福建省建瓯市芝华中学2021届高三上学期第二次阶段考(期中)数学试题含答案

2025届福建省南平市建瓯市芝华中学数学高三上期末经典试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}2|320M x x x =-+≤，{|N x y ==若M N M ⋂=，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,1]-∞B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞2．已知i 是虚数单位，若1zi i=-，则||z =（ ）AB ．2CD ．33．在满足04i i x y <<≤，i i y xi i x y =的实数对(),i i x y (1,2,,,)i n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅中，使得1213n n x x x x -++⋅⋅⋅+<成立的正整数n 的最大值为( ) A ．5B ．6C ．7D ．94．若集合{}2|0,|121x A x B x x x +⎧⎫=≤=-<<⎨⎬-⎩⎭，则A B =（ ） A ．[2,2)-B ．(]1,1-C ．()11-，D ．()12-， 5．已知集合{}3|20,|0x P x x Q x x -⎧⎫=-≤=≤⎨⎬⎩⎭，则()R P Q 为（ ） A ．[0，2)B ．(2，3]C ．[2，3]D ．(0，2]6．已知函数()e x f x x=,关于x 的方程()()()2140(f x m f x m m ++++=∈R)有四个相异的实数根,则m 的取值范围是( )A ．44,e e 1⎛⎫--- ⎪+⎝⎭ B ．()4,3--C ．4e ,3e 1⎛⎫--- ⎪+⎝⎭D ．4e ,e 1∞⎛⎫---⎪+⎝⎭ 7．已知集合{}2,1,0,1A =--，{}22*|,B x x a a N=≤∈，若A B ⊆，则a 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．如下的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为176，320，则输出的a 为（ ）A ．16B ．18C ．20D ．159．设函数()210100x x x f x lgx x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个实数解()1234i x i =，，，，其中1234x x x x <<<，则()()1234x x x x +-的取值范围是（ ）A ．(]0101，B ．(]099，C ．(]0100，D ．()0+∞，10．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A 、B 为两个同高的几何体，:p A 、B 的体积不相等，:q A 、B 在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．函数()cos 22x xxf x -=+的部分图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．12．设实数满足条件则的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

福建省建瓯市芝华中学2020-2021学年高一下学期期中考试试题考试时间：120分钟 满分：150分一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)1若直线ɑ平行于平面α，则下列结论错误的是( )A ．ɑ平行于α内的所有直线B ．α内有无数条直线与α平行C ．直线ɑ上的点到平面α的距离相等D ．α内存在无数条直线与a 成90°角2在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，B ＝π3，则A 等于( )A.π6B.π4C.3π4D.π4或3π43设向量a ＝(2，4)与向量b ＝(x ，6)共线，则实数x ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．64.在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2，1)，则AD →·AC →＝( )A ．5B ．4C ．3D ．25已知a ∈R ，复数z 1＝2＋a i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2为纯虚数，则复数z 1z 2的虚部为( ) A ．1 B ．i C.25 D ．06.在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2，将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.2π3B.4π3C.5π3D ．2π 7． 设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )A.AD →＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43AC → C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC → 8在正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，E 为线段B 1C 的中点，若三棱锥E - ADD 1的外接球的体积为36π，则该正方体的棱长为( )A ．2B ．2 2C ．3 3D ．4二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.每小题给出的四个选项有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9(多选题)已知l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列说法正确的是( )A ．若l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，则l 1⊥l 3B ．若l 1⊥l 2，l 2∥l 3，则l 1⊥l 3C ．若l 1∥l 2∥l 3，则l 1，l 2，l 3不一定共面D ．若l 1，l 2，l 3共点，则l 1，l 2，l 3共面10(多选题)对任意向量a ，b ，下列关系式中恒成立的是( )A ．|a ·b|≤|a||b|B ．|a －b|≤||a|－|b||C ．(a ＋b )2＝|a ＋b|2D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2 11(多选题)如图，在正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1，C 1C 的中点，有以下四个结论正确结论( )A 直线AM 与CC 1是相交直线B 直线AM 与BN 是平行直线C 直线BN 与MB 1是异面直线D 直线AM 与DD 1是异面直线12(多选题)已知△ABC 的三个角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,下列条件能使得△ABC 的形状唯一确定的是( ).A .a=1,b=2,c=2B .A=150°,a sin A+c sin C+a sin C=b sin BC .a=,b=2,A=30°D .C=60°,cos A sin B cos C+cos(B+C )cos B cos C=0三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13.复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________14．设向量a ＝(m ，1)，b ＝(1，2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________．15.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________．16.过三棱柱ABC - A 1B 1C 1任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有________条．四、解答题：共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)17.(10分）知非零向量e 1和e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1＋e 2，BC ＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A ，B ，D 三点共线；(2)欲使向量k e 1＋e 2与e 1＋k e 2平行，试确定实数k 的值．18.(12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＝3c ，2sin 2C ＝3sin A sin B .(1)求角C 的大小；(2)若S △ABC ＝3，求c 的值．19.(12分）D 是Rt △ABC 斜边BC 上一点，AC ＝3DC .(1)若∠DAC ＝30°，求角B 的大小；(2)若BD ＝2DC ，且AD ＝22，求DC 的长．20.(12分）如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝2，O，M分别为AB，VA的中点．(1)求证：VB∥平面MOC；(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；(3)求三棱锥V-ABC的体积．21(12分）如图，在三棱锥P -ABC中，AB⊥平面P AC，∠APC＝90°，E是AB的中点，M 是CE的中点，N点在PB上，且4PN＝PB.(1)证明：平面PCE⊥平面P AB；(2)证明：MN∥平面P AC.22(12分）已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2，AD＝2，AB＝1，如图①所示，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，如图②所示．(1)当平面PBD⊥平面PBC时，求三棱锥P -BCD的体积；(2)在图②中，E为PC的中点，若线段BQ∥CD，且EQ∥平面PBD，求线段BQ的长；(3)求证：BD⊥PC.——★ 参*考*答*案 ★——一、单项选择题1．A『解析』若直线a 平行于平面α，则α内既存在无数条直线与α平行，也存在无数条直线与α异面且垂直，所以A 不正确，B ，D 正确；因为夹在相互平行的线与平面间的平行线段相等，所以C 正确．2．B『解析』由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ，即sin A ＝22，因为b >a ，所以A ＝π4. 3.B『解析』由向量a ，b 共线，得2×6－4x ＝0，解得x ＝3，选B.4.A『解析』因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AC →＝AB →＋AD →＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1)，所以AD →·AC →＝2×3＋1×(－1)＝5，故选A.5.A『解析』由z 1z 2＝2＋a i 1－2i ＝（2＋a i ）（1＋2i ）5＝2－2a 5＋4＋a 5i 是纯虚数，得a ＝1，此时z 1z 2＝i ，其虚部为1. 6．C『解析』旋转后的几何体为一个底面半径为1，高为2的圆柱挖去一个底面半径为1，高为1的圆锥，所求几何体的体积为π×12×2－13π×12×1＝53π. 7．A『解析』由题意知AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝－13AB →＋43AC →. 8.D『解析』如图所示，设三棱锥E - ADD 1外接球的半径为r ，∵三棱锥E - ADD 1外接球的体积为36π，∴4π3×r 3＝36π，解得r ＝3.取AD 1的中点F ，连接EF ，则三棱锥E - ADD 1外接球的球心一定在EF 上，设球心为点O .设正方体的棱长为x ，在Rt △OFD 1中，由勾股定理可得⎝⎛⎭⎫22x 2＋(x －3)2＝32(x ＞0)，解得x ＝4，∴正方体的棱长为4.二、多项选择题9.BC『解析』当l 1⊥l 2，l 2⊥l 3时，l 1与l 3可能相交、异面或平行，故A 不正确；当l 1⊥l 2，l 2∥l 3时，可推出l 1⊥l 3，故B 正确；当l 1∥l 2∥l 3时，l 1，l 2，l 3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故C 正确；当l 1，l 2，l 3共点时，l 1，l 2，l 3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故D 不正确．10.ACD『解析』根据数量积的定义a·b ＝|a||b|cos 〈a ，b 〉，所以|a·b|＝||a||b|cos 〈a ，b 〉|≤|a||b |，选项A 中的关系式一定成立；如果选项B 中的关系式成立，则|a －b|2≤||a|－|b||2，可得a·b≥|a||b|，此式只在a ，b 共线且同向时成立；根据向量的运算法则可知选项C ，D 中的关系式是恒成立的．11.CD『解析』A ，M ，C 1三点共面，且在平面AD 1C 1B 中，但C ∉平面AD 1C 1B ，因此直线AM 与CC 1是异面直线，同理AM 与BN 也是异面直线，AM 与DD 1也是异面直线，故AB 不正确，D 正确；M ，B ，B 1三点共面，且在平面MBB 1中，但N ∉平面MBB 1，因此直线BN 与MB 1是异面直线，故C 正确．