是解答本题的关键．【变式7-3】（2023春·江苏·九年级专题练习）设，，，为互不相等的实数，且，，则的值为（）A．-1 B．1 C．0 D．0.5【答案】A【分析】把看作以上方程的两个不同的根，可得，根据一元二次方程根与系数的关系求解即可【详解】解：，，看作以上方程的两个不同的根，即是方程的两根，故，即故选A【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系，整体代入是解题的关键．【题型8 已知方程根的情况判断另一个方程】【例8】（2023春·浙江·九年级期中）若关于x的一元二次方程的一个根为m，则方程（）（）的两根分别是（）．A．，B．，C．，D．，【答案】A【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求出方程的另一个根，设，根据方程的根代入求值即可得到答案；【详解】解：∵一元二次方程的一个根为m，设方程另一根为n，∴，解得：，设，方程（）（）变形为，由一元二次方程的根可得，，，∴，，∴，，故答案为：A．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系及换元法解一元二次方程，解题的关键是用换元法变形方程代入求解．【变式8-1】（2023春·江西萍乡·九年级统考期中）有两个一元二次方程：：；：，其中，以下四个结论中，错误的是（）A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根。

2,12)21(222121-=⋅-=-=+m x x m m x x 一元二次方程根与系数之间的关系 1、 已知关于x 的一元二次方程.x 2－2(m －1/2)x+m 2－2 =0的两根是x 1x 2,且x 12－x 1x 2+x 22=12,求m 的值。

解:1232,1221222121222121=-++=+-x x x x x x x x x x1,5,05401263144012)2(3)12(123)(212222221221-==∴=--=-+-+-=----=-+m m m m m m m m m x x x x02)21(2,522=-+--=m x m x m 时但当是x 2-9x+23=0此时Δ=(-9)2-4×23=81-92=-11<0方程无实根 ∴m=-112,1:222121=+--=x x x x m 时当答2、 已知一元二次方程x 2-2kx-5+2k=0的两根是x 1,x 2且24||21=-x x 求k 的值.解:由韦达定理得:x 1+x 2=2k,x 1·x 2=2k-524)(,24||22121=-∴=-x x x x 两边平方得:(x 1-x 2)2=321,3032012840322084032)52(4)2(0324)(32423222122222122121222121222121-==∴=--=--=-+-=---=--+=-++=+-k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x经检验k 1=3和k 2=-1都适合题意.3、 已知m 是正实数,关于x 的方程2x 2-mx-30=0的两根是x 1,x 2,且5x 1+3x 2=0且5x 1+3x 2=0求m 的值.解:由根与系数间的关系可得221mx x =+ ①1521-=⋅x x ②由已知条件5x 1+3x 2=0 ③解:①③组成的方程组 03522121=+=+x x mx x 解得:m x m x 454321=-=将方程组的解代入②得m=4或m=-4 ∵m 是正实数 ∴m=4 上述三个例题的已知条件都有一个:例1中是12222121=+-x x x x ;例2有条件24||21=-x x ;例3中有5x 1+3x 2=0.但每题都有隐含条件即2121x x x x ⋅=+.这样每题匀有三个条件,将这三个条件很好运用,就可求出m 或k.此种应用是根与系数间的关系习题中经常遇到的,应很好掌握.4、求一个一元二次方程,使它的两根分别是:①212,313- ②253,253-+ 5、 已知方程02362=--x x求作一个新方程,使它的根分别是原方程的根的平方.分析:x 1,x 2是原方程02362=--x x 的根,则31,212121-=⋅=+x x x x 设新方程的根是y 1,y 2(注意设新方程的极是y 1,y 2是因为要与原方程的根x 1,x 2有所区别.)解:设新方程的极是y 1,y 2,由题意得 222211,x y x y ==(新方程的根是原方程根的平方)以y 1,y 2为根的方程是y 2-(y 1+y 2)y+y 1·y 2=01615161515)45()43(22=-=--⋅-m m m m91)31()(1211)31(2)21(2)(0)(222122212212212221222122212=-==⋅=-⨯-=-+=+=⋅++-x x x x x x x x x x x x y x x y 043336091121122=+-=+-∴y y y y 即所求方程是 6、 已知方程5x 2+2x=3求作一个方程,使它的根是原方程根的负倒数.解:设原方程根是53,52,,212121-=⋅-=+x x x x x x新方程的根是2211211,1,,x y x y y y -=-=则 所求方程是0)(21212=⋅++-y y y y y y523035320531535201011)11(0)1()1()11(22221212122121221212=-+=-+=-+--+=+++=⋅+++=-⋅-+---y y y y y y x x y x x x x y x x y x x y x x y x x y 即7、设x 1,x 2是关于x 的方程x 2+4k+3=0的两实根.y 1,y 2是关于y 的方程y 2-k 2y+p=0的根.若x 1-y 1=2,x 2-y 2=2则k=____,p=____.8、已知12x x ，是方程220x x a -+=的两个实数根，且1223x x +=（1）求12x x ，及a 的值； （2）求32111232x x x x -++的值．9、设方程4x 2-2x-3=0的两个根是α和β，求4α2＋2β的值． 10、已知α，β分别是方程x 2＋x-1=0的两个根，求2α5+5β3的值．11、已知x 1，x 2是一元二次方程4x 2-(3m-5)x-6m 2＝12、已知实数x ，y ，z 满足x=6-y ，z 2=xy-9，求证：x=y ．证 因为x ＋y=6，xy=z 2＋9，所以x ，y 是二次方程t 2-6t+(z 2+9)=0的两个实根，于是这方程的判别式△=36-4(z 2+9)=-4z 2≥0， 即z 2≤0．因z 为实数，显然应有z 2≥0．要此两式同时成立，只有z=0，从而△=0，故上述关于t 的二次方程有等根，即x=y ． 13、 若a ，b ，c 都是实数，且a ＋b ＋c=0，abc=1，证 由a ＋b ＋c=0及abc=1可知，a ，b ，c 中有一个正数、两个负数，不妨设a 是正数，由题意得于是根据韦达定理知，b ，c 是方程的两个根．又b ，c 是实数，因此上述方程的判别式因为a ＞0，所以a 3-4≥0，a 3≥4，14、知x 1，x 2是方程4ax 2-4ax+a+4=0的两个实根．解 (1)显然a ≠0，由△=16a 2-16a(a+4)≥0，得a ＜0．由韦达定理知所以所以a=9，这与a ＜0矛盾．故不存在a，使(2)利用韦达定理所以(a+4)|16，即a+4=±1，±2，±4，±8，±16．结合a ＜0，得a=-2，-3，-5，-6，-8，-12，-20．15、 若ab ≠1，且有52001902a a ++=及92001502b b ++=，则ab的值是（ ）A.95 B. 59 C. -20015 D. -20019解：由92001502b b ++=（显然b ≠0）得： 5120011902bb ++= 故a 与1b 都是方程52001902x x ++=的根，但a b≠1，由△＞0，得a 与1b是此方程的相异实根，从而a b ·195=，选A 。