12.AC『解析』B 中,由正弦定理可知a 2+c 2+ac=b 2,∴cos B=－22, 此时A=150°,B=135°,三角形无解;D 中,cos A sin B cos C+cos(B+C )cos B cos C=0,∴cos(B+C )cos C (cos B -sin B )=0,∴B=45°或者B+C=90°,B=30°,三角形的解不唯一.三、填空题13.5『解析』因为z ＝(1＋2i)(3－i)＝3＋5i －2i 2＝5＋5i ，所以其实部为5. 14．－2『解析』由已知条件得a ·b ＝0，即m ＋2＝0，即m ＝－2.15.2113『解析』因为cos A ＝45，cos C ＝513，且A ，C 为三角形的内角，所以sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝6365.又因为a sin A ＝b sin B ，所以b ＝a sin B sin A ＝2113. 16.6『解析』符合题意的各中点连线如图，此时平面EFGH 与平面ABB 1A 1平行，所以所求直线有6条．四、解答题17．(1)证明：因为BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3(e 1－e 2)＝5(e 1＋e 2)＝5AB →，且AB →为非零向量，所以AB →与BD →共线，即A ，B ，D 三点共线．(2)解：因为k e 1＋e 2与e 1＋k e 2平行，且两向量都为非零向量，所以存在实数λ使得k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)成立，即(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2成立．因为e 1和e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，所以k ＝±1. 18.解：(1)∵2sin 2C ＝3sin A sin B ，∴sin 2C ＝32sin A sin B ，∴c 2＝32ab . 又a ＋b ＝3c ，∴a 2＋b 2＋2ab ＝3c 2.根据余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab， ∴cos C ＝2c 2－2ab 2ab ＝ab 2ab ＝12，∴C ＝π3. (2)∵S △ABC ＝3，∴3＝12ab sin C . ∵C ＝π3，∴ab ＝4，又c 2＝32ab ，∴c ＝ 6. 19.解：(1)在△ADC 中，根据正弦定理，有AC sin ∠ADC ＝DC sin ∠DAC. 因为AC ＝3DC ，所以sin ∠ADC ＝3sin ∠DAC ＝32， 又∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ＝∠B ＋60°>60°，所以∠ADC ＝120°.于是∠C ＝180°－120°－30°＝30°，所以∠B ＝60°.(2)设DC ＝x ，则BD ＝2x ，BC ＝3x ，AC ＝3x ，于是sin B ＝AC BC ＝33，cos B ＝63，AB ＝6x . 在△ABD 中，由余弦定理，得AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B ， 即(22)2＝6x 2＋4x 2－2×6x ×2x ×63＝2x 2，得x ＝2，故DC ＝2. 20. (1) 证明：因为O ，M 分别为AB ，VA 的中点，所以OM ∥VB .又因为VB ⊄平面MOC ，OM ⊂平面MOC ，所以VB ∥平面MOC .(2) 证明：因为AC ＝BC ，O 为AB 的中点，所以OC ⊥AB .又因为平面VAB ⊥平面ABC ，平面VAB ∩平面ABC ＝AB ，且OC ⊂平面ABC ，所以OC ⊥平面VAB .又因为OC ⊂平面MOC ，所以平面MOC ⊥平面VAB .(3)解：在等腰直角三角形ACB 中，AC ＝BC ＝2，所以AB ＝2，OC ＝1.所以等边三角形VAB 的面积S △VAB ＝ 3.又因为OC ⊥平面VAB ，所以三棱锥C -VAB 的体积等于13OC ·S △VAB ＝33. 又因为三棱锥V -ABC 的体积与三棱锥C -VAB 的体积相等，所以三棱锥V -ABC 的体积为33. 21.证明：(1)∵AB ⊥平面P AC ，PC ⊂平面P AC ，∴AB ⊥PC .∵∠APC ＝90°，∴AP ⊥PC ，又∵AP ⊂平面P AB ，AB ⊂平面P AB ，AP ∩AB ＝A ，∴PC ⊥平面P AB .∵PC ⊂平面PCE ，∴平面PCE ⊥平面P AB .(2)取AE 的中点Q ，连接NQ ，MQ .∵M 是CE 的中点，∴MQ ∥AC .∵PB ＝4PN ，AB ＝4AQ ，∴QN ∥AP .又∵AP ∩AC ＝A ，AP ⊂平面APC ，AC ⊂平面APC ，QN ∩QM ＝Q ，QN ⊂平面MNQ ，QM ⊂平面MNQ ，∴平面MNQ ∥平面P AC .∵MN ⊂平面MNQ ，∴MN ∥平面P AC .22.解：(1)当平面PBD ⊥平面PBC 时，因为PB ⊥PD ，且平面PBD ∩平面PBC ＝PB ，PD ⊂平面PBD ，所以PD ⊥平面PBC . 因为PC ⊂平面PBC ，所以PD ⊥PC .因为直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2，AD ＝2，AB ＝1， 所以BD ＝BC ＝3，PD ＝2，所以CP ＝CD 2－PD 2＝ 2.又因为BP ＝1，所以BP 2＋CP 2＝BC 2，所以BP ⊥CP ，所以S △PBC ＝12·PB ·PC ＝22. 故V 三棱锥P - BCD ＝V 三棱锥D - PBC ＝13S △PBC ·PD ＝13×22×2＝13. (2)取PD 的中点F ，连接EF ，BF ，如图所示．因为E 为PC 的中点，所以EF ∥CD 且EF ＝12CD . 又因为BQ ∥CD ，所以EF ∥BQ ，所以B ，F ，E ，Q 共面．因为EQ ∥平面PBD ，EQ ⊂平面BFEQ ，且平面BFEQ ∩平面PBD ＝BF ，期中考试试卷11 所以EQ ∥FB .又因为EF ∥BQ ，所以四边形BFEQ 是平行四边形，所以BQ ＝EF ＝12CD ＝1. (3)证明：在题干图①中连接AC ，交BD 于点G ，如图a 所示．因为∠CDA ＝∠DAB ＝90°，所以tan ∠CAD ＝CD AD ＝2，tan ∠DBA ＝AD AB ＝2， 所以∠CAD ＝∠DBA .因为∠CAD ＋∠BAG ＝90°，所以∠DBA ＋∠BAG ＝90°，所以BD ⊥AC .故将△ABD 沿BD 折起到△PBD 的位置后，仍有BD ⊥PG ，BD ⊥CG ，如图b 所示． 因为PG ∩CG ＝G ，所以BD ⊥平面PCG .又因为PC ⊂平面PCG ，所以BD ⊥PC .。

2021年高三（上）第二次质量检测数学试卷含解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．（5分）（xx•丹东一模）复数z=（x2﹣1）+（x﹣1）i是纯虚数，则实数x= ﹣1 ．考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：本题是一个概念题，所给的条件是一个复数是纯虚数，根据a+bi是纯虚数所满足的条件是a=0且b≠0，这两个条件要同时成立．只要x2﹣1=0且x﹣1≠0，做出其中的x即可．解答：解：∵复数z=（x2﹣1）+（x﹣1）i是纯虚数，∴x2﹣1=0且x﹣1≠0，∴x=±1且x≠1，∴x=﹣1，故答案为：﹣1．点评：本题考查复数的实部和虚部，是一个概念题，在解题时用到复数常见的几种形式，是一个比较好的选择或填空题，可以出现在高考题的前几个题目中．2．（5分）（xx•奉贤区一模）集合M={x|lgx＞0}，N={x|x2≤4}，则M∩N=（1，2]．考点：交集及其运算．专题：阅读型．分析：根据对数函数的单调性求出集合M，解不等式x2≤4求出集合N，再进行交集运算．解答：解：∵lgx＞0⇒x＞1，x2≤4⇒﹣2≤x≤2，∴M∩N=（1，2]．故答案是（1，2]点评：本题考查集合的交集运算．3．（5分）在圆x2+y2=4所围成的区域内随机取一个点P（x，y），则|x|+|y|≤2的概率为．考点：几何概型．专题：计算题．分析：本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出（x，y）对应图形的面积，及满足条件“区域M”的点对应的图形的面积，然后再结合几何概型的计算公式进行求解．解答：解：如图所示，满足条件：“|x|+|y|≤2”的区域Ω为图中正方形，∵R=2，∴圆的面积为4π且圆内接正方形的对角线长为2R=4，∴圆内接正方形的边长为2∴圆内接正方形的面积为8，则点落在正方形内的概率P==故答案为．点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解．4．（5分）（xx•许昌二模）已知cosα=﹣，α∈（，π），则等于．考点：两角和与差的正切函数．专题：综合题．分析：由cosα的值及α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，进而求出tanα的值，然后把所求的式子利用两角和与差的正切函数公式化简，把tanα的值代入即可求出值．解答：解：∵，∴sinα=，∴tanα==﹣，则tan（+α）===．故答案为：点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的正切函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键，学生在求值时注意角度的范围．5．（5分）已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数，则a=2．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：因已知奇函数，又是填空题，可以用特值法来求解．解答：解：因为所给函数的定义域为R，所以f（﹣1）=，f（1）=，因为所给函数是奇函数，所以f（﹣1）=﹣f（1），所以，解得：a=2，故答案为：2．点评：本题考察函数的奇偶性，在利用函数奇偶性解决选择填空题时，我们常用特值法来求解析式中的参数，但是要先看定义域！6．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出S的值是7500．考点：循环结构．专题：图表型．分析：先判断程序框图的结构为直到型循环结构，然后按照程序框图进行循环，直到第50次循环结束时输出S的值即可．解答：解析：根据程序框图分析，本框图为直到型循环结构第1次循环：S=0+3×1=3 k=1+2=3第2次循环：S=3×1+3×3=12 k=3+2=5第3次循环：S=3×1+3×3+3×5=27 k=5+2=7…以此类推，直到第50次循环，执行完毕后k=101时，S=3×1+3×5+3×7+…+3×99=3×=7500此时经过判断满足k≥100，跳出循环故输出S=7500故答案为：7500点评：本题考查程序框图的理解和运算．需要对程序框图进行若干次执行运算，当满足跳出循环条件时输出此时S值，属基础题．7．（5分）（xx•普陀区一模）在△ABC中，若，，则=3．考点：平面向量数量积的运算；向量的模．专题：平面向量及应用．分析：两式相减，由向量的运算可得==9，解之即可．解答：解：∵，，∴，∴====9，∴=3故答案为：3点评：本题考查向量的模长的运算，涉及向量的数量积的运算，两式相减是解决问题的关键，属中档题．8．（5分）在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第一个长方形的面积为0.02，前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差互为相反数，若样本容量为160，则中间一组（即第五组）的频数为36．考点：频率分布直方图．专题：计算题．分析：设出公差，利用9个小长方形面积和为1，求出公差，然后求解中间一组的频数．解答：解：设公差为d，那么9个小长方形的面积分别为0.02，0.02+d，0.02+2d，0.02+3d，0.02+4d，0.02+3d，0.02+2d，0.02+d，0.02，而9个小长方形的面积和为1，可得0.18+16d=1 可以求得d=∴中间一组的频数为：160×（0.02+4d）=36．故答案为：36．点评：本题考查频率分布直方图的应用，考查计算能力．9．（5分）已知B为双曲线（a＞0，b＞0）的左准线与x轴的交点，点A（0，b），若满足=2的点P在双曲线上，则该双曲线的离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意可得B（，0），由=2可得B为PA的中点，设P（x0，y0），由中点坐标公式可得，解之，代入双曲线的方程化简可得．解答：解：由题意可得B（，0），由=2可得B为PA的中点，设P（x0，y0），由中点坐标公式可得，解得，代入双曲线的方程可得=1，即，解得故答案为：点评：本题为双曲线的离心率的求解，由已知得出关于a，c的等量关系是解决问题的关键，属基础题．10．（5分）已知变量a，θ∈R，则（a﹣2cosθ）2+（a﹣5﹣2sinθ）2的最小值为9．考点：三角函数的最值；三角函数的恒等变换及化简求值．专题：直线与圆．分析：设点A（a，a﹣5）、B（2cosθ，2sinθ），易知本题即求|AB|2的最小值．点A在直线L：x﹣y﹣5=0上，点B在圆C：x2+y2=4 上，先求出圆心到直线的距离d，可得|AB|的最小值d﹣r，从而得到|AB|2的最小值．解答：解：可设点A（a，a﹣5）、B（2cosθ，2sinθ），易知本题即求|AB|2的最小值．由于点A在直线L：x﹣y﹣5=0上，点B在圆C：x2+y2=4 上．数形结合可知，由圆心O（0，0）向直线L作垂线，|AB|的最小值就是夹在圆与直线间的部分．由于圆心到直线的距离d==5，|AB|min=d﹣r=3，∴|AB|2的最小值为9，故答案为9．点评：本题主要考查直线和愿的位置关系，点到直线的距离公式、两点间的距离公式的应用，属于中档题．11．（5分）（xx•辽宁）已知等比数列{a n}为递增数列，且，则数列a n的通项公式a n=2n．考点：数列递推式．专题：计算题．分析：通过，求出等比数列的首项与公比的关系，通过2（a n+a n+2）=5a n+1求出公比，推出数列的通项公式即可．解答：解：∵，∴，∴a1=q，∴，∵2（a n+a n+2）=5a n+1，∴，∴2（1+q2）=5q，解得q=2或q=（等比数列{a n}为递增数列，舍去）∴．故答案为：2n．点评：本题主要考查等比数列的通项公式，转化思想和逻辑推理能力，属于中档题．12．（5分）将一个长宽分别a，b（0＜a＜b）的长方形的四个角切去四个相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体形的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则的取值范围为．考点：函数模型的选择与应用．专题：计算题；压轴题．分析：设出减去的正方形边长为x，表示出外接球的直径，对直径的平方的表示式求导，使得导函数等于0，得到最小值，根据自变量的范围求出结论．解答：解：设减去的正方形边长为x，其外接球直径的平方R2=（a﹣2x）2+（b﹣2x）2+x2 求导得（R2）'=18x﹣4（a+b）=0∴x=（a+b）因为a＜b有x属于（0，）所以0＜（a+b）＜∴1＜＜故答案为：（1，）．点评：本题考查函数的模型的选择与应用，本题解题的关键是写出直径的平方的表示式，并且对解析式求导做出直径的最小值．13．（5分）（2011•新余二模）在平面直角坐标系x0y中，抛物线y2=2x的焦点为F，若M 是抛物线上的动点，则的最大值为．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：设M 到准线x=﹣的距离等于d，由抛物线的定义可得=，化简为，令m﹣=t，则m=t+，=，利用基本不等式求得最大值．解答：解：焦点F（，0），设M（m，n），则n2=2m，m＞0，设M 到准线x=﹣的距离等于d，则=======．令m﹣=t，t＞﹣，则m=t+，==≤=（当且仅当t= 时，等号成立）．故的最大值为，故答案为．点评：本题考查抛物线的定义、简单性质，基本不等式的应用，体现了换元的思想，把化为，是解题的关键和难点，属于中档题．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的等差数列{a n}及任意的正整数n 都有不等式+≥λa成立，则实数λ的最大值为．考数列与不等式的综合．点：专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列{a n}前n项之和是S n，我们利用等差数列的前n项和公式，可将不等式+≥λ进行变形，配方后，根据实数的性质，易得实数λ的最大值．解答：解：∵S n=•n，∴λ+≥可以变形成：+a1a n+（﹣λ）≥0，即（a n+a1）2+（﹣λ）≥0，若不等式+≥λ对任意{a n}和正整数n恒成立，仅需要λ≤即可，则实数λ的最大值为．故答案为：．点评：数列是一种定义域为正整数的特殊函数，我们可以利用研究函数的方式研究它，特别是等差数列对应的一次函数，等比数列对应的指数型函数，我们要善于通过数列的通项公式、前n项和公式，或数列相关的一些性质，在解数列相关的不等式时，也可以利用配方法、放缩法等解不等式的方法．二、解答题：本大题共9小题，共90分．15．（14分）（xx•崇明县二模）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，x∈R．（1）求函数f（x）的最小值和最小正周期；（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且c=，f（C）=0，若sinB=2sinA，求a，b的值．考点：解三角形；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题．分析：（1）将f（x）解析式第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域得出f（x）的最小值，找出ω的值，代入周期公式，即可求出f（x）的最小正周期；（2）由（1）确定的f（x）解析式及f（C）=0，求出sin（2C﹣）=1，由C的范围，求出2x﹣的范围，利用特殊角的三角函数值及正弦函数的图象求出C的度数，由sinB=2sinA，利用正弦定理得到b=2a①，再利用余弦定理得到c2=a2+b2﹣2abcosC，将c与cosC的值代入得到关于a与b的方程，记作②，联立①②即可求出a与b的值．解答：解：（1）f（x）=sin2x﹣cos2x﹣=sin2x﹣﹣=sin2x﹣cos2x﹣1=sin（2x﹣）﹣1，∵﹣1≤sin（2x﹣）﹣≤1，∴f（x）的最小值为﹣2，又ω=2，则最小正周期是T==π；（2）由f（C）=sin（2C﹣）﹣1=0，得到sin（2C﹣）=1，∵0＜C＜π，∴﹣＜2C﹣＜，∴2C﹣=，即C=，∵sinB=2sinA，∴由正弦定理得b=2a①，又c=，∴由余弦定理，得c2=a2+b2﹣2abcos，即a2+b2﹣ab=3②，联立①②解得：a=1，b=2．点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦、余弦定理，正弦函数的定义域与值域，二倍角的余弦函数公式，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．16．（8分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD=90°，AD=3BC，O是AD上一点．（Ⅰ）若CD∥平面PBO，试指出点O的位置；（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PCD．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的性质．专题：证明题；综合题．分析：（Ⅰ）CD∥平面PBO，推出BO∥CD得到AD=3BC，点O的位置满足AO=2OD．（Ⅱ）要证平面AB⊥平面PCD，只需证明平面PCD内的直线PD，垂直平面PABPD 内的两条相交直线AB、PA即可．解答：（Ⅰ）解：因为CD∥平面PBO，CD⊂平面ABCD，且平面ABCD∩平面PBO=BO，所以BO∥CD又BC∥AD，所以四边形BCDO为平行四边形，则BC=DO，而AD=3BC，故点O的位置满足AO=2OD．（Ⅱ）证：因为侧面PAD⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，且AB⊥交线AD，所以AB⊥平面PAD，则AB⊥PD又PA⊥PD，且PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，AB∩PA=A，所以PD⊥平面PAB，PD⊂平面PCD，所以：平面PAB⊥平面PCD．点评：本题考查平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的性质，考查逻辑思维能力，是中档题．17．（14分）如图所示，一辆载着重危病人的火车从O地出发，沿射线OA行驶（北偏东α角），其中，在距离O地5a km（a为正数）北偏东β角的N处住有一位医学专家，其中．现110指挥部紧急征调离O地正东p km的B处的救护车赶往N处载上医学专家全速追赶载有重危病人的火车，并在C处相遇，经测算当辆车行驶路线与OB围成的三角形OBC面积S最小时，抢救最及时．（1）求S关于p的函数关系；（2）当p为何值时，抢救最及时？考点：函数模型的选择与应用．专题：计算题；应用题．分析：（1）由已知中射线OA行驶（北偏东α角），其中，在距离O地5a km（a为正数）北偏东β角的N处住有一位医学专家，其中．我们可能建立直角坐标系，分别求出直线的方程和点的坐标，进而可以得到S关于p的函数关系；（2）p为何值时，抢救最及时，可转化为求函数的最小值，根据（1）中的函数解析式，利用基本不等式，可求出函数的最小值，进而得到答案．解答：解：（1）建立如图所示的直角坐标系，∵，∴，，∴N点的坐标为（3a，4a）．又射线OA的方程为y=3x，又B（p，0），∴直线BN的方程为∴．…（4分）当p=3a时，C（3a，9a），．当p≠3a时，方程组，解为∴点C的坐标为．∴．对p=3a也成立．∴．…（8分）（2）由（1）得．令，∴，当且仅当，即，此时，上式取等号，∴当Km时，S有最小值，即抢救最及时．…（14分）点评：本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，其中解答的关键是建立平面直角坐标系，将题目中的相关直线、点的方程或坐标具体化，进而拟合出函数模型．18．（8分）已知双曲线左右两焦点为F1，F2，P是右支上一点，PF2⊥F1F2，OH⊥PF1于H，．（1）当时，求双曲线的渐近线方程；（2）求双曲线的离心率e的取值范围；（3）当e取最大值时，过F1，F2，P的圆的截y轴的线段长为8，求该圆的方程．考点：双曲线的简单性质；圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题．分析：（1）由相似三角形得到比例式，找出a、b的关系，把λ值代入求的值，进而得到双曲线的渐近线方程；（2）用λ表示离心率的平方，据λ的范围求出离心率平方得最值，可得离心率的范围，（3）确定圆心位置及直径，进而得到半径，写出圆的标准方程．解答：解：由相似三角形知，，，∴2a2λ+b2λ=b2，2a2λ=b2（1﹣λ），．（1）当时，，∴a=b，y=±x．（2）=，在上单调递增函数．∴时，e2最大3，时，e2最小，∴，∴．（3）当时，，∴b2 =2a2．∵PF2⊥F1F2，∴PF1是圆的直径，圆心是PF1的中点．再由弦的性质可得圆心还在线段F1F2的中垂线（y轴）上，∴在y轴上截得的弦长就是直径，∴PF1=8．又，∴．∴，故圆心C（0，2），半径为4，故所求的圆的方程为x2+（y﹣2）2=16．点评：本题考查圆的标准方程、双曲线的性质、直线和圆锥曲线的关系，属于中档题．19．（8分）（xx•湖北）已知数列{a n}和{b n}满足：a1=λ，，其中λ为实数，n为正整数．（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{a n}不是等比数列；（Ⅱ）试判断数列{b n}是否为等比数列，并证明你的结论；（Ⅲ）设0＜a＜b，S n为数列{b n}的前n项和．是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜S n＜b？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．考点：等比关系的确定．专题：压轴题．分析：（1）这种证明数列不是等比数列的问题实际上不好表述，我们可以选择反证法来证明，假设存在推出矛盾．（2）用数列a n构造一个新数列，我们写出新数列的第n+1项和第n项之间的关系，发现λ的取值影响数列的性质，所以要对λ进行讨论．（3）根据前面的运算写出数列的前n项和，把不等式写出来观察不等式的特点，构造新函数，根据函数的最值进行验证，注意n的奇偶情况要分类讨论．解答：解：（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使{a n}是等比数列，则有a22=a1a3，即，矛盾．所以{a n}不是等比数列．（Ⅱ）解：因为b n+1=（﹣1）n+1[a n+1﹣3（n+1）+21]=（﹣1）n+1（a n﹣2n+14）=（﹣1）n•（a n﹣3n+21）=﹣b n又b1=﹣（λ+18），所以当λ=﹣18，b n=0（n∈N+），此时{b n}不是等比数列：当λ≠﹣18时，b1=（λ+18）≠0，由上可知b n≠0，∴（n∈N+）．故当λ≠﹣18时，数列{b n}是以﹣（λ+18）为首项，﹣为公比的等比数列．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当λ=﹣18，b n=0，S n=0，不满足题目要求．∴λ≠﹣18，故知b n=﹣（λ+18）•（﹣）n﹣1，于是可得S n=﹣，要使a＜S n＜b对任意正整数n成立，即a＜﹣（λ+18）•[1﹣（﹣）n]＜b（n∈N+）得①当n为正奇数时，1＜f（n）≤；当n为正偶数时，，∴f（n）的最大值为f（1）=，f（n）的最小值为f（2）=，．于是，由①式得a＜﹣（λ+18）＜．当a＜b≤3a时，由﹣b﹣18≥=﹣3a﹣18，不存在实数满足题目要求；当b＞3a存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜S n＜b，且λ的取值范围是（﹣b﹣18，﹣3a﹣18）点评：这道题目的难度要高于高考题的难度，若函数题是一套卷的压轴题，可以出到这个难度，否则本题偏难，本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力．20．（8分）（xx•山东）已知函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=xf'（x），其中f'（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；压轴题；探究型；转化思想．分析：（Ⅰ）由题意，求出函数的导数，再由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x 轴平行可得出f′（1）=0，由此方程即可解出k的值；（II）由（I）知，=，x∈（0，+∞），利用导数解出函数的单调区间即可；（III）先给出g（x）=xf'（x），考查解析式发现当x≥1时，g（x）=xf'（x）≤0＜1+e ﹣2一定成立，由此将问题转化为证明g（x）＜1+e﹣2在0＜x＜1时成立，利用导数求出函数在（0，1）上的最值，与1+e﹣2比较即可得出要证的结论．