专题12 韦达定理及其应用1.一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，ac x x =21。

也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

2.根与系数的关系的应用，主要有如下方面：(1)验根；(2)已知方程的一根，求另一根；(3)求某些代数式的值；(4)求作一个新方程。

【例题1】(2020•泸州)已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣4x ﹣7＝0的两个实数根，则x 12+4x 1x 2+x 22的值是 ．【答案】2【分析】根据根与系数的关系求解．【解析】根据题意得则x 1+x 2＝4，x 1x 2＝﹣7所以，x 12+4x 1x 2+x 22＝(x 1+x 2)2+2x 1x 2＝16﹣14＝2【对点练习】(2019湖北仙桃)若方程x 2﹣2x ﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为( )A ．12B ．10C ．4D ．﹣4【答案】A【解析】∵方程x 2﹣2x ﹣4＝0的两个实数根为α，β，∴α+β＝2，αβ＝﹣4，∴α2+β2＝(α+β)2﹣2αβ＝4+8＝12【例题2】(2020•江西)若关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，则这个一元二次方程的另一个根为．【答案】-2【分析】利用根与系数的关系可得出方程的两根之积为﹣2，结合方程的一个根为1，可求出方程的另一个根，此题得解．【解析】∵a＝1，b＝﹣k，c＝﹣2，∴x1•x22．∵关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，∴另一个根为﹣2÷1＝﹣2．【对点练习】已知方程的一个根是-1/2，求它的另一个根及b的值。

【答案】x1=3 b=-5【解析】设方程的另一根为x1，则由方程的根与系数关系得：解得：【点拨】含字母系数的一元二次方程中，若已知它的一个根，往往由韦达定理可求另一根，并确定字母系数的值。