解答：解：（I）函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），∴=，x∈（0，+∞），由已知，，∴k=1．（II）由（I）知，=，x∈（0，+∞），设h（x）=1﹣xlnx﹣x，x∈（0，+∞），h'（x）=﹣（lnx+2），当x∈（0，e﹣2）时，h'（x）＞0，当x∈（e﹣2，1）时，h'（x）＜0，可得h（x）在x∈（0，e﹣2）时是增函数，在x∈（e﹣2，1）时是减函数，在（1，+∞）上是减函数，又h（1）=0，h（e﹣2）＞0，又x趋向于0时，h（x）的函数值趋向于1∴当0＜x＜1时，h（x）＞0，从而f'（x）＞0，当x＞1时h（x）＜0，从而f'（x）＜0．综上可知，f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+∞）．（III）由（II）可知，当x≥1时，g（x）=xf'（x）≤0＜1+e﹣2，故只需证明g（x）＜1+e﹣2在0＜x＜1时成立．当0＜x＜1时，e x＞1，且g（x）＞0，∴．设F（x）=1﹣xlnx﹣x，x∈（0，1），则F'（x）=﹣（lnx+2），当x∈（0，e﹣2）时，F'（x）＞0，当x∈（e﹣2，1）时，F'（x）＜0，所以当x=e﹣2时，F（x）取得最大值F（e﹣2）=1+e﹣2．所以g（x）＜F（x）≤1+e﹣2．综上，对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．点评：本题考查利用导数研究函数的最值及曲线上某点处的切线方程，解题的关键是灵活利用导数工具进行运算及理解导数与要解决问题的联系，此类题运算量大，易出错，且考查了转化的思想，判断推理的能力，综合性强，是高考常考题型，学习时要严谨认真，注意总结其解题规律．21．（20分）选做题在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．A选修4﹣1：几何证明选讲如图，延长⊙O的半径OA到B，使OA=AB，DE是圆的一条切线，E是切点，过点B作DE的垂线，垂足为点C．求证：∠ACB=∠OAC．B选修4﹣2：矩阵与变换已知矩阵A=，向量．求向量，使得A2=．C选修4﹣3：坐标系与参数方程已知椭圆C的极坐标方程为ρ2=，焦距为2，求实数a的值．D选修4﹣4：不等式选讲已知函数f（x）=（x﹣a）2+（x﹣b）2+（x﹣c）2+（a，b．c为实数）的最小值为m，若a﹣b+2c=3，求m的最小值．考点：特征值、特征向量的应用；弦切角；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；不等式的解法及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：A连接OE，AE，并过点A作AF⊥DE于点F，由DE是切线，知OE⊥DC，由BC⊥DE，知OE∥AF∥BC，由此能够推导出∠ACB=∠OAC．B由A=，知A2==，设=，则，由此能求出向量，使得A2=．C由椭圆C的极坐标方程得到，由此能求出a．D由f（x）=（x﹣a）2+（x﹣b）2+（x﹣c）2+=3（x﹣）2+a2+b2+c2．知x=时，f（x）取最小值a2+b2+c2，即m=a2+b2+c2，由此利用柯西不等式能求出m的最小值．解答：解：A证明：连接OE，AE，并过点A作AF⊥DE于点F，∵DE是圆的一条切线，E是切点，∴OE⊥DC，又∵BC⊥DE，∴OE∥AF∥BC，∴∠CAF=∠ACB，∠FAE=∠AEO，∵OA=OE，∴∠AEO=∠EAO，∴∠EAO=∠FAE，又∵点A是OB的中点，∴点F是EC的中点，∴AE=AC，∴∠CAF=∠FAE，∴∠EAO=∠FAE=∠CAF，∴∠ACB=∠OAC．B∵A=，∴A2==，设=，则，∴=，∴，解得x=﹣1，y=2，∴．C∵椭圆C的极坐标方程为ρ2=，焦距为2，∴，由=1，得a=12．D∵f（x）=（x﹣a）2+（x﹣b）2+（x﹣c）2+=3x2﹣2（a+b+c）x+a2+b2+c2+=3（x﹣）2+a2+b2+c2．∴x=时，f（x）取最小值a2+b2+c2，即m=a2+b2+c2，∵a﹣b+2c=3，由柯西不等式得[12+（﹣1）2+22]•（a2+b2+c2）≥（a﹣b+2c）2=9，∴m=a2+b2+c2，当且仅当，即a=，b=﹣，c=时等号成立，∴m的最小值为．点评：本题考查与圆有关的比例线段的应用，考查矩阵与变换的应用，考查椭圆的极坐标方程，考查柯西不等式的应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，1），P是动点，且三角形POA 的三边所在直线的斜率满足k OP+k OA=k PA．（I）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且，直线OP与QA交于点M，问：是否存在点P使得△PQA和△PAM的面积满足S△PQA=2S△PAM？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．考点：向量在几何中的应用；与直线有关的动点轨迹方程；轨迹方程．专题：综合题．分析：（Ⅰ）设点P（x，y）为所求轨迹上的任意一点，则由k OP+k OA=k PA得，，从而就可以得到轨迹C的方程；（Ⅱ）方法一、设，由可知直线PQ∥OA，则k PQ=k OA，可得x2+x1=﹣1，由O、M、P三点共线可知，与共线，从而可得，这样，我们可以求出M的横坐标，由S△PQA=2S△PAM，得到QA=2AM，因为PQ∥OA，所以OP=2OM，从而可求P的坐标；方法二、设，确定直线OP方程、直线QA方程，我们可以得出点M的横坐标为定值，由S△PQA=2S△PAM，得到QA=2AM，因为PQ∥OA，所以OP=2OM，从而可求P的坐标．解答：解：（Ⅰ）设点P（x，y）为所求轨迹上的任意一点，则由k OP+k OA=k PA得，，整理得轨迹C的方程为y=x2（x≠0且x≠﹣1）．（4分）（Ⅱ）方法一、设，由可知直线PQ∥OA，则k PQ=k OA，故，即x2+x1=﹣1，（6分）由O、M、P三点共线可知，与共线，∴，由（Ⅰ）知x1≠0，故y0=x0x1，（8分）同理，由与共线，∴，即（x2+1）[（x0+1）（x2﹣1）﹣（y0﹣1）]=0，由（Ⅰ）知x1≠﹣1，故（x0+1）（x2﹣1）﹣（y0﹣1）=0，（10分）将y0=x0x1，x2=﹣1﹣x1代入上式得（x0+1）（﹣2﹣x1）﹣（x0x1﹣1）=0，整理得﹣2x0（x1+1）=x1+1，由x≠﹣1得，（12分）由S△PQA=2S△PAM，得到QA=2AM，因为PQ∥OA，所以OP=2OM，由，得x1=1，∴P的坐标为（1，1）．（14分）方法二、设，由可知直线PQ∥OA，则k PQ=k OA，故，即x2=﹣x1﹣1，（6分）∴直线OP方程为：y=x1x①；（8分）直线QA的斜率为：，∴直线QA方程为：y﹣1=（﹣x1﹣2）（x+1），即y=﹣（x1+2）x﹣x1﹣1②；（10分）联立①②，得，∴点M的横坐标为定值．（12分）由S△PQA=2S△PAM，得到QA=2AM，因为PQ∥OA，所以OP=2OM，由，得x1=1，∴P的坐标为（1，1）．（14分）点评：考查向量知识在几何中的运用，实际上就是用坐标表示向量，再进行运算；（Ⅱ）的关键是确定出点M的横坐标为定值．23．（10分）已知（1+）n展开式的各项依次记为a1（x），a2（x），a3（x）…a n（x），a n+1（x）．设F（x）=a1（x）+2a2（x）+2a2（x）+3a3（x）…+na n（x）+（n+1）a n+1（x）．（1）若a1（x），a2（x），a3（x）的系数依次成等差数列，求n的值；（2）求证：对任意x1，x2∈[0，2]，恒有|F（x1）﹣F（x2）|≤2n﹣1（n+2）﹣1．考点：二项式定理；等差数列的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由题意可得a k（x）=•，求得a1（x），a2（x），a3（x）的系数，根据前三项的系数成等差数列求得n的值．（2）由F（x）的解析式求得F（2）═+2+3+…+（n+1），设S n=+2+3+…+（n+1），利用二项式系数的性质求得S n=（n+2）•2n﹣2．再利用导数可得F（x）在[0，2]上是增函数可得对任意x1，x2∈[0，2]，恒有|F（x1）﹣F（x2）|≤F（2）﹣F（0）=2n﹣1（n+2）﹣1．解答：解：（1）由题意可得a k（x）=•，k=1、2、3，…n+1，故a1（x），a2（x），a3（x）的系数依次为=1，•=，=．再由2×=1+，解得n=8．（2）∵F（x）=a1（x）+2a2（x）+2a2（x）+3a3（x）…+na n（x）+（n+1）a n+1（x）=+2•（）+3•+（n+1）•，∴F（2）=+2+3+…+（n+1）．设S n=+2+3+…+（n+1），则有S n=（n+1）+n+…+3+2+．把以上2个式子相加，并利用= 可得2S n=（n+2）[+++…+]=（n+2）•2n﹣1，∴S n=（n+2）•2n﹣2．当x∈[0，2]时，由于F′（x）＞0，∴F（x）在[0，2]上是增函数，故对任意x1，x2∈[0，2]，恒有|F（x1）﹣F（x2）|≤F（2）﹣F（0）=2n﹣1（n+2）﹣1，命题得证．点评：本题主要考查等差数列的性质，二项式定理的应用，二项式系数的性质，利用导数研究函数的单调性，根据函数的单调性求函数的值域，属于中档题．|40621 9EAD 麭26417 6731 朱29543 7367 獧21421 53AD 厭N38388 95F4 间#20166 4EC6 仆>^24909 614D 慍24462 5F8E 徎20444 4FDC 俜。

2021年高三上学期第二次阶段考试 数学一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（理科答）由曲线y =x 2,y =x 3围成的封闭图形面积为 ( ) A. B .C.D. )（文科答）若0<x <y <1，则( ) A ． log 4x <log 4yB ．log x 3<log y 3C ． 3y <3xD.⎝ ⎛⎭⎪⎫14x <⎝ ⎛⎭⎪⎫14y2. 设全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合M ＝{1,4}，N ＝{1,3，5}，则N ∩(∁U M )=( )．A. {3,5}B. {2,3,5}C. {1,3,5}D. {1,4} 3.12×4+14×6+16×8+，…，+12n (2n ＋2)=( ) A. n 2n ＋2 B. n4n ＋4C.2n n ＋1 D .2n2n ＋14．已知a ＝(－1，－2)，b ＝(2，－3)，当k a ＋b 与a ＋2b 平行时，k 的值为( )A. 14 B ． －14C ． －12 D. 125. 已知数列{a n }的前n 项和S n =(n 2+n ) 2n ,则数列{}的前n 项和T n =( )A. (n-1)2n -2B. (n+2)2n -1C. (n+2)2n -2D. (n+2)2n+1 -26. 已知A 是△ABC 的内角，则“sin A ＝32”是“tan A ＝3”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x ≥0)，－1(x <0)，则不等式x ＋(x ＋2)f (x ＋2)≤5的解集为( )．A . ⎝⎛⎦⎤－∞，32B ．C ． （-∞,2]D ． [1,2]8.2＋2cos 2＋21－sin 2的化简结果是( ) A ． 2sin 1－2cos 1 B ． 2sin 1 C ． 2cos 1D ． －2sin 19 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图①中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数,由三角形数构成数列{a n }；类似地，称图②中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．由正方形数构成数列 {b n }. 1 225既是三角形数数列{a n }中的第m 项又是正方形数数列 {b n }中第k 项,则m+k=( )A ． 75B ． 86C ．85D ．8410．下列说法中，正确的是( )①对于定义域为R 的函数f (x )，若函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (1－x )，则函数f (x )的图象关于x ＝1对称；②当a ＞1时，任取x ∈R 都有a x ＞a －x ；③“a ＝1”是“函数f (x )＝lg(ax ＋1)在(0，＋∞)上单调递增”的充分必要条件④设a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x a 的定义域为R 且该函数为奇函数的所有a 的值为1,3 ；⑤已知a 是函数f (x )＝2x －log 0.5 x 的零点，若0<x 0<a ，则f (x 0)<0． A ．①④ B ．①④⑤ C ．②③④D ．①⑤11 .已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2.当x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2时，则 f (x )的值域为( )．A ．[-2,2]B ． [-2,1]C ．[－1,2]D ． [-1,1]12. △ABC 的外心为O ，AB ＝2，AC ＝3，BC ＝7，则AO →·BC →等于( )A.32B. 3 C ．2D ．52二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上. 13. 若(x －i)i ＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数z ＝x ＋y i 虚部为________ 14 . 已知|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为45°，使向量(2a ＋λb )与(λa －3b )的夹角是锐角的λ的取值范围为______________．15．已知sin α＋cos α＝355，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝35，β∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. 则cos(α＋2β)的值为___________.16. 数列是等差数列, 其中 , 则通项公式为________三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17 ( 10分)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .若sin B ＋sin C ＝1，求△ABC 的各角的大小．18 (12分)已知数列{a n }的首项a 1， a 3= ,a n ＋1＝2a na n ＋1(n ＝1,2，…)．(1) 求a 1(2) 证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n－1是等比数列；(3) 求数列通项公式a n19 (12分) 已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R, a >0)． (1)求函数f (x )的单调区间； (2)求函数f (x )在[1,2]上的最小值20 (12分)已知函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π12，g (x )＝1＋12sin 2x . (1)设x ＝x 0是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴，求g (x 0)的值； (2)求函数h (x )＝f (x )＋g (x )的单调递增区间 21．（文科只答前两问12分；理科三问全答12分）已知正项数列中，，点在抛物线上；数列中，点在过点，以方向向量为的直线上.（Ⅰ）求数列的通项公式；(文理共答)（Ⅱ）若，问是否存在，使成立，若存在，求出值；若不存在，说明理由；(文理共答)（Ⅲ）对任意正整数，不等式1120111111n n a b b b +≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立，求正数的取值范围. (只理科答) 22.设函数在上是增函数.（1） 求正实数的取值范围； （2） 设，求证：大庆铁人中学高三年级上学期第二次阶段考试数学答题纸一、选择题二、填空题13、___________________ 14、________________________15、___________________ 16、________________________ 三、解答题 17、18、19、20、21、22、大庆铁人中学高三年级上学期第二次阶段考试数学试题答案1~6AABDCB 7~12 ABDBCD13. 1 14. { λ |λ>2或λ<－3 } 15 . －1152516 . 或17 解 根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故cos A ＝－12.又A ∈(0，π)，故A ＝2π3. 5分由sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C . 又sin B ＋sin C ＝1 ，得sin B ＝sin C ＝12.B=C=π610分18 (1)a 1＝234分(2)∵a n ＋1＝2a n a n ＋1，∴1a n ＋1＝a n ＋12a n ＝12＋12a n，∴1a n ＋1－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1，又a 1＝23，∴1a 1－1＝12≠0，∴1a n－1≠0， 6分 ∴1a n ＋1－11a n－1＝12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是以12为首项，12为公比的等比数列. 8分(2)由(1)知1a n－1＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n. 即1a n＝12n ＋1，∴ 12分19 (12分)解 (1) 函数f (x )的定义域 为(0，＋∞).f ′(x )＝1－axx 2分 因为 a >0，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a ； 当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－ax x >0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x <0，故函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞. 4分(2) ①当0<1a ≤1，即a ≥1时，函数f (x )在区间[1,2]上是减函数，∴f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2a . 6分②当1a ≥2，即0<a ≤12时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，∴f (x )的最小值是f (1)＝－a . 8分③当1<1a <2，即12<a <1时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1a 上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，2上是减函数．又f (2)－f (1)＝ln 2－a ，∴当12<a <ln 2时，f (x )的最小值是f (1)＝－a ；当ln 2≤a <1时，f (x )的最小值为f (2)＝ln 2－2a . 10分 综上可知，当0<a <ln 2时，函数f (x )的最小值是f (x )min ＝－a ；当a ≥ln 2时，函数f (x )的最小值是f (x )min ＝ln 2－2a . 12分20 (12分)解 (1)由题设知f (x )＝12⎣⎡⎦⎤1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. ∵x ＝x 0是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴， ∴2x 0＋π6＝k π(k ∈Z )，即2x 0＝k π－π6(k ∈Z )．∴g (x 0)＝1＋12sin 2x 0＝1＋12sin ⎝⎛⎭⎫k π－π6(k ∈Z ). 4分 当k 为偶数时，g (x 0)＝1＋12sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝1－14＝34； 5分 当k 为奇数时，g (x 0)＝1＋12sin π6＝1＋14＝54. 6分(2)h (x )＝f (x )＋g (x )＝12⎣⎡⎦⎤1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1＋12sin 2x ＝12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋sin 2x ＋32 ＝12⎝⎛⎭⎫32cos 2x ＋12sin 2x ＋32＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋32. 9分当2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )即k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )时，函数h (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋32是增函数， 11分 故函数h (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z ). 12分 21．（12分）解：（Ⅰ）将点代入中得………………………（4分） （Ⅱ）()()()()()()27274275421,42735227145,24k k f k f k k k k k k k k k k ++=∴++=+∴=+∴++=+∴==当为偶数时，为奇数， 当为奇数时，为偶数，舍去综上，存在唯一的符合条件。

2021年高三上学期第二次段考数学（理）试题含答案一、选择题（本大题共小题，每小题分，共6分在每个题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将答案填写在答卷纸上）1. 若，是虚数单位，则乘积的值是（）A． B． C． D．2．已知集合，集合，则（）A． B． C． D．3．已知，“函数有零点”是“函数在上为减函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．在中，内角所对的边分别是．若，，则的面积是（）A．3 B．C．D．5．已知，，则等于( )A．B．C．D．6．已知向量满足，且与夹角的余弦值为，则可以是（）A．4 B．-3 C．D．-27．如图，的边长为，分别是中点，记，，则（）A.B.C.D. ，但的值不确定8．数列满足，且对任意的，都有，则等于（）A．B．C． D．9．已知定义在上的奇函数满足：当时，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．10．若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则（）A．6 B．7 C．8 D．911．已知函数，则（）A．xx B．2016 C．4034 D．403212．定义：如果函数在上存在满足，，则称函数是上的“双中值函数”，已知函数是上“双中值函数”，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设4710313()22222()n f n n N +*=+++++∈，则等于____________14．某工厂实施煤改电工程防治雾霾，欲拆除高为的烟囱，测绘人员取与烟囱底部在同一水平面内的两个观测点，测得米，并在点处的正上方处观测顶部的仰角为，且米，则烟囱高____________米．15．设，若函数的最小值为1，则 .16．对于函数有六个不同的单调区间, 则的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．设命题函数的值域为；命题对一切实数恒成立，若命题“”为假命题，求实数的取值范围.18．已知的面积满足, 且, .（1）若(sin 2,cos 2),(cos 2,sin 2)m A A n B B ==,求的取值范围；（2）求函数()sin()cos cos()244f ππθθθθθ=+-+--的最大值.19．已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，满足．（1）求数列、通项公式；（2）设，求数列的前项和为．20. 设的内角所对的边分别为，且．（1）求角的大小；（2）若，求的周长的取值范围．21．已知数列的前项和为，且满足．（1）是否为等差数列？证明你的结论；（2）求和；（3）求证：．22．已知，.（1）求函数的极值；（2）若函数在区间内有两个零点，求的取值范围；（3）求证：当时，.丰城中学xx 学年上学期高三第二次段考试卷答案1．C【解析】,.2. A【解析】集合，集合，故．3. B【解析】因为“函数有零点”，所以，因为“函数在上为减函数”，所以，“函数有零点”是“函数在上为减函数”的必要不充分条件，故选B.4. C【解析】由，得 ，由余弦定理得，，得，则的面积是，选C ．5. D【解析】π34sin()sin sin sin 32665ππαααααα⎛⎫⎛⎫++==+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又，所以2π4cos cos sin 32665πππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 6. D 【解析】由已知向量满足，且与夹角的余弦值为， 则12()49233a a b a a b a b +=+⨯=⨯++，即， 所以或。

福建省南平市建瓯市芝华中学2021-2022高一数学上学期期中试题（B卷）（含解析）一、选择题：1.设合集{}2,1,0,2M =--，{}2|N x x x ==，则M C N =（ ）A. {}01，B. {}2,1,2--C. {}2,1,0,2--D.2,0,2【答案】B 【解析】设合集{}2,1,0,2M =--，{}2|N x x x=={}0,1=，根据集合的补集的概念得到{}2,1,2M C N =--故答案为：B 。