一元二次方程专题复习（二）根与系数的关系及其应用如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0(a ≠0)的两根为x 1，x 2，那么反过来，如果x 1，x 2满足x 1+x 2=p ，x 1x 2=q ，则x 1，x 2是一元二次方程x 2-px+q=0的两个根．一元二次方程的韦达定理，揭示了根与系数的一种必然联系．利用这个关系，我们可以解决诸如已知一根求另一根、求根的代数式的值、构造方程、证明等式和不等式等问题，它是中学数学中的一个有用的工具．【典型例题】应用一：已知一个根，求另一个根；例1 ： 方程(1998x)2-1997·1999x-1=0的大根为a ，方程x 2＋1998x-1999=0的小根为b ，求a-b 的值．解 : 先求出a ，b ．由观察知，1是方程(1998x)2-1997·1999x-1=0的根，于是由韦达定理知，另一根为219981-，于是可得a=1.又从观察知，1也是方程x 2＋1998x-1999=0的根，此方程的另一根为-1999，从而b=-1999．所以a-b=1-(-1999)=2000．应用二：求根的代数式的值不解方程，利用一元二次方程根与系数的关系求两个代数式的值关键是把所给的代数式经过恒等变形，化为含，的形式，然后把，的值代入，即可求出所求代数式的值．常见的代数式变形有：① ②③ ④⑤例2： 已知二次方程x 2-3x ＋1=0的两根为α，β，求：（1）βα11+ （2）22βα+ (3)α3＋β3解： 由韦达定理知 ： α+β=3， α·β=1．（1）31311==+=+αββαβα（2）()72912322222=-=⨯-=-+=+αββαβα (3)α3＋β3=(α+β)(α2-αβ+β2)=(α+β)[(α+β)2-3αβ]=3(9-3)=18；例3： 设方程4x 2-2x -3=0的两个根是α和β，求4α2＋2β的值．解： 因为α是方程4x 2-2x -3=0的根，所以4α2-2α-3＝0，即 4α2=2α＋3．由韦达定理可知，21=+βα.所以4α2+2β=2α+3+2β=2(α+β)+3=4．例4： 已知α，β分别是方程x 2＋x -1=0的两个根，求2α5+5β3的值．解： 由于α，β分别是方程x 2＋x -1=0的根，所以α2+α-1=0，β2+β-1=0，即 α2=1-α，β2=1-β．α5=(α2)2·α=(1-α)2α=(α2-2α+1)α=(1-α-2α+1)α= -3α2+2α = -3(1-α)+2α=5α-3，β3=β2·β=(1-β)β=β-β2=β-(1-β)=2β-1．所以 2α5+5β3=2(5α-3)+5(2β-1)=10(α+β)-11=-21．说明： 此解法的关键在于利用α，β是方程的根，从而可以把它们的幂指数降次，最后都降到一次，这种方法很重要．应用三：与两根之比有关的问题；例5： 已知x 1，x 2是一元二次方程 4x 2-(3m -5)x -6m 2＝0的两实数根，且23x x 21=，求m 的值.解： 首先，△=(3m -5)2＋96m 2＞0，方程有两个实数根．由韦达定理知从上面两式中消去k ，便得即 m 2-6m+5=0， 所以m 1=1，m 2=5．应用四：求作新的二次方程例6： 求一个一元二次方程，使它的两根分别是212313， 。

根与系数关系在中考里的应用
根和系数之间的关系在中考数学中是非常重要的。

在解决多项式的问题时，学生可能需要使用根的概念来解决方程，并使用系数的概念来求解多项式的形式。

例如，在解决一元二次方程时，学生可能需要使用求根公式来求解方程的根。

这个公式需要学生输入方程的系数，然后根据这些系数计算出方程的根。

另一方面，如果学生需要求解多项式的形式，则可能需要使用系数的概念。

例如，如果学生被要求将一个多项式化为标准型，则可能需要使用系数来确定多项式的次数和系数。

此外，根和系数之间的关系还可能在函数的问题中出现。

例如，学生可能需要使用系数的概念来刻画一个函数的图像，或者使用根的概念来求解函数的零点。

总之，根和系数之间的关系在中考数学中是非常重要的，学生可能会在解决方程、多项式和函数的问题时使用这些概念。

一、复习目标9、一元二次方程（根与系数的关系）了解一元二次方程的根与系数的关系二、知识要点1.若关于x 的一元二次方程ax2 +bx +c = 0(a ≠ 0) 有两根分别为x ，x ，1 2那么x1 +x2 = ，x1 ⋅x2 =..........2.若关于x 的一元二次方程ax2 +bx +c = 0(a ≠ 0) 有两根分别为x ，x ，则暗含的前提条件是：① 根的1 2判别式b2 - 4ac 0；② 二次项系数a 0。