2.函数lg(2)y x =-的定义域是 （ ） A. [1，+∞) B. (1,+∞)C. (2，+∞)D. [2，+∞)【答案】C 【解析】本题考查函数的定义域.根据解析式确定函数定义域，使函数解析式有意义的自变量的取值范围.要使函数lg(2)y x =-有意义，需使20,2;x x ->>即所以函数的定义域是(2,).+∞ 故选C3.若m n 、为两条不同的直线，αβ、为两个不同的平面，则以下命题正确的是（ ） A. 若//m n αα⊂，，则//m n B. 若m m n αβ⋂=⊥，，则n α⊥ C. 若////m n αα，，则//m nD. 若//m m n αβαβ⊂⋂=，，，则//m n 【答案】D试题分析：由题意得，A 中，若//m n αα⊂，，则m 与n 平行或异面，所以不真确；B 中，若m m n αβ⋂=⊥，，则n 与α也可能是平行的，所以不正确；C 中，若////m n αα，，则m 与n 平行或异面、相交，所以不正确；根据直线与平面平行的性质定理可知，D 是正确，故选D ．考点：线面位置关系的判定．4.下列函数中，既是偶函数又在()0+∞，上单调递增的函数是（ ） A. 21y x =-B. 3y x =C. ln y x =D.+1=y x【答案】D 【解析】 【分析】由函数的奇偶性和单调性的定义和性质，对选项一一加以判断，即可得到既是偶函数又在(0,)+∞上单调递增的函数．【详解】对于A ．24y x =-+，有()()f x f x -=，是偶函数，但0x >时为减函数，故排除A ；对于B .3y x =，由3()()f x x f x -=-=-，为奇函数，故排除B ；对于C .ln y x =，由于定义域()0,x ∈+∞，不关于原点对称，故函数不具有奇偶性，故排除C ；对于D .||1y x =+，由()||1()f x x f x -=-+=，为偶函数，当0x >时，1y x =+，是增函数，故D 正确； 故选：D ．【点睛】本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性和单调性及运用，注意定义的运用，以及函数的定义域，属于基础题和易错题．5.函数()33log f x x x =-+的零点所在区间是( ) A. ()0,1B. ()1,2C. ()2,3D. ()3,+∞【解析】 【分析】计算各区间端点的函数值，根据零点的存在性定理判断． 【详解】()f x 在()0,+∞上为增函数，且()120f =-<，()3321log 21log 30f =-+<-+=，()33log 310f ==>，()()230f f ∴<，()f x ∴的零点所在区间为()2,3．故选：C ．【点睛】本题考查了函数零点的存在性定理，对数运算，属于基础题. 6.一空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 1B. 3C. 6D. 2【答案】D 【解析】 【分析】几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，直角梯形的上底是1，下底是2，垂直于底边的腰是2，一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是2.【详解】由三视图可知，几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形， 直角梯形的上底是1，下底是2，垂直于底边的腰是2， 一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是2.∴四棱锥的体积是()12212232+⨯⨯⨯=.故选D.【点睛】本题考查由三视图求几何体的体积，由三视图求几何体的体积，关键是由三视图还原几何体，同时还需掌握求体积的常用技巧如：割补法和等价转化法． 7.函数()21log f x x =+与()12xg x -=在同一坐标系中的图象大致是（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】结合函数的解析式，判断函数2()1log f x x =+的图象，然后判断1()2xg x -=的形状即可．【详解】解：因为函数()21log f x x =+过1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，排除A ；()12x g x -=是减函数，且与y 轴的交点为()0,2，排除B 和D ，故选C ．【点睛】本题考查函数的图象的判断，注意常见函数的性质的应用，是基础题． 8.如图是水平放置的平面图形的斜二测直观图，其原来平面图形面积是（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B 【解析】试题分析：如图所示斜二测画法下的三角形的面积为，那么原来平面图形的面积,故选B.考点：斜二测画法 9.已知函数7(13)10,(7)(),(7)x a x a x f x a x --+≤⎧=⎨>⎩是定义域R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( ) A. 11(,)32B. 16(,]311C. 12[,)23D. 16(,]211【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数单调性的性质建立不等式关系进行求解. 【详解】若f （x ）是定义域（-∞，+∞）上的减函数，则满足 ()7701130713101a a a a a -⎧⎪-⎨⎪-+≥⎩＜＜＜＝即0113611a a a ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪≤⎪⎩＜＜＞ ，整理得16311a <≤.故选：B【点睛】本题考查了分段函数单调性的应用，根据分段函数的性质建立不等式是解决本题的关键.10.某正方体的平面展开图如图所示，则在这个正方体中（ ）A. NC 与DE 相交B. CM 与ED 平行C. AF 与CN 平行D. AF 与CM 异面【答案】B 【解析】根据题意得到立体图如图所示：A NC 与DE 是异面直线，故不相交；BC M 与ED 平行，由立体图知是正确的； C AF 与CN 位于两个平行平面内，故不正确； D AF 与CM 是相交的。

福建省建瓯市芝华中学2021届高三数学上学期第二次阶段考（期中）试题满分：150分 考试时长：120分钟 使用日期：2021.11.15 出卷人：一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,7,2,3,4,5,2,3,6,7U U A B A C B ===⋂=，则（ ） A. {}1,4B. {}1,4,5C. {}4,5D. {}6,72.若复数1a iz i+=-在复平面内对应的点在第二象限内，则实数a 的值可以是（ ） A.1B.0C. 1-D. 2-3.甲、乙、丙三人中，一人是律师，一个是医生，一人是记者.已知丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小.根据以上情况，下列判断正确的是（ ） A.甲是律师，乙是医生，丙是记者 B.甲是医生，乙是记者，丙是律师 C.甲是医生，乙是律师，丙是记者D.甲是记者，乙是医生，丙是律师4. 设p ：实数x 满足()()21005x a x a a -++≤<<，q ：实数x 满足ln 2x <，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.设函数()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()cos x f x e x =-，则不等式()()2120f x f x -+->的解集为（ ）A. (),1-∞B. 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. 1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D. ()1,+∞6.《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二士岁，…，生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”.某老年公寓住有20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中年长者已是奔百之龄（年龄介于90-100），其余19人的年龄依次相差一岁，则年长者的年龄为（ ） A.94B.95C.96D.987.在四面体ABCD 中，ABC BCD ∆∆和均是边长为1的等边三角形，已知四面体ABCD 的四个顶点都在同一球面上，且AD 是该球的直径，则四面体ABCD 的体积为（ ）A.24B.12C.6D.48.设正实数m 、n 满足2m n +=，则下列说法不正确的是（ ） A ．2n m n+的最小值为3 B ．mn 的最大值为1C 的最小值为2D ．22m n +的最小值为2二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9.我国是世界第一产粮大国，我国粮食产量很高，整体很安全.按照14亿人口计算，中国人均粮食产量约为950斤——比全球人均粮食产量高了约250斤.下图是中国国家统计局网站中2010-2019年，我国粮食产量（千万吨）与年末总人口（千万人）的条形图，根据下图可知在2010-2019年（ ）A.我国粮食年产量与年末总人口均逐年递增B.2011年我国粮食年产量的年增长率最大C.2015年-2019年我国粮食年产量相对稳定D.2015年我国人均粮食年产量达到了最高峰 10.若1,0a b c <<->，则下列不等式中一定成立的是（ ）A. 11a b a b->-B. 11a b b a-<-C. ()ln 0b a ->D. c ca b b a ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11.在单位圆22:1O x y +=上任取一点(),P x y ，圆O 与x 轴正向的交点是A ，设将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角为θ，记,x y θ关于的表达式分别为()(),x f y g θθ==，则下列说法正确的是（ ） A. ()x fθ=是偶函数，()y g θ=是奇函数 B. ()x fθ=在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为增函数，()y g θ=在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为减函数 C. ()()102f g πθθθ⎡⎤+≥∈⎢⎥⎣⎦对于，恒成立D.函数()()22t fg θθ=+的最大值为3312.如图，平面α⋂平面,,l A C βα=是内不同的两点，B,D 是β内不同的两点，且A,B,C,D ∉直线l ，M,N 分别是线段AB,CD的中点.下列判断正确的是（ ）A.若AB//CD ，则//MN lB.若M,N 重合，则//AC lC.若AB 与CD 相交，且//AC l ，则BD 可以与l 相交D.若AB 与CD 是异面直线，则MN 不可能与l 平行 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态.已知两条绳上的拉力分别是12,F F ，且12,F F 与水平夹角均为1245102F F N ==，，则物体的重力大小为_________N.14.已知50sin tan 245ππααα⎛⎫⎛⎫∈-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，则__________. 15.植树造林，绿化祖国.某班级义务劳动志愿者小组参加植树活动，准备在一抛物线形地块上的ABCDGFG 七点处各种植一棵树苗，如图所示，其中A 、B 、C 分别与E 、F 、G 关于抛物线的对称轴对称.现有三种树苗，要求每种树苗至少种植一棵，且关于抛物线的对称轴对称的两点处必须种植同一种树苗，则共有不同的种植方法是_________.（用数字作答） 16.已知函数()32ln ,1231,1x x f x x x x ≥⎧=⎨-+<⎩，则[]1,x e ∈-时，()f x 的最小值为________，设()()()2g x f x f x a =-+⎡⎤⎣⎦，若函数()g x 有6个零点，则实数a 的取值范围是_________.(本题第一空2分，第二空3分)四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10分）在ABC ∆中，角A,B,C所对的边分别为,,3a b c a A π==，已知.（1）若4B π=，求b ；（2）求ABC ∆面积的最大值.18.（12分）已知数列{}n a 为正项等比数列，11a =；数列{}n b 满足21122333,b a b a b a b =++⋅⋅⋅()3232n n n a b n +=+-.（1）求n a ；（2）求11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .19. 已知函数()322312f x x x x m =--+.（1）若1m =，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程； （2）若函数()f x 有3个零点，求实数m 的取值范围20.（12分）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答.①AB BC ⊥，②FC 与平面ABCD 所成的角为6π，③3ABC π∠=.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，且PA=AB=2,PD 的中点F.（1）在线段AB 上是否存在一点G ，使得AF//平面PCG ？若存在，指出G 在AB 上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.（2）若__________，求二面角F AC D --的余弦值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.21.（12分）2020年初，新型冠状病毒肺炎爆发时，我国政府迅速采取强有力措施抗击疫情，赢得了国际社会的高度评价，在这期间，为保证抗疫物资的质量，我国也加大了质量检查的力度．某市2020年初新增加了甲、乙两家专门生产消毒液的工厂，质检部门现从这两家工厂中各随机抽取了100瓶消毒液，检测其质量，得到甲厂所生产的消毒液的质量指标值的频率分布直方图如图所示，乙厂所生产的消毒液质量指标值的频数分布表如表所示（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，视频率为概率）质量指标值[)0,10[)10,20[)20,30[)30,40[)40,50频数2010301525（1）规定：消毒液的质量指标值越高，消毒液的质量越好．已求得甲厂所生产的消毒液的质量指标值的中位数为2263，乙厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数为26.5，分别求甲厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数以及乙厂所生产的消毒液的质量指标值的中位数，并针对这两家工厂所生产的消毒液的质量情况写出两条统计结论； （2）甲厂生产的消毒液的质量指标值Z 近似地服从正态分布()2,Nμσ，其中μ近似为样本平均数x ，并已求得11.95σ=．该厂决定将消毒液分为A ，B ，C 级三个等级，其中质量指标值Z 不高于2.6的为C 级，高于38.45的为A 级，其余为B 级，请利用该正态分布模型解决下列问题：（ⅰ）甲厂近期生产了10万瓶消毒液，试估计其中B 级消毒液的总瓶数； （ⅱ）已知每瓶消毒液的等级与出厂价X （单位：元/瓶）的关系如下表所示：假定甲厂半年消毒液的生产量为1000万瓶，且消毒液全都能销售出去．若每瓶消毒液的成本为20元，工厂的总投资为4千万元（含引进生产线、兴建厂房等一切费用在内），问：甲厂能否在半年之内收回投资？试说明理由． 附：若()2,ZN μσ，则()0.6827P Z μσμσ-<≤+=，()220.9545P Z μσμσ-<≤+=，()330.9973P Z μσμσ-<≤+=．22.（12分）已知函数()()1ln ,xe f x a x g x x x=+=.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：()()211ln e a f x g x x e x ⎛⎫=+-+> ⎪⎝⎭时，.2020-2021学年上期高三第二次月考数学参考答案一、单项选择题：1-4 CBCA 5-8 DBBC二、多选题：9、BCD 10.BD 11.ACD 12.BD三、填空题：13.20 14. 3 15. 36 16.19.（1）12y x =-；（2）()7,20-.【解析】【分析】（1）求出()f x 的导数，求出()1f '即为切线斜率，再求出()1f ，即可利用点斜式求出切线方程；（2）利用导数讨论()f x 的变化情况，求出极大值和极小值，即可根据题意建立不等式，求出m 的取值范围.【详解】（1）由题意，()26612f x x x '=--，故()112f '=-， 又当1m =时，()12312112f =--+=-，故所求的切线方程为()12121y x +=--，即12y x =-.（2）由题意，()()()()22661262612f x x x x x x x '=--=--=+-， 令()0f x '=，得1x =-或2x =，故当(),1x ∈-∞-时，()0f x '>，当()1,2x ∈-时，()0f x '<，当()2,x ∈+∞时，()0f x '> 故当1x =-时，函数()f x 有极大值()()()121311217f m m -=⨯--⨯-⨯-+=+， 当2x =时，函数()f x 有极小值()2283412220f m m =⨯-⨯-⨯+=-.若函数()f x 有3个零点，实数m 满足70200m m +>⎧⎨-<⎩，解得720m -<<， 即实数m 的取值范围为()7,20-.【点睛】本题考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究函数的零点问题，属于中档题. 20.21．（1）26.5；2263；答案见解析；（2）（ⅰ）B 级消毒液有81860瓶；（ⅱ）甲厂能在半年之内收回投资．理由见解析.【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图和频率分布表求出平均数、众数，然后对两家工厂生产的消毒液质量指标值作比较得出方案；（2）根据()()2.638.452P Z P Z μσμσ<≤=-<≤+模型可求出；（3）列出Y 的分布列，可求出期望，然后再作比较可得答案.【详解】（1）甲厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数为50.1150.2250.3350.25450.1526.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=甲．设乙厂生产的消毒液的质量指标值的中位数为n ，则()0.20.1200.030.5n ++-⨯=，解得2263n =． 统计结论：（答案不唯一，任意两个即可，其他答案如果叙述正确也给分）①两家工厂生产的消毒液质量指标值的平均数相等，从这个角度看这两家工厂生产的消毒液质量基本相当；②由数据波动的情况可知，乙厂生产的消毒液质量的方差大于甲厂生产的消毒液质量的方差，说明甲厂生产的消毒液比乙厂生产的消毒液的质量更稳定．③两家工厂生产的消毒液质量指标值的平均数相同，但乙厂生产的消毒液质量的方差大于甲厂生产的消毒液质量的方差，所以甲厂生产的消毒液更好．④两家工厂所生产的消毒液的质量指标值的众数均等于25． ⑤两家工厂所生产的消毒液的质量指标值的中位数均为2263． ⑥甲厂生产的消毒液质量集中在平均数附近，乙厂生产的消毒液中质量指标值特别小和质量指标值特别大的较多．（2）（ⅰ）()()2.638.452P Z P Z μσμσ<≤=-<≤+()()1222P Z P Z μσμσμσμσ=-<≤++-<≤+⎡⎤⎣⎦0.8186=， 因为1000000.818681860⨯=，所以可估计甲厂所生产的这10万瓶消毒液中，B 级消毒液有81860瓶．（ⅱ）设每瓶消毒液的利润为Y 元，则Y 的可能取值为10，5，4-，()()1038.45P Y P Z ==≥()P Z μσ=≥+()112P Z μσμσ=--<<+⎡⎤⎣⎦ ()110.68272=-0.15865=， 由（ⅰ）知()()5 2.638.450.1816P Y P Z ==<<=，所以()410.81860.158650.02275P Y =-=--=，故Y 的分布列为所以每瓶消毒液的平均利润为()100.1586550.818640.02275 5.5885E Y =⨯+⨯-⨯=（元）， 故生产半年消毒液所获利润为1 5.5885 5.5885⨯=（千万元），而5．5885（千万元）>4（千万元），所以甲厂能在半年之内收回投资．【点睛】本题考查了根据频率分布直方图、频率分布表求平均数、中位数，正态分布的性质及随机变量的分布列.22.。

福建省南平市建瓯市芝华中学2021-2022高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题，每题只有一个答案符合要求.1. 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是（ ）A.2π B.4π C.6π D.8π 【答案】B 【解析】试题分析：本题是几何概型问题，矩形面积2，半圆面积，所以质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是，故选B ．考点：几何概型．2.有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A.45B.35C.25D.15【答案】C 【解析】选取两支彩笔方法有25C 种，含有红色彩笔的选法为14C 种，由古典概型公式，满足题意的概率值为142542105C p C ===. 本题选择C 选项.考点：古典概型名师点睛：对于古典概型问题主要把握基本事件的种数和符合要求的事件种数，基本事件的种数要注意区别是排列问题还是组合问题，看抽取时是有、无顺序，本题从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，是组合问题，当然简单问题建议采取列举法更直观一些.3.某校高二（1）班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信息，可确定被抽测的人数及分数在[90,100]内的人数分别为（ ）A. 20，2B. 24，4C. 25，2D. 25，4【答案】C 【解析】由频率分布直方图可知，组距为[)10,50,60的频率为0.008100.08⨯=，由茎叶图可知[)50,60的人数为2，设参加本次考试的总人数为N ，则所以2250.08N ==，根据频率分布直方图可知[]90,100内的人数与[)50,60的人数一样，都是2，故选C.4.已知双曲线离心率2e =,与椭圆221248x y +=有相同的焦点,则该双曲线渐近线方程是()A. 13y x =±B. 33y x =±C. 3y x =D.23y x =±【答案】C 【解析】 【分析】先求出椭圆221248x y +=的焦点()4,0和()4,0-，所以双曲线方程可设为22221x y a b-=，所以其渐近线方程为by x a=±，由题意得双曲线的4c =，再根据其离心率2e =，求出a ，根据222c a b =+，得到b ，从而得到双曲线的渐近线方程，求出答案.【详解】因为椭圆221248x y +=，其焦点为()4,0和()4,0-，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，所以设双曲线的方程为22221x y a b-=，则其渐近线方程为b y x a =±，且双曲线中4c = 因为双曲线的离心率2ce a==，所以2a =， 又因双曲线中222c a b =+所以22212b c a =-=，即b =所以双曲线的渐近线方程为y = 故选C 项.【点睛】本题考查根据双曲线的离心率和焦点求,,a b c ，双曲线的渐近线，属于简单题. 5.设命题2:,420p x R x x m ∀∈-+≥ (其中m 为常数)，则“m 1≥”是“命题p 为真命题”（ ） A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分且必要 D. 既不充分也不必要【答案】B 【解析】 【分析】命题p ：x ∈R ，x 2﹣4x +2m ≥0（其中m 为常数），由△＝16﹣8m ≤0，解得m 范围即可判断出结论．【详解】若命题p 为真，则对任意x ∈R ，2420x x m -+≥恒成立，所以1680m ∆=-≤，即21m m ≥⇒≥.因为2m ≥，则“m 1≥”是“命题p 为真”的必要不充分条件， 选B .【点睛】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.为了研究某班学生的脚长x （单位厘米）和身高y （单位厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+．已知101225i i x ==∑，1011600i i y ==∑，ˆ4b =．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（ ） A. 160 B. 163C. 166D. 170【答案】C 【解析】【详解】由已知22.5,160x y ==,160422.570,424166ˆ70ay ∴=-⨯==⨯+=， 故选C. 7.若命题p ：函数22y x x =-的单调递增区间是[1,)+∞，命题q ：函数1y x x=-的单调递增区间是[1,)+∞，则（ ） A. p q ∧是真命题 B. p q ∨是假命题 C. p ⌝是真命题 D. q ⌝是真命题【答案】D 【解析】 【分析】由二次函数的单调性可判断命题p 为真，利用增+增为增结合函数的定义域可得增区间进而知命题q 为假命题，从而可得解.【详解】命题p ：函数22y x x =-的对称轴为1x =，且开口向上，所以在[1,)+∞上单调递增，命题p 为真； 命题q ：函数1y x x =-的定义域为{|0}x x ≠，且y x =和1y x=-为增函数，所以函数1y x x=-的增区间为(,0)-∞和(0,)+∞，所以命题q 为假命题.所以q ⌝是真命题.故选：D.【点睛】本题主要考查了函数的单调性及复合命题的真假判断，注意区别在区间上单调递增和增区间的区间，属于基础题.8.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，设1AA a =，AB b =，AD c =，N 是BC 的中点，试用a ，b ，c 表示1A N （ ）A. 12a b c -++B. a b c -++C. 12a b c --+D.12a b c -+【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的线性表示，用1AA ，AB ，AD 表示出1A N 即可． 【详解】解：N 是BC 的中点，11111222A N A A AB BN a b BC a b AD a b c ∴=++=-++=-++=-++.故选：A.【点睛】本题考查了空间向量的线性表示与应用问题，是基础题目．9.设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是C 上的点，2PF ⊥1F 2F ，∠12PF F =30，则C 的离心率为（ ） A.36B.13C.123 【答案】D 【解析】由题意可设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|3m ，故离心率e ＝1212233223F F c m a PF PF m m ===++选D. 点睛：解决椭圆和双曲线离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.10.正四棱锥S ABCD -中，2SA AB ==，则直线AC 与平面SBC 所成角的正弦值为（ ） A.3B.66C.33D.63【答案】C 【解析】 【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出AC 和平面SBC 的法向量n ，直线AC 与平面SBC 所成角的正弦值即为AC 与n 的夹角的余弦值的绝对值，利用夹角公式求出即可. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.有图知2222222SO SA AO =-=-=由题得()1,1,0A -、()1,1,0C -、()1,1,0B 、(2S .()2,2,0CA ∴=-，(1,2BS =--，(1,2CS =-.设平面SBC 的一个法向量(),,n x y z =，则00n BS n CS ⎧⋅=⎨⋅=⎩，2020x y z x y z ⎧--+=⎪∴⎨-+=⎪⎩，令2z =，得0x =，2y =，()0,2,2n ∴=.设直线AC 与平面SBC 所成的角为θ，则sin cos ,AC n θ===故选：C.【点睛】本题考查线面角的求解，利用向量法可简化分析过程，直接用计算的方式解决问题，是基础题.11.已知P 为抛物线24y x =上一个动点，Q 为圆()2241x y +-=上一个动点，那么点P 到点Q距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是（ ）A. 5B. 821【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的定义可知P 到准线的距离等于点P 到焦点的距离，进而问题转化为求点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的焦点距离之和的最小值，根据图象可知当P ，Q ，F 三点共线时P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的焦点距离之和的最小,进一步求QF 的最小值，为圆心到焦点F 的距离减去圆的半径． 【详解】设圆心为C ，则()0,4C，半径1r =，设抛物线的焦点()1,0F ，据抛物线的定义知，点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线准线距离之和为221141171PQ PF QF CF +≥≥-=+=.故选：D.【点睛】本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想．12.已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，(0,66A ，当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为（ ） A. 26 B. 6C. 6D. 6【答案】C 【解析】 【分析】利用双曲线的定义，确定APF ∆周长最小时，P 的坐标，即可求出APF ∆周长最小时，该三角形的面积．【详解】设双曲线的左焦点为1F ，由双曲线定义知，12PF a PF =+，APF ∴∆的周长为1122PA PF AF PA a PF AF PA PF AF a ++=+++=+++，由于2a AF +是定值，要使APF ∆的周长最小，则1PA PF +最小，即P 、A 、1F 共线，()0,66A ，()13,0F -，∴直线1AF 的方程为1366x +=-， 即326x =-代入2218y x -=整理得266960y y +-=，解得26y =或86y =-（舍），所以P 点的纵坐标为26，111166662612622APF AFF PFF S S S ∆∆∆∴=-=⨯⨯-⨯⨯=.故选：C.【点睛】本题考查双曲线的定义，考查三角形面积的计算，确定点P 的坐标是关键． 二、填空题13.命题：2,210x R ax x ∀∈++<的否定为____________【答案】2000,210x R ax x ∃∈++≥【解析】 【分析】直接利用全称命题的否定解答.【详解】由题全称命题的否定为特称命题，所以2,210x R ax x ∀∈++<的否定为2000,210x R ax x ∃∈++≥.故答案为：2000,210x R ax x ∃∈++≥【点睛】本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14.在直三棱柱111ABC A B C -中,若1BAC 90,AB ACAA ，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于_________ 【答案】60 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系分别求得1=(0,1,1)BA ，1(1,0,1)AC ，再利用111111,cos BA AC BA AC BA AC 即可得到所求角大小。

2021年高三上学期第二次阶段考试数学理试题含答案注意：本卷满分150分，考试时间120分钟．答案应填（涂）在答题卷相应的位置上，否则无效．考试结束后，试卷自己带回保存，只交答题卷．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）1、若复数是纯虚数（是虚数单位），则实数（）A． B． C． D．或2、已知集合，，若，则实数（）A． B． C． D．3、图分别是甲、乙、丙三种品牌手表日走时误差分布的正态分布密度曲线，则下列说法不正确的是（）A．三种品牌的手表日走时误差的均值相等B．三种品牌的手表日走时误差的均值从大到小依次为甲、乙、丙C．三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙D．三种品牌手表中甲品牌的质量最好4、若如图所示的程序框图输出的是，则在判断框中表示的“条件”应该是（）A．B．C．D．5、已知向量，，则“且”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6、已知某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．7、已知实数，函数，若，则的值是（）A．B．C．D．8、若是一个集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：①属于，属于；②中任意多个元素的并集属于；③中任意多个元素的交集属于．则称是集合上的一个拓扑．已知集合，对于下面给出的四个集合：①②③④其中是集合上的拓扑的集合的序号是（）A．①B．②C．②③D．②④二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. ）（一）必做题（9～13题）9、已知等比数列满足，，则__________．10、不等式的解集是．11、若双曲线的渐近线方程是，则双曲线的离心率等于________．12、在的展开式中，的系数是___________．13、直角坐标系中，已知两定点，．动点满足，则点构成的区域的面积等于__________．（二）选做题：（第14、15题为选做题，考生只能选做一题．）14、（坐标系与参数方程选做题）已知的参数方程为（为参数），在点处的切线为，若以直角坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则的极坐标方程是．15、（几何证明选讲选做题）如图，在中，，圆是的外接圆，过点的切线交的延长线于点，，，则的长等于．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程．）16、（本小题满分12分）设向量，，．若，求的值；设函数，求的最大值．17、（本小题满分12分）为了参加年市级高中篮球比赛，该市的某区决定从四所高中学校选出人组成男子篮球队代表所在区参赛，队员来源人数如下表：学校学校甲学校乙学校丙学校丁人数该区篮球队经过奋力拼搏获得冠军，现要从中选出两名队员代表冠军队发言．求这两名队员来自同一学校的概率；设选出的两名队员中来自学校甲的人数为，求随机变量的分布列及数学期望．18、（本小题满分14分）在三棱锥中，侧棱长均为，底边，，，、分别为、的中点．求证：平面平面；求三棱锥的体积；求二面角的余弦值．19、（本小题满分14分）若正数项数列的前项和为，首项，点在曲线上．求，；求数列的通项公式；设，表示数列的前项和，若恒成立，求及实数的取值范围．20、（本小题满分14分）已知椭圆（）的左、右焦点分别为、，且经过定点，为椭圆上的动点，以点为圆心，为半径作圆．求椭圆的方程；若圆与轴有两个不同交点，求点横坐标的取值范围；是否存在定圆，使得圆与圆恒相切？若存在，求出定圆的方程；若不存在，请说明理由．21、（本小题满分14分）已知函数（）．当时，比较与的大小；当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；求证：对于一切正整数，都有．凤翔中学xx －xx 学年度第一学期第二次阶段考试高三理科数学试卷参考答案一、选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B C A D C D二、填空题（一）必做题9、 10、 11、 12、 13、（二）选做题14、 15、三、解答题16、解：由…………………………1分…………………………2分及，得.又，从而…………………………4分所以…………………………6分211()3sin cos sin 2cos 222f x a b x x x x x =⋅=⋅+=-+ …………………………9分当时，所以当时，取得最大值1…………………………11分所以的最大值为…………………………12分17、解：“从这12名队员中随机选出两名，两人来自于同一学校”记作事件，则．…………………………………………5分的所有可能取值为………………………………………………6分则，，………9分∴的分布列为：10分∴ ……………………………………………12分 18、证明： 取的中点，连接，，易得：………………………1分,………………………2分………………………3分P又 平面，又 ………………………5分 解：43222132312131=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯=-BC AB OP V ABC P ………………………7分 方法一：过点E 作于H ，过点H 作于M ，连接因为平面平面，平面平面=，，平面，所以平面，即为所求的二面角的平面角………………10分分别为中点，在中，………………………11分在中，………………………12分所以，中，43716254322=+=+=HM HE ME 所以………………………14分方法二：以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系,,,,,, ,，………………………9分所以，可以设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为………………………10分，所以令，则，所以，可以设所求的二面角为，显然为锐角…………………11分由，可得：………………………12分12121232(1,,)(1,0,0)53755cos cos ,3912525n n n n n n θ-•⋅=<>===⨯++……………………14分19、解：点在曲线上…………………1分分别取和，得：由解得，…………………4分由得：数列是以为首项，为公差的等差数列即…………………6分当时，当时，，满足上式数列的通项公式是…………………8分()()11113352121n n n T =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⨯⨯-+ 111111123352121n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭…………………10分显然是关于的增函数有最小值…………………12分恒成立…………………13分的取值范围是…………………14分20、解：由椭圆定义得，……………………………………… 1分即()()222233532111142222a ⎛⎫⎛⎫=++-+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ……………………… 2分 ∴，又， ∴.……………………………………… 3分故椭圆的方程为 …………………………………………………4分圆心到轴距离，圆的半径，若圆与轴有两个不同交点，则有，即，化简得.…………………… …………………………… 6分点在椭圆上，∴，代入以上不等式得：，解得：. ……………………………………… 8分又，∴ ，即点横坐标的取值范围是. ……9分存在定圆与圆恒相切，其中定圆的圆心为椭圆的左焦点，半径为椭圆的长轴长4. ……………………12分∵由椭圆定义知，，即，∴圆与圆恒内切. …………………………………………………………… 14分21、解：当时，，其定义域为…………………1分因为所以在上是增函数…………………………3分故当时，；当时，；当时，…………………………4分解：当时，，其定义域为令得，…………………………6分因为当或时，；当时，所以函数在上递增，在上递减，在上递增且的极大值为，极小值为………………………7分 又当时，；当时，因为函数仅有一个零点所以函数的图象与直线仅有一个交点所以或…………………………9分方法一：根据的结论知：当时，即当时，，即…………………………12分令，则有从而得，， …………………………13分 故得1217151311ln 34ln 23ln 12ln +++++>+++++n n n 即121715131)1342312ln(+++++>+⨯⨯⨯⨯n n n 所以…………………………14分方法二：用数学归纳法证明：①当时，不等式左边，右边 因为，所以，即时，不等式成立……………………10分 ②假设当时，不等式成立，即那么，当时，……………11分由的结论知，当时，，即所以…………………………12分 即1)1(21121715131)2ln(++++++++>+k k k 即当时，不等式也成立…………………………13分 综合①②知，对于一切正整数，都有…………14分24361 5F29 弩25701 6465 摥 31952 7CD0 糐 23915 5D6B 嵫337841 93D1 鏑 fylW35693 8B6D 譭O。