所以运用一元二次方程根与系数时，求出来的值往往要，即能否使方程有意义且有解.4.若关于x 的一元二次方程ax2 +bx +c = 0(a ≠ 0) 有两根分别为x ，x ，整体运用求代数式的值时，常见1 2的几种代数式的恒等变形：①x 2 +x 2 = (x +x )2 -2x x ；②1±1=；x1x2③ (x -x )2 =；④ x x 2 +x 2 x =；1 2 1 2 1 2⑤ x2 -x1 = = ............................................................5.由一元二次方程根与系数的关系可知，关于x 的一元二次方程ax2 +bx +c = 0(a ≠ 0) 有一根为 0，则 c= ；有互为相反数的两根，则有...................................6.二次函数y=ax2+bx+c(a≠ 0) 与x 轴的两个交点分别为A(x1，0)，B（x2，0），则以点A、点B为端点的线段AB= ......................... （用含a、b、c 的代数式表示）【例题分析】例1.① 如果关于x 的一元二次方程x2+px+q=0 的两根分别为x1=2，x2=1，那么p，q 的值分别是.................②若关于x 的一元二次方程x2 +px +q = 0 的两根同为负数，则 p 0，q 0(填不等号).③已知方程x2 - 5x + 2 = 0 的两个解分别为x 、x ，则x +x -x ⋅x 的值为．1 2 1 2 1 2④已知α.β是一元二次方程x2 - 4x - 3 = 0 的两实数根，则代数式α2 - 5α-β的值为.............⑤设x , x 是方程3x2 - 4x - 2 = 0 的两个根，则x +x =，x x =，x -1 +x -1 = ..........1 2 1 2 1 2 1 2⑥关于x 的方程x2 - 6 x +k -1 = 0，当它有相等两根时，k= ；当它有一根为时 0，可以求得k= ；当它的两根互为倒数时，k= ..........例 2.已知关于x 的方程x2－(a＋b)x＋ab－1＝0，x1，x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③x12＋x22＜a2＋b2.则正确结论的序号是．例3.已知关于x 的方程x2- 2(k- 3)x+k2- 4k-1= 0 ．（1）若这个方程有一个根为1，求k的值及另一根；（2）若以方程x2- 2(k- 3)x+k2- 4k-1= 0 的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数y =mx的图象上，求满足条件的m 的最小值．例 4. 已知 x1，x2 是关于 x 的一元二次方程 x2﹣2（a+1）x+a2+3=0 的两实数根．（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=10，求a的值；（2）已知等腰△ABC 的一边为6，另外两边的长都是整数且恰好是方程x2﹣2（a+1）x+a2+3=0 的根，求这个三角形的周长．1 2 1 21 2 1 2例 5.已知：关于 x 的方程x 2 + 2(a -1)x + a 2 - 7a - 4 = 0 的两根为 x 、x ，且满足x x - 3x - 3x - 2 = 0 .121 212求： (1+4) ⋅ a +2 的值. a 2 - 4 a【课后练习】1. 一元二次方程 x 2-5x+6=0 的两根分别是 x ,x ,则 x +x 等于 （ ）A. 5B. 6C. -5D. -62. 已知方程 x2- 5x + 2 = 0 的两个解分别为 x 、 x ，则 x + x - x ⋅ x 的 值 为 ( )121212A ． -7B ． -3C ．7D ．33. 设 x ，x 是一元二次方程 x2- 3x - 2 = 0的两个实数根，则 x 2 + 3x x + x 2的值为．1211 224.方程 x 2-2x-1=0 的两个实数根分别为 x ，x ，则（x -1）（x -1）=.5. 两圆的圆心距 d = 1 ，它们的半径分别是一元二次方程 x2- 5x +1 = 0 的两个根，这两圆的位置关系是 .........6. 若关于 x 的方程 x 2+6x+m=0 的一个根为 3﹣，求方程的另一个跟及m 的值．7. 已知 x 1，x 2 是方程 x 2﹣（k ﹣2）x+k 2+3k+5=0 的实数根（x 1，x 2 可相等）（1） 证明方程的两根都小于 0；2 2 1 2（2） 当实数 k 取何值时 x 12+x 2最大？并求出最大值．8. 关于 x 的一元二次方程 x2- mx + 2m -1 = 0 的两个实数根分别是 x 、x ，且x 2 + x 2 = 7 ，求(x - x )2 的121 2 1 2值.9. 已知: x ，x 是方程 x 2 - 2x + a = 0 的两个实数根，且 x + 2x = 3 - .1 21 2 （1）求 x ，x 及 a 的值； （2）求 x 3 - 3x 2 + 2x + x 的值.12 1 1 1 210. 已知关于 x 的一元二次方程 x 2﹣2kx+k 2+2=2（1﹣x ）有两个实数根 x 、x ．（1） 求实数 k 的取值范围；（2） 若方程的两实数根 x 1、x 2 满足|x 1+x 2|=x 1x 2﹣1， 求k 的值．1. 已知：一元二次方程1 x2 + kx + k - 1= 0 . 2 2（1）求证：不论k 为何实数时，此方程总有两个实数根；（2）设k < 0 ，当二次函数y =1x 2 +kx +k -1的图象与x 轴的两个交点A 、B 间的距离为 4 时，求此2 2二次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，若抛物线的顶点为C ，过y 轴上一点M (0，m) 作y 轴的垂线l ，当m 为何值时，直线l 与△ABC 的外接圆有公共点？。